1

ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA TP HOÀ CHÍ MINH TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC BAÙCH KHOA

Tröông Tích Thieän

LYÙ THUYEÁT DEÛO KYÕ THUAÄT

NHAØ XUAÁT BAÛN ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA

TP HOÀ CHÍ MINH - 2007

2

MUÏC LUÏC

LÔØI NOÙI ÑAÀU 7

KYÙ HIEÄU 9

Chöông 1 GIÔÙI THIEÄU 11 1.1 Giôùi thieäu 11 1.2 ÖÙng xöû deûo trong keùo neùn ñôn truïc 13 1.3 Moâ hình öùng xöû ñôn truïc trong chaûy deûo 16 1.4 Kyù hieäu chæ soá 30 1.5 Moät soá öùng duïng cuûa lyù thuyeát deûo 43 1.6 Toùm taét 45 1.7 Baøi taäp 46

Chöông 2 TIEÂU CHUAÅN CHAÛY VAØ TIEÂU CHUAÅN PHAÙ HUÛY 51 2.1 ÖÙng suaát 51 2.2 Tieâu chuaån chaûy ñoäc laäp vôùi öùng suaát thuûy tónh 78 2.3 Tieâu chuaån phaù huûy cho caùc vaät lieäu phuï thuoäc aùp löïc thuûy tónh 92 2.4 Tieâu chuaån phaù huûy/chaûy deûo ñoái vôùi vaät lieäu baát ñaúng höôùng 105 2.5 Toùm taét 109 2.6 Baøi taäp 110

Chöông 3 CAÙC QUAN HEÄ ÖÙNG SUAÁT−BIEÁN DAÏNG ÑAØN HOÀI 119 3.1 Bieán daïng 119 3.2 Quan heä öùng suaát−bieán daïng ñaøn hoài ñaúng höôùng tuyeán tính. Ñònh luaät Hooke 140 3.3 Quan heä öùng suaát−bieán daïng ñaúng höôùng ñaøn hoài phi tuyeán 149 3.4 Nguyeân lyù coâng aûo 163 3.5 Ñònh ñeà oån ñònh Drucker 165 3.6 Tính phaùp tuyeán, tính loài vaø moái quan heä moät−moät cuûa vaät raén ñaøn hoài 168 3.7 Moái quan heä öùng suaát−bieán daïng gia soá 173 3.8 Toùm taét 174

3.9 Baøi taäp 176

3

Chöông 4 CAÙC QUAN HEÄ ÖÙNG SUAÁT−BIEÁN DAÏNG ÑOÁI VÔÙI VAÄT LIEÄU CHAÛY DEÛO LYÙ TÖÔÛNG 179 4.1 Giôùi thieäu 179 4.2 Theá naêng chaûy deûo vaø ñònh luaät chaûy 182 4.3 Ñònh luaät chaûy keát hôïp vôùi haøm chaûy von Mises 183 4.4 Ñònh luaät chaûy keát hôïp vôùi haøm chaûy Tresca 186 4.5 Ñònh luaät chaûy keát hôïp vôùi haøm chaûy Mohr−Coulomb 190 4.6 Tính tröïc giao, tính loài vaø tính ñôn trò ñoái vôùi vaät raén ñaøn−deûo lyù töôûng 192 4.7 Baøi toaùn ñaøn−deûo ñôn giaûn: söï giaõn nôû cuûa hình truï thaønh daøy 197 4.8 Caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng gia soá 208 4.9 Moâ hình vaät lieäu Prandtl−Reuss (lyù thuyeát J2) 212 4.10 Moâ hình vaät lieäu Drucker−Prager 218 4.11 Vaät lieäu ñaúng höôùng toång quaùt 224 4.12 Baøi taäp 227

Chöông 5 CAÙC QUAN HEÄ ÖÙNG SUAÁT−BIEÁN DAÏNG ÑOÁI VÔÙI CAÙC VAÄT LIEÄU BIEÁN CÖÙNG 232 5.1 Giôùi thieäu 232 5.2 Lyù thuyeát bieán daïng deûo 233 5.3 Maët ñaët taûi vaø caùc quy luaät bieán cöùng 240 5.4 Quy luaät chaûy deûo vaø ñònh ñeà oån ñònh cuûa Drucker 251 5.5 ÖÙng suaát töông ñöông vaø bieán daïng töông ñöông 259 5.6 Caùc thí duï minh hoïa 264 5.7 Daïng vi phaân cuûa quan heä öùng suaát−bieán daïng 271 5.8 Baøi taäp 287

Chöông 6 CHAÛY DEÛO CUÛA KIM LOAÏI 294 6.1 Giôùi thieäu 294 6.2 Söï hình thaønh ma traän ñaøn−deûo 295 6.3 Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn 298 6.4 Caùc giaûi thuaät soá ñeå giaûi caùc phöông trình phi tuyeán 300 6.5 Phöông phaùp giaûi soá caùc quan heä cô baûn gia soá ñaøn−deûo 309 6.6 Lyù thuyeát maët bieân 320 6.7 Söï môû roäng tröôøng hôïp baát ñaúng höôùng 328

4

Chöông 7 CHAÛY DEÛO CUÛA BEÂ TOÂNG 344 7.1 Giôùi thieäu 344 7.2 Caùc tieâu chuaån phaù huûy 353 7.3 Moâ hình chaûy deûo: öùng xöû bieán cöùng 368 7.4 Moâ hình chaûy deûo: öùng xöû bieán meàm 381

PHUÏ LUÏC 398

BAÛNG DÒCH THUAÄT NGÖÕ 404

BAÛNG CHUYEÅN ÑOÅI ÑÔN VÒ 408

TAØI LIEÄU THAM KHAÛO 403

5

LÔØI NOÙI ÑAÀU

Khi öùng suaát beân trong vaät lieäu deûo vöôït quaù giôùi haïn ñaøn hoài, vaät lieäu seõ chuyeån sang vuøng bieán daïng deûo khoâng hoài phuïc. Luùc naøy öùng suaát coù quan heä phi tuyeán vôùi bieán daïng vaø phuï thuoäc vaøo loä trình (lòch söû) bieán daïng. Lyù thuyeát deûo moâ taû moät söï môû roäng caàn thieát cuûa lyù thuyeát ñaøn hoài vaø ñeà caäp ñeán vieäc tính toaùn öùng suaát vaø bieán daïng trong keát caáu bieán daïng deûo. Lyù thuyeát deûo cung caáp moái quan heä toaùn hoïc ñaëc tröng cho söï ñaùp öùng ñaøn-deûo cuûa vaät lieäu vaø ñöôïc caáu thaønh bôûi ba thaønh phaàn: tieâu chuaån chaûy, quy luaät chaûy vaø quy luaät taùi beàn.

Giaùo trình LYÙ THUYEÁT DEÛO KYÕ THUAÄT nghieân cöùu caùc cô sôû lyù thuyeát veà öùng xöû phi tuyeán phöùc taïp cuûa vaät lieäu bieán daïng deûo (tính phi tuyeán cuûa vaät lieäu) vaø chi tieát veà phöông phaùp tính soá ñöôïc söû duïng trong lónh vöïc tính toaùn cô hoïc vaät raén bieán daïng phi tuyeán.

Lyù thuyeát deûo kyõ thuaät laø moân hoïc chuyeân ngaønh quan troïng cho nhieàu moân hoïc chuyeân ngaønh khaùc nhö gia coâng vaät lieäu baèng bieán daïng deûo, cô phaù huûy... Lyù thuyeát naøy laø phaàn then choát trong chuoãi caùc lyù thuyeát cô hoïc veà bieán daïng cuûa vaät raén: Lyù thuyeát ñaøn hoài, Lyù thuyeát deûo vaø Cô phaù huûy. Vì theá, lyù thuyeát cuûa moân hoïc naøy ñöôïc öùng duïng roäng raõi trong vieäc giaûi caùc baøi toaùn vaät raén bieán daïng trong kyõ thuaät.

Giaùo trình naøy khoâng nhöõng cung caáp cho caùc kyõ sö caùc kieán thöùc cô baûn caàn thieát cuûa lyù thuyeát deûo maø coøn coù yù ñònh cung caáp theâm veà phöông phaùp tính soá ñeå giaûi caùc baøi toaùn phi tuyeán raát phöùc taïp cuûa keát caáu bieán daïng deûo. Do taøi lieäu naøy ñöôïc bieân soaïn vôùi muïc tieâu laøm giaùo trình chính cho moân hoïc cuøng teân cuûa ngaønh ñaøo taïo kyõ sö Cô kyõ thuaät, Tröôøng Ñaïi hoïc Baùch khoa - Ñaïi hoïc Quoác gia TP Hoà Chí Minh neân giaùo trình cuõng chæ cung caáp caùc noäi dung raát cô baûn cuûa Lyù thuyeát deûo kyõ thuaät theo chöông trình ñaøo taïo naøy. Giaùo trình ñöôïc trình baøy trong baûy chöông ñöôïc giaûng daïy trong 42 tieát (30 tieát lyù thuyeát vaø 12 tieát baøi taäp) neân phaàn giaûng daïy treân lôùp chæ taäp trung vaøo caùc chöông 4, 5, 6 vaø 7. Caùc chöông coøn laïi laø phaàn töï ñoïc cuûa hoïc vieân.

Trong quaù trình bieân soaïn giaùo trình naøy, taùc giaû ñaõ nhaän ñöôïc söï hoã trôï vaø goùp yù cuûa GS. TSKH Ñaøo Huy Bích - Tröôøng Ñaïi hoïc Khoa hoïc Töï nhieân - Ñaïi hoïc Quoác gia Haø Noäi, GS. TS Ngoâ Thaønh Phong - Tröôøng Ñaïi hoïc Khoa hoïc Töï nhieân - Ñaïi hoïc Quoác gia TP Hoà Chí Minh, PGS. TS Nguyeãn Löông Duõng vaø caùc thaày coâ trong Boä moân Cô kyõ thuaät - Tröôøng Ñaïi hoïc Baùch khoa - Ñaïi hoïc Quoác gia TP Hoà Chí Minh. Taùc giaû chaân thaønh caûm ôn nhöõng söï giuùp ñôõ quyù baùu naøy. Cuoái cuøng xin traân troïng caûm ôn Nhaø Xuaát baûn Ñaïi hoïc Quoác gia TP Hoà Chí Minh ñaõ bieân taäp cuoán saùch vaø taïo moïi ñieàu kieän thuaän lôïi ñeå cuoán saùch ñöôïc ra maét phuïc vuï baïn ñoïc.

6

Vôùi söï chuû quan cuûa ngöôøi vieát, giaùo trình naøy khoâng theå traùnh khoûi nhöõng thieáu soùt. Chuùng toâi raát mong söï ñoùng goùp cuûa quyù ñoàng nghieäp, cuûa caùc baïn ñoïc quan taâm. Moïi ñoùng goùp xin vui loøng chuyeån ñeán:

Boä moân Cô kyõ thuaät hoaëc Phoøng Tính toaùn cô hoïc

106 B4, Tröôøng Ñaïi hoïc Baùch khoa - Ñaïi hoïc Quoác gia TP Hoà Chí Minh,

268 Lyù Thöôøng Kieät, P14, Q.10, TP Hoà Chí Minh

Tel : 84-8-8.660.568 hoaëc 84-8-8.651.211

Fax : 84-8-8.651.211.

TP Hoà Chí Minh, thaùng 01 naêm 2007

Taùc giaû

Tröông Tích Thieän

7

KYÙ HIEÄU

ÖÙng suaát vaø bieán daïng σ1, σ2, σ3 caùc öùng suaát chính σij tenxô öùng suaát sij tenxô öùng suaát leäch σ öùng suaát phaùp τ öùng suaát tieáp p = (1/3)I1 aùp löïc thuûy tónh hoaëc öùng suaát caàu σoct = (1/3)I1 öùng suaát phaùp baùt dieän

τoct = 2J3

2 öùng suaát tieáp baùt dieän

σm = σoct öùng suaát phaùp trung bình

τm = 2J5

2 öùng suaát tieáp trung bình

s1, s2, s3 caùc öùng suaát leäch chính ε1, ε2, ε3 caùc bieán daïng chính εij tenxô bieán daïng eij tenxô bieán daïng leäch ε bieán daïng phaùp γ bieán daïng tröôït kyõ thuaät ευ = I’1 bieán daïng theå tích εoct = (1/3) ’1 bieán daïng phaùp baùt dieän

γoct = 2 ,2J

3

2 bieán daïng tröôït kyõ thuaät baùt dieän

e1, e2, e3 caùc bieán daïng leäch chính

Caùc baát bieán I1 = σ1 + σ2 + σ3 = σii baát bieán thöù nhaát cuûa tenxô öùng suaát

J2 = (1/2)sijsij = ( ) ( ) ( )[ ] 2zx

2yz

2xy

2xz

2zy

2yx

6

1τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ

baát bieán thöù hai cuûa tenxô öùng suaát leäch

J3 = (1/3)sijsjkski = sij baát bieán thöù ba cuûa tenxô öùng suaát leäch

8

cos3θ = 2/3

2

3

J

J

2

33 vôùi θ laø goùc ñoàng daïng ñònh nghóa trong hình 2.9

I’1 = ε1 + ε2 + ε3 baát bieán thöù nhaát cuûa tenxô bieán daïng

ρ = 2J2 chieàu daøi leäch ñöôïc ñònh nghóa trong hình 2.8

ξ = (1/√3)I1 chieàu daøi thuûy tónh ñònh nghóa trong hình 2.8

J’2 = (1/2)eijeij = ( ) ( ) ( )[ ] 2zx

2yz

2xy

2xz

2zy

2yx

6

1ε+ε+ε+ε−ε+ε−ε+ε−ε

baát bieán thöù hai cuûa tenxô bieán daïng leäch

Caùc thoâng soá vaät lieäu f’c ñoä beàn neùn ñôn truïc (f’c > 0)

f’t ñoä beàn keùo ñôn truïc (f’c = mf’t)

f’bc ñoä beàn neùn song truïc (f’bc > 0)

E moâñun Young

ν heä soá Poisson

K = E/[3(1 − 2ν) moâñun khoái

G = E/[2(1 + ν)] moâñun tröôït

c, φ löïc dính keát vaø goùc ma saùt trong tieâu chuaån Mohr−Coulomb

α, k caùc haèng soá trong tieâu chuaån Drucker−Prager

k öùng suaát chaûy (phaù huûy) trong tröôït thuaàn tuùy

Caùc kyù hieäu khaùc veùctô

[] ma traän

ñònh thöùc

Cijkl tenxô ñoä cöùng vaät lieäu

f() tieâu chuaån phaù huûy hoaëc tieâu chuaån chaûy

x, y, z hoaëc x1, x2, x3 caùc toïa ñoä Descartes

δij kyù hieäu Kronecker

W(εij) maät ñoä naêng löôïng bieán daïng

Ω(σij) maät ñoä naêng löôïng buø

lij = cos(x’i, xj) cosine cuûa goùc giöõa truïc x’i vaø xj

9

CC hh öö ôô nn gg 11

GIÔÙI THIEÄU

1.1 GIÔÙI THIEÄU

1.1.1 Taàm quan troïng cuûa chaûy deûo trong keát caáu

Vieäc thieát keá kyõ thuaät caùc keát caáu lôùn laø moät quaù trình goàm hai giai ñoaïn. Tröôøng noäi löïc (öùng suaát) beân trong vaät lieäu caáu truùc phaûi ñöôïc xaùc ñònh ôû giai ñoaïn ñaàu tieân, vaø giai ñoaïn thöù hai laø xaùc ñònh ñaùp öùng cuûa vaät lieäu döôùi taùc ñoäng cuûa tröôøng öùng suaát ñoù. Giai ñoaïn moät bao goàm moät söï phaân tích öùng suaát taùc ñoäng beân trong caùc phaân toá keát caáu; giai ñoaïn hai lieân quan ñeán caùc ñaëc tính cuûa vaät lieäu keát caáu. Moái quan heä tuyeán tính giöõa öùng suaát vaø bieán daïng beân trong vaät lieäu lyù töôûng hoùa ñaõ hình thaønh cô sôû toaùn hoïc cho lyù thuyeát ñaøn hoài, lyù thuyeát naøy ñöôïc aùp duïng roäng raõi cho nhöõng vaät lieäu thaät ñeå ñaùnh giaù öùng suaát hoaëc bieán daïng trong caùc phaân toá keát caáu döôùi ñieàu kieän taûi laøm vieäc cuï theå. Caùc öùng suaát naøy bò giôùi haïn nhoû hôn öùng suaát cho pheùp, öùng suaát naøy ñöôïc tính nhö moät phaàn cuûa öùng suaát chaûy vaät lieäu. Do ñoù, moät thieát keá an toaøn seõ thu ñöôïc khoâng phaûi do tính toaùn vaø söï hieåu bieát caùc ñaëc tính vaät lieäu moät caùch ñaày ñuû maø döïa vaøo kinh nghieäm thu thaäp ñöôïc trong vaøi thaäp kyû hay vaøi theá kyû.

Moät keát caáu thöïc laø moät vaät theå raát phöùc taïp vôùi moät traïng thaùi öùng suaát cöïc kyø phöùc taïp. Nhieàu öùng suaát thöù caáp xuaát hieän do cheá taïo, laép raùp vaø ñònh vò chi tieát. Söï toå hôïp cuûa öùng suaát ban ñaàu chöa bieát, caùc öùng suaát thöù caáp, söï taäp trung öùng suaát vaø söï phaân boá laïi do nhöõng söï baát lieân tuïc cuûa keát caáu ñaõ khoâng tuaân theo moät tính toaùn lyù töôûng hoùa döïa treân lyù thuyeát ñaøn hoài. Lyù thuyeát deûo moâ taû moät söï môû roäng caàn thieát cuûa lyù thuyeát ñaøn hoài vaø ñeà caäp ñeán vieäc tính toaùn öùng suaát vaø bieán daïng trong keát caáu bieán daïng deûo cuõng nhö nhöõng phaïm vi bieán daïng ñaøn hoài. Noù cung caáp caùc ñaùnh giaù thöïc teá hôn veà caùc khaû naêng mang taûi cuûa keát caáu vaø cung caáp moät söï hieåu bieát toát hôn veà öùng xöû cuûa keát caáu ñoái vôùi caùc löïc ñöôïc gaây ra trong vaät lieäu. Do ñoù, moät söï hieåu bieát veà vai troø cuûa caùc bieán soá cô hoïc thích hôïp, chuùng ñònh nghóa söï phaûn öùng cuûa vaät lieäu vôùi löïc taùc ñoäng, laø caàn thieát cho kyõ sö trong vieäc thieát keá caáu truùc. Nhöõng moái quan

10

heä öùng suaát - bieán daïng vaø caùc öùng duïng cuûa chuùng cho caùc baøi toaùn kyõ thuaät keát caáu seõ ñöôïc baøn luaän trong nhöõng chöông sau. Söï lónh hoäi kieán thöùc naøy caøng nhieàu seõ laøm cho baûn thieát keá keát caáu caøng chính xaùc vaø hoaøn haûo hôn.

1.1.2 Muïc tieâu

Caû hai lyù thuyeát ñaøn hoài vaø lyù thuyeát deûo ñeàu laø hieän töôïng trong töï nhieân. Chuùng laø söï chính thöùc hoùa caùc quan saùt thí nghieäm veà öùng xöû vó moâ cuûa vaät raén bieán daïng vaø khoâng quan taâm saâu saéc ñeán cô sôû vaät lyù vaø hoùa hoïc cuûa öùng xöû ñoù.

Noäi dung ñaày ñuû cuûa lyù thuyeát vaø öùng duïng cuûa chaûy deûo laø phaûi xöû lyù hai khía caïnh quan troïng nhö nhau: kyõ thuaät toång quaùt ñöôïc duøng trong vieäc khai trieån caùc moái quan heä öùng suaát-bieán daïng cho nhöõng vaät lieäu ñaøn-deûo vôùi söï bieán cöùng cuõng nhö bieán meàm; vaø qui trình giaûi soá toång quaùt ñeå giaûi moät baøi toaùn keát caáu ñaøn-deûo toång quaùt döôùi taùc ñoäng cuûa taûi hay chuyeån vò cöôõng böùc thay ñoåi theo qui luaät xaùc ñònh.

Nhieäm vuï ñaàu tieân cuûa lyù thuyeát deûo laø thieát laäp caùc moái quan heä giöõa öùng suaát vaø bieán daïng döôùi traïng thaùi öùng suaát phöùc taïp ñeå coù theå moâ taû moät caùch thoûa ñaùng bieán daïng deûo khaûo saùt ñöôïc. Ñaây laø nhieäm vuï khoù khaên. Tuy nhieân, caùc quy luaät bieán daïng cuûa kim loaïi, toång quaùt, phuø hôïp toát vôùi chöùng côù thí nghieäm ñaõ ñöôïc thieát laäp vöõng chaéc vaø ñöôïc duøng thaønh coâng trong caùc öùng duïng kyõ thuaät. Hôn nöõa, trong nhöõng naêm gaàn ñaây, caùc phöông phaùp chaûy deûo cuõng ñaõ ñöôïc môû roäng vaø ñöôïc öùng duïng ñeå nghieân cöùu öùng xöû bieán daïng cuûa caùc vaät lieäu ñòa chaát nhö ñaù, ñaát vaø beâ toâng. Söï môû roäng cuûa lyù thuyeát deûo cho caùc vaät lieäu phi kim loaïi chaéc chaén laø vaán ñeà nghieân cöùu tích cöïc nhaát trong lónh vöïc cô hoïc vaät lieäu hieän nay, vaø caùc moâ hình vaät lieäu khaùc nhau ñaõ ñöôïc xaây döïng.

Nhieäm vuï thöù hai cuûa lyù thuyeát laø xaây döïng caùc kyõ thuaät soá cho vieäc thöïc thi nhöõng moái quan heä öùng suaát-bieán daïng trong tính toaùn keát caáu. Do baûn chaát phi tuyeán cuûa caùc quy luaät bieán daïng deûo, caùc pheùp giaûi cuûa caùc phöông trình cô sôû cuûa cô hoïc vaät raén chaéc chaén seõ ñöa ñeán nhöõng khoù khaên ñaùng keå. Tuy nhieân, trong nhöõng naêm gaàn ñaây, söï phaùt trieån nhanh choùng cuûa caùc maùy tính toác ñoä cao vaø caùc kyõ thuaät hieän ñaïi cuûa phöông phaùp phaàn töû höõu haïn ñaõ cung caáp cho kyõ sö moät coâng cuï maïnh meõ ñeå giaûi haàu heát caùc baøi toaùn keát caáu phi tuyeán baát kyø. Ñieàu naøy cuõng kích thích caùc phaùt trieån môùi hôn vaø nhöõng öùng duïng roäng hôn cuûa lyù thuyeát deûo coå ñieån. Hoaït ñoäng nghieân cöùu trong lónh vöïc naøy ñaõ gia taêng moät caùch döõ doäi trong thaäp nieân cuoái.

Taøi lieäu naøy coá gaéng cung caáp moät söï moâ taû suùc tích veà caùc khaùi nieäm cô baûn

11

cuûa lyù thuyeát vaø caùc tieán trieån môùi nhaát cuõng nhö caùc thöïc thi baèng maùy tính cuûa noù.

1.2 ÖÙNG XÖÛ DEÛO TRONG KEÙO NEÙN ÑÔN TRUÏC

Loaïi gia taûi ñôn giaûn nhaát ñöôïc giôùi thieäu bôûi ñieàu kieän öùng suaát ñôn truïc. Ta coù hai loaïi thí nghieäm ñeå ñaït ñöôïc ñieàu kieän naøy: thí nghieäm keùo ñôn truïc seõ cho caùc öùng suaát chính σ1 > 0, σ2 = σ3 = 0, vaø thí nghieäm neùn ñôn truïc seõ cho caùc öùng suaát chính σ1 = σ2 = 0, σ3 < 0. Ñoà thò öùng suaát-bieán daïng ñôn truïc noåi tieáng, trong ñoù öùng suaát chính höôùng truïc σ1 (hoaëc σ3) ñöôïc veõ theo bieán daïng daøi höôùng truïc ε1 (hoaëc ε3) taïo ra moät söï moâ taû höõu ích öùng xöû deûo cuõng nhö öùng xöû ñaøn hoài.

1.2.1 Gia taûi ñeàu

Hình 1.1a bieåu dieãn ñöôøng cong ñieån hình cho maãu keùo ñôn truïc baèng theùp ít carbon. Mieàn ñaøn hoài ñaàu tieân noùi chung xuaát hieän nhö moät ñöôøng thaúng OA vôùi ñieåm A xaùc ñònh giôùi haïn tyû leä. Khi bieán daïng taêng theâm, moái quan heä giöõa öùng suaát vaø bieán daïng khoâng coøn tuyeán tính nöõa nhöng vaät lieäu vaãn coøn ñaøn hoài, vaø theo söï caát taûi, maãu trôû laïi chieàu daøi goác cuûa noù. Ñieåm öùng suaát cöïc ñaïi B, ôû ñoù taûi coù theå ñöôïc taùc ñoäng maø khoâng gaây ra baát cöù söï bieán daïng thöôøng xuyeân naøo, xaùc ñònh giôùi haïn ñaøn hoài. Ñieåm B cuõng ñöôïc goïi laø ñieåm chaûy, vì noù bieåu thò söï baét ñaàu bieán daïng deûo hay bieán daïng khoâng hoài phuïc. Thoâng thöôøng, coù söï khaùc nhau nhoû giöõa giôùi haïn tæ leä, A, vaø giôùi haïn ñaøn hoài, B. Theùp ít carbon cho ñieåm chaûy treân B vaø ñieåm chaûy döôùi C. Qua khoûi ñieåm C, bieán daïng gia taêng trong ñieàu kieän taûi haèng. ÖÙng xöû vaät lieäu trong mieàn phaúng CD ñöôïc xem nhö chaûy deûo. Tuy nhieân, ñoái vôùi haàu heát kim loaïi seõ khoâng coù ñieåm chaûy nhoïn hoaëc chaûy deûo ñöôïc nhaän thaáy roõ, vaø öùng suaát chaûy thöôøng ñöôïc xaùc ñònh bôûi öùng suaát chaûy offset, σys, töông öùng vôùi giaù trò 0,1% cuûa bieán daïng nhö hình 1.1b. ÖÙng suaát chaûy qui öôùc naøy ñöôïc xem nhö öùng suaát chaûy ban ñaàu.

Treân ñieåm chaûy, ñaùp öùng cuûa vaät lieäu bao goàm caû ñaøn hoài vaø chaûy deûo. Ñoä doác cuûa ñöôøng cong giaûm ñeàu, ñôn ñieäu, vaø cuoái cuøng söï phaù huûy cuûa maãu thöû seõ xaûy ra ôû ñieåm E. Vaät lieäu deûo nhö theùp ít carbon seõ chòu bieán daïng lôùn maø khoâng bò phaù huûy. Maët khaùc, gang laø vaät lieäu gioøn do noù bò phaù huûy sau bieán daïng raát nhoû. Noùi chung, phaù huûy cuûa kim loaïi goàm coù hai daïng: daïng nöùt taùch nhö gang vaø daïng nöùt tröôït nhö theùp ít carbon. Caùc ñaëc tröng phaù huûy cuûa caùc vaät lieäu ñòa chaát thì phöùc taïp hôn raát nhieàu. Chuùng cuõng phuï thuoäc vaøo traïng thaùi taûi taùc ñoäng: thí duï, beâ toâng theå hieän öùng xöû gioøn döôùi taùc ñoäng

12

cuûa taûi keùo, nhöng döôùi taùc ñoäng cuûa taûi neùn, beâ toâng coù theå bieåu thò moät möùc ñoä deûo tröôùc khi bò phaù huûy.

Hình 1.1 Bieåu ñoà öùng suaát–bieán daïng cuûa theùp ít carbon (a) vaø cuûa moät soá kim loaïi khaùc

1.2.2 Caát taûi vaø chaát taûi laïi

Baây giôø chuùng ta khaûo saùt thí nghieäm trong ñoù maãu ñaàu tieân ñöôïc gia taûi moät caùch ñeàu ñaën ñeán giaù trò vöôït quaù ñieåm chaûy ñaàu tieân vaø roài caát taûi hoaøn toaøn. ÖÙng xöû naøy ñöôïc bieåu thò treân hình 1.2. Khi öùng suaát ñöôïc giaûm, bieán daïng seõ giaûm theo moät ñöôøng caát taûi gaàn nhö ñaøn hoài AB song song vôùi ñöôøng ñaøn hoài ñaàu tieân cuûa ñöôøng cong. Khi taûi veà khoâng ôû cuoái ñöôøng caát taûi, bieán daïng khoâng baèng khoâng; vaãn coøn bieán daïng dö OB. Bieán daïng khoâng hoài phuïc OB ñöôïc xem laø bieán daïng deûo trong khi bieán daïng hoài phuïc BC laø bieán daïng ñaøn hoài. Baây giôø, neáu maãu naøy ñöôïc gia taûi laïi, ñöôøng cong öùng suaát–bieán daïng seõ theo ñöôøng gia taûi laïi BA, noù truøng vôùi ñöôøng caát taûi AB. Do ñoù, vaät lieäu bieán daïng ñaøn hoài cho ñeán khi ñaït ñeán giaù trò öùng suaát cöïc ñaïi tröôùc khi caát taûi ôû ñieåm A. ÖÙng suaát σA ñöôïc xem nhö laø öùng suaát chaûy tieáp sau, vöôït quaù öùng suaát naøy bieán daïng deûo theâm nöõa seõ ñöôïc gaây ra vaø ñöôøng cong öùng suaát–bieán daïng laïi theo ñöôøng cong ñoái vôùi tröôøng hôïp gia taûi ñôn ñieäu.

Ñoái vôùi haàu heát caùc vaät lieäu, sau khi ñaït ñeán ñieåm chaûy ñaàu tieân, ñöôøng cong öùng suaát–bieán daïng tieáp tuïc taêng maëc duø ñoä doác giaûm daàn, cho ñeán khi ñoä doác giaûm ñeán khoâng vaø phaù huûy xaûy ra. Do ñoù, öùng suaát chaûy tieáp sau taêng vôùi söï gia taêng bieán daïng. Ñaëc tính naøy cuûa vaät lieäu ñeå coù theå chòu ñöïng öùng suaát lôùn hôn sau khi vaät lieäu bieán daïng deûo ñöôïc goïi laø bieán cöùng do bieán daïng hay taùi beàn, nghóa laø vaät lieäu trôû neân beàn hôn vôùi bieán daïng deûo.

Ñoái vôùi moät vaøi vaät lieäu, nhö beâ toâng hoaëc ñaù trong thí nghieäm neùn ñôn truïc, coù moät mieàn ôû phía beân kia cuûa ñieåm ñænh (ñieåm cöïc ñaïi) trong ñoù ñoä doác cuûa ñöôøng

O

σ

ε

B

° E

b)

σys

0,1% O

σ

ε

°

°

A

B

C D

E

a)

13

O

σ

ε

A σA

B C

O

σ

ε

σy’

σy

-σy

σy”

cong aâm. ÖÙng xöû nhö theá ñöôïc goïi bieán meàm do bieán daïng. Loaïi vaät lieäu naøy trôû neân yeáu hôn khi bieán daïng tieáp tuïc vöôït quaù giôùi haïn töông öùng vôùi öùng suaát ñænh.

Hình 1.2 Bieåu ñoà öùng suaát–bieán daïng khi gia taûi, caát taûi vaø gia taûi laïi

1.2.3 Gia taûi ñaûo ngöôïc

Neáu chuùng ta bieåu dieãn moät thí nghieäm neùn ñôn truïc cuûa kim loaïi, chuùng ta seõ thu ñöôïc moät ñöôøng cong öùng suaát–bieán daïng haàu nhö gioáng heät nhö trong thí nghieäm keùo ñôn truïc. Tuy nhieân, sau bieán daïng deûo tröôùc trong thí nghieäm keùo cuûa moät maãu, ñöôøng cong öùng suaát–bieán daïng cuûa maãu naøy trong thí nghieäm neùn seõ khaùc ñaùng keå so vôùi ñöôøng cong seõ thu ñöôïc khi gia taûi laïi ñoái vôùi maãu naøy ôû traïng thaùi keùo. Nhö ñöôïc minh hoïa trong hình 1.3, ñoái vôùi maãu ñöôïc gia taûi keùo tröôùc σy’, chaûy deûo neùn töông öùng cuûa noù xaûy ra ôû möùc öùng suaát σy” nhoû hôn öùng suaát chaûy ban ñaàu σy vaø nhoû hôn nhieàu so vôùi öùng suaát chaûy tieáp sau σy’. Hieän töôïng naøy ñöôïc goïi laø hieäu öùng Bauschinger vaø thöôøng xuaát hieän khi coù söï ñaûo ngöôïc öùng suaát.

14

Hình 1.3 Hieäu öùng Bauschinger

Roõ raøng khoâng coù moái quan heä moät-moät giöõa öùng suaát vaø bieán daïng trong vaät raén bieán daïng deûo. Noùi caùch khaùc, bieán daïng khoâng laø haøm cuûa chæ rieâng öùng suaát, maø coøn phuï thuoäc vaøo lòch söû cuûa quaù trình gia taûi tröôùc ñoù. Do ñoù, vaät lieäu phuï thuoäc vaøo loä trình ñaët taûi. Ñieàu naøy coù theå ñöôïc minh hoïa bôûi tröôøng hôïp ñôn giaûn cuûa öùng suaát zero, khi caùc bieán daïng dö vôùi caùc ñoä lôùn khaùc nhau coù theå ñöôïc kieán laäp baèng caùch thay ñoåi lòch söû ñaët taûi vôùi öùng suaát baét ñaàu vaø keát thuùc ôû zero.

Trong vieäc baøn luaän töø tröôùc ñeán nay, ta ñaõ giaû söû raèng coù moät ñöôøng cong öùng suaát-bieán daïng ñôn giaûn cho tröôøng hôïp keùo hoaëc neùn, ñoäc laäp vôùi suaát bieán daïng. Giaû ñònh naøy ñöôïc xem nhö ñoäc laäp vôùi thôøi gian. Ñieàu naøy thì phuø hôïp vôùi thöïc tieãn cuûa caùc kim loaïi keát caáu ôû nhieät ñoä phoøng döôùi ñieàu kieän ñaët taûi tónh. Nhöõng aûnh höôûng cuûa suaát thì raát quan troïng cho caùc vaät lieäu chòu caùc ñieàu kieän gia taûi ñoäng löïc vaø khoâng ñöôïc khaûo saùt trong taøi lieäu naøy.

1.3 MOÂ HÌNH ÖÙNG XÖÛ ÑÔN TRUÏC TRONG CHAÛY DEÛO

1.3.1 Caùc ñöôøng cong öùng suaát−−−−bieán daïng keùo ñôn truïc ñôn giaûn hoùa

Ñeå thu ñöôïc lôøi giaûi cho baøi toaùn bieán daïng, caàn thieát phaûi lyù töôûng hoùa öùng xöû öùng suaát–bieán daïng cuûa vaät lieäu. Nhöõng moâ hình lyù töôûng hoùa sau ñaây ñaùng ñöôïc löu yù.

1.3.1.1 Moâ hình ñaøn−−−−deûo lyù töôûng (hình 1.4a)

Trong vaøi tröôøng hôïp, vieäc boû qua söï bieán cöùng cuûa vaät lieäu laø chaáp nhaän ñöôïc vaø tieän lôïi, giaû söû raèng chaûy deûo xaûy ra khi öùng suaát ñaït ñeán öùng suaát chaûy σ0. Do ñoù, moái quan heä öùng suaát–bieán daïng keùo ñôn truïc coù theå ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng:

0

0

khiE

khiE

σ=σλ+σ=ε

σ<σσ=ε (1.1)

ôû ñaây E laø moâñun Young, vaø λ laø soá voâ höôùng, xaùc ñònh vaø lôùn hôn khoâng.

1.3.1.2 Moâ hình ñaøn hoài−−−−bieán cöùng tuyeán tính (hình 1.4b)

Trong moâ hình ñaøn hoài-bieán cöùng tuyeán tính, ñöôøng cong lieân tuïc ñöôïc xaáp xæ bôûi hai ñoaïn thaúng, do ñoù thay theá ñöôøng cong chuyeån tieáp trôn baèng moät ñieåm gaõy nhoïn, tung ñoä cuûa noù ñöôïc laáy laø öùng suaát giôùi haïn ñaøn hoài hoaëc öùng suaát chaûy σ0. Nhaùnh ñoaïn thaúng ñaàu cuûa bieåu ñoà coù ñoä doác baèng Young’s modulus, E. Nhaùnh ñoaïn thaúng thöù hai, moâ taû mieàn bieán cöùng ñöôïc lyù töôûng hoùa döôùi daïng tuyeán tính, coù ñoä doác Et < E. Quan heä öùng suaát-bieán daïng ñoái vôùi tröôøng

15

Hình 1.4 Caùc ñöôøng cong öùng suaát–bieán daïng lyù töôûng hoùa

O

σ

ε

E

σ0

1

a) O

σ

ε

E

σ0

1

b)

1 Et

O

σ

ε

σ0

c)

σ = kεn

O

σ

ε d)

b

E

a

1

hôïp gia taûi keùo ñôn ñieäu coù daïng

00

t

0

0

khi)(E

1

E

khiE

σ>σσ−σ+σ

=ε

σ≤σσ

=ε (1.2)

1.3.1.3 Moâ hình ñaøn hoài−−−−bieán cöùng haøm muõ (hình 1.4c) Quan heä öùng suaát–bieán daïng ñöôïc khaûo saùt döôùi daïng luõy thöøa nhö sau:

0

n

0

khik

khiE

σ>σε=σ

σ≤σε=σ (1.3)

trong ñoù k vaø n laø hai haèng soá ñaëc tröng cuûa vaät lieäu, chuùng ñöôïc xaùc ñònh sao cho phuø hôïp toát nhaát vôùi ñöôøng cong thu ñöôïc töø thí nghieäm. Neáu ε moâ taû bieán daïng toång, ñöôøng cong neân ñi qua ñieåm moâ taû öùng suaát chaûy vaø bieán daïng ñaøn hoài töông öùng. Bieåu thöùc luõy thöøa (1.3) chæ neân duøng trong mieàn bieán cöùng (bieán daïng deûo).

1.3.1.4 Moâ hình Ramberg−−−−Osgood (hình 1.4d)

Ñöôøng cong öùng suaát–bieán daïng phi tuyeán trong hình 1.4d coù daïng bieåu thöùc nhö sau

n

ba

E

σ+σ=ε (1.4)

16

Hình 1.5 Moâñun tieáp tuyeán vaø moâñun deûo

O

σ

ε

A

dεp dεe

dε

B

°

°dσ

1

Et

1

E

a) O

σ

εp

dεp

°

°dσ

1

Ep

b)

trong ñoù a, b vaø n laø nhöõng haèng soá vaät lieäu. Ñoä doác ban ñaàu cuûa ñöôøng cong laáy giaù trò cuûa moâñun Young E ôû σ = 0, vaø giaûm ñôn ñieäu theo söï gia taêng cuûa taûi. Do moâ hình coù ba thoâng soá, noù cho pheùp moâ hình phuø hôïp toát hôn vôùi nhöõng ñöôøng cong öùng suaát–bieán daïng thöïc teá.

1.3.2 Moâñun tieáp tuyeán Et vaø moâñun deûo Ep

Bôûi vì quan heä öùng suaát–bieán daïng ñaøn–deûo cuûa vaät lieäu coù tính chaát phi tuyeán, moät qui trình gia taêng noùi chung ñöôïc choïn ñeå giaûi baøi toaùn bieán daïng. Do ñoù, chuùng ta giaû ñònh raèng moät gia taêng bieán daïng, dε, bao goàm hai phaàn: gia taêng bieán daïng ñaøn hoài, dεe, vaø gia taêng bieán daïng deûo, dεp (xem hình 1.5a)

pe ddd ε+ε=ε (1.5)

Löôïng gia taêng öùng suaát dσ ñöôïc lieân heä vôùi löôïng gia taêng bieán daïng dε theo daïng ε=σ dEd t (1.6)

vôùi Et laø moâñun tieáp tuyeán, noù thay ñoåi trong quaù trình bieán daïng deûo. Trong tröôøng hôïp ñaët taûi ñôn truïc, Et laø ñoä doác hieän haønh cuûa ñöôøng cong σ−ε (hình 1.5a). Neáu chuùng ta taùch bieán daïng deûo εp khoûi bieán daïng toång ε, thì löôïng gia taêng bieán daïng deûo dεp vaø löôïng gia taêng öùng suaát dσ ñöôïc lieân heä vôùi nhau theo bieåu thöùc: p

pdEd ε=σ (1.7)

trong ñoù Ep ñöôïc xem laø moâñun deûo, noù baèng ñoä doác cuûa ñöôøng cong σ−εp trong tröôøng hôïp keùo ñôn truïc (hình 1.5b). Ñoái vôùi löôïng gia taêng bieán daïng ñaøn hoài dεe, ta coù moái quan heä

eEdd ε=σ (1.8)

vôùi E laø moâñun ñaøn hoài hay moâñun Young.

17

Thay dε trong ñaúng thöùc (1.6), dεp trong ñaúng thöùc (1.7), vaø dεe trong ñaúng thöùc (1.8) vaøo ñaúng thöùc (1.5) ta seõ coù moái quan heä giöõa ba moâñun Et, E vaø Ep

pt E

1

E

1

E

1+= (1.9)

1.3.3 Caùc quy luaät bieán cöùng Nhö ñaõ ñöôïc moâ taû trong phaàn treân, hieän töôïng maø nhôø ñoù öùng suaát chaûy gia taêng vôùi söï gia taêng bieán daïng deûo ñöôïc goïi laø bieán cöùng hay taùi beàn cuûa vaät lieäu. Ñeå moâ taû öùng xöû naøy, moät thoâng soá bieán cöùng κ ñöôïc giôùi thieäu ñeå ñaëc tröng cho caùc traïng thaùi bieán cöùng khaùc nhau, vaø moâñun deûo Ep ñöôïc cho laø moät haøm cuûa thoâng soá bieán cöùng κ naøy nhö

)(EE pp κ= (1.10)

ôû ñaây κ coù theå ñöôïc laáy nhö laø coâng chaûy deûo Wp ∫ εσ= p

p dW (1.11)

hoaëc bieán daïng deûo εp hoaëc, thöïc teá hôn, bieán daïng deûo tích luõy

2/1pp

p )dd(∫ εε=ε

noù laø toång cuûa caùc gia taêng bieán daïng deûo töông ñöông ñöôïc ñònh nghóa bôûi:

ppp ddd εε=ε (1.12)

Bôûi vì ñöôøng cong keùo ñôn truïc σ−ε ñoái vôùi moät vaät lieäu noùi chung thu ñöôïc töø moät thí nghieäm ñôn giaûn, daïng haøm cuûa moâñun deûo Ep trong ñaúng thöùc (1.10) coù theå ñöôïc xaùc ñònh töø thí nghieäm naøy döôùi daïng ñònh nghóa cuûa thoâng soá bieán cöùng κ. Ñoái vôùi moät phaân toá vaät lieäu döôùi ñieàu kieän gia taûi nghòch ñaûo, öùng suaát chaûy tieáp sau thöôøng ñöôïc xaùc ñònh theo moät trong ba quy luaät ñôn giaûn sau ñaây: 1. Quy luaät bieán cöùng ñaúng höôùng: ñoä lôùn öùng suaát chaûy neùn nghòch ñaûo ñöôïc giaû ñònh baèng vôùi öùng suaát chaûy keùo. Nhö ñöôïc minh hoïa trong hình 1.6a, ôû ñaây

|BC||C'B| = , öùng suaát chaûy neùn nghòch ñaûo ,Bσ thì baèng vôùi öùng suaát chaûy keùo

Bσ tröôùc khi nghòch ñaûo taûi. Do ñoù, quy luaät bieán cöùng ñaúng höôùng boû qua hoaøn toaøn hieäu öùng Bauschinger, khi giaû ñònh raèng öùng suaát chaûy gia taêng trong luùc keùo seõ baèng vôùi ñoä lôùn öùng suaát chaûy gia taêng trong luùc neùn. Quy luaät bieán cöùng naøy coù theå ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng toaùn hoïc nhö sau: |)(||| κσ=σ (1.13) ôû ñaây σ(κ) laø moät haøm cuûa thoâng soá bieán cöùng κ vaø thoâng soá κ laø soá voâ höôùng, xaùc ñònh, khoâng aâm, nhö coâng chaûy deûo hoaëc bieán daïng deûo tích luõy ñaõ ñöôïc ñeà

18

O

σ

ε

a)

A B

C

A’ B’

O

σ

ε

b)

A B

C

A’ B’

a

a’ O

σ

ε

c)

A B

C

A’ B’

caäp ôû treân.

Hình 1.6 Caùc quy luaät bieán cöùng

2. Quy luaät bieán cöùng ñoäng hoïc: mieàn ñaøn hoài ñöôïc cho laø khoâng bò thay ñoåi trong quaù trình bieán cöùng (bieán daïng deûo). Do ñoù, quy luaät bieán cöùng ñoäng hoïc khaûo saùt hieäu öùng Bauschinger tôùi möùc ñoä ñaày ñuû cuûa noù. Bieán cöùng ñoäng hoïc ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng tuyeán tính ñöôïc bieåu thò trong hình 1.6b, vôùi

|'AA||'BB| = . Taâm cuûa mieàn ñaøn hoài ñöôïc di chuyeån doïc theo ñöôøng thaúng aa’. Quy luaät bieán cöùng naøy coù theå ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng toaùn hoïc nhö sau

0|)(c| σ=κ−σ (1.14)

vôùi c(κ) laø haøm cuûa thoâng soá bieán cöùng κ.

3. Quy luaät bieán cöùng ñoäc laäp: vaät lieäu ñöôïc cho laø bò bieán cöùng moät caùch ñoäc laäp khi chòu keùo vaø khi chòu neùn. Quy luaät bieán cöùng naøy ñöôïc minh hoïa trong hình 1.6c, vôùi OABC > , nhöng 'OA'CB > ; vaät lieäu ñaõ bieán cöùng chæ trong keùo, nhöng noù ñoái xöû gioáng nhö vaät lieäu chöa chòu bieán daïng (môùi nguyeân) döôùi ñieàu kieän ñaët taûi neùn nghòch ñaûo. Noù coù theå ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng toaùn hoïc nhö sau

0neáu)(

0neáu)(

cc

tt

<σκσ=σ>σκσ=σ

vôùi κt vaø κc laø caùc thoâng soá bieán cöùng ñöôïc tích luõy trong quaù trình ñaët taûi keùo vaø neùn töông öùng.

1.3.4 Thí duï

1.3.4.1 Thí duï 1.1

ÖÙng xöû cuûa vaät lieäu ña tinh theå bao goàm nhieàu ñôn tinh theå thì töông töï vôùi moät keát caáu giaøn bao goàm nhieàu thanh rieâng leû. Do ñoù, coù theå duøng heä thoáng giaøn ñôn giaûn ñeå moâ phoûng öùng xöû ñaøn–deûo cuûa vaät lieäu kim loaïi. Trong thí duï naøy,

19

O

σ

ε

E

σ02

1

σ01

(2)

(1)

(2)

(1)

A1

2

A1

2

A2

2

A2

2

(2) (2) (1) (1)

P

Cöùng

moät keát caáu giaøn nhö hình 1.7 ñöôïc khaûo saùt. Hieäu öùng Bauschinger seõ ñöôïc moâ phoûng bôûi moâ hình.

Hình 1.7 Moâ hình thí duï 1.1

Trong hình 1.7, hai caëp thanh song song, thaúng ñöùng vaø chòu taùc ñoäng keùo cuûa taûi P. Caùc thanh naøy ñöôïc laøm baèng caùc vaät lieäu ñaøn–deûo lyù töôûng vôùi caùc öùng suaát chaûy khaùc nhau. Haõy phaân tích caùc ñaëc tröng ñaët taûi, caát taûi vaø ñaët taûi laïi cuûa moâ hình keát caáu naøy.

ÖÙng xöû ñaët taûi: vôùi vieäc ñaët taûi P gia taêng töø zero, hai giai ñoaïn ñaùng keå ñaàu tieân xaûy ra khi tieáp theo chaûy deûo cuûa nhöõng thanh 1 laø chaûy deûo cuûa nhöõng thanh 2. Chuù yù raèng caû hai vaät lieäu coù cuøng moâñun ñaøn hoài, taûi troïng luùc chaûy deûo ñaàu ñöôïc tìm thaáy 201101a AAP σ+σ= (1.15)

ÖÙng suaát töông ñöông coù theå ñöôïc tính döôùi daïng

0121

201101a AA

AAσ=

+σ+σ

=σ (1.16)

Bieán daïng töông öùng laø E01

a

σ=ε (1.17)

Luùc caùc thanh 2 chaûy deûo, taûi troïng, öùng suaát, vaø bieán daïng coù theå ñöôïc tính theo caùc coâng thöùc nhö sau 202101b AAP σ+σ= (1.18)

21

202101b AA

AA

+σ+σ

=σ (1.19)

E02

b

σ=ε (1.20)

ÖÙng xöû caát taûi: sau giai ñoaïn naøy, söï giaõn daøi theâm cuûa caùc thanh khoâng gaây ra

20

söï gia taêng taûi troïng. Do ñoù, söï kieän keá tieáp seõ laø giai ñoaïn caát taûi. Trong quaù trình caát taûi, moâñun thì töông töï nhö moâñun luùc ñaàu E. Do ñoù, taûi giaûm ñeán khoâng khi bieán daïng ñöôïc giaûm moät löôïng

)AA(E

AA

21

202101

+σ+σ

=ε (1.21)

ÔÛ ñieåm naøy, öùng suaát trong caùc thanh 1, σ1, vaø trong caùc thanh 2, σ2, seõ ñöôïc xaùc ñònh theo caùc coâng thöùc

21

20201011 AA

A)(E

+σ−σ

=ε−σ=σ (1.22)

21

10102022 AA

A)(E

+σ−σ

=ε−σ=σ (1.23)

Bôûi vì σ02 > σ01, ta seõ coù σ1 < 0, σ2 > 0, cho thaáy raèng toàn taïi vieäc neùn dö trong nhöõng thanh coù ñoä beàn chaûy thaáp hôn 1 vaø keùo dö trong nhöõng thanh coù ñoä beàn chaûy cao hôn 2 vôùi taûi taùc ñoäng giaûm ñeán zero.

Do chuùng ta cho raèng thanh ñaøn–deûo lyù töôûng, chaûy neùn seõ xaûy ra trong nhöõng thanh 1 khi bieán daïng ñöôïc giaûm moät löôïng

E

2 01σ=ε (1.24)

ÔÛ tröôøng hôïp naøy, taûi trong caùc thanh 1 laø

1011 AP σ−= (1.25)

Taûi trong caùc thanh 2 laø

201022 A)2(P σ−σ= (1.26)

ÖÙng suaát töông öùng laø

21

10120102d AA

AA)2(

+σ−σ−σ

=σ (1.27)

Chuù yù raèng, öùng suaát chaûy deûo nghòch ñaûo trong (1.27) coù ñoä lôùn nhoû hôn öùng suaát chaûy ban ñaàu trong (1.16), do ñoù caùc thanh 1 chaûy deûo sôùm hôn nhieàu so vôùi giai ñoaïn ñaët taûi ban ñaàu, bôûi vì chuùng ñaõ bò neùn khi taûi P = 0 nhö ñaõ chæ ra trong (1.22).

Chaûy deûo neùn xaûy ra trong nhöõng thanh 2 khi bieán daïng ñaõ bò giaûm moät löôïng

E

2 02σ=ε (1.28)

ÔÛ ñieåm naøy, taûi vaø öùng suaát töông öùng coù theå ñöôïc bieåu dieãn

21

Hình 1.8 Caùc ñaëc tröng ñaët vaø caát taûi cuûa moâ hình

O

σ

ε

σ + σσ =

+01 1 02 2

b1 2

A AA A

σ01

( )σ − σ − σσ =

+02 0 1 2 0 1 1

d1 2

2 A A

A A

σ + σσ = −

+01 1 02 2

e1 2

A AA A

a

b c

d

e

f

g

h

i

202101e AAP σ−σ−= (1.29)

21

202101e AA

AA

+σ−σ−

=σ (1.30)

Ñöôøng cong σ–ε cho loä trình ñaët taûi naøy ñöôïc bieåu thò bôûi O–a–b–c–d–e trong hình 1.8. Neáu coù caøng nhieàu caùc thanh vôùi öùng suaát chaûy khaùc nhau trong keát caáu, thì ñöôøng cong σ–ε thu ñöôïc caøng trôn nhaün.

ÖÙng xöû ñaët taûi laïi: baây giôø chuùng ta khaûo saùt tröôøng hôïp trong ñoù vieäc ñaët taûi neùn ñöôïc keát thuùc ôû ñieåm h tröôùc khi chaûy deûo neùn trong caùc thanh 2 baét ñaàu. Vieäc ñaët taûi laïi cuûa heä keát caáu trong luùc keùo seõ theo ñaùp öùng tuyeán tính vôùi moâñun ban ñaàu E nhöng caùc thanh 1 cuoái cuøng seõ chaûy deûo laàn nöõa khi chòu keùo ôû ñieåm i vaø chaûy deûo cuûa caùc thanh 2 baét ñaàu ôû ñieåm f. Ñöôøng cong σ–ε cho chu trình ñaët taûi naøy ñöôïc bieåu thò bôûi f–g–h–i trong hình 1.8.

Moâ hình keát caáu naøy vôùi söï laép raùp caùc thanh coù öùng suaát chaûy khaùc nhau coù theå ñöôïc khaûo saùt, moät caùch ñònh tính, ñeå moâ taû moät maãu thaät vôùi caùc maët phaúng tröôït cuûa nhöõng ñoä beàn khaùc nhau, vaø do ñoù giaûi thích taïi sao moät maãu thaät noùi chung bieåu hieän hieäu öùng Bauschinger.

1.3.4.2 Thí duï 1.2

Ñaùp öùng σ–ε trong keùo ñôn giaûn ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn hoài–deûo bieán cöùng tuyeán tính ñöôïc xaáp xæ bôûi caùc bieåu thöùc sau ñaây

p0 mε+σ=σ ñoái vôùi σ ≥ σ0

22

Hình 1.9 Ñöôøng cong öùng suaát–bieán daïng cho chu trình

O

σ

ε

A

B C

D E

0,007

i)

O

σ

ε

A, E

B

C

D

0,007

ii) iii)

O

σ

ε

A

B C

D

0,007

E

E

e σ=ε

ôû ñaây σ0 = 207.106N/m2, E = 207.109N/m2, vaø m = 25,9.109N/m2. Maãu vaät lieäu tröôùc tieân ñöôïc keùo daøi ñeán giaù trò bieán daïng toång ε = 0,007, roài sau ñoù ñöôïc trôû veà traïng thaùi khoâng bieán daïng ban ñaàu (ε = 0) baèng caùch neùn tieáp tuïc, vaø roài ñöôïc caát taûi vaø ñaët taûi keùo laïi ñeå ñaït tôùi cuøng giaù trò bieán daïng ε = 0,007 (xem hình 1.9). Veõ phaùc ñöôøng cong öùng suaát-bieán daïng ñoái vôùi caùc quy luaät bieán cöùng sau: (i) bieán cöùng ñaúng höôùng, (ii) bieán cöùng ñoäng hoïc, (iii) bieán cöùng taùc ñoäng keùo vaø neùn ñoäc laäp.

Giaûi

Theo ñònh nghóa cuûa moâñun deûo Ep trong (1.7), ta coù

9pp 10.9,25m

d

dE ==

εσ

= N/m2

vaø moâñun tieáp tuyeán Et ñöôïc tìm thaáy töø (1.9) nhö

9

99p

t 10.020,23

10.9,25

1

10.207

11

E

1

E

11

E =+

=+

= N/m2

Vôùi maãu vaät lieäu chòu keùo, chaûy deûo xaûy ra ôû thôøi ñieåm coù bieán daïng

001,0E

o =σ

=ε

Sau ñoù, maãu ñöôïc keùo theâm ñeán ñieåm A vôùi bieán daïng ε = 0,007, ôû ñoù öùng suaát σA ñöôïc xaùc ñònh theo

2696

t00A

m/N10.345)001,0007,0(10.020,2310.207

E

=−+=

ε∆+σ=σ∆+σ=σ

23

Caùc öùng suaát tieáp sau ñöôïc xaùc ñònh ñoái vôùi ba quy luaät bieán cöùng nhö sau

(i) Tröôøng hôïp bieán cöùng ñaúng höôùng (hình 1.9(i)): trong quaù trình caát taûi vaø ñaët taûi neùn nghòch ñaûo, maãu öùng xöû ñaøn hoài cho ñeán khi noù chaûy deûo laàn nöõa trong traïng thaùi neùn ôû ñieåm B. Theo quy luaät bieán cöùng ñaúng höôùng, ta coù 6

AB 10.345−=σ−=σ N/m2

00367,010.207

10.3452007,0

E2

9

6A

AB =

−=

σ−ε=ε

Baây giôø, maãu vaät lieäu tieáp tuïc chaûy deûo ñeán luùc söï ñaûo ngöôïc taûi xaûy ra ôû ñieåm C khi ε = 0

2696

tBC

m/N10.429)00367,00(10.020,2310.345

E

−=−+−=

ε∆+σ=σ

Vôùi söï ñaûo ngöôïc cuûa bieán daïng, vaät lieäu seõ bieán daïng ñaøn hoài cho tôùi ñieåm D, ôû ñoù 6

D 10.429=σ N/m2

004145,010.207

10.42920

E2

9

6D

CD =

+=

σ+ε=ε

Khi bieán daïng ε ñaït ñeán 0,007 ôû ñieåm E, öùng suaát laø

2696

tDE

m/N10.495)004145,0007,0(10.020,2310.429

E

=−+=

ε∆+σ=σ

(ii) Tröôøng hôïp bieán cöùng ñoäng hoïc (hình 1.9(ii)): öùng suaát chaûy ôû ñieåm B laø

26660AB m/N10.69)10.207(210.3452 −=−=σ−σ=σ

005,010.207

10.2072007,0

E2

9

60

AB =

−=

σ−ε=ε

ÔÛ ñieåm C, ta coù

2696tBC m/N10.184)005,00(10.020,2310.69E −=−+−=ε∆+σ=σ

ÔÛ ñieåm D, maãu chaûy deûo laàn nöõa trong traïng thaùi keùo ôû öùng suaát

2666oCD m/N10.230)10.207(210.1842 =+−=σ+σ=σ

24

002,010.207

10.20720

E2

9

60

CD =

+=

σ+ε=ε

ÔÛ ñieåm E, öùng suaát laø

2696

tDE

m/N10.345)002,0007,0(10.020,2310.230

E

=−+=

ε∆+σ=σ

(iii) Tröôøng hôïp bieán cöùng ñoäc laäp (hình 1.9(iii)): vì tröôùc ñaây vaät lieäu chöa ñöôïc chaûy deûo trong traïng thaùi neùn neân öùng suaát chaûy taïi ñieåm B laø

260B m/N10.207−=σ−=σ

00433,010.207

10.207

10.207

10.345007,0

EE 9

6

9

60A

AB =−−=σ

−σ

−ε=ε

ÔÛ ñieåm C, ta coù

2696

tBC

m/N10.307)00433,00(10.020,2310.207

E

−=−+−=

ε∆+σ=σ

ÔÛ ñieåm D, vaät lieäu chaûy deûo laàn nöõa trong traïng thaùi keùo ôû öùng suaát baèng σA, nghóa laø 26

AD m/N10.345=σ=σ

00315,010.207

10.345

10.207

)10.307(0

EE 9

6

9

6DC

CD =+−

−=σ

+σ

−ε=ε

ÔÛ ñieåm E, öùng suaát laø

2696

tDE

m/N10.434)00315,0007,0(10.020,2310.345

E

=−+=

ε∆+σ=σ

Caùc ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng cho ba tröôøng hôïp quy luaät bieán cöùng ñöôïc bieåu dieãn treân hình 1.9.

1.3.4.3 Thí duï 1.3

Xeùt moät vaät lieäu bieán cöùng ñoäng hoïc phi tuyeán vôùi ñöôøng cong σ–ε trong traïng thaùi keùo ñôn thu ñöôïc töø thí nghieäm keùo coù daïng

np0 )(m ε+σ=σ ñoái vôùi σ ≥ σ0

eEε=σ ñoái vôùi σ < σ0 (1.31)

ôû ñaây m = 5.105N/m2, n = 0,3, E = 7.107N/m2, vaø σ0 = 2.105N/m2. Phöông trình (1.31) öùng xöû ñaøn deûo cuûa vaät lieäu döôùi loä trình öùng suaát keùo ñôn. Moái quan heä naøy khoâng theå ñöôïc duøng moät caùch tröïc tieáp cho loä trình ñaët taûi toång quaùt ngoaøi loä trình öùng suaát keùo ñôn. Ñeå toång quaùt hoùa noù, ta seõ theo söï baøn luaän trong

25

Hình 1.10 Caùc quan heä σ-εp ñoái vôùi caùc ñònh nghóa khaùc nhau cuûa κ

°°

°°

σA=350 300

σ (MPa)

εp

A(0,0181;350)

200

100

O σB=-50

-100

-200

B(0,0181;-50)

(0,009;321,69)

(0,009;-78,37)

(i)

(ii)

(iii)

°

°

phaàn 1.3.3 vaø giôùi thieäu moät thoâng soá bieán cöùng khoâng aâm κ ñeå moâ taû bieán daïng deûo cuûa vaät lieäu döôùi ñieàu kieän ñaët taûi toång quaùt. Moái quan heä giöõa thoâng soá bieán cöùng κ vaø modulus deûo Ep, bieåu thöùc (1.10), ñöôïc giaû ñònh laø töông töï vôùi daïng (1.31). Chieán löôïc naøy môû roäng vaø toång quaùt hoùa öùng xöû ñaøn deûo cuûa vaät lieäu ñöôïc khaûo saùt trong thí nghieäm ñaët taûi ñôn truïc ñeán tröôøng hôïp ñaët taûi toång quaùt. Ñaây laø chieán löôïc cô baûn ñöôïc duøng thöôøng xuyeân trong lyù thuyeát deûo.

Moät phaân toá vaät lieäu tröôùc heát ñöôïc ñaët taûi keùo ñeán ñieåm A, ôû ñoù σA = 350N/m2, vaø roài ñöôïc caát taûi vaø ñaët taûi neùn tieáp tuïc. Traïng thaùi B laø ñieåm chaûy deûo khi neùn trong quaù trình ñaët taûi nghòch ñaûo (hình 1.10). a) Haõy tìm caùc bieåu thöùc moâ taû ñöôøng cong σ–εp trong quaù trình ñaët taûi neùn

chaûy deûo baét ñaàu töø traïng thaùi B ñoái vôùi thoâng soá bieán cöùng κ ñöôïc ñònh nghóa nhö: tröôøng hôïp (i), ∫ εε=ε=κ 2/1pp

p )dd( ; tröôøng hôïp (ii), pε=κ .

Haõy veõ phaùt ñöôøng cong σ–εp.

b) Ñoái vôùi κ ñöôïc xaùc ñònh nhö tröôøng hôïp (iii), ∫ εσ==κ pp dW , haõy veõ phaùt

ñöôøng cong σ–εp baèng caùch duøng quy trình gia soá ñôn giaûn.

Giaûi

a) Trong mieàn keùo chaûy deûo ñaàu tieân, dεp > 0, ta coù

∫∫ ε=ε=εε=κpp s

0

pp2/1s

0

pp d)dd(

noù daãn ñeán cuøng daïng vôùi tröôøng hôïp (ii). Töø moái quan heä σ–ε ñaõ cho (1.31)

εp 0,003 0,009

σ

Trong keùo 287,52 321,69

Tröôøng hôïp (i) -79,96 -69,51

Tröôøng hôïp (ii)

-112,54 -78,37

Tröôøng hôïp (iii)

-86,00 -72,14

26

cho keùo ñôn truïc, moâñun deûo Ep coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo κ nhö

1n1np

pp mn)(mnd

dE −− κ=ε=

εσ= (1.32)

Trong mieàn ñaët taûi neùn baét ñaàu töø ñieåm B, thoâng soá bieán cöùng κ ñoái vôùi tröôøng hôïp (i) laø bieán daïng deûo tích luõy toång ñeán traïng thaùi hieän haønh εp:

ppA

ppA

pA 2)( ε−ε=ε−ε+ε=κ (1.33a)

vaø ñoái vôùi tröôøng hôïp (ii), noù töï baèng εp:

pε=κ (1.33b)

Moâñun deûo Ep ñöôïc tính theo

1nppA

1np )2(mnmnE −− ε−ε=κ= ñoái vôùi tröôøng hôïp (i) (1.34a)

1npp )(mnE −ε= ñoái vôùi tröôøng hôïp (ii) (1.34b)

Do ñoù, ñöôøng cong σ-εp trong mieàn naøy coù theå ñöôïc tìm theo

∫ ε+σ=σp

pB

s

s

ppB dE (1.35)

Thay Ep töø (1.34) vaøo (1.35) vaø chuù yù raèng σB = σA - 2σ0 vaø pA

pB ε=ε , tích phaân

ta coù

0Anp

Anpp

A 2)(m)2(m σ−σ+ε+ε−ε−=σ (1.36a)

(ñoái vôùi tröôøng hôïp (i))

vaø [ ] 0Anp

Anp 2)()(m σ−σ+ε−ε=σ ñoái vôùi tröôøng hôïp (ii) (1.36b)

ÔÛ ñieåm A, öùng suaát σA = 350MPa, do ñoù bieán daïng coù theå deã daøng ñöôïc xaùc ñònh bôûi (1.31)

0181,0pA =ε

Thay giaù trò cuûa m, n, σ0, σA, vaø pAε vaøo (1.36a) vaø (1.36b) ta seõ ñöôïc

63,0p6 10.06,100)0362,0(10.500 +ε−−=σ ñoái vôùi tröôøng hôïp (i) (1.37a)

63,0p6 10.06,200)(10.500 −ε=σ ñoái vôùi tröôøng hôïp (ii) (1.37b)

Ñöôøng cong σ–εp cho tröôøng hôïp (i) vaø (ii) ñöôïc veõ phaùt trong hình 1.10.

(b) Ñoái vôùi tröôøng hôïp (iii), thoâng soá bieán cöùng κ ñöôïc ñònh nghóa bôûi Wp, vaø theo giaû ñònh (1.10), moâñun deûo baây giôø laø haøm cuûa Wp, töùc laø

27

)W(EE ppp = (1.38)

Töø quan heä σ–εp ñaõ cho, Wp ñöôïc tính bôûi

[ ]

1npp0

p

ps

0

np0

pp

)(1n

m

d)(mdW

+ε+

+εσ=

εε+σ=εσ= ∫ ∫ (1.39a)

Töø phöông trình (1.31) ta cuõng coù

1npp )(mnE −ε= (1.39b)

Moái quan heä (1.38) baây giôø ñöôïc thieát laäp töø caùc ñaúng thöùc (1.39a) vaø (1.39b) baèng caùch khöû bieán εp.

Trong mieàn ñaët taûi neùn baét ñaàu töø ñieåm B, khoâng coù bieåu thöùc roõ raøng cho Ep = E(Wp). Do ñoù ñöôøng cong σ–εp khoâng theå ñöôïc tìm baèng caùch tích phaân tröïc tieáp; chuùng ta chí coù theå duøng quy trình gia soá ñeå tìm moái quan heä σ–εp döôùi daïng soá. Caùc böôùc tính toaùn theo trình töï nhö sau:

1. Tính toaùn σ, εp, Wp, vaø Ep ôû ñieåm baét ñaàu B.

2. Laáy gia soá bieán daïng deûo dεp = –0,0015 (gia soá ñaàu tieân dεp = –0,0016).

3. Tính toaùn gia soá öùng suaát dσ = Epdεp vaø gia soá coâng deûo dWp = σdεp.

4. Caäp nhaät öùng suaát, bieán daïng deûo, vaø coâng bieán daïng deûo baèng caùch coäng theâm gia soá töông öùng: σ + dσ, εp + dεp, Wp + dWp.

5. Caäp nhaät moâñun deûo Ep baèng caùch giaûi phöông trình (1.39a) ñoái vôùi εp, roài thay εp vaøo (1.39b) ñeå tìm Ep. Chuù yù raèng εp khoâng laø bieán daïng deûo hieän haønh.

6. Quay trôû laïi böôùc 2.

Baûng 1.1 Tính toaùn quan heä σ–εp baèng quy trình gia soá

σ.10-6 εp Wp.10-6 Ep.10-6 &pW .10-6 σ& .10-6

–50,00 –53,98

–57,68

–61,34

–64,98

–68,57

0,0181 0,0165

0,0150

0,0135

0,0120

0,0105

5,709 5,789

5,870

5,957

6,049

6,146

2487,23 2465,35

2443,93

2421,14

2397,99

2374,50

0,0800 0,0810

0,0865

0,0920

0,0975

0,1029

–3,980 –3,698

–3,666

–3,632

–3,597

–3,562

28

O

x3

°°°° P(v1,v2,v3)

rv

r

2e

r

3e

r

1e

x2

x1

–72,13

–75,66

–79,15

–82,59

–86,00

–89,37

–92,70

0,0090

0,0075

0,0060

0,0045

0,0030

0,0015

0,0000

6,249

6,357

6,471

6,590

6,713

6,842

6,977

2349,89

2324,26

2298,50

2272,65

2245,99

2219,35

2192,04

0,1082

0,1135

0,1187

0,1239

0,1290

0,1341

0,1391

–3,525

–3,486

–3,448

–3,409

–3,369

–3,329

–3,288

Caùc keát quaû cuûa tính toaùn naøy ñöôïc cho trong baûng 1.1 vaø ñöôøng cong σ-εp töông öùng ñöôïc bieåu dieãn trong hình 1.10.

1.4 KYÙ HIEÄU CHÆ SOÁ

Do kyù hieäu chæ soá cho pheùp giaûm ñaùng keå caùc soá haïng trong moät bieåu thöùc hoaëc phöông trình vaø söï ñôn giaûn hoùa cuûa vieäc hình thaønh coâng thöùc toång quaùt, neân noù thöôøng ñöôïc duøng trong caùc taøi lieäu hieän haønh khi öùng suaát, bieán daïng vaø nhöõng phöông trình cô baûn ñöôïc ñeà caäp ñeán. Vì theá, kieán thöùc cô baûn veà caùc kyù hieäu naøy laø caàn thieát trong vieäc nghieân cöùu lyù thuyeát deûo vaø moâ hình cô baûn cuûa vaät lieäu. Vôùi nhöõng kyù hieäu nhö theá, caùc moái quan heä öùng suaát bieán daïng ña daïng coù theå ñöôïc bieåu dieãn trong daïng coâ ñoïng (daïng neùn), baèng caùch aáy cho pheùp taäp trung nhieàu ñeán caùc nguoàn goác vaät lyù hôn laø chính caùc phöông trình.

1.4.1 Kyù hieäu chæ soá vaø quy öôùc pheùp toång

Xeùt heä toïa ñoä Descartes phaûi. Trong khoâng gian ba chieàu, heä toïa ñoä Descartes phaûi ñöôïc veõ bôûi moät boä goàm ba truïc vuoâng goùc laãn nhau vaø thöôøng ñöôïc kyù hieäu laø x, y, z. Ñeå thuaän tieän hôn cho caùc coâng vieäc sau naøy, caùc truïc naøy ñöôïc kyù hieäu laïi laø x1, x2, x3. Hình veõ phaùc cuûa heä truïc naøy ñöôïc theå hieän trong hình 1.11.

1.4.1.1 Kyù hieäu chæ soá

Trong heä toïa ñoä naøy, vectô v ñöôïc bieåu thò

ii332211321 evevevev)v,v,v(vrrrrr

=++== (1.40)

29

ôû ñaây 21 e,err vaø 3e

r laàn löôït laø caùc vectô ñôn vò treân ba truïc toïa ñoä x1, x2, x3, vaø v1, v2, v3 laø ba hình chieáu - thaønh phaàn - cuûa vectô v

r leân ba truïc. Thaät laø ích lôïi ñeå kyù hieäu caùc thaønh phaàn cuûa moät vectô baèng chæ moät thaønh phaàn ñôn giaûn vôùi chæ soá ñaõ toång quaùt hoùa. Do ñoù, trong kyù hieäu chæ soá, vi bieåu thò cho caùc thaønh phaàn cuûa vectô v

r . Ñieàu naøy ñöôïc hieåu laø chæ soá i bieán thieân töø 1 ñeán 3 khi vi ñöôïc vieát cho v

r .

Thí duï, ñaúng thöùc xi = 0 nguï yù raèng caû ba thaønh phaàn cuûa vectô xr : x1 = x2 = x3 =

0, hoaëc vectô 0xrr

= . Töông töï,

)x,x,x(f)x(f)x(f)x(f 321ji ===r (1.41)

Chæ soá coù theå ñöôïc choïn töï do. Do ñoù, xi vaø xj moâ taû cuøng moät vectô.

1.4.1.2 Quy öôùc pheùp toång

Quy öôùc pheùp toång boå sung cho kyù hieäu chæ soá vaø cho pheùp söï vaén taét (ruùt goïn) nhieàu hôn nöõa khi trình baøy caùc pheùp toång. Chuùng ta chaáp nhaän quy öôùc sau: khi chæ soá xuaát hieän hai laàn trong cuøng soá haïn, ñieàu naøy ñöôïc hieåu laø chæ soá ñöôïc tính töø 1 ñeán 3. Thí duï tích voâ höôùng cuûa hai vectô u

r vaø vr seõ ñöôïc bieåu dieãn

kkjjii

3

1iii332211 vuvuvuvuvuvuvuv.u ====++= ∑

=

rr (1.42)

Quy öôùc pheùp toång yeâu caàu chæ soá i phaûi ñöôïc laëp laïi, nhöng loaïi boû kyù hieäu toång ∑. Tuy nhieân, caàn nhaéc laïi raèng chæ soá coù theå choïn töï do. Do ñoù, uivi hay ujvj hoaëc ukvk cuøng bieåu dieãn moät toång nhö nhau, u1v1 + u2v2 + u3v3. Caùc chæ soá ñöôïc laëp laïi nhö theá ñöôïc goïi laø chæ soá giaû hoaëc caâm bôûi vì thöïc ra chöõ caùi cuï theå ñöôïc duøng cho chæ soá thì khoâng quan troïng; nghóa laø uivi = ujvj = ukvk.

Trong yù nghóa naøy, caàn chæ ra raèng toång hai vectô ur vaø v

r seõ ñöôïc bieåu dieãn

)vuvuvu(vuw 33'22'11 +++=+=rrr hay iii vuw += (1.43)

ÔÛ kyù hieäu treân, moãi soá haïng, thí duï ui, khoâng phaûi laø moät toång voâ höôùng maø laø moät vectô vì chæ soá i chæ xuaát hieän moät laàn trong moãi soá haïng vaø ñöôïc goïi laø chæ

30

soá giaû hoaëc caâm. Söï xuaát hieän cuûa chæ soá töï do trong bieåu thöùc chæ ra raèng caùc vectô seõ toàn taïi trong bieåu thöùc ñoù. Do ñoù, bieåu thöùc sau ñaây laø moät bieåu thöùc sai

332211ii vuvuvuvu +++++=+ (1.44)

Hôn nöõa, chæ soá trong moät soá haïng cuûa moät phöông trình hay bieåu thöùc chæ neân xaûy ra hai laàn trong cuøng soá haïng naøy ñoái vôùi quy öôùc pheùp toång laø hôïp leä. Moät bieåu thöùc nhö uivii khoâng truyeàn ñaït yù nghóa gì ñaëc bieät.

Söï coù hieäu löïc cuûa quy öôùc seõ roõ raøng hôn khi noù ñöôïc aùp duïng vaøo heä phöông trình tuyeán tính. Thí duï xeùt heä ba phöông trình tuyeán tính

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

=++

=++

=++

(1.45)

Hai giai ñoaïn kyù hieäu coù theå ñöôïc vieát nhö sau

3jj3

2jj2

1jj1

bxa

bxa

bxa

=

=

=

(1.46)

ijij bxa = (1.47)

Chæ soá i trong daïng kyù hieäu cuoái cuûa heä ba phöông trình chæ xuaát hieän moät laàn trong moãi soá haïng vaø ñoù laø chæ soá töï do. Ñieàu naøy cho thaáy caùc vectô toàn taïi trong bieåu thöùc. Ngoaøi ra, khi hai chæ soá töï do ñöôïc duøng ñeå kyù hieäu tenxô. Vôùi caùc quy öôùc treân ta coù theå thaáy aij kyù hieäu moät tensor, xj’bi kyù hieäu caùc vectô.

Nhö theá, heä phöông trình tuyeán tính (1.47) cuõng coù theå ñöôïc vieát

rsrs bxa = (1.48)

Caùc thaønh phaàn vaø daïng kyù hieäu chæ soá cô baûn cho vectô ñöôïc trình baøy trong baûng 1.2.

Pheùp toaùn divergence cuûa vectô vr laø v.

r∇ vaø ñöôïc tính bôûi

3

3

2

2

1

1

x

v

x

v

x

vv.

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇r (1.49)

Pheùp toaùn naøy ñöôïc ñöôïc kyù hieäu pheùp toång nhö sau

i

i

x

vv.

∂∂

=∇r (1.50)

ôû ñaây i laø chæ soá caâm.

31

Caùc quy öôùc veà caùc chæ soá ñöôïc moâ taû ôû treân baây giôø coù theå ñöôïc toång quaùt theo ba quy luaät nhö sau:

Baûng 1.2 Kyù hieäu chæ soá cuûa vectô

Vector Caùc thaønh phaàn Kyù hieäu chæ soá rv

+r r

u v

∇φr

(v1, v2, v3)

(u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) ∂φ ∂φ ∂φ ∂ ∂ ∂ 1 2 3

, ,x x x

vi

ui + vi ∂φ∂ ix

Quy luaät 1: neáu chæ soá chæ xuaát hieän moät laàn trong moät soá haïng cuûa bieåu thöùc hay phöông trình, noù ñöôïc goïi laø «chæ soá töï do». Ñieàu naøy phaûi xaûy ra chính xaùc moät laàn trong moãi soá haïng cuûa bieåu thöùc hoaëc phöông trình.

Quy luaät 2: neáu chæ soá xuaát hieän hai laàn trong moät soá haïng cuûa bieåu thöùc hay phöông trình, noù ñöôïc goïi laø “chæ soá giaû hoaëc caâm”. Noù ñöôïc coäng töø 1 ñeán 3. Chæ soá giaû coù theå hoaëc khoâng theå xaûy ra chính xaùc hai laàn trong soá haïng baát kyø.

Quy luaät 3: neáu chæ soá xuaát hieän hôn hai laàn trong moät soá haïng cuûa bieåu thöùc hay phöông trình, noù laø moät loãi.

1.4.1.3 Kyù hieäu ñaïo haøm

Trong kyù hieäu chæ soá, ta duøng daáu phaåy ñeå chæ thò ñaïo haøm; do ñoù, thí duï, daïng ñaïo haøm rieâng cuûa phöông trình (1.50) coù theå ñôn giaûn hoùa hôn döôùi daïng

j,ii

i vx

vv. =

∂∂

=∇r (1.51a)

trong ñoù daáu phaåy bieåu thò ñaïo haøm rieâng theo bieán cuûa chæ soá thöù hai. Hôn nöõa, gradient cuûa haøm φ ñöôïc bieåu dieãn nhö

i,Grad φ=φ (1.51b)

noù chæ roõ ñaëc tính vectô cuûa gradient cuûa haøm φ do chæ soá töï do i. Divergence cuûa ∇φ, ñöôïc goïi laø toaùn töû Laplace cuûa haøm φ, seõ ñöôïc vieát

ii,33,22,11,2 . φ=φ+φ+φ=φ∇∇=φ∇ (1.51c)

1.4.2 Kyù hieäu Kronecker δδδδij

Kyù hieäu Kronecker δij laø moät ma traän ñoái xöùng ñaëc bieät ñöôïc ñònh nghóa

32

=δ100

010

001

ij (1.52)

Do ñoù, caùc thaønh phaàn cuûa δij = 1 neáu i = j, vaø δij = 0 neáu i ≠ j:

δ11 = δ22 = δ33 = 1 (1.53)

δ12 = δ21 = δ13 = δ31 = δ23 = δ32 = 0 (1.54)

Chuù yù pheùp toång

δjj = δ11 + δ22 + δ33 = 3 (1.55)

Kyù hieäu δij coù theå ñöôïc xem nhö moät toaùn töû vaø cung caáp moät haøm höõu ích khi duøng ñeán. Thí duï, khaûo saùt pheùp chieáu δijvj. Theo quy öôùc pheùp toång, ñieàu naøy seõ mang laïi söï khai trieån vectô

δijvj = δi1v1 + δi2v2 + δi3v3 (1.56)

Laàn löôït gaùn giaù trò 1, 2, 3 cho i ta thu ñöôïc caùc thaønh phaàn töông öùng cuûa δijvj laø v1, v2, v3. Vì theá

δijvj = vi (1.57)

Keát quaû naøy coù theå ñöôïc hình dung nhö laø keát quaû cuûa söï thay theá i cho j (hoaëc j cho i) trong ñaïi löôïng ñöôïc taùc ñoäng bôûi toaùn töû δij. Do ñoù, khi aùp duïng toaùn töû δij leân ñaïi löôïng vj ñaõ thay theá chæ soá i cho chæ soá j treân ñaïi löôïng vj; kyù hieäu δij thöôøng ñöôïc goïi laø toaùn töû thay theá.

Nhö moät thí duï khaùc, δijδji seõ moâ taû toång voâ höôùng vaø coù keát quaû

δijδji = δii = δ11 + δ22 + δ33 = 3 (1.58) Töông töï, δijaji = aii = a11 + a22 + a33 (1.59)

Cuoái cuøng, chuù yù raèng tích voâ höôùng

≠=

=jineáu0

jineáu1e.e ji

rr

Do ñoù ta coù theå vieát

ijji e.e δ=rr (1.60)

1.4.3 Chuyeån ñoåi heä truïc toïa ñoä

1.4.3.1 Cosine chæ phöông

33

Hình 1.12 Pheùp bieán ñoåi heä truïc toïa ñoä

O

x3

°°°° P(xi)

P(x’i) rv

r

2e

r

3e

r

1e x2

x1

x’3

x’2

x’1

′r

1e

′r

2e ′r

3e

Caùc giaù trò cuûa caùc thaønh phaàn v1, v2, v3 cuûa vectô vr seõ phuï thuoäc vaøo heä truïc

toïa ñoä ñaõ choïn. Khi giaûi quyeát caùc baøi toaùn cô hoïc ta thöôøng coù nhu caàu thay ñoåi heä truïc quy chieáu, do ñoù thöôøng caàn phaûi ñònh laïi caùc giaù trò môùi cho caùc thaønh phaàn cuûa vectô v

r trong heä truïc môùi.

Baûng 1.3 Caùc cosine chæ phöông lij

Truïc Truïc

x1 x2 x3 ′1x

′2x ′3x

l11 l21 l31

l12 l22 l32

l13 l23 l33

Goïi xi vaø ,ix laø hai heä truïc toïa ñoä Descartes thuaän coù cuøng goác. Vectô v

r coù caùc

thaønh phaàn trong hai heä truïc naøy laàn löôït laø vi vaø ,iv . Do vectô laø khoâng ñoåi

trong caû hai heä toïa ñoä neân caùc thaønh phaàn phaûi ñöôïc lieân heä thoâng qua caùc cosine cuûa caùc goùc hôïp bôûi caùc truïc ,

ix vaø xi.

Kyù hieäu lij laø cos( ,ix , xj), nghóa laø cosine cuûa caùc goùc hôïp bôûi caùc truïc ,

ix vaø xi ñoái vôùi i vaø j thay ñoåi töø 1 ñeán 3, caùc giaù trò môùi cuûa caùc thaønh phaàn cuûa vectô vr trong heä truïc môùi ,

ix : jij,i vv l= . Nhöõng cosine naøy ñöôïc laäp thaønh baûng

1.3 neân chuù yù raèng, caùc thaønh phaàn cuûa ma traän lij laø khoâng ñoái xöùng, lij ≠ lji. Thí duï, l12 laø cosine cuûa goùc giöõa truïc ,

1x vaø x2 vaø l21 laø cosine cuûa goùc giöõa

truïc ,2x vaø x1 (xem hình 1.12). Goùc ñöôïc giaû ñònh laø ñöôïc ño töø heä truïc môùi ,

ix ñeán heä truïc cuõ xi.

1.4.3.2 Moái quan heä giöõa caùc llllij

34

Töø ñònh nghóa cuûa lij, ta coù

j,iij e.err

l = (1.61)

Vectô ñôn vò ,ie

r coù theå ñöôïc bieåu dieãn

jij33i22i11i

33,i22

,i11

,i

,i

eeee

e)e.e(e)e.e(e)e.e(er

lr

lr

lr

l

rrrrrrrrrr

=++=

++= (1.62)

Traùi laïi, ,jjii ee

rl

r= (1.63)

Do ñoù, jrirrkjkirkjkririj,j

,i e.ee.e llll

rl

rl

rr=δ==δ= (1.64)

hoaëc ijjrir δ=ll (1.65)

Ñaúng thöùc döôùi daïng kyù hieäu treân bieåu thò saùu phöông trình sau:

0

0

0

1

1

1

332332223121

331332123111

231322122111

233

232

231

223

222

221

213

212

211

=++

=++

=++

=++

=++

=++

llllll

llllll

llllll

lll

lll

lll

(1.66)

Töông töï, rjrirkkjri,kkj

,rriijji e.ee.e llll

rl

rl

rr=δ==δ= (1.67)

hoaëc ijrjri δ=ll (1.68)

Vectô baát kyø vr coù theå ñöôïc bieåu dieãn hoaëc theo daïng iiev

r hoaëc theo daïng ,i

,ievr :

jijjkjikkikjj,ijj

,i

,i vveeveeve.vv ll

rl

rrrrr=δ==== (1.69)

hoaëc jijv

,iv l= (1.70)

Traùi laïi, ,jijjr

,jri

,rri

,j

,jii vveevevv l

rl

rl

rrr=δ=== (1.71)

hoaëc ,jjii vv l= (1.72)

Trong caùch thöùc töông töï, neáu ñieåm P (hình 1.12) coù caùc toïa ñoä xi trong heä truïc cuõ vaø ,

ix trong heä truïc môùi, theá thì

jij,i xx l= vaø ,

jjii xx l= (1.73)

Ñieàu naøy daãn ñeán

35

,i

j

j

,i

ijx

x

x

x

∂

∂=

∂∂

=l (1.74)

1.4.3.3 Thí duï 1.4

Baûng 1.4 cho caùc cosine chæ phöông ñoái vôùi hai heä truïc toïa ñoä xi vaø ,ix . Chöùng

toû raèng ñieåm (0, 1, -1) trong heä toïa ñoä xi truøng vôùi ñieåm (–29/25, 4/5, –3/25) trong heä toïa ñoä ,

ix .

