3

M.A. NƏCƏFOV

DİFERENSİAL HƏNDƏSƏDƏN

MÜHAZİRƏLƏR

Bakı-2016

4

AZƏRBAYCAN RESPUBLIKASI TƏHSIL NAZIRLIYI

AZƏRBAYCAN DÖVLƏT PEDAQOJI UNIVERSITETI

MAQSUD AĞAQULU OĞLU NƏCƏFOV

DIFERENSIAL HƏNDƏSƏDƏN MÜHAZIRƏLƏR

Azərbaycan Respublikası Təhsil

Nazirliyinin saylı əmri ilə dərs

vəsaiti kimi təsdiq edilmişdir.

Bakı-2016

5

ÖN SÖZ

Diferensial həndəsə həndəsənin fiqurları (əyrilər, səthlər və

s.) riyazi analizin üsulları ilə tədqiq edən bölməsidir və onun

inkişafı diferensial hesabının yaranmasından başlanır. Belə ki,

hələ Leybnis (1646-1716) öz işlərində əyrilərin öyrənilməsi üçün

diferensial hesabını tətbiq etmişdir. Onun tələbəsi İ.Bernulli

(1667-1748) səthlər üzərində geodezik əyrilər üçün diferensial

tənliklər almışdır. Bundan əlavə diferensial həndəsədə xətlər və

səthlər ailələrinin də xassələri öyrənilir.

Diferensial həndəsə riyazi analizlə sıx əlaqədə inkişaf edib.

Ancaq, riyazi analiz özü də, əsasən həndəsə məsələlərinə görə

yaranıb. Belə ki, toxunan anlayışı funksiyanın törəməsi

anlayışının, inteqral anlayışı isə sahə və həcm anlayışlarının

yaranmasına səbəb olub.

Diferensial həndəsənin bir elm kimi yaranması, əsasən

XVIII əsrdə İ.Bernullinin tələbəsi Y.Eylerin (1707-1783) və

Q.Monjun (1746-1828) adı ilə bağlıdır. Belə ki, səthin verilmiş

nöqtəsində normal kəsiyinin əyriliyinin tədqiqi, eləcə də səthin

baş istiqamətlərinin, baş əyriliklərinin hasili kimi səthin tam

əyriliyinin təyini kimi gözəl nəticələr Eylerə, səthin xətlərdən

təşkil olmasının tədqiqi isə Monja məxsusdur.

Diferensial həndəsənin əsas anlayışlarından bəziləri,

məsələn, toxunan və asimptot anlayışları hələ bizim eradan əvvəl

yunan həndəsəçilərinə məlum idi. Amma bu anlayışlara verilən

müasir təriflərdə istifadə olunan hərəkət və onunla bağlı limit

anlayışları qədim yunan həndəsəçilərinə məlum deyildir.

Diferensial həndəsənin səthlər nəzəriyyəsi XIX əsrdə

Almaniya və başqa ölkələrdə Qaussun (1829), Fransada isə

Monjun əsərlərində (1867) öz əksini tapmışdır.

Təqdim olunan dərs vəsaiti dörd fəsildən ibarətdir.

Birinci fəsildə topologiyanın elementləri və metrik fəza

anlayışları, ikinci fəsildə skalyar arqumentli vektor funksiyalar,

əyri, hamar əyri, əyriyə toxunan, əyrinin əyriliyi, əyrinin

6

buruqluğu, çoxtoxunan müstəvi kimi anlayışlar verilmiş, əyrinin

verilmə üsulları göstərilmiş, hər paraqrafın sonunda nümunə kimi

məsələlər göstərilmiş və çalışmalar təqdim edilmişdir.

Üçüncü fəsildə evklid fəzasında səthlər, hamar səth

anlayışı, səthin verilmə üsulları, səthə toxunan müstəvi və

normalı, səthin I və II kavdratik formaları, səth üzərində əyrinin

əyriliyi, baş əyrilik,səthin tam və orta əyriliyi öyrənilmiş, hər

paraqrafın sonunda məsələlər həll edilmiş və çalışmalar

verilmişdir.

Dördüncü fəsil səthin daxili həndəsəsinə həsr olunmuş,

derivasion düsturlar çıxarılmış, geodezik xətlər, səth üzərnidə

qapalı oblastın sahəsi öyrəilmiş, hər paraqrafın sonunda məsələlər

həll edilmiş və uyğun çalışmalar verilmişdir.

Dərs vəsaiti Pedaqoji Universitetin “Riyaziyyat

müəllimliyi” – 050106, “Riyaziyyat və informatika müəllimliyi”–

050105 ixtisasları üçün “Diferensial həndəsə və topologiya”

fənnin proqramı əsasında tərtib edilmişdir. Vəsaitdən texniki ali

məktəb və riyaziyyat və informatika ixtisası verən ali məktəbin

müəllimləri və tələbələri istifadə edə bilərlər.

Sonda kitabı diqqətlə oxuyub etdiyi düzəlişlərə görə

vəsaitin elmi redaktoru, ADPU-nun “Cəbr və həndəsə”

kafedrasının dosenti A.İ.Şahbazova, verdiyi dəyərli məsləhətlərə

görə həmin kafedranın müdiri, dosent Z.Q.Sadıxova, rəyçilər

BDU-nun “Həndəsə” kafedrasının dosentləri N.Y.Əliyevə və

H.D.Fəttayevə öz dərin minnətdarlığımı bildirirəm.

7

I FƏSİL

TOPOLOGİYANIN ELEMENTLƏRİ

§1. Metrik fəzalar

Tutaq ki, E boş olmayan çoxluqdur. Əgər E çoxluğunun

ixtiyari x və y elementləri cütünə qarşı mənfi olmayan yx,

ədədi qoymaq olarsa ki,

10. yxyx 0,

20. Eyxxyyx ,,,

30. Ezyxzyyxzx ,,,,,,

şərtləri ödənsin, onda deyirlər ki, E çoxluğunda metrikası təyin

edilmişdir. 10-3

0 - şərtlərinə məsafə aksiomları deyilir. E çoxluğu

onda verilən metrikası ilə birlikdə, yəni ,E cütlüyü metrik

fəza adlanır. Onun ,...,, zyx elementləri isə E çoxluğunun

nöqtələri adlanır. Mənfi olmayan yx, ədədi yx, nöqtələri

arasında məsafə adlanır. funksiyasının ödədiyi 10-3

0 xassələri

metrik fəzanın aksiomları adlanır.

10– Xassəsi eynilik aksiomu,

20– Xassəsi simmetriklik aksiomu,

30– Xassəsi üçbucaq aksiomu adlanır.

İstənilən boş olmayan E çoxluğunda ixtiyari EEyx ,

nöqtələr cütlüyünə

yxяэяр

yxяэяр

,0

,1, yx

ədədini qarşı qoymaqla trivial adlanan metrika təyin etmək olar.

Aydındır ki, belə təyin olunmuş metrika 10-3

0 aksiomlarını

ödəyir. Beləliklə, hər bir boş olmayan çoxluğunu metrik fəzaya

çevirmək olar. Qeyd edək ki, birdən çox elementi özündəsaxlayan

çoxluqda müxtəlif metrikalar vermək olar. Doğrudanda, əgər

çoxluqda metrikası verilmişsə, k vahiddən fərqli müsbət

8

ədəddirsə, onda kp- da həmin çoxluqda təyin olunmuş metrikadır

və bu metrika metrikasından fərqlidir.

İndi isə metrik fəzaya aid misallara baxaq.

Misal 1. ,...3,2,1nEn evkilid fəzası üçün

REE nn: inikasını nENM , üçün

MNNM , (harada ki,

MN ifadəsi

MN vektorunun

uzunluğunu göstərir) təyin edək. Bu halda vektorun uzunluğunun

xassələrinə görə metrik fəzanın 10-3

0 aksiomları ödənir.

Deməli, nE evklid fəzası metrik fəzadır.

Misal 2. Tutaq ki, E ədədi parçadır, yəni bxa şərtini

ödəyən nöqtələr çoxluğudur, hardakı ba şərti ödənilir. x və y

nöqtələri arasındakı məsafəni yxyx , kimi təyin edək.

Aydındır ki, bu halda metrik fəzanın 10, 2

0–ci aksiomları ödənilir.

İndi isə, 30–cu aksiomun ödənilməsini yoxlayaq. Əgər

Exxx 321 ,, isə onda aydındır ki,

32213221 xxxxxxxx şərti ödənilir. Deməli,

322131 ,,, xxxxxx olur, yəni 30–cü aksiomda ödənilir.

Deməli, ba, parçası nöqtələr arasında adi məsafəyə görə metrik

fəzadır.

Misal 3. ba, parçasında təyin olunmuş həqiqi kəsilməz

funksiyaların E çoxluğundan Egf , funksiyaları üçün

metrikanı

xgxfgfbax

,

sup, kimi təyin edək.

Metrik fəzanın 10, 2

0, 3

0 aksiomlarının ödənildiyini asanlıqla

yoxlamaq olar.

Bu metrik fəza, nöqtələri funksiyalar olan metrik fəzadır və

adətən baC , şəklində işarə edilir. baC , fəzası funksional fəzaya

aid nümunədir.

9

Qeyd. Qeyd edək ki, afin və proyektiv fəza metrik fəza

deyil, belə ki, bu fəzalarda metrika təyin olunmayıb.

Tərif 1. Ex 0 üçün rxx ,0 bərabərsizliyini ödəyən

bütün Ex nöqtələr çoxluğuna, mərkəzi 0x nöqtəsində, radiusu

isə 0rr olan açıq kürə deyilir və rxB ,0 kimi işarə olunur.

Tərif 2. Ex 0 üçün rxx ,0 bərabərsizliyini ödəyən

bütün Ex nöqtələr çoxluğuna mərkəzi 0x , radiusu r olan

qapalı kürə deyilir və rxB ,0 şəklində işarə olunur.

Tərif 3. Ex 0 üçün rxx ,0 şərtini ödəyən bütün

Ex nöqtələr çoxluğuna mərkəzi 0x , radiusu r olan sfera

deyilir və sfera rxS ,0 kimi işarə olunur. ,0xB açıq kürəsi

Ex nöqtəsinin ətrafı adlanır.

Tutaq ki, A çoxluğu ,E metrik fəzasının boş olmayan

alt çoxluqudur. Əgər, Aa nöqtəsi özünün müəyyən ətrafı ilə

bütünluklə A -ya daxil olarsa, a -ya A çoxluğunun daxili nöqtəsi

deyilir. A çoxluğunun bütün daxili nöqtələr çoxluğu, onun daxili

və ya daxili hissəsi adlanır,

A və ya Aint şəklində işarə olunur.

Tərif 4. Əgər çoxluğun bütün nöqtələri daxili nöqtələr isə,

başqa sözlə çoxluq özünün daxili hissəsi ilə üst-üstə düşərsə, belə

çoxluğa açıq çoxluq deyilir.

Açıq çoxluğa misal olaraq ədəd oxunda ba, şəklində ədədi

intervalları və bu intervalların birləşmələrini, 2E müstəvisində

açıq dairələri, açıq yarımmüstəviləri, sadə çoxbucaqlıların

daxillərini göstərmək olar.

Tərif 5. Əgər Ea nöqtəsinin elə ətrafı varsa ki, orada

EA çoxluğunun elementi yoxdur, onda a nöqtəsinə A

çoxlğunun xarici nöqtəsi deyilir.

Bu tərifdən alınır ki, Ea nöqtəsinin EA çoxluğunun

xarici nöqtəsi olması üçün zəruri və kafi şərt, a nöqtəsinin

AECA \ tamamlayıcı çoxluğunun daxili nöqtəsi olmasıdır.

10

N

P

M

Tərif 6. Ea nöqtəsinin istənilən ətrafının, həm A

çoxluğu ilə, həm də onun tamamlayıcı çoxluğu ilə kəsişməsi boş

deyilsə, onda a nöqtəsinə A çoxluğunun sərhəd nöqtəsi deyilir.

Bütün sərhəd nöqtələr çoxluğuna A çoxluğunun sərhədi

deyilir və Ab , yaxud da A kimi işarə olunur.

Tutaq ki, A fiquru 2E evklid müstəvisində, şəkildə

göstərilən hər hansı rOB ; açıq dairəsidir. Bu fiqurun hər bir M

nöqtəsi, A çoxluğunun daxili nöqtəsidir. Deməli, açıq dairə

evklid müstəvisində açıq çoxluqdur.

N nöqtəsi 2E müstəvisində A çoxluğunun xarici

nöqtəsi, P nöqtəsi isə bu çoxluğun sərhəd nöqtəsidir.

Açıq rOB ; dairəsinin sərhəddi

rOS ; çevrəsidir.

Analoji olaraq, qeyd edək ki, 3E

evklid fəzasında açıq rOB ; kürəsi də

açıq çoxluqdur, onun sərhədi isə rOS ;

sferasıdır.

Tərif 7. Əgər ,E metrik fəzasında elə sonlu radiuslu

kürə varsa ki, A çoxluğunu daxilində saxlayır, onda A çoxluğuna

məhdud çoxluq deyilir.

Evklid müstəvisində istənilən çoxbucaqlı, istənilən dairə və

ellips məhdud çoxluqdur; hiperbola, parabola sinisoid isə qeyri-

məhdud çoxluqlardır.

,E metrik fəzasında bütün açıq çoxluqlar çoxluğunu Q –

ilə işarə edək. Aydındırki, QE . Boş çoxluğu da açıq çoxluq

hesab edəcəyik, yəni Q . Q çoxluğunun əsas xassəsi

aşağıdakı teoremlə ifadə olunur.

Teorem.1 Metrik fəzada 1) istənilən qədər açıq çoxluqların

birləşməsi də açıq çoxluqdur. 2) Sonlu sayda açıq çoxluqların

kəsişməsi də açıq çoxluqdur.

11

İsbatı. Tutaq ki, U çoxluqlar sistemi ,E metrik

fəzasında açıq çoxluqlardan ibarətdir, yəni QU və burada

hər hansı bir çoxluğunda qiymətlər alır ( ola bilsin ki,

sonsuzdur). U çoxluqlarının bütün birləşmələrinə baxaq və bu

çoxluğu U ilə işarə edə

UU

(1)

Ux 0 nöqtəsini götürək. (1) bərabərliyinə əsasən heç

olmazsa elə bir 0 qiyməti var ki, 00 Ux olar.

0U açıq

çoxluqdur, onda 0x nöqtəsinin elə ,0xB ətrafı var ki,

0

,0 UxB olur. UU 0

olduğundan alırıq ki, UxB ,0

olar.

Beləliklə alırıq ki, Ux 0 nöqtəsi üçün elə ətrafı var ki,

həmin ətraf bütünlüklə U ya daxildir. Deməli, U açıq çoxluqdur.

İkinci xassəni iki çoxluq üçün isbat etmək kifayətdir. Tutaq ki,

21,UU açıq çoxluqlardır. Əgər 21 UU olarsa, onda bizim

təklifimiz doğrudur; çünki boş çoxluq açıq çoxluqdur. İndi isə, o

hala baxaq ki, VUU 21 . V - çoxluğundan ixtiyari

Vx 0 elementi götürək. Onda aydındır ki, 10 Ux və 20 Ux

olur. 1U və 2U açıq çoxluqlar olduğundan 0x nöqtəsinin 1U -ə

daxil olan, 110, xB ətrafı, 2U -yə daxil olan 220, xB

ətrafı var.

Tutaq ki, ədədi 1 və 2 - ədədlərinin ən kiçiyidir. Onda

aydındır ki, 1100 ,, UxBxB və 2200 ,, UxBxB

olar. Buradan alarıq ki, VxB ,0 olar.

Beləliklə alarıq ki, V -də hər bir nöqtə özünün müəyyən

ətrafı ilə V -yə daxildir. Deməli, V açıq çoxluqdur.

12

§2. Topoloji fəzalar

Metrik fəzada Teorem 1 ilə ifadə olunan çoxluqların əsas

xassələrinə əsaslanaraq ümumi topoloji fəza anlayışını vermək

olar.

Tutaq ki, X çoxluğunda hər hansı qayda ilə aşağıdakı

xassələri ödəyən alt çoxluqlar sistemi qeyd olunub:

10. Boş çoxluq və X çoxluğu özü sisteminə daxildir.

20.

sistemindən olan alt çoxluqların istənilən ailəsinin

birləşməsi də -ya daxildir.

30. sistemindən olan alt çoxluqların istənilən sonlu ailəsinin

kəsişməsi də - ya daxildir.

Bu şərtlər ödəndikdə deyirlər ki , X çoxluğunda topoloji

struktur və ya topologiya təyin olunub, ,X cütlüyü isə topoloji

fəza adlanır. 10-3

0 xassələri topoloji strukturun aksiomları adlanır.

X çoxluğunun elementləri nöqtə, sisteminin elementlərinə isə

,X topoloji fəzasının açıq çoxluqıarı adlanır. Əgər X

çoxluğunda hər hansı topologiyasının seçildiyi məlumdursa,

onda ,X topoloji fəzasının sadəcə olaraq X ilə işarə etmək

olar.

Misal 1. ,E metrik fəzasına baxaq. Bundan əvvəlki

paraqrafda isbat etdiyimiz teoremə əsasən alırıq ki, ,E həm də

topoloji fəzadır. Burada topologiyası açıq kürələrin köməyi ilə

verilir. ( ,E fəzasında açıq çoxluqların tərifini bundan əvvəlki

paraqrafda vermişik). Bu halda deyirlər ki, fəzanın topologiyası

irsən alınmışdı, yəni bu fəzanın topologiyası metrikası

vasitəsilə yaranmışdır (belə topoloji fəzalara metrikləşə bilən

topoloji fəzalar deyilir).

Misal 2. nR çoxluğunda açıq çoxluqları aşağıdakı şəkildə

təyin edək. ] ii ba , [ ni ,1 n sayda ədədi intervallar götürək və

aşağıdakı fiqura baxaq:

nibxaRxxxΜ iiinn

n ...2,1/),...,( 21

13

Bunu nR -də açıq koordinat paralelepipedi adlandıraq. Əgər nRF çoxluğunun ixtiyari FΜ nöqtəsi üçün elə n açıq

koordinat paralelepipidi tapmaq olarsa ki, FΜ n şərti

ödənilir, onda F açıq çoxluq adlanır. Boş çoxluğu açıq çoxluq

hesab edirik. Asanlıqla yoxlamaq olar ki, yuxarıda təyin etdiyimiz

F açıq çoxluqları topologiyanın 10-3

0 aksiomlarını ödəyir,

deməli, nR çoxluğunda müəyyən topologiya təyin edir (belə

topologiya təbii topologiya adlanır). Bu topologiya nR çoxluğunu

topoloji fəzaya çevirir. Əgər 1n olarsa onda o, ədədi fəza və ya

ədəd oxu adlanır.

Misal 3. 2A afin müstəvisində PABCD

paraleloqramına baxaq. P paraleloqramının ADABAM

,10 10 şərtini ödəyən bütün M nöqtələr

çoxluğunun

P ilə işarə edək. Bu çoxluq P paraleloqramının

daxili adlanır. 2AF çoxluğu özünün hər bir nöqtəsi ilə bərabər

bu nöqtəni özündə saxlayan müəyyən bir paraleloqramın daxilini

də özündə saxlayırsa, onda F çoxluğuna açıq çoxluq deyilir. Bu

isə o deməkdir ki, F -ə daxil olan hər bir M F nöqtəsi üçün,

elə P paraleloqramı var ki, onun

P daxili, FPM

şərtini

ödəyir.

Burada da, asanlıqla yoxlamaq olar ki, bu cür təyin

olunmuş açıq çoxluqların sistemi 2A müstəvisində topoloji

strukturun 10,2

0,3

0 aksiomlarını ödəyir. Deməli, afin müstəvisi

topoloji fəzadır.

Oxşar qayda ilə göstərmək olar ki, nA 2n afin fəzası

da topoloji fəzadır. Eyni qayda ilə nP proyektiv fəzasında da

topologiya təyin etmək olar. Bu, metrik fəza olmayan topologi

fəzalara misaldır.

Misal 4. İxtiyari X çoxluğunun iki elementdən ibarət olan

,X alt çoxluqlar ailəsinə baxaq: bu elementlərdən biri X

14

çoxluğunun özü, ikincisi isə boş çoxluqdur. Aşkardır ki, bu alt

çoxluqlar ailəsi 00 31 aksiomalarını ödəyir, yəni ailəsi X

çoxluqunda təyin olunmuş topologiyadır. Bu topologiya

antidiskret topologiya, ( ,X )- fəzası isə antidiskret topoloji fəza

adlanır.

Misal 5. Tutaq ki, X hər hansı çoxluq, XP isə bu

çoxluğun bütün alt çoxluqlar ailəsidir. Aydındır ki, bu halda da

10-3

0 aksiomları ödənilir, yəni topologiyadır. Bu topologiya

diskret topologiya, ( ,X ) fəzasına isə diskret topoloji fəza

deyilir. 4 və 5 misallarından görünür ki, ixtiyari X çoxluğunun

topoloji fəzaya çevirmək olar.

Tutaq ki, ( ,X )– topoloji fəzadır.

Tərif 1 : Xx nöqtəsini özündə saxlayan istənilən açıq

çoxluqa x nöqtəsinin ətrafı deyilir.

Bu tərifdən alınır ki, XU çoxluğunun özünün hər bir

nöqtəsinin ətrafı olması üçün, zəruri və kafi şərt, həmin çoxluğun

açıq çoxluq olmasıdır, yəni U olmasıdır.

