M. Salerno Tor N – polo e bipolo - uniroma2.it · Tor Vergata M. Salerno Componenti – Dominio...

Tor Vergata

M. Salerno 1Componenti – Dominio del tempo

N – polo e bipolo

Componente elettricoN - polo

TerminaliPoliMorsetti


Il componente interagisce elettricamente con altri componenti solo per mezzo dei morsetti

Le grandezze elettriche di interesse sono solo le tensioni e le correnti relative ai morsetti

Tor Vergata


N – polo e bipolo






Bipoloa

Nel caso del bipolo interessano:una tensione fra i morsetti (funzione del tempo) va(t) una corrente entrante (funzione del tempo) ia(t)

Versi di riferimento (obbligatori):Versi di riferimento (obbligatori):per la tensione: segno

+

+va

t

1 2

o la tensione del morsetto 1 è maggiore di quella del morsetto 2

ola tensione del morsetto 1 è

minore di quella del morsetto 2

Tor Vergata


N – polo e bipolo






Bipoloa

Nel caso del bipolo interessano:una tensione fra i morsetti (funzione del tempo) va(t) una corrente entrante (funzione del tempo) ia(t)

Versi di riferimento (obbligatori):Versi di riferimento (obbligatori):per la tensione: segno

+

+va

t

1 2

o la tensione del morsetto 1 è maggiore di quella del morsetto 2

ola tensione del morsetto 1 è

minore di quella del morsetto 2

per la corrente: segnoia

t

o la corrente entra nel morsetto 1 ed esce dal morsetto 2

ola corrente entra nel morsetto 2

ed esce dal morsetto 1

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Bipolo: versi coordinati

Bipoloa

Caso 1 : il segno + della tensione si trova sul morsetto da cui entraentra la freccia della corrente

+

La potenza pLa potenza paa(t) = v(t) = vaa(t) i(t) iaa(t) è potenza (t) è potenza entranteentrantepa

t

o la potenza elettrica entranel bipolo

o la potenza elettrica escedal bipolo

Convenzione della potenza entrante: il segno + della tensione si trova sul morsetto da cui entraentra la freccia della corrente

Tor Vergata


Bipolo: versi coordinati

Bipoloa

Caso 1 : il segno + della tensione si trova sul morsetto da cui entraentra la freccia della corrente

+

La potenza pLa potenza paa(t) = v(t) = vaa(t) i(t) iaa(t) è potenza (t) è potenza entranteentrantepa

t



Convenzione della potenza entrante: il segno + della tensione si trova sul morsetto da cui entraentra la freccia della corrente

a+Caso 2 : il segno + della tensione si trova sul morsetto da cui

esceesce la freccia della corrente

La potenza pLa potenza paa(t) = v(t) = vaa(t) i(t) iaa(t) è potenza (t) è potenza uscenteuscentepa

t



Convenzione della potenza uscente: il segno + della tensione si trova sul morsetto da cui esceesce la freccia della corrente

tensione in Volt (V); corrente in Ampère (A); potenza in Watt (W)

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Resistore ideale

+Convenzione della potenza entrante

R resistenza

v(t) = R i(t)equazione di definizione

del componente

L’equazione di definizione è legata alla sceltaL’equazione di definizione è legata alla sceltadei versi coordinati di tensione e dei versi coordinati di tensione e correntecorrente

+v(t) = - R i(t)

Convenzione potenza uscente

v, i

tLeLe forme d’onda forme d’onda di tensione e di di tensione e di correntecorrenteseguonoseguono lolo stesso andamentostesso andamento

tensione in Volt (V); corrente in Ampère (A); resistenza in Ohm (Ω)

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Resistore ideale: proprietà

+ R

v(t) = R i(t)

Potenza Potenza entrante: entrante: p(t) = v(t) i(t) = R ip(t) = v(t) i(t) = R i22(t) (t) >> 0 , per R > 00 , per R > 0

Se R > 0, laSe R > 0, la potenza potenza entrante non èentrante non è mai negativamai negativa: p(t) : p(t) >> 00

IlIl resistoreresistore ((positivopositivo) è un) è un componente dissipativocomponente dissipativo(vi è un(vi è un trasferimento irreversibile trasferimento irreversibile di di energia elettricaenergia elettricaversoverso il componenteil componente))

Se R < 0Se R < 0 il resistoreil resistore èè detto negativodetto negativo.. Allora risultaAllora risulta p(t) p(t) << 0 0 IlIl resistore negativo fornisce energiaresistore negativo fornisce energia alal circuitocircuito

Tor Vergata


DaDa v(t) = R i(t)v(t) = R i(t) si ottienesi ottiene i(t) = (1/R) v(t),i(t) = (1/R) v(t), ovveroovveroi(t) = G v(t),i(t) = G v(t), oveove G = 1/R èG = 1/R è detta detta conduttanzaconduttanza deldel resistoreresistore

Resistore ideale: proprietà

+ R

v(t) = R i(t)

PotenzaPotenza: : p(t) = v(t) i(t) = vp(t) = v(t) i(t) = v22(t) / R = G v(t) / R = G v22(t) (t) tensione in Volt (V); corrente in Ampère (A); conduttanza in Mho (Ω −1)

DaDa v(t) = R i(t) e i(t) = G v(t)v(t) = R i(t) e i(t) = G v(t) sisi haha cheche,, istanteistante perper istanteistante,,la formala forma d’onda d’onda di tensione di tensione susu unun resistoreresistore seguesegue quella quella di di correntecorrente, e, e viceversaviceversa.. SiSi dicedice allora che il resistoreallora che il resistore è unè uncomponente istantaneocomponente istantaneo (o(o senza memoriasenza memoria))

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Resistore realeResistori reali sono presenti nei circuiti elettrici:a) come effettivi componenti circuitali

R > 0; la potenza p(t) è dissipata nel resistore come potenza termica

b) come elementi di schemi equivalenti:in dispositivi elettronici, R 0 ;in apparati nei quali la potenza elettrica p(t) è trasformatain modo irreversibile in altra forma di energia:

esempi: ai morsetti di elementi di illuminazione (energia luminosa)ai morsetti di apparati di antenna (energia elettromagnetica)ai morsetti di alcuni tipi di motori elettrici (energia meccanica)

