Majeure Mécanique

UP1 - Mécanique des Matériaux

Thermodynamique des milieux continus et lois de

comportement

J. Bruchon

École des Mines de Saint-Étienne

Centre SMS

Octobre 2016

1

Table des matières

1 Cinématique 41.1 Loi du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Le gradient de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Transport d'un élément de volume . . . . . . . . . . . 91.2.3 Transport d'un élément de surface orienté . . . . . . . 101.2.4 Décomposition polaire du gradient de la transformation 11

1.3 Mesures de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Tenseur des contraintes de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 191.5 Lois de conservation dans la con�guration courante . . . . . . 20

1.5.1 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.2 Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . 211.5.3 Conservation du moment de la quantité de mouvement 23

1.6 Tenseurs des contraintes alternatifs . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 E�orts intérieurs - Théorème de l'énergie cinétique 262.1 Puissance des e�orts intérieurs en description Eulérienne . . . 26

3 Conservation de l'énergie 293.1 Formulation locale du premier principe . . . . . . . . . . . . . 303.2 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Formulation des lois de comportement 324.1 Variété des comportements - Lois 1D . . . . . . . . . . . . . . 324.2 Le principe d'indi�érence matérielle ou d'objectivité . . . . . . 36

4.2.1 Dé�nitions : repère et référentiel . . . . . . . . . . . . . 364.2.2 Loi de transformation des tenseurs . . . . . . . . . . . 374.2.3 Invariance des lois de la MMC vis-à-vis d'un change-

ment de référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2.4 Caractère intrinsèque de certaines variables en MMC . 404.2.5 Résultats d'opérateurs sur les grandeurs objectives . . 40

4.3 Les principes de la théorie du comportement mécanique desmatériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3.1 Déterminisme et fonctionnelle mémoire . . . . . . . . . 454.3.2 Application : �uides visqueux . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4 Fonctions isotropes de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.4.1 Invariants d'un tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.4.2 Théorème de Cayley - Hamilton . . . . . . . . . . . . . 484.4.3 Théorèmes de représentation . . . . . . . . . . . . . . . 48

2

4.4.4 Cas de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.5 Thermodynamique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . 50

4.5.1 Second principe de la thermodynamique des milieuxcontinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.5.2 Loi de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Hyperélasticité 535.1 Réversibilité des lois hyperélastiques . . . . . . . . . . . . . . 545.2 Hyperélasticité isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2.1 Description matérielle (S,C) . . . . . . . . . . . . . . . 555.2.2 Descriptions matérielles alternatives . . . . . . . . . . . 565.2.3 Description spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3 Matériaux Néo-hookéens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3

1 Cinématique

1.1 Loi du mouvement

On considère un corps B qui occupe initialement (à t = t0) une région D0de l'espace euclidien R3, de frontière régulière notée ∂D0. Les sollicitationsappliquées à B s'accompagnent d'un changement de con�guration depuis cellede référence, vers la con�guration courante notée Dt. On supposera ici que lacon�guration de référence coïncide avec la con�guration initiale D0. Au coursde cette évolution, un point matériel P appartenant à B passe de la positionX, repérée par ses coordonnées cartésiennes XI dans le repère EI , I = 1, 2, 3à une position x repérée par ses coordonnées cartésiennes xi dans le repèreei, i = 1, 2, 3. Il est souvent commode d'identi�er ei et EI , c'est-à-dire detravailler dans le même système de coordonnées. La loi du mouvement est ladonnée d'une fonction vectorielle f bijective (non pénétration de la matière)telle que

x = f(X, t; t0) (1.1)

(voir �gure 1.1).

Figure 1.1: Description du mouvement

On introduit le vecteur de déplacement u qui est le vecteur qui lie un pointmatériel de la con�guration de référence et ce même point dans la con�gura-tion courante :

u(X, t) = f(X, t; t0)−X = x−X (1.2)

Si le mouvement du corps est décrit en utilisant les coordonnées matériellesXI , I = 1, 2, 3, on dira que la description est matérielle ou Lagrangienne. Celarevient à observer le mouvement du corps comme celui d'une quantité de ma-tière qui se déplace dans l'espace à partir d'une référence connue. Ce mouve-ment peut également être décrit en utilisant les coordonnées xi, i = 1, 2, 3. Ondira alors que la description est spatiale ou Eulérienne. Cela consiste à obser-ver la quantité de matière qui passe dans un certain domaine �xé de l'espace,

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sans référence à la position au temps initial. Dans ce qui suit, nous adop-terons la convention d'écriture suivante : les lettres capitales seront utiliséespour désigner les composantes des coordonnées Lagrangiennes (se trouvantdans la con�guration de référence), et les lettres minuscules, pour désignerles composantes des coordonnées Eulériennes (qui se trouvent donc dans lacon�guration courante).Notons que la loi du mouvement permet de passer d'une représentation àl'autre.

A�n de visualiser la di�érence entre description lagrangienne (ou maté-rielle) et description eulérienne (ou spatiale) du mouvement, considérons latraction uniaxiale d'une barre de longueur initiale L = 2. La loi du mouve-ment de cette barre est dé�nie par

x = (1 + t)X, avec 0 ≤ X ≤ 2

De plus, on considère une certaine distribution de température sur la barre,donnée en description lagrangienne par un champ

T (X, t) = Xt2, avec 0 ≤ X ≤ 2

La loi du mouvement permet de passer à une description eulérienne, avec unchamp de température dé�ni sur la con�guration courante

T (x, t) = xt2/(1 + t)

Figure 1.2: Traction uniaxiale : description eulérienne et lagrangienne

La �gure 1.2 montre l'élongation de la barre et l'évolution de sa tempéra-ture. Cette �gure met en avant le fait qu'une particule matérielle reste, tout

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au long de son mouvement, repérée par sa coordonnée X (�xe) de la con�gu-ration initiale, tandis que sa coordonnée x évolue avec le temps. La tempé-rature peut être obtenue par deux approches di�érentes. Au temps t = 3, latempérature de la particule repérée par X = 2, est T = 2 × 32 = 18. Alter-nativement, cette même particule au temps t = 3 est à la position x = 8. Latempérature en cette position et à cet instant est T (8, 3) = 8×32/(1+3) = 18.Autrement dit, T (X, t) est la température au temps t de la particule repéréepar X dans la con�guration initiale, tandis que T (x, t) est la température autemps t et au point x de la con�guration courante.

Intéressons nous maintenant au calcul de la variation de la températureau cours du temps, en con�gurations lagrangienne et eulérienne. Simpli�onsd'abord le problème ci-dessus, en disant que la température de chaque par-ticule matérielle X est constante, et prenons

T (X, t) = X

Évidemment, nous avons dans ce cas, puisque X ne dépend pas de t,

dT

dt(X, t) =

∂T

∂t(X, t) = 0

lorsque l'on travaille dans la con�guration initiale.Dans la con�guration courante, le champ de température s'écrit mainte-

nantT (x, t) =

x

1 + t,

et sa dérivée par rapport au temps vaut

∂T

∂t(x, t) = − x

(1 + t)2

ce qui est di�érent de zéro. Que peut-on faire de cette dérivée ? Rien du tout.Elle est en e�et la limite du rapport

T (x, t+ ∆t)− T (x, t)∆t

lorsque ∆t tend vers zéro. Or, la particule se trouvant en x à t n'est plus lamême que celle se trouvant en x à t+ ∆t, et ainsi la di�érence T (x, t+ ∆t)−T (x, t) est non nulle du fait du mouvement du milieu continu. Les équationsde la mécanique résultent de bilans e�ectués sur des quantités (masse, éner-gie, quantité de mouvement, ...) associées à une particule ou un groupe departicules que l'on suit dans leur mouvement. Calculer la variation en temps

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d'une quantité T associée à une particule, ne nécessite, en description la-grangienne, que de calculer la dérivée partielle ∂T/∂t(X, t), mais demande,en con�guration eulérienne, de considérer la limite de

T (x+ ∆x, t+ ∆t)− T (x, t)∆t

(1.3)

lorsque ∆t tend vers zéro, où x+ ∆x est la position à t+ ∆t de la particulese trouvant en x à t. Ainsi, ∆x est donné par :

∆x =dx(t)

dt∆t = v(x, t)∆t

Dans notre exemple, la vitesse v vaut v(x, t) = x1+t

, et l'on peut véri�erque la limite de l'expression (1.3) est bien zéro.

Plus généralement, pour calculer cette limite on considère le développe-ment

T (x+ ∆x, t+ ∆t) = T (x, t+ ∆t) +∂T

∂x(x, t+ ∆t)∆x+ o(∆x)

Ainsi, la quantité dT/dt

dT

dt(x, t) = lim

∆t→0

T (x+ ∆x, t+ ∆t)− T (x, t)∆t

= lim∆t→0

T (x, t+ ∆t)− T (x, t)∆t

+∂T

∂x(x, t)v(x, t)

=∂T

∂t(x, t) +

∂T

∂x(x, t)v(x, t)

s'appelle dérivée particulaire de la quantité T exprimée en variables eulé-rienne. Elle désigne, par dé�nition, la variation en temps d'une quantité Tattachée à une particule que l'on suit dans son mouvement. Pour un mouve-ment dans R3, elle s'écrit

dT

dt(x, t) =

∂T

∂t(x, t) +

3∑i=1

∂T (x, t)

∂xi

dxi(t)

dt=∂T

∂t+ v ·∇T (1.4)

et est la dérivée totale en temps de la fonction T (x(t), t) où x(t) est latrajectoire d'une particule.

Notons que la dérivée particulaire de la ième composante de la vitesses'écrit, sur la con�guration actuelle

dvidt

(x, t) =∂vi∂t

+ v ·∇vi

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ce qui est non linéaire par rapport à la vitesse. Nous utiliserons cette expres-sion lors de l'expression de la conservation de la quantité de mouvement.

Notons également que lorsque les équations de la mécanique sont appro-chées par une méthode numérique comme les éléments �nis, le domaine dedé�nition spatial est discrétisé par un maillage qui peut avoir une vitesse vm�quelconque� (i.e. di�érente de zéro et de v). Ce mouvement du maillage doitêtre pris en compte dans les équations en remplaçant v ·∇T par (v−vm)·∇Tdans (1.4).

En�n, la dérivée particulaire de T exprimée en variables de Lagrange estconfondue avec sa dérivée partielle par rapport au temps :

dT

dt(X, t) =

∂T

∂t(X, t)

1.2 Le gradient de déformation

Figure 1.3: Transformation d'un vecteur matériel élémentaire de la con�-guration de référence sur la con�guration matérielle.

