Riemannov integral Jedanodbitnihproblemaumatematicijebiloodreivanjepovrinelikovakojinemaju pravilnestranice,npr.kruga.Povrinetihlikovasusedobivalezbrajanjemjakomalih trokutia konstruiranih u krugu. Na taj nain je Arhimed pokuao odrediti t . Ali trenutno to nije na problem. Problem je u analizi odrediti povrinu ispod grafa neke funkcije,alinenekeobinepoputlinearneilikonstantne,vemalozguljenihfunkcija poput kosinusa hiperbolnog i slinih bolesnih matematikih izmiljotina. Pa ponimo od osnova. Zamislimonekufunkcijudefiniranunasegmentu| | b a, .Tafunkcijajeogranienana tomsegmentutoznaidavrijedirelacija | |( ) ( )| |( ) + < s s < M x f x f m x fb ab a,,sup infza svaki| | b a x , e . Funkcija je naravno nepravilna i ne moe joj odrediti tono povrinu, ali bi je mogao aproksimirati. Podijeli segment| | b a,na neki broj toaka i nad nastalim komadima radi pravokutnike povrine( ) ( )1 =k k sx x x f P ,gdjesu kx i 1 kx rubnetoketogkomada,a( )sx ffunkcijskavrijednostnekogx izmeu kx i 1 kx .Oniimajupovrinukojajeotprilike jednaka tonoj vrijednosti povrine ispod grafa nad tim podsegmentom. Sada emo pratiti takve dvije podjele: u prvoj kao( )sx fuzimamo minimum funkcije na podsegmentu| |k kx x ,1 . Njega oznaimo s km . U drugoj uzimamo maksimum funkcije na tompodsegmentu kM .Takvupodjeluzovemoparticijaskupa| | b a, ioznaavamo { } b x x x x an n= = = P , ,..., ,1 1 0. DonjaDarbouxovasumaNekajef ogranienafunkcijadefinirananasegmentu | | b a, , neka jeP particija skupa| | b a, . Neka je s kmoznaena najmanja vrijednost funkcije f napodsegmentu| |k kx x ,1 .DonjaDarbouxovasumafunkcijef sparticijomPse oznaava s( ) P , f si definira se ovako: ( ) ( )= = Pnkk k kx x m f s11, Gornja Darbouxova suma Neka jefograniena funkcija definirana na segmentu | | b a, , neka jeP particija skupa| | b a, . Neka je s kMoznaena najvea vrijednost funkcije f napodsegmentu| |k kx x ,1 .GornjaDarbouxovasumafunkcijef sparticijomPse oznaava s( ) P , f Si definira se ovako: ( ) ( )= = Pnkk k kx x M f S11, Integralna suma Neka jefograniena funkcija definirana na segmentu| | b a, , neka jePparticijaskupa| | b a, .Nekaje kt nekatokaizpodsegmenta| |k kx x ,1 .Integralna suma funkcijefs particijomP se oznaava s{ } ( )nk kt f1, ,=P oi definira se ovako: { } ( ) () ( )= = = Pnkk k knk kx x t f t f11 1, , o Vidljiva je jedna relacija: ( ) ( ) a b M S s a b m s s s s oNejednakostnamjasnogovoridasuDarbouxovesumeboljaaproksimacijanegoda uzmemopravokutnikeijesustranicea b inajveainajmanjavrijednostfunkcijena itavom segmentu. Sada idemo korak dalje. Vidljivo je da moemo mi razdijeliti segment| | b a,na koliko god nainahtjeliisumeesemijenjatiovisnosbrojemlanova.Istotakomoemousvakoj integralnoj sumi promijeniti toku iz koje vuemo funkcijsku vrijednost. Nije to problem. Takvimvariranjemdolazimodoskupatakvihsuma.OznaimoondasAskupsvih donjihDarbouxovihsuma,sB skupsvihgornjihDarbouxovihsuma,isC skupsvih integralnihsuma.Premaaksiomupotpunostirealnihbrojeva,akogasejosjeateiz Analize1,postojesupremumiiinfimumitihskupova.KakonamjeskupC previe kaotianigolemzbogsvihtihbeskrajnihvarijacijatoakakojihmoemouzetiiz podsegmenta, fokusirat emo se na skupoveA iB . Gornji i donji Riemannov integral (Definicija 5.1) Neka jefograniena funkcija definirana na segmentu| | b a, . Supremum prethodno definiranog skupaA nazivamo donjim Riemannovim integralom i oznaavamo