Machine Learning im Asset Management: Neuronale Netze und Value at Risk

Alexander Arimond, Sociovestix Labs, Scotland, UK

Prof. Dr. Damian S. Borth, University of St. Gallen, Switzerland

Prof. Dr. Andreas G.F. Hoepner, University College Dublin, Ireland, EU

* Dr. Michael Klawunn, Warburg Invest AG, Germany, EU

Dr. Stefan Weisheit, Warburg Invest AG, Germany, EU

* Präsentierender Autor und Kontakt (michael.klawunn@warburg-invest-ag.de). Autoren in alphabetischer Reihenfolge.

11. Hannover Finance Symposium, Hannover, 30.10.2019

Disclaimer - Machine Learning im Finanzbereich

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Was Machine Learning nicht kann

o Machine Learning kann nicht eigenständig fundamentale wirtschaftliche Mechanismen identifizieren.1

o Machine Learning kann nicht die Marktentwicklung vorhersagen und zwangsläufig bessere Performance erzielen als der Markt.2

o Die einfache Übertragung von Standard-ML-Verfahren aus anderen Bereichen wird im Allgemeinen nicht funktionieren.2,3

o Bei der Anwendung von ML-Verfahren im Finanzbereich ergeben sich große Herausforderungen im Hinblick auf Reproduzierbarkeit, technische Interpretation und wissenschaftliche Erklärbarkeit.

Wo Machine Learning aber helfen kann

Machine Learning liefert Ökonomen und Analysten Unterstützung beim Erkennen von Strukturen und Mustern in beobachteten Daten und Ereignissen.

Durch Machine Learning Verfahren können ökonometrische Methoden zur Schätzungen statistischer Größen, wie z.B. Erwartungswerte1 oder Wahrscheinlichkeitsverteilungen verbessert werden.

...

1 Gu, Kelly, Xiu, Empirical Asset Pricing via Machine Learning, Review of Financial Studies, Forthcoming 2Institutional Money 10/2019: https://www.institutional-money.com/news/maerkte/headline/kuenstliche-intelligenz-mit-ihrer-fondamanagement-kompetenz-am-ende-156623/ 3F. Chollet, Deep Lerning with Python, 2018

Neuronale Netze und

Value at Risk

Machine Learning

in Finance

Machine Learning

Herausforderung

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Kann Machine Learning Value at Risk Schätzungen verbessern?

Machine Learning und Künstliche Intelligenz bringen seit einiger Zeit in vielen Bereichen unseres Lebens neue Innovationen und Verbesserungen hervor.

Vor kurzem wurden Machine Learning Methoden zur Schätzung von Asset Risikoprämien erfolgreich angewandt (Gu, Kelly, Xiu; „Empirical Asset Pricing via Machine Learning“, Review of Financial Studies 2019).

Daher sollte wissenschaftlich untersucht werden, inwiefern Machine Learning Methoden auch im Finanzbereich bestehende ökonometrische Modelle verbessern können.

Dazu vergleichen wir generative Regime-Switching Modelle auf Basis verschiedener Neuronaler Netze und zeigen, dass diese vorteilhaft für die Schätzungen des Value at Risk sind.

Wir untersuchen, ob Machine Learning die Messung des Value at Risk (VaR) verbessern kann.

Value at Risk Kennzahlen sind wichtig zur Messung und Steuerung von Risiken für Institutionelle Investoren. Dadurch werden Kapitalanlagen geschützt und insbesondere hohe Verlusten aus unerwarteten Ereignissen an den Finanzmärkten vermieden.

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Herausforderung

Erfolgreiche Anwendung von Machine Learning in GKX als Motivation

• OLS, GLM, PCA, PCR Traditionelle Verfahren

• Regression Trees (e.g. Random Forests)

• Einfache Neuronale Netze (Feed Forward)

Machine Learning Verfahren

• Asset Pricing für Aktien monatlich über 60 Jahre (1957-2016) aus Predictor Variablen

Aufgabe

Im Ergebnis zeigen Neuronalen Netze die beste Performance.

Durch Machine Learning können die Schätzfehler von Risikoprämien reduziert werden.

Gu, Shihao and Kelly, Brian T. and Xiu, Dacheng, Empirical Asset Pricing via Machine Learning, Chicago Booth Research Paper No. 18-04; Review of Financial Studies, Forthcoming

Daraus ergeben sich für uns zwei Fragestellungen:

1. Im Einklang mit GKX: Kann man durch die Verwendung einfacher Neuronaler Netze auch die Berechnung des Value at Risk verbessern?

