M etóda K onečných P rvkov vo výrobných technológiach

Metóda Konečných Prvkovvo výrobných technológiach

prednáška č. 3

prednáška č.3 - 2/78

Obsah prednášky

• Statická lineárna formulácia MKP

• Opakovanie základných vzťahov z Pružnosti a pevnosti

• Základné pojmy MKP

• Priama tuhostná formulácia rovníc MKP Prutový prvok v lokálnom súradnicovom systéme

• Energetická formulácia rovníc MKP Formulácia všeobecnej elastostatickej úlohy Odvodenie matíc pre prutový prvok v LSS

• Riešenie lineárnych úloh - príklady


Základná úloha:• určiť deformáciu a napätosť telesa,

• posúdiť únosnosť, spoľahlivosť a životnosť konštrukcie

Metódy riešenia:• analytické, experimentálne, numerické, matematická teória pružnosti

Numerické metódy riešenia:• vychádzajú z teórie mechaniky kontinua a využívajú výpočtovú

techniku (computational mechanics)

Všeobecný postup riešenia s využitím výpočtovej mechaniky:• zostavenie základných rovníc úlohy• implementácia výpočtovej metódy

• vytvorenie počítačového programu a jeho aplikácia na riešenie konkrétnej úlohy

Základné vzťahy PaP


Základné rovnice statickej analýzy kontinua:• kinematika deformačného pohybu telesa (mierky deformácie)• kinetika (sily a napätia)• konštitutívne (stavové) rovnice• termodynamika deformačného pohybu (energetické princípy)

Lineárna statická analýza:• (nekonečne) malé posunutia a pomerné deformácie. • elastický materiál• statické zaťaženie• čas v analýzach označuje iba zaťažovací krok



dy

dx dx´

dy´ ds

ds´

)( f )( f


Kinematika deformačného pohybu:• Normálové a šmykové zložky deformácie (nekonečne malé) možno

skúmať nezávisle na sebe.



dy

dx

du

dv

1

2

dv

dy

du dx

ds´

x, u

y, v

ds

dyy

vdv

dxx

udu

1 2

,

z

z

dv du

dx dy

dv v du u

dx x dy y

v u

x y


Potom:

Zovšeobecnenie:

Keď poznáme posunutie okolia hmotného bodu potom lineárne pomerné deformácie v bode telesa sú popísaná pomocou

y

x

dy

dyyd

y

vdy

y

vdydvdyyd

dx

dxxd

x

udx

x

udxdudxxd




xv

yu

xw

zu

zv

yw

zwyvxu

z

y

x

z

y

x

lineárnych Cauchyho rovníc


Záver:

Vektor pretvorenia je funkciou zložiek gradientu vektora posunutia. Pre

celé teleso dostaneme pole pretvorenia zo zložiek gradientu poľa

posunutia vo všetkých bodoch telesa.



F1

R1 Nx Mx

T

Ty

Tz

My

Mz x

y

z rezová plocha


Kinetika deformačného pohybu (vnútorné sily) a stavové rovnice (zovšeobecnený Hookov zákon):


1

2

3

2

1

zx

yx

xz

x

y

z

yx

xy

yz

yz

zy zy

zx

zx

xz

xy

yx

zy

yz

xy

xz

3

2

1

00

00

00

zxy

xyz

yzx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

T


Jednoosová (priamková) napätosť

Dvojosová (rovinná) napätosť

x

x

zxy

xx E

x

y

z

z

y

x

z

y

xE

τ

σ

σ

2

100

01

01

1 2



x

y

z

z

x

y

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

E

2

2100000

02

210000

002

21000

0001

0001

0001

)21(1

Trojosová (priestorová) napätosť


x z

y x

y

z

str

str

str

=

x z

y x - str

y - str

z - str

+

strzxy

xstryz

yzstrx

str

str

str

zxy

xyz

yzx

00

00

00

)(3

1)(

3

1321 oktzyxstr



K

p e

e –elastická deformácia

p –plastická deformácia

K

Základné vzťahy PaPPružno-plastické deformácie

εDσ ep

materiálový zákonpre pružno-plastické deformácie

Dep - matica materiálových konštánt


Výhody počítačových metód:• možno zvoliť presnejší mechanický model úlohy, ktorý sa málo líši od

reálnej situácie• možno riešiť aj doteraz neriešiteľné zložité úlohy veľmi efektívne a

presne• stávajú sa nástrojom získania/pochopenia nových teoretických

poznatkov

Pozor! Nemožno podceňovať význam analytických, ale najmä experimentálnych metód!!!

