MAE5835 - Estatística Avançada II - Aula 1 - Introdução - … · 2020-03-02 · MAE5835 -...
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MAE5835 - Estatística Avançada II Aula 1 - Introdução - conceituação inicial
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MAE5835 - Estatística Avançada IIAula 1 - Introdução - conceituação inicial
MAE5835 - Estatística Avançada IIInformações gerais sobre o curso
Homepage do curso: Sistema e-disciplinas:http://edisciplinas.usp.br
Professor Responsável: Antonio Carlos Pedroso de Lima
I Sala 201 - Bloco A (2o. andar)
Avaliação:
I Prova (25%)I Seminário (25%)I Listas de exercícios (50%)
Datas da prova e dos seminários serão divulgados durante o semestre
MAE5835 - Estatística Avançada IIInformações gerais sobre o curso
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Professor Responsável: Antonio Carlos Pedroso de Lima
I Sala 201 - Bloco A (2o. andar)
Avaliação:
I Prova (25%)I Seminário (25%)I Listas de exercícios (50%)
Datas da prova e dos seminários serão divulgados durante o semestre
MAE5835 - Estatística Avançada IIInformações gerais sobre o curso
Homepage do curso: Sistema e-disciplinas:http://edisciplinas.usp.br
Professor Responsável: Antonio Carlos Pedroso de Lima
I Sala 201 - Bloco A (2o. andar)
Avaliação:
I Prova (25%)I Seminário (25%)I Listas de exercícios (50%)
Datas da prova e dos seminários serão divulgados durante o semestre
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Homepage do curso: Sistema e-disciplinas:http://edisciplinas.usp.br
Professor Responsável: Antonio Carlos Pedroso de Lima
I Sala 201 - Bloco A (2o. andar)
Avaliação:
I Prova (25%)I Seminário (25%)I Listas de exercícios (50%)
Datas da prova e dos seminários serão divulgados durante o semestre
MAE5835 - Estatística Avançada IIPrograma resumido e bibliografia
Tópicos gerais a serem discutidos:I Ordens de magnitude (determinísticas e estocásticas)I Convergência e propriedades assintóticas de estimadoresI Estudo assintótico de testes e estatísticas de testesI Outros tópicos
BibliografiaI Sen, Singer & Pedroso de Lima (2010). From finite sample to
asymptotic methods in statistics. New York: Cambridge UniversityPress.
I Sen & Singer (1993). Large sample methods in statistics: anintroduction with applications. New York: Chapman and Hall.
I Leite & Singer (1990). Métodos assintóticos em estatística. SãoPaulo: Associação Brasileira de Estatística.
I Serfling (1980). Approximation theorems of mathematical statistics.New York: Wiley.
I Barndorff-Nielsen & Cox (1994). Inference and asymptotics. NewYork: Chapman and Hall/CRC.
MAE5835 - Estatística Avançada IIPrograma resumido e bibliografia
Tópicos gerais a serem discutidos:I Ordens de magnitude (determinísticas e estocásticas)I Convergência e propriedades assintóticas de estimadoresI Estudo assintótico de testes e estatísticas de testesI Outros tópicos
BibliografiaI Sen, Singer & Pedroso de Lima (2010). From finite sample to
asymptotic methods in statistics. New York: Cambridge UniversityPress.
I Sen & Singer (1993). Large sample methods in statistics: anintroduction with applications. New York: Chapman and Hall.
I Leite & Singer (1990). Métodos assintóticos em estatística. SãoPaulo: Associação Brasileira de Estatística.
I Serfling (1980). Approximation theorems of mathematical statistics.New York: Wiley.
I Barndorff-Nielsen & Cox (1994). Inference and asymptotics. NewYork: Chapman and Hall/CRC.
Teoria assintótica - motivação
Seja X uma variável aleatória representando uma população descritaprobabilisticamente pela função de distribuição FX (·; θ), θ ∈ Θ ⊂ Rp, p ≥ 1.
FX (·, θ) representa uma família de distribuições, indexada por θ.
θ é o parâmetro da distribuição
Θ é o espaço paramétrico contendo os possíveis valores que θ podeassumir.
Uma amostra aleatória de X é um conjunto de variáveis aleatórias X1, . . . ,Xntais que
Xi ⊥⊥ Xj , 1 ≤ i 6= j ≤ n
Xj ∼ FX (·; θ), j = 1, . . . ,n
Note que
1 A independência pode ser relaxada em algumas situações
2 X pode ser substituída por um vetor aleatório X = (X1, . . . ,Xq), q ≥ 1
Teoria assintótica - motivação
Seja X uma variável aleatória representando uma população descritaprobabilisticamente pela função de distribuição FX (·; θ), θ ∈ Θ ⊂ Rp, p ≥ 1.