Considérons comme sur la �gure 1.3 deux points matériels de la con�gu-ration de référence, X et X + dX. Ces points forment un vecteur (ou �bre)matériel(le) X + dX −X = dX. Dans la con�guration courante, ces pointscorrespondent, par la loi du mouvement, à x et x+ dx, et la �bre matérielledevient dx. On a les relations suivantes, pour chaque composante i :

xi = fi(X, t; t0)

etxi + dxi = fi(X + dX, t; t0)

Cette dernière relation permet d'écrire, au premier ordre,

xi + dxi = fi(X, t; t0) +3∑

k=1

∂fi∂Xk

(X, t; t0)dXk

Ainsi, on en conclut que

dxi =∂fi∂X1

dX1 +∂fi∂X2

dX2 +∂fi∂X3

dX3

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pour toute composante i. Donc :

dx1dx2dx3

=

∂f1∂X1

∂f1∂X2

∂f1∂X3

∂f2∂X1

∂f2∂X2

∂f1∂X3

∂f3∂X1

∂f3∂X2

∂f3∂X3

dX1dX2

dX3

que l'on écritdx = FdX

F est le gradient de la transformation f . Ainsi, cette expression fait cor-respondre à tout vecteur �in�nitésimal� dX de la con�guration initiale, sonvecteur transporté par le mouvement dans la con�guration à l'instant t, dx.Cette expression est équivalente à

F =dx

dX(1.5)

ou encore, en utilisant la relation x = X + u :

F =∂u

∂X+ I (1.6)

où I est le tenseur identité.Le déterminant de F est noté J et est appelé jacobien de la transformation.

1.2.1 Produit mixte

Soient u, v et w trois vecteurs de R3. Le produit mixte u · (v ∧w), noté[u,v,w], est égal au volume du parallélépipède formé par ces trois vecteurs(voir �gure 1.4 : aire du parallélogramme v ∧w multipliée par la hauteur).Ce produit est également égal au déterminant de (u,v,w) :

[u,v,w] = dét(u,v,w)

1.2.2 Transport d'un élément de volume

Considérons trois vecteurs (dX1,dX2,dX3) dé�nis dans la con�gura-tion initiale D0. Ces vecteurs forment un parallélépipède de volume dV =[dX1,dX2,dX3]. Au cours du mouvement, ces trois vecteurs se transforment

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Figure 1.4: Parallélépipède

en (dx1,dx2,dx3) et le volume initial se transforme en un volume dv donnépar

dv = [dx1,dx2,dx3]

= [FdX1,FdX2,FdX3]

= (détF )dét(dX1,dX2,dX3)

Autrement dit,

dv = JdV avec J = détF > 0 (1.7)

Une transformation est dite isochore au pointX si le volume est préservéautour de X sous cette transformation. Si cette propriété est véri�ée en toutX, la transformation est dite isochore (J ≡ 1).

1.2.3 Transport d'un élément de surface orienté

Soit, maintenant, dS une surface élémentaire construite à partir de deuxvecteurs élémentaires dX1 et dX2. On a : dX1 ∧ dX2 = NdA, où dA estl'aire de dS et N désigne la normale unitaire à dS, voir Figure 1.5.

Nous nous intéressons à savoir comment est transportée cette surface parle mouvement. Soient les vecteurs transportés de dX1 et dX2, dx1 = FdX1et dx2 = FdX2.

Nous voulons donc exprimer la surface ds construite à partir de dx1 etdx2. On a :

dx1 ∧ dx2 = nda

où da est l'aire de ds et n la normale unitaire à ds. Évaluons l'action de nda

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Figure 1.5: Transport convectif d'une surface élémentaire

sur un vecteur v quelconque :

(nda) · v = (dx1 ∧ dx2) · v = [dx1,dx2,v]= [FdX1,FdX2,v] = (detF )[dX1,dX2,F

−1v]

= J dAN · (F−1v) = J(F−TNdA) · v

d'où, par identi�cation :

nda = JF−TNdA (1.8)

1.2.4 Décomposition polaire du gradient de la transformation

Le tenseur gradient de la transformation F peut être décomposé en unecomposante de déformation et une composante de rotation. Cela se fait grâceà ce que l'on appelle la décomposition polaire. Il s'agit d'une décompositionunique du tenseur gradient de déformation :

F = RU = V R (1.9)

avec U le tenseur de déformations pures à droite qui se trouve dans la con�-guration de référence, et V , le tenseur des déformations pures à gauche, quise trouve dans la con�guration courante. R est quant à lui le tenseur derotation local qui relie les deux con�gurations (détR = 1, RRT = I). Lestenseurs de déformations à gauche et droite sont reliés par la relation (voir�gure 1.6) :

V = RU RT (1.10)

Les tenseurs U et V peuvent également s'écrire en fonction du tenseur F :

V =√F F T , U =

√F TF (1.11)

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Les tenseurs de déformation pure jouent un rôle primordial car ils permettentd'isoler la déformation pure, dans le gradient de la transformation. Cependanten pratique, ils sont peu utilisés sous cette forme car leur extraction à partirde F demande un nombre important d'opérations. On considérera en généralleur carré qui sont bien plus simples à évaluer.Le carré de la longueur d'un segment dans la con�guration courante peuts'écrire :

dl2 = dxTdx = dXTF TF dX = dXTCdX (1.12)

avec C = F TF , ce qui en utilisant la relation (1.11) revient à C = U 2.Ce tenseur est appelé tenseur des déformations de Cauchy-Green droit et ils'agit d'un tenseur Lagrangien.De la même façon, on peut exprimer le carré de la longueur d'un segmentdans la con�guration de référence :

dL2 = dXTdX = dxTF−TF−1dx = dxTb−1dx (1.13)

où l'on a introduit le tenseur b = F F T , ce qui en utilisant la relation (1.11)revient à b = V 2. Ce tenseur est appelé tenseur des déformations de Cauchy-Green gauche ou tenseur de Finger, et il s'agit d'un tenseur Eulérien.

Figure 1.6: Décomposition polaire du gradient de la transformation. Lesellipses ont pour grand et petit axes les vecteurs propres respectifs de U etV .

Exercice 1.1 On étudie la transformation faisant passer de la con�gurationde la �gure 1.7a à la con�guration 1.7b.

1. Sachant que l'allongement relatif suivant e1 est l−l0l0 = λ, écrire latransformation correspondante dans la base canonique (e1, e2, e3).

2. En déduire les expressions des tenseurs F , U et R.

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Figure 1.7: Cinématique de l'extension simple pour un corps carré munid'une grille : état initial (gauche) et �nal (droite).

Exercice 1.2 On étudie la transformation illustrée sur la �gure 1.8 quis'écrit :

x1 = X1 + γX2 ; x2 = X2 ; x3 = X3

où γ est l'amplitude du glissement.

Figure 1.8: Cinématique du glissement simple pour un corps carré munid'une grille : état initial (gauche) et �nal (droite).

1. Donner l'expression de F , véri�er que la transformation est isochore.

2. En déduire l'expression du tenseur Cauchy - Green droit C.Les valeurs propres de C sont

λ1 = (1

2(γ +

√γ2 + 4))2 ; λ2 = (

1

2(−γ +

√γ2 + 4))2 ; λ3 = 1

Les racines positives de ces valeurs propres fournissent les valeurspropres du tenseur des déformations pures U . Les vecteurs propresde C et U sont, par construction, identiques.

3. Que signi�e λ1 > 1 et λ2 < 1 ?

4. Véri�ez que U et R sont donnés (dans la base canonique) par :

[U ] =

α αγ/2 0αγ/2 α(1 + γ2/2) 00 0 1

, [R] = α αγ/2 0−αγ/2 α 0

0 0 1

avec α = 1/

√1 + (γ/2)2

5. À quel type de rotation R correspond ? Donnez l'expression de tan θ,où θ est l'angle de rotation.

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1.3 Mesures de déformation

Allongements - SoitM un vecteur unitaire décrivant la direction d'une�bre matérielle dans la con�guration de référence. On note

dX = |dX|M

Dans la con�guration courante, la longueur de la �bre devient

|dx|2 = (FdX)T (FdX) = |dX|2MTCM

On dé�nit alors le rapport d'allongement dans la direction M par :

λ(M) =|dx||dX|

=√√√√MT C︸︷︷︸

F TF=UTU

M = |FM | = |UM |

Si M est choisi comme le ième vecteur de la base canonique {Ei}, i =1, 2, 3, alors

λ(Ei) =√Cii =

√F 21i + F

22i + F

23i (1.14)

ce qui donne une interprétation simple des composantes diagonales du ten-seur de Cauchy - Green droit C, à savoir le carré de l'allongement du vecteurde base correspondant.

Angle de glissement - Le cosinus de l'angle formé par deux vecteursunitaires est égal au produit scalaire de ces vecteurs. En reprenant les nota-tions précédentes (voir �gure 1.9), dans la con�guration initiale on a, pourdeux directions matériellesM1 etM2 formant un angle Θ, cos Θ = M1 ·M2.Cet angle devient θ dans la con�guration actuelle :

cosθ =(FM1) · (FM2)|FM1||FM2|

=MT1 CM2

λ(M1)λ(M2)

On appelle γ = Θ−θ l'angle de glissement des directionsM1 etM2 dansle plan de glissement (M1,M2). SiM1 = Ei,M2 = Ej, i 6= j, alors Θ = π/2et

sin γ = cos(θ) =Cij√CiiCjj

(1.15)

ce qui donne une interprétation des composantes extra-diagonales du tenseurde Cauchy-Green droit.

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Figure 1.9: Angle de glissement : γ = Θ− θ.

Nous avons vu que grâce à la décomposition polaire il est possible deséparer les rotations pures des élongations pures. Sous l'action de rotationspures, la distance entre des particules voisines reste inchangée. L'élongationpure caractérisée par U et V quant à elle, change la distance entre desparticules matérielles. A�n de quanti�er la distension, c'est-à-dire d'évaluerde combien le tenseur U ou V s'écarte de l'identité I, il est nécessaire dedé�nir une mesure de déformation. Cependant, il faut souligner qu'ici, toutn'est qu'a�aire de convention, et qu'il existe une multitude de mesures dedéformation. Dans la pratique, la mesure choisie sera celle qui permettra deformuler de façon la plus simple la loi de comportement du matériau étudié.Toutefois, il est possible de donner la dé�nition suivante. On appelle mesurede déformation un tenseur ayant les propriétés suivantes :

1. Il est symétrique et sans dimension physique ;

2. Il est nul pour un mouvement de corps rigide et en F = I ;

3. Son développement limité autour de F = I s'écrit

1

2(∂u

∂X+ (

∂u

∂X)T ) + o(

∂u

∂X)

Les mesures de déformation les plus utilisées appartiennent aux famillessuivantes (dé�nies par Hill, 1968 et 1978) :- une famille de tenseurs des déformations lagrangiens, dé�nis relativementà la con�guration de référence et tels que

Em

=

{ 1m

(Um − I), m 6= 0lnU , m = 0

(1.16)

pour m = 2 par exemple, on obtient le tenseur des déformations de Green-Lagrange :

E =1

2(F TF − I) (1.17)

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- une famille de tenseurs des déformations eulériens qui sont dé�nis relative-ment à la con�guration courante et tels que :

Am

=

{ 1m

(Vm − I), m 6= 0lnV , m = 0

(1.18)

À titre d'exemple, considérons un essai de compression ou extension sui-vant la direction ex au cours duquel on suit la distance entre deux pointsmatériels séparés initialement par la distance l0 qui devient l à l'instant ac-tuel. La déformation est supposée homogène (F ne dépend que de t) loca-lement dans la zone où sont placés les deux points de mesure. Calculons lesexpressions des di�érentes mesures de déformations évoquées. Les scalairesdonnés ici sont les composantes (1,1) du tenseur utilisé. Remarquons d'abordque l'information essentielle est donnée par le gradient de la transformationF = l/l0. Ensuite, nous avons

C = (l

l0)2, b = (

l

l0)2,

et les déformations sont données par

E1 =l − l0l0

, A−1 =l − l0l

,

E2 =1

2

((l

l0)2 − 1

), A−2 =

1

2

(1− ( l0

l)2)

E0 = logl

l0, A0 = log

l

l0

La mesure de déformation uniaxiale E1 qui se rapporte à la longueur ini-tiale est souvent appelée déformation nominale ou déformation de l'ingénieur.La déformation logarithmique, ou déformation naturelle, E0 est souvent uti-lisée. En e�et, lorsqu'on a à faire à des déformations importantes, il paraîtnaturel de considérer la déformation totale comme la somme de petits incré-ments de déformations. On a alors :

E0 =

∫ ll0

dl

l= log

l

l0

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Figure 1.10: Évolution de di�érentes mesures de déformation en fonction durapport l/l0 au cours d'une déformation pure homogène. Source : [FOREST].