Používanie softvérových prostriedkov počítačovej mechaniky bez znalosti základných princípov mechaniky poddajných telies môže

viesť k chybným analýzam a záverom.



Základné pojmy MKP

Podstata riešenia úlohy pomocou MKP:

• diskretizáciou oblasti na prvky riešenie zjednodušíme tým, že nehľadáme funkcie posunutí v celej oblasti, ale iba vo vybraných uzlových bodoch (nodes),

• tým namiesto sústavy diferenciálnych rovníc pre spojité teleso (riešenie

v uzavretom tvare) riešime iba sústavu algebraických rovníc vo vybraných bodoch,

• miesto diferenciálnych podmienok rovnováhy telesa zostavujeme v MKP podmienky silovej rovnováhy uzlových bodov, v ktorých „vnútorné sily“ vyjadrujeme pomocou „posunutí“ a tuhostných charakteristík prvkov,

• výsledkom je nájdenie funkčných hodnôt hľadanej veličiny vo vybraných uzloch telesa,



Podstata riešenia úlohy pomocou MKP:

• priebeh hľadanej veličiny v každom prvku oblasti aproximujeme

vhodne zvolenou funkciou u(x,y,z), ktorá je jednoznačne určená

funkčnými hodnotami (príp. ich deriváciami) v uzloch prvku,

• iba uzly konečných prvkov prenášajú „posunutia“ a „sily“ medzi prvkami telesa,

• pri diskretizácií telesa prvkami nesmú vznikať medzery ani prekrytia prvkov



Všeobecný postup riešenia úlohy pomocou MKP:• zjednodušenie úlohy (geometrické, fyzikálne, ...)

• vytvorenie matematicko-fyzikálneho modelu

• definovanie podmienok jednoznačnosti

• diskretizácia analyzovanej oblasti

• identifikácia primárnych neznámych a voľba vhodných tvarových funkcií

• definovanie konštitutívnych vzťahov

• odvodenie prvkových rovníc, zostavenie rovníc pre celú oblasť

• výpočet primárnych neznámych

• výpočet sekundárnych neznámych

• interpretácia výsledkov



- zjednodušenie geometrického tvaru

- vypustenie alebo tvarové zjednodušenie pre riešenie úlohy nepodstatných častí geometrie

- redukcia na n-rozmernú úlohu

- využitie symetrie, antisymetrie geometrie alebo zaťaženia, rotačnej

symetrie, ...

- zjednodušenie mechanických a fyzikálnych vlastností materiálu

(homogenizácia, redukcia anizotropie, ...)


Treba stanoviť, oblasť do ktorej úloha spadá:

- mechanika, termomechanika, prúdenie tekutín, elektrina, akustika,

magnetizmus,...,

- príp. multifyzikálna úloha so vzájomnou interakciou jednotlivých polí.

- identifikujeme lineárnosť resp. nelineárnosť, stacionárnosť resp.

časovú závislosť riešenej úlohy.

- stanovia sa podmienky jednoznačnosti riešenia úlohy, t.j. geometria,

materiálové vlastnosti, začiatočné a okrajové podmienky



Skúmaná oblasť je rozdelená (diskretizovaná) na malé oblasti – tzv. elementy (prvky).


skúmaná oblasť A (V)hranica S skúmanej oblasti A (V)



diskretizácia skúmanej oblasti

konečný prvok uzol

Skúmaná oblasť je rozdelená (diskretizovaná) na malé oblasti – tzv. elementy (prvky).



