lyapunov

Universidad Veracruzana

Facultad de Matematicas

Funciones de Lyapunov

y Algunas Aplicaciones

T E S I S

que para aprobar la experiencia educativa

Experiencia Recepcional

correspondiente al plan de estudios

de la Licenciatura en Matematicas

P R E S E N T A:

Mario Alberto Yepez Rivera

DIRECTOR DE TESIS:

Dr. Evodio Munoz Aguirre.

Mayo del ano 2013, Xalapa-Enrquez, Veracruz. Mexico

Despues de varios anos el final de una etapa mas de mi vida ha llegado, unaetapa que no fue facil de transitar, pero gracias a muchas personas hoy estoyaqu, en primer lugar a mi madre Herminia Rivera Reyna, quien me ha brindadola fortaleza para siempre salir adelante y me ha ensenado a nunca darme porvencido; a mis hermanos: Margarita, Olivia, Flor, Rolando, Wilfrido y Carolina,quienes siempre creyeron en m y me han brindado su apoyo incondicional; a misprofesores, quienes me transmitieron los conocimientos; tambien a mis amigos,esos que hacan todo divertido en la facultad, esos que en mi casa me alentaban asuperarme; tambien esos amigos que se han ido o pronto los dejare de ver, porquehan dejado una huella muy grande en m; y a Dios por haberme dado esta vida yponerme a tan maravillosas personas en el camino.

Indice general

1. Introduccion 1

2. Teora de Estabilidad 42.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Conceptos Basicos de Sistemas Dinamicos . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1. Descripcion y Tipos de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2. Puntos de Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3. Definicion y Tipos de Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4. Primer Metodo de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4.1. Sistemas Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.2. Sistemas no Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. Funciones de Lyapunov 183.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3. Segundo Metodo de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4. Metodos de busqueda de Funciones de Lyapunov . . . . . . . . . 22

3.4.1. Metodo de Krasovskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4.2. Metodo del Gradiente Variable . . . . . . . . . . . . . . . 243.4.3. Funcion de Lyapunov de Forma Cuadratica . . . . . . . . 27

4. Aplicaciones 294.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2. Pendulo simple no amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.1. Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2.2. Metodo de Krasovskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2.3. Metodo del Gradiente Variable . . . . . . . . . . . . . . . 324.2.4. Funcion de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3

4.3. Controlador de Posicion Robotico . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3.1. Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.3.2. Funcion de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5. Conclusiones 39

1Introduccion

Antecedentes

Desde los orgenes de lo que conocemos como ciencia, el hombre ha tratadode entender y explicar su entorno, pero se ha encontrado con un mundo cambiante,donde todo esta en movimiento, y se ha propuesto comprender el como y el porque de esos movimientos. Una forma de explicar este comportamiento es a tra-ves de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDOs), pero algunos fenomenosrequieren de un sistema de estas. La teora de los sistemas dinamicos intenta en-tender procesos en movimiento, es decir cambios o variaciones de un objeto conrespecto al tiempo.

Se entiende por un sistema dinamico al sistema de ecuaciones diferencialesordinarias expresados como x = f (x), segun se puede ver en [5], [7], [8], [14],[15], etc.

La estabilidad es una propiedad cualitativa de los sistemas dinamicos a la quese le considera la mas importante de todas. Los conceptos de estabilidad e in-estabilidad estan presentes en la vida cotidiana (bolsa de valores, estado de salud,estructuras en construccion, etc.), por eso es necesario definir un concepto usadocon mucha frecuencia.

No fue sino hasta 1892 cuando Aleksandr Mijailovich Lyapunov (1857-1918)formulo de manera precisa el concepto de estabilidad, dando origen a lo que hoyse conoce como teora de estabilidad, enmarcada en el estudio de los sistemas deEcuaciones Diferenciales Ordinarias lineales y no lineales.

1

1. INTRODUCCION 2

Justificacion

Para sistemas lineales, existen resultados que nos indican de una manera facily sencilla si el sistema es estable y a que tipo de estabilidad nos referimos, estoforma parte de la teora de Lyapunov. Estos resultados no se pueden aplicar direc-tamente a los sistemas no lineales, sin embargo en algunos casos se puede llegara conocer su comportamiento mediante sistemas linealizados asociados a estos.Pero en general no se puede obtener ninguna informacion del sistema no lineal.

En el analisis de Lyapunov se permite estudiar la estabilidad alrededor de unpunto de equilibrio de sistemas no lineales, por medio de una funcion a la quese le llama funcion de Lyapunov. Una funcion de Lyapunov es una funcionV : Rn R, tal que V(x) es definida positiva y V(x) es definida negativa, ver[6], [10], [11], [12], [13], etc.

La dificultad que guarda este tema es realmente la identificacion de estas fun-ciones, ya que no es posible reconocerlas a simple vista, dado que no existe unmetodo sistematico que permita dar a conocer una funcion en sentido de Lya-punov, salvo en algunos casos muy especficos. Estas funciones son de gran uti-lidad en muchas ramas de la ciencia, en particular en las que se aplica la teorade control, como por ejemplo aeronautica, robotica o procesos industriales, pormencionar algunas.

Este trabajo se puede resumir de la siguiente manera:

En el segundo captulo se dan a conocer definiciones basicas de sistemas deecuaciones diferenciales ordinarias, as como sus propiedades, siendo la estabi-lidad una de las mas importantes, la cual se estudia alrededor de los puntos deequilibrio del sistema.

El estudio de la estabilidad en los sistemas lineales es sencillo, esto, al analizarlas caractersticas de los eigenvalores y eigenvectores de la matriz asociada al sis-tema, pero en sistemas no lineales no se puede aplicar esta tecnica directamente,para ello se procede a realizar una linealizacion y a partir del sistema linealizadose puede hacer el estudio de la estabilidad.

