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Análise de algoritmos

Mais problemasNP-completos

Analise de algoritmos – p. 1/19

Clique em grafos

Clique: Dado um grafo G e um inteiro K, G tem umsubgrafo completo (clique) de tamanho ! K?


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Teorema: Clique é NP-completo.


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Clique " NP (# )


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Clique " NP (# )

SAT $ clique


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Clique " NP (# )

SAT $ clique

Dado uma instância S do SAT com K cláusulas,vamos construir um grafo G tal que G tem umaclique de tamanho K % S é satisfatível.


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S = (x+ y + z).(x + y + z).(y + z)


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S = (x+ y + z).(x + y + z).(y + z)

x

y

z

x

y

z

y

z


Exercícios

1. Construa um grafo G tal que G tem uma cliquede tamanho 4 se e somente se a fórmula

S = (x1+x2+x3).(x1+x2+x3).(x1+x2+x3).(x1+x2+x3)

é satisfatível.


Exercícios

2. Considere o seguinte algoritmo para resolver oproblema clique:para cada S & V com k vértices, verifique seS é uma clique.

O algoritmo acima tem complexidade O(nk).Logo, ele é polinomial. O que está errado?


Exercícios

3. Mostre que Isomorfismo de Subgrafos (Dadosdois grafos G1 e G2, G1 é subgrafo de G2?) éNP-completo. (Sugestão: Use o clique).



Conjunto independente: Dado um grafo G e uminteiro k, existe um subconjunto I com k vérticestal que nenhuma aresta liga dois vértices de I?



Conjunto independente: Dado um grafo G e uminteiro k, existe um subconjunto I com k vérticestal que nenhuma aresta liga dois vértices de I?

Cobertura por vertices: Dado um grafo G e um inteirok, existe um subconjunto C com k vértices tal quecada aresta de G é incidente a algum vértice de C?



Teorema: Dado um grafo G = (V,E) e umsubconjunto S & V , as seguintes afirmações sãoequivalentes:

S é uma clique de G

S é um conjunto independente de G

V ' S é uma cobertura por vértices de G

OBS: G é o grafo complementar de G.



Corolario: Os problemas do conjunto independentee cobertura por vértices são NP-completos.


Exercícios

1. Mostre que o problema da cobertura porvértices permanece NP-completo mesmo setodos os vértices do grafo tiverem grau par.(Sugestão : use o problema original).

2. O que acontece com o problema da coberturapor vértices se o grafo for uma árvore?


Circuito hamiltoniano

Circuito hamiltoniano: Um dado grafo G éhamiltoniano?




Teorema: Circuito hamiltoniano é NP-completo.





Circuito hamiltoniano " NP. (# )





Circuito hamiltoniano " NP. (# )

3-SAT $ circuito hamiltoniano.



Considere os seguintes subgrafos:

A

u uu( u(

vv v(

v(

%



B

u1

u2

u3

u4

%

Nenhum circuito hamiltoniano de G contém as trêsarestas u1u2, u2u3 e u3u4, mas pode conterqualquer subconjunto próprio delas.



S = (x1 + x2 + x3).(x1 + x2 + x3).(x1 + x2 + x3)

B

B

B

A

A

A

A

A

A

A

A

A

x1

x2

x3

S é satis-fatível % G éhamiltoniano.


Exercícios1. Um caminho hamiltoniano é um caminho que contém

todos os vértices de um grafo. Mostre que o problemade decidir se um dado grafo contém um caminhohamiltoniano é NP-completo.(Sugestão: use o circuito hamiltoniano.)

2. Mostre que os seguintes problemas sãoNP-completos: Dado um grafo G = (V,E), um conjuntoL & V , e um inteiro k, existe uma árvore geradora T deG tal que(a) O conjunto das folhas de T é L?(b) T tem k folhas?(c) Os vértices de T têm grau máximo k?(Sugestão: Use o problema do caminho hamiltoniano.)


ExercíciosConsidere o seguinte problema:Partição: dado um conjunto S de inteiros, os elementos deS podem ser particionados em dois subconjuntos A eA = S ' A tal que

!x!A x =

!x!A x?

3. Sabendo que o problema da partição é NP-completo,mostre que o problema abaixo também éNP-completo:

Dados m máquinas idênticas, n tarefas com duraçãot1, t2, . . . , tn (onde cada ti é um inteiro positivo) paraserem executadas pelas máquinas, e um inteiropositivo T . Existe uma distribuição das tarefas pelasmáquinas tal que o tempo total de execução émenor ou igual a T?


Exercícios4. Sabendo que o problema da partição é NP-completo,

mostre que o problema abaixo também éNP-completo:

Mochila 0-1: Dado um conjunto U = {u1, u2, . . . , un},valores inteiros positivos wi e ci (respectivamente, opeso e o custo) associados a cada elemento ui deU , e dois inteiros positivos W e C. Deseja-se saberse existe um subconjunto S de U tal que!

ui!S wi ) W e!

ui!S ci ! C?


Exercícios5. Considere a seguinte versão do problema do caminho

mínimo: dado um grafo G, possivelmente com arestasde peso negativo, vértices s e t e um inteiro k, decidirse existe um caminho de s a t de peso menor ou igual ak. Mostre que este problema é NP-completo.(Sugestão: use o circuito hamiltoniano.)


Exercícios6. Mostre que o problema abaixo é NP-completo:

(Hitting set): dados um conjunto universo T e:uma coleção {S1, S2, . . . , Sn}, onde cada Si & T e;um inteiro positivo k ) |T |.

O problema é determinar se existe um subconjuntoH de T tal que |H| ) k e *i " {1, 2, ..., n},(H + Si) ,= -.

7. Um grafo é chamado de caterpillar se ele possui umcaminho C tal que todas as suas folhas distam 1 de C.Mostre que o problema de decidir se um dado grafo écaterpillar é NP-completo.


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