MAGISTRSKO DELO - CORE · 2020. 1. 30. · ZAHVALA Ko hodi s pojdi zmeraj do konca. Spomladi do ro...

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

Oddelek za matematiko in računalnǐstvo

MAGISTRSKO DELO

Ana Tement

Maribor, 2018

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

Oddelek za matematiko in računalnǐstvo

Magistrsko delo

STATISTIKA V OSNOVNI INSREDNJI ŠOLI

na študijskem programu 2. stopnje Izobraževalna fizika inIzobraževalna matematika

Mentor: Kandidatka:

dr. Dominik Benkovič Ana Tement

Somentor:

dr. Samo Repolusk

Maribor, 2018

ZAHVALA

Ko hodǐs pojdi zmeraj do konca.

Spomladi do rožne cvetice,

poleti do zrele pšenice,

jeseni so polne police,

pozimi do snežne kraljice,

v knjigi do zadnje vrstice,

v življenju do prave resnice,

a v sebi - do rdečice

čez eno in drugo lice.

A če ne prideš ne prvič, ne drugič

do krova in pravega kova poskusi

vnovič

in zopet

in znova.

∼ Tone Pavček ∼

Zahvaljujem se mentorju, prof. dr. Dominiku Benkoviču, za strokovno pomoč in na-

potke pri izdelavi magistrskega dela. Zahvala gre tudi somentorju, prof. dr. Samu

Repolusku, za svetovanje in koristne nasvete ob zaključku magistrskega dela.

Iz srca se zahvaljujem mami Ireni in očetu Tomažu, ki sta mi omogočila brezskrben

študij, mi vsa leta potrpežljivo stala ob strani ter mi razsvetlila življenje z nepozabnimi

potovanji. Zahvala tudi bratu Janu za iskreni smeh, norčije in skupaj preživete nepo-

zabne trenutke. Iskrena hvala tudi zaročencu Žigi za vso podporo, pomoč, neizmerno

ljubezen in najbolǰsi sladoled v času pisanja magistrskega dela.

Vsaka pot je lažja, kadar imamo ob sebi prave ljudi. Vsem iskrena hvala!

Statistika v osnovni in srednji šoli

(Statistics in elementary and secondary school)program magistrskega dela

Tema magistrskega dela je statistika oz. obdelava podatkov v osnovni in srednji šoli.

Uvodoma naj bodo predstavljena osnovna področja in naloge statistike. Poudarek

naj bo na opisni statistiki. Sledi naj pregled vsebine iz statistike, ki jo pokrivajo učni

načrti za matematiko v programu osnovne šole in v vseh srednješolskih programih.

Osrednji del dela naj vsebuje kritičen pregled vsebine, ki jo obravnavajo slovenski

učbeniki za matematiko v omenjenih programih. Posebej nas zanima: kako so pojmi

definirani, ali obstajajo različni pristopi, pojavljanje morebitnih napak in nejasno-

sti. Diskusija naj bo podkrepljena s konkretnimi zgledi in naj vsebuje tudi predlog

izbolǰsav.

Osnovni viri:

1. Tiskani in elektronski učbeniki za matematiko v programu osnovne šole.

2. Tiskani in elektronski učbeniki za matematiko v srednješolskih programih.

3. R. Jamnik, Matematična statistika, DZS, 1980.

4. J. Sagadin, Statistične metode za pedagoge, Obzorja, 2003.

5. Z. Magajna, A. Žakelj, Obdelava podatkov pri pouku matematike 6-9, Mate-

matika v šoli 7 (1999).

6. Z. Magajna, A. Žakelj, Obdelava podatkov pri pouku matematike 6-9, Zavod

RS za šolstvo, 2000.

7. J. Žerovnik, Računanje kvartilov v elementarni statistiki, Obzornik mat. fiz. 64

(2017).

8. A. Žakelj in drugi, Program osnovna šola - matematika - učni načrt. Ministrstvo

za šolstvo in šport: Zavod RS za šolstvo, Ljubljana, 2011.

9. Učni načrt za matematiko v programih srednješolskega izobraževanja.

Mentor: dr. Dominik Benkovič

Somentor: dr. Samo Repolusk

TEMENT, A.: Statistika v osnovni in srednji šoli.

Magistrsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in ma-

tematiko, Oddelek za matematiko in računalnǐstvo, 2018.

IZVLEČEK

V magistrskem delu je predstavljena obravnava statistike v osnovni šoli, srednji poklicni in

strokovni šoli ter v gimnaziji. Magistrsko delo je razdeljeno na tri dele.

V prvem delu so predstavljeni osnovni pojmi in definicije statistike, ki se obravnavajo v

osnovni šoli, srednji poklicni in strokovni šoli in v gimnaziji. V drugem delu je predsta-

vljena vsa vsebina, ki zajema področje statistike in je zapisana v osnovnošolskem, srednje

poklicnem in strokovnem ter v gimnazijskem učnem načrtu. Prav tako so predstavljeni

cilji po posameznih razredih in letnikih izobraževanja. Nazadnje smo pregledali večino

osnovnošolskih, srednje poklicnih in strokovnih ter gimnazijskih učbenikov ter opisali katero

snov statistike obravnavajo in česa ne. Prikazali smo tudi različne pristope ter nejasnosti

in napake pri opisovanju in definiranju pojmov.

Spoznali smo, da imajo učbeniki zelo različen pristop pri definiranju pojmov. Največja

razlika se pojavi med osnovnošolskimi in gimnazijskimi učbeniki. Največ napak in nejasnosti

smo zasledili pri vpeljavi kvartilov. Sicer so pa v večini učbeniki napisani korektno in

matematično pravilno.

Ključne besede: statistika, obdelava podatkov, osnovna šola, srednja šola, gimnazija,

učbenik, učni načrt, napake, nejasnosti.

Math. Subj. Class. (2010): 97K40, 97D70.

TEMENT, A.: Statistics in elementary and secondary school.

Master Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Scicences and Mathe-

matics, Department of Mathematics and Computer Science, 2018.

ABSTRACT

The master’s thesis presents the discussion and teaching of statistics in primary and secon-

dary education. It is split into three parts.

The first part deals with basic concepts and definitions of statistics, that are taught in

primary and secondary schools. The second part consists of content regarding statistics,

that can be found in the curriculum of primary and secondary schools, as well as the end

goals of every grade. Lastly, we take a look at the most of primary and secondary school

textbooks, and describe what statistics concepts they do and don’t include. We also show

some approaches, obscurities and mistakes when defining concepts.

We recognized, that textbooks use a lot of varying approaches when describing concepts.

The biggest difference appears when comparing primary and secondary school textbooks.

We saw the most mistakes and obscurities happen when introducing the subject of quartiles.

Otherwise, most of the textbooks are written concretely and mathematically correct.

Keywords: statistics, data processing, primary school, secondary school, textbook,

curriculum, mistakes, obscurities.

Math. Subj. Class. (2010): 97K40, 97D70.

Kazalo

Uvod 1

1 Osnove statistike 2

1.1 Osnovni pojmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Zbiranje podatkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Urejevanje in grafično prikazovanje podatkov za opisne spremenljivke . . . . 7

1.3.1 Frekvenčna tabela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2 Razporejanje po več kriterijih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.3 Grafično prikazovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Urejanje in grafično prikazovanje podatkov za številske spremenljivke . . . . 12

1.4.1 Ranžirna vrsta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.2 Frekvenčna porazdelitev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.3 Grafično prikazovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Srednje vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.1 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.2 Modus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.3 Povprečje ali aritmetična sredina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Mere variacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6.1 Variacijski razmik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6.2 Kvartilni razmik in odklon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

viii

1.6.3 Varianca in standardni odklon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7 Prikazovanje podatkov še z nekaterimi vrstami diagramov . . . . . . . . . . 24

1.7.1 Euler–Vennov diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7.2 Pozicijski diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7.3 Puščični diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7.4 Razsevni diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7.5 Škatla z brki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Statistika v šolskem učnem načrtu za osnovne in srednje šole 29

2.1 Osnovna šola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Srednje poklicne in strokovne šole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Gimnazija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Pregled osnovnošolskih in srednješolskih učbenikov za matematiko 34

3.1 Učbeniki za 6. razred osnovne šole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34




3.5 Učbeniki za poklicne in strokovne šole ter gimnazije . . . . . . . . . . . . . 41

3.6 Različni pristopi, morebitne nejasnosti in napake v učbenikih . . . . . . . . 44

4 Zaključek 49

Literatura 50

Uvod

Glavna tema magistrske naloge je statistika v osnovni in srednji šoli. Delo je razdeljeno

na tri glavna poglavja. V prvem poglavju predstavimo osnovne pojme in definicije sta-

tistike, ki se obravnavajo tudi v osnovni šoli, srednje poklicnih in strokovnih šolah in v

gimnaziji. Najprej predstavimo nekaj osnovnih pojmov, kot so množični pojav, populacija,

enota, vzorec in statistična spremenljivka. Opǐsemo tudi delitve statistične spremenljivke

glede na to, kako so izražene vrednosti spremenljivk, glede na vrsto in količino informacije,

glede na zalogo vrednosti in glede na njihove medsebojne odnose. Sledi opis načinov zbi-

ranja informacij. Nato predstavimo urejanje in grafično prikazovanje podatkov za opisne

spremenljivke, kjer opǐsemo frekvenčno tabelo, razporejanje po več kriterijih in nazadnje

še prikaz s stolpičnim diagramom, tortnim diagramom, linijskim diagramom in figurnim

prikazom. V nadaljevanju obravnavamo še urejanje in grafično prikazovanje podatkov za

številske spremenljivke, kjer najprej opǐsemo ranžirno vrsto, nato frekvenčno porazdelitev

in nazadnje še prikaz s stolpci, histogramom in krivuljnim diagramom. Sledi podpoglavje

o srenjih vrednostih, kjer opǐsemo in predstavimo, kako izračunamo mediano, modus in

povprečje oziroma srednjo vrednost. Spoznamo tudi mere variacije, kjer najprej razložimo

pojem variacijskega razmika, nato kvartilnega razmika in odklona ter nazadnje še variance

in standardnega odklona. V zadnjem podpoglavju prvega poglavja predstavimo nekaj vrst

diagramov, ki se še obravnavajo v osnovni šoli in srednjih šolah. Najprej predstavimo in

prikažemo zgled Euler-Vennovega diagrama, sledi prikaz pozicijskega diagrama, puščičnega

diagrama ter nato še razsevnega diagrama in nazadnje šratle z brki.

V drugem poglavju smo opisali vsebine statistike, ki se pojavijo v učnem načrtu za osnovne,

srednje poklicne in strokovne šole in gimnazije. Navedli smo tudi vse operativne cilje posa-

meznega letnika izobraževanja.

V zadnjem poglavju smo pregledali večino veljavnih osnovnošolskih in srednješolskih uč-

benikov za matematiko. Za vsak posamezni učbenik smo najprej opisali vsebino, ki jo

obravnava iz področja statistike. Predstavili smo tudi, kako so pojmi definirani. Nazadnje

smo preverili, ali obstajajo različni pristopi k definiciji pojmov ter ali se pojavijo morebitne

nejasnosti in napake.

1

Poglavje 1

Osnove statistike

Predstavili bomo matematično statistiko, ki jo obravnavamo v osnovni šoli, srednje poklicni

in strokovni šoli in v gimnaziji. Najprej bomo definirali nekaj osnovnih pojmov, nato bomo

obravnavali zbiranje in urejanje podatkov, sledilo bo povzemanje in razpršenost podatkov

ter nazadnje še prikazovanje podatkov z diagrami [21, 20, 32, 17, 15].

