LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 1

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT• 45 tiết=15 buổi=7 chương• Slide của giảng viên: (bắt buộc)

– Lí thuyết – Bài tập– Đề tham khảo

• Tham khảo: (tùy chọn)– Xác suất thống kê và ứng dụng Lê Sĩ Đồng– Thống kê Ứng dụng Chu Nguyễn Mộng Ngọc– Xác suất thống kê Nguyễn Thành Cả– Xác suất thống kê Phan Khánh Luận


LÝ THUYẾT XÁC SUẤT• Chương 1: Biến cố – Xác suất – Các định lý• Chương 2: Biến ngẫu nhiên một chiều – Qui luật

phân phối xác suất• Chương 3: Các qui luật phân phối xác suất

thông dụng• Chương 4: Biến ngẫu nhiên hai chiều• Chương 5: Luật số lớn


Kiểm tra giữa kì• Hình thức: tự luận (50%) + trắc nghiệm (50%)• Tự luận: chương 1, 2, 3• Trắc nghiệm: chương 4,5


THỐNG KÊ CƠ BẢN• Chương 6: Lý thuyết mẫu• Chương 7: Ước lượng tham số• Chương 8: Kiểm định giả thuyết


Thi hết học phần• Hình thức: trắc nghiệm + Tự luận


Yêu cầu giảng viên• Đến lớp phải học bài• Phải làm bài tập về nhà• Phải tham gia ít nhất 12 buổi (được vắng nhiều

nhất 3 buổi)• Kí tên điểm danh trước khi ra khỏi lớp• Tuân thủ nghiêm ngặt các qui định của giáo viên

về thi cử…


Dặn dò• Đây là môn học khó


CHƯƠNG 1

BIẾN CỐ – XÁC SUẤTCÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT


Phép thử ngẫu nhiên

• Khi ném một hòn đá lên trời, chắc chắn hòn đá sẽ rơi xuống Đây là phép thử không ngẫu nhiên

• Khi tung một cục xúc sắc, ta không biết chắc chắn mặt ngửa có mấy chấm Đây là phép thử ngẫu nhiên.

• LT xác suất nghiên cứu các phép thử ngẫu nhiên


Phép thử ngẫu nhiên• Là các thí nghiệm, quan sát mà kết quả của nó

không thể dự báo trước được.• Kí hiệu: T.• Ta có thể liệt kê hoặc biểu diễn được tất cả các

kết quả của phép thử.• Ví dụ:

– Tung một đồng xu, quan sát mặt ngửa.– Gieo 100 hạt giống và quan sát số hạt nảy mầm.– Quan sát số người vào siêu thị trong một giờ– ….


Biến cố sơ cấp – Không gian mẫu

• Các kết quả của phép thử được gọi là các biến cố sơ cấp (bcsc). Kí hiệu: wi

• Không gian mẫu: tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp. Kí hiệu: Ω

• Ví dụ: T : gieo một đồng xu • Không gian mẫu là:

Ω={S, N}


Biến cố (sự kiện)• Khi gieo một con xúc sắc sẽ ra số chấm lẻ nếu

kết quả là ra mặt có số chấm thuộc {1, 3, 5}. Như vậy các kết quả (bcsc) này thuận lợi cho sự kiện ra số chấm lẻ.


Biến cố (sự kiện)• Một biến cố (bc) liên quan đến phép thử T là

một sự kiện mà việc nó xảy ra hay không xảy ra tùy thuộc vào kết quả của phép thử T.

• Kí hiệu: chữ cái in hoa A, B, C,…, A1, A2,…• Kết quả w của T được gọi là thuận lợi cho biến

cố A nếu A xảy ra khi kết quả của T là w.• Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A kí

hiệu là: ΩA


Biến cố (sự kiện)• Ví dụ: T: tung một cục xúc sắc• B: bc ra số chấm chẵn thì ta có: ΩB={2, 4, 6}

Chú ý: • Mỗi bc A tương ứng với một và chỉ một tập con

ΩA Ω.• Mỗi biến cố sơ cấp w cũng là một biến cố.


Ví dụ 1• T1: Tung một đồng xu

Ω1={S; N} hay Ω1={w1; w2}

• T2: Tung hai đồng xu phân biệtΩ2={SS; SN; NS; NN} hay Ω2={w1; w2; w3; w4}

• T3: tung 10 đồng xu phân biệt.– Hỏi: có bao nhiêu bcsc? Biểu diễn KG mẫu?