Tərif 2 : Əgər hər bir Xx və onun xU ətrafı üçün

XB - də elə xB elementi varsa ki, xx UBx şərti

ödənilsin, onda ( ,X ) – topoloji fəzasının B açıq alt

çoxluqlar ailəsi - topologiyasının bazası adlanır.

Intervalar R həqiqi ədədlər çoxluğunda təbii

topologiyanın bazasını əmələ gətirir. Evkilid fəzasında açıq

kürələr bu topoloji fəzanın bazasını əmələ gətirir. Açıq koordinat

paraleloepipdləri təbii topologiyaya görə nR -də baza əmələ

gətirir. Aydındır ki, hər bir topologiyasının bazası var (Misal

üçün, B götürmək olar). Bazanın əsas xassəsini aşağıdakı

teorem ifadə edir.

Teorem1. ( ,X ) topoloji fəzasının B açıq çoxluqları

ailəsi, ancaq və ancaq, o zaman topologiyasının bazası olar ki,

-nın hər bir elementi B -nin müəyyən elementlərinin birləşməsi

şəkilində olsun.

15

İsbatı: Tutaq ki, B ailəsi topologiyasının bazasıdır və

U hər hansı açıq çoxluqdur. Yəni U . Bazanın tərifinə əsasən

ixtiyari Ux nöqtəsi üçün B ailəsinin elə xB elementi var ki,

UBx x olur. B -də xB elementlərinin çoxluğuna baxaq

(burada x , U -nun ixtiyari nöqtəsidir). Aydındır ki, U çoxluğu

xB elementlərinin birləşməsindən ibarətdir, yəni xUx

BU

olur.

Tərs təklif də aydındır.

topologiyasının X – çoxluğunun açıq alt çoxluqlarının

sonlu və ya hesabi ailəsindən ibarət, heç olmazsa bir bazası varsa,

onda ( ,X ) topologi fəzası hesabi bazalı topoloji fəza adlanır.

Belə ki, R ədəd oxunun rasional uclu intervallarından ibarət

ailəsi, onun təbii topologiyasının bazasını əmələ gətirir. Bu baza

hesabidir. Nəticədə alırıq ki, R fəzası hesabi bazalı topoloji

fəzadır. Buradan alınır ki, afin və evkilid fəzaları hesabi bazalı

fəzalardır.

Tutaq ki, A çoxluğu ( ,X ) – topoloji fəzasının hər hansı

boş olmayan alt çoxluğudur. Aa nöqtəsinin tamamilə A –ya

daxil olan hər hansı bir ətrafı varsa, onda a nöqtəsinə A -

çoxluğunun daxili nöqtəsi deyilir.

Əgər Xa nöqtəsinin elə bir ətrafı varsa ki, onun A

çoxluğundan olan heç bir elementi olmasın, onda a nöqtəsinə A

çoxluğunun xarici nöqtəsi deyilir. Xa nöqtəsinin ixtiyari

ətrafının, həm A çoxluğu ilə, həm də A çoxluğunun CA

tamamlayıcısı ilə kəsişməsi boş çoxluq deyilsə, onda a nöqtəsinə

A -çoxluğunun sərhəd nöqtəsi deyilir. A -çoxluğunun

A daxili

hissəsi və Ab sərhəd anlayışları eyni ilə metrik fəzadakı kimi

təyin edilir.

Burada da A çoxluğu, o zaman və yalnız o zaman, açıq

çoxluq olar ki, daxili hissəsi ilə üst-üstə düşsün yəni,

AAA . (1)

16

Xx nöqtəsinin ixtiyari ətrafı ilə A çoxluğunun kəsişməsi boş

deyilsə, onda x -ə A çoxluğunun toxunma nöqtəsi deyilir. Bu

tərifdən alınır ki, A çoxluğunun ixtiyari nöqtəsi və onun Ab -

sərhəddinin ixtiyari nöqtəsi A çoxluğunun toxunma nöqtəsidir. A

çoxluğunun bütün toxunma nöqtələri çoxluğunu A - ilə işarə edək.

A -ya A çoxluğunun qapanması deyilir. Aydındır ki,

)(AbAA

olur.

Məsələn Rba , intervalının qapanması ba, ədədi

parçası, 2, ErOB -açıq dairəsinin qapanması isə rOB , -

qapalı kürəsidir.

Çoxluğun xarici nöqtəsinin və toxunma nöqtəsinin

tərifindən alınır ki, əgər x nöqtəsi A çoxluğunun toxunma

nöqtəsi deyilsə, onda bu nöqtə A çoxluğunun xarici nöqtəsidir.

Tərsinə, əgər x nöqtəsi A çoxluğunun xarici nöqtəsidirsə, onda

bu nöqtə A çoxluğunun toxunma nöqtəsi ola bilməz. Beləliklə

alırıq ki, A çoxluğunun qapanmasının tamamlayıcısı A

çoxluğunun tamamlayıcısının daxili hissəsi ilə üst-üstə düşür, yəni

aşağıdakı bərabərlik doğrudur.

CAAC (2)

Tərif 3: ( ,X ) topoloji fəzasının, A çoxluğunun CA

tamamlayıcısı açıq çoxluq olarsa, A çoxluğu qapalı çoxluq

adlanır.

Qapalı çoxluğa Rba , ədədi parçasını, roB , 2E -

qapalı dairəsini misal göstərmək olar. ,X -topoloji fəzasının

özü isə eyni zamanda qapalı və açıq çoxluqdur.

Çoxluğun qapalılıq əlamətini aşağıdakı teoremlə ifadə

etmək olar.

Teorem 2: Topoloji fəzada A çoxluğu, onda və yalnız

onda, qapalı olar ki, o, özünün qapanması ilə üst-üstə düşsün.

17

Zərurilik. Tutaq ki, A çoxluğu ( ,X )- topoloji fəzasında

qapalıdır; göstərək ki, AA ödənilir. A çoxluğu qapalıdırsa,

deməli, CA olur. Onda (1) bərabərliyinə əsasən alırıq ki,

CACA -dır. (2) bərabərliyini nəzərə alsaq CACA alarıq.

Buradan alırıq ki, AA . Zərurilik isbat olundu.

Kafilik. Tərsinə, fərz edək ki, A çoxluğu özünün A

qapanması ilə üst üstə düşür, yəni AA şərti ödənilir. İsbat edək

bu çoxluq qapalıdır. Fərziyədən alırıq ki, ACCA -dır, onda (2)

bərabərliyinə əsasən

CACA yaza bilərik. Deməli (1)

bərabərliyinə əsasən CA olur, yəni A çoxluğu qapalıdır.

Teorem isbat olundu.

( ,X )- topoloji fəzasının hər hansı A alt çoxluğuna

baxaq. T ilə -nun A çoxluğu ilə kəsişmələri çoxluğunu işarə

edərək, yəni UAUT / işarə edək. Yoxlamaq olra ki,

A çoxluğunun T alt çoxluqlıarı ailəsi topologiyanın 00 31

aksiomlarını ödəyir. Onda alırıq ki, TA, - topoloji fəzadır. Bu

fəza ( ,X )- fəzasının alt fəzası adlanır; T - topologiyası

haqqında isə deyirlər ki, o, A çoxluğunda topologiyasının

yaratdığı topologiyadır.

§3. Kəsilməzlik və homomorfizm

Məlumdur ki, ədədi arqumentli kəsilməz funksiyalar

riyazi analizdə çox mühüm rol oynayır. Həndəsədə kəsilməz

funksiyanın ümumiləşməsi olan kəsilməz inikaslar mühüm yer

tutur.

Tutaq ki, ( ,X ) və TY , topoloji fəzalardır.

Tərif 1. Əgər Y fəzasında xf nöqtəsinin ixtiyari V

ətrafı üçün , X fəzasında x nöqtəsinin elə U ətrafı varsa ki,

18

VUf olur, onda YXf : inikası x nöqtəsində kəsilməz

inikas adlanır. Əgər, inikas X çoxluğunun hər bir nöqtəsində

kəsilməzdirsə, onda həmin inikas kəsilməz inikas adlanır.

Qeyd edək ki, əgər X və Y fəzaları R ədəd oxu olarsa,

onda kəsilməz inikas anlayışı analizdən bildiyimiz kəsilməz

funksiya anlayışına çevrilər.

Kəsilməz inikaslar haqqında aşağıdakı teorem inikasların

kəsilməzlik meyarını ifadə edir.

Teorem. ( ,X ) topoloji fəzasının TY , topoloji fəzasına

olan f inikası, ancaq və ancaq, o zaman kəsilməzdir ki, Y -

fəzasının istənilən açıq çoxluğunun proobrazı X -də açıq çoxluq

olsun.

İsbatı. Zərurilik: Tutaq ki, YXf : inikası

kəsilməzdir. İxtiyari TV açıq çoxluğunu götürək, göstərək ki,

Vf 1 olacaq. VfU 1 işarə edək; U elə Xx

nöqtələrinin çoxluğudur ki, Vxf olsun. İxtiyari Ux 0

nöqtəsini götürək. Vxf 0 olduğu üçün, V çoxluğu 0xf

nöqtəsinin ətrafı olacaq. f -kəsilməz olduğundan 0x nöqtəsinin

elə 0xU ətrafı var ki, VUf x

0olacaq. Onda UU x

0 olar.

Buradan da alırıq ki, U çoxluğu hər bir nöqtəsi ilə bərabər, onun

müəyyən ətrafını da özündə saxlayır. Deməli, U açıq çoxluğdur.

Zərurilik isbat olundu.

Kafilik. Tutaq ki, f inikası zamanı, ixtiyari açıq çoxluğun

proobrazı açıq çoxluqdur. İsbat edək ki, f inikası X fəzasının

hər bir nöqtəsində kəsilməzdir. İxtiyari Xx 0 nöqtəsini götürək.

Vxf 0 nöqtəsinin ixtiyari TV ətrafına baxaq. Şərtə görə V

çoxluğunun proobrazı açıq çoxluğdur. 1f (V ) =U işarə etsək,

onda aydındır ki, Ux 0 və VUf olar. Deməli,

0xf nöqtəsinin hər bir V ətrafına uyğun, 0x nöqtəsinin elə U

19

ətrafını tapdıq ki, VUf olur. Deməli, f inikası hər bir

Xx 0 nöqtəsində kəsilməzdir. b.t.i.o.

Tərif 2. Tutaq ki, bizə X ,У topoloji fəzaları verilib. Əgər

YXf : inikası qarşılıqlı birqiymətlidirsə, özü və tərsi də

kəsilməzdirsə (yəni, f inikası

a) biyektivdirsə,

b) f və 1f kəsilməz inikasdırsa) onda f

homeomorfizm adlanır.

Əgər YXf : homeomorfizmi varsa, onda X , Y

fəzaları homeomorf fəzalar adlanır və YX ~ kimi yazılır.

Beləliklə, biz bütün topoloji fəzaların M sinifində ~ kimi

işarə olunan binar münasibəti aldıq. Asanlıqla göstərmək olar ki,

bu münasibət refleksiv, simmetrik və tranzitivdir. Deməli,

baxılan bu münasıbət M sinfində ekvivalentlik münasıbətidir.

~/M faktor çoxluğunun hər bir elementi topoloji tip

adlanır.

İki homeomorf topoloji fəza verilibsə, onlara topoloji

ekvivalent və ya eyni tipə daxil olan topoloji fəzalar deyəcəyik.

,X topoloji fəzasının homeomorfizm zamanı dəyişməyən

xassələrinə topoloji xassələr (və ya topoloji invariantlar) deyilir.

Bu xassələrin öyrənilməsi riyaziyyatın böyük bir bölməsi olan

topologiyanın predmetidir.

Misal 1. metrikasından irsən alınmış 3E üçölçülü

evklid fəzasına və təbii topologiya ilə verilmiş üç ölçülü 3R

ədədi

fəzasına baxaq. (§2-də misal 1, misal 2). Əgər 3E fəzasında kji

O

düzbucaqlı koordinat sistemi verilmişdirsə, mMf

münasibəti ilə 3

3: REf kimi f biyektiv inikası təyin edə

bilərik. Burada 3EM , 3Rm

və qeyd edək ki,

321 ,, xxxm olur; burada, 321 ,, xxx ədədləri M - nöqtəsinin

20

kjiO koordinat sistemində koordinatlardır. İsbat edək ki, bu inikas

homeomorfizmidir.

Tutaq ki, 30 , EM fəzasının ixtiyari nöqtəsidir, 0m =

( 1

0x , 2

0x , 3

0x

) isə onun obrazıdır. 3R fəzasında

0M nöqtəsinin

ixtiyari 0V ətrafını götürək. 0M nöqtəsini özündə saxlayan və

0V

ətrafına daxil olan 3,2,1,0 ibxaV iii açıq koordinat

paralelepipedinə baxaq. Tutaq ki, ədədi,

3,2,1,, 00 ixbxa i

i

ii ədədlərin ən kiçiyidir. Onda aydındır

ki, 0M nöqtəsinin ətrafı olan U ətrafı üçün alariq

ki, 0)( VVUf olur. Buradan çıxır ki, f inikası 0M

nöqtəsində kəsilməzdir. 0M nöqtəsi 3E –ün ixtiyari nöqtəsi

olduğundan alarıq ki, f inikası kəsilməzdir. Bu apardığımız

mühakimələrdən görünür ki, 3

31 : ERf inikası da

kəsilməzdir. Ona görə f –inikası homemorfizmdir.

Beləliklə, aliriq ki, 3E ~3R

olur. Eyni qayda ilə, isbat

etmək olar ki, 2E →2R və 1E 1R -olur. Oxşar qayda ilə,

inanmaq olar ki, 3A afin fəzası3R ədədi fəzasına, 2A afin

müstəvisi isə 2R

ədədi fəzasına homemorfdur.

Misal 2. 2E evklid müstəvisində uc nöqtələri A və B

olan yarımçevrəsinə və 00BAI parçasına baxaq, burada 0A ,

0B nöqtələri A və B nöqtələrinin, yarımçevrəsinin AB düz

xəttinə paralel olan d toxunanı üzərində ortoqonal

proyeksiyasıdır.

2E evklid topologiyası və I çoxluqları üzərində

uyğun olaraq iki , və TI , topoloji fəzaları yaradır. İsbat

edək ki, bu iki fəza homeomorfdur. Tutaq ki, f inikası

yarımçevrəsinin 0A 0B üzərində ortoqonal proyeksiyasıdır.

21

Aydındır ki, f - qarşılıqlı birqiymətli inikasdır. İsbat edək ki, bu

inikas kəsilməzdir. Bunun üçün ixtiyari 0M nöqtəsinə baxaq.

Onun obrazı 00 MfN olsun. Asanlıqla görmək olar ki, 0N

nöqtəsinin ixtiyarı V ətrafına qarşı 0M nöqtəsinin elə U ətrafını

tapmaq olar ki, VUf olsun. (Şəkil 1-ə bax).

Deməli, f inikası 0M nöqtəsində kəsilməzdir və 0M nöqtəsi

əyrisinin ixtiyari nöqtəsi olduğundan alırıq ki, f inikası

kəsilməzdir. Eyni qayda ilə göstərmək olar ki, 1f tərs inikası da

kəsilməzdir. Beləliklə alırıq ki, uc nöqtələri ilə verilmiş

yarımçevrə parçaya homeomorfdur .

Analoji olaraq göstərmək olar ki, ucları daxil olmayan

yarımçevrə də, ucları daxil olmayan I intervalına

homeomorfdur.

Tutaq ki, O yarımçevrəsinin mərkəzidir.:

dg : inikasına baxaq. –ucları daxil olmayan

yarımçevənin d düz xəttinə 0PPg kimi təyin olunan

inikasıdır (şəkil 1-ə bax) harda ki, 0P nöqtəsi OP şuasının d

düz xətti ilə kəsişmə nöqtəsidir. Aydındır ki, bu inikas

B A

O

0A 0B

0P

Şəkil 1

V

N 0

U

M 0

P d

22

homeomorfizmdır. Onda, If :1 və dg : inikaslarının

komporisiyası olan 1gof inkası da homeomorfizmdir. Beləliklə,

alırıq ki, ucları daxil olmayan parça düz xəttə homemorfizmdir.

Buradan da, alırıq ki, ab ədədi intervalı R ədəd oxuna

homemorfdur. Oxşar qayda ilə aşağıdakı təklifləri asanlıqla

əsaslandirmaq olar. 01 . Yarimsfera sərhəddi ilə birlikdə, qapalı dairəyə

homemorfdur. 02 . Sərhədsiz yarımsfera açıq dairəyə homemorfdur. 03

.Açıq dairə müstəviyə homemorfdur.

04 . Qabarıq çoxbucaqlı qapalı dairəyə homemorfdur.

05 . Şua ba, yarımintervalına homemorfdur.

Tutaq ki, YXf : homemorfizmidir. Əgər X və Y

fəzaları üst-üstə düşərsə, onda XXf : inikasına X fəzasının

homeomorfizmi deyilir. Homemorfizmə aid başqa misal olaraq

2E evklid müstəvisində ixtiyari oxşarlıq inikasını göstərə bilərik.

(əgər 2E müstəvisinə, 2E müstəvisində təyin olunmuş

metrikanın yaratdığı topologiya ilə topoloji fəza kimi baxsaq).

Homemorfizmə aid başqa bir misal kimi 2A afin müstəvisində

istənilən affin çevirməni göstərmək olar.

§4. Ayrılma, kompaktlıq. Əlaqəlilik

Riyaziyyatda çox vacib olan topoloji fəzaların üç

sinfinə baxaq.

Tərif. Əgər topoloji fəzanın istənilən iki fərqli

nöqtəsinin kəsişməyən ətrafları varsa, belə fəzalar ayrılan və

yaxud (Hausdorf) fəzaları adlanır.

Misal üçün ədədlər fəzası, evklid fəzası ixtiyari metrik

fəzalar, affin və proyektiv fəzalar ayrılan fəzalardır. Aydındlr ki,

ən azı iki elementi olan antidiskret fəza ayrılmayandır.

23

X çoxluğunun örtüyü elə X alt çoxluqlar ailəsidir ki,

onların birləşməsi X çoxluğunu verir. ,X topoloji fəzasının

X örtüyünün hər bir X üzvü açıq olduqda, həmin örtük

açıq örtük adlanır. X örtüyünün örtük əmələ gətirən alt ailəsi

həmin örtüyün alt örtüyü adlanır.

,X topoloji fəzası Borel-Lebeq aksiomunu

ödədikdə, yəni hər bir açıq örtüyün sonlu alt örtüyü olduqda, o,

kompakt fəza adlanır. ,X – topoloji fəzasının A alt fəzası

kompaktdırsa, onda A kompakt çoxluq adlanır. Məsələn ba,

ədədi parçası R ədədi fəzasında kompakt çoxluqdur. Evklid

fəzasında çevrə, üçbucaq, sfera kompakt alt fəzalardır. Bütün

evklid fəzası (evklid müstəvisi, evklid düz xətti) kompakt deyildir.

İsbat etmək olar ki, nE evklid fəzasında alt çoxluq, ancaq və

ancaq, qapalı və məhdud olduqda kompakt olur. Məsələn, raB ,

açıq kürəsi (o məhduddur, lakin qapalı deyil), eləcə də, öz sərhədi

ilə birlikdə yarımfəza (o qapalıdır, lakin məhdud deyil) kompakt

çoxluq deyil, lakin raB , qapalı kürəsi və raS , sferası

kompakt çoxluqdur.

Əgər X çoxluğunun örtüyünün elementləri boş çoxluq

deyilsə və ixtiyari iki müxtəlif elementi kəsişmirsə, onda həmin

örtük çoxluğun bölgüsü adlanır.

,X topoloji fəzasınin iki açıq çoxluqdan ibarət

bölgüsü yoxdursa, o əlaqəli adlanır. XA alt çoxluğu X -in alt

fəzası kimi əlaqəlidirsə, onda o, əlaqəli çoxluq adlanır.

İsbat etmək olar ki, evklid, affin, proyektiv fəzaları

əlaqəlidirlər. Sfera, müstəvi, düz xətt, ellips evklid fəzasının

əlaqəli alt çoxluqlarına aid nümunələrdir.

İsbat edək ki, H hiperbolası evklid müstəvisində

əlaqəli çoxluq deyildir. Doğrudan da, fərz edək ki, A və B həmin

hiperbolanın qollarıdır. Evklid müstəvisinin topologiyasının H

çoxluğunda yaratdığı topologiyanı T ilə işarə edək. Onda TH ,

24

2E - də alt fəzadır. Hər bir AM 0 nöqtəsi üçün 0M -ı özündə

saxlayan və A -ya daxil olan TH , –dən açıq çoxluq göstərmək

olar. Deməli, A çoxluğu TH , fəzasında açıqdır. Analoji olaraq

aydındır ki, B də həmin fazəda açıqdır. Aydındır ki A ,

B , HBA , BA şərtləri ödənilir. Beləliklə, TH ,

fəzası üçün A və B kimi iki açıq çoxluqdan ibarət bölgü

mövcuddur. Bu isə o deməkdir ki, hiperbola əlaqəli çoxluq

deyildir.

Qeyd. Ayrılma, kompaktlıq və əlaqəlilik anlayışları

fəzanın topologiyasına, yəni onun bütün açıq çoxluqlar ailəsinə

qoyulan uyğun tələblər vasitəsilə təyin olunur. Deməli, buradan

alınır ki, fəzanın ayrilma, kompaktlıq və ya əlaqəlilik xassələri

homeomofizm zamanı saxlanılır.

25

II FƏSİL

§ 1. Skalyar arqumentli vektor-funksiyalar

Tutaq ki, bizə I ədədi aralığı və 3E evklid fəzası verilib.