En el tercer captulo se da a conocer que en algunos casos el sistema linealiza-

1. INTRODUCCION 3

do no provee la informacion deseada, para ello se puede utilizar las funciones deLyapunov, ya que estas estudian la estabilidad a partir del sistema no lineal, peroestas funciones son difciles de encontrar, ya que no existe un metodo que siempregue al hallazgo de una funcion de Lyapunov.

Algunos metodos que sirven para sistemas no lineales de bajo orden son el deKrasovskii y el del Gradiente Variable, aunque no siempre son eficaces, inclusose pueden auxiliar de la construccion de funciones de la forma cuadratica.

En el cuarto captulo se muestra el uso del analisis de Lyapunov en fenomenosfsicos: el movimiento de un pendulo simple y el de un manipulador robotico, am-bos tienen su complicacion de cierta manera.

El primer fenomeno se puede analizar mediante el metodo de Krasovskii y eldel gradiente variable, sin embargo con estos metodos no se puede obtener unafuncion de Lyapunov, as, se procede a utilizar una ecuacion muy utilizada enfsica como funcion de Lyapunov: La ecuacion de la energa.

Para el segundo fenomeno es muy complicado obtener una funcion de Lya-punov por algunos de los metodos, dada la dimension del sistema asociado con elfenomeno, pero para este caso tambien se puede utilizar la ecuacion de la energa,aunque acoplada al fenomeno del manipulador.

ObjetivosOBJETIVO GENERAL:

Realizar un analisis de la estabilidad de sistemas dinamicos descritos porEcuaciones Diferenciales Ordinarias por medio de las funciones de Lya-punov, enfatizar su importancia a traves de algunos ejemplos de aplica-ciones y mostrar algunos metodos que ayuden a encontrarlas.

OBJETIVOS PARTICULARES:

Realizar un estudio de las Funciones de Lyapunov.

Mostrar la importancia de las funciones de Lyapunov con algunosejemplos de aplicaciones.

Exponer algunos metodos para encontrar funciones de Lyapunov.

2Teora de Estabilidad

2.1. IntroduccionDe acuerdo con los libros de ecuaciones diferenciales ordinarias, una ecuacion

diferencial ordinaria (EDO) suele representar el modelo matematico de un fenomenofsico, las ecuaciones pueden ser lineales o no lineales, en algunos casos losfenomenos fsicos, qumicos, biologicos, etc. se modela como un sistema de estas.

La solucion de un sistema de EDOs indica el comportamiento de este, de estehecho se pueden estudiar algunas de sus propiedades importantes, tal es el casode la estabilidad, que se estudia a partir de los puntos de equilibrio.

En este captulo se exponen algunas definiciones y algunos resultados para es-tudiar la estabilidad local de sistemas lineales y no lineales.

El material que se presenta en este segundo captulo se puede encontrar en [2],[7], [10], [12], [13], [15], etc.

2.2. Conceptos Basicos de Sistemas Dinamicos

2.2.1. Descripcion y Tipos de SistemasUn sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (SEDO) normal es un

conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias relacionadas entre si:

4

2. TEORIA DE ESTABILIDAD 5

x1 = f1(t, x1, x2, ... , xn)x2 = f2(t, x1, x2, ... , xn)

...xn = fn(t, x1, x2, ... , xn),

(2.1)

donde los fis son funciones reales de n + 1 variables, x1, ... ,xn,t R conocidascomo variables dependientes e independientes respectivamente.

Definicion 2.1 Una solucion del sistema (2.1) es una funcion vectorial x = x(t),que satisface la igualdad, a esta se le llama trayectoria del sistema o lnea de flujo.

Para una mejor notacion, se usaran vectores de la siguiente manera:

x =

x1x2...

xn

.

Luego se tiene el sistema representado por una sola ecuacion

x = f (t, x) (2.2)

donde

f (t, x) =

f1(t, x1, x2, ... , xn)

...fn(t, x1, x2, ... , xn)

.Definicion 2.2 Se dice que el sistema (2.2) es autonomo si no contiene de maneraexplcita a la variable t.

As, un sistema autonomo nos queda como:

x = f (x) (2.3)

Definicion 2.3 Si cada una de las funciones f1, . . . , fn de (2.3) es una funcionlineal de las variables dependientes x1, . . . , xn, entonces se dice que el sistema eslineal; en caso contrario, es no lineal.


La forma de representar un sistema autonomo lineal es

x = Ax (2.4)

donde x R , A es una matriz nxn con entradas constantes y la derivada

x =dxdt

=

dx1dt...

dxndt

.Esta forma se utilizara cuando se estudie la estabilidad de dichos sistemas.

2.2.2. Puntos de EquilibrioSe puede tener el caso en que una trayectoria solo le corresponda un punto, a

este punto se le llama punto de equilibrio.

Definicion 2.4 Un punto x es un punto de equilibrio, si una vez que x(t) es iguala x, lo sigue siendo para todo el tiempo futuro.

Esto significa que si el vector constante x es un punto de equilibrio, entoncessatisface

f (x) = 0 (2.5)

As que los puntos de equilibrio pueden encontrarse resolviendo la ecuacionalgebraica (2.5).

2.3. Definicion y Tipos de EstabilidadUna de las propiedades mas importantes de los sistemas de EDO es la estabi-

lidad, la cual, se puede estudiar de manera local o global, el primer caso se estudiaa partir de los puntos de equilibrio.

En este trabajo se estudiara la estabilidad para los sistemas autonomos. En estecaso, se tiene la siguiente definicion.


Definicion 2.5 Se dice que un punto de equilibrio x es estable si, dado cualquier > 0, existe > 0 tal que la solucion x = x(t) del sistema (2.2), que en t = 0satisface

x(0) x < existe y satisface

x(t) x < para toda t 0

Figura 2.1: punto de equilibrio estable

Esto nos dice que las soluciones que inicien suficientemente cercanas a x per-manecen cerca.

Definicion 2.6 Un punto de equilibrio es inestable, si no es estable.