Ví dụ 1• Số bcsc: 1024=210

• Biểu diễn:

• Hay:

– Với qui ước: 0 là sấp và 1 là ngửa

3 1 2 10... ,ia a a a S N

3 1 2 10... 0,1ia a a a


Ví dụ 2Tung ngẫu nhiên 2 đồng xu phân biệt

• A=“Có ít nhất một đồng sấp”• B=“Số đồng ngửa nhiều hơn”• C=“Số đồng ngửa bằng số đồng sấp”• D=“Nhiều nhất hai ngửa”• E=“Trời hôm nay không mưa”• F=“Hôm sau thầy bị ốm”• G=“Số đồng ngửa gấp đôi số đồng sấp”


Biến cố đặc biệt• Bc không thể: là bc không bao giờ xảy ra khi

thực hiện T. Nó không chứa bcsc nào. Kí hiệu: ϕ• Bc chắc chắn: là bc luôn luôn xảy ra khi thực

hiện T. Nó chứa tất cả các bcsc. Kí hiệu: Ω


Kéo theoBiến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, ký

hiệu AB, nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra Ta có:

A B

BA


Tương đương (bằng nhau)Biến cố A đgl tương đương với biến cố B nếu A

xảy ra thì B xảy ra và ngược lạiKí hiệu: A=B

Ta có:

A BA B

B A

A B


Biến cố đối• Biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là biến cố xảy

ra khi và chỉ khi A không xảy ra.

• Ta có: • Ví dụ: khi gieo một con xúc sắc• A: bc số chấm chẵn thì là bc số chấm lẻ

A

\ AA

A

1,2,3,4,5,6

2,4,6 1,3,5 \A AA


Tổng (hợp) hai biến cố• Cho A, B là hai bc liên quan đến phép thử T. Khi

đó, tổng (hợp) của A và B là một biến cố, kí hiệu A B hay A+B∪

• Bc này xảy ra khi ít nhất một trong hai bc A, B xảy ra

A B

BA


Tổng (hợp) các biến cố• A1, A2,…,An là các bc trong phép thử T.• Tổng (hợp) của các bc này kí hiệu:

• Bc này xảy ra khi ít nhất một trong các bc A1, A2,…,An xảy ra

• Ta có:

1 2 1 2... ...n nA A A hay A A A

1 2 1 2... ...n nA A A A A A


Tích (giao) hai biến cố• Cho A, B là hai bc liên quan đến phép thử T. Khi

đó, tích (giao) của A và B là một biến cố, kí hiệu A∩B hay A.B

• Bc này xảy ra khi cả hai bc A, B cùng xảy ra

A B

BA


Tích (giao) các biến cố• A1, A2,…,An là các bc trong phép thử T.• Tích (giao) của các bc này kí hiệu:

• Bc này xảy ra khi tất cả các bc A1, A2,…,An cùng xảy ra

• Ta có:

1 2 1 2... ...n nA A A hay A A A

1 2 1 2... ...n nA A A A A A


Hai biến cố xung khắc• Hai biến cố A, B được gọi là xung khắc nếu:

AB

B

A

A và B xung khắc


Tính chất

) . . .

) . .

)

) . .

)

) . .

) . . . .

i A A A A A A

A A A A A A

ii A B B A A B B A

iii A B C AB AC

iv A BC A B A C

v A A

vi A B A B A B A B

vii A B C A BC A BC A B C


Kiểm tra chất lượng 4 sản phẩm. Gọi Ak là biến cố sản phẩm thứ k tốt. Biểu diễn các biến cố sau theo Ak.

• A là bc cả 4 sản phẩm tốt• B là bc có 3 sản phẩm tốt• C là biến cố có ít nhất 2 sản phẩm xấu• D là biến cố có ít nhất 1 sản phẩm tốt• E là biến cố có tối đa 1 sản phẩm xấu

Ví dụ


• A là bc cả 4 sản phẩm tốt• B là bc có 3 sản phẩm tốt

• C là biến cố có ít nhất 2 sản phẩm xấu

• D là biến cố có ít nhất 1 sản phẩm tốt

• E là biến cố có tối đa 1 sản phẩm xấu

Ví dụ1 2 3 4A A A A A

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4B A A A A A A A A A A A A A A A A

C A B

1 2 3 4 1 2 3 4. .D A A A A A A A A

E A B C


Có 2 sinh viên đi thi. Gọi A là biến cố sinh viên 1 đậu; B là biến cố sinh viên 2 đậu. Biểu diễn các biến cố sau qua A và B.

• C =“cả 2 sv đều thi đậu”;• D=“không sv nào đậu”• E=“có ít nhất một người đậu”;• F=“chỉ sv 1 đậu”• G=“sinh viên 1 thi đậu”;• H=“chỉ có một sv đậu”• I=“có nhiều nhất 1 sv đậu”;• J=“có sv thi đậu”

Ví dụ

. ; . ;

.

. .

C A B D A B

E D F A B

G C F H AB A B

I C J E


XÁC SUẤT CỦA BC• Con số đặc trưng cho khả năng xuất hiện khách

quan của biến cố trong phép thử gọi là xác suất của biến cố đó.

• Kí hiệu xác suất của bc A: P(A)• Xác suất không có đơn vị• Điều kiện:

) 0 1

) 0, 1

)

i P A

ii P P

iii P A B P A P B khi AB


Định nghĩa cổ điển về xác suất

• Xét phép thử có không gian mẫu gồm hữu hạn các biến cố sơ cấp đồng khả năng.