Hər bir It ədədinə 3E fəzasında bir tr vektorunu müəyyən

qayda ilə qarşı qoyaq. Onda deyilir ki, I ədədi aralığında t

skalyar arqumentli trr vektor-funksiyası verilmişdir. 3E

evklid fəzasında kji ,, ortonormal bazisi götürüb, tr vektro-

funksiyasını kji ,, bazis vektorları üzrə ayrılışını yazaq:

ktzjtyitxtr (1)

Burada tztytx ,, -skalyar funksiyalar olub tr vektro-

funksiyasının koordinat funksiyaları və ya sadəcə koordinatları

adlanır.

Indi, I aralığında təyin olunmuş sklayar arqumentli vektor-

funksiyaların adi funksiyalar üçün analoji olan limiti, kəsilməzliyi,

diferensialı anlayışlarını verək.

Tərif 1. Əgər I aralığında 0tt olduqda, tr

vektorunun tr uzunluğu sıfıra yaxınlaşarsa, onda deyəcəyik ki,

It 0 nöqtəsində tr vektor-funksiyası sonsuz kiçiləndir.

Tərif 2. a sabit vektoru üçün atr fərq vektoru 0t

nöqtəsinin yaxın ətrafında sonsuz kiçilən vektor olarsa, a

vektoruna t arqumenti at 0 yaxınlaşanda tr vektorunun limiti

deyilir və atrtt

0

lim kimi yazılır. Aydındır ki, bu yazılış

0lim0

atrtt

yazılışı ilə eynigüclüdür.

Tərif 3. Əgər hər bir It 0 nöqtəsində 00

lim trtrtt

olarsa, yəni hər bir It 0 nöqtəsində tr vektor funksiyası

kəsilməzdirsə, tr vektor-funksiyasına I ədədi aralığında

kəsilməz vektor-funksiya deyilir.

26

(1) bərabərliyindən alınır ki, tr vektro-funksiyasının

It 0 nöqtəsində kəsilməz olması üçün zəruri və kafi şərt,

tztytx ,, koordinat funksiyalarının həmin nöqtədə kəsilməz

olmasıdır. Əgər kajaiaa 321 sabit vektordursa, onda

23

2

2

2

1 atzatyatxatr

(2)

olar.

(2) düsturundan alınınr ki, atrtt

0

lim olması üçün zəruri

və kafi şərt

,lim 10

atxtt

20

lim atytt

, 30

lim atztt

(3)

bərabərliklərinin ödənilməsidir.

Hər hansı It nöqtəsi götürüb, t -yə elə t artımı verək

ki, Itt olsun. Onda t nöqtəsində t artımına uyğun r

vektoru trttrr kimi təyin olunar.

Tərif 4. t sıfıra yaxınlaşdıqda t

r

nisbətinin limiti

varsa, yəni

t

trttr

t

r

tt

00limlim varsa, tr vektor-

funksiyasına t nöqtəsində diferensiallanan

funksiya deyilir. Bu

limiti adətən tr və ya dt

rd kimi işarə edib, ona tr vektor

funksiyasının t nöqtəsində törəməsi deyilir. dtrrd vektoruna

isə tr vektor-funksiyasının t nöqtəsində diferensialı deyilir.

(3) bərabərliklərindən istifadə edərək aşağıdakı teoremi

isbat etmək olar.

Teorem 1. I aralığında (1) ayrılışı ilə verilmiş tr

vektro-funksiyasının diferensiallanan olması üçün zəruri və kafi

şərt, tztytx ,, koordinat funksiyalarının diferensiallanan

olmasıdır. Bu zaman

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dx

dt

rd (4)

27

bərabərliyi ödənilir.

İsbatı. (1) bərabərliyindən alırıq ki,

kzjyixr (5)

olur, harda ki, txttxtx , tyttyty ,

tzttztz koordinat funksiyalarının t nöqtəsində t -

yə uyğun artımlarıdır. Onda (5) bərabərliyinin hər iki tərəfini t -

yə bölüb limitə keçsək

k

t

zj

t

yi

t

x

t

tr

tttt

0000limlimlimlim

bərabərliyi alınar. Bu axırıncı bərabərlikdən görünür ki, tr

vektor-funksiyasının diferensiallanan olması üçün zəruri və kafi

şərt, tztytx ,, funksiyalarının hər birinin diferensiallanan

olmasıdır. Bu halda aydındır ki, kdt

dzj

dt

dyi

dt

dx

dt

rd və ya

ktzjtyitxtr bərabərliyi doğru olar.

Asanlıqla yoxlamaq olar ki, I aralığında diferensiallanan

ixtiyari skalyar arqumentli tr1 və tr2

vektro-funksiyaları və

tf ədədi funksiyası üçün aşağıdakı diferensiallama qaydaları

doğrudur:

1) 2121 rdrdrrd

2) 212121 rdrrrdrrd

3) 212121 ,, rdrrrdrrd

4) 111 rfdrdfrfd

Aşağıdakı teoremləri isbat edək.

Teorem 2. Əgər vektor-funksiyasının uzunluğu sabit

olarsa, onda ixtiyari nöqtədə bu vektor-funksiya öz törəməsi ilə

ortoqonaldır.

İsbatı. Hər bir ixtiyari t nöqtəsi üçün

consttr olduğundan, consttrtrtr 2 alırıq. Bu

axırıncı bərabərliyi t-yə görə diferensiallayaq: ,0dt

rdr

dt

rdr

28

buradan 02 dt

rdr və ya 0

dt

rdr olduğunu alarıq. Deməli

dt

rdr olur.

Teorem 3. ta vektoru vahid vektrosa, onda tta və

ta vektorları arasındakı bucaq tattaa vektorunun

uzunluğuna ekvivalentdir.

İsbatı. OMta , ___

ONtta olsun (bax şəkil 1).

ta və tta vektorları arasındakı bucağı ilə işarə edək.

Onda alarıq ki, 2

sin2_______

OMMN olar. 1,______

OMaMN

olduğundan 2

sin2

a olur və

~2

sin olduğu üçün

alarıq ki, ~a olur.

Şəkil 1

Teorem 4. Vahid vektor-funksiyanın fırlanma sürəti onun

törəməsinin uzunluğuna bərabərdir.

İsbatı: Tutaq ki, ta vahid vektor-funksiyadır.

___

OMta , ___

ONtta qəbul edək (şəkil 1).

1______

ONOM olduğundan O mərkəzli vahid radiuslu çevrə

çəkək. Onda ___

MN qövsünü alarıq. Mərkəzi bucağın xassəsinə

əsasən onun dərəcə ölçüsü ona söykənən qövsün dərəcəsi ilə

O

ta

N

tta

29

eynidir və çevrənin radiusu vahid olduğundan yaza bilərik:

t

a

t

MN

t

___

olur. Burada limitə keçsək:

dt

ad

t

a

t

a

t ttt

000limlimlim

olduğunu alarıq. Digər

tərəfdən, dt

d

tt tt

00limlim olduğundan,

dt

ad

dt

d

olar. dt

d ifadəsi ta vahid vektor-funksiyasının t-yə görə

fırlanma sürətini göstərir. Teorem isbat olundu.

İndi isə, skalyar arqumentli vektor-funksiyanın inteqralı

anlayışını verək. Tutaq ki, ba, parçasında tr vektor-

funksiyası verilmişdir. ba, parçasını bttta n ....10

nöqtələri ilə kiçik hissələrə ayıraq və fərz edək ki,

iini

tt

110

max olsun, iii ttt 1 götürüb yaxındakı bölgüyə

uyğun inteqral cəmi düzəldək: i

n

i

in tτr

1

0

, burada iτ

nöqtələri 1, ii ttiτ şərtini ödəyən ixtiyari nöqtələrdir.

0 yaxınlaşdıqda nσ inteqral cəmlərinin sonlu limiti varsa,

tr vektor-funksiyasına ba, parçasında inteqrallanan vektor-

funksiya deyilir; bu limit tr vektor-funksiyasının ba, parçası

üzrə müəyyən inteqralı adlanır və belə işarə olunur dttr

b

a

.

Göstərmək olar ki, ba, parçasında verilmiş hər bir kəsilməz

vektor-funksiya inteqrallanandır. Bundan əlavə

b

a

b

a

b

a

b

a

dttrkdttyjdttxidttr

30

bərabərliyi doğrudur, harada ki, tztytx ,, funksiyaları tr

vektor-funksiyasının koordinat funksiyalarıdır.

Beləliklə, görürük ki, tr vektor-funksiyasının

inteqrallanması onun koordinat funksiyalarının inteqrallanmasına

gətirilir.

Tərif 5. tr vektor-funksiyasının ba, parçasında k

1k tərtibə qədər kəsilməz törəməsi varsa, tr vektor-

funksiyasına ba, parçasında k dəfə kəsilməz diferensiallanan

funksiya deyilir. ba, parçasında k dəfə kəsilməz

diferensiallanan vektor-funksiyalar çoxluğunu bac k , ilə, k dəfə

kəsilməz diferensiallanan skalyar funksiyalar çoxluğunu isə bac k , ilə işarə edirlər.

§2. Əyri anlayışı

Əyrini əyani olaraq, fəzada hərəkət edən maddi nöqtənin

trayektoriyası kimi qəbul etmək olar. Hər hansı ip, sap əyri

təsəvvürü yaradır.

Tutaq ki, m hissəciyi 3E evklid fəzasında hərəkət edir.

Fəzada kjiO düzbucaqlı koordinat sistemi təyin edək. Hissəciyin

t anında vəziyyətini O nöqtəsinə nəzərən M nöqtəsinin tr

radius-vektoru ilə təyin etmək olar.

Əgər t anı I aralığında dəyişərsə, onda I aralığında təyin

olunmuş t skalyar arqumentindən asılı tr vektor funksiyasını

alarıq. Bu funksiya kji ,, bazisində tztytx ,, koordinatlarına

malik olar. Bu isə o deməkdir ki,

ktzjtyitxtr (1)

ayrılışı I aralığında t-nin bütün qiymətlərində doğrudur, harada

ki, tztytx ,, M-nöqtəsinin t-anında koordinatlarıdır. (1)

bərabərliyini kjiO koordiant sistemində m hissəciyinin hərəkət

31

qanunun adlandırırlar. Nə zaman ki, t arqumenti I aralığında

dəyişir, M nöqtəsi fəzada müəyyən bir trayektoriya cızır.

Mexanikadan götürülmüş bu sadə anlayışlar, bizə

elementar əyri adlanan əyri haqqında təsəvvür yaradır:

Əgər (1) uyğunluğu t arqumenti I aralığında dəyişdikdə, o,

M nöqtəsinin trayektoriyası ilə I aralığı arasında

homeomorfizmdirsə, onda bu trayektoriya elementar əyri adlanır.

3E fəzasında ixtiyari düz xətti, parçanı və şüanı (şüa

dedikdə burada qapalı şüa nəzərdə tutulur) sadə xətt

adlandıracağıq.

Tərif 1. 3E fəzasının 30 Eγ fiquru sadə xəttə

homeomorfdursa, buna elementar xətt və ya elementar əyri

deyilir.

Tərif 2. Parçaya homeomorf olan fiqur qövs adlanır.

Tutaq ki, bizə d düz xətti verilib. Onun üzərində eO

koordiant sistemi təyin edək. Əgər hər bir Rt ədədinə

koordinatı t olan M nöqtəsi qarşı qoysaq (yəni etMO _____

olsun)

onda dR biyektiv inikasını alarıq. Asanlıqla göstərmək olar ki,

bu inikas həm də homeomorfizmdir. Bu inikasda R ədəd oxu d

düz xəttinə, , intervalı, düz xəttə homeomorf olan ucları

olmayan parçaya, , -ədədi parçası isə AB parçasına keçir,

burada A və B, və uc nöqtələrinin obrazlarıdır. Həmin

inikasda , aralığı isə, şüaya homeomorf olan, B ucu olmayan

AB yarımaçıq parçasına keçir (A və B nöqtələri və

ədədlərinin obrazıdır).

Beləliklə, istənilən ədədi aralıq (hər bir ədədi düz xətt,

ədədi qapalı şüa, ədədi parça, bir və ya hər iki ucu olmayan ədədi

parça) sadə xətlərdən birinə homeomorfdur.

Homeomorfizm ekvivalentlik münasibəti olduğundan

yuxarıda elementar əyriyə verdiyimiz tərifi belə də ifadə etmək

olar:

32

Tərif 3. Hər hansı ədədi aralığa homeomorf olan 30 Eγ

fiquruna elementar xətt (elementar əyri) deyilir.

Elementar əyriyə misallar.

Misal 1. Əvvəllər göstərmişik ki, ucları A və B olan

yarımçevrəsi parçaya homeomorfdur, ona görə də, yarımçevrə

elementar xəttdir (daha dəqiq desək qövsdür). Ucları olmayan

yarımçevrəsi düz xəttə homeomorfdur, ona görə də, elementar

xəttdir.

Misal 2. jiO düzbucaqlı koordiant sistemində xy sin

sinusoidinə Rtzt,yt,x ,0sin tənlikləri ilə verilmiş

fiqur kimi baxmaq olar. Bu tənliklər R çoxluğu ilə sinusoid

arasında homeomorfizm yaradır. R çoxluğu Ox oxu ilə

homeomorf olduğundan sinusoid elementar xəttdir.

Yuxarıda deyilənlərdən alınır ki, əgər 3E fəzasında kjiO

düzbucaqlı koordiant sistemi verilmişsə, onda 0γ elementar əyrisi

tzz,tyy,txx (2)

sistem tənlikləri ilə təyin olunar, burada t hər hansı I aralığında

dəyişir, I aralığının 0γ əyrisinə tztytxt ,, homeomorf

inikasını yaradır. (2)-nin sağ tərəfi isə I aralığında kəsilməz

funksiyalardır. (2) tənliyi verilmiş xəttin parametrik tənliyi

adlanır.

Burada belə bir sual meydana çıxır: Əgər (2) tənliyinin sağ

tərəfi hər hansı I aralığında kəsilməzdirsə, sağ tərəfdən hansı

şərtin ödənməsini tələb etmək lazımdır ki, bu tənlik elementar

əyrini təyin etsin. Bunun üçün kifayətdir ki, (2)-nin sağ tərəfindəki

funksiyalardan heç olmazsa biri I aralığında ciddi monoton

olsun.

Tərif 4. Əgər fiquru sonlu sayda, yaxud da, hesabi sayda

elementar əyrilərlə örtmək mümkündürsə, belə fiqura xətt (yaxud

da əyri) deyilir.

33

Bu tərifdən alınır ki, əgər γ-hər hansı əyri, M-isə onun

üzərində olan hər hansı nöqtədirsə, onda elə 0γ elementar əyrisi

var ki, γγM 0 olur.

Misal 3. Çevrəni (şəkil 2-yə bax) iki AMB və CND

qövsləri ilə örtmək olar. Deməli indi dediyimiz tərifə əsasən çevrə

əyridir.

Şəkil 2

Misal 4. tgxy funksiyasının qrafiki olan tangensoid

hesabi sayda elementar əyrilərdən ibarətdir (x arqumenti

,2

,

kk

2- ,210 ,, k aralığında dəyişəndə

həmin funksiyanın qrafikləridir). Deməli, bütün tangensoid

əyridir.

Eyni qayda ilə inanmaq olar ki, hiperbola da əyridir.

Hiperbola iki qoldan ibarətdir. Bu qolların hər biri düz xəttə

homeomorfdur.

Tutaq ki, γ əyrisi və

onun üzərində M nöqtəsi

verilmişdir. Əgər elə bir 0

ədədi varsa ki, M nöqtəsinin

,MB ətrafının γ əyrisi ilə kəsişməsi elementar əyridir, onda

M nöqtəsi γ əyrisinin adi nöqtəsi adlanır; daha doğrusu,

εM,Bγ fiquru elementar əyridirsə M nöqtəsi adi nöqtədir.

Burada iki halı fərqləndirmək olar:

0M M k

j i

A

B

C

D

M

N

Şəkil 3

34

a) Bu kəsişmə düz xəttə homeomorfdur, onda belə nöqtə daxili

nöqtə adlanır.

b) Bu kəsişmə şüaya homeomorfdur, onda belə nöqtə sərhəd

nöqtəsi, yaxudda əyrinin uc nöqtəsi adlanır.

γM 0 nöqtəsi adi nöqtə deyilsə, belə nöqtə məxsusi

nöqtə adlanır (şəkil 3-ə bax).

Tərif 5. Bütün nöqtələri adi nöqtədən ibarət olan əyriyə

sadə əyri deyilir. Deməli, bütün elementar əyrilər sadə əyrilərdir.

Çevrə, ellips elementar olmayan sadə əyrilərdir. Qeyd edək ki,

ixtiyari sadə əyri bir ölçülü çoxobrazlıdır. Riyazi analizdən

məlumdur ki, Dekart yarpağı və Bernulli lemniskatı sadə olmayan

əyrilərdir.

Qeyd. İsbat etmək olar ki, istənilən sadə əyri, ya elementar

əyridir, ya da çevrəyə homeomorfdur.

§3. Hamar əyri

Fərz edək ki, t hər hansı I aralığında dəyişdikdə 0γ

elementar əyrisi

tzz,tyy,txx (1)

parametrik tənliyi ilə verilmişdir.

Tərif 1. Əgər tztytx ,, funksiyalarının I aralığında

müəyyən bir natural k tərtibə qədər kəsilməz törəmələri varsa və

hər bir It üçün

1z,y,xrang (2)

şərti ödənirsə, onda 0γ əyrisi hamar əyri adlanır.

(2) şərti analitik olaraq o deməkdir ki, z,y,x törəmələri I

aralığının heç bir nöqtəsində eyni zamanda sıfıra bərabər deyillər.

Misal 1. Rt, zt,yt,x 0sin tənliyi Oxy

müstəvisində sinusoidi təyin edir. Sinisoidin tənliyinin sağ

tərəfinin R-də istənilən tərtibdən kəsilməz törəməsi var və həm də

0cos1 zt,y,x olduğundan (2) şərti ödənir. Deməli, sinusoid

35

c sinfindən hamar əyridir. Asanlıqla yoxlamaq olar ki, çevrə də c sinfindən hamar əyridir.

Tərif 2. Əgər sadə γ əyrisinin ixtiyari M daxili nöqtəsinin

elə εM,B - ətrafı varsa ki, 1 kcεM,Bγ k sinfindən

elementar hamar əyridir, onda γ sadə əyrisi 1kck sinfindən

hamar əyri adlanır.

Bilirik ki, kjiO koordinat sistemində a radiuslu çevrənin

parametrik tənliyi

0,sin,cos ztaytax (3)

şəklində olar.

Yuxarıda qeyd etmişdik ki, çevrəni iki qövslə örtmək oalr,

bu qövslərin hər biri 1It qövsü üçün (3), digər qövs üçün

2I-t

(3) tənlikləri ilə təyin olunur, burada 1I və

2I ədədi aralıqları

20 t aralığını örtür. (3) tənliyinin sağ tərəfinin R-də

istənilən tərtib kəsilməz törəmələri var və həm də,

0,cos,sin ztaytax olduğundan (2) şərti ödənir, çünki

0222 ayx . Deməli, çevrə c sinfindən hamar sadə əyridir.

Tərif 3. Tutaq ki, (1) tənliyi, t hər hansı I aralığında

dəyişdikdə γ xəttini təyin edir. Əgər I aralığını, hesabidən çox

olmayan elə kI aralıqları ilə örtmək mümkündürsə ki, bu

aralıqların hər birində (1) tənliyi hamar xətt təyin edir, belə əyriyə

hissə-hissə hamar əyri deyilir (aralıqların uc nöqtələrində hamarlıq

şərti pozula bilər).

Misal 2.

0,cos1,sin ztayttax (4)

(harda ki, 0 consta ) tənliyi ilə təyin olunan fiqur sikloid

əyrisi adlanır. Bu əyri Oxy müstəvisində yerləşir və şəkil 4-dəki

kimi təsvir olunur. Sikloid düz xəttə homeomorfdur, deməli,

elementar əyridir. Bu əyri hamar əyri deyil, çünki

,....,,kakt 2102 nöqtələrində 000 z,y,x

olduğundan (2) şərti pozulur.

36

Şəkil 4

(4) tənliyindən görünür ki, sikloid bütün ədəd oxunda təyin

olunub. Ədəd oxunu hesabi sayda akππ,kaIk 212 ədədi

parçalarla örtmək olar ki, həmin parçaların daxilində, yəni

akππ,kaIk 212 intervallarında (4) tənliyi hamar əyri təyin

edir. Deməli, sikloid hissə-hissə hamar əyridir.

Tutaq ki, (1) tənliyi It aralığında dəyişdikdə elementar

0γ əyrisini təyin edir. Yuxarıda qeyd etdik ki, bu tənliklər

müəyyən bir f homeomorfizmini təyin edir: 0γIf : , belə ki,

0γIf olur. Əgər h homeomorfizmi I aralığını I aralığına

thτ qanunu ilə çevirirsə ( It olduqda, Iτ olur), onda

II:h- 1 tərs inikası da homeomorfizm olur və τft -1

ödənilir. t-nin bu qiymətini (1)-in sağ tərəfində yerinə yazsaq

τfz,τfy,τfx 321 (5)

alarıq, harda ki, ,τhyτf,τhxτf 1

2

1

1

τhzτf 1

3

- τ -nun mürəkkəb funksiyasıdır və τ dəyişəni I

aralığında dəyişir. (5) şəklində verilən 3EI inikasını g-ilə işarə

edək. (1) və (5)-i müqayisə etsək alarıq ki, əgər thτ isə onda

τhtf olar. Buradan alırıq ki, hgf və 1 hfg olur.