Podľa tvaru diskretizovanej oblasti používame prvky:



Základné typy konečných prvkov:

• čiarové prvky (prútový a nosníkový)

• prvky poddajného telesa (plošné a objemové prvky)

• prvky špeciálneho tvaru telesa (škrupinové a doskové prvky)

• špeciálne prvky (viazané úlohy, kontakt, superelementy,...)



Výber primárnych neznámych závisí od druhu riešeného poľa.

Pole Akcia Reakcia

Silové Sila F Premiestnenie u

Teplotné Tepelný tok P Teplota T

Elektrické Elektrický prúd I Elektrický potenciál V

Prúdenie tekutín Tlak p Rýchlosť prúdenia w



Výber vhodných interpolačných (tvarových) funkcií.

• Určujú vzťah medzi primárnymi neznámymi vo vnútri prvku a v jeho uzlových bodoch. Funkcie musia spĺňať tieto podmienky:

- výsledný funkcionál musí byť spojitý na hraniciach jednotlivých prvkov, (t.j. tvarové funkcie musia byť derivovateľné až do rádu o jeden menší, ako najvyšší rád derivácie vyskytujúci sa vo funkcionáli).

- musia zabezpečiť konvergenciu výsledkov pre neznámu , t.j. funkcionál sa približuje ku svojej limitnej hodnote, ak objem oblasti V sa blíži k nule.

• Najčastejšie používanými interpolačnými funkciami sú lineárne polynómy, Lagrangeové polynómy, Hermiteove polynómy atď.



Výhody polynómov ako interpolačných funkcií:

• ľahko sa derivujú a integrujú,

• presnosť aproximácie je možné zvýšiť rádom polynómu,

• majú spojité derivácie.

u = 0 + 1 x

u = 0 + 1 x + 2 x2

u = 0 + 1 x + 2 x2 + 3 x3

u

oblasť prvku



Polynómy musia spĺňať:

• geometrickú izotropiu – kompletné polynómy, nezávislé od súradnicového systému (Pascalov trojuholník, Pascalov ihlan)

• počet koeficientov musí byť zhodný s počtom stupňov voľnosti prvku

• kritéria konvergencie:

- interpolačné funkcie a ich derivácie obsiahnuté vo funkcionáli e musia byť spojité,

- konštantné stavy posunutí a ich derivácií obsiahnuté v e musia byť v interpolačných funkciách obsiahnuté (= konšt, = 0 – tuhé posunutie, rotácia),

- tvarové funkcie musia byť spojité až po deriváciu rádu n-1, vyskytujúcu sa vo funkcionáli e

2 = kompletné prvky; 1+3 = kompatibilné (konformné) prvky



Spojitosť interpolačných funkcií označujeme:

• C0 - spojité na hraniciach prvkov,

• C1 - ak sú spojité aj ich prvé derivácie,

• . . .

1

x y

x2 xy y2

x3 x2y xy2 y3

x4 x3y x2y2 xy3 y4

x5 x4y x3y2 x2y3 xy4 y5

konštantný člen

lineárne členy

kvadratické členy

kubické členy

bi-kvadratické členy

kvintické členy

< kompletný polynóm

2. stupňa (6 členov)

< kompletný polynóm

5. stupňa (21 členov)


Určujú vzťah medzi akciami, ktoré na teleso pôsobia, a reakciami, ktoré vznikajú v samotnom telese vplyvom ich pôsobenia.


Pole Konštitutívny vzťah

Silové Hookov zákon

Teplotné Fourierov zákon (prenos tepla vedením)

Elektrické Ohmov zákon

Prúdenie tekutín Bernoulliho rovnica



Varianty metódy konečných prvkov:• Deformačný variant

(Lagrangeov princíp), primárne neznáme: u • Silový variant

(Castiglianov princíp), primárne neznáme: u

• Zmiešaný (hybridný) variant

Odvodenie matíc prvkov:• všeobecná deformačná metóda• priama tuhostná formulácia (vhodná pre jednorozmerné prvky)

• energetická formulácia rovníc MKP• variačná formulácia rovníc MKP (princíp virtuálnych prác)



Zostavenie rozšírených matíc prvkov.