Figura 2.2: punto de equilibrio inestable


Definicion 2.7 Un punto de equilibrio x es asintoticamente estable si es establey si existe 0, con 0 < 0 < , tal que si una solucion x = x(t) satisface

x(0) x < 0entonces

lmt x(t) = x

.

Figura 2.3: punto de equilibrio asintoticamente estable

Por tanto las trayectorias que inician suficientemente cerca de x no solo debenpermanecer cerca, al final deben aproximarse a x cuando t .


2.4. Primer Metodo de Lyapunov

2.4.1. Sistemas LinealesAntes de comenzar con el estudio de la estabilidad de los sistemas no lineales,

se hara un breve estudio sobre la estabilidad de los sistemas lineales, para ello setoma el caso mas sencillo, cuando A es una matriz 2x2 en la ecuacion (2.4).

Considere un sistema lineal de segundo orden con coeficientes constantes, estesistema tiene la forma:

x = Ax.

Claramente x = 0 es un punto de equilibrio.

Para este sistema se buscan soluciones de la forma x = et. Sustituyendo enla ecuacion anterior se tiene:

(A I) = 0. (2.6)De esto, es un eigenvalor y un eigenvector.

Los numeros s son races de la ecuacion polinomial

det(A I) = 0 (2.7)Los eigenvalores pueden determinarse a partir de (2.7).

El plano donde se encuentran ubicadas las soluciones se le llama plano fase yal conjunto de trayectorias retrato fase.

Para analizar la estabilidad, debemos considerar diferentes casos, dependien-do de los eigenvalores de A. A continuacion se hace un esquema de los diferentesretratos fase al variar las races del polinomio caracterstico.

Caso 1 : Eigenvalores reales y del mismo signoSe tienen dos opciones:

i) Fuente (Eigenvalores positivos): Las trayectorias del sistema iniciancerca del origen y se alejan de el en diferentes direcciones.


Figura 2.4: fuente o repulsor (1 2 0)

ii) Sumidero (Eigenvalores negativos): Las trayectorias del sistema concondicion inicial fuera del origen se acercan a el en diferentes direc-ciones.

Figura 2.5: sumidero o atractor (1 2 0)

Caso 2 : Eigenvalores reales y de signo contrario

Nodo silla: Las trayectorias del sistema con condicion inicial fuera del ori-gen se acercan un poco a el y despues se alejan.


Figura 2.6: nodo silla (1 > 0 > 2)

Caso 3 : Eigenvalores complejos(12 = i)Tenemos dos opciones:

i) Espirales (Eigenvalores con parte real diferente de cero):

a) Parte real negativa e imaginaria positiva: las trayectorias con condi-cion inicial fuera del origen se dirigen a el girando en sentido ho-rario.

b) Parte real e imaginaria positivas: las trayectorias surgen en unpunto cercano al origen y se alejan de el girando en sentido ho-rario.

c) Parte real e imaginaria negativas: las trayectorias condicion inicialfuera del origen se dirigen a el girando en sentido antihorario.

d) Parte real positiva e imaginaria negativa: las trayectorias surgenen un punto cercano al origen y se alejan de el girando en sentidoantihorario.


(a) (b)

(c) (d)

Figura 2.7: Tipos de espirales de acuerdo a su parte real e imaginaria: a) 0, b) > 0, > 0, c) < 0, < 0, d) > 0, < 0.

ii) Centro (Eigenvalores con parte real igual a cero): Las trayectoriastienen forma elptica o circular, las cuales giran en sentido

a) antihorario, si la parte imaginaria es negativa.b) horario, si la parte imaginaria es positiva.

(a) (b)

Figura 2.8: Tipos de centros de acuerdo a su parte imaginaria: a) < 0, b) > 0.

Al reflexionar estos casos y analizar los retratos fase correspondientes se pueden


hacer las siguientes observaciones:

a) Si los eigenvalores tienen parte real negativa, las trayectorias se aproximana x = 0 cuando t .

b) Si la parte real es cero, las trayectorias permanecen acotadas pero no seaproximan a x = 0 cuando t .

c) Si los eigenvalores tienen parte real positiva, las trayectorias tienden al in-finito cuando t .

De las definiciones de estabilidad y de estas observaciones podemos concluir conla siguiente tabla:

Eigenvalores Tipo de punto de equilibrio Estabilidad1 2 > 0 Fuente Inestable1 2 < 0 Sumidero Asintoticamente Estable1 < 0 < 2 Nodo Silla Inestable

12 = i; > 0 Espiral (repulsor) Inestable12 = i; < 0 Espiral (atractor) Asintoticamente Estable

12 = i Centro Estable

Se puede estudiar el caso de un sistema lineal n-dimensional y se cuenta conun Teorema [2] que afirma lo siguiente

Teorema 2.1 * Cada solucion x = x(t) de (2.4) es estable si todos los eigen-valores de A tienen parte real negativa.

* Cada solucion x = x(t) de (2.4) es inestable si al menos un eigenvalor de Atienen parte real positiva.


* Supongase que todos los eigenvalores de A tienen parte real 0 y i =i1 . . . l = il tienen parte real cero. Sea j = i j de multiplicidad k j, estoes que el polinomio caracterstico de A puede ser factorizado como

P() = ( i1)k1 . . . ( il)klq()donde todos las races de q() tienen parte real negativa, entonces cadasolucion x = x(t) es estable si A tiene k j eigenvalores linealmente indepen-dientes para cada eigenvalor j = i j, de otra manera cada solucion x(t)es inestable.

2.4.2. Sistemas no LinealesUn aspecto importante de los sistemas lineales es que el comportamiento de

sus soluciones cerca de un punto de equilibrio nos dice el comportamiento de lassoluciones en todo el plano, sin embargo, si se quiere analizar el comportamientolocal de los sistemas no lineales, no se puede hacer de una manera tan directa, ellose hace mediante un proceso de linealizacion.