Hypothèse des petites déformations - En�n, remarquons que le ten-seur de Green-Lagrange (1.17), peut s'exprimer en fonction du vecteur desdéplacements u = x−X :

E =1

2

(∇

Xu+ ∇T

Xu+ ∇T

Xu∇

Xu)

(1.19)

Dans ce que l'on appelle la théorie géométriquement linéaire de la mécaniquedes solides, les déformations du corps solide sont supposées être petites. Lesnon-linéarités géométriques ne sont donc pas prises en compte. En négligeantdonc les contributions non-linéaires de la relation (1.19), celle-ci se réduit à :

E ≈ 12

(∇

Xu+ ∇T

Xu)

= ε (1.20)

L'hypothèse des petites déformations ainsi faite équivaut à ‖∇Xu‖ � 1, ou

encore à F = O(I). Ainsi, le troisième point de la dé�nition d'une mesure dedéformation implique que toutes les mesures de déformation sont équivalentesdans la théorie des petites déformations.

Exercice 1.3 En vous basant sur la relation (1.12), montrez la relation sui-vante reliant la longueur dL d'une �bre matérielle dans la con�guration deréférence D0, à sa longueur dl dans la con�guration courante Dt :

dl2 − dL2

2dL2= M ·EM (1.21)

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où M est le vecteur unitaire porté par la �bre matérielle dans D0

Exercice 1.4 En vous basant sur la relation (1.13), et avec les mêmes no-tations que précédemment, montrez que

dl2 − dL2

2dl2= m ·A−2m (1.22)

où m est le vecteur unitaire porté par la �bre matérielle dans Dt.Le tenseur d'Almansi A−2 est, par dé�nition, égal à

12(I − b−1).

Exercice 1.5 On considère la transformation suivante

x1 =1

4(18 + 4X1 + 6X2) ; x2 =

1

4(14 + 6X2)

qui agit comme représenté sur la �gure 1.11

Figure 1.11

1. Calculez F et F−1.

2. Calculez comment se transforment les vecteurs (matériels) de la baseinitiale. Calculez les vecteurs réciproques de la base courante.

3. Calculez les tenseurs de Cauchy-Green droit et gauche, C et b, endéduire les mesures de déformation de Green - Lagrange et d'Almansi.

4. En vous basant sur la relation (1.21), calculez la déformation de Green- Lagrange associée au vecteur matériel dX2 = (0, 1)T .

5. En vous basant sur la relation (1.22), calculez la déformation d'Al-mansi associée avec l'élément dx2, transformé de dX2.

18

Exercice 1.6 Un solide subit une déformation uni-axiale donnée par

x1 = X1(1 + βt)

où β est un paramètre arbitraire.Calculez :

1. Le gradient de la transformation F .

2. Le tenseur de Cauchy - Green droit C.

3. La dilatation selon les axes X1 et X2.

4. L'angle entre ces axes au cours de la déformation.

5. Le tenseur des déformations de Green - Lagrange.

6. La déformation selon les deux axes.

7. Le tenseurs petites déformations ε.

1.4 Tenseur des contraintes de Cauchy

On considère un corps continu déformable B. On dé�nit le vecteur contraintet, dans la con�guration courante, qui est tel que :

t = limds→0

df

ds(1.23)

Il caractérise les e�orts intérieurs de cohésion df , qui sont exercés sur unepartie de B à travers un élément de surface ds, de normale extérieure n (voir�gure 1.12).D'après le théorème de Cauchy, en tout point, et à chaque instant t, le vecteurdes contraintes t (x, t,n) dépend de la normale n de façon linéaire. Il existedonc un tenseur de second ordre appelé tenseur des contraintes de Cauchy,noté σ qui est tel que :

t (x, t,n) = σ (x, t) · n (1.24)

Figure 1.12: Contraintes de Cauchy

19

Il peut être utile, comme nous le verrons plus tard, de décomposer letenseur des contraintes en une partie dite déviatorique, qui est de trace nulleet une partie dite sphérique, de sorte que :

σ = σD − pI (1.25)

avec σD la partie déviatorique de σ, et pI sa partie sphérique. p est appeléela pression hydrostatique et est dé�nie par :

p = −13

tr(σ)

(1.26)

1.5 Lois de conservation dans la con�guration courante

Cette section décrit les lois de conservation de la masse, de la quantité demouvement et du moment de la quantité de mouvement. Celles-ci sont des re-lations fondamentales en mécanique des milieux continus que nous utiliseronspour mettre en place notre formalisme.

1.5.1 Conservation de la masse

Ce principe exprime le fait que la masse d'un système matériel ω ⊂ Dque l'on suit dans son mouvement reste constante. En introduisant ρ0 et ρla masse volumique du milieu dans sa con�guration de référence et actuellerespectivement, la conservation de la masse s'exprime par :

m(ω) =

∫ω

ρ(x, t) dv =

∫ω0

ρ0 dV = constante

Or nous avons déjà vu que dv = JdV , avec J = détF , d'où

ρ(x, t)J = ρ0(X) (1.27)

ce qui correspond à la forme lagrangienne de la conservation de la masse.En dérivant cette relation par rapport au temps le long de la trajectoirex(t) d'une particule matérielle, on obtient l'expression eulérienne de la loi deconservation de la masse locale :

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv) = 0 (1.28)

où l'on a utilisé le fait que ∂J∂t

= J∇ · v. L'équation (1.28) est aussi appeléeéquation de continuité, et peut directement être vue comme une équationde bilan exprimant la variation locale de la masse volumique sous le �uxconvectif ρv.

20

1.5.2 Conservation de la quantité de mouvement

Nous donnons d'abord un résultat mathématique. Soient F (x, t) une fonc-tion de l'espace et du temps, et ω(t) un domaine borné dépendant du temps.Cela signi�e que sa frontière ∂ω évolue au cours du temps avec une certainevitesse v. Alors :

d

dt

∫ω(t)

F (x, t) dv =

∫ω(t)

∂F

∂t(x, t) dv +

∫∂ω(t)

F (x, t)v · n ds (1.29)

où n est le vecteur unitaire normale à ∂ω et pointant à l'extérieur de ω.

Ce résultat s'interprète ainsi : la variation en temps de la quantité∫ωF dv

(membre de gauche) est due, d'une part à la variation de F dans le domaineω, puisque F dépend de t, et d'autre part à un �ux Fv sur le bord ∂ω. Ce�ux traduit le fait que le mouvement de ∂ω à la vitesse v fait entrer ou sortirdu domaine une �certaine quantité de F �.

De plus, rappelons le théorème de la divergence. Soit q un vecteur dé�nisur ω (dépendant ou non de t). Alors :∫

∂ω

q · n ds =∫ω

∇ · q dv (1.30)

En appliquant le théorème de la divergence à l'intégrale surfacique del'équation (1.29) avec q = Fv, cette expression se réécrit en :

d

dt

∫ω(t)

F (x, t) dv =

∫ω(t)

(∂F

∂t+ ∇ · (Fv)

)dv (1.31)

Revenons à la conservation de la quantité de mouvement. Soit P (t) laquantité de mouvement du domaine matériel ω(t), dé�nie par :

P (t) =

∫ω(t)

ρv dv (1.32)

La loi de conservation de la quantité de mouvement postule que la dérivéepar rapport au temps de la quantité de mouvement est égale à l'ensembledes forces qui s'exercent sur le volume matériel :

dP (t)

dt=

∫ω(t)

ρb dv +

∫∂ω(t)

t ds (1.33)

où b représente les forces volumiques, t = σ·n représente les forces de contacts'exerçant sur ∂ω, la surface de ω ⊂ D.

21

Développons la ième composant du membre de gauche en utilisant dethéorème (1.31) :

d

dt

∫ω(t)

ρvi dv =

∫ω(t)

(∂ρvi∂t

+ ∇ · (ρviv))dv

Or,

∂ρvi∂t

+ ∇ · (ρviv) = ρ∂vi∂t

+ vi∂ρ

∂t+ vi∇ · (ρv)︸ ︷︷ ︸

=0,éq.(1.28)

+ρv ·∇vi = ρdvidt

où dvidt

= ∂vi∂t

+ v ·∇vi est ce que l'on a dé�ni comme la dérivée particulairede vi. En notation tensorielle, on écrit

d

dt

∫ω(t)

ρv dv =

∫ω(t)

ρdv

dtdv =

∫ω(t)

ρ

(∂v

∂t+ (∇v) · v

)dv

avec [∇v]ij = ∂vi/∂xj.

De plus, une extension du théorème de la divergence (montrez-le en uti-lisant la notation indicielle) dit que :∫

∂ω

σ · n︸ ︷︷ ︸t

ds =

∫ω

∇ · σ dv

où la divergence du tenseur du second ordre σ est un vecteur dont la ièmecomposante vaut :

[∇ · σ]i =3∑j=1

∂σij∂xj

Ainsi, l'équation (1.33) se réécrit en∫ω(t)

(ρdv

dt− ρb−∇ · σ

)dv = 0 (1.34)

Ceci devant être véri�é pour tout volume matériel ω, on en déduit que l'in-tégrande doit être nulle. Ainsi, la forme locale de la loi de conservation de laquantité de mouvement s'écrit sur le domaine courant :

ρdv

dt= ρ(

∂v

∂t+ (∇v) · v) = ∇ · σ + ρb (1.35)

22

1.5.3 Conservation du moment de la quantité de mouvement

On considère un point �xe x0 et le vecteur position r = x−x0. On noteH le moment de la quantité de mouvement par rapport à r qui est dé�nipar :

H =∫ω(t)

ρr ∧ v dv (1.36)

Le principe de conservation du moment de la quantité de mouvement exprimele fait que la dérivée temporelle du moment de la quantité de mouvementrelative au point �xe x0 est égale à la somme des moments agissant sur lecorps. L'équation s'écrit alors :

dHdt

=

∫ω(t)

r ∧ (ρb) dv +∫∂ω(t)

r ∧ t ds (1.37)

On peut montrer que la forme locale de la loi de conservation de la quantitéde mouvement implique :

σ = σT (1.38)

Ce qui signi�e que le tenseur des contraintes de Cauchy est symétrique. Cettecondition de symétrie a une interprétation physique très simple : regardantun cube élémentaire autour du point M , la condition d'équilibre ∇ · σ = 0n'est pas su�sante pour garantir l'équilibre. Il faut également s'assurer del'absence de rotation. Si l'on regarde par exemple les composantes σ12 et σ21sur toutes les faces verticales du cube élémentaire, nous constatons sur la�gure 1.13 qu'elles créent deux couples antagonistes qui doivent forcéments'équilibrer pour éviter toute mise en rotation du cube autour de l'axe e3.D'où σ12 = σ21 et la symétrie de σ.