><

Valori di R : da qualche mΩ (10-3 Ω ) a varie centinaia di MΩ (106 Ω )in apparati audio: qualche kΩ (103 Ω )in apparati video: intorno ai 100 Ω

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Resistore reale: alcune cause di non idealità

v

i

corrente massima imax

imax

tensione massima vmaxvmaxpotenza massima pmax (da pochi mW a

qualche MW)Il resistore è sempre fornito con l’indicazione della potenza massima(Sistema di raffreddamento)(Tempo massimo di funzionamento)

Caso IDEALEv(t) = R i(t)per i = 0si ha v(t) = 0

Caso REALEper i = 0si ha vr(t) = 0/

vr(t) Tensione di rumore

tLa tensione di rumore è funzione di R e della temperatura (assoluta)

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Induttore ideale

+Convenzione potenza entrante

L induttanza

v(t) = L d i(t)d t +

Convenzione poten

equazione di definizionedel componente

d t

Dalla equazione di definizione si ottiene:ove t0 è un istante precedente a t

i (t ) = v(τ) dτ + i (t0 )L1

t0

t∫

LeLe forme d’onda forme d’onda di tensione e di di tensione e di corrente sucorrente su unun induttore induttore sono differentisono differenti e none non c’è legame istantaneoc’è legame istantaneo.. SiSi dicedice allora che allora che l’induttorel’induttore è unè un componentecomponente concon memoriamemoria

tensione in Volt (V); corrente in Ampère (A); induttanza in Henry (H)

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Induttore ideale: potenza assorbita

+v(t) = L d i(t) / d t

L

Potenza Potenza entrante: entrante: p(t) = v(t) i(t) = L i (t) [d i(t) / d t ] 0p(t) = v(t) i(t) = L i (t) [d i(t) / d t ] 0>><<

IlIl segno della potenza dipende dal valoresegno della potenza dipende dal valore ee dall’andamento dall’andamento di i(t)di i(t)Esempi i

tp > 0

i

tp < 0

i

tp < 0

i

tp > 0

AA secondaseconda deldel segnosegno ee dell’andamento della correntedell’andamento della corrente,,l’induttore assorbel’induttore assorbe o cedeo cede potenzapotenza alal circuitocircuito.. PertantoPertantol’induttorel’induttore è unè un componente reattivocomponente reattivo

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Induttore ideale: energia

+v(t) = L d i(t) / d t

L

Energia immagazzinataEnergia immagazzinata (per L > 0) : (per L > 0) :

E = p(t) d t = L i (t) [d i(t) / d t ] d t = L iE = p(t) d t = L i (t) [d i(t) / d t ] d t = L i d i = L i d i = L i 22 >> 00_1_ _1_ 22∫∫ ∫∫ ∫∫

L’energia immagazzinataL’energia immagazzinata in unin un induttore dipende dallainduttore dipende dallacorrentecorrente e non èe non è mai negativamai negativa (per L > 0)(per L > 0)

LoLo stato energetico stato energetico di undi un induttoreinduttore èè funzione della correntefunzione della correnteNell’induttoreNell’induttore, i(t) è, i(t) è una una variabile variabile di di statostato

corrente in Ampère (A); induttanza in Henry (Η); energia in Joule (J)

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Induttore ideale: proprietà

+v(t) = L d i(t) / d t

L

i

to

Energia immagazzinata E1 = 0

t1

ot1

oEnergia immagazzinata E2 > 0

t2

o

oEnergia immagazzinata E3 = 0

t3

Energia immagazzinata E2 > 0

Nell’intervallo [t1 , t2 ] l’induttore assorbe dal circuito l’energia E2Nell’intervallo [t2 , t3 ] l’induttore restituisce al circuito l’energia E2

Nell’induttoreNell’induttore vi è unvi è un trasferimento reversibile trasferimento reversibile di di energiaenergiaL’induttore idealeL’induttore ideale è unè unComponente senza perdite energeticheComponente senza perdite energetiche

In questo circuito ideale la corrente è costanteRisulta costante anche l’energia immagazzinata

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In unIn un induttore idealeinduttore ideale non vinon vi sono particolari condizionisono particolari condizionisulla funzionesulla funzione v(t) (v(t) (cheche non ènon è una variabile una variabile di di statostato))Per laPer la funzionefunzione i(t) vii(t) vi sono invece delle limitazionisono invece delle limitazioni


+v(t) = L d i(t) / d t

L

Esempio

+

vi

t t

i0

i0

Tor Vergata




+v(t) = L d i(t) / d t

L

Esempio

+

vi

t t

i0

i0

t0

t0

All’istante t0 la corrente passa istantaneamente da i0 a zeroL’andamento di i(t) è incompatibile con l’equazione dell’induttoreAllo stesso istante l’induttore cede al circuito tutta l’energia immagazzinata

( ) p q

Tor Vergata




+v(t) = L d i(t) / d t

L

Esempio

+

vi

t t

i0

i0

t0

t0

All’istante t0 la corrente passa istantaneamente da i0 a zeroL’andamento di i(t) è incompatibile con l’equazione dell’induttoreAllo stesso istante l’induttore cede al circuito tutta l’energia immagazzinata

( ) p qSe si suppone che la corrente vada a zero in un intervallo piccolissimo,ma non nullo nell’intorno dell’istante t0 , si ottiene un picco di tensionenegativa molto elevata (detta extra-tensione di apertura)

Tor Vergata


Induttore realeLa principale causa di non idealità degli induttori realiè la presenza di un componente resistivo indesideratoposto in serie (resistore parassita)

L Rper R = 0 → induttore ideale

L’induttore reale non è un componente senza perditeSe l’energia immagazzinata E > 0, allora i = 0 / Se la corrente i = 0, allora vi è potenza dissipata sul resistore parassita / L’energia immagazzinata nell’induttore diminuisce con il tempo