ga s( ) b a f A , ; sup-= I . Infimum prethodno definiranog skupaBnazivamo gornjim Riemannovim integralom i oznaavamo ga s( ) b a f B , ; inf-= I . TeoremogornjemidonjemRiemannovomintegralu(Teorem5.1)Nekaje | | b a f , : Rfunkcijaogranienanasegmentu| | b a, inekasu -I i -I donjiigornji Riemannov integral funkcijefna segmentu| | b a, . Tada je( ) ( ) b a f b a f , ; , ;--s I I . Dokaz: Ovo je jedan od onih teorema iji je iskaz posve oit, ali je dokaz dug i kompliciran. Ono to prvo trebamo dokazati je da se donja Darbouxova suma povea ili ostane ista kad joj dodamo jo jednu toku, a gornja Darbouxova suma se smanji li ostane ista dodavanjem jedne toke. Pa ponimo. Nekaje{ } b x x x x x x an n k k= = = P , ,..., , ,..., ,1 1 1 0particijasegmenta| | b a, inekasu s iS pripadneDarbouxovesume.SadaparticijiPdodajmotokux' smjetenu izmeu kx i 1 kx .Timesmopodsegment| |k kx x ,1 razbilinadvamanjai promijenili Darbouxove sume. Nove sume oznaimo ss'iS' . SumaS' jenastalaizS zamjenompribrojnika( )1 k k kx x M sdvasumanda: ( )1 ' 'k kx x M i( ) x x Mk k' ' ' gdjesu | |( ) x f Mx xkk'= ',1sup i | |( ) x f Mkx xk,sup'= ' ' .Kakosu | | x xk' ,1 i| |kx x , 'podsegmenti| |k kx x ,1 vrijedi da je k kM Ms 'i k kM Ms ' ' . (Ako se pitatezatojetako,zamislitesiprimjer:promatratefunkciju( ) x x f = na| | 3 , 1 . Maksimumfunkcijenatomsegmentuje3.Akotajsegmentrazbijetenadva segmenta:| | 2 , 1i| | 3 , 2 , maksimum funkcije na prvom je2 , a na drugom3. Vidite da ti rezultati zadovoljavaju k kM Ms 'i k kM Ms ' ' . op.a.) Zbog takvog odnosa meu maksimumima vrijedi slijedea relacija: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 11 1 s ' ' ' + ' ' = ' + ' s ' ' ' + ' 'k k k k k k kk k k k k k k k k k kx x M x x M x x Mx x M x x M x x M x x M x x M Dakle,S S s ' . I tako smo smanjili gornju Darbouxovu sumu dodavanjem lana. Analogno poveavamo donju Darbouxovu sumu dodavanjem jednog lana. Zato? Jerzainfimumefunkcijenanekomsegmentuvrijedidaakopodijelimotaj segmentnapodsegmente,infimuminastalihpodsegmenatasuveiilijednaki infimumu na cijelom podsegmentu. (Ako jo nije jasno, opet si zamislite primjer s ( ) x x f =na| | 3 , 1 . Minimum funkcije na| | 3 , 1je 1. Ako taj segment razbijete na dva segmenta:| | 2 , 1i| | 3 , 2 , minimum funkcije na prvom je1, a na drugom2 . Vidi se da zadovoljavaju ono to rekoh. op.a.) Akokoristimooznakekaozasupremume,relacijekojevrijedesu: k km m > ' i k km m > ' ' . Zbog navedenog vrijedi ova relacija: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 11 1 > ' ' ' + ' ' = ' + ' > ' ' ' + ' 'k k k k k k kk k k k k k k k k k kx x m x x m x x mx x m x x m x x m x x m x x m Dakle,s s > ' . Pa smo tako i poveali donju Darbouxovu sumu dodavanjem lana. Prvidiodokazajeovimegotov.Sadjepotrebnopokazatidasedonjasumane smanjuje, a gornja ne poveava ako dodamo konaan broj toaka. To moemo tako totododavanjetoakazamislimokaopostupnododavanjejednepojednetoke. Zasvakotakvododavanjeprimijenimozakljuakizprethodnogkorakaitakoza svaku dodanu toku. To znai da se gornja Darbouxova suma na novoj particiji ne povea S S s 'a donja Darbouxova suma se ne smanji s s > ' . Timesmosrediliidrugikomaddokaza.Posljednjetomoramopokazatijedaje svaka donja Darbouxova suma manja ili jednaka svakoj gornjoj Darbouxovoj sumi, bez obzira na particije na kojima su nastale te sume. Neka su 1Pi 2Pbilo koje particije