Algunos procesos de linealizacion nos pueden llevar a casos erroneos, comoel caso de tomar solo la parte lineal de cada ecuacion que compone el sistema, yaque esto no garantiza que el sistema linealizado se comporte de manera semejanteal original.

El analisis de la linealizacion se basa en un concepto del calculo, la aproxi-macion lineal de Taylor:

f (x) = f (a) + f (a)(x a) + f2(a)2!

(x a)2 + . . . + fn(a)n!

(x a)n

= f (a) + f (a)(x a) + (x a)2{

f 2(a)2!

+f 3(a)3!

(x a) + . . . + fn(a)n!

(x a)n2},

el cual se puede escribir como: f (x) f (a) + f (a)(x a) + O((x a)2), dondeO((x a)2) representa el hecho de que si x esta muy cerca de a, la suma de losterminos a partir del segundo es acotado por un multiplo de (x a)2.

Supongase que se tiene un sistema autonomo bidimensional, no lineal, de laforma

x1 = F(x1, x2)x2 = G(x1, x2)

, (2.8)


que tiene como punto de equilibrio el origen (si el punto de equilibrio no es elorigen se puede hacer una traslacion a el); es decir F(0, 0) = 0 y G(0, 0) = 0.

Para la funcion F(x1, x2) la mejor aproximacion en torno al punto (a, b) laproporciona el plano tangente dado por la formula de Taylor

F(x1, x2) F(a, b) + Fx1

(a, b)(x1 a) + Fx2

(a, b)(x2 b),

donde Fx1

(a, b) y Fx2

(a, b) son las derivadas parciales de F evaluadas en el punto(a, b).

Si se toma el punto (a, b) como (0, 0), se puede escribir (2.8) en la forma

x1 = F(0, 0) +Fx1

(0, 0)x1 +Fx2

(0, 0)x2 + f (x1, x2)

x2 = G(0, 0) +Gx1

(0, 0)x1 +Gx2

(0, 0)x2 + g(x1, x2).

Como el punto de equilibrio es (0, 0), se tiene que, F(0, 0) = G(0, 0) = 0,entonces el sistema queda

x1 = ax1 + bx2 + f (x1, x2)

x2 = cx1 + dx2 + g(x1, x2),

donde

a =Fx1

(0, 0), b =Fx2

(0, 0), c =Gx1

y d =Gx2

(0, 0),

y se cumple que

lm(x1,x2)(0,0)

f (x1, x2)x21 + x

22

= lm(x1,x2)(0,0)

g(x1, x2)x21 + x

22

= 0

La ecuacion anterior afirma que en las proximidades del origen f y g sonpequenos en comparacion con la distancia del punto (x, y) al origen.


Con este hecho, el sistema asociado en torno al punto de equilibrio es:

x1 = ax1 + bx2x2 = cx1 + dx2

(2.9)

o x = Ax con x = (x1, x2)t, x = (x1, x2)t y A =(

a bc d

), esta ultima igualdad

es el Jacobiano del sistema no lineal evaluado en el origen, en general en un puntode equilibrio.

De esta manera el comportamiento local del sistema no lineal, puede ser es-tudiado por medio de su sistema lineal asociado, del cual es mucho mas facilestudiar la estabilidad.

Este proceso se puede generalizar para un sistema n-dimensional de maneraanaloga y nos conduce al resultado que se conoce como primer metodo de Lya-punov o metodo indirecto de Lyapunov.

Teorema 2.2 (Primer Metodo de Lyapunov) Sea x = 0 un punto de equilibriodel sistema autonomo no lineal x = f (x) donde f : E Rn es una funcioncontinuamente diferenciable y E Rn es un entorno del origen.

Sea entonces:

A = f (x)x

x=0

=

f1x1

f1x2

f1x3 f1

xn f2x1

f2x2

f2x3 f2

xn f3x1

f3x2

f3x3 f3

xn...

......

. . ....

fnx1

fnx2

fnx3 fn

xn

x=0

i) El origen es asintoticamente estable, si todos los eigenvalores de A tienenparte real negativa.

ii) El origen es inestable, si al menos un eigenvalor de A tiene parte real posi-tiva.

Este teorema nos muestra el comportamiento local de los sistemas no linealesalrededor de un punto de equilibrio que tenga valor propio con parte real distintade 0, pero se puede tener el caso de que el punto de equilibrio sea solamente


estable, es decir un centro, entonces se procedera a estudiar la estabilidad en unacierta region, para conocer el comportamiento en dicha region se necesitan otrotipo de tecnicas, tal es el caso de las funciones de Lyapunov.

3Funciones de Lyapunov

3.1. IntroduccionSe ha analizado la estabilidad tanto de los sistemas lineales como de los no

lineales, para estos ultimos se ha descrito el proceso de linealizacion, sin embar-go, cuando el punto de equilibrio es un centro no se puede asegurar que tipo deestabilidad se tiene, en estos casos se procede a estudiar la estabilidad de los sis-temas no lineales en una region alrededor de este punto.

Una de las tecnicas para estudiar la estabilidad, es el uso de funciones de Lya-punov, pero estas tienen cierta particularidad, no existe un metodo que garanticeque una funcion es de Lyapunov, ni algun metodo general para encontrarlas, masbien se requiere de habilidad para realizar su busqueda.

En este captulo se hablara acerca de estas funciones, as como de sus carac-tersticas para garantizar el tipo de estabilidad que tienen los sistemas, tambien sedaran algunos metodos para encontrar funciones candidatas a ser de Lyapunov.

Este material se encuentra en [2], [3], [4], [5], [7], [8], [10].

18

3. FUNCIONES DE LYAPUNOV 19

3.2. DefinicionSea V : D R un campo escalar continuamente diferenciable definido en un

dominio D Rn que contiene a x, entonces:Definicion 3.1 :

V(x) es una funcion definida positiva si V(x) = 0 y V(x) > 0 en D x.