Valori di L : da qualche µH (10-6 H ) a qualche H

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Condensatore ideale

+Convenzione potenza entrante

C capacità

i(t) = C d v(t)d t +

Convenzione pot

equazione di definizionedel componente

d t

Dalla equazione di definizione si ottiene:ove t0 è un istante precedente a t

v(t ) = i(τ) dτ + v (t0 )C1

t0

t∫

LeLe forme d’onda forme d’onda di tensione e di di tensione e di corrente sucorrente su unun condensatore condensatore sono differentisono differenti e none non c’è legame istantaneoc’è legame istantaneo.. SiSi dicedice allora che allora che il condensatoreil condensatore è unè un componentecomponente concon memoriamemoria

tensione in Volt (V); corrente in Ampère (A); capacità in Farad (F)

Tor Vergata


DualitàConfrontando le equazioni di definizione

dell’induttore e del condensatore si notano delle analogie. Si dice che i due componenti sono duali

v (t) = L d i (t)d t

E = L i 212

Tabella di dualitàv i

L C

Tor Vergata


DualitàConfrontando le equazioni di definizione

dell’induttore e del condensatore si notano delle analogie. Si dice che i due componenti sono duali

v (t) = L d i (t)d t

E = L i 212


L C

v

v

i C

C

v

v

Il principio di dualità è molto esteso e deriva dalle equazioni generali dell’elettromagnetismo. L’uso della tabella delle grandezze duali è molto utile anche a fini mnemonici

Tor Vergata


Potenza Potenza entrante: entrante: p(t) = v(t) i(t) = C v (t) [d v(t) / d t ] 0p(t) = v(t) i(t) = C v (t) [d v(t) / d t ] 0>><<

Condensatore ideale: potenza assorbita i(t) = C d v(t) / d t

C+

IlIl segno della potenza dipende dal valoresegno della potenza dipende dal valore ee dall’andamento dall’andamento di v(t)di v(t)Esempi v

tp > 0

v

tp < 0

v

tp < 0

v

tp > 0

AA secondaseconda deldel segnosegno ee dell’andamento della dell’andamento della tensione,tensione,il condensatore assorbeil condensatore assorbe o cedeo cede potenzapotenza alal circuitocircuito.. PertantoPertantoil condensatoreil condensatore è unè un componente reattivocomponente reattivo

Tutte le considerazioni sulla potenza assorbita dal condensatore ideale si possono ricavare da quelle relative all’induttore per mezzo del principio di dualità

Tor Vergata


Energia immagazzinataEnergia immagazzinata (per C > 0) : (per C > 0) :

E = p(t) d t = C v (t) [d v(t) / d t ] d t = C v d E = p(t) d t = C v (t) [d v(t) / d t ] d t = C v d v = C vv = C v22 >> 001 1 22∫∫ ∫∫ ∫∫

Condensatore ideale: energia i(t) = C d v(t) / d t

C+

L’energia immagazzinataL’energia immagazzinata in unin un condensatore dipende dallacondensatore dipende dallatensione e non ètensione e non è mai negativamai negativa (per C > 0)(per C > 0)LoLo stato energetico stato energetico di undi un condensatorecondensatore èè funzione della funzione della tensione.tensione. Nel condensatoreNel condensatore, v(t) è, v(t) è una una variabile variabile di di statostatotensione in Volt (V); capacità in Farad (F); energia in Joule (J)

Tutte le considerazioni sulla energia immagazzinata dal condensatore ideale si possono ricavare da quelle relative all’induttore per mezzo del principio di dualità

Tor Vergata


Condensatore ideale: proprietà i(t) = C d v(t) / d t

C+

v

to

Energia immagazzinata E1 = 0

t1

ot1

oEnergia immagazzinata E2 > 0

t2

o

oEnergia immagazzinata E3 = 0

t3

Energia immagazzinata E2 > 0

Nell’intervallo [t1 , t2] il condensatore assorbe dal circuito l’energia E2Nell’intervallo [t2 , t3] il condensatore restituisce al circuito l’energia E2

Nel condensatoreNel condensatore vi è unvi è un trasferimento reversibile trasferimento reversibile di di energiaenergiaIlIl condensatore idealecondensatore ideale è, comeè, come l’induttorel’induttore, un, unComponente senza perdite energeticheComponente senza perdite energetiche

+In questo circuito ideale la tensione è costanteRisulta costante anche l’energia immagazzinata

Tor Vergata



C+

In unIn un condensatore idealecondensatore ideale non vinon vi sono particolari condizionisono particolari condizionisulla funzionesulla funzione i(t) (i(t) (cheche non ènon è una variabile una variabile di di statostato))Per laPer la funzionefunzione v(t) viv(t) vi sono invece delle limitazionisono invece delle limitazioniEsempio iv

t t

v0+

Tor Vergata



C+


t t

v0+t0

t0

+

All’istante t0 la tensione passa istantaneamente da v0 a zeroL’andamento di v(t) è incompatibile con l’equazione del condensatoreAllo stesso istante il condensatore cede al circuito tutta l’energia immagazzinataL andamento di v(t) è incompatibile con l equazione del condensatore

Tor Vergata



C+


t t

v0+t0

t0

+

All’istante t0 la tensione passa istantaneamente da v0 a zeroL’andamento di v(t) è incompatibile con l’equazione del condensatoreAllo stesso istante il condensatore cede al circuito tutta l’energia immagazzinataL andamento di v(t) è incompatibile con l equazione del condensatore

Se si suppone che la tensione vada a zero in un intervallo piccolissimo,ma non nullo nell’intorno dell’istante t0 , si ottiene un impulso di corrente(negativa) molto elevata

Tor Vergata


Condensatore realeLa principale causa di non idealità dei condensatori realiè la presenza di un componente resistivo indesideratoposto in parallelo (resistore parassita)

C

R

Condensatore ideale per R ∞Conduttanza G= 1/R = 0

Il condensatore reale non è un componente senza perditeSe l’energia immagazzinata E > 0, allora v = 0 / Se la tensione v = 0, allora vi è potenza dissipata sul resistore parassita / L’energia immagazzinata nel condensatore diminuisce con il tempo

Valori di C : da qualche pF (10-12 F ) a qualche mF (10-3 F )