Beseda statistika je v SSKJ definirana kot veda o metodah zbiranja in analize podatkov o

množičnih pojavih. Poglejmo si izvor besede statistika: beseda statisticum collegium izvira

iz latinščine in pomeni predavanje o državnih zadevah, beseda statista izvira iz italijanščine

in pomeni državnik in beseda statistik izvira iz nemščine in pomeni analiza podatkov o

državi.

Statistika je veda, ki se ukvarja z zbiranjem in razvrščanjem, urejanjem in analiziranjem

velikega števila podatkov. Zajema pa tudi pripravo statističnih eksperimentov, vzorčenje,

statistično sklepanje . . . Statistiko delimo na opisno statistiko in analitično statistiko. Opi-

sna statistika se ukvarja z zbiranjem, razvrščanjem, opisovanjem, prikazovanjem in redukcijo

podatkov. Analitična statistika se ukvarja z uporabo podatkov pri sklepanju glede zakoni-

tosti danega področja.

Osnovne naloge statistike so urejanje in predstavitev statističnih podatkov, vzorčenje in oce-

njevanje populacijskih parametrov (povprečje, standardni odklon, delež) na osnovi podatkov

iz vzorca, preizkušanje statističnih hipotez (kjer določeno hipotezo o populaciji na podlagi

podatkov iz vzorca zavrnemo ali ne zavrnemo), obravnava povezave med statističnimi spre-

menljivkami (korelacijska analiza), napovedovanje vrednosti ene statistične spremenljivke,

ki je odvisna od drugih (regresijska analiza), napovedovanje obetov, trendov in načrtovanje

statističnih eksperimentov.

2

1.1 Osnovni pojmi 3

1.1 Osnovni pojmi

Množični pojavi so takšni pojavi, ki se pojavijo večkrat, v velikem številu. Če se nek enak

pojav pojavi množično, ga imenujemo množični pojav.

Zgled. Primeri množičnega pojava so osnovna šola, učenec, dijak, učitelj, saj se pojavljajo

množično. Fakulteta za naravoslovje in matematiko je enkratni pojav, fakulteta nasploh

pa množični pojav, saj jih je v Sloveniji več. Prav tako je študent M. L. Fakultete za

naravoslovje in matematiko enkratni pojav, študent fakultete pa je množični pojav.

Množico, opredeljeno glede na čas, kraj in stvar, imenujemo statistična množica ali popula-

cija. Tako govorimo o časovnih, krajevnih in stvarnih opredeljujočih pogojih. Populacija je

lahko končna ali neskonča množica elementov, pri katerih lahko opazujemo ali merimo neko

merljivo količino. Elemente populacije imenujemo statistične enote. Na njih se izvajajo

meritve. Če je populacija natanko določena s stvarnim, časovnim in krajevnim pogojem,

ji rečemo dejanska populacija. Stvarni opredeljujoči pogoj določa, kdo ali kaj so enote sta-

tistične množice. Časovni opredeljujoči pogoj določa čas, v katerem zajamemo množico.

Krajevni opredeljujoči pogoj določa kraj, v katerem zajamemo množico. Druga vrsta po-

pulacije je hipotetična ali namǐsljena populacija, ki je opredeljena vsebinsko, ne pa nujno

časovno ali krajevno.

Zgled. Populacija je množica vseh zaposlenih na Fakulteti za naravoslovje in matematiko.

Merimo lahko različne količine, kot so: spol, krvno skupino, starostno ali kvalifikacijsko

strukturo, vǐsino osebnega dohodka . . . Stvarni opredeljujoči pogoj so torej zaposleni na

FNM, krajevni opredeljujoči pogoj je Fakulteta za naravoslovje in matematiko, časovni

opredeljujoči pogoj ni opredeljen, zato je ta primer hipotetična populacija.

Problem se lahko pojavi, kadar ne moremo izmeriti cele populacije, saj vsebujejo pogosto

preveč elementov. Zato meritve opravljamo na relativno majhnem delu populacije, ki ga

imenujemo vzorec. Vzorec mora dobro predstavljati celo populacijo (biti mora reprezentati-

ven), kar pomeni, da ima vse lastnosti, kot jih ima populacija. Da bo vzorec reprezentativen,

mora biti izbran nepristransko in mora biti dovolj velik.

Zgled. Na populaciji zaposlenih na Fakulteti za naravoslovje in matematiko merimo neko

spremenljivko, ki je lahko recimo spol, telesna vǐsina, osebni dohodek, izobrazba . . . Hitro

lahko opazimo, da so nekatere od teh spremenljivk neodvisne, druge pa močno odvisne od

naslednjih kriterijev za izbiro vzorca: vsi zaposleni stareǰsi od 40 let, osebe s priimkom na

K, redni profesorji, osebe, ki trenirajo košarko . . .

1.1 Osnovni pojmi 4

Vse enote populacije imajo skupne opredeljujoče pogoje. Vemo pa, da imajo enote popula-

cije tudi ogromno drugih značilnosti, ki niso vsem enotam skupne. Na katere značilnosti se

opredelimo in jih zajamemo v raziskavo, je odvisno od namena raziskave.

Statistična spremenljivka je vsaka merljiva ali opazovana lastnost, ki jo imajo statistične

enote. Tako se imenuje zato, ker se spreminja od enote do enote. Statistično spremenljivko

lahko imenujemo tudi statistični znak.

Zgled. Na populaciji zaposlenih na Fakulteti za naravoslovje in matematiko, je enota po-

samezni zaposleni. Potem so lahko primeri statističnih spremenljivk spol, starost, vǐsina

osebnega dohodka, interesne dejavnosti, telesna vǐsina . . .

Poznamo različne delitve statističnih spremenljivk. Glede na to, kako so izražene vrednosti

spremenljivk, ločimo številske ali numerične, ki so izražene s števili in opisne ali atributivne

spremenljivke, katere vrednosti opǐsemo z besedami.

Zgled. Primer številske spremenljivke je starost v letih (ker lahko imamo vrednosti, kot

so 10, 24, 53 . . . ), telesna vǐsina, telesna teža, število strani v knjigi . . . Primer opisne

spremenljivke pa je barva (kjer lahko imamo vrednosti, kot so rdeča, modra, siva . . . ), spol,

narodnost, krvna skupina, tip bolezni, kajenje (da ali ne) . . .

Delitev glede na opisne in številske spremenljivke je lahko tudi dvoumna. Primer so šolske

ocene, ki jih lahko zapǐsemo s številko ali besedo. V takšnih primerih je pomembno raz-

misliti, na kakšen način so vrednosti izražene. Pri šolski oceni je bistvena beseda, saj je

odlična ocena povsod najbolǰsa, medtem ko pa v Sloveniji odlično oceno predstavlja število

5, v Nemčiji pa recimo število 1.

Glede na vrsto in količino informacije ločimo nominalne ali imenske, ordinalne ali urejeno-

stne, intervalne ali razmične in razmernostne spremenljivke.

Nominalna spremenljivka je značilnost, za katero lahko ugotovimo le, ali se enote razlikujejo

ali ne. Ne moremo razvrščati enot na večje manǰse, širše, ožje . . . Ordinalna spremenljivka

nam poda informacije, s pomočjo katere lahko ugotovimo, ali so enote enake ali različne

ter katera enota je na lestvici vǐsje in katera nižje. Lahko jih razvrstnimo in uredimo po

velikosti, ne moremo pa določiti velikosti razmika med posameznimi vrednostmi spremen-

ljivke. Intervalna spremenljivka je številska spremenljivka in ima vse lastnosti ordinalne

spremenljivke in še intervali med vrednostmi so povsod enaki.

Zgled. Spremenljivka spol predstavlja nominalno spremenljivko, saj lahko razlikujemo

moški in ženski spol. Prav tako predstavlja nominalno spremenljivko smer študija na FNM,

1.1 Osnovni pojmi 5

kjer lahko razlikujemo kategorije matematika, fizika, biologija . . . Primer ordinalne spre-

menljivke je stopnja izobrazbe, ki jo lahko razdelimo na kategorije osnovnošolske izobrazbe,

srednješolske izobrazbe, visokošolske izobrazbe . . . Izobrazbo lahko razvrstiomo po veliko-

sti od najmanǰse do največje, ne moremo pa določiti razlike med posameznimi stopnjami.

Temperaturna lestvica v stopinjah Celzija je primer intervalne spremenljivke, saj so inter-

vali med vrednostmi enaki in lahko zmeraj določimo, kakšna je razlika med posameznimi

vrednostmi.

Intervalne spremenljivke nimajo absolutne ničle, saj lahko ničelno točko določimo sami, po

lastni presoji.

Zgled. Če dobi učenec na testu nič točk, to ne pomeni, da ničesar ne zna, to pomeni le,

da ni znal rešiti nobene izmed danih nalog pravilno.

Razmernostna spremenljivka je intervalna spremenljivka, ki ima absolutno ničlo. To nam

omogoča, da določimo, kolikokrat je določena vrednost večja od druge. Pogosto razmerno-

stne in intervalne spremenljivke obravnavamo enako.

Zgled. Primeri razmernostnih spremenljivk so starost, telesna vǐsina, število otrok na tek-

movanju . . . Temperaturna lestvica v stopinjah Celzija nima absolutne ničle, zato ne mo-

remo reči, da je temperatura 40 ◦C dvakrat vǐsja od temperature 20 ◦C. To pa lahko trdimo

za Kelvinovo temperaturno lestvico, saj ima absolutno ničlo.

Statistične spremenljivke delimo glede na zalogo vrednosti na zvezne in diskretne spremen-

ljivke. Zvezne spremenljivke lahko zavzamejo vsako vrednost v določenem intervalu vre-

dnosti, njihova zaloga vrednosti je neštevna. Diskretne spremenljivke pa lahko zavzamejo

le določene vrednosti intervala in imajo končno ali števno neskončno zalogo vrednosti.

Zgled. Primeri zveznih spremenljivk so starost, telesna vǐsina in teža . . . Primeri diskretnih

spremenljivk so število učencev v razredu, število točk na testu, spol, krvna skupina . . .

Poznamo tudi delitev spremenljivk glede na njihove medsebojne odnose, na odvisne in

neodvisne spremenljivke. V primeru dveh povezanih spremenljivk neodvisna deluje na drugo

odvisno spremenljivko. Ista spremenljivka je lahko glede na neke spremenljivke odvisna,

glede na druge pa neodvisna.

Zgled. Šolska ocena je odvisna spremenljivka in čas učenja neodvisna spremenljivka. Učni

uspeh, ki ga učenci dosežejo v nekem razredu je odvisna spremenljivka glede na njihov učni

uspeh v predhodnem razredu in neodvisna glede na njihov uspeh v naslednjem razredu.

1.2 Zbiranje podatkov 6

Statistični parametri so razne karakteristične vrednosti oziroma številske značilnosti sta-

tistične spremenljivke. To so recimo vrstilne karakteristike, srednja vrednost, mediana,

standardni odklon, mere razpršenosti, deleži . . .

Zgled. Zaposleni na Fakulteti za naravoslovje in matematiko imajo naslednje plače v evrih

1100, 1030, 1200 . . . To so vrednosti spremenljivke za posamezne enote. Za celo fakulteto

pa lahko izračunamo povprečno plačo, ki je parameter, ki opisuje to množico.

1.2 Zbiranje podatkov

Podatek je dejstvo, ki o določeni stvari nekaj pove ali se nanjo nanaša. Podatek zajema

spremenljivko, enoto in vrednost spremenljivke na enoti.