Zostavenie matíc konštrukcie.

Transformácia zaťažení do uzlových bodov prvkov.

Aplikovanie okrajových podmienok.


Matice prvkov:

Vlastnosti matíc:- pásová- symetrická- pozitívne definitná


Pole Matica prvku K

Silové matica tuhosti

Teplotné matica tepelnej vodivosti

Elektrické matica elektrickej vodivosti

Prúdenie tekutín matica odporu prúdenia



Postprocesorom programu MKP.

Výstup a spracovanie výsledkov vo forme výpisov, tabuliek, grafov a grafických máp (izočiary, izoplochy, vektory gradientov atď.).

Úlohou riešiteľa je tieto výsledky klasifikovať a využiť ich na

optimalizáciu riešeného problému.

Táto časť riešenia úlohy pomocou MKP kladie vysoké nároky na teoretické znalosti, odbornú erudovanosť a

praktické skúsenosti riešiteľa!


ANSYS 5.6.2 MAR 16 200113:23:49 NODAL SOLUTIONSTEP=2 SUB =1 TIME=2 USUM (AVG) RSYS=0PowerGraphicsEFACET=1AVRES=MatDMX =.004814 SMX =.004814

1

MN

MX

-2918 -2918

-2918

-2918

-2918

-2918

-3987

6172

U F

X

Y

Z

0 .535E-03 .00107 .001605 .002139 .002674 .003209 .003744 .004279 .004814

DEFORMACIA STOZIARA Vn

ANSYS 5.6.2 APR 8 200211:54:05 DISPLACEMENTSTEP=1 SUB =10 TIME=1 PowerGraphicsEFACET=1AVRES=MatDMX =1.476

1

U F ACEL

X

Y

Z*DSCA=5 ZV =1 DIST=165 XF =150 YF =-4.02 Z-BUFFER

1

MN

MX

X

Y

Z

17.726

21.57225.417

29.26333.109

36.95540.8

44.64648.492

52.338

FEB 4 200313:57:49

NODAL SOLUTION

STEP=1SUB =1TIME=1TEMP (AVG)RSYS=0SMN =17.726SMX =52.338

1

X

Y

Z

65.016

492.07919.123

13461773

22002627

30543481

3908

FEB 4 200313:58:38

VECTOR

STEP=1SUB =1TIME=1TFELEM=1438MIN=65.016MAX=3908


Pre prút konštantnej tuhosti v LSS a lineárne elastickú oblasť zaťažovania.

Rovnica rovnováhy prvku a deformácia prúta:

aj ai

l

i j

E, A Ni Nj

x

Priama tuhostná formulácia MKP

AE

lNaal

NN

jij

ji


Tuhostný vzťah pre prút v LSS

v maticovom tvare:


)(

)(

jii

ijj

aal

AEN

aal

AEN

eee

j

i

j

i

a

a

l

AEN

N

aKf

11

11



kde:

- lokálny vektor posunutí uzlov prvku

- lokálny vektor uzlových síl

- lokálna matica tuhosti prvku

j

ie

a

aa

j

ie

N

Nf

11

11

l

AEeK


x - LSS

x - GSS

y

Ni

Nj

Qiy

Qix

Qjx

Qjy

i

j e

xi

xj

yi

yj


Transformácia uzlových síl a posunutí medzi veličinami v LSS a GSS



Transformácia síl

v maticovom tvare

kde Te je transformačná matica, (pre dvojuzlový prútový prvok rovná)

jy

jx

iy

ix

j

ie

Q

Q

Q

Q

N

N

sincos00

00sincosf

eee qTf

úlohu 3D precoscoscos

úlohu 2D presincos

T

T

T0

0TTe


pričom matica Te je ortogonálna a platí:

qe je vektor globálnych uzlových síl

Uhol a dĺžka prúta l


úlohu 3D preúlohu 2D pre

jz

jy

jx

iz

iy

ix

e

jy

jx

iy

ix

e

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

qq

T1 ee TT

22 )()(sincos ijijijij yyxxl

l

yy

l

xx



Transformácia posunutí

v maticovom tvare

kde ae je vektor globálnych uzlových posunutí

úlohu 3D preúlohu 2D pre

j

j

j

i

i

i

e

j

j

i

i

e

w

v

u

w

v

u

v

u

v

u

aa

j

j

i

i

j

ie

v

u

v

u

a

a

sincos00

00sincosa

eee aTa



Globálny tuhostný vzťah získame dosadením do lokálneho vzťahu

kde Ke je globálna matica tuhosti prvku

eee

eeeee

eeeee

eee

aKq

aTKTq

aTKqT

aKf

T

eeee TKTKT


Energetická formulácia MKP

Statická úloha pružnosti:

Body telesa sa presunú deformačným

pohybom o vektorové pole posunutia u(x,y,z)

p ui

Fi

A, V

N/m,N/m ,

N/m ,

N , F

2

3

i

z

y

x

z

y

x

iz

iy

ix

p

p

p

F

F

F

p

γ



Pre vybraný element má jeho i-ty uzol ndof globálnych stupňov voľnosti (napr.):

Vektor globálnych posunutí prvku s nnode počtom uzlov:

Výsledný vektor globálnych posunutí prvku bude:

(ndof . nnode) 1 = nedof 1

Pre 2-uzlový prvok napr.:

(nedof = 6)

T iiii wvua

T21 nnodeie aaaaa

2

2

2

1

1

1

w

v

u

w

v

u

ea


Ak celkový počet uzlov konštrukcie bude nbn , vektor globálnych posunutí uzlov konštrukcie:

Výsledný vektor globálnych posunutí konštrukcie bude: (ndof . nbn) 1


T 21 nbnaaaa

nbnw

u

w

v

u

2

1

1

1

a


Aproximačné funkcie, interpolačné funkcie, matice prvku

Aproximačné funkcie posunutí všeobecného bodu prvku:

Pre uzlové body prvku:


αΦu

nedofxyzyx

xyzyx

xyzyx

zyxw

zyxv

zyxu

1

1

1

1

),,(

),,(

),,(

e

nedofndofndofndof

iii

e

zyx

zyx

aAααA

Φ

Φ

a 1

1

),,(

),,(


Po dosadení:

kde N je matica tvarových (interpolačných) funkcií (transformačná matica posunutí prvku)

Pretvorenia prvku:

kde L je matica diferenciálnych operátorov a B je transformačná matica pretvorení prvku


e

nnode

i

i

i

nnodei

nnodei

nnodei

e

w

w

v

u

NN

NN

NN

aNaAΦu

0000

0000

00001

ee aBaNLuLε


Matica B obsahuje derivácie tvarových funkcií.

Napätie v prvku:

kde D je matica materiálových konštánt a S je transformačná matica napätí prvku


xz

yz

xy

z

y

x

0

0

0

00

00

00

L

ee aSaBDεDσ


Vplyv teploty alebo počiatočného predpätia môžeme zahrnúť:

kde 0 zohľadňuje počiatočné pretvorenia príp. vplyv teploty


00 εDaBDεεDσ e

T T0 000111T εε



Pre každý prvok sa definuje funkcionál e vyjadrujúci celkovú potenciálnu energiu prvku

• deformačná energia (celková energia napätosti)

• práca vonkajších síl

ueeee WA Π

iT

iA

T

V

T FuAV ddWep

ep

e puγu

V21 T

V

dAe

e σε



Pre každý prvok sa definuje funkcionál e vyjadrujúci celkovú potenciálnu energiu prvku.