• Xác suất của biến cố A, kí hiệu P(A) được định nghĩa bằng công thức sau:

𝑃ሺ𝐴ሻ= n(A)n(Ω) = Số bcsc thuận lợi cho ASố bcsc có thể xảy ra


Tính xác suất cổ điển• Xác định phép thử.• Tính số bcsc của không gian mẫu• Gọi tên biến cố cần tính xác suất (gọi chính xác)• Tính số bcsc thuận lợi cho biến cố này• Áp dụng công thức

n A

P An


Ví dụ• 1. Một người gọi điện thoại nhưng lại quên hai số cuối

của số điện thoại cần gọi mà chỉ nhớ hai số đó khác nhau. Tìm xác suất người đó quay ngẫu nhiên một lần trúng số cần gọi.

• 2. Một lớp học có 160 sinh viên trong đó có 60 sinh viên nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 5 sinh viên, tính xác suất có 2 sinh viên nữ trong 5 sinh viên chọn được.

• 3. Một hộp có 7 quả cầu đỏ và 4 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu. Tính xác suất chọn được ít nhất một quả cầu đỏ.


Ví dụ• 4. Một lớp học có 50 sv. Tìm xác suất có ít nhất 2 sinh

viên có cùng ngày sinh. (Giả sử một năm có 365 ngày)• Gọi x1,x2,…,x50 là ngày sinh nhật của 50 sv

• Như vậy mỗi bộ (x1,x2,…,x50) là 1 kết quả• A: có ít nhất 2 sv có cùng sinh nhật : cả 50 sinh viên

có sinh nhật khác nhau.

• Ta có:

50365

365.364.363....316

n

n A

A


Ví dụ• Từ đó:

50

316....364.3651 1 0,970374

365P A P A


Ví dụ• Tìm xác suất để trong một nhóm gồm n người tập hợp

ngẫu nhiên có ít nhất hai người có cùng ngày sinh (cùng ngày và cùng tháng). Giả sử một năm có 365 ngày.

• Giải: • Gọi S là tập hợp các danh sách ngày sinh có thể của n

người • E là biến cố có ít nhất 2 người trong nhóm có cùng

ngày sinh trong năm.• là biến cố không có bất kì 2 người trong nhóm có

cùng ngày sinh hay n người đó có ngày sinh khác nhau.

E


Ví dụ• Số các trường hợp của S là

• Số các trường hợp thuận lợi của là

365nn S

365

365!365.364.363.... 365 1

365 !

365!

365 !

n

n E nn

n E An

E


Vì các biến cố đồng khả năng nên

365!

365 !365nn E

P En S n

Do đó xác suất để có ít nhất 2 người cùng ngày sinh là

365!

1 1365 !365n

P E P En

n P(E) n P(E)

5101520

0,0270,1170,2530,411

40506070

0,8910,9700,9940,999

Bảng bài toán ngày sinh


Ưu – Nhược điểm• Không phải thực hiện phép thử• Nếu kg mẫu vô hạn tính không được• Không đồng khả năng tính không được


Định nghĩa thống kê về xác suất• Giả sử phép thử T có thể được lặp lại rất nhiều

lần trong điều kiện giống hệt nhau. Nếu trong n lần thực hiện T có m(A) lần biến cố A xuất hiện thì tần suất xuất hiện của bc A trong n phép thử:

• Khi số phép thử tăng lên vô hạn nếu fn(A) dần tới một con số p thì:

n

m Af A

n

P A p


Ví dụ

Người tung

Số lần tung

Số lần sấp

Tần suất

Buyffon 4040 2048 0,5069Pearson 12000 6019 0,5016Pearson 24000 12012 0,5005

• Nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi gieo đồng xu cân đối, đồng chất.

• Tần suất dần tới 0.5


Định nghĩa thống kê về xác suất• Vậy:

• Trên thực tế ta lấy với n đủ lớn.

lim limnn n

m AP A f A

n

nP A f A


Ví dụ• Theo dõi 10000 sản phẩm do máy sản xuất ra ta

thấy có 150 phế phẩm. • Gọi A là biến cố máy sản xuất ra phế phẩm.• Xác suất của A có thể xấp xỉ bằng:

1500,015

10.000P A


Định nghĩa hình học về xác suất• Đọc thêm


Nguyên lý xác suất nhỏ - lớn• Nguyên lý xác suất nhỏ (nguyên lý biến cố hiếm):

Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực tế có thể xem rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.

• Nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố có xác suất rất gần 1 thì thực tế có thể xem rằng biến cố đó sẽ xảy ra trong một phép thử.


Ví dụ• Trong một lớp có 50 sinh viên nhất định có 2 bạn

có sinh nhật trùng nhau. Vì biến cố “có ít nhất 2 người có cùng sinh nhật” có xác suất rất lớn P(A)= 0,970374.

• Chú ý:• Việc qui định một mức xác suất đủ nhỏ hay đủ

lớn tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể.• Thông thường: 0,05 được coi là đủ nhỏ• Đủ lớn: ≥ 0,95.