2. Über GKX hinaus: Können fortgeschrittene Neuronale Netze, die den Zeitreihen-Charakter der Daten besser berücksichtigen, weitere Vorteile gegenüber einfachen NN und klassischen Methoden liefern?

Value at Risk

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Monte-Carlo Simulation von 100000 möglichen Kapitalmarktverläufen aus einem „generativen Modell“ für einen bestimmten Betrachtungshorizont (z. B. 20 Handelstage)

Schätzung des VaR aus der Renditeverteilung

Definition und Berechnung des Value at Risk für Marktrisiken

• Der VaR zum Konfidenzniveau 1 − 𝛼 ist das 𝛼-Quantil einer Renditeverteilung (z.B. VaR 95% entspricht dem 5%

Quantil)

• Beispiel: Ein VaR von -4% aus der Renditeverteilung für den nächsten Monat auf einem Konfidenzniveau von 95% bedeutet, dass die Rendite im nächsten Monat -4% mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% nicht unterschreiten wird. Statistisch ist für ein Asset mit dieser Verteilung also einmal in 20 Monaten ein Verlust von über 4% zu erwarten.

Definition Value at Risk (VaR)

Berechnung VaR

Übersicht Experimentelles Vorgehen

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Schritt 1: In-Sample Training eines generativen Modells auf den historischen Zeitreihen

Schritt 2: Monte-Carlo Simulation von 100000 möglichen Kapitalmarktverläufen basierend auf dem Modell und Schätzung des VaR aus der Renditeverteilung

Schritt 3: Out-of-Sample Auswertung der VaR Qualität durch Vergleich mit beobachteten Renditen

Wir betrachten generative Modelle um Verteilungen zu simulieren und den Value at Risk zu berechnen

VaR

Modelle

Daten

Datensätze und Test Assets

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• Wir testen die Modelle zur Risikomessung auf liquiden Assetklassen, die wir auch im Rahmen der Regime basierten Asset Allokation in Live-Fonds der Warburg Invest AG verwenden.

• Rendite-Zeitreihen von Aktienindizes sowie kurz (1-3J) - und langlaufenden (7-10J) TR Rentenindizes werden korreliert für vier verschiedene Regionen und eine möglichst lange Historie ausgewertet. Insbesondere sind dies:

Region Assetklassen Zeitraum

US S&P 500, US Treasuries 1-3J, US Treasuries 7-10J 01/1988 – 08/2018

EU Euro Stoxx 50, Deutsche Staatsanleihen 1-3J, 7-10J 01/1990 – 08/2018

UK FTSE 100, UK Bonds 1-3J, UK Bonds 7-10J 01/1989 – 08/2018

Global (GL) MSCI World, US Treasuries 1-3J, US Treasuries 7-10J 01/1987 – 08/2018

Quelle: Reuters DataStream

Für alle Modelle wird die Risikomessung auf folgenden Datensätzen getestet

Modellübersicht: Die Wettbewerber

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Klassische Statistische Methoden:

Ein Modell in Anlehnung an das beste Modell in GKX:

Eigene Herausforderer:

Welches Modell ist am besten zur Schätzung des Value at Risk geeignet?

• Klassische Varianz/Kovarianz Simulation auf Basis einer Normalverteilung Klassisch

• Hidden Markov Model (wird im Finanzbereich als Regime Switching Model verwendet und in der Regime basierten Asset Allokation in Live-Fonds der Warburg Invest AG eingesetzt)

HMM

• Neural Network Regime Model basierend auf einem einfachen Feed Forward Neural Network mit 3 Hidden Layers

FFNN

• Neural Network Regime Model basierend auf einem Convolutional Neural Network (State-of-the-art in der Spracherzeugung) CNN

•Neural Network Regime Model basierend auf einem Recurrent Neural Network mit Long Short Term Memory (LSTM) Cells (State-of-the-art in der Spracherkennung) LSTM

Klassisch: Varianz-Kovarianz Methode

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• Zukünftige Renditen werden aus einer multivariaten

Normalverteilung 𝑁 𝜇, Σ simuliert

• Die Parameter der Normalverteilung 𝜇 und Σ werden einfach

aus historischen Durchschnitten berechnet.