Giaûi

Caùc quan heä giöõa caùc toïa ñoä cuûa ñieåm trong hai heä truïc toïa ñoä xi vaø ,ix ñöôïc

cho bôûi (1.73)

jij,i xx l=

ôû ñaây xj = (0, 1, –1). Do ñoù, caùc toïa ñoä ,ix cuûa ñieåm coù theå ñöôïc tính toaùn. Ñoái

vôùi i = 1,

( ) ( ) ( )25

291

5

41

25

90

25

12xxxx 313212111

,1 −=−

+

−+

=++= lll

Töông töï,

54xxxxx 323222121jj2

,2 =++== llll

253xxxxx 333232131jj3

,3 −=++== llll

Baûng 1.4 Caùc cosine chæ phöông (lij) cho thí duï 1.4

Truïc Truïc

x1 x2 x3

′1x

′2x

′3x

12/25 3/5

–16/25

–9/25 4/5

12/25

4/5 0

3/5

Do ñoù, ñieåm (0, 1, –1) trong heä toïa ñoä xi truøng vôùi ñieåm (–29/25, 4/5, –3/25) trong heä toïa ñoä ,

ix .

1.4.4 Ñònh nghóa tenxô trong heä toïa ñoä Descartes

Trong phaàn tröôùc, chuùng ta ñaõ chöùng minh raèng moät vectô ñaët ôû ñieåm baát kyø

36

trong khoâng gian thì hoaøn toaøn ñöôïc xaùc ñònh khi ta bieát ñöôïc ba thaønh phaàn (hình chieáu) cuûa noù. Neáu ta bieát caùc hình chieáu cuûa moät vectô trong heä truïc toïa ñoä xi, thì caùc hình chieáu cuûa vectô naøy trong heä truïc toïa ñoä ,

ix coù theå nhaän ñöôïc

baèng caùch chuyeån truïc toïa ñoä jij,i vv l= . Coâng thöùc chuyeån truïc toïa ñoä naøy vaãn

ñuùng cho moät vectô baát kyø, duø noù laø moät ñaïi löôïng vaät lyù nhö vector vaän toác hoaëc löïc, laø moät ñaïi löôïng hình hoïc nhö vectô baùn kính, hoaëc moät ñaïi löôïng ñöôïc hình dung khoù hôn nhö gradient cuûa moät ñaïi löôïng voâ höôùng. Thí duï, neáu

i

i xG

∂φ∂= (1.75)

thì kik,i

k

k,i

,i G

x

x

xxG l=

∂

∂∂

φ∂=∂

φ∂= (1.76)

Quy luaät chuyeån truïc ñaõ ñeà caäp ôû treân, trong ñoù moãi hình chieáu môùi cuûa vectô trong heä truïc môùi laø moät toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc hình chieáu cuõ cuûa vectô trong heä truïc cuõ, raát tieän lôïi trong söû duïng. Trong phaàn tieáp theo, chuùng ta thöøa nhaän ñieàu naøy nhö ñònh nghóa cuûa moät vectô, do ñoù söï thay theá ñònh nghóa vectô tröôùc ñaây nhö moät ñaïi löôïng coù höôùng vaø ñoä lôùn. Nguyeân nhaân cô baûn cho vieäc thöøa nhaän ñònh nghóa vectô môùi naøy laø noù coù theå ñöôïc toång quaùt hoùa moät caùch deã daøng ñeå aùp duïng vaøo nhöõng ñaïi löôïng vaät lyù phöùc taïp hôn ñöôïc goïi laø tenxô trong khi söï ñònh nghóa “ñoä lôùn vaø höôùng” thì khoâng theå.

Ñaàu tieân tenxô baäc moät ñöôïc ñònh nghóa laø taäp hôïp ba ñaïi löôïng (ñöôïc goïi laø caùc thaønh phaàn cuûa noù) coù ñaëc tính laø neáu nhöõng giaù trò cuûa chuùng ôû moät ñieåm coá ñònh trong heä truïc toïa ñoä xi laø vi thì nhöõng giaù trò cuûa chuùng ôû moät ñieåm naøy trong heä truïc toïa ñoä môùi baát kyø ,

ix laø jij

,i vv l= . Taát nhieân ta cuõng coù söï trình

baøy töông ñöông ,jjii vv l= . Vì taát caû caùc vectô bieán ñoåi theo quy luaät naøy, neân

caùc vectô laø nhöõng tenxô baäc moät. Moät ñaïi löôïng voâ höôùng, nhö nhieät ñoä ôû moät ñieåm, coù giaù trò khoâng ñoåi baát chaáp heä truïc toïa ñoä ñöôïc duøng ñeå bieåu thò noù, vaø do ñoù soá voâ höôùng khoâng bò aûnh höôûng bôûi söï chuyeån heä truïc vaø ñöôïc ñònh nghóa nhö laø tenxô baäc khoâng. Moät tenxô baäc moät (hoaëc moät vectô) laø moät taäp hôïp 31 = 3 thaønh phaàn, vaø tenxô baäc khoâng (hoaëc moät soá voâ höôùng) laø moät taäp hôïp 30 = 1 thaønh phaàn.

Baây giôø ñònh nghóa ñöôïc môû roäng moät caùch töông töï cho nhöõng tenxô baäc cao hôn. Moät tenxô baäc hai ñöôïc ñònh nghóa nhö laø taäp hôïp 32 = 9 thaønh phaàn, neáu caùc giaù trò cuûa chuùng ôû moät ñieåm laø aij trong heä truïc toïa ñoä xi, nhöõng giaù trò cuûa chuùng ,

ija ôû cuøng ñieåm trong heä truïc môùi baát kyø ,ix ñöôïc cho bôûi

37

mnjnim,ij aa ll= (1.77)

Moät tenxô baäc hai coù theå ñöôïc hieåu laø ñöôïc ñònh nghóa hoaøn toaøn bôûi ba vectô gioáng nhö moät vectô ñöôïc ñònh nghóa hoaøn toaøn bôûi ba soá voâ höôùng. Nhö seõ ñöôïc thaáy sau naøy, caùc ñaïi löôïng bieåu thò traïng thaùi öùng suaát ôû moät ñieåm trong vaät theå bieán daïng coù daïng tenxô baäc hai. Noùi caùch khaùc, traïng thaùi öùng suaát ôû moät ñieåm ñöôïc ñònh nghóa hoaøn toaøn bôûi ba vectô.

Moät tenxô baäc ba laø moät taäp hôïp 33 = 27 thaønh phaàn, neáu caùc giaù trò cuûa chuùng ôû moät ñieåm laø aijk trong heä truïc toïa ñoä xi, nhöõng giaù trò cuûa chuùng ,

ijka ôû cuøng

ñieåm trong heä truïc môùi baát kyø ,ix ñöôïc cho bôûi

mnpkpjnim,ijk aa lll= (1.78)

Tenxô coù theå coù baäc baát kyø; coâng thöùc chuyeån truïc toång quaùt coù theå xaùc ñònh töø nhöõng ñònh nghóa tröôùc ñaây. Taát caû nhöõng tenxô nhö theá ñöôïc goïi laø tenxô Cartesian bôûi vì söï giôùi haïn vaøo caùc heä truïc toïa ñoä Descartes.

Baûng 1.5 Caùc cosine chæ phöông (lij)

Truïc môùi Truïc cuõ

x1 x2 x3 ′1x

′2x ′3x

1 2 −1 2

0

1 2 1 2 0

0 0 1

Nhö moät thí duï, giaû söû raèng chín thaønh phaàn cuûa tenxô baäc hai trong heä truïc toïa ñoä xi ñöôïc bieát:

a11 = 1, a12 = –1, a32 = 2, caùc thaønh phaàn coøn laïi aij = 0

Khaûo saùt heä truïc toïa ñoä môùi ,ix ñöôïc lieân heä vôùi heä truïc xi bôûi caùc cosine chæ

phöông (lij) ñöôïc cho trong baûng 1.5.

Nhöõng thaønh phaàn môùi ,ija trong heä truïc ,

ix ñöôïc cho bôûi

00)1(21)1(

21

0aaa

aa

321213121211111111

mnn1m1,11

=+−+=

+++=

=

llllll

ll

(1.79)

Töông töï, 2a,1a ,32

,12 =−= , vaø...

38

1.4.5 Caùc ñaëc tröng cuûa tenxô

Caùc pheùp toaùn treân tenxô töông töï nhö caùc pheùp toaùn treân vectô.

1.4.5.1 Hai tenxô baèng nhau

Hai tenxô A vaø B ñöôïc ñònh nghóa laø baèng nhau khi caùc thaønh phaàn töông öùng cuûa chuùng baèng nhau. Thí duï, ñieàu kieän baèng nhau cuûa tenxô aij vaø tenxô bij laø

aij = bij (1.80)

1.4.5.2 Pheùp coäng

Toång hoaëc hieäu hai tenxô cuøng baäc laø moät tenxô cuøng baäc, noù ñöôïc ñònh nghóa laø coäng hoaëc tröø caùc thaønh phaàn töông öùng cuûa hai tenxô. Thí duï, neáu coäng hai tenxô baäc hai aij vaø bij ta thu ñöôïc tenxô baäc hai cij:

cij = aij + bij (1.81)

Roõ raøng raèng toång hoaëc hieäu hai tenxô khaùc baäc khoâng theå ñöôïc ñònh nghóa.

1.4.5.3 Caùc phöông trình tenxô

Nhö ñaõ ñeà caäp tröôùc ñaây, moät phöông trình tenxô ñuùng trong heä truïc toïa ñoä thì ñuùng trong taát caû caùc heä truïc toïa ñoä, neáu hai tenxô thoûa aij = bij trong heä truïc xi, ta coù theå xaùc ñònh cij = aij - bij trong taát caû heä truïc. Theo laäp luaän tröôùc ñaây, hieäu cuûa hai tenxô cuøng baäc laø tenxô cuõng cuøng baäc, nghóa laø cij laø tenxô baäc hai. Baây giôø, cij trieät tieâu trong heä truïc xi, vaø do ñoù cuõng trieät tieâu trong taát caû caùc heä truïc toïa ñoä. Ñieàu naøy cuõng coù theå deã daøng thaáy ñöôïc töø thöïc teá raèng c’ij trong heä truïc baát kyø laø toå hôïp tuyeán tính cuûa cij.

1.4.5.4 Pheùp nhaân

Pheùp nhaân tenxô aij vôùi moät ñaïi löôïng voâ höôùng α taïo ra moät tenxô bij coù cuøng baäc:

bij = αaij (1.82)

Xeùt tenxô baäc moät ai vaø tenxô baäc hai bij. Chuùng ta coù theå ñònh nghóa moät taäp hôïp caùc ñaïi löôïng môùi cijk bôûi moät caùch thöùc ñöôïc goïi laø pheùp nhaân tenxô:

cijk = aibjk (1.83)

Dó nhieân coù theå hieåu raèng moät quy luaät ñònh nghóa töông töï seõ ñöôïc duøng trong heä truïc khaùc.

39

mnokojnimnomkojnim

nokojnmim,ik

,i

,ijk

Caa

)a()a(bac

llllll

lll

==

== (1.84)

Phöông trình (1.84) cho thaáy cijk laø moät tenxô haïng ba. Toång quaùt, pheùp nhaân tenxô taïo ra moät tenxô môùi coù baäc baèng toång caùc baäc cuûa caùc tenxô goác.

1.4.5.5 Cuoän chæ soá

Khaûo saùt tenxô aijk - moät taäp hôïp 27 thaønh phaàn. Neáu ta cho hai chæ soá cuøng chöõ caùi, töùc laø thay j baèng k, ta coù aikk. Luùc naøy tenxô chæ coøn ba thaønh phaàn, moãi thaønh phaàn laø toång cuûa ba thaønh phaàn goác. Deã daøng thaáy raèng taäp hôïp ba ñaïi löôïng naøy laø moät tenxô baäc moät. Ñoái vôùi tenxô baäc ba aijk, ta coù

pqrkrjqip,ijk aa lll=

vaø do ñoù prrippqrqrippqrkrkqip,ikk aaa)(a lllll =δ== (1.85)

ñoù laø quy luaät chuyeån truïc ñoái vôùi tenxô baäc moät, nghóa laø, aikk laø moät tenxô baäc moät.

1.4.5.6 Thí duï

Baûng 1.6 Caùc thí duï cuûa caùc ñaëc tröng tenxô

Tensor Baäc Chuù giaûi

ui + vi cd cui uivj uiajk uivi uiui aii = a11 + a22 + a33 urark ui,j ui,i = u1,1 + u2,2 + u3,3

1 0 1 2 3 0 0 0 1 2 0

Pheùp coäng Pheùp nhaân Pheùp nhaân vôùi voâ höôùng Pheùp nhaân tenxô Pheùp nhaân tenxô Tích voâ höôùng, nhaân voâ höôùng (Chieàu daøi)2

Baát bieán thöù nhaát cuûa aij

Cuoän chæ soá Ñaïo haøm rieâng theo toïa ñoä Divergence, ∇⋅

ru

Giaû söû raèng c vaø d laø caùc voâ höôùng, ui hoaëc vi laø ba thaønh phaàn cuûa moät vectô, vaø aij laø chín thaønh phaàn cuûa moät tenxô baäc hai. Theá roài ta coù caùc keát quaû ñöôïc cho trong baûng 1.6.

40

1.4.6 Tenxô ñaúng höôùng

Moät tenxô laø ñaúng höôùng neáu nhöõng thaønh phaàn cuûa noù cuøng giaù trò trong taát caû heä truïc toïa ñoä. Moät voâ höôùng (tenxô baäc khoâng) laø thí duï ñôn giaûn veà tenxô ñaúng höôùng. Tenxô δij laø ñaúng höôùng baäc hai vì δij coù caùc giaù trò khoâng ñoåi khi chuyeån truïc toïa ñoä

δ’ij = lirljsδrs = lirljr = δij (1.86)

Coù theå thaáy raèng tenxô ñaúng höôùng baäc hai baát kyø phaûi ôû daïng haèng soá nhaân vôùi δij, vaø tenxô ñaúng höôùng baäc boán toång quaùt nhaát coù daïng:

aijkl = αδijδkl + βδikδjl + γδilδjk (1.87)

1.4.7 Thí duï 1.5

Neáu φ laø voâ höôùng, haõy chöùng toû: a) φ,i laø tenxô baäc moät. b) φ,ij laø tenxô baäc hai. c) φ,kk laø soá voâ höôùng (tenxô baäc khoâng).

Giaûi

Do φ laø soá voâ höôùng,

φ(trong heä truïc xi) = φ(trong heä truïc x’i) (1.88)

a) Ñònh nghóa

i,i

i xG φ=

∂φ∂= (1.89)

Do ñoù

,i

j

j,i

,i

,,i

x

x

xxxG

∂

∂

∂φ∂

=∂

φ∂=

∂

φ∂= (1.90)

Töø (1.74) vaø (1.90),

jij,i GG l=

hoaëc

j,ij,i, φ=φ l (i laø chæ soá töï do) (1.91)

Do ñoù φ,i laø tenxô baäc moät.

b) Ñònh nghóa

41

ij.ji

2

ij xxC φ=

∂∂φ∂

= (1.92)

Do ñoù,

∂

∂∂

φ∂

∂∂=

∂∂

φ∂=,j

k

k,i

,j

,i

,2,ij

x

x

xxxxC

hoaëc

,i

mjk

kmjk

k,i

,ij

x

x

xxxxC

∂

∂

∂φ∂

∂∂=

∂φ∂

∂∂= ll

Do ñoù, imjkkm

,2,ij xx

C ll∂∂φ∂

= (1.93)

hoaëc duøng (1.92) vaø (1.93), ta thu ñöôïc

mk,jkim,ij, φ=φ ll (1.94)

Nghóa laø, φ,ij laø tenxô baäc hai.

c) Thay theá chæ soá j bôûi i trong (1.94), ta coù

mk,ikim,ii, φ=φ ll (1.95)

Nhöng töø (1.65)

mkikim δ=ll (1.96)

Thay (1.96) vaøo (1.95), ta thu ñöôïc

mm,mk,mk,ii, φ=φδ=φ

Do ñoù, φ,ii laø soá voâ höôùng (tenxô baäc khoâng).

1.5 MOÄT SOÁ ÖÙNG DUÏNG CUÛA LYÙ THUYEÁT DEÛO

Do ñaëc tính taùi beàn cuûa kim loaïi deûo sau khi ñöôïc bieán daïng deûo, neân gia coâng kim loaïi baèng bieán daïng deûo (gia coâng aùp löïc) ñöôïc öùng duïng raát phoå bieán trong kyõ thuaät. Coù theå noùi raèng, gaàn nhö taát caû caùc saûn phaåm ñöôïc laøm baèng kim loaïi deûo nhaèm phuïc vuï cho ñôøi soáng cuûa con ngöôøi ñeàu ñaõ ñöôïc gia coâng baèng bieán daïng deûo. Moät soá quaù trình gia coâng kim loaïi baèng bieán daïng deûo ñieån hình coù theå lieät keâ nhö: caùn, keùo, daäp, reøn, choàn kim loaïi; phun bi leân beà maët kim loaïi; laên eùp ren cuûa bu loâng, vít... Caùc saûn phaåm ñöôïc gia coâng baèng bieán daïng deûo

42

bao goàm töø caùc saûn phaåm thoâ sô nhö baøn, gheá, lon nöôùc giaûi khaùt... ñeán caùc saûn phaåm cao caáp nhö xe maùy, oâ toâ, taøu thuûy, maùy bay... Keát quaû tính toaùn cho moät vaøi quaù trình gia coâng kim loaïi baèng bieán daïng deûo ñöôïc trình baøy trong caùc hình döôùi ñaây.

Hình 1.13 Söï phaân boá öùng suaát töông ñöông trong maãu truï theùp bò eùp chaûy

43

1.6 TOÙM TAÉT

Lyù thuyeát deûo ñeà caäp ñeán söï phaân tích öùng suaát vaø bieán daïng trong mieàn chaûy deûo cuûa vaät lieäu deûo, ñaëc bieät laø caùc kim loaïi. Chöông naøy giôùi thieäu nhöõng khaùi nieäm cô sôû cuûa lyù thuyeát deûo baèng caùch baøn luaän öùng xöû öùng suaát–bieán daïng ñôn truïc cuûa caùc kim loaïi. Caùc khaùi nieäm quan troïng, nhö bieán daïng ñaøn hoài, bieán daïng deûo, giôùi haïn ñaøn hoài, chaûy deûo, bieán cöùng, bieán meàm, vaø hieäu öùng Bauschinger cho ñaët taûi nghòch ñaûo ñaõ ñöôïc minh hoïa taát caû. Ñieåm ñaëc tröng coù yù nghóa nhaát cuûa bieán daïng deûo laø tính khoâng thuaän nghòch cuûa noù vaø phuï thuoäc loä trình ñaët taûi. Ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng, moät thoâng soá bieán cöùng lieân heä vôùi coâng chaûy deûo hay bieán daïng deûo ñaõ ñöôïc giôùi thieäu ñeå ghi nhaän lòch söû ñaët taûi. Roài moâñun deûo ñöôïc lieân heä vôùi thoâng soá bieán cöùng naøy. Caùc ñaëc tröng toång quaùt cuûa vaät lieäu ñöôïc thaûo luaän trong chöông naøy döôùi daïng öùng xöû öùng suaát-bieán daïng ñôn truïc cuûa caùc kim loaïi coù theå ñöôïc duøng trong nhöõng chöông sau ñeå ruùt ra quy luaät roäng hôn veà caùc quan heä öùng suaát-bieán daïng hai chieàu vaø ba chieàu cuûa nhöõng vaät lieäu noùi chung vaø kim loaïi vaø beâ toâng noùi rieâng.

Moái quan heä giöõa öùng suaát vaø bieán daïng trong nhöõng tröôøng hôïp ñaët taûi toång quaùt ñaëc tröng nhöõng thuoäc tính cuûa vaät lieäu thì ñöôïc xem nhö laø moái quan heä cô baûn. Caùc chöông tieáp theo seõ ñeà caäp ñeán nhöõng kyõ thuaät toång quaùt ñöôïc duøng trong söï môû roäng caàn thieát cuûa öùng xöû öùng suaát-bieán daïng töø ñieàu kieän ñôn truïc ñeán traïng thaùi ba chieàu. Toång quaùt, saùu thaønh phaàn öùng suaát vaø saùu thaønh phaàn bieán daïng ñöôïc bao goàm trong caùc phöông trình cô baûn. Ñeå ñôn giaûn hoùa caùc bieåu thöùc toaùn hoïc, chuùng ta seõ duøng caùc kyù hieäu chæ soá. Nhaèm chuaån bò cho caùc chöông sau, kyù hieäu suùc tích veà tenxô ñaõ ñöôïc giôùi thieäu trong chöông naøy.

44

1.7 BAØI TAÄP

1.1 Ñaùp öùng σ–ε trong keùo ñôn truïc cuûa vaät lieäu ñöôïc xaáp xæ bôûi daïng coâng thöùc cuûa Ramberg–Osgood

n

pe

bE

σ+σ=ε+ε=ε

a) Tìm moâñun tieáp tuyeán Et vaø moâñun deûo Ep nhö laø nhöõng haøm cuûa öùng suaát σ vaø cuûa bieán daïng deûo εp.

b) Xaùc ñònh coâng chaûy deûo Wp nhö laø haøm cuûa öùng suaát σ vaø cuûa bieán daïng deûo εp.

c) Haõy bieåu dieãn öùng suaát σ vaø moâñun deûo Ep döôùi daïng coâng chaûy deûo Wp. d) ÖÙng suaát chaûy ban ñaàu laø gì? e) Giaû söû n = 1, haõy veõ ñöôøng cong σ-ε cho vieäc ñaët taûi ñöôïc theo sau bôûi söï

caát taûi hoaøn toaøn.

f) Cho n = 5, tìm caùc öùng suaát chaûy keùo offset ñoái vôùi caùc offset εp = 0,1% vaø εp = 0,2%.

1.2 Ñoái vôùi vaät lieäu cuûa baøi taäp 1.1, cho n = 4, E = 7,3.1010N/m2, vaø b = 0,8.109N/m2. Moät phaân toá vaät lieäu ñöôïc laøm bieán daïng keùo tröôùc ñeán traïng thaùi coù εp = 0,015 vaø ñöôïc caát taûi tieáp sau ñoù vaø roài ñaët taûi nghòch ñaûo cho ñeán khi chaûy deûo ôû traïng thaùi neùn baét ñaàu; chaûy deûo neùn ñöôïc tieáp tuïc theâm cho ñeán khi εp = -0,015. Vaät lieäu ñöôïc giaû ñònh laø theo: (i) quy luaät bieán cöùng ñaúng höôùng; (ii) quy luaät bieán cöùng ñoäc laäp, caû hai ñeàu vôùi moâñun deûo Ep ñöôïc laáy phuï thuoäc vaøo moâñun bieán cöùng ñôn κ ñöôïc ñònh nghóa nhö

∫ εε=κ 2/1pp )dd(

a) Xaùc ñònh öùng suaát luùc baét ñaàu chaûy deûo neùn. b) Veõ ñöôøng cong σ–εp.

1.3 Ñoái vôùi vaät lieäu cuûa baøi taäp 1.1, cho n = 3, E = 6,9.1010N/m2, vaø b = 6,9.108N/m2. Moät phaân toá vaät lieäu tröôùc tieân ñöôïc laøm bieán daïng keùo tröôùc ñeán traïng thaùi 1 vôùi Wp = 113,85.103N.m/m3 vaø ñöôïc caát taûi tieáp sau ñoù vaø roài ñaët taûi nghòch ñaûo cho ñeán khi chaûy deûo neùn baét ñaàu ôû traïng thaùi 2. Tieáp theo, noù ñöôïc ñaët taûi vôùi moät gia soá öùng suaát dσ = -2,07.106N/m2 cho ñeán ñieåm 3, vaø roài vôùi moät gia soá öùng suaát khaùc dσ = -2,07.106N/m2cho ñeán ñieåm 4. Sau ñoù, phaân toá ñöôïc caát taûi vaø ñaët taûi laïi ôû traïng thaùi keùo cho ñeán khi chaûy deûo xaûy ra ôû traïng thaùi 5. Vaät lieäu ñöôïc

45

giaû söû laø theo quy luaät bieán cöùng ñaúng höôùng vôùi moâñun deûo Ep ñöôïc laáy phuï thuoäc vaøo thoâng soá bieán cöùng κ ñöôïc ñònh nghóa nhö κ = Wp.

a) Xaùc ñònh öùng suaát keùo σ1 vaø bieán daïng deûo εp1 ôû traïng thaùi 1.

b) Xaùc ñònh öùng suaát σ, bieán daïng ε, bieán daïng deûo εp, coâng chaûy deûo Wp, vaø moâñun deûo Ep ôû caùc traïng thaùi 2, 3, 4.

c) Xaùc ñònh öùng suaát σ5 vaø moâñun deûo Ep ôû traïng thaùi 5.

1.4 Ñoái vôùi moâ hình vaät lieäu cuûa thí duï 1.1 (xem hình 1.7), giaû söû caùc thoâng soá vaät lieäu ñöôïc choïn laø A1 = 2/3, A2 = 1/3, σ01 = 138.106N/m2, σ02 = 345.106N/m2, vaø E = 6,9.1010N/m2. Caùc bieán daïng ôû ñieåm c vaø f trong hình 1.8 ñöôïc laáy laø εc = 0,013 vaø εf = 0,011, vaø traïng thaùi h ñöôïc giaû söû töông öùng vôùi giaù trò öùng suaát neùn trong caùc thanh 2 laø σ02/2.

a) Xaùc ñònh caùc öùng suaát dö trong caùc thanh 1 vaø 2 khi σ = 0 doïc theo loä trình caát taûi f-g vaø trong quaù trình ñaët taûi laïi doïc h–i?

b) Xaùc ñònh öùng suaát trong caùc thanh 2 töông öùng vôùi caùc traïng thaùi g vaø i.

c) Tìm caùc giaù trò öùng suaát trong caùc thanh 2, σ2, vaø giaù trò bieán daïng ε khi öùng suaát trong nhöõng thanh 1 ñöôïc giaûi phoùng hoaøn toaøn (σ1 = 0) trong quaù trình caát taûi doïc loä trình f-g vaø trong quaù trình ñaët taûi laïi doïc loä trình h–i.

d) Ñoái vôùi caùc loä trình σ–ε trong hình 1.8, haõy veõ ñoà thò bieåu dieãn quan heä σ1 theo σ2, bieåu thò ñöôøng öùng suaát töông ñöông σ = 0.

1.5 Moät phaân toá vaät lieäu bieán cöùng tuyeán tính gioáng nhö thí duï 1.2 khoâng coù öùng suaát vaø bieán daïng ban ñaàu, chòu caùc quaù trình ñaët taûi khaùc nhau vaø taïo ra caùc loä trình öùng suaát ñöôïc cho döôùi ñaây. Ñoái vôùi moãi quy luaät bieán cöùng (trong ba quy luaät bieán cöùng) ñöôïc khaûo saùt trong thí duï 1.2, haõy tìm traïng thaùi bieán daïng cuoái cuøng, ε, vaø εp ñaït ñöôïc ôû cuoái cuûa moãi loä trình ñaët taûi. Caùc giaù trò öùng suaát ñöôïc cho vôùi ñôn vò laø N/m2.

i) σ = 0 → 414 → –414 → 0 → 414.

ii) σ = 0 → 621 → 0.

Ñoái vôùi moãi tröôøng hôïp, haõy trình baøy baèng ñoà thò nhöõng söï bieåu dieãn caùc loä trình öùng suaát-bieán daïng trong khoâng gian σ–ε vaø σ–εp.

1.6 Ñaùp öùng σ–ε trong keùo ñôn truïc ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn–deûo ñöôïc xaáp xæ bôûi ñöôøng cong ñöôïc tuyeán tính hoùa nhö sau:

Ñaøn hoài σ = Eε (ε < ε0) Ñaøn–deûo σ = σ0 + Et1(ε – ε0) (ε0 ≤ ε ≤ ε1)

46

σ = σ1 + Et2(ε – ε1) (ε1 ≤ ε ≤ ε2) Chaûy deûo hoaøn toaøn σ = σ2 (ε > ε2) vôùi caùc haèng soá vaät lieäu ñöôïc cho laø σ0 = 207.106N/m2, ε0 = 0,001; σ1 =

414.106N/m2, ε1 = 0,005; σ2 = 587.106N/m2, ε1 = 0,013. Moät phaân toá cuûa vaät lieäu ñöôïc laøm bieán daïng keùo tröôùc ñeán traïng thaùi A vôùi εA = 0,015 vaø tieáp theo ñöôïc caát taûi cho ñeán khi chaûy deûo neùn baét ñaàu ôû traïng thaùi C. Duy trì chaûy deûo neùn tieáp tuïc cho ñeán khi εp = 0. Vaät lieäu ñöôïc giaû söû laø bieán cöùng ñoäng hoïc, vôùi moâñun deûo Ep ñöôïc laáy phuï thuoäc vaøo thoâng soá bieán cöùng ñôn κ nhö ñöôïc ñònh nghóa döôùi ñaây.

a) Haõy veõ ñöôøng cong ñaët taûi–caát taûi–ñaët taûi nghòch ñaûo σ–εp ñoái vôùi moãi giaû thieát sau ñaây: (i) ∫ εε=κ 2/1pp )dd( ; (ii) κ = εp (ñoái vôùi εp ≥ 0) ; (iii)

∫ εσ=κ pd ; (iv) ∫ εα−σ=κ pd)( vôùi α (coù ñôn vò öùng suaát) laø taâm cuûa

mieàn ñaøn hoài hieän haønh.

b) Xaùc ñònh caùc giaù trò σ vaø ε khi εp = 0 trong quaù trình chaûy deûo neùn nghòch ñaûo ñoái vôùi töøng giaû thieát trong boán giaû thieát ôû caâu (a).

1.7 Moät thanh vôùi hai ñöôïc ngaøm chòu taùc ñoäng cuûa löïc doïc truïc P ôû ñieåm caùch ñaàu traùi moät khoaûng a vaø caùch ñaàu traùi moät khoaûng b, vôùi a < b nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình B1.7. Thanh ñöôïc laøm baèng vaät lieäu ñaøn–deûo lyù töôûng vôùi öùng suaát chaûy σy. Löïc doïc truïc ñaàu tieân ñöôïc gia taêng töø 0 ñeán khi chaûy deûo xaûy ra trong toaøn boä thanh, vaø roài ñöôïc caát taûi ñeán zero, sau ñoù ñaët taûi laïi theo höôùng nghòch ñaûo.

a) Xaùc ñònh taûi giôùi haïn ñaøn hoài Pe vaø taûi giôùi haïn deûo Pp trong quaù trình ñaët taûi.

b) Xaùc ñònh öùng suaát dö vaø bieán daïng deûo trong thanh khi taûi doïc truïc P ñöôïc giaûm ñeán zero.

c) Xaùc ñònh taûi giôùi haïn deûo Pp trong quaù trình ñaët taûi nghòch ñaûo.

d) Haõy veõ ñöôøng cong P theo u cho chu trình ñaët taûi-ñaët taûi nghòch ñaûo ñoái vôùi tröôøng hôïp b = 2a, ôû ñaây u laø chuyeån vò doïc truïc cuûa thanh ôû thôøi ñieåm taûi ñang xeùt.

47

1.8 Duøng baûng cuûa caùc cosine chæ phöông (lij) nhö ñöôïc cho trong thí duï 1.4 (baûng 1.4), haõy chöùng toû raèng hai maët phaúng sau ñaây truøng nhau:

1xx31x2 321 =+− trong heä truïc xi

1x2521x

1514x

2547 ,

3,2

,1 =−+ trong heä truïc x’i

1.9 Neáu Bi = Ai/(AjAj)1/2, chöùng toû raèng Bi laø vectô ñôn vò.

1.10 Nhöõng moái quan heä ñöôïc cho nhö sau:

jiij2

ijkkijij

ss21J

31s

=

σσ+=σ

ôû ñaây σij vaø sij laø nhöõng tenxô baäc hai ñoái xöùng, haõy chöùng toû raèng (a) sii = 0 vaø (b) ∂J2/∂σij = sij.

1.11 Chöùng minh raèng khoâng coù caëp vectô Ai vaø Bi ñeå maø δij = AiBi.

1.12 Chöùng toû raèng moät tenxô baäc hai baát kyø σij coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng σij = sij + αδij ôû ñaây sii = 0.

1.13 Xeùt heä giaøn phaúng ñoái xöùng goàm coù ba thanh vôùi dieän tích maët caét ngang A vaø chòu taùc ñoäng cuûa moät taûi thaúng ñöùng P ôû ñieåm D nhö trong hình B1.13. Caùc thanh ñöôïc laøm baèng vaät lieäu ñaøn-deûo lyù töôûng vôùi moâñun ñaøn hoài E vaø öùng suaát chaûy σ0. Khi Taûi P ñöôïc gia taêng moät caùch lieân tuïc, thanh 2 seõ ñöôïc chaûy deûo tröôùc tieân ôû traïng thaùi a (Pa, ∆a), vaø tieáp theo caùc thanh 1 vaø 3 ñöôïc chaûy deûo ôû traïng thaùi b (Pb, ∆b). Chaûy deûo xaûy ra ôû taûi haèng Pb cho ñeán ñieåm D coù moät löôïng chuyeån vò theâm σ0L/E (traïng thaùi c); roài P ñöôïc caát taûi hoaøn toaøn (traïng thaùi d). Sau ñoù, taûi P ñöôïc gia taêng theo höôùng ngöôïc laïi cho tôùi khi taát caû ba thanh ñöôïc chaûy deûo nghòch ñaûo (traïng thaùi f).

a) Haõy tìm caùc öùng suaát dö vaø bieán daïng dö ôû traïng thaùi d cho ba thanh trong heä giaøn.

b) Haõy tìm taûi chaûy deûo nghòch ñaûo.

c) Veõ ñöôøng cong cuûa taûi theo chuyeån vò cuûa nuùt D (P theo ∆) ñoái vôùi toaøn boä chöông trình ñaët taûi–caát taûi–ñaët taûi nghòch ñaûo.

48

d) Tham khaûo moâ hình thanh song song cuûa thí duï 1.1, keát luaän gì coù theå ruùt ra töø moâ hình giaøn naøy?

49

CC hh öö ôô nn gg 22

TIEÂU CHUAÅN CHAÛY VAØ TIEÂU CHUAÅN PHAÙ HUÛY

2.1 ÖÙNG SUAÁT

2.1.1 Vectô öùng suaát vaø tenxô öùng suaát taïi moät ñieåm

Nhö chuùng ta bieát, öùng suaát ñöôïc ñònh nghóa laø cöôøng ñoä cuûa noäi löïc taùc ñoäng giöõa caùc phaân toá cuûa vaät theå treân caùc beà maët aûo beân trong. Khaûo saùt moät dieän tích beà maët ∆A ñi qua ñieåm P0 vôùi phaùp tuyeán ñôn vò n

r nhö hình 2.1. Goïi nF laø

hôïp löïc taùc ñoäng treân beà maët ∆A. Vectô öùng suaát ôû ñieåm P0 taùc ñoäng treân maët caét ∆A ñöôïc ñònh nghóa bôûi

A

Flim)P,n(TT n

0An

∆==

→∆ (2.1)

Traïng thaùi öùng suaát taïi moät ñieåm ñöôïc ñònh nghóa laø taäp hôïp taát caû caùc vectô öùng suaát taùc ñoäng treân moïi maët caét ñi qua ñieåm aáy.

Do coù voâ soá maët caét ñi qua moät ñieåm neân ta coù taäp hôïp voâ soá caùc vectô öùng suaát nT , chuùng noùi chung seõ khaùc nhau. Taäp hôïp voâ haïn caùc vectô öùng suaát nT naøy ñaëc tröng cho traïng thaùi öùng suaát cuûa ñieåm. May maén thay, voâ haïn caùc vectô öùng suaát nT naøy khoâng phaûi laø caùc vectô ñoäc laäp neân ta khoâng caàn bieát taát caû caùc vectô öùng suaát naøy. Nhö seõ ñöôïc chöùng minh sau naøy raèng neáu bieát ñöôïc ba vectô öùng suaát 1T , 2T , vaø 3T treân ba maët phaúng vuoâng goùc laãn nhau, nhö ñöôïc bieåu dieãn treân hình 2.2, thì vectô öùng suaát treân maët phaúng baát kyø ñi qua ñieåm naøy coù theå tìm thaáy töø nhöõng phöông trình caân baèng cuûa ñieåm aáy.

Hình 2.3 bieåu dieãn moät phaân toá OABC vôùi caùc vectô öùng suaát 1T− , 2T− , 3T− , vaø nT laàn löôït taùc ñoäng treân caùc maët OBC, OAC, OAB vaø ABC cuûa noù. Vectô öùng suaát 1T− ( 2T− , 3T− ) moâ taû öùng suaát taùc ñoäng treân maët vi phaân aâm vuoâng

50

O

x2

r

1e

r

2e

r

3e

x1

x3

2T

1T

3T

goùc vôùi vectô ñôn vò )e,e(e 321

rrr .

Hình 2.1 Vectô öùng suaát nT taïi ñieåm P0 treân maët caét ∆A

Hình 2.2 Caùc vectô öùng suaát treân ba maët phaúng vuoâng goùc laãn nhau ôû moät ñieåm

Vectô ñôn vò coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng

)n,n,n(n 321

rrrr= (2.2)

ôû ñaây caùc cosine chæ phöông n1, n2, n3 ñöôïc cho bôûi

)n,ecos(n

)n,ecos(n

)n,ecos(n

33

22

11

rr

rr

rr

=

=

=

(2.3)

P0n

Tn

∆A

x 1e 1

e 2

e 3

O

x 2

x 3

51

O

x2

x1

x3

rn

A

B

C

nT

3T −

2T −

1T −

Goïi A laø dieän tích cuûa tam giaùc ∆ABC, Ai laø dieän tích cuûa tam giaùc vuoâng goùc vôùi truïc xi. Ta coù quan heä

iii An)n,ecos(AA ==rr (2.4)

Hình 2.3 Caùc vectô öùng suaát taùc ñoäng treân maët nghieâng baát kyø vaø treân caùc maët phaúng toïa ñoä

Töø phöông trình caân baèng cuûa phaân toá OABC (hình 2.3) vaø duøng (2.4), ta coù

0)An(T)An(T)An(T)A(T 332211n =+++ −−− (2.5)

Chia (2.5) cho A, ta coù

332211n nTnTnTT −−− −−−= (2.6)

Nhöng ii TT −−= ñoái vôùi i = 1, 2, vaø 3

Do ñoù, 332211n nTnTnTT ++= (2.7)

hoaëc trong heä truïc xyz,

zzyyxxn nTnTnTT ++= (2.8)

Phöông trình (2.7), (2.8) bieåu dieãn vectô öùng suaát nT ôû ñieåm baát kyø taùc ñoäng treân maët caét coù phaùp tuyeán ñôn vò n

r theo caùc vectô öùng suaát taùc ñoäng treân caùc

maët phaúng vuoâng goùc vôùi ba truïc toïa ñoä x1, x2, vaø x3 cuûa cuøng ñieåm aáy. Do ñoù, roõ raøng laø ba vectô öùng suaát 1T , 2T , vaø 3T ñònh nghóa hoaøn toaøn traïng thaùi öùng suaát ôû moät ñieåm.

Vectô öùng suaát, nT , noùi chung, khoâng vuoâng goùc vôùi maët phaúng maø noù taùc ñoäng. Do ñoù, trong thöïc teá, vectô öùng suaát nT ñöôïc phaân tích thaønh hai thaønh phaàn, moät thaønh phaàn vuoâng goùc vôùi beà maët caét ñöôïc goïi laø öùng suaát phaùp, vaø

52

O

x2

r

1e

r

2e

r

3e x1

x3

σ11

σ13

σ12 1T (σ11, σ12, σ13)

thaønh phaàn naèm trong maët phaúng ñöôïc goïi laø öùng suaát tieáp.

Caùc vectô öùng suaát taùc ñoäng treân caùc maët phaúng toïa ñoä x1, x2, vaø x3 cuõng ñöôïc phaân tích thaønh ba thaønh phaàn theo caùc phöông truïc toïa ñoä. Thí duï, vectô öùng suaát 1T taùc ñoäng treân maët phaúng vuoâng goùc vôùi truïc x1, coù ba thaønh phaàn öùng suaát: öùng suaát phaùp σ11, caùc öùng suaát tieáp σ12 vaø σ13 theo phöông x1, x2, vaø x3 töông öùng (hình 2.4). Do ñoù, ta coù

3132121111 eeeTrrr

σ+σ+σ= (2.9

jj11 eTr

σ= (2.10)

Töông töï, ñoái vôùi hai maët phaúng vuoâng goùc vôùi hai truïc toïa ñoä x2 vaø x3,

jj22 eTr

σ= (2.11)

jj33 eTr

σ= (2.12)

Toång quaùt

jiji eTr

σ= (2.13)

ôû ñaây σij laø thaønh phaàn öùng suaát thöù j cuûa vectô öùng suaát 1T taùc ñoäng leân phaân toá beà maët coù phaùp tuyeán ngoaøi cuøng chieàu vôùi chieàu döông cuûa truïc toïa ñoä xi (hình 2.4).

Chín ñaïi löôïng σij caàn thieát ñeå ñònh nghóa ba vectô öùng suaát 1T , 2T , vaø 3T , ñöôïc goïi laø caùc thaønh phaàn cuûa tenxô öùng suaát, noù ñöôïc kyù hieäu döôùi daïng

σσσ

σσσ

σσσ

=σ

333231

232221

131211

ij (2.14)

ôû ñaây σ11, σ22, vaø σ33 laø caùc thaønh phaàn öùng suaát phaùp vaø σ12, σ21,... laø caùc thaønh phaàn öùng suaát tieáp.

53

Hình 2.4 Caùc thaønh phaàn cuûa vectô öùng suaát 1T

Caùc thaønh phaàn cuûa tenxô öùng suaát cuõng coù theå ñöôïc vieát baèng caùch duøng kyù hieäu cuûa von Karman vaø coù daïng

σττ

τστ

ττσ

=σ

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij (2.15)

ôû ñaây σ moâ taû thaønh phaàn öùng suaát phaùp, vaø τ moâ taû thaønh phaàn öùng suaát tieáp. Töông töï, caùc kyù hieäu σxx, σxy,... coù theå ñöôïc duøng ñeå thay cho σij ñeå ñònh roõ caùc thaønh phaàn cuûa tenxô öùng suaát trong (2.14) vaø (2.15). Do ñoù, caùc daïng sau ñaây laø caùc kyù hieäu ñoàng thôøi cho tenxô öùng suaát σij:

σττ

τστ

ττσ

=

σσσ

σσσ

σσσ

=

σσσ

σσσ

σσσ

=σ

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

333231

232221

131211

ij (2.16)

Thay (2.13) vaøo (2.7), nhöõng thaønh phaàn cuûa vectô öùng suaát nT coù theå ñöôïc vieát nhö sau: jjini nT σ= (2.17)

Töø vieäc khaûo saùt söï caân baèng cuûa caùc moment cho phaân toá vaät lieäu, ta thaáy raèng tenxô öùng suaát, σij, laø tenxô ñoái xöùng, nghóa laø σij = σji. Do ñoù, phöông trình (2.17) coù theå ñöôïc vieát laïi cho thuaän tieän hôn jijni nT σ= i = 1, 2, 3 (2.18)

vôùi σij ñöôïc cho bôûi (2.16).

Phöông trình (2.18) bieåu dieãn caùc thaønh phaàn cuûa vectô öùng suaát taùc ñoäng leân moät maët nghieâng baát kyø coù phaùp tuyeán ñôn vò n

r ôû ñieåm ñang khaûo saùt theo

caùc thaønh phaàn cuûa tenxô öùng suaát, σij, ôû ñieåm ñoù. Do ñoù, vectô öùng suaát nT seõ ñöôïc xaùc ñònh neáu bieát chín ñaïi löôïng cuûa tenxô öùng suaát σij.

Trong phöông trình (2.18), niT vaø ni laø caùc vectô. Töø phöông trình naøy, ta coù theå chöùng toû raèng σij laø tenxô baäc hai; nghóa laø, caùc thaønh phaàn öùng suaát σij trong heä

54

truïc xi vaø caùc thaønh phaàn öùng suaát σ’ij trong heä truïc x’i ñöôïc lieân heä vôùi nhau theo nhöõng phöông trình sau:

mnjnim,ij σ=σ ll (2.19)

vaø ,mnnjmiij σ=σ ll (2.20)

vôùi lij laø caùc cosine chæ phöông ñöôïc cho trong baûng 1.3.

2.1.2 Caùc coâng thöùc öùng suaát Cauchy

Nhöõng coâng thöùc (2.7) vaø (2.18) thu ñöôïc trong phaàn treân laø caùc daïng khaùc nhau cuûa caùc coâng thöùc öùng suaát Cauchy. Tuy nhieân, trong thöïc teá luoân coù nhu caàu bieåu dieãn tröïc tieáp nhöõng thaønh phaàn öùng suaát phaùp vaø öùng suaát tieáp, σn vaø Sn, cuûa vectô öùng suaát nT taùc ñoäng treân maët nghieâng baát kyø coù phaùp tuyeán ñôn vò nr ôû ñieåm ñang khaûo saùt theo caùc thaønh phaàn cuûa tenxô öùng suaát σij ôû ñieåm ñoù.

Ñoä lôùn cuûa thaønh phaàn öùng suaát phaùp ñöôïc cho bôûi

ininn nTnT ==σr (2.21)

Thay (2.18) vaøo (2.21), ta coù

jiijn nnσ=σ (2.22)

Ñoä lôùn cuûa thaønh phaàn öùng suaát tieáp ñöôïc cho bôûi

( )[ ] 2/12n

2nn TS σ−= (2.23)

ôû ñaây, töø (2.18), ( )2nT thu ñöôïc nhö

( ) )n()n(TTTTT kikjijnininn2

n σσ=== (2.24)

hoaëc ( ) kjikij2

n nnT σσ= (2.25)

Caùc coâng thöùc (2.22) vaø (2.23), ñoái vôùi vieäc xaùc ñònh caùc thaønh phaàn öùng suaát phaùp vaø öùng suaát tieáp taùc ñoäng treân maët nghieâng baát kyø coù phaùp tuyeán ñôn vò n

r

, laø caùc daïng höõu ích nhaát cuûa caùc coâng thöùc Cauchy.

Vectô nσr cuøng phöông vôùi phaùp vectô ñôn vò n

r, vaø vectô nS naèm trong maët

phaúng ñöôïc hình thaønh bôûi hai vectô nT vaø nr.

Thí duï 2.1 Traïng thaùi öùng suaát ñöôïc moâ taû bôûi tenxô öùng suaát σij

55

−−−

−=σ

362826

282616

261680

ij (ñôn vò öùng suaát)

treân maët phaúng coù phaùp vectô ñôn vò )411

,21

,41

(n =r , haõy xaùc ñònh:

a) Ñoä lôùn cuûa vectô öùng suaát, nT .

b) Caùc thaønh phaàn öùng suaát phaùp vaø tieáp, σn vaø Sn.

Giaûi

a) Caùc thaønh phaàn niT cuûa vectô öùng suaát, nT ñöôïc tính toaùn baèng caùch duøng (2.18)

35,37nnnnT

22,6nnnnT

56,9nnnnT

333232131jj33n

323222121jj22n

313212111jj11n

−=σ+σ+σ=σ=

−=σ+σ+σ=σ=

=σ+σ+σ=σ=

Do ñoù, ñoä lôùn cuûa vectô öùng suaát nT ñöôïc cho bôûi

( ) ( ) ( )[ ] 10,39TTTT2/12

3n2

2n2

1nn =++=

b) Duøng (2.22), ta coù

69,31)nnnnnn(2

nnn

133132232112

2333

2222

2111n

−=σ+σ+σ++σ+σ+σ=σ

Do ñoù, ñoä lôùn cuûa thaønh phaàn öùng suaát tieáp, Sn, ñöôïc tính baèng caùch duøng (2.23)

( )[ ] [ ] 90,22)69,31()10,39(TS2/1222/12

n2

nn =−−=σ−=

2.1.3 Caùc öùng suaát chính vaø caùc baát bieán cuûa tenxô öùng suaát

Neáu vectô öùng suaát nT taùc ñoäng treân maët nghieâng cuøng phöông vôùi vectô phaùp tuyeán ñôn vò n

r cuûa maët nghieâng thì maët nghieâng naøy ñöôïc goïi laø maët chính,

phöông phaùp tuyeán cuûa maët nghieâng ñöôïc goïi laø phöông chính, vaø öùng suaát phaùp σn taùc ñoäng treân maët nghieâng ñöôïc goïi laø öùng suaát chính cuûa ñieåm. Vì nT song song vôùi n

r neân nT = nσ

r vaø Sn = 0. Nhö sau naøy chæ roõ, ôû moãi ñieåm trong vaät theå, toàn taïi ít nhaát ba phöông chính. Töø ñònh nghóa, ta coù

nTnr

σ= (2.26)

hoaëc trong daïng thaønh phaàn

56

ini nT σ= (2.27)

Thay theá niT töø (2.18) seõ ñöa ñeán

ijij nn σ=σ (2.28)

Ñaúng thöùc treân ñöôïc khai trieån chi tieát nhö sau:

3333232131

2333222121

1313212111

nnnn

nnnn

nnnn

σ=σ+σ+σ

σ=σ+σ+σ

σ=σ+σ+σ

(2.29)

hoaëc theo kyù hieäu cuûa von Karman

0n)(nn

0nn)(n

0nnn)(

zzyzyxzx

zyzyyxyz

zxzyxyxx

=σ−σ+τ+τ

=τ+σ−σ+τ

=τ+τ+σ−σ

(2.30)

Heä ba phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát treân luoân toàn taïi boä nghieäm taàm thöôøng (nx = ny = nz =0). Ñeå coù boä nghieäm khoâng taàm thöôøng, ñònh thöùc cuûa caùc heä soá cuûa heä ba phöông trình tuyeán tính treân phaûi trieät tieâu:

0

zzyzx

yzyyx

xzxyx

=

σ−σττ

τσ−στ

ττσ−σ

(2.31)

Ñieàu kieän naøy xaùc ñònh giaù trò cuûa σ. Toång quaùt coù ba nghieäm, σ1, σ2, vaø σ3 (thöôøng kyù hieäu σ1 ≥ σ2 ≥ σ3). Ba nghieäm coù theå naøy laø ba ñoä lôùn coù theå cuûa öùng suaát phaùp töông öùng vôùi caùc öùng suaát tieáp baèng khoâng. Trong kyù hieäu taét, caùc ñaúng thöùc (2.30) vaø (2.31) coù daïng

0n)( jijij =σδ−σ (2.32)

vaø 0ijij =σδ−σ (2.33)

Khai trieån (2.31) hoaëc (2.33) daãn ñeán phöông trình ñaëc tröng

0III 322

13 =−σ+σ−σ (2.34)

ôû ñaây

I1 = toång caùc soá haïng treân ñöôøng cheùo chính cuûa tenxô öùng suaát σij

57

zyx332211ii1I σ+σ+σ=σ+σ+σ=σ= (2.35)

I2 = toång caùc phaàn phuï ñaïi soá cuûa caùc soá haïng treân ñöôøng cheùo chính cuûa tenxô öùng suaát σij

2221

1211

3331

1311

3332

2322

2Iσσ

σσ+

σσ

σσ+

σσ

σσ=

yyx

xyx

zzx

xzx

zzy

yzy

στ

τσ+

στ

τσ+

στ

τσ= (2.36)

I3 = ñònh thöùc cuûa tenxô öùng suaát σij

zzyzx

yzyyx

xzxyx

333231

232221

131211

3I

σττ

τστ

ττσ

=

σττ

σσσ

σσσ

= (2.37)

Töø ñaëc tính cuûa caùc nghieäm cuûa phöông trình baäc ba, coù theå thaáy raèng

I1 = σ1 + σ2 + σ3

I2 = σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1 (2.38)

I3 = σ1σ2σ3

Do ñoù, phöông trình baäc ba (2.34) phaûi nhö nhau trong caû tröôøng hôïp thu ñöôïc töø heä truïc x, y, z cuõng nhö tröôøng hôïp thu ñöôïc töø heä truïc ba phöông chính 1, 2, 3. Vì theá, caùc ñaïi löôïng I1, I2, vaø I3 laø nhöõng baát bieán cuûa tenxô öùng suaát σij; nghóa laø, caùc giaù trò cuûa chuùng seõ khoâng ñoåi baát chaáp söï xoay cuûa heä truïc toïa ñoä.

Thay theá σ1, σ2, vaø σ3 vaøo trôû laïi (2.32), vaø duøng theâm ñoàng nhaát thöùc

1nnn 23

22

21 =++ (2.39)

ta coù theå xaùc ñònh caùc thaønh phaàn (nx, ny, nz) cuûa phaùp vectô ñôn vò ni töông öùng vôùi moãi giaù trò cuûa öùng suaát chính σ,

( ))1(3

)1(2

)1(1

)1( n,n,nn =r ñoái vôùi σ = σ1

( ))2(3

)2(2

)2(1

)2( n,n,nn =r ñoái vôùi σ = σ2 (2.40)

( ))3(3

)3(2

)3(1

)3( n,n,nn =r ñoái vôùi σ = σ3

58

Ba phöông naøy ñöôïc goïi laø ba phöông chính cuûa tenxô öùng suaát.

Phöông trình boå sung (2.39) ñöôïc ñaët ra do thöïc teá raèng khi σ trong (2.32) baèng σ1, thì theo lyù thuyeát ñaïi soá tuyeán tính heä ba phöông trình (2.33) chæ coù toái ña hai phöông trình ñoäc laäp. Coù theå chæ ra raèng neáu taát caû ba nghieäm σ khaùc nhau, chính xaùc coù hai phöông trình ñoäc laäp. Tröôøng hôïp ñaëc bieät, trong ñoù hai hay ba nghieäm σ truøng nhau thì coù theå ñöôïc xem nhö laø tröôøng hôïp giôùi haïn. Trong luùc chôø ñôïi, ta chæ caàn thöïc teá laø hai hoaëc moät trong caùc phöông trình (2.32) ñoäc laäp, ít nhaát moät lôøi giaûi )1(

in thoûa ñoàng thôøi caùc phöông trình

(2.32) vaø phöông trình (2.39) toàn taïi. Töông töï, )2(in töông öùng vôùi σ2, vaø )3(

in töông öùng vôùi σ3 coù theå ñöôïc tìm thaáy.

2.1.4 Caùc öùng suaát tieáp chính vaø öùng suaát tieáp cöïc ñaïi

Trong vieäc moâ taû traïng thaùi öùng suaát cuûa ñieåm, ta thöôøng laáy ba phöông chính 1, 2, 3 laøm ba truïc toïa ñoä thay cho heä truïc toång quaùt x, y, z vì tính ñôn giaûn do noù ñem laïi. Chuù yù raèng treân nhöõng maët phaúng toïa ñoä naøy taát caû caùc öùng suaát tieáp ñeàu baèng zero (hình 2.5). Vì theá, ñoä lôùn cuûa öùng suaát taùc ñoäng treân maët nghieâng baát kyø coù vectô phaùp tuyeán ñôn vò n

r ôû ñieåm naøy nhö ñöôïc cho bôûi (2.25) seõ coù

keát quaû

( ) 23

23

22

22

21

21

2n nnnT σ+σ+σ= (2.41)

Thaønh phaàn öùng suaát phaùp ñöôïc tính theo (2.22)

233

222

211n nnn σ+σ+σ=σ (2.42)

Töø phöông trình (2.23), ñoä lôùn cuûa thaønh phaàn öùng suaát tieáp ñöôïc bieåu dieãn nhö

( )

( ) ( )2233

222

211

23

23

22

22

21

21

2n

2n

2n

nnnnnn

TS

σ+σ+σ−σ+σ+σ=

σ−= (2.43)

Ñieàu kieän cuûa phaùp vectô ñôn vò ñöôïc cho bôûi

1nnn 23

22

21 =++ (2.44)

Töø nhöõng phöông trình (2.42) vaø (2.44), vaø khöû n3, ta thu ñöôïc σn nhö laø haøm cuûa n1 vaø n2. Ñoái vôùi caùc giaù trò döøng cuûa σn, laáy ∂σn/∂n1 = 0 vaø ∂σn/∂n2 = 0, ta coù theå chæ ra raèng σn = σ3 laø moät giaù trò döøng. Töông töï, ta cuõng coù theå chöùng minh σ1 vaø σ2 laø nhöõng giaù trò döøng cuûa öùng suaát phaùp σn.

59

Baây giôø ta khaûo saùt caùc giaù trò döøng cuûa öùng suaát tieáp Sn. Töø caùc phöông trình (2.43) vaø (2.44), vaø khöû n3, ta thu ñöôïc

( ) ( )

( ) ( )[ ]232232

2131

23

22

23

22

21

23

21

2n

nn

nnS

σ+σ−σ+σ−σ−

−σ+σ−σ+σ−σ= (2.45)

Do ñoù, vì caùc giaù trò döøng cuûa Sn, ta coù

( ) ( )

( ) ( )[ ] 0nn2

nn

S

2

1

2232

2131

311311

2n

=σ−σ+σ−σ−

σ−σσ−σ=∂∂

(2.45a)

( ) ( )

( ) ( )[ ] 0nn2

nn

S

2

1

2232

2131

322322

2n

=σ−σ+σ−σ−

σ−σσ−σ=∂∂

(2.45b)

Giaû söû raèng ba öùng suaát chính σ1, σ2, vaø σ3 khaùc bieät nhau, nghóa laø σ1 > σ2 > σ3, ta thu ñöôïc nhöõng ñieàu kieän coù theå thoûa caùc phöông trình (2.45a, b), vaø (2.44) nhö sau:

(i) n1 = n2 = 0, n3 = ± 1 (2.46)

Phöông trình (2.43) cho keát quaû Sn = 0, giaù trò cöïc tieåu, vaø thaønh phaàn öùng suaát tieáp naøy taùc ñoäng leân maët chính thöù ba.

(ii) n1 = 0, n2 = ±2

1 , vaø n3 = ±2

1 (2.47)

Caùc giaù trò n1, n2, vaø n3 naøy xaùc ñònh hai maët phaúng song song vôùi truïc chính thöù nhaát vaø coù phaùp tuyeán hôïp moät goùc 450 vôùi truïc chính thöù hai vaø thöù ba. Giaù trò döøng cuûa Sn trong tröôøng hôïp naøy ñöôïc cho bôûi

232

2n )(

41S σ−σ= (2.48)

60

hoaëc 32n23 21S σ−σ==τ (2.49)

(iii) n2 = 0, n1 = ±2

1 , vaø n3 = ±2

1 (2.50)

Giaù trò döøng cuûa Sn trong tröôøng hôïp naøy laø

31n13 21S σ−σ==τ (2.51)

Caùc giaù trò n1, n2, vaø n3 naøy xaùc ñònh hai maët phaúng song song vôùi truïc chính thöù hai vaø coù phaùp tuyeán hôïp moät goùc 450 vôùi truïc chính thöù nhaát vaø thöù ba. Töông töï, moät giaù trò döøng khaùc cuûa öùng suaát tieáp Sn coù theå ñöôïc xaùc ñònh bôûi

21n12 21S σ−σ==τ (2.52)

ÖÙng suaát tieáp naøy taùc ñoäng treân nhöõng maët phaúng song song vôùi truïc chính thöù ba vaø coù phaùp tuyeán hôïp moät goùc 450 vôùi truïc chính thöù nhaát vaø thöù hai.

Caùc giaù trò döøng 313221 21,

21,

21 σ−σσ−σσ−σ ñöôïc goïi laø caùc öùng suaát

tieáp chính do chuùng xaûy ra treân nhöõng maët phaúng chia ñoâi goùc giöõa caùc maët chính. Caàn chuù yù raèng nhöõng maët tröôït chính khoâng phaûi laø caùc maët tröôït thuaàn tuùy; caùc öùng suaát phaùp treân nhöõng maët tröôït chính coù theå ñöôïc tính baèng caùch duøng phöông trình (2.41) vaø caùc giaù trò töông öùng cuûa n1, n2, vaø n3. Giaù trò cöïc ñaïi cuûa caùc öùng suaát tieáp chính, ñöôïc goïi laø öùng suaát tieáp cöïc ñaïi, τmax, baèng

3113 21 σ−σ=τ vì σ1 > σ2 > σ3.

2.1.5 Tenxô leäch öùng suaát vaø caùc baát bieán cuûa noù

Ñeå tieän lôïi trong vieäc moâ hình vaät lieäu ngöôøi ta phaân tích tenxô öùng suaát thaønh hai phaàn, moät phaàn ñöôïc goïi laø tenxô öùng suaát caàu hoaëc tenxô öùng suaát thuûy tónh vaø phaàn coøn laïi ñöôïc goïi laø tenxô leäch öùng suaát. Tenxô öùng suaát thuûy tónh laø tenxô maø nhöõng phaàn töû cuûa noù laø H

ijσ = pδij, ôû ñaây p laø öùng suaát trung bình vaø

ñöôïc cho bôûi

1zyxkkHij I

31)(

31

31p =σ+σ+σ=σ==σ (2.53)

Töø phöông trình (2.53), roõ raøng p laø haèng soá vôùi moïi heä truïc toïa ñoä; do ñoù, noù ñöôïc goïi laø öùng suaát caàu hoaëc öùng suaát thuûy tónh. Daïng toång quaùt cuûa tenxô öùng suaát caàu

61

=σ

p00

0p0

00p

Hij (2.53a)

Tenxô öùng suaát leäch sij ñöôïc ñònh nghóa baèng caùch tröø traïng thaùi öùng suaát caàu khoûi traïng thaùi öùng suaát thaät. Do ñoù, ta coù

σij = sij + pδij (2.54)

sij = σij − pδij (2.55)

Phöông trình (2.55) cung caáp moät ñònh nghóa caàn thieát cho tenxô öùng suaát leäch sij. Nhöõng thaønh phaàn cuûa tenxô naøy ñöôïc cho bôûi

−σσσ

σ−σσ

σσ−σ

=

=

)p(

)p(

)p(

sss

sss

sss

s

333231

232221

131211

333231

232221

131211

ij (2.56)

hoaëc duøng kyù hieäu cuûa von Karman

−σττ

σ−στ

ττ−σ

=

=

)p(

)p(

)p(

sss

sss

sss

s

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zzyzx

yzyyz

xzxyx

ij (2.57)

Chuù yù raèng δij = 0 vaø sij = σij ñoái vôùi i ≠ j trong phöông trình (2.55).

Roõ raøng raèng vieäc tröø moät öùng suaát phaùp haèng trong taát caû caùc höôùng seõ khoâng laøm thay ñoåi nhöõng phöông chính. Do ñoù, caùc phöông chính cuûa tenxô leäch öùng suaát truøng vôùi caùc phöông chính cuûa tenxô öùng suaát goác. Trong khoâng gian cuûa caùc öùng suaát chính, tenxô leäch öùng suaát coù daïng

−σ

−σ

−σ

=

)p(00

0)p(0

00)p(

s

3

2

1

ij (2.58)

hoaëc

σ−σ−σ

σ−σ−σ

σ−σ−σ

=

3

200

03

20

003

2

s

213

132

321

ij (2.59)

62

Ñeå thu ñöôïc caùc baát bieán cuûa tenxô öùng suaát leäch sij, moät pheùp daãn xuaát töông töï ñöôïc thöïc hieän nhö ñaõ duøng ñeå thu ñöôïc (2.34). Do ñoù ta coù theå vieát

0ss ijij =δ− (2.60)

hoaëc 0JsJsJs 322

13 =−+− (2.61)

ôû ñaây J1, J2, vaø J3 laø caùc baát bieán cuûa tenxô öùng suaát leäch. Duøng phöông trình (2.54) vaø nhöõng ñònh nghóa töông töï nhö töø (2.35) ñeán (2.37), caùc baát bieán J1, J2, vaø J3 coù theå ñöôïc bieåu dieãn trong caùc daïng khaùc döôùi daïng caùc thaønh phaàn cuûa sij hoaëc caùc giaù trò chính cuûa noù, s1, s2, vaø s3, hay döôùi daïng caùc thaønh phaàn cuûa tenxô öùng suaát σij hoaëc caùc giaù trò chính cuûa noù, σ1, σ2, vaø σ3. Do ñoù, ta coù

0sssssssJ 321332211ii1 =++=++== (2.62)

( )( )( )

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]2

132

322

21

2zx

2yz

2xy

2xz

2zy

2yx

231

223

212

21133

23322

22211

133221

231

223

212113333222211

231

223

212

233

222

211

23

22

21

12212112233

222

211jiij2

6161

ssssss61

)ssssss(

ssssss

222sss21

sss21

sssssss21ss

21J

σ−σ+σ−σ+σ−σ=

τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ=

σ+σ+σ+−+−+−=

++−=

σ+σ+σ+−−−=

σ+σ+σ+++=

++=

+++++== L

(2.63)

( ) 32133

32

31

zzyzx

yzyyz

xzxyx

kijkij3 ssssss31

s

s

s

sss31J =++=

ττττττ

== (2.64)

Caùc baát bieán J1, J2, vaø J3 cuûa tenxô leäch öùng suaát ñöôïc lieân heä vôùi caùc baát bieán I1, I2, vaø I3 cuûa tenxô öùng suaát σij bôûi

( )( )321

313

2212

1

I27II9I227

1J

I3I3

1J

0J

+−=

−=

=

(2.65)

Vieäc söû duïng tenxô leäch öùng suaát coù öu ñieåm laø baát bieán thöù nhaát cuûa tenxô naøy, J1, luoân baèng khoâng. Ñieàu naøy cuõng coù theå ñöôïc thaáy baèng caùch laáy toång

63

cuûa caùc phaàn töû cheùo trong (2.56) hoaëc (2.58).

Coù theå thaáy raèng, ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå traïng thaùi öùng suaát laø traïng thaùi tröôït thuaàn tuùy laø σii = 0, hoaëc baát bieán thöù nhaát cuûa noù I1 = 0 (xem baøi taäp 2.11). Do ñoù, tenxô leäch öùng suaát sij laø traïng thaùi tröôït thuaàn tuùy.

2.1.6 ÖÙng suaát baùt dieän

Maët phaúng öùng suaát baùt dieän laø maët phaúng coù phaùp tuyeán nghieâng ñeàu so vôùi ba phöông chính cuûa öùng suaát. Do ñoù, caùc maët phaúng vôùi phaùp tuyeán ñôn vò

( ) ( ) ( )1,1,13/1n,n,nn 321 ±±±== trong heä truïc öùng suaát chính ñöôïc goïi laø caùc maët baùt dieän. Chuù yù raèng ta coù ñeán taùm maët baùt dieän nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 2.6, vôùi OA = OB = OC = OA’ = OB’ = OC’. Trong heä truïc öùng suaát chính 1, 2, vaø 3, tenxô öùng suaát σij ñöôïc vieát nhö

σσ

σ=σ

3

2

1

ij

00

00

00

(2.66)

Thaønh phaàn öùng suaát phaùp cuûa vectô öùng suaát taïi ñieåm O, taùc ñoäng treân maët nghieâng coù vectô phaùp tuyeán ñôn vò n

r coù theå thu ñöôïc baèng coâng thöùc

Cauchy (2.22),

σn = σijninj

hoaëc σn = σ1n1n1 + σ2n2n2 + σ3n3n3 (2.67)

Do ñoù, öùng suaát phaùp treân moät maët baùt dieän seõ laø

( ) 1321

233

222

211oct

I3

1

3

1

nnn

=σ+σ+σ=

σ+σ+σ=σ (2.68)

Chuù yù raèng, ñoä lôùn cuûa σoct treân taát caû taùm maët baùt dieän laø baèng nhau vaø raèng ñaïi löôïng σoct chính laø öùng suaát phaùp trung bình (hoaëc öùng suaát thuûy tónh).

ÖÙng suaát tieáp treân maët baùt dieän, τoct, coù theå thu ñöôïc töø coâng thöùc trong phöông trình (2.23):

2oct

2n

oct2oct T σ−

=τ (2.69)

64

O 2

B

A

C

3

1

A’

B’

C’

Hình 2.6 Caùc maët baùt dieän trong khoâng gian öùng suaát chính

Söû duïng phöông trình (2.24) ñeå tính 2n

octT

, ta nhaän ñöôïc

( )23

22

21

23

23

22

22

21

21

2n

oct 31nnnT σ+σ+σ=σ+σ+σ=

(2.70)

Do ñoù,

( )

( ) ( ) ( )[ ]213

232

221

23212

23

22

21

2oct

91

)(3

131

σ−σ+σ−σ+σ−σ=

σ+σ+σ−σ+σ+σ=τ (2.71)

Duøng caùc keát quaû veà öùng suaát tieáp chính, τoct coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö

( )231

223

212

2oct 9

4 τ+τ+τ=τ (2.72)

ôû ñaây τ12, τ23, vaø τ31 laø caùc öùng suaát tieáp chính. Do ñoù,

( ) 2

2/1231

223

212oct J

32

32 =τ+τ+τ=τ (2.73)

ôû ñaây J2 laø baát bieán thöù hai cuûa tenxô öùng suaát leäch. ÖÙng suaát tieáp baùt dieän coù theå ñöôïc tính theo caùc baát bieán cuûa tenxô öùng suaát nhö (xem phöông trình (2.65))

( ) 2/1

221oct I3I

32 −=τ (2.74)

vaø theo caùc thaønh phaàn öùng suaát trong heä truïc toång quaùt xyz, öùng suaát tieáp baùt dieän trôû thaønh (xem phöông trình (2.63))

65

( ) ( )[

( ) ( )] 2/12zx

2yz

2xy

2xz

2zy

2yxoct

6

3

1

τ+τ+τ+σ−σ+

σ−σ+σ−σ=τ (2.75)

Chuù yù raèng, ñoä lôùn cuûa τoct treân taùm maët baùt dieän laø nhö nhau vaø ñaïi löôïng τoct coù theå ñöôïc xem moät caùch hôi khaäp khieãng laø öùng suaát tieáp chính trung bình nhö ñöôïc cho bôûi (2.73).

Thí duï 2.2 Traïng thaùi öùng suaát σij cuûa moät ñieåm ñöôïc cho trong (2.76), haõy tính caùc yeâu caàu sau:

a) Caùc öùng suaát phaùp vaø tieáp baùt dieän.

b) ÖÙng suaát thuûy tónh.

c) Tenxô öùng suaát leäch, sij.

=σ314

122

421

ij (ñôn vò öùng suaát) (2.76)

Giaûi

a) Baát bieán thöù nhaát I1 ñöôïc tính töø (2.35):

I1 = σii = 1 + 2 + 3 = 6

Do ñoù, töø phöông trình (2.68), ta coù

σoct = (1/3)I1 = 2

Duøng phöông trình (2.75) cho τoct, ta nhaän ñöôïc

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 83,31614613322131 2/1222

oct =+++−+−+−=τ

b) ÖÙng suaát thuûy tónh ñöôïc cho bôûi (2.53):

p = (1/3)6 = 2

c) Tenxô öùng suaát leäch sij thu ñöôïc töø (2.55):

sij = σij − pδij

−=

−

=114

102

421

100

010

001

2

314

122

421

sij

Vì sii = 0 neân sij laø traïng thaùi tröôït thuaàn tuùy.

66

Thí duï 2.3 Traïng thaùi öùng suaát )1(ijσ vaø )2(

ijσ ôû hai ñieåm khaùc nhau trong vaät theå

ñöôïc cho bôûi (2.77) vaø (2.78). Haõy xaùc ñònh traïng thaùi öùng suaát naøo thì gaàn traïng thaùi chaûy deûo hôn neáu nhöõng tieâu chuaån chaûy sau ñaây ñöôïc duøng:

a) ÖÙng suaát phaùp baùt dieän, σoct.

b) ÖÙng suaát tieáp baùt dieän, τoct.

c) ÖÙng suaát tieáp cöïc ñaïi, τmax.

=σ203

030

3010)1(

ij (ñôn vò öùng suaát) (2.77)

−−=σ

500

070

003)2(

ij (ñôn vò öùng suaát) (2.78)

Giaûi

a) Töø bieåu thöùc (2.68), σoct coù theå ñöôïc tính trong caû hai tröôøng hôïp. Do ñoù, ta coù

5)2310(3

1)1(oct =++=σ

3)573(3

1)2(oct −=−−=σ

Do ñoù, döïa vaøo σoct, bieán daïng deûo seõ xaûy ra tröôùc tieân ôû ñieåm thöù nhaát.

b) Duøng bieåu thöùc (2.75), ta coù

[ ] 32,4)9(6641493

1 2/1)1(oct =+++=τ

[ ] 32,46441003

1 2/1)2(oct =++=τ

Do ñoù, döïa vaøo τoct, bieán daïng deûo seõ xaûy ra ôû caû hai ñieåm cuøng luùc.

c) Theo qui trình ñöôïc cho trong muïc 2.1.3, ta coù theå tìm caùc öùng suaát chính cuûa traïng thaùi öùng suaát ñaàu tieân. Caùc keát quaû laø

1;3;11 )1(3

)1(2

)1(1 =σ=σ=σ

Traïng thaùi öùng suaát (2.78) moâ taû traïng thaùi öùng suaát trong ñoù

7;5;3 )2(3

)2(2

)2(1 −=σ−=σ=σ

67

Do ñoù, caùc öùng suaát tieáp cöïc ñaïi ñöôïc cho bôûi (2.51):

52

111)1(max =

−=τ

52

)7(3)2(max =

−−=τ

Do ñoù, döïa vaøo τmax, bieán daïng deûo laïi seõ xaûy ra ôû caû hai ñieåm cuøng luùc.

2.1.7 Caùc yù nghóa vaät lyù cuûa caùc baát bieán öùng suaát I1 vaø J2

Coù vaøi caùch hieåu veà caùc baát bieán öùng suaát I1 vaø J2, moät trong caùc caùch hieåu aáy ñöôïc bieåu dieãn bôûi caùc ñaúng thöùc (2.68) vaø (2.73). Cuï theå laø, I1/3 laø öùng suaát

phaùp baùt dieän σoct, trong khi 2J3

2 laø öùng suaát tieáp baùt dieän. Nhöõng hieåu bieát

khaùc ñöôïc trình baøy trong caùc phaàn döôùi ñaây.

2.1.7.1 Naêng löôïng bieán daïng ñaøn hoài

Naêng löôïng bieán daïng ñaøn hoài toång coäng W treân moät ñôn vò theå tích cuûa vaät lieäu ñaøn hoài tuyeán tính coù theå ñöôïc chia thaønh hai phaàn, moät phaàn lieân quan vôùi söï thay ñoåi theå tích W1, vaø moät phaàn lieân quan vôùi söï thay ñoåi hình daùng W2:

W = W1 + W2 (2.79)

vôùi W1 = naêng löôïng giaõn nôû theå tích = 2

1IE621 ν− (2.80)

W2 = naêng löôïng thay ñoåi hình daùng = 2JE

1 ν+ (2.81)

ôû ñaây E vaø ν töông öùng laø moâñun ñaøn hoài vaø heä soá Poisson. Caùc baát bieán I1 vaø J2 ñöôïc xem laø tyû leä thuaän vôùi naêng löôïng giaõn nôû theå tích vaø naêng löôïng thay ñoåi hình daùng moät caùch töông öùng.

2.1.7.2 ÖÙng suaát trung bình

Khaûo saùt phaân toá theå tích hình caàu vi phaân. ÔÛ moät ñieåm treân beà maët cuûa hình caàu naøy, vectô öùng suaát treân maët phaúng tieáp tuyeán coù moät thaønh phaàn öùng suaát tieáp τs vaø thaønh phaàn öùng suaát phaùp σs. Giaù trò trung bình cuûa öùng suaát phaùp σs treân toaøn maët caàu coù theå ñöôïc xaùc ñònh bôûi

σ=σ ∫→

ss0sm ds

s1lim (2.82)

68

ôû ñaây S bieåu thò dieän tích maët caàu. Bieåu thöùc naøy ñöôïc ñònh löôïng

( ) 1321m I31

31 =σ+σ+σ=σ (2.83)

Ñoái vôùi öùng suaát tieáp τs treân maët caàu, giaù trò trung bình cuûa τs coù theå ñöôïc döïa vaøo caùc öùng suaát toàn taïi treân taát caû caùc maët phaúng coù theå ñi qua ñieåm baèng caùch thöïc hieän pheùp tính trung bình treân toaøn maët caàu. Do daáu cuûa öùng suaát tieáp khoâng coù yù nghóa ñoái vôùi cô cheá vaät lyù cuûa söï phaù huûy neân thieát thöïc nhaát laø laáy pheùp trung bình theo daïng trung bình caên baäc hai. Nghóa laø,

2/1

s

2s0sm ds

s1

lim

τ=τ ∫→

(2.84)

Thöïc hieän pheùp tích phaân, ta coù

( ) ( ) ( )[ ] 2/1213

232

221m

15

1 σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ (2.85)

hoaëc döôùi daïng baát bieán J2,

2m J52=τ (2.86)

2.1.7.3 Trung bình caên cuûa öùng suaát tröôït chính

Caùc phöông trình (2.49), (2.51), vaø (2.52) cho caùc öùng suaát tieáp chính, giaù trò trung bình caên cuûa chuùng laø

2

J2

2223

1 22

132

322

21 =

σ−σ+

σ−σ+

σ−σ (2.87)

2.1.8 Caùc voøng troøn Mohr trong khoâng gian öùng suaát ba chieàu

Voøng troøn Mohr laø phöông caùch ñoà hoïa coù hieäu quaû ñeå bieåu dieãn traïng thaùi öùng suaát cuûa moät ñieåm. Trong caùch bieåu dieãn ñoà hoïa naøy, traïng thaùi öùng suaát cuûa moät ñieåm ñöôïc bieåu dieãn bôûi bieåu ñoà voøng troøn Mohr, trong ñoù hoaønh ñoä, σn, vaø tung ñoä, Sn, cuûa moãi ñieåm treân voøng troøn Mohr töông öùng seõ cho thaønh phaàn öùng suaát phaùp vaø thaønh phaàn öùng suaát tieáp taùc ñoäng treân maët nghieâng coù phaùp tuyeán xaùc ñònh.

Ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát khoái ñaõ cho cuûa moät ñieåm, caùc giaù trò öùng suaát chính σ1, σ2, vaø σ3 (vôùi σ1 > σ2 > σ3) phaûi ñöôïc tính tröôùc theo coâng thöùc (2.34), vaø caùc truïc chính töông öùng ñöôïc tính theo caùc coâng thöùc (2.40). Moãi khi caùc giaù trò σ1, σ2, vaø σ3 ñöôïc xaùc ñònh, moät bieåu ñoà voøng troøn Mohr coù theå ñöôïc xaây döïng nhö

69

ñöôïc trình baøy trong hình 2.7. Trong caùc hình naøy, caùc taâm cuûa ba voøng troøn Mohr C1, C2, vaø C3 coù caùc toïa ñoä töông öùng laø

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]0,,0,,0,21

211332 σ+σσ+σσ+σ . Ba baùn kính R1, R2, vaø R3 töông öùng

baèng ( ) ( ) ( ).21,

21,

21

213132 σ−σσ−σσ−σ Ñoái vôùi heä truïc toïa ñoä chính, caùc

öùng suaát phaùp vaø tieáp cuûa ñieåm ñang khaûo saùt treân maët caét coù vectô phaùp tuyeán ñôn vò n

r coù theå ñöôïc veõ nhö moät ñieåm trong khoâng gian öùng suaát σn-Sn. Chuùng

ta haõy khaûo saùt mieàn döông cuûa Sn, nghóa laø, trong mieàn nöûa treân cuûa khoâng gian öùng suaát σn–Sn.

Goïi n1, n2, vaø n3 laàn löôït laø caùc thaønh phaàn cuûa phaùp vectô ñôn vò nr trong heä

truïc chính 1, 2, vaø 3, vaø σ1 > σ2 > σ3, caùc phöông trình (2.42) vaø (2.43) cho

23

23

22

22

21

21

2n2n

2n nnnTS σ+σ+σ=

=+σ (2.88)

233

222

211n nnn σ+σ+σ=σ (2.89)

Ñoái vôùi vectô ñôn vò, ta coù

1nnn 23

22

21 =++ (2.90)

Giaûi heä ba phöông trình töø (2.88) ñeán (2.90) ñoái vôùi ba aån 23

22

21 n,n,n , ta ñöôïc

( ) ( )

( ) ( )3121

3n2n2n2

1

sn

σ−σσ−σσ−σσ−σ+

= (2.91)

( ) ( )

( ) ( )1232

1n3n2n2

1

sn

σ−σσ−σσ−σσ−σ+

= (2.92)

( ) ( )

( ) ( )2313

2n1n2n2

3

sn

σ−σσ−σσ−σσ−σ+

= (2.93)

Vì σ1 > σ2 > σ3, vaø caùc veá traùi cuûa caùc ñaúng thöùc töø (2.91) ñeán (2.93) khoâng aâm, neân

( ) ( ) 0s 3n2n2n ≥σ−σσ−σ+ (2.94)

( ) ( ) 0s 1n3n2n ≤σ−σσ−σ+ (2.95)

( ) ( ) 0s 2n1n2n ≥σ−σσ−σ+ (2.96)

Caùc keát quaû treân coù theå ñöôïc vieát laïi nhö

70

σn

Sn

σ1 σ2 σ3

l1 l2 l3

( )σ + σ12 32

( )σ + σ11 32

( )σ + σ11 22

C1 C2 C3

A’

B’

C’

D’

E’

F’

O α β γ

• P’

( ) ( )232

2

32n2n 4

121s σ−σ≥

σ+σ−σ+ (2.97)

( ) ( )231

2

31n2n 4

121s σ−σ≤

σ+σ−σ+ (2.98)

( ) ( )221

2

21n2n 4

121s σ−σ≥

σ+σ−σ+ (2.99)

Caùc moái quan heä töø (2.97) ñeán (2.99) chæ ra raèng nhöõng giaù trò coù theå chaáp nhaän cuûa σn vaø Sn naèm ôû beân trong hay treân caùc bieân cuûa mieàn ñöôïc giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng troøn C1, C2, vaø C3, nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 2.7.

Ñoái vôùi giaù trò coá ñònh baát kyø cuûa n1, khöû n2 vaø n3 töø nhöõng phöông trình (2.88) ñeán (2.90) cho keát quaû

( )

( ) ( ) ( )312121

232

2n

2

32n

n4

1

s2

1

σ−σσ−σ+σ−σ=

+

σ+σ−σ (2.100)

Hình 2.7 Caùc voøng troøn Mohr trong tröôøng hôïp ba chieàu (vôùi σ1 > σ2 > σ3)

Do ñoù, ñoái vôùi giaù trò n1 ñaõ cho, ñieåm (σn, Sn) töông öùng vôùi giaù trò n1 naøy naèm treân cung troøn C’D’ nhö ñöôïc bieåu dieãn treân hình 2.7. Ñeå veõ cung naøy, ta veõ

71

ñöôøng thaúng l1 song song vôùi truïc tung Sn ñi qua ñieåm (σ1, 0) vaø döïng theâm ñöôøng thaúng môùi hôïp vôùi ñöôøng thaúng l1 goùc α = arccos(n1). Ñöôøng thaúng naøy caét caùc voøng troøn C2 vaø C3 laàn löôït taïi C’ vaø D’. Duøng ñieåm ( )

σ+σ 0,2

132

laøm

taâm, veõ cung troøn C’D’.

Töông töï, ñoái vôùi giaù trò coá ñònh cuûa n2, khöû n1 vaø n3 töø nhöõng phöông trình (2.88) ñeán (2.90) cho keát quaû

( ) ( ) ( ) ( )321222

231

2n

2

31n n41s

21 σ−σσ−σ+σ−σ=+

σ+σ−σ (2.101)

Do ñoù, ñoái vôùi giaù trò n2 ñaõ cho, ñieåm (σn, Sn) töông öùng vôùi giaù trò n2 naøy naèm treân cung troøn E’F’ nhö ñöôïc bieåu dieãn treân hình 2.7. Ñeå veõ cung naøy, ta veõ ñöôøng thaúng l2 song song vôùi truïc tung Sn ñi qua ñieåm (σ2, 0) vaø döïng theâm ñöôøng thaúng môùi hôïp vôùi ñöôøng thaúng l2 goùc β = arccos(n2). Ñöôøng thaúng naøy

caét caùc voøng troøn C1 vaø C3 laàn löôït taïi E’ vaø F’. Duøng ñieåm ( )

σ+σ 0,21

31 laøm

taâm, veõ cung troøn E’F’.

Cuoái cuøng, ñoái vôùi giaù trò coá ñònh cuûa n3, khöû n1 vaø n2 töø nhöõng phöông trình (2.88) ñeán (2.90) cho keát quaû

( ) ( ) ( ) ( )231323

221

2n

2

21n n41s

21 σ−σσ−σ+σ−σ=+

σ+σ−σ (2.102)

Do ñoù, ñoái vôùi giaù trò n3 ñaõ cho, ñieåm (σn, Sn) töông öùng vôùi giaù trò n3 naøy naèm treân cung troøn A’B’ nhö ñöôïc bieåu dieãn treân hình 2.7. Ñeå veõ cung naøy, ta veõ ñöôøng thaúng l3 song song vôùi truïc tung Sn ñi qua ñieåm (σ3, 0) vaø döïng theâm ñöôøng thaúng môùi hôïp vôùi ñöôøng thaúng l3 goùc γ = arccos(n3). Ñöôøng thaúng naøy

caét caùc voøng troøn C1 vaø C2 laàn löôït taïi B’ vaø A’. Duøng ñieåm ( )

σ+σ 0,2

121 laøm

taâm, veõ cung troøn A’B’.

Ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát ñaõ cho cuûa ñieåm P, ta coù theå xaùc ñònh xaùc ñònh baèng phöông phaùp hình hoïc caùc thaønh phaàn öùng suaát phaùp σn vaø öùng suaát tieáp Sn treân maët nghieâng ñi qua ñieåm naøy vaø coù phaùp tuyeán ñôn vò )n,n,n(n 321=

r . Do chæ coù hai trong ba ñaïi löôïng n1, n2, vaø n3 laø ñoäc laäp neân ta coù theå duøng hai giaù trò baát kyø, thí duï, n1 vaø n3 ñeå xaùc ñònh ñieåm (σn, Sn) töông öùng vôùi hai giaù trò naøy. Ñoái vôùi giaù trò coá ñònh cuûa n1, ta döïng cung troøn C’D’. Töông töï, ñoái vôùi giaù trò coá ñònh cuûa n3, ta döïng cung troøn A’B’, nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 2.7. Giao ñieåm P’ giöõa hai cung troøn naøy, P’, cho nhöõng giaù trò σn vaø Sn töông öùng vôùi caùc giaù trò n1, n2, vaø n3 ñaõ cho. Giaù trò thöù ba, n2, ñöôïc duøng ñeå kieåm tra quy trình do cung thöù ba E’F’ phaûi ñi qua ñieåm P’.

72

2.1.9 Khoâng gian öùng suaát Haigh−−−−Westergaard

Söï bieåu dieãn traïng thaùi öùng suaát ôû moät ñieåm baèng phöông phaùp hình hoïc naøy thì raát höõu ích trong vieäc nghieân cöùu lyù thuyeát deûo vaø caùc tieâu chuaån phaù huûy. Do tenxô öùng suaát σij coù saùu thaønh phaàn ñoäc laäp, dó nhieân coù theå khaûo saùt nhöõng thaønh phaàn naøy nhö laø caùc toïa ñoä vò trí trong khoâng gian saùu chieàu. Tuy nhieân, ñieàu naøy thì quaù khoù ñeå xöû lyù. Söï löïa choïn ñôn giaûn nhaát laø laáy ba öùng suaát chính σ1, σ2, σ3 nhö laø ba toïa ñoä vaø bieåu dieãn traïng thaùi öùng suaát ôû moät ñieåm nhö laø moät ñieåm trong khoâng gian öùng suaát ba chieàu naøy. Khoâng gian naøy ñöôïc goïi laø khoâng gian öùng suaát Haigh−Westergaard. Trong khoâng gian öùng suaát chính naøy, moãi ñieåm coù caùc toïa ñoä σ1, σ2, vaø σ3 seõ bieåu dieãn moät traïng thaùi öùng suaát khaû dó. Hai traïng thaùi öùng suaát baát kyø ôû moät ñieåm P khaùc nhau veà caùc phöông chính, nhöng coù cuøng caùc giaù trò öùng suaát chính seõ ñöôïc bieåu dieãn bôûi cuøng moät ñieåm trong khoâng gian öùng suaát ba chieàu. Ñieàu naøy nguï yù raèng loaïi bieåu dieãn khoâng gian öùng suaát naøy ñöôïc taäp trung chuû yeáu vaøo hình hoïc cuûa öùng suaát vaø khoâng taäp trung vaøo höôùng cuûa traïng thaùi öùng suaát ñoái vôùi vaät theå.

Khaûo saùt ñöôøng thaúng ON ñi qua goác toïa ñoä vaø nghieâng ñeàu so vôùi ba truïc chính, nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 2.8. Ñoái vôùi moãi ñieåm treân ñöôøng thaúng naøy töông öùng vôùi traïng thaùi öùng suaát coù σ1 = σ2 = σ3. Ñoù laø traïng thaùi öùng suaát thuûy tónh hay traïng thaùi öùng suaát caàu, trong khi caùc öùng suaát leäch, s1 = (2σ1 – σ2 – σ3)/3... ñeàu baèng zero. Do ñoù, ñöôøng naøy ñöôïc ñaët teân laø truïc thuûy tónh. Hôn nöõa, maët phaúng baát kyø vuoâng goùc vôùi ON ñöôïc goïi laø maët phaúng leäch. Maët phaúng nhö theá coù phöông trình

ξ=σ+σ+σ 3321 (2.103)

ôû ñaây ξ laø khoaûng caùch töø ñieåm goác toïa ñoä ñeán maët phaúng ñöôïc ño doïc theo phaùp tuyeán ON. Maët phaúng leäch ñaëc bieät ñi qua ñieåm goác 0,

0321 =σ+σ+σ (2.104)

ñöôïc goïi laø maët phaúng π.

Khaûo saùt moät traïng thaùi öùng suaát baát kyø ôû ñieåm ñaõ cho vôùi caùc thaønh phaàn öùng suaát σ1, σ2, vaø σ3. Traïng thaùi öùng suaát naøy ñöôïc bieåu dieãn bôûi ñieåm P(σ1, σ2, σ3) trong khoâng gian öùng suaát chính trong hình 2.8. Vectô öùng suaát OP coù theå ñöôïc phaân tích thaønh hai thaønh phaàn, thaønh phaàn ON theo phöông cuûa vectô ñôn vò

=3

1,3

1,3

1nr vaø thaønh phaàn NP vuoâng goùc vôùi ON (song song vôùi maët

phaúng π). Do ñoù,

73

( )

σσσ==3

1,3

1,3

1.,,n.OPON 321

r (2.105)

( ) p33

I

3

1ON 1321 ==σ+σ+σ= (2.106)

Caùc thaønh phaàn cuûa vectô NP ñöôïc cho bôûi

ONOPNP −= (2.107)

Nhöng ( )p,p,pnONON ==r (2.108)

Do ñoù, thay theá (2.108) vaøo (2.107),

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]p,p,p

p,p,p,,NP

321

321

−σ−σ−σ=

−σσσ= (2.109)

Duøng ñaúng thöùc (2.55), ta ruùt goïn (2.109) döôùi daïng

( )321 s,s,sNP = (2.110)

Do ñoù chieàu daøi ρ cuûa vectô NP ñöôïc cho bôûi

( ) 2

2/123

22

21 J2sssNP =++==ρ (2.111)

hoaëc, theo ñaúng thöùc (2.73),

oct3NP τ===ρ (2.112)

Do ñoù, caùc vectô ON vaø NP laàn löôït moâ taû caùc thaønh phaàn öùng suaát thuûy tónh (pδij) vaø caùc thaønh phaàn öùng suaát leäch (sij) cuûa traïng thaùi öùng suaát (σij) ñöôïc bieåu dieãn bôûi ñieåm P trong hình 2.8.

74

σ1’

σ2’ σ3’

π23

π23

θ

N

Q’ P

ρ θ = 312cos s ( )′ = − −

r

11

e 2, 1, 16

Baây giôø chuùng ta khaûo saùt caùc hình chieáu cuûa vectô NP vaø caùc hình chieáu cuûa truïc toïa ñoä σi treân maët phaúng leäch nhö ñöôïc veõ trong hình 2.9. Trong hình naøy, caùc truïc σ1’, σ2’, vaø σ3’ laø caùc hình chieáu cuûa caùc truïc σ1, σ2, vaø σ3 treân maët phaúng leäch, vaø NP laø hình chieáu cuûa vectô NP treân maët phaúng leäch. Do vectô ñôn vò ,

1er cuûa truïc σ1’ coù caùc hình chieáu treân caùc truïc σ1, σ2, vaø σ3 laø

( )1,1,26

1e,1 −−

=r

trong tröôøng hôïp naøy hình chieáu NQ’ cuûa vectô NP leân truïc σ1’ ñöôïc cho bôûi

( ) ( )1,1,26

1s,s,se.NPcosNP 321,1

, −−

==θρ=r

hoaëc ( )321 sss26

1cos −−=θρ (2.113)

Thay s2 + s3 = −s1 vaøo (2.113), ta coù

1s23cos =θρ (2.114)

Hình 2.9 Hình chieáu cuûa traïng thaùi öùng ñieåm leân maët phaúng leäch

Thay ρ töø (2.111) vaøo (2.114), ta nhaän ñöôïc

2

1

J

s

23cos =θ (2.115)

75

Duøng ñoàng nhaát thöùc löôïng giaùc cos3θ = 4cos3θ − 3cosθ vaø thay cosθ töø (2.115) seõ daãn ñeán keát quaû

−

=θ

2

1

3

2

1

J

s

233

J

s

2343cos

hoaëc ( )21312/3

2

JssJ2

333cos −=θ (2.116)

Thay J2 = –(s1s2 + s2s3 + s3s1) vaøo (2.116) ta ñöôïc

( )[ ]3213221

312/3

2

sssssssJ2

333cos +++=θ (2.117)

Cuoái cuøng, thay s2 + s3 = − s1 vaø J3 = s1s2s3 vaøo (2.113), ta nhaän ñöôïc

2/3

2

3

J

J

2333cos =θ (2.118)

Phöông trình (2.118) chæ ra raèng giaù trò cuûa cos3θ laø moät baát bieán ñöôïc lieân heä vôùi caùc baát bieán cuûa tenxô öùng suaát leäch J2 vaø J3. Baây giôø ta thaáy raèng moät traïng thaùi öùng suaát (σ1, σ2, σ3) coù theå ñöôïc bieåu dieãn bôûi (ξ, ρ, θ), chuùng ñöôïc xem nhö laø caùc toïa ñoä Haigh−Westergaard. Sau naøy, trong nhöõng thaûo luaän veà chaûy deûo vaø caùc ñieàu kieän phaù huûy, ξ, ρ, vaø θ ñöôïc duøng nhö laø nhöõng thoâng soá ñöôïc caàn ñeán ñeå moâ taû caùc haøm chaûy deûo vaø phaù huûy trong khoâng gian öùng suaát. Caùc moái quan heä giöõa (σ1, σ2, σ3) vaø (ξ, ρ, θ) coù theå ñöôïc thieát laäp trong caùch thöùc sau ñaây.

Töø phöông trình (2.115), ta bieát

θ= cosJ3

2s 21 (2.119)

Töông töï, caùc thaønh phaàn öùng suaát leäch s2 vaø s3 cuõng coù theå thu ñöôïc theo goùc θ. Töø hình 2.9, nhöõng thaønh phaàn naøy ñöôïc cho bôûi

θ−π

=3

2cosJ

3

2s 22 (2.120)

θ+π

=3

2cosJ

3

2s 23 (2.121)

Caùc quan heä naøy chæ ñöôïc thoûa chæ khi goùc naèm trong mieàn giaù trò (ñoái vôùi σ1 ≥ σ2 ≥ σ3)

76

Hình 2.10 Caân baèng cuûa vaät theå

X Y

O

Z

r

F

V

S

dS dV

rn

rn

T

3

0 π≤θ≤ (2.122)

Do caùc phöông trình (2.58), (2.103), (2.111), (2.119), (2.120), vaø (2.121), ba öùng suaát chính cuûa tenxô öùng suaát σij ñöôïc cho bôûi

π+θ

π−θ

θρ+

ξξξ

=

π+θ

π−θ

θ+

=

σσσ

32cos

32cos

cos

3

2

3

1

32cos

32

cos

cos

J3

2

p

p

p

2

3

2

1

(2.123)

2.1.10 Phöông trình caân baèng

Ñoái vôùi theå tích vaät lieäu baát kyø V vaø ñöôïc bao quanh bôûi dieän tích S, nhö ñöôïc chæ ra trong hình 2.10, ta coù phöông trình caân baèng sau:

∫ ∫ =+S V

i

n

i 0dVFdST (2.124)

Thay theá n

T töø (2.18), phöông trình (2.124) coù theå ñöôïc vieát nhö

∫ ∫ =+σS V

ijij 0dVFdSn (2.125)

Duøng ñònh lyù divergence

∫ ∫=S V

j,jjj dVudSnu (2.126)

77

Phöông trình (2.125) coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö

( ) 0dVFS

ij,ij =+σ∫ (2.127)

Vì theå tích V laø baát kyø, neân

0Fij,ij =+σ (2.128)

Phöông trình (2.128) coù theå ñöôïc khai trieån theo caùc kyù hieäu chæ soá (x, y, z)

0Fzyx

0Fzyx

0Fzyx

zzzyzx

yyzyyx

xxzxyx

=+∂σ∂

+∂

τ∂+

∂τ∂

=+∂

τ∂+

∂

σ∂+

∂

τ∂

=+∂τ∂

+∂

σ∂+

∂σ∂

(2.129)

2.2 TIEÂU CHUAÅN CHAÛY ÑOÄC LAÄP VÔÙI ÖÙNG SUAÁT THUÛY TÓNH

2.2.1 Caùc khaûo saùt toång quaùt

Tieâu chuaån chaûy ñònh nghóa caùc giôùi haïn ñaøn hoài cuûa vaät lieäu döôùi caùc traïng thaùi öùng suaát phöùc hôïp. Nhö chuùng ta bieát, giôùi haïn ñaøn hoài trong thí nghieäm keùo ñôn truïc laø öùng suaát chaûy σ0, trong luùc trong thí nghieäm tröôït thuaàn tuùy, laø öùng suaát tieáp chaûy τ0. Toång quaùt, giôùi haïn ñaøn hoài hoaëc öùng suaát chaûy laø moät haøm cuûa traïng thaùi öùng suaát, σij. Do ñoù, ñieàu kieän chaûy coù theå ñöôïc bieåu dieãn toång quaùt nhö

( ) 0,k,k,f 21ij =σ L (2.130)

ôû ñaây k1, k2,... laø nhöõng haèng soá vaät lieäu gioáng nhö σ0 vaø τ0, chuùng ñöôïc xaùc ñònh töø thí nghieäm.

Ñoái vôùi nhöõng vaät lieäu ñaúng höôùng, phöông cuûa caùc öùng suaát chính thì khoâng phuï thuoäc vaøo vaät lieäu, vaø nhöõng giaù trò cuûa caùc öùng suaát chính ñuû ñeå moâ taû traïng thaùi öùng suaát duy nhaát. Do ñoù moät tieâu chuaån chaûy coù daïng quan heä nhö sau ( ) 0,k,k,,,f 21321 =σσσ L (2.131)

Chuùng ta ñaõ bieát raèng ba öùng suaát chính σ1, σ2, vaø σ3 coù theå ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng caùc toå hôïp cuûa ba baát bieán öùng suaát I1, J2 vaø J3, ôû ñaây I1 laø baát bieán thöù nhaát cuûa tenxô öùng suaát σij vaø J2 vaø J3 laø caùc baát bieán thöù hai vaø thöù ba cuûa tenxô öùng suaát leäch sij. Do ñoù, phöông trình (2.131) coù theå ñöôïc thay theá bôûi ( ) 0,k,k,J,J,If 21321 =L (2.132)

78

Hình 2.11 Quyõ ñaïo chaûy treân maët phaúng σ1–σ2 ñöôïc taïo töø ñieåm khaûo saùt A1

σ1/σ

σ2/σ

a

a’

b’

b

A1

A2

A3

A4

C1

C2

C3

C4

B1

B2

B3

B4

++++

++++

++++

++++

++++ ++++

++++

++++

++++

++++

++++

++++

++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ -3 -2 -1

++++

++++

++++

++++

++++

++++ -1

-2

-3

1 2 3

1

2

3

Hôn nöõa, ba baát bieán chính naøy ñöôïc lieân heä tröïc tieáp vôùi caùc toïa ñoä ξ, ρ, θ trong khoâng gian öùng suaát [xem phöông trình (2.123)]. Do ñoù, phöông trình (2.132) cuõng coù theå ñöôïc vieát nhö

( ) 0,k,k,,,f 21 =θρξ L (2.133)

Caùc tieâu chuaån chaûy cuûa caùc loaïi vaät lieäu neân ñöôïc xaùc ñònh baèng thöïc nghieäm. Moät söï kieän thí nghieäm quan troïng ñoái vôùi caùc kim loaïi, ñöôïc chæ ra bôûi Bridgman vaø nhöõng ngöôøi khaùc [xem Hill (1950)], laø aûnh höôûng cuûa öùng suaát thuûy tónh ñeán chaûy deûo laø khoâng ñaùng keå. Söï khoâng coù aûnh höôûng cuûa öùng suaát thuûy tónh coù nghóa laø haøm chaûy deûo coù theå ñöôïc ruùt goïn ñeán daïng

( ) 0,k,k,J,Jf 2132 =L (2.134)

Moät ñöôøng cong öùng suaát-bieán daïng trong keùo ñôn truïc, töï noù, khoâng cung caáp moät thoâng tin naøo veà öùng xöû döôùi traïng thaùi öùng suaát phöùc hôïp. Caùc thí nghieäm öùng suaát phöùc hôïp, töông töï vôùi keùo ñôn truïc, ñöôïc cho laø nhöõng thí nghieäm tyû leä. Trong nhöõng thí nghieäm naøy, taát caû öùng suaát ñöôïc gia taêng moät caùch tyû leä. Thí duï, trong moät traïng thaùi öùng suaát song truïc, σ1 vaø σ2 ñöôïc gia taêng sao cho duy trì tyû soá σ1/σ2 laø haèng. Coù veû nhö chuùng ta seõ caàn bieåu dieãn moät soá thí nghieäm ñeå xaây döïng beà maët (quyõ tích) chaûy deûo. Tuy nhieân, chuùng ta seõ chæ ra raèng moät ñieåm treân beà maët chaûy coù theå ñöa ñeán söï gia taêng möôøi hai ñieåm (hình 2.11) neáu vaät lieäu thuoäc loaïi: (1) laø ñaúng höôùng, (2) laø ñoäc laäp vôùi öùng suaát thuûy tónh, vaø (3) coù nhöõng öùng suaát chaûy baèng nhau trong keùo vaø neùn.

79

Baây giôø giaû söû raèng vaät lieäu chaûy deûo ôû traïng thaùi öùng suaát (3σ, σ, 0). Ñieåm A1(3σ, σ, 0) trong hình 2.11 naèm treân beà maët chaûy vaø treân maët phaúng toïa ñoä σ1–σ2. Neáu vaät lieäu laø ñaúng höôùng, ta neân gaùn laïi teân cho caùc truïc theo caùch khaùc. Do ñoù ta keát luaän raèng ñieåm A2(σ, 3σ, 0) cuõng naèm treân beà maët chaûy. Hôn nöõa, neáu ñaùp öùng cuûa vaät lieäu töông töï vôùi keùo vaø neùn, caùc ñieåm A3(–3σ, –σ, 0) vaø A4(–σ, –3σ, 0) cuõng seõ naèm treân beà maët chaûy. Baây giôø khaûo saùt A1 vaø A2 hoaëc A3 vaø A4, ta thaáy raèng chuùng laø caùc aûnh ñoái xöùng göông qua ñöôøng thaúng aa’ chia ñoâi goùc phaàn tö thöù nhaát treân maët phaúng toïa ñoä σ1–σ2. Töông töï, A1 vaø A4 hoaëc A2 vaø A3 laø ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng bb’ vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng aa’. Do ñoù, coù hai truïc ñoái xöùng cho quyõ ñaïo chaûy.

Ngoaøi ra, neáu öùng suaát thuûy tónh khoâng aûnh höôûng ñeán chaûy deûo, ta coù theå coäng theâm moät traïng thaùi öùng suaát thuûy tónh, goïi laø (h, h, h), vaøo traïng thaùi öùng suaát chaûy ñeå taïo ra moät ñieåm chaûy khaùc. Thí duï, neáu moät aùp löïc thuûy tónh (–3σ, –3σ, –3σ) ñöôïc coäng theâm vaøo ñieåm öùng suaát chaûy (3σ, σ, 0), thì traïng thaùi öùng suaát (0, –2σ, –3σ) laø moät ñieåm chaûy khaùc. Baây giôø, ta thay ñoåi caùc toïa ñoä cuûa noù ñeán möùc moät ñieåm chaûy B1(–2σ, –3σ, 0) thu ñöôïc treân maët phaúng toïa ñoä σ1–σ2. Töông töï, ta coù theå nhaän ñöôïc ñieåm chaûy môùi khaùc C1(2σ, –σ, 0) treân maët phaúng toïa ñoä σ1–σ2 baèng caùch theâm (–σ, –σ, –σ) vaøo (3σ, σ, 0) vaø thay ñoåi caùc toïa ñoä moät caùch töông öùng. Cuoái cuøng, do tính ñoái xöùng, caùc ñieåm B1 vaø C1, nhö ñieåm A1, coù theå sinh ra boán ñieåm B1, B2, B3, B4, vaø C1, C2, C3, C4 moät caùch töông öùng naèm treân quyõ ñaïo chaûy deûo. Baây giôø, ta ñaõ taïo ra moät taäp hôïp möôøi hai ñieåm chaûy treân maët phaúng toïa ñoä σ1–σ2 töø moät ñieåm khaûo saùt. Noái caùc ñieåm chaûy naøy theo moät ñöôøng cong trôn, ta seõ döïng ra moät quyõ ñaïo chaûy nhö ñöôïc veõ trong hình 2.11. Chuù yù raèng, quyõ ñaïo naøy ñöôïc taïo töø chæ moät ñieåm khaûo saùt, noù coù theå ñöôïc xem nhö moät söï xaáp xæ cuûa haøm chaûy trong traïng thaùi öùng suaát song truïc cuûa vaät lieäu ñaúng höôùng, vôùi söï ñaùp öùng töông töï nhö keùo vaø neùn, vaø aùp löïc thuûy tónh khoâng coù aûnh höôûng ñeán chaûy deûo.

Chuùng ta ñaõ baøn luaän ñeán möùc daïng toång quaùt vaø vaøi neùt ñaëc tröng cuûa haøm chaûy. Caùc tieâu chuaån chaûy raát höõu duïng cuûa Tresca vaø von Mises cho caùc kim loaïi seõ ñöôïc nghieân cöùu trong nhöõng phaàn tieáp theo.

2.2.2 Tieâu chuaån chaûy Tresca

Veà maët lòch söû, tieâu chuaån chaûy ñaàu tieân cho traïng thaùi öùng suaát phöùc hôïp cuûa

80

kim loaïi ñaõ ñöôïc ñeà nghò vaøo naêm 1864 bôûi Tresca, oâng aáy ñaõ ñeà xuaát raèng chaûy deûo seõ xaûy ra khi öùng suaát tröôït cöïc ñaïi cuûa ñieåm ñaït ñeán giaù trò giôùi haïn k. Phaùt bieåu tieâu chuaån naøy theo caùc öùng suaát chính (xem muïc 2.1.4), moät nöûa giaù trò tuyeät ñoái lôùn nhaát cuûa caùc hieäu giöõa caùc caëp öùng suaát chính phaûi baèng k luùc chaûy deûo, nghóa laø

k21,

21,

21Max 133221 =

σ−σσ−σσ−σ (2.135)

ôû ñaây haèng soá vaät lieäu k coù theå xaùc ñònh töø thí nghieäm keùo ñôn truïc. Theá thì

2

k 0σ= (2.136)

trong ñoù σ0 laø öùng suaát chaûy trong thí nghieäm keùo ñôn truïc,

Coù saùu bieåu thöùc khaùc nhau trong nhöõng mieàn khaùc nhau cuûa maët phaúng σ1–σ2, phuï thuoäc vaøo caùc ñoä lôùn töông ñoái vaø caùc daáu cuûa σ1 vaø σ2 (xem hình 2.12). Trong goùc phaàn tö thöù nhaát, giöõa truïc σ1 vaø ñöôøng phaân giaùc cuûa hai truïc, theo quy öôùc thöù töï cuûa caùc öùng suaát chính ta coù

2

1max

σ=τ

Do ñoù, tieâu chuaån chaûy trôû thaønh σ1 = σ0 vaø taïo ra ñöôøng thaúng AB. Trong cuøng goùc phaàn tö thöù nhaát naøy, giöõa ñöôøng phaân giaùc cuûa hai truïc vaø truïc σ2, ta coù

2

2max

σ=τ

vaø tieâu chuaån chaûy σ2 = σ0 ñöôïc moâ taû bôûi ñöôøng thaúng BC. Trong goùc phaàn tö

81

thöù hai, ta coù

2

12max

σ−σ=τ

Do ñoù, tieâu chuaån chaûy trôû thaønh σ2 − σ1 = σ0, vaø ta thu ñöôøng thaúng CD. Baèng caùc thuû tuïc töông töï cho caùc goùc phaàn tö thöù ba vaø thöù tö, ta coù theå tìm ra raèng quyõ ñaïo chaûy cho öùng suaát phaúng laø luïc giaùc ABCDEF nhö ñöôïc veõ trong hình 2.12.

Ñeå bieåu dieãn beà maët chaûy trong khoâng gian öùng suaát chính, phöông trình (2.123) ñöôïc duøng ôû ñaây cho caùc öùng suaát chính. Giaû söû thöù töï cuûa caùc öùng suaát chính laø σ1 > σ2 > σ3, ta coù theå vieát laïi phöông trình (2.135) döôùi daïng

( ) k32coscosJ

3

121

231 =

π+θ−θ=σ−σ , (0 ≤ θ ≤ 60o) (2.137)

Khai trieån phöông trình naøy vaø chuù yù phöông trình (2.136), ta thu ñöôïc tieâu chuaån chaûy Tresca theo caùc baát bieán öùng suaát

( ) 031sinJ2,Jf 022 =σ−

π+θ=θ , (0 ≤ θ ≤ 60o) (2.138)

hoaëc theo caùc bieán ξ, ρ, θ,

82

Hình 2.14 Caùc beà maët chaûy trong khoâng gian öùng suaát chính

( ) 031sin2,f 0 =σ−

π+θρ=θρ (2.139)

σ2

σ1

σ3

Beà maët chaûy Tresca

Beà maët chaûy von Mises

Truïc thuûy tónh

Maët phaúng π

83

σx/σ0

τxy/σ0

1

0,577

0,5

von Mises ellipse (2.147)

Tresca ellipse (2.140)

Do aùp löïc thuûy tónh khoâng aûnh höôûng ñeán beà maët chaûy, phöông trình (2.138) hoaëc (2.139) phaûi ñoäc laäp vôùi öùng suaát thuûy tónh I1 hay ξ, noù moâ taû moät maët laêng truï coù truïc song song vôùi truïc thuûy tónh. Treân maët phaúng leäch, phöông trình (2.138) hoaëc (2.139) bieåu dieãn moät ñöôøng thaúng ñi qua ñieåm A (vôùi θ = 0, vaø

0)3/2( σ=ρ ) vaø ñieåm B (vôùi θ = 600, vaø 0)3/2( σ=ρ ), nhö ñöôïc bieåu dieãn

trong hình 2.13. Ñaây laø moät sector cuûa quyõ ñaïo chaûy treân maët phaúng leäch. Töông töï, ta coù naêm ñöôøng thaúng trong naêm sector coøn laïi cuûa quyõ ñaïo chaûy treân maët phaúng leäch, vaø thu ñöôïc moät luïc giaùc ñeàu ABCDEF. Baây giôø chuùng ta coù theå thaáy raèng beà maët chaûy laø moät laêng truï luïc giaùc ñeàu trong khoâng gian öùng suaát chính, nhö ñöôïc veõ trong hình 2.14. Quyõ ñaïo chaûy ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát song truïc (traïng thaùi öùng suaát phaúng) ñöôïc bieåu dieãn trong hình 2.12 laø giao tuyeán cuûa maët truï vôùi maët phaúng toïa ñoä σ3 = 0.

Do vaät lieäu ñaúng höôùng, nghóa laø khoâng caàn veõ beà maët chaûy trong khoâng gian öùng suaát toång quaùt (σij). Tuy nhieân, vaøi giao tuyeán giöõa caùc maët phaúng ñaëc bieät vôùi maët chaûy trong khoâng gian öùng suaát toång quaùt coù taàm quan troïng ñaùng keå, thí duï, giao tuyeán vôùi maët phaúng σx–τxy. Giao tuyeán naøy laø quyõ ñaïo chaûy ñoái vôùi öùng suaát phaùp vaø tieáp keát hôïp (hình 2.15), noù laø moät ellipse

20

2xy

2x 4 σ=τ+σ (2.140)

Caàn chuù yù raèng daïng baát bieán cuûa (2.137) cuõng coù theå ñöôïc bieåu dieãn moät caùch roõ raøng theo caùc baát bieán J2 vaø J3 nhö

0k64Jk96Jk36J27J4)J,J(f 62

422

223

3232 =−+−−= (2.141)

Hình 2.15 Giao tuyeán giöõa maët phaúng σx–τxy vôùi maët chaûy

84

2.2.3 Tieâu chuaån chaûy von Mises

Maëc duø tieâu chuaån öùng suaát tieáp cöïc ñaïi laø ñôn giaûn, noù khoâng phaûn aùnh aûnh höôûng cuûa öùng suaát chính thöù hai. ÖÙng suaát tieáp baùt dieän hoaëc naêng löôïng bieán ñoåi hình daùng laø moät söï löïa choïn thích hôïp khaùc ñoái vôùi öùng suaát tieáp cöïc ñaïi nhö laø bieán chính laøm chaûy deûo loaïi vaät lieäu ñoäc laäp vôùi öùng suaát thuûy tónh. Tieâu chuaån von Mises, ñöôïc ñeà nghò töø 1913, ñöôïc döïa treân söï löïa choïn naøy. Tieâu chuaån naøy phaùt bieåu raèng chaûy deûo seõ baét ñaàu khi öùng suaát tieáp baùt dieän ñaït ñeán giaù trò giôùi haïn k. Töø ñaúng thöùc (2.73), tieâu chuaån naøy coù daïng

k32J

32

2oct ==τ (2.142)

noù ñöôïc ruùt goïn veà daïng ñôn giaûn

0kJ)J(f 222 =−= (2.143)

hoaëc ñöôïc trình baøy theo caùc öùng suaát chính,

( ) ( ) ( ) 2213

232

221 k6=σ−σ+σ−σ+σ−σ (2.144)

ôû ñaây k laø öùng suaát chaûy trong tröôït thuaàn tuùy. Chaûy deûo seõ xaûy ra trong keùo ñôn truïc khi σ1 = σ0, σ2 = σ3 = 0. Thay caùc giaù trò naøy vaøo (2.144), ta tìm ñöôïc

3

k 0σ= (2.145)

Nhö ñaõ baøn luaän tröôùc ñaây ñoái vôùi vaät lieäu ñoäc laäp vôùi öùng suaát thuûy tónh, tieâu chuaån chaûy cho vaät lieäu ñaúng höôùng phaûi coù daïng toång quaùt cuûa phöông trình (2.134). Daïng toaùn ñôn giaûn nhaát töông thích vôùi yeâu caàu naøy laø phöông trình (2.143). Phöông trình naøy moâ taû hình truï troøn maø giao tuyeán cuûa noù vôùi maët phaúng leäch π laø ñöôøng troøn coù baùn kính k2=ρ .

Chuù yù raèng, haèng soá k, trong caû hai phöông trình (2.143) ñoái vôùi tieâu chuaån von Mises vaø (2.135) ñoái vôùi tieâu chuaån Tresca, laø öùng suaát chaûy trong tröôït thuaàn tuùy. Tuy nhieân, nhöõng moái quan heä giöõa öùng suaát chaûy trong keùo ñôn truïc, σ0, vaø thoâng soá k ñöôïc xaùc ñònh bôûi (2.136) cuûa tieâu chuaån Tresca vaø bôûi (2.145) cuûa tieâu chuaån von Mises laø khaùc nhau. Neáu hai tieâu chuaån ñöôïc laøm cho phuø hôïp vôùi öùng suaát chaûy keùo ñôn truïc σ0, heä soá cuûa öùng suaát chaûy trong tröôït, k, giöõa tieâu chuaån von Mises vaø Tresca laø 15,1)3/2( = vaø veà ñoà thò, ñöôøng troøn von Mises seõ ngoaïi tieáp vôùi luïc giaùc Tresca nhö ñöôïc veõ trong hình 2.13. Tuy nhieân, neáu hai tieâu chuaån ñöôïc laøm cho phuø hôïp vôùi tröôøng hôïp tröôït thuaàn tuùy (cuøng giaù trò k), voøng troøn seõ noäi tieáp luïc giaùc. Tieâu chuaån von Mises ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát song truïc (öùng suaát phaúng) ñöôïc moâ taû bôûi giao tuyeán cuûa hình truï troøn vôùi maët phaúng toïa ñoä σ3 = 0, nghóa laø

85

2021

22

21 σ=σσ−σ+σ (2.146)

Ñaây laø moät ellipse vaø noù ñöôïc bieåu dieãn trong hình 2.12. Giao tuyeán cuûa beà maët chaûy von Mises trong khoâng gian öùng suaát toång quaùt vôùi maët phaúng σx-τxy cuõng laø moät ellipse, phöông trình cuûa noù coù daïng

20

2xy

2x 3 σ=τ+σ (2.147)

nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 2.15.

Thí duï 2.4 Moät oáng truï thaønh moûng baèng theùp vôùi ñöôøng kính D = 0,508m vaø chieàu daøy thaønh oáng t = 6,35.10-3m chòu aùp suaát beân trong p nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 2.16a. Hai ñaàu oáng ñöôïc ñoùng kín. ÖÙng suaát chaûy cuûa theùp laø σ0 = 225.106N/m2. Tìm aùp suaát py ñeå oáng baét ñaàu chaûy deûo theo tieâu chuaån chaûy (a) Tresca vaø (b) von Mises.

Giaûi

Traïng thaùi öùng suaát ñoái vôùi phaân toá ôû thaønh cuûa oáng moûng chòu aùp löïc ñöôïc xem laø traïng thaùi öùng suaát phaúng nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 2.16b, trong ñoù öùng suaát phaùp theo phöông chu vi oáng σc vaø öùng suaát phaùp theo phöông doïc truïc σa ñöôïc cho bôûi

t4

pD,

t2

pDac =σ=σ (2.148)

maëc duø aùp suaát beân trong taùc ñoäng leân thaønh oáng gaây ra öùng suaát neùn cuïc boä baèng vôùi aùp löïc p naøy. Thöïc ra, traïng thaùi öùng suaát khoái toàn taïi treân maët trong oáng. Tuy nhieân, ñoái vôùi oáng thaønh moûng, D/t >> 1, öùng suaát theo phöông höôùng kính naøy, σr = p, thì nhoû hôn nhieàu so vôùi σa vaø σc vaø do ñoù ñöôïc boû qua.

Hình 2.16 a) OÁng truï thaønh moûng chòu aùp löïc b) Phaân toá öùng suaát phaúng ôû thaønh oáng

86

a) Tieâu chuaån chaûy Tresca: Theo quy öôùc veà thöù töï caùc öùng suaát chính, ta coù

σ1 = σc, σ2 = σa, σ3 = σr = 0 (2.149)

Do ñoù, tieâu chuaån chaûy Tresca ñöôïc dieãn giaûi nhö

222

0c31max

σ=

σ=

σ−σ=τ (2.150)

Thay phöông trình (2.148) vaøo (2.150), ta tìm ñöôïc aùp suaát chaûy deûo py nhö

266

0y m/N10.625,5

508,0

)10.225()00635,0()2(

D

t2p ==

σ=

b) Tieâu chuaån chaûy von Mises: Ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát phaúng, tieâu chuaån chaûy von Mises döôùi daïng phöông trình (2.146) seõ ñöôïc duøng, nghóa laø

20ac

2a

2c σ=σσ−σ+σ (2.151)

Thay theá phöông trình (2.148) vaøo (2.151) seõ daãn ñeán

202

22

2

22

2

22

t8

Dp

t4

Dp

t16

Dpσ=−+

AÙp suaát chaûy deûo thu ñöôïc nhö

2660y m/N10.495,6)10.225(

508,0

)00635,0(

3

4

D

t

3

4p ==σ=

Thí duï 2.5 Moät taám vôùi moät ñöôøng thaúng nöùt daøi 2a chòu moät taûi öùng suaát phaúng ôû voâ haïn nhö ñöôïc veõ treân hình 2.17a. Neáu goác toïa ñoä ñöôïc ñònh vò ôû ñænh veát nöùt, tröôøng öùng suaát ôû gaàn veát nöùt coù theå ñöôïc bieåu dieãn bôûi

2cos

23cos

2sin

r2

K

23sin

2sin1

2cos

r2

K

23sin

2sin1

2cos

r2

K

1xy

1y

1x

θθθπ

=τ

θθ+θ

π=σ

θθ−θ

π=σ

(2.152)

ôû ñaây K1 laø heä soá taäp trung öùng suaát.

Haõy xaùc ñònh bieân vuøng bieán daïng deûo döïa treân (a) tieâu chuaån chaûy Tresca vaø (b) tieâu chuaån chaûy von Mises.

Giaûi

a) Tieâu chuaån chaûy Tresca: Ñaàu tieân ta phaûi xaùc ñònh caùc öùng suaát chính töø voøng troøn Mohr öùng suaát nhö sau

( )yx2,1 21

σ±σ+σ=σ

Thay (2.152) vaøo caùc coâng thöùc treân, ta thu ñöôïc

87

2xy

2yx

2τ+

σ−

Thay (2.152) vaøo caùc coâng thöùc treân, ta thu ñöôïc

88

θ−θ

π=σ

θ+θ

π=σ

2sin1

2cos

r2

K

2sin1

2cos

r2

K

12

11

(2.153)

(i) Tröôøng hôïp öùng suaát phaúng: töø σ3 = 0, ta coù

σ1 > σ2 > σ3 = 0 ñoái vôùi 0 ≤ θ ≤ π

vaø theo tieâu chuaån chaûy Tresca

01

1 2sin1

2cos

r2

Kσ=

θ+θ

π=σ (2.154)

Bieân vuøng bieán daïng deûo thu ñöôïc nhö

2

2

20

21

2sin1

2cos

2

Kr

θ+θ

πσ= (2.155)

(ii) Tröôøng hôïp bieán daïng phaúng:

σ3 = ν(σx + σy) = ν(σ1 + σ2) (2.156)

Ñoái vôùi ν < 0,5, σ1 luoân laø öùng suaát chính lôùn nhaát. Tuy nhieân, ñoái vôùi σ2 vaø σ3, coù hai khaû naêng, nghóa laø,

σ1 > σ2 > σ3 hoaëc σ1 > σ3 > σ2

phuï thuoäc vaøo giaù trò cuûa heä soá Poisson ν.

Neáu σ1 > σ2 > σ3, ñieàu kieän

σ1(1 − ν) − νσ2 = σ0 (2.157)

chi phoái chaûy deûo. Thay theá phöông trình (2.153) vaøo phöông trình (2.157) vaø saép xeáp laïi seõ ñöa ñeán bieåu thöùc xaùc ñònh bieân cuûa vuøng deûo:

2

2

20

21

1 2sin)21(

2cos

2

Kr

θ+ν−θ

πσ= (2.158)

Maëc khaùc, neáu σ1 > σ3 > σ2, ñieàu kieän chaûy deûo trôû thaønh

σ1 − σ2 = σ0 (2.159)

vaø bieân vuøng chaûy deûo thu ñöôïc döôùi daïng

θπσ

= 2

20

21

2 sin2

Kr (2.160)

Toùm laïi, bieân vuøng chaûy deûo thöïc r ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch laáy giaù trò lôùn hôn

89

trong hai giaù trò r1 vaø r2 ñöôïc cho bôûi phöông trình (2.158) vaø (2.160), phuï thuoäc vaøo giaù trò cuûa heä soá Poisson.

b) Tieâu chuaån von Mises: Ta ñaõ xaùc ñònh ñöôïc ba öùng suaát chính σ1, σ2, vaø σ3. Quy trình ñeå thu ñöôïc bieân vuøng chaûy deûo hoaøn toaøn khoâng phöùc taïp.

(i) Tröôøng hôïp öùng suaát phaúng: Thay phöông trình (2.153) vaø σ3 = 0 vaøo ñieàu kieän chaûy deûo von Mises ñöôïc cho bôûi phöông trình (2.144) vaø (2.145) vaø saép xeáp laïi seõ daãn ñeán

θ+θ

πσ=

2sin31

2cos

2

Kr 22

20

21 (2.161)

(ii) Tröôøng hôïp bieán daïng phaúng: Duøng phöông trình (2.156) cho σ3 vaø thöïc hieän theo thuû tuïc töông töï, ta nhaän ñöôïc

θ+ν−θ

πσ=

2sin3)21(

2cos

2

Kr 222

20

21 (2.162)

Caùc bieân vuøng chaûy deûo ñöôïc cho bôûi caùc phöông trình (2.155), (2.158), (2.160), (2.161) vaø (2.162) ñöôïc veõ phaùc ñoái vôùi ν = 0,25 döôùi daïng cuûa heä soá voâ thöù nguyeân )K/2(r 2

120πσ trong hình 2.17b.

2.2.3 Bình luaän veà tieâu chuaån chaûy Tresca vaø von Mises

Hình 2.18 Thí nghieäm cuûa Osgood treân caùc oáng thaønh moûng döôùi taùc ñoäng cuûa taûi keùo vaø aùp löïc trong oáng

Ñoái vôùi vaät lieäu ñaúng höôùng maø söï chaûy deûo cuûa noù ñoäc laäp vôùi aùp löïc thuûy tónh thì tieâu chuaån chaûy phaûi laø hình truï vôùi ñöôøng sinh song song vôùi truïc thuûy tónh. Do ñoù, hình daïng ñaày ñuû cuûa beà maët chaûy ñöôïc xaùc ñònh bôûi maët caét ngang vôùi maët phaúng leäch. Hôn nöõa, neáu caùc öùng suaát chaûy khi keùo vaø neùn baèng nhau, moät

90

maët caét nhö theá phaûi coù saùu truïc ñoái xöùng nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 2.13. Ñieàu naøy laøm cho moät maët caét ñieån hình coù theå ñöôïc xaùc ñònh qua thöïc nghieäm baèng caùch khaûo saùt tæ mæ chæ moät trong nhöõng cung 300. Treân cô sôû cuûa caùc khaûo saùt veà naêng löôïng, coù theå thaáy raèng ñoái vôùi moät lôùp roäng caùc vaät lieäu, beà maët chaûy phaûi loài (xem chöông 3 vaø 4). Neáu chuùng ta thöøa nhaän thöïc teá laø beà maët chaûy loài, noù phaûi naèm giöõa hai luïc giaùc ñöôïc bieåu thò trong hình 2.13. Luïc giaùc Tresca trong roõ raøng laø bieân trong treân beà maët chaûy, vaø hình truï von Mises cho giaù trò gaàn trung bình giöõa caùc bieân ngoaøi vaø trong.

Toùm laïi, treân cô sôû cuûa boán giaû thieát: (1) ñaúng höôùng, (2) ñoäc laäp vôùi aùp löïc thuûy tónh, (3) öùng suaát chaûy khi keùo vaø neùn baèng nhau, vaø (4) beà maët chaûy loài, daïng toång quaùt cuûa beà maët chaûy coù theå ñöôïc xaùc ñònh roõ raøng, vaø hình truï von Mises khoâng theå sai leäch nhieàu so vôùi beà maët chaûy thaät f(J2, J3) = 0.

Thöïc teá, coù nhieàu keát quaû thí nghieäm chæ ra raèng nhöõng ñieåm chaûy rôi giöõa luïc giaùc Tresca vaø voøng troøn von Mises vaø gaàn vôùi voøng troøn von Mises hôn. Vaøo naêm 1947 Osgood, trong soá nhieàu ngöôøi khaùc, ñaõ tieán haønh caùc thí nghieäm ñaët taûi höôùng kính treân nhöõng oáng nhoâm thaønh moûng, vaø nhöõng keát quaû ñöôïc töông quan vôùi öùng suaát tieáp töông ñöông ñöôïc ñònh nghóa bôûi

( ) 632

23

oct6 2

332eq

J

J25,21J25,2J

32 −

τ=−=τ (2.163)

Ñoà thò cuûa τeq theo bieán daïng tröôït baùt dieän γoct, nhö ñöôïc bieåu thò trong hình 2.18, cho thaáy raèng öùng suaát tieáp töông ñöông τeq laø moät thoâng soá toát ñeå moâ taû chaûy deûo cuõng nhö bieán cöùng cuûa vaät lieäu. Tieâu chuaån chaûy ñöôïc bieåu dieãn nhö

623

32 kJ25,2J =− (2.164)

ôû ñaây k laø öùng suaát chaûy trong tröôït thuaàn tuùy, noù ñöôïc lieân heä vôùi öùng suaát chaûy σ0 trong keùo ñôn truïc bôûi

06

812k σ= (2.165)

So saùnh vôùi k = 0,5σ0 cuûa Tresca vaø k = 0,577σ0 cuûa von Mises, öùng suaát chaûy trong tröôït thuaàn tuùy rôi giöõa caùc giaù trò ñöôïc döï ñoaùn bôûi Tresca vaø von Mises. Ñöôøng cong chaûy cuûa phöông trình (2.165) nhö ñöôïc veõ trong hình 2.13 naèm giöõa luïc giaùc Tresca vaø voøng troøn von Mises vaø ñi qua haàu heát caùc ñieåm thí nghieäm.

2.3 TIEÂU CHUAÅN PHAÙ HUÛY CHO CAÙC VAÄT LIEÄU PHUÏ THUOÄC AÙP LÖÏC THUÛY TÓNH

91

2.3.1 Nhöõng ñaëc tröng cuûa beà maët phaù huûy cuûa vaät lieäu ñaúng höôùng

Söï phaù huûy cuûa vaät lieäu thöôøng ñöôïc xaùc ñònh döôùi daïng khaû naêng chòu taûi cuûa noù. Tuy nhieân, ñoái vôùi nhöõng vaät lieäu deûo lyù töôûng, bieán daïng deûo haøm yù laø phaù huûy, vì theá öùng suaát chaûy cuõng laø giôùi haïn beàn.

Nhö trong tröôøng hôïp cuûa caùc tieâu chuaån chaûy, daïng toång quaùt cuûa tieâu chuaån phaù huûy coù theå ñöôïc cho bôûi phöông trình (2.130) ñoái vôùi caùc vaät lieäu baát ñaúng höôùng vaø bôûi phöông trình (2.131) ñoái vôùi caùc vaät lieäu ñaúng höôùng. Nhö ta ñaõ bieát, chaûy deûo cuûa haàu heát caùc kim loaïi deûo khoâng phuï thuoäc vaøo öùng suaát thuûy tónh. Tuy nhieân, öùng xöû cuûa nhieàu vaät lieäu phi kim loaïi, chaúng haïn nhö ñaát, ñaù, vaø beâ toâng, ñöôïc ñaëc tröng bôûi söï phuï thuoäc aùp löïc thuûy tónh cuõa noù. Do ñoù, baát bieán öùng suaát I1 hoaëc ξ khoâng neân ñöôïc boû ra khoûi phöông trình (2.132) vaø (2.133) moät caùch töông öùng.

Daïng toång quaùt cuûa beà maët phaù huûy, f(I1, J2, J3) = 0 hoaëc f(ξ, ρ, θ) = 0, trong khoâng gian öùng suaát ba chieàu coù theå ñöôïc moâ taû bôûi caùc hình daùng maët caét ngang cuûa noù trong nhöõng maët phaúng leäch vaø caùc kinh tuyeán cuûa noù trong nhöõng maët phaúng kinh tuyeán. Nhöõng maët caét ngang cuûa caùc beà maët phaù huûy laø nhöõng ñöôøng cong giao tuyeán giöõa beà maët naøy vaø maët phaúng leäch vuoâng goùc vôùi truïc thuûy tónh vôùi ξ = const. Caùc kinh tuyeán cuûa beà maët phaù huûy laø caùc ñöôøng cong giao tuyeán giöõa beà maët naøy vaø maët phaúng chöùa truïc thuûy tónh (maët phaúng kinh tuyeán).

Ñoái vôùi vaät lieäu ñaúng höôùng, caùc nhaõn hieäu 1, 2, 3 ñöôïc gaén cho caùc truïc toïa ñoä laø tuøy yù; ñieàu naøy laøm cho hình daùng maët caét ngang cuûa beà maët phaù huûy phaûi coù ba truïc ñoái xöùng nhö ñöôïc bieåu thò trong hình 2.19b. Do ñoù, khi bieåu dieãn caùc thí nghieäm, chæ caàn khaûo saùt tæ mæ moät cung coù θ = 0÷600, nhöõng cung coøn laïi seõ ñöôïc suy ra töø tính chaát ñoái xöùng.

Cung tieâu bieåu ñöôïc bieåu thò trong hình 2.19b, bôûi ñöôøng ñaäm töông öùng vôùi quy öôùc veà thöù töï cuûa caùc öùng suaát chính, σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. Trong thöù töï naøy coù hai tröôøng hôïp ñaëc bieät:

σ1 = σ2 > σ3 (2.166)

vaø σ1 > σ2 = σ3 (2.167)

töông öùng vôùi θ1 = 600 vaø θ2 = 00. Ñeå bieåu dieãn ñieàu naøy, ta thay theá caùc phöông trình (2.166) vaø (2.167) vaøo phöông trình (2.115) vaø laàn löôït nhaän ñöôïc

( ) 2

1

6232

2

J

s

23cos

231

311

2

11 =

σ−σ

σ−σ−σ==θ

92

vaø ( )

1

62

32

2cos

231

3312 =

σ−σ

σ−σ−σ=θ

Kinh tuyeán töông öùng vôùi θ1 = 600 ñöôïc goïi laø kinh tuyeán neùn trong ñoù phöông trình (2.166) giôùi thieäu moät traïng thaùi öùng suaát töông öùng vôùi traïng thaùi öùng suaát thuûy tónh vôùi öùng suaát neùn ñöôïc ñaët choàng theo moãi höôùng. Kinh tuyeán ñöôïc ñònh bôûi θ = 00, töông öùng vôùi phöông trình (2.167), giôùi thieäu moät traïng thaùi öùng suaát töông öùng vôùi traïng thaùi öùng suaát thuûy tónh vôùi öùng suaát keùo ñöôïc ñaët choàng theo moãi höôùng vaø do ñoù ñöôïc goïi laø kinh tuyeán keùo.

Hôn nöõa, kinh tuyeán ñöôïc ñònh bôûi θ = 300 ñoâi khi ñöôïc goïi laø kinh tuyeán tröôït. Noù cuõng suy ra töø vieäc xaùc ñònh cosθ trong phöông trình (2.115) vaø laøm phöông

trình naøy ñöôïc thoûa ñoái vôùi θ = 300, khi caùc öùng suaát laø σ1, 2

31 σ+σ vaø σ3, ñaây

laø traïng thaùi öùng suaát tröôït thuaàn tuùy ( )1331 ,0,21 σ−σσ−σ vaø ñöôïc ñaët choàng

theâm moät traïng thaùi öùng suaát thuûy tónh ( )3121 σ+σ .

Döïa treân nhöõng khaûo saùt ôû treân, moät daïng toång quaùt cuûa beà maët phaù huûy ñoái vôùi vaät lieäu ñaúng höôùng coù theå ñöôïc minh hoïa trong khoâng gian öùng suaát Haigh−Westergaard nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 2.19a. Chuùng ta seõ khaûo saùt vieäc naøy chi tieát hôn trong caùc chöông sau.

2.3.2 Tieâu chuaån öùng suaát keùo cöïc ñaïi (Rankine)

Tieâu chuaån öùng suaát keùo cöïc ñaïi cuûa Rankine, ñöôïc ñeà nghò töø naêm 1876, noùi chung ñöôïc thöøa nhaän cho ñeán ngaøy nay ñeå xaùc ñònh coù söï phaù huûy keùo xaûy ra

93

ñoái vôùi vaät lieäu gioøn hay khoâng. Theo tieâu chuaån naøy, phaù huûy gioøn xaûy ra khi öùng suaát chính cöïc ñaïi ôû moät ñieåm beân trong vaät lieäu ñaït ñeán giaù trò baèng vôùi ñoä beàn keùo σ0 nhö ñöôïc tìm thaáy trong thí nghieäm keùo ñôn truïc, maø khoâng caàn quan taâm ñeán caùc öùng suaát phaùp hoaëc tieáp ôû treân caùc maët phaúng khaùc ñi qua ñieåm naøy. Caùc phöông trình cho beà maët phaù huûy ñöôïc xaùc ñònh theo tieâu chuaån naøy laø

σ1 = σ0, σ2 = σ0, σ3 = σ0 (2.168)

94

chuùng taïo ra ba maët phaúng laàn löôït vuoâng goùc vôùi caùc truïc σ1, σ2 vaø σ3 nhö ñöôïc bieåu dieãn treân hình 2.20a. Beà maët naøy seõ ñöôïc xem nhö laø beà maët phaù huûy keùo hoaëc giôùi haïn keùo ñôn truïc. Khi caùc bieán ξ, ρ, θ hoaëc I1, J2, θ ñöôïc duøng, beà maët phaù huûy coù theå ñöôïc moâ taû moät caùch ñaày ñuû bôûi caùc phöông trình sau ñaây beân trong mieàn 0 ≤ θ ≤ 600 baèng caùch duøng phöông trình (2.123).

( ) 03IcosJ32,J,If 01221 =σ−+θ=θ (2.169)

hoaëc moät caùch töông töï

( ) 03cos2,,f 0 =σ−ξ+θρ=θρξ (2.170)

Caùc hình (2.20b vaø c) bieåu thò hình daùng maët caét ngang treân maët phaúng π (ξ = 0) vaø caùc kinh tuyeán keùo (θ = 00) vaø neùn (θ = 600) cuûa beà maët phaù huûy.

95

Nhö chuùng ta bieát, vaøi vaät lieäu phi kim loaïi, nhö beâ toâng, ñaù vaø ñaát, coù ñoä beàn neùn toát. Döôùi taùc ñoäng cuûa taûi neùn vôùi aùp suaát choàng chaäp, loaïi vaät lieäu naøy thaäm chí coù theå bieåu thò vaøi öùng xöû phaù huûy deûo vaø tröôït. Tuy nhieân, döôùi taùc ñoäng cuûa taûi keùo öùng xöû phaù huûy gioøn vôùi ñoä beàn keùo raát thaáp ñöôïc ghi nhaän. Do ñoù, tieâu chuaån Rankine ñoâi khi ñöôïc keát hôïp vôùi tieâu chuaån Tresca hoaëc von Mises ñeå xaáp xæ öùng xöû phaù huûy cuûa caùc vaät lieäu nhö theá. Caùc tieâu chuaån keát hôïp ñöôïc xem nhö tieâu chuaån Tresca hoaëc von Mises vôùi giôùi haïn keùo, vaø söï nhöõng bieåu dieãn ñoà hoïa cuûa chuùng bao goàm hai beà maët, töông öùng vôùi öùng xöû keát hôïp cuûa söï phaù huûy tröôït khi chòu neùn vaø söï phaù huûy khi chòu keùo. Moät thí duï cuûa nhöõng beà maët phaù huûy nhö theá ñöôïc bieåu dieãn trong hình 2.21, trong ñoù ñoä beàn neùn ñöôïc giaû söû lôùn gaáp ba laàn ñoä beàn keùo.

2.3.3 Tieâu chuaån Mohr−−−−Coulomb

Tieâu chuaån Mohr, ñöôïc ñeà nghò töø 1900, coù theå ñöôïc xem nhö phieân baûn ñöôïc toång quaùt hoùa cuûa tieâu chuaån Tresca. Caû hai tieâu chuaån ñeàu döïa treân giaû thieát raèng öùng suaát tieáp cöïc ñaïi laø thöôùc ño quyeát ñònh duy nhaát cuûa söï phaù huûy saép xaûy ñeán. Tuy nhieân, trong khi tieâu chuaån Tresca giaû söû raèng giaù trò giôùi haïn cuûa öùng suaát tieáp laø haèng soá, tieâu chuaån phaù huûy Mohr xem öùng suaát tieáp giôùi haïn τ trong moät maët phaúng laø moät haøm cuûa öùng suaát phaùp σ trong cuøng maët phaúng ôû moät ñieåm, nghóa laø,

)(f σ=τ (2.171)

ôû ñaây f(σ) laø moät haøm ñöôïc xaùc ñònh baèng thí nghieäm.

96

Veà maët bieåu dieãn ñoà thò theo Mohr cuûa traïng thaùi öùng suaát, phöông trình (2.171) coù nghóa laø söï phaù huûy cuûa vaät lieäu seõ xaûy ra neáu baùn kính cuûa voøng troøn chính lôùn nhaát tieáp xuùc vôùi ñöôøng cong bao f(σ) nhö ñöôïc bieåu thò trong hình 2.22. Traùi vôùi tieâu chuaån Tresca, tieâu chuaån Mohr keå ñeán aûnh höôûng cuûa öùng suaát trung bình hoaëc öùng suaát thuûy tónh.

Daïng ñôn giaûn nhaát cuûa ñöôøng bao Mohr f(σ) laø ñöôøng thaúng, ñöôïc minh hoïa trong hình 2.23. Phöông trình cho ñöôøng bao thaúng ñöôïc Coulomb ñeà nghò vaøo 1773,

φσ−=τ tanc (2.172)

trong ñoù c laø löïc dính keát vaø φ laø goùc ma saùt noäi; caû hai laø caùc haèng soá vaät lieäu vaø ñöôïc xaùc ñònh baèng thí nghieäm. Tieâu chuaån phaù huûy ñöôïc lieân keát vôùi phöông trình (2.172) seõ ñöôïc xem laø tieâu chuaån Mohr− Coulomb. Trong tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa vaät lieäu khoâng ma saùt, φ = 0, phöông trình (2.172) ruùt goïn veà tieâu chuaån öùng suaát tieáp cöïc ñaïi cuûa Tresca, τ = c, vaø löïc dính keát seõ baèng vôùi öùng suaát chaûy trong tröôït thuaàn tuùy c = k.

Töø phöông trình (2.172) vaø ñoái vôùi σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, tieâu chuaån Mohr− Coulomb coù theå ñöôïc vieát nhö

( ) ( ) φ

φσ−σ

+σ+σ=φσ−σ tansin22

1ccos21 31

3131 (2.173)

hoaëc saép xeáp laïi

1cosc2

sin1

cosc2

sin131 =

φφ−σ−

φφ+σ (2.174)

Neáu ta ñònh nghóa

φ−φ=

sin1

cosc2f ,

c (2.175)

φ+φ=

sin1

cosc2f ,

t (2.176)

Phöông trình (2.174) coù theå ñöôïc ruùt goïn hôn döôùi daïng

1ff ,

c

3,t

1 =σ

−σ (2.177)

Töø (2.177) ta thaáy raèng ft’ vaø fc’ laàn löôït laø ñoä beàn khi keùo vaø neùn ñôn truïc.

Ñeå thuaän tieän, ñoâi khi ta söû duïng thoâng soá m ñöôïc ñònh nghóa nhö

φ−φ+==

sin1

sin1

f

fm

,t

,c

Hình 2.22 Söï bieåu dieãn ñoà thò cuûa tieâu chuaån

Hình 2.23 Tieâu chuaån Mohr−Coulomb

Theá thì phöông trình (2.177) coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng

,c31 fm =σ−σ ñoái vôùi σ

Töông töï nhö ñaõ laøm vôùi tieâu chuaån vôùi tieâu chuaån Mohr−Coulomb trong maët phaúng (döïa treân phöông trình (2.179) ñoái vôùi vaøi giaù trò cuûa m. Caùc quyõ ñaïo phaù huûy laø nhöõng luïc giaùc khoâng ñeàu nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 2.24.

97

Ñöôøng bao phaù huûy

(2.178)

Söï bieåu dieãn ñoà thò cuûa tieâu chuaån Mohr

Coulomb vôùi ñöôøng bao phaù huûy thaúng

Theá thì phöông trình (2.177) coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng

σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 (2.179)

Töông töï nhö ñaõ laøm vôùi tieâu chuaån Tresca, σ1 − σ3 = σ0, quyõ ñaïo phaù huûy ñoái trong maët phaúng (σ1, σ2) coù theå ñöôïc veõ phaùc

döïa treân phöông trình (2.179) ñoái vôùi vaøi giaù trò cuûa m. Caùc quyõ ñaïo phaù huûy laø nhöõng luïc giaùc khoâng ñeàu nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 2.24.

98

Ñeå bieåu thò hình daùng ba chieàu Mohr−Coulomb, ta duøng laïi phöông trình (2.123) vaø vieát laïi phöông trình (2.174) döôùi daïng

Hình 2.24 Tieâu chuaån Mohr−

cos

3

J

sinI31),J,I(f

2

121

θ+

+φ=θ

hoaëc moät caùch töông ñöông theo caùc bieán

3cos

sin2),,(f

π+θρ+

+φξ=θρξ

vôùi 0 ≤ θ ≤ π/3.

Trong khoâng gian öùng suaát chính, phöông trình treân bieåu dieãn moät hình choùp luïc giaùc khoâng ñeàu. Caùc kinh tuyeán cuûa noù laø nhöõng ñöôøng thaúng (hình 2.25a), vaø maët caét ngang cuûa noù trong maët phaúng veõ luïc giaùc naøy chæ caàn hai chieàu daøi tieâu bieåu: ñöôïc moät caùch tröïc tieáp töø phöông trình (2.181) vôùi 0, θ = 600, ρ = ρc0. Baèng caùch duøng caùc phöông trình (2.175nhöõng daïng khaùc cho ρt0 vaø ρc0 treân maët phaúng

cuûa beà maët phaù huûy cuûa tieâu chuaån , ta duøng laïi phöông trình (2.123) vaø vieát laïi phöông trình (2.174)

−Coulomb trong maët phaúng σ3 = 0

0coscsin3

3sinJ2

=φ−φπ+

π+θ

(2.180)

hoaëc moät caùch töông ñöông theo caùc bieán ξ, ρ, θ:

0cosc6sin3

3sin3

=φ−φπ

π+θρ

(2.181)

Trong khoâng gian öùng suaát chính, phöông trình treân bieåu dieãn moät hình choùp luïc giaùc khoâng ñeàu. Caùc kinh tuyeán cuûa noù laø nhöõng ñöôøng thaúng (hình 2.25a), vaø maët caét ngang cuûa noù trong maët phaúng π laø luïc giaùc khoâng ñeàu (hình 2.25b). Ñeå veõ luïc giaùc naøy chæ caàn hai chieàu daøi tieâu bieåu: ρt0 vaø ρc0, chuùng coù theå nhaän ñöôïc moät caùch tröïc tieáp töø phöông trình (2.181) vôùi ξ = 0, θ = 00, ρ = ρt0 vaø ξ =

. Baèng caùch duøng caùc phöông trình (2.175) vaø (2.176), ta coù treân maët phaúng π:

99

a) Maët phaúng kinh tuyeán θ = 00 b) Maët phaúng π

( )φ+

φ−=

φ+φ

=ρsin3

sin1f6

sin3

cosc62,c

0t (2.182)

Hình 2.25 Bieåu dieãn ñoà thò cuûa tieâu chuaån Mohr−Coulomb trong khoâng gian öùng suaát chính

( )φ−

φ−=

φ−φ

=ρsin3

sin1f6

sin3

cosc62,c

0c (2.183)

vaø tyû soá cuûa caùc chieàu daøi naøy ñöôïc cho bôûi

φ+φ−

=ρρ

sin3

sin3

0c

0t (2.184)

Hình 2.26 Caùc ñöôøng phaù huûy ñoái vôùi tieâu chuaån Mohr−Coulomb trong caùc maët phaúng leäch

100

Hình 2.27 Tieâu chuaån a) Maët phaúng kinh tuyeán,

Moät hoï caùc maët caét ngang Mohr−Coulombcuûa φ ñöôïc cho trong hình 2.26, ôû ñaây caùc öùng suaát ñaõ ñöôïc bình thöôøng hoùa ñoái vôùi ñoä beàn neùn fc’. Roõ raøng, caùc luïc giaùc ñöôïc bieåu thò trong hình 2.24 laø caùc giao tuyeán cuûa hình choùp vôùi maët phaúng toïa ñoä caùch töông ñöông, khi φ = 0 hay m = 1), luïc giaùc treân neân ñoàng nhaát vôùi luïc giaùc Tresca.

Ñeå thu ñöôïc söï xaáp xæ toát hôn khi caùc öùng suaát keùo xaûy ra, ñoâi khi ta keát hôïp tieâu chuaån Mohr−Coulomb vôùi giôùi haïn beàn keùo cöïc ñaïi. Neân chuù yù raèng tieâu chuaån keát hôïp naøy laø tieâu chuaån ba thoâng soá. Ta caàn hai traïng thaùi öùng suaát ñeå xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa c vaø φ vaø moät traïng thaùi öùng suaát ñeå xaùc ñònh öùng suaát keùo

2.3.4 Tieâu chuaån Drucker−−−−Prager

Nhö chuùng ta ñaõ thaáy, tieâu chuaån phaù huûy tieâu chuaån Tresca ñöôïc toång quaùt hoùa baèng caùch keå ñeán aûnh höôûng cuûa öùng suaát thuûy tónh. Tieâu chuaån Drucker−Pragerchænh ñôn giaûn cuûa tieâu chuaån von Misessuaát thuûy tónh ñeán söï phaù huûy ñöôïc giôùi thieäu bôûi söï xuaát hieän theâm moät soá haïng trong bieåu thöùc von Mises ñeå coù

( ) kJIJ,If 2121 −+α=

Söû duïng caùc bieán ξ vaø ρ daãn ñeán

k26),(f −ρ+αξ=ρξ

Tieâu chuaån Drucker−Prager a) Maët phaúng kinh tuyeán, θ = 00; b) Maët phaúng π

Coulomb trong maët phaúng π ñoái vôùi vaøi giaù trò ñöôïc cho trong hình 2.26, ôû ñaây caùc öùng suaát ñaõ ñöôïc bình thöôøng hoùa ñoái

’. Roõ raøng, caùc luïc giaùc ñöôïc bieåu thò trong hình 2.24 laø caùc giao tuyeán cuûa hình choùp vôùi maët phaúng toïa ñoä σ3 = 0. Khi fc’ = ft’ (hoaëc moät

= 0 hay m = 1), luïc giaùc treân neân ñoàng nhaát vôùi luïc giaùc

Ñeå thu ñöôïc söï xaáp xæ toát hôn khi caùc öùng suaát keùo xaûy ra, ñoâi khi ta keát hôïp tieâu vôùi giôùi haïn beàn keùo cöïc ñaïi. Neân chuù yù raèng tieâu chuaån

keát hôïp naøy laø tieâu chuaån ba thoâng soá. Ta caàn hai traïng thaùi öùng suaát ñeå xaùc ñònh vaø moät traïng thaùi öùng suaát ñeå xaùc ñònh öùng suaát keùo cöïc ñaïi.

tieâu chuaån phaù huûy Mohr−Coulomb coù theå ñöôïc xem laø ñöôïc toång quaùt hoùa baèng caùch keå ñeán aûnh höôûng cuûa öùng suaát

Prager, ñöôïc phaùt bieåu vaøo naêm 1952, laø söï hieäu von Mises, ôû ñaây aûnh höôûng cuûa thaønh phaàn öùng

suaát thuûy tónh ñeán söï phaù huûy ñöôïc giôùi thieäu bôûi söï xuaát hieän theâm moät soá

0k = (2.185)

0k = (2.186)

ôû ñaây α vaø k laø nhöõng haèng soá vaät lieäu. Khi goïn veà tieâu chuaån von Mises.

Beà maët phaù huûy cuûa phöông trình (2.186) trong khoâng gian öùng suaát chính laø hình noùn troøn-thaúng. Maët caét kinh tuyeán vaø maët caét ngang cuûa noù treân maët phaúng π ñöôïc bieåu dieãn trong hình 2.27.

Beà maët phaù huûy luïc giaùc Mohr−Coulombnhöõng baøi toaùn maø moät trong saùu maët cuûa noù ñöôïc duøng. Neáu thoâng tin naøy khoâng ñöôïc bieát tröôùc, caùc goùc cuûa luïc giaùc coù theå gaây ra söï khoù khaên ñaùng keå vaø gaây ra nhöõng phöùc taïp trong vieäc thu nhaän lôøi giaûi soá. Tieâu chuaån Drucker−Prager, xem nhö laø moät pheùp xaáp xæ trôn cuûa tieâu chuaån Mohr−Coulomb, coù theå ñöôïc laøm cho phuø hôïp vôùi tieâu chuaån baèng caùch hieäu chænh kích thöôùc cuûa maët noùn. Thí duïDrucker−Prager ñöôïc laøm cho phuø hôïp vôùi caùc ñænh ngoaøi cuûa luïc giaùc Mohr−Coulomb, nghóa laø, hai beà maët ñöôïc laøm cho truøng nhau doïc theo kinh tuyeán neùn ρc, ôû ñaây θ = 600, tieáp theo nhöõng haèng soá (2.185) ñöôïc lieân heä vôùi nhöõng haèng soá c vaø

( )

=φ−

φ=α k;

sin33

sin2

Maët noùn töông öùng vôùi nhöõng haèng soá trong phöông trình (2.187) ngoaïi tieáp vôùi hình choùp luïc giaùc vaø moâ taû bieân ngoaøi treân beà maët phaù huûy (hình 2.28). Maët khaùc, maët noùn beân trong ñi qua kinh tuyeán keùo seõ coù caùc haèng soá

Hình 2.28 Caùc tieâu chuaån Druckerñöôïc laøm cho phuø hôïp

a) Trong khoâng gian öùng suaát chính b) Trong maët phaúng leäch

101

vaø k laø nhöõng haèng soá vaät lieäu. Khi α = 0, phöông trình (2.186) seõ ruùt

Beà maët phaù huûy cuûa phöông trình (2.186) trong khoâng gian öùng suaát chính laø thaúng. Maët caét kinh tuyeán vaø maët caét ngang cuûa noù treân maët

ñöôïc bieåu dieãn trong hình 2.27.

Coulomb chæ tieän lôïi veà maët toaùn hoïc trong nhöõng baøi toaùn maø moät trong saùu maët cuûa noù ñöôïc duøng. Neáu thoâng tin naøy khoâng ñöôïc bieát tröôùc, caùc goùc cuûa luïc giaùc coù theå gaây ra söï khoù khaên ñaùng keå

ng vieäc thu nhaän lôøi giaûi soá. Tieâu chuaån , xem nhö laø moät pheùp xaáp xæ trôn cuûa tieâu chuaån , coù theå ñöôïc laøm cho phuø hôïp vôùi tieâu chuaån Mohr−Coulomb

baèng caùch hieäu chænh kích thöôùc cuûa maët noùn. Thí duï, neáu voøng troøn ñöôïc laøm cho phuø hôïp vôùi caùc ñænh ngoaøi cuûa luïc giaùc

, nghóa laø, hai beà maët ñöôïc laøm cho truøng nhau doïc theo kinh , tieáp theo nhöõng haèng soá α vaø k trong phöông trình

(2.185) ñöôïc lieân heä vôùi nhöõng haèng soá c vaø φ trong phöông trình (2.174) bôûi

( )φ−

φ

sin33

cosc6 (2.187)

Maët noùn töông öùng vôùi nhöõng haèng soá trong phöông trình (2.187) ngoaïi tieáp vôùi eân ngoaøi treân beà maët phaù huûy Mohr−Coulomb

(hình 2.28). Maët khaùc, maët noùn beân trong ñi qua kinh tuyeán keùo ρt, vôùi θ = 0, vaø

Drucker−Prager vaø Mohr−Coulomb ñöôïc laøm cho phuø hôïp

a) Trong khoâng gian öùng suaát chính b) Trong maët phaúng leäch

102

Hình 2.29 Tieâu chuaån Drucker−Prager trong maët phaúng σ3 = 0

( ) ( )φ+

φ=φ+

φ=αsin33

cosc6k;

sin33

sin2 (2.188)

Tuy nhieân, pheùp xaáp xæ beà maët phaù huûy Mohr−Coulomb ñöôïc cho bôûi hoaëc maët noùn trong hoaëc maët noùn ngoaøi coù theå khoâng toát ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát naøo ñoù. Nhöõng pheùp xaáp xæ khaùc ñöôïc laøm cho phuø hôïp vôùi moät kinh tuyeán khaùc, thí duï kinh tuyeán tröôït, coù theå toát hôn.

Tieâu chuaån Drucker−Prager ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát phaúng ñöôïc giôùi thieäu bôûi giao tuyeán cuûa maët noùn troøn vôùi maët phaúng toïa ñoä σ3 = 0. Thay σ3 = 0 vaøo phöông trình (2.185) seõ daãn ñeán

( ) ( ) k31 2

2212121 =σ+σσ−σ+σ+σα (2.189)

hoaëc saép xeáp laïi

( ) ( ) ( ) ( ) 0k3k66131 22121

222

21 =−σ+σα+σσα+−σ+σα− (2.190)

noù laø moät ellipse leäch taâm nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 2.29.

Thí duï 2.6 Moät vaät lieäu coù ñoä beàn keùo ft’ baèng moät phaàn möôøi cuûa ñoä beàn neùn fc’. Khaûo saùt moät phaân toá vaät lieäu naøy chòu moät toå hôïp cuûa öùng suaát phaùp σ vaø öùng suaát tieáp τ. Treân cô sôû cuûa (a) tieâu chuaån Mohr−Coulomb vaø (b) tieâu chuaån Drucker−Prager, haõy veõ phaùc caùc giao tuyeán chi phoái söï phaù huûy cuûa phaân toá.

103

a)

b)

Truïc ñoái xöùng

Giaûi

a) Tieâu chuaån Mohr−Coulomb: söû duïng ñieàu kieän phaù huûy cuûa phöông trình (2.177), ta phaûi tìm caùc öùng suaát chính töø voøng troøn Mohr öùng suaát nhö

022

12

2

>σ=τ+

σ+

σ

022

32

2

<σ=τ+

σ−

σ (2.191)

vaø öùng suaát theo höôùng vuoâng goùc vôùi maët phaúng (σ1, σ3) baèng khoâng,

σ2 = 0

Thay phöông trình (2.191) vaøo phöông trình (2.177) taïo ra

1f2

4

f2

4,c

22

,t

22

=τ+σ−σ−τ+σ+σ (2.192)

Hình 2.30

a) Phaân toá öùng suaát phaúng; b) Caùc ñöôøng cong phaù huûy döïa treân caùc tieâu chuaån Mohr−Coulomb vaø Drucker−Prager

104

Chuù yù raèng 10ft’ = fc’ vaø saép xeáp laïi, ta nhaän ñöôïc

140ff

1011

f109 2

,c

2

,c

,c

=

τ+

+σ (2.193)

noù laø moät ellipse nhö ñöôïc bieåu dieãn treân hình 2.30.

b) Tieâu chuaån Drucker−Prager: caùc haèng soá vaät lieäu α vaø k coù theå ñöôïc xaùc ñònh töø öùng suaát phaù huûy keùo vaø neùn ñaõ cho ft’ vaø fc’. Thay theá caùc traïng thaùi öùng suaát (σ1 = ft’, σ2 = σ3 = 0) vaø (σ1 = σ2 = 0, σ3 = −fc’) vaøo ñieàu kieän phaù huûy cuûa phöông trình (2.185), ta nhaän ñöôïc

0kf3

1f ,

t,t =−+α vaø 0kf

3

1f ,

c,c =−+α− (2.194)

Chuù yù raèng fc’ = 10ft’ vaø giaûi heä phöông trình (2.194) ñeå xaùc ñònh k vaø α:

311

9;f

311

2k ,

c =α= (2.195)

Ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát (σ, τ), I1 = σ, J2 = 22

21 τ+σ , phöông trình (2.185)

trôû thaønh

0k31 22 =−τ+σ+ασ (2.196)

Thay theá phöông trình (2.195) vaøo (2.196) vaø saép xeáp laïi, ta thu ñöôïc ñieàu kieän phaù huûy ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát ñaõ cho nhö

130ff

2011

f209 2

,c

2

,c

,c

=

τ+

+σ (2.197)

noù cuõng laø moät ellipse nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 2.30.

2.4 TIEÂU CHUAÅN PHAÙ HUÛY/CHAÛY DEÛO ÑOÁI VÔÙI VAÄT LIEÄU BAÁT ÑAÚNG HÖÔÙNG

Maëc duø haàu heát caùc vaät lieäu coù theå ñöôïc xem gaàn ñuùng laø ñaúng höôùng, nhöng noùi ñuùng ra trong chöøng möïc naøo ñoù, taát caû vaät lieäu laø baát ñaúng höôùng; nghóa laø, caùc ñaëc tính vaät lieäu khoâng gioáng nhau trong caùc höôùng. Daïng toång quaùt cuûa caùc tieâu chuaån phaù huûy/chaûy deûo ñoái vôùi caùc vaät lieäu baát ñaúng höôùng ñaõ ñöôïc bieåu dieãn bôûi phöông trình (2.130). Tuy nhieân, daïng xaùc ñònh cuûa haøm f(σij, k1, k2, ...) phuï thuoäc raát nhieàu vaøo nhöõng ñaëc tröng cuûa vaät lieäu.

105

2.4.1 Tieâu chuaån chaûy deûo ñoái vôùi nhöõng vaät lieäu tröïc höôùng

Moät vaät lieäu tröïc höôùng coù ba maët phaúng ñoái xöùng tröïc giao laãn nhau ôû moãi ñieåm. Giao tuyeán cuûa caùc maët phaúng naøy ñöôïc bieát nhö laø caùc truïc chính baát ñaúng höôùng. Tieâu chuaån chaûy deûo ñöôïc ñeà nghò bôûi Hill vaøo naêm 1950, khi tham khaûo caùc truïc naøy, coù daïng

( ) ( ) ( ) ( )

01aaa

aaaf

2xy6

2zx5

2yz4

2yx3

2xz2

2zy1ij

=−τ+τ+τ+

σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ (2.198)

ôû ñaây a1, a2,… a6 laø nhöõng thoâng soá cuûa vaät lieäu. Phöông trình (2.198) laø moät bieåu thöùc baäc hai cuûa caùc thaønh phaàn öùng suaát, ñaïi dieän cho vaøi loaïi naêng löôïng chi phoái bieán daïng deûo cuûa caùc vaät lieäu tröïc höôùng. Do ñoù, tieâu chuaån Hill ñöôïc xem nhö laø daïng môû roäng cuûa tieâu chuaån naêng löôïng thay ñoåi hình daùng cuûa von Mises. Söï boû qua caùc soá haïng tuyeán tính vaø söï xuaát hieän cuûa chæ caùc hieäu giöõa caùc thaønh phaàn öùng suaát phaùp trong tieâu chuaån chaûy haøm yù veà nhöõng giaû thieát, trong ñoù caùc ñaùp öùng cuûa vaät lieäu gioáng nhau khi chòu keùo vaø chòu neùn vaø öùng suaát thuûy tónh khoâng aûnh höôûng ñeán chaûy deûo.

Caùc thoâng soá vaät lieäu coù theå ñöôïc xaùc ñònh töø ba thí nghieäm keùo ñôn truïc theo nhöõng höôùng chính baát ñaúng höôùng vaø ba thí nghieäm tröôït ñôn giaûn doïc theo nhöõng maët phaúng ñoái xöùng. Goïi caùc ñoä beàn keùo laø X, Y, Z töông öùng vôùi caùc truïc x, y, z vaø caùc ñoä beàn tröôït laø S23, S31, S12 töông öùng vôùi ba maët phaúng toïa ñoä. Thay theá saùu traïng thaùi öùng suaát naøy vaøo (2.198) vaø giaûi ñeå xaùc ñònh caùc thoâng soá, ta thu ñöôïc

212

6

231

5

223

4

2223

2222

2221

S

1a

S

1a

S

1a

Z

1

Y

1

X

1a2

Y

1

X

1

Z

1a2

X

1

Z

1

Y

1a2

=

=

=

−+=

−+=

−+=

(2.199)

Neáu vaät lieäu ñaúng höôùng ngang (ñoái xöùng quanh truïc z), phöông trình (2.198) phaûi duy trì khoâng ñoåi ñoái vôùi nhöõng truïc x, y baát kyø. Ñieàu naøy coù nghóa laø caùc thoâng soá phaûi thoûa caùc quan heä sau:

a1 = a2; a4 = a5; a6 = 2(a1 + 2a3) (2.200)

106

Ñoái vôùi vaät lieäu ñaúng höôùng hoaøn toaøn,

6a1 = 6a2 = 6a3 = a4 = a5 = a6 (2.201)

vaø phöông trình (2.198) ruùt goïn veà tieâu chuaån von Mises.

2.4.1 Tieâu chuaån ñoái vôùi söï phaù huûy vôõ vuïn baêng

Baêng ñaù coù caáu truùc haït daïng coät truï. Noù coù theå ñöôïc xem nhö vaät lieäu tröïc höôùng. Tuy nhieân, ñoä beàn cuûa baêng ñaù thì nhaïy vôùi aùp löïc thuûy tónh. Ñoä beàn keùo cuûa noù thì thaáp hôn nhieàu so vôùi ñoä beàn neùn. Tieâu chuaån Hill (2.198) khoâng theå moâ hình öùng xöû nhö theá, vaø do ñoù, khoâng aùp duïng ñöôïc cho baêng ñaù. Haøm chaûy deûo chöùa caùc soá haïng tuyeán tính cuûa caùc thaønh phaàn öùng suaát phaùp ñaõ ñöôïc ñeà nghò coù daïng sau ñaây:

( ) ( ) ( ) ( )

01aaaaa

aaaaf

z9y8x72xy6

2zx5

2yz4

2yx3

2xz2

2zy1ij

=−σ+σ+σ+τ+τ+

τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ (2.202)

Haøm naøy, laø tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa nhöõng haøm chaûy loaïi n ñöôïc giôùi thieäu bôûi Pariseau (1968), coù theå moâ taû nhöõng vaät lieäu vôùi caùc ñoä beàn keùo vaø neùn khaùc nhau vaø döï ñoaùn söï gia taêng ñoä beàn phi tuyeán (parabola) vôùi aùp löïc kieàm cheá. Neáu vaät lieäu baát ñaúng höôùng hoaøn toaøn, chín pheùp ño ñoä beàn ñoäc laäp seõ ñöôïc yeâu caàu ñeå xaùc ñònh caùc heä soá cuûa phöông trình (2.202). Baát kyø söï ñaúng höôùng naøo, chaúng haïn ñaúng höôùng ngang, seõ laøm giaûm soá thí nghieäm caàn thieát. Roõ raøng, ñaây laø tröôøng hôïp ñoái vôùi moät taám baêng ñaù. Ñoä beàn cuûa noù beân trong maët phaúng ngang laø ñaúng höôùng (xem hình 2.31). Ñieàu naøy nguï yù raèng, nhöõng heä soá trong phöông trình (2.202) thì khoâng ñoäc laäp, maø chòu caùc haïn cheá

a1 = a2; a4 = a5; a7 = a8; a6 = 2(a1 + 2a3) (2.203)

noù töông töï vôùi phöông trình (2.200). Do ñoù, phöông trình (2.202) ruùt goïn veà

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) 01aaa2a2

aaaf

z9yx72xy31

2zx

2yz4

2yx3

2xz

2zy1ij

=−σ+σ+σ+τ++

τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ (2.204)

Tieâu chuaån naøy ñöôïc Ralston aùp duïng vaøo naêm 1977 ñeå phaân tích söï phaù huûy vôõ vuïn cuûa baêng ñaù. Caùc giaù trò cuûa caùc heä soá a1, a3, a7, vaø a9 coù theå ñöôïc xaùc ñònh töø caùc soá ño ñoä beàn neùn vaø keùo nhö sau:

zz9

xx7

zzxx3

zz1

C1

T1

a,C1

T1

a

TC21

CT1a,

TC21a

−=−=

−==

(2.205)

107

ôû ñaây Tx, Cx, Tz, Cz töông öùng laø nhöõng giaù trò tuyeät ñoái cuûa caùc ñoä beàn keùo vaø neùn theo phöông ngang vaø ñöùng. Nhöõng giaù trò cuûa a4 coù theå ñöôïc xaùc ñònh hoaëc töø thí nghieäm tröôït hoaëc töø thí nghieäm neùn treân moät maãu ñöôïc laøm nghieâng khoûi phöông ñöùng.

Caùc soá lieäu ñoä beàn baêng ñaù ñöôïc duøng trong tính toaùn cuûa Ralston laø

Tx = 1,01MPa; Tz = 1,21MPa

Cx = 7,11MPa; Cz = 13,5MPa (2.206)

Nhö coù theå ñöôïc thaáy, caùc ñoä beàn neùn lôùn hôn töø baûy ñeán möôøi moät laàn caùc ñoä beàn keùo. Vôùi caùc ñoä beàn ñôn truïc ñaõ cho, nhöõng heä soá ñöôïc tính toaùn töø phöông trình (2.205) nhö

a1 = 3,06.10−2MPa−2; a3 = 10,9.10−2MPa−2

a7 = 84,9.10−2MPa−1; a9 = 75,2.10−2MPa−1 (2.207)

Traùi laïi, neáu ñoä beàn khi keùo baèng vôùi ñoä beàn khi neùn, nghóa laø, Tx = Cx vaø Tz = Cz, caùc heä soá a7 vaø a9 seõ bò trieät tieâu laøm cho caùc soá haïng tuyeán tính bieán maát. Trong tröôøng hôïp naøy, phöông trình (2.202) ruùt goïn thaønh phöông trình (2.198) cho vaät lieäu tröïc höôùng khoâng bò aûnh höôûng öùng suaát thuûy tónh. Baây giôø, ta giaû ñònh ñieàu kieän öùng suaát phaúng, nghóa laø,

σz = τyz = τxz = 0

Vôùi giaû ñònh naøy, haøm chaûy (2.204) ruùt goïn theâm thaønh

Hình 2.31 Thí duï vaät lieäu ñaúng höôùng ngang vôùi caùc ñoä beàn keùo vaø neùn khaùc nhau

Nhöõng thí nghieäm ñoä beàn khoâng bò kieàm cheá aùp löïc

Taám baêng ñaù caáu truùc haït daïng coät truï

108

Beà maët chaûy öùng suaát phaúng - phöông trình

(2.209)

Truïc ñoái xöùng

Hình 2.32 Ñöôøng cong chaûy döôùi ñieàu kieän öùng suaát phaúng

( ) ( )( ) ( ) 1aa2a2

aa

yx72xy31

2yx3

2y

2x1

=σ+σ+τ++

+σ+σ+σ+σ (2.208)

Neáu x vaø y laø caùc phöông chính öùng suaát, thì τxy = 0 vaø chuùng ta ñi ñeán daïng

( ) ( ) ( ) 1aaa yx72

yx32y

2x1 =σ+σ+σ−σ+σ+σ (2.209)

Beà maët chaûy ñöôïc cho bôûi phöông trình (2.209) vôùi nhöõng heä soá ñöôïc cho trong phöông trình (2.207) ñöôïc veõ trong hình 2.32. Beà maët chaûy naøy laø moät ellipse heïp daøi ñoái xöùng quanh ñöôøng phaân giaùc σx = σy.

2.5 TOÙM TAÉT

Chöông naøy baøn luaän veà caùc tieâu chuaån chaûy/phaù huûy cuûa caùc vaät lieäu döôùi caùc ñieàu kieän öùng suaát toå hôïp. Phaân tích öùng suaát cuûa muïc 2.1 ôû phaàn ñaàu chöông naøy cung caáp cô sôû caàn thieát cho nhöõng thaûo luaän sau ñoù. Nhö chuùng ta ñaõ thaáy, moät söï hieåu bieát toát hôn veà caùc tieâu chuaån chaûy/phaù huûy coù theå thu ñöôïc neáu hình daùng hình hoïc cuûa chuùng coù theå ñöôïc moâ taû trong khoâng gian öùng suaát chính.