Ví dụ• Một lớp có 50 sinh viên. Thầy giáo gọi ngẫu

nhiên 2 học sinh lên bảng thì cả 2 học sinh đều không thuộc bài. Hãy dự đoán xem hôm nay lớp có bao nhiêu học sinh không thuộc bài.

• Giải:• Giả sử lớp có n học sinh không thuộc bài• Xác suất gọi được 2 học sinh không thuộc bài

2

250

1

2450n

n nCP T

C


Ví dụ• Vì T xảy ra nên T không là biến cố hiếm. Theo

nguyên lý xác suất nhỏ:

• Vậy: có ít nhất 12 học sinh không thuộc bài.

210,05 2 2 245 0

2450

n nP T n n


Tính chất xác suất

a. 0 ( ) 1P A với mọi biến cố A.

b. ( ) 1 ( ) 0P P

c. Nếu A B thì ( )P A P B .

d. ( ) ( ) 1P A P A

e. ( ) ( ) ( )P A P AB P AB


Các công thức tính xác suất

1.Công thức cộng2.Công thức xác suất điều kiện3.Công thức nhân4.Công thức xác suất đầy đủ5.Công thức Bayes


• Nếu các biến cố A1, A2, …, An liên quan đến phép thử T và xung khắc đôi một thì:

• Xác suất của tổng bằng tổng xác suất.• Cho 2 biến cố:

• Áp dụng:

Công thức cộng

1 1... ...n nP A A P A P A

P A B P A P B

1P A P A


Ví dụXác suất để xạ thủ bắn bia trúng điểm 10 là 0,1;

trúng điểm 9 là 0,2; trúng điểm 8 là 0,25 và ít hơn 8 điểm là 0,45. Tìm xác suất để xạ thủ được ít nhất 9 điểm.

• A1: “trúng điểm 10” A2: “trúng điểm 9”• A: “ít nhất 9 điểm” • Ta có: A=A1+A2 và A1, A2 XUNG KHẮC• Vậy:

1 2

1 2 0,1 0,2 0,3

P A P A A

P A P A


• Nếu các biến cố A1, A2, …, An liên quan đến phép thử T thì:

• Bộ chẵn: –• Bộ lẻ: +

Công thức cộng tổng quát

11

1

1 2

( ... ) .

. . ... 1 . ...

n

n i i ji i j

n

i j k ni j k

P A A P A P A A

P A A A P A A A


• Cho 3 biến cố:

• Cho 4 biến cố:

Công thức cộng tổng quát

( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C

P AB P BC P CA P ABC

1 2 3 4

1 2 3 1 2 4

1 2 3 4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 4

1 3 4 2 3 4 1 2 3

( ) (

( )

)

P A A A A

P A A P A A P A A P A A P

P A P A P A P A

P A A A P A A A P A A

A A

A P A A A P A A

P A A

P A A

A

A A


Ví dụ• Theo thống kê, trung bình một năm 365 ngày

thì có 40 ngày có mưa thật to, 60 ngày có gió thật lớn và 20 ngày có bão (vừa mưa thật to, vừa gió thật lớn). Tính xác suất để một ngày chọn ngẫu nhiên trong năm có thời tiết bất thường.


Hai biến cố độc lập• Hai biến cố độc lập: A và B độc lập nếu

việc A xảy ra hay không xảy ra không ảnh hưởng đến xác suất của B và ngược lại.

• Hai biến cố không độc lập gọi là phụ thuộc.


Độc lập từng đôi• Hệ các biến cố A1, A2,…,An gọi là độc lập từng

đôi nếu mỗi cặp hai biến cố trong n biến cố đó độc lập với nhau.

• Độc lập từng đôi ↔ Ai, Aj bất kỳ độc lập.


Độc lập toàn phần• Hệ các biến cố A1, A2,…,An gọi là độc lập toàn

phần nếu mỗi biến cố trong hệ độc lập với một tổ hợp bất kỳ các biến cố còn lại.

• Chú ý:– Độc lập toàn phần độc lập từng đôi– Không có chiều ngược lại.


Công thức nhân xác suất• Cho các biến cố A1, A2,…,An độc lập toàn phần,

cùng thuộc phép thử T. Khi đó:

• Xác suất tích bằng tích xác suất• Trường hợp hai biến cố độc lập.

1 2 1 2. ... . ...n nP A A A P A P A P A

1 2 1 2. .P A A P A P A


Ví dụ• Tại giải vô địch Taekwondo thế giới, Việt Nam có

hai vận động viên A, B tham gia. Khả năng lọt vào vòng chung kết của A, B theo đánh giá lần lượt là 0,9 và 0,7. Biết A và B không cùng bảng trong vòng đấu loại. Tính xác suất

• A) Cả hai lọt vào vòng chung kết.• B) Ít nhất một người lọt vào vòng chung kết.• C) Chỉ có A lọt vào vòng chung kết.


Ví dụ• Gọi A:”vđv A lọt vào vòng chung kết”

B:”vđv B lọt vào vòng chung kết”• Theo đề: P(A)=0,9 P(B)=0,7A và B là hai biến cố độc lập. A và B không xung khắc.