Deməli, g homeomorfizimdir. O, I aralığını 0γ xəttinə çevirir.

Nəticədə, I aralığında t parametrindən asılı (1) parametrik tənliyi

ilə verilmiş 0 əyrisinin, I aralığında parametrindən asılı (5)

x

y

i

O

j

37

parametrik tənliyini alırıq. Bu isə həmin əyridə parametrin

əvəzlənməsidir: deyirlər ki, th funksiyası 0 əyrisində t

parametr əvəzləməsini təyin edir. Beləliklə, ümumi halda (1)

tənliyi ilə verilmiş elementar əyrilərdə parametrin əvəzlənməsi

yalnız IIh : homeomorfizmi ilə yerinə yetirilir. Ancaq onu da

qeyd edək ki, k tərtibdən olan hamar əyrilər üçün bu məsələ bir

az mürəkkəbdir: belə ki, əyrinin hamarlıq sinfini saxlamaq üçün

əlavə olaraq tələb etməliyik ki, h homeomorfizmi I aralığında k

tərtibdən kəsilməz törəməyə də malik olmalıdır və həm də onun

birinci törəməsi bütün nöqtələrdə sıfırdan fərqli olmalıdır.

§4. Əyrinin verilmə üsulları

I ədədi aralığının üç ölçülü 3E evklid fəzasına inikasına

baxaq. Belə inikası tr vektor-funksiyası şəklində göstərə bilirik.

3E evklid fəzasında kji ,, ortonormal bazisi verilmişsə, onda

ktzjtyitxtr yazmaq olar. tr vektor-funksiyasını

təyin etmək üçün tztytx ,, koordinat funksiyalarının

verilməsi kifayətdir. Əgər tztytx ,, funksiyaları verilibsə, 3E -

də müəyyən xətt almış olarıq və yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi

tzztyytxx ,, tənlikləri, həmin xəttin parametrik

tənlikləri olur.

Məsələ 1. Müstəvidə verilən çevrənin parametrik tənliyinə,

fəzada 0,sin,cos ztRytRx şəklində baxmaq olar.

Məsələ 2. Müstəvidə verilən ellipsin tənliyi, fəzada

0,sin,cos ztbytax şəklində olacaq.

Bilirik ki, əgər üçölçülü 3E evklid fəzasında düzbucalı

koordinat sistemi verilibsə, onda, düz xətti (hamar əyrinin xüsusi

halı kimi) düz xətt nöqtələrinin x,y,z koordinatlarına nəzərən

qeyri-aşkar iki xətti tənliklər sistemi vasitəsilə vermək olar. Onda

təbii olaraq belə bir sual meydana gəlir: nə zaman

38

0,,

0,,

zyx

zyxF (1)

tənliklər sistemi hamar əyri təyin edir? Burada F və

funksiyaları x,y,z dəyişənlərinin funksiyasıdır. Bu suala cavabı

qeyri-aşkar funksiyalar haqqında teoremə əsasən vermək olar.

Koordinatları (1) tənliklər sistemini ödəyən fəzanın bütün nöqtələr

çoxluğunu G ilə işarə edək. Fərz edək ki, GzyxM 0000 ,, elə

nöqtədir ki, onun üçün aşağıdakı şərtlər ödənilir:

1) M0 nöqtəsinin hər hansı 0MH ətrafında (1) tənliklərinin sol

tərəfləri kəsilməzdir və birinci tərtibdən kəsilməz törəmələri

vardır;

2) M0 nöqtəsinin özündə

)2(2

zyx

zyx FFFrang

olur.

Onda M0 nöqtəsinin elə 00

*

MM HH ətrafı var ki,

GHM *

0kəsiyi hamar əyri təyin edər. Əgər M0 nöqtəsində (2)

matrisinin sonuncu minoru sıfırdan fərqli olarsa, onda *

0MH ətrafında (1) tənliklər sistemini y və z məchullarına nəzərən

həll etmək olar: Onda xgzxfy olduqlarını alırıq. Riyazi

analiz kursundan məlumdur ki, xf və xg funksiyaları

müəyyən bir, uyğun I aralığında birinci tərtib kəsilməz törəməyə

malikdirlər. Deməli, tgztfytx ,, tənlikləri *

0MH

ətrafında M0 nöqtəsindən keçən müəyyən bir hamar əyrini təyin

edir.

§5. Toxunan

39

Fərz edək ki, fəzanın kjiO düzbucaqlı koordinat

sistemində kС sinfindən olan hamar əyrisi

tzztyytxx ,, (1)

parametrik tənliklə verilmişdir. Deməli, fəzadakı (1) tənliyinin sağ

tərəfləri müəyyən bir I ədədi aralığında, k tərtib də daxil olmaqla,

kəsilməz törəmələrə malikdir və bu aralıqda

1,, dt

dz

dt

dy

dt

dxrang (2)

şərti ödənilir.

(1) tənliklərini, uyğun olaraq kji ,, -ya vurub toplasaq

trr (3)

alarıq.

Burada, ktzjtyitxtr olur. tr vektor

funksiyanın koordinatları olan tztytx ,, funksiyaları I

aralığında təyin olunmuşdur. Qeyd edək ki, (1) tənlikləri baxılan

əyrisinin vektor formasında olan (3) vektor tənliyi ilə

eynigüclüdür. (2) şərti onu göstərir ki, parametrin ixtiyari It

qiymətində 0dt

rd şərti ödənilir. hamar əyrisi üzərində tr və

ttr radius vektorları ilə təyin olunan tM1 və ttM 2

nöqtələrini götürək (şəkil 5).

Şəkil 5

1M və 2M nöqtələrindən 21MM düz xəttini keçirək. Bu düz xətt

əyrisinin 1M və 2M nöqtələrindən keçən kəsəni olar. Aydındır

x

y

z

2M

1M

k

i

ttr Δ

j

tr r

O

40

ki, trttrr vektoru 1M 2M kəsənin istiqamətverici

vektoru olacaq. hamar əyri olduğundan, ixtiyari a,bt

nöqtəsində trr vektor-funksiyasının

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dx

dt

rdtr

törəməsi var və bu törəmə sıfırdan fərqlidir. Onda 1M

nöqtəsindən keçib r istiqamətverici vektoruna malik olan düz

xətt, 0Δt yaxınlaşdıqda 1M 2M düz xəttinin limit

vəziyyətindən ibarətdir. Bu düz xəttə 1M nöqtəsində əyrisinə

toxunan deyilir. Göstərmək olar ki, bu düz xətt hamar əyrisinin

parametrləşdirilməsindən asılı deyildir. Beləliklə alırıq ki,

hamar əyrisinin hər bir 1M nöqtəsində əyrinin

parametrləşdirilməsindən asılı olmayaraq toxunan düz xətti vardır.

Şəkil 6

İndi isə hamar əyrisinə 00 tM nöqtəsində toxunanın

tənliyini tapaq. 0M nöqtəsində əyrisinə toxunanın cari

nöqtəsini ZYXM ,, ilə işarə edək. 00 tM nöqtəsinin radius

vektoru ktzjtyitxtr 0000 , ZYXM ,, -nöqtəsinin

radius vektoru isə

x

y

z

M

0M

k

i j

tr rR

tr R

41

kZjYiXR

olsun (şəkil 6).

Onda alarıq ki,

ktzZjtyYitxXrR 000

vektoru r -vektoru ilə kolleniar olar:

rrR λ (4)

Buradan,

ktzjtyitx

ktzZjtyYitxX

λλλ

000

olduğunu alarıq. kji ,, ortonormal bazis vektorlar olduğundan

axırıncı bərabərlik o zaman doğru olar ki,

000000 ,, tztzZtytyYtxtxX λλλ olsun.

Buradan, λ parametrini yox etsək

0

0

0

0

0

0

tz

tzZ

ty

tyY

tx

txX

(5)

olduğunu alarıq. (4) tənliyinə hamar əyrisinin 00 tM

nöqtəsində toxunanın vektorial tənliyi, (5) tənliyinə isə toxunanın

parametrik tənlikləri deyilir.

Qeyd edək ki, eyni zamanda biz həmin nöqtədə əyrinin

normalının tənliyini aşağıdakı şəkildə yaza bilərik.

0000000 tztzZtytyYtxtxX

Beləliklə, aşağıdakı teoremi isbat etmiş oluruq.

Teorem. Tutaq ki, I ədədi aralığında təyin olunmuş

hamar əyrisi verilmişdir. Onda bu əyrinin istənilən nöqtəsində ona

toxunan düz xətt var və yeganədir. Əgər hamar əyrisi

0,,,0,, zyxzyxF tənliklər sistemi ilə verilərsə, onda

hamar əyrisinin 0000 ,, zyxM nöqtəsində toxunanın kanonik

tənliyi

42

yx

yx

xz

xz

zy

zy FF

tzZ

FF

tyY

FF

txX

000

şəklində olar. Burada,

Zyxz

FF

y

FF

x

FF zyxzyx

,,,,, xüsusi

törəmələri 0000 ,, zyxM nöqtəsində hesablanır.

Məsələ 1.

2

t nöqtəsində k

tajtaittatr

2sin4cos1sin

xəttinə toxunanın tənliyini yazın.

Həlli.

Toxunanın tənliyi

0

0

0

0

0

0

tz

tzZ

ty

tyY

tx

txX

, ttatx sin ,

tay cos1 , 2

sin4t

az ,

1

220

axtx , aayty

2cos1

2

π0

,

aa

aatz 222

4

4sin4

22sin40

tatx cos1 , taty sin , 2

cos2t

atz , ax

2

,

ay

2

, a

aaz 2

2

2

4cos2

2

,

43

2

22

112

;2

222

aZaYa

aX

a

aZ

a

aY

a

aa

X

Məsələ 2.

kttjtitttr 322 333 xəttinə 1t nöqtəsində

toxunanın tənliyini yazın.

Həlli: 23 ttx , 23ty , 33 ttz

Toxunanın tənliyi

0

0

0

0

0

0

tz

tzZ

ty

tyY

tx

txX

4,3,213 000 zyx

61,6,11,23 yttyxttx

61,33 2 zttz

6

4

6

3

1

2

zyx

Çalışmalar

1. tztytx ,sin,cos vint xəttinin 0,0,1M nöqtəsində

toxunanın tənliyini yazın.

Cavab: 110

1 zyx

2. 223 3,3,3 ttztyttx əyrisinin 0,0,0M nöqtəsində

toxunanın tənliyini yazın.

Cavab: 101

zyx

3. ttt ezteytex ,sin,cos xəttinin 00 t nöqtəsində

toxunanın tənliyini yazın.

44

Cavab: 1

1

11

1

zyx

4. atztRytRx ,sin,cos xəttinin ixtiyari nöqtəsində

toxunanın tənliyini yazın.

Cavab: a

atZ

tR

tRY

tR

tRX

cos

sin

sin

cos

45

III FƏSİL

§1. Səth anlayışı

Səthlərin öyrənilməsi üçün zəruri anlayış kimi iki skalyar

arqumentdən asılı vektor funksiya anlayışını verək.

Tutaq ki, V fəzası R həqiqi ədədlər meydanı üzərində

üçölçülü vektor fəzadır. Ikiölçülü aralıq adlanan G çoxluğu isə

aşağıdakı çoxluqlardan biridir. 1) RRR 2 fəzası; 2) 0

şərtini ödəyən 2, Ru cütlərindən ibarət olan fəzadır ki, 2

R ilə

işarə edilir və qapalı yarımfəza adlanır. 3)

0,0,0 aaau şərtlərini ödəyən 2, Ru

cütlərindən ibarət çoxluqdur ki, ədədi kvadrat adlanır.

Əgər hər hansı qanunla hər bir ,u cütünə V fəzasında

təyin olunmuş ,ur vektoruna qarşı qoymaq mümkündürsə,

onda deyilir ki, G aralığında iki ,u skalyar arqumentdən asılı

,ur vektor funksiyası verilmişdir.

Tutaq ki, Gu 00, – müəyyən qeyd olunmuş nöqtədir.

Əgər 0,limlim

0

0

uruu

olarsa, onda deyilir ki, ,urr

vektor-funksiyası 00 ,u -ın kiçik ətrafında sonsuz kiçikdir.

Tutaq ki, bizə ,urr vektor funksiyası və 3Ea

vektoru verilmişdir. Əgər 00 ,u nöqtəsində aur , vektoru

sonsuz kiçik olarsa, yəni 0,lim

0

0

auruu

olarsa, onda deyilir

ki, 00, uu olduqda ,ur vektor funksiyasının limiti a

vektorudur; və bu belə yazılır: auruu

,lim

0

0

.

Əgər ,urr vektor funksiyası üçün

00

,,,,lim

00

ururuu

olarsa, onda ,ur vektor funksiyası

46

Gu 00, nöqtəsində kəsilməz adlanır. G aralığının bütün

nöqtələrində kəsilməz olan vektor funksiya həmin aralıqda

kəsilməz funksiya adlanır.

Tutaq ki, 3E fəzasında kjiO düzbucaqlı koordinat sistemi

verilib. ,ur vektor funksiyanın I koordinatını ,ux , II

koordinatını ,uy , III koordinatını ,uz ilə işarə etsək, onda

alarıq ki,

kuzjuyiuxur ,,,, (1)

olur.

Fərz edək ki, auruu

,lim

0

0

və kajaiaa 321

ödənilir. Onda aydındır ki, 00,, uu olduqda alırıq ki,

1,lim aux , 2,lim auy , 3,lim auz olur.

Tutaq ki, bizə iki skalyar arqumentdən asılı ,urr

vektor-funksiyası verilib. Əgər arqumentini qeyd etsək, yəni

0 götürsək, onda 0,ur bir arqumentdən asılı vektor-

funksiya alarıq. Onda

u

ur

0, törəməsinə ,urr vektor-

funksiyasının u dəyişəninə nəzərən xüsusi törəməsi deyilir və

ur

u

ur

, kimi işarə edilir.

Eyni qayda ilə ,ur vektor-funksiyasında 0uu qəbul

etsək, onda arqumentinə görə xüsusi törəmədən danışa bilərik

və dəyişəninə görə xüsusi törəmə

r

ur

, kimi işarə

olunur.

(1) ayrılışından alınır ki, ,ur vektor-funksiyasının

koordinatları ,ux , ,uy , ,uz -funksiyalarıdır, ona görə

47

diferensiallama haqqında teoremə əsasən alırıq ki, Gu ,

nöqtəsində rru , xüsusi törəmələrinin varlığı üçün

u

uxxu

,,

u

uyyu

,,

u

uzzu

,

,uxx ,

,uyy ,

,uzz

koordinat funksiyaların xüsusi törəmələrinin olması zəruri və kafi

şərtddir.

Elə həmin teoremdən də alınır ki,

kzjyixr uuuu , kzjyixr (2)

olur.

Beləliklə, alırıq ki, ,ur vektor-funksiyasının xüsusi

törəmələrinin tapılması koordinat funksiyalarının xüsusi

törəmələrinin tapılmasına gətirilir.

Əgər (1) düsturunda ,,,,, uzuyux funksiyaları

Gu , nöqtəsində differensiallanandırsa, onda

kudzjudyiudxrd ,,, (3)

vektoru ,ur vektor-funksiyasının ,u nöqtəsində diferensialı

adlanır. (2)-ni nəzətə alsaq (3)-ü belə yaza bilərik:

drdurrd u (3 )

Bu halda ,ur vektor-funksiyası ,u nöqtəsində

diferensiallanan adlanır. ,,,,, uzuyux funksiyaları həmin

nöqtədə diferensiallanan olduqda, rd diferensialını təyin etmək

olar.

Əgər ,ur vektor-funksiyası G aralığının hər bir

nöqtəsində diferensiallanandırsa, onda həmin funksiyaya G

aralığında diferensiallanan funksiya deyilir.

Bildiyimiz kimi RRR 2 çoxluğu müstəvi ilə

homeomorfdur. RR çoxluğu isə koordinat müstəvisinin absis

oxu daxil olmaqla absis oxundan yuxarıda qalan bütün nöqtələr

48

çoxluğu ilə homemorfdur. Yəni, RR çoxluğunun sərhəddini

özünə aid olan yarımmüstəvi ilə eyniləşdirə bilərik. 1,0

seqmentini vahid parça ilə eyniləşdirə bilərik. Onda

1,01,02 I çoxluğunu tərəfi 1-ə bərabər olan kvadrat kimi

başa düşə bilərik. Üçölçülü Evklid fəzasında müstəviyə, sərhədi

özünə daxil olan yarımmüstəviyə, tərəfi vahidə bərabər olan

kvadrata ən sadə səth deyəcəyik. Ən sadə səth ilə homeomorf olan

istənilən fiqura elementar səth deyilir. Başqa sözlə (ən sadə səthlər

yuxarıda qeyd olunan ikiölçülü 2RG aralığına homeomorf

olduğundan), üçölçülü fəzada yuxarıda baxılan ikiölçülü 2RG

ədədi aralığına homeomorf olan fiqurlar elementar səth adlanır.

Tərif 1. Sonlu və ya hesabi sayda elementar səthlərlə

örtülə bilən fiqura səth deyilir.

Tutaq ki, bizə F səthi verilmişdir. Əgər onun FM

nöqtəsi üçün mərkəzi M nöqtəsində olan radiusu r -ə bərabər

olan elə ,MB kiçik ətraflı varsa ki, ,MBF kəsişməsi

elementar səth olur, onda M -ə səthin adi nöqtəsi deyirlər. Əks

halda, FM adi nöqtə deyilsə, yəni onun heç bir ətrafı ilə

kəsişmə elementar səth deyilsə, onda həmin nöqtəyə səthin

məxsusi nöqtəsi deyirlər. Bütün nöqtələri adi nöqtələr olan səthə

sadə səth deyilir.

Əgər, yuxarıda baxdığımız ,MBF kəsişməsi 2R müstavisinə homeomorf olarsa, onda FM nöqtəsinə səthin

daxili nöqtəsi, RR qapalı yarımmüstəviyə homeomorf olarsa,

onda həmin nöqtəyə sərhəd nöqtəsi deyilir. Sadə səthin sərhəd

nöqtələri çoxluğuna, onun sərhədi və ya kənarı deyirlər. Bütün

nöqtələri daxili nöqtə olan sadə səthə oblast deyilir.

Səthi müəyyən bir G oblastının 3E fəzasına

homeomorfizmi kimi də götürə bilərik.

Tutaq ki, G oblastının 0E elementar səthinə müəyyən bir

0: EGg homeomorf inikası verilib. Onda hər bir

49

0FGgM nöqtəsi üçün fəzada verilmiş kjiO düzbucaqlı

koordinat sisteminə nəzərən onun zyx ,, koordinatlarını təyin

edə bilərik.

Aydındır ki, G oblast olduğundan M nöqtəsinin zyx ,,

koordinatları Gu , iki koordinatın funksiyaları olacaqdır.

Başqa sözlə, M nöqtəsinin rMO radius vektoru Gu ,

koordinatlarından asılı olacaq, yəni ,urr vektor funksiya

olacaqdır.

Tutaq ki, bizə G oblastında təyin olunmuş ,urr (1)

səthi verilib. kjiO düzbucaqlı koordinat sistemində ,urr

vektor funksiyasının ayrılışını yazaq:

kuzjuyiuxur ,,,, . Bu tənliyə səthin vektorial

tənliyi deyilir. Aydındır ki, bu vektorial tənliyi ona ekvivalent

şəkildə

,,,,, uzzuyyuxx (4)

tənliyi kimi də yazmaq olar.

(4) tənliyinə səthin parametrik tənliyi deyilir. Əgər,

parametrik tənlikdə z -i, başqa sözlə parametrik tənliklərdə u və

parametrlərini x və y -lə ifadə etmək olarsa, onda səthin

tənliyini yxzz , (5) kimi, aşkar şəkildə də vermək olar. Səthin

tənliyi bəzən də 0,, zyxF kimi qeyri-aşkar şəkildə də verilir.

§2. Hamar səthlər və onların verilmə üsulları

Hamar səthlər. 3E Evklid fəzasında kjiO düzbucaqlı

koordinat sistemini götürək. G isə Evklid müstəvisində sadə

oblast olsun.

Fəzada f lokal homeomorfizmi ilə verilən S səthinə

baxaq; SzyxMuf ,,, olarsa, onda

,,,,, uzzuyyuxx (1)

50

olar. Deməli, f lokal homeomorfizmində S səthini əmələ gətirən

M nöqtələrinin zyx ,, koordinatları G oblastında təyin olunan

,u dəyişənlərinin (parametrlərinin) funksiyalarıdır. f

homeomorfizm olduğundan, (1) bərabərliklərinin sağ tərəfləri G

oblastında kəsilməz funksiyalardır. (1) tənlikləri

kuzjuyiuxr ,,, (2)

vektor tənliyi ilə eynigüclüdür, onu belə işarə edəcəyik:

,urr .

O halda deyirlər ki, (2) tənliyi kC sinfində k tərtibli

hamar və ya requlyar S səthini təyin edir, əgər

,,,,, uzuyux funksiyalarının G oblastında 1kk

tərtibə ( k -da daxil olmaqla) qədər kəsilməz xüsusi törəmələri

olsun və 0, rru şərti ödənsin, burada u

rru

,

rr . 1k

olduqda S səthinə hamar səth deyilir. G oblastını S səthinə (1)

düsturları (və ya (2) tənliyi) ilə inikas etdirən homeomorfizmə S

səthinin parametrik təsviri və ya requlyar parametrləşdiricisi

deyilir.