Pri zbiranju podatkov moramo zmeraj upoštevati veljavnost, zanesljivost in občutljivost

metode ugotavljanja podatkov. Veljavnost metode nam pove, ali značilnost, ki jo ugota-

vljamo, zbrani podatki res odražajo. Zanesljivost metode omogoča, da bi pri ponovnem

ugotavljanju na drugačnem vzorcu, ob drugačnem času in postopku, dobili podobne rezul-

tate. Občutljivost metode pa pove, ali lahko s postopkom zaznamo pričakovane razlike o

preučevani značilnosti.

Postopki zbiranja podatkov v osnovnih in srednjih šolah so beleženje, štetje, merjenje,

uporaba sekundarnih podatkov in dokumentov ter zbiranje podatkov s vprašalniki. Pogosto

je primerno enote, ki jih želimo kasneje prešteti ali izmeriti, zabeležiti. Ko so zabeležene,

jih lahko kasneje večkrat preštejemo ali izmerimo.

Zgled. Namesto, da štejemo avtomobile, si lahko na papir rǐsemo črtice za vsak avtomobil,

ki pelje mimo. Tako se ne moremo zmotiti pri štetju in lahko črtice na koncu večkrat

preštejemo.

Pri preštevanju enot lahko upoštevamo nekaj preprostih strategij. Prva strategija je, da

preštete enote ločimo od tistih, ki jih še nismo prešteli. Druga strategija je, da enote raz-

delimo na manǰse skupine in nato preštejemo te. Lahko si pomagamo s strategijo povratno

enolične zveze. Na primer, število ljudi v gledalǐsčni dvorani lahko ugotovimo tako, da

preštejemo število prodanih vstopnic. Število enot lahko ugotovimo tudi brez neposrednega

preštevanja, če v množici enot prepoznamo kombinatorno strukturo.

Podatke lahko pridobimo tudi z merjenjem količin. Pri merjenju moramo biti pozorni na

natančnost merjenja in na napake, ki so pri merjenju neizogibne.

1.3 Urejevanje in grafično prikazovanje podatkov za opisne spremenljivke7

Kadar podatkov ne pridobimo sami, jih imenujemo sekundarni podatki. To so podatki, ki

jih specializirane ustanove objavijo. Lahko pa uporabimo tudi razne dokumente, ki pa jih

moramo znati kritično ovrednotiti.

Eden izmed najpogosteǰsih sredstev za zbiranje podatkov, ki se uporabljajo so vprašalniki.

Pri izdelavi vprašalnikov moramo biti pozorni, da ne izpustimo kakšnih možnih odgovorov,

vprašanja morajo biti smiselna in nedvoumna.

1.3 Urejevanje in grafično prikazovanje podatkov

za opisne spremenljivke

V tem poglavju bomo predstavili, kako urejamo, prikazujemo s tabelami in razporejamo

opisne spremenljivke. Nazadnje bomo opisali še nekaj primerov grafičnega prikazovanja

opisnih spremenljivk.

1.3.1 Frekvenčna tabela

Frekvenčno tabelo sestavimo v primeru, ko želimo urediti podatke za opisno spremenljivko.

Za vsako kategorijo spremenljivke v tabelo vnesemo njeno vrednost frekvence. Absolu-

tna frekvenca (f) pove, koliko je vseh enot v neki kategoriji, odstotna oziroma relativna

frekvenca pa, kolikšen del celotne množice je v tej kategoriji. Odstotke, ki predstavljajo

notranjo delitev množice imenujemo strukturni odstotki (f%) in tabele, strukturne tabele.

Število vseh enot množice se imenuje numerus (n).

Zgled. Strukturna tabela učencev srednjih šol v Sloveniji ob začetku šolskega leta 2016/2017

razporejena glede na vrsto izobraževanja [30]. Število vseh učencev srednjih šol je n = 69991.

Tabela 1.1: Strukturna tabela.Vrste izobraževanja f f%

Nižje poklicno 1000 1,4Srednje poklicno 12283 17,6

Srednje tehnǐsko in drugo strokovno 30714 43,9Srednje splošno 25994 37,1

Skupno 69991 100,0


1.3.2 Razporejanje po več kriterijih

Kadar želimo preveriti povezanost med več spremenljivkami, napravimo kontingenčno ta-

belo.

Zgled. Učenci srednjih šol v Sloveniji ob koncu šolskega leta 2015/2016 po vrsti izo-

braževanja in po zaključitvi izobraževanja [30].

Tabela 1.2: Kontingenčna tabela.Vrsta / Zaključitev izobraževanja So zaključili Niso zaključili Skupno

Nižje poklicno 360 584 944Srednje poklicno 3346 8650 11996

Srednje tehnǐsko in drugo strokovno 7485 27088 34573Srednje splošno 6451 20795 27246

Skupno 17642 57117 74759

Tabela 1.3: Statistična kontingenčna tabela.Vrsta / Zaključitev izobraževanja So zaključili Niso zaključili Skupno

(%) (%) (%)Nižje poklicno 0,48 0,77 1,25

Srednje poklicno 4,47 11,58 16,05Srednje tehnǐsko in drugo strokovno 10,01 36,24 46,25

Srednje splošno 8,63 27,82 36,45Skupno 23,59 76,41 100

1.3.3 Grafično prikazovanje

Pri grafičnem priakzovanju podatkov bomo predstavili stolpični diagram, tortni diagram,

linijski diagram in figurni prikaz.

Stolpični diagram

S stolpičnim diagramom prikazujemo frekvence in deleže, ki pripadajo opisnim kategorijam.

Na abscisni osi so navedene opisne spremenljivke, na ordinatni osi pa frekvenca ali odstotna

frekvenca posamezne opisne spremenljivke.


Zgled. Primer stolpičnega diagrama za število učencev srednjih šol Slovenije ob začetku

šolskega leta 2016/2017 po vrsti izobraževanja [30].

Slika 1.1: Stolpični diagram predstavlja število učencev posamezne vrste sre-dnješolskega izobraževanja.

Prikažimo še enak primer s podano odstotno frekvenco za posamezne vrste izobraževanja.

Slika 1.2: Stolpični diagram podan z odstotno frekvenco predstavlja število učencevposamezne vrste srednješolskega izobraževanja.

Na podoben način lahko s stolpičnim diagramom prikažemo tudi razporejanje spremenljivk

po dveh ali več kriterijih. To nam omogoča dvojno primerjavo.


Zgled. Primer stolpičnega diagrama otrok s posebnimi potrebami od 1. do 9. razreda v

odvisnosti od moškega in ženskega spola [31].

Slika 1.3: Stolpični diagram podan z odstotno frekvenco predstavlja število učencevs posebnimi potrebami posameznega razreda v odvisnosti od spola.

Tortni diagram

Tortni diagram lahko imenujemo tudi prikaz s kolačem ali strukturni krog. Grafični prikaz

s tortnim diagramom dobimo tako, da krog razdelimo na izseke, katerih sredǐsčni koti so v

sorazmerju s strukturnimi odstotki f%.

Strukturnim odstotkom f% izračunamo ustrezne kote fst po naslednji enačbi fst = 3, 6f%.

Zgled. Prikazali bomo tortni digram za primer števila učencev v posamezni vrsti izo-

braževanja za leto 2016/2017.

Slika 1.4: Tortni diagram predstavlja število učencev posamezne vrste srednješolskegaizobraževanja.


Linijski diagram

Spreminjanje strukture skozi čas nam nazorno pokaže linijski diagram. V grafikon vne-

semo točke za vse trenutke. Prvo točko nanesemo pri vsakem trenutku, ustrezno prvemu

strukturnemu odstotku. Podobno za vse ostale točke.

Zgled. Oglejmo si primer linijskega diagrama za število učencev s posebnimi potrebami po

razredih glede na spol [31].

Slika 1.5: Linijski diagram za število učencev s posebnimi potrebami.

Figurni prikaz

Zgled. Primer za število učencev s posebnimi potrebami po razredih in po spolu [31].

Slika 1.6: Figurni prikaz za število učencev s posebnimi potrebami.

Narǐsemo lahko 10 figur učencev za vsak razred osnovne šole. Nato v vsakem razredu teh

10 figur pobarvamo odstotkovno moški in ženski del.

1.4 Urejanje in grafično prikazovanje podatkov za številske spremenljivke12

S figurnim prikazom ali piktogramom lahko na slikovit in enostaven način prikažemo opisne

podatke. Namenjen je temu, da na razumljiv način prikažemo število objektov različnih

vrst.

1.4 Urejanje in grafično prikazovanje podatkov za

številske spremenljivke

V tem poglavju najprej opǐsemo, kako dobimo ranžirno vrsto in kako jo rangiramo, nato

predstavimo frekvenčno porazdelitev in nazadnje še nekaj primerov grafičnega prikazovanja

podatkov za številske spremenljivke.

1.4.1 Ranžirna vrsta

Ranžirno vrsto dobimo, kadar neurejeno podane podatke: x1, x2, x3, . . . , xn razvrstimo

po velikosti: x(1), x(2), x(3), . . . , x(n), kjer je x(1) ≤ x(2) ≤ x(3) ≤ . . . ≤ x(n). Primernaje za manǰse število podatkov, saj je sicer nepregledna. Iz ranžirne vrste lahko razberemo

najmanǰsi in največji podatek ter kateri podatek se pojavi največkrat.

K vrednosti spremenljivke k ranžirni vrsti lahko pripǐsemo še absolutni rang. Absolutni

rang predstavlja vrednost, na katerem mestu v ranžirni vrsti podatek stoji. Če imata dve

ali več enot enako vrednost, jim pripǐsemo skupni povprečni rang.

Zgled. Dosežene točke na pisnem ocenjevanju znanja: 19, 12, 3, 8, 6, 9, 11, 14, 5, 10, 12,

20, 12, 17.

Tabela 1.4: Rangiranje ranžirne vrste.Ranžirna vrsta 3 5 6 8 9 10 11 12 12 12 14 17 19 20

Zaporedna številka 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Rang 1 2 3 4 5 6 7 9 9 9 11 12 13 14

1.4.2 Frekvenčna porazdelitev

Če je podatkov veliko in se ponavljajo (diskretne spremenljivke), potem uporabimo prikaz s

frekvenčno tabelo. Frekvenčna porazdelitev pomeni, da vsaki vrednosti določimo frekvenco.

Frekvenca je število ponovitev iste vrednosti. Označimo jo s simbolom f .



20, 12, 17. Podan je kriterij ocenjevanja: 0-9 točk: 1(nzd), 10-12 točk: 2 (zd), 13-15 točk:

3 (db), 16-18 točk: 4 (pdb), 19-20 točk: 5 (odl).

Tabela 1.5: Frekvenčna tabela.Ocene f f% F F%

1 5 25 0 02 5 25 5 253 1 5 10 504 1 5 11 555 2 10 12 60

Kadar pa je podatkov veliko in se ne ponavljajo (zvezne spremenljivke), tedaj pa podatke

združujemo v skupine, ki se imenujejo razredi. Dobro je, da vsem razredom določimo enako

širino, kar pomeni, da zajamemo enako širok razpon vrednosti. Nato tem novim razredom

določimo frekvence, ki jih imenujemo razredne frekvence. Oznaka f% predstavlja odstotno

frekvenco, kar je razredna frekvenca preračunana v odstotke. Komulativna frekvenca F

pomeni število enot, ki ima nižje vrednosti od vrednosti razreda. Komulativna odstotna

frekvenca F%, pa je komulativna frekvenca izražena v odstotkih. Določiti je potrebno tudi

predstavnika posameznega razreda (običajno je to sredinska vrednost).