0 63

0 97

0 27

) . ,

) ,

) . . ,

a P AB P A P B

b P A B P A P B P AB

c P AB P A P B


Chú ý• Cho A và B là hai biến cố độc lập. Khi đó các cặp

biến cố sau cũng độc lập.

• Trong thực tế việc xét tính độc lập hay phụ thuộc của các biến cố chủ yếu dựa vào trực giác.

&A B&A B &A B


Xác suất điều kiện• Có những biến cố mà sự xảy ra của chúng có

ảnh hưởng đến nhau. Việc xuất hiện biến cố này đôi khi ảnh hưởng đến xác suất xuất hiện của biến cố kia và ngược lại.

• Ví dụ: hộp có 3 bi trắng và 1 đỏ. Rút 2 lần, mỗi lần một bi, không hoàn lại. A: lần đầu bi trắng B: lần sau bi đỏ

Rõ ràng việc A xuất hiện hay không ảnh hưởng đến xác suất của B.


Xác suất điều kiện• Định nghĩa: Xác suất của biến cố A với giả thiết

là biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất của A với điều kiện B.

• Kí hiệu: P(A|B)• Công thức tính:

• Nếu P(B)=0 thì xác suất trên không xác định.

0 ( )

P ABP A B neáuP B

P B


• Khi cố định điều kiện A với P(A)>0. Ta có:

• Nếu B và A độc lập thì:

(nếu các xác suất xác định)

Tính chất

0

1

1

)

)

)

)

i P B A

ii P A

iii P B C A P B A P C A P BC A

iv P B A P B A

) )i P B A P B ii P A B P A


Ví dụ• Gieo đồng thời 2 con xúc sắc cân đối. Tìm xác

suất tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc sắc 10 biết có ít nhất một con đã ra 5 chấm.

• Gọi A=“ít nhất 1 con ra 5 chấm”B=“tổng số chấm 10”

Ta có: A và B không độc lập.

25 11

16 36

35;6 , 6,5 ; 5,5

36AB

P A

P AB

3

11

P ABP B A

P A


Ví dụ• 3 người vào cửa hàng mua điện thoại iphone 7.

Mỗi người muốn mua một cái nhưng cửa hàng chỉ còn đúng 2 cái. Chủ cửa hàng làm 3 lá thăm trong đó có 2 lá được đánh dấu. Mỗi người rút một lá thăm nếu có đánh dấu thì được mua iphone 7. Chứng minh rằng cách làm trên công bằng cho cả 3 người.


Giải• Ai là người thứ I rút được thăm có đánh dấu

• Ta có: P(A1)=2/3

2 1 2 1 2

2 1 2 1 1 2 1

3 1 2 1

3 1 2 1 1

A A A A A

P A P A P A A P A P A A

A A A A

P A P A P A A P A


Ví dụ• Tung ngẫu nhiên một cục xúc sắc trên mặt

phẳng nằm ngang. Gọi• A: bc mặt ngửa lên là mặt chẵn chấm• B: mặt ngửa lên có số chấm nhỏ hơn 3• C: mặt ngửa có số chấm từ 2 đến 5

Hỏi: A&B có độc lập? A&C có độc lập?


Công thức nhân tổng quát• Cho A1, A2 là hai biến cố trong phép thử T.

• Hoặc

(được suy ra từ xác suất điều kiện)

1 2 1 2 1P A A P A P A A 12212 PAAPAPAA


Công thức nhân tổng quát• Cho A1, A2,…,An là các biến cố trong phép thử

T.

• Điều kiện:

• Công thức trên được chứng minh bằng qui nạp.

1 2 1 2 1 1 2 1. ... ... . ...n n nP A A A P A P A A P A A A A

1 2 1. ... 0nP A A A


Bài tập1. Một lô hàng có 9 sản phẩm. Mỗi lần kiểm tra chất

lượng lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Sau khi kiểm tra xong thì trả lại lô hàng. Tính xác suất để sau 3 lần kiểm tra lô hàng như vậy thì tất cả các sản phẩm đều được kiểm tra.

2. Bắn hai lần độc lập nhau, mỗi lần một viên đạn vào cùng một bia. Xác suất bắn trúng đích của viên đạn thứ nhất là 0,7 và của viên đạn thứ 2 là 0,4.

a) Tìm xác suất để chỉ có một viên đạn trúng bia.b) Biết rằng chỉ có một viên đạn trúng bia. Tính xác suất

đó là viên đạn thứ nhất.


Bài tập3. Xác suất để động cơ thứ nhất của máy bay trúng đạn là

0,2; để động cơ thứ 2 của máy bay bị trúng đạn là 0,3; còn xác suất để phi công bị trúng đạn là 0,1. Tìm xác suất để máy bay rơi, biết rằng máy bay rơi khi cả 2 động cơ bị trúng đạn hoặc phi công bị trúng đạn.

4. Có 12 lá thăm trong đó có 5 lá trúng thưởng. Hai người A và B bốc thăm như sau. Người A bốc trước không hoàn lại 2 lá. Sau đó người B bốc 4 lá ngẫu nhiên.

a) Tính xác suất người B bốc được 2 lá thăm trúng thưởng.b) Xác suất bốc được thăm trúng thưởng của ai cao hơn.


