M. EN C. GAL VARGAS NERI 1 ESTADISTICA I CSH. Planeación del curso 2 TEMACAP. TITULODÍA S SEMFEC...

M. EN C. GAL VARGAS NERI

1

ESTADISTICA I CSH

Planeación del curso

2

TEMA CAP.

TITULO DÍAS

SEM FEC FIN

TEMA 0 0 MOTIVACION Y PLANEACION

1 1 11/01

TEMA I 1-2 ESTADISTICA Y MEDICION 2 1 15/01

TEMA II

2-3 BASES DE DATOS Y ESTADISTICOS DESCRIPTIVOS

6 2-3 29/01

TEMA III

4-5 DISTRIBUCIONES DE PROB. 6 4-5 15/02

Primer Evaluación 1 6 17/02

TEMA IV

5-6 INTRODUCCION A LA INFERENCIA

2 6 22/02

TEMA V

7 DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO

6 7 05/03

TEMA VI

8 ESTIMACION PUNTUAL DE PARAMETROS

4 8 13/03

Segunda

Evaluación 1 9 15/03

TEMA VII

8 ESTIMACION POR INTEVALO 5 9-10 26/03

TEMA VIII

8 MUESTEO ALEATORIO SIMPLE

3 11 31/03

Tercer Evaluación 1 EG

Evaluación global 1 EG

PLANEACION DE ESTADISTICA I CSHTEMARIO

, es desconocida

Población Muestra aleatoriaCon un 95% de confianza sé que está entre 40 y

60. X = 50

Proceso de Estimación

Muestra

Estimador PoblacionalParámetro...

Con muestraEstadística

Media

Proporción p ps

Varianza s2

Estimación de Parámetros Poblacionales

2

Diferencia - 1 2

x - x 1 2

X_

__

Variación de los Parámetros y , se obtiene Distribuciones Diferentes de Normal.

Éstas son un número

infinito

Distribución Normal

El Modelo Matemático

f(X) = frecuencia de variable aleatoria X

= 3.14159; e = 2.71828

= Desviación estándar de población

X = valor variable aleatoria (- < X < )

= media de población

21

2

2

1

2

X

f X e

Distribución Normal: Encontrando Probabilidades

Probabilidad es el área debajo de la curva¡

c dX

f(X)

P c X d( ) ?

¡Infinidad de Distribuciones Normales significa infinidad de tablas para buscar!

¿Cada distribución tiene su propia tabla?

¿Cuál Tabla?

Estandarización de una variable aleatoria normal

Xx1 x2 Zz1 0 z2

)1,0(, NZdondeX

Z

Distribución Normal

Distribución Normal Estandarizada

Asignación de NormalidadCompare las características de los datos con las propiedades

de la distribución normal

• Poner los datos en un arreglo ordenado

• Encontrar correspondencia con los cuartiles de la distribución normal estandarizada

• Dibujar los pares de puntos

• Ajustar una línea recta

Ejercicios de Distribución Normal

1. Una fábrica de alimentos empaca productos cuyos pesos están distribuidos normalmente con media de 450 gramos y desviación estándar de 20 gramos. Encuentre la probabilidad de que un paquete escogido al azar pese entre 425 y 486 gramos.

Solución = 450 gramos = 20 gramos P(425 < X > 486) = ? Determinar la variable aleatoria relacionada


Elaborar gráfica del problema

425 450 486

Cálculos P ( 425 <X < 486 ) = P ( -1.25 < Z < 1.80 )


Encontremos la probabilidad utilizando la tablaP ( Z < 1.80 ) – P(Z < -1.25) = 0..9641 - .1056 = 0.8585

Entonces:La probabilidad de que un paquete escogido al azar

pese entre 425 y 486 gramos es de 0.8585.