109

Coù boán loaïi tieâu chuaån ñöôïc giôùi thieäu trong chöông naøy: ñaúng höôùng vaø ñoäc laäp vôùi aùp löïc thuûy tónh; ñaúng höôùng vaø phuï thuoäc vaøo aùp löïc thuûy tónh; tröïc höôùng vaø ñoäc laäp vôùi aùp löïc thuûy tónh; vaø tröïc höôùng vaø phuï thuoäc vaøo aùp löïc thuûy tónh. Caùc ñaëc tröng cuûa caùc tieâu chuaån naøy coù theå ñöôïc toùm löôïc nhö sau:

Ñaúng höôùng khoâng coù aûnh höôûng cuûa aùp löïc thuûy tónh. Loaïi haøm chaûy naøy, f(J2, J3, k1, k2,...) = 0, ñoäc laäp vôùi bieán I1 hoaëc ξ, ñeà xuaát raèng öùng suaát tieáp laø nhaân toá quyeát ñònh duy nhaát chi phoái chaûy deûo. Hình daùng hình hoïc cuûa noù laø hình truï vôùi nhöõng kinh tuyeán song song vôùi truïc thuûy tónh. Caùc maët caét ngang vôùi maët phaúng leäch coù saùu truïc ñoái xöùng. Caùc tieâu chuaån Tresca vaø von Mises laø nhöõng tieâu chuaån chaûy thoâng duïng nhaát cuûa loaïi naøy.

Ñaúng höôùng vôùi aûnh höôûng cuûa aùp löïc thuûy tónh. Nhöõng haøm chaûy/phaù huûy loaïi naøy phuï thuoäc vaøo öùng suaát thuûy tónh vaø caû caùc öùng suaát tieáp, coù daïng f(I1, J2, J3, k1, k2,...) = 0. Beà maët chaûy/phaù huûy töông öùng coù theå coù nhöõng kinh tuyeán cong hoaëc thaúng, chuùng khoâng song song vôùi truïc thuûy tónh nöõa. Caùc maët phaúng leäch cuûa noù noùi chung coù ba truïc ñoái xöùng. Caùc tieâu chuaån Mohr−Coulomb vaø Drucker−Prager, chöùa soá haïng tuyeán tính cuûa I1 vaø ξ trong caùc bieåu thöùc cuûa chuùng vaø coù hình daïng maët noùn trong khoâng gian öùng suaát chính, laø nhöõng haøm ñôn giaûn nhaát cuûa loaïi naøy.

Tröïc höôùng coù vaø khoâng coù aûnh höôûng cuûa aùp löïc thuûy tónh. Caàn chuù yù raèng ñoái vôùi caùc vaät lieäu baát ñaúng höôùng, haøm chaûy, f(σij, k1, k2,...) = 0, ñöôïc thieát laäp trong heä toïa ñoä qui chieáu tuøy yù noù ñöôïc coá ñònh ñoái vôùi söï ñònh höôùng cuûa vaät theå. Chuùng ta khoâng theå thay ñoåi caùc toïa ñoä qui chieáu maø khoâng laøm thay ñoåi daïng cuûa haøm. Do ñoù, khoâng theå minh hoïa beà maët chaûy trong khoâng gian öùng suaát chính ba chieàu, nhö chuùng ta ñaõ laøm cho vaät lieäu ñaúng höôùng. Caùc haøm chaûy cuûa caùc phöông trình (2.198) vaø (2.202), chæ phuø hôïp ñoái vôùi vaät lieäu baát ñaúng höôùng−tröïc höôùng, ñöôïc xem xeùt töø ba truïc chính baát ñaúng höôùng cuûa vaät lieäu. Phöông trình (2.202) khaùc vôùi (2.198) ôû choã caùc soá haïng tuyeán tính cuûa caùc öùng suaát phaùp ñöôïc bao goàm trong haøm chaûy, phaûn aùnh aûnh höôûng cuûa aùp löïc thuûy tónh.

2.6 BAØI TAÄP

2.1 Tenxô öùng suaát σij cuûa ñieåm ñöôïc cho bôûi

=σ

10031000

31003000

000

ij (ñôn vò öùng suaát)

Tìm:

110

a) Ñoä lôùn öùng suaát phaùp vaø tieáp treân maët nghieâng coù phaùp tuyeán ñôn vò laø

=2

1,21,

21n

r .

b) Ñoä lôùn caùc öùng suaát chính. c) Höôùng cuûa caùc truïc chính öùng suaát. d) Caùc öùng suaát baùt dieän. e) ÖÙng suaát tieáp cöïc ñaïi.

2.2 Cho tenxô öùng suaát σij cuûa ñieåm

−−

−−

−−

=σ

411

45

22

1

45

411

22

1

22

1

22

123

ij (ñôn vò öùng suaát)

a) Tìm caùc öùng suaát chính vaø caùc phöông chính töông öùng. b) Tìm tenxô öùng suaát leäch, sij, vaø caùc öùng suaát leäch chính s1, s2 vaø s3. c) Xaùc ñònh caùc baát bieán öùng suaát leäch J1, J2, vaø J3.

2.3a) Neáu s1 > s2 > s3, s3 coù theå baèng khoâng khoâng? Haõy giaûi thích. b) J2 coù theå aâm khoâng? Haõy giaûi thích. c) J3 coù theå döông khoâng? Haõy giaûi thích.

2.4 Haõy chöùng toû raèng tyû soá τoct / τmax ñöôïc giôùi haïn bôûi

3

2236

max

oct ≤ττ

≤

2.5 Haõy chöùng minh caùc quan heä sau ñaây:

a) 2212 II

31J −= .

b) 312133 I

272II

31IJ +−= .

c) ( ) 2/1

221oct I3I

32 −=τ .

d) ( )1332212 ssssssJ ++−= .

2.6 Coâng thöùc öùng suaát Cauchy ôû moät ñieåm ñöôïc cho nhö:

Ti = σijnj

111

ôû ñaây Ti laø vector öùng suaát taùc ñoäng treân maët nghieâng coù phaùp tuyeán ñôn vò ni, haõy chöùng toû raèng caùc thaønh phaàn öùng suaát σij taïo thaønh tenxô baäc hai baèng caùch duøng ñònh nghóa cuûa tenxô.

2.7 Haõy chöùng toû raèng tröø öùng suaát thuûy tónh khoûi traïng thaùi öùng suaát ñaõ cho khoâng laøm thay ñoåi caùc phöông chính.

2.8 Haõy chöùng minh raèng thaønh phaàn öùng suaát tieáp Sn taùc ñoäng treân maët nghieâng baát kyø ñi qua ñieåm ñaõ cho khoâng bò thay ñoåi bôûi vieäc theâm keùo hoaëc neùn thuûy tónh vaøo traïng thaùi öùng suaát ban ñaàu.

2.9 Traïng thaùi öùng suaát cuûa ñieåm ñöôïc cho bôûi

=σ105060

502045

604530

.106ij N/m2

a) Haõy xaùc ñònh caùc baát bieán öùng suaát I1, J2, J3, vaø θ. b) Döïa treân caùc bieåu thöùc ñoái vôùi caùc öùng suaát chính döôùi daïng caùc baát bieán

öùng suaát I1, J2, vaø θ, haõy tìm ñoä lôùn cuûa caùc öùng suaát chính σ1, σ2, vaø σ3.

2.10

a) Haõy chöùng toû raèng ij2kjikij

3 J32

ssJ

δ−=σ∂

∂ .

b) Haõy tìm ∂θ/∂σij.

2.11 Haõy chöùng toû raèng neáu I1 = σx + σy + σz = 0, traïng thaùi öùng suaát σij laø traïng thaùi tröôït thuaàn tuùy. Chuù yù raèng traïng thaùi öùng suaát ñöôïc cho laø traïng thaùi tröôït thuaàn tuùy neáu toàn taïi vaøi heä toïa ñoä Ox’y’z’ sao cho σx’ = σy’ = σz’ = 0.

2.12 Neáu traïng thaùi öùng suaát thu ñöôïc baèng caùch ñaët choàng hai traïng thaùi öùng suaát khaùc nhau, haõy chöùng toû raèng:

a) ÖÙng suaát chính cöïc ñaïi khoâng lôùn hôn toång caùc öùng suaát chính cöïc ñaïi rieâng leû.

b) ÖÙng suaát tieáp cöïc ñaïi khoâng lôùn hôn toång caùc öùng suaát tieáp cöïc ñaïi rieâng leû.

c) Thaønh phaàn aùp löïc thuûy tónh toång hôïp laø toång ñaïi soá cuûa caùc thaønh phaàn thuûy tónh cuûa hai traïng thaùi rieâng leû, nhöng thaønh phaàn tröôït toång hôïp laø toång vectô cuûa caùc thaønh phaàn tröôït cuûa hai traïng thaùi rieâng leû.

112

2.13 Khaûo saùt phöông trình (2.61) ñoái vôùi caùc öùng suaát leäch chính, s3 − J2s − J3 = 0 vaø thay theá s = rsinψ seõ daãn ñeán

0r

Jsin

r

Jsin

33

223 =−Ψ−Ψ

a) Khaûo saùt söï töông töï cuûa phöông trình löôïng giaùc sau ñaây,

03sin41sin

43sin3 =Ψ+Ψ−Ψ

Haõy chöùng toû raèng r vaø ψ laø nhöõng baát bieán ñöôïc lieân heä vôùi J2 vaø J3 thoâng qua

2J3

2r = vaø

2/32

3

J

J

2333sin −=ψ

b) Söû duïng caùc keát quaû thu ñöôïc cuûa caâu (a) vôùi caùc phöông trình (2.111) vaø (2.118), haõy chöùng minh raèng: (i) ρ= 3/2r ; (ii) ψ = [θ − (π/6)] vaø ψ bieán thieân trong mieàn −π/6 ≤ ψ ≤ π/6 ñoái vôùi 0 ≤ θ ≤ π/3.

c) Ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát baát kyø ñöôïc xaùc ñònh bôûi caùc öùng suaát chính σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 vaø khaûo saùt hình chieáu treân maët phaúng π (nhu ñöôïc bieåu dieãn trong hình 2.9), haõy xaùc ñònh caùc giaù trò töông öùng cuûa θ vaø ψ ñoái vôùi nhöõng tröôøng hôïp sau ñaây: (i) σ2 = σ3; σ2 = σ1; (iii) σ2 = 0,5(σ1 + σ3). Chuù yù: trong nhieàu tröôøng hôïp, caùc baát bieán ψ hoaëc θ ñöôïc duøng ñeå thay theá J3 trong khi vieát caùc bieåu thöùc toång quaùt cho nhöõng haøm chaûy hay phaù huûy.

2.14 Moät kim loaïi chaûy deûo khi öùng suaát tieáp cöïc ñaïi, τmax, ñaït ñeán giaù trò 125.103N/m2. Moät phaân toá vaät lieäu cuûa kim loaïi naøy chòu traïng thaùi öùng suaát phaúng: σ1 = σ; σ2 = ασ; σ3 = 0

ôû ñaây α laø haèng soá. Xaùc ñònh caùc giaù trò (σ, α) ñeå phaân toá chaûy deûo.

2.15 Moät kim loaïi chaûy deûo ôû traïng thaùi öùng suaát phaúng vôùi

σx = 80.106N/m2, σy = 40.106N/m2, τxy = 80.106N/m2

Giaû söû vaät lieäu ñaúng höôùng, ñoäc laäp vôùi aùp löïc thuûy tónh, vaø caùc tính chaát cô hoïc gioáng nhau trong keùo vaø neùn.

a) Haõy tìm taát caû nhöõng traïng thaùi öùng suaát phaúng khaùc luùc chaûy deûo trong khoâng gian öùng suaát (σ1, σ2).

b) Haõy veõ caùc keát quaû trong phaàn (a) trong khoâng gian öùng suaát (σ1, σ2) vaø ñaùnh giaù öùng suaát chaûy (i) trong keùo ñôn truïc vaø (ii) trong tröôït ñôn giaûn, vaø döïa treân tính loài cho nhöõng giôùi haïn loãi coù theå cuûa caùc ñaùnh giaù naøy.

113

c) Haõy xaùc ñònh caùc öùng suaát chaûy trong (b), ñöôïc döïa treân (i) tieâu chuaån von Mises; (ii) tieâu chuaån Tresca; (iii) ( )32 J,JF = 0kJ25,2J 62

332 =−−= .

2.16 Moät oáng theùp troøn daøi, ñöôøng kính ngoaøi D0 = 0,254 m vaø chieàu daøy t = 3,2.10-3m. OÁng chòu aùp suaát beân trong pi = 4,83.106N/m2. Caùc ñaàu cuoái cuûa oáng ñöôïc ñoùng kín. ÖÙng suaát chaûy cuûa theùp laø 227.106N/m2. Haõy tìm taûi keùo doïc truïc P taùc ñoäng theâm leân oáng ñeå laøm chaûy deûo oáng, döïa treân (i) tieâu chuaån von Mises; (ii) tieâu chuaån Tresca; (iii) ( )32 J,Jf

0kJ25,2J 623

32 =−−= .

2.17 Tenxô öùng suaát cuûa ñieåm döôùi ñieàu kieän taûi laøm vieäc ñöôïc cho bôûi

−=σ

5000

010050

05025

.106ij N/m2

ÖÙng suaát chaûy cuûa vaät lieäu laø 250.106 N/m2. Döïa treân (a) tieâu chuaån Tresca vaø (b) tieâu chuaån von Mises, haõy tính toaùn heä soá an toaøn cuûa traïng thaùi öùng suaát theo söï phaù huûy (i) neáu taát caû caùc öùng suaát ñöôïc gia taêng moät caùch tæ leä ñeå ñaït tôùi beà maët chaûy vaø (ii) neáu chæ coù öùng suaát phaùp σx ñöôïc gia taêng ñeán giaù trò phaù huûy tôùi haïn ôû beà maët chaûy.

2.18 Moät vaät lieäu hoûng döôùi taùc ñoäng cuûa taûi neùn vôùi caùc öùng suaát σ1 = σ2 = −(1/3)fc’, σ3 = −2fc’, ôû ñaây fc’ ñoä beàn neùn ñôn truïc cuûa vaät lieäu.

a) Haõy xaùc ñònh caùc haèng soá c vaø φ theo fc’ ñoái vôùi tieâu chuaån Mohr−Coulomb.

b) Haõy xaùc ñònh caùc haèng soá k vaø α ñoái vôùi tieâu chuaån Drucker−Prager.

c) Haõy minh hoïa caùc beà maët phaù huûy Mohr−Coulomb vaø Drucker−Prager baèng caùch veõ caùc maët caét ngang cuûa chuùng trong maët phaúng π vaø maët caét kinh tuyeán trong maët phaúng kinh tuyeán θ = 00.

d) Haõy tìm söï khaùc nhau lôùn nhaát trong maët phaúng leäch giöõa tieâu chuaån Mohr−Coulomb vaø Drucker−Prager.

e) Haõy tìm ñoä beàn keùo ft’ ñöôïc döï ñoaùn bôûi hai tieâu chuaån naøy.

2.19 Giaû söû raèng vaät lieäu ñöôïc moâ taû trong baøi taäp 2.18 coù ñoä beàn keùo ft’ = 0,1fc’. (a) Haõy veõ caùc beà maët phaù huûy ñöôïc ñònh nghóa bôûi (i) tieâu chuaån Mohr−Coulomb vôùi giôùi haïn keùo; (ii) tieâu chuaån Drucker−Prager vôùi giôùi haïn keùo, trong maët phaúng kinh tuyeán θ = 00 vaø trong maët phaúng leäch. (b) Haõy veõ caùc giao tuyeán cuûa caùc beà maët phaù huûy vôùi maët phaúng (σ1, σ2) vaø vôùi maët phaúng (σx, τxy).

114

2.20 Haõy tìm caùc haèng soá α vaø k cuûa tieâu chkeát, c, vaø goùc ma saùt noäi, φ, cuûa tieâu chuaån tröôøng hôïp sau ñaây:

a) Ñeå laøm phuø hôïp kinh tuyeán tröôït. b) Ñeå laøm phuø hôïp nhöõng ñieåm neùn vaø keùo ñôn giaûn. c) Ñeå laøm phuø hôïp nhöõng ñieåm neùn song truïc nhö nhau vaø keùo ñôn giaûn.

2.21 Haõy chöùng minh (2.200) ñoái vôùi caùc vaät lieäu ñaúng höôùng ngang.

2.22 Do coù söï töông töï cuûa öùng xöû ñaøncuûa kim loaïi ña tinh theå, ta coù theå moâ phoûng öùng xöû ñaønkim loaïi baèng caùch phaân tích heä giaøn ñôn giaûn. Moä heä giaøn ba thanh thaúng chòu taùc ñoäng cuûa moät caëp löïc, Fhình P2.22a. Ba thanh coù cuøng dieän tích maët caét ngang A, moâñun Young E, vaø öùng suaát chaûy σy, vaø A ñöôïc xem ñuû lôùn ñeå baát oån ñònh khoâng xaûy ra. Ta ñònh nghóa khoâng gian löïc hai chieàu F(FH/Ny, FV/Ny), ôû ñaây Ny = AσFH vaø FV taùc ñoäng leân keát caáu. Ñònh nghóa traïng thaùi giôùi haïn ñaøn hoài trong khoâng gian löïc töông öùng vôùi traïng thaùi löïc maø moät trong ba thanh baét ñaàu chaûy deûo, vaø traïng thaùi giôùi haïn deûo laø traïng thaùi maø caáu truùc ñaït ñeán traïng thaùi suïp ñoå deûo.

a) Haõy vieát moät caùch roõ raøng heä phöông trình caàn thieát ñeå giaûi baøi toaùn naøy.

b) Haõy veõ phaùc quyõ ñaïo giôùi haïn moâ phoûng beà maët chaûy ban ñaàu trong khoâng gian öùng suaát hai chieàu).

c) Haõy chöùng toû raèng ñöôøng gaõy khuùc kín treân hình P2.22b laø quyõ ñaïo cuûa ñöôøng bao giôùi haïn suïp ñoå deûo (söï moâ phgian öùng suaát hai chieàu).

vaø k cuûa tieâu chuaån Drucker−Prager theo löïc dính , cuûa tieâu chuaån Mohr−Coulomb ñoái vôùi nhöõng

Ñeå laøm phuø hôïp kinh tuyeán tröôït. Ñeå laøm phuø hôïp nhöõng ñieåm neùn vaø keùo ñôn giaûn. Ñeå laøm phuø hôïp nhöõng ñieåm neùn song truïc nhö nhau vaø keùo ñôn giaûn.

Haõy chöùng minh (2.200) ñoái vôùi caùc vaät lieäu ñaúng höôùng ngang.

Do coù söï töông töï cuûa öùng xöû ñaøn−deûo cuûa heä giaøn vôùi öùng xöû ñaøn−deûo i ña tinh theå, ta coù theå moâ phoûng öùng xöû ñaøn−deûo cuûa moät

kim loaïi baèng caùch phaân tích heä giaøn ñôn giaûn. Moä heä giaøn ba thanh thaúng chòu taùc ñoäng cuûa moät caëp löïc, FH vaø FV, taïi D nhö ñöôïc veõ trong hình P2.22a. Ba thanh coù cuøng dieän tích maët caét ngang A, moâñun Young

, vaø A ñöôïc xem ñuû lôùn ñeå baát oån ñònh khoâng xaûy ra. Ta ñònh nghóa khoâng gian löïc hai chieàu FH−FV. Moät ñieåm vôùi toïa ñoä

σy, trong khoâng gian löïc moâ taû moät caëp löïc taùc ñoäng leân keát caáu. Ñònh nghóa traïng thaùi giôùi haïn ñaøn hoài

trong khoâng gian löïc töông öùng vôùi traïng thaùi löïc maø moät trong ba thanh ñaàu chaûy deûo, vaø traïng thaùi giôùi haïn deûo laø traïng thaùi maø caáu truùc ñaït

Haõy vieát moät caùch roõ raøng heä phöông trình caàn thieát ñeå giaûi baøi toaùn naøy.

b) Haõy veõ phaùc quyõ ñaïo giôùi haïn ñaøn hoài ban ñaàu trong khoâng gian löïc (söï moâ phoûng beà maët chaûy ban ñaàu trong khoâng gian öùng suaát hai chieàu).

c) Haõy chöùng toû raèng ñöôøng gaõy khuùc kín treân hình P2.22b laø quyõ ñaïo cuûa ñöôøng bao giôùi haïn suïp ñoå deûo (söï moâ phoûng beà maët phaù huûy trong khoâng

Hình P2.22

b) Quyõ ñaïo traïng thaùi giôùi haïn cuûa suïp ñoå deûo

d) Haõy tính toaùn lòch söû öùng suaát cuûa ba thanh ñoái vôùi chu kyø ñaët taûitaûi: (FH/Ny, FV/Ny) = (0, 0) → (0, 2)

e) Haõy veõ phaùc quyõ ñaïo giôùi haïn ñaøn hoài tieáp sau cuûa caáu truùc sau khi noù hoaøn thieän chu kyø ñaët vaø caát taûi (bieán cöùng ñoäng hoïc).

f) Caùc moái quan heä vaø söï khaùc nhau gñaïo giôùi haïn suïp ñoå deûo laø gì?

2.23 Nhö ñaõ ñeà caäp ôû muïc 2.3.3, khi tyû soá cuûa hai chieàu daøi ñaëc tröng, [phöông trình (2.184)], cuûa beà maët phaù huûy

115

a) Giaøn ba thanh

b) Quyõ ñaïo traïng thaùi giôùi haïn cuûa suïp ñoå deûo

Haõy tính toaùn lòch söû öùng suaát cuûa ba thanh ñoái vôùi chu kyø ñaët taûi vaø caát (0, 2) → (0, 0).

Haõy veõ phaùc quyõ ñaïo giôùi haïn ñaøn hoài tieáp sau cuûa caáu truùc sau khi noù hoaøn thieän chu kyø ñaët vaø caát taûi (bieán cöùng ñoäng hoïc).

Caùc moái quan heä vaø söï khaùc nhau giöõa quyõ ñaïo giôùi haïn ñaøn hoài vaø quyõ

Nhö ñaõ ñeà caäp ôû muïc 2.3.3, khi tyû soá cuûa hai chieàu daøi ñaëc tröng, ρt0/ρc0 [phöông trình (2.184)], cuûa beà maët phaù huûy Mohr−Coulomb treân maët

116

phaúng π trôû thaønh ñôn vò, beà maët Tresca. Beà maët Mohr−Coulomb1/2? Haõy thaûo luaän caùc ñaëc tröng cuûa beà maët phaù huûy vaø veõ quyõ ñaïo cuûa beà maët treân maët phaúng leäch vaø cuõng bieåu thò caùc kinh tuyeán keùo vaø neùn treân maët phaúng kinh tuyeán.

Hình P2.24 OÁng truï thaønh moûng chòu aùp suaát trong vaø ngoaøi

2.24 Moät bình truï thaønh moûng daøi baèng theùp, coù ñöôøng kính D vaø chieàu daøy t chòu aùp suaát beân trong p1 vaø aùp suaát beân ngoaøi ptrong hình P2.24. Giaû söû aùp suaát beân ngoaøi psuaát doïc truïc cuûa oáng, vaø ñeå cho pdöôùi taùc ñoäng p1 = p0 vaø p2 = 0.

a) Haõy tìm aùp suaát giôùi haïn, p1 = pvaø r ñoái vôùi tröôøng hôïp r > 0, theo (i) tieâu chuaån chuaån Tresca.

b) Haõy veõ phaùc ñöôøng cong py theo r ñoái vôùi hai tieâu chuaån.

c) Haõy tìm giaù trò cuûa r sao cho caùc aùp löïc giôùi haïn ñöôïc döï ñoaùn theo hai tieâu chuaån coù söï khaùc nhau lôùn nhaát, vaø cho bieát nguyeân nhaân. Giaû thieát raèng ñöôïc laøm phuø hôïp ôû ñieåm chaûy tröôï

2.25 Haõy chöùng toû raèng

22jikjik J2ssss =

ll

2.26 Moät thoâng soá ñaëc tröng cuûa öùng suaát ñöôïc ñònh nghóa bôûi

12

31

3122 τ=

σ−σσ−σ−σ

=µσ

trôû thaønh ñôn vò, beà maët Mohr−Coulomb seõ ñöôïc quy veà beà maët Coulomb seõ ñöôïc quy veà beà maët gì khi ρt0/ρc0 =

1/2? Haõy thaûo luaän caùc ñaëc tröng cuûa beà maët phaù huûy vaø veõ quyõ ñaïo cuûa leäch vaø cuõng bieåu thò caùc kinh tuyeán keùo vaø neùn

OÁng truï thaønh moûng chòu aùp suaát trong vaø ngoaøi

Moät bình truï thaønh moûng daøi baèng theùp, coù ñöôøng kính D vaø chieàu daøy t vaø aùp suaát beân ngoaøi p2, nhö ñöôïc bieåu dieãn

trong hình P2.24. Giaû söû aùp suaát beân ngoaøi p2 khoâng goùp phaàn taïo ra öùng suaát doïc truïc cuûa oáng, vaø ñeå cho p2 = rp1, r ≥ 0. OÁng baét ñaàu chaûy deûo

= 0.

= py, laøm oáng baét ñaàu chaûy deûo, döôùi daïng p0 vaø r ñoái vôùi tröôøng hôïp r > 0, theo (i) tieâu chuaån von Mises vaø (ii) tieâu

theo r ñoái vôùi hai tieâu chuaån.

Haõy tìm giaù trò cuûa r sao cho caùc aùp löïc giôùi haïn ñöôïc döï ñoaùn theo hai tieâu chuaån coù söï khaùc nhau lôùn nhaát, vaø cho bieát nguyeân nhaân. Giaû thieát raèng ñöôïc laøm phuø hôïp ôû ñieåm chaûy tröôït thuaàn tuùy.

Moät thoâng soá ñaëc tröng cuûa öùng suaát ñöôïc ñònh nghóa bôûi

13

2312

ττ−

, σ1 ≥ σ2 ≥ σ3

117

a) Haõy chöùng toû raèng thoâng soá µσ ñöôïc lieân heä vôùi goùc θ hoaëc ψ nhö

060,36

tantan ≤θµ

=

π−θ=ψ σ

b) Haõy chöùng toû raèng tieâu chuaån chaûy von Mises coù theå ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng µσ nhö

11,3

22

20

31

0

max ≤µ≤−µ+

=σ

σ−σ=

στ

σ

σ

c) Haõy veõ ñöôøng cong 2τmax/σ0 theo µσ vaø thaûo luaän söï khaùc nhau giöõa tieâu chuaån von Mises vaø Tresca.

2.27 Giaû söû raèng ñoä beàn neùn vaø keùo ñôn truïc cuûa vaät lieäu beâ toâng laø fc’ vaø ft’ = fc’/10. Haõy döï ñoaùn traïng thaùi öùng suaát luùc phaù huûy

a) Ñaët taûi tæ leä, σx = σy = −p, σz = −Ap, ôû ñaây A laø haèng soá lôùn hôn moät. Haõy bieåu dieãn traïng thaùi öùng suaát luùc phaù huûy theo fc’ vaù A. Giaù trò cöïc tieåu cuûa A, Amin, ñeå maø neáu A ≤ Amin, maãu seõ khoâng bao giôø bò phaù huûy laø gì?

b) Tröôùc tieân taêng σx = σy cho ñeán khi traïng thaùi öùng suaát σx = σy −Rfc’, σz = 0, ôû ñaây R laø haèng soá lôùn hôn khoâng, ñöôïc ñaït tôùi; roài môùi taêng σz. Haõy bieåu dieãn traïng thaùi öùng suaát luùc phaù huûy theo fc’ vaø R. Giaù trò cöïc ñaïi cuûa R, Rmax, ñeå maø neáu R ≥ Rmax, maãu seõ bò phaù huûy tröôùc khi ñaït ñeán traïng thaùi σx = σy −Rfc’ laø gì?

2.28 Söï ñaùp öùng σ−ε trong thí nghieäm keùo ñôn truïc ñoái vôùi vaät lieäu chaûy deûo bieán cöùng ñaøn tuyeán tính ñöôïc xaáp xæ bôûi bieåu thöùc sau

σ<σεσ≥σε+σ

=σ0

0p

0

khi,E

khi,m

ôû ñaây σ0 laø öùng suaát chaûy keùo ban ñaàu. Moät maãu vaät lieäu ñaàu tieân ñöôïc keùo tôùi traïng thaùi coù bieán daïng deûo tích luõy p

0p ε=ε vaø roài ñöôïc caát taûi

vaø ñaët taûi nghòch ñaûo tôùi traïng thaùi neùn sao cho bieán daïng deûo tích luõy εp = 0. Theo (i) quy luaät bieán cöùng ñaúng höôùng, (ii) quy luaät bieán cöùng ñoäng hoïc, vaø (iii) quy luaät bieán cöùng ñoäc laäp, haõy xaùc ñònh caùc ñoä beàn chaûy keùo vaø neùn hieän haønh cuûa vaät lieäu ôû traïng thaùi öùng suaát naøy.

118

Hình P2.27 Moät khoái beâ toâng chòu traïng thaùi öùng suaát neùn khoái

Moät khoái beâ toâng chòu traïng thaùi öùng suaát neùn khoái

119

CC hh öö ôô nn gg 33

CAÙC QUAN HEÄ ÖÙNG SUAÁT−−−−BIEÁN DAÏNG ÑAØN HOÀI

3.1 BIEÁN DAÏNG

3.1.1 Traïng thaùi bieán daïng taïi moät ñieåm

Trong vieäc phaân tích öùng suaát, moät traïng thaùi öùng suaát ôû moät ñieåm coù theå ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch xaùc ñònh voâ soá vectô öùng suaát taùc ñoäng leân voâ soá maët caét ñi qua ñieåm aáy. Töông töï, traïng thaùi bieán daïng ôû moät ñieåm ñöôïc xaùc ñònh nhö laø toaøn boä söï thay ñoåi chieàu daøi cuûa caùc ñöôøng vaät lieäu (caùc thôù) ñi qua ñieåm ñoù vaø caû toaøn boä söï thay ñoåi goùc giöõa caùc caëp ñöôøng thaúng toûa ra töø ñieåm naøy.

Tuy nhieân, nhö seõ ñöôïc bieát sau naøy laø söï thay ñoåi chieàu daøi cuûa ñöôøng vaät lieäu baát kyø ñi qua ñieåm vaø söï thay ñoåi goùc giöõa hai ñöôøng baát kyø toûa ra töø ñieåm naøy coù theå ñöôïc tính toaùn moät khi nhöõng thay ñoåi chieàu daøi vaø thay ñoåi goùc ñoái vôùi ba ñöôøng vaät lieäu song song vôùi heä truïc toïa ñoä vuoâng goùc laãn nhau ñi qua ñieåm naøy.

Hình 3.1 bieåu dieãn moät phaân toá ñöôøng vi phaân OP taïi ñieåm O ôû vò trí goác chöa bieán daïng vôùi chieàu daøi baèng ñôn vò beân trong vaät theå. Sau khi bieán daïng, phaân toá bò dòch chuyeån ñeán vò trí môùi O’P’, nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình. Chuù yù raèng, ñoái vôùi chieàu daøi raát ngaén cuûa phaân toá ñöôøng, vaø ñoái vôùi söï bieán thieân trôn mòn cuûa caùc bieán daïng trong vuøng laân laän cuûa ñieåm O, phaân toá bò dòch chuyeån O’P’ vaãn thaúng. Vectô chuyeån vò töông ñoái cuûa ñieåm P ñoái vôùi

ñieåm O ñöôïc bieåu thò bôûi n

δr

, ôû ñaây vectô "P'O thì baèng vaø song song vôùi vectô OP vaø chæ soá phía treân n bieåu thò höôùng cuûa phaân toá ñöôøng OP tröôùc bieán daïng. Khaûo saùt caùc thôù daøi ñôn vò theo höôùng cuûa caùc truïc toïa ñoä, x1, x2, vaø x3, caùc vectô chuyeån vò töông ñoái töông öùng ñoái vôùi nhöõng ñöôøng naøy ñöôïc

bieåu thò bôûi 1

δr

, 2

δr

, vaø 3

δr

. Nhö moät söï löïa choïn, ta cuõng coù theå duøng kyù hieäu ñoâi x

'δr

, y

'δr

, vaø z

'δr

moät caùch töông öùng. Caû hai kyù hieäu naøy ñöôïc duøng coù theå thay theá cho nhau trong chöông naøy.

120

Hình 3.2 Caùc vector chuyeån vò töông ñoái trong khoâng gian hai chieàu

O

x2

P

n

′δr

x1

B’ P’

Chieàu daøi ñôn vò

A’

B

A

P1

P2 2

2n′δr

1

1n′δr

Ñeå tìm moái quan heä giöõa vectô chuyeån vò töông ñoái n

'δr

ñoái vôùi thôù baát kyø theo

höôùng nr vôùi caùc vectô chuyeån vò töông ñoái

1

'δr

, 2

'δr

, vaø 3

'δr

ñoái vôùi ba truïc toïa ñoä, moät hình hai chieàu seõ ñöôïc khaûo saùt. Ñieàu naøy laø do hình hai chieàu deã hình dung hôn, vaø söï môû roäng sang khoâng gian ba chieàu ñöôïc thöïc hieän deã daøng. Trong hình 3.2, thôù vi phaân n

r vôùi chieàu daøi ñôn vò ôû ñieåm O ñöôïc bieåu dieãn trong maët

phaúng x1−x2. Caùc hình chieáu cuûa chieàu daøi thôù naøy treân caùc truïc x1 vaø x2 töông öùng laø n1 vaø n2, ôû ñaây n1 vaø n2 laø caùc cosine chæ phöông cuûa vectô n

r. Do ñoù, töø

hình 3.2, vaø do traïng thaùi ñoàng nhaát cuûa bieán daïng khaép mieàn nhoû trong mieàn laân caän keà saùt ñieåm O, ta coù

21 PPPP'PP +=

hoaëc 2

2

1

1n

n'n'' δ+δ=δ (3.1)

Ñoái vôùi tröôøng hôïp ba chieàu toång quaùt, ta coù

3

3

2

2

1

1n

n'n'n'' δ+δ+δ=δ (3.2)

Hình 3.1 Vector chuyeån vò töông ñoái ñoái vôùi thôù nr

O

x3

P

n

′δr

x2

x1

rn

Vò trí goác

O’

P’’ P’

Chieàu daøi ñôn vò Vò trí bieán daïng

121

Phöông trình (3.2) töông töï vôùi (2.7) cho caùc öùng suaát, noù bieåu dieãn vectô öùng

suaát, n

T , ôû ñieåm khaûo saùt taùc ñoäng treân maët nghieâng tuøy yù coù phaùp tuyeán ñôn vò nr theo caùc vectô öùng suaát ôû ñieåm ñoù taùc ñoäng treân ba maët phaúng vuoâng goùc vôùi

ba truïc toïa ñoä. Tuy nhieân, khoâng gioáng nhö öùng suaát, traïng thaùi bieán daïng hoaëc bieán daïng cuûa ñieåm O khoâng theå ñöôïc ñònh nghóa hoaøn toaøn moät caùch ñôn giaûn

baèng caùch xaùc ñònh ba vectô chuyeån vò töông ñoái 1

'δr

, 2

'δr

, vaø 3

'δr

. Chuùng ta vaãn phaûi taùch caùc chuyeån vò cuûa vaät theå cöùng (caùc thaønh phaàn tònh tieán vaø quay cuûa toaøn boä vaät theå), neáu coù theå, ra khoûi caùc vectô chuyeån vò töông ñoái do caùc chuyeån vò cuûa vaät theå cöùng khoâng lieân quan ñeán vieäc tính bieán daïng. Thuû tuïc taùch rôøi ñöôïc cho döôùi ñaây ñoái vôùi tröôøng hôïp bieán daïng voâ cuøng beù.

Caùc vectô chuyeån vò töông ñoái lieân quan ñeán ba thôù theo caùc phöông truïc toïa ñoä x1, x2, vaø x3 coù theå ñöôïc phaân tích thaønh nhöõng thaønh phaàn theo ba phöông truïc

toïa ñoä. Thí duï, vectô chuyeån vò töông ñoái 1

'δr

, lieân quan ñeán phöông x1, coù ba thaønh phaàn ε’11, ε’12, vaø ε’13 töông öùng theo ba phöông truïc toïa ñoä x1, x2, vaø x3. Do ñoù, phöông trình (3.2) coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng thaønh phaàn

j,ji

n,

i nε=δ (3.3)

ôû ñaây chín ñaïi löôïng voâ höôùng ε’ij caàn thieát ñeå ñònh nghóa ba vectô chuyeån vò

töông ñoái 1

'δr

, 2

'δr

, vaø 3

'δr

caáu thaønh moät tenxô. Tenxô naøy, ñöôïc goïi laø tenxô chuyeån

vò töông ñoái, ñònh nghóa hoaøn toaøn vectô chuyeån vò töông ñoái n

'δr

cuûa thôù vaät lieäu nr

. Baèng caùch duøng caùc kyù hieäu keùp, tenxô naøy coù theå ñöôïc vieát nhö

x xy xz1 1 12 13

ij 21 2 2 23 yx y yz

31 32 3 3 zx zy z

′ ′ ′ε ε ε′ ′ ′ε ε ε ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ε = ε ε ε = ε ε ε ′ ′ ′ε ε ε ′ ′ ′ε ε ε

(3.4)

Toång quaùt, nhö coù theå ñöôïc thaáy töø phöông trình (3.4), tenxô chuyeån vò töông ñoái ε’ij khoâng coù tính ñoái xöùng.

Chuyeån ñoäng cuûa vaät theå cöùng, nhö ñaõ ñeà caäp ôû treân, ñöôïc ñaëc tröng bôûi thöïc teá raèng chieàu daøi cuûa phaân toá ñöôøng noái hai ñieåm tuøy yù vaãn duy trì khoâng ñoåi. Trong phaàn döôùi ñaây, caùc ñieàu kieän veà caùc heä soá ε’ij thoûa yeâu caàu naøy ñoái vôùi chuyeån ñoäng cuûa vaät theå cöùng seõ thu ñöôïc. Haõy khaûo saùt phaân toá ñöôøng

OP n=uuur r , nhö ñöôïc bieåu dieãn treân hình 3.1, vaø giaû thieát raèng sau chuyeån ñoäng quay thuaàn tuùy cuûa vaät theå cöùng, phaân toá coù vò trí môùi O’P’ nhö ñöôïc bieåu

122

dieãn. Theá roài,

n2

2n2'n2n'nn δ+==δ+=

hoaëc

n

,iiii

n,ii

n,iiii n2nnnnnn δ+=

δ+

δ+=

ôû ñaây caùc soá haïng baäc cao cuûa n

'δr

ñöôïc boû qua do caùc bieán daïng laø voâ cuøng nhoû.

Thay n

'δr

töø phöông trình (3.3), ta nhaän ñöôïc

( ) 0nnn'n j,ji

n,ii

n

=ε=δ=δ

hoaëc, khi ñöôïc cheùp ñaày ñuû,

( )

( ) ( ) 0nnnn

nnnnnnn

13,

13,3132

,32

,23

21,21

,123

,332

,221

,11ji

,j

=ε+ε+ε+ε+

ε+ε+ε+ε+ε=ε (3.5)

Do phöông trình (3.5) phaûi ñuùng ñoái vôùi taát caû caùc giaù trò cuûa n1, n2, vaø n3, söï caàn thieát vaø ñieàu kieän ñuû ñoái vôùi tenxô ε’ij ñeå dieãn taû chuyeån ñoäng quay cuûa vaät raén cöùng ñöôïc cho bôûi

( ) ( ) ( ) 0,13

,31

,32

,23

,21

,12

,33

,22

,11 =ε+ε=ε+ε=ε+ε=ε=ε=ε

hoaëc ,ji

,ij ε−=ε (3.6)

Nghóa laø, ñoái vôùi chuyeån ñoäng vaät theå cöùng, tenxô chuyeån vò töông ñoái ε’ij cuûa phöông trình (3.4) coù tính phaûn ñoái xöùng (ñoái xöùng leäch).

Baây giôø, moãi tenxô baäc hai coù theå ñöôïc phaân tích thaønh toång cuûa tenxô ñoái xöùng vaø tenxô phaûn ñoái xöùng. Do ñoù, neáu ta phaân tích tenxô ε’ij thaønh phaàn ñoái xöùng vaø phaûn ñoái xöùng, phaàn phaûn ñoái xöùng moâ taû söï quay cuûa vaät theå cöùng, traùi laïi phaàn ñoái xöùng moâ taû bieán daïng thuaàn tuùy. Do ñoù, ta coù theå vieát

( ) ( ),ji

,ij

,ji

,ij

,ij 2

1

2

1ε−ε+ε+ε=ε (3.7)

hoaëc ijij,ij ω+ε=ε (3.8)

ôû ñaây

( ),ji

,ijij

2

1ε+ε=ε (3.9)

123

( ),ji

,ijij

2

1ε−ε=ω (3.10)

Khai trieån caû hai tenxô εij vaø ωij, ta nhaän ñöôïc

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

εε+εε+ε

ε+εεε+ε

ε+εε+εε

=ε

,33

,23

,32

,13

,31

,32

,23

,22

,12

,21

,31

,13

,21

,12

,11

ij

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

(3.11)

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

ε−εε−ε

ε−εε−ε

ε−εε−ε

=ω

02

1

2

12

10

2

12

1

2

10

,23

,32

,13

,31

,32

,23

,12

,21

,31

,13

,21

,12

ij (3.12)

Tenxô ñoái xöùng εij ñöôïc goïi laø tenxô bieán daïng vaø tenxô phaûn ñoái xöùng ωij ñöôïc goïi laø tenxô quay. Baây giôø, neáu ta thay ε’ij töø phöông trình (3.8) vaøo phöông trình (3.3), ta thu ñöôïc

jjijji

n,i nn ω+ε=δ (3.13)

Phaàn thöù hai cuûa phöông trình (3.13) moâ taû söï quay cuûa vaät theå cöùng traùi vôùi phaàn moät bieåu thò caùc bieán daïng thuaàn tuùy.

Vectô chuyeån vò töông ñoái töông öùng vôùi bieán daïng thuaàn ñöôïc goïi laø vectô bieán

daïng. Vectô bieán daïng ñöôïc kyù hieäu bôûi n

'δr

vaø ñöôïc cho bôûi

jijjji

n

i nn ε=ε=δ (3.14)

Vectô chuyeån vò töông ñoái töông öùng vôùi söï quay cuûa vaät theå cöùng ñöôïc goïi laø vectô quay. Vectô naøy ñöôïc kyù hieäu bôûi

jijjjii

n

nn ω−=ω=Ω (3.15)

Ñoái vôùi bieán daïng thuaàn tuùy, phöông trình (3.2) trôû thaønh

3

3

2

2

1

1n

nnn δ+δ+δ=δ (3.16)

phöông trình naøy bieåu dieãn vectô bieán daïng ñoái vôùi thôù tuøy yù coù phöông nr theo

caùc vectô bieán daïng cuûa ba thôù vuoâng goùc laãn nhau cuøng phöông vôùi ba truïc toïa

ñoä x1, x2, vaø x3. Do ñoù, ba vectô bieán daïng 1

δr

, 2

δr

, vaø 3

δr

ñaëc tröng hoaøn toaøn

124

traïng thaùi bieán daïng ôû moät ñieåm.

Caùc keát quaû taùch nhöõng chuyeån vò cuûa vaät theå cöùng ra khoûi caùc chuyeån vò gaây ra bieán daïng coù theå ñöôïc hình dung moät caùch deã daøng baèng caùch khaûo saùt moät hình aûnh hai chieàu nhö hình 3.3. Trong hình naøy, Caùc vò trí goác vaø cuoái cuøng cuûa hai thôù thaúng theo phöông cuûa caùc truïc x1 vaø x2 ñöôïc bieåu dieãn trong maët phaúng x1−x2. Ta coù theå nhaän ra vò trí cuoái cuøng cuûa caùc thôù thu ñöôïc töø vò trí cuoái cuøng baèng caùch ñaët choàng hai quaù trình taùch rôøi cuûa söï bieán daïng. Ñaàu tieân laø do bieán daïng thuaàn vaø thöù hai bieåu dieãn söï quay cuûa vaät theå cöùng.

Caùc coâng thöùc trong caùc phöông trình (3.14) vaø (3.16) hoaøn toaøn töông töï vôùi caùc phöông trình cho caùc öùng suaát. Do ñoù, caùc keát quaû toång quaùt veà bieán daïng töông töï vôùi caùc keát quaû veà öùng suaát coù theå ñöôïc thieát laäp.

3.1.2 Caùc coâng thöùc Cauchy cho bieán daïng

ÔÛ ñaây, nhö ñoái vôùi öùng suaát, vectô bieán daïng n

δr

ñoái vôùi thôù tuøy yù nr coù theå ñöôïc

phaân tích thaønh hai thaønh phaàn, moät theo phöông cuûa thôù nr, ñöôïc goïi laø bieán

daïng phaùp hay bieán daïng daøi, vaø thaønh phaàn coøn laïi naèm trong maët phaúng vuoâng goùc vôùi thôù, ñöôïc goïi laø bieán daïng tröôït hay bieán daïng goùc. Thí duï, vectô bieán

Hình 3.3 Caùc vector bieán daïng vaø quay trong tröôøng hôïp hai chieàu

dx

2 =

1

dx1 = 1

125

daïng 1

δr

coù ba thaønh phaàn nhö sau: bieán daïng phaùp ε11 vaø caùc bieán daïng tröôït ε12 vaø ε13 töông öùng theo phöông cuûa ba truïc toïa ñoä x1, x2, vaø x3.

Khaûo saùt moät thôù baát kyø nr ôû ñieåm P vôùi vectô bieán daïng

n

δr

coù thaønh phaàn bieán daïng phaùp εn vaø thaønh phaàn bieán daïng tröôït εns, nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 3.4. Vectô n

r coù ba thaønh phaàn (n1, n2, n3). Ñoä lôùn cuûa thaønh phaàn bieán daïng

phaùp εn ñöôïc cho bôûi

i

n

i

n

n nn δ=δ=ε (3.17)

Thay theá i

n

δ töø phöông trình (3.14) vaø duøng tính ñoái xöùng cuûa tenxô εij, ta nhaän ñöôïc

jiijn nnε=ε (3.18)

Töông töï, neáu vectô ñôn vò sr vuoâng goùc vôùi phöông n

r coù caùc thaønh phaàn (s1, s2,

s3), ñoä lôùn cuûa thaønh phaàn bieán daïng tröôït εns ñöôïc cho bôûi

i

n

i

n

ns ss δ=δ=ε

Nhôø vaøo söï thay theá i

n

δ töø (3.14), phöông trình treân trôû thaønh

ijijns snε=ε (3.19)

Caùc phöông trình (3.18) vaø (3.19) laø caùc coâng thöùc Cauchy caàn thieát ñeå xaùc ñònh caùc thaønh phaàn bieán daïng phaùp vaø tröôït ñoái vôùi thôù tuøy yù n

r . Moãi phöông trình trong caùc phöông trình (3.14), (3.16), (3.18) vaø (3.19) bieåu thò daïng rieâng bieät cuûa caùc coâng thöùc Cauchy, nhöng, thöïc teá, ñoái vôùi traïng thaùi bieán daïng ñaõ cho ôû moät ñieåm, caùc phöông trình (3.18) vaø (3.19) laø nhöõng daïng höõu duïng nhaát ñeå thu nhaän caùc thaønh phaàn bieán daïng phaùp vaø tröôït moät caùch tröïc tieáp.

Thí duï 3.1 Traïng thaùi bieán daïng ôû moät ñieåm ñöôïc xaùc ñònh bôûi tenxô bieán daïng

−−−

−

−

=ε

00150,000125,000025,0

00125,000100,000183,0

00025,000183,000200,0

ij

Ñoái vôùi thôù coù phöông ),5/2,5/1,0(n −−= haõy tính:

(a) Bieán daïng phaùp εn ñoái vôùi thôù.

126

(b) Ñoä lôùn cuûa vectô bieán daïng n

δr

.

(c) Ñoä lôùn cuûa bieán daïng tröôït εns, ôû ñaây vectô ñôn vò sr coù caùc thaønh phaàn (-1, 0, 0).

Hình 3.4 Caùc thaønh phaàn bieán daïng phaùp vaø tröôït cuûa veùctô bieán daïng ôû ñieåm ñoái vôùi moät thôù

Giaûi (a) Thay caùc thaønh phaàn cuûa n

r vaø εij vaøo phöông trình (3.18), ta nhaän ñöôïc

002,05

)2(0025,0

5

)4(0015,0

5

001,0n −=−−=ε

(b) Töø phöông trình (3.14), caùc thaønh phaàn i

n

δ ñöôïc tính toaùn:

0019,05

2)00125,0(

5

1)00125,0(

00067,05

2)00125,0(

5

1)001,0(

00059,05

2)00025,0(

5

1)00183,0(

3

n

2

n

1

n

−=

−−+

−−=δ

=

−−+

−=δ

−=

−−+

−=δ

Do ñoù, ( ) ( ) ( )[ ] 0021,00019,000067,000059,0 2/1222n

=++−=δ

hoaëc n

δ coù theå ñöôïc tính toaùn tröïc tieáp töø quan heä

s n

127

6kjikiji

n

i

nn

210.41,4nn −=εε=δδ=δ

(c) Ñoä lôùn cuûa bieán daïng tröôït εns ñöôïc tính toaùn baèng caùch duøng phöông trình (3.19):

( )( ) ( )

006,0)1(5

2)00025,0()1(

5

1)00183,0(

snsnsnsn

snsnsnsnsn

133131322323

211212333322221111ns

=−

−−+−

−=

+ε++ε+

+ε+ε+ε+ε=ε

Chuù yù raèng bieán daïng tröôït εns ñöôïc tính toaùn nhö treân bieåu dieãn hình chieáu cuûa bieán daïng tröôït toång θ leân phöông s

r . Bieán daïng tröôït toång θ ôû ñieåm naøy ñoái vôùi thôù n

r phaûi ñöôïc tính bôûi quan heä

6662n

n2

2 10.41,010.410.41,4 −−− =−=ε−δ=θ

hay 00064,0=θ

3.1.3 Caùc bieán daïng tröôït kyõ thuaät vaø bieán daïng tröôït tenxô

Caùc giaù trò cuûa caùc thaønh phaàn bieán daïng tröôït ε12, ε13, vaø ε23 (hoaëc εxy, εxz, vaø εyz) ñöôïc goïi laø caùc bieán daïng tröôït tenxô. Trong nhieàu öùng duïng, moät ñònh nghóa kyõ thuaät khaùc ñoái vôùi caùc bieán daïng tröôït thöôøng ñöôïc duøng. Bieán daïng tröôït kyõ thuaät, γ, ñöôïc ñònh nghóa nhö laø söï thay ñoåi goùc giöõa hai thôù vuoâng goùc vôùi nhau tröôùc khi bieán daïng. Do ñoù, töø hình 3.3 ñoái vôùi bieán daïng thuaàn tuùy, ta coù

Löôïng thay ñoåi goùc = ε12 + ε21 = 2ε12

hoaëc γxy = γyx = 2ε12 = 2εxy (3.20)

vaø töông töï ñoái vôùi γxz = γzx vaø γyz = γzy.

Do ñoù, tenxô bieán daïng tröôït εij ñöôïc vieát theo nhöõng kyù hieäu khaùc nhö

εγγγεγγγε

=

εεεεεεεεε

=

εεεεεεεεε

=ε

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

333231

232221

131211

ij

22

22

22 (3.21)

128

Caùc kyù hieäu khaùc nhau trong phöông trình (3.21) ñöôïc duøng coù theå hoaùn ñoåi nhau ñeå thuaän tieän hôn trong moät soá öùng duïng cuï theå.

3.1.4 Caùc bieán daïng chính

Trong chöông phaân tích öùng suaát, ta ñaõ chöùng minh raèng toàn taïi ít nhaát ba maët phaúng tröïc giao laãn nhau maø treân ñoù khoâng coù öùng suaát tieáp taùc ñoäng, chuùng ñöôïc goïi laø caùc maët chính vaø caùc phaùp tuyeán cuûa caùc maët naøy ñöôïc goïi laø caùc truïc chính. Trong vieäc tính toaùn bieán daïng cuûa ñieåm, nhöõng truïc chính nhö theá cuõng toàn taïi.

Phöông chính hoaëc truïc chính laø phöông cuûa thôù nr sao cho vectô bieán daïng

n

δr

cuûa noù cuøng phöông vôùi thôù n

r. Ñoái vôùi phöông nhö theá, caùc bieán daïng tröôït seõ

baèng khoâng. Ñieàu naøy nguï yù raèng caùc thôù theo caùc phöông naøy chuùng vuoâng goùc vôùi nhau tröôùc chuyeån ñoäng vaãn vuoâng goùc vôùi nhau sau chuyeån ñoäng. Nhöõng bieán daïng töông öùng ñöôïc goïi laø caùc bieán daïng chính; do ñoù, ñoái vôùi phöông chính, ta coù

nn

ε=δ (3.22)

hoaëc i

n

i nε=δ (3.23)

Thay i

n

δ töø phöông trình (3.14) daãn ñeán

ijij nn ε=ε

hay, vieát ni = δijnj (δij laø toaùn töû thay theá), ta nhaän ñöôïc

jijjij nn εδ=ε (3.24)

hoaëc ( ) 0n jijij =εδ−ε (3.25)

Ñieàu kieän coù nghieäm khoâng taàm thöôøng

0ijij =εδ−ε (3.26)

phöông trình naøy töông töï nhö phöông trình töông öùng cho caùc öùng suaát chính, vôùi vieäc thay theá öùng suaát cho bieán daïng [xem phöông trình (2.33)]. Do ñoù, taát caû nhöõng nhaän xeùt vaø ñaïo haøm ñöôïc thöïc hieän cho tenxô öùng suaát hoaøn toaøn coù theå aùp duïng taïi ñaây. Phöông trình (3.26) coù theå ñöôïc vieát nhö

0

zzyzx

yzyyx

xzxyx

=ε−εεε

εε−εεεεε−ε

(3.27)

129

phöông trình treân coù ba nghieäm thöïc, ε1, ε2, vaø ε3, töông öùng vôùi ba bieán daïng chính.

Phöông trình ñaëc tröng ñöôïc cho bôûi (3.27) coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng

0III,3

,2

2,1

3 =+ε+ε−ε (3.28)

ôû ñaây caùc baát bieán bieán daïng I’1, I’2, vaø I’3 ñöôïc cho bôûi

iizyx332211,1I ε=ε+ε+ε=ε+ε+ε= (3.29)

yyx

xyx

zzx

xzx

yzy

yzy

2221

1211

3331

1311

3332

2322,2I

εεεε

+εεεε

+εεεε

=

εεεε

+εεεε

+εεεε

=

= toång caùc phaàn phuï ñaïi soá hai haøng chính cuûa εij (3.30)

zzyzx

yzyyx

xzxyx

333231

232221

131211,3I

εεεεεεεεε

=εεεεεεεεε

=

= ñònh thöùc cuûa εij (3.31)

hoaëc, theo caùc bieán daïng chính ε1, ε2, vaø ε3,

321,1I ε+ε+ε=

133221,2I εε+εε+εε= (3.32)

321,3I εεε=

Baèng caùch thay caùc bieán daïng chính ε1, ε2, vaø ε3, nhö ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch giaûi phöông trình baäc ba (3.28), vaøo phöông trình (3.25), ta tìm ñuôïc caùc phöông

chính bieán daïng )2()1(

n,n vaø ,n)3(nhö ñaõ ñöôïc laøm cho tenxô öùng suaát. Theo caùc

böôùc töông töï nhö khi tính öùng suaát, ta coù theå thaáy raèng caùc bieán daïng chính coù caùc giaù trò döøng.

3.1.5 Caùc bieán daïng tröôït chính

Caùc bieán daïng tröôït ñoái vôùi moät soá thôù ôû moät ñieåm coù nhöõng giaù trò döøng ñöôïc goïi laø caùc bieán daïng tröôït chính. Ñeå tìm caùc phöông cuûa caùc thôù nhö theá, moät thuû tuïc töông töï nhö ñoái vôùi öùng suaát ñöôïc hieän. Haõy khaûo saùt thôù ñöôøng ôû ñieåm

P vôùi phöông nr vaø vectô bieán daïng

n

δr

ñöôïc xem xeùt trong heä caùc truïc bieán daïng chính. Thaønh phaàn bieán daïng phaùp ñoái vôùi thôù naøy laø εn vaø ñoä lôùn cuûa thaønh phaàn bieán daïng tröôït toång ñöôïc kyù hieäu bôûi θn (bieán daïng tröôït tenxô). Do ñoù,

130

2n

n

i

n

i2n ε−δδ=θ

Thay theá i

n

δ vaø εn töø caùc phöông trình (3.14) vaø (3.18), döôùi daïng caùc thaønh phaàn εij ñöôïc xem laø caùc truïc chính bieán daïng, ta nhaän ñöôïc

( ) ( )2233

222

211kjkiji

2n nnnnn ε+ε+ε−εε=θ

hoaëc ( ) ( )2233

222

211

23

23

22

22

21

21

2n nnnnnn ε+ε+ε−ε+ε+ε=θ (3.33)

So saùnh phöông trình (3.33) vôùi (2.43), ta nhaän thaát chuùng coù daïng ñoàng nhaát, vôùi Sn ñöôïc thay theá bôûi θn vaø caùc öùng suaát chính bôûi caùc bieán daïng chính. Vì theáù, caùc bieán daïng tröôït chính vaø caùc phöông töông öùng coù theå nhaän ñöôïc moät caùch chính xaùc baèng caùch thöùc töông töï nhö ñoái vôùi öùng suaát. Do ñoù, baèng caùch ñònh roõ caùc bieán daïng tröôït chính tenxô θ1, θ2, vaø θ3, ta coù theå vieát

213

132

321

2

12

12

1

ε−ε=θ

ε−ε=θ

ε−ε=θ

(3.34)

vaø caùc bieán daïng tröôït chính kyõ thuaät γ1, γ2, vaø γ3 ñöôïc cho bôûi

213

132

321

2

12

12

1

ε−ε=γ

ε−ε=γ

ε−ε=γ

(3.35)

Bieán daïng tröôït cöïc ñaïi laø giaù trò lôùn nhaát cuûa caùc bieán daïng tröôït chính. Do ñoù, ñoái vôùi quy öôùc ε1 > ε2 > ε3, bieán daïng tröôït cöïc ñaïi ñöôïc cho bôûi

31maxmax 20 ε−ε==γ (3.36)

3.1.6 Caùc bieán daïng baùt dieän

Thôù baùt dieän cuûa vaät lieäu laø thôù coù phöông nghieâng ñeàu so vôùi ba truïc bieán daïng chính 1, 2, vaø 3. Caùc bieán daïng phaùp vaø tröôït baùt dieän cuûa thôù baùt dieän laàn löôït ñöôïc kyù hieäu bôûi εoct vaø γoct. Ñoái vôùi moät thôù baùt dieän, vectô ñôn vò n

r coù caùc thaønh phaàn )31,31,31( . Do ñoù, töø phöông trình (3.18), bieán daïng phaùp baùt dieän εoct ñöôïc cho bôûi

131

( )3

I

3

1,1

321oct =ε+ε+ε=ε (3.37)

coâng thöùc treân mieâu taû giaù trò trung bình cuûa ba bieán daïng chính.

Bieán daïng tröôït baùt dieän, γoct, vôùi ñònh nghóa bieán daïng tröôït kyõ thuaät, coù theå thu ñöôïc töø phöông trình (3.33), vôùi γoct = 2θoct. Do ñoù,

3

2oct =γ ( ) ( ) ( )

1 22 2 2oc t 1 2 2 3 3 1

23 γ = ε − ε + ε − ε + ε − ε

(3.38)

Bieán daïng tröôït baùt dieän cuõng coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng caùc baát bieán bieán daïng nhö

( ) 2/1,2

2,

1oct I3I3

22−=γ (3.39)

vaø theo caùc bieán daïng toång quaùt, noù trôû thaønh

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 2/12zx

2yz

2xy

2xz

2zy

2yxoct 6

3

2ε+ε+ε+ε−ε+ε−ε+ε−ε=γ (3.40)

noù bieåu dieãn bieán daïng tröôït baùt dieän theo caùc thaønh phaàn bieán daïng trong heä truïc toïa ñoä baát kyø x, y, vaø z.

Thí duï 3.2 Tenxô bieán daïng εij cuûa ñieåm ñöôïc cho bôûi

−−

=ε002,0000785,00

000785,0001,00

00001,0

ij (3.41)

Haõy tính: a) Caùc bieán daïng chính ε1, ε2, vaø ε3. b) Bieán daïng tröôït cöïc ñaïi γmax. c) Caùc bieán daïng baùt dieän.

Giaûi a) Tính toaùn caùc baát bieán öùng suaát I’1, I’2, vaø I’3 töø phöông trình (3.29) ñeán (3.31):

I’1 = 0)002,0()001,0()001,0( =+−+−

I’2 = 22 )001,0()002,0)(001,0()000785,0()002,0)(001,0( −+−+−−

= 61062,3 −×−

132

I’3 = 91062,2

002,0000785,00

000785,0001,00

00001,0−×=

−−

Do ñoù, phöông trình ñaëc tröng trôû thaønh

01062,21062,3 963 =×−ε×−ε −−

hoaëc 0)1062,210)(10( 6323 =×+ε−ε+ε −−−

vaø ba bieán daïng chính thu ñöôïc nhö:

ε1 = 0,00219; ε2 = −0,001 vaø ε3 = −0,00119

Kieåm tra: thay theá caùc giaù trò ε1, ε2, vaø ε3 vaøo phöông trình (3.32) ñeå kieåm tra caùc keát quaû thu ñöôïc.

I’1 = 0321 =ε+ε+ε

I’2 = 133221 εε+εε+εε

= )00219,0)(00119,0()00119,0)(001,0()001,0)(00219,0( −+−−+−

= 61062,3 −×−

I’3 = 9321 1062,2)00119,0)(001,0)(00219,0( −×=−−=εεε

b) Bieán daïng tröôït cöïc ñaïi γmax ñöôïc tính töø phöông trình (3.36):

γmax = |0,00219 + 0,00119| = 0,00338

c) Do caùc baát bieán bieán daïng I’1 vaø I’2 ñaõ ñöôïc tính tröôùc, caùc bieán daïng baùt dieän εoct vaø γoct thu ñöôïc tröïc tieáp töø caùc phöông trình (3.37) vaø (3.39)

[ ] 00311,0)1062,3(30

3

22

03

,I

2/16oct

1oct

=×−−=γ

==ε

−

3.1.7 Tenxô leäch bieán daïng

Nhö trong tröôøng hôïp cuûa tenxô öùng suaát, tenxô bieán daïng εij coù theå ñöôïc phaân tích thaønh hai phaàn, phaàn caàu lieân quan ñeán söï thay ñoåi theå tích, vaø phaàn leäch lieân quan ñeán söï thay ñoåi hình daùng (söï meùo moù). Nghóa laø,

ijkkijij 3

1e δε+=ε (3.42)

ôû ñaây eij ñöôïc ñònh nghóa nhö laø tenxô bieán daïng leäch vaø (1/3)εkk = (ε + εy + εz)/3 laø bieán daïng trung bình hay bieán daïng thuûy tónh. Do ñoù, tenxô bieán daïng leäch eij

133

trôû thaønh

ε−ε−εεεεε−ε−εεεεε−ε−ε

=

=

3/)2(

3/)2(

3/)2(

eee

eee

eee

e

yxzzyzx

yzxzyyx

xzxyzyx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

(3.43)

hoaëc, theo caùc bieán daïng chính,

ε−ε−εε−ε−ε

ε−ε−ε=

3/)2(00

03/)2(0

003/)2(

e

213

132

321

ij (3.44)

Chuù yù raèng ñieàu kieän ñoái vôùi traïng thaùi bieán daïng tröôït thuaàn töông töï vôùi ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát tröôït thuaàn tuùy; nghóa laø, ñieàu kieän caàn vaø ñuû cho traïng thaùi bieán daïng tröôït thuaàn tuùy laø εkk = 0. Ñieàu naøy daãn ñeán eij laø traïng thaùi tröôït thuaàn vaø eij vaø εij coù cuøng caùc truïc chính.

Neáu ta khaûo saùt moät hình laäp phöông ñôn vò vôùi caùc caïnh höôùng doïc theo caùc truïc chính bieán daïng, 1, 2, vaø 3, thì sau khi bieán daïng, do khoâng coù bieán daïng tröôït ñoái vôùi caùc truïc chính, ba truïc naøy vaãn vuoâng goùc laãn nhau sau bieán daïng; hình laäp phöông trôû thaønh hình hoäp chöõ nhaät vôùi caùc caïnh (1 + ε1), (1 + ε2), vaø (1 + ε3). Söï thay ñoåi theå tích töông ñoái (hay söï thay ñoåi theå tích treân ñôn vò theå tích), εv, ñöôïc cho bôûi

( )( )( ) 1111V

V321v −ε+ε+ε+=

∆=ε (3.45)

Ñoái vôùi bieán daïng nhoû,

zyx,1321v I

V

Vε+ε+ε==ε+ε+ε=

∆=ε (3.46)

Do ñoù, phaàn caàu cuûa tenxô bieán daïng töông öùng vôùi söï thay ñoåi theå tích εv = εkk. Söï thay ñoåi theå tích, εv, ñöôïc cho trong phöông trình (3.46) ñöôïc goïi laø söï giaõn nôû hay ñôn giaûn laø söï thay ñoåi theå tích.

Caùc baát bieán cuûa tenxô leäch bieán daïng eij gioáng vôùi caùc keát quaû nhaän ñöôïc cho tenxô leäch öùng suaát sij. Caùc baát bieán bieán daïng leäch naøy xuaát hieän trong phöông trình baäc ba cuûa phöông trình ñònh thöùc |eij − eδij| = 0.

0,

Je,

Je,

Je 322

13 =−+− (3.47)

ôû ñaây

134

0eeeeeee,

J 321zyxij1 =++=++== (3.48)

,

J2 = )eeeeee(ee2

1133221ijij ++−=

= [ ] 2zx

2yz

2xy

2xz

2zy

2yx )()()(

6

1ε+ε+ε+ε−ε+ε−ε+ε−ε

= [ ]213

232

221 )()()(

6

1ε−ε+ε−ε+ε−ε (3.49)

( ) 32133

32

31

zzyzx

yzyyx

xzxyx

kijkij,3

eeeeee3

1

eee

eee

eee

eee3

1J

=++=

== (3.50)

trong ñoù e1, e2, vaø e3 laø caùc giaù trò chính cuûa tenxô leäch bieán daïng. Ta cuõng coù theå thaáy raèng caùc baát bieán J’1, J’2, vaø J’3 ñöôïc lieân heä vôùi caùc baát bieán bieán daïng, I’1, I’2, vaø I’3, thoâng qua caùc quan heä sau:

,

J1 = 0

,

J2 = ),

I3,

I(3

1 22

21 − (3.51)

,

J3 = ),

I27,

I,

I9,

I(27

1321

31 +−

Cuoái cuøng, ta coù theå thaáy raèng bieán daïng tröôït baùt dieän γoct ñöôïc lieân heä vôùi baát bieán thöù hai cuûa tenxô leäch bieán daïng, J’2, nhö ñoái vôùi tröôøng hôïp öùng suaát:

,

J3

22 2oct =γ (3.52)

3.1.8 Caùc quan heä bieán daïng−−−−chuyeån vò

Kyù hieäu caùc toïa ñoä cuûa ñieåm vaät lieäu P trong vaät theå ôû vò trí ban ñaàu (chöa bieán daïng) laø xi (x1, x2, x3) ñoái vôùi heä truïc coá ñònh x1, x2, vaø x3, nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 3.5. Caùc toïa ñoä cuûa ñieåm naøy sau khi bieán daïng ñöôïc kyù hieäu ξi (ξ1, ξ2, ξ3) ñoái vôùi caùc truïc toïa ñoä x1, x2, vaø x3. Hình 3.5 bieåu thò hai ñieåm laân caän P vaø Q vôùi caùc toïa ñoä töông öùng tröôùc bieán daïng laø xi vaø xi + dxi, vaø chieàu daøi cuûa phaân toá PQ ñöôïc kyù hieäu bôûi ds0. Sau bieán daïng, hai ñieåm bò dòch chuyeån ñeán caùc ñieåm P’ vaø Q’ vôùi caùc toïa ñoä töông öùng laø ξi vaø ξi + dξi, vaø chieàu daøi cuûa phaân toá P’Q’ trôû thaønh ds. Vectô chuyeån vò cuûa P ñöôïc kyù hieäu bôûi ui, nhö ñöôïc bieåu dieãn treân hình. Do ñoù, ta coù

135

ii20 dxdxds = (3.53)

ii2 ddds ξξ= (3.54)

vaø iii ux=ξ (3.55)

Theá thì jj,iii dxudxd +=ξ (3.56)

hoaëc jj,iiji dx)u(d +δ=ξ (3.57)

ôû ñaây ui,j = ∂ui/∂xj.

Roõ raøng ñaúng thöùc cuûa ds2 vaø 20ds laø ñieàu kieän caàn vaø ñuû cho chuyeån ñoäng cuûa

vaät theå cöùng; vì theá, hieäu 20

2 dsds − coù theå ñöôïc thöïc hieän nhö laø thöôùc ño cuûa caùc bieán daïng. Töø caùc phöông trình (3.53), (3.54) vaø (3.57), ta thu ñöôïc

rrjj,rrjii,rri

rrrriiii20

2

dxdxdx)u(dx)u(

dxdxdddxdxdddsds

−+δ+δ=−ξξ=−ξξ=−

hoaëc

iij,ri,ri,jj,i20

2 dxdx)uuuu(dsds ++=−

bieåu thöùc treân coù theå ñöôïc vieát laïi nhö

iiij20

2 dxdx2dsds ε=− (3.58)

ôû ñaây tenxô εij ñöôïc ñònh nghóa nhö

)uuuu(2

1j,ri,ri,jj,iij ++=ε (3.59)

Neáu caùc chuyeån vò ui vaø caùc ñaïo haøm cuûa chuùng nhoû, thì caùc soá haïng baäc hai trong phöông trình (3.59) coù theå ñöôïc boû qua. Tenxô bieán daïng cho tröôøng hôïp

136

bieán daïng beù thu ñöôïc nhö

)uu(2

1i,jj,iij +=ε (3.60)

hoaëc trong kyù hieäu kyõ thuaät

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=ε

z

w

y

w

z

v

2

1

x

w

z

u

2

1

y

w

z

v

2

1

y

v

x

v

y

u

2

1

x

w

z

u

2

1

x

v

y

u

2

1

x

u

ij (3.61)

Chuù yù raèng, phöông trình (3.56) coù theå ñöôïc duøng ñeå thu moät bieåu thöùc cho tenxô chuyeån vò töông ñoái, ,

ijε , döôùi daïng caùc ñaïo haøm chuyeån vò. Bôûi vì töø ñònh

nghóa veà vectô chuyeån vò töông ñoái ,i

n

δ , ta coù

0

iii

n

ds

dxd, −ξ=δ

Theá thì, töø phöông trình (3.56) ta thu ñöôïc keát quaû

jj,i0

jj,ii

n

nuds

dxu,==δ

So saùnh phöông trình naøy vôùi phöông trình (3.3), ta keát luaän raèng

ijji u, =ε (3.62)

Baèng caùch duøng phöông trình (3.9) hay (3.11), ta nhaän ñöôïc caùc bieåu thöùc töông töï cho tenxô bieán daïng εij nhö ñöôïc cho bôûi phöông trình (3.60) hoaëc (3.61).

Töông töï, thay phöông trình (3.62) vaøo phöông trình (3.10) hoaëc (3.12) seõ taïo ra bieåu thöùc cho tenxô quay

)uu(2

1j,ii,jij −=ω (3.63)

hoaëc trong kyù hieäu kyõ thuaät

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

−

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

−

∂∂

+∂∂

−

=ω

0y

w

z

v

2

1

x

w

z

u

2

1

y

w

z

v

2

10

x

v

y

u

2

1

x

w

z

u

2

1

x

v

y

u

2

10

ij (3.64)

137

3.1.9 YÙ nghóa vaät lyù ñoái vôùi caùc bieán daïng nhoû

Ñoái vôùi bieán daïng nhoû, coù moät yù nghóa vaät lyù ñôn giaûn ñoái vôùi caùc thaønh phaàn bieán daïng εij. Thí duï, thaønh phaàn bieán daïng phaùp ε11 coù theå ñöôïc hieåu nhö sau. Haõy khaûo saùt phaân toá ñöôøng dxi noù naèm doïc theo truïc x1 tröôùc khi bieán daïng nhö ñöôïc bieåu thò trong hình 3.6a. Sau khi bieán daïng, phaân toá ñöôïc kyù hieäu bôûi dξi. Do ñoù, ta coù

dxi = (ds0, 0, 0)

Thay dxi vaøo trong phöông trình (3.58), ta nhaän ñöôïc

20111111jiij

20

2 ds2dxdx2dxdx2dsds ε=ε=ε=−

hay

201100 ds2)dsds)(dsds( ε=−+

noù coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng

110

0

0

0

dsds

ds2

ds

dsdsε

+=

−

138

Nhöng ñoái vôùi bieán daïng nhoû, ds gaàn baèng vôùi ds0; do ñoù,

0

011

ds

dsds −=ε (3.65)

Vì theá, ε11 moâ taû söï giaõn daøi hoaëc söï thay ñoåi chieàu daøi treân ñôn vò daøi cuûa phaân toá ñöôøng song song vôùi truïc x1 tröôùc bieán daïng. Caùc thaønh phaàn bieán daïng ε22 vaø ε33 coù yù nghóa töông töï.

Thaønh phaàn bieán daïng tröôït ε12 cuõng coù theå ñöôïc giaûi thích baèng caùch khaûo saùt hai phaân toá ñöôøng )1(

idx vaø )2(idx . Luùc chöa bieán daïng chuùng laàn löôït song

song vôùi truïc x1 vaø x2, nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 3.6b. Kyù hieäu löôïng giaûm toång goùc vuoâng giöõa hai phaân toá ñöôøng sau bieán daïng bôûi φ12. Do ñoù, ta coù

)2(

i)1(

i

)2(i

)1(i

12dd

dd

2cos

ξξ

ξξ=

φ−π

Söû duïng phöông trình (3.56), ta nhaän ñöôïc

( )( )

( ))2(

i)1(

i

)2(k

)1(ik,ri,ri,kk,i

)2(i

)1(i

)2(i

)1(i

)2(kt,i

)2(i

)1(kk,i

)1(i

12

dd

dxdxuuuudxdx

dd

dxudxdxudx

2cos

ξξ

+++=

ξξ

++=

φ−π

Nhöng (1) ( 2 )i id x dx 0 = 0 (vì hai vectô vuoâng goùc); theá roài

139

( ) ( )2211

12

)2(i

)1(i

)2(k

)1(iik

12 11

2

dd

dxdx2

2cos

ε+ε+ε

=ξξ

ε=

φ−π

Ñoái vôùi bieán daïng nhoû, ñaúng thöùc treân ñöôïc ruùt goïn ñeán

1212 22

cos ε=

φ−π (3.66)

Nhöng cos(π/2 − φ12) ≅ φ12; do ñoù, ε12 bieåu dieãn moät nöûa löôïng giaûm goùc vuoâng giöõa hai phaân toá ñöôøng song song vôùi hai truïc toïa ñoä x1 vaø x2 tröôùc bieán daïng. Caùc phaân tích töông töï coù theå ñöôïc thöïc hieän ñoái vôùi caùc thaønh phaàn ε13 vaø ε23. Vì vaäy, caùc soá haïng ngoaøi ñöôøng cheùo goùc trong coâng thöùc (3.61) bieåu dieãn bieán daïng tröôït. Söï hình dung yù nghóa vaät lyù cuûa caùc ñaïo haøm rieâng phaàn trong coâng thöùc (3.61) daãn ñeán söï giaûi thích töông töï veà nhöõng löôïng giaõn daøi tyû ñoái vaø nhöõng thay ñoåi goùc ñaõ nhaän ñöôïc tröôùc ñaây moät caùch toång quaùt hôn.

3.1.10 Nhöõng phöông trình töông thích bieán daïng

Trong vieäc phaân tích öùng suaát, lyù thuyeát ñaõ chæ ra raèng ta phaûi thieát laäp caùc phöông trình caân baèng ñeå ñaûm baûo vaät theå luoân trong traïng thaùi caân baèng. Tuy nhieân, trong vieäc phaân tích bieán daïng, phaûi coù vaøi ñieàu kieän ñöôïc aùp ñaët leân caùc thaønh phaàn bieán daïng ñeå vaät theå bò bieán daïng duy trì söï lieân tuïc. Ñieàu naøy coù theå ñöôïc minh hoïa baèng caùch khaûo saùt, thí duï, phöông trình (3.60); cuï theå laø,

ui,j + uj,i = 2εij (3.67)

Ñoái vôùi caùc chuyeån vò ñaõ cho, ui, caùc thaønh phaàn bieán daïng, εij, coù theå ñöôïc xaùc ñònh töø phöông trình (3.67). Maët khaùc, ñoái vôùi caùc thaønh phaàn bieán daïng ñaõ quy ñònh εij, phöông trình (3.67) bieåu dieãn heä caùc phöông trình ñaïo haøm rieâng (vi phaân) ñoái vôùi söï xaùc ñònh caùc thaønh phaàn chuyeån vò ui. Do coù ñeán saùu phöông trình cho ba aån haøm ui, noùi chung, ta khoâng theå hy voïng raèng heä caùc phöông trình (3.67) seõ coù lôøi giaûi neáu caùc thaønh phaàn bieán daïng εij ñöôïc choïn tuøy yù. Do ñoù, ñeå coù haøm chuyeån vò ui lieân tuïc ñôn trò, moät soá haïn cheá phaûi ñöôïc aùp ñaët leân caùc thaønh phaàn bieán daïng εij. Nhöõng haïn cheá nhö theá ñöôïc goïi laø nhöõng ñieàu kieän töông thích. Ta coù theå thaáy raèng caùc phöông trình töông thích cho mieàn lieân thoâng ñôn giaûn coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng

εij,kl + εkl,ij − εik,jl − εjl,ik = 0 (3.68)

hoaëc, khai trieån caùc bieåu thöùc naøy, ta thu ñöôïc

140

yxyxzz

xzxzyy

zyzyxx

xz2

zx

yx2

xz

yx2

xy

z2

zxyzxy

y2

yzxyzx

x2

xyzxyz

zx2

2x

2

2z

2

xy2

2z

2

2x

2

xy2

2y

2

2x

2

∂∂ε∂

=

∂ε∂

+∂

ε∂+

∂

ε∂−

∂∂

∂∂ε∂

=

∂ε∂

+∂ε∂

+∂ε∂

−∂∂

∂∂ε∂

=

∂ε∂

+∂ε∂

+∂ε∂

∂∂

∂∂ε∂

=∂

ε∂+

∂ε∂

∂∂ε∂

=∂

ε∂+

∂ε∂

∂∂ε∂

=∂

ε∂+

∂ε∂

(3.69)

Saùu phöông trình töông thích naøy laø caùc ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñöôïc quy ñònh ñeå ñaûm baûo raèng caùc thaønh phaàn bieán daïng ñem laïi caùc chuyeån vò lieân tuïc ñôn trò cho mieàn lieân thoâng ñôn giaûn.

3.2 QUAN HEÄ ÖÙNG SUAÁT−−−−BIEÁN DAÏNG ÑAØN HOÀI ÑAÚNG HÖÔÙNG TUYEÁN TÍNH. ÑÒNH LUAÄT HOOKE

3.2.1 Giôùi thieäu

Hình 3.7a bieåu dieãn moät vaät theå ñaøn hoài theå tích V vaø dieän tích beà maët A. Phaàn dieän tích beà maët nôi coù caùc löïc keùo beà maët Ti taùc ñoäng ñöôïc kyù hieäu bôûi AT vaø phaàn dieän tích beà maët nôi coù caùc chuyeån vò beà maët cöôõng böùc iu ñöôïc kyù hieäu bôûi Au. Khi caùc löïc theå tích Fi, caùc löïc beà maët Ti vaø chuyeån vò beà maët ui taùc ñoäng leân vaät theå, caùc öùng suaát ñöôïc gaây ra σij phaûi thoûa caùc phöông trình caân baèng

σij,j + Fi = 0 trong V (3.70a)

σijnj = Ti ôû AT (3.70b)

vaø caùc bieán daïng hình thaønh, εij, vaø caùc chuyeån vò, ui, phaûi thoûa caùc ñieàu kieän hình hoïc

( )i,jj,iij uu2

1+=ε trong V (3.71a)

ii uu = ôû Au (3.71b)

Ñoái vôùi phaân toá vaät lieäu trong theå tích V, ba phöông trình caân baèng (3.70a), vaø

141

Söï töông thích (Hình hoïc) Söï caân baèng

ÖÙng suaát σij

Bieán daïng εij

Caùc ñònh luaät cô baûn

Chuyeån vò ui

Ngoaïi löïc

Fi, Ti

saùu phöông trình töông thích giöõa caùc bieán daïng vaø caùc chuyeån vò (3.71a), trình baøy moät toång chín phöông trình chöùa möôøi laêm aån soá (saùu thaønh phaàn öùng suaát, saùu thaønh phaàn bieán daïng, vaø ba thaønh phaàn chuyeån vò). Söï boå sung caùc phöông trình ñöôïc thöïc hieän bôûi boä saùu phöông trình quan heä phuï thuoäc vaät lieäu, chuùng thieát laäp quan heä giöõa öùng suaát vaø bieán daïng. Saùu phöông trình hay quan heä boå sung naøy ñöôïc xem laø caùc phöông trình hay quan heä cô sôû cuûa vaät lieäu. Moãi khi quan heä cô sôû ñoái vôùi vaät lieäu ñöôïc thieát laäp, söï hình thaønh coâng thöùc toång quaùt cho vieäc giaûi baøi toaùn cô hoïc vaät raén coù theå ñöôïc hoaøn thaønh. Caùc moái quan heä laãn nhau cuûa caùc bieán (σij, εij vaø ui) coù theå ñöôïc minh hoïa toát nhaát döôùi daïng sô ñoà nhö trong hình 3.7b cho tröôøng hôïp baøi toaùn tónh.

Vaät lieäu ñaøn hoài laø vaät lieäu hoài phuïc hoaøn toaøn hình daùng vaø kích thöôùc ban ñaàu cuûa noù khi caát taûi taùc ñoäng. Ñoái vôùi nhieàu loaïi vaät lieäu ôû möùc ñoä taûi laøm vieäc, phaïm vi ñaøn hoài cuõng bao goàm mieàn maø öùng suaát vaø bieán daïng coù quan heä tuyeán tính trong suoát mieàn ñoù, nhö chuùng ta ñaõ ñöôïc thaáy tröôùc ñaây trong chöông 1. Phaàn tuyeán tính cuûa moái quan heä öùng suaát−bieán daïng naøy keát thuùc ôû giôùi haïn tyû leä (ñaøn hoài), vaø daïng toång quaùt cuûa noù ñöôïc cho bôûi

σij = Cijklεkl (3.72)

Hình 3.7 Söï thieát laäp baøi toaùn cô hoïc vaät raén a) Caùc bieán; b) Moái quan heä cuûa caùc bieán

ôû ñaây Cijkl laø tenxô haèng soá ñaøn hoài vaät lieäu. Cuõng coù theå ñöôïc nhaän xeùt ôû ñaây raèng phöông trình (3.72) laø söï toång quaùt hoùa ñôn giaûn nhaát söï phuï thuoäc tuyeán tính cuûa öùng suaát vaøo bieán daïng ñaõ ñöôïc khaûo saùt trong thí nghieäm quen thuoäc cuûa Hooke, vaø vì vaäy phöông trình (3.72) thöôøng ñöôïc xem nhö laø ñònh luaät Hooke ñöôïc toång quaùt hoùa.

Do caû hai σij vaø εkl laø caùc tenxô baäc hai, neân Cijkl laø tenxô baäc boán. Toång quaùt, coù (3)4 = 81 haèng soá cho tenxô Cijkl nhö theá. Tuy nhieân, do caû hai σij vaø εkl ñeàu

142

ñoái xöùng, ta coù nhöõng ñieàu kieän ñoái xöùng nhö sau:

Cijkl = Cjikl = Cijlk = Cjilk (3.73)

Do ñoù, soá lôùn nhaát caùc haèng soá ñoäc laäp ñöôïc giaûm xuoáng 36.

Ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn hoài Green, seõ ñöôïc chöùng toû sau naøy raèng boán chæ soá cuûa caùc haèng soá ñaøn hoài coù theå ñöôïc khaûo saùt nhö caùc caëp C(ij)(kl). Keát quaû laø soá caùc haèng soá ñoäc laäp caàn thieát ñöôïc giaûm töø 36 xuoáng coøn 21. Nghóa laø neáu bieát 21 haèng soá naøy, thì ta seõ bieát taát caû 81 haèng soá. Neáu, theâm vaøo, ta coù moät maët phaúng ñoái xöùng ñaøn hoài, soá caùc haèng soá ñaøn hoài ñoäc laäp seõ ñöôïc giaûm nhieàu hôn töø 21 xuoáng coøn 13. Neáu coù maët phaúng ñoái xöùng ñaøn hoài thöù hai vuoâng goùc vôùi maët phaúng ñoái xöùng thöù nhaát, soá caùc haèng soá ñaøn hoài ñoäc laäp coøn ñöôïc giaûm nhieàu hôn nöõa. Maët phaúng ñoái xöùng thöù hai cuõng haøm yù ñoái xöùng quanh maët phaúng vuoâng goùc thöù ba (ñoái xöùng tröïc höôùng) vaø soá caùc haèng soá ñaøn hoài ñöôïc giaûm coøn 9. Ñoái vôùi vaät lieäu ñaúng höôùng ngang, soá caùc haèng soá ñaøn hoài ñöôïc giaûm coøn 5. Hôn nöõa, neáu ta ñònh roõ ñoái xöùng baäc ba, nghóa laø, caùc ñaëc tính doïc theo caùc höôùng x, y, vaø z gioáng nhau, khi aáy ta khoâng theå phaân bieät giöõa caùc höôùng x, y, vaø z. Ñieàu naøy daãn ñeán chæ caàn coù ba haèng soá ñoäc laäp ñeå moâ taû öùng xöû ñaøn hoài cuûa vaät lieäu nhö theá. Cuoái cuøng, neáu ta coù vaät raén maø caùc ñaëc tính ñaøn hoài cuûa noù khoâng laø haøm cuûa caùc höôùng, luùc ñoù ta chæ caàn hai haèng soá ñoäc laäp ñeå moâ taû öùng xöû cuûa noù.

