Simbologie del cerchio fra lamine orfiche e mondo iranico ...
Magie Del Cerchio
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8/13/2019 Magie Del Cerchio
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MAGIE DEL CERCHIO
MARIA MESSERE
8/13/2019 Magie Del Cerchio
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La circonferenza, così semplice ed essenziale, è
una figura ricchissima di possibilità geometriche
come generatrice di innumerevoli altre curve. Par-
tendo dal cerchio ci si può sbizzarrire nel costruire
tante figure, scoprendo le proprietà nascoste e cal-
colandone le dimensioni.
E' ciò che fecero gli antichi greci quando comincia-
rono lo studio della geometria.
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CIRCONFERENZA E
CERCHIO
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Nella geometria, una circonferenza è quel luogo geometrico costi-
tuito da punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. La di-
stanza da qualsiasi punto della circonferenza dal centro si defini-
sce raggio.
Le circonferenze sono curve chiuse semplici, che dividono il pia-
no in una superficie interna ed una esterna (infinita). La superficie
del piano contenuta in una circonferenza, insieme alla circonferen-
za stessa, prende il nome di cerchio.
La corda è un qualunque segmento che unisce due punti qualsia-
si della circonferenza.
Una corda che passa per il centro è detta diametro (il diametro è
il doppio del raggio).
LACIRCONFERENZA
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Il cerchio è equivalente a un rettangolo con base uguale alla lun-
ghezza della semicirconferenza e altezza uguale al raggio.
Ecco due animazioni
AREA DELCERCHIO
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I matematici del tempo rappresentarono oggetti di
uso quotidiano: l’arbelo (antico trincetto da calzo-
laio) di Archimede, il fuso circolare (strumento ba-
se della pastorizia), la pelecoide (scure), la saliera
di Archimede, il trifoglio, la drepanoide (falce), il
triangolo a lati circolari e le celebri lunule (falce di
luna) con le quali Ippocrate riuscì a realizzare la
prima quadratura di un’area curvilinea. (Quadrare
un’area curvilinea significa trovare un quadratoche abbia la stessa area della figura curvilinea).
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LE CURVE CELEBRI
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Se abbiamo tre circonferenze che si toccano esternamente a
due a due, si ricava un triangolo a lati circolari concavi formato
dai tre archi minori di ogni circonferenza, compresi tra i punti di
contatto delle altre due.
TRIANGOLO ALATI CIRCOLARI
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Il nome, dal greco, significa "a forma di falce"
Osservando la figura possiamo anche dire che si tratta di un
triangolo curvilineo: il perimetro della drepanoide è costituito da
due archi di circonferenza e una semicirconferenza.
La costruzione è molto semplice: si tracciano due circonferenze
uguali tangenti esternamente.
Dai rispettivi centri si tracciano due raggi, AD e BC, paralleli e si
uniscono gli estremi di questi sulle due circonferenze.
Si traccia poi una terza circonferenza che ha per diametro il seg-
mento DC.
Si costruiscono quindi gli archi e la semicirconferenza come in
figura: ne risulta un triangolo a lati curvilinei che costituisce il dre-
panoide.
La sua area equivale all'area del parallelogramma ABCD in figu-
ra.
LA DREPANOIDE
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Pelecoide significa, in greco, “a forma di scure”.
Su diametro AB di una circonferenza (vedi immagine) si fissano
due punti qualsiasi C e D, e si descrivono quattro semicirconfe-
renze con diametri AC, AD, BC e BD, le prime due e le altre dueparti opposte rispetto ad AB. La figura racchiusa da quattro semi-
circonferenze è la pelecoide: il suo perimetro è uguale alla lun-
ghezza della circonferenza data, mentre la sua area sta all’area
del cerchio di diametro AB come CD sta ad AB.
LA PELECOIDE
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YING YANG
CLICCA SULLA FIGURA PER
LEGGERE LA DESCRIZIONE
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Il trifoglio è una graziosa figura, costruita partendo da un trian-golo equilatero, tracciando i tre archi passanti per il centro del
triangolo e per due vertici.