Figure 1.13: Équilibre en rotation autour de l'axe e3 d'un cube élémentairesous contrainte.

23

1.6 Tenseurs des contraintes alternatifs

Unmatériau est dit élastique si il existe un état de référence sans contrainte,et si après déformation le tenseur des contraintes ne dépend que du tenseurdes déformations calculé par rapport à cet état de référence. Cependant, letenseur des déformations de Green - Lagrange E = 1

2(F TF −I) est dé�ni en

termes de variables de Lagrange, tandis que σ, le tenseur des contraintes deCauchy est exprimé en termes de variables d'Euler. L'objectif de cette sectionest donc d'introduire un tenseur des contraintes en variables de Lagrange.

Soit ω ⊂ D un domaine matériel occupant la position ω0 à l'instantinitial et la position ωt à l'instant t. Soit t(M, t,n) la contrainte au point Mà l'instant t pour la direction n. La force élémentaire df qui s'exerce sur unélément de surface ds, d'aire da, passant par M et de normale n, est égaleà :

df = tda = σ · ndaNous cherchons à exprimer df à l'aide de l'élément de surface dS d'aire

dA de la con�guration de référence. Or, d'après (1.8), on a :

nda = JF−TNdA

D'oùdf = Jσ(F−TN )dA

De plus, comme σ(F−TN ) = (σF−T )N , on est amené à dé�nir le tenseursuivant :

Π = JσF−T (1.39)

appelé tenseur des contraintes de Boussinesq ou de Piola-Lagrange.Il vient alors :

df = ΠNdA

Les composantes de Π s'écrivent :

Πij = J3∑p=1

σip∂Xj∂xp

Ce tenseur nous permet d'écrire de façon simple les équations du mou-vement en variables de Lagrange. Pour ce faire, nous partons du bilan de laquantité de mouvement en description Eulérienne :

d

dt

∫ωt

ρv dv =

∫∂ωt

t da+

∫ωt

ρbdv

24

Or, on vient de montrer que df = tda = ΠNdA. On peut donc réécrirel'équation de bilan sur la con�guration initiale :∫

ω0

ρ0dv

dtdV =

∫∂ω0

ΠN dA+

∫ω0

ρ0b dV

Par le théorème de la divergence et comme ceci est valable pour toutdomaine ω, on en déduit l'équation locale Lagrangienne du mouvement :

ρ0dv

dt= ρ0

∂v(X, t)

∂t= ∇ ·Π + ρ0b (1.40)

Cependant, le tenseur de Piola-Lagrange présente deux inconvénients.D'une part il n'est pas symétrique. D'autre part, on remarque, par la rela-tion df = ΠNdA, que Π appliqué à un vecteur élémentaire d'aire dans lacon�guration initiale donne la force s'exerçant sur l'élément de surface dansla con�guration actuelle. Ainsi, Π ne satisfait pas pleinement l'objectif initialqui était d'exprimer les contraintes dans la con�guration initiale.

Pour aller plus loin, on introduit une force �ctive dF attachée à l'élémentde surface dS de la con�guration initiale, dé�nie par :

df = FdF ou dF = F−1df

Ceci signi�e que df se déduirait de dF par transport convectif. Dans laréalité, la force élémentaire df n'a aucune raison de se comporter comme unvecteur transporté dans le mouvement.

Nous partons de FdF = ΠNdA. En remplaçant Π par son expression :

FdF = JσF−TNdA

D'où :dF = J(F−1σF−T )NdA

On est amené à introduire le tenseur suivant, dit tenseur des contraintesde Piola-Kirchho� :

S = JF−1σF−T (1.41)

Et nous avonsdF = SNdA

qui est l'expression �symétrique� de

df = σ · nda

25

La di�érence essentielle est que dF n'a pas de réalité mécanique. En compa-rant ces deux expressions à

df = ΠNdA

nous soulignons le caractère purement Eulérien de σ, purement Lagrangiende S et hybride de Π. De plus, le tenseur S est symétrique. Cependant S n'aaucune réalité physique. Son intérêt réside dans le fait qu'il est le tenseur descontraintes conjugué du tenseur des déformations de Green-Lagrange commenous le verrons dans la section suivante. Seuls les tenseurs σ et Π possèdentun sens physique et peuvent caractériser les e�orts appliqués. De plus, lacomposante (1,1) du tenseur de Boussinesq en traction uniaxiale dans la di-rection e1, correspond à la contrainte dite ingénieur c'est à dire : Π1 = F/S0où F est la force appliquée sur la section d'aire S0.

Remarquons aussi que puisque S = F−1Π, alors Π = FS, et l'équation(1.40) devient :

ρ0dv

dt= ρ0

∂v(X, t)

∂t= ∇ · (FS) + ρ0b

En�n, lorsque l'hypothèse des petites déformations est faite, c'est-à-direlorsque les termes en O(‖∇u‖) peuvent être négligés, les tenseurs σ, Π etS sont équivalents.

2 E�orts intérieurs - Théorème de l'énergie ci-

nétique

2.1 Puissance des e�orts intérieurs en description Eulé-

rienne

La forme locale de la conservation de la quantité de mouvement s'écrit :

ρdv

dt= ∇ · σ + ρb

En multipliant cette équation par la vitesse v il vient :

1

2ρdv2

dt= v ·∇ · σ + ρv · b (2.1)

D'autre part, Exercice :

∇ · (σv) = (∇ · σ) · v + σ : ∇v

26

On rappelle, que la divergence d'un tenseur du second ordre σ est unvecteur, noté ∇ · σ, dont la i ième composante est dé�nie par

[∇ · (σ)]i =3∑j=1

∂σij∂xj

=∂σij∂xj

où on a utilisé la convention de sommation de l'indice répété j dans la dernièreexpression.

De plus, le produit doublement contracté entre deux tenseurs du deuxièmeordre est dé�ni par : A : B = ApqBqp.

Le gradient des vitesses se décompose en la somme d'une partie symé-trique D et une partie antisymétrique Ω :

∇v = D + Ω

avecD =

1

2(∇v + (∇v)T ) et Ω = 1

2(∇v − (∇v)T )

On montre de plus (exercice) que si A est symétrique et B antisymé-trique, alors A : B = 0. Il s'en suit, σ étant symétrique, que

σ : ∇v = σ : D + σ : Ω = σ : D

Ainsi, on a montré la relation

∇ · (σv) = ∇ · (σ) · v + σ : D

et1

2ρdv2

dt= v ·∇ · σ + ρv · b devient :

1

2ρdv2

dt= ∇ · (σv)− σ : D + ρv · b

Considérons maintenant une partie ω d'un système matériel D, et inté-grons la relation précédente sur ce domaine à un instant t :∫

ωt

1

2ρdv2

dtdv =

∫ωt

∇ · (σv)dv −∫ωt

σ : Ddv +

∫ωt

ρv · bdv

Le premier terme peut être réécrit (les termes supplémentaires liés à la dé-pendance temporelle de ω s'annulent grâce à l'équation de conservation dela masse) en :

d

dt

∫ωt

1

2ρv2dv

27

Le deuxième terme peut être transformé en une intégrale de surface :∫ωt

∇ · (σv)dv =∫∂ωt

(σv) · nda

D'où :

d

dt

∫ωt

1

2ρv2dv =

∫∂ωt

(σv) · nda−∫ωt

σ : Ddv +

∫ωt

ρv · bdv

Exercice : Montrez que (σv) · n = (σ · n) · v.

En introduisant t = σ · n le vecteur contrainte en M , on obtient :

d

dt

∫ωt

1

2ρv2dv =

∫∂ωt

t · vda−∫ωt

σ : Ddv +

∫ωt

ρv · bdv (2.2)

Interprétons les termes de cette équation :� La grandeur

K =∫ωt

1

2ρv2dv

est l'énergie cinétique associée au domaine ω à l'instant t.� Posons

Pext =∫∂ωt

t · vda+∫ωt

ρv · bdv

On reconnaît la puissance des e�orts extérieurs au domaine ω à t. Cese�orts sont décomposés en e�orts de contact s'exerçant sur la surfacede ω et en e�orts à distance s'exerçant au sein de ω.

� Reste le terme

Pint = −∫ωt

σ : Ddv

qui est la puissance des e�orts intérieurs. Le terme −σ : D =−σijDij est donc la puissance volumique (eulérienne) des e�orts in-térieurs. La puissance Pint est nulle dans tout mouvement rigidi�ant,puisque on a alors D = 0.

Nous venons de montrer que la dérivée particulaire à l'instant t de l'énergiecinétique associée à un domaine ω est égale à la somme de la puissance dese�orts extérieurs et de la puissance des e�orts intérieurs. Ce que l'on peutrésumer par :

dKdt

= Pext + Pint (2.3)

28

Remarquons que cette équation ne contient aucune loi physique nouvelle.Elle dérive directement de la conservation de la quantité de mouvement.

Dans cette section, nous avons dé�ni la puissance des e�orts intérieurssur la con�guration courante. Par la loi du mouvement, on peut se ramenersur la con�guration initiale, et l'on a, pour un domaine matériel ω (on nedonne pas la démonstration) :

−Pint =∫ωt

σ : D dv =

∫ω0

Jσ : D dV

=

∫ω0

Π : Ḟ dV

=

∫ω0

S : Ė dV

Ceci signi�e que la densité des e�orts intérieurs rapportée à l'élément devolume initial peut s'exprimer en fonction de plusieurs couples de variablesconstitués d'un tenseur de contraintes et d'une certaine vitesse ou taux dedéformation :

Jσ : D = S : Ė = Π : Ḟ (2.4)

Pour chaque couple, la contrainte et la déformation associée sont dites conju-guées : E et S sont conjugués, ainsi que Π et F . Par contre, le gradient desdéformationD n'étant la dérivée d'aucune déformation, σ etD sont associés,mais aucune déformation n'est conjuguée avec σ.