Công thức xác suất đầy đủ

Hệ gồm 5 biến cố đầy đủ Hệ gồm 2 biến cố đầy đủ

Định nghĩa: Hệ các biến cố 1 2, ,...., nA A A gọi là hệ biến cố đầy đủ nếu

1 2 ...

. , 1n

i j

A A A

A A i j n


Hệ biến cố đầy đủ• Hệ biến cố H1, H2,…,Hn gọi là một hệ đầy đủ

các biến cố nếu thỏa mãn cả 2 điều kiện sau:

– Xung khắc từng đôi– Hợp là biến cố chắc chắn

• Hệ biến cố đầy đủ khi thực hiện phép thử thì có 1 và chỉ 1 biến cố trong hệ xảy ra.

1 2

) . ,

) ...

i j

n

i H H i j

ii H H H


Công thức xác suất đầy đủ• Cho H1, H2,…,Hn là một hệ đầy đủ các biến cố.• A là một biến cố trong phép thử• Xác suất của A bị phụ thuộc vào hệ biến cố• Khi đó:

1

n

i ii

P A P H P A H


Ví dụ 1

• Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Tính xác suất để lấy được 2 chính phẩm và 1 phế phẩm?

6 chính phẩm4 phế phẩm



HỘP 1

HỘP 3

HỘP 2


Ví dụ 1• A: “lấy được 2 chính phẩm và 1 phế phẩm”• Hi: “lấy được hộp thứ i”

Dễ thất Hi là hệ biến cố đầy đủ (i=1,2,3)

và:

Biến cố A phụ thuộc hệ này.

1 2 3

1

3P H P H P H


Ví dụ 1




HỘP 1

HỘP 3

HỘP 2

2 16 4

1 310

1

2

C CP A H

C

2 1

10 52 3

15

45

91

C CP A H

C

2 1

15 53 3

20

35

76

C CP A H

C

A: “lấy 2 chính phẩm và 1 phế phẩm”


Ví dụ 1• Theo công thức xác suất đầy đủ:

• Thay số:

1 1 2 2 3 3. . .P A P H P A H P H P A H P H P A H

1 1 1 45 1 35. . . 0,48501

3 2 3 91 3 76P A


Chú ý• Nếu phép thử gồm 2 giai đoạn và biến cố A liên

quan đến giai đoạn sau thì các kết quả có thể có của giai đoạn đầu chính là một hệ biến cố đầy đủ.

• Khi trình bày cần:– Ghi rõ công thức.– Tính đủ các thành phần.– Có thể không cần quá chi tiết: gọi phép thử, không

gian mẫu. Nhưng bắt buộc phải gọi biến cố và gọi chính xác.


Ví dụ 2

Từ mỗi kiện chọn ra ngẫu nhiên 1 sản phẩm đem giao cho khách hàng. Sau đó các sản phẩm còn lại của 2 kiện được dồn chung vào kiện hàng 3 đang trống.

5 loại A1 loại B



Kiện 1

Kiện 3

Kiện 2


a) Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kiện hàng 3. Tính xác suất chọn được sản phẩm loại B?b) Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kiện hàng 3. Tính xác suất để có ít nhất 1 sản phẩm loại B trong 2 sản phẩm được chọn?

Hướng dẫn:- Mấy hành động? Mấy giai đoạn?- Biến cố cần tính xác suất? Thuộc giai đoạn mấy?- Hệ biến cố đầy đủ?

Ví dụ 2


Kiện 1: 5A+1B

Kiện 2: 2A+4B

Giao 1 sản phẩm

Giao 1 sản phẩm

Kiện 3: 10 sản phẩm

? A? B

a)Lấy 1 sp P(B)=?

b) Lấy 2 sản phẩm. Xác suất ít nhất 1 sản phẩm loại B?

Ví dụ 2


Gọi H1 là biến cố lấy được sản phẩm loại B từ hộp 1 H2 là biến cố lấy được sản phẩm loại B từ hộp 2. Kj là biến cố có j sản phẩm loại B trong hộp 3. (j=3,4,5)Ta thấy K3; K4; K5 là hệ biến cố đầy đủ.Ta có:

4 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 5 4 22

6 6 6 6 365 2 10

5 1 2 1 26 6 36

. . . .

. .

. .

P K P H H H H P H P H P H P H

P K P H H P H P H

1 4 43 1 2 1 2

6 6 36. . .P K P H H P H P H

Ví dụ 2


a) Gọi C là biến cố lấy được sản phẩm loại B trong hộp 3. Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

3 | 3 4 | 4 5 | 5 P C P K P C K P K P C K P K P C K

Ta có:

3 4 5| 3 | 4 | 5

10 10 10 P C K P C K P C K

Vậy:

4 3 22 4 10 5 5. . . 0,4167

36 10 36 10 36 10 12 P C

Ví dụ


b) Gọi D là biến cố lấy được ít nhất một sản phẩm loại B từ hộp 3. là biến cố cả 2 sản phẩm đều là loại A.