FX (·, θ) representa uma família de distribuições, indexada por θ.
θ é o parâmetro da distribuição
Θ é o espaço paramétrico contendo os possíveis valores que θ podeassumir.
Uma amostra aleatória de X é um conjunto de variáveis aleatórias X1, . . . ,Xntais que
Xi ⊥⊥ Xj , 1 ≤ i 6= j ≤ n
Xj ∼ FX (·; θ), j = 1, . . . ,n
Note que
1 A independência pode ser relaxada em algumas situações
2 X pode ser substituída por um vetor aleatório X = (X1, . . . ,Xq), q ≥ 1
Teoria assintótica - motivação
Seja X uma variável aleatória representando uma população descritaprobabilisticamente pela função de distribuição FX (·; θ), θ ∈ Θ ⊂ Rp, p ≥ 1.
FX (·, θ) representa uma família de distribuições, indexada por θ.
θ é o parâmetro da distribuição
Θ é o espaço paramétrico contendo os possíveis valores que θ podeassumir.
Uma amostra aleatória de X é um conjunto de variáveis aleatórias X1, . . . ,Xntais que
Xi ⊥⊥ Xj , 1 ≤ i 6= j ≤ n
Xj ∼ FX (·; θ), j = 1, . . . ,n
Note que
1 A independência pode ser relaxada em algumas situações
2 X pode ser substituída por um vetor aleatório X = (X1, . . . ,Xq), q ≥ 1
Teoria assintótica - motivação
Seja X uma variável aleatória representando uma população descritaprobabilisticamente pela função de distribuição FX (·; θ), θ ∈ Θ ⊂ Rp, p ≥ 1.
FX (·, θ) representa uma família de distribuições, indexada por θ.
θ é o parâmetro da distribuição
Θ é o espaço paramétrico contendo os possíveis valores que θ podeassumir.
Uma amostra aleatória de X é um conjunto de variáveis aleatórias X1, . . . ,Xntais que
Xi ⊥⊥ Xj , 1 ≤ i 6= j ≤ n
Xj ∼ FX (·; θ), j = 1, . . . ,n
Note que
1 A independência pode ser relaxada em algumas situações
2 X pode ser substituída por um vetor aleatório X = (X1, . . . ,Xq), q ≥ 1
Teoria assintótica - motivação
Seja X uma variável aleatória representando uma população descritaprobabilisticamente pela função de distribuição FX (·; θ), θ ∈ Θ ⊂ Rp, p ≥ 1.
FX (·, θ) representa uma família de distribuições, indexada por θ.
θ é o parâmetro da distribuição
Θ é o espaço paramétrico contendo os possíveis valores que θ podeassumir.
Uma amostra aleatória de X é um conjunto de variáveis aleatórias X1, . . . ,Xntais que
Xi ⊥⊥ Xj , 1 ≤ i 6= j ≤ n
Xj ∼ FX (·; θ), j = 1, . . . ,n
Note que
1 A independência pode ser relaxada em algumas situações
2 X pode ser substituída por um vetor aleatório X = (X1, . . . ,Xq), q ≥ 1
Teoria assintótica - motivação
Seja X uma variável aleatória representando uma população descritaprobabilisticamente pela função de distribuição FX (·; θ), θ ∈ Θ ⊂ Rp, p ≥ 1.
FX (·, θ) representa uma família de distribuições, indexada por θ.
θ é o parâmetro da distribuição
Θ é o espaço paramétrico contendo os possíveis valores que θ podeassumir.
Uma amostra aleatória de X é um conjunto de variáveis aleatórias X1, . . . ,Xntais que
Xi ⊥⊥ Xj , 1 ≤ i 6= j ≤ n
Xj ∼ FX (·; θ), j = 1, . . . ,n
Note que
1 A independência pode ser relaxada em algumas situações
2 X pode ser substituída por um vetor aleatório X = (X1, . . . ,Xq), q ≥ 1
Teoria assintótica - motivação
Seja X uma variável aleatória representando uma população descritaprobabilisticamente pela função de distribuição FX (·; θ), θ ∈ Θ ⊂ Rp, p ≥ 1.
FX (·, θ) representa uma família de distribuições, indexada por θ.
θ é o parâmetro da distribuição
Θ é o espaço paramétrico contendo os possíveis valores que θ podeassumir.
Uma amostra aleatória de X é um conjunto de variáveis aleatórias X1, . . . ,Xntais que
Xi ⊥⊥ Xj , 1 ≤ i 6= j ≤ n
Xj ∼ FX (·; θ), j = 1, . . . ,n
Note que
1 A independência pode ser relaxada em algumas situações
2 X pode ser substituída por um vetor aleatório X = (X1, . . . ,Xq), q ≥ 1
Teoria assintótica - motivação
Seja X uma variável aleatória representando uma população descritaprobabilisticamente pela função de distribuição FX (·; θ), θ ∈ Θ ⊂ Rp, p ≥ 1.