2. Cierto tipo de pieza para automóvil tiene un promedio de duración de 3 años con una desviación estándar de 0.5 años. Suponga que la duración de las piezas esta distribuida normalmente , encuentre la probabilidad de que una pieza determinada tenga un tiempo de duración de más de 3.5 añosSoluciónDatos = 3.0 años = 0.5 añosX > 3.5 añosDeterminemos la variable aleatoria relacionada



3.0 3.5

Cálculo P ( X > 3.5 ) = P ( Z > 1.0 )


Encontremos la probabilidad utilizando la tabla P ( Z > 1.0 ) = .5 - .3413 = 0.1587 Conclusión la probabilidad de que una pieza determinada tenga un tiempo de duración de más de 3.5 años es de 0.1587


3. En un examen la calificación promedio fue 3.5 y la desviación estándar 0.3. Las calificaciones siguen una distribución normal. a) ¿ Qué porcentaje de estudiantes tuvo notas por debajo de 2.0? b) ¿ Qué porcentaje de estudiantes tuvo notas por encima de 4.0.SoluciónDatos = 3.5 = 0.3X < 2.0X > 4.0Determinaremos la variable aleatoria relacionada



2.0 3.5 4.0

Cálculos

P ( X < 2.0 ) = P ( Z < -5.0 ) P (X > 4.0) = P (Z > 1.67)


Encontrar la probabilidad utilizando la tabla P ( Z < -5.0 ) = 0 P ( Z > 1.67) = .5 - .4525 = .0475

ConclusiónNingún estudiante obtuvo calificaciones por debajo de 2.0 y solamente el 4.75% obtuvo calificaciones por arriba de 4.0.

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN JI- CUADRADA

1. Los valores de 2 son mayores o iguales que cero.

2. La forma de una distribución 2 depende de gl = n -1.

3. El área bajo una curva 2 y sobre el eje horizontal es 1

4. Las distribuciones 2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden hacia la derecha; esto es, están sesgadas hacia la derecha.

5. Cuando n > 2, la media de la distribución 2 es n -1 y la varianza es 2(n-1).

gl=3gl=5

gl=10

Ji - cuadradaTiene un sólo parámetro

denominado grados de libertad.

La función de densidad se hace más simétrica incluso casi gaussiana cuando aumenta el número de grados de libertad.

Normalmente consideraremos atípicos aquellos valores de la variable de la “cola de la derecha”.

Estimación de la Varianza

Para poder estimar la varianza de una población normal se utilizará la distribución ji-cuadrada.

Al despejar esta fórmula la varianza poblacional nos queda:

Los valores de X2 dependerán de nivel de confianza que se quiera al cual le llamamos . Si nos ubicamos en la gráfica se tiene:

1. Los tiempos requeridos por un autobús para llegar a su destinos, sigue una distribución normal con desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.

Solución:Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada

correspondiente a s2=2 como sigue:

Ejemplos

Ejemplos..

El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)

Ejemplos..

2. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza

tenga una varianza muestral: a. Mayor que 9.1 b. Entre 3.462 y 10.745 Solución.a. Primero se procederá a calcular el valor de la ji-cuadrada:

Al buscar este número en el renglón de 24 grados de libertad nos da un área a la derecha de 0.05. Por lo que la P(s2 >9.1) = 0.05

Ejemplos..

b. Se calcularán dos valores de ji-cuadrada:

y Aquí se tienen que buscar los dos valores en el

renglón de 24 grados de libertad. Al buscar el valor de 13.846 se encuentra un área a la derecha de 0.95.

El valor de 42.98 da un área a la derecha de 0.01. Como se está pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el área de 0.95 menos 0.01 quedando 0.94.

Por lo tanto la P(3.462 s2 10.745) = 0.94

Ejemplos..

Por lo tanto la P(3.462 s2 10.745) = 0.94

Ejemplos..

3.Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta compañía:

46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compañía, suponga una población normal.

Solución:Primero se calcula la desviación estándar de la

muestra:

Ejemplos..

al elevar este resultado al cuadrado se obtiene la varianza de la muestra s2= 0.286.