20, 12, 17. Širina razreda je 4, tako dobimo 5 razredov.

Tabela 1.6: Združevanje vrednosti v razrede.Razredi f f% F F%

1-4 1 7,2 0 0,05-8 3 21,5 1 7,29-12 6 42,6 4 28,613-16 1 7,2 10 71,417-20 3 21,5 11 78,6

Načini opisovanja mej razredov:

(i) Opis meja s sredino prvega in s sredino zadnjega enotskega razmika.

(ii) Opis meja s spodnjo mejo prvega in z zgornjo mejo zadnjega enotskega razmika.

(iii) Opis meja s sredino prvega enotskega razmika danega razreda in s sredino prvega

enotskega razmika iz naslednjega vǐsjega razreda, s katerim dani razred meji.


Vidimo, da če je Fk+l komulativna frekvanca naslednjega razreda, Fk komulativna frekvenca

temu razredu predhodnega razreda in fk frekvenca tega predhodnega razreda, tedaj je

Fk+l = Fk + fk.

Analogna formula velja za komulativne odstotne frekvence

F%k+l = F%k + f%k.

1.4.3 Grafično prikazovanje

Pri grafičnem prikazovanju številskih spremenljivk bomo predstavili prikaz s stolpci, histo-

gram in krivuljni diagram ali poligon.

Prikaz s stolpci

Prikaz s stolpci ali stolpični diagram napravimo tako, da posamezni vrednosti ustreza stolpec

vǐsine frekvence ali relativne frekvence. Na abscisni osi so navedene vrednosti spremenljivke,

na ordinatni osi pa frekvenca ali odstotna frekvenca posamezne spremenljivke.

Zgled. Napravimo stolpični diagram za primer frekvenčne tabele 1.5.

Slika 1.7: Prikaz s stolpci predstavlja frekvenco pridobljenih posameznih ocen.

Histogram

Histogram uporabimo za prikazovanje zveznih številskih spremenljivk. Histogram je sesta-

vljen iz pokončnih pravokotnikov, katerih širine ustrezajo razredni širini, vǐsine pa razrednim

frekvencam. Na abscisno os nanesemo vrednosti spremenljivke, na ordinatno pa razredne

frekvence. Pri tem na abscisno os nanesemo samo meje razredov. Izhodǐsče abscisne osi


lahko predstavlja vrednost 0 ali pa spodnja meja prvega razreda. Zaradi zvezne narave

podatkov se stolpci med seboj stikajo.

Zgled. Primer histograma za število doseženih točk na testu iz tabele 3.6.

Slika 1.8: Histogram predstavlja število doseženih točk na testu.

Krivuljni diagram ali poligon

Poligon frekvenc dobimo tako, da nad sredino vsakega razrednega razmika nanesemo točko,

katere ordinata je sorazmerna srednji frekvenci. Nato vse dobljene točke po vrsti povežemo

z daljicami.

Zgled. Primer poligona frekvenc za število doseženih točk v razredu.

Slika 1.9: Poligon frekvenc predstavlja število doseženih točk na testu.

1.5 Srednje vrednosti 16

Napravimo lahko tudi poligon odstotnih frekvenc, kjer na ordinato namesto absolutnih

frekvenc nanašamo odstotne.

Zgled. Primer poligona odstotnih frekvenc za število doseženih točk v razredu.

Slika 1.10: Poligon odstotnih frekvenc predstavlja število doseženih točk na testu.

1.5 Srednje vrednosti

Srednje vrednosti so parametri, ki pokažejo osrednjo težnjo vrednosti enot populacije. To

pomeni, da rezultati kažejo težnjo kopičenja okoli določenih vrednosti. Med srednje vre-

dnosti spadajo mediana, modus in povprečje ali aritmetična sredina.

1.5.1 Mediana

Mediana se nahaja v sredini ranžirne vrste vrednosti vseh enot. Torej ima vsaj polovica vseh

enot od nje manǰse ali enake in vsaj polovica večje ali enake vrednosti. Mediano imenujemo

tudi sredǐsčna vrednost ali sredǐsčnica in jo označimo z Me.

Prednosti mediane so, da ekstremne vrednosti nanjo nimajo vpliva, je lahko razumljiva, ni

zamudna in razmeroma dobro reprezentira vrednosti v populaciji. Slabost mediane pa je

ta, da ne izčrpa vseh informacij, ki jih imajo podatki.

Mediano določimo tako, da najprej neurejeno podane podatke x1, x2, x3, . . . , xn razvrstimo

po velikosti v ranžirno vrsto: x(1), x(2), x(3), . . . , x(n), kjer je x(1) ≤ x(2) ≤ x(3) ≤ . . . ≤ x(n).Nato sledi:

Me =

{x(k+1), za n = 2k + 1,

x(k)+x(k+1)2 , za n = 2k.

(1.1)


Opomniti velja, da v primeru sode velikosti vzorca, mediana v splošnem ne leži v vzorcu.

Zgled. Če pogledamo primer ranžirne vrste za število doseženih točk na testu iz tabele 1.4

vidimo, da imamo 14 podatkov. Torej je n = 14 = 2 · 7 ⇒ k = 7. Zato uporabimo priformuli (1.1) drugi del:

Me =x(k) + x(k+1)

2=x(7) + x(8)

2=

11 + 12

2= 11, 5.

1.5.2 Modus

Modus je vrednost spremenljivke, okoli katere se vrednosti najbolj zgostijo. V najprepro-

steǰsem primeru je to vrednost, ki se najpogosteje ponovi. Modus imenujemo tudi gostǐsčna

vrednost ali gostǐsčnica. Modus lahko določimo tudi za opisne podatke. Modus označimo

z Mo. Lahko se zgodi, da se pojavita dve ali več vrednosti enako pogosto. V tem primeru

imamo več modusov: Mo1,Mo2, . . .

Prednosti modusa so, da dobro reprezentira vrednosti populacije, nanj ne vplivajo ekstremne

vrednosti in ga lahko hitro določimo. Slabosti modusa pa so, da ne izčrpamo vse informacije,

ni primeren za nadaljno obravnavo in če spreminjamo širino razreda, se modus spreminja.

Zgled. Vzemimo enak primer, kot pri zgledu določanja mediane 1.4. Vidimo, da je modus

enak Mo = 12.

1.5.3 Povprečje ali aritmetična sredina

Aritmetična sredina je kvocient med vsoto vrednosti vseh enot v populaciji in številom enot

populacije.

Aritmetična sredina končne populacije je

M =x1 + x2 + ...+ xn

n=

∑ni=1 xin

, (1.2)

pri čemer so x1, x2, . . . , xn vrednosti enot populacije, n pa število enot populacije.

Zgled. Ponovno uporabimo zgled s številom doseženih točk v razredu 1.4. Izračunamo

aritmetično sredino z enačbo (1.2):

M =3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 12 + 12 + 14 + 17 + 19 + 20

14= 11, 3.


Kadar pa imamo podano frekvenčno porazdelitev, imamo opravka z razredi. V tem primeru

izračunamo aritmetično sredino po nasldnji formuli

M =

∑ri=1 fixin

, (1.3)

pri čemer je r število razredov, xi predstavnik razreda i, fi pa frekvenca razreda i.

Zgled. Primer iz tabele 3.6. Najprej izračunamo sredine vseh posameznih razredov

x1 =1 + 4

2= 2, 5 , x2 =

5 + 8

2= 6, 5 ,

x3 =9 + 12

2= 10, 5 , x4 =

13 + 16

2= 14, 5 , x5 =

17 + 20

2= 18, 5 .

Nato pa izračunamo aritmetično sredino po enačbi (1.3)

M =x1f1 + x2f2 + x3f3 + x4f4 + x5f5

14

=2, 5 · 1 + 6, 5 · 3 + 10, 5 · 6 + 14, 5 · 1 + 18, 5 · 3

14

= 11, 1.

Na podoben način lahko določimo tudi skupno povprečje k delnih populacij, če poznamo

posamezne aritmetične sredine in velikosti delnih populacij, ki sestavljajo neko populacijo.

Tedaj velja

M =

∑ki=1 niMi∑ki=1 ni

, (1.4)

kjer so Mi aritmetične sredine in ni velikosti delnih populacij.

Zgled. Prva šola ima 50 učencev, ki so v povprečju na tekmovanju dosegli 25 točk, druga

šola ima 75 učencev, s povprečjem 24 točk in tretja šola 100 učencev, s povprečjem 20 točk.

Kolikšno je skupno povprečje? Po formuli (1.4) izručunamo

M =50 · 25 + 75 · 24 + 100 · 20

50 + 75 + 100= 22, 4.

Prednost aritmetične sredine je, da izčrpa vse informacije, ki nam jih dajejo podatki. Sla-

bosti aritmetične sredine sta, da se lahko računa le za številske podatke in da ni primerna

za nehomogone populacije, saj nanjo vplivajo ekstremne vrednosti.

1.6 Mere variacije 19

1.6 Mere variacije

V vsaki populaciji imamo običajno zelo različne podatke. Vrednosti enot se lahko odkla-

njajo od srednje vrednosti navzgor ali navzdol. Temu pravimo, da variirajo okoli srednje

vrednosti.

1.6.1 Variacijski razmik

Variacijski razmik ali razpon je definiran kot

V R = xmax − xmin = x(n) − x(1), (1.5)

pri čemer je xmax največja in xmin najmanǰsa vrednost populacije. Variacijski razmik je

preprost za določanje in razumevanje, vendar precej groba in nezanesljiva mera variacije.

Zgled. Variacijski razmik za primer doseženih točk na testu 1.4 je V R = 20− 3 = 17.

1.6.2 Kvartilni razmik in odklon

Najprej definirajmo, kaj je kvantil reda p pri zveznih statističnih spremenljivkah. Naj bo

p ∈ (0, 1) in X zvezna statistična spremenljivka na populaciji. Kvantil reda p je število xp,do katerega je potrebno iti, da imamo vsebovan delež p · 100% populacije:

p =

∫ xp−∞

p(x)dx.

Slika 1.11: Kvantil reda p.

Pri zveznih porazdelitvah je kvantil enolično določen, pri diskretnih porazdelitvah pa kvantili

niso nujno enolično določeni. Zato je takrat xp definirana tako, da velja P [X ≤ xp] ≥ p inP [X ≥ xp] ≥ 1− p.


Zgled. Poglejmo si zgled diskretne porazdelitve: X ∼

(−1 0 1

14

14

12

). Mediana x0,5 je v

tem primeru vsaka vrednost iz intervala (0, 1). Kvantil x0,25 = −1 in kvantil x0,75 = 1. V

primeru diskretne porazdelitve: X ∼

(0 115

45

)pa je mediana x0,5 = 1, kvantil x0,25 je

vsaka vrednost iz intervala (0, 1) in kvantil x0,75 = 1.

Za potrebe statistike definiramo kvantile tako, da so enolični. Najprej si poglejmo, kako

določimo vzorčne kvantile po Jamniku [17]. Naj bo p ∈ (0, 1) in n velikost vzorca. Z[x] označimo celi del realnega števila. To je največje celo število, ki ni večje od števila x.

Najprej izračunamo kvantilni rang

r =

{np, np ∈ N,

[np] + 1, np /∈ N.(1.6)

Potem je vzorčni kvantil reda p: xp = x(r).

OPOMBA: Mediano računamo po formuli (1.1) in ne po (1.6).

Kvartili so kvantili oblike x i4, kjer je i = 1, 2, 3. Prvi kvartil q1 = x 1

4ima kvantilni rang

0,25, drugi kvartil q2 = x 12

= Me ima kvantilni rang 0,50 in tretji kvartil q3 = x 34

ima

kvantilni rang 0,75.