3 Conservation de l'énergie

La conservation de l'énergie constitue le premier principe de la thermo-dynamique. Les di�érentes contributions à l'énergie totale du domaine ω àl'instant t sont :

� L'énergie cinétique K = 12

∫ωt

ρv2dv

� La puissance extérieure des e�orts appliqués :

Pext(v) =∫∂ωt

t · vda+∫ωt

ρb · vdv

� L'énergie interne E du système, représentée par une densité massiquee d'énergie interne :

E =∫ωt

ρe(x, t)dv

29

� L'apport de chaleurQ au système sous la forme d'un apport surfaciqueh(x, t, ∂ω) et d'un apport volumique ρr(x, t) d'origine non mécanique(rayonnement, ...) :

Q =∫∂ωt

hds+

∫ωt

ρrdv

Les grandeurs scalaires introduites e, h et r ne dépendent pas du référen-tiel d'observation. On dit alors qu'elles sont objectives. L'énergie cinétique,par contre, est liée au référentiel choisi, car elle fait intervenir la vitesse. Lapremière loi de la thermodynamique stipule alors que, dans un mou-vement observé dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie interneet cinétique d'un corps matériel dans la con�guration courante est due à lapuissance mécanique des e�orts extérieurs et à l'apport de chaleur :

Ė + K̇ = Pext +Q (3.1)

En utilisant le théorème de l'énergie cinétique (2.3), K est éliminée decette équation, et l'on fait apparaître les e�orts intérieurs :

Ė = −Pint(v) +Q (3.2)

De même que le vecteur contrainte t ne dépend que de la normale n à lasurface, on postule ici que l'apport surfacique de chaleur h(x, t, ∂ω) ne dépendde la surface que via sa normale sortante (principe de Fourier - Stokes) :

h(x, t, ∂ω) = h(x, t,n) = −q(x, t) · n

L'existence du �ux de chaleur q est une conséquence directe de la dépen-dance de h à la normale n. Le signe �-� est une convention : q représente le�ux entrant et n la normale sortante. De plus, l'invariance supposée de h parchangement de référentiel, implique que q est un vecteur objectif.

L'équation du bilan d'énergie (3.2) prend ainsi la forme suivante :∫ωt

ρėdv =

∫ωt

σ : Ddv −∫∂ωt

q · nda+∫ωt

ρrdv (3.3)

3.1 Formulation locale du premier principe

A�n d'aboutir à une formulation locale de la conservation de l'énergie,on part de (3.3), qui est valable pour tout sous-domaine matériel ω, et l'on

30

transforme, par le théorème de la divergence, l'intégrale de surface en uneintégrale de volume : ∫

∂ωt

q · nda =∫ωt

∇ · qdv

D'où : ∫ωt

(ρė− σ : D + ∇ · q − ρr)dv = 0

Cette égalité étant valable pour tout sous-ensemble matériel ω, et sous lacondition que les champs impliqués soient su�samment réguliers (continuité),on en déduit la forme locale du premier principe de la thermodyna-mique :

ρė = σ : D −∇ · q + ρr (3.4)

On voit donc apparaître un apport d'énergie mécanique, via le termeσ : D. Soulignons que ė est la dérivée particulaire de l'énergie interne, quel'on peut expliciter en :

ρė = ρ(∂e

∂t+ v ·∇e) = ∂ρe

∂t+ ∇ · (ρev)

où l'on s'est servi de l'équation de conservation de la masse (1.28) ∂ρ/∂t +∇ · (ρv) = 0 pour obtenir la dernière expression.Par suite, l'équation (3.4) se réécrit en :

∂ρe

∂t+ ∇ · (ρev + q) = σ : D + ρr

3.2 Récapitulatif

Si on récapitule les formes locales des équations de bilan de la thermo-mécanique des milieux continus (en l'absence de discontinuité), on a :

� Conservation de la masse : ρ̇+ ρ∇ · v = 0� Conservation de la quantité de mouvement : ∇ · σ + ρb = ργ� Conservation du moment cinétique : σT = σ� Conservation de l'énergie : ρė = σ : D −∇ · q + ρr

Ce qui fait 15 inconnues (f (3), σ (6), ρ (1), e (1), r (1) et q (3)), pourseulement 5 équations ! Il est donc nécessaire d'introduire des relations entreces grandeurs a�n de pouvoir clore le système. C'est le rôle des équationsd'état et des lois de comportement que nous allons maintenant introduire.

31

4 Formulation des lois de comportement

Concentrons nous dans un premier temps sur le problème mécanique.Celui-ci comporte une équation scalaire (bilan local de la masse) et une équa-tion vectorielle (bilan local de la quantité de mouvement), soit au total, 4équations. Les inconnues du problème sont la masse volumique ρ, la trans-formation f(X, t), et la contrainte σ en chaque point matériel, ce qui fait10 inconnues. En l'état actuel le problème est donc mal posé, puisque ilmanque 6 équations. Ces équations, à trouver, permettent d'exprimer les 6composantes du tenseur des contraintes σ en fonction des inconnues fon-damentales du problème ρ et f . Ces équations, contrairement aux lois deconservation, n'ont pas un caractère universel. Leur forme dépend de la na-ture et de l'état du matériau étudié. Elles sont appelées lois de comporte-ment, et caractérisent les propriétés mécaniques du matériau étudié. Ellesdoivent donc être élaborées en forte relation avec l'expérience.

Nous allons voir cependant, que la forme de ces lois n'est pas arbitraire.Certains principes, considérés comme (quasi-) universels imposent certainesrestrictions sur leur forme. De plus, nous verrons que ces lois mettent né-cessairement en jeu la grandeur température. Nous aurons alors recours àdeux autres lois universelles, les première et seconde lois de la thermodyna-mique, pour formuler les lois de comportement, ce qui exigera de connaîtrele comportement thermique et entropique de la matière.

4.1 Variété des comportements - Lois 1D

En observant la réponse mécanique des matériaux à des sollicitationsdiverses telles que les essais uniaxiaux (traction, compression), les essais decisaillements plans, etc. (voir �gure 4.1), on distingue trois grandes classesde comportements.

� Élasticité. Le comportement élastique linéarisé uniaxial est modélisépar le comportement d'un ressort dont l'allongement ∆l est propor-tionnel à la charge appliquée F . Cette analogie n'est valable que dansun certain domaine de charge, dit domaine d'élasticité. Le facteur deproportionnalité est la souplesse 1/k, où k est la raideur du ressort(en N.m−1 ou Pa.m) :

F = k∆l

� Viscosité. Le comportement visqueux uniaxial est celui d'un amor-tisseur ou d'un piston dont la réponse dépend de la vitesse de défor-mation, ici de manière linéaire pour simpli�er :

F = η∆l̇

32

Figure 4.1: Contrainte en fonction de la déformation dans un matériausoumis à un essai de traction

où η est le coe�cient de viscosité de l'amortisseur, exprimé en Pa.s.mou N.s.m−1 (la viscosité d'un �uide s'exprime en Pa.s).

� Plasticité. Le comportement rigide parfaitement plastique uniaxialse caractérise par l'existence d'une contrainte seuil en-deçà de laquelleaucune déformation n'est observée et pour laquelle une déformationpermanente quelconque est possible. Ce comportement est modélisépar analogie avec un patin posé sur un substrat rugueux, susceptiblede se déplacer à volonté pour une charge appliquée su�sante. La des-cription de ce comportement fait appel à une fonction critère

f(F ) = |F | − F0

et le glissement (�écoulement�) du patin s'écrit

∆l̇ = 0 si f < 0 ou si (f = 0 et ḟ < 0)

∆l̇ 6= 0 si (f = 0 et ḟ = 0)

Ces comportements élémentaires sont résumés sur la �gure 4.2. Il estpossible de combiner ces comportements entre eux, ce qui conduit à descomportements plus complexes rencontrés dans la pratique : viscoélasticité,élastoplasticité, viscoplasticité, et élastoviscoplasticité.

33

Figure 4.2: Schématisation des trois comportements élémentaires dans lecas uniaxial.

A titre d'exemple, on considère le modèle viscoélastique (pour les �uides)de Maxwell représenté sur la �gure 4.3 et constitué d'un amortisseur et d'unressort montés en série. Dans cette con�guration, l'e�ort F se transmetd'un élément à l'autre du montage, tandis que les vitesses de déformations'ajoutent. On a alors :

∆l̇(t) = ∆l̇amort(t) + ∆l̇ressort(t) =F (t)

η+Ḟ (t)

k

Figure 4.3: Viscoélasticité uniaxiale : modèle de Maxwell

En intégrant cette équation di�érentielle, on obtient la réponse du modèleà une histoire de sollicitation ∆l̇(s) allant de s = 0 où le système était supposéau repos à l'instant actuel s = t :

F (t) = k

∫ t0

exp(−kη

(t− s))∆l̇(s)ds

Ainsi, la réponse actuelle en force dépend en général de l'histoire com-plète de déformation du matériau. La loi de comportement est donc ici une

34

fonctionnelle de l'histoire du matériau. Remarquons toutefois que cette his-toire est pondérée par le terme exponentiel qui privilégie les instants prochesde l'instant présent t. Cette perte de la mémoire des sollicitations anciennesest caractéristique de la viscoélasticité.

Un deuxième modèle de comportement viscoélastique est obtenu en consi-dérant cette fois un ressort et un amortisseur montés en parallèle comme surla �gure 4.4. Ce modèle est le modèle de Kelvin - Voigt décrivant le compor-tement visco-élastique de certains solides.

Figure 4.4: Viscoélasticité uniaxiale : modèle de Kelvin - Voigt

Dans un montage en parallèle, la déformation ∆l est globale tandis queles contraintes s'ajoutent. Ainsi,

F = k∆l + η∆l̇

Par exemple si à t = 0 la déformation est nulle, et qu'une force F0 estalors appliquée au matériau, on obtient la déformation suivante en fonctiondu temps :

∆l(t) = l(t) =F0k

(1− e−λt)

où 1/λ = η/k est un temps de relaxation. Ainsi, ce comportement tendvers un comportement purement élastique lorsque e−λt → 0. Si à présent lacontrainte exercée sur le matériau est annulée au temps t1, alors le matériause décharge et tend à recouvrer son état initial à déformation nulle, suivantla loi (voir �gure 4.5)

l(t > t1) = l(t1)e−λ(t−t1)

35

Figure 4.5: Chargement - déchargement d'un matériau de type Kelvin -Voigt

4.2 Le principe d'indi�érence matérielle ou d'objecti-

vité

Les lois physiques sont soumises à un certain nombre de principes d'inva-riance lors d'un changement de repère ou de référentiel. Ainsi, une loi issuede la mécanique classique doit être invariante vis-à-vis d'une transformationGaliléenne (translation rectiligne uniforme à vitesse constante), ou encore,les équations de l'électromagnétisme et de la mécanique relativiste sont in-variantes par transformation de Lorentz.

Il en va de même pour les lois constitutives de la mécanique des mi-lieux continus (MMC). Celles-ci doivent être indépendantes, non seulementde l'orientation des axes (ce qui est fait pas une écriture tensorielle), maisaussi du mouvement du système de référence utilisé (i.e. du mouvement del'observateur). Cette dernière indépendance est équivalente à l'invariancedes lois constitutives par superposition d'un mouvement de corpsrigide (translation et rotation) au mouvement du matériau. On ditalors que ces lois doivent obéir au principe d'objectivité.

Pour obéir à ce principe et être donc invariantes par changement de réfé-rentiel, les équations constitutives de la MMC doivent être écrites en termesde quantités indépendantes de l'observateur (indépendantes de l'orientationdes axes) et de son mouvement. De telles quantités sont dites objectives. Àtitre d'exemples, la position d'un point dépend de l'observateur et n'est doncpas une grandeur objective. Il en va de même pour la vitesse qui dépend dumouvement de l'observateur. Par contre, les distances et les angles sont desgrandeurs objectives (dans le cadre de la mécanique classique).

