Polynomifunktiot MA 02

Läsnäolovelvollisuus Poissaolojen selvitys Käyttäytyminen Tuntiaktiivisuus Kotitehtävien tekeminen Tunnit muodostavat n. 50 % matikan

oppimisesta

Etäisyys lukusuoralla

Mitä tarkoittaa luvun itseisarvo? Luvun itseisarvo on luvun etäisyys nollasta Merkitään |a|

Esim.

Itseisarvon määritelmä s. 12

1. asteen epäyhtälö

Ratkaistaan samalla tavalla kuin normaali ensimmäisen asteen yhtälö, mutta jos jaetaan tai kerrotaan negatiivisella luvulla,

niin epäyhtälön suunta muuttuu Esim. jos epäyhtälö -6 < 12 kerrotaan tai

jaetaan luvulla -2, niin kuinka käy?

Esim. Ratkaise epäyhtälö

Funktio Esim. Jarrutusmatka on suoraan

verrannollinen nopeuden neliöön. Muodosta funktio, missä jarrutusmatka s saadaan nopeuden v avulla.

s = kv2

Yleensä funktiota merkitään f(x) tai g(x) Esim. funktio f(x) = 30 + 0,30x voisi ilmoittaa,

että auton vuokra maksaa 30e päivä ja 0,30e kilometriltä

Funktio Esim. f(x) = 5 + 3x Laske f(10) Mitkä ovat funktion nollakohdat?

Laske milloin f(x) = 5 +3x = 0 Miten piirrän funktion kuvaajan? (Laskimella

ja ilman) Miten kuvaajasta näkee funktion nollakohdat?

nollakohdat ovat kuvaajassa x-akselin leikkauspisteitä

Funktion kuvaaja

Funktion määrittelyjoukko Funktion määrittelyjoukko tarkoittaa niitä x:n

arvoja, joita funktioon voidaan syöttää Esim. f(x) = 5 + 3x on määritelty

kaikilla x:n arvoilla eli määrittelyjoukko on koko reaalilukujen joukko

Funktion määrittelyjoukko

Esim. Laske funktion määrittelyjoukko

Piirrä kuvaaja Laske funktion

nollakohta

Polynomilaskennan kertaus ja täydennys Esim. 4. asteen

polynomi Yleisesti ottaen kaikki

polynomifunktiot ovat määritelty kaikilla reaaliluvuilla

1. asteen polynomi on suora y = kx + b Milloin suora on nouseva

kun kulmakerroin k>0 Milloin suora on laskeva

kun kulmakerroin k<0

Polynomien summa ja erotus

Kertaa s. 37 - 39

Polynomien tulo

Esim.

Yhteisen tekijän ottaminen Jotta yhtälön ratkaisu tai supistaminen onnistuu,

niin polynomeista monesti halutaan etsiä yhteisiä tekijöitä

Esim. Etsi yhteiset tekijät

Polynomien jakolasku

Vaatii monesti yhteisen tekijän ottamisen Esim.

Polynomien tulo

Jokaiselle termillä kerrotaan jokainen kerrottava.

Esim.

Summan ja erotuksen tulo

Esim.

Esim. Tekijöihin jako

Jaa tekijöihin ja supista

Summan neliö

Esim.

Erotuksen neliö

Esim.

Muistikaavat

Neliöksi täydentäminen

Pyritään saamaan muistikaava lisäämällä jokin sopiva termi

Esim.

2. asteen funktio ja yhtälö

f(x) = ax2 + bx +c Kuvaaja paraabeli Kuvaaja symmetrinen

huipun suhteen Nollakohdat ovat x-

akselin leikkauspisteitä

Huippu

Nollakohdat

Paraabelin aukeamissuunta

f(x) = ax2 + bx +c Kun a > 0, niin

paraabeli aukeaa ylöspäin

Paraabelin aukeamissuunta

f(x) = ax2 + bx +c Kun a < 0, niin

paraabeli aukeaa alaspäin

Esim.

Piirrä funktio f(x) = f(x) = x2 - x - 2 Mitkä ovat funktion nollakohdat? Missä pisteessä on kuvaajan huippu? Piirrä myös laskimella, jos moinen laskin on

ja tarkista laskimesta samat asiat

2. asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärä ax2 + bx +c Ratkaisuja eli nollakohtia eli juuria voi olla

kaksi

yksi

ei yhtään

Esim.

Ratkaise yhtälö

2. asteen yhtälön ratkaisukaava ax2 + bx +c = 0

Esim.

Ratkaise yhtälö

Ratkaise yhtälö

Sovelluksia

Kultainen leikkaus eli kultainen suhde saadaan, kun jana jaetaan kahteen osaan niin, että lyhyemmän osan suhde pidempään osaan on sama kuin pidemmän osan suhde koko janaan.

Lue lisää: http://fi.wikipedia.org/wiki/Kultainen_leikkaus

Esim.

Kirjan tai rakennuksien muoto noudattaa likipitäen kultaisen leikkauksen ideaa.

Navan korkeus antiikin kreikan kauneusihanteen mukaan

2. asteen epäyhtälö

Milloin vuorokauden lämpötila on korkeampi kuin 0 astetta. Entäs pakkasen puolella.

Esim.

Diskriminantti ja ratkaisujen lukumäärä 2. asteen yhtälöllä voi olla kaksi, yksi tai ei yhtään

ratkaisua.

Ratkaisujen lukumäärä nähdään ratkaisukaavan diskriminantista

Kun D>0, niin yhtälöllä on kaksi ratkaisua

Kun D=0, niin yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu

Kun D<0, niin yhtälöllä ei ole ratkaisua.

Tulon nollasääntö

Esim. ratkaise yhtälö 2x2 + 2x = 0

Esim. ratkaise yhtälö x2 +4x + 4 = 0

Tulon nollasääntö

Esim. Ratkaise yhtälö (x - 2)4(6x +2)(x-3)=0

Korkeamman asteen yhtälöt

Esim.

Korkeamman asteen epäyhtälöt Piirrä kuvaaja, jos mahdollista. (Laskimella). Ratkaise korkeamman asteen nollakohdat Tee ns. merkkikaavio Katso merkkikaaviosta (ja tarkasta

kuvaajasta) epäyhtälön ratkaisut Esim.

Nollakohtien ja tekijöiden yhteys