Tor Vergata


DualitàSulla base degli schemi equivalenti dell’induttore e del

condensatore reale, la tabella delle dualità può essere estesa nel modo seguente


L Cserie parallelo

R G

L R

Induttore ideale per R = 0

CC

R=1/GCondensatore ideale per G = 0

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Componenti reattivi realiPer l’induttore: corrente massima imax. Il superamento di imax comporta generalmente l’interruzione della connessione fra i morsetti

Per il condensatore: tensione massima vmax. Il superamento di vmax comporta generalmente l’instaurazione di una connessione diretta fra i morsetti (condensatore in corto circuito) Il condensatore è sempre fornito con

l’indicazione della tensione massima

Attenzione! Valori elevati di capacità, con vmax elevate, possono costituire pericolo per gli operatori. Esempio: C = 10 µF, con vmax = 1000 V, corrisponde a un’energia E = 0,5 x 10 J = 5 J, sufficiente a creare grave danno. Le condizioni di pericolo possono sussistere anche ad apparecchiature spente

In aggiunta ai componenti specifici, induttori sono presenti in molti schemi equivalenti di macchine elettriche, impianti elettrici, ecc. Nel caso di disinserzione rapida, tali dispositivi sono soggetti a extra-tensione di apertura. Condensatori equivalenti sono presenti fra conduttori affiancati, in presenza di sensibili differenze di potenziale.

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Generatore ideale di tensione

vg(t) tensione impressa

+v(t) = vg(t)equazione di definizione

del componente

L’equazione L’equazione di di definizione stabiliscedefinizione stabilisce unun andamento prefissatoandamento prefissato per la tensione v(t)per la tensione v(t)Tale tensione segueTale tensione segue l’andamentol’andamento vvgg(t),(t), indipendentemente dalla corrente cheindipendentemente dalla corrente chepercorre il componentepercorre il componente.. SiSi dicedice cheche vvgg(t) è(t) è una una grandezza impressagrandezza impressaEsempiEsempi vg

t

tensione sinusoidalevg(t) = sin t

vg

t

tensione costantevg(t) = V

Vvg

t

tensione nullavg(t) = 0

vg(t) = 0

equivalente a

corto circuito

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Generatore idealedi tensione vg(t)

+

Connessione serieConnessione serievg1(t)

+ +vg2(t) vg1(t) + vg2(t)

+

Connessione paralleloConnessione parallelovg1(t)+

vg2(t)+

ConnessioneConnessionenonnon validavalida

perpervg1(t) = vg2(t) /

Il parallelo di più generatori ideali di tensione (differenti) non è una connessione validapoiché più tensioni differenti sono applicate agli stessi morsetti.

Tor Vergata


Generatore idealedi tensione vg(t)

+

Connessione serieConnessione serievg1(t)

+ +vg2(t) vg1(t) + vg2(t)

+

Connessione paralleloConnessione parallelovg1(t)+

vg2(t)+

ConnessioneConnessionenonnon validavalida

perpervg1(t) = vg2(t) /

Il parallelo di più generatori ideali di tensione (differenti) non è una connessione validapoiché più tensioni differenti sono applicate agli stessi morsetti.

Caso particolareCaso particolare::generatore generatore di tensione in c.c.di tensione in c.c.

vg1(t)+

0generatore in c.c.

Un generatore ideale di tensione (non nullo) non può essere posto in un corto circuito.

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Generatore idealedi tensione: potenza erogata

vg(t)

i(t)

+

Convenzione potenza uscente

La potenza p(t) = vg (t) i(t) è potenza erogata in base alla scelta dei versi coordinati della tensione e della corrente. Il segno e il valore di p(t) sono indeterminati, essendo indeterminato il valore di i(t)

vg , i

til generatore assorbe potenza

dal circuitoo

1

il generatore fornisce potenzaal circuito

o

2

il generatore assorbe potenzao

1

o

3

o

4

vg(t)+i(t)

R

i = vg / RPerogata = vg i

P

i

R 0i P

∞∞

Tor Vergata


Generatore reale di tensionePrincipali cause di non idealità:a) la potenza erogabile non è infinitab) la tensione erogata dipende dalla correnteSi considera lo schema equivalente costituito da un

generatore di tensione ideale in serie a un resistore

vg(t)+R

R : resistenza interna

i(t) v(t)+ v = vv = vgg –– R iR i

v

i

vg

v = vg per i = 0 (tensione a vuoto)

icc

i = icc per v = 0 (corrente di corto circuito)

iicccc = v= vgg / R/ R

Tor Vergata


Generatore reale di tensionePrincipali cause di non idealità:a) la potenza erogabile non è infinitab) la tensione erogata dipende dalla correnteSi considera lo schema equivalente costituito da un

generatore di tensione ideale in serie a un resistore

vg(t)+R

R : resistenza interna

i(t) v(t)+ v = vv = vgg –– R iR i

v

i

vg

v = vg per i = 0 (tensione a vuoto)

icc

i = icc per v = 0 (corrente di corto circuito)


caso ideale: R = 0

Generatore ideale per R = 0

A

B

A e B sono i morsetti esterni del generatore reale di tensione

Generatore ideale per R = 0

C

(C non è accessibile)

icc

i = icc per v = 0 (corrente di corto circu

iicccc = v= vgg / R/ RA

B

B sono i morsetti esterni del generatore reale di tensione

caso ideale: R = 0

neratore ideale per R = 0

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Potenza erogata dal generatore

ivg+

R

v+ p = v i =p = v i =

= (v= (vgg –– R i) iR i) ip

iicc

icc = vg / R

icc /2

icc /2 = vg /2Rpmax

ppmaxmax = v= vgg2 2 / 4R/ 4R

R = 0

icc /2

+vg

R R

+vg2

InIn queste condizioni queste condizioni di di chiusura il circuitochiusura il circuito èèdetto detto adattatoadattato eded eroga sul caricoeroga sul carico lalamassima potenzamassima potenza ((potenza disponibilepotenza disponibile). ).