Bekannte Probleme dabei: • Beobachtete reale Renditen folgen keiner Normalverteilung. Insbesondere höhere Verluste „fat tails“ werden

damit nicht richtig abgebildet.

• Langzeit-Dynamik, verschiedene Marktphasen, wie Bullen- und Bärenmärkte werden nicht berücksichtigt.

Hidden Markov Regime Switching Model (HMM)

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• Idee: Renditen werden von Marktregimen beeinflusst („Hidden States“), die nicht direkt beobachtet werden können

• Technisch: Marktregime bilden eine Markov-Kette. Regimewechsel ergeben sich aus den Übergangsmatrizen durch:

• Jedes Regime 𝑖 wird durch eine multivariate Normalverteilung dargestellt, so dass Renditen mit einem Regime-abhängigen Gauss-Prozess simuliert werden können:

• Die Parameter 𝐴, 𝜇𝑖 , Σ𝑖 ergeben sich aus der Historie und

können mit einem statistischen Verfahren, z.B. mit dem Baum-Welch Algorithmus geschätzt werden.

• Erlaubt man nur ein Regime erhält man die klassische Varianz-Kovarianz Methode mit Normalverteilung.

HMM Computer Science Darstellung:

Hidden Markov Regime Switching Model

Aufteilung der Zeitreihen in Regime mit einem Hidden Markov Modell zur Veranschaulichung

1 Zum Einsatz eines Regime-Modells bei uns siehe C. Schmeding, S. Weisheit, M. Klawunn: Zeitschrift für das gesamte Kreditwesen 2019-02. 11

Regime (In-Sample) am Beispiel des MSCI World NR Index in Euro

• Zur Veranschaulichung wurde ein Regimemodell auf Basis täglicher Renditen des MSCI World Net Return Indexes für einen Beispiel-Zeitraum mit 2 Regimen berechnet.

• Die Abbildung veranschaulicht, wie das System die Zeitreihe in einen Bullenmarkt (Regime 2) und einen Bärenmarkt (Regime 1) aufteilt.

• Die Tabelle zeigt die Parameter des HMM, mit denen zukünftige Renditeverteilungen geschätzt werden können. In Simulationen werden also verschiedene Marktphasen berücksichtigt.

Durchschnittliche Regime-Kennzahlen

Rendite p.a. Volatilität

Regime 1 -29,7% 27,9%

Regime 2 24,8% 10,3 %

Regime-Übergangsmatrix

Regime 1 Regime 2

Regime 1 98,7% 1,3%

Regime 2 3,3% 96,7 %

Neural Network Regime Switching Models

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Generative Regime-Switching Modelle auf Basis verschiedener Neuronaler Netze zur verbesserten VaR-Berechnung

Für alle austauschbaren Netzwerk-Architekturen in unserem Neural Regime Switching Framework gilt:

• Input: Historische Sequenz von täglichen Asset-Renditen 𝑋 • Output: Multivariate Gaussian Mixture – gewichtete Summe von k Komponenten, die jeweils einer multivariaten

Normalverteilung folgen:

• Dabei entspricht k der Anzahl an Regimen und 𝜙𝑖 der Wahrscheinlichkeit für Regime i

• Die Regime-Wahrscheinlichkeit 𝜙𝑖 zu einem Zeitpunkt t ist bedingt, den vorherigen beobachteten Asset-Renditen eines

Zeitfensters der Größe r gegeben durch:

• Dadurch werden die Regime-Wahrscheinlichkeiten zeitabhängig. Die genaue Struktur der Zeitabhängigkeit hängt vom NN ab.

• Die Parameter der Normalverteilungen nehmen wir als konstant an (wie beim Hidden Markov Model).

• Daraus ergibt sich die „predictive Distribution“ zur Erzeugung von Renditen für den nächsten Tag, bedingt der beobachteten historischen Sequenz von Asset-Renditen:

• Die loss Funktion ist gegeben durch die „predictive Distribution“ über die gesamte Historie:

• Während des Trainings soll P nicht nur den nächsten, sondern die nächsten l („lookahead“) Tage möglichst gut beschreiben, so dass im loss über l summiert wird. Dies führt zu einer stabileren Optimierung und passt zu einem Investment Prozess, in dem das Portfolio für mehrere Tage gehalten werden soll.

mit

Neural Network Regime Switching Models

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Generative Regime-Switching Modelle auf Basis verschiedener Neuronaler Netze zur verbesserten VaR-Berechnung

… wie gut beschreibt die Verteilung die nächsten 5 Tages-Renditen?