FX (·, θ) representa uma família de distribuições, indexada por θ.
θ é o parâmetro da distribuição
Θ é o espaço paramétrico contendo os possíveis valores que θ podeassumir.
Uma amostra aleatória de X é um conjunto de variáveis aleatórias X1, . . . ,Xntais que
Xi ⊥⊥ Xj , 1 ≤ i 6= j ≤ n
Xj ∼ FX (·; θ), j = 1, . . . ,n
Note que
1 A independência pode ser relaxada em algumas situações
2 X pode ser substituída por um vetor aleatório X = (X1, . . . ,Xq), q ≥ 1
Teoria assintótica - motivaçãoEstruturas paramétrica e não paramétrica
Supondo um espaço de probabilidades (Ω,F,P), a função de distribuiçãoacumulada é
F (x) = P(X ≤ x), x ∈ R
Estrutura paramétrica
A forma funcional de F é conhecida
Estrutura não paramétrica
F é desconhecida, porém satisfaz
F (x)→ 0, x → −∞
F (x)→ 1, x → +∞
é uma função não decrescente e contínua à direita
Teoria assintótica - motivaçãoEstruturas paramétrica e não paramétrica
Supondo um espaço de probabilidades (Ω,F,P), a função de distribuiçãoacumulada é
F (x) = P(X ≤ x), x ∈ R
Estrutura paramétrica
A forma funcional de F é conhecida
Estrutura não paramétrica
F é desconhecida, porém satisfaz
F (x)→ 0, x → −∞
F (x)→ 1, x → +∞
é uma função não decrescente e contínua à direita
Teoria assintótica - motivaçãoEstruturas paramétrica e não paramétrica
Supondo um espaço de probabilidades (Ω,F,P), a função de distribuiçãoacumulada é
F (x) = P(X ≤ x), x ∈ R
Estrutura paramétrica
A forma funcional de F é conhecida
Estrutura não paramétrica
F é desconhecida, porém satisfaz
F (x)→ 0, x → −∞
F (x)→ 1, x → +∞
é uma função não decrescente e contínua à direita
Teoria assintótica - motivaçãoEstruturas paramétrica e não paramétrica
Supondo um espaço de probabilidades (Ω,F,P), a função de distribuiçãoacumulada é
F (x) = P(X ≤ x), x ∈ R
Estrutura paramétrica
A forma funcional de F é conhecida
Estrutura não paramétrica
F é desconhecida, porém satisfaz
F (x)→ 0, x → −∞
F (x)→ 1, x → +∞
é uma função não decrescente e contínua à direita
Teoria assintótica - motivaçãoEstruturas paramétrica e não paramétrica
Supondo um espaço de probabilidades (Ω,F,P), a função de distribuiçãoacumulada é
F (x) = P(X ≤ x), x ∈ R
Estrutura paramétrica
A forma funcional de F é conhecida
Estrutura não paramétrica
F é desconhecida, porém satisfaz
F (x)→ 0, x → −∞
F (x)→ 1, x → +∞
é uma função não decrescente e contínua à direita
Teoria assintótica - motivaçãoExemplos
1 Suponha a v.a.
Xi =
1, com probabilidade π (sucesso)0, com probabilidade 1− π (fracasso)
π ∈ Θ = (0,1).
SejaZn = X1 + · · ·+ Xn
a v.a. representando o número de sucessos em n ensaios. Então,
P(Zn = j) =
(nj
)πj (1− π)n−j , j = 0, . . . ,n
e para k = 0,1, . . . ,n,
FZn (k , π) = P(Zn ≤ k) =k∑
j=0
P(Zn = j) =k∑
j=0
(nj
)πj (1− π)n−j
satisfaz as propriedades de uma função de distribuição.
Teoria assintótica - motivaçãoExemplos
1 Suponha a v.a.
Xi =
1, com probabilidade π (sucesso)0, com probabilidade 1− π (fracasso)
π ∈ Θ = (0,1). SejaZn = X1 + · · ·+ Xn
a v.a. representando o número de sucessos em n ensaios.
Então,
P(Zn = j) =
(nj
)πj (1− π)n−j , j = 0, . . . ,n
e para k = 0,1, . . . ,n,
FZn (k , π) = P(Zn ≤ k) =k∑
j=0
P(Zn = j) =k∑
j=0
(nj
)πj (1− π)n−j
satisfaz as propriedades de uma função de distribuição.