+vg

R Rui Pu = i2 Ru

potenza utile

Pe = i2 (R + Ru ) potenza erogata

η= Pu / Pe =(Ru/R)

1 + (Ru/R)=

Rendimento η

Ru / R

1

1

.5

Tor Vergata


Caso Caso di di circuiti circuiti di di potenzapotenza

Potenza erogata dal generatore

Interessa garantire alti rendimentiInteressa garantire alti rendimenti

+vg

R Ruiv+

η

Ru / R

1Ru >> R

Ru / Rv

i

vg

icc

i << iccv vg≅

vvg

i

P

i

pmax p << pmax

i

pmax

i < imax imax

Caso Caso di di circuiti circuiti di di segnalesegnaleInteressa ottenereInteressa ottenere la maxla max potenza potenza sul caricosul carico ((adattamentoadattamento))

+vg

R Riv

+

1

Ru / R

ηRu = Rη = 0,5

1

.51

Ru / R

η

v

i

vg

icc

i = icc / 2v = vg / 2

icc /2vg /2

vvg

icc

P

i

pmax p = pmax

Tor Vergata


Generatore ideale di corrente

ig(t) corrente impressa

i(t) = ig(t)equazione di definizione

del componente

L’equazione L’equazione di di definizione stabiliscedefinizione stabilisce unun andamento prefissatoandamento prefissato per laper la correntecorrente i(t)i(t)TaleTale correntecorrente seguesegue l’andamento il’andamento igg(t),(t), indipendentemente dalla indipendentemente dalla tensione tensione ai capiai capideldel componentecomponente.. SiSi dicedice che iche igg(t) è(t) è una una grandezza impressagrandezza impressaEsempiEsempi ig

t

corrente sinusoidaleig(t) = sin t

ig

t

corrente costanteig(t) = I

Iig

t

corrente nullaig(t) = 0

ig(t) = 0

equivalente a

circuito aperto

Tor Vergata


Generatore idealedi corrente

Connessione paralleloConnessione parallelo

ig(t)

ig2(t)

ig1(t)

ig1(t) + ig2(t)

Connessione serieConnessione serieig1(t) ig2(t)

ConnessioneConnessionenonnon validavalida perperig1(t) = ig2(t) /

La serie di più generatori ideali di corrente (differenti) non è una connessione validapoiché più correnti differenti devono percorrere lo stesso ramo.

Tor Vergata


Generatore idealedi corrente

Connessione paralleloConnessione parallelo

ig(t)

ig2(t)

ig1(t)

ig1(t) + ig2(t)

Connessione serieConnessione serieig1(t) ig2(t)

ConnessioneConnessionenonnon validavalida perperig1(t) = ig2(t) /

La serie di più generatori ideali di corrente (differenti) non è una connessione validapoiché più correnti differenti devono percorrere lo stesso ramo.

ig1(t) = 0 /ig1(t)

generatore apertoCaso particolareCaso particolare::generatore generatore di di corrente corrente apertoaperto

Connessione serieConnessione serie

Un generatore ideale di corrente (non nullo) non può essere lasciato aperto.

Tor Vergata


Generatori idealiConnessioni Connessioni mistemiste

ig1(t)

vg2(t)+ vg2(t)

+

ig1(t) vg2(t)+

ig1(t)

Dualità: i generatori di tensione e di corrente sono due componenti duali

vg

+ R vi

+ Tabella di dualitàv ------ i

serie ---- paralleloR ----- G

igG v

i+

Tor Vergata


Equivalenza generatori realidi tensione e di corrente

ivg+

R

v+ v = vv = vgg –– R iR i v

i

vgcaso ideale: R = 0

iccv = vg per i = 0 (tensione a vuoto)i = icc per v = 0 (corrente di corto circuito)


ig G

Gen. reale di corrente

i v+

G

orrente i =i = iigg –– G vG v v

i

vca

igvvcaca == iigg / G/ Gv = vca per i = 0 (tensione a vuoto)i = ig per v = 0 (corrente di corto circuito)

gg

caso ideale: G = 0

i

Condizionidi equivalenza

vg = vca = ig / Gig = icc = vg / R R = 1 / GR = 1 / G

vvgg = R= R iigg Si tratta dellastessa resistenza

Tor Vergata


Generatori realiImpianti di alimentazione a tensione costante

vg(t)+ CaricoA

CaricoB

CaricoC

La presenza del generatore ideale di tensione fa sì che l’inserzione o la disinserzione di un carico non influenza il funzionamento degli altri. Se il generatore è reale ciò vale solo in modo approssimato.

Generatori di tensione: pile, accumulatori, prese di corrente, ecc.Carichi: lampadine, elettrodomestici, motori, ecc.

Es. di trasformazione di un gen. reale di corrente in un gen. reale di tensione

ig GGen. di correnteig= 10 mAR =1/G = 10 MΩ

Gen. di tensionevg= .01 x 107 = 0.1 MVR = 10 MΩ

vg+ R

Tor Vergata


Elementidue-porte Quadripolo

i111

i333

i1 + i3 = 0La coppia di morsetti 1, 31, 3 forma una portaporta se risulta

122

i2

44i4

i2 + i4 = 0Anche la coppia di morsetti 2, 42, 4 forma una portaporta se risulta

2

Si ottiene così un elemento (o rete) due-porte, indicato nel modo seguente

1 2Rete due porte

i1 i2v1+

v2+ Non vengono indicate

le correnti i3 e i4poiché sono rispettivamente uguali alle correnti - i1 e - i2

Potenza entrantePorta 1: p1 = v1 i1Porta 2: p2 = v2 i2

Totale: p = v1 i1 + v2 i2

Tor Vergata


Induttori accoppiati

L1 induttanza primaria

L1

L2 induttanza secondaria

L2

M

M coeff. di mutua induzione

v1

+v2

+i1 i2

equazioni di definizione del componente

v1(t) = L1 + Md i1(t)d t

d i2(t)d t

v2(t) = M + L2d i1(t)d t

d i2(t)d t

Potenza Potenza entrante p = ventrante p = v11 ii11 + v+ v22 ii22 ==

= L= L11ii11 + M i+ M i1 1 + M i+ M i22 + L+ L22ii22d id i22(t)(t)

d td t__________d id i11(t)(t)

d td t__________ d id i22(t)(t)

d td t__________ d id i11(t)(t)

d td t__________ >>

<< 00

Tor Vergata


Induttori accoppiati: passivitàSono passivipassivi i componenti che non hanno fonti di energia internaSono passivipassivi i resistori (per R >0), gli induttori e i condensatori (per L > e C > 0)