Tutaq ki, S səthi (1) tənlikləri ilə verilib və sağ tərəfləri

G oblastında kəsilməzdirlər

,,, uyyuxx (3)

tənliklərinin ,u dəyişənlərinə görə həll olunduğu hala baxaq:

yxyxuu ,,, (4)

Burada yxu , və yx, funksiyaları evklid müstəvisinin hər

hansı G oblastında kəsilməzdirlər. ,u dəyişənlərinin (4)-dəki

qiymətlərini (1) tənliklərinin üçüncü tənliyində yerinə yazsaq

yxzz , (5)

olduğunu alarıq. (5) tənliyinə səthin aşkar tənliyi deyilir.

Deməli, bu halda səthin parametrik tənliklərini onun aşkar

tənliyinə gətirmək olar. Tərsinə, səthin aşkar tənliyi onun

parametrik tənliklərinin xüsusi halıdır yxu , .

51

Səth

0,, zyxF (6)

qeyri-aşkar tənliklərdə verilə bilər. Bu tənliyin hansı halda hamar

səth təyin etdiyini göstərək.

Fəzanın (6) tənliyini ödəyən nöqtələr çoxluğunu ilə

işarə edək. 0000 ,, zyxM nöqtəsində aşağıdakı şərtlər

ödənsin.

1) 0M nöqtəsinin hər hansı 0MU ətrafında zyxF ,, funksiyası və

zyx FFF ,, xüsusi törəmələri kəsilməzdir.

2) 0M nöqtəsində 1,, zyx FFFrang olsun.

Onda 0M nöqtəsinin elə 00

*

MM UU ətrafı var ki, *

0MU

hamar səth olar.

Bu təklifin şərtləri çoxluğunun hər bir 0M nöqtəsi üçün

ödənilərsə, onda – hamar səthdir.

Aydındır ki, qeyri-aşkar funksiyalar haqqında teoremin

şərtləri daxilində səthin qeyri-aşkar tənliyini də onun aşkar

tənliyinə gətirmək olar.

§3. Səth üzərində nöqtənin əyrixətli koordinatları

Tutaq ki, S requlyar səthi

,urr (1)

tənliyi ilə verilmişdir, burada ,u ədədlər cütü hər hansı G sadə

oblastına daxildir. ,ur vektor-funksiyası G sadə oblastının

fəzada homeomorf inikasını təyin etdiyindən, S səthinin hər bir

M nöqtəsi ilə G oblastının ,u ədədlər cütü arasında qarşılıqlı

birqiymətli uyğunluq vardır. Ona görə də, ,u ədədlərinin

verilməsi S səthinin M nöqtəsini təyin edir: ,uM ; burada

,u ədədlərinə S səthinin üzərində M nöqtəsinin əyrixətli və ya

qaus koordinatları deyilir.

52

Beləliklə, S səthinin hər bir requlyar parametrləşdiricisi

onun üzərində müəyyən əyrixətli koordinat sistemi yaradır.

const , btatu tənliyi G oblastında Rba ,

intervalına homeomorf olan nöqtələr çoxluğu təyin edir. (1) tənliyi

ilə verilən inikasda ba, intervalı S səthi üzərində hər hansı bir

requlyar əyriyə keçir. Bu əyriyə S səthi üzərində const xətti

və ya u xətti deyilir.

Eyni qayda ilə constu , dtct tənliyi G

oblastında Rdc , intervalına homeomorf olan nöqtələr

çoxluğu əmələ gətirəcək ki, (1) tənliyi ilə verilən inikasda həmin

interval S səthi üzərində constu xətti və ya xəttini təyin

edəcək.

Bu qayda ilə alınan u və xətlərinə əyrixətli koordinat

xətləri deyilir (şəkil 12)

Yuxarıda qeyd etdik

ki, G oblastının ,u cütləri

ilə S səthinin nöqtələri

arasında qarşılıqlı birqiymətli

uyğunluq vardır. Bu

uyğunluğa görə S səthinin

hər bir nöqtəsindən bir və

yalnız bir u xətti, eləcə də

bir və yalnız bir xətti keçir.

Həm də hər bir u xətti ixtiyari xəttini yalnız bir nöqtədə kəsir.

Beləliklə, əyrixətli koordinat xətləri S səthi üzərində

koordinatlar şəbəkəsi əmələ gətirir.

Indi u

urru

,,

,urr vektorlarının həndəsi

mənasını vermək olar. ur vektoru u xəttinə, onun ,uM

nöqtəsində u koordinatının artması tərəfə yönəlmiş toxunanından,

r vektoru isə xəttinə həmin ,uM nöqtəsində

koordinatının artması tərəfə yönəlmiş toxunanından ibarətdir.

constu

const

r

ur

M

Şəkil 12

53

Burada ,uM nöqtəsi u və xətlərinin kəsişmə nöqtəsidir. S

requlyar səth olduğundan 0,,, 0000 ururu olar. Bu isə o

deməkdir ki, 00,uM nöqtəsində 00,uru və 00, ur toxunan

vektorları sıfırdan fərqlidir.

§4. Səthə toxunan müstəvi və normal

Tutaq ki, bizə 1kC k sinfinə daxil olan F hamar

səthi

,urr (1)

tənliyi ilə verilmişdir. F hamar səthinin təyin oblastı 2RG

ikiölçülü oblast olsun.

Burada ,u dəyişənlərnini RI açıq intervalında hər

hansı t dəyişənindən asılı olduğunu fərz edək; yəni

ttuu , (2)

qəbul etsək, It olduqda Gttu , olur. Bu qiymətləri (1)-

də nəzərə alsaq

tturr , və ya trr (3)

alınar, bu isə fəzada kC sinfindən olan xəttin tənliyidir. Həmin

xətti ilə işarə edək. Bu xətt səth üzərindədir, yəni aydındır ki,

F olacaqdır, çünki hər bir It üçün Gttu , olur.

Eləcə də tərsinə. F səthi üzərində kC sinfindən olan hər bir

hamar xətt (2) və ya (3) tənliyi ilə təyin edilə bilər. Burada,

müəyyən I aralığında verilən Gttu , şərtini ödəyən tu

və t funksiyalarının k tərtibdən ( k -da daxil olmaqla) kəsilməz

törəmələri var və dt

du,

dt

d törəmələri I aralığının heç bir

nöqtəsində eyni zamanda sıfıra çevrilmirlər.

İndi isə xəttinin hamar olması şərtini tapaq. (3)-dən

alarıq ki,

54

dt

dr

dt

dur

dt

rdu

olar və 0

dt

rd

şərti o zaman ödənər ki, dt

du,

dt

d törəmələrinin hər ikisi eyni

zamanda sıfır olmasın. Ixtiyari FuM 000 , nöqtəsini götürək.

Həmin nöqtədə rru , vektorlarına baxaq. Səth hamar səth

olduğundan, bu vektorlar xətti asılı deyillər. Onda rrM u ,,0

üçlüyü 3E fəzasında bir müstəvi təyin edəcək. 0M nöqtəsindən

keçən It 0 qiyməti üçün 00 tuu , 00 t işarə etsək, onda

aydındır ki, 000 ,uM olar. xəttinə 0M nöqtəsində çəkilən

toxunanın istiqamətverici vektorunu tapaq. (3) tənliyindən aldıq

ki,

dt

dr

dt

dur

dt

rdu

.

Yəni, dt

rd vektoru 0M nöqtəsində xəttinə çəkilən toxunanın

istiqamətverici vektorudur. dt

rd,

dt

du,

dt

d törəmələrini 0tt

nöqtəsində hesablasaq görərik ki, dt

rd vektoru ur və r xüsusi

törəmələrinin 00 ,u nöqtələrində qiymətlərindən və onların xətti

kombinasiyasından ibarətdir. Yəni, dt

rd vektoru rrM u ,,0

müstəvisinə paralel olacaqdır. Indi isə aşağıdakı teoremi isbat

edək.

Teorem. Tutaq ki, kC 1k sinfinə daxil olan F hamar

səthi ,urr tənliyi ilə verilib. Həmin səth üzərində hər hansı

FuM 000 , nöqtəsi qeyd olunub. F səthi üzərində olan və

000 ,uM nöqtəsindən keçən bütün hamar xətlərinə 0M

55

nöqtəsində toxuanlar rrM u ,,0 müstəvisinin üzərində yerləşirlər

və tərsinə 0M nöqtəsindən keçən və rrM u ,,0 müstəvisinin

üzərində olan hər bir düz xətt F səthi üzərində olan və 0M

nöqtəsindən keçən müəyyən bir hamar xəttinə toxunan

olacaqdır.

İsbatı. Fərz edək ki, F səthinin üzərində olan və

FuM 000 , nöqtəsindən keçən hər hansı hamar F xətti

verilmişdir. Onda xəttinin tənliyi (3) tənliyinə uyğun olaraq

trr şəklində vermək olar. Bu zaman hamar xəttinə 0M

nöqtəsində toxunan

dt

dr

dt

dur

dt

rdu

şəklində verilə bilər, haradaki ur və r xüsusi törəmələri 00 ,u

nöqtəsində, dt

du və

dt

d törəmələri isə 00 ,u nöqtəsinə uyğun 0t

nöqtəsində hesablanmışdır.

Deməli, xəttinin 0M nöqtəsindəki toxunanı ur və r

vektorlarının xətti kombinasiyasıdır. Yəni həmin toxunan

rrM u ,,0 müstəvisinin üzərində olcaqdır.

Tərsinə, fərz edək ki, rrM u ,,0 müstəvisi üzərində 0M

nöqtəsindən keçən və istiqamətverici vektoru a olan aM ,0 düz

xətti verilib. a vektoru rrM u ,,0 müstəvisinə paralel

olduğundan o, ur və r vektorlarının xətti kombinasiyası olan

rra u şəklində verilir, harda ki, və ədədləri eyni

zamanda sıfır ola bilməzlər. F səthi üzərində tuu 0 ,

t 0 tənlikləri ilə verilən müəyyən bir xəttə baxaq, harda

ki, t parametri Gu , şərtini ödəyən müəyyən bir aralıqda

dəyişir. Onda tturr 00 , xətti F səthi üzərində 0M

56

nöqtəsindən keçən xətt olacaqdır. Buradan alırıq ki,

rrdt

rdu vektoru 0M nöqtəsində həmin xəttə toxunan

vektor olacaqdır. Yəni, həmin xəttin a istiqamətverici vektoru

tturr 00 , xəttinin toxunan vektoru ilə eynidir (çünki

dt

d

dt

du, və arr

dt

rdu olar). Yəni o, verilən

aM ,0 düz xətti ilə üst-üstə düşəcək. Beləliklə, teorem isbat

olundu.

Tərif. rrM u ,,0 müstəvisinə F səthinin 0M

nöqtəsindəki toxunan müstəvisi deyilir.

Aydındır ki, FM 0 nöqtəsində F səthinə toxunan

rrM u ,,0 müstəvisinin ixtiyari M nöqtəsi üçün rrMM u ,,0

vektorlarının qarışıq hasili sıfra bərabər olmalıdır. Başqa sözlə, F

səthinə 0M nöqtəsində toxunan müstəvinin vektorial tənliyi

0,,0 rrMM u (4)

şəkində olar.

(4) tənliyini koordinatlarla aşağıdakı kimi yazmaq olar:

0

000

zyx

zyx

zzyyxx

uuu (5)

(5) tənliyi 0000 ,, zyxM nöqtəsində F səthinə 0MT toxunan

müstəvisinin tənliyidir.

Səthin tənliyi yxzz , aşkar şəkildə verilərsə, onda

yxu , olduğundan xuuu zzyx ,0,1 ,

yzzyx ,1,0 olacaqdır ki, bu halda (5) tənliyi aşağıdakı

şəkildə olar:

57

0

10

01

000

y

x

z

z

zzyyxx

və ya bu şəkildə 000 yyzxxzzz yx olar.

§5. Səthin normalı

Tutaq ki, bizə 1kCk sinfinə daxil olan ,urr

tənliyi ilə F hamar səthi verilmişdir. FM 0 nöqtəsində bu

səthə toxunan rrM u ,,0 müstəvisinə baxaq. rrN u , vektorial

hasili 0M nöqtəsində toxunan müstəviyə perpendikulyar olacaq.

FM 0 nöqtəsində hamar səthin normalı, bu nöqtədən keçib

toxunan müstəviyə perpendikulyar olan düz xəttə deyilir. Onda N

vektor F səthinin 0M nöqtəsindəki normalın istiqamətverici

vektoru olar. Başqa sözlə, NM ,0 düz xətti F səthinin 0M

nöqtəsindəki normalı olur. Əgər fəzada kjiO düzbucaqlı

koordinat sistemi verilibsə, F səthinin tənliyini

kuzjuyiuxr ,,, (1)

şəklində yaza bilərik. Onda, aydındır ki, rrN u , vektorunun

koordinatları

yx

yx

xz

xz

zy

zy uuuuuu,,

kimi olacaqdır. Onda 3E fəzasında (1) tənliyi ilə verilmiş səthin

0000 ,, zyxM nöqtəsində normalın tənliyini aşağıdakı şəkildə

yaza bilərik

58

yx

yx

zz

xz

xz

yy

zy

zy

xx

uuuuuu

000

(2)

Əgər səth yxzz , kimi aşkar şəkildə verilibsə, onda aydındır

ki, 0000 ,, zyxM nöqtəsində həmin səthə çəkilən normalın tənliyi

1

000

zz

z

yy

z

xx

yx

(3)

şəklində olar.

Indi fərz edək ki, F hamar səthi

0,, zyxF (5)

şəklində qeyri-aşkar şəkildə tənliklə verilmişdir. Onda yuxarıda

deyilənlərdən almaq olar ki, normalın tənliyi

zyx F

zz

F

yy

F

xx 000

(6)

şəklində olacaq.

Məsələ 1. 1222 zyx səthinə 2,1;10M nöqtəsində

toxunan müstəvinin tənliyin yazın.

Həlli. Bilirik ki, səthə toxunan müstəvinin tənliyi

aşağıdakı şəkildədir.

0000000 MFzZMFyYMFxX zyx

1,, 222 zyxzyxF

xFx 2 20 MFx

yFy 2 20 MFy

zFz 2 40 MFz

0241212 ZYX

0822422 ZYX

012422 ZYX , 062 zyx

Məsələ. 2;2;10M nöqtəsində 1232 zxy səthinə

çəkilmiş toxunan müstəvinin tənliyini yazın.

59

Həlli. ux , y , 3 212 uz . Bilirik ki, parametrik

tənliklə verilmiş toxunan müstəvinin tənliyi

0

000

zyx

zyx

zzyyxx

uuu (4)

0,1 uu yx

3 22

2

123

u

zu

1,0 yx

3 22123

2

u

uz

1ux , 0uy , 3

1uz

0x , 1y , 3

1z

Bu qiymətləri toxunan müstəvinin (4) tənliyində nəzərə alsaq,

alarıq ki,

0

3

110

3

101

221

zyx

023

11

3

12 yxz

02163 yxz

093 zyx

Məsələ 3. kuujuiuur 32, 32 səthinin

4;3;10M nöqtəsində toxunan müstəvinin tənliyini yazın.

60

Həlli. ux , 22 uy , uuz 33 , 0M nöqtəsinə

uyğun parametrlər olduğu aydındır. 1ux ; uyu 2 ,

33 2 uzu ; 2uy , 6uz ; 2y , 3z , 0x ,

2y , 3z olur.

0

000

zyx

zyx

zzyyxx

uuu

0

320

621

431

zyx

0331124216 yxzx

09312128266 yxzx

012318 zyx

Məsələ 4. 2;2;10M nöqtəsində 1222 zxy tənliyi ilə

verilən səthə çəkilən normalın tənliyini yazın.

Həlli. ux , y , 22 12 uz , 223 uz

Bilirik ki, səthin normalının tənliyi aşağıdakı düsturla

hesablanır

yx

yx

zz

xz

xz

yy

zy

zy

xx

uuuuuu

000

1ux ; 0uy ; 2

2

122

uzu

;

2

1

222

4

4122

4

uz

0x ; 1y ; 2122

2

u

uz

;

2

1

222

122

z

61

Onda normalın tənliyi bu şəkildə olar:

10

01

2

02

1

12

1

2

2

11

2

10

1

zyx;

1

2

2

1

2

2

1

1

zyx

Çalışmalar

1. 222 zyx səthinə 0000 ,, zyxM nöqtəsində toxunan

müstəvinin tənliyini yazın.

Cavab: 000 2zyyxx

2. 22 22 yxz səthinə 4,1,20M nöqtəsində toxunan

müstəvinin tənliyini yazın.

Cavab: 0848 zyx

3. 1xyz səthinin 03 zyx müstəvisinə paralel olan

toxunan müstəvisini tapın.

Cavab: 02 zyx

4. 12 222 zyx ellipsoidinin elə toxunan müstəvisini tapın ki,

02 zyx müstəvisinə paralel olsun.

Cavab: 02

112 zyx

5. xyz səthinə 1;1;10M nöqtəsində toxunan müstəvinin və

normalın tənliyini yazın.

Cavab: 01 zyx ; 1

1

1

1

1

1

zyx

62

§6. Səthin I kvadratik forması

Tutaq ki, bizə G oblastında təyin olunmuş, 1kC k

sinfinə daxil olan

,urr (1)

tənliyi ilə hamar F səthi verilmişdir. Onda, bildiyimiz kimi

,ur vektor funksiyasının F səthinin ixtiyari nöqtəsində

diferensialı

drdurrd u (2)

olar. Bu ,ur vektor funksiyasının diferensialıdır. İndi isə

həmin diferensialın 2rd skalyar hasilinə baxaq:

2222222 drdurrdurdrdurrd uuu (3)

Əgər 2

11 ur , rru12 , 2

22 r işarə etsək, onda (3)-dən alırıq

ki,

2

2212

2

11

22 dduddurd (4)

(4) bərabərliyinin sağ tərəfindəki 2

2212

2

11 2 dduddu

ifadəsinə F səthinin I kvadratik forması deyilir. 11 -ə kvadratik

formanın birinci əmsalı, 12 -yə ikinci əmsal, 22 -yə üçüncü əmsal

deyilir. F səthi hamar səth olduğundan ur və r xüsusi törəmələri

səthin istənilən nöqtəsində eyni zamanda sıfır ola bilməz, ona görə

də 02 rd və 02 rd olar.

Deməli, bu kvadratik forma müsbət müəyyən kvadratik

formadır. Onda F səthinin ixtiyari 0M nöqtəsində 0MT toxunan

fəzasında bir skalyar hasil təyin edilir, yəni F səthinin hər bir

nöqtəsində toxunan vektor fəza, ikiölçülü Evklid fəzası olar.

Fərz edək ki, tuu , t tənliyinin köməyi ilə F

səth üzərində hər hansı bir tturtr , xətti verilmişdir.

Onda

63

dt

dr

dt

dur

dt

rdu

(5)

yazmaq olar. Onda alarıq ki, 2

2212

2

11

2

2

dt

d

dt

d

dt

du

dt

du

dt

rd

olur.

Digər tərəfdən, bilirik ki, həmin xəttin qövsünün

uzunluğunu t -dən asılı funksiya kimi təyin etsək, dt

rd

dt

ds , yəni

dtdt

rdds olar. Onda, həmin xəttin ixtiyari iki 21 tt

parametrlərinə uyğun olan 1M və 2M nöqtələri arasında qalan

qövsün uzunluğu

dtdt

d

dt

d

dt

du

dt

dudt

dt

rds

t

t

t

t

2

1

2

1

2

2212

2

11 2

(6)

olar. (6) düsturuna səth üzərində qövsün uzunluğunun düsturu

deyilir.

Məsələ 1.

kajuiuur sincos,

səthinin birinci kvadratik formasını yazın.

Həlli. Səthin birinci kvadratik forması aşağıdakıdır. 2

2212

2

11

2 2 dduddurd (7)

birinci kvadratik formanın 221211 ,, əmsallarını hesablayaq.

Səthin tənliyi parametrik şəkildə verildiyindən, bu

əmsallar aşağıdakı kimi hesablanır: 222

11 uuu zyx

zzyyxx uuu 12 222

22 zyx

cosux , sinuy , 0uz

64

sinux , cosuy , az

1cossin 22

11 , 0cossincossin12 uu 2222222

22 cossin uaauu

221211 ,, -nın bu qiymətlərini (7) ifadəsində yerinə yazsaq

22222 daududr

alarıq.

Məsələ 2.

kucjuaiuaur sinsincoscoscos,

səthin birinci kvadratik formasını yazın.

Həlli. Səthin birinci kvadratik forması 2

2212

2

11

2 2 dduddurd

bu şəkildədir. 221211 ,, əmsallarını hesablayaq. 222

11 uuu zyx coscosuax

zzyyxx uuu 12 sincosuay

222

22 zyx ucz sin

cossinuaxu sinsinuayu , uczu cos

sincosuax coscosuay , 0z

ucuaucuaa 222222222222

11 cossincossinsincossin

0coscossinsinsincoscossin 22

12 uuauua

uauaua 22222222

22 coscoscossincos

221211 ,, -nin bu qiymətlərini (7) ifadəsində yerinə yazsaq

222222222 coscossin udaduucuard

Çalışmalar

1. 2222 azyx səthinin birinci kvadratik formasını təyin

edin.

Cavab: 22222222 2 dyxaxydxdydxyadsz

65

2. uaux sincos , uauy cossin , auz səthinin

birinci kvadratik formasını təyin edin.