L’area del trifoglio può es-
sere calcolata come diffe-
renza tra la somma dei tre
settori circolari costruiti
sui lati del triangolo, e il
triangolo stesso.
IL TRIFOGLIOE IL FUSOCIRCOLARE
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Il fuso circolare è la figura ottenuta quando due
circonferenze si secano: la parte comune ad es-
se è appunto il fuso. Si tratta dunque di una figu-
ra assai semplice, e ad essa gli antichi greci die-
dero il nome di uno strumenti base della civiltà
pastorizia.
In questo modellino il fuso è ricavato da un qua-
drato, tracciando due archi di circonferenza inter-
ni al quadrato, con centro in due vertici opposti e
raggio uguale al lato l del quadrato. L’area dl fu-
so circolare si ottiene come differenza tra la som-
ma delle aree dei due settori circolari di 90° (qua-
dranti di cerchio ) e l’area del quadrato stesso.
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Progetto iTEC “Il cerchio magico”
FILMATO 2.1 Costruzione del fuso cicolare in ed-Mondo
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E’ la prima figura che prende il nome da oggetti di uso quotidia-
no ,in particolare da attrezzi da lavoro artigianali o contadino. Ar-
belo è in greco il trincetto da calzolaio.
Sul diametro AB di un semicerchio (vedi immagine) si fissa
un punto qualsiasi C, e si descrivono due semicirconferen-
ze di diametri AC e CB, interne al semicerchio dato. La figu-
ra che ne risulta, limitata dalle tre semicirconferenze, è sta-
ta oggetto di considerazione da parte di Archimede.
Una caratteristica dell’arbelo è che la lunghezza del contor-no è uguale a quella della circonferenza di diametro AB. La
sua superficie è equiestesa all’area del cerchio di diametro
CD, ove D è il punto della circonferenza sulla perpendicola-
re ad AB in C.
L’ARBELO DIARCHIMEDE
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Il "salinon" di Archimede si ottiene fissando sul diametro di un se-
micerchio due punti equidistanti dagli estremi. Si tracciano quin-
di i semicerchi aventi per diametro i segmenti ottenuti.
La figura racchiusa dalle quattro semicirconferenze è la saliera:
la sua superficie è equiestesa all'area del cerchio con diametro
EF (vedi immagine ) dove E ed F sono le intersezioni della per-
pendicolare in O ad AB con le due semicirconferenze concentri-
che.
LA SALIERA DIARCHIMEDE
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In geometria, la cicloide (dal greco kykloeidés,
k"klos 'cerchio' e -oeidés 'forma', cioè che è fatto
da un cerchio) è una curva piana appartenente al-
la categoria delle rullette. Essa è la curva tracciata
da un punto fisso su una circonferenza che rotola
lungo una retta; in pratica il disegno composto da
un punto su una ruota di bicicletta in movimento.
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LA CICLOIDE
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Pur non essendo una curva di difficile concezio-
ne, sembra che la cicloide non sia venuta alla lu-
ce fino al XVI° secolo. Fu Pascal il primo a sco-
prirne le innumerevoli proprietà e a meravigliarsi
che gli antichi greci l´avessero ignorata, anche
se Giamblico (filisofo greco del III° secolo d.C.)sembra attribuire una curva simile a Carpo d´An-
tochia una curva "a doppio movimento" inventata
per quadrare il cerchio. Tutto ciò non basta ad
annoverare la curva tra quelle conosciute nell´an-
tichità. Mersenne ne diede la prima definizione
documentata; nei primi del 1600, Galileo Galilei
fu il primo ad attribuirgli il nome che oggi le dia-
mo. Nel 1634 Roberval risolse il problema dell´a-
rea compresa tra un arco della curva (da lui chia-
mata trocoide dal greco trocos=ruota) e la base
che aveva visto impegnati per circa 40 anni Torr
celli e Galileo; Cartesio e Fermat trovarono le tan
genti alla cicloide, ma fu Pascal, come detto, tor
nato ad occuparsi di matematica dopo un lungo
periodo in cui si dedicò a religione e filosofia, arisvegliare grande interesse nella curva (da lui
chiamata roulette) proponendo diverse sfide ma
tematiche riguardanti la cicloide, a cui partecipa
rono i più grandi matematici dell´epoca: Wallis,
Sluze, Fermat, Huygens, Ricci. Successivamen-
te, scenziati del calibro dei fratelli Bernoulli,
Leibniz e Newton trovarono per la curva famossi
sime proprietà matematiche e fisiche.