Sono attiviattivi i componenti che hanno fonti di energia interna (p.es. res. con R<0)

Induttori accoppiati: passivipassivi se l’energia immagazzinataenergia immagazzinata non è mai negativa

E = p(t) d t = [LE = p(t) d t = [L11ii11 + M i+ M i1 1 + M i+ M i22 + L+ L22ii2 2 ] d t ] d t d id i22(t)(t)

d td t________∫∫ ∫∫ d id i11(t)(t)

d td t________ d id i22(t)(t)

d td t________ d id i11(t)(t)

d td t________

= L= L1 1 ii1 1 d id i11 + [ M i+ [ M i1 1 d id i2 2 + M i+ M i2 2 d id i11 ] + L] + L2 2 ii2 2 d id i2 2 ==∫∫ ∫∫ ∫∫= L= L1 1 ii11

22 + M i+ M i11 ii22 + L+ L2 2 ii2222 ==11____

2 2 11____22

∫∫ ∫∫postoposto x = ix = i11/i/i22

= L= L22ii2222 [(L[(L11/L/L22) x) x11

22 + (2 M /L+ (2 M /L22) x + 1] ) x + 1] 11____22 >> 0 0 (( passivitàpassività ))

Tor Vergata


Induttori accoppiati: passivitàPer laPer la passivitàpassività,, l’energia immagazzinata deve esserel’energia immagazzinata deve essere nonnon negativanegativa

E = LE = L22ii2222 [(L[(L11/L/L22) x) x11

22 + (2 M /L+ (2 M /L22) x + 1] ) x + 1] >> 0 0 11____2 2 perper ogniogni xx

>> 0 per0 per

LL2 2 > 0> 0

>> 0 per0 per

(M /L(M /L22))2 2 -- (L(L11/L/L22) ) << 00 MM2 2 << LL11 LL22

Condizioni Condizioni di passivitàdi passività

LL1 1 > 0 ; L> 0 ; L2 2 > 0> 0

| M| M | | << LL11 LL22

x = i1/i2

M2 < L1 L2

x = i1/i2

M2 = L1 L2

Coefficiente di Coefficiente di accoppiamentoaccoppiamentok = |Mk = |M | / L| / L11 LL22

0 0 << k k << 11k = 1k = 1 accoppiamento accoppiamento

perfettoperfetto

Tor Vergata


Trasformatore ideale

1:n rapporto di trasformazione

1:n

v1

+v2

+i1 i21:n

v2(t) = n v1(t)

i2(t) = - i1(t)n__1

equazioni di definizione del componente

Le induttanze accoppiate e il trasformatore ideale sono due diverseapprossimazioni dello stesso dispositivoLe induttanze accoppiate sono componenti con memoriaIl trasformatore ideale è componente senza memoria

Potenza Potenza entrante p = ventrante p = v11 ii11 + v+ v22 ii22 === v= v11 ii11 + n v+ n v11 [[-- (1/n) i(1/n) i11] = 0] = 0

Il trasformatore idealenon dissipa e non genera

potenza

Tor Vergata


Trasformatore ideale: applicazioni

v1

+i1

n:1

v2

+i2

R

v1(t) = n v2(t)i1(t) = - i2(t)n

__1Equazioni trasformatore(attenzione al rapporto n:1)

v2(t) = - R i2(t)Equazione resistore(attenzione ai versi coordinati)

v1 = n v2 = - n R i2 == - n R (- n i1) = n n 22 RR i1

n2 R

A

B

A’

B’

I bipoli A B e A’ B’ sono equivalenti rispetto a qualunque circuito a cui essi siano connessi

R

Nel bipolo A B tutta la potenza entrante è dissipata sul resistore R.Il trasformatore ideale permette il transito della potenza dalla porta 1 verso la porta 2, senza dissipazioni interne

Tor Vergata


1:1 i2i1

v2

+v1

+


Trasformatore ideale di rapporto di trasformazione 1 : 1. Le tensioni e le correnti fra la prima e la seconda porta non subiscono variazioni

Esempio di applicazione Circuito due porte sbilanciato

massa

1 2vA

+

vB

+terra

La tensione alla porta 1 del circuito due porte v1 è pari a vA – vB

Il terminale di massa è a tensione vB rispetto al terminale di terra. Questi terminali non possono essere connessi

Tor Vergata


1:1 i2i1

v2

+v1

+


Trasformatore ideale di rapporto di trasformazione 1 : 1. Le tensioni e le correnti fra la prima e la seconda porta non subiscono variazioni

Esempio di applicazione Circuito due porte sbilanciato

massa

1 2vA

+

vB

+terra

La tensione alla porta 1 del circuito due porte v1 è pari a vA – vB

Il terminale di massa è a tensione vB rispetto al terminale di terra. Questi terminali non possono essere connessi

1:1

Dopo l’inserzione del trasformatore 1 : 1, la tensione alla porta 1 del circuito due porte v1 è sempre pari a vA – vB . Tuttavia ora è possibile connettere a terra il terminale di massa, senza mettere in corto il generatore vB

Tor Vergata


Generatori controllati

k guadagno in tensione

k++

v2(t)v1(t)

i2(t)i1(t)v2(t) = k v1(t)

equazioni di definizionedel componente

i1(t) = 0

Generatore Generatore di tensione di tensione controllatocontrollato in tensionein tensione

vv11 (t) : tensione di (t) : tensione di controllocontrollo vv22 (t) : tensione (t) : tensione controllatacontrollata

Tor Vergata



k guadagno in tensione

k++

v2(t)v1(t)

i2(t)i1(t)v2(t) = k v1(t)


i1(t) = 0

Generatore Generatore di tensione di tensione controllatocontrollato in tensionein tensione

vv11 (t) : tensione di (t) : tensione di controllocontrollo vv22 (t) : tensione (t) : tensione controllatacontrollata