i neka je 1sdonja Darbouxova suma odreena particijom 1P ,anekaje 2S gornjaDarbouxovasumaodreenaparticijom 2P . Napravimo sada novu particiju 3P u koju emo ukljuiti sve toke iz 1Pi 2P . Pripadne Darbouxove sume oznaimo s 3si 3S . Ta nova particija je nastala iz 2Pdodavanjem konano mnogo toaka iz 1P , ali takoer moemo gledati da je nastala iz 1Pdodavanjem konano mnogo toaka iz 2P . Zbog zakljuaka iz drugog koraka ovogdokazamoravrijediti 2 3S S s i 3 1s s s .Kakonaistojparticijivrijedidaje donjaDarbouxovasumamanjailijednakagornjoj 3 3S s s kadpoveemoove tri relacije, dobivamo onu eljenu: 2 3 3 1S S s s s s s . Dakle, za bilo koje particije je gornja Darbouxova suma vea od donje Darbouxove sume. Tada je najmanja gornja Darbouxova suma -I vea ili jednaka bilo kojoj donjoj Darbouxovoj sumi, pa tako i najveoj -I . To je konano, nakon stranice i pol dokaza, traena relacija: -- s I I .Q. E. D. Riemann-integrabilnafunkcija(Definicija5.2)Zafunkciju| | b a f , : Rkojaje ogranienanasegmentu| | b a, kaemodajeintegrabilnauRiemannovomsmisluiliR-integrabilna na segmentu| | b a,ako vrijedi da je: ( ) ( ) b a f b a f , ; , ;--= I ITadasebroj -- = = I I I nazivaintegraliliR-integralfunkcijef nasegmentu| | b a, . Oznaava se jednom od ovih oznaka: ( )| |( )| |} } } }= = = =ba b aba b af f dx x f dt t f, ,I Sada konano moemo definirati povrinu ispod grafa funkcije: ( )}= badx x f P NuniidovoljniuvjetizaR-integrabilnost (Teorem5.2) Neka je| | b a f , : Rfunkcija ograniena na segmentu| | R b a c , . FunkcijafjeR-integrabilna na| | b a,ako i samoakozasvaki0 > c postojiparticijasegmenta| | b a, takvadazapripadne Darbouxove sume vrijedic < s S . Dokaz: Ovajteoremjedvopogodbapagamoramodokazatiprvopretpostavljajuijednu tvrdnju i iz nje izvodei drugu, pa obratno. 1.)Nekazasvaki0 > c postojiparticijasegmenta| | b a, takvadazapripadne Darbouxovesumevrijedic < s S .Tadazasvaki0 > c vrijedi 0 > > >--I I s S c .(Zatojeovotako? -I i -I suinfimumisupremum Darbouxovihsumaibuduidasuoninajveilinajmanjilanusvomskupu, njihovarazlikajemanjaodrazlikebilokojihdrugihelemenataiztadvaskupa. Naravno da oni mogu biti isti i zato ovaj zadnji lan u nejednakosti. op.a.) Sad kako to mora vrijediti za svaki0 > c , jedino mogue rjeenje je da je --= I I . 2.)Uobratu,nekajef R-integrabilnana| | b a, ,tj. --= I I .Izsvojstava supremuma i infimuma slijedi da za svaki0 > cpostoje Darbouxove sume 1Si 2s(Uzet emo da su na razliitim particijama radi openitosti dokaza. op.a.) takve da vrijedi: 21c+ -I s . Ako stvorimo novu particiju od svih toaka u ove dvije particije, dobit emo nove Darbouxove sume siS . Iz teorema o gornjem i donjem Riemannovom integralu znamo da je 2s s > , a 1S S s . Budui da jeS s s , ovetrirelacijesemogustopitiu: 1 2S S s s s s s .Zbogtoga,akobismooduzelisodSi 2sod 1S , razlikasiSe biti manja ili jednaka razlici 2si 1S . Uvrstimo to i nejednakosti za 2si 1S . cc c+ < + + < s ----I I I I2 22 1s S s S Jer je --= I I , njihova razlika je 0, i dobiva se traeni izraz. c < s S Q. E. D. Teoremoaditivnostiintegrala(Teorem5.3)NekasuI g f : . Rintegrabilne funkcije na| | c b a, R. Vrijede slijedee tvrdnje: 1.)ZabilokojeR e | o, funkcijag f | o + jeintegrabilnana| | b a, ivrijedidaje ( )} } }+ = +bababag f g f | o | o . 2.) Ako jeg f sna segmentu| | b a,onda je } }s babag f . 