Para obtener un intervalo de confianza de 95% se elige un = 0.05. Después con el uso de la tabla con 9 grados de libertad se obtienen los valores de X2.

Ejemplos..

Se puede observar en la gráfica anterior que el valor de X2 corre en forma normal, esto es de izquierda a derecha.

Por lo tanto, el intervalo de confianza de 95% para la varianza es:

Gráficamente:Se observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto

es sólo en la gráfica. La interpretación quedaría similar a nuestros temas anteriores referentes a estimación. Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la varianza de la población de los pesos de los paquetes de semillas de pasto esta entre 0.135 y 0.935 decagramos al cuadrado.

Ejemplos..

Gráficamente:

Se observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto es sólo en la gráfica.

La interpretación quedaría similar a nuestros temas anteriores referentes a estimación. Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la varianza de la población de los pesos de los paquetes de semillas de pasto esta entre 0.135 y 0.935 decagramos al cuadrado.

Zt

0

t (lg = 5)

Normal Estándar

t (lg = 13)CampanaSimétrica

Distribución t de Student

El número de observaciones que son libres de variar después de que la media de la muestra ha sido calculada.

Ejemplo: Media de 3 números es 2X1 = 1 (o cualquier número)X2 = 2 (o cualquier número)X3 = 3 (no puede variar)media = 2

Grados de libertad = n -1 = 3 -1= 2

Grados de Libertad (lg)

Supóngase que se toma una muestra de una población normal con media y varianza . Si es el promedio de las n observaciones que contiene la muestra aleatoria, entonces la distribución

es una distribución normal estándar. Supóngase que la varianza de la población 2 es desconocida. ¿Qué sucede con la distribución de esta estadística

si se reemplaza por s? La distribución t proporciona la respuesta a esta pregunta.

La media y la varianza de la distribución t son = 0 y para >2, respectivamente.


Supóngase que se toma una muestra de una población normal con media y varianza . Si es el promedio de las n observaciones que contiene la muestra aleatoria, entonces la distribución

es una distribución normal estándar. Supóngase que la varianza de la población 2

es desconocida. ¿Qué sucede con la distribución de esta estadística si se reemplaza por s? La distribución t proporciona la respuesta a esta pregunta.

La media y la varianza de la distribución t son = 0 y para >2, respectivamente.


Ejemplo:Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de

cierto proceso en lotes es 500 gramos por milímetro de materia prima. Para verificar esta afirmación toma una muestra de 25 lotes cada mes. Si el valor de t calculado cae entre –t0.05 y t0.05, queda satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusión extraería de una muestra que tiene una media de 518 gramos por milímetro y una desviación estándar de 40 gramos? Suponga que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal.

Solución:De la tabla encontramos que t0.05 para 24 grados de libertad es de 1.711. Por

tanto, el fabricante queda satisfecho con esta afirmación si una muestra de 25 lotes rinde un valor t entre –1.711 y 1.711.

Se procede a calcular el valor de t:Este es un valor muy por arriba de 1.711. Si se desea obtener la probabilidad

de obtener un valor de t con 24 grados de libertad igual o mayor a 2.25 se busca en la tabla y es aproximadamente de 0.02. De aquí que es probable que el fabricante concluya que el proceso produce un mejor producto del que piensa.

Área Superior de la Cola

df .25 .10 .05

1 1.000 3.078 6.314

2 0.817 1.886 2.920

3 0.765 1.638 2.353

t0

Considere: n = 3 df = n - 1 = 2

= .10 /2 =.05

2.920Valores t

/ 2 = .05

Tabla t de Student

M. EN C. GAL VARGAS NERI 1 ESTADISTICA I CSH. Planeación del curso 2 TEMACAP. TITULODÍA S SEMFEC...

Documents

Transcript of M. EN C. GAL VARGAS NERI 1 ESTADISTICA I CSH. Planeación del curso 2 TEMACAP. TITULODÍA S SEMFEC...