Generatore Generatore di tensione di tensione controllatocontrollato inin correntecorrente

k trans-resistenza ( Ω )(resistenza di trasferimento)

v2(t) = k i1(t)v1(t) = 0

ii11 (t) :(t) : corrente corrente di di controllocontrollo vv22 (t) : tensione (t) : tensione controllatacontrollata

II generatori controllati si comportanogeneratori controllati si comportano come icome i generatori idealigeneratori ideali, ma la, ma la grandezza grandezza controllata dipende dalla grandezza controllata dipende dalla grandezza di di controllocontrollo e non èe non è una funzione impressauna funzione impressa..Si usanoSi usano inin schemi equivalentischemi equivalenti, p., p.eses. in. in elettronicaelettronica

Tor Vergata



k

k guadagno in corrente

i2(t)i1(t)++

v2(t)v1(t)

2( )1( )

k


v1(t) = 0i2(t) = k i1(t)

Generatore Generatore di di corrente controllatocorrente controllato inin correntecorrente

ii11 (t) :(t) : corrente corrente di di controllocontrollo ii22 (t) :(t) : corrente controllatacorrente controllata

Tor Vergata



k

k guadagno in corrente

i2(t)i1(t)++

v2(t)v1(t)

2( )1( )

k


v1(t) = 0i2(t) = k i1(t)

Generatore Generatore di di corrente controllatocorrente controllato inin correntecorrente

ii11 (t) :(t) : corrente corrente di di controllocontrollo ii22 (t) :(t) : corrente controllatacorrente controllata

Generatore Generatore di di corrente controllatocorrente controllato in tensionein tensione

k trans-conduttanza ( Ω −1)(conduttanza di trasferimento)

i1(t) = 0i2(t) = k v1(t)

vv11 (t) : tensione di (t) : tensione di controllocontrollo ii22 (t) :(t) : corrente controllatacorrente controllata

LaLa potenza potenza entrante entrante nella porta nella porta di di controllocontrollo èè nullanulla. La. La potenza uscente dalla potenza uscente dalla porta controllata dipende dalla porta controllata dipende dalla tensione etensione e dalla corrente dalla corrente di di uscitauscita ee può assumerepuò assumerequalunque valorequalunque valore (> = < 0). I(> = < 0). I generatori controllati sono componenti generatori controllati sono componenti attiviattivi

Tor Vergata


Nullore

+v1

i2i1

Generatore di tensione controllato in tensione

vg = k v1 ; i2 indeterminata

+vg

: elementi parassiti

Gi1 = 0+

vg

+v2

Rv2 = vg

la potenza entrante nella porta 1 è maggiore di zero

Caso idealeG = 0; R = 0i1 = 0 ; v2 = vg

Guadagnitensione v2 /v1 = kcorrente i2 /i1 =potenza p2 /p1 =

∞∞

Ipotesivg = k v1

k molto elevatov1 tende a zero

v2 limitato

Caso ideale

k infinitov1 zero

v2 indeterminato

Nullore

8 i2(t)i1(t)v2(t)v1(t)++

v1 = 0 v2 indeterminatai1 = 0 i2 indeterminata

Tor Vergata


Nullore

8i1 = 0v1 = 0

nullatore noratoresimbolo circuitale

amplificatore operazionalesimbolo tecnico

EsempioEsempio

8 Ruvg

+

R1 R2

i1 vg+

R1

i1

Tor Vergata


Nullore

8i1 = 0v1 = 0



EsempioEsempio

8 Ruvg

+

R1 R2

i1 vg+

R1

i1 i1 = vg / R1

i1 = vg / R1

Tor Vergata


Nullore

8i1 = 0v1 = 0



EsempioEsempio

8 Ruvg

+

R1 R2

i1 vg+

R1

i1 i1 = vg / R1

i1 = vg / R1

i1

+v2

R2i1

v2 = - R2 i1+

; v2 = - R2 i1

Tor Vergata


Nullore

8i1 = 0v1 = 0



EsempioEsempio

8 Ruvg

+

R1 R2

i1 vg+

R1

i1 i1 = vg / R1

i1 = vg / R1

i1

+v2

R2i1

v2 = - R2 i1+

; v2 = - R2 i1

v2 = - (R2 / R1 ) vg

massamassa

AA

AA massa virtualemassa virtuale

v2 = - (R2 / R1 ) vg

Tor Vergata


Linearità

Resistore, Induttore, CondensatoreInduttori accoppiati,Trasformatore ideale

Generatori controllati, Nulloreequazioni di definizione lineari

(algebriche o differenziali)

Componenti LineariComponenti Lineari

Circuito lineareCircuito lineare

Circuito costituito da componenti lineari

Esistono altri componenti, come il diodo, che sono non lineari. Un circuito è non lineare secontiene anche un solo componente non lineare. Nel presente corso non saranno considerati componenti e circuiti non lineari

e(t) e(t) : eccitazionegeneratore

di tensione o di correnteu(t)

u(t) : rispostauna tensione ouna correntedel circuito

Tor Vergata


Linearità

Resistore, Induttore, CondensatoreInduttori accoppiati,Trasformatore ideale

Generatori controllati, Nulloreequazioni di definizione lineari

(algebriche o differenziali)

Componenti LineariComponenti Lineari

Circuito lineareCircuito lineare

Circuito costituito da componenti lineari

Esistono altri componenti, come il diodo, che sono non lineari. Un circuito è non lineare secontiene anche un solo componente non lineare. Nel presente corso non saranno considerati componenti e circuiti non lineari

e(t) e(t) : eccitazionegeneratore

di tensione o di correnteu(t)

u(t) : rispostauna tensione ouna correntedel circuito

CircuitoCircuito aa riposoriposo Nessuna eccitazione

Energia immagazzinata nulla

Tensioni nulle sui condensatoriCorrenti nulle sugli induttoririsposte nulle per ogni t

Tor Vergata


Sovrapposizione degli effetti

Circuito Circuito linearelineareaa riposoriposo

e1(t)u1(t)

casocaso a:a: u1(t) risposta all’eccitazione e1(t)

Tor Vergata




e1(t)u1(t)



u2(t)e2(t)

casocaso b:b: u2(t) risposta all’eccitazione e2(t)