3.) Vrijedi da je( )| | f a b f fb ababa,sup s s} }. Dokaz: 1.) Uzmimo neki podskup od| | b a, . Neka se zoveK . Jasno je da je( ) ( ) ( ) x f x f x fKKsup inf s si( ) ( ) ( ) x g x g x gKKsup inf s sza svakiK x e . Iztedvijerelacijeslijedidakadzbrojimoinfimume,supremumeifunkcijske vrijednosti, relacije ostaju nepromijenjene, dakle: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x g x f x g x f x g x fK KK Ksup sup inf inf + s + s +za svakiK x e . Izmeu je zbroj funkcija. Vidljivo je ovdje da je infimum tog zbroja vei od zbroja infimuma,asupremumzbrojamanjiodzbrojasupremuma.(Samouvedemo infimumisupremumuizrazmeuznakovas.Smijemotonapraviti.op.a.) Naravno,infimumzbrojajemanjiilijednaksupremumuzbroja.Ondaimamo relaciju za svakiK x ei svaki podsegment| | b a K , _ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x g x f g f g f x g x fK K KK K Ksup sup sup inf inf inf + s + s + s +Ako bismo tu nejednakost pomnoili s razlikom granica segmentaK , dobili bismo odnose lanova Darbouxovih suma. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1sup sup supinf inf inf + s + ss + s + k kKk kKk kKk kKk kKk kKx x x g x x x f x x g fx x g f x x x g x x x f PosumiramolisvetakvepodsegmenteK dobivamoodnosDarbouxovihsuma: g f g f g f g fS S S s s s + s s s ++ + Ovo, naravno vrijedi za openitu particijuP. Sadapoteoremuonunomidovoljnomuvjetuzaintegrabilnost(Teorem5.2) postoje particije za koje njima pripadne Darbouxove sume ovih funkcija fs' , fS' , gs ' ' i gS ' ' zadovoljavajurelacije: 2c< ' 'f fs S i 2c< ' ' ' 'g gs S .Naparticiji napravljenoj od unije toaka iz ovih dviju particija, po teoremu o gornjem i donjem Riemannovomintegralu(Teorem5.1)vrijedidazanjojpripadnesume fs , fS , gs i gS vrijedi 2c< ' ' s f f f fs S s S i 2c< ' ' ' ' s g g g gs S s S .(Dodavanjem toakasmanjujemogornju,apoveavamodonjuDarbouxovusumu,pajezato razlika manja. op.a.) RaunajmosadakakostvaristojezaDarbouxovesumefunkcijeg f + .Iz nejednakosti od maloprije moemo izvui slijedee: ( ) ( )( ) ( )cccc c< < + s = + < + + = + ++ + s + ++ ++ +g f g fg g f f g f g fg g f fg g f f g f g fg f g f g f g fs Ss S s S s Ss S s Ss S s S s s S Ss s S S s S2 2 Kakoovovrijedizasvaki0 > c ,poteoremuonunomidovoljnomuvjetuza integrabilnost (Teorem 5.2) funkcijag f +je integrabilna. Tojeprvikomaddokaza.Sadmoramoprovjeritidaje( ) 0 =||.|

\|+ +} } }bababag f g f . Za bilo koji0 > ci prethodno konstruiranu particiju (onu u kojoj je unija toaka) vrijedi relacija: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )cc c= + < + + = + ++ + s + s||.|

\|+ ++} } }2 2g g f fg g f f g f g fg f g f g f g fbababas S s Ss S s S s s S Ss s S S s s S g f g f ( )( ) cc||.|

\|+ + > + >||.|

\|+ +> + = + < + + = + ++ + > + >||.|

\|+ +} } }} } }} } }+bababag g f fbababag g f fg g f fg g f f g f g fg f g f g f g fbababag f g fs S s S g f g fs S s Ss S s Ss S s S S S s sS S s s S S s g f g f2 2 Kadkombiniramoovadvarezultata,ispadadaje( ) c c o ibilokoji0 > c premateoremuonunimidovoljnimuvjetimaza integrabilnost (Teorem 5.2) postoji particija takva da sa njoj pripadne Darbouxove sumevrijedidaje oc< s S .Zbogsvojstavainfimumaisupremumadaje f f inf inf = o o if f sup sup = o o nabilokojemsegmentu,ondaza Darbouxovesumevrijedidaje f fs s =ooi f fS S =oo,pavrijedi ( )( )( )c c ococo oo o ooco oo o< < = < = + = < f ff ff ff f f f f ff fs Ss Ss Ss S s S s Ss S Ovo jami integrabilnost funkcijef o , ali je