V(x) es una funcion semidefinida positiva si V(x) = 0 y V(x) 0 en D.

V(x) es una funcion definida negativa si V(x) es definida positiva.

V(x) es una funcion semidefinida negativa si V(x) es semidefinida posi-tiva.

Definicion 3.2 Una funcion V(x) definida positiva con V(x) semidefinida negati-va se le llama Funcion de Lyapunov para x; si ademas se cumple que V(x) esdefinida negativa, se le llama Lyapunov estricta con relacion a x.

3.3. Segundo Metodo de LyapunovPara estudiar la estabilidad de los sistemas no lineales en una determinada re-

gion a partir de las funciones de Lyapunov, se tiene el siguiente teorema, tambienconocido como metodo directo de Lyapunov.

Teorema 3.1 (Segundo Metodo de Lyapunov) Si existe una funcion de LyapunovV(x) para el punto de equilibrio x del sistema (2.3), entonces x es estable.Ademas , si esta funcion es Lyapunov estricta entonces el punto de equilibrioes asintoticamente estable.

Demostracion:


Para el caso de un sistema bidimensional se tiene al sistema:

dxdt = F(x, t)dydt = G(x, t)

(3.1)

Sea c 0 una constante y V(x, y) = c la curva en el plano xy con V(0, 0) = 0.

Supongase que si 0 < c1 < c2 la curva V(x, y) = c1 esta dentro de v(x, y) = c2.

Se sabe que V(x, y) es normal a la curva en c y apunta en direccion de V(x, y)creciente, es decir V(x, y) crece hacia afuera del origen.

Se consideran las trayectorias x = (t), y = (t) del sistema y sea T (t) =(t)i + (t) j la tangente en la trayectoria en cada punto.

Sea x1 = (t1), y1 = (t1) un punto de interseccion de la trayectoria y la curvaV(x, y) = c entonces:

V(x, y) = Vx(x, y)(t1) + Vy(x, y)(t1) = [Vx(x, y)i + Vy(x, y) j] [(t1)i + (t1) j]= V(x, y) T (t1) = V(x, y)T (t1) cos

De esto V(x, y) es el producto escalar de V(x, y) y T (t), como V(x, y) 0, setiene que el coseno del angulo entre V(x, y) y T (t) tambien es menor o igual a


cero, entonces este angulo se encuentra en el intervalo [pi2 ,3pi2 ].

Por lo tanto el movimiento de la trayectoria es hacia adentro con respecto a co en el peor de los casos es tangente a la curva c.

Caso 1 Si la trayectoria se inicia dentro de la curva nunca podra salir de esta. Sepuede tomar una bola de radio alrededor del origen y una curva con unac suficientemente pequena para asegurar que la trayectoria no escapa de labola.

Por lo tanto el origen es un punto estable.

Caso 2 Si V(x, y) < 0 entonces las trayectorias siempre apuntan hacia adentro dela curva, dado que el angulo se encuentra en el intervalo (pi2 ,

3pi2 ), de esta

manera la trayectoria no solo ira hacia dentro de la curva sino, ademas seaproximara al origen.

Por lo tanto el origen es un punto de equilibrio asintoticamente estable.


3.4. Metodos de busqueda de Funciones de Lyapunov

3.4.1. Metodo de KrasovskiiTeorema 3.2 (Metodo de Krasovskii) Considere el sistema autonomo definidoen (2,2), con punto de equilibrio en el origen. Sea A(x) la matriz jacobiana delsistema, es decir

A(x) = fx

Si la matriz F = A + AT es definida negativa en una vecindad , entonces el puntode equilibrio en el origen es asintoticamente estable.

Una funcion de Lyapunov para este sistema es V(x) = f T (x) f (x)

Demostracion:

Primero se demostrara que si f (x) es definida negativa entonces la matriz ja-cobiana A(x) es invertible.

Se probara que si F es definida negativa, entonces f (x) , 0 para x , 0.

Supongase que A(x) no es invertible, es decir, que A(x) es singular, entoncesexiste un vector y0 tal que A(x)y0 = 0.

Se multiplica F por la derecha con y0 y por la izquierda con yT0

yT0 Fy0 = yT0 (A + A

T )y0.

Como A + AT es una matriz simetrica, al efectuar la multiplicacion con yT0 yy0 por la izquierda y por la derecha respectivamente, se tendra como resultado 2veces la suma del escalar resultante de yT0 Ay0, de esto se tiene que

yT0 Fy0 = 2yT0 Ay0.

La singularidad de A implica que yT0 Ay0 = 0, esto es que yT0 Fy0 = 0, lo que

contradice que F sea una matriz definida negativa.

Como la matriz A es invertible y esta es el jacobiano de f (x), se puede garan-tizar que f (x) es unicamente invertible, lo cual implica que el sistema tiene solo


un punto de equilibrio en , es decir que f (x) , 0 para x , 0.

Para mostrar que el origen es asintoticamente estable, se toma la funcion es-calar V(x) = f T (x) f (x), que por construccion es definida positiva, dado que solose tienen sumas de funciones al cuadrado.

Se sabe que f = A f , entonces la derivada de V puede ser escrita como

V(x) = f T f + f T f = f T A f + f T AT f = f T F f .

Como F es definida negativa se tiene que

V(x) = f T F f < 0.

Esto es que V(x) es definida negativa.

Por lo tanto, de acuerdo al metodo directo de Lyapunov, el origen es asintotica-mente estable.

Ejemplo

Considere el sistema no lineal

x1 = 6x1 + 2x2x2 = 2x1 6x2 2x32.

Se puede observar que el origen es un punto de equilibrio.

Como matriz jacobiana de este sistema se tiene

A = fx

=

( 6 22 6 6x22

)y su transpuesta es la misma.