4.2.1 Dé�nitions : repère et référentiel

A�n d'e�ectuer des observations d'un phénomène physique, il est néces-saire de disposer d'un référentiel que l'on appellera également observateur.

36

Le référentiel est analogue à un corps rigide muni d'une horloge. Dans ce réfé-rentiel, l'origine des temps, ainsi qu'un système de coordonnées, encore appelérepère, sont choisis librement. Ce repère, généralement choisi orthonormé,matérialise le référentiel et permet d'identi�er une particule P à un instantt à l'aide de ses coordonnées. Il faut donc bien faire la distinction entre unchangement de repère, lié à un changement de système de coordonnées,qui engendre une description mathématique di�érente du phénomène étudié ;et un changement de référentiel, lié à un changement d'observateur, quiengendre une vision di�érente du phénomène étudié.

Nous cherchons la transformation la plus général permettant de passerd'un référentiel à un autre. Cette relation doit conserver les angles et les dis-tances (mouvement de corps rigide) et s'exprime donc comme la compositionà chaque instant, d'une translation et d'une rotation. Ceci signi�e que si unpoint matériel P est repéré par ses coordonnées x à un instant t dans uncertain référentiel, alors ce même point P se repéré par ses coordonnées x∗

à un instant t∗ dans un second référentiel, et la relation entre x et x∗, t et t∗

s'écrit :x∗(P , t∗) = Q(t)x(P , t) + c(t)t∗ = t− τ (4.1)

où Q(t) est une matrice de rotation caractérisée par

QT (t)Q(t) = I, et détQ(t) = 1

Par exemple une rotation d'angle θ(t) autour de l'axe z s'exprime par

Q(t) =

cos θ(t) − sin θ(t) 0sin θ(t) cos θ(t) 00 0 1

Si les horloges des deux référentiels sont synchronisées, ce que l'on sup-

posera dans la suite, alors τ = 0, donc t = t∗.

4.2.2 Loi de transformation des tenseurs

Examinons comment se transforment les grandeurs tensorielles sous l'ef-fet du changement de référentiel (4.1).

Un scalaire a qui représente une quantité physique intrinsèque (masse,énergie interne, température, ... en MMC) est invariant par la transformationdé�nie en (4.1) :

a∗ = a (4.2)

37

Remarquons que la norme de la vitesse n'est pas un scalaire au sens précé-dent puisque c dépend de t.

Soit un vecteur matériel b, dé�ni par deux points matériels. Dans lepremier référentiel, les coordonnées de ces points sont notées x1 et x2, et lescomposantes du vecteur valent b = x2 − x1. Dans un second référentiel, cescoordonnées deviennent x∗1 et x

∗2, et les composantes du vecteur deviennent

b∗ = x∗2 − x∗1. La relation entre b et b∗ s'écrit :

b∗ = Q(t)b (4.3)

En e�et,

b∗ = x∗2 − x∗1 = (Qx2 + c)− (Qx1 + c) = Q(x2 − x1) = Qb

Si nous considérons un tenseur du second ordre C, il devient par latransformation (4.1) :

C∗ = Q(t)C Q(t)T soit C∗ij = QiaQjbCab (4.4)

En e�et, considérons deux vecteurs matériels u et v reliés par u = Cv.Lors du changement de référentiel, nous avons

u∗ = Qu et v∗ = Qv

et la relation entre les �bres matérielles représentées par u et v doit restersatisfaite dans le second référentiel. On doit donc avoir

u∗ = C∗v∗

soitQu = C∗Qv

ou encoreu = QT C∗Qv = Cv

d'où l'on déduitC∗ = QC QT

Ceci peut se généraliser à des tenseurs d'ordre n, pour lesquels ontrouve

Z∗ijk··· = QiaQjbQkc · · ·Zabc··· (4.5)

Les relations (4.2), (4.3), (4.4) décrivent la transformation d'un scalaire,d'un vecteur reliant deux points matériels, et d'un tenseur reliant deux vec-teur matériels, sous le changement de référentiel (4.1).

38

4.2.3 Invariance des lois de la MMC vis-à-vis d'un changementde référentiel

En plus du principe d'invariance par changement de repère à t �xé (Q =cste, c = cste) assuré par l'écriture tensorielle, les équations constitutivesdoivent être formulées de telle sorte que l'expression de la réponse du maté-riau soit indépendante de l'observateur et de son mouvement, ou, de manièreéquivalente, indépendante d'un changement de référentiel (4.1) pour la con�-guration courante. Pour la con�guration de référence, les deux référentielsentre lesquels on fait le changement, sont supposés se correspondre. Cettecondition d'indi�érence matérielle est appelée principe d'objectivité.

Le principe d'objectivité conduit à n'introduire dans les équations decomportement que des grandeurs objectives, i.e. se transformant commeles coordonnées lors d'un changement de référentiel (4.1), et donc ayant unesigni�cation physique intrinsèque indépendante du mouvement du référen-tiel. En d'autres termes, une grandeur tensorielle d'entrées a, bi, Cij, Dijk,· · · est dite objective si elle se transforme suivant les lois (4.2) - (4.5), nonseulement vis-à-vis d'un changement de repère (changement d'axes avec c etQ constants), mais aussi vis-à-vis d'un changement de référentiel, où cettefois c(t) et Q(t) dépendent du temps.

En résumé, si les fonctions constitutives scalaires f , vectorielles g et tenso-riellesH , dépendant par exemple des grandeurs objectives a, b etC, véri�ent

f(a∗, b∗,C∗) = f(a,Qb, QCQT ) = f(a, b,C)

g(a∗, b∗,C∗) = g(a,Qb, QCQT ) = Qg(a, b,C)

H(a∗, b∗,C∗) = H(a,Qb, QCQT ) = QH(a, b,C)QT

(4.6)

alors, l'équation constitutive correspondante respectera le principe d'objec-tivité :

F (a, bi, Cij, · · · ) = 0 ⇒ F (a∗, b∗i , C∗ij, · · · ) = 0 (4.7)

pour tout changement de référentiel.

Quelques remarques :� Le principe d'objectivité n'est pas une conséquence du principe d'in-

variance de Galilée de la mécanique classique (ou l'on ne considèreque le cas Q = I).

� Seules les équations constitutives de la MMC doivent véri�er le prin-cipe d'objectivité. Les équations de conservation ne doivent pas né-

39

cessairement y obéir. Par contre, leur écriture dans un référentiel nonGaliléen doit être correctement posée (composition des vitesses et desaccélérations : force de Coriolis, etc.)

4.2.4 Caractère intrinsèque de certaines variables en MMC

Il est admis que les grandeurs suivantes ont un caractère intrinsèque etsont donc objectives.

� la masse volumique, l'énergie interne, l'énergie libre, l'entropie, la tem-pérature, l'enthalpie, la production de chaleur par unité de volume etde temps, se comportent comme des scalaire objectifs.

� Les forces de volume, les forces de contact et le vecteur �ux de chaleur,se comportent comme des vecteurs objectifs.

4.2.5 Résultats d'opérateurs sur les grandeurs objectives

1. Les combinaisons linéaires de grandeurs objectives sont objectives.

2. Le produit de deux grandeurs objectives est objectif.

3. La puissance entière d'une grandeur objective est objective.

4. Le double produit contracté de deux grandeurs objectives est objectif :

A∗ijB∗ji = QiaQjbAabQjcQidBcd = δadδbcAabBcd = AabBba

car QT Q = I, i.e. QiaQib = δab5. Si a est un scalaire objectif (a∗ = a) alors son gradient ∇a est

objectif. En e�et

∂a∗

∂x∗i=

∂a

∂xj

∂xj∂x∗i

=∂a

∂xj

∂[QT x∗]j∂x∗i

= Qij∂a

∂xj

Les dérivées temporelles de grandeurs spatiales objectives nesont pas nécessairement des grandeurs objectives. Ainsi,

1. La dérivée d'un vecteur objectif dé�ni sur la con�guration couranteb∗ = Qb n'est pas objectif puisque l'on a

ḃ∗ = Q̇b+Qḃ 6= Qḃ

2. De même, la dérivée temporelle d'un tenseur spatial objectif dé�ni surla con�guration courante C∗ = QC QT n'est pas objective puisque

Ċ∗

= Q̇C QT +Q Ċ QT +QC Q̇T 6= Q Ċ QT

40

La raison de cette non-objectivité est que la di�érence entre deuxtenseurs relatifs à deux instants di�érents dépend du mouvement dusystème de référence (en particulier de sa rotation, via le terme Q̇)entre ces deux instants. Le problème est que la variation en temps dutenseur des contraintes de Cauchy σ apparaît dans de nombreuses loisde comportement. On doit alors �fabriquer� une dérivée temporelle quiest objective (voir exercice 4.2).

Grandeurs géométriques

1. Le temps n'est pas une grandeur objective. En e�et, t∗ = t−τ 6= t. Letemps ne peut donc pas intervenir explicitement dans l'écriture d'uneloi de comportement.

2. On véri�e aisément que le vecteur position x, la vitesse v, ou encorel'accélération ne sont pas des vecteurs objectifs.

3. Un vecteur reliant deux points est objectif. On en déduit, à l'aidedu produit scalaire, que la distance entre deux points et l'angle entredeux vecteurs sont des scalaires objectifs. De même, la normale à unesurface est un vecteur objectif.

Exercice 4.1 Exemples de grandeurs objectives et non-objectives

Grandeurs cinématiques

1. On appelle tenseur hybride du second ordre un tenseur T qui, à unvecteur A de la con�guration de référence, fait correspondre un vec-teur a de la con�guration actuelle : a = TA. Montrez que si a est unvecteur objectif, alors T ∗ = QT . Un tenseur hybride se transformantde la sorte est dit objectif.

On remarque ici que l'objectivité de T ne s'exprime pas comme dansl'expression (4.4). Ceci provient du caractère hybride de T qui estcomposé d'une partie eulérienne (dé�nie sur la con�guration courante)et d'une partie lagrangienne (dé�nie sur la con�guration de référenceet donc non a�ectée par le changement de référentiel). Les relations(4.4) et (4.5) ne sont vraies que pour des tenseurs entièrement dé�nissur la con�guration courante.

2. Montrez que le tenseur gradient de la transformation F est ob-jectif.

3. En déduire l'objectivité du jacobien J .

41

Il en va de même pour la mesure de la surface matérielle dS. Ainsi,outre les angles et les longueurs, les mesures de volumes et surfacessont préservées par changement de référentiel.

4. On dé�nit le tenseur gradient de vitesse (eulérien) par : L = ∇v.Montrez d'abord que ce tenseur peut s'écrire sous la forme

L = ḞF−1

puis que l'on aL∗ = QLQT + Q̇QT

d'où la non objectivité de ce tenseur.

5. Montrer que le tenseur des vitesses de déformation D, partie sy-métrique de L est objectif.

Ceci montre que la combinaison linéaire de grandeurs non objectivespeut conduire à une grandeur objective. En revanche, la partie antisy-métrique de L, Ω, n'est pas objective.