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La cicloide è una curva con moltissime proprietà, le qualifurono al centro di innumerevoli dispute tra gli scienziati
dell´epoca, tanto che la curva fu definita "la Elena della
geometria". Vediamo per prima cosa le proprietà metriche:
l´area sottostante un ramo di cicloide è tre volte l´area del
cerchio usato per generarla ovvero ; la lunghezza di un ar-
co di cicloide è quattro volte il diametro usato per descri-
verla.
PROPRIETA’
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FILMATO 2.1 Animazione
La cicloide si presta a innumerevoli generalizzazioni: se ad esempio al posto di una retta
sul quale far scorrere la circonferenza si considera una seconda circonferenza (più grande di
quella che scorre), le curve descritte verranno dette epicicloidi, se la circonferenza rotola
esternamente, ipocicloidi, se la circonferenza rotola internamente. Ulteriori generalizzazioni si
possono ottenere nel caso che il punto sia interno od esterno alla circonferenza. Sotto possia-
mo vedere un esempio di una epiciloide (a sinistra) e di una ipocicloide (a destra).
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Cicloide ordinaria, accorciata e allungata
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La cicloide è definita come il luogo deipunti su una circonferenza data cherotola senza strisciare su una retta.
Questo tipo di cicloide viene dettaordinaria. Se il punto non si trovasulla circonferenza, si parla di cicloideaccorciata se il punto è interno e dicicloide allungata se il punto è al difuori della circonferenza: in basso è
INTERATTIVO 3.1 GeoGebra
Scegli la posizione del punto P perdescrivere le cicloidi
FILMATO 3.1 La cicloide in edMondo
Costruzione di due prototipi di cicloide inedMondo, la piattaforma 3D dell’INDIREdedicata alla didattica nell’ambito del progettoiTEC “Il cerchio magico”
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I cerchi nel grano (in inglese crop circles), o agro-
glifi, sono aree di campi di cereali, o di coltivazioni
simili, in cui le piante appaiono appiattite in modo
uniforme, formando così varie figure geometriche
(talvolta indicate come "pittogrammi") ben visibili
dall'alto. A seguito del numero crescente di appari-
zioni di queste figure (soprattutto in Inghilterra) a
partire dalla fine degli anni settanta del XX secolo,il fenomeno dei cerchi è diventato oggetto d'inda-
gine per determinare la genesi di queste figure.
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I CERCHI NEL
GRANO
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GALLERIA 4.1 Cerchi nel grano fotografati
Costruzione dei cerchi nel grano nell’ambiente edMondo, il mondovirtuale dedicato alla didattica nell’ambito del progetto iTEC “Ilcerchio magico”
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Tutti conosciamo il numero #, pi greco, il rapporto
tra la circonferenza ed il suo diametro, tra il cer-
chio ed il suo raggio al quadrato, 3,14... insomma.
Ma dietro a quei puntini cosa c'è?
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ALLA RICERCA DEL
PI GRECO
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Il nome di babilonesi viene dato ad una serie di popolazioni che,
in tempi successivi, occuparono la Mesopotamia, una regione
del Medio Oriente situata tra il Tigri e l'Eufrate. Tra di esse ricor-
diamo le popolazioni dei Sumeri, che per primi occuparono tale
regione a partire dal 4000 a.C., seguiti dagli Accadi (2200 a.C.),dagli Assiri (800 a.C.), dai Caldei (700 a.C.), dai Persiani (540
a.C.), fino alla conquista della Mesopotamia da parte di Alessan-
dro Magno nel 330 a.C. Il massimo periodo di fioritura della cultu-
ra babilonese si ebbe tra il 2200 a.C. e il 1700 a.C.