Cavab: 2222 22 dadudduads

3. cosux , sinuy , uz səthinin birinci

kvadratik formasını tapın.

Cavab: 222222 duduuuds

4. cosux , sinuy , uaz ümumi helikoidinin

birinci kvadratik formasını təyin edin.

Cavab: 222222 21 daududaduds

5. coscosuax , sincosay , uaz sin kürənin birinci

kvadratik formasını tapın.

Cavab: 22222 daududs

66

§7. Səth üzərində əyrilər arasındakı bucaq

Tutaq ki, 21, hamar F səthində ortaq 0M

nöqtəsindən keçən iki hamar əyrilərdir.

Tərif. 1 və 2 hamar əyrilərinin 0M ortaq nöqtəsində,

onlara çəkilmiş toxunanlar arasındakı bucağa, bu əyrilər

arasındakı bucaq deyilir.

1 və 2 əyriləri üzrə diferensiallamanı uyğun olaraq d

və simvolları ilə işarə edək. 1 və 2 əyrilərinə 0M nöqtəsində

toxunanlar 10,TM və 20,TM olsun. Toxunan düz xətlərin

istiqamətverici vektorları uyğun olaraq rd və r vektorları

olacaq. Onda 1 və 2 əyriləri arasındakı bucağını, rd və r

vektorları arasında qalan bucaq kimi hesablamaq olar (şəkil 13).

Şəkil 13

drdurrd u və rurr u olduğundan, bu qiymətləri

rrd

rrd

cos (1)

formulunda yerinə yazsaq: 2

2212

2

11

2 2 dduddurdrd ,

2

2212

2

11

2 2 uurr

dudduudurrd 221211

olar. Onda (1) bərabərliyindən alırıq ki,

S

r

rd

0M 1

2

67

2

2212

2

11

2

2212

2

11

221211

22cos

uudduddu

dudduudu

olur.

Bu düstura səth üzərində əyrilər arasında bucaq düsturu

deyilir. Burada ddu, diferensialları 1 əyrisini təyin edən

tuu 1 , t1 tənliklərindən, ,u diferensialları isə 2

əyrisini təyin edən tuu 2 , t2 tənliklərindən tapılır, belə

ki, bütün funksiyaların qiymətləri həmin əyrilərin ortaq 0M

nöqtəsində hesablanır. 1 və 2 əyrilərinin, onların yerləşdikləri

səthin 0M nöqtəsindən keçən ,u koordinat xətləri ilə üst-üstə

düşdüyü xüsusi hala baxaq:

consttu ,:1 , tconstu ,:2 . Onda 0d və 0u

olduğundan urrd u , trr olar. (1) düsturuna görə alarıq ki,

2

22

2

11

costdt

tdtrru

və ya

2211

12cos

(3)

olar.

Burada, fərz edirik ki, 0dt , 0t , yəni rrd ,

vektorlarının istiqaməti uyğun olaraq 21, əyriləri üzərində t

parametrinin artması istiqamətinə uyğundur. (3) bərabərliyindən

alınır ki, səth üzərində koordinatlar şəbəkəsinin ortoqonal

2

olması üçün zəruri və kafi şərt səthin hər bir nöqtəsində

012 olmasıdır.

Məsələ 1. cosux , sinuy , 2uz səthi

üzərindəki 1 u və u 3 əyrilərinin əmələ gətirdikləri

bucağın kosinusunu tapın.

68

Həlli.Verilmiş əyrilərin kəsişmə nöqtələrini tapaq:

uu 31 olduğundan, 1u və ona görə də 2 olar.

Deməli, əyrilərin kəsişmə nöqtəsi 2;10M olacaq. 1 u əyrisi

üzrə dud , u 3 əyrisi üzrə u olar.

cosux , sinuy , uzu 2

sinx , cosuy , 0z

Onda birinci kvadratik formanın əmsalları üçün 2222

11 414sincos uu

0cossincossin12 uu 22222

22 cossin uuu

221211 ,, əmsallarının 2;10M nöqtəsində qiymətləri

541 2

11 u , 012 , 12

22 u . Onda (2) düsturuna görə,

əyrilər arasındakı bucağı üçün alarıq:

3

2

6

4

66

4

55

5cos

2222

udu

udu

uududu

uduudu

Deməli, 3

2cos .

Məsələ 2. Səthin birinci kvadratik forması

22222 daudurd verilmişdir. Bu səth üzərində

0u və 0u xətlərinin hansı bucaq altında

kəsişdiklərini tapın.

Həlli. 0u , u ddu , 0u , u ,

u .

0

0

u

u sistemindən alırıq ki, bu xətlər 0;0O nöqtəsində

kəsişirlər. Bu xətlər arasındakı bucağı ilə işarə edək və nəzərə

alaq ki, 111 , 012 , 22

22 au olur. Onda

69

2

2212

2

11

2

2212

2

11

221211

22

cos

uudduddu

dudduudu

1

122

22

22222222

22

au

au

audaudu

daud

Kəsişmə nöqtəsində 1

1cos

2

2

a

a . Buradan da alırıq ki,

1

1arccos

2

2

a

a .

Çalışmalar

1. Birinci kvadratik forması 222 dduds şəklində

olan səth üzərindəki u2 və u2 əyriləri arasında qalan

bucağı hesablayın.

Cavab: 5

3cos

2. axyz səthi üzərindəki 0xx , 0yy koordinat

xətlərinin kəsişməsindən alınan bucağı təyin edin.

Cavab: 2

0

22

0

2

00

2

11cos

yaxa

yxa

70

§8. Səth üzərində qapalı oblastın sahəsi

Tutaq ki, biz 3E fəzasında hər hansı G qapalı oblastında

təyin olunmuş vektor funksiyanın köməyilə F elementar səthi

almışıq və F aşağıdakı üç şərti ödəyir.

10. F səthi hər hansı hamar səthinin bir hissəsidir.

20. F qapalı dairəyə homeomorfdur.

30. F səthinin sərhəddi hissə-hissə hamar xətdir.

Analiz kursundan məlumdur ki, belə təyin olunmuş F

səthi üçün sahə anlayışı vermək olar və onun sahəsini hesablamaq

üçün düstur da verilir. Sahəsi olan səthə kvadratlanan səth deyilir.

Tutaq ki, 3E fəzasında yxfz , aşkar tənliyi ilə hər

hansı bir kvadratlana bilən səth verilmişdir: Dyx , . D – hər

hansı qapalı dairəyə homemorf oblastdır. Onda analizdən məlum

olduğu kimi həmin səthin sahəsi

dxdyy

f

x

fS

D

22

1 (1)

düsturu ilə hesablanar.

Əgər, F səthi müəyyən bir G qapalı oblastında

,uxx , ,uyy , ,uzz parametrik tənliyi ilə təyin

olunmuş kvadratlanan səthdirsə, onda həmin səthin sahəsi

dudFSG

2

122211 (2)

düsturu ilə hesablanır (buradakı 221211 ,, F səthinin I kvadratik

formasının əmsallarıdır).

Digər tərəfdən,

2222222

122211 cos rrrrrrrr uuuu

2

2222222cos1cos rrrrrr uuu

2222,sin rrrr uu

71

olduğundan, bu qiymətləri (2)-də yerinə yazsaq:

dudrrFSG

u , (3)

alarıq.

§9. Səthin II kvadratik forması

Tutaq ki, bizə G oblastında təyin olunmuş 2kC k

sinfinə daxil olan

,urr (1)

tənliyi ilə hər hansı F hamar səthi verilmişdir. Bu hamar səth

üzərində hər hansı F hamar əyrisi götürək. Onda həmin əyri

üzrə nöqtənin yerdəyişməsi

drdurrd u (2)

olar. Buradan

22222 drdrdudrudrdudrdurrd uuuuu (3)

alarıq.

İndi isə, səthin N normalına baxaq. Aydındır ki, N

vektoru rrn u , şəklində, onun vahid n vektoru isə

rr

rr

N

Nn

u

u

,

, şəklində olar. (3) bərabərliyinin hər tərəfini n

vektoruna skalyar olaraq vuraq. n vektoru üçün urn , rn

olduğundan, 0nru , 0nr alarıq. Ona görə də

222 2 dnrdudnrdunrnrd uuu (4)

olar; burada nrb uu11 , nrb u12 , nrb 22 işarələməsini etsək,

nəticədə

22212

2

11

2 2 dbdudbdubnrd (5)

alarıq.

72

Aydındır ki, 2

122211

11,

,

rrr

rr

rrrnrb uuu

u

uuuuu ,

2

122211

2

122211

12

,

rrrrrrnrb uuuu

u

2

122211

2

122211

22

,

rrrrrrnrb uu

olar.

(5) bərabərliyinin sağ tərəfinə, yəni

22212

2

11 2 dbdudbdub ifadəsinə, səthin II kvadratik

forması deyilir. 122211 ,, bbb əmsallarına isə II kvadratik formanın

əmsalları deyilir.

Praktiki olaraq, II kvadratik formanın əmsalları belə

hesablanır.

zyx

zyx

zyxrrr

b uuu

uuuuuu

uuu

2

122211

2

122211

11

1

zyx

zyx

zyxrrr

b uuuu

2

122211

2

122211

22

1

zyx

zyx

zyxrrr

b uuu

uuu

uu

2

122211

2

122211

12

1

Məsələ 1. 2xyz səthinin ikinci kvadratk formasını

təyin edin.

Həlli. Səthin tənliyi aşkar şəkildə verildiyindən

221211 ,, bbb əmsalları

73

2211

1 yx

xx

zz

zb

;

2212

1 yx

xy

zz

zb

;

2222

1 yx

yy

zz

zb

2xyz funksiyasının bütün xüsusi törəmələrini tapaq. 2yzx ; xyzy 2 ; 0xxz , yzxy 2 , xzyy 2

041

0

1 2242211

yxyzz

zb

yx

xx

2242212

41

2

1 yxy

y

zz

zb

yx

xy

2242222

41

2

1 yxy

x

zz

zb

yx

yy

olduğunu alarıq. Onda verilən səthin ikinci kvadratik forması

224

2

224

2

224 41

22

41

2

41

22

yxy

xdyydxdy

yxy

xdy

yxy

ydxdy

Məsələ 2. cosRx , sinRy , uz səthinin ikinci

kvadratik formasını hesablayın.

Həlli. Səthin II kvadratik forması 2

2212

2

11 2 dbdudbdub

şəklindədir. Burada

2

122211

11

bbb

zyx

zyx

zyx

b

uuu

uuuuuu

74

2

122211

12

bbb

zyx

zyx

zyx

b

uuu

uuu

2

122211

22

bbb

zyx

zyx

zyx

b

uuu

cosRx , sinRy , uz , 0ux , sinRx , 0uux ,

0ux , cosRx , 0uy , cosRy , ,0 uuu yy

sinRy , 0,1 uuuu zzzzz .

222

11 uuu zyx , zzyyxx uuu 12 , 222

22 zyx

110011 , 111 , 001cos0sin012 RR ,

02

222222

22 cossin0cossin RRRR

001

0cossin

100

000

211

R

RRb

; 012 b ,

RR

RR

R

RR

RR

b

2222

22

sincos0cossin

100

0sincos

2 Rd

75

Çalışmalar

1. mxyz hiperboloidinin ikinci kvadratik formasını tapın.

Cavab: 2221

2

yxm

mdxdy

2. xyz sin səthinin ikinci kvadratik formasını yazın.

Cavab: xy

xdxdyxdxy22

2

cos12

cos2sin

3. cosux , sinuy , z səthinin ikinci kvadratik

formasını təyin edin.

Cavab: 21

2

u

dud

4. cos1 ux , sin1 uy , uz səthinin ikinci

kvadratik formasını tapın.

Cavab:

22

22

cos221

12sin2

uu

dudud

5. cosashux , sinashy , cchuz ikioyuqlu fırlanma

hiperboloidinin ikinci kvadratik formasını təyin edin.

Cavab: 222

2222udshdu

ushcucha

ac

76

§10. Səth üzərində əyrinin əyriliyi

I. Səth üzərində əyrinin normal əyriliyi

Tutaq ki, bizə ,urr tənliyi ilə 3E fəzasında 2kC k

sinfinə daxil olan 0F hamar səthi verilmişdir. Həmin səthin

üzərində təbii parametr vasitəsilə suu , s kimi

parametrik tənliklərilə verilən 0 əyrisini götürək. Burada s

əyrinin təbii parametridir.

Bilirik ki, ds

rd olur. Deməli,

ds

dr

ds

dur

ds

d

d

rd

ds

du

du

rd

ds

rdu

(1)

alarıq.

Frenenin ikinci düsturuna əsasən

kds

d olduğundan

(burada k əyrilikdir, isə 0 əyrisinin baş normalının verilmiş

0M nöqtəsində vahid vektorudur), (1) düsturundan alırıq ki,

2

2

2

222

2ds

dr

ds

udr

ds

dr

ds

d

ds

duu

ds

durk uuuu

. (2)

(2) bərabərliyini n vektoruna skalyar vuraraq, 11brn uu ,

2112 bbrn , 22brn bərabərliklərindən istifadə etsək

2

2

2212

2

11 2

ds

dbdudbdubkn

(3)

alarıq.

Bu bərabərliyin sol tərəfini nk ilə işarə edək; buna

00 F əyrisinin 0M nöqtəsində normal əyriliyi deyilir.

Beləliklə, alırıq ki, knkn , yaxud da coskkn , burada

,n olur.

77

Səthin verilən nöqtəsindəki normalından keçib, səthi

kəsən müstəvi ilə səthin kəsişməsindən alınan əyriyə səthin

normal kəsiyi deyilir.

Əgər n və eyni istiqamətli vektorlar olarsa, onda

kkn olduğu aydındır. Əgər n və əks istiqamətli vektorlar

olarsa, yəni onlar arasındakı bucaq -yə bərabər olarsa, onda

aydındır ki, kkn olar. (3)-dən alarıq ki,

22212

2

11

2

2212

2

11

2

2

dduddu

dbdudbdubkn

(4)

olur.

d

du ilə işarə etsək, onda (4) düsturunu

2212

2

11

2212

2

11

2

2

bbbkn

şəklində yaza bilərik.

Məlumdur ki, səthə toxunan müstəvi üzərində toxunanın

istiqaməti ddu : nisbəti ilə təyin olunur. (4) düsturu göstərir ki,

SM 0 nöqtəsində əyrinin normaı əyriliyi, yalnız toxunanın

həmin nöqtədə

d

du nisbəti ilə təyin olunan istiqamətindən

asılıdır. Deməli, səth üzərində 0M nöqtəsindən keçən və bu

nöqtədə ortaq toxunana malik olan bütün hamar əyrilər 0M

nöqtəsində eyni normal əyriyə malikdirlər; başqa sözlə, SM 0

nöqtəsindən keçən və bu nöqtədə eyni toxunana malik olan bütün

hamar əyrilərin normal əyrilikləri, işarə dəqiqliyi ilə həmin

nöqtədə normal kəsiyin əyriliyinə bərabərdir. Deməli, həmin 0M

nöqtəsində

constkk n cos (5)

olur ki, bu da Menye teoremini ifadə edir.

78

§11. Səth nöqtələrinin təsnifatı

Tutaq ki, bizə 2kC k sinfinə daxil olan F hamar

səthi

,urr (1)

tənliyi ilə verilmişdir. Fərz edək ki, FM 0 səthin hər hansı

nöqtəsidir və bu nöqtədə 221211 ,, bbb II kvadratik forma

əmsallarının üçü də eyni zamanda sıfır deyildir. 0M nöqtəsində

səthin toxunan müstəvisini 0MT ilə işarə edək. 0M nöqtəsində

F səthinə toxunan 0MT müstəvisi üzərində, 0M nöqtəsindən

keçən bütün düz xətlər üzərində, 0M nöqtəsindən

nk

1-ə bərabər

məsafədə olan nöqtələri qeyd edək; burada nk – sıfırdan fərqli

olan, səth üzərində 0M nöqtəsində, həmin düz xəttin onun üçün

toxunan olan xəttin normal əyriliydir. Bu uc nöqtələrin əmələ

gətirdiyi əyriyə, 0M nöqtəsində səthin əyriliklər indikatrisası (və

ya Dyüpen indikatrisası) deyilir. Əyriliklər indikatrisasının

tənliyini müəyyən edək. 0MT toxunan müstəvisi üzərində

rrM u ,,0 afin koordinat sistemini götürək. İndikatrisanın cari

nöqtəsini yxA , ilə işarə edək. AM0 vektorunun ortu olsun.

Onda

nkAM

0 olar.

Digər tərəfdən, ryrxAM u 0 olduğundan

n

uk

ryrx

(2)

olacaq. xdu , yd olduğu üçün yxddu :: olar. (2)

bərabərliyini kvadrata yüksəldək:

79

2

2

2222 112

ds

ds

kryrrxyrx

n

uu

Buradan, I kvadratik formanı və keçən paraqrafdan, nk normal

əyriliyi üçün düsturu nəzərə alsaq

2

2212

2

11

2

2212

2

112

2212

2

112

22

ybxybxb

yxyxyxyx

olar; və ya

12 2

2212

2

11 ybxybxb (3)

olduğunu alarıq.

(3) tənliyi Dyüpen indikatrisasının tənliyidir. (3)

tənliyini belə də yaza bilərik:

12 2

2212

2

11 ybxybxb (3`)

Burada 221211 ,, bbb ədədlərinin üçü də eyni zamanda sıfır deyildir.

Bu da göstərir ki, Dyupen indikatrisası ikitərtibli xətdən ibarətdir.

Indi isə əmsallardan asılı olaraq Dyupen indikatrisasını

araşdıraq.

1) Verilən 0M nöqtəsində 02

122211 bbbD olarsa, onda

Dyupen indikatrisası ellipsdir. Bu halda 0M nöqtəsinə elliptik

nöqtə deyilir (şəkil 14).

a) b) v)

Şəkil 14

0M 0M

0M

80

Xüsusi halda Dyupen indikatrisası çevrə olarsa, onda 0M nöqtəsi

dairəvi və ya ombilik nöqtəsi adlanır.

2) 0M nöqtəsində 02

122211 bbbD olarsa, onda Dyupen

indikatrisası bir cüt qoşma hiperboladır; bu halda səthin 0M

nöqtəsinə hiperbolik nöqtə deyilir.

3) 0M nöqtəsində 02

122211 bbbD olarsa, onda Dyupen

indikatrisası bir cüt paralel düz xətdir; bu halda 0M nöqtəsinə

parabolik nöqtə deyilir.

§12. Baş əyriliklər

Əvvəlcə, səthin verilmiş nöqtəsində baş istiqamətlər

anlayışını təyin edək. Tutaq ki, 0F hamar elementar səthi

,urr (1)

vektor tənliyi ilə verilmişdir. 0F səthi üzərində ixtiyari M

nöqtəsini götürək. 0FM nöqtəsində ikitərtibli xətt olan Dyupen

indikatrisasının baş istiqamətlərinə həmin nöqtədə səthin baş

istiqamətləri deyilir. Deməli, ümumi halda (yəni M – dairəvi

nöqtə olmadıqda) M nöqtəsindən yalnız bir cüt baş istiqamət var.

Onlar ortoqonal olub və Dyupen indikatrisasına nəzərən

qoşmadırlar.

Tutaq ki, 0FM nöqtəsində baş istiqamətlər

drdurrd u və rurr u

vektorları ilə təyin olunur. Onda aydındır ki, 0 rrd olar ki, bu

da onların ortoqonallıq şərti adlanır; eləcə də

022211211 dbudbdubudub olar ki, bu da onların

qoşmalıq şərti olar. Isbat edək ki, qoşmalıq şərtini 0 rnd

şəklində də yazmaq olar; burada nd , səthin M nöqtəsində vahid

normal vektorunun, səth üzərində M nöqtəsinin dr

yerdəyişməsinə uyğun diferensialıdır. Bunun üçün aşağıdakı

düsturlardan istifadə edək:

81

uurnb 11 , rnrnbb uu 2112 , rnb 22 (2)

(2)-dəki birinci bərabərliyi isbat edək . 0 urn eyniliyini u -ya

nəzərən diferensiallayaq: onda alarıq ki, 0 uuuu rnrn olar.

Buradan da, uurnb 11 olduğundan, uurnb 11 alarıq. O biri

əmsalları da oxşar qayda ilə hesablamaq olar. (2) əmsallarının

qiymətlərini qoşmalıq şərtində nəzərə alsaq, məlum çevirmələrdən

sonra alarıq ki,

0 rurdndun uu ,

və yaxud da 0 rnd olur.

Beləliklə, alırıq ki, rd və r vektorlarının 0F səthinin

M nöqtəsində baş istiqamətləri təyin etməsi üçün zəruri və kafi

şərt

0 rrd , 0 rnd (3)

bərabərliklərinin ödənilməsidir.

(3) bərabərliyindən istifadə edərək, aşağıdakı Rodriq

teoremini isbat etmək olar.

Teorem (Rodriq). Səthin M nöqtəsində rd vektorunun

baş istiqamət olması üçün zəruri və kafi şərt

rdknd n (4)

bərabərliyinin ödənməsidir.

Burada nd vahid normal vektorun, M nöqtəsində rd

yerdəyişməsinə uyğun diferensialıdır. nk isə səthin M nöqtəsində

rd istiqamətində normal əyriliyidir.

İsbatı. Əvvəldə göstərmişik ki, r və rd vektorlarının

baş istiqamətləri təyin etməsi üçün zəruri və kafi şərt (3)

bərabərliklərinin ödənilməsidir. Bu şərtlərdən çıxır ki, rd və nd

vektorları kolleniar olmalıdır; yəni

rdnd

olmalıdır.