Slika 1.12: Kvartili.

Zgled. Izračunajmo kvantile za primer števila doseženih točk na testu 1.4. Najprej iz-

računamo prvi kvartil p = 14 . Število podatkov pomnožimo z redom kvantila in dobimo

np = 14· 14 = 3, 5. Ker dobljeni rezultat ni naravno število, uporabimo drugi del enačbe (1.6)r = [3, 5] + 1 = 3 + 1 = 4. Prvi kvartil je četrti podatek v ranžirni vrsti q1 = x 1

4= x(4) = 8.

Izračunajmo mediano oziroma drugi kvartil p = 12 . Število podatkov pomnožimo z redom

kvantila in dobimo np = 14 · 12 = 7. Ker je dobljeni rezultat naravno število, uporabimoprvi del enačbe (1.6) r = 7. Mediana je sedmi podatek v ranžirni vrsti q2 = x 1

2= x(7) = 11.

Nazadnje izračunamo še tretji kvartil p = 34 . Število podatkov pomnožimo z redom kvantila

in dobimo np = 14 · 34 = 10, 5. Dobljeni rezultat ni naravno število, zato uporabimo drugi


del enačbe (1.6) r = [10, 5] + 1 = 10 + 1 = 11. Tretji kvartil je enajsti podatek v ranžirni

vrsti q3 = x 34

= x(11) = 14.

Poglejmo si še metodo določanja vzorčnih kvantilov, ki jo uporablja Sagadin [32]. Najprej

izračunamo relativni rang (p), ki ga dobimo kot razmerje med absolutnim rangom (r) in

številom enot populacije (n). V razmerje vzamemo spodnjo mejo absolutnega ranga. Torej,

če imamo absolutni rang 1, je spodnja meja 0,5 in zgornja meja 1,5. Če imamo absolutni

rang 2, je spodnja meja 1,5 in zgornja meja 2,5. Torej je p = r−0,5n . Relativni rang

imenujemo kvantilni rang.

Zgled. Vzamimo v naši ranžirni vrsti iz tabele 1.4 rezultat 14. Absolutni rang tega re-

zultata je 11. Izračunamo kvantilni rang: p = 11−0,514 = 0, 75. Torej ima 75 % celotne

populacije manǰse rezultate od rezultata 14.

Dan je kvantilni rang p, ǐsčemo pa ustrezni kvantil qp. Kvantilni rang preračunamo v

absolutni rang r po formuli r = np + 0, 5. Naj bo k ≤ r ≤ k + 1, kjer sta k in k + 1zaporedna absolutna ranga. Absolutnima rangoma k in k + 1 označimo ustrezni vrednosti

spremenljivke z xk in xk+1. Tako dobimo, da je

qp = xk + (xk+1 − xk)(r − k). (1.7)

Zgled. Nadaljujemo z zgledom iz tabele 1.4. p = 0, 75 in r = 14 · 0, 75 + 0, 5 = 11. Poenačbi (1.7) izračunamo kvantil: q0,75 = 14 + (11− 11)(14− 14) = 14.

Za p = 0, 5 in r = 14 · 0, 5 + 0, 5 = 7, 5 dobimo q0,5 = 11 + (12− 11)(7, 5− 7) = 11, 5.

In za p = 0, 25 in r = 14 · 0, 25 + 0, 5 = 4 dobimo q0,25 = 8 + (8− 8)(4− 4) = 8.

Nazadnje si oglejmo še metodo določanja vzorčnih kvantilov, ki jo uporablja program SPSS.

Tukaj kvantilni rang preračunamo v absolutni rang po formuli r = p(n+ 1), kvantili pa se

izračunajo po formuli (1.7).

Zgled. Ponovno vzamemo zgled 1.4. Za p = 0, 75 izračunamo r = 0, 75(14 + 1) = 11, 25.

Izračunamo kvantil q0,75 = 14 + (17− 14)(11, 25− 11) = 14, 75.

Za p = 0, 5 in r = 0, 5(14 + 1) = 7, 5 dobimo q0,5 = 11 + (12− 11)(7, 5− 7) = 11, 5.

In za p = 0, 25 in r = 0, 25(14 + 1) = 3, 75 dobimo q0,25 = 6 + (8− 6)(3, 75− 3) = 7, 5.


Pri vseh treh metodah računanja kvartilov dobimo različne rezultate. Kot vidimo iz zgledov,

smo za p = 0, 5 dobili različne rezultate kvantilov po metodi računanja Jamnika, v primerjavi

z metodo računanja Sagadina in SPSS. Pravilni rezultat je izračunan po metodi Sagadina

in SPSS, saj predstavlja vrednost mediane.

Kvartilni razmik je enak razliki med tretjim in prvim kvartilom: kr = q3 − q1. Kvartilnirazmik obsega 50 % vrednosti populacije. 25 % populacije je večjih, 25 % populacije pa

manǰsih od kvartilnega razmika. Nanj ne vplivajo skrajne vrednosti, zato je zanesljiveǰsa

mera variacije, kot variacijski razmik.

Kvartilni odklon je pa polovica kvartilnega razmika ko =q3−q1

2 .

Zgled. Nadaljujemo s preǰsnjim zgledom. Kvartilni razmik je: kr = 14 − 8 = 6, kvartilniodklon pa: ko =

62 = 3.

1.6.3 Varianca in standardni odklon

Varianca ali disperzija je aritmetična sredina kvadratov odklonov vseh rezultatov xi od

njihove aritmetične sredine M . Označimo jo s σ2

σ2 =

∑ni=1(xi −M)2

n. (1.8)

Varianca za grupirane podatke v razrede se izračuna po enačbi

σ2 =

∑ni=1 fi(xi −M)2

n. (1.9)

Standardni odklon ali standardna deviacija pa je kvadratni koren iz variance. Označimo ga

s σ

σ =

√∑ni=1(xi −M)2

n. (1.10)

V zvezi z disperzijo vzorca je za nadaljnjo analitično obravnavo najbolj pomembna statistika,

ki se imenuje vzorčna disperzija

S2 =

∑ni=1(xi −M)2

n− 1

in vzorčni standardni odklon je

S =

√∑ni=1(xi −M)2n− 1

.


OPOMBA: S2 je nepristranska cenilka za populacijsko varianco σ2. To pomeni, da je

matematično upanje vzorčne variance: E(S2) = σ2.

Varianca in standardni odklon sta odvisna od velikosti vsakega rezultata, zato sta razme-

roma enostavno izračunljiva. V primerjavi z ostalimi merami variacije sta primerneǰsa za

nadaljnjo obravnavo.

Zgled. V prvem zgledu iz poglavja o Povprečju ali aritmetični sredini smo izračunali, da

je aritmetična sredina števila doseženih točk na testu v nekem razredu enaka M = 11, 3.

Izračunajmo varianco za ta primer.

Tabela 1.7: Računanje variance.x x−M (x−M)23 -8,3 68,95 -6,3 36,76 -5,3 28,18 -3,3 10,99 -2,3 5,310 -1,3 1,711 -0,3 0,112 0,7 0,512 0,7 0,512 0,7 0,514 2,7 7,317 5,7 32,519 7,7 59,320 8,7 75,7

Iz enačbe (1.8) sledi, da je varianca enaka

σ2 =1

14

14∑i=1

(xi − 11, 3)2 = 23, 4.

Iz enačbe (1.10) sledi, da je standardna deviacija enaka

σ =√

23, 4 = 4, 8.

1.7 Prikazovanje podatkov še z nekaterimi vrstami diagramov 24

1.7 Prikazovanje podatkov še z nekaterimi vrstami

diagramov

Poglejmo si še nekatere vrste diagramov, ki jih do sedaj še nismo obravnavali, se pa obrav-

navajo v osnovni šoli, srednjih poklicnih in strokovnih šolah in v gimnaziji.

1.7.1 Euler–Vennov diagram

Z Euler–Vennovim diagramom prikazujemo odnose med množicami. Proučevane objekte

predstavimo kot točke v ravnini, skupino objektov pa kot množico točk.

Slika 1.13: Euler-Vennov diagram za primer: a) ko množici nimata skupnih predstav-nikov, v tem primeru je presek prazen; b) ko imata množici skupne predstavnike invsaka še svoje; c) ko so predstavniki ene množice tudi objekti druge množice.

Zgled. Odnos med mekaterimi vrstami štirikotnikov.

Slika 1.14: Odnos med vrstami štirikotnikov.

1.7.2 Pozicijski diagram

S pozicijskim diagramom prikažemo na številski osi eno ali več skupin številskih podatkov.

Vrednosti, ki jih želimo prikazati, ponazorimo kot primerno označene točke na številski osi.


Pri tem je zelo pomemben način označevanja prikazanih vrednosti. Če želimo prikazati, v

kakšnem zaporedju nastopajo prikazane vrednosti, bomo točke na prikazu označili po vrsti

z npr. 1, 2, 3 . . . če pa želimo poudariti, katerim skupinam pripadajo vrednosti, pa bomo

prikazane točke označili ali obarvali glede na pripadnost skupini.

Zgled. Pozicijski diagram za primer pridobljene ocene na testu iz tabele 1.5.

Slika 1.15: Pozicijski diagram za pridobljene ocene na ocenjevanju znanja.

1.7.3 Puščični diagram

S puščičnim diagramom prikažemo na enostaven način odnos med objekti. Najprej prikažemo

objekte preučevane značilnosti kot točke, odnose med njimi pa kot puščice od prvega objekta

do drugega.

Zgled. Poglejmo si odnose med ljudmi, kdo je koga povabil na morje.

Slika 1.16: Puščični diagram.


1.7.4 Razsevni diagram

Če opazimo med dvema spremenljivkama neko povezanost pravimo, da sta spremenljivki v

korelaciji. Ali sta spremenljivki korelirani, najlažje preverimo z razsevnim diagramom. Za

vsako dvojico vrednosti x in y dobimo v ravnini pravokotnega koordinatnega sistema po eno

točko. Ko dobimo točke za vse podatke, dobimo razsevni diagram. Razsevnemu diagramu

lahko vrǐsemo še regresijsko črto. To je premica, ki se točkam najbolje prilega.

Poznamo pozitivno in negativno linearno korelacijo. Pozitivna je takrat, kadar se veča

vrednost spremenljivke x, se veča tudi vrednost spremenljivke y. Kadar pa se pri večanju

vrednosti prve spremenljivke vrednost druge manǰsa, je korelacija negativna.

Slika 1.17: Razsevni diagram z a) negativno linearno korelacijo med premenljivkamax in y in b) pozitivno linearno korelacijo.

Lahko se pojavi tudi nelinearna povezanost podatkov, kjer regresijska črta ni premica. V

tem primeru govorimo o nelinearni korelaciji. Lahko pa se zgodi tudi, da med podatki ni

korelacije.

Slika 1.18: Razsevni diagram z a) nelinearno korelacijo in b) primer, kjer ni korelacije.


Zgled. Razǐsčimo odnos med številom ur učenja pred testom matematike in pridobljenim

številom točk na testu. Podatki so namǐsljeni.

Tabela 1.8: Število ur učenja matematike in dobljeno število točk na testu.Število ur: 10 10 5 6 5 2 8 5 3 6 5 6 9 4 4 3 7

Točke: 20 18 12 15 16 8 19 12 3 15 10 13 17 15 13 9 14

Sedaj pa za dane podatke narǐsimo razsevni diagram.

Slika 1.19: Razsevni diagram.