Tor Vergata




e1(t)u1(t)



u2(t)e2(t)



e1(t)u(t) = u1(t) + u2(t)

e2(t)

casocaso c:c: u(t) = u1(t) + u2(t) risposta alle eccitazioni e1(t) e e2(t)

Le eccitazioni e1(t) e e2(t) sono inserire in punti diversi del circuito, mentre larisposta totale u(t), e le risposte parziali u1(t) + u2(t), sono prese allo stesso punto. Il circuito è inizialmente a riposo per evitare che ulteriori risposte si sovrappongano a causa della energia iniziale presente nei componenti reattivi

Tor Vergata




e1(t)u1(t)



u2(t)e2(t)



e1(t)u(t) = u1(t) + u2(t)

e2(t)



Quando è presente una sola eccitazione (caso a o caso b), l’altra è disattivata. Per disattivare un generatore di tensione, sostituirlo con un corto circuito. Per disattivare un generatore di corrente, sostituirlo con un circuito aperto.

Tor Vergata




e1(t)u1(t)



u2(t)e2(t)



e1(t)u(t) = u1(t) + u2(t)

e2(t)



Quando è presente una sola eccitazione (caso a o caso b), l’altra è disattivata. Per disattivare un generatore di tensione, sostituirlo con un corto circuito. Per disattivare un generatore di corrente, sostituirlo con un circuito aperto.

Il principio di sovrapposizione degli effetti vale per ogni circuito lineare.Si può estendere facilmente al caso di un numero qualsiasi di eccitazioni.

Tor Vergata


Teorema di sostituzione

CircuitoCircuito BBlinearelineareaa riposoriposo

CircuitoCircuito AAlineare lineare

i(t)


i(t)

equivalenzaequivalenza n. 1n. 1

Ai fini del circuito A, il bipolo B può essere sostituito dal generatore di corrente i(t)

L’equivalenza non vale se il circuito A si riduce a sua volta a un sologeneratore di corrente

Tor Vergata


Teorema di sostituzione



i(t)


i(t)

equivalenzaequivalenza n. 1n. 1

Ai fini del circuito A, il bipolo B può essere sostituito dal generatore di corrente i(t)

L’equivalenza non vale se il circuito A si riduce a sua volta a un sologeneratore di corrente

v(t)

+


v(t)

equivalenzaequivalenza n. 2n. 2+

Ai fini del circuito A, il bipolo B può essere sostituito dal generatore di tensione v(t)

L’equivalenza non vale se il circuito A si riduce a sua volta a un sologeneratore di tensione

Tor Vergata


Teorema di Thévenin

CircuitoCircuitoAA

Circuito lineareCircuito lineareaa riposoriposo


eccitazioni di tensione

eccitazioni di corrente

Tor Vergata



CircuitoCircuitoAA




eccitazioni di corrente teorema di sostituzione

validi solo se il circuito A non coincide con un solo generatore di corrente

Teorema di sostituzione (e Teorema di Thévenin)

eccitazioni presenti nel

circuito



interne al circuito A

eccitazione di corrente che sostituisce

il circuito B

risposta v(t)

v(t)

+

sovrapposizione degli effetti

Tor Vergata



CircuitoCircuitoAA








circuito





il circuito B

risposta v(t)

v(t)

+


attivate disattivata

generatore disattivato

v0(t)

tensione a vuoto v0(t)

circuitocircuito A aA a vuotovuoto

Tor Vergata



CircuitoCircuitoAA








circuito





il circuito B

risposta v(t)

v(t)

+




v0(t)



disattivate attivata

teorema di sostituzione

CircuitoCircuitoAA

disattivatodisattivato

tensione v1(t) su circuito A disattivato

v1(t)

v(t) = v0(t) + v1(t)

Tor Vergata



CircuitoCircuitoAA








circuito





il circuito B

risposta v(t)

v(t)

+




v0(t)





CircuitoCircuitoAA


tensione v1(t) su circuito A disattivato

v1(t)

v(t) = v0(t) + v1(t)

CircuitoCircuitoAA



+eccitazioni di tensione


v(t)

circuito equivalente circuito equivalente di di ThéveninThévenin

+v0(t)

CircuitoCircuito AAdisattivatodisattivato CircuitoCircuito BB

linearelineareaa riposoriposo

+

v(t)

tensione tensione aa vuotovuoto

generatore generatore di di tensione vtensione v00(t)(t)

circuitocircuito AAdisattivatodisattivato

in serieCircuitoCircuito AA

Tor Vergata


Teorema di Norton

CircuitoCircuitoAA





Tor Vergata


Teorema di Norton

CircuitoCircuitoAA





validi solo se il circuito A non coincide con un solo generatore di tensione

Teorema di sostituzione (e Teorema di Norton)


circuito




eccitazione di tensione che sostituisce

il circuito B

risposta i(t)

i(t)


Tor Vergata


Teorema di Norton

CircuitoCircuitoAA








circuito





il circuito B

risposta i(t)

i(t)




icc(t)

corrente di c.c. icc(t)

circuitocircuito A inA in corto circuitocorto circuito

Tor Vergata


Teorema di Norton

CircuitoCircuitoAA








circuito





il circuito B

risposta i(t)

i(t)




icc(t)





CircuitoCircuitoAA

disattivatodisattivatoi1(t)

corrente i1(t) su circuito A disattivato

i(t) = icc(t) + i1(t)

Tor Vergata


Teorema di Norton

CircuitoCircuitoAA








circuito





il circuito B

risposta i(t)

i(t)




icc(t)





CircuitoCircuitoAA

disattivatodisattivatoi1(t)

corrente i1(t) su circuito A disattivato

i(t) = icc(t) + i1(t)circuito equivalente circuito equivalente di Nortondi Norton

CircuitoCircuitoAA





i(t)

icc(t)CircuitoCircuito BB

linearelineareaa riposoriposo

corrente corrente di c.c.di c.c. i(t)CircuitoCircuito AA


generatore generatore di di corrente icorrente icccc(t)(t)

circuitocircuito AAdisattivatodisattivato

inparalleloCircuitoCircuito AA

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