li } } = babaf f o o ? Naravno da je. Kako to pokazati? Uinit emo to na ovaj nain. Uoimo da( )f fs S omoemo raspisati kao: ( )f f f fs S s S = o oo ZnamodajeintegralmanjiilijednakgornjojDarbouxovojsumi,avei ilijednak donjoj Darbouxovoj sumi, pa onda moemo rei da je ovo istinito: ( )( )( )c o oo o oc oo oo o ooo< s < = s } }} }} }babaf fbabaf ff f f ff fbabaf fs S f fs Ss S s Ss S f f Na istim temeljima zakljuujemo da je f fbabaS s f f > } }o o oo istinito. ( ) ( )( )( )( )c o oc o o oc oc oo o oo o ooo > > > > < = = > } }} }} }babaf fbabaf ff ff f f f f ff fbabaf fs S f fs Ss Ss S S s S sS s f f Vidimodavrijedidajec o o c < < } }babaf f tomoemozapisatikao c o o < } }babaf f . To vrijedi za svaki0 > c , pa je jedino rjeenje ovogproblema da je0 = } }babaf f o oto znai da je } } = babaf f o o . Sad,kombiniranjemovogarezultataiaditivnostimoemodobitidaje ( )} } }+ = +bababag f g f | o | o . 2.) Ako je( ) 0 > x fza svaki| | b a x , e , onda su sve Darbouxove sume nenegativne, pajei0 >}baf .Zasvakufunkcijug zakojuvrijedidaje( ) ( ) x f x g > zasvaki | | b a x , e je( ) ( ) 0 > x f x g zasvaki| | b a x , e ,pazbog1.tvrdnjeimamodaje integral0 > = } } }bababaf g f gi onda je } }> babaf g . 3.) Potrebno je pokazati da integrabilnost funkcijefvodi u integrabilnost funkcije f .Kaopomonasredstvaemodefiniratidvijefunkcije +f i f . ( ) ( ) { } 0 , max x f x f =+(Veavrijednostizmeunulei( ) x f ),( ) ( ) { } 0 , max x f x f =. Vrijedi da je( ) ( ) ( ) x f x f x f + =i( ) ( ) x f x f f ++ = . Dovoljno je dokazati da je +fintegrabilnaisveese posloiti.Toemonapravititakodapokaemodanabilo kojem podskupuKsegmenta| | b a,vrijedi da jef f f fKKKKinf sup inf sup s + +.Tojedovoljnojerjef integrabilnainjezineDarbouxovesumepoteoremuo nunimidovoljnimuvjetimaintegrabilnostizadovoljavajuc < s S zasvaki 0 > c .Akonasvakompodsegmentuvrijedigornjanejednakost,toznaidaje razlikac < < +s S s Sf f,pajeic < +f fs S i +f jeintegrabilna.Kadato imamo,svedrugefunkcijemoemozadatiprekof i +f iprekoaditivnosti dokazati njihovu integrabilnost. Imajutrisluaja:0 > f nacijelomK ,0 s f nacijelomK i0 s f nadijeluK . Pogledajmo prvi sluaj. Utomjesluajuf fK Ksup sup =+if fK Kinf inf =+(Jersevrijednosti +f poklapajus vrijednostimaf .op.a.)Sadajef f f fKKKKinf sup inf sup = + +.Tojeureduipae nam. Pogledajmo sad drugi sluaj. Utomsluajuje0 =+f paje0 inf sup = =+ +f fKKif fKKinf sup 0 s .Todaje f fKKinf sup >to je uvijek istinito. Pogledajmo trei sluaj. Akoje0 s f nadijeluK ,nadrugomdijelujepozitivan.Tonamdajedaje f fK Ksup sup =+,0 inf =+fK, 0 inf < fK. U onoj nejednakosti onda imamo: ff f ff f f fKKK KKKKKinf 0inf sup 0 supinf sup inf sup s s s + + Infimum funkcijefje negativan, pa gornja nejednakost vrijedi. Sad smo u sva tri sluaja dokazali da jef f f fKKKKinf sup inf sup s + +, to znai da je +f integrabilna.Akostavimodajef f f =+ ,potvrdnji1.ovogteorema dobivamodajeonaintegrabilna.Akakoje + + = f f f ,opetponjojdobivamo integrabilnost funkcijef . Kad je to sve gotovo, posljednja tvrdnja teorema, da je ( )| | f a b f fb ababa,sup s s} }, izlazi iz nejednakostif f f s s i svih svojstava koja su dosad dokazana.Q. E. D. Teoremoaditivnostiintegralapopodrujuintegracije(Teorem5.4)Nekaje I f : R integrabilna funkcija na| | c b a, R i neka jeb a c , eproizvoljna toka. Ako je funkcijafintegrabilna na segmentima| | c a,i| | b c, , onda