Teoria assintótica - motivaçãoExemplos
1 Suponha a v.a.
Xi =
1, com probabilidade π (sucesso)0, com probabilidade 1− π (fracasso)
π ∈ Θ = (0,1). SejaZn = X1 + · · ·+ Xn
a v.a. representando o número de sucessos em n ensaios. Então,
P(Zn = j) =
(nj
)πj (1− π)n−j , j = 0, . . . ,n
e para k = 0,1, . . . ,n,
FZn (k , π) = P(Zn ≤ k) =k∑
j=0
P(Zn = j) =k∑
j=0
(nj
)πj (1− π)n−j
satisfaz as propriedades de uma função de distribuição.
Teoria assintótica - motivaçãoExemplos
1 Suponha a v.a.
Xi =
1, com probabilidade π (sucesso)0, com probabilidade 1− π (fracasso)
π ∈ Θ = (0,1). SejaZn = X1 + · · ·+ Xn
a v.a. representando o número de sucessos em n ensaios. Então,
P(Zn = j) =
(nj
)πj (1− π)n−j , j = 0, . . . ,n
e para k = 0,1, . . . ,n,
FZn (k , π) = P(Zn ≤ k) =k∑
j=0
P(Zn = j) =k∑
j=0
(nj
)πj (1− π)n−j
satisfaz as propriedades de uma função de distribuição.
Teoria assintótica - motivaçãoExemplos
2 Seja X : altura das pessoas em uma certa população.
FX (x ; θ) = Pθ(X ≤ x)
Se X ∼ N(µ, σ2), θ = (µ, σ2) ∈ R×R+ ⊂ R2 e
FX (x ; θ) =
∫ x
−∞
1√2πσ2
exp− 1
2
(y − µσ
)2dy
tem forma funcional conhecida⇒ Estrutura Paramétrica
Situação mais geral: F não tem forma funcional especificada, mas
satisfaz as propriedades de uma função de distribuição
a densidade é unimodal com parâmetro de locação θ
⇒ Estrutura Não Paramétrica
Teoria assintótica - motivaçãoExemplos
2 Seja X : altura das pessoas em uma certa população.
FX (x ; θ) = Pθ(X ≤ x)
Se X ∼ N(µ, σ2), θ = (µ, σ2) ∈ R×R+ ⊂ R2 e
FX (x ; θ) =
∫ x
−∞
1√2πσ2
exp− 1
2
(y − µσ
)2dy
tem forma funcional conhecida⇒ Estrutura Paramétrica
Situação mais geral: F não tem forma funcional especificada, mas
satisfaz as propriedades de uma função de distribuição
a densidade é unimodal com parâmetro de locação θ
⇒ Estrutura Não Paramétrica
Teoria assintótica - motivaçãoExemplos
2 Seja X : altura das pessoas em uma certa população.
FX (x ; θ) = Pθ(X ≤ x)
Se X ∼ N(µ, σ2), θ = (µ, σ2) ∈ R×R+ ⊂ R2 e
FX (x ; θ) =
∫ x
−∞
1√2πσ2
exp− 1
2
(y − µσ
)2dy
tem forma funcional conhecida⇒ Estrutura Paramétrica
Situação mais geral: F não tem forma funcional especificada, mas
satisfaz as propriedades de uma função de distribuição
a densidade é unimodal com parâmetro de locação θ
⇒ Estrutura Não Paramétrica
Teoria assintótica - motivaçãoExemplos
2 Seja X : altura das pessoas em uma certa população.
FX (x ; θ) = Pθ(X ≤ x)
Se X ∼ N(µ, σ2), θ = (µ, σ2) ∈ R×R+ ⊂ R2 e
FX (x ; θ) =
∫ x
−∞
1√2πσ2
exp− 1
2
(y − µσ
)2dy
tem forma funcional conhecida⇒ Estrutura Paramétrica
Situação mais geral: F não tem forma funcional especificada, mas
satisfaz as propriedades de uma função de distribuição
a densidade é unimodal com parâmetro de locação θ
⇒ Estrutura Não Paramétrica
Teoria assintótica - motivaçãoExemplos
2 Seja X : altura das pessoas em uma certa população.
FX (x ; θ) = Pθ(X ≤ x)
Se X ∼ N(µ, σ2), θ = (µ, σ2) ∈ R×R+ ⊂ R2 e
FX (x ; θ) =
∫ x
−∞
1√2πσ2
exp− 1
2
(y − µσ
)2dy
tem forma funcional conhecida⇒ Estrutura Paramétrica
Situação mais geral: F não tem forma funcional especificada, mas
satisfaz as propriedades de uma função de distribuição
a densidade é unimodal com parâmetro de locação θ
⇒ Estrutura Não Paramétrica
Teoria assintótica - motivaçãoObjetivos
Estimar F e avaliar a precisão com que isso é feito
I Estrutura paramétrica: estimar o parâmetro θI Estrutura não paramétrica: estimar F , parâmetro de dimensão
infinita
Testar hipóteses de interesse, por exemplo,
H0 : θ = θ0
H1 : θ 6= θ0
utilizando a amostra X1, . . . ,Xn.