Déformations

1. Montrez que le tenseur de Cauchy - Green droit C est objectif, ainsique le tenseur de Green - Lagrange E.

2. Montrez que le tenseur de Cauchy - Green gauche b = FF T et letenseur d'Almansi A−2 =

12(I − b−1) sont objectifs. Montrez que ceci

implique que A−2 et A∗−2 expriment le même changement intrinsèque

de longueur.

Contraintes

1. En partant de la dé�nition du tenseur de Cauchy σ, montrez quecelui-ci est objectif, à savoir :

σ∗ = QσQT

2. En déduire que me tenseur des contraintes de Piola - LagrangeΠ et le tenseur des contraintes de Piola - Kirchho� S sontobjectifs.

Exercice 4.2 Dérivée temporelle de la contrainte de CauchyUn matériau hypoélastique est un matériau pour lequel l'évolution des

contraintes de Cauchy est décrite par :

σ̇ = f(σ)D

42

où D est le tenseur des vitesses de déformation. Dans l'hypothèse des petitesdéformations, l'expression ci-dessus est viable, puisque les rotations sont né-gligées. Nous allons voir qu'en grandes transformations, la non-objectivité deσ̇ conduit à des aberrations.

(a) Élongation pure suivant e1 et e2. (b) Élongation pure suivant e′1 et e′2 et

rotation autour de e3.

Figure 4.6: Déformation plane d'une �bre décrite dans deux référentielsdi�érents. Source : [PONTHOT].

1. Rappelez pourquoi σ̇ n'est pas objectif.

On considère la structure représentée sur la �gure 4.6a. Celle-ci est sou-mise à une déformation plane. Les positions courantes xi sont données enfonction des positions initiales XA par

x1 = h1(t)X1, x2 = h2(t)X2, x3 = X3

où les facteurs hi sont indépendants des coordonnées. La déformation estdonc homogène et hi représente le rapport entre la longueur courante et lalongueur initiale d'une �bre matérielle alignée avec l'axe ei.

2. Calculez le tenseur gradient de la transformation F . En déduire letenseur gradient des vitesses de déformation L, puis les tenseurs destaux de déformation D et des taux de rotation Ω.

Nous considérons maintenant la même structure, mais soumise à un mou-vement de rotation autour de e3, d'une vitesse angulaire θ̇. L'analyse faiteci-dessus est celle d'un observateur lié au référentiel de la �bre.

3. Écrire maintenant dans le référentiel du laboratoire (voir Figure 4.6b)les positions courantes x1 et x2 en fonction de X1 et X2. Vous vousaiderez de la matrice Q, matrice de rotation des axes d'une �bre ma-térielle entre l'instant initial et l'instant actuel.

43

4. En déduire FL, le gradient de la transformation dans le référentiel du

laboratoire.

5. Montrez que LL

= QLQT +ω. Vous expliciterez ω en fonction de θ̇.

6. En déduire la forme de DLet Ω

L.

Avec la convention choisie pour Q, on a σ = QT σLQ, et σ

L= QσQT .

7. Montrez que : σ̇L

= Q σ̇QT + ωσL− σ

Lω

Supposons maintenant que la structure soit précontrainte (σ 6= 0 à t = 0)et tourne sans se déformer (h1 = h2 = 1 et θ̇ 6= 0). Cette précontrainte peutêtre induite par une force appliquée sur la barre et qui tourne avec celle-ci.De manière évidente on a :

D = DL

= 0

La loi hypoélastique donne

σ̇ = f(σ)D = 0, et σ̇L

= f(σL)D

L= 0

8. Montrez que ceci entre en contradiction avec l'expression trouvée à laquestion précédente.

Conclusions de l'exercice : le terme parasite ωσL− σ

Lω représente

un accroissement �ctif et donc indésirable de contraintes dû à la rotationrelative des deux référentiels. Il est donc impératif, dans la loi hypoélastique,de n'utiliser que des grandeurs objectives. Nous avons utilisé le tenseur desvitesses de déformationD au lieu du tenseur du gradient des vitesses L. Nousdevons également substituer à la dérivée temporelle σ̇ une dérivée temporelle

objective notée∇σ. Les lois hypoélastiques sont donc reformulées en

∇σ = f(σ)D

Soulignons encore une fois que dans le cadre des petites déformationsles rotations sont négligeables, donc Q = I et Q̇ = 0. Dans ce cas, ω = 0et l'inconsistance est levée. Dans le cas général, il faut dé�nir une dérivéeobjective. Un moyen simple est de poser :

∇σ = σ̇ −Ωσ + σΩ

44

où Ω = ṘRT est le taux de rotation, où R est la rotation issue de la décom-position F = RU .

Cette dérivée est dite dérivée de Jaumann, car introduite par Jaumannen 1903. On peut montrer qu'elle est objective. Il est important de noterque ce n'est pas la seule dérivée temporelle de tenseur objective qui existe.L'addition à cette dérivée de produits de tenseurs objectifs (D et σ) fournitune dérivée objective.

4.3 Les principes de la théorie du comportement méca-

nique des matériaux

4.3.1 Déterminisme et fonctionnelle mémoire

On cherche à déterminer le tenseur des contraintes de Cauchy σ en unpoint matériel x = f(X, t) d'un domaine ω dans sa con�guration couranteà l'instant t. Le principe du déterminisme dit que la contrainte σ est déter-minée par l'histoire présente et passée du corps matériel, i.e., l'histoire de sadéformation entre l'origine s = 0 et l'instant actuel s = t. Nous avons vuque l'expression de la loi de comportement devait, pour respecter le principed'objectivité, ne faire intervenir que des grandeurs objectives, ce qui exclutune dépendance directe à f , t ou encore v. On suppose alors l'existence d'unefonctionnelle mémoire F telle que :

σ(x, t) = F0≤s≤t,n>0

(∂f

∂X(X, s),

∂2f

∂X2(X, s), · · · , ∂

nf

∂Xn(X, s)

)(4.8)

avec x = f(X, t). Remarquons que cette expression réduit la dépendancespatiale de la contrainte à un voisinage arbitrairement petit autour du pointmatériel X étudié.

Dans la pratique, on véri�e en général qu'il est su�sant de se limiter aucas n = 1. On parle alors de théorie du premier gradient et le milieucontinu ainsi modélisé est quali�é de matériellement simple. On rappelle

que l'on a déjà introduit le premier gradient de f , noté F =∂f

∂X. D'où :

σ(x, t) = F0≤s≤t

(F (X, s)

)(4.9)

L'objectivité du tenseur des contraintes, σ∗ = QσQT , se traduit par lacondition suivante sur la fonctionnelle mémoire :

F∗0≤s≤t

(Q(s)F (X, s)

)= Q F

0≤s≤t

(F (X, s)

)QT

45

pour toute matrice orthogonale Q.Classiquement, le principe d'invariance de forme est utilisé, stipulant que

la forme de la loi de comportement est invariante par changement de réfé-rentiel : F∗(·) = F(·). Ce qui entraîne,

F0≤s≤t

(Q(s)F (X, s)

)= Q F

0≤s≤t

(F (X, s)

)QT (4.10)

Remarquons que le principe d'invariance implique en fait que F ne doitdépendre directement que de grandeurs objectives. Par exemple, si nousconsidérons un scalaire a non objectif, alors a∗ = α + a avec α 6= 0 unréel. D'où, nous devrions avoir :

F0≤s≤t

(Q(s)F (X, s), α + a

)= Q F

0≤s≤t

(F (X, s), a

)QT

En dérivant l'expression ci-dessus par rapport à α, nous en déduisons que∂F∂α

= 0.

En�n, notons qu'en plus de la condition (4.10), l'expression d'une loi decomportement doit également respecter les symétries matérielles du milieuétudié. Ceci se traduit par l'invariance de F sous certaines transformationsdépendant du matériau étudié.

4.3.2 Application : �uides visqueux

Étendons le modèle 1D de comportement visqueux vu plus haut au casgénéral tridimensionnel. La fonctionnelle mémoire ne peut dépendre du gra-dient des vitesses L qui est non-objectif. Elle va donc dépendre de sa partiesymétrique, D, le tenseur des vitesses de déformation, qui est une quantitéobjective. Pour un �uide, nous écrivons donc :

σ(x, t) = F(D(x, t))

Et l'on doit avoir :

QF(D)QT = F(QDQT )

Il est alors possible de montrer (théorème de représentation d'une fonctionisotrope dépendant d'un tenseur) qu'une telle relation implique nécessaire-ment que :

σ = α0I + α1D + α2D2

où les αi dépendent ici de la masse volumique ρ et des invariants de D(i.e. trD, ((trD)2 − tr(D2))/2 et detD). On obtient ainsi la loi des �uides

46

visqueux de Reiner-Rivlin, établie en 1945. La linéarisation par rapport à Dde la loi précédente conduit à la loi des �uides de Navier-Stokes :

σ = −p(ρ)I + η1(trD)I + 2η2D

où p est l'état de contrainte lorsque D = 0, et η1, η2 sont les paramètres deviscosité.

4.4 Fonctions isotropes de tenseurs

Dans cette section, nous nous intéressons aux fonctions scalaires, vecto-rielles ou tensorielles, ayant comme arguments des tenseurs, et dites isotropes.Nous avons déjà rencontré de telles fonctions, puisque ce sont les fonctionsvéri�ant les propriétés (4.6) traduisant le principe d'objectivité. Ainsi, l'iso-tropie d'une fonction est mathématiquement dé�nie comme suit :

� Une fonction scalaire f(b,C) est dite isotrope vis-à-vis du grouped'isotropie Q si la relation

f(b,C) = f(Qb, QCQT )

est valable pour tout tenseur orthogonal Q ∈ Q. En particulier, legroupe orthogonal complet de R3, i.e l'ensemble des tenseurs du se-cond ordre dont la valeur absolue du déterminant est unitaire, est notéSO(3) (�Special Orthogonal Group�).

� Une fonction vectorielle g(b,C) est dite isotrope vis-à-vis du grouped'isotropie Q si la relation

Qg(b,C) = g(Qb, QCQT )

est valable pour tout tenseur orthogonal Q ∈ Q.

� Une fonction tensorielle H(b,C) est dite isotrope vis-à-vis du grouped'isotropie Q si la relation

QH(b,C)QT = H(Qb, QCQT )

est valable pour tout tenseur orthogonal Q ∈ Q.

4.4.1 Invariants d'un tenseur

Une fonction scalaire isotrope d'un seul tenseur C est appelée un inva-riant de C. La trace et le déterminant d'un tenseur sont des invariants de

47

ce tenseur. Une classe importante d'invariants d'un tenseur C sont les inva-riants principaux, notés en général Ik(C), avec k = 1, · · · , n (n étant ladimension de l'espace), et dé�nis comme les coe�cients du polynôme

det(C + θI) = θn + I1(C)θn−1 + · · ·+ In−1(C)θ + In(C)

avec en particulier

I1(C) = trC et In(C) = det(C) (4.11)

D'autres invariants importants sont les moments du tenseur C, dé�nispar

Ik = trCk, k = 1, · · · , n (4.12)

On montre qu'il est possible d'exprimer les invariants principaux en fonctiondes moments et inversement.