jefintegrabilna na segmentu | | b a,i } } }+ =bccabaf f f . Dokaz: Po teoremu o nunim i dovoljnim uvjetima za integrabilnost (Teorem 5.2) postoji particija{ } c x x x x an n= = = P , ,..., ,1 1 0 1segmenta| | c a, zakojevrijedidanjoj pripadne Darbouxove sume s'iS' zadovoljavaju 2c< ' ' s S . Tako isto postoji particija{ } b x x x x cm n m n n n= = = P+ + +, ,..., ,1 1 2segmenta| | b c, zakojevrijedidanjoj pripadneDarbouxovesumes ' ' iS ' ' zadovoljavaju 2c< ' ' ' ' s S .Odovih particijastvorimonovuparticiju{ } b x x x x x x am n m n n n= = = P+ + , ,..., , ,..., ,1 1 1 0 segmenta| | b a, .NjojpripadneDarbouxovesumes iS sunaprostozbroj Darbouxovih suma particija 1Pi 2Ps s s ' ' + ' = ,S S S ' ' + ' = . (Zato? U stvaranju nove particije nismo mijenjali toke, ve smo ih samo skupili zajedno u jedan skup. Moetetogledatiovako:( )= = 'nkk k kx x m s11,a( )++ = = ' 'm nn kk k kx x m s11.Kadse zbrojedobijese( )+= = ' ' + 'm nkk k kx x m s s11,aupravotakojedefiniranadonja DarbouxovasumaparticijeP.IstitajtosprimijenimonagornjeDarbouxove sume da bismo dobiliS . op.a.) Sada gledajmo njihovu razliku: ( ) ( )ccc c< = + < ' ' ' ' + ' '' ' ' ' + ' ' = ' ' + ' ' ' + ' = s Ss S s Ss S s S s s S S s S2 2 Znai,funkcijaf jeintegrabilnanasegmentu| | b a, .Kakosmouprethodnom teoremuprtljalis( )||.|

\|+ +} } }bababag f g f ,takoemoovdjeprtljatis 0 =||.|

\|+ } } }bccabaf f f . Tako moemo izvui istinitu relaciju: cc||.|

\|+ } } }} } }} } }bccababccababccabaf f fs s S S f f fs s S Ss s S Ss s S S S S s s S S s f f f Sadasmodobili:c c a f b f . Uzmimobilokoji0 > c ie n Ntakavdavrijedidaje( ) ( ) | | ( ) a b a f b f n > c . (Malonamjetamodamoemodokazati,alitosesmije.op.a.)Uzmimo ekvidistantnuparticiju{ } { } n k kh a xk,..., 1 , 0 ; = + = = P ,aparametarh proglasimo da je n a bh= . Zbogsvojstvafunkcijedajerastuazasvakipodsegment| | | o, segmenta| | b a,vrijedidaje | |( ) () o| of x f =,inf ,a | |( ) () || of x f =,sup .Potomzakljukuzanau subdivizijujeonda | |( ) ( )1,1inf=kx xx f x fk k,a | |( ) ( )kx xx f x fk k= ,1sup ,pasupripadne Darbouxovesume:( )= =nkkh x f s11i( )= =nkkh x f S1.Naszanimanjihovarazlika jer ako je ona manja od proizvoljnog0 > c , funkcija je integrabilna. Izraunajmo je. ( ) ( ) ( ) ( ) === = = nkk knkknkkx f x f h h x f h x f s S11111.Ovajlanusumacijije nama izuzetno povoljan jer e se svi lanovi u njemu osim drugog i pretposljednjeg ponititi. (Zato? Pogledajmo prvih par lanova. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 22 3 1 2 0 111... = + + ++ + + + = n n n n n nnkk kx f x f x f x f x f x fx f x f x f x f x f x f x f x f Viditedasvakipozitivni( )kx f dobijesvojnegativniparskojimseponiti.To vrijedi za sve osim za( )nx fi( )0x f . op.a.) Naa razlika sada ima oblik: ( ) ( ) | |0x f x f h s Sn = U svakoj particiji je prva toka particije poetna toka segmenta, a posljednja toka particije posljednja toka segmenta ( a x =0,b xn = ), pa je ova razlika: ( ) ( ) | | a f b f h s S = Uvrstimo sadh : ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | a f b f a bna f b f h s S = = 1 Sjetimo se sad one nejednakosti s poetka: ( ) ( ) | | ( ) a b a f b f n > cNju emo malo preurediti: ( ) ( ) | | ( )( ) ( ) | | ( ) a b a f b fna b a f b f n > >1cc A kako jecvee od toga, a to je jednako naoj razlici suma, onda jecvei od nje. A kako to vrijedi za proizvoljnic , po teoremu o nunim i