3.2.2 Caùc quan heä öùng suaát−−−−bieán daïng ñaøn hoài tuyeán tính ñaúng höôùng

Ñoái vôùi vaät lieäu ñaúng höôùng, caùc haèng soá ñaøn hoài trong phöông trình (3.72) phaûi gioáng nhau cho taát caû caùc höôùng. Do ñoù, tenxô Cijkl phaûi laø tenxô baäc boán ñaúng höôùng. Ñieàu naøy cho thaáy raèng daïng toång quaùt nhaát cho tenxô ñaúng höôùng Cijkl ñöôïc cho bôûi (xem muïc 1.5.6)

Cijkl = λδijδkl + µ(δikδjl + δilδjk) + α(δikδjl − δilδjk) (3.74)

ôû ñaây λ, µ, vaø α laø caùc haèng soá voâ höôùng. Baây giôø, do Cijkl phaûi thoûa caùc ñieàu kieän ñoái xöùng trong caùc phöông trình (3.73), ta coù α = 0 trong phöông trình (3.74). Do ñoù, phöông trình (3.74) phaûi coù daïng

Cijkl = λδijδkl + µ(δikδjl + δilδjk) (3.75)

Töø caùc phöông trình (3.72) vaø (3.75), ta nhaän ñöôïc

σij = λδijδklεkl + µ(δikδjl + δilδjk)εkl

hay σij = λεkkδij + 2µεij (3.76) Do ñoù, ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn hoài tuyeán tính ñaúng höôùng, chæ coù hai haèng soá vaät lieäu ñoäc laäp, λ vaø µ, chuùng ñöôïc goïi laø caùc haèng soá Lameù.

Traùi laïi, bieán daïng εij coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo caùc öùng suaát trong quan heä cô sôû cuûa phöông trình (3.76). Ñoái vôùi phöông trình (3.76), ta coù

143

σkk = (3λ + 2µ)εkk

hay µ+λ

σ=ε

23kk

kk (3.77)

Thay giaù trò εkk naøy vaøo phöông trình (3.76) vaø giaûi ñeå tìm εij, ta nhaän ñöôïc

ijkkij

ij 2

1

)23(2σ

µ+σ

µ+λµ

λδ−=ε (3.78)

Caùc phöông trình (3.76) vaø (3.78) laø nhöõng daïng toång quaùt cuûa quan heä cô sôû ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn hoài tuyeán tính ñaúng höôùng. Moät heä quaû quan troïng cuûa nhöõng phöông trình naøy laø ñoái vôùi vaät lieäu ñaúng höôùng, caùc phöông chính cuûa caùc tenxô öùng suaát vaø bieán daïng truøng nhau.

3.2.3 Ñònh luaät Ho oke ñaúng höôùng toång quaùt hoùa ñöôïc döïa treân soá lieäu thí nghieäm

Haõy khaûo saùt thí nghieäm keùo ñôn truïc nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 3.8a. Thaønh phaàn öùng suaát duy nhaát khaùc khoâng, σx = σ, sinh ra bieán daïng doïc truïc εx ñöôïc xaùc ñònh theo

E

xx

σ=ε 3.79)

vaø bieán daïng ngang ñöôïc xaùc ñònh theo

E

xxzy

νσ−=νε−=ε=ε (3.80)

ôû ñaây E laø moâñun cuûa Young vaø ν laø heä soá Poisson. Neân chuù yù raèng öùng suaát phaùp σx khoâng gaây ra bieán daïng tröôït. Maët khaùc, trong thí nghieäm tröôït thuaàn tuùy (H.3.8b), öùng suaát tieáp τxy khoâng gaây ra bieán daïng phaùp maø chæ gaây ra bieán daïng tröôït γxy nhö

Gxy

xy

τ=γ (3.81)

ôû ñaây G laø moâñun tröôït cuûa söï ñaøn hoài. Baây giôø khaûo saùt phaân toá hình hình hoäp ñaúng höôùng ba chieàu chòu traïng thaùi öùng suaát khoái (H.3.8c). Theo giaû thieát bieán daïng nhoû, nguyeân lyù coäng taùc duïng ñöôïc aùp duïng döôùi öùng suaát ña truïc. Theá thì söï taùc ñoäng ñoàng thôøi cuûa σx, σy, σz, τxy, τyz, vaø τzx daãn ñeán nhöõng bieán daïng nhö sau:

144

Hình 3.8 Caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng cho vaät lieäu ñaøn hoài tuyeán tính ñaúng höôùng

a) Thí nghieäm keùo ñôn truïc; b) Thí nghieäm tröôït ñôn giaûn c) Traïng thaùi öùng suaát khoái toång quaùt; d) Thí nghieäm neùn thuûy tónh

[ ]

[ ]

[ ])(E

1

)(E

1

)(E

1

yxzz

xzyy

zyxx

σ+σν−σ=ε

σ+σν−σ=ε

σ+σν−σ=ε

(3.82a)

G

G

G

zxzx

yzyz

xyxy

τ=γ

τ=γ

τ=γ

(3.82b)

Phöông trình (3.82) ñöôïc xem laø ñònh luaät Hooke toång quaùt hoùa cho caùc vaät lieäu ñaúng höôùng. Caùc haèng soá ñaøn hoài E, ν, vaø G coù theå ñöôïc chöùng minh laø ñöôïc lieân heä bôûi

)1(2

EG

ν+= (3.83)

Ñeå chöùng toû ñieàu naøy, haõy xem laïi phaân toá chòu tröôït thuaàn tuùy (H.3.8b). Traïng thaùi tröôït thuaàn tuùy coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo nhöõng öùng suaát chính τxy vaø −τxy taùc ñoäng treân nhöõng maët nghieâng moät goùc 45o so vôùi nhöõng maët phaúng tröôït.

145

Maët khaùc, bieán daïng phaùp töông öùng theo höôùng chính cuõng coù theå thu ñöôïc theo bieán daïng tröôït γxy. Tieáp theo, aùp duïng ñònh luaät Hooke, ta seõ nhaän ñöôïc phöông trình (3.83).

Baèng caùch duøng kyù hieäu chæ soá, ta coù theå vieát phöông trình (3.82) trong daïng suùc tích

ijkkij E

1δσ

ν+=ε (3.84)

Tieáp tuïc vôùi caùch thöùc töông töï nhö ôû muïc 3.2.2, ta coù theå giaûi phöông trình (3.84) ñoái vôùi öùng suaát σij vaø nhaän ñöôïc

ijkkijij )21)(1(

E

)1(2

Eδε

ν−ν+ν

+εν+

=σ (3.85)

So saùnh nhöõng quan heä cô sôû (3.76) vaø (3.85), caùc haèng soá cuûa Lameù µ vaø λ coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo E vaø ν nhö

)1(2

EG

ν+==µ (3.86a)

vaø )21)(1(

E

ν−ν+ν

=λ (3.86b)

hoaëc, ngöôïc laïi, moâñun Young vaø heä soá Poisson ν coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo µ vaø λ nhö

µ+λ

µ+λµ=

)23(E (3.87a)

)(2 µ+λ

λ=ν (3.87b)

Baèng caùch duøng caùc phöông trình (3.86a) vaø (3.86b) trong phöông trình (3.75), tenxô caùc moâñun ñaøn hoài, Cijkl, coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo E vaø ν:

δδ+δδ+δδν−

νν+

= jkijikkijijk 21(

2

)1(2

EC

llll (3.88)

Chuù yù raèng phöông trình (3.84) coù theå ñöôïc vieát trong daïng coâ ñoïng:

εij = Dijklσkl (3.89a)

vaø

δδ+δδ+δδν+

ν−

ν+= jkijikkijijk 1

2

E2

)1(D

llll (3.89b)

ôû ñaây Dijkl laø nghòch ñaûo cuûa Cijkl vaø ñöôïc goïi laø tenxô ñoä meàm.

Moät moâñun ñaøn hoài khaùc ñöôïc baøn luaän ôû ñaây laø moâñun khoái K, noù ñöôïc giôùi thieäu bôûi thí nghieäm neùn thuûy tónh nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 3.8d. Trong

146

tröôøng hôïp naøy, σ11 = σ22 = σ33 = −p = σkk/3. Moâñun khoái K ñöôïc ñònh nghóa cho tröôøng hôïp naøy nhö laø tyû soá giöõa aùp suaát thuûy tónh p vaø söï thay ñoåi theå tích töông öùng εkk, nghóa laø,

kk

pK

ε= (3.90)

Töø phöông trình (3.77), ta nhaän ñöôïc

µ+λ=32K (3.91)

Thay theá nhöõng phöông trình (3.86) vaø (3.87) vaøo phöông trình (3.91) daãn ñeán

)21(3

EK

ν−= (3.92)

3.2.4 Söï phaân tích quan heä öùng suaát−−−−bieán daïng

Sö phaân taùch ngaén goïn vaø hôïp lyù toàn taïi giöõa caùc thaønh phaàn ñaùp öùng trung bình (thuûy tónh hoaëc theå tích) vaø tröôït (leäch) trong vaät lieäu tuyeán tính ñaúng höôùng. Ñaùp öùng thuûy tónh coù theå thu ñöôïc moät caùch tröïc tieáp töø phöông trình (3.90) nhö σoct = p = Kεkk (3.93) Ñeå nhaän ñöôïc nhöõng quan heä ñaùp öùng leäch, ta duøng quan heä sij = σij − pδij vaø thay theá ñoái vôùi σij vaø p töø caùc phöông trình töông öùng (3.85) vaø (3.93), vaø chuù yù phöông trình (3.92). Ñieàu naøy daãn ñeán ijkkijkkijij )21(3

E)21)(1(

E)1(

Es δεν−

−δεν−ν+

ν+εν+

=

Thay theá ñoái vôùi εij = eij + (1/3)εkkδij vaø ruùt goïn, ta coù quan heä ijijij Ge2e

1E

s =ν+

= (3.94)

Caùc phöông trình (3.93) vaø (3.94) ñöa ñeán söï taùch rôøi caàn thieát cuûa caùc quan heä thuûy tónh vaø leäch. Keát hôïp hai phöông trình naøy, ta coù theå vieát caùc bieán daïng ñaøn hoài toång εij theo caùc öùng suaát thuûy tónh vaø leäch nhö

ijijijijkkij sG21p

K31e

31 +δ=+δε=ε (3.95)

hoaëc ijij1ij sG21I

K91 +δ=ε (3.96)

Töông töï, σij coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo caùc bieán daïng theå tích vaø leäch döôùi daïng sau ñaây: σij = Kεkkδij + 2Geij (3.97)

3.2.5 Caùc quan heä öùng suaát−−−−bieán daïng ñaøn hoài tuyeán tính ñaúng höôùng döôùi daïng ma traän

147

Caùc moái quan heä öùng suaát−bieán daïng ñaõ baøn luaän ôû treân coù theå ñöôïc bieåu dieãn moät caùch thuaän tieän döôùi daïng ma traän. Nhöõng daïng naøy thích hôïp cho vieäc söû duïng luùc giaûi baøi toaùn cô hoïc vaät raén baèng phöông phaùp soá (thí duï, phöông phaùp phaàn töû höõu haïn). Trong caùc muïc döôùi ñaây, caùc daïng ma traän ñöôïc trình baøy cho nhieàu tröôøng hôïp khaùc nhau.

3.2.5.1 Tröôøng hôïp ba chieàu

Caùc thaønh phaàn öùng suaát vaø bieán daïng ñöôïc ñònh nghóa bôûi hai vectô töông öùng σ vaø ε, chuùng ñöôïc bieåu thò bôûi

x x

y y

z z

xy xy

yz yz

zx zx

,

σ ε σ ε σ ε σ = ε = τ γ τ γ τ γ

(3.98)

Baây giôø phöông trình (3.85) coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng ma traän nhö

[ ] ε=σ C (3.99)

ôû ñaây ma traän [C] ñöôïc goïi laø ma traän cô sôû ñaøn hoài hay ma traän caùc moâñun ñaøn hoài vaø ñöôïc cho bôûi

[ ]

ν−

ν−

ν−ν−νν

νν−ν

ννν−

ν−ν+=

2

2100000

02

210000

002

21000

0001

0001

0001

)21)(1(

EC (3.100a)

hoaëc, maët khaùc, thay ν vaø E theo K vaø G seõ daãn ñeán

148

[ ]

+

−

−

−

+

−

−

−

+

=

G00000

0G0000

00G000

000G3

4KG

3

2KG

3

2K

000G3

2KG

3

4KG

3

2K

000G3

2KG

3

2KG

3

4K

C (3.100b)

Ngoaøi ra, phöông trình (3.82) coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng ma traän nhö

ε = [C]−1σ = [D]σ (3.101)

ôû ñaây ma traän ñoä meàm ñaøn hoài, [D], laø ma traän nghòch ñaûo cuûa [C]:

[ ]

ν+

ν+

ν+

νν

ν−ν−

ν−ν−

=

)1(200000

0)1(20000

00)1(2000

0001

0001

0001

E

1D (3.102)

3.2.5.2 Tröôøng hôïp öùng suaát phaúng

Ta coù theå chöùng minh raèng caùc phöông trình (3.99) vaø (3.101), khi ñöôïc ruùt goïn veà tröôøng hôïp öùng suaát phaúng hai chieàu (σz = τyz = τzx = 0), coù nhöõng daïng ñôn giaûn nhö sau:

γ

ε

ε

ν−

ν

ν

ν−=

τ

σ

σ

xy

y

x

2

xy

y

x

2/)1(

1

1

1

E (3.103)

vaø

τ

σ

σ

ν+

ν−

ν−

=

γ

ε

ε

xy

y

x

xy

y

x

)1(200

01

01

E1 (3.104)

Caàn chuù yù raèng, trong tröôøng hôïp öùng suaát phaúng, thaønh phaàn bieán daïng εz khaùc khoâng, trong khi caùc thaønh phaàn bieán daïng tröôït γyz vaø γzx baèng khoâng. Thaønh phaàn εz coù giaù trò

149

)(1

)(E yxyxz ε+ε

ν−ν−=σ+σν−=ε (3.105)

Nghóa laø, εz laø haøm tuyeán tính cuûa εx vaø εy.

Caùc quan heä öùng suaát phaúng ñöôïc trình baøy ôû treân thöôøng ñöôïc söû duïng trong nhieàu öùng duïng thöïc teá. Thí duï, vieäc phaân tích caùc taám moûng, phaúng chòu taûi trong maët phaúng taám (maët phaúng xy) thöôøng ñöôïc xem nhö caùc baøi toaùn öùng suaát phaúng.

3.2.5.3 Tröôøng hôïp bieán daïng phaúng

Caùc ñieàu kieän bieán daïng phaúng (εx = γyz = γzx = 0) thöôøng ñöôïc tìm thaáy trong caùc vaät theå daøi coù maët caét ngang ñeàu, chòu taûi phaân boá ñeàu doïc theo truïc chieàu daøi cuûa chuùng (truïc z), nhö trong tröôøng hôïp cuûa caùc ñöôøng haàm, caùc ñöôøng doác cuûa ñaát, vaø caùc töôøng chaén. Döôùi caùc ñieàu kieän bieán daïng phaúng, caùc phöông trình (3.99) vaø (3.101) coù theå ñöôïc ruùt goïn veà daïng ñôn giaûn

γ

εε

ν−

ν−ν

νν−

ν−ν+=

τ

σσ

xy

y

x

xy

y

x

2/)21(

1

1

)21)(1(

E (3.106)

vaø

τ

σσ

ν−ν−

ν−−ν+

=

γ

εε

xy

y

x

xy

y

x

200

01

0v1

E

1 (3.107)

Ñoái vôùi tröôøng hôïp naøy, caùc thaønh phaàn öùng suaát τyz vaø τzx baèng khoâng, vaø thaønh phaàn öùng suaát σz coù giaù trò

σz = ν(σx + σy) (3.108)

3.2.5.4 Tröôøng hôïp ñoái xöùng truïc

Vieäc phaân tích caùc vaät theå troøn xoay döôùi taùc ñoäng cuûa taûi ñoái xöùng truïc thì töông töï vôùi tröôøng hôïp öùng suaát phaúng vaø bieán daïng phaúng do baøi toaùn naøy cuõng laø baøi toaùn hai chieàu. Trong vieäc kyù hieäu thoâng thöôøng, caùc thaønh phaàn öùng suaát khaùc khoâng trong tröôøng hôïp ñoái xöùng truïc laø σr, σz, σθ, vaø τrz, vaø caùc bieán daïng töông öùng laø εr, εz, εθ, vaø γrz. Caùc phöông trình (3.99) vaø (3.101) coù theå ñöôïc ruùt goïn veà caùc daïng (τzθ = τθr = 0, γzθ = γθr = 0):

150

γεεε

ν−

ν−νν

νν−ν

ννν−

ν−ν+=

τσσσ

θθ

rz

z

r

rz

z

r

2/)21(000

01

01

01

)21)(1(

E (3.109)

vaø

τσσσ

ν+

ν−ν−

ν−ν−ν−

ν−ν−

=

γεεε

θθ

rz

z

r

rz

z

r

)1(2000

01

01

01

E

1 (3.110)

3.3 QUAN HEÄ ÖÙNG SUAÁT−−−−BIEÁN DAÏNG ÑAÚNG HÖÔÙNG ÑAØN HOÀI PHI TUYEÁN

3.3.1 Giôùi thieäu Vaät lieäu ñaøn hoài ñöôïc ñaëc tröng bôûi khaû naêng hoài phuïc hoaøn toaøn hình daùng vaø kích thöôùc cuûa noù. Trong tröôøng hôïp ñôn truïc (H.3.9), khi gia taûi vaø caát taûi, vaät lieäu seõ theo cuøng ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng, nghóa laø, töø O ñeán A vaø sau ñoù töø A trôû veà O. Do ñoù, theo chu kyø taûi taùc ñoäng OAO, traïng thaùi cuûa vaät lieäu gioáng vôùi noù tröôùc khi chòu taûi. Vieäc gia taûi laïi seõ theo cuøng loä trình ñaët taûi OA.

Khaû naêng hoài phuïc nhö theá nguï yù raèng ngoaïi coâng cô hoïc seõ ñöôïc thu hoài neáu taûi ñöôïc caát boû. Vì theá, coâng coù theå ñöôïc xem nhö ñöôïc tích tröõ trong vaät theå bò bieán daïng döôùi daïng naêng löôïng. Naêng löôïng ñöôïc tích tröõ naøy ñöôïc goïi laø naêng löôïng bieán daïng.

Trong tröôøng hôïp ñôn truïc, naêng löôïng bieán daïng treân ñôn vò theå tích hay maät ñoä naêng löôïng bieán daïng, W, ñöôïc theå hieän bôûi dieän tích phía döôùi ñöôøng cong σ−ε trong hình 3.9 vaø ñöôïc bieåu dieãn nhö

∫ε

εσ=ε0

d)(W (3.111)

Trong tröôøng hôïp ña truïc, maät ñoä naêng löôïng bieán daïng laø toång cuûa caùc naêng löôïng bieán daïng do taát caû caùc thaønh phaàn öùng suaát taïo ra, nghóa laø,

∫ε

εσ=εij

0ijijij d)(W (3.112)

Maët khaùc, dieän tích phía treân ñöôøng cong σ−ε trong hình 3.9, theå hieän maät ñoä naêng löôïng buø (hay naêng löôïng buø treân ñôn vò theå tích) ñoái vôùi tröôøng hôïp ñôn truïc, ñöôïc bieåu dieãn nhö

151

∫σ

σε=σΩ0

d)( (3.113)

Trong tröôøng hôïp ña truïc, noù coù daïng

∫σ

σε=σΩij

0ijijij d)( (3.114)

Hình 3.9 Haøm maät ñoä naêng löôïng bieán daïng W vaø haøm maät ñoä naêng löôïng buø Ω

Maät ñoä naêng löôïng bieán daïng W vaø maät ñoä naêng löôïng buø Ω töông öùng laø nhöõng haøm cuûa bieán daïng, εij, vaø öùng suaát, σij. Roõ raøng laø nhöõng haøm naêng löôïng W vaø Ω ñöôïc lieân heä bôûi

W + Ω = σijεij (3.115)

Veà caùc moái quan heä öùng suaát−bieán daïng, coù hai caùch tieáp caän ñeå moâ taû öùng xöû hoài phuïc cuûa caùc vaät lieäu ñaøn hoài. Ñaàu tieân, ta coù theå giaû ñònh raèng coù söï töông öùng moät−moät giöõa öùng suaát vaø bieán daïng, hay noùi moät caùch khaùc, öùng suaát σij ñöôïc xaùc ñònh moät caùch duy nhaát töø bieán daïng hieän haønh εij trong daïng toång quaùt

σij = Fij(εkl) (3.116)

Vaät lieäu ñaøn hoài ñöôïc ñònh nghóa bôûi phöông trình (3.116) ñöôïc goïi laø vaät lieäu ñaøn hoài Cauchy.

Thöù hai, ta coù theå giaû ñònh raèng caùc öùng suaát thu ñöôïc nhö laø caùc ñoä doác cuûa haøm theá naêng bieán daïng (töùc laø, haøm maät ñoä naêng löôïng bieán daïng W) nhö

ij

ijij

)(W

ε∂

ε∂=σ (3.117)

152

hoaëc giaû söû raèng caùc bieán daïng thu ñöôïc nhö laø caùc ñoä doác cuûa haøm theá naêng öùng suaát (töùc laø, haøm maät ñoä naêng löôïng buø Ω) nhö

ij

ijij

)(

σ∂

σΩ∂=ε (3.118)

Vaät lieäu maø quan heä öùng suaát−bieán daïng cuûa noù ñöôïc ñònh nghóa bôûi hoaëc phöông trình (3.117) hoaëc phöông trình (3.118) ñöôïc xem laø vaät lieäu sieâu ñaøn hoài hoaëc Green. Caùc moái quan heä öùng suaát−bieán daïng ñaøn hoài phi tuyeán ñaúng höôùng ñöôïc döïa treân nhöõng phöông trình töø (3.116) ñeán (3.118) seõ ñöôïc baøn luaän saâu hôn trong nhöõng muïc tieáp theo.

Ta coù theå thaáy raèng vaät lieäu Cauchy coù theå phaùt sinh naêng löôïng döôùi moät chu kyø gia taûi vaø caát taûi naøo ñoù, baèng caùch aáy vaät lieäu naøy vi phaïm caùc ñònh luaät nhieät ñoäng löïc hoïc. Ñieàu naøy seõ ñöôïc thaáy trong thí duï 3.5.

Thí duï 3.3 Quan heä öùng suaát−bieán daïng ñôn truïc cuûa vaät lieäu ñaøn hoài phi tuyeán ñöôïc cho bôûi bieåu thöùc luõy thöøa ñôn giaûn ε = bσn (3.119) ôû ñaây n laø haèng soá. Haõy chöùng toû raèng tyû soá W/Ω laø haèng soá trong tröôøng hôïp naøy.

Giaûi Thay theá ε töø phöông trình (3.119) vaøo caùc bieåu thöùc tính W vaø Ω, ta nhaän ñöôïc

σε+

=σ+

=σσ=σσσ= +σ σ

−∫ ∫ 1n

nb1n

ndnbd)nb(W 1n

0 0

n1n

vaø 1n

b1n

1db 1n

0

n

+σε=σ

+=σσ=Ω +

σ

∫

Do ñoù W/Ω = n; nghóa laø tyû soá W/Ω laø haèng soá trong tröôøng hôïp naøy.

Thí duï 3.4 Tìm bieåu thöùc cho Ω theo caùc baát bieán öùng suaát I1 vaø J2 ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn hoài tuyeán tính ñaúng höôùng.

Giaûi Thay theá σij = sij + (1/3)σkkδij trong phöông trình (3.84), ta coù

ij1ijij IE321s

E1 δν−+ν+=ε (3.120)

ôû ñaây I1 = σkk. Thay theá εij töø phöông trình (3.120) vaøo phöông trình (3.114), ta coù theå vieát nhö

ijij0

1ij0

ij dIE321ds

E1

ijij

σδν−+σν+=Ω ∫∫σσ

153

noù coù theå ñöôïc ruùt goïn veà ( ijij2 ss21J = , dJ2 = sijdsij = sijdσij, dI1 = δijdσij)

∫∫ν−+ν+=Ω

12 I

011

J

02 dII

E321

dJE

1 (3.121)

212 I

E621J

E1 ν−+ν+=Ω (3.122a)

hay theo G vaø K, ta coù

K18

I

G2

J 212 +=Ω (3.122b)

Ñoái vôùi caùc giaù trò döông cuûa moâñun khoái K vaø moâñun tröôït G, maät ñoä naêng löôïng buø Ω trong phöông trình (3.122b) laø daïng baäc hai xaùc ñònh döông theo caùc thaønh phaàn cuûa öùng suaát (do caû I21 vaø J2 luoân döông vaø khoâng theå baèng khoâng tröø khi σij = 0). Ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn hoài tuyeán tính ñaúng höôùng, Ω ñöôïc tìm thaáy moät caùch roõ raøng theo caùc thaønh phaàn öùng suaát ñang toàn taïi (nhöõng giaù trò hieän haønh cuûa I1 vaø J2) baát chaáp loä trình ñaët taûi (öùng suaát) ñöôïc theo ñuoåi ñeå ñaït ñeán nhöõng thaønh phaàn öùng suaát hieän haønh; nghóa laø, Ω trong tröôøng hôïp naøy thì ñoäc laäp vôùi loä trình ñaët taûi. Tuy nhieân, toång quaùt, ñieàu naøy khoâng ñuùng ñoái vôùi caùc vaät lieäu ñaøn hoài Cauchy, duø tuyeán tính hoaëc phi tuyeán. Ñieàu naøy ñöôïc minh hoïa roõ hôn trong thí duï ñoái vôùi moâ hình ñaøn hoài Cauchy tuyeán tính sau ñaây.

Thí duï 3.5 Trong khoâng gian chính hai chieàu (σ1, σ2, ε1, vaø ε2), öùng xöû cuûa vaät lieäu ñaøn hoài Cauchy tuyeán tính ñöôïc moâ taû bôûi caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng:

ε1 = a11σ1 + a12σ2

ε2 = a21σ1 + a22σ2 (3.123)

ôû ñaây a11, a12, a21, vaø a22 laø nhöõng haèng soá vaät lieäu vaø a12 ≠ a21. Haõy khaûo saùt hai loä trình öùng suaát khaùc nhau 1 vaø 2 nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 3.10. Loä trình 1 töø (0, 0) ñeán (σ*

1, σ*2), thay ñoåi tröôùc tieân σ1 roài σ2. Maët khaùc, loä trình 2 cuõng töø

(0, 0) ñeán (σ*1, σ*

2), nhöng trong tröôøng hôïp naøy, σ2 ñöôïc thay ñoåi tröôùc roái môùi ñeán σ1. Haõy tính Ω cho hai loä trình 1 vaø 2. Cuõng tìm Ω cho chu trình ñaày ñuû OACBO ñöôïc bieåu thò treân hình 3.10. Haõy nhaän xeùt caùc keát quaû nhaän ñöôïc.

Giaûi

Doïc theo loä trình 1, bieåu thöùc cho Ω trong phöông trình (2.114) coù theå ñöôïc vieát nhö

154

∫∫σσ

σ

σ

σε+σε+σε+σε=Ω),(

)0,(

2211

)0,(

)0,0(2211

)1(

*2

*1

*1

*1

)dd()dd(

Thay ε1 vaø ε2 töø phöông trình (3.123), vaø chuù yù raèng dσ2 = 0 vaø dσ1 = 0 laàn löôït trong caùc tích phaân ñaàu vaø thöù hai, ta coù

∫∫σσ

σσ+σ+σσ=Ω

*2

*1

02222

*121

01111

)1( d)aa(da

Hình 3.10

Thöïc hieän caùc tích phaân,

2*222

*2

*121

2*111

)1( a21aa

21 σ+σσ+σ=Ω (3.124)

Töông töï, ñoái vôùi loä trình 2, ta coù theå tính ñöôïc Ω(2) nhö

2*222

*2

*112

2*111

)2( a21aa

21 σ+σσ+σ=Ω (3.125)

Do ñoù, ñoái vôùi a12 ≠ a21, maät ñoä naêng löôïng buø Ω(1) ≠ Ω(2). Vì theá, Ω khoâng ñôn nhaát, maø phuï thuoäc vaøo loä trình ñaët taûi. Chæ khi a12 = a21 thì caùc bieåu thöùc Ω(1) seõ ñoàng nhaát vôùi Ω(2). Ñieàu kieän a12 = a21 laøm cho ma traän cuûa caùc heä soá ñaøn hoài trong phöông trình (3.123) ñoái xöùng. Nhö seõ ñöôïc laøm roõ sau naøy raèng ñieàu kieän ñoái xöùng cuûa ma traän cuûa caùc heä soá ñaøn hoài töông töï vôùi vieäc aùp ñaët söï haïn cheá (3.117) cho vaät lieäu Green.

Ñoái vôùi chu kyø öùng suaát OACBO, Ω ñöôïc cho bôûi

∫ σε+σε=Ω )dd( 2211 (3.126)

ôû ñaây tích phaân ñöôïc khai trieån treân chu kyø hoaøn toaøn. Phöông trình naøy coù theå ñöôïc vieát nhö

A(σ*1, 0)

B(0, σ*2) C(σ*

1, σ*2)

O(0, 0)

Loä trình 2

Loä trình 1

σ1

σ2

155

)2trìnhloädoïc()dd(

)1trìnhloädoïc()dd(

)0,0(

),(

2211

),(

)0,0(2211

)1(

*2

*1

*2

*1

∫

∫

σσ

σσ

σε+σε+

σε+σε=Ω

Phaàn ñaàu tieân taïo ra bieåu thöùc töông töï nhö Ω(1) trong phöông trình (3.124). Phaàn thöù hai ñöa ñeán bieåu thöùc cho Ω(2) trong phöông trình (3.125) vôùi daáu aâm. Giaù trò cuoái cuøng cuûa Ω cho chu kyø ñaày ñuû laø

*2

*11221

)2()1( )aa( σσ−=Ω−Ω=Ω (3.127)

Naêng löôïng buø thöïc coù theå döông hoaëc aâm phuï thuoäc vaøo caùc giaù trò cuûa a12 vaø a21 (chuù yù raèng soá haïng εijdσij trong ñònh nghóa cuûa Ω coù theå ñöôïc xem nhö laø suaát cuûa coâng–coâng suaát ñöôïc thöïc hieän bôûi söï gia taêng öùng suaát dσij treân bieán daïng εij, vaø coâng naøy ñöôïc xem nhö laø naêng löôïng ñöôïc löu tröõ trong vaät theå). Do ñoù, trong suoát quaù trình bieán daïng theo chu kyø öùng suaát hoaøn chænh, moâ hình vaät lieäu ñöôïc moâ taû bôûi caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng (3.123) coù theå laøm tieâu toán hay phaùt sinh naêng löôïng, hieän töôïng thöù hai vi phaïm caùc ñònh luaät nhieät ñoäng löïc hoïc. Ñoái vôùi ma traän caùc heä soá ñaøn hoài ñoái xöùng (a12 = a21), giaù trò thöïc cuûa Ω ñoái vôùi chu kyø öùng suaát hoaøn chænh baèng zero, vaø söï hoài phuïc ñaày ñuû cuûa naêng löôïng buø theo söï caát taûi hoaøn toaøn ñöôïc baûo ñaûm. Ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn hoài tuyeán tính ñaúng höôùng, ma traän [C] trong caùc phöông trình (3.99) vaø (3.101) laø ñoái xöùng, vaø do ñoù Ω trong tröôøng hôïp naøy ñoäc laäp vôùi loä trình öùng suaát.

3.3.2 Caùc quan heä öùng suaát−−−−bieán daïng ñaúng höôùng ñaøn hoài phi tuyeán ñöôïc döïa treân caùc haøm W vaø ΩΩΩΩ

Ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn hoài ñaúng höôùng, maät ñoä naêng löôïng bieán daïng W [phöông trình (3.112)] coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo ba baát bieán ñoäc laäp tuøy yù cuûa tenxô bieán daïng εij. Baèng caùch choïn ba baát bieán ,

2

,

1 I,I vaø ,

3I ñöôïc ñònh nghóa döôùi daây, W ñöôïc vieát nhö

)I,I,I(WW,3

,2

,1= (3.128)

ôû ñaây ,

2

,

1 I,I vaø ,

3I ñöôïc cho bôûi

mnknkm

,

3

kmkm,2

kk

,

1

3

1I

21

I

I

εεε=

εε=

ε=

(3.129)

156

Theá thì, töø phöông trình (3.117), ta coù

ij

,

3,

3ij

,

2,

2ij

,

1,

1

ij

I

I

WI

I

WI

I

Wε∂

∂

∂∂+

ε∂∂

∂∂+

ε∂∂

∂∂=σ

hay, thay theá töø phöông trình (3.129) cho ,3

,2

,1 I,I,I , vaø thöïc hieän ñaïo haøm, ta coù

jkik3ij2ij1ij εεα+εα+δα=σ (3.130)

ôû ñaây ,

i

,

jiiI

W)I(

∂∂=α=α (3.131)

Baèng caùch ñaïo haøm caùc phöông trình (3.131), caùc haøm αi (caùc haøm bieán daïng vaät lieäu) coù theå ñöôïc lieân heä bôûi ba phöông trình:

,

i

j

,j

i

II ∂

α∂=

∂

α∂ (3.132)

Neân chuù yù raèng söï löïa choïn ba baát bieán bieán daïng ñoäc laäp xuaát hieän trong caùc phöông trình (3.128) vaø (3.129) laø tuøy yù. Thay cho vieäc löïa choïn naøy, ta coù theå duøng caùc baát bieán I’1, I’2, vaø I’3 cuûa muïc 3.1 [phöông trình (3.32)]. hoaëc caùc baát bieán J’1, J’2, vaø J’3 cuûa tenxô leäch bieán daïng eij [phöông trình (3.51)], hay thaäm chí caùc baát bieán hoãn hôïp nhö I’1, J’2, vaø J’3. Caùc öu ñieåm rieâng bieät cuûa vieäc choïn löïa ôû ñaây laø söï taùch rôøi caùc haøm αi trong caùch thöùc ñôn giaûn, thuaän tieän.

ÔÛ giai ñoaïn naøy, thaät quan troïng ñeå minh hoïa roõ hôn söï khaùc nhau giöõa caùc söï hình thaønh coâng thöùc Cauchy vaø Green ñöôïc döïa treân caùc keát quaû ñaõ thu ñöôïc ôû treân [caùc phöông trình (3.130) ñeán (3.132)]. Theo ñònh lyù Cayley−Hamilton, taát caû caùc luõy thöøa nguyeân döông cuûa tenxô baäc hai baát kyø, chaúng haïn nhö, thí duï, tenxô bieán daïng εij, coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö laø caùc toå hôïp tuyeán tính cuûa δij, εij, vaø εikεkj vôùi caùc heä soá laø haøm ña thöùc cuûa ba baát bieán cuûa εij. Do ñoù, neáu quan heä öùng suaát−bieán daïng cuûa phöông trình (3.116) ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn hoài Cauchy coù daïng ña thöùc baäc tuøy yù theo εij, thì phieám haøm naøy coù theå ñöôïc vieát moät caùch chính xaùc döôùi daïng töông töï nhö phöông trình (3.130) ñaõ thu ñöôïc ôû treân ñöôïc döïa treân söï hình thaønh coâng thöùc Green (sieâu ñaøn hoài). Tuy nhieân, baây giôø caùc αi laø nhöõng haøm ñoäc laäp vôùi caùc baát bieán cuûa εij, vaø chuùng khoâng coøn bò haïn cheá bôûi caùc quan heä ñöôïc cho trong caùc phöông trình (3.132) ñoái vôùi caùc vaät lieäu Green nöõa. Do ñoù, nhöõng moâ hình cô baûn khaùc nhau (thí duï baäc hai, baäc ba, baäc boán) ñöôïc döïa treân caùc söï hình thaønh coâng thöùc cuûa caû Cauchy vaø Green coù theå thu ñöôïc baèng caùch caên cöù vaøo quan heä toång quaùt cuûa phöông trình (3.130) vôùi caùc daïng haøm ñöôïc giaû ñònh khaùc nhau cho αi. Söï khaùc nhau duy nhaát laø caùc haøm αi ñöôïc choïn bò haïn cheá hôn nöõa bôûi nhöõng quan heä (3.132) ñoái vôùi nhöõng vaät lieäu loaïi Green.

157

Khoâng coù lyù do öu tieân ñoái vôùi vieäc ñoøi hoûi raèng caùc soá haïng cuûa baäc ñöôïc quy ñònh hieän dieän trong nhöõng haøm bieán daïng vaät lieäu. Do ñoù, vì söï ñôn giaûn, thaät coù lôïi trong vaøi tröôøng hôïp ñeå khai trieån W nhö moät haøm cuûa chæ hai baát bieán bieán daïng, hay thaäm chí chæ moät baát bieán bieán daïng. Ngoaøi ra, ngöôøi ta khoâng theå giöõ laïi taát caû nhöõng söï keát hôïp coù theå cuûa caùc baát bieán naøy ñoái vôùi baäc ñaõ ñöôïc quy ñònh.

Trong moät thuû tuïc töông töï, ta coù theå thu ñöôïc nhöõng quan heä cô sôû khaùc nhau töø phöông trình (3.118) baèng caùch khai trieån haøm Ω theo caùc baát bieán öùng suaát

21 I,I , vaø 3I (I1, I2, vaø I3, hay I1, J2, J3). Do ñoù, neáu ta choïn caùc baát bieán öùng suaát döôùi ñaây (töông töï vôùi caùc baát bieán ñaõ ñònh nghóa cho bieán daïng),

mnknkm2

kmkm2

kk1

31I

21

I

I

σσσ=

σσ=

σ=

(3.133)

phöông trình cô sôû laø

εij = φ1δij + φ2σij + φ3σikσjk (3.134)

ôû ñaây i

jiiI

)I(∂

Ω∂=φ=φ (3.135)

vaø caùc raøng buoäc leân caùc haøm öùng suaát vaät lieäu φi ñöôïc cho bôûi ba quan heä sau ñaây:

i

j

j

i

II ∂

φ∂=

∂

φ∂ (3.136)

Caàn nhaán maïnh raèng öùng xöû cuûa caùc moâ hình ñaúng höôùng ñöôïc moâ taû trong caùc phöông trình (3.130) vaø (3.134) laø thuaän nghòch vaø ñoäc laäp vôùi loä trình, nhö trong nhöõng moâ hình ñaøn hoài tuyeán tính, do traïng thaùi bieán daïng (öùng suaát) laø ñôn nhaát ñöôïc xaùc ñònh bôûi caùc giaù trò hieän haønh cuûa caùc öùng suaát (caùc bieán daïng) maø khoâng caàn quan taâm ñeán lòch söû ñaët taûi. Hôn nöõa, caùc truïc öùng suaát chính vaø bieán daïng chính luoân truøng nhau trong nhöõng moâ hình naøy.

Thí duï 3.6 Moät phaân toá vaät lieäu chöa coù öùng suaát vaø bieán daïng ban ñaàu chòu moät lòch söû taùc ñoäng taûi noù taïo ra loä trình ñöôøng thaúng höôùng taâm töø (0, 0) ñeán (206,85.106, 68,95.106) N/m2 trong khoâng gian (σ, τ), nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 3.11. Chuùng ta giaû ñònh raèng phaân toá laø vaät lieäu ñaøn hoài phi tuyeán vôùi haøm Ω ñöôïc cho bôûi

158

Ω(I1, J2) = aJ2 + bI1J2 (3.137)

ôû ñaây a vaø b laø caùc haèng soá. Quan heä öùng suaát−bieán daïng cuûa vaät lieäu trong keùo ñôn truïc laø

2

663

10.95,6810.95,6810

σ+

σ=ε (3.138)

ôû ñaây σ coù ñôn vò laø N/m2. a) Haõy xaùc ñònh caùc haèng soá a vaø b trong phöông trình (3.137). b) Haõy tìm taát caû nhöõng thaønh phaàn bieán daïng phaùp vaø tröôït ôû cuoái loä trình öùng suaát ñaõ cho. c) Khaûo saùt loä trình öùng suaát tieáp töø (0, 0) ñeán (0, 68,95.106) N/m2, vaø haõy tính toaùn thaønh phaàn bieán daïng tröôït sinh ra γxy, ôû ñaây maët phaúng (xy) truøng vôùi maët phaúng cuûa caùc thaønh phaàn öùng suaát σ vaø τ. Haõy xaùc ñònh giaù trò cuûa bieán daïng theå tích (söï thay ñoåi theå tích) εkk trong tröôøng hôïp naøy.

Giaûi

a) Töø bieåu thöùc ñaõ cho ñoái vôùi Ω trong phöông trình (3.137), ta coù

21

bJI

=∂

Ω∂ vaø )bIa(J 1

2

+=∂

Ω∂

σ (N/m2)

Hình 3.11 Caùc loä trình ñaët taûi trong khoâng gian (σ, τ)

τ (N/m 2)

Loä trình ñaët taûi

tröôït

Loä trình ñaët taûi höôùng kính

τ

σ

τ

τ

σ

159

Vì I1 = σkk vaø mnmn2 ss21J = (chöông 2), do ñoù

ijij

1Iδ=

σ∂∂

ij

mnkkmn

mnij

mnmn

ij

2)

31(

ss

sJ

σ∂

δσ−σ∂=

σ∂∂

=σ∂

∂ (3.139a)

hay ijmnijijijmnjnimmnij

2 ss31

s31

sJ

=δ−=

δδ−δδ=

σ∂∂ (3.139b)

do smm = 0.

Do ñoù, caùc phöông trình cô sôû coù theå ñöôïc vieát nhö

ij1ij2ij

ij s)bIa()bJ( ++δ=σ∂Ω∂=ε (3.140)

Trong tröôøng hôïp keùo ñôn truïc, σ11 = σ vaø taát caû caùc thaønh phaàn öùng suaát khaùc baèng khoâng. Do ñoù,

I1 = σ, 22 3

1J σ= , σ=32s11

vaø quan heä öùng suaát−bieán daïng cuûa phöông trình (3.140) ruùt goïn veà

2b3a2 σ+σ=ε

So saùnh phöông trình naøy vôùi quan heä öùng suaát−bieán daïng ñöôïc cho trong phöông trình (3.138), ta coù theå deã daøng thu ñöôïc caùc haèng soá a vaø b. Keát quaû laø

41023a −×= vaø 5101b −×=

b) Thay caùc keát quaû vöøa tìm ñöôïc cho a vaø b vaøo phöông trình (3.140), noù trôû thaønh

ij154

ij25

ij sI101023J)101(

+×+δ×=ε −−− (3.141)

Caùc giaù trò I1 vaø J2 ôû cuoái cuûa loä trình höôùng taâm ñaõ cho ñöôïc tính toaùn töø nhöõng giaù trò cuoái σ = 206,85.106N/m2 vaø τ = 68,95.106N/m2. Do ñoù, ta nhaän ñöôïc

I1 = 206,85.106

160

( ) ( ) ( ) 162626262 10.9016,110.95,6810.85,20610.85,206

6

1J =+

+=

Thay theá nhöõng giaù trò naøy vaøo phöông trình (3.141), ta tìm ra

ij4

ij4

ij s)105,4()1040( −− ×+δ×=ε

coâng thöùc naøy ñöôïc duøng ñeå tính toaùn caùc thaønh phaàn bieán daïng εij. Caùc keát quaû ñöôïc cho bôûi

4ij 10

500

0545

045130

−×

−

−=ε

c) Ñoái vôùi loä trình ñaët taûi öùng suaát tieáp töø (0, 0) ñeán (0, 10) ksi, caùc giaù trò cuûa I1 vaø J2 laø

I1 = 0, J2 = 689,5.106

Theá thì phöông trình cô sôû (3.141) trôû thaønh

ij4

ij3

ij s105,110 −− ×+δ=ε

Do ñoù, 3412xyxy 103)10(105,1222 −− ×=××=ε=ε=γ

)s(105,1)(10 kk4

kk3

kk−− ×+δ=ε

Do skk = 0, giaù trò cuoái cuøng cuûa söï giaõn nôû εkk ôû cuoái cuûa loä trình öùng suaát tieáp laø (δkk = 3) εkk = 3×10−3

Chuù yù raèng, khoâng gioáng moâ hình ñaøn hoài tuyeán tính, moâ hình ñaøn hoài phi tuyeán cuûa phöông trình (3.140) gaây ra moät söï gia taêng theå tích döôùi taùc ñoäng cuûa öùng suaát tröôït thuaàn tuùy (cuõng ñöôïc goïi laø söï giaõn nôû theå tích hay söï phình ra), nhö ñöôïc minh hoïa trong thí duï naøy. Hieän töôïng naøy raát quan troïng trong vieäc moâ hình caùc vaät lieäu ñaát, chaúng haïn nhö caùt coù tyû troïng naëng vaø caùc ñaát seùt ñöôïc gia cöôøng ñaëc bieät, vaø caùc vaät lieäu gioáng nhö ñaù, nhö beâ toâng.

3.3.3 Caùc quan heä öùng suaát−−−−bieán daïng ñaøn hoài phi tuyeán ñaúng höôùng coù ñöôïc bôûi söï hieäu chænh caùc moâñun ñaøn hoài

Caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng ñaøn hoài tuyeán tính ñaõ ñöôïc baøn luaän trong muïc 3.2.2 laø ñaúng höôùng vaø thuaän nghòch. Roõ raøng, moät söï môû roäng cuûa caùc quan heä naøy vôùi caùc moâñun ñaøn hoài ñöôïc thay theá bôûi caùc haøm voâ höôùng ñöôïc lieân keát

161

vôùi hoaëc caùc baát bieán öùng suaát hoaëc caùc baát bieán bieán daïng cuõng coù nhöõng ñaëc tröng cuûa söï ñaúng höôùng vaø söï thuaän nghòch. Thí duï, caùc haøm voâ höôùng ñöôïc lieân keát vôùi traïng thaùi öùng suaát coù theå bao goàm caùc giaù trò cuûa caùc öùng suaát chính σ1, σ2, vaø σ3, hoaëc ba baát bieán ñoäc laäp I1, J2, vaø J3. Do ñoù, caùc haøm voâ höôùng khaùc nhau nhö F(I1, J2, J3) ñöôïc lieân keát vôùi caùc baát bieán öùng suaát, hoaëc F(I’1, J’2, J’3) ñöôïc lieân keát vôùi caùc baát bieán bieán daïng, coù theå ñöôïc duøng ñeå moâ taû caùc moâ hình cô sôû ñaøn hoài phi tuyeán khaùc nhau. Caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng phi tuyeán ñoái vôùi moãi moâ hình naøy thu goïn veà caùc daïng tuyeán tính khi caùc haøm voâ höôùng ñöôïc laáy laø caùc haèng soá.

Nhö laø moät thí duï ñaàu tieân, ta haõy khaûo saùt daïng ñaøn hoài tuyeán tính cuûa phöông trình (3.84) ñöôïc hieäu chænh bôûi thay theá soá nghòch ñaûo cuûa moâñun Young E baèng moät haøm voâ höôùng cuûa caùc baát bieán I1, J2, vaø J3 ñöôïc ñaët teân laø F(I1, J2, J3). Do ñoù, ta coù εij = (1 + ν)F(I1, J2, J3)σij − νF(I1, J2, J3)σkkδij (3.142)

Heä soá Poisson ν cuõng coù theå ñöôïc thay theá bôûi haøm cuûa caùc baát bieán öùng suaát.

Caùc phöông trình (3.142) laø caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng phi tuyeán ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn hoài ñaúng höôùng noù ruùt goïn veà caùc daïng tuyeán tính khi F(I1, J2, J3) laø haèng soá (1/E). Chuùng bieåu dieãn öùng xöû ñaøn hoài (thuaän nghòch) bôûi vì traïng thaùi bieán daïng ñöôïc xaùc ñònh moät caùch ñôn trò bôûi traïng thaùi öùng suaát hieän haønh maø khoâng caàn quan taâm ñeán lòch söû ñaët taûi.

Dó nhieân, coù söï chia taùch cuoái cuøng vaø hôïp lyù giöõa ñaùp öùng trung bình vaø ñaùp öùng leäch hay tröôït cuûa vaät lieäu, nhö ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn hoài tuyeán tính. Ñaëc bieät, ta coù theå thu ñuôïc töø phöông trình (3.142)

εkk = (1 − 2ν)F(I1, J2, J3)σkk

eij = (1 + ν)F(I1, J2, J3)sij (3.143)

ôû ñaây caùc moâñun K vaø G ñöôïc bieåu dieãn theo E vaø ν bôûi caùc phöông trình (3.92) vaø (3.83) vaø soá nghòch ñaûo cuûa E ñöôïc thay theá bôûi haøm voâ höôùng F(I1, J2, J3). Tuy nhieân, khoâng gioáng nhö quan heä ñaøn hoài tuyeán tính, caùc phöông trình (3.143) chöùng toû raèng coù moät söï töông taùc giöõa hai ñaùp öùng thoâng qua söï thay ñoåi ñoä lôùn cuûa haøm voâ höôùng F vôùi söï bieán thieân cuûa caùc baát bieán I1, J2, vaø J3. Ñieàu naøy nguï yù raèng söï thay ñoåi theå tích εkk khoâng chæ coù phuï thuoäc vaøo σkk. Töông töï, caùc leäch hay caùc bieán daïng tröôït, eij, khoâng chæ phuï thuoäc vaøo ñoä leäch öùng suaát hoaëc caùc öùng suaát tieáp, sij. Chuùng phuï thuoäc laãn nhau, vaø tuông taùc thoâng qua söï bieán thieân cuûa haøm voâ höôùng F(I1, J2, J3).

Nhö laø thí duï thöù hai cuûa söï hình thaønh coâng thöùc quan heä cô sôû cuûa caùc vaät lieäu ñaøn hoài phi tuyeán ñaúng höôùng, haõy khaûo saùt söï hieäu chænh caùc quan heä tuyeán

162

tính cuûa caùc coâng thöùc (3.93) vaø (3.94). Caùc moâñun khoái vaø tröôït ñaøn hoài ñöôïc laáy nhö laø caùc haøm voâ höôùng cuûa caùc baát bieán tenxô öùng suaát hoaëc tenxô bieán daïng. Do ñoù, caùc phöông trình (3.93) vaø (3.94) baây giôø coù theå ñöôïc vieát nhö

p = Ksεkk (3.144)

sij = 2Gseij (3.145)

Do ñoù, ta coù σij = sij + pδij = 2Gseij + Ksεkkδij (3.146)

ôû ñaây Ks vaø Gs töông öùng ñöôïc bieát nhö moâñun khoái caét vaø moâñun tröôït caét. Caùc daïng haøm voâ höôùng cuûa Ks vaø Gs theo caùc baát bieán tenxô öùng suaát hoaëc tenxô bieán daïng ñöôïc khai trieån chuû yeáu töø caùc döõ lieäu thí nghieäm. Veà nguyeân taéc cô baûn, moät haøm voâ höôùng tuøy yù cuûa caùc baát bieán tenxô öùng suaát hoaëc tenxô bieán daïng coù theå ñöôïc söû duïng cho caùc moâñun ñaøn hoài phi tuyeán ñaúng höôùng nhö ñaõ ñöôïc baøn luaän tröôùc ñaây. Roõ raøng, caùc moâ hình cô baûn ñöôïc hình thaønh treân cô sôû naøy laø loaïi ñaøn hoài Cauchy; traïng thaùi bieán daïng ñöôïc xaùc ñònh moät caùch duy nhaát bôûi traïng thaùi öùng suaát hieän haønh hay ngöôïc laïi. Thí duï, ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát tuøy yù, σij, giaù trò cuûa F(I1, J2, J3) vaø do ñoù caùc thaønh phaàn bieán daïng, εij, trong caùc phöông trình (3.143) ñöôïc xaùc ñònh moät caùch duy nhaát maø khoâng caàn quan taâm ñeán loä trình ñaët taûi. Tuy nhieân, ñieàu naøy khoâng nguï yù raèng W vaø Ω, ñöôïc tính toaùn töø caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng nhö theá, cuõng ñoäc laäp vôùi lòch söû. Nhöõng haïn cheá naøo ñoù phaûi ñöôïc aùp ñaët ñoái vôùi caùc haøm voâ höôùng ñaõ choïn ñeå ñaûm baûo ñaëc tính ñoäc laäp loä trình cuûa W vaø Ω. Ñieàu naøy ñaûm baûo raèng caùc ñònh luaät nhieät ñoäng löïc hoïc luoân ñöôïc thoûa vaø naêng löôïng khoâng ñöôïc sinh ra trong suoát chu kyø ñaët taûi vaø caát taûi baát kyø.

Haõy khaûo saùt caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng cuûa phöông trình (3.146). Haõy ñeå Ks vaø Gs laø caùc haøm toång quaùt caùc baát bieán bieán daïng I’1, J’2, vaø J’3 cuûa daïng Ks(I’1, J’2, J’3) vaø Gs(I’1, J’2, J’3). Bieåu thöùc cho W trong tröôøng hôïp naøy laø

2,

1

,

3

,

2

,

1s

I

0

,2

,

3

,

2

,

1

J

0s

0ijij

)I(d)J,J,I(K2

1dJ)J,J,I(G2

dW

,1

,2

ij

∫∫

∫

+=

εσ=ε

(3.147)

trong ñoù d(I’1)2 = 2I’1dI’1.

Töông töï, neáu Ks vaø Gs ñöôïc laáy nhö laø caùc haøm cuûa caùc baát bieán öùng suaát I1, J2, vaø J3, ta coù theå thaáy raèng Ω ñöôïc cho bôûi

∫∫∫ +=σε=Ωσ 12ij I

0 321s

21

J

0 321s

2ij

0ij )J,J,I(K18

)I(d

)J,J,I(G2

dJd (3.148)

Nhö coù theå ñöôïc thaáy, ñeå cho W ñoäc laäp vôùi loä trình, caùc tích phaân trong phöông

163

trình (3.147) phaûi phuï thuoäc chæ vaøo caùc giaù trò I’1 vaø J’2 hieän haønh. Ñieàu naøy coù theå luoân ñöôïc thoûa maõn neáu caùc moâñun Ks vaø Gs ñöôïc bieåu dieãn nhö

Ks = Ks(I’1)

Gs = Gs(J’2) (3.149a)

Nhöng vì I’1 vaø J’2 ñöôïc lieân heä vôùi εoct vaø γoct, caùc phöông trình (3.149a) coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo caùc daïng khaùc

Ks = Ks(εoct)

Gs = Gs(γoct) (3.149b)

Töông töï, ñeå thoûa maõn yeâu caàu Ω ñoäc laäp vôùi loä trình trong phöông trình (3.148), Ks vaø Gs ñöôïc laáy laàn löôït laø nhöõng haøm cuûa chæ I1 vaø J2, nghóa laø,

Ks = Ks(I1)

Gs = Gs(J2) (3.150a)

hoaëc, theo caùc thaønh phaàn öùng suaát baùt dieän

Ks = Ks(σoct)

Gs = Gs(τoct) (3.150b)

Hôn nöõa, Ks vaø Gs phaûi, dó nhieân, döông. Do ñoù, caùc tích phaân trong caùc phöông trình (3.147) vaø (3.148) luoân döông (vì 2

1I vaø J2 döông). Ñieàu naøy xaùc nhaän raèng W vaø Ω luoân xaùc ñònh döông. Söï ñoäc laäp vôùi loä trình ñoái vôùi caùc haøm theá naêng W vaø Ω laø do tính thuaän nghòch cuûa öùng xöû ñaøn hoài, trong khi vieäc xaùc ñònh döông cuûa W vaø Ω do yeâu caàu veà söï oån ñònh cuûa vaät lieäu. Vieäc naøy seõ ñöôïc thaûo luaän trong muïc tieáp theo.

3.4 NGUYEÂN LYÙ COÂNG AÛO Nguyeân lyù coâng aûo ñaõ chöùng toû raát maïnh meõ nhö laø moät kyõ thuaät trong vieäc giaûi caùc baøi toaùn vaø trong vieäc ñöa ra nhöõng chöùng minh cho caùc ñònh lyù toång quaùt cuûa cô hoïc vaät raén. Trong phaàn döôùi ñaây, phöông trình coâng aûo seõ thu ñöôïc. Phöông trình naøy ñöôïc caàn ñeán cho nhöõng khaûo saùt tieáp theo veà söï oån ñònh vaø tính ñôn nhaát cuûa caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng toång quaùt, chuùng coù theå khoâng thuaän nghòch vaø phuï thuoäc loä trình. Trong söï baét nguoàn, caùc giaû ñònh sau ñaây ñöôïc thöïc hieän: caùc chuyeån vò laø ñuû nhoû ñeå maø caùc thay ñoåi veà hình hoïc cuûa vaät theå ñöôïc boû qua vaø caáu hình chöa bieán daïng ban ñaàu coù theå ñöôïc duøng trong vieäc thieát laäp caùc phöông trình cho heä thoáng. Ñieàu naøy nguï yù raèng, caùc thaønh phaàn phi tuyeán trong tính töông thích cuûa bieán daïng vaø chuyeån vò ñöôïc boû qua. Ñieàu naøy daãn ñeán caùc phöông trình caân baèng (3.70) vaø caùc quan heä töông thích (3.71) coù theå aùp duïng ôû ñaây.

Phöông trình coâng aûo ñeà caäp ñeán hai taäp hôïp rôøi raïc vaø chöa ñöôïc quan heä: taäp

164

hôïp caân baèng vaø taäp hôïp töông thích. Taäp hôïp caân baèng vaø taäp hôïp töông thích ñöôïc nhoùm laïi (gom laïi) vôùi nhau, saùt beân nhau nhöng ñoäc laäp, trong phöông trình coâng aûo (hình 3.12).

∫∫∫ εσ=+V

*ijij

V

*ii

A

*ii dVdVuFdAuT (3.151)

Pheùp tích phaân ôû ñaây thöïc hieän treân toaøn dieän tích, A, hay theå tích, V, cuûa vaät theå. Caùc ñaïi löôïng Ti vaø Fi töông öùng laø caùc ngoaïi löïc beà maët vaø theå tích. Tröôøng öùng suaát σij laø taäp hôïp öùng suaát tuøy yù, thaät hay khaùc, trong traïng thaùi caân baèng vôùi caùc löïc theå tích Fi beân trong vaät theå vaø vôùi caùc löïc beà maët Ti treân beà maët maø caùc löïc Ti ñöôïc phaân boá. Töông töï, tröôøng bieán daïng ε*ij bieåu dieãn taäp hôïp baát kyø cuûa bieán daïng töông thích vôùi caùc chuyeån vò thaät hoaëc aûo u*i cuûa caùc ñieåm chòu taùc ñoäng cuûa caùc ngoaïi löïc Ti vaø Fi. Trong hình 3.12, hai taäp hôïp (caân baèng vaø töông thích) ñöôïc bieåu thò, cuõng nhö nhöõng yeâu caàu ñeå ñöôïc thoûa maõn bôûi moãi taäp hôïp [caùc phöông trình (3.70) vaø (3.71)].

Ñieàu quan troïng caàn löu yù laø caû taäp hôïp caân baèng Ti, Fi, vaø σij (hình 3.12a) vaø taäp hôïp töông thích u*i vaø ε*ij (hình 3.12b) ñeàu khoâng caàn laø traïng thaùi thaät, maø cuõng khoâng caàn caùc taäp hôïp caân baèng vaø töông thích ñöôïc lieân heä vôùi nhau theo moät caùch thöùc naøo ñoù. Trong phöông trình (3.151), caùc daáu ngoâi sao ñöôïc duøng cho taäp thôïp töông thích ñeå nhaán maïnh raèng hai taäp hôïp naøy ñoäc laäp hoaøn toaøn. Khi caùc traïng thaùi thöïc (noù thoûa caû hai ñieàu kieän caân baèng vaø töông thích) ñöôïc thay theá trong phöông trình (3.151), caùc daáu ngoâi sao ñöôïc boû qua.

3.4.1 Chöùng minh phöông trình coâng aûo

Haõy khaûo saùt ngoaïi coâng aûo, Wext, ñöôïc cho bôûi bieåu thöùc ôû veá traùi cuûa phöông trình (3.151). Vôùi Ti = σjinj treân dieän tích A, ta coù theå vieát

∫∫ +σ=V

*ii

A

*ijjiext dVuFdAunW

Taäp hôïp caân baèng

Taäp hôïp töông thích

165

Tích phaân ñaàu coù theå ñöôïc chuyeån thaønh tích phaân theå tích baèng caùch duøng ñònh lyù divergence. Do ñoù, ta coù

∫∫

∫∫

+σ+σ=

+σ=

V

*ii

V

*j,iji

*ij,ji

V

*ii

Vj

*ijiext

dVuFdV)uu(

dVuFdV)u(W

hay ∫ σ++σ=V

*j,iji

*iij,jiext dV]uu)F[(W (3.152)

Soá haïng ñaàu tieân trong daáu ngoaëc ñôn trieät tieâu ñoái vôùi taäp hôïp caân baèng, noù thoûa caùc phöông trình caân baèng ñöôïc cho trong phöông trình (3.70b). Do ñoù, phöông trình (3.152) ruùt goïn veà

∫ σ=V

*j,iijext dVuW (3.153)

Baây giôø ta khaûo saùt noäi coâng aûo, Wint, ñöôïc cho bôûi bieåu thöùc ôû veá phaûi cuûa phöông trình (3.151). Baèng caùch duøng phöông trình (3.71a), ta coù

∫∫ +σ=εσ=V

*i,j

*j,iij

V

*ijijint dV)uu(

21dVW

hoaëc ∫

σ+σ=

V

*i,jij

*j,iijint dVu

21u

21W

noù coù theå ñöôïc vieát nhö (i, j laø caùc chæ soá giaû/caâm)

∫

σ+σ=

V

*j,iji

*j,iijint dVu

21u

21W

Cuoái cuøng, söû duïng tính ñoái xöùng cuûa σij,

∫ σ=V

*j,iijint dVuW (3.154)

Vì theá, töø caùc phöông trình (3.153) vaø (3.154), Wext = Wint vaø phöông trình coâng aûo ñöôïc thieát laäp.

3.4.2 Caùc daïng suaát cuûa caùc phöông trình coâng aûo

Taäp hôïp caân baèng vaø taäp hôïp töông thích tuøy yù coù theå ñöôïc thay vaøo phöông trình (3.151). Cuï theå, moät gia soá hay suaát thay ñoåi cuûa ngoaïi löïc vaø öùng suaát noäi

ijii ,F,T σ&&& coù theå ñöôïc duøng nhö moät taäp hôïp caân baèng vaø moät gia soá hay suaát

thay ñoåi cuûa caùc chuyeån vò vaø bieán daïng *ij

*i ,u ε&& nhö laø taäp hôïp töông thích. Do

166

ñoù, caùc daïng suaát ñöôïc cho döôùi ñaây coù giaù trò nhö caùc phöông trình coâng aûo:

∫∫∫ εσ=+V

*ijij

V

*ii

A

*ii dVdVuFdAuT &&&&&& (3.155)

∫∫∫ εσ=+V

*ijij

V

*ii

A

*ii dVdVuFdAuT &&& (3.156)

∫∫∫ εσ=+V

*ijij

V

*ii

A

*ii dVdVuFdAuT &&& (3.157)

3.5 ÑÒNH ÑEÀ OÅN ÑÒNH DRUCKER

Haõy khaûo saùt moät vaät theå vaät lieäu coù theå tích V vaø dieän tích beà maët A, nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 3.13a. Caùc löïc beà maët vaø theå tích taùc ñoäng ñöôïc kyù hieäu laàn löôït bôûi Ti vaø Fi. Caùc chuyeån vò, öùng suaát, vaø bieán daïng ñöôïc gaây ra töông öùng laø ui, σij, vaø εij. Heä thoáng caùc löïc, öùng suaát, chuyeån vò, vaø bieán daïng ñang toàn taïi naøy thoûa maõn caû hai ñieàu kieän caân baèng vaø töông thích.

Baây giôø haõy khaûo saùt moät taùc ñoäng beân ngoaøi, noù hoaøn toaøn khaùc bieät vôùi taùc ñoäng gaây ra caùc traïng thaùi öùng suaát σij vaø bieán daïng εij ñang toàn taïi. Taùc ñoäng beân ngoaøi naøy gaây ra caùc löïc beà maët vaø theå tích boå sung, iT& vaø iF& , chuùng gaây ra taäp hôïp öùng suaát ijσ& , bieán daïng ijε& , vaø chuyeån vò iu& boå sung nhö ñöôïc minh

hoïa trong hình 3.13b.

Moät vaät lieäu oån ñònh ñöôïc ñònh nghóa laø vaät lieäu thoûa caùc ñieàu kieän sau ñaây (baây giôø ñöôïc bieát nhö laø caùc ñònh ñeà oån ñònh cuûa Drucker): 1- Trong thôøi gian taùc ñoäng cuûa taäp hôïp caùc löïc ñöôïc boå sung, coâng ñöôïc thöïc

hieän bôûi taùc ñoäng beân ngoaøi treân nhöõng thay ñoåi veà chuyeån vò maø noù gaây ra laø döông.

2- Ñoái vôùi chu kyø ñaët taûi vaø caát taûi cuûa taäp hôïp caùc löïc ñöôïc boå sung, coâng môùi ñöôïc thöïc hieän bôûi taùc ñoäng beân ngoaøi treân nhöõng thay ñoåi veà chuyeån vò maø noù gaây ra laø khoâng aâm.

Caàn nhaán maïnh raèng coâng ñöôïc noùi ñeán chæ laø coâng ñöôïc thöïc hieän bôûi taäp hôïp caùc löïc ñöôïc boå sung, iT& , iF& , treân söï thay ñoåi veà chuyeån vò iu& maø noù gaây ra, chöù khoâng phaûi coâng ñöôïc thöïc hieän bôûi caùc löïc toång treân iu& . Veà maët toaùn hoïc, hai yeâu caàu oån ñònh coù theå ñöôïc phaùt bieåu nhö ∫∫ >+

V iiA ii 0dVuFdAuT &&&& (3.158)

0dVuFdAuTV iiA ii ≥+ ∫∫ &&&& (3.159)

trong ñoù ∫ bieåu thò tích phaân treân chu kyø cuûa söï ñaët taûi vaø caát taûi cuûa taäp hôïp

caùc löïc vaø öùng suaát boå sung.

Ñònh ñeà ñaàu tieân, phöông trình (3.158), ñöôïc goïi laø nhoû, trong khi ñònh ñeà thöù hai, phöông trình (3.159), ñöôïc ñaët teân laø trong chu kyø. Chuù yù raèng nhöõng yeâu caàu oån ñònh naøy haïn cheá hôn caùc ñònh luaät nhieät ñoäng löïc hoïc, chuùng chæ yeâu caàu coâng (ñang toàn taïi) Fi vaø Ti treân iu& khoâng aâm.

a)

Hình 3.13 Taùc ñoäng beân ngoaøi vaø ñònh ñeà oån ñònh cuûa a) Heä thoáng ñang toàn taïi b) Heä thoáng ñang toàn taïi vaø taùc ñoäng beân ngoaøi

AÙp duïng nguyeân lyù coâng aûo cho taäp hôïp caân baèng “ñöôïc boå sung”,

ijσ& , vaø taäp hôïp töông thích töông öùng,

nhöõng phöông trình (3.158) vaø (3.159) coù theå ñöôïc quy veà caùc baát ñaúng thöùc nhö sau (V laø theå tích tuøy yù): 0ijij >εσ && ñoä oån ñònh trong khoaûng nhoû

0ijij ≥εσ∫ && ñoä oån ñònh trong chu kyø

trong ñoù ∫ bieåu thò tích phaân treân chu kyø cuûa söï ñaët taûi vaø caát taûi cuûa taäp hôïp

öùng suaát ñöôïc boå sung ijσ& .

167

Ñònh ñeà ñaàu tieân, phöông trình (3.158), ñöôïc goïi laø ñoä oån ñònh trong khoaûng , trong khi ñònh ñeà thöù hai, phöông trình (3.159), ñöôïc ñaët teân laø ñoä oån ñònh

. Chuù yù raèng nhöõng yeâu caàu oån ñònh naøy haïn cheá hôn caùc ñònh luaät nhieät ñoäng löïc hoïc, chuùng chæ yeâu caàu coâng ñöôïc thöïc hieän bôûi caùc löïc toång

khoâng aâm.

b)

Taùc ñoäng beân ngoaøi vaø ñònh ñeà oån ñònh cuûa Drucker

b) Heä thoáng ñang toàn taïi vaø taùc ñoäng beân ngoaøi

cho taäp hôïp caân baèng “ñöôïc boå sung”, iF& , iT& vaø , vaø taäp hôïp töông thích töông öùng, iu& vaø ijε& , caùc ñieàu kieän oån ñònh trong

öông trình (3.158) vaø (3.159) coù theå ñöôïc quy veà caùc baát ñaúng thöùc nhö

ñoä oån ñònh trong khoaûng nhoû (3.160)

ñoä oån ñònh trong chu kyø (3.161)

bieåu thò tích phaân treân chu kyø cuûa söï ñaët taûi vaø caát taûi cuûa taäp hôïp

168

Hình 3.14 Caùc ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng oån ñònh vaø khoâng oån ñònh

a), b) OÅn ñònh εσ&& > 0; c), d) Khoâng oån ñònh εσ&& < 0

Hình 3.14 Caùc ñöôøng cong öùng suaát-bieán daïng oån ñònh vaø khoâng oån ñònh a), b) OÅn ñònh 0>εσ&& ; c), d) Khoâng oån ñònh 0<εσ&&

Caùc ñieàu kieän oån ñònh (3.160) coù theå ñöôïc minh hoïa bôûi caùc ñöôøng cong σ−ε ñöôïc bieåu thò trong hình 3.14. Trong caùc oâ a vaø b cuûa hình, öùng suaát theâm vaøo σ& > 0 gaây ra söï gia taêng bieán daïng boå sung ε& > 0, vôùi tích soá εσ&& > 0. Nghóa laø, öùng suaát theâm vaøo taïo ra coâng döông, noù ñöôïc bieåu thò bôûi caùc tam giaùc ñöôïc toâ ñaäm trong bieåu ñoà. Tuy nhieân, ñoái vôùi vaät lieäu khoâng oån ñònh ñöôïc bieåu dieãn trong nhöõng oâ c vaø d cuûa hình 3.14, coâng ñöôïc thöïc hieän bôûi öùng suaát theâm vaøo σ& luoân aâm.

Hình 3.14 cuõng chæ ra raèng, ñònh ñeà oån ñònh ñaûm baûo söï toàn taïi cuûa söï nghòch ñaûo duy nhaát cuûa quan heä öùng suaát−bieán daïng. Ñoái vôùi öùng xöû oån ñònh ñöôïc bieåu thò trong caùc hình 3.14a vaø 3.14b, öùng suaát ñöôïc xaùc ñònh moät caùch ñôn trò bôûi giaù trò bieán daïng ñaõ cho, vaø ngöôïc laïi. Tuy nhieân, ñoái vôùi nhöõng vaät lieäu khoâng oån ñònh, hai bieán daïng töông öùng vôùi moät giaù trò ñôn cuûa öùng suaát (hình

a) b)

c) d)

169

3.14c) hoaëc hai öùng suaát töông öùng vôùi moät giaù trò ñôn cuûa bieán daïng (hình 3.14d).

3.6 TÍNH PHAÙP TUYEÁN, TÍNH LOÀI VAØ MOÁI QUAN HEÄ MOÄT−−−−MOÄT CUÛA VAÄT RAÉN ÑAØN HOÀI

3.6.1 Söï toàn taïi cuûa caùc haøm theá naêng W vaø ΩΩΩΩ Theo khaùi nieäm cuûa caùc vaät lieäu oån ñònh, naêng löôïng thöïc höõu duïng khoâng theå ñöôïc trích ra töø vaät lieäu oån ñònh trong moät chu kyø ñaët vaø caát boû cuûa taäp hôïp caùc löïc vaø chuyeån vò ñöôïc theâm vaøo. Hôn nöõa, naêng löôïng phaûi ñöôïc theâm vaøo neáu chæ coù bieán daïng khoâng hoài phuïc (vónh cöûu hay deûo) xaûy ra. Ñoái vôùi nhöõng vaät lieäu ñaøn hoài, taát caû bieán daïng laø hoài phuïc vaø ñoä oån ñònh yeâu caàu raèng coâng ñöôïc thöïc hieän bôûi taùc ñoäng beân ngoaøi trong moät chu kyø nhö theá baèng khoâng: nghóa laø, tích phaân cuûa baát ñaúng thöùc (3.161) luoân baèng khoâng ñoái vôùi nhöõng vaät lieäu ñaøn hoài. Ta coù theå thaáy raèng ñieàu naøy cung caáp ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñoái vôùi söï toàn taïi cuûa caùc haøm naêng löôïng bieán daïng vaø naêng löôïng buø, W vaø Ω.

Thí duï, caùc traïng thaùi ñang toàn taïi cuûa öùng suaát vaø bieán daïng trong vaät theå vaät lieäu ñaøn hoài ñöôïc kyù hieäu laàn löôït bôûi *

ijσ vaø *ijε . Haõy khaûo saùt moät taùc ñoäng

beân ngoaøi noù ñaët vaøo vaø roài giaûi phoùng ra moät taäp hôïp caùc öùng suaát theâm vaøo traïng thaùi öùng suaát ñang toàn taïi. Ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn hoài, khi traïng thaùi öùng suaát trôû veà *

ijσ , traïng thaùi bieán daïng cuõng trôû veà *ijε ; do ñoù moät chu kyø bieán daïng

ñöôïc hoaøn chænh baét ñaàu vaø keát thuùc ôû *ijε . Ñoái vôùi chu kyø nhö theá, ñònh ñeà oån

ñònh thöù hai yeâu caàu raèng

( )∫ =εσ−σ 0d ij*ijij

vì khoâng coù caùc bieán daïng vónh cöûu (deûo) xaûy ra. Baèng caùch choïn traïng thaùi toàn taïi ban ñaàu laø khoâng öùng suaát vaø khoâng bieán daïng, ta coù ∫ =εσ 0d ijij (3.162)

noù phaûi ñuùng baát chaáp loä trình ñöôïc ñi theo trong suoát chu kyø. Do ñoù, haøm bò tích phaân trong phöông trình (3.162) phaûi laø vi phaân chính xaùc (hoaøn chænh). Vieäc naøy daãn ñeán söï khaûo saùt maät ñoä naêng löôïng bieán daïng ñaøn hoài, W, ñöôïc vieát nhö moät haøm cuûa moät mình bieán daïng,

( ) ∫ε

εσ=εij

0

ijijij dw vaø ij

ijw

ε∂∂=σ

Ñaây laø nhöõng quan heä gioáng vôùi nhöõng quan heä ñaõ thu ñöôïc tröôùc ñaây trong

170

muïc 3.3.1 nhö caùc phöông trình (3.112) vaø (3.117).

Töông töï, ta coù theå thaáy raèng ñònh ñeà oån ñònh thöù hai daãn ñeán söï toàn taïi cuûa maät ñoä naêng löôïng buø ñaøn hoài, Ω, laø haøm cuûa chæ caùc öùng suaát, nhö ñöôïc cho tröôùc ñaây trong muïc 3.3.1 ôû caùc phöông trình (3.113) vaø (3.118).

3.6.2 Tính phaùp tuyeán

Nhö chuùng ta bieát, haøm f(xi) = constant (i = 1, 2, 3) bieåu dieãn moät beà maët trong khoâng gian toïa ñoä Descartes ba chieàu. Phaùp tuyeán ngoaøi cuûa beà maët naøy ôû moät ñieåm tuøy yù xi laø moät vectô vuoâng goùc vôùi maët phaúng tieáp tuyeán. Ñoä doác cuûa f, ∂f/∂xi, ôû ñieåm xi coù phöông cuûa phaùp tuyeán beà maët naøy. Do ñoù, phöông trình (3.117), σij = ∂W/∂εij, vaø phöông trình (3.118), εij = ∂Ω/∂σij, laø nhöõng ñieàu kieän phaùp tuyeán trong khoâng gian bieán daïng (öùng suaát) chín chieàu. Phöông trình (3.117) phaùt bieåu raèng phaùp tuyeán ngoaøi cuûa beà maët W = constant ôû moät ñieåm ñaõ cho εij bieåu dieãn vectô σij töông öùng vôùi εij trong yù nghóa laø thaønh phaàn cuûa noù theo höôùng cuûa moãi truïc toïa ñoä bieán daïng thì tyû leä vôùi thaønh phaàn töông öùng cuûa vectô phaùp tuyeán ∂W/∂εij. Trong hình 3.15a, beà maët W = constant ñöôïc minh hoïa moät caùch töôïng tröng trong khoâng gian bieán daïng chín chieàu. Traïng thaùi bieán daïng εij ñöôïc bieåu dieãn bôûi moät ñieåm trong khoâng gian naøy. Caùc thaønh phaàn σij, töông öùng vôùi caùc bieán daïng εij, ñöôïc veõ nhö moät vectô töï do trong khoâng gian bieán daïng (vôùi σ11 nhö laø thaønh phaàn theo höôùng ε11…) vôùi goác cuûa noù ôû ñieåm bieán daïng εij. Vectô töï do naøy luoân vuoâng goùc vôùi beà maët W = constant ôû ñieåm bieán daïng töông öùng εij. Tính phaùp tuyeán cuûa εij ñoái vôùi beà maët Ω = constant ñöôïc bieåu thò trong hình 3.15b.

171

3.6.3 Tính loài

Nhö ñaõ ñöôïc baøn luaän tröôùc ñaây, ñoái vôùi caùc vaät lieäu ñaøn hoài, ñònh ñeà oån ñònh thöù hai nguï yù raèng caùc quan heä cô sôû luoân laø loaïi Green (sieâu ñaøn hoài) nhö ñöôïc moâ taû bôûi caùc phöông trình (3.117) vaø (3.118). Hôn nöõa, caùc quan heä naøy phaûi thoûa maõn yeâu caàu oån ñònh thöù nhaát, baát phöông trình (3.160), noù aùp ñaët caùc ñieàu kieän boå sung vaøo daïng toång quaùt cuûa caùc phöông trình cô sôû.

Haõy khaûo saùt caùc quan heä cô sôû ñöôïc cho bôûi phöông trình (3.117). Caùc thaønh phaàn gia soá öùng suaát ijσ& coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo caùc gia soá bieán daïng ijε& bôûi

pheùp ñaïo haøm; nghóa laø

l

l

l

l

&&& kkij

2

kk

ijij

w εε∂ε∂

∂=εε∂

σ∂=σ (3.163)

Thay ijσ& töø phöông trình naøy vaøo ñieàu kieän oån ñònh (3.160), ta thu ñöôïc

0wkij

kij

2

>εεε∂ε∂

∂l

l

&& (3.164a)

Nghóa laø, daïng baäc hai (∂2W/∂εij∂εkl) l&&

kijεε phaûi xaùc ñònh döông ñoái vôùi caùc giaù

trò tuøy yù cuûa caùc thaønh phaàn ijε& . Baát phöông trình (3.164a) coù theå ñöôïc vieát laïi

döôùi daïng thuaän tieän khaùc nhö 0H kijijk >εε

ll&& (3.164b)

ôû ñaây Hijkl laø tenxô baäc boán ñöôïc cho bôûi

l

l

kij

2

ijkwHε∂ε∂

∂= (3.165)

Nhö coù theå thaáy ñöôïc töø phöông trình (3.165), tenxô Hijkl thoûa maõn caùc ñieàu kieän ñoái xöùng (εij coù tính ñoái xöùng): Hijkl = Hjikl = Hijlk = Hklij

Do ñoù, seõ chæ coù 21 thaønh phaàn ñoäc laäp trong Hijkl.

Veà maët toaùn hoïc, ma traän cuûa caùc thaønh phaàn Hijkl = ∂2W/∂εij∂εkl ñöôïc goïi laø ma traän Hess cuûa haøm W. Khi εij ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng vectô vôùi saùu thaønh phaàn, nhö ñöôïc ñònh nghóa trong phöông trình (3.98), theá thì caùc phaàn töû cuûa ma traän Hess ñoái vôùi W ñöôïc vieát nhö

172

[ ]

γ∂∂

γ∂γ∂∂

γ∂

∂

γ∂γ∂∂

γ∂γ∂∂

γ∂∂

γ∂ε∂∂

γ∂ε∂∂

γ∂ε∂∂

ε∂∂

γ∂ε∂∂

γ∂ε∂∂

γ∂ε∂∂

ε∂ε∂∂

ε∂∂

γ∂ε∂∂

γ∂ε∂∂

γ∂ε∂∂

ε∂ε∂∂

ε∂ε∂∂

ε∂∂

=

2zx

2

zxyz

2

2yz

2

zxxy

2

yzxy

2

2xy

2zxz

2

yzz

2

xyz

2

2z

2

zxy

2

yzy

2

xyy

2

zy

2

2y

2zxx

2

yzx

2

xyx

2

zx

2

yx

2

2x

2

w

wwxöùngñoái

www

wwww

wwwww

wwwwww

H (3.166)

vaø ñieàu kieän (3.164b) ñoøi hoûi [H] xaùc ñònh döông.

Maët khaùc, baát phöông trình (3.160) coù theå ñöôïc vieát theo Ω vaø σij. Do ñoù, baèng caùch duøng caùc phöông trình (3.118) vaø theo thuû tuïc töông töï nhö ñöôïc phaùc thaûo ôû treân, cuoái cuøng ta thu ñöôïc

0H kij

,

ijk >σσll

&& (3.167)

ôû ñaây l

l

kij

2,

ijkHσ∂σ∂Ω∂= (3.168)

vaø caùc phaàn töû cuûa ma traän Hess ñoái vôùi Ω coù daïng töông töï nhö caùc phaàn töû cuûa ma traän Hess ñoái vôùi W trong phöông trình (3.166) vôùi W, ε, vaø γ ñöôïc thay theá laàn löôït bôûi Ω, σ, vaø τ.

Töø nhöõng phöông trình (3.164) vaø (3.167), chuùng ta keát luaän raèng caùc beà maët töông öùng vôùi W vaø Ω baèng haèng trong khoâng gian bieán daïng vaø khoâng gian öùng suaát, coù tính loài. Ñieàu naøy coù theå ñöôïc chöùng minh baèng toaùn hoïc nhö sau. Khaûo saùt hai vectô öùng suaát khaùc nhau a

ijσ vaø bijσ trong khoâng gian öùng suaát

chín chieàu. Hieäu ( ) ( )aij

bij σΩ−σΩ coù theå ñöôïc xaáp xæ bôûi khai trieån chuoãi Taylor

(baèng caùch boû qua caùc soá haïng baäc cao):

( ) ( ) [ ]ll kij

,ijkij

ij

aij

bij a

ijaij

H21 σ∆σ∆+σ∆

σ∂Ω∂=σΩ−σΩ

σσ

(3.169)

ôû ñaây ( )aij

bijij σ−σ=σ∆ vaø [ ] a

ij

,ijkH

σl= ma traän Hess cuûa Ω ñöôïc tính toaùn ôû a

ijσ .

Soá haïng thöù hai ôû veá phaûi cuûa phöông trình (3.169) laø xaùc ñònh döông. [xem phöông trình (3.167)]. Do ñoù, ta coù theå vieát

173

( ) ( ) ( )aij

bij

ij

aij

bij

aij

σ−σ

σ∂Ω∂>σΩ−σΩ

σ

(3.170)

ñaây laø ñieàu kieän ñoái vôùi tính loài nghieâm ngaët cuûa Ω(σij). Töông töï, tính loài cuûa W(εij) cuõng coù theå ñöôïc chöùng minh.

Caùc haïn cheá ñöôïc aùp ñaët bôûi ñònh ñeà oån ñònh vaät lieäu cuûa Drucker vaø caùc haøm yù cuûa chuùng baây giôø ñöôïc toùm taét nhö sau: 1- Caùc haøm naêng löôïng bieán daïng W vaø naêng löôïng buø Ω toàn taïi vaø luoân xaùc

ñònh döông. Ñieàu naøy töông öùng ñöôïc ruùt ra töø ñaëc tính xaùc ñònh döông cuûa caùc ma traän Hess cuûa chuùng, [H] vaø [H’], vaø phuø hôïp vôùi yeâu caàu cuûa caùc ñònh luaät nhieät ñoäng löïc hoïc.

2- ÖÙng suaát σij vaø bieán daïng εij laàn löôït vuoâng goùc vôùi beà maët W = constant vaø Ω = constant.

3- Caùc beà maët töông öùng vôùi W = constant vaø Ω = constant laàn löôït trong khoâng gian bieán daïng vaø öùng suaát coù tính loài.

4- Hôn nöõa, tính xaùc ñònh döông cuûa [H] vaø [H’] ñaûm baûo raèng moät pheùp nghòch ñaûo duy nhaát cuûa caùc quan heä cô sôû luoân toàn taïi. Nghóa laø, ñoái vôùi phöông trình cô sôû baát kyø σij = F(εij) ñöôïc döïa treân haøm giaû ñònh ñoái vôùi W, quan heä nghòch ñaûo duy nhaát εij = F-1(σij) luoân coù theå thu ñöôïc.

3.6.4 Tính ñôn trò

Khaûo saùt moät vaät theå vaät lieäu ñaøn hoài coù theå tích V vaø dieän tích beà maët A. Phaàn dieän tích beà maët coù taûi beà maët taùc ñoäng ñöôïc kyù hieäu bôûi AT, vaø phaàn dieän tích beà maët coù chuyeån vò cöôõng böùc ñöôïc kyù hieäu bôûi Au (xem hình 3.7a). Khi caùc löïc theå tích Fi vaø caùc löïc beà maët Ti taùc ñoäng leân vaät theå, caùc öùng suaát, bieán daïng, vaø chuyeån vò sinh ra laàn löôït ñöôïc cho bôûi σij, εij, vaø ui. Baây giôø giaû söû raèng, chuùng ta aùp ñaët nhöõng thay ñoåi nhoû veà caùc löïc taùc ñoäng vaø chuyeån vò. Nhöõng thay ñoåi naøy ñöôïc ñaëc tröng bôûi caùc gia soá dTi treân AT, dFi trong V, vaø dui treân Au. Vaán ñeà laø nghieân cöùu xem caùc gia soá öùng suaát dσij vaø bieán daïng dεij coù ñöôïc xaùc ñònh moät caùch ñôn nhaát bôûi caùc gia soá cuûa caùc löïc taùc ñoäng dTi, dFi, vaø dui hay khoâng. Neáu khoâng, phaûi coù söï toàn taïi ít nhaát hai lôøi giaûi phaân bieät töông öùng vôùi caùc thay ñoåi taùc ñoäng dTi, dFi, vaø dui. Hai lôøi giaûi naøy ñöôïc kyù hieäu bôûi a vaø b: lôøi giaûi a vôùi caùc gia soá a

ijaij d,d εσ , vaø lôøi giaûi b vôùi caùc gia soá

bij

bij d,d εσ .