A ferramenta para tais procedimentos baseia-se em alguma função
Tn = T (X1, . . . ,Xn)
que não depende de θ (uma estatística)
Objetivo: estudar o comportamento probabilístico de Tn, quando n→∞
Teoria assintótica - motivaçãoObjetivos
Estimar F e avaliar a precisão com que isso é feitoI Estrutura paramétrica: estimar o parâmetro θ
I Estrutura não paramétrica: estimar F , parâmetro de dimensãoinfinita
Testar hipóteses de interesse, por exemplo,
H0 : θ = θ0
H1 : θ 6= θ0
utilizando a amostra X1, . . . ,Xn.
A ferramenta para tais procedimentos baseia-se em alguma função
Tn = T (X1, . . . ,Xn)
que não depende de θ (uma estatística)
Objetivo: estudar o comportamento probabilístico de Tn, quando n→∞
Teoria assintótica - motivaçãoObjetivos
Estimar F e avaliar a precisão com que isso é feitoI Estrutura paramétrica: estimar o parâmetro θI Estrutura não paramétrica: estimar F , parâmetro de dimensão
infinita
Testar hipóteses de interesse, por exemplo,
H0 : θ = θ0
H1 : θ 6= θ0
utilizando a amostra X1, . . . ,Xn.
A ferramenta para tais procedimentos baseia-se em alguma função
Tn = T (X1, . . . ,Xn)
que não depende de θ (uma estatística)
Objetivo: estudar o comportamento probabilístico de Tn, quando n→∞
Teoria assintótica - motivaçãoObjetivos
Estimar F e avaliar a precisão com que isso é feitoI Estrutura paramétrica: estimar o parâmetro θI Estrutura não paramétrica: estimar F , parâmetro de dimensão
infinita
Testar hipóteses de interesse, por exemplo,
H0 : θ = θ0
H1 : θ 6= θ0
utilizando a amostra X1, . . . ,Xn.
A ferramenta para tais procedimentos baseia-se em alguma função
Tn = T (X1, . . . ,Xn)
que não depende de θ (uma estatística)
Objetivo: estudar o comportamento probabilístico de Tn, quando n→∞
Teoria assintótica - motivaçãoObjetivos
Estimar F e avaliar a precisão com que isso é feitoI Estrutura paramétrica: estimar o parâmetro θI Estrutura não paramétrica: estimar F , parâmetro de dimensão
infinita
Testar hipóteses de interesse, por exemplo,
H0 : θ = θ0
H1 : θ 6= θ0
utilizando a amostra X1, . . . ,Xn.
A ferramenta para tais procedimentos baseia-se em alguma função
Tn = T (X1, . . . ,Xn)
que não depende de θ (uma estatística)
Objetivo: estudar o comportamento probabilístico de Tn, quando n→∞
Teoria assintótica - motivaçãoObjetivos
Estimar F e avaliar a precisão com que isso é feitoI Estrutura paramétrica: estimar o parâmetro θI Estrutura não paramétrica: estimar F , parâmetro de dimensão
infinita
Testar hipóteses de interesse, por exemplo,
H0 : θ = θ0
H1 : θ 6= θ0
utilizando a amostra X1, . . . ,Xn.
A ferramenta para tais procedimentos baseia-se em alguma função
Tn = T (X1, . . . ,Xn)
que não depende de θ (uma estatística)
Objetivo: estudar o comportamento probabilístico de Tn, quando n→∞
Teoria assintótica - motivaçãoObjetivos
No Exemplo 1:
Tn =1n
(X1 + · · ·+ Xn) =1n
Zn : proporção de sucessos na amostra
Sendo π0 o verdadeiro valor de θ = π,
Quão distante Tn está de π0?
Definimosdn(Tn, π0) = |Tn − π0|
uma quantidade aleatória⇒ qual é o comportamento probabilístico de dn?
Em geral,
É difícil obter a distribuição exata de Tn (especialmente se n é grande)
Estudaremos o comportamento probabilístico de dn(·, ·) para n→∞
Teoria assintótica - motivaçãoObjetivos
No Exemplo 1:
Tn =1n
(X1 + · · ·+ Xn) =1n
Zn : proporção de sucessos na amostra
Sendo π0 o verdadeiro valor de θ = π,
Quão distante Tn está de π0?
Definimosdn(Tn, π0) = |Tn − π0|
uma quantidade aleatória⇒ qual é o comportamento probabilístico de dn?