dovoljnim uvjetima za integrabilnost (Teorem 5.2) funkcijafje integrabilna.Q. E. D. Funkcijamonotonaposegmentima(Definicija5.3)Zafunkciju| | b a f , : R kaemodajemonotonapodijelovimanasegmentu| | b a, akopostojiparticija { } b c c c c an n= = = P , ,..., ,1 1 0 1 segmenta| | b a,takva da je | |k kc cf,1 monotona funkcija za sve n k ,..., 1 , 0 = . Korolar o integrabilnosti funkcije monotone po dijelovima (Korolar 5.5) Neka je| | b a f , : Rfunkcijamonotonapodijelovimana| | c b a, R.TadajeonaR-integrabilna na | | b a, . Dokaz: UrijeimaasistentaRaguatrivijalno.Zato.Svakitajpodsegmentzamislimo kaojedansegmentnakojemjefunkcijamonotona.Ondajepoprethodnom teoremuonaintegrabilnanatompodsegmentu.Sada,buduidajeintegral aditivan po podruju integracije (Teorem 5.4), funkcija je integrabilna i integral je jednak: ( ) ( ) } }==nkccbakkdx x f dx x f11 I to je to.Q. E. D. Jednolika(uniformna)neprekidnost(Definicija5.4)Zafunkcijub a f , : R kaemo da je jednoliko (uniformno) neprekidna na intervaluR b a _ ,ako vrijedi: | | ( ) ( ) | | { } c o o c < ' ' ' < ' ' ' e ' ' ' > - > x f x f x x b a x x , , , , 0 , 0Datoprevedemonahrvatski:zabilokojurazlikuizmeufunkcijskihvrijednosti,mora postojatinekakonanarazlikaizmeuvrijednostix -eva.Lijeporeeno,akosuim funkcijske vrijednosti blizu,x -evi ne smiju biti previe razmaknuti. Vezaneprekidnostiijednolikeneprekidnosti(Teorem5.6)Nekaje| | b a f , : R neprekidna funkcija na| | R b a c , . Tada je ona jednoliko neprekidna na| | b a, . Dokaz: Ovo e biti jedan dokaz kontradikcijom pretpostavit emo da je teorem neistinit, pa vidjet emo kamo to vodi. Ono na to ciljamo je da to vodi u protuslovlje. Ako se to dogodi, teorem mora biti istinit. Dakle,pretpostavimodajeneprekidna,alidanijeuniformnoneprekidna. Negiranjemdefinicijeuniformneneprekidnostidobivamotvrdnjudajerazlika izmeux -evaproizvoljnomala,alijerazlikafunkcijskihvrijednostivelika. Uzmimo dvije toke ox an' =i ox bn' ' =i uzmimo da je razlika meu tokama o jednaka n1= o .Sada,poonometosmoreklivrijedidaje nb an n1< ,a istovremeno je( ) ( ) 0 > > cn nb f a f . Zamislimo si nizove takvih ox an' =i ox bn' ' =i neka se zovu( )n nai( )n nb . Sad treba primijeniti znanje iz Anlize 1 o nizovima. Kako biramo toke iz segmenta| | b a, , to znaidajeitajnizusegmentu| | b a, ,toznaidajeogranien.Aznamodapo Weierstrassovom teoremu svaki ogranien niz ima konvergentan podniz, pa tako i ovinizovi.Podnizovenazovimo( )npna i( )npnb Njihovlimesjeunutartog segmentaukojemsudefinirani.Zbogtogatoje np ppb an n1< ,kakoraste np , takoovarazlikateinuliinjihovlimesmorabitijednak.Nekaonimavrijednost | | b a c , eJo jedan teorem iz nizova kae da ako jefneprekidna funkcija, onda je ( ) ( )nnnna f a f = lim lim .Primijenimotoovdje.Dakle,( ) ( ) ( ) c f a f a fn npnpn= = lim lim . Isto tako za( ) ( ) ( ) c f b f b fn npnpn= = lim lim . Po naoj pretpostavci mora vrijediti( ) ( ) 0 > > cn nb f a f . To vrijedi svugdje, pa i ulimesu.Aulimesudobivamoiznenaenje( ) ( ) 0 > > c c f c f tonikakone vrijedi. Dakle, naa pretpostavka je kriva i teorem mora biti istinit.Q. E. D. Teorem o integrabilnosti neprekidne funkcije (Teorem 5.7) Neka je| | b a f , : R neprekidna funkcija na| | R b a c , . Tada je ona integrabilna na| | b a, . Takoer, postoji toka| | b a c , etakva da je( ) ( ) ( ) a b c f dx x fba =}. Dokaz: Kao to ve znamo da bi funkcija bila integrabilna, ona mora zadovoljavati teorem onunimidovoljnimuvjetimazaintegrabilnost(Teorem5.2).Morapostojati neka particija{ } b x x x x x x an n k k= = = P , ,..., , ,..., ,1 1 1 0 takva da za njezine pripadne Darbouxove sume vrijedi da je njihova razlika manja od proizvoljno malog broja. Nekajetakavbrojc .Buduidajefunkcijajednolikoneprekidnapodefiniciji jednolikeneprekidnostiznamodapostoji0 > o zakojivrijedidazasvaki I x x e ' ' ', ,vrijedi:| | ( ) ( )((