Moãi lôøi giaûi naøy thoûa caùc yeâu caàu caân baèng vaø töông thích (hình hoïc). Nghóa laø, dTi, dFi, vaø a

ijdσ caáu thaønh taäp hôïp caân baèng, trong khi dui vaø aijdε bieåu dieãn moät

174

taäp hôïp töông thích. Töông töï, taäp hôïp dTi, dFi, vaø bijdσ laø khaû dó tónh vaø taäp hôïp

dui vaø bijdε laø khaû dó ñoäng. Do tính tuyeán tính cuûa caùc phöông trình caân baèng,

caùc phöông trình (3.70), hieäu giöõa hai taäp hôïp lôøi giaûi khaû dó tónh, a vaø b, cuõng laø moät taäp hôïp khaû dó tónh; nghóa laø, taäp hôïp ( )b

ijaij dd σ−σ , töông öùng vôùi caùc löïc

beà maët baèng zero treân AT vaø caùc löïc theå tích baèng zero trong V, laø moät taäp hôïp caân baèng. Töông töï, do tính tuyeán tính cuûa caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng, caùc phöông trình (3.71), caùc bieán daïng, ( )b

ijaij dd ε−ε , vaø caùc chuyeån vò ( )b

iai ddu ε− ,

chuùng baèng zero treân Au, laø khaû dó ñoäng, vaø do ñoù taïo thaønh taäp hôïp töông thích. AÙp duïng nguyeân lyù coâng aûo cho hai taäp hôïp “hieäu” naøy, ta thu ñöôïc

( )( )∫ =ε−εσ−σV

bij

aij

bij

aij 0dVdddd (3.171)

Traïng thaùi öùng suaát ”hieäu” ( )bij

aij dd σ−σ coù theå ñöôïc khaûo saùt nhö laø moät taùc

ñoäng beân ngoaøi taïo ra bieán daïng töông öùng ( )bij

aij dd ε−ε . Ñònh ñeà oån ñònh cô

baûn, baát phöông trình (3.160), seõ ñem laïi

( )( ) 0dddd bij

aij

bij

aij >ε−εσ−σ (3.172)

Nghóa laø, haøm bò tích phaân trong phöông trình (3.171) luoân döông. Do ñoù, tích phaân cuûa phöông trình (3.171) coù theå baèng zero neáu vaø chæ neáu haøm bò tích phaân baèng zero ôû moãi ñieåm trong vaät theå. Do ñoù,

( )( ) 0dddd bij

aij

bij

aij =ε−εσ−σ (3.173)

noù ñöôïc thoûa khi hoaëc bij

aij dd σ=σ hoaëc b

ijaij dd ε=ε . Tuy nhieân, ñoái vôùi caùc vaät

lieäu ñaøn hoài oån ñònh, traïng thaùi öùng suaát (hoaëc bieán daïng) ñöôïc xaùc ñònh moät caùch ñôn nhaát bôûi traïng thaùi bieán daïng (hoaëc öùng suaát). Do ñoù, b

ijaij dd σ=σ nguï

yù raèng bij

aij dd ε=ε , vaø tính ñôn nhaát ñöôïc thieát laäp.

3.7 CAÙC MOÁI QUAN HEÄ ÖÙNG SUAÁT−−−−BIEÁN DAÏNG GIA SOÁ

Loaïi hình thaønh coâng thöùc naøy thöôøng ñöôïc duøng ñeå moâ taû öùng xöû cô hoïc cuûa loaïi vaät lieäu maø traïng thaùi öùng suaát phuï thuoäc vaøo traïng thaùi bieán daïng hieän haønh cuõng nhö vaøo loä trình öùng suaát ñaõ ñöôïc theo ñuoåi ñeå ñaït ñeán traïng thaùi naøy. Toång quaùt, caùc quan heä cô sôû gia soá ñöôïc vieát nhö

( )mnkijij ,F σε=σl

&& (3.174)

trong ñoù ijσ& vaø l

&kε laàn löôït laø caùc tenxô gia soá öùng suaát vaø bieán daïng, vaø Fij laø

caùc haøm tenxô. Ñoái vôùi caùc vaät lieäu ñaúng höôùng ñoäc laäp vôùi thôøi gian, theo

175

Chen (1982) vaø Chen vaø Saleeb (1982), bieåu thöùc beân veá phaûi cuûa phöông trình (3.174) laø moät haøm tuyeán tính cuûa caùc thaønh phaàn dεkl cuûa tenxô gia soá bieán daïng. Theá roài caùc quan heä cô sôû cuûa phöông trình (3.174) coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng tuyeán tính theo gia soá

dσij = Cijkl(σmn)dεkl (3.175)

trong ñoù tenxô ñaùp öùng vaät lieäu Cijkl(σmn) laø haøm cuûa caùc thaønh phaàn cuûa tenxô öùng suaát. ÖÙng xöû ñöôïc moâ taû bôûi caùc phöông trình (3.175) laø coù theå nghòch ñaûo vi phaân (hoaëc gia soá). Ñieàu naøy bieän minh cho vieäc söû duïng tieàn toá hypo trong thuaät ngöõ hypoelastic (hoaëc ñaøn hoài cöïc tieåu) ñeå moâ taû caùc quan heä cô sôû (3.175).

ÖÙng xöû cuûa vaät lieäu hypoelastic, noùi chung, phuï thuoäc loä trình (phuï thuoäc lòch söû öùng suaát hay bieán daïng). Pheùp tích phaân cuûa caùc phöông trình vi phaân (3.175) ñoái vôùi caùc loä trình öùng suaát vaø ñieàu kieän ban ñaàu khaùc nhau roõ raøng daãn ñeán caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng khaùc nhau.

Tenxô Cijkl thöôøng ñöôïc goïi laø tenxô ñoä cöùng tieáp tuyeán cuûa vaät lieäu. Daïng toång quaùt nhaát cuûa Cijkl ñoái vôùi caùc vaät lieäu ñaúng höôùng ñoäc laäp vôùi thôøi gian ñaõ thu ñöôïc nhö laø moät haøm ña thöùc cuûa caùc baát bieán öùng suaát vôùi möôøi hai heä soá vaät lieäu [xem Chen (1982) vaø Chen vaø Saleeb (1982)]. Moät ñaëc tính quan troïng ñöôïc trình baøy laø tính baát ñaúng höôùng do öùng suaát hay bieán daïng. Tính ñaúng höôùng ban ñaàu cuûa vaät lieäu bò phaù huûy, ñöa ñeán ñoä cöùng gia soá baát ñaúng höôùng. Nhö laø keát quaû cuûa tính baát ñaúng höôùng ñöôïc gaây ra, coù söï keát noái giöõa ñaùp öùng theå tích vaø taùc ñoäng leäch. Hôn nöõa, caùc phöông chính cuûa caùc tenxô öùng suaát gia soá vaø tenxô bieán daïng gia soá khoâng truøng nhau. Tính baát ñaúng höôùng do öùng suaát vaø caùc hieäu öùng keát noái laø nhöõng ñieåm ñaëc tröng quan troïng trong vieäc moâ hình öùng xöû cuûa caùc vaät lieäu thöïc, chaúng haïn nhö beâ toâng vaø ñaát, ñoái vôùi chuùng söï giaõn nôû vaø ñoä neùn khoâng ñaøn hoài laø nhöõng hieäu öùng chi phoái.

Gaàn ñaây, caùc loaïi quan heä cô sôû gia soá ñaëc bieät khaùc nhau ñaõ ñöôïc söû duïng moät caùch roäng raõi trong vieäc moâ hình ñaùp öùng phi tuyeán cuûa nhieàu vaät lieäu kyõ thuaät khaùc nhau. Chuû yeáu, caùc moâ hình naøy ñöôïc phaùt trieån treân cô sôû cuûa caùc kyõ thuaät ñieàu chænh ñöôøng cong. Caùc thí duï cuûa caùc moâ hình naøy coù theå ñöôïc tìm thaáy trong caùc quyeån saùch cuûa Chen (1982) vaø Chen vaø Saleeb (1982).

3.8 TOÙM TAÉT

Chöông naøy ñeà caäp ñeán caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng ñoái vôùi vaät raén ñaúng höôùng ñaøn hoài. Caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng tuyeán tính ñöôïc bieåu dieãn bôûi ñònh luaät Hooke toång quaùt hoùa, noù thì ñôn giaûn vaø quen thuoäc nhaát ñoái vôùi chuùng

176

ta, trong khi caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng ñaøn hoài phi tuyeán, chuùng phöùc taïp hôn nhieàu, noùi chung ñöôïc phaân loaïi nhö caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng toång vaø gia soá.

Coù hai loaïi cuûa caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng toång: loaïi Cauchy vaø loaïi Green. Caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng ñaøn hoài Cauchy coù daïng

σij = Fij(εkl)

noù theå hieän ñaùp öùng moät−moät giöõa öùng suaát σij vaø bieán daïng εij. Do ñoù, öùng suaát vaø bieán daïng laø coù theå nghòch ñaûo vaø ñoäc laäp vôùi loä trình. Caùc moâ hình ñöôïc söû duïng thoâng thöôøng nhaát cuûa loaïi naøy ñöôïc hình thaønh coâng thöùc bôûi nhöõng hieäu chænh ñôn giaûn cuûa caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng ñaøn hoài ñaúng höôùng ñöôïc döïa treân caùc moâñun caét (thí duï, Es, νs, Ks, vaø Gs). Thöôøng, caùc thoâng soá vaät lieäu trong nhöõng moâ hình naøy ñaõ ñöôïc ñònh nghóa roõ caùc quan heä vaät lyù cho öùng xöû öùng suaát−bieán daïng khaûo saùt ñöôïc cuûa vaät lieäu, vaø chuùng coù theå deã daøng ñöôïc xaùc ñònh töø caùc soá lieäu thí nghieäm. Tuy nhieân, tính thuaän nghòch vaø tính ñoäc laäp vôùi loä trình cuûa caùc haøm maät ñoä naêng löôïng bieán daïng W vaø naêng löôïng buø Ω noùi chung khoâng ñöôïc ñaûm baûo. Nghóa laø, caùc ñònh luaät nhieät ñoäng löïc hoïc coù theå bò vi phaïm do caùc moâ hình coù theå phaùt sinh naêng löôïng ñoái vôùi moät soá loä trình öùng suaát ñaët vaø caát taûi. Ñeå thoûa maõn caùc ñònh luaät nhieät ñoäng löïc hoïc, caùc ñieåu kieän boå sung phaûi ñöôïc aùp ñaët. Caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng ñaøn hoài Green coù daïng

ij

ijw

ε∂∂=σ

hay ij

ij σ∂Ω∂=ε

Caùc moâ hình cuûa loaïi naøy thoûa caùc ñònh luaät nhieät ñoäng löïc hoïc do caùc haøm W vaø Ω ñoäc laäp vôùi loä trình. Ngoaøi ra, caùc öùng suaát σij vaø bieán daïng εij coù theå nghòch ñaûo vaø ñoäc laäp vôùi loä trình. Hôn nöõa, tính ñôn nhaát cuûa caùc öùng suaát vaø bieán daïng trong baøi toaùn giaù trò bieân ñöôïc thoûa neáu chuùng ta aùp ñaët haïn cheá veà tính loài (nghóa laø, tính xaùc ñònh döông) treân caùc haøm naêng löôïng W vaø Ω. Caùc daïng haøm khaùc nhau cuûa W vaø Ω coù theå ñöôïc choïn ñeå ñaït ñeán caùc hieän töôïng mong muoán cuûa öùng xöû caùc vaät lieäu.

Caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng gia soá cuûa vaät lieäu hypoelastic co daïng

dσij = Cijkl(σmn)dεkl

Caùc öùng suaát vaø bieán daïng ñöôïc ñònh nghóa bôûi caùc quan heä naøy coù theå nghòch ñaûo daïng gia soá. Tuy nhieân, traïng thaùi öùng suaát vaø traïng thaùi bieán daïng phuï thuoäc loä trình. Noùi chung, moâ hình hypoelastic coù theå vi phaïm caùc ñònh luaät nhieät ñoäng löïc hoïc trong moät soá chu kyø ñaët vaø caát taûi do noù coù theå phaùt sinh naêng löôïng.

177

3.9 BAØI TAÄP

3.1 Tenxô chuyeån vò töông ñoái ε’ij ôû moät ñieåm ñöôïc cho nhö sau:

−−

−

=ε

30,030,040,0

15,025,020,0

40,020,010,0

,ij

Haõy xaùc ñònh: a) Tenxô bieán daïng εij. b) Tenxô quay ωij. c) Caùc bieán daïng chính ε1, ε2, vaø ε3, vaø caùc phöông chính.

d) Ñoái vôùi phaân toá thôù theo höôùng

=2

121,

21n

r , haõy tìm vectô bieán daïng n

δr

, vectô quay n

Ωr

, vaø vectô chuyeån vò töông ñoái n

δr

.

3.2 Traïng thaùi bieán daïng ôû moät ñieåm ñöôïc bieåu dieãn bôûi tenxô bieán daïng ñaõ cho εij.

−

−−

=ε

001,000

0001,0004,0

0004,0005,0

ij

Haõy xaùc ñònh: a) Tenxô bieán daïng leäch eij. b) Caùc giaù trò cuûa caùc baát bieán J’2 vaø J’3. c) Söï thay ñoåi theå tích treân ñôn vò theå tích εv.

3.3 Caùc thaønh phaàn chuyeån vò ui ôû moät ñieåm trong vaät theå ñöôïc cho bôûi caùc thaønh phaàn daïng haøm

u1 = 10x1 + 3x2; u2 = 3x1 + 2x2; u3 = 6x3

Haõy chöùng toû raèng khoâng coù söï quay cöùng neáu caùc bieán daïng ñöôïc giaû ñònh laø nhoû.

3.4 Haõy xaùc ñònh caùc quan heä trong soá caùc haèng soá a0, a1, b0, b1, c0, c1, vaø c2 ñeå maø caùc bieåu thöùc sau ñaây laø moät traïng thaùi bieán daïng:

εx = a0 + a1(x2 + y2) + (x4 + y4) εy = b0 + b1(x2 + y2) + (x4 + y4) γxy = c0 + c1xy(x2 + y2 + c2)

178

εz = γyz = γzx = 0

3.5 Baèng caùch söû duïng phöông trình (3.70a) vaø caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng cuûa vaät lieäu ñaøn hoài tuyeán tính ñaúng höôùng, haõy chöùng toû raèng caùc phöông trình caân baèng (3.70a) coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng sau ñaây

0G

Fu

211u i

ji,jjj,i =+ν−

+

trong ñoù ν vaø G laàn löôït laø heä soá Poisson vaø moâñun tröôït.

3.6 Haõy chöùng minh caùc quan heä sau ñaây giöõa caùc moâñun ñaøn hoài E, ν vaø K, G:

)GK3(2

G2K3;GK3

KG9E+

−=ν+

=

3.7 Ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn hoài tuyeán tính ñaúng höôùng, caùc thaønh phaàn öùng suaát, σij, ôû moät ñieåm ñöôïc cho bôûi

−

−

−

=σ

9,13737,4116,55

37,4137,41895,6

16,55895,695,68

.106ij N/m2

Caùc haèng soá ñaøn hoài laø E = 2,0685.1011N/m2 vaø ν = 0,3. Haõy xaùc ñònh: a) Tenxô leäch bieán daïng, eij, ôû ñieåm ñaõ cho. b) Caùc giaù trò cuûa maät ñoä naêng löôïng bieán daïng, W, vaø maät ñoä naêng löôïng

buø, Ω, töông öùng vôùi traïng thaùi öùng suaát ñaõ cho. c) Caùc bieán daïng chính ε1, ε2, vaø ε3 ôû ñieåm naøy.

3.8 Moät phaân toá vaät lieäu chöa coù öùng suaát vaø chöa coù bieán daïng chòu moät lòch söû ñaët taûi toå hôïp theo nhöõng loä trình ñöôøng thaúng keá tieáp nhau trong khoâng gian (σ, τ) [caùc ñôn vò laø N/m2]:

Loä trình 1: töø (0, 0) ñeán (0, 68,95.103) Loä trình 2: töø (0, 68,95.103) ñeán (206,85.103, 68,95.103) Loä trình 3: töø (206,85.103, 68,95.103) ñeán (206,85.103, −68,95.103)

Loä trình 4: töø (206,85.103, −68,95.103) ñeán (0, 0)

Phaân toá ñöôïc giaû söû laø vaät lieäu ñaøn hoài phi tuyeán ñaúng höôùng vôùi maät ñoä naêng löôïng buø Ω ñöôïc cho nhö

( )23

32 JJa +=Ω

ôû ñaây a laø moät haèng soá vaät lieäu. Quan heä öùng suaát−bieán daïng cuûa noù trong keùo ñôn truïc laø

179

5

69

10.895,610

σ=ε

ôû ñaây σ coù ñôn vò laø N/m2. a) Haõy xaùc ñònh bieán daïng giaõn daøi doïc truïc vaø bieán daïng tröôït ôû cuoái loä

trình 3. b) Haõy tìm taát caû caùc thaønh phaàn bieán daïng phaùp vaø tieáp ôû cuoái caùc loä trình 1

vaø 2. c) Haõy veõ ñöôøng cong Ω = constant trong khoâng gian (σ, τ) ñi qua ñieåm

(206,85.103, 689,5.103). Haõy chöùng minh baèng giaûi tích raèng ñöôøng cong Ω = constant coù tính loài.

d) Haõy chöùng minh baèng hình töôïng raèng caâu traû lôøi cho phaàn (b) thoûa ñieàu kieän phaùp tuyeán (3.118).

e) Haõy bieán ñoåi loä trình 1 thaønh loä trình trong khoâng gian öùng suaát chính. Haõy tính toaùn caùc bieán daïng ôû cuoái cuûa loä trình naøy baèng caùch duøng caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng ñöôïc bieåu thò theo caùc öùng suaát chính, vaø so saùnh keát quaû moät caùch chi tieát vôùi caùc keát quaû thu ñöôïc theo σ vaø τ trong caâu (b).

f) Haõy lieät keâ taát caû caùc loä trình ñöôøng thaúng trong khoâng gian öùng suaát chính cuûa nhöõng loä trình ñaõ cho ôû treân.

g) Haõy veõ loä trình 2 trong khoâng gian öùng suaát chính.

3.9 Khaûo saùt moät vaät lieäu ñaøn hoài phi tuyeán ñöôïc döïa treân haøm maät ñoä buø Ω ñöôïc cho bôûi

( ) 22

2121 bJaIJ,I +=Ω

ôû ñaây a, vaø b laø nhöõng haèng soá vaät lieäu. Moái quan heä öùng suaát−bieán daïng cuûa vaät lieäu trong keùo ñôn truïc ñöôïc cho bôûi

3

663

10.95,689

1

10.95,6810

σ+

σ=ε

ôû ñaây σ coù ñôn vò laø N/m2.

a) Haõy xaùc ñònh caùc haèng soá a vaø b. b) Haõy vieát quan heä öùng suaát−bieán daïng cuûa vaät lieäu ñoái vôùi traïng thaùi neùn

song truïc. c) Haõy vieát quan heä öùng suaát−bieán daïng cuûa vaät lieäu ñoái vôùi traïng thaùi tröôït

thuaàn tuùy.

3.10 Haõy lieät keâ vaø giaûi thích baèng giaûi tích vaø baèng hình töôïng caùc haïn cheá ñöôïc aùp ñaët bôûi ñònh ñeà oån ñònh vaät lieäu cuûa Drucker vaø caùc haøm yù ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn hoài.

180

CChhööôônngg 44

CAÙC QUAN HEÄ ÖÙNG SUAÁT−−−−BIEÁN DAÏNG

ÑOÁI VÔÙI VAÄT LIEÄU CHAÛY DEÛO LYÙ TÖÔÛNG

4.1 GIÔÙI THIEÄU

Ñoái vôùi nhieàu öùng duïng thöïc teá, moät vaät lieäu coù theå ñöôïc lyù töôûng hoùa vaø ñöôïc giaû ñònh coù hieäu öùng bieán cöùng coù theå boû qua, nghóa laø, bieåu ñoà öùng suaát−bieán daïng ñôn truïc cuûa noù vöôït qua ñieåm chaûy coù theå ñöôïc xaáp xæ bôûi ñöôøng thaúng naèm ngang, vôùi möùc öùng suaát haèng σ0 (hình 4.1a). Do ñoù, bieán daïng deûo ñöôïc giaû ñònh laø xaûy ra döôùi öùng suaát chaûy haèng. ÖÙng xöû naøy ñöôïc goïi laø öùng xöû chaûy deûo hoaøn haûo hay öùng xöû chaûy deûo lyù töôûng.

Söï lyù töôûng hoùa chaûy deûo moät caùch hoaøn haûo coù theå daãn ñeán söï ñôn giaûn hoùa maïnh meõ trong vieäc phaân tích baøi toaùn keát caáu phöùc taïp. Cuï theå, ñoái vôùi vaät lieäu chaûy deûo lyù töôûng, nhöõng ñònh lyù giôùi haïn treân vaø döôùi ñaày hieäu löïc cuûa pheùp phaân tích giôùi haïn coù theå ñöôïc thieát laäp, töø ñoù caùc phöông phaùp ñôn giaûn, tröïc tieáp, vaø hieän thöïc ñoái vôùi vieäc öôùc löôïng khaû naêng mang taûi cuûa caùc caáu truùc theo phöông caùch tröïc tieáp coù theå ñöôïc khai trieån. Caùc lyù thuyeát giôùi haïn naøy vaø nhöõng öùng duïng cuûa chuùng cho caùc baøi toaùn kyõ thuaät keát caáu seõ ñöôïc baøn ñeán trong caùc taøi lieäu rieâng. Chöông naøy chæ ñeà caäp ñeán caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng cuûa vaät lieäu chaûy deûo lyù töôûng.

Quan heä öùng suaát−bieán daïng trong tröôøng hôïp ñôn truïc nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 4.1a thì khaù ñôn giaûn. Tuy nhieân, öùng xöû toång quaùt cuûa vaät lieäu döôùi moät traïng thaùi öùng suaát phöùc taïp thì khoâng deã hieåu, bôûi vì noù bao goàm saùu thaønh phaàn öùng suaát vaø saùu thaønh phaàn bieán daïng. Do ñoù, vaán ñeà naûy sinh ra laø laøm theá naøo töø caùc moái quan heä öùng suaát−bieán daïng ñôn giaûn ñöôïc khaûo saùt töø thí nghieäm öùng suaát ñôn truïc coù theå ñöôïc toång quaùt hoùa ñeå döï ñoaùn öùng xöû cuûa vaät lieäu döôùi traïng thaùi öùng suaát toå hôïp baát kyø.

Chöông naøy ñöôïc chia thaønh ba phaàn. Phaàn ñaàu, töø muïc 4.2 ñeán 4.6, ñöôïc daønh heát cho lyù thuyeát bieán daïng deûo kinh ñieån. Caùc khaùi nieäm cô baûn cuûa quy luaät

181

chaûy vaø tính loài, tính phaùp tuyeán, vaø tính ñôn nhaát ñoái vôùi caùc vaät lieäu ñaøn−deûo lyù töôûng ñöôïc baøn luaän moät caùch chi tieát. Phaàn hai, muïc 4.7, cung caáp moät thí duï ñôn giaûn vaø giôùi thieäu moät soá ñaëc tính cuûa öùng xöû ñaøn−deûo keát caáu. Phaàn cuoái, töø muïc 4.8 ñeán 4.11, ñeà caäp ñeán caùc quan heä cô sôû ñoái vôùi caùc vaät lieäu ñaøn−deûo lyù töôûng. Caùc daïng rieâng bieät cuûa caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng gia soá ñoái vôùi caùc moâ hình vaät lieäu khaùc nhau cuõng ñöôïc giôùi thieäu trong phaàn naøy.

4.1.1 Giôùi haïn ñaøn hoài vaø haøm chaûy

Söï toång quaùt hoùa cuûa giôùi haïn ñaøn hoài ñaõ ñöôïc baøn luaän tröôùc ñaây trong chöông hai, nôi maø giôùi haïn ñaøn hoài cuûa vaät lieäu döôùi taát caû caùc toå hôïp coù theå cuûa öùng suaát ñaõ ñöôïc ñònh nghóa nhö laø moät haøm chaûy theo öùng suaát σij döôùi daïng:

f(σij) = F(σij) − k = 0 (4.1)

YÙ nghóa cuûa haøm chaûy naøy coù theå ñöôïc hieåu toát nhaát theo caùch hình hoïc nhö laø moät sieâu maët trong khoâng gian öùng suaát. Ñoái vôùi vaät lieäu chaûy deûo lyù töôûng, haøm chaûy ñöôïc giaû thieát giöõ khoâng ñoåi. Do ñoù, thoâng soá k trong phöông trình (4.1) laø haèng soá, vaø sieâu maët chaûy ñöôïc giöõ coá ñònh trong khoâng gian öùng suaát (hình 4.1b).

Hình 4.1 Moät vaät lieäu ñaøn−deûo lyù töôûng a) Quan heä öùng suaát−bieán daïng ñôn truïc

b) Söï bieåu dieãn hình hoïc cuûa maët chaûyvaø tieâu chuaån ñaët taûi vaø caát taûi

4.1.2 Tieâu chuaån ñaët taûi vaø caát taûi

Bieán daïng deûo xaûy ra vôùi ñieàu kieän laø ñieåm öùng suaát ôû treân beà maët chaûy. Ñeå duy trì chaûy deûo, traïng thaùi öùng suaát phaûi giöõ nguyeân treân beà maët chaûy. Ñieàu kieän naøy ñöôïc goïi laø “ñaët taûi”. Traùi laïi, traïng thaùi öùng suaát phaûi giaûm döôùi beà

b)

σij

σij

dσij, ñaët taûi

dσij, caát taûi

Ñaøn hoài F(σij) < k

Beà maët chaûy F(σij) = k

σ

σ0

ε Caát taûi

Ñaët taûi

a)

182

maët chaûy; trong tröôøng hôïp naøy, khoâng coù bieán daïng deûo xaûy ra nöõa vaø taát caû caùc bieán daïng gia taêng laø ñaøn hoài. Ñieàu kieän naøy ñöôïc goïi laø “caát taûi”.

Khaùi nieäm veà ñaët taûi vaø caát taûi ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát phöùc taïp ñöôïc hieåu roõ nhaát khi f ñöôïc xem nhö laø moät beà maët vaø σij vaø dσij nhö laø vector öùng suaát vaø vectô gia soá öùng suaát trong khoâng gian öùng suaát (hình 4.1b). Thí duï, khaûo saùt moät phaân toá vaät lieäu trong traïng thaùi chaûy deûo, ñöôïc ñaët tröng bôûi vectô σij. Neáu ta theâm vaøo traïng thaùi öùng suaát hieän haønh σij moät gia soá öùng suaát voâ cuøng beù dσij (ñaët taûi boå sung). ÖÙng suaát boå sung naøy seõ gaây ra bieán daïng deûo nöõa hay khoâng? Ñoái vôùi vaät lieäu chaûy deûo lyù töôûng, ñieåm öùng suaát khoâng theå di chuyeån ra beân ngoaøi maët chaûy. Chaûy deûo coù theå xaûy ra chæ khi ñieåm öùng suaát ôû treân beà maët chaûy, vaø, do ñoù, vieäc ñaët taûi boå sung dσij phaûi di chuyeån doïc theo phöông tieáp tuyeán cuûa beà maët chaûy. Vì theá, ñieàu kieän cho söï tieáp tuïc chaûy deûo, hay tieâu chuaån ñaët taûi, laø:

f(σij, k) = 0 vaø 0df

df ijij

=σσ∂∂

= (4.2)

vaø tieâu chuaån cho söï caát taûi laø:

f(σij, k) = 0 vaø 0df

df ijij

<σσ∂∂

= (4.3)

Nhö vaäy, haøm chaûy f(σij) cuõng phuïc vuï nhö laø tieâu chuaån ñaët taûi ñeå bieán daïng deûo tieáp tuïc, hay nhö laø tieâu chuaån caát taûi ñeå bieán daïng ñaøn hoài. Haøm hoaëc beà maët chaûy f(σij) cuõng ñöôïc goïi laø haøm hoaëc maët ñaët taûi.

4.1.3 Tenxô gia soá bieán daïng ñaøn hoài vaø tenxô gia soá bieán daïng deûo

Do ñoä lôùn cuûa bieán daïng deûo pijε khoâng bò giôùi haïn trong quaù trình chaûy deûo, do

ñoù, ta phaûi suy nghó veà maët caùc suaát bieán daïng ijε& hay caùc thay ñoåi bieán daïng voâ

cuøng beù, hoaëc caùc gia soá bieán daïng, dεij. Tenxô gia soá bieán daïng toång ñöôïc giaû thieát laø toång cuûa tenxô gia soá bieán daïng ñaøn hoài vaø tenxô gia soá bieán daïng deûo:

pij

eijij ddd ε+ε=ε (4.4)

Vì ñònh luaät Hooke hay moâ hình ñaøn hoài phi tuyeán baát kyø khaùc (xem chöông 3) coù theå ñöôïc giaû ñònh ñeå cung caáp moái quan heä caàn thieát caùc thay ñoåi öùng suaát gia soá vaø bieán daïng ñaøn, quan heä öùng suaát−bieán daïng ñoái vôùi vaät lieäu chaûy deûo quy veà moät quan heä bao goàm traïng thaùi hieän haønh vaø caùc thay ñoåi gia soá cuûa öùng suaát vaø bieán daïng deûo. Moái quan heä môùi naøy ñoái vôùi vaät lieäu chaûy deûo lyù töôûng seõ thu ñöôïc moät caùch chi tieát trong chöông naøy.

183

4.2 THEÁ NAÊNG CHAÛY DEÛO VAØ ÑÒNH LUAÄT CHAÛY

Ñònh luaät chaûy laø söï giaû ñònh ñoäng hoïc caàn thieát ñöôïc quy ñònh cho bieán daïng deûo hay chaûy deûo. Noù ñöa ra tyû soá hay caùc ñoä lôùn töông ñoái cuûa caùc thaønh phaàn cuûa tenxô gia soá bieán daïng deûo p

ijdε . Do gia soá pijdε coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo

caùch hình hoïc bôûi moät vectô vôùi chín thaønh phaàn trong khoâng gian bieán daïng, nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 4.2, do ñoù, ñònh luaät chaûy cuõng ñònh nghóa höôùng cuûa vectô gia soá bieán daïng deûo p

ijdε trong khoâng gian bieán daïng.

Chuùng ta ñaõ thaáy trong chöông 3 raèng, bieán daïng ñaøn hoài coù theå thu ñöôïc moät caùch tröïc tieáp baèng caùch laáy vi phaân haøm theá naêng ñaøn hoài hay haøm maät ñoä naêng löôïng buø ñoái vôùi caùc öùng suaát σij [xem phöông trình (3.118)]. Naêm 1928, von Mises ñaõ ñeà nghò khaùi nieäm töông töï cuûa haøm theá naêng deûo, noù laø haøm voâ höôùng cuûa caùc öùng suaát, g(σij). Theá thì caùc phöông trình chaûy deûo coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng:

ij

pij

gdd

σ∂∂

λ=ε (4.5)

ôû ñaây dλ laø heä soá voâ höôùng döông cuûa tính tyû leä, noù khaùc khoâng chæ khi chaûy deûo xaûy ra. Phöông trình g(σij) = constant ñònh nghóa moät beà maët (sieâu beà maët) cuûa theá naêng deûo trong khoâng gian öùng suaát chín chieàu. Caùc cosine chæ phöông cuûa vectô phaùp vôùi beà maët naøy ôû ñieåm σij treân beà maët thì tyû leä vôùi ñoä doác ∂g/∂σij. Quan heä (4.5) haøm yù raèng vectô chaûy deûo p

ijdε , neáu ñöôïc veõ nhö moät

vectô töï do trong khoâng gian öùng suaát, ñöôïc höôùng theo phaùp tuyeán cuûa beà maët theá naêng deûo (hình 4.2).

Taàm quan troïng ñaëc bieät laø tröôøng hôïp ñôn giaûn nhaát khi haøm chaûy vaø haøm theá naêng deûo truøng nhau, f = g. Do ñoù:

ij

pij

fdd

σ∂∂

λ=ε (4.6)

vaø chaûy deûo tieán trieån theo phöông phaùp tuyeán cuûa beà maët chaûy ∂f/∂σij (hình 4.2). Phöông trình (4.6) ñöôïc goïi laø ñònh luaät chaûy keát hôïp bôûi vì chaûy deûo ñöôïc keát noái hay lieân keát vôùi tieâu chuaån chaûy, trong khi quan heä (4.5) vôùi f ≠ g ñöôïc goïi laø ñònh luaät chaûy khoâng keát hôïp.

von Mises ñaõ duøng ñònh luaät chaûy keát hôïp cho söï khai trieån caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng ñoái vôùi caùc kim loaïi. Nhö sau naøy seõ ñöôïc chæ roõ raèng (1) ñònh luaät chaûy keát hôïp (4.6) phuø hôïp vôùi caùc vaät lieäu chaûy deûo khoâng thuaän nghòch nôi maø coâng ñöôïc tieâu toán trong bieán daïng deûo khoâng theå ñöôïc phuïc hoài; (2)

184

ñònh luaät öùng suaát−bieán daïng cuûa vaät lieäu ñöôïc döïa treân ñònh luaät chaûy keát hôïp seõ ñöa ñeán lôøi giaûi duy nhaát cho baøi toaùn trò bieân; vaø (3) ñònh luaät chaûy keát hôïp laøm cho noù coù theå vaø thuaän tieän ñeå trình baøy roõ raøng nhöõng söï toång quaùt hoùa khaùc nhau cuûa caùc phöông trình chaûy deûo baèng caùch khaûo saùt caùc beà maët chaûy vaø ñaët taûi coù daïng phöùc taïp hôn.

4.3 ÑÒNH LUAÄT CHAÛY KEÁT HÔÏP VÔÙI HAØM CHAÛY VON MISES

Baây giôø ta laáy haøm chaûy von Mises

f(σij) = J2 − k2 = 0 (4.7)

nhö laø theá naêng deûo. Theá thì ñònh luaät chaûy coù daïng ñôn giaûn:

ijij

pij sd

fdd λ=

σ∂∂

λ=ε (4.8)

ôû ñaây sij laø tenxô leäch öùng suaát vaø dλ laø heä soá tyû leä vôùi giaù trò:

==>

<=<=λ

0dJvaøkJcoùnôiôû0

0dJnhöng,kJhaykJcoùnôiôû0d

22

2

22

22

2

Phöông trình (4.8) cuõng coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo nhöõng thaønh phaàn cuûa caùc gia soá bieán daïng vaø caùc öùng suaát nhö:

Hình 4.2 Söï minh hoïa hình hoïc cuûa ñònh luaät chaûy keát hôïp

Goùc

a

b

c

Phaúng Trôn

Theá naêng deûo

g(σij) = f(σij) = const

σij, pijε

pijdε

d

aijσ

bijσ

cijσ

pijdε

pijdε

pij

ij

fd

∂ε = λ

∂σ

185

Hình 4.3 Ñònh luaät chaûy ñöôïc keát hôïp vôùi haøm chaûy von Mises a) Maët phaúng thuûy tónh b) Maët phaúng leäch

λ=τ

γ=

τγ

=τ

γ=

ε=

ε=

εd

2

d

2

d

2

d

s

d

s

d

s

d

xy

pxy

zx

pzx

yz

pyz

z

pz

y

py

x

px (4.9)

Caùc quan heä (4.9) ñöôïc bieát nhö laø caùc phöông trình Prandtl−Reuss. Chính Prandtl, vaøo naêm 1924, ñaõ môû roäng caùc phöông trình Levy−von Mises [xem phöông trình (4.15)] vaø laø ngöôøi ñaàu tieân ñaõ ñeà nghò quan heä öùng suaát−bieán daïng trong tröôøng hôïp bieán daïng phaúng ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn−deûo lyù töôûng. Reuss, vaøo naêm 1930, ñaõ môû roäng caùc phöông trình cuûa Prandtl cho tröôøng hôïp ba chieàu vaø ñöa ra daïng toång quaùt cuûa phöông trình (4.9).

Moái quan heä giöõa gia soá bieán daïng deûo pijdε vaø haøm chaûy von Mises f = J2 nhö

ñöôïc cho bôûi caùc phöông trình (4.8) hay (4.9), hoaëc ñònh luaät chaûy ñöôïc keát hôïp vôùi ñieàu kieän chaûy von Mises coù theå ñöôïc bieåu thò baèng ñoà hoïa trong khoâng gian öùng suaát chính ba chieàu. Tuy nhieân, hình ba chieàu khoù veõ vaø thay cho vieäc naøy toát nhaát bieåu thò hình baèng maët caét treân maët phaúng thuûy tónh vaø baèng maët caét treân maët phaúng leäch cuûa beà maët ba chieàu nhö trong hình 4.3. Phaùp tuyeán cuûa beà maët chaûy nhö ñöôïc nhìn doïc theo truïc thuûy tónh laø moät ñöôøng höôùng kính (hình 4.3b) song song vôùi maët phaúng π. Do ñoù, höôùng cuûa noù song song vôùi höôùng cuûa hình chieáu cuûa vectô öùng suaát thích hôïp σij treân maët phaúng π, dó nhieân, hình chieáu naøy laø vectô thaønh phaàn öùng suaát leäch sij cuûa vectô öùng suaát σij.

τoct, poctdγ

σoct, poctdε

pijdε

σij

O

a)

O

σ1, p1dε

σ2, p2dε σ3, p

3dε

sij

pij ijd sε = λ

f(σij) = k

°

b)

186

Phöông trình (4.8) hay (4.9) phaùt bieåu raèng moät gia soá nhoû cuûa bieán daïng deûo pijdε chæ phuï thuoäc vaøo traïng thaùi hieän haønh cuûa öùng suaát leäch sij, chöù khoâng phuï

thuoäc vaøo gia soá öùng suaát dσij ñöôïc yeâu caàu ñeå duy trì chaûy deûo. Ngoaøi ra, caùc truïc chính cuûa öùng suaát σij hay sij vaø gia soá bieán daïng deûo p

ijdε truøng nhau. Chuù

yù raèng, caùc phöông trình naøy chæ trình baøy veà tyû soá hoaëc caùc ñoä lôùn töông ñoái cuûa caùc thaønh phaàn trong tenxô gia soá bieán daïng deûo; chuùng khoâng cung caáp thoâng tin tröïc tieáp veà ñoä lôùn tuyeät ñoái cuûa noù.

Theo phöông trình (4.8), khoâng coù bieán theå tích deûo; nghóa laø, 0sdd ii

pii =λ=ε (4.10)

Ñieàu naøy cuõng coù theå ñöôïc thaáy trong hình 4.3a nôi maø vectô gia soá bieán daïng deûo p

ijdε vuoâng goùc vôùi truïc thuûy tónh, vaø do ñoù, thaønh phaàn bieán daïng thuûy tónh, poctdε baèng zero.

Gia soá bieán daïng toång dεij laø toång cuûa caùc gia soá bieán daïng ñaøn hoài vaø deûo (hình 4.4). Neáu ñònh luaät Hooke [caùc phöông trình (3.84) hay (3.96)] ñöôïc öùng duïng cho thaønh phaàn bieán daïng ñaøn hoài e

ijdε vaø ñònh luaät chaûy [phöông trình (4.8)]

cho thaønh phaàn bieán daïng deûo pijdε , ta coù:

ijij

ijkk

ijijkkijij sdG2

ds

K9

dsdd

Ed

E

1d λ++δ

σ=λ+δσν−σν+=ε (4.11)

Phöông trình (4.11) cuõng coù theå ñöôïc taùch thaønh caùc bieåu thöùc gia soá bieán daïng theå tích vaø leäch hay tröôït döôùi caùc daïng:

kkii dK31d σ=ε

ijijij sddsG2

1de λ+= (4.12)

Trong caùc öùng duïng thöïc teá, ta khai trieån phöông trình (4.11) moät caùch roõ raøng theo caùc thaønh phaàn öùng suaát vaø bieán daïng, baèng ba phöông trình ñoái vôùi caùc gia soá bieán daïng phaùp döôùi daïng:

( )[ ] ( ) ,...2

1d

3

2ddd

E

1d zyxzyxx

σ+σ−σλ+σ+σν−σ=ε (4.13)

vaø ba phöông trình ñoái vôùi caùc gia soá bieán daïng tröôït döôùi daïng:

,...d2dG

1d yzyzyz λτ+τ=γ (4.14)

Trong nhöõng baøi toaùn chaûy deûo lôùn, bieán daïng ñaøn hoài coù theå ñöôïc boû qua. Trong tröôøng hôïp nhö theá, vaät lieäu coù theå ñöôïc lyù töôûng hoùa nhö vaät lieäu

187

cöùng−deûo lyù töôûng, vaø gia soá bieán daïng toång dεij baèng vôùi gia soá bieán daïng deûo pijdε . Caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng ñoái vôùi vaät lieäu nhö theá coù theå ñöôïc vieát

nhö:

dεij = dλsij

hay: λ=τ

γ=

τγ

=τ

γ=

ε=

ε=

εd

2

d

2

d

2

d

s

d

s

d

s

d

xy

xy

xy

zx

yz

yz

z

z

y

y

x

x (4.15)

trong ñoù caùc chæ soá treân, p, cuûa caùc phöông trình (4.8) vaø (4.9) ñaõ ñöôïc boû ñi. Caùc phöông trình (4.15) ñöôïc bieát nhö laø caùc phöông trình Levy−von Mises. Trong söï tieán trieån lòch söû cuûa chuùng, chính St. Venant, vaøo naêm 1870, laø ngöôøi ñaàu tieân ñaõ ñeà nghò raèng caùc truïc chính cuûa gia soá bieán daïng truøng vôùi caùc truïc chính öùng suaát. Caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng toång quaùt naøy ñaõ thu ñöôïc sau naøy bôûi Levy vaøo naêm 1871 vaø moät caùch ñoäc laäp bôûi von Mises vaøo naêm 1913.

Khai trieån quan heä Levy−von Mises theo caùc thaønh phaàn öùng suaát seõ daãn ñeán ba phöông trình ñoái vôùi caùc gia soá bieán daïng deûo phaùp döôùi daïng:

( ) ,...2

1d

3

2d zyxx

σ+σ−σλ=ε (4.16)

vaø ba phöông trình ñoái vôùi caùc gia soá bieán daïng deûo tröôït döôùi daïng:

dγyz = 2τyzdλ,... (4.17)

4.4 ÑÒNH LUAÄT CHAÛY KEÁT HÔÏP VÔÙI HAØM CHAÛY TRESCA Baây giôø laáy haøm chaûy Tresca nhö laø theá naêng chaûy deûo, trong khoâng gian öùng suaát chính noù laø hình laêng truï luïc giaùc thaúng goàm coù saùu maët phaúng. Maët caét leäch cuûa hình laêng truï ñöôïc bieåu dieãn trong hình 4.4a. Giaû söû raèng thöù töï ñoä lôùn cuûa caùc öùng suaát chính laø σ1 > σ2 > σ3; theá thì ta coù theå vieát haøm chaûy töông öùng hay haøm theá naêng chaûy döôùi daïng:

f = F(σij) − 2k = σ1 − σ3 − 2k = 0 (4.18)

Theo ñònh luaät chaûy keát hôïp, caùc gia soá bieán daïng deûo chính, p1dε , p

2dε , p3dε ,

thoûa caùc quan heä sau:

λ−==σ∂∂

λ=ε

=σ∂∂

λ=ε

λ=σ∂∂

λ=ε

df

dd

0f

dd

df

dd

3

p3

1

p2

1

p1

188

b) Ñænh A nhö laø giôùi haïn cuûa beà maët trôn

hay, trong daïng coâ ñoïng hôn,

( ) 0d),1,0,1(dd,d,d p3

p2

p1 ≥λ−λ=εεε (4.19)

Nhöõng keát quaû töông töï coù theå thu ñöôïc ñoái vôùi naêm toå hôïp coù theå cuûa caùc thöù töï giaù trò ñaïi soá cuûa caùc öùng suaát chính σ1, σ2, vaø σ3.

Do ñoù, caùc gia soá bieán daïng deûo coù theå ñöôïc minh hoïa baèng hình hoïc trong khoâng gian gia soá öùng suaát chính/bieán daïng chính toå hôïp nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 4.4a. Coù theå thaáy raèng, baát kyø ñieåm naøo treân maët phaúng AB, nôi coù σ1 > σ2 > σ3, caùc höôùng cuûa caùc gia soá bieán daïng deûo thì song song vôùi nhau vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng AB cuûa luïc giaùc Tresca. Caùc moái quan heä töông töï coù theå ñöôïc trình baøy ñoái vôùi nhöõng maët phaúng khaùc cuûa luïc giaùc.

Trong tröôøng hôïp ñaëc bieät nôi maø, thí duï, σ1 > σ2 = σ3, tình huoáng seõ raéc roái hôn, bôûi vì öùng suaát tieáp cöïc ñaïi baèng vôùi giaù trò chaûy k khoâng chæ treân nhöõng maët phaúng tröôït 450 song song truïc chính thöù hai x2 maø coøn treân nhöõng maët phaúng tröôït 450 song song truïc chính thöù ba x3. Do ñoù, ta coù quyeàn giaû ñònh raèng söï tröôït coù theå xaûy ra doïc moät hay hai maët phaúng tröôït cöïc ñaïi coù theå:

(i) σmax = σ1, σmin = σ3

( ) )1,0,1(dd,d,d p3

p2

p1 −λ=εεε , ñoái vôùi dλ ≥ 0

(ii) σmax = σ1, σmin = σ2

( ) )0,1,1(dd,d,d p3

p2

p1 −µ=εεε , ñoái vôùi dµ ≥ 0

189

Trong tröôøng hôïp naøy, ta seõ giaû ñònh raèng vectô gia soá bieán daïng deûo sinh ra laø toå hôïp tuyeán tính cuûa hai gia soá ñöôïc cho ôû treân, nghóa laø,

( ) ),0,1,1(d)1,0,1(dd,d,d p3

p2

p1 −µ+−λ=εεε ñoái vôùi dλ ≥ 0, dµ ≥ 0 (4.20)

Tình huoáng naøy töông ñöông vôùi tröôøng hôïp ñaëc bieät nôi maø traïng thaùi öùng suaát hieän haønh σij naèm treân ñænh cuûa luïc giaùc. Nhö vaäy, vectô gia soá bieán daïng deûo phaûi naèm giöõa hai phöông phaùp tuyeán vôùi hai caïnh keà nhau cuûa luïc giaùc (hình 4.4a). Ñænh naøy hoaëc ñieåm suy bieán oå beà maët theá naêng cuõng coù theå ñöôïc xem nhö laø moät tröôøng hôïp giôùi haïn cuûa beà maët trôn ôû ñieåm goùc naøy (hình 4.4b).

Toång quaùt, ôû ñieåm suy bieán nôi giao nhau cuûa moät vaøi beà maët chaûy trôn, caùc gia soá bieán daïng coù theå ñöôïc bieåu dieãn moät caùch toång quaùt nhö laø moät toå hôïp tuyeán tính cuûa nhöõng gia soá ñöôïc cho bôûi caùc phaùp tuyeán cuûa caùc beà maët töông öùng giao nhau ôû ñieåm, nghóa laø,

ij

kn

1kk

pij

fdd

σ∂∂

λ=ε ∑=

(4.21)

Nhö vaäy, ôû ñænh, phöông cuûa vectô gia soá bieán daïng khoâng theå ñöôïc xaùc ñònh moät caùch duy nhaát. Hôn nöõa, neáu beà maët chaûy chöùa moät phaàn phaúng (hình 4.2 hay 4.4a), cuõng khoâng toàn taïi moái quan heä duy nhaát giöõa gia soá öùng suaát vaø bieán daïng. Toång quaùt, söï töông öùng giöõa vectô gia soá bieán daïng deûo p

ijdε vaø vectô

öùng suaát σij khoâng luoân laø moái quan heä moät−moät. Tuy nhieân, ta coù theå thaáy trong thí duï döôùi ñaây coâng deûo gia soá dWp ñaõ ñöôïc thöïc hieän hay suaát tieâu toán naêng löôïng luoân ñöôïc xaùc ñònh moät caùch duy nhaát bôûi ñoä lôùn cuûa suaát bieán daïng deûo nhö ñöôïc cho bôûi:

pp33

p22

p11p dmaxk2ddddW ε=εσ+εσ+εσ= (4.22)

ôû ñaây maxdεp kyù hieäu giaù trò tuyeät ñoái cöïc ñaïi cuûa thaønh phaàn chính cuûa vectô gia soá bieán daïng deûo.

Thí duï 4.1 Baèng caùch duøng ñònh luaät chaûy ñöôïc keát hôïp vôùi ñieàu kieän chaûy Tresca,

a) Haõy chöùng toû raèng gia soá coâng deûo ñöôïc cho bôûi bieåu thöùc (4.22);

b) Giaû söû raèng phaân toá vaät lieäu chaûy deûo ôû traïng thaùi öùng suaát phaúng, σ1 = 3/0σ , σ2 = 3/0σ− , ôû ñaây σ0 laø öùng suaát chaûy trong keùo ñôn truïc, vaø

cd p1 =ε , vôùi c laø haèng soá, haõy tìm caùc gia soá bieán daïng deûo vaø gia soá coâng deûo.

Giaûi

190

a) Ñoái vôùi moät ñieåm öùng suaát treân caïnh AB vôùi phöông trình σ1 − σ3 = 2k, caùc thaønh phaàn cuûa vectô gia soá bieán daïng deûo laø 0d p

2 =ε vaø p1

p3 dd ε−=ε . Do ñoù,

gia soá coâng deûo ñöôïc cho bôûi:

pp131

p33

p22

p11p kd2d)(ddddW ε=εσ−σ=εσ+εσ+εσ= (4.23)

do σ1 = σ3 + 2k treân AB. Chuù yù raèng maxdεp = p1dε trong tröôøng hôïp naøy, keát

quaû laø 2k p1dε coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng cuûa phöông trình (4.22).

Neáu ñieåm öùng suaát truøng vôùi ñænh A, theá thì, σ1 = σ3 + 2k vaø σ2 = σ3, do ñoù ta coù:

( ) p33

p23

p13p dddk2dW εσ+εσ+ε+σ= (4.24)

Baèng caùch duøng ñieàu kieän khoâng neùn,

0ddd p3

p2

p1 =ε+ε+ε

Phöông trình (4.24) taïo ra:

p1p kd2dW ε= (4.25)

Do p1dε laø thaønh phaàn chính coù giaù trò lôùn nhaát trong tröôøng hôïp naøy, phöông

trình (4.25) cuõng coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng cuûa phöông trình (4.22). Trong caùch thöùc töông töï, ta coù theå thaáy raèng phöông trình (4.22) giöõ cho moãi ñieåm öùng suaát ôû treân luïc giaùc.

b) Theo ñieàu kieän chaûy Tresca, ta coù:

k332

1

200minmax

max =

σ+

σ=

σ−σ=τ

Do ñoù, k = 3/0σ . Ñònh luaät chaûy ñöôïc keát hôïp vôùi ñieàu kieän chaûy naøy ñònh nghóa caùc gia soá cuûa caùc thaønh phaàn bieán daïng deûo trong caùc höôùng σ1 vaø σ2 nhö:

( ) )c,c()1,1(dd,d p2

p1 −=−λ=εε

Nhö theá, c laø thaønh phaàn bieán daïng deûo lôùn nhaát vaø gia soá coâng deûo thu ñöôïc nhö:

3

c2kc2dmaxk2dW 0p

p

σ==ε=

4.5 ÑÒNH LUAÄT CHAÛY KEÁT HÔÏP VÔÙI HAØM CHAÛY

Trong nhöõng öùng duïng cuûa phaân tích giôùi haïn, moät soá vaät lieäu nhö beâ toâng hay ñaát ñöôïc lyù töôûng hoùa nhö laø nhöõng vaät lieäu ñaønchuaån chaûy Mohr−Coulomb. Beà maët chaûy khoâng ñeàu. Caùc maët caét leäch cuûa noù laø nhöõng luïc giaùc khoâng ñeàu nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 4.5. Haøm chaûy coù daïng nhö sau [xem phöông trình (2.174)]:

cosc2

sin1

cosc2

sin131 =

φφ−σ−

φφ+σ

ôû ñaây φ laø goùc ma saùt noäi vaø c laø löïc coá keátñöôïc vieát trong daïng neùn nhö [xem phöông trình (2.179)]

mσ1 − σ3 = f’c, ñoái vôùi σ1

ôû ñaây f’c laø ñoä beàn neùn ñôn truïc vaø m laø heä soá ñoä beàn giöõa f’keùo ñôn truïc (xem muïc 2.3.3). Ñeå thu ñöôïc bieåu thöùc cho gia soá bieán daïng deûo

)d,d,d( p3

p2

p1 εεε , ba tröôøng hôïp sau ñaây phaûi ñöôïc khaûo saùt moät caùch taùch bieät.

Tröôøng hôïp 1. Ñieåm öùng suaát chaûy naèm treân maët phaúng beà thí duï, treân maët AB (hình 4.5), ôû ñaây σlöïc. Theo ñònh luaät chaûy keát hôïp, ta coù caùc gia soá bieán daïng deûo nhö sau:

ε=ελ=ε d,0d,mdd p3

p1

p1

hay, döôùi daïng neùn,

1,0,m(d),d,d( p3

p2

p1 −λ=εεε

Nhöõng keát quaû töông töï coù theå thu ñöôïc ñoái vôùi naêm thöù töï ñaïi soá khaùc coù theå cuûa caùc öùng suaát chính σ1, σ2, vaø σ3. Nhöõng keát quaû naøy ñöôïc toùm taét vaø ñöôïc bieåu thò baèng ñoà hoïa trong hình 4.5.

191

4.5 ÑÒNH LUAÄT CHAÛY KEÁT HÔÏP VÔÙI HAØM CHAÛY MOHR−−−−COULOMB

Trong nhöõng öùng duïng cuûa phaân tích giôùi haïn, moät soá vaät lieäu nhö beâ toâng hay ñöôïc lyù töôûng hoùa nhö laø nhöõng vaät lieäu ñaøn−deûo lyù töôûng tuaân theo tieâu

. Beà maët chaûy Mohr−Coulomb laø hình choùp luïc giaùc khoâng ñeàu. Caùc maët caét leäch cuûa noù laø nhöõng luïc giaùc khoâng ñeàu nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 4.5. Haøm chaûy coù daïng nhö sau [xem phöông trình (2.174)]:

1= (4.26)

löïc coá keát. Phöông trình (4.26) cuõng coù theå ñöôïc vieát trong daïng neùn nhö [xem phöông trình (2.179)]

1 ≥ σ2 ≥ σ3 (4.27)

vaø m laø heä soá ñoä beàn giöõa f’c vaø f’t, f’t laø ñoä beàn keùo ñôn truïc (xem muïc 2.3.3). Ñeå thu ñöôïc bieåu thöùc cho gia soá bieán daïng deûo

, ba tröôøng hôïp sau ñaây phaûi ñöôïc khaûo saùt moät caùch taùch bieät.

. Ñieåm öùng suaát chaûy naèm treân maët phaúng beà maët cuûa hình choùp, σ1 > σ2 > σ3 vaø phöông trình (4.27) coù hieäu

löïc. Theo ñònh luaät chaûy keát hôïp, ta coù caùc gia soá bieán daïng deûo nhö sau:

λ−= d , ñoái vôùi dλ ≥ 0 (4.28)

)1 , ñoái vôùi dλ ≥ 0 (4.29)

Nhöõng keát quaû töông töï coù theå thu ñöôïc ñoái vôùi naêm thöù töï ñaïi soá khaùc coù theå . Nhöõng keát quaû naøy ñöôïc toùm taét vaø ñöôïc

192

Chuù yù raèng, gia soá bieán daïng theå tích deûo laø:

)1m(ddddd p3

p2

p1

pv −λ=ε+ε+ε=ε (4.30)

Do m = f’c/f’t ≥ 1, noù daãn ñeán moâ hình vaät lieäu Mohr−Coulomb vôùi tieâu chuaån chaûy keát hôïp luoân döï ñoaùn söï giaõn nôû theå tích tröø trong tröôøng hôïp ñaëc bieät m = 1, noù ruùt veà tröôøng hôïp cuûa moâ hình vaät lieäu Tresca.

Töø phöông trình (4.30), ta coù theå taùch toång cuûa caùc gia soá bieán daïng deûo chính thaønh hai phaàn: thaønh phaàn neùn

λ=ε∑ dd pc (4.31)

vaø thaønh phaàn keùo

λ=ε∑ mdd pt (4.32)

Moät söï taùch rôøi nhö theá cuõng coù theå ñöôïc thöïc hieän ñoái vôùi naêm maët phaúng khaùc cuûa hình choùp. Do ñoù ta coù:

md

dpc

pt =

ε∑

ε∑ (4.33)

vaø pc

pt

pv ddd ε∑−ε∑=ε (4.34)

Baây giôø, ta khaûo saùt theâm gia soá coâng deûo dWp. Theo ñònh nghóa, ta coù:

λσ−σ=εσ+εσ+εσ= d)m(ddddW 31p33

p22

p11p (4.35)

Baèng caùch duøng caùc phöông trình (4.27) vaø (4.31), phöông trình (4.35) trôû thaønh:

pccp d'fdW ε∑= (4.36)

hoaëc pt

cp d

m

'fdW ε∑= (4.37)

Tröôøng hôïp 2. Ñieåm öùng suaát chaûy naèm treân caùc meùp cuûa hình choùp, thí duï, doïc theo meùp A (hình 4.5), ôû ñaây σ1 > σ2 = σ3 vaø hai beà maët

mσ1 − σ3 = f’c

vaø mσ1 − σ2 = f’c

giao nhau. Trong tröôøng hôïp naøy, phöông trình (4.21) coù theå ñöôïc aùp duïng. Do ñoù, caùc gia soá bieán daïng deûo töông öùng ñöôïc bieåu dieãn nhö:

193

( )

[ ]1221

21p3

p2

p1

d,d,m)dd(

)0,1,m(d)1,0,m(dd,d,d

λ−λ−λ+λ=

−λ+−λ=εεε (4.38)

Vectô bieán daïng naøy naèm giöõa caùc phöông phaùp tuyeán vôùi hai beà maët keà nhau. Caùc quan heä töông töï coù theå thu ñöôïc ñoái vôùi naêm caïnh khaùc.

Söï thay ñoåi theå tích deûo thu ñöôïc töø phöông trình (4.38) nhö:

)dd()dd(md 2121pv λ+λ−λ+λ=ε

noù laø toång cuûa hai phaàn: phaàn neùn

21pc ddd λ+λ=ε∑

vaø phaàn keùo

)dd(md 21pt λ+λ=ε∑

vaø chuùng ta coù theå thaáy raèng:

pc

pt

pv ddd ε∑−ε∑=ε (4.39)

Ta coù theå thaáy raèng pvd 0ε > ñoái vôùi m > 1, vaø raèng caùc phöông trình (4.33) vaø

(4.34) vaãn coøn giaù trò. Baèng pheùp vi phaân töông töï nhö phöông trình (4.35), ta coù theå thu ñöôïc bieåu thöùc gia soá coâng deûo dWp trong daïng nhö sau:

pc

,

c21

,

c

221131p

df)dd(f

d)m(d)m(dW

ε∑=λ+λ=

λσ−σ+λσ−σ= (4.40)

Tröôøng hôïp 3. Ñieåm öùng suaát chaûy truøng vôùi ñænh cuûa hình choùp, nôi saùu beà maët giao nhau. Theo thuû tuïc töông töï, moät bieåu thöùc töông töï vôùi phöông trình (4.38) ñoái vôùi bieán daïng deûo p

idε coù theå thu ñöôïc. Chuùng ta cuõng coù theå chæ ra raèng caùc phöông trình (4.34) vaø (4.36) vaãn coøn giaù trò.

4.6 TÍNH TRÖÏC GIAO, TÍNH LOÀI VAØ TÍNH ÑÔN TRÒ ÑOÁI VÔÙI VAÄT RAÉN ÑAØN−−−−DEÛO LYÙ TÖÔÛNG

Ñònh luaät chaûy keát hôïp hay ñònh luaät tröïc giao ñaõ ñöôïc thaûo luaän tröôùc ñaây ñaõ ñöôïc thieát laäp moät caùch vöõng chaéc trong lyù thuyeát toaùn cuûa bieán daïng deûo kim loaïi. Seõ ñöôïc chöùng toû trong phaàn sau ñaây raèng do ñieàu kieän khoâng hoài phuïc cuûa bieán daïng deûo nguï yù raèng coâng ñöôïc tieâu toán vaøo bieán daïng deûo trong moät chu kyø laø döông, coâng deûo döông daãn ñeán tính loài cuûa beà maët chaûy vaø

194

tính tröïc giao cuûa chaûy deûo, vaø raèng ñieàu kieän tröïc giao, hay ñònh luaät chaûy keát hôïp, ñaûm baûo tính duy nhaát cuûa lôøi giaûi cuûa baøi toaùn trò bieân ñaøn−deûo. Tính tröïc giao cuûa chaûy deûo vaø tính loài cuûa beà maët chaûy laø baûn chaát raát toång quaùt ñoái vôùi caùc vaät lieäu ñaøn−deûo lyù töôûng cuõng nhö nhöõng vaät lieäu bieán cöùng.

4.6.1 Tính loài cuûa beà maët chaûy vaø tính tröïc giao cuûa chaûy deûo

Bôûi vì ñaëc tính khoâng hoài phuïc cuûa bieán daïng deûo, coâng ñöôïc tieâu toán vaøo bieán daïng deûo khoâng theå ñöôïc phuïc hoài. Ñieàu naøy nghóa laø coâng cuûa caùc öùng suaát trong söï thay ñoåi cuûa bieán daïng deûo laø döông moãi khi söï thay ñoåi bieán daïng deûo xaûy ra. Trong chöông naøy, ta seõ nghieân cöùu caùc haïn cheá naøo maø ñieàu kieän khoâng hoài phuïc naøy ñaët choàng leân moái quan heä öùng suaát−bieán daïng deûo.

Hình 4.6 Tính loài cuûa beà maët chaûy vaø tính tröïc giao cuûa chaûy deûo

Haõy khaûo saùt theå tích vaät lieäu ñôn vò, trong ñoù coù moät traïng thaùi öùng suaát ñoàng nhaát ij

∗σ ôû treân hay ôû trong beà maët chaûy (hình 4.6a). Giaû söû moät taùc nhaân beân

a)

° ij∗σ

A B

C σij

D E

O σij, pijdε

f(σij) = 0

pijdε

σij − ij∗σ

pijdε

pijdε hay p

ijε&

A B

c) b)

pijdε σij −

ij∗σ

Khoâng ñöôïc pheùp

°

°

195

ngoaøi laøm taêng caùc öùng suaát doïc theo loä trình ABC naèm beân trong beà maët cho ñeán khi σij naèm treân beà maët chaûy ñöôïc ñaït ñeán. Cho ñeán baây giôø chæ coù coâng ñaøn hoài ñaõ xaûy ra. Baây giôø giaû söû raèng taùc nhaân beân ngoaøi giöõ cho traïng thaùi öùng suaát σij naèm treân beà maët chaûy trong thôøi gian ngaén. Chaûy deûo phaûi xaûy ra, vaø chæ coù coâng chaûy deûo xaûy ra suoát quaù trình chaûy deûo. Tieáp theo taùc nhaân beân ngoaøi laøm giaûm σij vaø trôû laïi traïng thaùi öùng suaát ij

∗σ doïc theo ñöôøng ñaøn hoài DE.

Do taát caû caùc thay ñoåi ñaøn hoài thuaàn tuùy laø hoài phuïc hoaøn toaøn vaø ñoäc laäp vôùi loä trình töø ij

∗σ ñeán σij vaø trôû veà ij∗σ , taát caû naêng löôïng ñaøn ñöôïc hoài phuïc. Coâng

chaûy deûo ñöôïc thöïc hieän bôûi taùc nhaân beân ngoaøi treân chu kyø ñaët vaø caát taûi laø tích voâ höôùng cuûa vectô öùng suaát σij − ij

∗σ vaø vectô gia soá bieán daïng deûo pijdε . Söï

yeâu caàu coâng naøy laø döông ñoái vôùi bieán daïng deûo daãn ñeán:

0d)( pij

*ijij ≥εσ−σ (4.41)

YÙ nghóa hình hoïc cuûa bieåu thöùc (4.41): Neáu caùc toïa ñoä bieán daïng deûo ñöôïc ñaët choàng leân caùc toïa ñoä öùng suaát, nhö hình 4.6, tích voâ höôùng döông ñoøi hoûi moät goùc nhoïn giöõa vectô öùng suaát σij − ij

∗σ vaø vectô gia soá bieán daïng deûo pijdε . Do taát

caû caùc vectô öùng suaát khaû dó, σij − ij∗σ , phaûi thoûa phöông trình (4.41), ñieàu naøy

chaéc chaén daãn ñeán caùc heä quaû sau ñaây:

1- Tính loài: Beà maët chaûy phaûi loài. Neáu khoâng loài nhö ñöôïc bieåu thò trong hình 4.6b, caùc phöông coù theå cuûa dσij bao truøm hôn 1800 ñoái vôùi moät vaøi maët phaúng ñi qua p

ijdε . Do ñoù, goùc giöõa σij − ij∗σ vaø p

ijdε coù theå lôùn hôn 900. Tuy nhieân,

phöông trình (4.41) yeâu caàu goùc giöõa chuùng nhoû hôn 900. Vì theá beà maët phaûi loài.

2- Tính tröïc giao: Vectô gia soá bieán daïng deûo pijdε phaûi vuoâng goùc vôùi beà maët

chaûy ôû moät ñieåm trôn vaø naèm giöõa caùc phaùp tuyeán keà nhau ôû moät goùc. Nhö ñöôïc bieåu thò trong hình 4.6c, neáu beà maët loài vaø phaúng ôû ñieåm A, p

ijdε phaûi

vuoâng goùc vôùi beà maët ñeå maø noù laøm vôùi taát caû caùc vectô öùng suaát khaû dó σij − ij∗σ moät goùc vuoâng hay nhoû hôn, vaø ñieàu kieän (4.41) ñöôïc thoûa. Neáu beà maët coù

moät goùc taïi ñieåm B, coù vaøi söï töï do veà phöông cuûa pijdε nhöng vectô naøy phaûi

naèm giöõa caùc phaùp tuyeán ôû ñieåm keà vôùi goùc ñeå cho phöông trình (4.41) ñöôïc thoûa.

Ñaëc tröng khoâng hoài phuïc cuûa bieán daïng deûo ñoøi hoûi gia soá coâng deûo döông:

0f

dddWij

ijpijijp ≥

σ∂∂

λσ=εσ= (4.42)

Vì tích voâ höôùng cuûa vectô baùn kính σij treân beà maët chaûy vaø phaùp tuyeán ngoaøi

196

cuûa beà maët chaûy ∂f/∂σij khoâng aâm (hình 4.2), chuùng phaûi hôïp thaønh moät goùc nhoïn ñoái vôùi beà maët loài. Nhaân töû dλ trong phöông trình (4.6) ñöôïc xem laø coù lieân heä vôùi ñoä lôùn cuûa gia soá coâng deûo dWp, vaø heä soá dλ naøy phaûi luoân döông khi chaûy deûo xaûy ra ñeå ñaûm baûo baûn chaát khoâng hoài phuïc cuûa bieán daïng deûo. Chuù yù raèng, haøm chaûy laø f = F − k; do ñoù, ∂f/∂σij = ∂F/∂σij, vaø phöông trình (4.42) coù theå ñöôïc ruùt goïn veà:

nFdF

ddWij

ijp λ=σ∂∂λσ= (4.43)

khi F laø haøm ñaúng caáp caáp n theo caùc öùng suaát, nhö ñoái vôùi haàu heát caùc lyù thuyeát trong bieán daïng deûo kim loaïi.

4.6.2 Tính ñôn trò cuûa lôøi giaûi vaø ñieàu kieän tröïc giao cuûa chaûy deûo

Tính ñôn trò cuûa lôøi giaûi cuûa baøi toaùn trò bieân ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn hoài ñaõ ñöôïc thaûo luaän trong muïc 3.6.4. Trong muïc naøy, chuùng ta seõ xem xeùt raèng yeâu caàu tính ñôn trò cuõng ñöôïc thoûa ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn−deûo lyù töôûng neáu ñieàu kieän tröïc giao ñöôïc ñaët choàng leân quan heä öùng suaát−bieán daïng.

Chuùng ta haõy giaû ñònh raèng baøi toaùn trò bieân chöùa hai lôøi giaûi: )a(ij

)a(ij d,d εσ vaø

)b(ij

)b(ij d,d εσ , caû hai töông öùng vôùi dTi treân AT, dui treân Au, vaø dFi trong V. Tieáp

theo phöông trình coâng aûo ñöôïc aùp duïng, giaû söû ui lieân tuïc ôû khaép nôi trong V,

∫∫ ∫∫ εσ=++V ij

*ijA

Vi

*iA i

*ii

*i dVdddVdudFdAdudTdAdudT

T U (4.44)

ôû ñaây caùc ñaïi löôïng ñöôïc ñaùnh daáu ngoâi sao ñöôïc quan heä thoâng qua söï caân baèng vaø caùc ñaïi löôïng khoâng ñaùnh daáu ngoâi sao laø töông thích. Khoâng caàn coù quan heä giöõa hai taäp hôïp gia soá. Do ñoù, hieäu giöõa hai traïng thaùi giaû ñònh a vaø b coù theå ñöôïc thay vaøo phöông trình (4.44) maëc duø )a(

ij)b(

ij dd σ−σ khoâng caàn vaø thöôøng khoâng gaây ra )a(

ij)b(

ij dd ε−ε . Söï thay theá ñöa ñeán:

0dv)dd)(dd(v

)a(ij

)b(ij

)a(ij

)b(ij =ε−εσ−σ∫ (4.45)

bôûi vì )b(i

)a(i dTdT = treân AT, )b(

i)a(

i dudu = treânAu, vaø )b(i

)a(i dFdF = trong V.

Baèng caùch duøng söï bieåu dieãn hình hoïc cuûa muïc tröôùc, ta dieãn ñaït hieäu cuûa hai gia soá öùng suaát ôû moät ñieåm ñaõ cho cuûa vaät theå trong phöông trình (4.45) bôûi

)a(ij

)b(ijij ddd σ−σ=σ∆ , hieäu cuûa caùc gia soá bieán daïng ñaøn bôûi e

ijdε∆ , vaø hieäu cuûa

caùc gia soá bieán daïng deûo bôûi pijdε∆ . Baây giôø haøm bò tích phaân cuûa tích voâ höôùng

trong phöông trình (4.45) phaûi trieät tieâu, nghóa laø

197

0)dd(ddddl pij

eijijijij =ε∆+ε∆σ∆=ε∆σ∆= (4.46)

AÙp duïng quan heä öùng suaát−bieán daïng vaøo phöông trình (4.46), dI coù theå ñöôïc bieåu dieãn trong daïng baäc hai. Neáu ta coù theå chöùng toû raèng dI xaùc ñònh döông, phöông trình (4.46) seõ daãn ñeán ∆dεij = 0 vaø ∆dσij = 0, tính ñôn trò ñöôïc thoûa. Noùi caùch khaùc, baát cöù quan heä öùng suaát−bieán daïng gia soá noù ñaûm baûo raèng haøm bò tích phaân dI xaùc ñònh döông seõ thoûa ñieàu kieän ñôn trò.

Baây giôø eijdε∆ ñöôïc quan heä vôùi ∆dσij bôûi ñònh luaät Hooke toång quaùt, vaø tích voâ

höôùng ∆dσijeijdε∆ xaùc ñònh döông. Ñoái vôùi tích voâ höôùng ∆dσij

eijdε∆ , ba tröôøng

hôïp phaûi ñöôïc khaûo saùt moät caùch rieâng reû:

Tröôøng hôïp 1: Caû hai lôøi giaûi caáu thaønh quaù trình ñaët taûi ôû ñieåm ñang ñöôïc xem xeùt. Trong tröôøng hôïp naøy, ∆dσij phaûi naèm treân maët phaúng tieáp tuyeán vôùi beà maët chaûy deûo lyù töôûng (hình 4.1b). Deã thaáy raèng neáu vectô gia soá bieán daïng deûo

pijdε vuoâng goùc vôùi beà maët chaûy, thì tích voâ huôùng ∆dσij

pijdε∆ seõ khoâng aâm ñoái

vôùi taát caû caùc vectô ∆dσij chuùng tieáp tuyeán vôùi beà maët naøy.

Tröôøng hôïp 2: Caû hai lôøi giaûi caáu thaønh quaù trình caát taûi. Trong tröôøng hôïp naøy, pijdε∆ = 0, keát quaû laø dI xaùc ñònh döông do ∆dσij

eijdε∆ xaùc ñònh döông.

Tröôøng hôïp 3: Moät lôøi giaûi caáu thaønh quaù trình ñaët taûi, lôøi giaûi khaùc caáu thaønh quaù trình caát taûi. Neáu ta laáy ( )b

ijdσ nhö laø ñaët taûi vôùi ( )p bijdε vaø ( )a

ijdσ nhö laø caát taûi

vôùi ( )p aijd 0ε = , tích voâ höôùng ∆dσij

pijd∆ ε coù daïng:

( ) )b(pij

)a(ij

)b(pij

)b(ij

)b(pij

)a(ij

)b(ij ddddddd εσ−εσ=εσ−σ (4.47)

Do )b(ijdσ caáu thaønh quaù trình ñaët taûi neân vectô gia soá öùng suaát )b(

ijdσ phaûi naèm

treân maët phaúng tieáp tuyeán. Neáu vectô gia soá bieán daïng deûo ( )p bijdε theo höôùng phaùp

tuyeán ngoaøi cuûa beà maët chaûy (hình 4.2), tích voâ höôùng )b(ijdσ )b(p

ijdε , soá haïng ñaàu

tieân treân veá phaûi cuûa phöông trình (4.47), baèng khoâng bôûi vì )b(ijdσ tröïc giao vôùi

)b(pijdε . Vectô gia soá öùng suaát khaùc )a(

ijdσ phaûi höôùng vaøo beân trong cuûa beà maët

chaûy bôûi vì noù taïo thaønh quaù trình caát taûi (hình 4.1b). Neáu vectô gia soá bieán daïng deûo )b(p

ijdε vuoâng goùc vôùi beà maët chaûy loài f, vectô gia soá öùng suaát )a(ijdσ seõ luoân

taïo thaønh goùc tuø vôùi )b(pijdε . Do ñoù, soá haïng thöù hai treân veá phaûi cuûa phöông trình

(4.47) seõ moät ñaïi löôïng khoâng aâm. Trong tröôøng hôïp ñang khaûo saùt, thöù töï maø hai lôøi giaûi ñöôïc thöïc hieän khoâng aûnh höôûng ñeán daáu cuûa tích voâ höôùng ∆dσij

pijdε∆

bôûi vì caû hai ∆dσij vaø pijdε∆ thay ñoåi daáu khi thöù töï naøy bò ñaûo ngöôïc. Do ñoù, ta coù

198

theå keát luaän raèng ñònh luaät chaûy keát hôïp thoûa ñieàu kieän ñôn trò.

Neân chuù yù ôû ñaây raèng maëc duø soá haïng deûo trong phöông trình (4.46), ∆dσijpijdε∆ ,

coù theå baèng khoâng, soá haïng ñaøn hoài, ∆dσijeijdε∆ , luoân xaùc ñònh döông tröø khi

∆dσij = 0. Tính ñôn trò, trong yù nghóa naøy, ñöôïc thieát laäp ñoái vôùi tröôøng hôïp ñaøn−deûo nhöng khoâng ñöôïc thieát laäp ñoái vôùi tröôøng hôïp cöùng−deûo nôi maø soá haïng ñaøn baèng khoâng ôû moïi thôøi ñieåm.

Baây giôø, chuùng ta coù theå phaùt bieåu raèng quan heä ñôn giaûn g = f coù moät yù nghóa ñaëc bieät trong lyù thuyeát toaùn hoïc cuûa chaûy deûo. Hai heä quaû tröïc tieáp cuûa ñieàu naøy baây giôø ñaõ roõ raøng. (1) Vectô gia soá bieán daïng deûo p

ijdε phaûi vuoâng goùc vôùi

beà maët chaûy hoaëc beà maët ñaët taûi f(σij) = 0. Ñieàu naøy baây giôø ñöôïc bieát nhö laø ñieàu kieän tröïc giao. (2) Loaïi caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng naøy daãn ñeán tính ñôn nhaát cuûa lôøi giaûi cuûa baøi toaùn trò bieân. Nhö seõ ñöôïc thaáy trong nhöõng taøi lieäu lieân quan, quan heä tröïc giao (4.6) cuõng daãn ñeán moät caùch khaù tröïc tieáp söï thieát laäp caùc ñònh lyù maïnh meõ veà phaân tích giôùi haïn cuûa chaûy deûo lyù töôûng.

Loaïi ñieàu kieän tröïc giao naøy laø moät baûn chaát raát toång quaùt. Trong chöông 5, taøi lieäu seõ chöùng toû raèng quan heä naøy cuõng thích hôïp ñoái vôùi nhöõng vaät lieäu coù bieán cöùng. Ñieàu kieän tröïc giao ñöôïc aùp ñaët leân ñònh luaät öùng suaát−bieán daïng deûo coù nhöõng haøm yù maïnh meõ ñoái vôùi tính ñôn nhaát cuûa lôøi giaûi cho nhöõng vaät theå bieán cöùng vaø chaûy deûo lyù töôûng. Noù cuõng daãn ñeán caùc söï hình thaønh cuûa caùc nguyeân lyù bieán phaân vaø cöïc tieåu tuyeät ñoái.

4.7 BAØI TOAÙN ÑAØN−−−−DEÛO ÑÔN GIAÛN: SÖÏ GIAÕN NÔÛ CUÛA HÌNH TRUÏ THAØNH DAØY

Trong muïc naøy, ta seõ ñeà caäp moät caùch khaù töôøng taän öùng xöû cuûa moät keát caáu ñôn giaûn ñöôïc laøm baèng vaät lieäu ñaøn−deûo. Söï thaûo luaän naøy seõ giuùp chuùng ta hieåu moät soá ñaëc tính cô baûn vaø nhöõng khaùi nieäm höõu ích cuûa bieán daïng ñaøn deûo cuûa keát caáu. Thí duï ñöôïc löïa choïn ñeå phaân tích laø moät oáng thaønh daøy, vôùi hai ñaàu ñöôïc ñoùng kín, döôùi taùc ñoäng cuûa aùp suaát beân trong. OÁng coù baùn kính trong a vaø baùn kính ngoaøi b (hình 4.7). Ta seõ giaû ñònh raèng oáng ñuû daøi ñeå caùc aûnh höôûng cuûa ñaàu muùt khoâng ñöôïc caûm thaáy laø vuøng caàn ñöôïc nghieân cöùu.

Ñoái vôùi baøi toaùn naøy, toát nhaát laøm vieäc trong toïa ñoä truï (r, θ, z); r laø khoaûng caùch baùn kính ñöôïc ño vuoâng goùc töø truïc cuûa oáng, θ laø toïa ñoä chu vi goùc ñöôïc ño töø moác (chuaån) tuøy yù, vaø z laø khoaûng caùch truïc ñöôïc ño töø moät maët phaúng moác tuøy yù song song vôùi truïc.

199

Hình 4.7 Maët caét ngang cuûa oáng thaønh daøy chòu aùp suaát trong

4.7.1 Caùc phöông trình cô baûn

Chæ coù moät phöông trình caân baèng coù giaù trò laø pöông trình caân baèng theo höôùng kính

0rdr

d rer =σ−σ

−σ (4.48)

Caùc phöông trình töông thích bieåu dieãn caùc moái quan heä hình hoïc giöõa bieán daïng vaø chuyeån vò. Chuyeån vò vaãn ñöôïc giaû söû nhoû, vaø neáu u laø chuyeån vò höôùng kính cuûa ñieåm coù baùn kính ban ñaàu laø r,

dr

dur =ε (4.49)

vaø, baèng caùch giaû ñònh bieán daïng ñoái xöùng,

r

ur =ε (4.50)

Theo phöông doïc truïc, luùc naøy ta chæ coù theå phaùt bieåu ñieàu kieän “oáng daøi” ñoái vôùi söï giaõn daøi cuûa oáng khoâng uoán:

εz = constant = C (4.51)

Caùc quan heä naøy ñôn thuaàn laø hình hoïc, vaø do ñoù chuùng coù aûnh höôûng baát chaáp bieán daïng laø deûo hay ñaøn hoài.

Vaät lieäu cuûa oáng ñöôïc giaû söû laø ñaøn−deûo lyù töôûng. Trong mieàn ñaøn hoài, öùng xöû cuûa vaät lieäu ñöôïc moâ taû theo hai haèng soá ñaøn hoài, moâñun Young’s E vaø heä soá Poisson ν. Bôûi vì r, θ, vaø z laø, do ñoái xöùng, nhöõng höôùng chính, ta coù theå vieát caùc quan heä cô baûn ñaøn hoài:

p

b a

σr

σr + dσr

σθ σθ

dr

200

Eεr = σr − ν(σθ + σz)

Eεθ = σθ − ν(σr + σz) (4.52)

Eεz = σz − ν(σr + σθ)

Ñieàu kieän chaûy laø cuûa Tresca, vaø ñònh luaät chaûy ñöôïc keát hôïp vôùi noù baèng caùch thöùc cuûa ñieàu kieän tröïc giao.

Caùc ñieàu kieän bieân ñaëc bieät ñôn giaûn:

σr = 0 taïi r = b (4.53)

σr = −p taïi r = a (4.54)

ôû ñaây p laø aùp löïc beân trong. Cuoái cuøng, theo phöông doïc truïc, söï caân baèng toaøn theå yeâu caàu:

∫ πσ=ρπb

az

2 rdr2a (4.55)

4.7.2 Lôøi giaûi ñaøn hoài

Phaân tích ñaøn hoài cho baøi toaùn naøy thì khoâng phöùc taïp. Tröôùc tieân söû duïng phöông trình (4.51) ñeå khöû σz khoûi phöông trình (4.52). Roài tieáp tuïc khöû u khoûi caùc phöông trình (4.49) vaø (4.50) ñeå ñöa ñeán quan heä töông thích:

)r(dr

der ε=ε (4.56)

Thay εr vaø εθ theo σθ, σr, vaø C [phöông trình (4.51)], baèng caùch duøng caùc quan heä vöøa thu ñöôïc. Ñieàu naøy daãn ñeán phöông trình vi phaân tuyeán tính baäc nhaát theo σθ, σr, (dσr/dr) vaø (dσθ/dr), nhöng thöïc teá khoâng chöùa C. Khöû σθ vaø dσθ/dr baèng caùch duøng phöông trình naøy vaø phöông trình (4.48) ñeå daãn ñeán phöông trình vi phaân baäc hai theo σr. Giaûi phöông trình naøy vôùi caùc ñieàu kieän (4.53) vaø (4.54) ñeå coù:

)ab(r

)br(pa

1a

b

1r

b

p222

222

2

2

2

2

r−−=

−

+−=σ (4.57)

Thay theá vaøo phöông trình (4.48) ñöa ñeán:

)ab(r

)br(pa

1a

b

1r

b

p222

222

2

2

2

2

r−+=

−

+=σ (4.58)

201

Ñeå xaùc ñònh öùng suaát σz, ta duøng caùc keát quaû naøy thay vaøo phöông trình thöù ba cuûa caùc phöông trình (4.52) vaø chuù yù phöông trình (4.51). Vieäc naøy seõ taïo ra

EC)ab(

pa2EC)(

22

2

erz +−

ν=+σ+σν=σ (4.59)

Thay theá σz vaøo phöông trình (4.55) ta coù:

)ab(E

21paC

222

z−

ν−==ε

Neáu ta giaû söû bieán daïng phaúng, nghóa laø, εz = 0, theá thì

ν = 0,5 vaø σz = 0,5(σr + σθ) (4.60)

Phöông trình (4.60) nguï yù raèng, ñoái vôùi baøi toaùn naøy, ñeå thoûa caû hai ñieàu kieän εz = 0 vaø phöông trình (4.55), ν phaûi laáy giaù trò ñaëc bieät laø 0,5.

Chuyeån vò höôùng kính, u, thu ñöôïc töø nhöõng phöông trình (4.50) vaø quan heä thöù hai cuûa (4.52):

+

ν+ν−

−

ρν+=ε=

2

2

22

2

er

b

)1(

r)21(

)ab(E

a)1(ru (4.61)

Dó nhieân, söï phaân boá öùng suaát ñaøn hoài naøy chæ aùp duïng neáu p ñuû nhoû ñeå ñieåm öùng suaát (σr, σθ, σz) ôû taát caû caùc baùn kính ôû beân trong thaønh oáng naèm trong quyõ ñaïo chaûy.

Chuù yù raèng, töø phöông trình (4.60), σz luoân laáy giaù trò laø öùng suaát chính thöù hai, nghóa laø,

σθ > σz > σr

Do ñoù, ñieàu kieän chaûy cuûa Tresca laø

σθ − σr = σ0 (4.62)

ôû ñaây σ0 laø öùng suaát chaûy trong keùo ñôn truïc. Thay theá caùc phöông trình (4.57) vaø (4.58) vaøo phöông trình (4.62) daãn ñeán

022

22

re1)a/b(

r/bp2 σ=

−=σ−σ (4.63)

Töø phöông trình (4.63), ta thaáy neáu aùp suaát ñöôïc gia taêng moät caùch ñeàu ñaën, öùng suaát chaûy tröôùc tieân seõ ñaït ñeán ôû beà maët trong, r = a. Do ñoù, duøng phöông trình (4.63) vôùi r = a, ta tìm thaáy raèng aùp suaát ñeå ñieåm chaûy ñaàu tieân xaûy ra ñöôïc cho bôûi

202

−

σ==

2

20

cb

a1

2pp (4.64)

Chuù yù raèng, aùp suaát ñoái vôùi chaûy deûo ñaàu tieân taïi r = a laø moät haøm cuûa tyû soá b/a vaø khoâng haøm cuûa kích thöôùc tuyeät ñoái cuûa oáng.