Se suman ambas matrices para obtener F

F =( 12 4

4 12 12x22

)


Sea el vector (a, b)T R2(a b

) ( 12 44 12 12x22

) (ab

)

=(12a + 4b 4a 12b 12bx22

) ( ab

)= 12a2 + 4ab + 4ab 12b2 12b2x22

= 12(a2 + b2 + b2x22) + 8ab.Solo falta comprobar que este resultado es menor que cero, se sabe que a2 +

b2 > 2ab y partir de esto se tiene:

a2 + b2 + b2x22 > 2ab + b2x22 > 2ab a2 + b2 + b2x22 > 2ab

3(a2 + b2 + b2x22) > 6ab > 2ab 3(a2 + b2 + b2x22) > 2ab12(a2 + b2 + b2x22) > 8ab 12(a2 + b2 + b2x22) < 8ab

12(a2 + b2 + b2x22) + 8ab < 0.as, F es definida negativa, entonces una funcion de Lyapunov para el sistema

es:V = (6x1 + 2x2)2 + (2x1 6x2 2x32)2.

Por lo tanto el origen es asintoticamente estable.

3.4.2. Metodo del Gradiente VariableEl metodo del gradiente variable es un camino formal para construir funciones

de Lyapunov, consiste en asumir una cierta forma para el gradiente de una funcionde Lyapunov, y entonces encontrar la funcion de Lyapunov por la integracion delgradiente. En sistemas de bajo orden, este metodo conduce a encontrar una fun-cion de Lyapunov, pero en sistemas de orden superior los calculos se vuelven muycomplicados.

La funcion escalar V(x) esta relaciona con su gradiente V por la integracion

V(x) = x

0Vdx


donde V ={Vx1, Vx2, , V

xn

}T.

Con el fin de obtener una funcion unica V del gradiente V , se procede aobtener el jacobiano de este ultimo

2Vx21

2Vx1x2

2Vx1x3

2Vx1xn

2Vx2x1

2Vx22

2Vx2x3

2Vx2xn

2Vx3x1

2Vx3x2

2Vx23

2Vx3xn

......

.... . .

...2V

xnx12V

xnx22V

xnx3 2V

x2n

.

Dado esto se puede ver que el jacobiano es una matriz simetrica, es decir

Vix j

=V jxi

(3.2)

la i-esima componente Vi es solamente la derivada direccional Vxi .

Entonces para obtener una funcion gradiente unica, esta tiene que satisfacer lacondicion anterior.

Lo principal de este metodo es asumir una forma especfica para V , en lugarde hacerlo para V .

Una manera simple es asumir que la funcion gradiente es de la forma

Vi =n

j=1

ai jx j (3.3)

donde los ai j son coeficientes por ser determinados.

Esto conduce al siguiente procedimiento para la busqueda de una funcion deLyapunov V .

Asumir que V esta dado por (3.3).


Resolver para los coeficientes ai j que satisfacen (3.2).

Restringir los coeficientes en (3.3) para que V sea semidefinida negativa (almenos localmente).

Calcular V de la integral de V .

Verificar que V es definida positiva.

Ejemplo:


x1 = 2x1x2 = 2x2 + 2x1x22.

Se puede observar que el origen es el punto de equilibrio.

Se asume que el gradiente de la funcion de Lyapunov esta dado por:

V1 = a11x1 + a12x2V2 = a21x1 + a22x2.

Se resuelven los coeficientes para que se satisfaga (3.2), para ello se toma:

a11 = a22 = 1; a12 = a21 = 0

quedando:

V1 = x1V2 = x2

entonces:

V1x2

=x1x2

V2x1

=x2x1


de esto se satisface (3.2)x1x2

=x2x1

Ahora se procede a calcular V

V = V x = (V1,V2) (x1, x2) = (x1, x2) (2xx,2x2 + 21x22)= 2x21 2x22 + 2x1x32 = 2x21 2x22(1 + x1x2).

Entonces V es definida negativa para (1 + x1x2) > 0.As, la funcion de Lyapunov es:

V = x1

0x1dx1 +

x20

x2dx2 =x212

+x222

=x21 + x

22

2.

Por lo tanto el origen es asintoticamente estable para la region.

3.4.3. Funcion de Lyapunov de Forma CuadraticaTeorema 3.3 La funcion

V(x, y) = ax2 + bxy + cy2

es definida positiva si y solo si

a > 0 y 4ac b2 > 0,y es definida negativa si y solo si

a < 0 y 4ac b2 > 0.

Ejemplo:


x = x3 + xy2y = 2x2y y3.

Se puede observar que el origen es el punto de equilibrio.

Supongase V como una funcion cuadratica:

V(x, y) = ax2 + bxy + cy2


cuya derivada es

V(x, y) = Vx x + Vyy = (2ax + bx)x + (by + 2cy)y

= (2ax + bx)(x3 + xy2) + (by + 2cy)(2x2y y3)= 2ax4 + 2ax2y2 bx4 + bx2y2 2bx2y2 by4 4cx2y2 2cy4

= (2a + b)x4 + (2a b 4c)x2y2 (b + 2c)y4Para que V sea definida positiva a > 0 y 4ac b2 > 0. Ahora, si se toma b = 0

se tiene que c > 0 y

V = 2ax4 (4c 2a)x2y2 2cy4

solo falta hallar los valores de a y c para que V < 0, esto se cumple para

4c 2a > 04c > 2a

2c > a,

entonces se toma a = 1 y c = 1.

As, la funcion de Lyapunov para el sistema es

V = x2 + y2

y el origen es asintoticamente estable.

4Aplicaciones

4.1. IntroduccionUn campo muy amplio en el que puede ser de mucha utilidad el analisis

de Lyapunov es en cuestiones fsicas, ya sea desde aplicaciones simples de lamecanica o complejas en el caso de la robotica. En algunos fenomenos no es facilobtener la funcion de Lyapunov, ya que el sistema asociado al fenomeno puedeser demasiado complejo, sin embargo, suelen utilizarse los metodos mostrados eneste trabajo o usar una busqueda mediante ensayo y error.