< ' ' ' < ' ' 'a bx f x f x xco (Onajbrojodkojeg razlika funkcija mora biti manja je proizvoljan i moemo ga namjetati, pa smo ga i sada namjestili. op.a.) Sada podijelimo segment| | b a,ekvidistantnom particijom na nsegmenata. Ona je zadana ovako:{ } { } n k kh a xk,..., 1 , 0 ; = + = = P , a parametarhproglasimodaje n a bh= .Uzetemodovoljnotoaka( n morabititolikovelik) tako da jeo c f ,buduidajefunkcija neprekidna, znamo da mora postojati neka okolina oko nje gdje je funkcija vea od nule. Ako postoji okolina, onda i postoji segment u kojem e integral biti pozitivan. Tojepakuestokojproturjenostispretpostavkom,toznaidamorabiti odbaeno. Ako uzmemo da je( ) 0 < c f , dokaz tee analogno.Q. E. D. Propozicijaointegraluiezavajuefunkcije(Propozicija5.1)Akofunkcija | | b a h , : Riezavasvugdjeosimmodautoki| | b a c , e ,ondajeh integrabilnana | | b a,i( )}=badx x h 0 . Dokaz: Zbogodreenostiuzmimodaje( ) c h M = idajetopozitivno.Jerjefunkcija iezavajua svugdje, osim uc , za svaku donju Darbouxovu sumusvrijedi da je onajednakanuli(Zato?UdonjuDarbouxovusumuiduminimumifunkcijena podsegmentima,anasvakompodsegmentu,akionomkojisadric ,najmanja vrijednost funkcije je nula. op.a.) Sad uzmimo0 > cpo volji i moramo pokazati da jegornjaDarbouxovasumamanjaodnjegajerjeondapoteoremuonunimi dovoljnim uvjetima za integrabilnost (Teorem 5.2) funkcija integrabilna. Zab a c , e Napravimoparticijuod4toke{ } b x x x x a = = = P3 2 1 0, , , gdjesu toke 1x i 2x zadanesh c x =1,h c x + =2,ah jeproizvoljniparametarkoji namjestimodabude )` < c b a cMh , ,2minc(Manjiodnajmanjeodovihtriju vrijednosti.Tosmijemonapravitidasinamjestimostvari.op.a.)Zapripadnu gornjuDarbouxovusumuvrijedidajeh M S 2 = jerjesegmentizmeu 1x i 2xirinehoko tokec . Ali budui da jehmanji od svih onih vrijednosti, pa tako i od M 2c, dobivamo da jec < hM 2 , i funkcijahje integrabilna. Zaa c = napravimoparticijuodtritoke{ } b x x x a = = = P2 1 0, , istavimodaje h c x + =1, a ovaj put je )` < c bMh , minc.Sje jednakMh , ali je to manje odcjer smo zadali da je Mhc< . Zab c = napravimoparticijuodtritoke{ } b x x x a = = = P2 1 0, , istavimodaje h c x =1,aovajputje )` < a cMh , minc.S jeopetjednakMh ,alijetoopet manje odcjer smo zadali da je Mhc< . U sva tri sluaja smo dokazali da jec < S , dakle funkcija je integrabilna. Ovajdrugidiodokazaslijediiztogadaje gornjaDarbouxovasumauvijekmanja od bilo kojeg broja veeg od nule, dakle, ona sama mora biti nula. Onda je jednaka donjojDarbouxovojsumikojajetakoernula,apodefinicijiintegrala supremumsvihdonjihDarbouxovihsumajejednakinfimumusvihgornjih Darbouxovihsumatojesvezajednojednakointegralu.Uovomsluajutoje nula.Q. E. D. Korolarointegrabilnostiveomaisprekidanefunkcije(Korolar5.3)Neka ograniena funkcija| | b a f , : R ima na segmentu| | b a,najvie konano toaka prekida prve vrste. Tada je ona R-integrabilna na| | b a, . Dokaz: Nekasu n k kc c c c c < < <