Bu bərabərliyin hər iki tərəfini rd vektoruna skalyar

vuraq: 22 dsrdndrd (5)

82

olar.

0nrd eyniliyini diferensiallasaq alarıq ki,

02 ndrdnrd

olur; səthin verilmiş nöqtəsində nrd 2 ifadəsi səthin həmin

nöqtədə II kvadratik forması olduğundan

0 ndrd (6)

olur.

(5) və (6) bərabərliklərindən

02 ds və nkds

2

alınır. Deməli, M nöqtəsində rd baş istiqaməti təyin edirsə, onda

teoremin şərti ödənilir, yəni

rdkmd n

olur.

Tərsinə, elə rd istiqaməti götürək ki,

rdknd n (7)

şərti ödənsin. Sonra rd istiqamətinə ortoqonal olan r istiqaməti

götürək, yəni

0 rrd (8)

olsun.

(7) və (8) bərabərliklərindən 0 ndr alınır. Deməli,

(4) bərabərliyi ödənilərsə, onda rd və r vektorları üçün həm

ortoqonallıq, həm də qoşmalıq şərti ödənilir. Yəni rd (eləcə də

r ) istiqaməti baş istiqamətdir. Beləliklə, teorem isbat olundu.

(4) düsturunu aşağıdakı kimi yazaq:

rkdnd

Bu düstura Rodriq düsturu deyilir. Burada k ədədi rd baş

istiqamət üzrə normal əyrilikdir.

83

§13. Səthin tam və orta əyriliyi

Rodriq düsturunda nd və rd vektorlarının

dndunnd u , drdurrd u ifadəsini yazsaq:

drdurkdndun uu

alarıq.

Bu bərabərliklərin hər iki tərəfini əvvəlcə ur -ya, sonra da

r -yə skalyar vuraq. Səh. 107-də (2) düsturundan, I kvadratik

formanın əmsallarından istifadə etsək

dkdukdbdud

dkdukdbdub

22212221

12111211 (1)

olduğunu alarıq. Buradan

0

0

22222121

12121111

dkbdukb

dkbdukb (1`)

alınar.

Bu axırıncı sistemdən k -nı yox etsək, onda M

nöqtəsində ddu : , başqa sözlə, baş istiqamətləri təyin edən

022212221

12111211

ddudbdub

ddudbdub (1``)

tənliyini alarıq.

du və d diferensialları eyni zamanda sıfıra bərabər

olmadığından (1`) bircins xətti tənliklər sisteminin determinantı

sıfıra bərabər olmalıdır.

022222121

12121111

kbkb

kbkb,

yaxud da

02221

1211

2221

1211

2221

12112

2221

1211

bb

bbk

b

b

b

bk

(2)

olur.

84

Beləliklə, SM nöqtəsində 21,kk baş əyrilikləri (2)

tənliyinin köklərindən ibarətdir. (2) tənliyinin köklərindən ibarət

olan baş əyriliklərin 21 kk hasilinə M nöqtəsində səthin tam

(Qauss) əyriliyi, baş əyriliklərin 21 kk cəminin yarısına isə

səthin orta əyriliyi deyilir və belə işarə olunur:

21 kkK , 2

21 kkH

(2) tənliyindən Viyet teoreminə əsasən alırıq ki,

2

122211

2

122211

bbbK , (3)

2

122211

2221

1211

2221

1211

2

1

b

b

b

b

H (4)

olur.

Səthin birinci kvadratik formasının diskriminantı

02

122211 olduğundan, səthin K tam əyriliyinin işarəsi

yalnız səthin ikinci kvadratik formasının 2

122211 bbb

diskriminantının işarəsindən asılı olacaq. Ona görə də, səthin

elliptik nöqtəsində 0K , hiperbolik nöqtəsində 0K , parabolik

nöqtəsində isə 0K olur. (3), (4) düsturlarının çıxarılışında fərz

etmişdik ki, ikinci kvadratik formanın heç olmazsa bir əmsalı

sıfırdan fərqlidir. Bu düsturlar ikinci kvadratik formanın bütün

əmsalları sıfır olduqda da doğrudur. Yəni, verilmiş nöqtədə

0221211 bbb olduqda da, (3), (4) düsturları doğrudur.

Məsələ 1. cosux , sinuy , az helikodinin

tam və orta əyriliyini təyin edin.

Həlli. Bilirik ki, səthin orta əyriliyi

2

122211

221112122211

2

2

bbbH

düsturu ilə, tam əyriliyi isə

85

2

122211

2

122211

bbbK

düsturu ilə hesablanır. Onda:

222

11 nnn zyx 2

122211

11

zyx

zyx

zyx

b

uuu

uuuuuu

zzyyxx uuu 12 2

122211

12

zyx

zyx

zyx

b

uuu

uuu

222

22 zyx 2

122211

22

zyx

zyx

zyx

b

uuu

cosux , sinuy , 0uz

sinux , cosuy , az

0uux , 0uuy , 0uuz

sinux , cosuy , 0uz

cosux , sinuy , 0z

111 , 012 , 22

22 au , 222

122211 au

Indi isə ikinci kvadratik formanın əmsallarını hesablayaq

0cossin

0sincos

000

2211

an

annb

86

222212

cossin

0sincos

0cossin

an

a

an

annb

00cossin

0sincos

0sincos

222222

anan

ann

nn

b

222

2

22

2

2

00

an

a

an

an

a

K

0

2

00201

22

22

22

an

anan

a

H

Məsələ 2. ux cos , uy sin , 2

2z fırlanma

parabolodinin tam və orta əyriliyi tapmalı.

Həlli. Bilirik ki, səthin orta və tam əyriliyi, bu

düsturlarla hesablanır:

2

122211

221112121122

2

2

bbbH ,

2

122211

2

122211

bbbK

Birinci kvadratik formanın əmsalları 222

11 uuu zyx

zzyyxx uuu 12 222

22 zyx

İkinci kvadratik formanın əmsalları isə

87

2

122211

11

zyx

zyx

zyx

b

uuu

uuuuuu

, 2

122211

12

zyx

zyx

zyx

b

uuu

uuu

, 2

122211

22

zyx

zyx

zyx

b

uuu

olur.

uxu sin , uyu cos , 0uz

ux cos , uy sin , z

uxuu cos , uyuu sin , 0uuz

0x , 0y , 1z

uxu sin , uyu cos , 0uz

2

11 , 012 , 2

22 1

22422

122211 1

olduğundan

2

3

211

1

cossin

sincos

1

sincos

0cossin

0sincos

uu

uu

uu

uu

uu

b

2

2

2

2

2

223

111

sincos

uu

0

1

cossincossin

1

sincos

0cossin

0cossin

2212

uuuuuu

uu

uu

b

2222

1

1

1

sincos

cossin

sincos

0cossin

100

uu

uu

uu

uub alınır.

88

Orta əyrilik

22

2

2

2

2

2

211

1112

kkH

23

2

2

222

22

22

2

22

1

2

11

2

1

1

11

;

Tam əyrilik isə

22

2

2

22

2

2

122211

2

12221121

111

1

1

1

bbbkkK

olur.

Cavab: 221

1

kkK ;

23

2

2

12

2

H

Çalışmalar

1. cosux , sinuy , ufhz helikodial səthin tam

əyriliyini tapın.

Cavab: 2222

23

1 fuh

hffuK

2. uax , uby , az səthinin tam və orta

əyriliyini tapın.

Cavab: 4

224

A

baK

ubaA

abH 22

3

2

burada 2222222 4 ubuabaA

89

3. 3233 uuux ; 23 33 uy , 223 uz səthinin

ota əyriliyini tapın.

Cavab: 0H

4. cossinux , sinsinuy , 2

lncosu

tguz səthinin tam

əyriliyini təyin edin.

Cavab: 1K

90

§14. Sabit əyrilikli səthlər

Məlumdur ki, müstəvinin ümumi tənliyi

0 DCzByAx (1)

şəklindədir, burada CBA ,, əmsallarından heç olmasa biri sıfırdan

fərqli olmalıdır. Tutaq ki, 0C . Onda (1) tənliyini aşağıdakı

kimi yazmaq olar.

C

Dy

C

Bx

C

Az

Buradan, yx, -ə görə törəmələri tapaq: C

Azx ;

C

Bzy ,

0xxz , 0xyz , 0yyz . Onda

2

2

11 1C

A ;

212C

AB ;

2

2

22 1C

B

01112

2

2

2

4

22

2

2

2

22

122211

C

B

C

A

C

BA

C

B

C

A

Buradan, 011 b , 012 b , 022 b olduğunu alarıq. Ona görə də

02

122211

2

122211

bbbK olar. Deməli, sabit sıfır əyrilikli sadə səth

müstəvidir.

91

IV FƏSİL

§1. Səthin daxili həndəsəsi. Derivasion düsturları

Səthdən kənara çıxmadan səthin öz üzərində bilavasitə

ölçməklə təyin olunan xassələrə səthin daxili xassələri deyilir.

Səthin daxili xassələri çoxluğu mahiyyətcə onun daxili

həndəsəsini təyin edir. Buradan bilavasitə alınır ki, requlyar

səthlərin daxili həndəsəsi, bu səthlərin və onlar üzərində olan

fiqurların elə xassələrini öyrənir ki, bu xassələr səthin birinci

kvadratik forması ilə təyin olunur. Buraya bildiyimiz kimi səth

üzərində qövsün uzunluğunun, xətlər arasındakı bucağın və səthin

sahəsinin hesablanması haqqında məsələlər daxildir. Bu

məsələlərə III fəsildə baxılmışdır. Bu fəsildə isə səthin daxili

həndəsəsinə aid olan daha bir sıra anlayışlara baxılacaqdır.

Derivasion düsturları

Səthin daxili həndəsəsinin sonrakı anlayışlarını vermək

üçün, əvvəlcə derivasion düsturları verək.

Tutaq ki, S səthi ,urr tənliyi ilə verilən 3kC k

sinfinin requlyar səthidir; ,u skalyar arqumentlərindən asılı

vektor-funksiyalar olan nrru ,, vektorları hər bir SM

nöqtəsində bazis əmələ gətirirlər. Ona görə də bu bazis

vektorlarının xüsusi törəmələri olan nnrrr uuuu ,,,, vektorlarını

nrru ,, bazis vektorları üzrə ayırmaq olar:

nrQrQr uuu 11

2

11

1

11

nrQrQr uu 12

2

12

1

12 (1)

nrQrQr u 22

2

22

1

22

rrn uu

2

1

1

1 , rrn u

2

2

1

2 (2)

(2) formulunda n vektorunun uzunluğunun vahid olduğunu

1n nəzərə aldığımızdan 0 nnnn u olur, ona görə də

92

un və n vektorlarının ayrılışında n bazisi üzrə əmsal sıfır

götürülmüşdür.

Burada 221211

2

22

1

22

2

12

1

12

2

11

1

11 ,,,,,,,, QQQQQQ bazis üzrə

ayrılışın əmsallarıdır. Onları təyin etmək lazımdır. Əvvəlcə

221211 ,, əmsallarını tapaq. Bunun üçün (1) bərabərliklərindən

hər birinin hər iki tərəfini n vektoruna skalyar vuraq, urn ,

rn olduğundan 0nru və 0nr olar. Onda 1nn

olduğundan alarıq ki, uurn 11 , urn 12 , rn 22 olar.

Bu alınanları səthin ikinci kvadratik formasının 221211 ,, bbb

əmsalları ilə müqayisə etsək, alarıq ki,

1111 b , 1212 b , 2222 b (3)

olur.

İndi 2,1, jij

i əmsallarını tapaq. Bunun üçün (2)

bərabərliyinin hər tərəfini əvvəlcə ur , sonra isə r vektoruna

skalyar vuraq. III fəsildə səthin I və II kvadratik formasının

əmsalları üçün verilmiş işarələmələrdən istifadə etsək, aşağıdakı

kimi iki tənliklər sistemi alarıq:

12

2

122

1

121

11

2

112

1

111

b

b

(4)

22

2

222

2

221

21

2

212

1

211

b

b

(5)

(4) sistemi 1

1 , 2

1 məchullarına nəzərən iki məchullu xətti

tənliklər sistemidir. Bu sistemin determinantı 2

122211 müsbət

müəyyən olunmuş səthin birinci kvadratik formasının

diskriminantı kimi sıfırdan fərqlidir. Ona görə də (4) sisteminin

yeganə həlli var. Bu sistemi həll edərək 1

1 , 2

1 əmsallarını

tapırıq. Eyni qayda ilə (5) sistemindən də 2

2

1

2 , əmsallarını

tapırıq. Beləliklə, (2) sisteminin əmsalları verilmiş səthin birinci

və ikinci kvadratik formasının əmsalları vasitəsilə ifadə olunar.

93

Indi isə 2,1,, kjiQk

ij əmsallarını təyin edək. Bunun

üçün (1) bərabərliklərini əvvəlcə ur , sonra isə r -yə skalyar vuraq:

III fəsildə səthin I kvadratik formasının əmsalları üçün verilmiş

işarələmələrdən istifadə etsək, aşağıdakı şəkildə üç tənliklər

sistemini alarıq:

uu

uuu

rrQQ

rrQQ

2

1122

1

1121

2

1112

1

1111 (6)

u

uu

rrQQ

rrQQ

2

1222

1

1221

2

1212

1

1211 (7)

rrQQ

rrQQ u

2

2222

1

2221

2

2212

1

2211 (8)

(6) sistemi 2

11

1

11, QQ məchullarına nəzərən iki məchullu xətti

tənliklər sistemidir. Göstərək ki, (6) tənliklər sisteminin sağ tərəfi

məlumdur. Doğrudan da, u

rrr uuuu

2

2

1 olduğundan alırıq ki,

urr uuu

11

2

1 (9)

olur. Sonra alırıq ki,

uuu

uu rru

rrrr

. Lakin,

112

2

1

2

1uuu rrr olduğundan bundan əvvəlki düstur

aşağıdakı şəklə düşər:

1112

2

1

urr uu (10)

(9), (10) bərabərliklərindən bu nəticəyə gəlmək olur ki, (6)

tənliklərinin sağ tərəfi birinci kvadratik formanın əmsalları və

onların törəmələrinin vasitəsilə ifadə olunub. Eyni təklif (7) və (8)

bərabərliklərinin sağ tərəfləri üçün də doğrudur.

94

Əgər bizə F səthi verilmişsə, onda biz onun birinci

kvadratik formasını tapa bilərik. Onda bizə (6), (7), (8) tənliklər

sisteminin sağ tərəfinin ifadəsi məlum olar. Yuxarıda qeyd

etdiyimiz kimi, bu sistemlərin hər birinin 2

122211 determinantı

sıfırdan fərqli olduğundan, bu sistemləri həll edərək bütün

2,1,, kjiQk

ij əmsallarını tapa bilərik. k

ijQ – əmsallarına ikinci

tip Kristofel əmsalları deyilir. Birinci tip Kristofel əmsalı kimi

adətən (6), (7), (8) sistemlərinin sağ tərəfi başa düşülür.

2,1,, kjiQk

ij Kristofel əmsalları yalnız səthin birinci kvadratik

formasının əmsallarından və onun xüsusi törəmələrindən asılı

olduğundan, onlar səthin daxili həndəsəsinin obyektlərindəndirlər.

(1), (2) düsturlarına derivasion düsturlar deyilir.

§2. Qauss teoremi. Səth üzərində xəttin geodezik əyriliyi

Aşağıdakı teorem səthin daxili həndəsəsinin əsas

teoremlərindən biri olub, Qauss teoremi adlanır.

Teorem. Hamar 3kc k sinfinə daxil olan səthin hər

hansı nöqtəsində tam əyriliyi ancaq səthin birinci kvadratik

formasının əmsalları və onların xüsusi törəmələri ilə ifadə olunur.

Deməli, səthin daxili həndəsəsinin obyektidir.

İsbatı. Fərz edək ki, S səthi ,urr tənliyi ilə verilən 3kC k sinfin səthidir. Bundan əvvəlki paraqrafda verilən (1)

və (2) derivasion düsturları MR hərəkət reperi üçün səthin hər bir

nöqtəsində ödənilir. Deməli (1), (2) bərabərlikləri səth üzərində

eyniliklər olduğu üçün onları u və dəyişənlərinə nəzərən

diferensiallamaq olar. Həmin (1) bərabərliklərinin birincisini

dəyişəninə nəzərən diferensiallayaq və həmin paraqrafdakı (3)

düsturunu nəzərə alsaq

nbnb

rQrQ

rQrQ

r uuuu 11112

11

2

111

11

1

11

alınar.

95

Derivasion düsturlarından nrru ,, qiymətlərini burada

yerinə yazsaq, MR hərəkət reperinə nəzərən uur vektorunun

ayrılışını alarıq.

Bu ayrılışın əmsallarını 321 ,, ilə işarə edək. Onda

nrrr uuu 321

olduğunu alarıq. Oxşar qayda ilə yuxarıda qeyd olunan (1)

düsturunun ikinci tənliyini u dəyişəninə nəzərən diferensiallayaq:

nrrr uuu 321

alınar.

Yoxlamaq olar ki, 2 və 2 əmsalları aşağıdakı şəkildədir.

2

112

2

21

2

12

2

11

1

12

2

122

2

211

2

22

2

11

2

12

1

11

2

112

bQQQQu

Q

bQQQQQ

(1)

Lakin uuuu rr olduğundan, 11 , 22 , 33

olduğundan (1) düsturundan

2

22

2

11

2

12

1

11

2

21

2

12

2

11

1

12

2

11

2

122

112

2

211 QQQQQQQQQ

u

Qbb

(2)

olduğunu alarıq.

Bundan əvvəlki paraqrafda olan (4), (5) sistem tənliklərini

həll etsək, taparıq ki

2

122211

121222112

2

bb,

2

122211

111212112

1

bb

olur.

Bu qiymətləri (2) bərabərliyinin sol tərəfində yerinə

yazsaq, həmin tərəf K11 şəklinə düşər, harada ki, K əyriliyi

F səthinin M nöqtəsindəki tam əyriliyidir. Onda (2) düsturu

aşağıdakı şəklə düşər:

2

21

2

12

2

11

1

12

2

22

2

11

2

12

1

11

2

12

2

11

11

1QQQQQQQQ

u

QQK

96

Tapdığımız düstur yalnız səthin birinci kvadratik

formasının əmsalları və onların xüsusi törəmələri vasitəsilə ifadə

olunur. Deməli, səthin daxili həndəsəsinin obyektidir. Bununla da

teorem isbat olundu.

Fərz edək ki, S səthi ,urr tənliyi ilə verilmiş 3kC k sinfinin requlyar səthidir. S səthi üzərində

requlyar əyrisi götürək. Onu suu , s tənlikləri ilə

vermək olar, burada s – qövsün uzunluğudur. SM nöqtəsində

əyrisinin əyrilik k vektorunu təyin edən düsturda derivasion

düsturlarında olan rrr uuu ,, qiymətlərini yerinə yazsaq, belə

ifadə alarıq:

NT kkk (3)

harda ki,

uT r

ds

ud

ds

dQ

ds

d

ds

duQ

ds

duQk

2

22

1

22

1

12

2

1

11 2

r

ds

d

ds

dQ

ds

d

ds

duQ

ds

duQ

2

22

2

22

2

12

2

2

11 2 (4)

nds

db

ds

d

ds

dub

ds

dubkN

2

2212

2

11 2

(5)

Beləliklə, əyrisinin M nöqtəsində k əyrilik vektoru iki

toplanandan ibarətdir.

1) Tk – toxunan alt fəzaya daxil olan vektordur.

2) Nk – vektoru səthin M nöqtəsində çəkilmiş normala paralel

olan vektordur.

Tk vektoruna M nöqtəsində əyrisinin geodezik əyrilik

vektoru deyilir. k ( – toxunan vahid vektordur)

olduğundan, geodezik əyrilik vektoru əyrisinin M nöqtəsində

97

toxunan vektoru ilə ortoqonaldır; ona görə də Tk , ng ,

vektoruna kollinear olar. Onda alarıq ki,

gkk gT (6)

gk – ədədinə M nöqtəsində əyrisinin geodezik əyriliyi deyilir.

g – vahid vektor olduğu üçün alarıq ki, Tg kk olur.

Bilirik ki, 2,1,, kjiQk

ij Kristofel əmsalları səthin

birinci kvadratik forması və onların xüsusi törəmələri vasitəsilə

ifadə olunur; onda (4) düsturundan alınır ki, xəttinin gk

geodezik əyriliyi S səthinin birinci kvadratik formasının

əmsalları və onların xüsusi törəmələri vasitəsilə ifadə olunur.

Qeyd edək ki, (5) düsturundakı n vektorunun əmsalını

nəzərə alsaq, (3) düsturunu

nkgkk ng (7)

şəklində yaza bilərik.

§3. Geodezik xətlər

Tutaq ki, F , 2kc k sinfindən olan hamar səthdir.

Əgər F hamar xəttinin hər bir nöqtəsində geodezik əyriliyi

sıfıra bərabərdisə 0gk , onda həmin xəttə geodezik xətt deyilir.

əyrisinin k əyrilik vektorunun, səthin M nöqtəsində MT

toxunan vektor fəzası və həmin nöqtədə səthə çəkilmiş normala

paralel üzrə ayrılışının yuxarıda aldığımız nkgkk ng

ekvivalent formulundan aydındır ki, 0gk yalnız o vaxt olur ki,

nk paralellik şərti ödənsin. Lakin, k vektoru əyrisinin

əyrilik vektoru olduğundan M nöqtəsində əyrisinin

çoxtoxunan müstəvisinə paraleldir, n isə F səthinin həmin

nöqtədə normalın vahid vektorudur. Beləliklə, alırıq ki, geodezik

xətt, o xassəsi ilə xarakterizə olunur ki, onun hər bir nöqtəsində

98

çoxtoxunan müstəvisi həmin nöqtədə səthə çəkilmiş normaldan

keçir. Məsələn, bu xarakteristikadan aydındır ki, sferada böyük

çevrələr geodezik xətlərdir.