In Mesopotamia il ruolo della geometria era insignificante e quasi
sempre legato ad applicazioni pratiche. I babilonesi conosceva-
no certamente il teorema di Pitagora (o meglio alcune terne pita-
goriche, senza porsi il problema di una loro generalizzazione ) e
la similitudine dei triangoli. Per ottenere l'area del cerchio usava-
no la formula A=c2/12, dove c indica la circonferenza. Ciò equi-
vale ad usare per p il valore 3. Ed è proprio da 3, come nel film
di Troisi, che comincia dunque la nostra storia.
Per calcolare la lunghezza della circonferenza inscritta nell'esa-
gono regolare, i babilonesi usavano un rapporto che implicava
per p il valore di 3+1/8, che equivale a 3,125.
Il valore assegnato a p dai babilonesi era approssimato per di-
IL PI GRECO
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to. Gli antichi egizi assegnavano invece a p un valore
prossimato per eccesso. Essi calcolavano l'area del cer-
o mediante la formula A =(8/9 d)2, dove d è il diame-
In questo caso p assume il valore 256/81 (circa
605).
corre arrivare al grande Archimede di Siracusa (287-
2 a.C.), per avere i primi due decimali esatti di p. Egli
rca di calcolare la lunghezza della circonferenza perzzo del perimetro dei poligoni inscritti e circoscritti. La
conferenza ha infatti una lunghezza compresa tra il peri-
tro di un poligono inscritto e quello di un poligono circo-
itto ad essa.
misure di tali perimetri si avvicinano sempre più tra loro
n l'aumentare del numero dei loro lati, permettendo di
tringere sempre più l'intervallo entro il quale dev'essere
mpresa la misura della circonferenza che si desidera tro-
e. Per tale via, egli riesce quindi a stabilire due valoricui p è compreso: (3+10/71) <p < (3+1/7). Il primo
due valori vale 3,1408... e il secondo vale 3,1428...
no occorsi quasi due millenni per passare da una a tre
e esatte del nostro numero. Non basterà invece il tem-
passato e futuro dell'umanità per trovare tutte le altre
e.
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Archimede di Siracusa (in greco "#$%&'()*; Siracusa, circa 287 a.C. – Siracusa, 212 a.C.) è
stato un matematico, ingegnere, fisico e inventore greco antico (siceliota). È uno deimassimi scienziati dellastoria
METODO DI ESAUSTIONE
Per calcolare " Archimede fece il ragionamentoillustra- to nella figura A : • la lunghezza della circon-ferenza è certamente com- presa tra il perimetrodi un poligono regolare a essa circoscritto e il
perimetro dello stesso poligono rego- lare a essainscritto;• al crescere del numero dei lati del
poligono, il suo perimetro approssima sem- pre piùda vicino la lun- ghezza della circonferenza.Archimede riuscì a calcolare il perimetro deipoligoni rego- lari inscritti e circoscritti, e ot- tenne
=
FILMATO 5.1 Metodo di esaustione
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EST DIAUTOVAUTAZIONE
Domanda 1 di 5
Il segmento che unisce due punti della circonferenza
si chiama
A. raggio
B. arco
C. settore
D. corda
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CERCHIO
Punti del piano interni alla circonferenza
Termini del glossario correlati
Indice
Circonferenza
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CIRCONFERENZA
Luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso
Termini del glossario correlati
Cerchio
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CORDA
Segmento che congiunge due punti della circonferenza
Termini del glossario correlati
Trascina termini correlati qui
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RAGGIO
Segmento che congiunge il centro con uno dei punti della circonferenza
Termini del glossario correlati
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