Feed Forward Neural Network

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Neural Network Regime-Switching Model mit Feed Forward Neural Network in Anlehnung an GKX

Unser Feed Forward Neural Network

• monatliche Renditen aus „predictor“ Variablen

• Input sind nur die Daten des vorherigen Zeitschritts

• 3 hidden layers (32/16/8 hidden units)

• Verteilungen für tägliche Renditen

• 10 vorherige Zeitschritte als Input

• 3 hidden layers (32/16/8 hidden units)

GKX bevorzugtes NN Unser FFNN

Feed Forward Neural Network

• Einfache Netzwerkstruktur mit „Dense Layers“

• Für längere Sequenzen wird eine große Anzahl an Parametern benötigt

Convolutional Neural Network (CNN)

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Neural Network Regime-Switching Model mit Convolutional Neural Network in Anlehnung an Wavenet

Wavenet Convolutional Neural Network1

Wavenet1

7 layers insgesamt Channels = 3, kernel size = 3 Steigende dilation mit jedem layer Convolutions sind unidirectional (kausal)

2 Channels für Regime Wahrscheinlichkeiten

• Zur Analyse und Generierung sequentieller Daten

• State of the art in der Texterzeugung

• Multiple layers of „dilated causal convolutions“ können die verschiedenen Skalen eines langen historischen Zeitfensters als Sequenz abbilden.

1 Van den Oord, A., et al.(2016). Wavenet: A generative model for raw audio. arXiv preprint arXiv:1609.03499

Long Short Term Memory (LSTM)

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Neural Network Regime-Switching Model mit Recurrent Neural Network mit LSTM Zellen

1 hidden layer mit LSTM Zellen

2 Regime Wahrscheinlichkeiten

LSTM1 • Spezielle Version eines Recurrenten Neuronalen Netzes

• Recurrent: Output des Vortages wird wieder zur

Berechnung des nächsten Tages eingesetzt

• RNN werden eingesetzt für sequenzielle Daten zur:

Spracherkennung

Texterkennung

Handschrifterkennung

LSTM1

Recurrent Neural Network

1 Colahs Blog url:https://colah.github.io/posts/2015-08-Understanding-LSTMs/ und Referenzen darin

Modelle im Vergleich

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Klassisch

HMM

FFNN

CNN

LSTM

• Berücksichtigung von Regimen in Gaussian Mixture • Modellierung zeitlicher Abhängigkeiten möglich • Für längere Sequenzen nicht geeignet (zu große Anzahl Neuronen/Parameter)

• Keine Berücksichtigung von Regimen • Keine zeitlichen Abhängigkeiten • Mittelwerte, Varianzen und Kovarianzen aus historischen Durchschnitten

• Berücksichtigung von Regimen als „hidden states“ • Modellierung zeitlicher Abhängigkeiten der Regime durch Markov Eigenschaft • Regime-Wahrscheinlichkeiten hängen nur vom Vortag ab

• Berücksichtigung von Regimen in Gaussian Mixture • Modellierung zeitlicher Abhängigkeiten durch Aggregation von Convolutions • Mit vielen „layers“ kann die Struktur sehr langer Sequenzen abgebildet werden

• Berücksichtigung von Regimen in Gaussian Mixture • Modellierung zeitlicher Abhängigkeiten der Regime durch LSTM Zellen • Für kurz- und langfristige sequentielle Informationen geeignet

Verschiedene generative Modelle zur Erzeugung von Rendite-Verteilungen

Out-of-Sample Studie: Test-Prozess

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Die 5 Modelle sollen in einem Out-of-Sample Test hinsichtlich der VaR-Qualität verglichen werden

Test Prozess und Parameter

Training (Kalibrierung) der Modelle an jeden Stichtag alle 5 (20) Tage zur Bestimmung von 𝑃(𝑋) mit 2 Regimen

Monte-Carlo Simulation aus 𝑃(𝑋) von 100000 Pfaden zur Erzeugung der Renditeverteilung in 5 (20) Tagen

Schätzung der VaRs (90% und 95% Quantil für 5 und 20 Tage) aus den simulierten Verteilungen

Auswertung der VaR Qualität durch Vergleich mit den tatsächlich beobachteten Renditen

Vergleich der VaRs aus den 5 Modellen durch paarweise t-Tests

Studienergebnisse

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Zunächst soll die Auswertung (Out-of-Sample Tests) für alle Modelle an einem Beispiel veranschaulicht werden.