Em geral,
É difícil obter a distribuição exata de Tn (especialmente se n é grande)
Estudaremos o comportamento probabilístico de dn(·, ·) para n→∞
Teoria assintótica - motivaçãoObjetivos
No Exemplo 1:
Tn =1n
(X1 + · · ·+ Xn) =1n
Zn : proporção de sucessos na amostra
Sendo π0 o verdadeiro valor de θ = π,
Quão distante Tn está de π0?
Definimosdn(Tn, π0) = |Tn − π0|
uma quantidade aleatória⇒ qual é o comportamento probabilístico de dn?
Em geral,
É difícil obter a distribuição exata de Tn (especialmente se n é grande)
Estudaremos o comportamento probabilístico de dn(·, ·) para n→∞
Teoria assintótica - motivaçãoObjetivos
No Exemplo 1:
Tn =1n
(X1 + · · ·+ Xn) =1n
Zn : proporção de sucessos na amostra
Sendo π0 o verdadeiro valor de θ = π,
Quão distante Tn está de π0?
Definimosdn(Tn, π0) = |Tn − π0|
uma quantidade aleatória⇒ qual é o comportamento probabilístico de dn?
Em geral,
É difícil obter a distribuição exata de Tn (especialmente se n é grande)
Estudaremos o comportamento probabilístico de dn(·, ·) para n→∞
Teoria assintótica - motivaçãoObjetivos
No Exemplo 1:
Tn =1n
(X1 + · · ·+ Xn) =1n
Zn : proporção de sucessos na amostra
Sendo π0 o verdadeiro valor de θ = π,
Quão distante Tn está de π0?
Definimosdn(Tn, π0) = |Tn − π0|
uma quantidade aleatória⇒ qual é o comportamento probabilístico de dn?
Em geral,
É difícil obter a distribuição exata de Tn (especialmente se n é grande)
Estudaremos o comportamento probabilístico de dn(·, ·) para n→∞
Teoria assintóticaConvergência
Caso determinístico:an, n ≥ 1 sequência de reais e a ∈ R.
an → a quando n→∞ se, para todo ε > 0,
∃ n0 = n0(ε) tal que |an − a| < ε, ∀n ≥ n0.
Caso estocástico:Tn, n ≥ 1 sequência de v.a.’s.
dn(Tn, θ)P−→ 0,
se ∀η > 0 e ε > 0, ∃ n0 = n0(ε, η) tal que
P[dn(Tn, θ) > ε] < η, ∀n ≥ n0.
ou, em particular,
P[|Tn − θ| > ε] < η, ∀n ≥ n0.
que diz respeito à consistência de Tn
Teoria assintóticaConvergência
Caso determinístico:an, n ≥ 1 sequência de reais e a ∈ R.an → a quando n→∞ se, para todo ε > 0,
∃ n0 = n0(ε) tal que |an − a| < ε, ∀n ≥ n0.
Caso estocástico:Tn, n ≥ 1 sequência de v.a.’s.
dn(Tn, θ)P−→ 0,
se ∀η > 0 e ε > 0, ∃ n0 = n0(ε, η) tal que
P[dn(Tn, θ) > ε] < η, ∀n ≥ n0.
ou, em particular,
P[|Tn − θ| > ε] < η, ∀n ≥ n0.
que diz respeito à consistência de Tn
Teoria assintóticaConvergência
Caso determinístico:an, n ≥ 1 sequência de reais e a ∈ R.an → a quando n→∞ se, para todo ε > 0,
∃ n0 = n0(ε) tal que |an − a| < ε, ∀n ≥ n0.
Caso estocástico:Tn, n ≥ 1 sequência de v.a.’s.
dn(Tn, θ)P−→ 0,
se ∀η > 0 e ε > 0, ∃ n0 = n0(ε, η) tal que
P[dn(Tn, θ) > ε] < η, ∀n ≥ n0.
ou, em particular,
P[|Tn − θ| > ε] < η, ∀n ≥ n0.
que diz respeito à consistência de Tn
Teoria assintóticaConvergência
Caso determinístico:an, n ≥ 1 sequência de reais e a ∈ R.an → a quando n→∞ se, para todo ε > 0,
∃ n0 = n0(ε) tal que |an − a| < ε, ∀n ≥ n0.
Caso estocástico:Tn, n ≥ 1 sequência de v.a.’s.
dn(Tn, θ)P−→ 0,
se ∀η > 0 e ε > 0, ∃ n0 = n0(ε, η) tal que
P[dn(Tn, θ) > ε] < η, ∀n ≥ n0.
ou, em particular,
P[|Tn − θ| > ε] < η, ∀n ≥ n0.
que diz respeito à consistência de Tn
Teoria assintóticaConvergência
Voltando ao Exemplo 1:
Zn = X1 + · · ·+ Xn ∼ Bin(n, π)
e assim
P(Zn = k) =
(nk
)πk (1− π)n−k , k = 0,1, . . . ,n
0 n2 n-11 . . . . . .