e

i

n

iip

e dddep

ee

FuA-V-V2

1

1

T

A

T

V

T

V

T

puγuσε


i

n

iip

e dddep

ee

FuA-V-V2

1

1

T

A

T

V

T

V

T

puγuσε


potenciálna energia vnútorných síl

potenciálna energia vonkajších

objemových síl

povrchových síl

uzlových (sústredených) síl



i

n

iip

e dddep

ee

FuA-V-V2

1

1

T

A

T

V

T

V

T

puγuσε




objemových síl

povrchových síl




i

n

iip

e dddep

ee

FuA-V-V2

1

1

T

A

T

V

T

V

T

puγuσε


pri odvádzaní matíc prvku sa nezohľadňuje a zahŕňa sa až do vektora zaťaženia konštrukcie




Pre vektorové pole posunutí bodov telesa u odpovedajúce zaťaženiu a uloženiu nadobúda potenciálna energia minimálnu hodnotu ( = min.).

T.j. riešením je také pole posunutí prvku ue, spĺňajúcich okrajové podmienky, ktoré minimalizuje funkcionál potenciálnej energie e:

Pozn: MKP > SKUT

model sa správa tuhšie ako v skutočné teleso

i

i

e

uu

stanovíme podmienky tejtoz ,0


Potenciálna energia prvku:

kde Ke je matica tuhosti prvku


A-V-V2

1

A

T

V

T

V

T dddep

eep

e puγuσε

A-V-V2

1

A

TT

V

TT

V

TT dddep

eep

eeeee pNaγNaaBDBa

eeeeee faaKa TT -2

1

VV

T de

e BDBK



a fe je vektor vonkajšieho spojitého prvkového zaťaženia

fbe je vektor prvkového zaťaženia od objemových síl

fpe je vektor prvkového zaťaženia od povrchových síl

f0

e je vektor prvkových síl od začiatočnej (teplotnej) deformácie

VV

T de

eb γNf

AA

T dep

pep pNf

eep

eb

e

0ffff

VV

0T

0d

e

e DεBf


Celkovú potenciálnu energiu prvku dostaneme po zahrnutí potenciálnej

energie sústredených uzlových síl qe:

Minimalizáciou potenciálnej energie vzhľadom na posunutia uzlových bodov dostaneme:

Ak prvok nie je zaťažení spojitým zaťažením:

eeeeeeee qafaaKa TTT --2

1


0-- eeee

e

e

qfaKa

eee qaK


e1

Pre každý prvok sa definujú prvkové algebraické rovnice


e1e2



e1e2

e3



e1e2

e3

Prvkové algebraické rovnice sú zostavené do výsledného systému algebraických rovníc konštrukcie

ei

...


Príklad

Lineárna aproximačná funkcia posunutia všeobecného bodu dvojuzlového prutového prvku

Pre okrajové uzly i, j prvku potom podmienky

Energetická formulácia MKP Le

xie

xje

x

i j

uie uj

e u(x)

x - LSS

αΦu

2

121 1)(

xxxu

ej

ej

ei

ei uxuuxu )()(


eeej

eie

jeie

j

ei

e

ei

e

eie

u

uNN

u

u

L

xx

L

xxxu aNaΦAu

1)( 1

zapíšeme v maticovom tvare

Koeficienty potom

Dosadením týchto koeficientov prvého výrazu dostaneme lokálny vzťah medzi posunutím všeobecného bodu prvku a posunutiami uzlových bodov i, j

αAa

2

1

1

1

ej

ei

ej

eie

x

x

u

u

e

ej

ei

ee

e

ei

e

ei

u

u

LL

L

x

L

x

aAα 1

2

1

11

1



Pomerná deformácia prvku

a pre napätie v prvku platí

Lokálna matica tuhosti prvku

eeej

ei

ee

eeei

ejx

u

u

LLdx

dLuu

dx

duaBa

Nε

11/

e

ei

eje

L

uuE

aBDεDσ

11

11111

1

VV

Te

ee

ee

x

xe

ee

L

EAdxA

LLE

L

Ldej

ei

BDBK


M etóda K onečných P rvkov vo výrobných technológiach

Documents

Transcript of M etóda K onečných P rvkov vo výrobných technológiach