Səthin geodezik xətləri haqqında aşağıdakı teoremi isbat

edək.

Teorem 1. Tutaq ki, F səthi 2kC k sinfindən olan

hamar səthdir. Hər bir FM 0 nöqtəsindən, səthin 0M

nöqtəsinin kifayət qədər kiçik ətrafında hər bir istiqamət üzrə

geodezik xətt keçir və həm də o yeganədir.

Isbatı. Tutaq ki, verilmiş F səthi üzərində

ssuu , (1)

tənlikləri ilə verilmiş hamar əyridir. Bundan əvvəlki, paraqrafda

aldığımız gkk g formulundan aydındır ki, bu əyri o vaxt və

yalnız o vaxt geodezik xətt olur ki, 0k olsun, yəni k

vektorunun koordinatları sıfıra bərabər olsun. Onda bundan

əvvəlki paraqrafda k vektorun ur və r vektorları üzrə ayrılış

formulundan alarıq ki,

02

02

2

2

22

2

12

2

2

112

2

2

1

22

1

12

2

1

112

2

ds

dQ

ds

d

ds

duQ

ds

duQ

ds

d

ds

dQ

ds

d

ds

duQ

ds

duQ

ds

ud

(2)

olur.

Beləliklə, (1) tənliyi ilə verilən F əyrisi, o zaman və

ancaq, o zaman geodezik əyri olacaq ki, ssu , funksiyaları

(2) ikitərtibli diferensial tənliyinin həlli olsun. ((2) sistemində

məchullar elə su və s funksiyalarıdır).

F səthi 2kc k sinfindən olan hamar səth

olduğundan, ,uQQ k

ij

k

ij 2,1,, kji funksiyaları u və

dəyişənlərinin verildiyi G oblastında kəsilməzdirlər; deməli (2)

99

sistemində k

ijQ əmsalları müəyyən bir G oblastında

kəsilməzdirlər.

Diferensial tənliklər nəzəriyyəsindən məlumdur ki, bu

halda s dəyişənin kifayət qədər kiçik dəyişmə aralığında (2)

sisteminin

00

uuss

,

00

ss

, ads

du

ss

0

, bds

d

ss

0

(3)

başlanğıc şərtləri daxilində yeganə ssu , həlləri vardır, harda

ki, Gu 00, və ba, ədədlərindən heç olmazsa, biri sıfırdan

fərqlidir.

Yuxarıda deyilənlərin həndəsi mənası o deməkdir ki,

ixtiyari Gu 00, verilmiş nöqtəsinə müəyyən bir FM 0

nöqtəsi uyğun gəlir ki, a və b ədədləri 0M nöqtəsində

suu : , s əyrisinə toxunanı təyin edir. Buradan da

teoremin doğruluğu aydındır.

Qeyd. Əgər səth üzərində olan əyri müəyyən bir düz xətt

üzərindədirsə, onda aydındır ki, onun hər bir nöqtəsində əyrilik

0k olar və bundan əvvəlki paraqrafda k vektoru üçün

verilən (3) ayrılışından aydındır ki, həmin əyrinin hər bir

nöqtəsində 0k olar, yəni verilən əyri səth üzərində

geodezikdir. Xüsusi halda, buradan aydındır ki, müstəvi üzərində

düz xətlər geoderik xətlərdir və isbat etdiyimiz teoremdən

aydındır ki, müstəvi üzərində onlardan başqa geodezik əyrilər

yoxdur. Eyni ilə aydındır ki, sferanın hər bir nöqtəsində ixtiyari

istiqamət üzrə keçən yeganə böyük çevrənin də geodezik

olduğunu nəzərə alsaq, deyə bilərik ki, sfera üzərində geodezik

xətlər ancaq böyük çevrələrdir.

İndi isə göstərək ki, 2kc k sinfindən olan F hamar

səthinin hər bir FM nöqtəsinin kifayət qədər kiçik ətrafında,

birinci kvadrarik formanı müəyyən bir xüsusi şəkildə vermək olar.

100

Hesab edək ki, FF 0 səthi elementar səthdir. Əgər 0F

səthi üzərində ortoqonal şəbəkəni təşkil edən xətlər ailəsinin biri

geodezikdirsə, onda həmin şəbəkə yarımgeodezik şəbəkə adlanır.

Tutaq ki, FM ixtiyari nöqtədir. Onda həmin nöqtəni

özündə saxlayan müəyyən bir FF 0 səthi üzərində

yarımgeodezik şəbəkə qurmaq olar. Bunun üçün M nöqtəsindən

F səthi üzərində hamar əyrisi keçirək. Şəbəkənin bir xətlər

ailəsi kimi geodezik ortoqonal xətlər ailəsini, digər ailə kimi isə

həmin geodezik xətləri düz bucaq altında kəsən xətlər ailəsi

götürək. Xüsusi halda, bu ailənin xətlərindən biri olacaqdır.

Qurulan hər iki ailə yarımgeodezik şəbəkə əmələ gətirir. Bu xətlər

ailəsinin hər biri uyğun diferensial tənliklər sisteminin vasitəsilə

təyin olunur, onda qurulan şəbəkə, M nöqtəsini özündə saxlayan

müəyyən bir FF 0 elementar səthində təyin olunacaqdır.

Fərz edək ki, 0F səthi üzərində ,u koordinat şəbəkəsi

yarımgeodezikdir və həm də u xətləri geodezikdirlər. Onda (1)

tənliyi bu xətlər üçün su , 0 olur və 0ds

d, 0

2

2

ds

d ,

amma 0ds

du olduğundan (2) sisteminin ikinci tənliyindən tapırıq

ki, 02

11 Q olur. Onda birinci paraqrafda 1

11Q və 2

11Q əmsallarını

təyin etmək üçün (6) sisteminin ikinci tənliyindən və

1112

2

1

uruu (birinci paraqrafda (10)-cu düsturdan) alırıq ki,

11122

1122

1

11212

1

uQQ (4)

olur.

Bizim halda 02

11 Q və 02112 olduğundan (çünki

koordinat şəbəkəsi ortoqonaldır) (4)-dən alırıq ki, 011

olur.

101

Deməli, 11 ancaq u dəyişənin funksiyasıdır, yəni u1111

olar. Onda 0F səthinin birinci kvadratik forması

2

22

2

11

2 , duduuds

şəklində olar. udduu 11 qəbul edək. Yəni,

cduuu 11 əvəzləməsini etsək, onda

2

22

22 dudds

alınar.

Deməli, belə bir əvəzləmə etsək, alarıq ki, əgər FF 0

səthinin ,u koordinat sistemi yarımgeodezikdirsə və u xətləri

geodezikdirsə, onda həmin səthin birinci kvadratik forması 2

22

22 dduds (5)

şəklində olar.

İndi isə, hamar səth üzərində iki müxətlif nöqtə arasındakı

məsafəni nəzərdən keçirək. Tutaq ki, F hamar səth, 21,MM isə

həmin səthin iki müxtəlif nöqtələridir. 21,MML ilə ucları 1M və

2M olan həmin səth üzərində bütün hamar qövslərin uzunluqları

çoxluğunu işarə edək. Həmin çoxluq, aydındır ki, aşağıdan

məhduddur (məsələn sıfırla), deməli, onun 21,MMF kimi işarə

olunan aşağı sərhəddi var ki, ona da F səthi üzərində 1M və 2M

nöqtələri arasında məsafə deyilir, yəni

2121 ,inf, MMLMMF

kimi təyin olunur. Geodezik xətlərin mühüm xassəsini ifadə edən

aşağıdakı teoremi isbat etmək olar.

Teorem 2. Əgər 21,MM nöqtələri, F səthi üzərində

geodezik əyrisi üzərindədirlərsə və 21,MMF məsafəsi kifayət

qədər kiçikdirsə, onda bu məsafə geodezik əyrisinin 21MM

qövsünün uzunluğudur.

102

Geodezik xətlərin bu teoremdə deyilən, eləcə də yuxarıda

verdiyimiz teorem 1-dəki xassəsindən aydındır ki, səth üzərində

geodezik xətlər, elə müstəvi üzərində düz xətlərin analoqudur.

Məsələ. cosux , sinuy ,

1ln2

11

2

22 uuuu

z səthinin

geodezik xətlərini tapın.

Həlli. Verilən funksiyanın xüsusi törəmələrini tapaq.

cosux , sinuyu ,

112

1

121

2

1 2

22

22

u

uu

uuzu

sinux , cosuy , 0z

Onda 2

11 u , 012 , 2

22 u

və 42

122211 u

olar. Sonra, ,u -yə nəzərən (2) diferensial tənliklər sisteminin

ikinci tənliyində nəzərə alsaq, ikinci tənlik aşağıdakı şəkil alar.

02

2

2

ds

d

ds

du

uds

d .

Buradan

02

ds

du

ds

d

və ya

1

2 Cds

du

, dsCdu 1

2 , 22

1

24 dsCdu

olduğunu alarıq. 22222 dduuds olduğundan 222

1

222

1

24 duCduuCdu

və ya 22

1

22

1

22 dCduCdu

103

22

1

221

1 dCuduC , dCuduC 2

1

2

1 2

2

1

2

1

Cu

duCd

,

2

1

212

Cu

duCC

2

1

2

12 ln CuuCC .

Deməli, verilmiş səth üzərində geodezik xətlər

2

1

2

12 ln CuuCC

xətlərindən ibarətdir.

§4. İzometrik səthlər. Səthlərin əyilməsi

Tərif 1. 1S və 2S hamar səthlərinin nöqtələri arasında elə

qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq yaratmaq mümkündürsə ki, bu

uyğunluqda öz aralarında uyğun olan əyrilərin qövsləri uzunluğu

bərabər olur, onda belə səthlərə izometrik səthlər deyilir. Başqa

sözlə, 1S və 2S hamar səthləri üçün 21: SSf biyektiv inikası

hər bir 1S hamar qövsünün uzunluğunu saxlayırsa, onda belə

səthlər izometrik səthlər, f isə izometriya adlanır.

Fərz edək ki, 1S və 2S səthləri uyğun olaraq ,11 urr ,

,22 urr tənlikləri ilə verilmiş və 21: SSf inikası 1S

səthinin 2S səthinə izometrik inikasından ibarətdir. 1S səthi

üzərində ,u əyrixətli koordinatları təyin olunmuşsa və ,uM

nöqtəsi f inikasında MfM nöqtəsinə uyğunsa, onda həmin

,u koordinatlarını M nöqtəsinin də koordinatları hesab etmək

olar. Bu əməliyyatı 1S səthinin bütün nöqtələrində tətbiq etsək,

2S səthi üzərində əyrixətli koordinatlar sistemi təyin etmiş oluruq.

Göstərilən koordinat sistemində 1S səthinin birinci kvadratik

forması

2

2212

2

11

2 ,2 ddudududs (1)

104

şəklindədirsə, onda 1S və

2S səthləri izometrik olduğundan

asanlıqla göstərmək olar ki, (1) kvadratik forması 2S səthinin də

birinci kvadratik forması olacaq.

Doğrudan da, səthlər izometrik olduğundan, qeyd olunan

inikasda səthlər üzərindəki uyğun qövslərinin s uzunluqları və

ona görə də onların ds diferensialları da bərabərdir. Sonra

dttudu , dttd diferensialları ixtiyari olduğundan, bu

nəticəyə gəlirik ki, hər iki səthin birinci kvadratik formalarının

,11 u , ,12 u , ,22 u əmsalları eyni olar. Bu təklifin tərsi

də doğrudur. Beləliklə, alırıq ki, iki 1S və 2S səthi, o zaman və

ancaq o zaman, izometrik olar ki, onların uyğun nöqtələrində

birinci kvadratik formalarının əmsalları üst-üstə düşsün.

Səthin əyilməsi haqqındakı məsələ izometrik səthlər

anlayışı ilə sıx bağlıdır. 1,0t parametrindən asılı olan elə tS

requlyar səthlər ailəsi varsa ki, bütün t lər üçün tS səthləri bir-

birinə izometrik olub və 0t olduqda tS səthi 0S ilə, 1t

olduqda isə 1S ilə üst-üstə düşür, onda 0S və 1S requlyar

səthlərindən hər biri digərinin əyilməsi nəticəsində alınmışdır

deyilir. S səthi hər hansı səthin əyilməsi nəticəsində alınarsa,

onda ona əyilə bilən səth deyilir.

Səthin əyilməsinə aid olaraq düzbucaqlı kağız vərəqinin

düz dairəvi silindrin yan səthinə əyilməsini misal göstərmək olar.

Şəkil 15-də 11AABB düzbucaqlısının AB tərəfi 11BA tərəfi

üzərinə elə qoymaqla düz dairəvi silindri alınmışdır ki, AB

tərəfinin ixtiyari M nöqtəsi 11BA tərəfinin uyğun 1M nöqtəsi

üzərinə düşür.

105

a) b)

Şəkil 15

Beləliklə, alınan b) düz dairəvi silindri a) 11AABB

düzbucaqlısının əyilməsi nəticəsində alınan fiqurdur.

Aşkardır ki, əyilmə nəticəsində fəzada səthin forması

dəyişir, lakin bu halda həm sıxılma və həm də dartılma əməliyyatı

aparılmadığından onun üzərində olan əyri qövslərinin uzunluqları

dəyişməz. Ona görə də əyilmə əməliyyatı ilə istənilən qədər

müxtəlif izometrik requlyar səthlər qurmaq olar.

Göstərmək olar ki, requlyar səthlər ümumiyyətlə desək

“kiçik hissədə” əyiləbiləndirlər. Lakin, elə səthlər var ki,

“bütövlükdə” əyiləbilməyəndir. Məsələn, bütün sfera

əyiləbilməyəndir.

Bu deyilənləri nəzərə alsaq belə nəticəyə gəlirik ki, səthin

əyilməsi nəticəsində:

1) Səth üzərində ixtiyari requlyar əyrinin uzunluğu saxlanılır.

2) İki əyri arasındakı bucaq və səthin sahəsi saxlanılır.

3) Səthin qauss əyriliyi saxlanılır.

4) Səth üzərində istənilən hamar əyrinin geodezik əyriliyi

saxlanılır.

5) Səthin tam əyriliyi saxlanılır.

B 1B

A 1A

M 1M

1, AA

1,MM

1,BB

106

§5. Qauss-Bonne teoremi

Fərz edək ki, S hamar səthdir, S səthi üzərində dairəyə

homeomorf olan G oblastına baxaq. Bu oblastın L sərhəddi bir-

biri ilə kəsişən sonlu sayda hamar n ,...,, 21 əyrilərindən əmələ

gəlmiş olsun.

Belə L xəttinə hissə-hissə hamar

xətt, onu əmələ gətirən hamar

əyrilərə isə onun tərəfləri deyilir.

n ,...,, 21 əyrilərinin əmələ

gətirdikləri bucaqları n ,..,, 21

ilə işarə edək (şəkil 16).

İsbatsız olaraq aşağıdakı teoremi qeyd edək.

Teorem 1 (Qauss-Bonne teoremi). SL üçün aşağıdakı

düstur doğrudur.

n

i

n

i L

ig

i

kddsk1 1

2

(1)

burada gk – geodezik əyrilik, k –səthin Qauss əyriliyi,

dudd 2

122211 isə səth sahəsinin elementidir. (1)

düsturuna Qauss-Bonne düsturu deyilir.

İndi, tutaq ki, i tərəfləri geodezik xətlərdən əmələ

gəlmişdir. Bu halda G oblastına geodezik çoxbucaqlı deyilir.

Onda Qauss-Bonne düsturu ( 0gk olduğundan)

L

n

i

i kd 21

(2)

şəkli alacaq.

ii

bucaqları G geodezik çoxbucaqlının xarici bucaqlarıdır; ona görə

(2) düsturuna geodezik çoxbucaqlının xarici bucaqları cəminin

düsturu kimi baxmaq olar:

S

i

i 1i

Şəkil 16

L

107

L

n

i

i kd 21

Müstəvi halı üçün ( 0k

olduğundan) 21

n

i

i olduğunu

alırıq ki, bu da elementar həndəsə

kursundan məlum olan düsturdur.

Sərhəddi üç geodezik

xətdən ibarət olan geodezik

çoxbucaqlıya geodzik üçbucaq

deyilir (şəkil 17).

fərqinə geodezik üçbucağın defekti

deyilir.

Geodezik üçbucağın bucaqlarını ,, ilə işarə etsək, (2)

düsturundan alınır ki,

kd (3)

olur. Burada

kəmiyyəti, geodezik üçbucağının artığı adlanır.

kd

Kəmiyyəti isə həmin geodezik üçbucağın inteqral əyriliyi adlanır.

Indi isə, sabit qauss əyrilikli səthlərə baxaq. Belə səthlər

üzərində geodezik üçbucaq üçün (3) Qauss-Bonne düsturu

Sk0 (4)

şəklini alar; burada

Sd olar. Burada S – geodezik

üçbucağın sahəsidir. (4) bərabərliyindən görünür ki, 00 k

olduqda, geodezik üçbucağın artığı bu üçbucağın sahəsi ilə

mütənasibdir. Geodezik üçbucağın çox mühüm xassəsini

aşağıdakı teoremdə vermək olar.

S

1

1 2

3

3

2

Şəkil 17

108

Teorem 2. Geodezik üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi:

a) səth üzərində 0K olduqda -dən böyükdür

b) səth üzərində 0K olduqda -dən kiçikdir

v) səth üzərində 0K olduqda -yə bərabərdir.

İsbatı. a) bəndini isbat edək. Tutaq ki, SL – geodezik

üçbucaqdır. L fiquru üç 221 ,, qövsdən ibarət olub geodezik

xətlərdir. Bu halda (1) düsturundan alarıq ki, 3n , 0gk . Onda

(1) düsturu

3

1

2i L

i Kd şəklinə düşər. Buradan da

alırıq ki,

L

kd 321 (5)

olur.

Geoderik üçbucağın bütün nöqtələrində 0k olduqda

alırıq ki, 0L

kd olur. Onda alırıq ki, teorem 2-nin a) bəndi

doğrudur. Oxşar qayda ilə b), v) bəndlərini də isbat etmək olar.

109

ƏDƏBİYYAT

1. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия, ч.II-

М.:Просвещение, 1975.

2. Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы топологии и

дифференциальная геометрия. М; Наука, 1985.

3. Büşğens S.S. Diferensial həndəsə, ADU nəşriyyatı, 1951.

4. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия–М.

Наука, 1969.

5. Yusifzadə B.A., Axundov S.S.,Qasımov Q.M., Qulam S.

Ali həndəsə məsələləri. APİ-nin nəşri, 1972.

6. Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в

дифференциальную геометрию «в целом»,– М:

Наука, 1973.

7. Щербаков Р.Н., Лучинин А.А. Краткий курс

дифференциальной геометрии. Томск, 1974.

110

MÜNDƏRİCAT

GİRİŞ.............................................................................................3

I FƏSİL.TOPOLOGİYANIN ELEMENTLƏRİ.......................5

§1. Metrik fəzalar..........................................................................5

§2. Topoloji fəzalar.....................................................................10

§3. Kəsilməzlik və homomorfizm..............................................15

§4. Ayrilma, kompaktlıq. Əlaqəlilik..........................................20

II FƏSİL......................................................................................23

§1. Skalyar arqumentli vektor-funksiyalar..............................23

§2. Əyri anlayışı..........................................................................28

§3. Hamar əyri...........................................................................32

§4. Əyrinin verilmə üsulları.......................................................35

§5. Toxunan.................................................................................37

§6. Əyrinin uzunluğu..................................................................43

§7. Əyrinin təbii parametri........................................................44

§8. Əyrinin əyriliyi......................................................................48

§9. Çoxtoxunan müstəvi.............................................................55

§10. Əyrinin buruqluğu..............................................................61

§11. Frene düsturları..................................................................65

§12. Vint xətti..............................................................................69

III FƏSİL.....................................................................................71

§1. Səth anlayışı...........................................................................71

§2. Hamar səthlər və verilmə üsulları.......................................75

§3. Səth üzərində nöqtənin əyrixətli koordinatları..................77

§4. Səthə toxunan müstəvi və normal.......................................79

§5. Səthin normalı.......................................................................83

§6. Səthin I kvadratik forması...................................................88

§7. Səth üzərində əyrilər arasındakı bucaq..............................92

§8. Səth üzərində qapalı oblastın sahəsi...................................96

111

§9. Səthin II kvadratik forması.................................................97

§10. Səth üzərində əyrinin əyriliyi...........................................102

§11. Səth nöqtələrinin təsnifatı................................................104

§12. Baş əyriliklər.....................................................................106

§13. Səthin tam və orta əyriliyi................................................109

§14. Sabit əyrilikli səthlər.........................................................116

IV FƏSİL...................................................................................117

§1. Səthin daxili həndəsəsi. Derivasion düsturları.................117

§2. Qauss teoremi. Səth üzərində xəttin geodezik əyriliyi.....120

§3. Geodezik xətlər....................................................................123

§4. İzometrik səthlər. Səthlərin əyilməsi.................................129

§5. Qauss-Bonne teoremi..........................................................132

Ədəbiyyat...................................................................................135

112