A variação de Zn fica cada vez maior para n→∞
Teoria assintóticaConvergência
Como a variação de Zn aumenta com n, definimos então
Tn =1n
Zn
Segue que queTn − π
−→?−→
0
mas, uma vez que Tn é uma v.a., em que sentido essa convergência ocorre?
Também, no limite (n→∞),
0 n2 n-11 . . . . . .
−→
0 π 1
Isto é, ocorre também a convergência da distribuição de Tn para umadistribuição limite.
Teoria assintóticaConvergência
Como a variação de Zn aumenta com n, definimos então
Tn =1n
Zn
Segue que queTn − π −→
?−→
0
mas, uma vez que Tn é uma v.a., em que sentido essa convergência ocorre?
Também, no limite (n→∞),
0 n2 n-11 . . . . . .
−→
0 π 1
Isto é, ocorre também a convergência da distribuição de Tn para umadistribuição limite.
Teoria assintóticaConvergência
Como a variação de Zn aumenta com n, definimos então
Tn =1n
Zn
Segue que queTn − π
−→
?−→ 0
mas, uma vez que Tn é uma v.a., em que sentido essa convergência ocorre?
Também, no limite (n→∞),
0 n2 n-11 . . . . . .
−→
0 π 1
Isto é, ocorre também a convergência da distribuição de Tn para umadistribuição limite.
Teoria assintóticaConvergência
Como a variação de Zn aumenta com n, definimos então
Tn =1n
Zn
Segue que queTn − π
−→
?−→ 0
mas, uma vez que Tn é uma v.a., em que sentido essa convergência ocorre?
Também, no limite (n→∞),
0 n2 n-11 . . . . . .
−→
0 π 1
Isto é, ocorre também a convergência da distribuição de Tn para umadistribuição limite.
Teoria assintóticaConvergência
Como a variação de Zn aumenta com n, definimos então
Tn =1n
Zn
Segue que queTn − π
−→
?−→ 0
mas, uma vez que Tn é uma v.a., em que sentido essa convergência ocorre?
Também, no limite (n→∞),
0 n2 n-11 . . . . . .
−→
0 π 1
Isto é, ocorre também a convergência da distribuição de Tn para umadistribuição limite.
Teoria assintóticaConvergência
Note que
Gn(t) = P(Tn ≤ t) = P[T (X1, . . . ,Xn) ≤ t ]
=
∫· · ·∫
x1,...xn:T (x1,...,xn)≤t
fX (x1; θ) · · · fX (xn; θ)dxn · · · dx1
Em geral, difícil de ser calculada analiticamente (mesmo para n = 2).
Para n→∞, podemos lançar mão dos Teoremas Limite Centrais
Teoria assintóticaConvergência
Note que
Gn(t) = P(Tn ≤ t) = P[T (X1, . . . ,Xn) ≤ t ]
=
∫· · ·∫
x1,...xn:T (x1,...,xn)≤t
fX (x1; θ) · · · fX (xn; θ)dxn · · · dx1
Em geral, difícil de ser calculada analiticamente (mesmo para n = 2).
Para n→∞, podemos lançar mão dos Teoremas Limite Centrais
Teoria assintóticaConvergência
E para o caso não paramétrico?
X1, . . . ,Xn a.a. com F desconhecida.
Sabemos que:
F (x) ∈ [0,1], x ∈ R
limx→−∞ F (x) = 0
limx→+∞ F (x) = 1
F é não decrescente
Contínua à direita
A forma mais simples de estimar F para este caso é através da função dedistribuição empírica Fn(·)
Teoria assintóticaConvergência
E para o caso não paramétrico?
X1, . . . ,Xn a.a. com F desconhecida.
Sabemos que:
F (x) ∈ [0,1], x ∈ R
limx→−∞ F (x) = 0
limx→+∞ F (x) = 1
F é não decrescente
Contínua à direita
A forma mais simples de estimar F para este caso é através da função dedistribuição empírica Fn(·)
Teoria assintóticaConvergência
E para o caso não paramétrico?
X1, . . . ,Xn a.a. com F desconhecida.
Sabemos que:
F (x) ∈ [0,1], x ∈ R
limx→−∞ F (x) = 0
limx→+∞ F (x) = 1
F é não decrescente
Contínua à direita
A forma mais simples de estimar F para este caso é através da função dedistribuição empírica Fn(·)
Teoria assintóticaConvergência
E para o caso não paramétrico?
X1, . . . ,Xn a.a. com F desconhecida.