En este captulo se trataran dos fenomenos que ejemplifican lo dicho anterior-mente, el primero de ellos el movimiento de un pendulo simple y el segundo esel movimiento de un manipulador robotico. Se vera que, para ambos fenomenos,puede ser de utilidad la misma ecuacion aunque adecuada para cada caso.

El material se puede hallar en [1], [4], [9], [16].

4.2. Pendulo simple no amortiguado

4.2.1. ModeloConsiderese una partcula de masa m que esta suspendida de un punto fijo O

mediante un cable de longitud L cuya masa es despreciable.

29

4. APLICACIONES 30

La siguiente figura muestra el esquema de fuerzas que intervienen en el pendu-lo despues de desplazar la partcula de la posicion de equilibrio hasta que el cableforme un angulo con la vertical (C), despues se deja caer y, por el efecto de lagravedad se forma un movimiento oscilatorio.

En la figura el angulo es el angulo que indica la posicion del pendulo, A yA delimitan la amplitud maxima del pendulo, de esto el diagrama de fuerzas parauna posicion queda expresado de la forma siguiente:

De acuerdo a los datos de la figura y la segunda ley de Newton, la ecuacionque representa el movimiento de la partcula es

mat = mg sin

4. APLICACIONES 31

siendo at la aceleracion tangencial, el segundo termino de la ecuacion es negati-vo ya que se opone al movimiento. Por otro lado at = L, si se sustituye en laecuacion esta queda expresada como

mL = mg sin .Si se toma u = y se reordenan los terminos, la ecuacion queda expresada

comou +

gL

sin u = 0.

Se escribe la ecuacion como un sistema de ecuaciones de primer orden, dondex1 = u

x1 = x2x2 = gL sin x1

con punto de equilibrio en (0, 0).

Para estudiar la estabilidad del sistema se procedera a buscar una funcion deLyapunov con los metodos estudiados en el captulo anterior.

4.2.2. Metodo de KrasovskiiConsidere el sistema

x1 = x2x2 = gL sin x1.

Se obtiene la matriz A = fx :

A =(

0 1 gL cos x1 0

),

y por consiguiente

AT =(

0 gL cos x11 0

).

4. APLICACIONES 32

Ahora F = A + AT ,

F =(

0 1 gL cos x11 gL cos x1 0

).

A continuacion se verifica si F es definida negativa.

Sea xT = (a b) R2, luego

xT Ax =(

a b) ( 0 1 gL cos x1

1 gL cos x1 0) (

ab

)

=(

b bgL cos x1 a agL cos x1) ( a

b

)= ab abg

Lcos x1 + ab abgL cos x1

= 2ab 2abgL

cos x1 = 2ab(1 g

Lcos x1

).

Para que F sea definida negativa, se tiene que cumplir

2ab(1 g

Lcos x1

)< 0

para cualquier (a, b)T R2.

Esto no siempre se cumple, dado que el valor de cos x1 oscila entre 1 y 1 yel de ab no tiene un signo definido debido a que a y b pueden ser tanto positivoscomo negativos.

Por lo tanto, el metodo de Krasovskii no puede ser aplicado a este sistema.

4.2.3. Metodo del Gradiente VariableConsidere el sistema

x1 = x2x2 = gL sin x1.

4. APLICACIONES 33

De acuerdo al analisis hecho en el ejemplo de este metodo, es conveniente tomarV = (x1, x2).

As,

V = V x = (x1, x2) (x2,gL sin x1

)= x1x2 x2gL sin x1

= x2(x1 gL sin x1

).

Para que V sea una funcion de Lyapunov se tiene que cumplir que

V = x2(x1 gL sin x1

)< 0.

Como se puede apreciar en las siguientes graficas la region que cumple conesto son dos cuadrantes que no contienen a los ejes y por lo tanto la region nocontiene al punto de equilibrio.

(a) (b)

Figura 4.1: Grafica de x2(x1 gL sin x1

): a) vista frontal, b) vista superior.

Por lo tanto, el metodo no puede ser aplicado al sistema.

4. APLICACIONES 34

4.2.4. Funcion de LyapunovDado que los metodos estudiados no conducen a una funcion de Lyapunov

para el sistema del pendulo, se procedera de una manera diferente.

Para ello se sabe que gL sin u es la fuerza de restauracion y u es la velocidad delpendulo, as, la energa potencial en el desplazamiento u del equilibrio es

gL

u0

sind =gL

(1 cos u)

y su energa cinetica es 12 (u)2, entonces la energa total es

12

(u)2 +gL

(1 cos u).

Se tomara a la energa total como una funcion de Lyapunov

V(x1, x2) =12

(x2)2 +gL

(1 cos x1),esta funcion es definida positiva, dado que el termino 1 cos x1 esta acotado por0 y 2 y el otro termino es cuadratico.

Solo falta ver el comportamiento de V

V(x1, x2) = V(x1, x2) (x1, x2) =(gL

sin x1, x2)(x2,gL sin x1

)=

gL

x2 sin x1 gL x2 sin x1 = 0Entonces V es semidefinida negativa y V es una funcion de Lyapunov.

Por lo tanto el sistema es estable en el origen.

4.3. Controlador de Posicion RoboticoUna tarea fundamental en aplicaciones roboticas es un manipulador robotico

para transferir objetos de un punto a otro.

4. APLICACIONES 35

El sistema mecanico esta compuesto por diversas articulaciones, normalmentese distingue entre el brazo y la parte terminal, que puede ser pinzas u otros dis-positivos para tareas especficas. El brazo consiste en un numero de articulacionesconectadas por enlaces de rotacion o traslacion.

El aumento en el numero de articulaciones proporciona mayor maniobrabili-dad, pero dificulta el problema de control. Los ingenieros han utilizado tecnicaspara el control de brazos roboticos, pero no haba ninguna justificacion teoricapara la estabilidad de estas ultimas, debido a que la dinamica de un robot es alta-mente no lineal, [1], [9].