4.7.3 Söï giaõn nôû ñaøn−−−−deûo

Neáu aùp suaát ñöôïc gia taêng treân giaù trò cho chaûy deûo ñaàu tieân, vuøng chaûy deûo môû roäng seõ traûi ra phía ngoaøi töø beà maët beân trong.

Ñeå phaân tích traïng thaùi moät phaàn ñaøn, moät phaàn deûo naøy, giaû söû raèng ôû moät soá traïng thaùi trong söï giaõn nôû cuûa oáng, bieân ñaøn−deûo coù baùn kính c. vôùi a ≤ c ≤ b, nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 4.8. Taïi r = c, ñeå σr = −q; nghóa laø, xem aùp suaát höôùng kính q taïi baùn kính naøy. Vuøng ñaøn hoài phía ngoaøi khoâng theå phaân bieät giöõa aùp suaát q ñöôïc gaây ra bôûi vuøng chaûy deûo hoaëc q ñöôïc cung caáp bôûi chaát loûng. Do ñoù, ta coù theå thaáy raèng do maët ngoaøi khoâng chòu taûi, caùc phöông trình maø ta ñaõ thu ñöôïc aùp duïng trong mieàn ñaøn hoài vôùi kyù hieäu a ñöôïc thay theá bôûi c. Cuï theå, vì öùng suaát phaûi ôû taïi ñieåm chaûy taïi r = c, phöông trình (4.64) cho

−

σ=

2

20

b

c1

2q (4.65)

Hình 4.8 Vuøng deûo ñöôïc chöùa beân trong vuøng ñaøn hoài

Baây giôø baèng caùch quay laïi vuøng deûo, ta tìm thaáy raèng chìa khoùa cho traïng thaùi laø ñieàu kieän chaûy (4.62). Thay theá (4.62) vaøo phöông trình caân baèng (4.48), ta coù theå tích phaân tröïc tieáp ñeå thu ñöôïc

σr = σ0lnr + constant (4.66)

°

°

a

b

c

Vuøng deûo

Vuøng ñaøn hoài

Hình 4.9 Caùc phaân boá lieân tuïc cuûa caùc öùng suaát phaùp theo phöông chu vi vaø höôùng kính trong baøi toaùn giaõn

Haèng soá ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän bieân

c

rlnq 0r σ+−=σ

203

Caùc phaân boá lieân tuïc cuûa caùc öùng suaát phaùp theo phöông chu vi vaø höôùng kính trong baøi toaùn giaõn nôû ñaøn−deûo cuûa oáng: b/a = 2

Haèng soá ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän bieân σr = −q taïi r = c. Sau cuøng, ta coù

204

Thay theá (4.65) ñoái vôùi q vaø söû duïng ñieàu kieän chaûy (4.62) seõ mang laïi caùc öùng suaát trong vuøng deûo nhö

++σ=σ

−−σ=σ

2

2

0e

2

2

0r

b

c1

2

1

c

rln

b

c1

2

1

c

rln

(4.67)

Baây giôø ta coù theå duøng ñieàu kieän bieân σr = −p taïi r = a ñeå thu ñöôïc

a

cln

b

c1

2a

clnqp 02

20

0 σ+

−

σ=σ+= (4.68)

Do ñoù, ñoái vôùi giaù trò baát kyø cuûa c giöõa a vaø b, aùp suaát töông öùng coù theå ñöôïc tính toaùn vaø caùc öùng suaát σθ vaø σr trong oáng cuõng coù theå ñöôïc xaùc ñònh vôùi moïi giaù trò cuûa c. Hình 4.9 chæ ra nhöõng keát quaû cho oáng vôùi b/a = 2 ñoái vôùi caùc giaù trò khaùc nhau cuûa c/a. Chuù yù raèng trong vuøng deûo caùc öùng suaát xaùc ñònh tónh, vaø, khi ñaõ cho aùp suaát ôû moät bieân thì aùp suaát ôû moät bieân khaùc ñöôïc xaùc ñònh. Do ñoù, caùc phöông trình trong vuøng deûo, ngoaøi tính ñôn giaûn hôn nhöõng phöông trình trong vuøng ñaøn hoài, laø loaïi khaùc. Thöïc teá phöông trình caân baèng vaø ñieàu kieän deûo coù theå ñöôïc giaûi moät caùch tröïc tieáp maø khoâng coù söï tham khaûo ñeán bieán daïng−nghóa laø, traïng thaùi laø xaùc ñònh tónh−laø keát quaû cuûa vieäc khoâng baét caëp öùng suaát vaø bieán daïng, noù sinh ra töø daïng khoâng bieán cöùng ñaëc bieät cuûa vaät lieäu chaûy deûo lyù töôûng.

4.7.4 Bieán daïng ñaøn deûo

Caàn chuù yù raèng, söï giaõn nôû höôùng kính cuûa vuøng deûo ñöôïc ñieàu khieån bôûi bieán daïng ñaøn hoài cuûa vuøng ñaøn bao quanh hoaøn toaøn vuøng deûo. Vuøng ñaøn hoài coù theå ñöôïc xem nhö chòu ñöïng moät aùp suaát q gioáng nhö phaàn deûo beân trong cuûa oáng ñöôïc laøm ñaày chaát loûng. Ñieàu naøy daãn ñeán moâ hình bieán daïng beân trong oáng trong ñieàu kieän ñaøn−deûo laø moâ hình raát ñôn giaûn−khoâng coù söï giaõn daøi doïc truïc, vaø do vaät lieäu khoâng neùn trong caû hai mieàn ñaøn hoài vaø chaûy deûo, bieán daïng coù theå ñöôïc bieåu dieãn moät caùch deã daøng theo moät thoâng soá ñôn giaûn. Moät kyù hieäu tieän lôïi cuûa bieán daïng laø söï môû roäng höôùng kính cuûa oáng, ub, taïi r = b.

2

0b

b

c

E4

3

b

u

σ= (4.69)

Söû duïng keát quaû naøy vaøo phöông trình (4.68) vaø saép xeáp laïi, ta tìm ñöôïc

a

bln2

b

uE

3

4ln

b

uE

3

41

p2 b

0

b

00

+

σ+

σ−=

σ (4.70)

205

Moái quan heä giöõa aùp suaát vaø söï môû roäng höôùng kính naøy aùp duïng vôùi soá lieäu ñaõ cho a ≤ c ≤ b, töø ñoù, duøng phöông trình (4.69), ta thu ñöôïc

1b

uE

3

4

b

a b

02

2

≤σ

≤ (4.71)

Khi öùng xöû laø ñaøn hoài hoaøn toaøn, phöông trình töông öùng laø

σ

−=

σ b

uE

3

41

a

bp2 b

02

2

0

(4.72)

Khi bieân ñaøn−deûo ñaït ñeán beà maët ngoaøi, c = b, vaø phöông trình (4.68) trôû thaønh

a

bln2

p2

0

c =σ

(4.73)

AÙp suaát “chaûy deûo hoaøn toaøn” pc = σ0ln(b/a) ñöôïc duy trì neáu oáng giaõn nôû theâm. Theo giaû thieát ñaøn−deûo lyù töôûng, coù khaû naêng caùc bieán daïng lôùn voâ haïn xaûy ra maø khoâng caàn voøng troøn ñaøn hoài bao quanh.

Nhöõng keát quaû naøy ñöôïc veõ ñoái vôùi b/a = 2 nhö ñöôøng cong ORST trong hình 4.10.

Sau cuøng, coù ba giai ñoaïn öùng xöû ñoái vôùi oáng khoâng öùng suaát ban ñaàu vôùi caùc ñaàu ñöôïc bòt kín, ñöôïc laøm baèng vaät lieäu ñaøn−deûo lyù töôûng vaø chòu moät aùp suaát beân trong gia taêng ñeàu ñaën:

1- Giai ñoaïn ñaøn hoài, trong ñoù taát caû vaät lieäu bieán daïng trong mieàn ñaøn hoài.

1,0 0,5

0,5

1,0

1,5

°

°

R

S

T 0

2pσ

U b

0

u4 E3 bσ

206

Hình 4.10 Ñöôøng cong giaõn nôû−aùp suaát ñaøn−deûo bieåu thò öùng xöû caát taûi

2- Giai ñoaïn ñaøn−deûo trong ñoù vuøng deûo phía trong ñöôïc chöùa trong mieàn ñaøn hoài. Vuøng deûo môû roäng khi aùp suaát gia taêng, nhöng caùc söï thay ñoåi daïng−noù ñöôïc ñieàu khieån bôûi vuøng ñaøn hoài−coù cuøng kieåu nhö trong giai ñoaïn ñaøn hoài.

3- Giai ñoaïn chaûy deûo hoaøn toaøn trong ñoù, vuøng ñaøn hoài phía ngoaøi ñaõ bieán maát, oáng khoâng bò raøng buoäc ñeå giaõn nôû baèng bieán daïng deûo vaø ñaït ñeán nhöõng thay ñoåi hình daùng lôùn hôn mieàn ñaøn hoài nhieàu. Ngoaïi tröø caùc aûnh höôûng baäc hai, söï giaõn nôû deûo xaûy ra ôû aùp suaát haèng ñöôïc goïi laø aùp suaát suy suïp deûo. ÔÛ aùp suaát naøy, ta döï ñoaùn, oáng seõ phoàng ra ñaùng keå, vaø coù theå vôõ ra.

4.7.5 Caát taûi

Hình 4.11 Söï phaân boá cuûa öùng suaát phaùp theo phöông chu vi, höôùng kính, vaø doïc truïc ôû moät giai ñoïan cuï theå trong giaûn nôû

ñaøn−deûo cuûa oáng vaø sau khi boû aùp suaát

Khi gia taûi

Sau khi caát taûi

207

Baây giôø giaû söû aùp suaát, ñaõ ñöôïc taêng leân ñeán mieàn ñaøn−deûo, ñöôïc giaûm moät caùch ñeàu ñaën cho ñeán khi aùp suaát baèng laïi zero. Ñieàu gì xaûy ra cho caùc öùng suaát trong oáng?

Vì söï roõ raøng, ta khaûo saùt moät tröôøng hôïp cuï theå, b = 2a, vôùi aùp suaát (ñöôïc taùc ñoäng vaøo oáng khoâng coù öùng suaát ban ñaàu) ñaõ taêng ñeán giaù trò töông öùng vôùi c = 1,5a, nghóa laø, theo phöông trình (4.68), p = σ0[7/32 + ln(1,5)] = 0,624σ0. Caùc phaân boá cuûa caùc öùng suaát chính döôùi nhöõng ñieàu kieän naøy ñöôïc bieåu thò trong hình 4.11 (caùc ñöôøng cong ñaày ñuû). Khi aùp suaát baét ñaàu giaûm, döôøng nhö laø vaät lieäu, noù ñaõ ôû öùng suaát chaûy, seõ coù “möùc” öùng suaát cuûa noù bò giaûm, vaø do ñoù seõ laïi trôû vaøo mieàn ñaøn hoài ngay laäp töùc. Bôûi vì baây giôø ta coù bieán daïng deûo vónh cöûu trong vuøng chaûy deûo ñaõ coù tröôùc ñaây, ta phaûi löu yù caùc quan heä ñaøn hoài (4.52) khi xem xeùt nhöõng thay ñoåi cuûa öùng suaát vaø bieán daïng. Khi taát caû vaät lieäu ñang öùng xöû ñaøn hoài, ta coù theå söû duïng nhöõng keát quaû töø (4.57) ñeán (4.59) ñeå tính toaùn nhöõng thay ñoåi veà σr, σθ, vaø σz ñoái vôùi caùc gia soá aùp löïc aâm. Thí duï, ñoái vôùi söï caát boû aùp suaát hoaøn toaøn, ta phaûi tröø khoûi phaân boá öùng suaát ñaøn−deûo trong hình 4.11 moät phaân boá öùng suaát seõ xaûy ra ôû cuøng aùp suaát neáu vaät lieäu vaãn ñaøn hoài. Ñieàu naøy ñöôïc bieåu thò trong hình 4.11 (nhöõng ñöôøng cong bò gaõy). Dó nhieân, baây giôø ta phaûi kieåm tra raèng nôi naøo vaät lieäu chòu taùc ñoäng öùng suaát maø khoâng chaûy deûo. Ñieàu naøy ñöôïc tieán haønh moät caùch deã daøng trong tröôøng hôïp hieän taïi vì−σz laø öùng suaát chính thöù hai−ta phaûi kieåm chöùng raèng σθ − σr < σ0 ôû moïi nôi; trong hình 4.11 ñieàu naøy thì roõ raøng.

Hình 4.12 Caùc ñöôøng cong öùng suaát ñoái vôùi oáng chaûy deûo cuïc boä khi ñaët aùp suaát vaø sau khi caát boû aùp suaát

σz

σr σθ

O ° ° ° ° °

A’ B’ C’ A

C

B

208

Hình 4.12 bieåu thò vieäc cung caáp döõ lieäu veõ caùc ñöôøng cong öùng suaát trong maët phaúng π. Do σz = (σr + σθ)/2 ôû moïi nôi (ñieàu naøy chöùa ñöïng giaû thieát raèng ñaây laø tröôøng hôïp trong vuøng deûo cuûa quaù trình ñaët taûi ñaàu tieân), taát caû caùc ñieåm naèm treân ñöôøng thaúng ñi qua goác vuoâng goùc vôùi hình chieáu cuûa truïc σz. Caùc ñieåm A, B, vaø C töông öùng vôùi caùc baùn kính a, b, vaø c, khi p = 0,624σ0, vaø A’, B’, vaø C’ töông öùng vôùi cuøng caùc baùn kính khi aùp suaát ñaõ ñöôïc caát boû. Roõ raøng laø ñieàu kieän chaûy khoâng bò vi phaïm trong traïng thaùi caát taûi. Baèng caùch ñaët taûi ñeå ñöa oáng vaøo mieàn chaûy deûo cuïc boä vaø roài caát taûi, ta taïo ra söï phaân boá öùng suaát dö.

Baây giôø neáu ta gia taêng laïi aùp suaát, caùc ñieåm öùng suaát trong hình 4.12 seõ veõ laïi caùc loä trình cuõ cuûa chuùng giöõa A’, B’, C’ vaø A, B, C; chaûy deûo seõ baét ñaàu laïi ôû p = 0,624σ0, vaø ôû caùc aùp suaát cao hôn öùng xöû seõ chính xaùc nhö theå laø aùp suaát ñaõ ñöôïc gia taêng vöôït qua ñieåm naøy ôû laàn ñaët taûi ñaàu tieân. ÖÙng xöû aùp suaát−chuyeån vò höôùng kính döôùi chöông trình ñaët taûi naøy ñöôïc bieåu thò bôûi ñöôøng cong ORSU trong hình 4.10; noù raát gioáng vôùi öùng xöû taûi−giaõn daøi trong thí nghieäm keùo cuûa vaät lieäu bieán cöùng.

4.7.6 Söï thích nghi

Moät khía caïnh quan troïng khaùc cuûa hieän töôïng ñieàu chænh söï phaân boá öùng suaát laïi trong caùc keát caáu baèng chaûy deûo ñöôïc giôùi haïn cuûa vaät lieäu deûo ñöôïc thaáy trong nhöõng caáu truùc mang caùc taûi taùc ñoäng laëp laïi vaø laàn löôït. Moät moâ hình phaù huûy khaû dó döôùi nhöõng tình huoáng naøy laø hoûng do moûi chu kyø thaáp cuûa phaàn keát caáu qua bieán daïng deûo chu kyø. Ñieàu gì coù khuynh höôùng xaûy ra trong nhieàu caáu truùc trong khi moät soá taùc ñoäng ñaàu tieân cuûa taûi, keát caáu “laøm heát söùc cuûa noù”, baèng caùch thöùc chaûy deûo ñöôïc giôùi haïn, ñeå thieát laäp caùc phaân boá öùng suaát dö nhaèm cöïc tieåu hoùa caùc bieán daïng moûi deûo trong nhöõng chu kyø tieáp sau.

Ñeå cung caáp moät minh hoïa ñôn giaûn veà ñieàu naøy, haõy khaûo saùt aùp suaát p = 0,624σ0 taùc ñoäng laëp laïi leân oáng (b/a = 2). Giaû söû ban ñaàu oáng khoâng coù öùng suaát, chaûy deûo seõ ñaït ñöôïc ôû p = 0,375σ0 [xem phöông trình (4.64)]: do ñoù coù theå nghó raèng−ít nhaát, theo nhöõng ngöôøi khoâng quen thuoäc vôùi phaân tích chaûy deûo−ñaây seõ laø giôùi haïn aùp suaát ñeå traùnh chaûy deûo laëp laïi trong quaù trình ñaët taûi aùp suaát laëp laïi. Tuy nhieân, vieäc phaân tích maø ta ñaõ tieán haønh chæ ra raèng taùc ñoäng ñôn giaûn cuûa p = 0,624σ0 gaây ra maãu öùng suaát dö noù cho pheùp keát caáu ñaùp öùng laïi taùc ñoäng aùp suaát laëp laïi leân ñeán möùc naøy bôûi taùc ñoäng ñaøn hoài thuaàn. Chuùng ta noùi raèng keát caáu seõ thích nghi öùng xöû ñaøn hoài ñoái vôùi vieäc gaây aùp löïc laëp laïi giöõa p = 0 vaø p = 0,624σ0; ta ruùt ra moät söï gioáng nhau vôùi öùng xöû cuûa mieáng ñeäm ñöôïc laøm ñaày baèng loâng noù “thích nghi” khi ñöôïc ngoài leân laïi.

209

Hình 4.12 gôïi yù raèng oáng ñang khaûo saùt cuûa chuùng ta seõ thích nghi ñoái vôùi ngay caû caùc aùp suaát cao hôn: thöïc teá, coù theå deã daøng thaáy ñöôïc söï thích nghi seõ xaûy ra ñoái vôùi taát caû caùc aùp suaát leân ñeán aùp suaát phaù huûy deûo. Tuy nhieân keát quaû naøy laø, veà moät yù nghóa naøo ñoù, keát quaû ñaëc bieät ñoái vôùi nhöõng giaù trò ñuû nhoû cuûa b/a. Ñoái vôùi caùc giaù trò cuûa tyû soá naøy lôùn hôn khoaûng 2,2, söï thích nghi thì chæ coù theå ñoái vôùi nhöõng aùp suaát thaáp hôn aùp suaát phaù huûy deûo (baøi taäp 4.6).

Caàn nhaän ra raèng thí duï thích nghi coù tröôùc laø voâ cuøng ñôn giaûn: moät keát caáu ñôn giaûn chòu chæ moät loaïi ñaët taûi vôùi daáu khoâng heà thay ñoåi. Roõ raøng, moät söï baøn luaän ñaày ñuû veà vieäc thích nghi neân chöùa caùc heä ñaët taûi ñoäc laäp phöùc taïp vôùi khaû naêng thay ñoåi daáu. Tuy nhieân ñieàu naøy vöôït quaù phaïm vi cuûa taøi lieäu naøy.

Moät öùng duïng thöïc teá cuûa söï thích nghi trong caùc oáng daøy laø quaù trình “autofrettage−söï ñoùng ñai töï ñoäng”, noù ñaõ ñöôïc duøng trong nhieàu naêm trong vieäc cheá taïo caùc noøng suùng. Ta mong muoán noøng trong cuûa noøng suùng neân duy trì ñoä chính xaùc kích thöôùc cuûa noù treân vieäc gaây aùp löïc laëp laïi do chaùy. Baèng caùch baét noøng suùng chòu moät aùp suaát quaù möùc tröôùc khi vieäc vieäc gia coâng beà maët cuoái cuøng ñöôïc thöïc hieän, heä öùng suaát dö ñöôïc thieát laäp trong noøng ñaûm baûo raèng noøng trong khoâng bao giôø ñi vaøo mieàn chaûy deûo sau ñoù, döôùi caùc ñieàu kieän bình thöôøng.

4.8 CAÙC QUAN HEÄ ÖÙNG SUAÁT−−−−BIEÁN DAÏNG GIA SOÁ

Trong phaân tích ñaøn deûo baèng pheùp tính gaàn ñuùng soá, kyõ thuaät thöôøng duøng nhaát laø phöông phaùp gia soá duøng ñoä cöùng tieáp tuyeán. Caùc phöông trình cô baûn ñöôïc cho trong caùc muïc 4.2 ñeán 4.5 khoâng theå ñöôïc aùp duïng moät caùch tröïc tieáp. Moät moái quan heä gia soá giöõa öùng suaát vaø bieán daïng ñöôïc caàn ñeán trong vieäc hình thaønh ma traän ñoä cöùng tieáp tuyeán. Nhöõng loaïi quan heä cô baûn naøy ñöôïc trình baøy trong muïc naøy.

Nhö ñaõ ñöôïc baøn luaän tröôùc ñaây, öùng xöû chaûy deûo lyù töôûng ña truïc ñoøi hoûi raèng vectô gia soá öùng suaát tieáp tuyeán vôùi beà maët chaûy vaø gia soá bieán daïng deûo vuoâng goùc vôùi beà maët ñaët taûi. Theo khaùi nieäm chaûy deûo lyù töôûng, ñoä lôùn cuûa gia soá bieán daïng deûo khoâng theå ñöôïc xaùc ñònh moät caùch ñôn nhaát bôûi caùc öùng suaát hieän haønh ñaõ ñöôïc cho σij vaø gia soá öùng suaát dσij. Tuy nhieân, ñoái vôùi caùc öùng suaát hieän haønh ñaõ ñöôïc cho σij vaø gia soá bieán daïng deûo ñaõ ñöôïc cho dεp

ij thoûa ñònh luaät chaûy, gia soá öùng suaát dσij coù theå ñöôïc xaùc ñònh bôûi ñieàu kieän nhaát quaùn noù ñaûm baûo raèng traïng thaùi öùng suaát vaãn duy trì treân beà maët chaûy.

4.8.1 Daïng toång quaùt cuûa quan heä cô baûn

Theo muïc 4.1, gia soá bieán daïng toång ñöôïc giaû söû laø toång cuûa gia soá bieán daïng ñaøn hoài vaø gia soá bieán daïng deûo [phöông trình (4.4)]:

210

pij

eijij ddd ε+ε=ε (4.74)

Gia soá bieán daïng ñaøn hoài coù theå thu ñöôïc töø ñònh luaät Hooke [xem caùc phöông trình (3.89) vaø (3.96)]:

ll kijk

eij dDd σ=ε (4.75a)

hay G2

ds

K9

dId

ijij

1eij +δε (4.75b)

vaø gia soá bieán daïng deûo ñöôïc thu töø ñònh luaät chaûy, phöông trình (4.6). Theá roài caùc quan heä bieán daïng−öùng suaát ñaày ñuû ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn−deûo lyù töôûng ñöôïc bieåu dieãn nhö

ij

kijkijf

ddDdσ∂∂λ+σ=ε

ll (4.76a)

hoaëc ij

ijij

1ij

fd

G2

ds

K9

dId

σ∂∂λ++δ=ε (4.76b)

ôû ñaây dλ laø heä soá (thöøa soá) chöa xaùc ñònh vôùi giaù trò

==><=<=

λ0dfvaø0fkhi0

0dfnhöng0fhay0fkhi0d (4.77)

Ta seõ xaùc ñònh daïng cuûa heä soá dλ döôùi ñaây. Vieäc naøy coù theå ñöôïc thöïc hieän baèng caùch keát hôïp caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng (4.76) vôùi ñieàu kieän nhaát quaùn

0df

d ijij

=σσ∂∂=λ (4.78)

noù ñaûm baûo raèng traïng thaùi öùng suaát (σij + dσij) toàn taïi sau khi söï thay ñoåi gia soá dσij ñaõ xaûy ra vaãn thoûa tieâu chuaån chaûy f

f(σij + dσij) = f(σij) + df = f(σij) (4.79)

Giaûi phöông trình (4.76) ñoái vôùi dσij, hoaëc duøng tröïc tieáp ñònh luaät Hooke [phöông trình (3.72)], ñònh luaät chaûy [phöông trình (4.6)], vaø phöông trình (4.74), ta coù theå xaùc ñònh tenxô gia soá öùng suaát

l

llllll

kijkkijk

pkkijkij

fCddC)dd(Cd

σ∂∂λ−ε=ε−ε=σ (4.80)

Thay theá phöông trình (4.80) vaøo phöông trình (4.78) vaø giaûi ñoái vôùi dλ

211

turstu

rs

kijkij

fC

f

dCf

d

ε∂∂

σ∂∂

εσ∂∂

=λll

(4.81)

Taát caû caùc chæ soá trong phöông trình (4.81) laø caùc chæ soá caâm, bieåu thò tính chaát voâ höôùng cuûa dλ. Do ñoù, neáu f ñöôïc ñònh nghóa cho vaät lieäu quan taâm cuï theå vaø caùc gia soá bieán daïng dεij ñaõ ñöôïc quy ñònh, heä soá dλ ñöôïc xaùc ñònh moät caùch ñôn nhaát.

Phöông trình (4.81) baây giôø ñöôïc thay vaøo phöông trình (4.80); theá thì quan heä gia soá öùng suaát−bieán daïng coù theå ñöôïc bieåu dieãn moät caùch roõ raøng döôùi daïng sau

l

l

l k

turstu

rs

pqkpqmn

ijmn

ijkij dfCf

CffC

Cd ε

ε∂∂

σ∂∂

σ∂∂

σ∂∂

−=σ (4.82a)

trong ñoù moät soá chæ soá caâm ñaõ ñöôïc bieán ñoåi moät caùch thích hôïp. Tenxô heä soá trong daáu ngoaëc bieåu dieãn tenxô caùc moâñun tieáp tuyeán ñaøn−deûo ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn−deûo lyù töôûng:

turstu

rs

pqkpqmn

ijmn

ijkepijk fCf

CffC

CC

ε∂∂

σ∂∂

σ∂∂

σ∂∂

−=l

ll (4.82b)

Phöông trình (4.82) laø söï hình thaønh quan heä cô sôû toång quaùt nhaát ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn−deûo lyù töôûng. Ta thaáy caùc gia soá öùng suaát coù theå ñöôïc xaùc ñònh moät caùch ñôn nhaát bôûi haøm chaûy f(σij) vaø caùc gia soá bieán daïng dεij. Noùi caùch khaùc, neáu traïng thaùi öùng suaát hieän haønh σij ñöôïc bieát vaø caùc gia soá bieán daïng dεij ñaõ quy ñònh, caùc gia soá öùng suaát dσij töông öùng coù theå ñöôïc xaùc ñònh töø phöông trình (4.82). Toång quaùt, neáu traïng thaùi öùng suaát hieän haønh ñöôïc bieát vaø caùc gia soá öùng suaát ñaõ quy ñònh, caùc gia soá bieán daïng töông öùng khoâng theå ñöôïc xaùc ñònh moät caùch ñôn trò bôûi vì caùc gia soá bieán daïng deûo khoâng theå ñöôïc xaùc ñònh chæ döïa vaøo heä soá voâ ñònh dλ [xem phöông trình (4.76)].

4.8.2 Quan heä cô baûn döôùi daïng caùc moâñun ñaøn hoài E vaø νννν hoaëc G vaø K

Baây giôø ta caàn bieåu dieãn tenxô ñaøn hoài, Cijkl, trong phöông trình cô baûn moät caùch roõ raøng theo caùc moâñun ñaøn hoài E vaø ν hoaëc G vaø K. Ta thay phöông trình (3.88) ñoái vôùi Cijkl vaøo phöông trình (4.81) ñeå thu ñöôïc bieåu thöùc ñoái vôùi heä soá

212

dλ:

2

rsrsrsrs

ijij

kkijij

f

21

ff

fd

21d

f

d

δ

σ∂∂

ν−ν

+σ∂∂

σ∂∂

δσ∂∂

εν−

ν+ε

σ∂∂

=λ (4.83a)

Chuù yù raèng ν = 0,5(3K − 2G)/(3K + G). Do ñoù, bieåu thöùc treân coù theå ñöôïc vieát laïi nhö

2

rsrsrsrs

ijij

kkijij

f

G6

G2K3ff

fd

G6

G2K3d

f

d

δ

σ∂∂−

+σ∂∂

σ∂∂

δσ∂∂

ε−

+εσ∂∂

=λ (4.83b)

Ngoaøi ra, ta coù theå thay phöông trình (3.88) ñoái vôùi Cijkl vaøo phöông trình (4.80) ñeå thu ñöôïc bieåu thöùc ñoái vôùi dσij theo E vaø ν nhö

δδ

σ∂∂

ν−ν+ν

+σ∂∂

ν+λ−

−δεν−ν+

ν+ε

ν+=σ

ijmnmnij

ijkkijij

f

)21)(1(

Ef

1

Ed

d)21)(1(

Ed

1

Ed

(4.84a)

hoaëc theo G vaø K nhö

σ∂∂

+δδσ∂∂

−λ−δε+=σij

ijmnmn

ijkkijijf

G2f

G3

2KdKdGde2d (4.84b)

Ñoái vôùi moät soá vaät lieäu, haøm chaûy ñöôïc bieåu dieãn toång quaùt theo caùc baát bieán öùng suaát I1 vaø J2 döôùi daïng

( ) 0kJIF)(f 21ij =−=σ (4.85)

Noù daãn ñeán

ij

2

2ij

1

1ij

J

J

fI

I

ff

σ∂

∂

∂

∂+

σ∂∂

∂∂

=σ∂∂ (4.86)

hay ij

22

ij1ij

sJ

f

J2

1

I

ff

∂

∂+δ

∂∂

=σ∂∂ (4.87)

Vôùi bieåu thöùc naøy,phöông trình (4.84b) trôû thaønh

∂

∂+δ

∂∂

λ−δε+=σ ij

22

ij1

ijkkijij sJ

f

J

G

I

fK3dKdGde2d (4.88)

213

ôû ñaây dλ coù daïng

2

2

2

1

mnmn

221kk

J

fG

I

fK9

desJ

f

J

G

I

fKd3

d

∂

∂+

∂∂

∂

∂+

∂∂

ε

=λ (4.89)

Trong hai muïc tieáp theo, ta seõ baøn luaän caùch thöùc duøng nhöõng phöông trình ñoái vôùi nhöõng haøm chaûy ñaëc tröng.

4.9 MOÂ HÌNH VAÄT LIEÄU PRANDTL−−−−REUSS (LYÙ THUYEÁT J2)

Haàu heát nhöõng ñieåm ñaëc tröng caàn thieát cuûa lyù thuyeát deûo gia soá coù theå ñöôïc minh hoïa bôûi daïng cô baûn nhaát, F = F(J2). Daïng ñôn giaûn nhaát cuûa F(J2) laø 2J , baây giôø ñöôïc bieát nhö laø tieâu chuaån chaûy von Mises. Caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng ñaøn−deûo lyù töôûng ñaõ nhaän ñöôïc treân cô sôû cuûa tieâu chuaån chaûy von Mises

0kJf 2 =−= (4.90)

vaø ñònh luaät chaûy keát hôïp cuûa noù baây giôø ñöôïc bieát nhö laø moâ hình vaät lieäu Prandtl−Reuss. Moâ hình naøy haàu nhö laø moâ hình ñöôïc söû duïng roäng raõi nhaát vaø coù leõ moâ hình vaät lieäu ñaøn−deûo lyù töôûng ñôn nhaát.

Ñeå tìm ra caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng hoaøn chænh cuûa vaät lieäu Prandtl−Reuss, ta thay phöông trình (4.90) ñoái vôùi haøm chaûy f vaøo phöông trình (4.89) ñeå nhaän ñöôïc dλ vaø roài thay dλ vaøo caùc phöông trình (4.76b) vaø (4.88) ñeå thu ñöôïc

ij2mnmn

ij1ij

ij sk2

des

K9

dI

G2

dsd +δ+=ε (4.91)

ij2mnmn

ijkkijij sk

deGsKdGde2d −δε+=σ (4.92)

Khi nhöõng ñieàu kieän ñeå chaûy deûo xaûy ra ñöôïc thoûa,

J2 = k2 vaø 0dssdf

df ijijijij

==σσ∂∂= (4.93)

Ñaïi löôïng smndemn trong soá haïng thöù ba cuûa caùc phöông trình (4.91) vaø (4.92) ñöôïc nhaän ra nhö laø suaát cuûa coâng do leäch (thay ñoåi hình daùng). Khai trieån ñaïi löôïng naøy theo caùc gia soá bieán daïng deûo vaø ñaøn hoài, ta nhaän ñöôïc

( )pmn

emnmnmnmn dedesdes += (4.94)

214

Khi ta chuù yù ñeán

G2

dsde mne

mn = (4.95)

vaø söû duïng söï kieän

dJ2 = smndsmn = 0 (4.96)

Phöông trình (4.94) ruùt goïn thaønh

pmnmnmnmn desdes = (4.97)

noù chæ ra raèng suaát cuûa coâng leäch trong mieàn chaûy deûo thì chæ do bieán daïng deûo. Hôn nöõa, töø nhöõng phöông trình (4.91) vaø (4.92) ta coù:

ekk

1kk d

K3

dId ε==ε (4.98)

noù nguï yù raèng

0ddd ekkkk

pkk =−ε=ε (4.99)

Söï thay ñoåi theå tích thuaàn laø ñaøn hoài vaø khoâng coù söï thay ñoåi theå tích deûo xaûy ra ñoái vôùi moâ hình vaät lieäu Prandtl−Reuss. Suaát bieán daïng deûo chæ coù moät thaønh phaàn leäch, noù ñöôïc ñònh nghóa bôûi ñònh luaät chaûy [xem phöông trình (4.8)]:

ijij

2

ij

pij sd

Jd

fdd λ=

σ∂∂

λ=σ∂∂

λ=ε (4.100)

Suaát cuûa coâng deûo coù theå nhaän ñöôïc moät caùch ñôn giaûn:

22ijij

pijijp kd2Jd2sdddW λ=λ=λσ=εσ= (4.101)

Töø keát quaû naøy, ta xaùc ñònh heä soá dλ

2

mnmn2

pmnmn

2

p

k2

des

k2

des

k2

dWd ===λ (4.102)

Khi dλ = 0, caùc phöông trình (4.91) vaø (4.92) bieán ñoåi thaønh ñònh luaät Hooke döôùi daïng vi phaân. Do ñaïi löôïng dλ tyû leä vôùi gia soá smndemn, roõ raøng laø caùc gia soá bieán daïng dεij trong phöông trình (4.91) khoâng ñöôïc xaùc ñònh moät caùch ñôn trò ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát σij ñaõ cho; nhöng neáu caùc gia soá bieán daïng dεij vaø traïng thaùi öùng suaát hieän haønh σij ñöôïc cung caáp, caùc gia soá öùng suaát töông öùng ñöôïc xaùc ñònh moät caùch duy nhaát bôûi phöông trình (4.92).

Sau cuøng, caùc ñaëc tröng cuûa vaät lieäu Prandtl−Reuss coù theå ñöôïc toùm taét nhö sau:

215

1- Caùc gia soá bieán daïng deûo phuï thuoäc vaøo caùc giaù trò hieän thôøi cuûa traïng thaùi öùng suaát leäch, maø khoâng phuï thuoäc vaøo gia soá öùng suaát trong quaù trình ñaït ñeán traïng thaùi naøy.

2- Caùc truïc chính cuûa tenxô öùng suaát vaø tenxô gia soá bieán daïng deûo truøng nhau.

3- Söï thay ñoåi theå tích deûo trieät tieâu trong suoát quaù trình chaûy deûo.

4- Caùc tyû soá cuûa caùc gia soá bieán daïng deûo theo nhöõng höôùng khaùc nhau coù giaù trò xaùc ñònh, nhöng caùc ñoä lôùn thöïc cuûa chuùng phuï thuoäc nhaân töû baát ñònh dλ, (dλ lieân heä vôùi coâng bieán daïng deûo dWp).

Thí duï 4.2 Haõy khaûo saùt öùng xöû cuûa vaät lieäu Prandtl−Reuss döôùi nhöõng ñieàu kieän cuûa bieán daïng ñôn truïc.

Giaûi:

Döôùi nhöõng ñieàu kieän cuûa bieán daïng ñôn truïc, caùc gia soá bieán daïng vaø caùc öùng suaát ñöôïc cho nhö

dεij = [dε1, 0, 0]; deij = (1/3)dε1[2, −1, −1]

σij = [σ1, σ2, σ3]; sij = [s1, s2, s2] (4.103)

vaø tieâu chuaån chaûy von Mises coù daïng ñôn giaûn

k3

1J 212 =σ−σ= (4.104)

Trong mieàn ñaøn hoài, caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng gia soá ñöôïc cho bôûi

1111 dIK9

G4K3BddG

3

4Kd

+=ε=ε

+=σ (4.105a)

vaø 1121 dIK3

G2Gd2dd =ε=σ−σ (4.105b)

Baèng caùch thay tieâu chuaån chaûy (4.104) vaøo caùc phöông trình (4.105), giaù trò öùng suaát doïc σ1 luùc chaûy deûo nhaän ñöôïc:

kG2

B3k

G6

)G4K3(31 =

+=σ (4.106)

ôû ñaây B = K + (4/3)G ñöôïc bieát döôùi teân laø moâñun raøng buoäc. Do ñoù, khi σ1 ñaït ñeán giaù trò ñöôïc cho trong phöông trình (4.106), vaät lieäu seõ chaûy deûo, vaø vieäc gia taêng öùng suaát doïc theâm gaây ra caû bieán daïng deûo vaø ñaøn hoài khi traïng thaùi öùng suaát di chuyeån doïc beà maët chaûy deûo lyù töôûng. Trong mieàn chaûy deûo, caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng (4.92) ñoái vôùi caùc thaønh phaàn öùng suaát tröôït coù daïng

216

2

1111

k

des(GGde2ds

+−=

Khi ta söû duïng thöïc teá dsii = deii = 0 vaø de

dk

Gsd

3

G4ds 12

21

11 ε−ε=

do k2 = J2 = (3/4)s12 trong mieàn chaûy deûo. Phöông trình (4.108) nguï yù raèng ds

0 bôûi vì dsii = 0.

Vì theá, trong thí nghieäm bieán daïng ñôn truïc, caùc thay ñoåi öùng suaát vöôït quaù chaûy deûo ban ñaàu laø loaïi thuaàn aùp löïc thuûy tónh:

dσ1 = ds1 + (3/4)dI1 = (1/3)dI

dσ2 = ds2 + (3/4)dI1 = (1/3)dI

Vaät lieäu öùng xöû nhö theå noù laø chaát loûng khi maø noù ñaõ ñaït ñeán söùc beàn tröôït giôùi haïn cuûa noù, vaø caùc thay ñoåi theå tích töông öùng thuaàn laø ñaøn hoài

(1/3)dI1 = Kdε1

1222 s

)des2 (4.107)

= 0 vaø de1 = 2dε1/3, phöông trình (4.107) trôû thaønh

0= (4.108)

trong mieàn chaûy deûo. Phöông trình (4.108) nguï yù raèng ds2 =

Vì theá, trong thí nghieäm bieán daïng ñôn truïc, caùc thay ñoåi öùng suaát vöôït quaù chaûy deûo ban ñaàu laø loaïi thuaàn aùp löïc thuûy tónh:

= (1/3)dI1 (4.109a)

= (1/3)dI1 (4.109b)

Vaät lieäu öùng xöû nhö theå noù laø chaát loûng khi maø noù ñaõ ñaït ñeán söùc beàn tröôït giôùi haïn cuûa noù, vaø caùc thay ñoåi theå tích töông öùng thuaàn laø ñaøn hoài

(4.110)

217

Hình 4.13 ÖÙng xöû cuûa cuûa vaät lieäu Prandtl−Reuss döôùi nhöõng ñieàu kieän cuûa bieán daïng ñôn truïc

a) Quan heä öùng suaát−bieán daïng doïc b) Quan heä hieäu öùng suaát−hieäu bieán daïng chính c) Quan heä aùp löïc−bieán daïng theå tích d) Quan heä hieäu öùng suaát chính−aùp löïc (loä trình öùng suaát) Thay phöông trình (4.110) vaøo phöông trình (4.109a) seõ daãn ñeán quan heä öùng suaát−bieán daïng doïc trong mieàn chaûy deûo

dσ1 = Kdε1 (4.111)

Hình 4.13 moâ taû döôùi daïng ñoà thò öùng xöû cuûa vaät lieäu Prandtl−Reuss trong thí nghieäm bieán daïng ñôn truïc. Ñoä doác cuûa ñöôøng cong σ1 theo ε1 (hình 4.13a) gaõy, hoaëc meàm, khi chaûy deûo xaûy ra vaø trôû neân töông ñöông vôùi moâñun khoái. Do ñoù, nhöõng ñoä doác ñaët taûi cuûa ñöôøng cong (σ1 − σ2) theo (ε1 − ε2) vaø ñöôøng cong (σ1 − σ2) theo I1/3 trôû thaønh zero (hình 4.13b vaø d). Do dεp

kk = 0, ñoä doác cuûa ñöôøng cong I1/3 theo εkk vaãn duy trì haèng soá (hình 4.13c). Moãi laàn caát taûi vaät lieäu, vaät lieäu theo caùc quan heä ñaøn hoài tuyeán tính (4.105) cho ñeán khi noù laïi ñaït ñeán beà maët chaûy treân caïnh ñoái dieän cuûa beà maët chaûy, töông öùng vôùi

k)(3

121 −=σ−σ (4.112)

vaø roài vaät lieäu laïi chaûy deûo, töông öùng vôùi caùc phöông trình (4.92). ÖÙng xöû caát taûi naøy cuõng ñöôïc bieåu dieãn trong hình 4.13.

Thí duï 4.3 Haõy khaûo saùt öùng xöû cuûa vaät lieäu Prandtl−Reuss döôùi ñieàu kieän öùng suaát phaúng ñöôïc ñònh nghóa bôûi σij = [σ1, 0, σ3].

Giaûi

Ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát naøy, vaät lieäu seõ chaûy deûo khi

( ) 231

23

212 k

3

1J =σσ−σ+σ= (4.113)

Phöông trình (4.113) dieãn taû moät ellipse trong khoâng gian öùng suaát (σ1, σ3) (hình 4.14). Baây giôø chuùng ta khaûo saùt thí nghieäm keùo−keùo song truïc vôùi öùng suaát phöông ngang σ3 ñöôïc giöõ khoâng ñoåi ôû giaù trò k trong khi öùng suaát phöông ñöùng ñöôïc gia taêng töø ñieåm A ñeán ñieåm B. Tröôùc khi ñaït ñeán ñieåm chaûy B, öùng xöû cuûa vaät lieäu laø ñaøn hoài tuyeán tính vôùi

111 EddGK3

KG9d ε=ε

+=σ

218

113 ddG2K6

G2K3d εν−=ε

+−

=ε (4.114)

32 dd ε=ε

ÔÛ ñieåm B, vaät lieäu chaûy deûo, vaø bieán daïng deûo khoâng giôùi haïn xaûy ra ôû σ1 = 2k, σ3 = k; caùc thaønh phaàn töông öùng cuûa gia soá bieán daïng deûo laø

neùnkhoângtínhdokddd

0)2(3

dJdd

p1

p2

133

2p3

λ−=ε−=ε

=σ−σλ

=σ∂

∂λ=ε

(4.115)

Chuù yù raèng, ta khoâng theå thu ñöôïc dεp2 baèng caùch laáy vi phaân ñieàu kieän chaûy

(4.113) bôûi vì noù laø daïng ñöôïc cho chæ trong khoâng gian öùng suaát (σ1, σ3). Tuy nhieân, ta coù theå laáy vi phaân J2 trong daïng goác (1/6)[(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2] ñeå nhaän ñöôïc dεp

2 = −dλ(σ1 + σ3)/3 = −kdλ. Neáu chuùng ta laëp laïi thí nghieäm töông töï vaø thay ñoåi höôùng cuûa σ1 (thí nghieäm keùo−neùn song truïc), ta tìm ra raèng vaät lieäu chaûy deûo khi σ1 = −k vaø σ3 = k (ñieåm C trong hình 4.14). ÔÛ ñieåm C, chaûy deûo khoâng giôùi haïn coù giaù trò

λ−=ε−=ε=ε kddd,0d p3

p1

p2 (4.116)

Neáu caùc toïa ñoä gia soá bieán daïng deûo ñöôïc ñaët choàng leân caùc toïa ñoä öùng suaát, nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình 4.14, khaùi nieäm tính phaùp tuyeán hoaëc ñònh luaät chaûy keát hôïp coù theå ñöôïc chöùng minh moät caùch roõ raøng töø thí duï ñôn giaûn naøy. Trong thí duï keùo−keùo song truïc, dεp

3 = 0, vaø vectô gia soá bieán daïng deûo dεp1 thì

vuoâng goùc vôùi beà maët chaûy ôû ñieåm B. Maët khaùc, trong thí duï keùo−neùn song truïc, dεp

1 = dεp3, chæ ra raèng vectô gia soá bieán daïng deûo thì vuoâng goùc vôùi beà maët

chaûy ôû ñieåm C.

Hình 4.14 Ñöôøng cong chaûy deûo ñieàu kieän öùng suaát phaúng ñaëc bieät; AB vaø AC loä trình öùng suaát; dεp laø vectô gia soá bieán daïng deûo

4.10 MOÂ HÌNH VAÄT LIEÄU DRUCKER

Tieâu chuaån chaûy Drucker−Prager f coù daïng (xem muïc 2.3.4)

0kIJf 12 =−α+=

ôû ñaây α vaø k laø hai haèng soá döông cuûa vaät lieäu. Nhö ñaõ ñöôïc moâ taû trong chöông 2, beà maët chaûy, f = 0, trong khoâng gian öùng suaát chính laø maët noùn tieát dieän troøn vôùi truïc cuûa noù nghieâng ñeàu so vôùi caùc truïc toïa ñoä vaø ñænh cuûa noù keùo.

Theo caùc phöông trình (4.76) vaø (4.89), quan heä öùng suaátvôùi haøm chaûy (4.117) laø

λ+δ+ε ij

ij1ij

ijJ2

sd

K9

dI

G2

dsd

ôû ñaây 2

mnmn2

K9G

des)J/G(d

α+

+=λ

Moät ñaëc ñieåm raát quan troïng cuûa phöông trình (4.118) laø suaát giaõñöôïc cho bôûi soá haïng thöù ba ôû veá phaûi cuûa phöông trình naøy laø

219

Ñöôøng cong chaûy deûo von Mises ñoái vôùi ñieàu kieän öùng suaát phaúng ñaëc bieät; AB vaø AC laø caùc

laø vectô gia soá bieán daïng deûo

DRUCKER−−−−PRAGER

f coù daïng (xem muïc 2.3.4)

(4.117)

vaø k laø hai haèng soá döông cuûa vaät lieäu. Nhö ñaõ ñöôïc moâ taû trong chöông 2, beà maët chaûy, f = 0, trong khoâng gian öùng suaát chính laø maët noùn tieát dieän troøn vôùi truïc cuûa noù nghieâng ñeàu so vôùi caùc truïc toïa ñoä vaø ñænh cuûa noù trong phaàn taùm

Theo caùc phöông trình (4.76) vaø (4.89), quan heä öùng suaát−bieán daïng töông öùng

αδ+ ij

2

ij

J (4.118)

kkdK3 εα (4.119)

Moät ñaëc ñieåm raát quan troïng cuûa phöông trình (4.118) laø suaát giaõn nôû khoái deûo ñöôïc cho bôûi soá haïng thöù ba ôû veá phaûi cuûa phöông trình naøy laø

220

λα=α d3d pkk (4.120)

Phöông trình (4.120) chæ ra raèng bieán daïng deûo phaûi ñöôïc keøm theo söï gia taêng theå tích neáu α ≠ 0. Ñaëc tính naøy ñöôïc xem nhö laø söï giaõn nôû; noù laø heä quaû cuûa söï phuï thuoäc cuûa haøm chaûy deûo vaøo aùp löïc thuûy tónh. Ñoái vôùi söï môû roäng beà maët chaûy baát kyø veà höôùng truïc thuûy tónh aâm, söï giaõn nôû theå tích deûo xaûy ra luùc chaûy deûo vôùi ñònh luaät chaûy keát hôïp.Ñieàu naøy coù leõ thaáy deã hôn töø caùc luaän cöù hình hoïc.

Caùc kinh tuyeán cuûa beà maët chaûy laø nhöõng ñöôøng cong giao nhau giöõa beà maët chaûy vaø maët phaúng (maët phaúng kinh tuyeán) chöùa truïc thuûy tónh; nghóa laø, θ = const trong haøm chaûy toång quaùt. Hình 4.15 chæ ra moät kinh tuyeán ñieån hình cuûa söï môû roäng beà maët chaûy Drucker−Prager theo höôùng truïc thuûy tónh aâm. Ñieàu kieän phaùp tuyeán hoaëc ñònh luaät chaûy keát hôïp ñoøi hoûi raèng vectô gia soá bieán daïng deûo dεp

ij vuoâng goùc vôùi beà maët chaûy ôû ñieåm chaûy thöïc P. Do ñoù, noù cuõng vuoâng goùc vôùi kinh tuyeán ñi qua P. Vectô dεp

ij baây giôø ñöôïc phaân tích thaønh caùc thaønh phaàn ñöùng vaø ngang pa

ijdε vaø pbijdε laàn löôït song song vôùi caùc truïc ρ vaø ξ.

Thaønh phaàn ngang pbijdε bieåu dieãn söï thay ñoåi theå tích deûo, noù luoân luoân döông

khi beà maët chaûy môû roäng theo höôùng truïc thuûy tónh aâm (hình 4.15). Ñieàu naøy haøm yù raèng chaûy deûo phaûi luoân ñöôïc ñi keøm söï gia taêng theå tích.

Söï gia taêng bieán daïng theå tích toång e pkk kk kkd d dε = ε + ε coù theå ñöôïc xaùc ñònh töø

phöông trình (4.118) vaø dλ töø (4.119). Töø phöông trình (4.118), ta coù

[ ]2

kkkk1mnmn21kk

K9G

dK3)3/d(Id)J/G(3

K3

dId

α+

εα+ε−εσα+=ε (4.121)

ξ = 1

1I

3

ρ = 22J

°

pbijdε = Giaõn nôû theå tích

paijdε

pijdε

P

Hình 4.15 Söï giaõn nôû theå tích deûo ñöôïc lieân keát vôùi beà maët chaûy Drucker−Prager

221

Giaûi phöông trình treân ñeå tìm dεkk vaø duøng phöông trình (4.117), ta thu ñöôïc

mnmn212

kk dk

3)K9G(

KGk3

dIJd εσα+α+=ε (4.122)

Thay haøm chaûy (4.117) vaøo caùc phöông trình (4.88) vaø (4.89), ta nhaän ñöôïc moái quan heä sau ñaây cho tenxô gia soá öùng suaát ñoái vôùi vaät lieäu Drucker−Prager

αδ+λ−δε+=σ ijij

2ijkkijij K3s

J

GdKdGde2d (4.123)

ôû ñaây dλ ñöôïc cho bôûi phöông trình (4.119). Phöông trình (4.123) coù theå ñöôïc vieát laïi döôùi daïng thích hôïp hôn

mnepijmnij dCd ε=σ (4.124)

nhaèm söû duïng tröïc tieáp trong vieäc thieát laäp phaàn töû höõu haïn, ôû ñaây

αδ+

α+

αδ+−

−δδ

−+δδ=

mnmn2

2

ijij2

mnijinimepijmn

K3sJ

G

K9G

K3s)J/G(

G3

2KG2C

(4.125)

Tenxô epijmnC laø daïng rieâng cuûa tenxô caùc moâñun tieáp tuyeán ñaøn−deûp ñoái vôùi moâ

hình vaät lieäu Drucker−Prager. Daïng toång quaùt cuûa epijmnC ñöôïc cho bôûi phöông

trình (4.82b).

Thí duï 4.4 Haõy vieát moät caùch roõ raøng ma traän cô baûn bieán daïng phaúng ñoái vôùi vaät lieäu Drucker−Prager.

Giaûi

Ñoái vôùi tröôøng hôïp bieán daïng phaúng (γyz = γxz = εz = 0), ta coù theå vieát quan heä öùng suaát−bieán daïng döôùi daïng ma traän

[ ]

ε

εε

=

σ

τ

σσ

xy

y

xep

z

xy

y

x

d

d

d

C

d

d

d

d

(4.126)

ôû ñaây truïc z vuoâng goùc vôùi maët phaúng vaø dγxy ñöôïc goïi laø gia soá bieán daïng tröôït kyõ thuaät

dγxy = 2dεxy (4.127)

222

vaø [Cep] = [C] + [Cp]

trong ñoù

−−

+−

−+

=

0G3

2KG

3

2K

G00

0G3

4KG

3

2K

0G3

2KG

3

4K

]C[ (4.128)

[ ]

α+−

=

342414

232313

322212

312121

2p

HHHHHH

HHHHH

HHHHH

HHHHH

K9G

1C (4.129)

vaø y

2

2x

2

1 sJ

GK3H,s

J

GK3H +α=+α=

z

2

4xy

2

3 sJ

GK3H,

J

GH +α=τ=

Thí duï 4.5 Haõy khaûo saùt öùng xöû cuûa vaät lieäu Drucker−Prager döôùi thí nghieäm bieán daïng ñôn truïc:

dεij = [dε1, 0, 0]

deij = (1/3)dε1[2, −1, −1] (4.130)

σij = [σ1, σ2, σ3]

Giaûi

ÖÙng xöû ñaøn hoài cuûa vaät lieäu ñöôïc chi phoái bôûi caùc phöông trình (4.105), chuùng coù theå ñöôïc vieát laïi nhö

11 IK9

G4K3 +=σ (4.131a)

vaø 121 IK3

G2=σ−σ (4.131b)

Baèng caùch duøng phöông trình (4.131a), phöông trình (4.131b) coù theå ñöôïc vieát laïi nhö

121 G4K3

G6σ

+=σ−σ (4.131c)

223

Ñieàu kieän chaûy Drucker−Prager trong tröôøng hôïp bieán daïng ñôn truïc trôû thaønh

k3

1)2(JI 212121 =σ−σ+σ+σα=+α (4.132)

Thay phöông trình (4.131a) ñoái vôùi I1 vaø phöông trình (4.131c) ñoái vôùi 2J hay σ1 − σ2 vaøo phöông trình (4.132) daãn ñeán

α±

=α±

+=σ

K33G2

Bk3

K39G6

k)G4K3(31 (4.133)

trong ñoù daáu phía treân töông öùng vôùi tröôøng hôïp σ1 > 0 vaø daáu phía döôùi töông öùng vôùi tröôøng hôïp σ1 < 0. Khi α baèng zero, phöông trình (4.133) quy veà phöông trình (4.106), töông öùng vôùi vaät lieäu Drucker−Prager. AÛnh höôûng cuûa α trong tröôøng hôïp naøy laø laøm giaûm giaù trò cuûa öùng suaát phaùp theo phöông ñöùng σ1 luùc chaûy deûo ñoái vôùi thí nghieäm keùo ñôn truïc (daáu döông) vaø laøm taêng giaù trò cuûa öùng suaát phaùp theo phöông ñöùng σ1 luùc chaûy deûo ñoái vôùi thí nghieäm neùn ñôn truïc (daáu aâm). Söï gia taêng theâm öùng suaát phaùp theo phöông ñöùng σ1 daãn ñeán traïng thaùi öùng suaát trong vaät lieäu di chuyeån doïc theo beà maët chaûy khi chòu caû bieán daïng ñaøn vaø deûo. Quan heä gia soá giöõa öùng suaát ñöùng vaø bieán daïng ñöùng nhaän ñöôïc ñoái vôùi phöông trình (4.123) trong mieàn ñaøn deûo.

( )12

2

11 dGK9

3/G2K3dG

3

4Kd ε

+α±α

−ε

+=σ (4.134)

trong ñoù daáu phía treân duøng cho tröôøng hôïp dσ1 > 0 trong khi daáu phía döôùi duøng cho tröôøng hôïp dσ1 < 0. Tröôøng hôïp α baèng zero, phöông trình (4.134) quy veà phöông trình (4.111) ñoái vôùi vaät lieäu Drucker−Prager.

Töø phöông trình (4.134), ñoä doác cuûa ñöôøng cong σ1 theo ε1 trong quaù trình chaûy deûo coù theå nhaän ñöôïc nhö

( )G/K91

321K

d

d2

2

1

1

α+

α±=

εσ (4.135)

trong ñoù, daáu phía treân duøng cho tröôøng hôïp dσ1 < 0 trong khi daáu phía döôùi duøng cho tröôøng hôïp dσ1 > 0.

Quan heä öùng suaát−bieán daïng trong thí nghieäm neùn−bieán daïng ñôn truïc ñöôïc bieåu thò trong hình 4.16 ñoái vôùi caû hai moâ hình Prandtl−Reuss vaø Drucker−Prager. Ñoái vôùi moâ hình Prandtl−Reuss (hình 4.16a), ñöôøng cong laø ñaøn hoài cho ñeán khi ñieàu kieän chaûy ñaït ñöôïc ôû öùng suaát tæ leä vôùi k [phöông trình (4.106)]. Trong mieàn chaûy deûo, ñoä doác laø moâñun khoái K. Quaù trình caát taûi laø ñaøn hoài cho ñeán khi caïnh ñoái dieän cuûa beà maët chaûy ñöôïc ñaït ñeán vaø roài chaûy

224

deûo laïi xaûy ra vôùi ñoä doác K. Luùc hoaøn thaønh chu kyø öùng suaát neùn, moät bieán daïng (neùn) thöôøng tröïc (dö) vaãn duy trì.

Tröôøng hôïp moâ hình Drucker−Prager ñöôïc ñaët taûi khoâng vöôït quaù xa mieàn ñaøn hoài thì töông töï (hình 4.16b). Ñeå hieåu ñieàu naøy, ta khaûo saùt ñoä doác cuûa ñöôøng cong σ1−ε1 trong mieàn chaûy deûo. Do theo thöù töï ñoái vôùi loä trình bieán daïng−öùng suaát ñôn truïc ñeå ñaït ñeán beà maët chaûy trong thí nghieäm neùn, ñieàu kieän sau ñaây phaûi giöõ vöõng: α> 3

K3

G2 (4.136)

do ñoù, töø phöông trình (4.135) ñoä doác cuûa ñöôøng cong σ1−ε1 trong quaù trình chaûy deûo seõ lôùn hôn K trong quaù trình ñaët taûi neùn (daáu phía treân, ñoái vôùi dσ1 < 0) vaø nhoû hôn K trong quaù trình caát taûi hoaëc ñaët taûi keùo ngöôïc laïi (daáu phía döôùi, ñoái vôùi dσ1 > 0). Bieán daïng thöôøng tröïc (dö) ôû cuoái chu kyø ñaët−caát taûi vaãn laø neùn neáu vaät lieäu ñöôïc ñaët taûi vöôït khoâng quaù xa öùng suaát chaûy ban ñaàu vaø roài caát taûi, nhö ñöôïc bieåu thò trong hình 4.16b. Tuy nhieân, khi vaät lieäu naøy ñöôïc ñaët taûi vöôït xa mieàn ñaøn hoài (hình 4.16c), söï thieát laäp thöôøng tröïc trôû thaønh keùo. Ñieàu naøy coù theå ñöôïc xem laø tröôøng hôïp moät chieàu cuûa hieän töôïng phình ra ba chieàu.

Ñeå khaûo saùt gia soá bieán daïng theå tích trong quaù trình ñaët taûi neùn, ta ñaët i = j trong phöông trình (4.123) vaø chuù yù raèng ñoái vôùi tröôøng hôïp σ1 < 0

Chaûy deûo

Ñaøn hoài

ÖÙng suaát chaûy

Thieát laäp

Ñaøn hoài

ÖÙng suaát chaûy

Thieát laäp

Chaûy deûo

Ñaøn hoài

Ñaøn hoài

Chaûy deûo

σ1

σ1

ε1

ε1

ÖÙng suaát chaûy

Chaûy deûo Ñaøn hoài

A1

A > A1 2

Chaûy deûo

Thieát laäp = keùo

σ1

ε1

a) b)

c) A2

225

Hình 4.16 Bieán daïng ñôn truïc ñoái vôùi caùc moâ hình Prandtl−Reuss vaø Drucker−Prager

a) Prandtl−Reuss, ñaøn deûo, k lôùn; b) Drucker−Prager, öùng suaát nhoû c) Drucker−Prager, öùng suaát lôùn

( ),d

K9G

K33/G2d 12

εα+

α−=λ

ta coù theå thu ñöôïc moái quan heä gia soá giöõa aùp löïc thuûy tónh vaø bieán daïng theå tích neùn ñoái vôùi caùc thí nghieäm bieán daïng ñôn truïc nhö

[ ] kkkk21 Kd3d

K9G

K3G3/)32(K9dI ε+ε

α+α−α

= (4.137)

Khi α ñöôïc thieát laäp baèng zero, phöông trình (4.137) quy veà bieåu thöùc töông öùng ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn hoài. Gia soá bieán daïng theå tích dεkk coù theå tìm ñöôïc töø phöông trình (4.137); theá thì gia soá bieán daïng theå tích deûo seõ thu ñöôïc baèng caùch

tröø phaàn ñaøn hoài, K/dI3

1d 1

ekk =ε , khoûi dεkk:

1pkk dI

)321(KG3

)K9G32(d

α+

α−α=ε (4.138)

Chuù yù phöông trình (4.136), ta thaáy raèng gia soá bieán daïng theå tích deûo döông (giaõn nôû) nhö ñöôïc mong ñôïi.

4.11 VAÄT LIEÄU ÑAÚNG HÖÔÙNG TOÅNG QUAÙT

Caùc beà maët chaûy ñöôïc xem xeùt trong nhöõng muïc tröôùc ñaây ñöôïc ñònh nghóa chæ theo caùc baát bieán I1 vaø J2, vaø ñoäc laäp vôùi baát bieán J3, hay töông öùng goùc θ. Tuy nhieân, ñoái vôùi vaät lieäu ñaúng höôùng toång quaùt, beà maët chaûy laø moät haøm cuûa I1, J2, vaø J3, ñöôïc bieåu dieãn bôûi

f(I1, J2, J3) = 0 (4.139)

Ñoä doác (gradient) trong tröôøng hôïp naøy coù theå ñöôïc vieát nhö

ij

3

3ij

2

2ij

1

1ij

J

J

fJ

J

fI

I

ff

σ∂∂

∂∂

+σ∂

∂∂∂

+σ∂

∂∂∂

=σ∂∂ (4.140a)

hoaëc ij2ij1ij0ij

tBsBBf

++δ=σ∂∂ (4.140b)

ôû ñaây B0, B1, vaø B2 töông öùng kyù hieäu caùc ñaïo haøm rieâng ∂f/∂I1, ∂f/∂J2 ∂f/∂J3, vaø

226

δij laø kyù hieäu Kronecker, sij laø tenxô öùng suaát leäch, vaø tij laø ñoä leäch cuûa bình phöông cuûa leäch öùng suaát sij:

ij2kjikij

3ij J

3

2ss

Jt δ−=

σ∂∂

= (4.141)

Thöïc teá, caùc tieâu chuaån chaûy deûo cuûa Tresca vaø Mohr−Coulomb ñöôïc duøng thoâng duïng nhaát thuoäc loaïi naøy. Nhö moät minh hoïa, ta xem laïi phöông trình (2.180), noù laø moät bieåu thöùc daïng khaùc cuû tieâu chuaån Mohr−Coulomb:

0cosc3

cos3

J

3sinJsinI

3

1)(f 2

21ij =φ−

π+θ+

π+θ+φ=σ (4.142)

vaø chuù yù raèng

2/3

2

3

J

J

2

333cos =θ (4.143)

Do ñoù, ta coù

32/3

23

22/5

2

3

2

J3

3cot

J

1

3sin2

3

J

J2

3cot

J

J

3sin4

33

J

θ−=

θ−=

∂θ∂

θ=

θ=

∂θ∂

(4.144)

Laáy ñaïo haøm rieâng cuûa phöông trình (4.142) theo I1, J2, vaø J3, ta thu ñöôïc

( )

( ) ( )θ

π+θ−φπ+θ=

∂∂

=

θ−

π+θ

φ+

θ

π+θ+

π+θ=

∂∂

=

φ=

∂∂

=

3sinJ2

3cos3sin3sin

J

fB

3cot3

cot3

sin

3cot3

cot1J2

3sin

J

fB

3

sin

I

fB

232

221

10

(4.145)

Baûng 4.1 Caùc haèng soá Bi ñöôïc xaùc ñònh bôûi caùc beà maët chaûy khaùc nhau

Haøm chaûy B0 B1 B2

von Mises

(2.143)

Tresca

(2.138)

0

0

1

2

sin3

1 cot cot 33J

π θ + π + θ + θ

0

2

3 co s3

J sin 3

π − θ +

θ

227

Mohr-Coulomb

(2.180)

Drucker-Prager

(2.185)

sin 3φ

α

2

sin3

1 cot cot 332 J

sin cot cot 3 33

π θ + π + θ + θ

π + φ θ + − θ

( )21 2 J

2

sin sin 3 co s3 3

2J sin 3

π π θ + φ − θ +

θ

0

Töø phöông trình (4.140), ta coù theå thaáy raèng chæ nhöõng haèng soá Bi caàn ñöôïc ñònh nghóa bôûi beà maët chaûy. Noùi caùch khaùc, chæ ba ñaïi löôïng naøy phaûi ñöôïc bieán ñoåi giöõa beà maët chaûy naøy ñeán beà maët chaûy khaùc. Nhöõng haèng soá Bi ñöôïc cho trong baûng 4.1 ñoái vôùi boán haøm chaûy ñöôïc khaûo saùt trong muïc naøy. Nhöõng haøm chaûy khaùc coù theå ñöôïc bieåu dieãn moät caùch deã daøng trong cuøng daïng.

Trong caùc öùng duïng phaàn töû höõu haïn, quan heä cô baûn cuûa vaät lieäu ñöôïc phaûn aùnh bôûi ma traän ñoä cöùng vaät lieäu ep

ijkCl, noù ñöôïc duøng trong vieäc hình thaønh ñoä

cöùng tieáp tuyeán. Ma traän ñoä cöùng naøy lieân heä gia soá bieán daïng vôùi gia soá öùng suaát ñöôïc cho bôûi phöông trình (4.82a):

ll k

epijkij dCd ε=σ (4.146)

Ñeå thu ñöôïc daïng toång quaùt cuûa tenxô epijkCl, ta vieát laïi phöông trình (4.82b)

nhö

pijkijk

epijk CCC

lll+= (4.147)

trong ñoù Cijkl laø tenxô ñaøn hoài ñöôïc cho bôûi phöông trình (3.88) nhö

δδ+δδ+δδν−

νν+

= jkiiikkijijk )21(

2

)1(2

EC

llll (4.148)

trong khi pijkC

l laø tenxô deûo ñöôïc bieåu dieãn nhö

h

HHC kihp

ijkl

l= (4.149)

ôû ñaây tu

rsturs

fC

fh

σ∂∂

σ∂∂

= (4.150)

vaø mn

ijmnijf

CHσ∂∂

= (4.151)

Thay caùc phöông trình (4.148) ñoái vôùi Cijkl vaø (4.140) ñoái vôùi ∂f/∂σij vaøo caùc phöông trình (4.150) vaø (4.151), sau pheùp ñaïo haøm daøi doøng nhöng khoâng phöùc

228

taïp (xem baøi taäp 4.13), ta ñaït ñeán caùc bieåu thöùc sau ñaây cho h vaø Hij theo caùc haèng soá ñaøn hoài G vaø ν vaø caùc heä soá B0, B1, vaø B2:

+++ν−

ν+= 321

22

222

21

20 JBB6JB

3

2JB2

21

1B3G2h (4.152)

++δν−

ν+= ij2ij1ij0ij tBsB

21

1BG2H (4.153)

Neáu tenxô gia soá öùng suaát dσij vaø tenxô gia soá bieán daïng dεij ñöôïc bieåu dieãn roõ raøng theo daïng vectô nhö

dσij = dσx, dσy, dσz, dτyz, dτzx, dτxy

dεij = dεx, dεy, dεz, dγyz, dγzx, dγxy (4.154)

ôû ñaây dγxy = 2 dεxy, … laø caùc bieán daïng tröôït kyõ thuaät, vectô töông öùng ñoái vôùi tenxô Hij coù daïng

[Hij] = Hx, Hy, Hz, Hyz, Hzx, Hxy (4.155)

ôû ñaây ,...J3

2sssBsB

21

1BG2H 2

2xz

2xy

2x2x10x

−++++ν−

ν+=

vaø Hyz = 2G[B1syz + B2(sxysxz + sysyz + syzsz)], …

Do ñoù, tenxô epijkCl coù theå ñöôïc bieåu dieãn trong daïng ma traän nhö

[Cep] = [C] + [Cp] (4.156)

ôû ñaây

+−−

−+−

−−+

=

G00000

0G0000

00G000

000)G3

4K()G

3

2K()G

3

2K(

000)G3

2K()G

3

4K()G

3

2K(

000)G3

2K()G

3

2K()G

3

4K(

]C[ (4.157)

vaø

229

−=

2xy

xyx22zx

xyyxzxyz2yz

xyzzxzyzz2z

xyyzxyyzyzy2y

xyxx2xyzxzxyx2x

p

H

HHHsym

HHHHH

HHHHHHH

HHHHHHHHH

HHHHHHHHHHH

h

1]C[ (4.158)

4.12 BAØI TAÄP

4.1 Moät bình aùp löïc thaønh moûng troøn daøi chòu aùp löïc beân trong p vaø bò chaûy deûo. Tìm heä soá cuûa caùc gia soá bieán daïng deûo theo ba höôùng chính theo phöông trình Prandtl−Reuss.

4.2 Moät oáng thaønh moûng chòu keùo doïc truïc haèng vaø xoaén thay ñoåi. ÖÙng suaát phaùp höôùng truïc laø σz = 0,5σ0. Theo tieâu chuaån von Mises, haõy tìm ñoä lôùn cuûa öùng suaát tieáp τ ñeå oáng baét ñaàu chaûy deûo. Haõy xaùc ñònh heä soá cuûa caùc gia soá bieán daïng deûo p

ijdε khi oáng ñöôïc chaûy deûo.

4.3 Moät phaân toá vaät lieäu chòu ba quaù trình ñaët taûi tyû leä. Caùc heä soá cuûa caùc öùng suaát chính ñoái vôùi ba tröôøng hôïp gia taûi ñöôïc cho nhö (1) (2σ, σ, 0); (2) (σ, σ, 0); (3) (0, −σ, −σ). Theo

a) Tieâu chuaån von Mises: J2 = k2; b) Tieâu chuaån Tresca: τmax = (σmax − σmin)/2 = k; c) Tieâu chuaån Drucker−Prager: 1 2I J kα + = ;

d) Tieâu chuaån Mohr−Coulomb: (mσmax − σmin)/2 = k,

Haõy tìm ñoä lôùn cuûa σ ñoái vôùi moãi tröôøng hôïp ñaët taûi ñeå vaät lieäu baét ñaàu chaûy deûo. Haõy tìm vectô gia soá bieán daïng deûo chính )d,d,d( p

3p2

p1 εεε trong

quaù trình chaûy deûo döïa treân ñònh luaät chaûy keát hôïp.

4.4 Haõy chöùng toû raèng gia soá bieán daïng deûo ôû ñænh hình choùp luïc giaùc Mohr−Coulomb coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö

( ) ( )( ) ( )( ) ( )6143

p3

3265p2

5421p1

ddmddd

ddmddd

ddmddd

λ+λ−λ+λ=ε

λ+λ−λ+λ=ε

λ+λ−λ+λ=ε

Haõy chöùng toû raèng caùc phöông trình (4.34) vaø (4.36) vaãn ñuùng trong tröôøng hôïp naøy (hình 4.5).

230

4.5 Beà maët chaûy ñöôïc Mohr−Coulomb hieäu chænh laø beà maët Mohr−Coulomb mσmax − σmin = f’c ñöôïc keát hôïp vôùi maët phaúng giôùi haïn keùo σmax = f’t.

Beà maët chaûy naøy goàm chín maët phaúng, chín caïnh, vaø baûy ñænh. Haõy phaân tích gia soá bieán daïng deûo ôû caùc maët phaúng giôùi haïn vaø caùc caïnh vaø caùc ñænh coù lieân quan. Haõy chöùng toû raèng

a) Caùc gia soá bieán daïng deûo thoûa

md

dpc

pt >

ε∑

ε∑

b) Gia soá coâng deûo coù theå ñöôïc bieåu dieãn bôûi

( )pc

pt

,t

pc

,cp dmdfdfdW ε∑−ε∑+ε∑=

4.6 Moät oáng daøy ñaàu tieân ñöôïc ñaët taûi ñeán mieàn ñaøn−deûo vôùi aùp suaát beân trong p, pe ≤ p ≤ pc, vaø roài ñöôïc caát taûi hoaøn toaøn.

a) Haõy tìm caùc öùng suaát dö.

b) Haõy xaùc ñònh aùp suaát cao nhaát ñeå vaät lieäu cuûa oáng seõ khoâng chaûy deûo laïi khi caát taûi.

c) Haõy chöùng toû raèng neáu tyû soá cuûa baùn kính ngoaøi vaø baùn kính trong cuûa oáng, b/a, nhoû hôn 2,2; vaät lieäu seõ laéng xuoáng öùng xöû ñaøn hoài ñoái vôùi vieäc taïo aùp löïc giöõa p = 0 vaø p = pc.

4.7 Moät oáng daøy laøm baèng vaät lieäu chaûy deûo lyù töôûng chòu ñöïng aùp suaát beân trong chaûy deûo hoaøn toaøn ñöôïc cho bôûi phöông trình (4.73). Haõy khaûo saùt beà maët chaûy Tresca cuûa caùc ñieåm öùng suaát ñoái vôùi nhöõng baùn kính khaùc nhau, aùp duïng tính phaùp tuyeán ñeå thu ñöôïc thoâng tin veà bieán daïng deûo döông, vaø kieåm chöùng raèng bieán daïng deûo nhö theá töông thích vôùi moâ hình phaù huûy cuûa oáng.

4.8 Moät oáng composite bao goàm n oáng ñöôïc laøm cuøng vaät lieäu loàng leân nhau. Baùn kính trong vaø ngoaøi cuûa n oáng töông öùng laø (ri, r1), (r1, r2), …, (rn−1, re). OÁng composite chòu aùp suaát beân trong p. Vaät lieäu tuaân theo tieâu chuaån chaûy Tresca. Giaû söû raèng chaûy deûo xaûy ra moät caùch ñoàng thôøi ôû nhöõng maët trong cuûa moãi oáng. Haõy chöùng toû raèng:

a) AÙp suaát beân trong ñoái vôùi chaûy deûo ñaàu tieân ñöôïc cho bôûi

++

+

−

σ= −

2

e

1n

2

2

1

2

1

i0

r

r

r

r

r

rn

2p L

231

trong ñoù σ0 laø öùng suaát chaûy trong keùo ñôn truïc. b) Neáu tyû soá cuûa caùc baùn kính ngoaøi vaø trong cuûa moãi oáng laø

n/1

i

e

1k

k

r

r

r

r

=

− k = 1, 2, …, n; r0 = ri, rn = re

aùp löïc p laáy giaù trò cöïc ñaïi ñoái vôùi chaûy deûo ñaàu tieân, vaø

( )

−

σ=

n/2

e

i0maxe

r

r1

2

np

c) AÙp suaát chaûy deûo hoaøn toaøn p ñöôïc cho bôûi pc = σ0ln(re/ri)

4.9 Cho hình caàu roãng coù baùn kính trong a vaø baùn kính ngoaøi b. Haõy phaân tích öùng xöû cuûa hình caàu döôùi aùp suaát beân trong.

a) Haõy tìm caùc öùng suaát vaø chuyeån vò ñaøn hoài. Haõy xaùc ñònh aùp suaát cöïc ñaïi pe ñeå lôøi giaûi ñaøn hoài naøy ñuùng.

b) Haõy tìm lôøi giaûi ñaøn−deûo vaø aùp suaát cöïc ñaïi pe ñeå lôøi giaûi naøy ñuùng.

c) Neáu vaät lieäu ñöôïc giaû thieát khoâng neùn trong caû mieàn ñaøn hoài vaø chaûy deûo, nhöõng tröôøng hôïp ñôn giaûn hoùa naøo seõ xaûy ra?

d) Haõy tìm caùc öùng suaát dö sau quaù trình caát taûi hoaøn toaøn vaø xaùc ñònh aùp suaát cao nhaát ñeå söï laéng xuoáng xaûy ra.

e) Haõy tìm caùc öùng suaát vaø caùc suaát bieán daïng ñoái vôùi chaûy deûo khoâng kieàm cheá.

4.10 Trong thí nghieäm keùo/xoaén keát hôïp oáng thaønh moûng tieát dieän troøn, goïi σ vaø ε töông öùng laø öùng suaát phaùp vaø bieán daïng daøi theo phöông doïc truïc, τ vaø γ töông öùng laø öùng suaát tieáp vaø bieán daïng tröôït. Giaû söû raèng oáng ñöôïc laøm baèng vaät lieäu Prandtl−Reuss vôùi ν = 0,5. Haõy tính caùc öùng suaát σ vaø τ töông öùng vôùi traïng thaùi bieán daïng (ε, γ) = (σY/E, σY/ 3 G) ñoái vôùi ba loä trình ñaët taûi sau ñaây (hình P4.10):

a) Bieán daïng daøi doïc truïc ε ñaàu tieân ñöôïc taêng leân giaù trò chaûy deûo ε = σY/E, roài ñöôïc giöõ khoâng ñoåi, trong khi bieán daïng tröôït ñöôïc taêng leân ñeán giaù trò cuoái cuøng cuûa noù γ = σY/ 3 G.

b) Nghòch ñaûo loä trình ñaët taûi treân: bieán daïng tröôït ñaàu tieân ñöôïc taêng leân ñeán giaù trò cuoái cuøng cuûa noù γ = σY/ 3 G, roài ñöôïc giöõ haèng soá, trong khi bieán daïng daøi doïc truïc ε ñöôïc taêng leân giaù trò cuoái cuøng cuûa noù σY/E.

c) Caû hai bieán daïng ε vaø γ ñöôïc gia taêng moät caùch tyû leä vôùi tyû soá ε/γ = 3

232

G/E = 1/ 3 , cho ñeán khi giaù trò cuoái cuøng cuûa chuùng ñaït ñeán. Gôïi yù: Chuù yù raèng σmndemn = σmndεmn, do ñoù dλ coù theå thu ñöôïc theo k, σ,

dε, τ vaø dγ. Do ñieàu kieän khoâng neùn, caùc phöông trình (4.91) hoaëc (4.92) seõ daãn ñeán moät nhoùm caùc phöông trình vi phaân lieân heä vôùi σ(ε, γ) vaø τ(ε, γ). Haõy cho dε = 0 hay dγ = 0; caùc phöông trình vi phaân coù theå ñöôïc tích phaân ñoái vôùi caùc tröôøng hôïp (a) vaø (b).

4.11 Haõy khaûo saùt öùng xöû cuûa vaät lieäu Prandtl−Reuss vaø Drucker− Prager döôùi ñieàu kieän öùng suaát phaúng ñöôïc ñònh nghóa bôûi σij = [σ1, 0, σ3]. So saùnh caùc keát quaû.

4.12 Haõy chöùng minh caùc phöông trình (4.145).

4.13 Haõy chöùng minh caùc phöông trình (4.152) vaø (4.153).

4.14 Moät oáng beâ toâng thaønh daøy daøi khoâng ñaùy (σ2 = 0) chòu aùp suaát beân trong p. Caùc baùn kính beân trong vaø ngoaøi töông öùng laø a vaø b. Giaû söû vaät lieäu beâ toâng tuaân theo tieâu chuaån Rankine vôùi ñoä beàn keùo ñôn truïc f’t.

a) Haõy xaùc ñònh aùp suaát beân trong giôùi haïn ñaøn hoài. b) Haõy xaùc ñònh moái quan heä giöõa bieân ñaøn−deûo r = c vaø aùp suaát beân

trong p ñoái vôùi p > pc. c) Haõy xaùc ñònh aùp suaát beân trong giôùi haïn deûo. d) Ñoái vôùi tröôøng hôïp b/a = 2, haõy veõ caùc ñöôøng cong σr vaø σθ theo r ñoái

vôùi bieân ñaøn−deûo töông öùng ôû c = a, c = (a + b)/2, vaø c = b.

4.15 Moät loã hình truï ñöùng daøi vôùi baùn kính trong a trong nöûa khoâng gian cuûa ñaù chòu aùp suaát beân trong p nhö ñöôïc bieåu dieãn trong hình P4.15. Giaû söû raèng

Hình P4.10

233

vaät lieäu ñaù tuaân theo tieâu chuaån Rankine, vôùi ñoä beàn keùo ñôn truïc f’t. Haõy xaùc ñònh moái quan heä giöõa baùn kímh cuûa vuøng deûo vôùi aùp suaát beân trong.

4.16 Giaûi laïi baøi taäp 4.15 baèng caùch duøng tieâu chuaån chaûy Tresca. Chöùng toû raèng moái quan heä giöõa baùn kímh cuûa vuøng deûo vôùi aùp suaát beân trong coù theå thu ñöôïc baèng caùch cho b → ∞ trong phöông trình (4.68).

4.17 Giaû söû raèng vaät lieäu beâ toâng tuaân theo tieâu chuaån Mohr−Coulomb, giaûi laïi baøi taäp 4.14. Caùc ñoä beàn keùo vaø neùn ñôn truïc cuûa vaät lieäu töông öùng laø f’t vaø f’c. Haõy veõ caùc ñöôøng cong σr vaø σθ theo r baèng caùch duøng f’c/f’t = 10.

4.18 Giaûi laïi baøi taäp 4.15 baèng caùch duøng tieâu chuaån Mohr−Coulomb. Giaû söû caùc ñoä beàn keùo vaø neùn ñôn truïc cuûa ñaù töông öùng laø f’t vaø f’c.

4.19 Chuù yù raèng tieâu chuaån Tresca vaø Rankine laø nhöõng tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa tieâu chuaån Mohr−Coulomb, haõy chöùng toû raèng:

a) Caùc lôøi giaûi ñaøn−deûo cuûa oáng truï thaønh daøy ñöôïc moâ taû trong muïc 4.7 vaø baøi taäp 4.14 laø nhöõng tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa lôøi giaûi baøi taäp 4.17.

4.20 Haõy tìm bieåu thöùc heä soá voâ höôùng dλ ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn−deûo lyù töôûng toång quaùt baèng caùch duøng ñònh luaät chaûy keát hôïp

ij

pij

fdd

σ∂∂

λ=ε

Hình

P4.15

234

ÔÛ ñaây f = f(σij) laø haøm chaûy. Giaû söû raèng öùng xöû ñaøn hoài cuûa vaät lieäu laø tuyeán tính vaø ñaúng höôùng, haõy bieåu dieãn heä soá voâ höôùng dλ theo hai haèng soá ñaøn hoài K vaø G.

4.21 Haõy vieát chöông trình ñeå tính ma traän cöùng vaät lieäu [Cep] cuûa phöông trình (4.156) ñoái vôùi boán haøm chaûy ñöôïc cho trong baûng 4.1.

235

CC hh öö ôô nn gg 55

CAÙC QUAN HEÄ ÖÙNG SUAÁT−−−−BIEÁN DAÏNG

ÑOÁI VÔÙI CAÙC VAÄT LIEÄU BIEÁN CÖÙNG

5.1 GIÔÙI THIEÄU

Vaät lieäu kyõ thuaät thöôøng bieåu loä öùng xöû bieán cöùng. Vieäc gia taêng öùng suaát vöôït qua beà maët chaûy ban ñaàu vaø vaøo mieàn bieán cöùng (gia taûi) gaây ra caû bieán daïng deûo vaø ñaøn hoài. ÔÛ moãi traïng thaùi bieán daïng deûo, moät beà maët chaûy môùi, ñöôïc goïi laø beà maët ñaët taûi tieáp theo, ñöôïc hình thaønh. Neáu baây giôø traïng thaùi öùng suaát ñöôïc thay ñoåi sao cho ñieåm öùng suaát ñaïi dieän cho noù trong khoâng gian öùng suaát di chuyeån vaøo beân trong beà maët chaûy môùi (caát taûi), öùng xöû cuûa vaät lieäu seõ trôû laïi ñaøn hoài, vaø bieán daïng deûo seõ khoâng xaûy ra. ÖÙng xöû öùng suaát−bieán daïng ñöôïc lieân heä vôùi vieäc ñaët taûi hay caát taûi töø beà maët chaûy môùi thì phuï thuoäc loä trình ñaët taûi hay phuï thuoäc lòch söû ñaët taûi.

Trong vieäc thieát laäp caùc phöông trình cô sôû cho nhöõng vaät lieäu bieán cöùng, hai phöông caùch tieáp caän cô baûn ñaõ ñöôïc söû duïng. Phöông caùch ñaàu tieân laø lyù thuyeát bieán daïng trong daïng quan heä öùng suaát−bieán daïng toång. Lyù thuyeát naøy giaû söû raèng traïng thaùi öùng suaát xaùc ñònh duy nhaát traïng thaùi bieán daïng vôùi ñieàu kieän laø bieán daïng deûo tieáp tuïc. Ñieàu naøy thì ñoàng nhaát vôùi quan heä öùng suaát−bieán daïng ñaøn hoài phi tuyeán cuûa chöông 3 quaù trình caát taûi khoâng xaûy ra. Do ñoù, daïng toång quaùt nhaát cuûa lyù thuyeát naøy trong quaù trình ñaët taûi coù theå ñöôïc vieát nhö

)( ijeijij

pij σε−ε=ε (5.1)

ôû ñaây pijε vaø e

ijε laàn löôït laø nhöõng thaønh phaàn deûo vaø ñaøn hoài cuûa bieán daïng toång

εij. Phöông trình (5.1) bieåu thò öùng xöû ñoäc laäp−loä trình−ñaët taûi. Noù khoâng theå moâ taû thoûa ñaùng caùc hieän töôïng ñöôïc keát hôïp vôùi vieäc ñaët taûi vaø caát taûi gaàn beà maët chaûy doïc theo loä trình ñaët taûi trung hoøa. Tuy nhieân, nhöõng lyù thuyeát nhö theá ñaõ ñöôïc söû duïng moät caùch roäng raõi trong thöïc teá cho vieäc giaûi caùc baøi toaùn ñaøn−deûo bôûi vì söï ñôn giaûn töông ñoái cuûa noù. Tuy vaäy, quan heä öùng suaát−bieán daïng ñöôïc döïa treân lyù thuyeát bieán daïng chæ ñuùng trong tröôøng hôïp ñaët taûi tyû leä.