4.4.2 Théorème de Cayley - Hamilton

Soient C un tenseur de dimension n et d'invariants Ik, k = 1, · · · , n, etP (λ) son polynôme caractéristique donné par

P (λ) = det(C − λI) = (−1)nλn + (−1)n−1I1λn−1 + · · ·+ In (4.13)

Alors, le tenseur C satisfait à son polynôme caractéristique dans le sensoù,

(−1)nCn + (−1)n−1I1Cn−1 + · · ·+ InI = 0 (4.14)

De plus, les valeurs propres de C sont les racines de (4.13).

4.4.3 Théorèmes de représentation

Dans la suite C désigne un tenseur symétrique tel que detC > 0. Onpeut alors démontrer les théorèmes suivants :

1. Fonction scalaire d'une variable tensorielle : toute fonction sca-laire d'un seul tenseur symétrique C est isotrope si et seulement sielle peut s'exprimer de manière unique en fonction des n invariantsprincipaux (ou alternativement des moments) de C :

f(C) = f(I1, · · · , In) = f(I1, · · · , In)

48

2. Fonction tensorielle d'une variable tensorielle : toute fonctiontensorielle symétrique d'un seul tenseur symétrique est isotrope si etseulement si elle peut s'écrire

H(C) = φ0I + φ1C + φ2C2 + · · ·φn−1Cn−1

où les φi sont des fonctions scalaires des invariants de C : φi ≡φi(I1, · · · , In).

3. Fonction vectorielle d'un tenseur et d'un vecteur : toute fonc-tion vectorielle g(b,C) d'un vecteur b et d'un tenseur symétrique C,est isotrope si et seulement si elle peut s'exprimer de manière uniquesous la forme

g(b,C) =(φ0I + φ1C + · · ·+ φn−1Cn−1

)b

où les φi sont des fonctions scalaires, non seulement des invariants deC, mais aussi de b · b, b ·Cb, ..., b ·Cn−1b.

Ces théorèmes peuvent se généraliser (pour n ≤ 3) à des fonctions deplusieurs tenseurs. Ainsi, pour qu'une fonction scalaire dépendant de deuxtenseurs symétriques soit isotrope, il faut et il su�t qu'elle s'écrive de ma-nière unique en fonction des invariants de ces deux tenseurs, mais aussi desinvariants de leurs produits :

f(A,B) = f(trA, · · · , trB, · · · , trAB, trAB2, trA2B, trA2B2)

4.4.4 Cas de R3

Toute matrice C, carrée symétrique réelle de dimension 3, possède troisvaleurs propres réelles, λ1, λ2 et λ3, racines du polynôme caractéristique

P (θ) = det(C − θI) = −θ3 + I1θ2 − I2θ + I3

Les invariants de C s'écrivent en fonction de ses valeurs propres :

I1 = trC = C : I = λ1 + λ2 + λ3 (4.15)

I2 = detC(trC−1) =

1

2

((trC)2 − tr(C2)

)= λ1λ2 + λ2λ3 + λ3λ1

I3 = detC = λ1λ2λ3

On peut également calculer (par calcul indiciel), la variation des invariantspar rapport à C. On obtient ainsi :

dI1dC

= I (4.16)

49

dI2dC

= I2C−1 − I3C−2 (4.17)

dI3dC

= I3C−1 (4.18)

Le théorème de Cayley - Hamilton s'écrit

C3 − I1C2 + I2C − I3I = 0

d'où l'on déduitC−1 =

1

I3(C2 − I1C + I2I)

et

C−2 =1

I3

(I2I3C2 + (1− I1I2

I3)C + (

I21I3− I2)I

)4.5 Thermodynamique des milieux continus

La température intervient à divers titres dans le comportement thermo-mécanique des milieux continus : introduction de contraintes d'origine ther-mique, dépendance des paramètres matériau à la température.

Le bilan d'énergie introduit 5 nouvelles variables : la température T , le�ux de chaleur q et l'énergie interne e. Nous devrons donc établir des loisde comportement thermiques a�n de clore le système. Ces lois dépendent dumatériau. Au �nal, le problème thermomécanique est constitué de 5 équationsde conservation, 10 équations de comportement, et 15 inconnues à trouver.

Suivant la démarche précédente, on pose :

σ(x, t) = F0≤s≤t

(F (X, s), T (X, s),G(X, s))

q(x, t) = G0≤s≤t

(F (X, s), T (X, s),G(X, s))

e(x, t) = H0≤s≤t

(F (X, s), T (X, s),G(X, s))

avec

G(X, t) =∂T

∂X(X, t)

4.5.1 Second principe de la thermodynamique des milieux conti-nus

L'entropie S d'un ensemble matériel ω est dé�nie à partir d'une densitémassique d'entropie s(x, t)

S(ωt) =∫ωt

ρsdv

50

La variation d'entropie est due pour partie à des apports surfaciques etvolumiques

Φ(ωt) = −∫∂ωt

φ · nda+∫ωt

ρrsdv

où φ est le vecteur �ux d'entropie, et rs une densité de production localed'entropie. La production interne d'entropie est alors la di�érence

Σ(ωt) = Ṡ(ωt)− Φ(ωt)

Le second principe de la thermodynamique stipule que cette productionest positive ou nulle :

Σ(ωt) ≥ 0

soit, de manière explicite :

d

dt

∫ωt

ρsdv +

∫∂ωt

φ · nda−∫ωt

ρrsdv ≥ 0

Par application du théorème de la divergence pour convertir l'intégrale surfa-cique en intégrale volumique, et par utilisation de l'équation de conservationde la masse (1.28) pour permuter les opérateurs de dérivation en temps etd'intégration en espace, on aboutit à la forme locale de l'inégalité d'entropie :

ρṡ+ ∇ · φ− ρrs ≥ 0 (4.19)

Le �ux d'entropie est généralement relié au �ux de chaleur et à la températurepar :

φ =q

TTandis que la production locale d'entropie vaut

rs =r

T

où r est la production de chaleur. Ce qui mène à :

ρṡ+ ∇ · qT− ρ r

T≥ 0 (4.20)

On introduit à présent l'énergie libre Ψ de densité massique ψ, à titre d'exemple(mécanique des solides). On dé�nit

ψ = e− Ts

et

Ψ(ωt) =

∫ωt

ρψdv

51

On peut alors exprimer la variation d'entropie comme ṡ =1

T(ė− Ṫ s− ψ̇).

On calcule alors la dissipation volumique d :

d = ρT ṡ+ T∇ · qT− ρr

= ρ(ė− Ṫ s− ψ̇) + T∇ · qT− ρr

= σ : D −∇ · q − ρ(Ṫ s+ ψ̇) + T∇ · qT

où l'on a utilisé le bilan d'énergie (3.4) ρė = σ : D −∇ · q + ρr.En remarquant que

T∇ · qT

= ∇ · q − q · ∇TT

,

la dissipation se réduit �nalement à :

d = σ : D − ρ(Ṫ s+ ψ̇)− q · ∇TT

On obtient ainsi l'inégalité de Clausius-Duhem qui constitue unecondition d'admissibilité thermodynamique des lois de comportement ther-momécanique :

d = σ : D − ρ(Ṫ s+ ψ̇)− q · ∇TT≥ 0 (4.21)

On distingue deux contributions à la dissipation :

� La dissipation intrinsèque dint = σ : D − ρ(Ṫ s+ ψ̇)

� La dissipation thermique dth = −q ·∇TT

De sorte qued = dint + dth ≥ 0

Comme généralement les lois donnant la contrainte, l'énergie libre et l'entro-pie ne dépendent pas explicitement de la température, la condition d'admis-sibilité devient :

dint ≥ 0 et dth ≥ 0

4.5.2 Loi de Fourier

Remarquons que l'inégalité dth ≥ 0 signi�e que le �ux de chaleur estopposé au gradient de température. La chaleur va donc toujours du chaudvers le froid.

Si l'on pose la loi de Fourier q = −k∇T , alors on doit avoir la conductivitéthermique k ≥ 0.

52

5 Hyperélasticité

Un milieu (matériellement simple) est dit élastique si l'état de contrainteactuel est entièrement déterminé par le gradient de la transformation à l'ins-tant actuel et non par son histoire passée :

σ(x, t) = FD0(F (X, t)) (5.1)

En particulier, le comportement ne dépend pas de la vitesse de sollicitationD. La forme de la loi dépend a priori de la con�guration de référence choisieD0.Considérons un jeu de variables pour représenter les matériaux (solides) élas-

tiques : {E(X, t), T (X, t),G(X, t)} où E = 12

(F TF − I) est la mesure dedéformation de Green-Lagrange, et G = ∂T

∂Xest le gradient de température

par rapport à la con�guration de référence.L'énergie libre est aussi fonction de ces variables :

ψ0(E(X, t), T (X, t),G(X, t))

On exprime alors le second principe de la thermodynamique sous forme localeen formulation lagrangienne. Pour un domaine matériel ωt, on a :

d

dt

∫ωt

ρs(x, t)dv +

∫∂ωt

q

T· nda−

∫ωt

ρr

Tdv ≥ 0

En utilisant le changement de variable x = f(X, t), on se ramène à desintégrales sur le domaine de référence :

d

dt

∫ω0

ρ0s0(X, t)dV +

∫∂ω0

Q

T·NdA−

∫ω0

ρ0r0TdV ≥ 0

avec s0(X, t) = s(x, t) et r0(X, t) = r(x, t), ω0 = f−1(ωt), dv = JdV . Le�ux de chaleur Q est donné par :

q · nda = Q ·NdA⇒ Q = JF−1q

D'où l'inégalité locale :

ρ0ṡ0 + ∇X ·Q

T− ρ0

r0T≥ 0

En suivant la même démarche que précédemment, on obtient l'inégalité deClausius-Duhem en description lagrangienne :

D = S : Ė − ρ0(Ṫ s0 + ψ̇0)−Q ·G

T≥ 0 (5.2)

53

La dérivée totale en temps de l'énergie libre est donnée par :

ψ̇0 =∂ψ0∂E

: Ė +∂ψ0∂T

Ṫ +∂ψ0∂G· Ġ

En substituant ce développement dans (5.2) on trouve :

D = (S − ρ0∂ψ0∂E

) : Ė − ρ0(∂ψ0∂T

+ s0)Ṫ − ρ0∂ψ0∂G· Ġ−Q · G

T≥ 0

Ceci étant valable pour toute évolution {Ė, Ġ, Ṫ}, les quantités qui mul-tiplient ces dérivées doivent s'annuler a�n d'avoir une dissipation D nonnégative. On en déduit alors les relations constitutives suivantes :

S = ρ0∂ψ0∂E

; s0 = −∂ψ0∂T

;∂ψ0∂G

= 0 (5.3)

Ces relations sont des lois de comportement dites hyperélastiques pour lescontraintes et l'entropie. Elles montrent que l'énergie libre est un potentield'élasticité dont découlent les relations contrainte - déformation et entropie- température. L'énergie libre ne peut dépendre du gradient de températureG.

5.1 Réversibilité des lois hyperélastiques

Une loi hyperélastique est une loi d'élasticité au sens (5.1), particulière ausens qu'il existe un potentiel élastique tel que nous l'avons dé�ni. Cependant,toutes les lois ne sont pas hyperélastiques : il existe des lois élastiques nedérivant pas d'un potentiel (voir exercice 5.1). La caractéristique principale