Sabemos que:
F (x) ∈ [0,1], x ∈ R
limx→−∞ F (x) = 0
limx→+∞ F (x) = 1
F é não decrescente
Contínua à direita
A forma mais simples de estimar F para este caso é através da função dedistribuição empírica Fn(·)
Teoria assintóticaConvergência
E para o caso não paramétrico?
X1, . . . ,Xn a.a. com F desconhecida.
Sabemos que:
F (x) ∈ [0,1], x ∈ R
limx→−∞ F (x) = 0
limx→+∞ F (x) = 1
F é não decrescente
Contínua à direita
A forma mais simples de estimar F para este caso é através da função dedistribuição empírica Fn(·)
Teoria assintóticaConvergência
E para o caso não paramétrico?
X1, . . . ,Xn a.a. com F desconhecida.
Sabemos que:
F (x) ∈ [0,1], x ∈ R
limx→−∞ F (x) = 0
limx→+∞ F (x) = 1
F é não decrescente
Contínua à direita
A forma mais simples de estimar F para este caso é através da função dedistribuição empírica Fn(·)
Teoria assintóticaConvergência
E para o caso não paramétrico?
X1, . . . ,Xn a.a. com F desconhecida.
Sabemos que:
F (x) ∈ [0,1], x ∈ R
limx→−∞ F (x) = 0
limx→+∞ F (x) = 1
F é não decrescente
Contínua à direita
A forma mais simples de estimar F para este caso é através da função dedistribuição empírica Fn(·)
Teoria assintóticaFunção de distribuição empírica
Para i = 1, . . . ,n, definimos
Yi (x) = I(Xi ≤ x) =
1, se Xi ≤ x0, caso contrário
Então,
Fn(x) =1n
n∑i=1
Yi (x), x ∈ R
x1 x2 x3 . . .
Teoria assintóticaFunção de distribuição empírica
Para i = 1, . . . ,n, definimos
Yi (x) = I(Xi ≤ x) =
1, se Xi ≤ x0, caso contrário
Então,
Fn(x) =1n
n∑i=1
Yi (x), x ∈ R
x1 x2 x3 . . .
Teoria assintóticaFunção de distribuição empírica
Note que para x ∈ R fixado,
E [Fn(x)] = FX (x)
isto é, Fn(x) é não viciado para FX (x)
Também, usando resultados da distribuição binomial,
Var [Fn(x)] =FX (x)[1− Fx (x)]
n≤ 1
4n→ 0 para n→∞
Logo, Fn pode ser utilizada para estimar FX no caso não paramétrico.
Teoria assintóticaFunção de distribuição empírica
Note que para x ∈ R fixado,
E [Fn(x)] = FX (x)
isto é, Fn(x) é não viciado para FX (x)
Também, usando resultados da distribuição binomial,
Var [Fn(x)] =FX (x)[1− Fx (x)]
n≤ 1
4n→ 0 para n→∞
Logo, Fn pode ser utilizada para estimar FX no caso não paramétrico.
Teoria assintóticaFunção de distribuição empírica
Note que para x ∈ R fixado,
E [Fn(x)] = FX (x)
isto é, Fn(x) é não viciado para FX (x)
Também, usando resultados da distribuição binomial,
Var [Fn(x)] =FX (x)[1− Fx (x)]
n≤ 1
4n→ 0 para n→∞
Logo, Fn pode ser utilizada para estimar FX no caso não paramétrico.
Teoria assintóticaFunção de distribuição empírica
Note que para x ∈ R fixado,
E [Fn(x)] = FX (x)
isto é, Fn(x) é não viciado para FX (x)
Também, usando resultados da distribuição binomial,
Var [Fn(x)] =FX (x)[1− Fx (x)]
n≤ 1
4n→ 0 para n→∞
Logo, Fn pode ser utilizada para estimar FX no caso não paramétrico.
Teoria assintóticaEquivalência entre a função de distribuição empírica e estatísticas de ordem
Para uma a.a. X1, . . . ,Xn, as estatísticas de ordem são representadas por
Xn:1 < Xn:2 < · · ·Xn:n,
em que
Xn:1 = minX1, . . . ,Xn...
Xn:n = maxX1, . . . ,Xn
ConhecendoXn:j , j = 1, . . . ,n
também conhecemosFn(x), x ∈ R
A função de distribuição empírica pode ser estudada através das estatísticasde ordem
Teoria assintóticaEquivalência entre a função de distribuição empírica e estatísticas de ordem
Para uma a.a. X1, . . . ,Xn, as estatísticas de ordem são representadas por
Xn:1 < Xn:2 < · · ·Xn:n,
em que
Xn:1 = minX1, . . . ,Xn...
Xn:n = maxX1, . . . ,Xn
ConhecendoXn:j , j = 1, . . . ,n
também conhecemosFn(x), x ∈ R
A função de distribuição empírica pode ser estudada através das estatísticasde ordem