Vidimo, da obstaja korelacija med številom ur učenja matematike in številom doseženih

točk na testu.

1.7.5 Škatla z brki

Škatla z brki je zelo nazoren prikaz porazdelitve številskih podatkov. Z njim na grafičen

način podamo podatke o najmanǰsem in največjem podatku, mediani, kvartilih ter o med-

četrtinskem razmiku.

Slika 1.20: Škatla z brki.


Zgled. Napravimo škatlo z brki za zgled iz poglavja o Kvantilnem razmiku in odklonu, s

podatki iz tabele 1.4.

xmin = 3, xmax = 20, q1 = 8, q3 = 14, Me = 11, 5

Slika 1.21: Zgled škatle z brki.

Poglavje 2

Statistika v šolskem učnem načrtu

za osnovne in srednje šole

V tem poglavju bomo predstavili obravnavo statistike v osnovni šoli, srednjih poklicnih in

strokovnih šolah in v gimnaziji. Opisali bomo vsebine statistike, ki se pojavijo v učnem

načrtu ter navedli operativne cilje posameznega letnika izobraževanja.

2.1 Osnovna šola

Omejili smo se na obravnavo statistike od 6. do 9. razreda [45]. V osnovni šoli se obrav-

navana učna tema statistike imenuje obdelava podatkov. V 6. razredu osnovne šole pred-

stavljajo vsebino, ki jo je potrebno obdelati: obdelava podatkov, strukturiranje podatkov,

predstavitev podatkov, računalnǐske preglednice in preiskovanje.

Učenci se naučijo nekaj osnovnih pojmov, kot so podatek, populacija, vzorec. Naučijo se

dveh strategij zbiranja podatkov; štetja in merjenja. Učni cilj je, da znajo sistematično za-

pisati štetje in meritve ter jih smiselno vpisati v preglednico, kar nas že privede do naslednje

vsebine: strukturiranje podatkov, kar zajema urejanje podatkov po velikosti, razporejanje

podatkov v skupine po enem ali dveh kriterijih. Učenci morajo znati smiselno razporediti

podatke v skupine. Zavedati se morajo, da je takšen pregleden zapis osnova za nadaljnjo

obdelavo. Zato je eden izmed ciljev tudi ta, da učenci opredelijo in utemeljijo kriterij ure-

janja podatkov. Poznati morajo tudi prednosti razvrščanja podatkov. Razvrščeni podatki

so pregledneǰsi, enostavneje razberemo velikostni red izbranih podatkov glede na ostale po-

datke, hitro lahko razberemo, koliko podatkov se nahaja na določenem intervalu, prav tako

pa jih je lažje razporediti v frekvenčne intervale. Učenci spoznajo razporejanje podatkov v

29

2.1 Osnovna šola 30

skupine po enem ali dveh kriterijih. Opisni podatki že sami po sebi predstavljajo razporedi-

tev enot v skupine medtem, ko moramo pri številskih podatkih napraviti intervalske razrede

glede na vrednosti podatkov. Sledi obravnava naslednje vsebine: predstavitev podatkov,

kjer se učenci naučijo dane podatke smiselno urediti v preglednico. Obravnavajo različne

prikaze podatkov z diagrami, kot so figurni prikaz, tortni prikaz, stolpični prikaz, drevesni

prikaz in Euler–Vennov diagram. Učenci spoznajo tudi računalnǐske programe za obdelavo

podatkov. Učni načrt narekuje, da učenci spoznajo osnove računalnǐskih preglednic, jih

znajo uporabljati, znajo razvrščati podatke po velikosti, naučijo se iz prikaza razbrati po-

datke, jih interpretirati in razbrati odnose med njimi. Nazadnje morajo učenci to znanje

uporabiti tudi na konkretnem primeru, kjer morajo rešiti problem, ki zahteva zbiranje in

urejanje podatkov. Pri tem morajo razvijati kritičen odnos do interpretacije podatkov.

V 7. razredu osnovne šole vsebino predstavljajo: obravnava tortnega prikaza, razsevnega

prikaza, črtnega prikaza, empirična preiskava in aritmetična sredina.

Zraven vsega, kar znajo učenci še iz 6. razreda, morajo v 7. razredu uporabljati primerne

prikaze in tabele za prikaz življenskih situacij. Spoznajo nove prikaze podatkov z razsev-

nim in črtnim diagramom. Prav tako morajo samostojno izdelati empirično preiskavo, s

katero pokažejo, da znajo vso usvojeno znanje uporabiti tudi v vsakdanjem življenju. Prav

tako učenci v 7. razredu spoznajo aritmetično sredino, jo znajo določiti in jo uporabiti pri

reševanju problemov.

V 8. razredu se obravnavajo: grafi, empirična preiskava in aritmetična sredina.

Učenici se naučijo kako z grafi prikazati odvisnost diskretnih in zveznih spremenljivk. Po-

dobno kot v 7. razredu, morajo izdelati empirično preiskavo. Pri obravnavi aritmetične sre-

dine pa se napravi nadgradnja znanja, saj morajo učenci razumeti in uporabiti aritmetično

sredino v realističnih kontekstih ter kritično ovrednotiti rešitev problema.

V 9. razredu se obravnava najobsežneǰsi del osnovnošolske statistike. Vsebina, ki jo de-

vetošolci spoznajo, predstavljajo: vprašalniki, uporaba orodij, empirična preiskava, arit-

metična sredina, modus, mediana, škatla z brki in medčetrtinski razmik.

Devetošolci se naučijo osnovne lastnosti vprašalnikov. Tako spoznajo nekaj osnovnih vrst

vprašanj, samostojno sestavijo vprašalnik na izbrano temo ter nato ta vprašalnik uporabijo v

empirični preiskavi. Ko s vprašalnikom zberejejo podatke, jih obdelajo, uredijo in prikažejo,

pri tem pa uporabijo kritično razmǐsljanje. Nato se učenci zraven aritmetične sredine naučijo

določati tudi modus in mediano. Glede na tip podatkov morajo znati smisleno določiti tip

sredine ter poznane sredine kritično primerjati med seboj. Naučijo se izračunati sredino z

žepnim računalom in s preglednico. Nazadnje spoznajo še medčetrtinske razmike, jih znajo

določiti in grafično ponazoriti.

2.2 Srednje poklicne in strokovne šole 31

Ob koncu osnovnošolskega šolanja učenci torej znajo zbirati podatke s strategijami beleženja,

štetja, merjenja in s vprašalniki. Učenci naj bi znali uporabljati tudi sekundarne podatke in

dokumente, kjub temu, da to pri tej učni temi ni navedeno. Učenci se naučijo tudi urejati

in strukturirati podatke. Podatke znajo zbrati v tabelo, jih razvrstiti v nabore enot, jih

razporediti v skupine po enem ali več kriterijih ter jih razporediti v drevesne strukture. Ob

koncu devetega razreda znajo povzemati podatke. Vedo kaj je aritmetična sredina, mediana

in modus, jih znajo izračunati in primerjati med seboj. Pozanjo tudi merila za razpršenost

ter medčetrtinski razmik grafično ponazorijo. V vseh štirih razredih postopoma spoznavajo

prikazovanje podatkov z različnimi vrstami diagramov. Tako spoznajo tabelarični in figurni

prikaz podatkov, Euler–Vennov diagram, stolpični, tortni diagram, škatlo z brki, puščični,

razsevni in linijski diagram. V učnem načrtu ni zapisane obravnave pozicijskega diagrama

in histograma. Magajna in Žakelj obrazložita, da je prikaz s pozicijskim diagramom tako

preprost, da ni potrebne posebne obravnave, histogramov pa se v osnovni šoli pri pouku

matematike ne obravnava [22].

2.2 Srednje poklicne in strokovne šole

Pregledali smo predmetnike vseh poklicnih in srednje strokovnih ter tehnǐskih izobraževalnih

programov. Nižje poklicno izobraževanje traja dve leti, srednje poklicno izobraževanje tri

leta, srednje strokovno izobraževanje štiri leta in mu sledi poklicna matura. Po koncu

srednjega poklicnega izobraževanje je mogoče opraviti še poklicno - tehnǐsko izobraževanje,

ki traja dodatni dve leti šolanja ter mu po petih letih izobraževana sledi poklicna matura.

Kombinacija srednje poklicnega izobraževanja in poklicno - tehnǐskega izobraževanja pokrije

skupaj isti matematični standard, kot srednje strokovno izobraževanja, saj obe vertikali

zaključita s poklicno maturo. Nižje poklicno izobraževanje zajema 157 ur matematike [23].

Statistika se obravnava v poglavju Delo s podatki in osnove verjetnostnega računa, kar se

obravnava v zadnjem letniku. Srednje poklicno izobraževanje vsebuje 210 ur matematike

[35]. Tematika, ki zajema področje statistike se imenuje osnove statistike, ki okvirno zajema

10 ur in se obravnava v 2. letniku. Srednje poklico - tehnǐsko izobraževanje obsega 175 ur

matematike [36]. Tematsko področje se imenuje statistika in se obravnava v 2. letniku.

Nazadnje smo pregledali še predmetnik srednje strokovnega izobraževanja, ki vsebuje kar

385 ali več ur matematike, pri čemer se statistika obravnava v 4. letniku [37]. Podrobneje

si bomo ogledali obravnavo statistike v vseh srednješolskih izobraževalnih programih.

Nižje poklicno izobraževanje najprej obravnava zbiranje podatkov in njihovo predstavitev

v tabeli. Dijaki se naučijo podatke tudi grupirati in upoštevati relativno frekvenčno poraz-

delitev. Nato se dijaki naučijo podatke brati, jih analizirati, interpretirati in prevajati iz

enega prikaza v drugega. Spoznajo tudi prikaz z drevesno strukturo. Nato sledi obravnava

2.3 Gimnazija 32

modusa, mediane in aritmetične sredine. Naučijo se podatke prikazovati s stolpci, s fre-

kvenčnim kolačem, linijskim, pozicijskim, razsevnim prikazom in s škatlo z brki. Nazadnje

mora dijak izvesti empirično preiskavo, v kateri mora uporabiti vso znanje, ki ga je pridobil

s področja statistike. Dijaki tako ponovijo nekaj snovi iz osnovne šole, veliko snovi pa tudi

izpustijo.

V srednjem poklicnem izobraževanju dijaki najprej spoznajo osnovne statistične pojme, kot

so populacija, enota, vzorec in statistična spremenljivka. Naučijo se prebrati podatke ter jih

interpretirati, pri čemer je poudarek na diskretnih spremenljivkah. Podatke morajo znati

tudi urediti v obliki tabele. Nato se naučijo grafično predstaviti podatke v obliki histograma

in tortnega diagrama, ki ga imenujejo frekvenčni kolač. Pri tem dajejo velik poudarek na

razumevanje in interpretacijo grafičnih prikazov. Edina nova snov, ki jo dijaki spoznajo v

srednjem poklicnem izobraževanju, v primerjavi z osnovnošolskim izobraževanjem, je torej

le histogram. Kar nekaj snovi, predvsem iz 9. razreda osnovne šole, pa izpustijo.

Srednje poklicno - tehnǐsko izobraževanje obravanava velik del vsebine osnovnošolskega izo-

braževanja ter nekaj novih snovi. Tako najprej spoznajo osnovne statistične pojme, naučijo

se zbirati, grupirati in urejati podatke. Nato spoznajo absolutno in relativno frekvenco, kar

sta za dijake nova pojma. Naučijo se prikazovati podatke s histogramom, frekvenčnim po-

ligonom in frekvenčnim kolačem. Naučijo se oziroma ponovijo, kako se določi aritmetična

sredina. Nazadnje spoznajo tudi mere variabilnosti, kjer se naučijo določiti varianco in

standardno deviacijo. Tako vidimo, da dijaki na novo spoznajo le majhen del statističnih

vsebin, kot so absolutna in relativna frekvenca, histogram, varianca in standardna deviacija.