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

3 | 3 4 | 4 5 | 5 P D P K P D K P K P D K P K P D K

D

2 2 27 6 52 2 2

10 10 10

| 3 | 4 | 5 C C C

P D K P D K P D KC C C

Ta có:

4 21 22 15 10 10 257 257 553. . . 1

36 45 36 45 36 45 810 810 810 P D P D

Ví dụ


Có 2 xạ thủ loại I và 8 xạ thủ loại II. Xác suất bắn trúng đích của xạ thủ loại I là 90% và của xạ thủ loại II là 80%.

a) Lấy ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ đó bắn một viên đạn. Tính xác suất viên đạn trúng đích.

b) Lấy ngẫu nhiên 2 xạ thủ và mỗi xạ thủ bắn một viên đạn. Xác suất cả hai viên đều trúng là bao nhiêu?

• Hướng dẫn:a) A: bc chọn được xạ thủ loại 1. P(A)=0,2

F: bc viên đạn trúng đích

P F P A P F A P A P F A

Ví dụ


Ví dụ 2• b) B0; B1; B2: biến cố có 0;1;2 xạ thủ loại 1

trong 2 xạ thủ chọn được.• G: cả 2 viên đạn đều trúng• Ta có:

0 0 1 1 2 2P G P B P G B P B P G B P B P G B


Bài tập1. Có 2 lô loại 1 và 3 lô loại 2; mỗi lô chứa 5 sản

phẩm. Lô loại 1 chứa toàn sản phẩm tốt còn lô loại 2 chứa 4 sản phẩm tốt. Chọn ngẫu nhiên 2 lô rồi trộn chung các sản phẩm của 2 lô với nhau. Sau đó lấy ra ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất lấy được cả 2 sản phẩm tốt?


2. Lô 1 có a phế phẩm và b chính phẩm. Lô 2 có c phế phẩm và d chính phẩm. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô 1 cho sang lô 2; sau đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô 2 cho vào lô 1. Sau đó từ lại lấy một sản phẩm từ lô 1. Tính xác suất sản phẩm này là sản phẩm tốt

Bài tập


Bài tập3. Tỉ lệ người dân nghiện thuốc là 30%. Tỉ lệ bị

viêm họng trong số những người nghiện là 60%. Tỉ lệ bị viêm họng trong số những người không nghiện là 20%.a) Lấy ngẫu nhiên một người thì thấy người này bị viêm họng. Tính xác suất người này nghiện thuốc lá?b) Nếu người đó không bị viêm họng. Tính xác suất người đó nghiện thuốc


Bài tập4. Một nhân viên bán hàng mỗi năm đến bán ở

công ty A 3 lần. Xác suất lần đầu bán được hàng là 0,8. Nếu lần trước bán được hàng thì xác suất lần sau bán được hàng là 0,9. Còn nếu lần trước không bán đươc hàng thì xác suất lần sau bán được là 0,4. Tính xác suất

a) Cả 3 lần đều bán được hàng?b) Có đúng 2 lần bán được hàng?


Công thức Bayes• Cho H1, H2,…,Hn là một hệ đầy đủ các biến cố.• A là một biến cố trong phép thử• Xác suất của A bị phụ thuộc vào hệ biến cố• Khi đó:

• Điều kiện: P(A)>0.

1

k kk n

i ii

P H P A HP H A

P H P A H


Công thức Bayes

1

k kk n

i ii

P H P A HP H A

P H P A H

. kP AH

P A


Ví dụ 1

• Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Kết quả được 2 chính phẩm và 1 phế phẩm. Tính xác suất để các sp đó thuộc hộp 3?




HỘP 1

HỘP 3

HỘP 2


Ví dụ 1

• Công thức Bayes thường dùng với công thức xác suất đầy đủ.

• Giúp ta đánh giá lại xác suất của hệ biến cố khi có một biến cố xảy ra.

3 33 0,3165

P H P A HP H A

P A


Ví dụ• Người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng

về một loại sản phẩm định đưa ra thị trường và thấy có:– 34 người trả lời: “Sẽ mua”– 96 người trả lời: “Có thể sẽ mua”– 70 người trả lời: “Không mua”Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự mua

sản phẩm dựa theo các cách trả lời trên là: 40%; 20% và 1%.


Ví dụ• Hãy đánh giá thị trường tiềm năng của sản

phẩm đó? (tỷ lệ người thực sự mua)• Trong số khách hàng đã mua sản phẩm, có bao

nhiêu phần trăm trả lời là sẽ mua?