4.3.1. ModeloUn robot articulado puede describirse definiendo cuatro magnitudes asociadas

a cada articulacion. Una de estas magnitudes es la variable de la articulacion y lasrestantes son parametros fijos para cada robot.

As, la variable de una articulacion i de rotacion se representara medianteel angulo i y la de la prismatica mediante el desplazamiento di. Los otros dosparametros de la articulacion son la distancia L entre el eje de la articulacion i 1y el eje de la articulacion i, y el angulo i1 entre estos dos ejes.

El movimiento de un manipulador robotico se puede modelar mediante laecuacion de Lagrange:

ddt

[

qL

] qL =

donde el Lagrangiano (L) esta dado por la diferencia de energas, cinetica y po-tencial

L = Ec Ep.

En el caso de un manipulador con una articulacion, la energa cinetica esta da-da por

Ec =12

mv2t =12

m(L)2 =12

mL22

4. APLICACIONES 36

donde la inercia puede ser representada por mL2 = I, y la energa potencial es

Ep = mgh = mg sin

luego

L = Ec Ep = 12mL22 mg sin

se realizan las operacionesL

= mg cos L

= mL2

ddt

[L

]= mL2

y al sustituir se tiene = mL2 + mgL cos .

Al generalizar el caso de un manipulador con n articulaciones y tomar q = se tiene

= Dq + H + g (4.1)

dondeq Vector de coordenadas articulares. Vector de fuerzas en cada articulacion.D(q) Matriz de inercias, de dimension (nxn), cuyos elementos son funcion deq.H(q, q)Matriz (nx1) de fuerzas coriolis, dependientes de q y q.

Se considera un controlador simple compuesto de un termino P.D. y un termi-no de compensacion de gravedad.

= KDq KPq + g (4.2)donde KD y KP son matrices constantes nxn definidas positivas.

4. APLICACIONES 37

4.3.2. Funcion de LyapunovResulta muy tedioso utilizar ensayo y error para hallar una funcion de Lya-

punov para el sistema dado por 4.1 y 4.2. Sin embargo, una funcion de Lyapunovpuede ser encontrada de manera satisfactoria para tales sistemas roboticos com-plejos.

Desde puntos de vista fsicos se puede encontrar una funcion de Lyapunovadecuada para el sistema:1. Se puede ver que la matriz de inercias (D) es definida positiva para algun q,ya que tomar velocidades negativas no tiene sentido para este fenomeno, solo sepueden tomar valores positivos o nulos.2. El termino P.D. de control se puede interpretar como una combinacion de amor-tiguadores y resortes (pendulo).

Esto sugiere que la funcion de Lyapunov puede ser

V =12

[qT Dq + qT KPq]

donde el primer termino representa la energa cinetica y el segundo la energa po-tencial artificial del sistema.

La ecuacion V es definida positiva puesto que las matrices D y Kp tambien loson.

Para el calculo de la derivada se procedera por separado.

En el caso de la energa cinetica se puede usar un teorema de la energa enmecanica, el cual establece que la velocidad de cambio de la energa cineticaes igual a la potencia proporcionada por las fuerzas externas, de esta manera laderivada puede ser expresada como

Ec = qT ( g).

Para la energa potencial se procedera de manera normal:

Ep =12

[qT KPq]

4. APLICACIONES 38

Ep =12

[qT KPq + qT KPq]

pero qT KPq = qT KPq dado que KP es una matriz cuadrada, de esta manera laderivada es

Ep =12

[2qT KPq] = qT KPq.

Por lo tantoV = qT ( g) + qT KPq.

Al sustituir la ecuacion (4.2) en la ecuacion anterior se tiene

V = qT (KDq KPq + g g) + qT KPq= qT KDq qKPq + qT KPq

= qT KDqDe esta manera V es definida negativa dado que KD es definida positiva y

q no puede ser negativo ni tampoco cero puesto que alguna articulacion esta enmovimiento.

La funcion V es una funcion de Lyapunov para el sistema (4.1-4.2), pero elanalisis no se hizo en un unico punto de equilibrio, sino que fue de forma general.Por lo tanto se dice que el sistema es globalmente asintoticamente estable.

5Conclusiones

Despues de realizar el analisis de sistemas dinamicos no lineales mediante eluso de las funciones de Lyapunov, se observa que, se requiere de una gran ha-bilidad para la obtencion de una funcion de Lyapunov, ya sea por medio de losmetodos estudiados en este trabajo (o por otros) o por inspeccion del sistema, yaque este ultimo depende de la naturaleza del fenomeno y de sus caractersticasfsicas.

Se mostro el uso de la ecuacion de la energa como funcion de Lyapunoven los fenomenos del pendulo y un manipulador robotico, aunque adecuando lafuncion para cada aplicacion, esto permite ver como gracias a conocimientos delfenomeno se puede llegar a una funcion de Lyapunov sin necesidad de hacer mu-chos calculos y, en el caso del pendulo, se observo como los metodos estudiadosno siempre llevan a encontrar una.

En el trabajo se ha mostrado en general el uso de las funciones de Lyapunov,aunque fueron poco los ejemplos utilizados. Sin embargo, el tema es muy amplioy existen diversas aplicaciones para estas.

El trabajo es una introduccion a un tema que no se aborda en alguna experi-encia educativa oblgatoria de mi plan de estudios, as se puede ver como trabajoa futuro desarrollar funciones para sistemas mas especializados, no solo sistemasfsicos, sino tambien en ciencias en las que se pueda utilizar.

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Bibliografa

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[14] http://www.fceia.unr.edu.ar/control/snl/Apunte.pdf (6/may/2013).

[15] http://www.fceia.unr.edu.ar/dsf/files/A EstSNL.PDF (6/may/2013)

[16] http://dctrl.fi-b.unam.mx/rafael/clases/dinamica/LagrangeKellyChap3Oct09.pdf(6/may/2013)

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