Frekvenčni poligon in frekvenčni kolač poznajo že iz osnovne šole, le da ju v osnovni šoli

imenujemo linijski in tortni diagram.

Popolnoma enake vsebine, kot srednje poklicno - tehnǐsko izobraževanje, obravnava tudi

srednje strokovno izobraževanje.

2.3 Gimnazija

Splošna in klasična gimnazija imata enak učni načrt za matematiko [46]. Obravnava stati-

stike se priporoča že v prvem letniku, saj gre za nadgradnjo obdelave podatkov iz osnovne

šole. Predvideno število ur za področje statistike je 10 ur.

Vsebine, ki se pojavijo v gimnaziji na temo statistike so: osnovni statistični pojmi, vrste

podatkov, zbiranje podatkov, urejanje in strukturiranje podatkov, prikazovanje podatkov s

stolpičnim, pozicijskim, tortnim diagramom, histogramom, razsevnim, linijskim in krivulj-

nim diagramom in škatlo z brki, aritmetična sredina, mediana, modus, variacijski razmik,

standardni odklon, medčetrtinski razmik in statistična naloga.

2.3 Gimnazija 33

Kljub temu, da je kar nekaj vsebin podobnih kot v osnovni šoli, se vsaka nadgradi na vǐsji

nivo. Tako morajo dijaki ločiti med preučevano značilnostjo, enoto, spremenljivko, vzorcem

in populacijo. Prepoznati morajo tudi preučevano značilnost enote. Spoznajo različne vrste

podatkov ter morajo med njimi tudi razlikovati. Spoznajo opisne in kvalitativne podatke,

vrstne in ordinalne podatke ter številske in kvantitativne podatke. Tako kot v osnovni šoli se

naučijo zbrati, urediti, strukturirati podatke in jih znati prikazati z ustreznim diagramom.

Diagrame morajo znati tudi brati, jih izdelati in interpretirati. Dijaki poznajo različne

načine povzemanja podatkov ter znajo izbrati primeren način glede na vrsto podatkov.

Kot ponovitev iz osnovne šole se spomnijo tudi vsega, kar so se naučili o srednji vrednosti,

modusu in mediani. V osnovni šoli so spoznali medčetrtisnki razmik, kot mero razpršenosti

podatkov. V gimnaziji pa spoznajo tudi variacijski razmik in standarni odklon ter se z

njimi naučijo računati, jih oceniti in interpretirati. Nazadnje morajo vso svoje znanje

statistike uporabiti v celovitem postopku empiričnega preiskovanja, kjer si najprej izberejo

temo in postavijo preiskovalno vprašanje, nato podatke zberejo, jih uredijo, strukturirajo,

analizirajo, prikažejo in nazadnje še interpretirajo rezultate.

V primerjavi z osnovno šolo, dijaki ob koncu gimnazijskega izobraževanja pridobijo nekaj

dodatnih znanj in nadgradenj iz področja statistike. Tako spoznajo različne vrste podatkov

in razlike med njimi, novo vrsto diagrama za prikaz podatkov - histogram, variacijski odmik

in standardni odklon.

Poglavje 3

Pregled osnovnošolskih in

srednješolskih učbenikov za

matematiko

Obdelava podatkov oziroma statistika se je v osnovnih in srednih šolah pojavila z uvelja-

vitvijo devetletke in prenovo učnega načrta [22]. V tem poglavju smo pregledali večino

veljavnih osnovnošolskih in srednješolskih učbenikov za matematiko. Napravili smo pregled

po letniku izobraževanja. Torej bomo najprej pričeli s pregledom učbenikov za 6. razred

in končali s 4. letnikom. Za vsak učbenik smo naprej opisali vsebino, ki jo obravnava s

področja statistike ter si ogledali, kako so pojmi definirani. Ko smo pregledali vse učbenike,

smo raziskali, ali obstajajo različni pristopi k definiciji pojmov ter ali se pojavijo morebitne

nejasnosti in napake. Poudariti je pa potrebno, da smo pregledali učbenike z različnimi

letnicami izdaj in so mnogi srednješolski učbeniki svoje vsebine posodobili šele po letu 2009

in osnovnošolski šele po letu 2011. Tako so lahko morda mnogi učbeniki že posodobljeni in

že vsebujejo posodobitve. V našem pregledu gre torej za kritiko verzij učbenikov navedenih

letnikov, ki pa so danes že lahko nadomeščene.

3.1 Učbeniki za 6. razred osnovne šole

Pregledali smo naslednje učbenike: Kocka 6 (2015) [9], Matematika za radovedneže 6 (2012)

[13], Skrivnosti števil in oblik 6 (2017) [1], Matematika 6 (2016) [47], Svet matematičnih

čudes 6 (2014) [8], Matematika za šestošolc(k)e (2012) [18] in e-učbenik Matematika 6 (2018)

[40].

34

3.1 Učbeniki za 6. razred osnovne šole 35

Učbenik Kocka 6 [9] obravnava zajemanje, urejanje in grafično predstavitev podatkov. Prav

tako vsebuje oblikovanje tabel in predstavitev podatkov z njimi ter nazadnje še delo s pro-

gramom Excel. Učbenik učence najprej na primeru nauči, kako zapisovati preglednice ter

poda razlago, da je preglednica sestavljena iz stolpcev in vrstic. Nato sledi prikaz podatkov z

raznimi grafikoni. Tako učbenik obravnava figurni prikaz ozirma piktogram, tortni, stolpični

in vrstični prikaz, Carrollov prikaz, Vennov in drevesni prikaz podatkov. Najdemo lahko

le zglede vseh diagramov, nikjer pa ni razlage, kako s posameznim diagramom predstaviti

podatke ter kateri diagram je v določenem primeru primeren in kateri ne. Sledi podrobneǰsa

obravnava tabel in stolpičnega diagrama. S tem želijo učence naučiti primerjave podatkov.

Nato se podrobneje obravnava tortni diagram. Učence naučijo izračunati ustrezen sredǐsčni

kot ter ga prikazati v tortnem diagramu. Nazadnje po korakih naučijo učence dela z pro-

gramom Excel. Učenci morajo znati podatke vnesti v program, jih urediti po velikosti ter

jih prikazati s poljubnim grafom. V tem učbeniku nimamo definiranega nobenega pojma,

kar je sicer logično, glede na to, da se učenci v 6. razredu učijo na primerih in zgledih. Ta

učbenik obravnava vso vsebino, ki je zapisana v učnem načrtu za 6. razred.

V učbeniku Matematika za radovedneže 6 [13] se najprej obravnava beleženje enot ter nato

še štetje. Prikaže nam beleženje enot s črticami. Nato sledi prikaz podatkov s stolpičnim

diagramom in prikazovanje podatkov v tabelah. Vsa snov se obravnava na konkretnih zgle-

dih. Sledi še prikaz podatkov z linijskim in krivuljnim in nazadnje še tortnim diagramom.

V učbeniku ni obrazložena izdelava tabel, prav tako ne risanje grafov za prikaz podatkov.

Sicer naj bi učenci to spoznali že v preǰsnjih letih šolanja, vendar bi se lahko ponovilo

vsaj risanje tortnega diagrama, s katerim imajo učenci velike težave [21]. Učbenik zajema

vso vsebino iz učnega načrta, razen delo z računalnǐskim programom za statistiko. Ta del

ni posebej opisan in prikazan, omenjeno je samo, da bodo učenci preglednice in zanimive

predstavitve podatkov srečali v računalnǐski učilnici, kamor naj bi jih učitelj matematike

popeljal.

Skrivnosti števil in oblik 6 [1] za razliko od preǰsnjih dveh učbenikov [9, 13] podatke loči na

opisne in številske ter obojne definira. V učbeniku je navedeno, da številske podatke dobimo

s štetjem ali merjenjem in jih izrazimo s številkami, opisne podatke pa izražamo z besedami.

Nato se učenci naučijo tudi podatke urediti in razvrstiti. Sledi zapis podatkov v tabele,

omeni se tudi črtični zapis za lažje preštevanje enot. Zapisano je tudi, da je preglednica

pripomoček za pregledneǰse zapisovanje podatkov in, da je sestavljena iz vrstic in stolpcev.

Učence nauči, da lahko podatke uredimo v smiselno zaporednje glede na izbrano lastnost,

lahko pa jih tudi v skupine, ki imajo že vnaprej določene lastnosti. Sledi poglavje, kjer se

učenci naučijo grafičnega prikazovanje podatkov. Spoznajo stolpični in vrstični diagram,

ki ga imenujejo bločni diagram. Lepo je razloženo, da stolpični diagram napravimo tako,

da vodoravno zapǐsemo opisne podatke in nad vsakim podatkom narǐsemo ustrezno vǐsino


stolpca glede na število enot. Podobno je razloženo za bločni diagram, kjer na navpično os

nanesemo opisne podatke in ob vsakem podatku narǐsemo ustrezen vodoraven blok, katerega

dolžino določa število enot. Za tortni diagram je prikazan le zgled naloge, saj znajo učenci

risanje tortnih diagramov že iz preǰsnjih let. Nikjer ni omenjenega ali predstavljenega

računalnǐskega programa za delo z statističnimi podatki. Razen tega, učbenik zajema vso

vsebino iz učnega načrta. Od vseh pregledanih učbenikov za 6. razred osnovne šole ima po

mojem mnenju ta učbenik najbolj sistematično, snovno logično in pregledno predstavljeno

snov.

V učbeniku Matematika 6 [47] se učenci najprej naučijo zbiranja podatkov z merjenjem

in štetjem. Pri tem ločijo številske in opisne podatke. Nato spoznajo zbiranje in urejanje

podatkov, pri čemer se naučijo uporabljati črtični zapis in spoznajo kaj je preglednica. Sledi

poglavje za delo z računalnikimi preglednicami. Tukaj učenci spoznajo program Excel in

se naučijo urejati podatke po velikosti in po abecednem redu. Učbenik jih korak po koraku

sistematično vodi skozi osnovne podatke in delo z Excelom. V naslednjem poglavju učenci

spoznajo različne prikaze podatkov. Tukaj spoznajo stolpični diagram, bločni diagram in

tortni diagram. Vsak je opisan, učbenik pa učence nauči tudi branja podatkov iz diagramov.

S tem učbenik vsebuje vso vsebino, ki je predpisana v učnem načrtu.

Učbenik Svet matematičnih čudes 6 [8] predstavi učencem kako zbirati podatke, kako raz-

brati preglednico in jo izpolniti. Obravnava tudi prikaz podatkov s stolpičnim, vrstičnim

in tortnim diagramom. Učencem nazorno prikaže postopek risanja diagrama na zgledih.

Poglavje statistike je v tem učbeniku zelo kratko, zajema le nekaj zgledov rešenih nalog.

Kjub temu učbenik učence nauči vse, kar je podano v predvideni vsebini učnega načrta,

razen ne omeni se dela z računalnǐskim programom.