Công thức BernoulliThực hiện n phép thử độc lậpBiến cố A xuất hiện trong mỗi phép thử với xác

suất p không đổi.Khi đó xác suất để A xuất hiện k lần trong n phép

thử là:

k k n kk nP A C p q


Công thức BernoulliCó n phép thử, bc A xuất hiện k lần. Số trường hợp:

Xét 1 trường hợp:

Xác suất:

knC

. ... . ...A A A A A

. ... . ... . ... . 1 ... 1 k n kP A A A A A p p p p p p q


Công thức BernoulliDễ thấy các trường hợp đều có xác suất như

nhau.Do đó xác suất để A xuất hiện k lần trong n phép

thử độc lập:

k k n kk nP A C p q

1 , 0,1,2,...,q p k n


Ví dụMột hộp có 10 viên bi gồm 3 bi vàng và 7 bi đỏ.Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 bi, mỗi lần 1 bi và có

hoàn lại.Tính xác suất trong 4 bi đã lấy có 3 bi đỏ?


Công thức BernoulliPhân tíchPhép thử: lấy 4 bi lần lượt, hoàn lại.Phép thử: gồm 4 giai đoạn (4 phép thử nhỏ hơn)Biến cố: trong 4 bi đã lấy có 3 đỏ (1 vàng)Gọi A: lấy được bi đỏ trong 1 lần lấyTa có: P(A) không đổi

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến

Có 10 thăm, trong đó có 4 thăm có thưởng. Sinh viên A bắt đầu tiên, B bắt sau.

a) Hỏi bắt thăm như vậy có công bằng không ?b) Nếu B được thưởng, tính xác suất A được

thưởng.

Bài tập


Bài 1Có 4 nhóm xạ thủ tập bắn. Nhóm thứ nhất có 5

người; nhóm thứ hai có 7 người; nhóm thứ ba có 4 người và nhóm thứ tư có 2 người. Xác suất bắn trúng đích của mỗi người trong nhóm thứ nhất, hai, ba và tư lần lượt là: 0,8; 0,7; 0,6 và 0,5. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và biết rằng xạ thủ này bắn trượt. Hãy xác định xem khả năng xạ thủ này ở trong nhóm nào là nhiều nhất.


Bài 2Một bài thi trắc nghiệm gồm 200 câu hỏi, mỗi câu

hỏi có 4 câu trả lời, trong đó chỉ có một đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, trả lời sai bị trừ 1 điểm. Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên các câu trả lời.

a) Tính xác suất anh ta được 25 điểm.b) Tính xác suất anh ta làm đúng tối đa 60 câu.


Bài 3Một người bệnh được xác định là mắc một trong hai bệnh A và

B. Theo thống kê xác suất mắc bệnh A cao gấp đôi xác suất mắc bệnh B. Bệnh viện cho người bệnh làm hai xét nghiệm T1 và T2 độc lập nhau. Biết rằng nếu người bệnh có bệnh A thì xét nghiệm T1 cho kết quả dương tính với xác suất 90% còn T2 cho kết quả dương tính với xác suất 80%. Nếu bệnh nhân có bệnh B thì xét nghiệm T1 cho kết quả dương tính với xác suất là 5% còn T2 cho kết quả dương tính với xác suất 10%.

a) Giả sử cả hai xét nghiệm đều cho kết quả dương tính. Tính xác suất người này bị mắc bệnh A?

b) Biết chỉ có một trong hai xét nghiệm cho kết quả dương tính. Hỏi khả năng bệnh nhân bị bệnh nào nhiều hơn?


Bài 4Có 2 kiện hàng 1, 2 mỗi kiện có 20 sản phẩm. Số

sản phẩm tốt tương ứng mỗi kiện là 12 và 8. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kiện 1 cho vào kiện 2. Sau đó từ kiện 2 ta lấy ra ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Tính xác suất:

a) Tổng số sản phẩm tốt trong 2 lần lấy ra nhỏ hơn 4.

b) Cả 3 sản phẩm lấy ra từ kiện 2 đều là sản phẩm tốt.


Bài 5Có 3 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Theo

đánh giá tỉ lệ sản phẩm loại A của 3 máy là 60%; 76% và 80%. Khi giao xuống công ty do quên đánh dấu và 3 máy giống hệt nhau nên ta không thể phân biệt. Chọn ngẫu nhiên một máy sau đó cho máy sản xuất một sản phẩm.

a) Tính xác suất sản phẩm loại A?b) Giả sử máy đã sản xuất được sản phẩm loại A.

Tính xác suất sản xuất tiếp 100 sản phẩm nữa cũng từ máy này thì có từ 60 đến 90 sản phẩm loại A?


Bài 6Có 3 máy 1,2,3 cùng sản xuất ra một loại sản pCửa hàng 1 có : 30 loại A và 70 loại B.Cửa hàng 2 có : 70 loại A và 50 loại B.Cửa hàng 3 có : 90 loại A và 60 loại B.Một người chọn ngẫu nhiên một cửa hàng và mua

ngẫu nhiên 2 sản phẩm.a) Tính xác suất người này mua được 2 sản phẩm loại

A?b) Giả sử khách hàng đã mua được 2 sản phẩm loại A.

Tính xác suất người này mua tiếp 3 sản phẩm nữa cũng từ của hàng này thì 1 sản phẩm loại A?


• [email protected] K50C

mailto:[email protected]

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

Documents

Transcript of LÝ THUYẾT XÁC SUẤT