Visualisierung am Beispiel Region USA Asset: S&P 500 Daten: Tägliche Renditen S&P 500, US Treasuries 1-3J, US Treasuries 7-10J von 01/1988 – 08/2018 Betrachtungszeitraum: monatlich VaR Quantil: 95% (bzw. 5% Quantil der Renditeverteilung)

Zur Veranschaulichung bietet sich ein monatlicher Betrachtungshorizont an

Für die Beurteilung der statistischen Signifikanz ist die wöchentliche Betrachtung besser

Studienergebnisse: Modellvergleich S&P 500 monatlich 5% Quantil

20

Immer dann, wenn die tatsächliche beobachtete Rendite die vorhergesagte VaR-Schwelle durchbrochen hat, zählen wir eine Überschreitung.

„Überschreitung“

Studienergebnisse: Modellvergleich für Aktien monatlich 5% Quantil

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Anzahl der Überschreitungen im Out-of-Sample Test für alle Regionen und alle Modelle

• Für einen statistisch signifikanten Modellvergleich ist die Anzahl der Überschreitungen recht klein.

• Daher haben wir alle Studien auch auf wöchentlicher Basis gemacht.

Region US EU UK Global

Monate 298 272 285 306

Model Überschreitungen Überschreitungen Überschreitungen Überschreitungen

Classic 13 4,36% 16 5,88% 14 4,91% 18 5,88%

HMM 14 4,70% 14 5,15% 12 4,21% 19 6,21%

FFNN 13 4,36% 15 5,51% 12 4,21% 17 5,56%

CNN 15 5,03% 12 4,41% 16 5,61% 29 9,48%

LSTM 10 3,36% 14 5,15% 11 3,86% 13 4,25%

22

„Überschreitung“

• Die Grundgesamtheit und damit auch die Anzahl der Überschreitungen ist bei wöchentlicher Betrachtung deutlich größer.

• Damit ist ein paarweiser relativer t-Test zum Modellvergleich erfolgversprechend.

Studienergebnisse: Modellvergleich für Aktien wöchentlich 5% Quantil

Region US EU UK Global

Anzahl Wochen 1197 1093 1146 1250

Model Überschreitungen Überschreitungen Überschreitungen Überschreitungen

Classic 64 5,35% 70 6,40% 66 5,76% 81 6,48%

HMM 58 4,85% 68 6,22% 62 5,41% 74 5,92%

FFNN 60 5,01% 67 6,13% 60 5,24% 79 6,32%

CNN 70 5,85% 83 7,59% 79 6,89% 99 7,92%

LSTM 46 3,84% 55 5,03% 52 4,54% 64 5,12%

Studienergebnisse: Modellvergleich für Aktien wöchentlich 5% Quantil

23

Glossar comp = 1 (0) bedeutet, dass das Modell in der Zeile weniger (mehr) „breaches“ aufweist. pvalue gering (<0.05) weist auf eine hohe Signifikanz des comp-Wertes hin (paarweiser rel. t-test) dom Wert negativ bedeutet, dass das Vergleichsmodell „breaches“ verhindern kann, die das Modell in der Zeile nicht verhindern konnte

24

Studienergebnisse: Modellvergleich für Aktien wöchentlich 5% Quantil

Zusätzliche unerwartete Verluste aus Überschreitungen im Out-of-Sample Test für alle Regionen und alle Modelle

Zusätzliche unerwartete Verluste aus Überschreitungen

• Der zusätzliche unerwartete Verlust ist definiert als die Differenz zwischen dem berechneten VaR und dem tatsächlich eingetretenen Verlust

• In der Tabelle für alle Überschreitungen aggregiert und durch die Anzahl der Jahre geteilt

US EU UK Global

Classic -5,26% -7,32% -5,62% -6,40%

HMM -4,74% -6,93% -5,18% -5,50%

FFNN -5,02% -6,85% -5,59% -6,10%

CNN -5,38% -7,91% -6,23% -7,58%

LSTM -4,30% -6,05% -4,72% -5,10%

Fazit und nächste Schritte

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Durch Neuronale Netze können die Schätzfehler bei der Risikomessung reduziert und damit Überschreitungen des Value at Risk verringert werden. So werden Kapitalanlagen geschützt und hohe Verluste aus unerwarteten Ereignissen an den Finanzmärkten vermieden.