Matematika za šestošolc(k)e [18] prične poglavje statistike s trditvijo, da podatke zbiramo

s pomočjo vprašanj, ki jih zastavimo skupini ljudi. Prav tako učbenik učence opozori, da

morajo vprašanja zastavljati tako, da lahko odgovore združijo v skupine. V naslednjem

poglavju se predstavi prikazovanje podatkov s stolpičim in vrstičnim diagramom. Ponovi

se tudi znanje o tortnem diagramu. Sledi poglavje, ki nauči učence še drugačnega zbiranja

podatkov in sicer z merjenjem. Tukaj spoznajo tudi linijski in krivuljni diagram. V na-

daljevanju je predstavljeno, kako se naučimo sklepati o zaključkih. Torej učenci se naučijo

podatke razbrati in interpretirati. Ta učbenik je eden redkih, ki vsebuje posebno poglavje

za računalnǐske preglednice, kar pomeni, da se učenci naučijo podatke zapisati v preglednice

in jih urediti. Učbenik ima zapisane natančne postopke za delo z Excelom. Naučijo se tudi

risanja stolpičnega diagrama in računanja s podatki (seštevanje podatkov in deljenje ter s

tem računanje povprečne vrednosti, kar bi se naj obravnavalo sicer šele v sedmem razredu).

Zadnje poglavje vodi učence, kako naj sami sestavijo raziskavo, vse od vprašalnika do pri-

kaza podatkov. Tu jim predstavijo nekaj primerov raziskav, ki si jih lahko izberejo. Tudi ta


učbenik je izredno nazoren in primeren za lažjo razumevanje snovi. Obravnava popolnoma

vso snov, ki jo vsbuje učni načrt.

Nazadnje smo si pogledali še e-učbenik Matematika 6 [40], kjer se obravnava najprej zbiranje

in urejanje podatkov. Učenci se naučijo, da podatke pridobivamo s štetjem, merjenjem in

iskanjem že znanih podatkov ter, da ločimo opisne podatke, ki so izraženi z besedami in

številske, ki so izraženi s številkami. Obravnava se tudi urejanje podatkov po eni ali več

lastnosti. Naslednje poglavje, ki se obravnava, je stolpični prikaz, ki je opisan kot diagram,

ki prikazuje število podatkov, ki pripadajo opisnim podatkom. Zapisano je tudi, da morajo

stolpci biti enako široki, med njimi mora biti enak razmik, na vodoravno os nanašamo

opisne podatke, na navpično pa številčne podatke. Ime številčnega podatka je zapisano

ob vodoravni osi. Vǐsina stolpca predstavlja število podatkov, ki pripadajo določenemu

opisnemu podatku. To je dobra in razločna razlaga za izdelovanje stolpičnega diagrama.

Učenci se naučijo tudi dela z računalnǐskimi preglednicami. Korak za korakom učbenik

vodi učence pri vstavljanju podatkov v tabele, urejanju podatkov in izdelovanju stolpičnega

diagrama. Sledi obravnava bločnega in točkovnega diagrama. Učbenik zajema vso vsebino

iz učnega načrta. Je zelo dobro in sistematično predstavljen, hkrati pa zelo nazoren, saj

vsebuje razne aplete, ki učencem še dodatno pomagajo pri razumevanju raznih pojmov.


Za 7. razred osnovne šole smo pregledali naslednje učbenike: Kocka 7 (2016) [10], Matema-

tika 7 (2018) [41], Skrivnosti števil in oblik 7 (2017) [2] in Stičǐsče 7 (2010) [38].

Učbenik Kocka 7 [10] najprej obdela ponovitev urejanja podatkov ter stolpični diagram,

frekvenčno preglednico, tortni diagram, piktogram in črtni diagram. Nato sledi obravnava

nove snovi. Učenci spoznajo drevesni prikaz podatkov. Najprej je predstavljen zgled in nato

opisan na splošno. V učbeniku je zapisano, da drevo izhaja iz ene točke, ki ga imenujemo

izhodǐsče in iz njega rǐsemo veje. Vsaka veja se konča s točko, iz katere lahko narǐsemo

nove veje. Posebno poglavje predstavlja tudi empirična preiskava, ki jo morajo učenci

samostojno izvesti. Učenci spoznajo nov pojem aritmetična sredina, kjer je zapisano, da

aritmetično sredino izračunamo tako, da seštejemo vse vrednosti in vsoto delimo s številom

vrednosti. Sledi nekaj primerov in nalog z računanjem aritmetične sredine, nato pa še

računanje aritmetične sredine z računalnǐskim programom Excel. Učbenik vsebuje vso

vsebino iz učnega načrta, razen obravnavo razsevnega diagrama.

Elektronski učbenik Matematika 7 [41] najprej ponovi zbiranje in urejanje podatkov. Nato

vpelje točkovni in črtni prikaz podatkov ter aritmetično sredino. Aritmetično sredino defini-

rajo kot lastnost nabora številskih podatkov, ki jo izračunamo tako, da podatke seštejemo


in delimo s številom podatkov v naboru, kar je korektna definicija. Povedo tudi, da je

aritmetična sredina odvisna od vseh podatkov, saj vsaka večja sprememba vrednosti zelo

vpliva na povprečje. Učbenik ponovi in vpelje vse, kar je zapisano v učnem načrtu, razen

razsevnega diagrama.

V učbeniku Skrivnosti števil in oblik 7 [2] se najprej ponovi zapisovanje podatkov v pregle-

dnice ter prikazovanje podatkov z raznimi diagrami, kot so piktogrami, točkovni, stolpični

in tortni diagrami. Pri krožnem diagramu se ponovi tudi, kako izračunamo del krožnega

izseka. Prav tako se ponovi tudi prebiranje podatkov iz raznih prikazov. Sledi poglavje,

kjer učenci spoznajo aritmetično sredino. Aritmetično sredino označijo z x̄ in definirajo

kot količnik med vsoto vseh vrednosti številskih podatkov in številom vseh podatkov. V

naslednjem poglavju sledi obravnava medsebojno odvisnih količin. Tako je najprej predsta-

vljeno, kako lahko tabelarično in grafično prikažemo medsebojno odvisne količine, učenci se

naučijo kaj so grafi in da poznamo različne oblike diagramov. Sledi poglavje, kjer učenci

spoznajo drevesne diagrame in prikazovanje podatkov z njimi. Nazadnje sledi še primer

izdelave empirične preiskave, ki služi učencem kot pomoč pri izdelavi lastne preiskave. V

učbeniku manjka prikaz podatkov z razsevnim diagramom.

Zadnji učbenik za 7. razred, ki smo ga pregledali, je Stičǐsče 7 [38]. V učbeniku je najprej

definiran podatek. Podatek je zapis opazovanja, štetja ali meritve. Definirajo tudi opi-

sne in številske podatke. Prav tako številske podatke ločijo na zvezne in nezvezne. Sledi

urejanje podatkov in razvrščanje po velikosti. Učenci se naučijo prikazovanja podatkov s

preglednico, stolpci in bloki. Omeni se tudi, da številu podatkov, zbranih v skupini, rečemo

frekvenca in preglednici, ki kaže frekvence skupin, frekvenčna preglednica. Sledi obravnava

diagrama s trakom, ki je omenjem le v tem učbeniku. Predstavijo tudi piktogram, dre-

vesni prikaz, Carrolov in Vennov diagram. Nazadnje si lahko učenci s pomočjo celotnega

poglavja pripravijo empirično preiskavo. Učbenik ne vsebuje tortnega in razsevnega prikaza

ter aritmetične sredine.


Pregledali smo naslednje učbenike za 8. razred osnovne šole: Matematika 8 (2018) [29],

Kocka 8 (2003) [11], Skrivnosti števil in oblik 8 (2004) [3], Matematika za radovedneže 8

(2012) [33] in Tangram 8 (2014) [19].

Matematika 8 [29] zajema zbiranje, urejanje in prikaz podatkov, kjer se ponovi tudi delitev

podatkov na številske in opisne ter pridobivanje podatkov z anketami, štetjem, merjenjem

in iskanjem v različnih virih. Prav tako se ponovi delitev podatkov v razrede, prikazovanje s

tortnim in stolpičnim prikazom in obdelava podatkov z računalnǐskimi programi. Ponovi se


tudi definicja aritmetične sredine. Poudarek se tokrat daje na računanju aritmetične sredine.

Prvič se obravnava razsevni prikaz, kjer se učenci naučijo, kdaj sta spremenljivki odvisni

in kdaj neodvisni. Nazadnje morajo učenci napraviti empirično preiskavo, da pokažejo vso

svoje usvojeno znanje. Učbenik obravnava vso vsebino učnega načrta.

V učbeniku Kocka 8 [11] se poglavje o obdelavi podatkov prične s ponovitvijo grafičnega

prikazovanja podatkov. Nato se obravnavajo razsevni diagrami. Opazili smo, da zamenju-

jejo točkovni ali linijski diagram z razsevnim diagramom, zato so posledično tako tudi zgledi

med seboj pomešani in vsi obravnavani kot točkovni diagram. Ponovi se tudi obravnava

stolpičnega in tortnega diagrama. Učbenik ne obravnava aritmetične sredine. Sicer se arit-

metična sredina obravnava že v 7. razredu, vendar kjub temu bi se naj po učnem načrtu

znanje aritmetične sredine nadgradilo v 8. razredu.

Naslednji učbenik, ki smo ga pregledali, je Skrivnosti števil in oblik 8 [3], kjer smo pre-

senečeni spoznali, da ne vsebuje poglavja o statistiki oziroma obdelavi podatkov.

Matematika za radovedneže 8 [33] najprej ponovi, kako zbiramo podatke, kakšne vrste

podatkov poznamo in prikazovanje podatkov s tabelami ter stolpičnimi, bločnimi in tortnimi

diagrami. Podrobneje se ponovi tudi točkovni in linijski diagram. Tudi ta učbenik ne

obravnava aritmetične sredine.

Učbenik Tangram 8 [19] obravnava zbiranje podatkov, empirično preiskavo, obdelavo in

prikaz podatkov, kjer se ponovi prikazovanje s tabelo, stolpičnim diagramom, tortnim di-

agramom in razsevnim prikazom. Nato sledi poglavje za delo s programom Excel, kjer

učenci ponovijo prikazovanje podaktov s preglednicami in grafikoni. Nazadnje se obravnava

še aritmetična sredina. Zapisano je, da aritmetično sredino izračunamo tako, da seštejemo

vse vrednosti in vsoto delimo s številom vrednosti. Učbenik obravnava vse, kar je zapisano

v učnem načrtu.


Za 9. razred osnovne šole smo pregledali učbenike: Matematika za radovedneže 9 (2012)

[34], Skrivnosti števil in oblik 9 (2015) [4], Kocka 9 (2005) [12] in Matematika 9 (2018) [14].

V učbeniku Matematika za radovedneže 9 [34] učenci najprej spoznajo vprašalnike. Naučijo

se, kakšne vrste vprašanj oziroma odgovorov poznamo. Tako spoznajo DA/NE odgovore,

izbirne, dopolnitvene in proste odgovore. Nato se naučijo urejanja podatkov, pridobljenih

s vprašalnikom ter nazadnje še prikazovanje s stolpičnim, bločnim in tortnim diagramom.

Sledi ponovitev aritmetične sredine. V tem učbeniku je zapisano, da aritmetično sredino

števil x1, x2, . . . xn izračunamo tako, da njihovo vsoto delimo s številom seštevancev∑

xnn .

Naštetih je tudi nekaj lastnosti aritmetične sredi

MAGISTRSKO DELO - CORE · 2020. 1. 30. · ZAHVALA Ko hodi s pojdi zmeraj do konca. Spomladi do ro...

Documents

Transcript of MAGISTRSKO DELO - CORE · 2020. 1. 30. · ZAHVALA Ko hodi s pojdi zmeraj do konca. Spomladi do ro...