Main tools of the probabilistic method

with applications in graph theory

Attività formativa - Yuri Faenza Supervisore: Prof. B. Scoppola

CdLS in Ingegneria dei Modelli e dei Sistemi19 settembre 2006

Indice

Il metodo probabilistico Linearità dell’aspettazione Il metodo del momento primo Il metodo del momento secondo Il lemma locale di Lovàsz

Il metodo probabilistico

Fine: dimostrare l’esistenza di un oggetto con specifiche proprietà

Tecnica: Definire un adeguato spazio di probabilità, e dimostrare che a tale oggetto è associata una probabilità positiva

Origini: Szele (’43), Erdos (’47)Maggiori Contributi: Erdos, Lovàsz, Janson, Alon,

SpencerApplicazioni: Teoria dei grafi, Geometria

Computazionale, Informatica Teorica

Il metodo probabilistico (2)

Pro: ottiene “facilmente” risultati difficili da raggiungere

deterministicamente; tecnica probabilistica, risultato deterministico. permette di costruire oggetti di grandi dimensioni,

non strutturati e generali;

Contro: raramente costruisce esempi espliciti.

Notazione e definizioni

Variabili aleatorie

Grafo con n vertici ed e archi

Numero cromatico di G

Massimo insieme indipendente di G

se

Linearità dell’aspettazione

Torneo Sentiero hamiltoniano

Thr. (Szele): Esiste un torneo T con n giocatori ed almeno sentieri hamiltoniani

Dim.

: # sentieri hamiltoniani : permutazione degli n giocatori

se è un sentiero hamiltoniano, cioè se altrimenti

Linearità dell’aspettazione (2)

Thr. (Erdos): Per ogni k,l > 0 esiste un grafo G con lunghezza del ciclo più breve pari ad l e Dim. Si fissi e si assegni ogni arco di G in modo indipendente, con

probabilità numero di cicli di lunghezza al più l

se l’insieme A forma un ciclo, |A| = i

altrimenti

Linearità dell’aspettazione (3)

In particolare: 1)

Posto 2)

Possiamo quindi scegliere n grande abbastanza perché esista G per cui 1) e 2) non sono verificati

Si rimuova da ogni ciclo di lunghezza al più l un vertice, ottenendo che per quanto visto ha almeno vertici, ha il più piccolo ciclo di lunghezza maggiore di l e vale

Il metodo del momento primo

Thr. (Caro & Wei): Per ogni grafo G(V,E) vale

Dim.

Si consideri un ordinamento di V scelto con probabilità uniforme

Il metodo del momento primo (2)

v.a. che indica se v è nell’insieme Iv ed i suoi vicini hanno tutti la stessa

possibilità di avere l’indice più piccoloMetodo del momento primo

I è un insieme indipendente, infatti se per assurdo non lo fosse, esisterebberotali che ; ma allora e ; impossibile

Teorema di Turan

Il metodo del momento secondo

Lemma (Diseguaglianza di Tchebyschev) Per ogni

Lemma (Diseguaglianza di Markov)

Dim.

Dim.

Il metodo del momento secondo (2)

Utilizzo: lower bound sul numero cromatico e proprietà dei grafi random

Corollario

Dim.

Sia non negativa

Il lemma locale di Lovàsz

Obiettivo: dimostrare che A raro ha probabilità > 0

Con eventi indipendenti, ciascuno con probabilità (almeno) p

Lemma locale di Lovàsz:

generalizzazione al caso in cui gli eventi che ci interessano sono “quasi” dipendenti, per provare l’esistenza di eventi rari

Il lemma locale di Lovàsz (2)

Thr (Lll), caso generale:

Il lemma locale di Lovàsz (3)

Thr (Lll), caso simmetrico:

è dipendente da al più altri d eventi

Il lemma locale di Lovàsz (4)

Thr (Alon & Linial): Sia D(V,E) un grafo orientato con minimo grado uscente e massimo grado entrante .Se allora D contiene un ciclo orientato, semplice di lunghezza

Dim.

Si consideri un colorazione casuale di V in cui ogni nodo è colorato in modo uniforme ed indipendente dagli altri.

Grafo Orientato D(V,E)

(u,v)

Grado entrante/uscente

u v

Il lemma locale di Lovàsz (5)

Ogni è indipendente da tutti gli eventi tranne quelli per cui vale:

Tali eventi sono al più , è limitata

Applichiamo il Lll (caso simmetrico)

v u

Il lemma locale di Lovàsz (3)

Thr (Lll), caso simmetrico:

è dipendente da al più altri d eventi

Il lemma locale di Lovàsz (6)

Partendo da otteniamo una sequenza tale che

e Sia j il minimo intero tale che esista

Allora il ciclo è quello richiesto