Antworten auf die Fragestellungen vom Anfang

1. Im Einklang mit GKX: Kann man durch die Verwendung einfacher Neuronaler Netze auch die VaR-Messung verbessern?

Einfache neuronale Netze (FFNN) übertreffen im allgemeinen die klassische Methode, allerdings nicht immer auf einem statistisch signifikanten Level. Gegenüber HMM zeigte sich hingegen keine Verbesserung.

2. Über GKX hinaus: Können fortgeschrittene Neuronale Netze, die den Zeitreihen-Charakter der Daten besser berücksichtigen, weitere Vorteile gegenüber einfachen NN und klassischen Methoden liefern?

o CNNs messen die Risiken im Allgemeinen schlechter als alle anderen Methoden. Der Grund darin liegt vermutlich an der Überanpassung an die Trainingsdaten (Overfitting). Manche Überschreitungen werden jedoch nur von diesem Verfahren erkannt (lucky punch?).

LSTMs bzw. RNNs, die bereits in anderen Bereichen erfolgreich für Daten mit Zeitreihen-Charakter verwendet

werden, messen Risiken besser als alle anderen Methoden und in der Regel auch auf einem statistisch signifikanten Level.

Mögliche nächste Schritte

• Flexibilität der NN nutzen: Mehr Inputdaten, die als Indikatoren für Risiken im Betrachtungshorizont dienen könnten

• Nutzung der gesamten simulierten Verteilung: Entwicklung von Handelsstrategien und Investmentprodukten mit Portfoliooptimierung für Allokationsverfahren

• ...

Neuronale Netze und Value at Risk

Neural Network Regime Switching Models zur Risikomessung

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Dr. Michael Klawunn QuantLab und Portfolio Analytics Tel +49 511 123 54 205 michael.klawunn@warburg-invest-ag.de

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Stand: 08.01.2019

27

Anhang: Modellvergleich für Aktien monatlich 5% Quantil

28

Aktien monatlich 5% Quantil

Anhang: Studienergebnisse: Modellvergleich für Aktien monatlich 5% Quantil

29

Anzahl der Überschreitungen im Out-of-Sample Test für alle Regionen und alle Modelle

Region US EU UK Global

Monate 298 272 285 306

Model Überschreitungen Überschreitungen Überschreitungen Überschreitungen

Classic 13 4,36% 16 5,88% 14 4,91% 18 5,88%

HMM 14 4,70% 14 5,15% 12 4,21% 19 6,21%

FFNN 13 4,36% 15 5,51% 12 4,21% 17 5,56%

CNN 15 5,03% 12 4,41% 16 5,61% 29 9,48%

LSTM 10 3,36% 14 5,15% 11 3,86% 13 4,25%

Anhang: Modellvergleich für Aktien monatlich 5% Quantil

30

31

Bonds 7-10Y wöchentlich 5% Quantil

Anhang: Modellvergleich für Bonds 7-10Y wöchentlich 5% Quantil

Anhang: Modellvergleich US Treasuries 7-10Y monatlich 5% Quantil

32

„Überschreitung“

Immer, wenn die tatsächliche beobachtete Rendite die vorhergesagte VaR-Schwelle durchbrochen zählen wir einen „Überschreitung“.

Anhang: Modellvergleich für Bonds 7-10Y wöchentlich 5% Quantil

Region US EU UK Global

Monate 1197 1093 1146 1250

Model Überschreitungen Überschreitungen Überschreitungen Überschreitungen

Classic 57 4,76% 68 6,22% 51 4,45% 57 4,56%

HMM 60 5,01% 72 6,59% 56 4,89% 60 4,80%

FFNN 63 5,26% 69 6,31% 52 4,54% 68 5,44%

CNN 70 5,85% 93 8,51% 75 6,54% 79 6,32%

LSTM 42 3,51% 59 5,40% 39 3,40% 48 3,84%

Anzahl der Überschreitungen im Out-of-Sample Test für alle Regionen und alle Modelle

Anhang: Modellvergleich für Bonds 7-10Y wöchentlich 5% Quantil