236

Loaïi lyù thuyeát thöù hai laø lyù thuyeát gia soá hay lyù thuyeát chaûy. Lyù thuyeát naøy lieân heä gia soá cuûa caùc thaønh phaàn bieán daïng deûo p

ijdε vôùi traïng thaùi öùng suaát, σij, vaø

gia soá öùng suaát, dσij. Moät soá lôùn caùc phöông phaùp kyõ thuaät ñöôïc duøng trong baøn luaän veà chaûy deûo lyù töôûng tröôùc ñaây ñöôïc aùp duïng ôû ñaây vôùi moät ít thay ñoåi ñoái vôùi chaûy deûo bieán cöùng. Söï khaùc nhau cô baûn laø beà maët chaûy baây giôø khoâng coá ñònh trong khoâng gian, maø ñieåm öùng suaát σij ñöôïc pheùp di chuyeån ra ngoaøi beà maët chaûy ban ñaàu. Ñaùp öùng cuûa vaät lieäu sau chaûy deûo ban ñaàu ñöôïc moâ taû baèng caùch chæ roõ moät beà maët chaûy môùi ñöôïc goïi laø beà maët chaûy deûo tieáp theo, vaø quy luaät chæ roõ ñaùp öùng haäu chaûy deûo naøy ñöôïc goïi laø quy luaät bieán cöùng.

Nhöõng giaû thieát cô baûn ñöôïc söû duïng trong vieäc xaây döïng lyù thuyeát gia soá veà chaûy deûo bieán cöùng bao goàm:

a) Söï toàn taïi cuûa moät beà maët chaûy ban ñaàu xaùc ñònh giôùi haïn ñaøn hoài cuûa vaät lieäu trong traïng thaùi öùng suaát ña truïc. Khaùi nieäm beà maët chaûy ñaõ ñöôïc thaûo luaän trong chöông 2.

b) Quy luaät bieán cöùng moâ taû söï tieán trieån cuûa nhöõng beà maët chaûy tieáp theo. Vaøi quy luaät bieán cöùng ñaõ ñöôïc ñeà nghò tröôùc ñaây vaø seõ ñöôïc baøn luaän trong chöông naøy.

c) Quy luaät chaûy deûo ñöôïc lieân heä vôùi haøm theá naêng deûo vaø ñònh nghóa höôùng cuûa vectô bieán daïng deûo gia soá trong khoâng gian bieán daïng. Khaùi nieäm veà quy luaät chaûy deûo ñaõ ñöôïc thaûo luaän khaù tæ mæ trong chöông 4 ñoái vôùi caùc vaät lieäu chaûy deûo lyù töôûng. Ñoái vôùi nhöõng vaät lieäu bieán cöùng, quy luaät chaûy keát hôïp moâ taû keát quaû cuûa ñònh ñeà oån ñònh cuûa Drucker. Ñieàu naøy seõ ñöôïc nghieân cöùu trong phaàn sau cuûa chöông naøy.

Chöông naøy ñeà caäp ñeán vieäc xaây döïng caùc quan heä cô baûn cuûa nhöõng vaät lieäu bieán cöùng. Ñaàu tieân lyù thuyeát bieán daïng ñöôïc giôùi thieäu trong muïc 5.2. Sau ñoù, nhöõng khaùi nieäm cô sôû cuûa lyù thuyeát gia soá ñöôïc baøn luaän. Lyù thuyeát gia soá laø cô sôû ñeå giaûi thích veà ñaët taûi, caát taûi, vaø ñaët taûi laïi vaø thích hôïp ñoái vôùi vieäc moâ taû öùng xöû phuï thuoäc−lòch söû−öùng suaát cuûa vaät raén chaûy deûo bieán cöùng. Ñaây laø chuû ñeà chính cuûa chöông naøy.

5.2 LYÙ THUYEÁT BIEÁN DAÏNG DEÛO

5.2.1 Lyù thuyeát bieán daïng ñoái vôùi vaät lieäu J2

Lyù thuyeát bieán daïng ñôn giaûn vaø phoå bieán nhaát laø lyù thuyeát bieán daïng J2. Lyù thuyeát ñöôïc döïa treân boán giaû thieát sau ñaây: (i) vaät lieäu ban ñaâu ñaúng höôùng; (ii) bieán daïng deûo chæ bao goàm söï thay ñoåi hình daùng maø khoâng coù söï thay ñoåi theå tích, vaø bieán daïng ñaøn hoài ñöôïc lieân heä vôùi öùng suaát bôûi ñònh luaät Hooke; (iii) caùc truïc chính cuûa bieán daïng deûo vaø öùng suaát truøng nhau; (iv) caùc giaù trò chính

237

cuûa bieán daïng deûo coù cuøng tyû soá vôùi nhau nhö caùc giaù trò chính cuûa öùng suaát leäch.

Trong vieäc xaây döïng quan heä öùng suaát−bieán daïng, bieán daïng toång εij ñöôïc phaân taùch thaønh nhöõng thaønh phaàn ñaøn hoài e

ijε vaø deûo pijε bôûi söï choàng chaäp ñôn giaûn:

pij

eijij ε+ε=ε (5.2)

Theo giaû thieát (ii), bieán daïng ñaøn hoài eijε ñöôïc lieân heä vôùi öùng suaát σij bôûi ñònh

luaät Hooke [xem phöông trình (3.96) cuûa chöông 3]:

ijkkije

ij K9G2

sδ

σ+=ε (5.3)

vaø bieán daïng deûo pijε chæ chöùa thaønh phaàn bieán daïng leäch p

ije . Caùc giaû thieát (iii) vaø

(iv) lieân heä bieán daïng deûo naøy pijε vôùi öùng suaát leäch sij nhö

ijpij

pij se φ==ε (5.4)

trong ñoù φ laø soá voâ höôùng, noù coù theå ñöôïc xem nhö haøm cuûa baát bieán J2:

φ = φ(J2) (5.5)

Haøm voâ höôùng φ(J2) laø moät ñaëc tröng vaät lieäu ñöôïc xaùc ñònh baèng thí nghieäm.

Ñeå ñònh löôïng haøm φ(J2) vôùi ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng trong thí nghieäm ñôn truïc, ta ñeà nghò moät bieán öùng suaát ñöôïc goïi laø öùng suaát töông ñöông σe, ñöôïc ñònh nghóa nhö

ijij2e ss2

3J3 ==σ (5.6)

vaø bieán bieán daïng ñöôïc goïi laø bieán daïng deûo töông ñöông εp, ñöôïc ñònh nghóa nhö

pij

pijp

2

3εε=ε (5.7)

Ta coù theå thaáy raèng trong thí nghieäm keùo ñôn truïc vôùi σ1 > 0, σ2 = σ3 = 0, öùng suaát töông ñöông σe trôû thaønh öùng suaát σ1. Maët khaùc, do tính khoâng neùn cuûa bieán daïng deûo, trong tröôøng hôïp keùo ñôn truïc, ta coù

p1

p3

p2 2

1ε−=ε=ε (5.8)

Thay phöông trình (5.8) vaøo phöông trình (5.7), ta nhaän ra raèng bieán daïng töông ñöông εp trôû thaønh bieán daïng ñôn truïc p

1ε .

238

Baây giôø ta coù theå ñònh nghóa moät ñöôøng cong öùng suaát töông ñöông−bieán daïng töông ñöông ñôn giaûn, hình daïng cuûa noù ñöôïc chi phoái bôûi thí nghieäm keùo ñôn truïc, coù daïng sau ñaây

σe = σe(εp) (5.9)

Nhaân phöông trình (5.4) vôùi chính noù taïo ra

ijijpij

pij ssφ=εε

Baèng caùch duøng nhöõng ñònh nghóa veà öùng suaát töông ñöông σe vaø bieán daïng töông ñöông εp daãn ñeán bieåu thöùc cho thoâng soá φ:

e

p

2

3

σ

ε=φ (5.10)

hay

2

p

J2

3 ε=φ (5.11)

Do bieán daïng töông ñöông εp ñöôïc lieân heä vôùi öùng suaát töông ñöông σe hoaëc baát bieán öùng suaát J2 thoâng qua quan heä öùng suaát−bieán daïng ñôn truïc (5.9), φ coù theå thu ñöôïc nhö laø haøm cuûa J2.

Baèng caùch duøng phöông trình (5.10) ñoái vôùi φ, phöông trình cô baûn (5.4) baây giôø ñöôïc vieát laïi moät caùch roõ raøng theo caùc thaønh phaàn öùng suaát vaø bieán daïng nhö

xye

ppxy

yze

ppyz

xze

ppxz

yxze

ppz

xzye

ppy

zyxe

ppx

3

3

3

)(2

1

)(2

1

)(2

1

τσ

ε=γ

τσ

ε=γ

τσ

ε=γ

σ+σ−σσ

ε=ε

σ+σ−σσ

ε=ε

σ+σ−σσ

ε=ε

(5.12)

239

Caùc moái quan heä öùng suaát−bieán daïng cuûa lyù thuyeát bieán daïng cho vaät lieäu J2 ñaàu tieân ñöôïc trình baøy bôûi Hencky vaøo naêm 1924 ñeå moâ taû öùng xöû chaûy deûo lyù töôûng, vaø sau ñoù, vaøo naêm 1931, bôûi Nadai ñeå moâ taû öùng xöû chaûy deûo cuûa vaät lieäu bieán cöùng.

Nhöõng phöông trình (5.4) vaø (5.12) bieåu dieãn öùng xöû öùng suaát−bieán daïng cuûa vaät lieäu bieán cöùng vôùi söï chuyeån tieáp lieân tuïc töø traïng thaùi ñaøn hoài sang traïng thaùi deûo, mieãn laø ñieàu kieän ñaët taûi

dJ2 > 0 (5.13)

ñöôïc thoûa maõn. Maët khaùc, ñònh luaät Hooke phaûi ñöôïc söû duïng vaø bieán daïng deûo vaãn khoâng ñoåi. Vì ñieàu naøy, quan heä öùng suaát−bieán daïng toång cuûa lyù thuyeát bieán daïng thì chæ ñuùng ñoái vôùi loä trình ñaët taûi tyû leä hoaëc gaàn nhö tyû leä. Trong tröôøng hôïp naøy, caùc thaønh phaàn öùng suaát gia taêng trong ñieàu kieän tyû soá cuûa chuùng laø haèng, vì theá caùc bieán daïng coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo traïng thaùi öùng suaát cuoái cuøng doïc theo loä trình ñaët taûi tyû leä.

Tính ñuùng ñaén cuûa lyù thuyeát bieán daïng ñoái vôùi caùc loä trình ñaët taûi khaùc vôùi loä trình ñaët taûi tyû leä ñaõ ñöôïc nghieân cöùu bôûi Budiansky (1959). Baèng caùch thöøa nhaän ñònh ñeà Drucker ñeå thieát laäp moät tieâu chuaån ñoái vôùi söï ñuùng ñaén vaät lyù, Budiansky ñaõ chæ ra raèng caùc lyù thuyeát bieán daïng thích hôïp vôùi ñònh ñeà naøy ñoái vôùi mieàn cuûa caùc loä trình ñaët taûi ôû vuøng laân caän vôùi ñaët taûi tyû leä.

Thí duï 5.1 Moät phaân toá vaät lieäu J2 chòu loä trình ñaët taûi tyû leä vôùi heä soá öùng suaát σ/τ = 2 nhö ñöôïc bieåu thò trong hình 5.1. Quan heä öùng suaát−bieán daïng trong keùo ñôn truïc cuûa vaät lieäu ñöôïc cho bôûi

240

σ>σσ−σ

+σ

σ≤σσ

=ε)(

mE

)(E

YY

Y

(5.14)

vôùi moâñun cuûa Young E = 207.109N/m2, öùng suaát chaûy ban ñaàu σY = 207.106N/m2, haèng soá m = 25.109N/m2, vaø heä soá Poisson ν = 0,3. Haõy tìm nhöõng thaønh phaàn cuûa bieán daïng phaùp vaø tröôït töông öùng vôùi hai traïng thaùi öùng suaát vôùi: (i) σ = 180.106N/m2, τ = 90.106N/m2 vaø (ii) σ = 200.106N/m2, τ = 100.106N/m2.

Giaûi

Ñieàu kieän chaûy ñoái vôùi vaät lieäu J2 chòu caùc öùng suaát σ vaø τ ñöôïc bieåu dieãn nhö

2Y

22 3 σ=τ+σ (5.15)

Thay σ = 180.106N/m2 vaø τ = 90.106N/m2 vaøo phöông trình (5.15) daãn ñeán

2Y

26262622 )10.1,238()10.90(3)10.180(3 σ>=+=τ+σ

Do ñoù, phaân toá ñaõ bieán daïng deûo döôùi traïng thaùi öùng suaát (i) vaø (ii), vaø bieán daïng cuûa phaân toá goàm coù nhöõng phaàn ñaøn hoài vaø deûo. Bieán daïng ñaøn hoài ñöôïc xaùc ñònh bôûi ñònh luaät Hooke [xem caùc phöông trình (3.101) vaø (3.102)]. ÔÛ traïng thaùi öùng suaát (i):

Hình 5.1 Moät minh hoïa cuûa lyù thuyeát J2 (thí duï 5.1)

Beà maët chaûy deûo

ban ñaàu

Loä trình ñaët taûi

Bieán daïng deûo

241

( )

( ) ( )

( )( ) ( ) 0

10130,110207

)90)(3,01(2

E)1(2

10609,210207

1803,0

E

1069,810207

180E

1exz1

eyz

3

31

exy

4

31ez1

ey

4

31ex

=γ=γ

×=×

+−=τν+−=γ

×−=××−=σν−=ε=ε

×=×

=σ=ε

−

−

−

ÔÛ traïng thaùi öùng suaát (ii):

( )

( ) ( ) 4

32ez2

ey

4

32ex

10899,210207

2003,0

E

10662,910207

200E

−

−

×−=×

×−=σν−=ε=ε

×=×

=σ=ε

( )( ) ( ) 0

10256,110207

)100)(3,01(2

E

)1(2

2exz2

eyz

3

32

exy

=γ=γ

×=×

+=τν+=γ −

Caùc bieán daïng deûo ñöôïc tính toaùn töø phöông trình (5.12), vôùi öùng suaát σe ñöôïc thu töø phöông trình (5.6):

222e 3J3 τ+σ==σ

Ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát (i),

( ) 626261e 10.1,238)10.90(3)10.180( =+=σ N/m2

Ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát (ii),

( ) 626262e 10.6,264)10.100(3)10.200( =+=σ N/m2

Theo quan heä öùng suaát−bieán daïng ñaõ cho (5.14), bieán daïng töông ñöông εp coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo öùng suaát töông ñöông σe nhö

m

Yep

σ−σ=ε

vaø tyû soá εp/σe trong phöông trình (5.12) ñöôïc tính toaùn ñoái vôùi hai traïng thaùi öùng suaát nhö

( )

( ) 212

69

66

1e

Y1e

1e

p

m/N

110225,5

)10.1,238)(10.25(

10.20710.1,238

m−×=

−=

σσ−σ

=

σ

ε

242

vaø ( )

( ) 212

69

66

2e

Y2e

2e

p

m/N

110707,8

)10.6,264)(10.25(

10.20710.6,264

m−×=

−=

σσ−σ

=

σ

ε

Baây giôø caùc bieán daïng deûo coù theå thu ñöôïc töø phöông trình (5.12) nhö

( )

( ) ( ) 4612

1e

p1

pz1

py

4612

1e

p1

px

10702,4)10.90)(10225,5(2

10405,9)10.180)(10225,5(

−−

−−

×−=−×=

σ−

σ

ε=ε=ε

×=×=σ

σ

ε=ε

( )( ) ( ) 0

10411,1)10.90)(10225,5(33

1pxz1

pyz

3612

1e

p

1pxy

=γ=γ

×=×=τ

σ

ε=γ −−

Töông töï, ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát (ii), ta coù

( ) 36122

px 10741,1)10.200)(10707,8( −− ×=×=ε

( ) ( ) 42

pz2

py 10707,8 −×−=ε=ε

( ) 36122

pxy 10612,2)10.100)(10707,8(3 −− ×=×=γ

( ) ( ) 02pxz2

pyz =γ=γ

Cuoái cuøng, bieán daïng toång εij ñöôïc cho nhö laø toång cuûa bieán daïng ñaøn eijε vaø

bieán daïng deûo pijε :

[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )

ε+ε

ε+εγ+γ

γ+γε+ε

=ε

1pz1

ez

1py1

ey1

pxy1

exy

1pxy1

exy1

px1

ex

1ij

00

02

1

02

1

310

731,000

0731,0271,1

0271,1810,1

−×

−

−=

vaø töông töï

243

[ ] 32ij 10

160,100

0160,1934,1

0934,1707,2

−×

−

−=ε

Hình 5.1 bieåu thò loä trình ñaët taûi vaø höôùng cuûa vectô bieán daïng deûo. Coù theå ñöôïc thaáy raèng vectô bieán daïng deûo vuoâng goùc vôùi beà maët chaûy ôû caùc ñieåm öùng suaát. Ñieàu naøy ñaõ ñöôïc chöùng toû bôûi phöông trình (5.4).

5.2.2 Söï toång quaùt hoùa cuûa lyù thuyeát J2

Quan heä öùng suaát−bieán daïng cuûa nhöõng phöông trình (5.4) vaø (5.5) töông ñoái ñôn giaûn trong keát caáu. Noù chæ chöùa baát bieán J2. Caùc moái quan heä phöùc taïp hôn ñaõ ñöôïc ñeà nghò trong quaù khöù. Thí duï, Prager ñaõ thieát laäp moái quan heä sau ñaây giöõa bieán daïng deûo vaø öùng suaát cuûa caùc kim loaïi döôùi ñieàu kieän ñaët taûi tyû leä:

ij32ij32pij t)J,J(gs)J,J(f +=ε (5.16)

noù cuõng bao goàm baát bieán thöù ba cuûa tenxô öùng suaát leäch, J3, vaø caùc ñaïo haøm cuûa noù, tij:

ij2kjikij

3ij J

3

2ss

Jt δ−=

σ∂∂

= (5.17)

Ñoái vôùi nhöõng quan heä cô baûn (5.16), caùc giaû thieát (ii) vaø (iv) ñaõ ñöôïc loaïi tröø nhöng giaû thieát (i), lieân quan ñeán tính ñaúng höôùng ban ñaàu, vaø giaû thieát (ii) lieân quan ñeán tính khoâng neùn chaûy deûo, vaãn ñöôïc duy trì. Caùc haøm voâ höôùng f(J2, J3) vaø g(J2, J3) laø nhöõng ñaëc tính vaät lieäu ñöôïc xaùc ñònh baèng caùc thí nghieäm. So saùnh vôùi phöông trình (5.4), phöông trình (5.16) cung caáp tính linh hoaït hôn trong vieäc laøm thoûa maõn caùc soá lieäu thí nghieäm.

Hôn nöõa, neáu giaû thieát veà tính khoâng neùn chaûy deûo ñöôïc loaïi boû, moät daïng quan heä öùng suaát−bieán daïng toång quaùt hôn coù theå öùng duïng cho caùc vaät lieäu phi kim loaïi coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö

ij321ij321ij321pij t)J,J,I(Rs)J,J,I(Q)J,J,I(P ++δ=ε (5.18)

trong ñoù δij laø kyù hieäu Kronecker. Ñoái vôùi moät soá vaät lieäu ma saùt phi kim loaïi nhö ñaát, beâ toâng, vaø caùc loaïi ñaù, söï thay ñoåi theå tích deûo thöôøng coù theå ñaùnh giaù ñöôïc, vaø do ñoù aûnh höôûng cuûa baát bieán thöù nhaát I1 phaûi ñöôïc ñöa vaøo tính toaùn. Do nhöõng phöông trình cô baûn (5.18) chöùa ba baát bieán öùng suaát nhö laø caùc bieán trong ba haøm voâ höôùng P, Q, vaø R, noù cho thaáy raèng chuùng thích hôïp ñoái vôùi vieäc moâ taû caùc vaät lieäu nhö theá döôùi quaù trình ñaët taûi tyû leä.

244

Trong nhöõng muïc tieáp theo, chuùng ta seõ thaûo luaän nhöõng khaùi nieäm cô baûn cuûa lyù thuyeát deûo gia soá ñoái vôùi caùc vaät raén chaûy deûo bieán cöùng. Ñaây laø noäi dung chính cuûa chöông naøy.

5.3 MAËT ÑAËT TAÛI VAØ CAÙC QUY LUAÄT BIEÁN CÖÙNG

5.3.1 Maët ñaët taûi vaø tieâu chuaån ñaët taûi

Maët ñaët taûi laø maët chaûy tieáp theo ñoái vôùi vaät lieäu bieán daïng ñaøn deûo, noù ñònh nghóa bieân cuûa mieàn ñaøn hoài hieän thôøi (hoaëc ñang xeùt). Neáu ñieåm öùng suaát naèm beân trong mieàn naøy, khoâng coù bieán deûo xaûy ra theâm nöõa. Maët khaùc, neáu traïng thaùi öùng suaát ôû treân bieân cuûa mieàn ñaøn hoài vaø coù khuynh höôùng di chuyeån ra ngoaøi beà maët chaûy hieän thôøi, bieán daïng deûo seõ tieáp tuïc xaûy ra, ñöôïc keøm bôûi söï thay ñoåi hình daïng cuûa maët ñaët taûi hieän thôøi. Noùi caùch khaùc, beà maët ñaët taûi hieän thôøi hay beà maët chaûy tieáp theo seõ thay ñoåi hình daùng hieän thôøi cuûa noù khi bieán daïng deûo xaûy ra. Do ñoù, beà maët ñaët taûi coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö laø haøm cuûa traïng thaùi öùng suaát hieän thôøi (hoaëc bieán daïng) vaø moät soá bieán aån nhö

( ) 0k,,f pijij =εσ (5.19)

trong ñoù caùc bieán aån ñöôïc bieåu dieãn theo bieán daïng deûo pijε vaø thoâng soá bieán

cöùng k.

Vieäc xaùc ñònh baûn chaát caùc maët ñaët taûi tieáp theo laø moät trong nhöõng vaán ñeà chính cuûa lyù thuyeát deûo bieán cöùng. Ñaùp öùng cuûa vaät lieäu sau chaûy deûo ban ñaàu khaùc nhieàu trong caùc lyù thuyeát deûo khaùc nhau. Ñaùp öùng haäu−chaûy deûo naøy, ñöôïc goïi laø quy luaät bieán cöùng, ñöôïc moâ taû baèng caùch ñòng roõ quy luaät ñoái vôùi söï tieán trieån cuûa nhöõng maët chaûy hoaëc maët ñaët taûi tieáp theo. Moät vaøi quy luaät bieán cöùng ñaõ ñöôïc ñeà nghò trong quaù khöù ñeå tính toaùn chaûy deûo. Do söï thay ñoåi hình daïng cuûa beà maët ñaët taûi ñöôïc lieän heä chaët cheõ vôùi “ñaët taûi deûo”, tröôùc tieân ta seõ baøn luaän tieâu chuaån ñaët taûi ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng. Sau ñoù seõ nghieân cöùu ñeán caùc quy luaät bieán cöùng.

Ñoái vôùi öùng xöû ñôn truïc, caùc khaùi nieäm “ñaët taûi” vaø “caát taûi” laø roõ raøng (H.5.2a). Maët ñaët taûi töï thaân laø phaàn caàn thieát ñeå ñònh nghóa ñaët taûi vaø caát taûi. Ta seõ ñònh nghóa roõ hôn ôû ñaây raèng ñaët taûi hay chaûy deûo xaûy ra chæ khi ñieåm öùng suaát ôû treân maët ñaët taûi vaø vieäc ñaët taûi theâm hay vectô gia soá öùng suaát dσij ñöôïc höôùng ra phía ngoaøi mieàn ñaøn hoài hieän thôøi. Ñeå bieåu dieãn phaùt bieåu treân moät caùch chính xaùc hôn, ta ñònh nghóa moät vectô ñôn vò fn

r vuoâng goùc vôùi maët ñaët taûi trong khoâng gian öùng suaát (H.5.2b), noù coù caùc thaønh phaàn nhö

245

2/1

kk

ijfij

ff

f

n

σ∂∂

σ∂∂

σ∂∂

=

ll

(5.20)

Neáu goùc giöõa vectô dσij vaø fijn laø nhoïn (H.5.2b), bieán daïng deûo taêng theâm seõ

xaûy ra. Do ñoù, tieâu chuaån ñoái vôùi ñaët taûi laø

neáu f = 0 vaø 0dn ijfij >σ , thì 0d p

ij ≠ε (5.21)

Traùi laïi, neáu hai vectô dσij vaø fijn hôïp thaønh moät goùc tuø, quaù trình caát taûi seõ xaûy

ra. Do ñoù, tieâu chuaån ñoái vôùi caát taûi laø

neáu f = 0 vaø 0dn ijfij <σ , thì 0d p

ij =ε (5.22)

Trong tröôøng hôïp ñaët taûi trung hoøa, vectô taûi gia taêng dσij vuoâng goùc vôùi vectô phaùp tuyeán f

ijn , vaø bieán daïng deûo seõ khoâng xaûy ra theâm. Ñieàu kieän naøy ñöôïc xem laø “ñaët taûi trung hoøa”. Tieâu chuaån ñoái vôùi “ñaët taûi trung hoøa” laø

neáu f = 0 vaø 0dn ijfij =σ , thì 0d p

ij =ε (5.23)

Xem xeùt laïi tieâu chuaån ñaët taûi ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn−deûo lyù töôûng ñaõ ñöôïc baøn luaän trong chöông 4 [xem caùc phöông trình (4.2) vaø (4.5)]; trong tröôøng hôïp ñoù, maët chaûy ban ñaàu trôû thaønh maët giôùi haïn vôùi bieán daïng deûo xaûy ra chæ khi f = 0 vaø dσij tieáp tuyeán vôùi maët chaûy. Do ñoù, ñoái vôùi vaät lieäu chaûy deûo lyù töôûng, khoâng coù tröôøng hôïp ñaët taûi trung hoøa nhö ñöôïc thoûa maõn bôûi phöông trình (5.23).

5.3.2 Caùc quy luaät bieán cöùng

246

Khi maët chaûy ban ñaàu ñöôïc bieát, quy luaät bieán cöùng ñònh nghóa söï thay ñoåi cuûa noù trong suoát quaù trình chaûy deûo. Moät soá caùc quy luaät bieán cöùng ñaõ ñöôïc ñeà nghò. Caùc quy luaät ñaõ ñöôïc duøng roäng raõi nhaát laø bieán cöùng ñaúng höôùng, bieán cöùng ñoäng hoïc, vaø bieán cöùng toå hôïp caû hai, nghóa laø, bieán cöùng ñaúng höôùng–ñoäng hoïc. Trong chöông naøy, ta thaûo luaän khaù chi tieát ba quy luaät ñôn giaûn naøy.

Vì muïc ñích roõ raøng, daïng toång quaùt cuûa haøm ñaët taûi cuûa phöông trình (5.19) coù theå ñöôïc vieát nhö

( ) ( ) ( ) 0k,Fk,,f p2p

ijijpijij =ε−εσ=εσ (5.24)

trong ñoù thoâng soá bieán cöùng k2 ñaïi dieän cho kích thöôùc cuûa beà maët chaûy, trong khi haøm ( )p

ijij,F εσ xaùc ñònh hình daùng cuûa beà maët chaûy. ÔÛ ñaây, thoâng soá k2 ñöôïc

bieåu dieãn nhö laø haøm cuûa εp, ñöôïc goïi laø bieán daïng töông ñöông, noù laø haøm gia taêng tích phaân cuûa caùc gia soá bieán daïng deûo nhöng khoâng laø chính bieán daïng deûo (xem muïc 5.5). Giaù trò cuûa εp phuï thuoäc lòch söû ñaët taûi hoaëc loä trình bieán daïng deûo.

Do söï bieán cöùng cuûa vaät lieäu coù khuynh höôùng giôùi thieäu caùc tính baát ñaúng höôùng trong vaät lieäu ñaúng höôùng ban ñaàu, thaät khoâng ñuû ñeå moâ taû beà maët chaûy baát ñaúng höôùng trong khoâng gian cuûa caùc öùng suaát chính. Khoâng gian naøy ñaõ ñöôïc duøng ñoái vôùi vaät lieäu ñaúng höôùng. Do ñoù, trong phaàn naøy, beà maët chaûy seõ ñöôïc moâ taû trong khoâng gian öùng suaát chín chieàu cuûa σij. Tuy nhieân, caùc bieåu ñoà seõ ñöôïc veõ trong khoâng gian hai chieàu, nhöng caùc yù töôûng hình hoïc cô baûn ñöôïc môû roäng trong khoâng gian nhieàu chieàu hôn.

5.3.3 Bieán cöùng ñaúng höôùng

Ñoái vôùi vaät lieäu chaûy deûo lyù töôûng, phöông trình beà maët chaûy coá ñònh coù daïng F(σij) = k2, ôû ñaây k laø haèng soá. Quy luaät bieán cöùng ñôn giaûn nhaát ñöôïc döïa treân giaû thieát raèng maët chaûy ban ñaàu môû roäng ñeàu khoâng coù söï xoay vaø tònh tieán khi chaûy deûo xaûy ra, nhö ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng bieåu ñoà trong hình 5.3. Kích thöôùc cuûa maët chaûy baây giôø ñöôïc chi phoái bôûi giaù trò k2, noù phuï thuoäc vaøo lòch söû bieán daïng deûo. Phöông trình ñoái vôùi maët chaûy tieáp theo hoaëc maët ñaët taûi coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng toång quaùt

( ) ( )p2

ij kF ε=σ (5.25)

Thí duï, neáu haøm chaûy ban ñaàu von Mises, F = J2, ñöôïc söû duïng, phöông trình (5.25) trôû thaønh

( )p2

ijij2 kss21J ε== (5.26)

247

Khi öùng suaát töông ñöông 2e J3=σ ñöôïc ñöa vaøo phöông trình (5.26) nhö laø thoâng soá bieán cöùng, moâ hình bieán cöùng ñaúng höôùng von Mises seõ coù daïng

( ) ( ) 0ss23k,f p

2eijijij =εσ−=σ (5.27)

ÔÛ ñaây thoâng soá bieán cöùng σe (εp) ñöôïc lieân heä vôùi bieán daïng töông ñöông εp nhôø vaøo ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng ñôn truïc thí nghieäm. Bieán daïng töông ñöông εp seõ ñöôïc xaùc ñònh sau naøy nhö laø haøm voâ höôùng cuûa coâng ñöôïc thöïc hieän bôûi bieán daïng deûo hoaëc nhö laø bieán daïng deûo tích luõy (xem muïc 5.5).

5.3.3.1 Thí duï minh hoïa

Khaûo saùt moät phaân toá vaät lieäu chòu traïng thaùi öùng suaát phaúng ñaëc bieät nhö hình 5.4, haøm chaûy ban ñaàu von Mises ñöôïc cho bôûi

03f 20

22 =σ−τ+σ= (5.28)

hay 20

22 3F σ=τ+σ= (5.29)

trong ñoù σ0 laø öùng suaát chaûy ban ñaàu döôùi taùc ñoäng keùo ñôn truïc. Sau chaûy deûo ñaàu tieân, neáu vaät lieäu chòu loä trình ñaët taûi toång quaùt, theo quy luaät bieán cöùng ñaúng höôùng, nhöõng beà maët ñaët taûi tieáp theo ñöôïc bieåu dieãn toång quaùt nhö

2e

22 3 σ=τ+σ (5.30)

trong ñoù thoâng soá bieán cöùng 2eσ , ñaëc tröng cho kích thöôùc cuûa maët ñaët taûi, laø

giaù trò lôùn nhaát cuûa (σ2 + τ2) ñaït ñöôïc trong lòch söû öùng suaát. Do lòch söû löu laïi

σ1

σ2

O

B °

°

°

°°

Maët chaûy tieáp theo, F = k1

2 > k2Maët chaûy ban ñaàu, F = k2

A

C

D

Hình 5.3 Maët chaûy tieáp theo ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng ñaúng höôùng

248

cuûa vaät lieäu ñöôïc mieâu taû bôûi thoâng soá bieán cöùng, vaät lieäu ñöôïc ñaëc tröng bôûi phöông trình (5.30) coù theå ñöôïc xem nhö laø vaät lieäu bieán cöùng.

5.3.3.2 Hieäu öùng Bauschinger

Moâ hình bieán cöùng ñaúng höôùng ñôn giaûn trong söû duïng, nhöng noù aùp duïng chuû yeáu cho vieäc ñaët taûi ñôn ñieäu khoâng coù nhöõng ñaûo ngöôïc öùng suaát. Vì maët ñaët taûi giaõn nôû ñeàu ñaën (hoaëc ñaúng höôùng) vaø vaãn töï ñoàng daïng vôùi vieäc gia taêng bieán daïng deûo (H.5.3), noù khoâng theå keå ñeán hieäu öùng Bauschinger cuûa haàu heát caùc vaät lieäu.

Thuaät ngöõ hieäu öùng Bauschinger ñöôïc xem laø tröôøng hôïp cuï theå cuûa baát ñaúng höôùng ñöôïc gaây ra bôûi bieán daïng deûo; cuï theå laø, bieán daïng deûo ban ñaàu theo moät daáu seõ laøm giaûm söùc beàn cuûa vaät lieäu ñoái vôùi bieán daïng deûo theo daáu ngöôïc laïi keá tieáp. ÖÙng xöû ñöôïc döï ñoaùn bôûi quy luaät bieán cöùng ñaúng höôùng, treân thöïc teá, traùi ngöôïc vôùi söï khaûo saùt naøy. Quy luaät nguï yù raèng do bieán cöùng, vaät lieäu seõ bieåu loä söï gia taêng öùng suaát chaûy neùn baèng vôùi söï gia taêng öùng suaát chaûy keùo. Ñieàu naøy ñöôïc minh hoïa trong hình 5.3, ôû ñoù caùc giôùi haïn chaûy trong höôùng ñaët taûi ñaàu tieân (OAB) vaø höôùng ñaët taûi nghòch ñaûo (OCD) coù ñoä lôùn baèng nhau. Do bieán daïng deûo laø quaù trình baát ñaúng höôùng, khoâng theå mong chôø lyù thuyeát bieán cöùng ñaúng höôùng seõ daãn ñeán moät keát quaû thöïc teá khi nhöõng loä trình ñaët taûi phöùc taïp vôùi söï ñaûo ngöôïc öùng suaát ñöôïc khaûo saùt.

5.3.4 Bieán cöùng ñoäng hoïc

Quy luaät bieán cöùng ñoäng hoïc giaû söû raèng trong thôøi gian bieán daïng deûo, maët ñaët taûi tònh tieán nhö laø vaät theå cöùng trong khoâng gian öùng suaát, duy trì kích thöôùc, hình daùng, vaø höôùng cuûa maët chaûy ban ñaàu. Quy luaät bieán cöùng naøy, do Prager (1955, 1956), cung caáp moät phöông caùch ñôn giaûn ñeå keå ñeán hieäu öùng Bauschinger.

Hình 5.4 Thoâng soá bieán cöùng ñoái vôùi phaân toá chòu öùng suaát phaùp vaø tieáp

σ

τ

σe

Maët chaûy tieáp theo, 2 2 2 2

e 03σ + τ = σ > σ

Beà maët chaûy ban ñaàu 2 2 2

03σ + τ = σ

O σ0

Loä trình ñaët taûi baát kyø

σ τ

249

Quy luaät naøy ñöôïc minh hoïa baèng ñoà thò trong hình 5.5. Khi ñieåm öùng suaát di chuyeån doïc theo loä trình ñaët taûi cuûa noù töø ñieåm A ñeán ñieåm B, maët chaûy tònh tieán (khoâng quay) nhö moät vaät theå cöùng. Do ñoù, maët chaûy keá tieáp seõ di chuyeån leân vò trí ñöôïc chæ roõ trong hình 5.5 khi ñieåm öùng suaát ñaõ ñaït ñeán vò trí B. Vò trí môùi cuûa maët chaûy bieåu thò haøm chaûy hieän haønh, taâm cuûa noù ñöôïc chæ roõ bôûi αij. Chuù yù, neáu öùng suaát ñöôïc caát taûi töø ñieåm B doïc theo loä trình ñaët taûi ban ñaàu, nghóa laø, neáu baây giôø B theo veát cuûa loä trình BAO, vaät lieäu öùng xöû ñaøn hoài töø ñieåm B ñeán ñieåm C nhöng roài baét ñaàu chaûy deûo laïi tröôùc khi caùc öùng suaát ñöôïc laøm maát ñi hoaøn toaøn. Thöïc ra, beà maët chaûy keá tieáp coù theå hoaëc khoâng theå bao quanh ñieåm goác trong khoâng gian öùng suaát. Nhö laø keát quaû cuûa vieäc giaû söû moät chuyeån ñoäng tònh tieán vaät theå cöùng cuûa maët ñaët taûi, quy luaät bieán cöùng ñoäng hoïc döï ñoaùn moät hieäu öùng Bauschinger lyù töôûng ñoái vôùi vieäc nghòch ñaûo hoaøn toaøn cuûa caùc ñieàu kieän ñaët taûi.

Ñoái vôùi bieán cöùng ñoäng hoïc, phöông trình cuûa maët ñaët taûi coù daïng toång quaùt

( ) ( ) 0kF,f 2ijij

pijij =−α−σ=εσ (5.31)

ÔÛ ñaây k laø haèng soá vaø αij laø nhöõng toïa ñoä cuûa taâm maët ñaët taûi (hoaëc vectô OO1 trong hình 5.5), noù thay ñoåi vôùi bieán daïng deûo. Ñeå minh hoïa, chuùng ta haõy khaûo saùt thí duï ñôn giaûn sau ñaây.

Thí duï 5.2 Moät phaân toá vaät lieäu ñaõ ñöôïc chaûy deûo chòu öùng suaát phaùp σ vaø öùng suaát tieáp τ nhö ñöôïc bieåu thò trong hình 5.6. Haõy xaùc ñònh söï thay ñoåi toïa ñoä cuûa taâm maët ñaët taûi dαij do gia taûi dσij = (dσ, dτ) noù thoûa tieâu chuaån ñaët taûi. Giaû söû dαij song song vôùi phaùp vectô cuûa beà maët ñaët taûi ôû ñieåm chaûy A hieän haønh trong khoâng gian con öùng suaát (σ, τ). Giaû söû vaät lieäu thoûa tieâu chuaån von Mises.

250

Giaûi

Ñöôïc döïa treân tieâu chuaån von Mises, haøm chaûy ban ñaàu ñöôïc cho bôûi phöông trình (5.28). Do bieán cöùng ñoäng hoïc, haøm chaûy keá tieáp ñöôïc bieåu dieãn nhö

0)~(3)~(f 20

22 =σ−τ−τ+σ−σ= (5.32)

trong ñoù )~,~( τσ laø caùc toïa ñoä cuûa taâm maët ñaët taûi hieän thôøi vaø thoâng soá bieán cöùng 2

0σ duy trì haèng soá.

Baây giôø, moät löôïng gia taêng öùng suaát (dσ, dτ) ñöôïc ñaët choàng leân traïng thaùi öùng suaát A(σ, τ) naèm treân beà maët ñaët taûi f = 0 vaø thoûa ñieàu kieän ñaët taûi:

0df

df

>ττ∂

∂+σ

σ∂∂

Do ñoù, bieán daïng deûo xaûy ra, vaø theo quy luaät bieán cöùng ñoäng hoïc, maët ñaët taûi tònh tieán trong khoâng gian öùng suaát. Ñeå xaùc ñònh gia soá tònh tieán cuûa taâm, dαij, do caùc gia taêng öùng suaát (dσ, dτ), chuùng ta giaû söû raèng vectô dαij coù höôùng song song vôùi phaùp vectô n

r ôû ñieåm öùng suaát chaûy hieän thôøi A trong khoâng gian öùng

suaát (σ, τ). Do ñoù, dαij chæ coù hai thaønh phaàn khaùc khoâng, nghóa laø,

τσ=α ~d,~dd ij (5.33)

noù thoûa

)~(c2f

c~d σ−σ=σ∂

∂=σ

)~(c6f

c~d τ−τ=τ∂

∂=τ (5.34)

251

ôû ñaây c laø haèng soá. Do ñieåm öùng suaát A’ vaãn ôû treân maët chaûy môùi trong thôøi gian gia taûi, söï bieán thieân cuûa haøm f, df phaûi baèng zero:

0)~dd)(~(6)~dd)(~(2df =τ−ττ−τ+σ−σσ−σ= (5.35)

Giaûi caùc phöông trình (5.34) vaø (5.35) ñeå tìm σ~d vaø τ~d , ta thu ñöôïc gia soá tònh tieán cuûa taâm )~d,~d( τσ nhö

[ ] [ ]220 )~(6d)~(3d)~()~(~d τ−τ+σττ−τ+σσ−σσ−σ=σ

[ ] [ ]220 )~(6d)~(3d)~()~(~d τ−τ+σττ−τ+σσ−στ−τ=τ (5.36)

Pheùp tònh tieán )~d,~d( τσ ñöôïc bieåu thò bôûi ñöôøng ,,

OO 21 trong khi ñöôøng cong chaûy ñöôïc caäp nhaät ñöôïc bieåu thò bôûi ñöôøng chaám−gaïch trong hình 5.6. Ñoái vôùi loä trình ñaët taûi ñaõ cho, phöông trình (5.36) coù theå ñöôïc tích phaân vaø vò trí hieän haønh cuûa taâm coù theå ñöôïc xaùc ñònh.

5.3.4.1 Quy luaät bieán cöùng Prager

Nhö ñaõ ñöôïc thaáy vaán ñeà then choát cuûa maët chaûy keá tieáp theo quy luaät bieán cöùng ñoäng hoïc laø xaùc ñònh caùc toïa ñoä cuûa taâm, αij. Caùch ñôn giaûn nhaát ñeå xaùc ñònh thoâng soá bieán cöùng αij laø giaû söû moät söï phuï thuoäc tuyeán tính cuûa dαij vaøo

pijdε . Ñieàu naøy ñöôïc bieát nhö laø quy luaät bieán cöùng Prager, noù coù daïng ñôn

giaûn p

ijij cdd ε=α hoaëc pijij cε=α (5.37)

ôû ñaây c laø haèng soá bieán cöùng, ñaëc tröng cho vaät lieäu bieán daïng. Phöông trình (5.37) coù theå ñöôïc xem nhö ñònh nghóa cuûa bieán cöùng tuyeán tính.

Neáu chuùng ta söû duïng ñònh luaät chaûy keát hôïp, quy luaät bieán cöùng Prager töông ñöông vôùi giaû thieát raèng vectô dαij di chuyeån theo höôùng song song vôùi phaùp vectô n

r ôû traïng thaùi öùng suaát hieän haønh treân beà maët chaûy trong khoâng gian öùng

suaát.

Moät vaøi maâu thuaãn coù theå naûy sinh khi quy luaät bieán cöùng Prager ñöôïc duøng trong khoâng gian öùng suaát. Thí duï, neáu moät soá thaønh phaàn öùng suaát trieät tieâu trong phöông trình (5.31), nhö 0

,,ij =σ vaø 0

,ij =σ , phöông trình (5.31) coù theå

ñöôïc vieát

( ) 0k,,,,

F 2ijijij =−α−α−σ (5.38)

Do pijij cd

,,d ε=α khoâng nhaát thieát baèng khoâng, phöông trình (5.38) khoâng nhaát

thieát bieåu dieãn moät maët maø noù ñôn thuaàn tònh tieán trong khoâng gian öùng suaát; noù

252

cuõng coù theå bieán daïng, do nhöõng giaù trò thay ñoåi cuûa ,,ijα . Ñieàu naøy toát nhaát coù

theå ñöôïc thaáy töø thí duï 5.3 döôùi ñaây.

Neân chuù yù raèng trong thí duï 5.2, chuùng ta ñaõ giaû söû vectô dαij di chuyeån theo höôùng song song vôùi phaùp tuyeán cuûa maët chaûy ôû ñieåm öùng suaát A trong khoâng gian öùng suaát (σx, τxy), nghóa laø,

xy

xyx

xxf

cd,f

cdτ∂∂

=ασ∂∂

=α , nhöõng thaønh phaàn khaùc = 0 (5.39)

noù theo höôùng cuûa hình chieáu vectô ∂f/∂σij leân maët phaúng σx−τxy. Döïa treân giaû thieát naøy, haøm chaûy keá tieáp vaãn giöõ cuøng daïng nhö phöông trình (5.32) trong quaù trình bieán cöùng. Tuy nhieân, ñaây khoâng laø tröôøng hôïp neáu quy luaät Prager ñöôïc söû duïng ñeå xaùc ñònh nhöõng thoâng soá αij.

Thí duï 5.3 Duøng quy luaät Prager, haõy giaûi baøi toaùn töông töï thí duï 5.2.

Giaûi

Quy luaät Prager ñöôïc bieåu dieãn nhö

ij

pijij

fcdcd

σ∂∂

=ε=α (5.40)

trong ñoù ñònh luaät chaûy keát hôïp ñaõ ñöôïc duøng. Daïng toång quaùt cuûa maët chaûy tieáp theo cuûa vaät lieäu J2 ñöôïc cho bôûi

0)s)(s(2

3f 2

0ijijijij =σ−α−α−= (5.41)

Thay phöông trình (5.41) ñeán (5.40) daãn ñeán

)s(c3f

cd ijijij

ij α−=σ∂∂

=α (5.42)

Baây giôø phaân toá vaät lieäu chæ chòu taùc ñoäng cuûa öùng suaát phaùp σ vaø öùng suaát tieáp τ, nghóa laø,

σxx = σ, τxy = τ, nhöõng thaønh phaàn khaùc cuûa σij = 0

vaø τ=ασ=α ~,~3

2xyxx , nhöõng thaønh phaàn khaùc cuûa αij = 0 (5.43)

Do ñoù, phöông trình (5.41) coù daïng cuûa phöông trình (5.32):

0)~(3)~(f 20

2 =σ−τ−τ+σ−σ= (5.44)

vaø töø phöông trình (5.42), nhöõng thay ñoåi cuûa toïa ñoä taâm ijdα thu ñöôïc nhö

253

0dddd

)~(c3dd

)~(cdd

)~(c2d

zyyzzxxz

yxxy

zzyy

xx

=α=α=α=α

τ−τ=α=α

σ−σ−=α=α

σ−σ=α

(5.45)

Ñaõ ñöôïc thaáy raèng dαyy vaø dαzz khoâng nhaát thieát baèng khoâng. Bieåu thò giaù trò ñöôïc caäp nhaät cuûa thoâng soá bieán cöùng nhö

ijijij d~ α+α=α

Theá thì beà maët chaûy keá tieáp ñöôïc bieåu dieãn bôûi

( ) ( ) ( ) ( ) 0~~~3~f 20

2zz

2yy

2

xy2xx =σ−α−+α−+α−τ+α−σ= (5.46)

So saùnh phöông trình (5.46) vôùi phöông trình (5.44) chæ ra raèng quy luaät bieán cöùng Prager daãn ñeán moät beà maët chaûy keá tieáp khoâng chæ tònh tieán maø coøn thay ñoåi hình daùng cuûa cuûa noù trong quaù trình chaûy deûo ñöôïc taïo ra bôûi gia taêng taûi. Phöông trình (5.46) khoâng thaät söï dieãn taû moät quy luaät bieán cöùng ñoäng hoïc nhö ñaõ ñöôïc moâ taû tröôùc ñaây.

5.3.4.2 Quy luaät bieán cöùng Ziegler

Ñeå nhaän ñöôïc quy luaät bieán cöùng ñoäng hoïc ñuùng caû trong khoâng gian öùng suaát, Ziegler (1959) ñaõ hieäu chænh quy luaät bieán cöùng cuûa Prager vaø giaû söû raèng suaát (vaän toác) cuûa tònh tieán xaûy ra theo höôùng cuûa vectô öùng suaát bieán ñoåi

ijijij~ α−σ=σ trong daïng

)(dd ijijij α−σµ=α (5.47)

ôû ñaây dµ laø heä soá tæ leä döông noù phuï thuoäc vaøo lòch söû bieán daïng. Ñeå ñôn giaûn, heä soá naøy coù theå ñöôïc giaû söû coù daïng ñôn giaûn

dµ = adεp (5.48)

trong ñoù a laø haèng soá döông, ñaëc tröng cho vaät lieäu.

Thí duï 5.4 Duøng quy luaät bieán cöùng Ziegler, haõy giaûi baøi toaùn töông töï nhö trong thí duï 5.2.

Giaûi

Trong tröôøng hôïp naøy, quy luaät Ziegler cuûa phöông trình (5.47) ñöôïc bieåu dieãn nhö

)~(dd~d xx σ−σµ=α=σ

254

)~(ddd~d yxxy τ−τµ=α=α=τ (5.49)

nhöõng thaønh phaàn khaùc cuûa 0d ij =α

Theo caùc thuû tuïc töông töï nhö trong thí duï 5.2, vaø giaûi nhöõng phöông trình (5.49) vaø (5.35) ñoái vôùi σ~d vaø τ~d , ta thu ñöôïc

[ ]

[ ]ττ−τ+σσ−στ−τσ

=τ

ττ−τ+σσ−σσ−σσ

=σ

d)~(3d)~()~(1~d

d)~(3d)~()~(1~d

20

20 (5.50)

Söï gia taêng tònh tieán )~d,~d( τσ cuûa taâm ñöôïc bieåu thò bôûi ,

OO 21 trong hình 5.6, noù höôùng doïc theo vectô öùng suaát bieán ñoåi O1A )~,~( τ−τσ−σ , vaø beà maët chaûy caäp nhaät ñöôïc bieåu thò bôûi ñöôøng ñöùt trong hình.

5.3.5 Bieán cöùng hoãn hôïp

Söï keát hôïp bieán cöùng ñoäng hoïc vôùi bieán cöùng ñaúng höôùng seõ daãn ñeán quy luaät bieán cöùng hoãn hôïp toång quaùt hôn (Hodge, 1957):

( ) ( ) ( ) 0kFk,,F p2

ijijpijij =ε−α−σ=εσ (5.51)

Trong tröôøng hôïp naøy, maët ñaët taûi traûi qua chuyeån ñoäng tònh tieán ñöôïc ñònh nghóa bôûi αij vaø söï giaõn nôû ñeàu ñöôïc ño bôûi k2; nhöng noù vaãn duy trì hình daùng goác ban ñaàu cuûa noù. Vôùi quy luaät bieán cöùng hoãn hôïp, nhöõng möùc ñoä khaùc nhau cuûa hieäu öùng Bauschinger coù theå ñöôïc moâ phoûng, baèng caùch ñieàu chænh hai thoâng soá bieán cöùng, αij vaø k2.

Ñeå minh hoïa ñieàu naøy, haõy khaûo saùt vaät lieäu J2 tuaân theo quy luaät bieán cöùng hoãn hôïp. Daïng toång quaùt cuûa beà maët ñaët taûi keá tieáp laø

255

( )( ) ( ) 0kss2

1f p

2ijijijij =ε−α−α−= (5.52)

Neáu quy luaät bieán cöùng Prager ñöôïc aùp duïng, phöông trình (5.52) coù theå ñöôïc vieát nhö

( )( ) ( ) 0kcscs2

1f p

2pijij

pijij =ε−ε−ε−= (5.53)

ôû ñaây c laø haèng soá. Trong khoâng gian öùng suaát, maët di chuyeån xung quanh nhöng khoâng giaõn nôû ra ngoaøi, nhö trong hình 5.3, hoaëc tònh tieán nhö trong hình 5.5. Caùc maët chaûy tieáp theo khoâng hình thaønh hoï moät thoâng soá maø caét vôùi nhöõng caùi tröôùc, nhö ñöôïc bieåu thò maët caét bôûi ñöôøng cong ñöùt trong hình 5.7. Chính nhöõng maët naøy trong khoâng gian öùng suaát seõ xaùc ñònh bieán daïng deûo coù xaûy ra theâm nöõa hay khoâng khi ñaët taûi keá tieáp.

5.4 QUY LUAÄT CHAÛY DEÛO VAØ ÑÒNH ÑEÀ OÅN ÑÒNH CUÛA DRUCKER

5.4.1 Caùc quy luaät chaûy

Trong chöøng möïc giôùi haïn, beà maët ñaët taûi ñaõ ñöôïc khaûo saùt rieâng reõ, vaø hình daùng cuûa nhöõng beà maët ñaët taûi keá tieáp trong chöông trình ñaët taûi ñaõ cho coù theå ñöôïc xaùc ñònh baèng söï choïn löïa quy luaät bieán cöùng cuï theå. Söï lieân quan caàn thieát giöõa haøm ñaët taûi f vaø quan heä öùng suaát−bieán daïng ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng seõ ñöôïc thieát laäp trong muïc naøy baèng phöông thöùc cuûa quy luaät chaûy.

Khi beà maët chaûy hieän haønh f ñöôïc ñaït tôùi, vaät lieäu ôû trong traïng thaùi chaûy deûo vôùi vieäc ñaët taûi theâm nöõa. Baèng vieäc giôùi thieäu khaùi nieäm haøm theá naêng deûo

( )k,,g pijij εσ töông töï vôùi nhöõng baøi toaùn doøng löu chaát lyù töôûng, ta ñònh nghóa

quy luaät chaûy

ij

pij

gdd

σ∂∂

λ=ε (5.54)

ôû ñaây dλ > 0 laø moät haøm voâ höôùng, noù seõ thay ñoåi trong suoát lòch söû quaù trình bieán daïng. Ñoä doác (gradient) cuûa maët theá naêng deûo ∂g/∂σij xaùc ñònh höôùng cuûa vectô gia soá bieán daïng deûo p

ijdε , trong khi chieàu daøi hay ñoä lôùn cuûa vectô

ñöôïc xaùc ñònh bôûi thoâng soá ñaët taûi dλ. ÔÛ ñaây, nhö trong chöông 4 ñoái vôùi vaät lieäu chaûy deûo lyù töôûng, quy luaät chaûy ñöôïc ñaët teân laø quy luaät chaûy keát hôïp neáu maët theá naêng chaûy deûo coù cuøng daïng nhö maët chaûy hay ñaët taûi hieän thôøi

( ) ( )k,,fk,,g pijij

pijij εσ=εσ

vaø phöông trình (5.54) coù daïng

ij

pij

fdd

σ∂∂

λ=ε (5.55)

256

nghóa laø, chaûy deûo phaùt trieån doïc theo phaùp tuyeán cuûa maët ñaët taûi. Quan heä (5.55) ñöôïc goïi laø quy luaät chaûy keát hôïp bôûi vì chaûy deûo ñöôïc keát hôïp vôùi maët ñaët taûi hieän haønh. Toång quaùt, do coù raát ít chöùng cöù thí nghieäm veà nhöõng haøm theá naêng chaûy deûo ñoái vôùi caùc vaät lieäu kyõ thuaät, quy luaät chaûy keát hôïp ñöôïc aùp duïng chuû yeáu cho nhöõng vaät lieäu naøy vì caùc lyù do thöïc teá. Ngoaøi tính ñôn giaûn cuûa noù, ñieàu kieän phaùp tuyeán cuûa phöông trình (5.55) ñaûm baûo lôøi giaûi duy nhaát ñoái vôùi baøi toaùn trò bieân ñaõ cho baèng caùch duøng nhöõng quan heä öùng suaát−bieán daïng baát kyø ñöôïc thieát laäp treân cô sôû naøy. Coù leõ söï tieán trieån cô baûn nhaát ñoái vôùi chuû ñeà cuûa muïc naøy laø ñònh ñeà oån ñònh cô sôû hay ñònh ñeà oån ñònh cuûa Drucker (1951) cho vieäc xaùc ñònh söï oån ñònh, nhöõng vaät lieäu bieán cöùng daãn ñeán, trong soá nhöõng heä quaû khaùc, ñieàu kieän phaùp tuyeán. Hình daùng cuûa nhöõng maët ñaët taûi vaø daïng cuûa caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng ñöôïc lieân keát taát caû vôùi nhau cho vieäc xaùc ñònh cô baûn hoaëc ñònh ñeà cuûa vaät lieäu bieán cöùng, nhö ñöôïc baøn luaän döôùi ñaây.

5.4.2 Ñònh ñeà oån ñònh cuûa Drucker

Ñònh ñeà oån ñònh cuûa Drucker ñaõ ñöôïc thaûo luaän tröôùc ñaây trong chöông 3 nhaèm xaùc ñònh vaät lieäu oån ñònh toång quaùt, noù ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng moät taùc duïng beân ngoaøi theâm vaøo taûi ñang taùc ñoäng treân vaät theå (H.3.13). Vaät lieäu bieán cöùng deûo laø tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa nhöõng vaät lieäu khoâng ñaøn hoài oån ñònh toång quaùt. Noù cuõng thoûa ñònh ñeà oån ñònh nhö ñöôïc cho bôûi caùc phöông trình (3.160) vaø (3.161) trong chöông 3. Trong phaàn döôùi ñaây, ta thaáy raèng söï ñònh nghóa vaät lieäu bieán cöùng nhö ñöôïc trình baøy roõ raøng bôûi Drucker thì haïn cheá hôn ñònh luaät nhieät ñoäng löïc hoïc yeâu caàu.

Neáu moät taùc nhaân beân ngoaøi taùc ñoäng chaäm theâm nhöõng löïc leân vaät theå bieán cöùng ñaõ ñöôïc ñaët taûi roài vaø sau ñoù caát boû caùc taûi taùc ñoäng theâm, thì

1. Coâng döông ñöôïc thöïc hieän bôûi taùc ñoäng beân ngoaøi trong quaù trình taùc ñoäng cuûa caùc taûi theâm vaøo.

2. Coâng toång coäng (thöïc) ñöôïc bieåu dieãn bôûi taùc ñoäng beân ngoaøi treân moät chu kyø ñaët vaø caát taûi theâm laø döông neáu bieán daïng deûo ñaõ xaûy ra trong chu kyø.

Coâng ñöôïc thöïc hieän bôûi taäp hôïp nhöõng löïc taùc ñoäng theâm ii F,T && treân nhöõng thay ñoåi cuûa chuyeån vò iu& (H.3.13) ñöôïc bieåu dieãn nhö

∫ ∫+=A V

iiii dVuFdAuTdW &&&&

Do ñoù, hai yeâu caàu oån ñònh ñöôïc phaùt bieåu nhö

257

0dVuFdAuT

A V

iiii >+∫ ∫ &&&& (5.56)

vaø ∫ ∫ >+A V

iiii 0dVuFdAuT &&&& (5.57)

trong ñoù ∫ bieåu thò tích phaân treân moät chu kyø ñaët vaø caát boû cuûa taäp hôïp caùc löïc

boå sung, vaø bieán daïng deûo ñöôïc giaû söû xaûy ra trong chu kyø naøy.

Baèng caùch aùp duïng nguyeân lyù coâng aûo, ñònh ñeà oån ñònh coù theå ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng caùc öùng suaát vaø caùc bieán daïng nhö sau.

0ijij >εσ && hoaëc 0dd pijij >εσ oån ñònh khoaûng nhoû (5.58)

∫ >εσ 0ijij&& hoaëc ∫ >εσ 0dd pijij oån ñònh trong chu kyø nhoû 5.59)

Caùc baát ñaúng thöùc naøy ñöôïc minh hoïa baèng hình hoïc trong hình 5.8. Chuùng ta ñaõ giaû söû raèng bieán daïng deûo p

ijdε ≠ 0 trong phöông trình (5.59). Toång quaùt, ta coù

theå vieát

∫ ≥εσ 0ijij&& hoaëc ∫ ≥εσ 0dd p

ijij (5.60)

Daáu baèng xaûy ra neáu khoâng coù chaûy deûo trong chu kyø.

258

Haõy khaûo saùt phaân toá vaät lieäu chòu moät traïng thaùi öùng suaát ñoàng nhaát *ijσ noù

hoaëc ôû treân hoaëc ôû trong beà maët chaûy (H.5.9). Giaû söû moät taùc nhaân beân ngoaøi taùc ñoäng theâm caùc öùng suaát doïc theo loä trình ABC vôùi AB naèm beân trong beà maët chaûy vaø ñieåm B naèm ngay treân beà maët chaûy. Caùc öùng suaát tieáp tuïc di chuyeån ra phía ngoaøi vaø laøm cho beà maët chaûy nôû ra theo phöông phaùp tuyeán cho ñeán khi ñaït ñeán ñieåm C. Sau ñoù taùc nhaân beân ngoaøi bò caát boû vaø trôû laïi thaùi öùng suaát ban ñaàu *

ijσ doïc theo loä trình ñaøn hoài CDA. Trong khi caùc bieán daïng ñaøn

hoài ñöôïc hoài phuïc hoaøn toaøn vaø ñoäc laäp vôùi loä trình töø *ijσ ñeán ijσ vaø trôû laïi *

ijσ ,

taát caû naêng löôïng ñaøn hoài ñöôïc hoài phuïc. Coâng chaûy deûo ñöôïc thöïc hieän bôûi taùc nhaân beân ngoaøi treân chu kyø ñaët vaø caát boû taûi laø tích voâ höôùng cuûa vectô öùng suaát

ijσ − *ijσ vaø vectô gia soá bieán daïng deûo p

ijdε . Yeâu caàu oån ñònh cuûa phöông trình

(5.60) naøy daãn ñeán ( ) 0d pij

*ijij ≥εσ−σ (5.61)

Neáu nhöõng toïa ñoä bieán daïng deûo ñöôïc ñaët choàng leân caùc toïa ñoä öùng suaát, nhö trong hình 5.9, phöông trình (5.61) coù theå ñöôïc hieåu veà maët hình hoïc nhö laø tích voâ höôùng cuûa vectô gia soá öùng suaát ( ijσ − *

ijσ ) vôùi vectô gia soá bieán daïng deûo pijdε . Tích voâ höôùng döông yeâu caàu goùc giöõa hai vectô naøy phaûi nhoïn. Do ñoù,

ñònh ñeà oån ñònh daãn ñeán nhöõng heä quaû sau ñoái vôùi nhöõng vaät lieäu bieán cöùng (Drucker, 1960):

Tính loài: maët chaûy ban ñaàu vaø taát caû caùc maët chaûy tieáp sau phaûi loài.

Tính phaùp tuyeán: vectô gia soá bieán daïng deûo pijdε phaûi vuoâng goùc maët chaûy hay

maët ñaët taûi ( ) 0k,,f pijij =εσ taïi ñieåm trôn:

ij

pij

fdd

σ∂∂

λ=ε (5.62)

vaø naèm giöõa hai phaùp tuyeán keà nhau taïi goùc.

Nhöõng ñieàu kieän loài vaø phaùp tuyeán ñoái vôùi nhöõng vaät lieäu ñaøn−deûo lyù töôûng ñaõ ñöôïc thaûo luaän trong chöông 4. Caùch thöùc laäp luaän cuõng ñöôïc tìm thaáy ôû ñaây ñoái vôùi nhöõng vaät lieäu bieán cöùng.

Tính tuyeán tính: gia soá bieán daïng deûo phaûi tuyeán tính vôùi gia soá öùng suaát. Phöông trình (5.62) chæ ra raèng tyû soá cuûa nhöõng thaønh phaàn gia soá bieán daïng deûo, p

ijdε , thì ñoäc laäp vôùi caùc tyû soá cuûa nhöõng thaønh phaàn gia soá öùng suaát, ijdσ ,

taïi ñieåm trôn baát kyø treân maët chaûy. Tuy nhieân, ñoä lôùn cuûa pijdε , ñöôïc ñaëc tröng

259

bôûi voâ höôùng dλ, chæ phuï thuoäc vaøo hình chieáu cuûa gia soá öùng suaát, ijdσ , vaøo höôùng cuûa phaùp tuyeán ∂f/∂ ijσ . Nghóa laø,

mnmn

df

GfGd σσ∂∂

=∂=λ (5.63)

vaø mnmnijij

pij d

ffG

ffGd σ

σ∂∂

σ∂∂

=σ∂∂

∂=ε (5.64)

ôû ñaây G laø haøm voâ höôùng noù coù theå phuï thuoäc vaøo öùng suaát, bieán daïng, vaø lòch söû quaù trình ñaët taûi. Nhöng G ñoäc laäp vôùi ijdσ . Chuù yù raèng trong phöông trình (5.63), gia soá ∂f ñöôïc ñaùnh giaù chæ ñoái vôùi caùc gia soá cuûa caùc thaønh phaàn öùng suaát, nghóa laø, vôùi nhöõng bieán khaùc ñöôïc giöõ khoâng thay ñoåi [xem phöông trình (5.19)].

Tính lieân tuïc: ñieàu kieän tính lieân tuïc ñoøi hoûi raèng khi ijdσ tieáp tuyeán vôùi maët chaûy (ñaët taûi trung hoøa), gia soá bieán daïng deûo khoâng ñöôïc gaây ra. Ñieàu kieän naøy ñöôïc thoûa bôûi nhöõng phöông trình (5.63) vaø (5.64) do khi ijdσ tieáp tuyeán vôùi

maët chaûy, ta coù ∂f = (∂f/∂σmn)dσmn = 0.

Tính ñôn nhaát: tính ñôn trò cuûa baøi toaùn trò bieân ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng coù theå ñöôïc chöùng minh moät caùch tröïc tieáp töø ñònh ñeà oån ñònh (Drucker, 1956). Giaû söû vaät theå ñang chòu taùc ñoäng cuûa löïc keùo beà maët Ti, caùc löïc theå tích Fi, caùc chuyeån vò ui, caùc öùng suaát σij, vaø caùc bieán daïng εij (H.3.7a). Neáu caùc thay ñoåi nhoû cuûa caùc löïc taùc ñoäng vaø cuûa caùc chuyeån vò, dTi treân AT, dFi trong V, dui treân Au, baây giôø ñöôïc ñaët choàng leân vaät theå, tính ñôn nhaát ñoøi hoûi raèng nhöõng thay ñoåi cuûa öùng suaát vaø bieán daïng, ijdσ vaø ijdε , ñöôïc xaùc ñònh moät caùch duy nhaát bôûi nhöõng thay ñoåi cuûa nhöõng löïc vaø chuyeån vò taùc ñoäng.

Ñieàu naøy coù theå ñöôïc chöùng minh theo caùch thöùc thoâng thöôøng. Hai lôøi giaûi ñöôïc giaû söû: a

ijaij d,d εσ vaø b

ijbij d,d εσ , töông öùng vôùi cuøng nhöõng gia soá taûi vaø

chuyeån vò taùc ñoäng dTi treân AT, dui treân Au, vaø dFi trong V. Baèng caùch duøng phöông trình coâng aûo, ta coù [phöông trình (3.171)]

( )( ) 0dVdddd

V

bij

aij

bij

aij =ε−εσ−σ∫ (5.65)

260

Hình 5.10 Chöùng minh tính ñôn trò a) Caû a vaø b laø ñaøn hoài b) b laø ñaøn hoài, a laø ñaøn−deûo c) Caû a vaø b laø ñaøn−deûo

Neáu tích phaân trong phöông trình (5.65) coù theå ñöôïc chöùng toû laø xaùc ñònh döông, tính ñôn trò seõ ñöôïc chöùng minh. Nhö böôùc ñaàu tieân, caùc suaát bieán daïng ñöôïc phaân tích thaønh phaàn ñaøn hoài vaø deûo, p

ijeijij ddd ε+ε=ε , vaø haøm trong daáu tích

phaân ñöôïc vieát

( )( ) ( )( )pbij

paij

bij

aij

ebij

eaij

bij

aij dddddddd ε−εσ−σ+ε−εσ−σ (5.66)

Soá haïng ñaàu tieân luoân xaùc ñònh döông ñoái vôùi caû ñaøn hoài tuyeán tính vaø phi tuyeán (xem muïc 3.6, chöông 3). Do ñoù, neáu soá haïng thöù hai cuõng coù theå ñöôïc chöùng toû laø döông hoaëc baèng khoâng, thì tính xaùc ñònh döông cuûa tích phaân seõ ñöôïc chöùng minh.

Ñeå xaùc ñònh soá haïng thöù hai cuûa phöông trình (5.66), haõy khaûo saùt ba khaû naêng. Neáu caû a vaø b laø nhöõng thay ñoåi ñaøn hoài (H.5.10a), caû hai pa

ijdε vaø pbijdε trieät

tieâu, do ñoù soá haïng thöù hai baèng khoâng. Neáu b laø ñaøn hoài, nghóa laø, pbijdε = 0, vaø

a laø ñaøn−deûo (hình 5.10b), thì soá haïng thöù hai laø döông bôûi vì caû hai paij

aijdd εσ vaø

− paij

bijdd εσ ñeàu döông. Khi caû a vaø b ñeàu laø nhöõng thay ñoåi ñaøn−deûo (H.5.10c),

ñaàu tieân chuùng ta chuù yù raèng töø phöông trình (5.64), quan heä öùng suaát−bieán daïng deûo gia soá laø tuyeán tính vaø do ñoù coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng toång quaùt:

ll kijk

pij dHd σ=ε (5.67)

trong ñoù caùc heä soá lijkH laø nhöõnh haøm cuûa öùng suaát vaø cuõng coù theå phuï thuoäc

vaøo bieán daïng vaø lòch söû ñaët taûi, nhöng khoâng phuï thuoäc vaøo gia soá öùng suaát, dσij. Baây giôø caû hai a

ijpaij dd σε vaø b

ijpbij dd σε thoûa phöông trình (5.67). Hieäu öùng

suaát bij

aijdd σσ coù theå ñöôïc xem nhö laø ñöôïc taùc ñoäng bôûi taùc nhaân beân ngoaøi noù

taïo ra hieäu bieán daïng deûo töông öùng paijdε − pb

ijdε . Ñònh ñeà oån ñònh cuûa phöông

trình (5.59) cho

261

( )( ) 0dddd pbij

paij

bij

aij >ε−εσ−σ (5.68)

Do ñoù, phöông trình (5.66) xaùc ñònh döông, töùc laø,

( )( ) 0dddd bij

aij

bij

aij >ε−εσ−σ (5.69)

vaø do ñoù, ñieàu kieän ñôn trò ñöôïc thieát laäp.

5.4.3 Quy luaät chaûy khoâng keát hôïp

Nhö ñaõ thaáy, quy luaät chaûy keát hôïp (tính phaùp tuyeán) vaø tính loài, tính lieân tuïc, vaø nhöõng ñieàu kieän ñôn trò laø taát caû nhöõng heä quaû cuûa ñònh ñeà oån ñònh cuûa Drucker. Ñaây laø söï hôïp nhaát cô baûn cuûa lyù thuyeát deûo.

Tuy nhieân, caàn chuù yù raèng ñònh ñeà oån ñònh laø tieâu chuaån ñuû maø khoâng laø tieâu chuaån caàn. Noùi caùch khaùc, ñònh ñeà naøy khoâng theå laø yeâu caàu caàn thieát trong söï phaùt bieåu toång quaùt veà quy luaät chaûy baát kyø cho vaät lieäu ñaøn−deûo (Mroz, 1963). Nhö ñaõ ñöôïc thaáy ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn−deûo bieán cöùng, tính ñôn nhaát cho pheùp quy luaät chaûy khoâng keát hôïp toàn taïi maø khoâng caàn phaûi thoûa ñònh ñeà oån ñònh cuûa Drucker. Hôn nöõa, do khi tính ñôn nhaát cuûa ñöôøng cong öùng suaát vaø bieán daïng ñoái vôùi lòch söû ñaët taûi ñaõ cho toàn taïi, vaät lieäu coù theå ñöôïc xem nhö laø oån ñònh cuïc boä, do ñoù ñieàu kieän cuûa tính ñôn nhaát khaù hôn ñònh ñeà oån ñònh coù theå ñöôïc xem nhö laø tieâu chuaån cô baûn trong vieäc thieát laäp caùc moái quan heä öùng suaát−bieán daïng ñaøn−deûo. Döïa treân tính ñôn nhaát, caùc ñieàu kieän chaéc chaén ñöôïc ñaët choàng leân haøm theá naêng deûo ñaõ ñöôïc nhaän bôûi Mroz (1963).

Quy luaät chaûy khoâng keát hôïp coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö

mnmnijijij

pij d

fgG

gfG

gdd σ

σ∂∂

σ∂∂

=σ∂∂

∂=σ∂∂

λ=ε (5.70)

trong ñoù phöông trình (5.63) ñaõ ñöôïc söû duïng, vaø gia soá bieán daïng deûo tuyeán tính vôùi gia soá öùng suaát. Ñieàu kieän cuûa tính lieân tuïc cuõng ñöôïc thoûa.

Ñoái vôùi moät soá vaät lieäu ñòa kyõ thuaät, nhö ñaù, ñaát, vaø beâ toâng, quy luaät chaûy keát hôïp coù xu höôùng ñaùnh giaù quaù cao söï giaõn nôû theå tích deûo. Do ñoù, quy luaät chaûy khoâng keát hôïp ñöôïc thöøa nhaän trong vieäc thieát laäp nhöõng quan heä cô baûn.

Khi haøm theá naêng chaûy deûo g (hoaëc f ñoái vôùi quy luaät chaûy keát hôïp) coù daïng ñaúng höôùng toång quaùt nhaát g(I1, J2, J3), phöông trình (5.70) [hoaëc phöông trình (5.64) duøng f nhö laø haøm theá naêng thay cho g] daãn ñeán

262

fJ

J

gJ

J

gI

I

gGd

ij

3

3ij

2

2ij

1

1

pij ∂

σ∂∂

∂∂

+σ∂

∂∂∂

+σ∂

∂∂∂

=ε (5.71)

phöông trình treân coù theå ñöôïc vieát trong daïng toång quaùt nhö

( ) ( ) ( )[ ] ftJ,J,IRsJ,J,IQJ,J,IPd ij321ij321ij321pij ∂++δ=ε (5.72)

ôû ñaây tij, ñöôïc ñònh nghóa trong phöông trình (5.17), laø ñoä leäch cuûa bình phöông öùng suaát leäch sij. Söï ñoàng daïng roõ raøng coù theå ñöôïc thaáy giöõa lyù thuyeát bieán daïng [phöông trình (5.18)] vaø lyù thuyeát gia soá [phöông trình (5.72)], nhöng söï khaùc nhau laø voâ cuøng quan troïng. Baây giôø, khi ∂f = 0, nghóa laø khi söï thay ñoåi öùng suaát ôû treân beà maët ñaët taûi hieän haønh hoaëc ñaët taûi trung hoøa, khoâng coù söï thay ñoåi cuûa baát kyø thaønh phaàn bieán daïng deûo naøo (ñieàu kieän lieân tuïc).

Trong nghóa thaät, moät lyù thuyeát nhö theá laø ñaúng höôùng bôûi vì caùc öùng suaát chính coù theå coù söï ñònh höôùng tuøy yù ñoái vôùi caùc truïc ñöôïc coá ñònh trong vaät lieäu. Tuy nhieân, noù laø baát ñaúng höôùng trong tröôøng hôïp caùc phöông chính cuûa caùc gia soá bieán daïng deûo seõ khoâng truøng vôùi caùc phöông chính cuûa caùc gia soá öùng suaát. Söï baát ñaúng höôùng ñöôïc giôùi thieäu bôûi traïng thaùi öùng suaát, nhöng noù khoâng laø baûn chaát. Söï di chuyeån öùng suaát laøm cho vaät lieäu ñaúng höôùng trong nghóa thoâng thöôøng. Töông töï, chuyeån ñoäng quay cuûa traïng thaùi öùng suaát ñoái vôùi vaät lieäu laøm quay tính baát ñaúng höôùng. Ñieàu naøy coù theå ñöôïc thaáy roõ neáu nhöõng thaønh phaàn cuûa quan heä öùng suaát−bieán daïng (5.72) ñöôïc vieát ra; vôùi caùc gia soá öùng suaát xuaát hieän moät caùch roõ raøng, chuùng troâng gioáng nhö daïng ñònh luaät Hooke toång quaùt hoùa gia soá baát ñaúng höôùng

zx6yz5xy4z3y2x1x dGdGdGdGdGdGd τ+τ+τ+σ+σ+σ=ε (5.73)

ôû ñaây caùc thoâng soá Gi laø nhöõng haøm cuûa traïng thaùi öùng suaát vaø bao goàm caû öùng xöû ñaøn hoài vaø deûo. Moät gia soá öùng suaát tieáp coù theå taïo ra söï giaõn daøi hay co ngaén, vaø töông töï, moä gia soá öùng suaát phaùp coù theå gaây ra bieán daïng tröôït. Tuy nhieân, nhö ñaõ phaùt bieåu tröôùc ñoù, söï baát ñaúng höôùng ñöôïc gaây ra bôûi traïng thaùi öùng suaát ñang toàn taïi vaø khoâng laø baûn chaát.

5.5 ÖÙNG SUAÁT TÖÔNG ÑÖÔNG VAØ BIEÁN DAÏNG TÖÔNG ÑÖÔNG

Ñeå lyù thuyeát chaûy deûo bieán cöùng coù ích thöïc teá, ta phaûi lieân heä caùc thoâng soá bieán cöùng trong haøm ñaët taûi vôùi ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng ñôn truïc. Ñeå keát thuùc ñieàu naøy, ta ñang tìm kieám moät bieán öùng suaát, ñöôïc goïi laø öùng suaát töông ñöông, nghóa laø haøm vaø moät bieán bieán daïng, ñöôïc goïi laø bieán daïng töông ñöông, nghóa laø haøm cuûa caùc bieán daïng deûo, ñeå cho chuùng coù theå ñöôïc veõ vôùi nhau vaø ñöôïc duøng ñeå töông quan caùc keát quaû thí nghieäm thu ñöôïc bôûi caùc

263

chöông trình ñaët taûi khaùc nhau. Ñöôøng cong öùng suaát töông ñöông−bieán daïng töông ñöông toát nhaát neân ñöôïc ruùt goïn veà ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng ñoái vôùi thí nghieäm öùng suaát ñôn truïc.

5.5.1 ÖÙng suaát töông ñöông

Do haøm ñaët taûi, ñöôïc ñònh nghóa bôûi ( ) 0k,,f pijij =εσ , xaùc ñònh chaûy deûo theâm

coù xaûy ra hay khoâng vaø cuõng laø haøm gia taêng tuyeät ñoái, noù coù theå ñöôïc duøng nhö laø bieán öùng suaát coù yù nghóa thöïc söï ñeå ñònh nghóa öùng suaát töông ñöông.

Haõy khaûo saùt tröôøng hôïp cuûa bieán cöùng ñaúng höôùng trong ñoù haøm ñaët taûi coù daïng cuûa phöông trình (5.25) hay

0)(k)(F)k,(f p2

ijij =ε−σ=σ

Haøm F(σij) ñöôïc duøng ñeå ñònh nghóa öùng suaát töông ñöông. Do öùng suaát töông ñöông neân ñöôïc quy veà öùng suaát chính σ1 trong thí nghieäm keùo ñôn truïc, noù chæ ra raèng haøm ñaët taûi F(σij) phaûi baèng haèng soá C nhaân vôùi luõy thöøa baäc n cuûa öùng suaát töông ñöông σe

neij C)(F σ=σ (5.74)

Thí duï, neáu ta giaû ñònh vaät lieäu von Mises, F(σij) = J2, thì

ne2 CJ σ= (5.75)

hay [ ] ne

213

232

2212 C)()()(

6

1J σ=σ−σ+σ−σ+σ−σ= (5.76)

vaø ñoái vôùi thí nghieäm keùo ñôn truïc, σe = σ1 vaø σ2 = σ3 = 0. Do ñoù

n = 2, C = 1/3, 2e J3=σ (5.77)

Töông töï, ñoái vôùi vaät lieäu Drucker−Prager, 21ij JI)(F +α=σ

ne21 CJI σ=+α (5.78)

vaø ñoái vôùi thí nghieäm keùo ñôn truïc, ta coù

neee C

3

1σ=σ+ασ

Do ñoù, n = 1, 3

1C +α= ,

α+

+α=σ

31

J3I3 21e (5.79)

264

Ñoái vôùi caùc tröôøng hôïp cuûa bieán cöùng ñoäng hoïc hay bieán cöùng hoãn hôïp, haøm ñaët taûi ñöôïc vieát trong daïng toång quaùt nhö phöông trình (5.51)

( ) ( ) ( ) 0kFk,,f p2

ijijpijij =ε−α−σ=εσ (5.80)

Ta kyù hieäu ijijij α−σ=σ (5.81)

nhö tenxô öùng suaát ruùt goïn, ñöôïc ño töø goác ôû taâm cuûa maët chaûy ñöôïc tònh tieán. Theá thì, öùng suaát töông ñöông ruùt goïn eσ ñöôïc ñònh nghóa bôûi quan heä töông töï vôùi phöông trình (5.74) nhö sau

( ) neij CF σ=σ (5.82)

Caùc phöông trình (5.77) vaø (5.79) vaãn coøn giaù trình ñoái vôùi nhöõng ñònh nghóa öùng suaát töông ñöông ruùt goïn cuûa caùc vaät lieäu von Mises vaø Drucker−Prager. Chuù yù raèng öùng suaát töông ñöông ruùt goïn ñöôïc lieân keát vôùi söï giaõn nôû beà maët ñaët taûi.

5.5.2 Bieán daïng töông ñöông

Ñònh nghóa bieán daïng töông ñöông, εp, khoâng hoaøn toaøn ñôn giaûn. Noùi chung coù hai phöông phaùp ñöôïc duøng. Moät phöông phaùp ñònh nghóa gia soá bieán daïng deûo töông ñöông baèng tröïc giaùc nhö laø söï toå hôïp ñôn giaûn cuûa caùc gia soá bieán daïng deûo noù luoân döông vaø gia taêng. Söï toå hôïp ñôn giaûn nhaát cuûa loaïi naøy vôùi “kích thöôùc” chính xaùc laø

pij

pijp ddCd εε=ε (5.83)

Thí duï, neáu ta giaû söû moät loaïi vaät lieäu ñoäc laäp aùp löïc noù thoûa ñieàu kieän khoâng neùn deûo

0ddd p3

p2

p1 =ε+ε+ε (5.84)

theá roài ñeå laøm cho ñònh nghóa (5.83) phuø hôïp vôùi thí nghieäm keùo ñôn truïc, ta phaûi coù

( ) ( ) p1

2p1

2p1

2p1

p2

p1 d

2

3Cd

2

1d

2

1dCdd ε=

ε+ε+ε=ε=ε (5.85)

noù daãn ñeán

3

2C = , p

ijpijp dd

3

2d εε=ε (5.86)

Phöông phaùp thöù hai ñònh nghóa gia soá bieán daïng deûo töông ñöông döôùi daïng coâng chaûy deûo treân ñôn vò theå tích

dWp = σedεp (5.87)

Theo ñònh nghóa, gia soá coâng deûo laø

265

ij

ijij

ijpijijp

Fd

fdddW

σ∂∂λσ=

σ∂∂λσ=εσ= (5.88)

trong ñoù gia soá bieán daïng deûo pijdε ñaõ ñöôïc lieân heä vôùi caùc öùng suaát theo quy luaät chaûy

cuûa phöông trình (5.62). Neáu haøm F ñaúng caáp baäc n cuûa caùc öùng suaát, nhö ñoái vôùi nhieàu tröôøng hôïp trong caùc lyù thuyeát chaûy deûo kim loaïi, phöông trình (5.88) coù theå ñöôïc ruùt goïn hôn veà daïng

dWp = dλnF (5.89)

Haøm voâ höôùng dλ coù theå nhaän ñöôïc baèng caùch bình phöông moãi soá haïng trong phöông trình (5.62) vaø theâm vaøo

ijij

2pij

pij

FF)d(dd

σ∂∂

σ∂∂

λ=εε (5.90)

Laáy caên baäc hai cuûa hai veá vaø thay dλ vaøo phöông trình (5.89) cho thaáy dWp

phaûi laø haøm cuûa F vaø pij

pijdd εε

pemnmn

pij

pij

p d/f/f

nFdddW εσ=

σ∂∂σ∂∂

εε= (5.91)

ôû ñaây ta ñaõ duøng phöông trình (5.87) ñeå xaùc ñònh bieán daïng deûo töông ñöông εp.

Thí duï, neáu haøm Drucker−Prager 21 JIF +α= ñöôïc duøng, phöông trình coâng chaûy deûo trôû thaønh

( )( ) ( )

p21

2

21pij

pij

p d31

JI3

2

13

JI1dddW ε

α+

+α=

+α

+αεε= (5.92)

ôû ñaây (∂F/∂σij)(∂F/∂σij) = 3α2 + 1/2, n = 1, vaø σe cuûa phöông trình (5.79) ñaõ ñöôïc duøng. Töø phöông trình (5.92), ta coù theå ruùt ra ñöôïc quan heä

pij

pij

2p dd

2

13

3/1d εε

+α

+α=ε (5.93)

Nhö ñoái vôùi vaät lieäu von Mises, α = 0, phöông trình (5.93) quy veà phöông trình (5.86), ôû ñaây bieán daïng deûo töông ñöông εp ñöôïc ñònh nghóa baèng phöông phaùp khaùc coù tính tröïc giaùc hôn. Toång quaùt, hai ñònh nghóa bieán daïng deûo töông ñöông εp−döôùi daïng coâng chaûy deûo [phöông trình (5.87)] hay bieán daïng deûo tích luõy [phöông trình (5.83)]−seõ gaây ra caùc haøm voâ höôùng khaùc nhau phuï thuoäc vaøo

266

haøm ñaët taûi. Chuùng chæ gioáng nhau khi F = J2. Tuy nhieân, bieán daïng deûo töông ñöông εp, nhö ñöôïc ñònh nghóa bôûi phöông trình (5.86) ñoái vôùi vaät lieäu F = J2, ñöôïc tìm thaáy laø thích hôïp cho haàu heát vaät lieäu F(J2,J3) ñoäc laäp vôùi aùp löïc.

5.5.3 Quan heä öùng suaát töông ñöông−−−−bieán daïng töông ñöông

Quan heä öùng suaát töông ñöông−bieán daïng töông ñöông, ñaëc tröng caùc quaù trình bieán cöùng cuûa vaät lieäu, baây giôø ñöôïc kieåm tra vôùi thí nghieäm öùng suaát ñôn truïc, noù coù daïng toång quaùt

σe = σe(εp) (5.94)

Pheùp vi phaân ñöa ñeán quan heä gia soá

dσe = Hp(σe)dεp (5.95)

ôû ñaây Hp(σe) laø moâñun deûo ñöôïc lieân heä vôùi suaát giaõn nôû cuûa beà maët chaûy hay beà maët ñaët taûi Hp(σe) = dσe/dεp (5.96)

ôû ñaây Hp laø ñoä doác cuûa ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng deûo ñôn truïc ôû giaù trò σe hieän haønh.

Lòch söû bieán daïng ñoái vôùi vaät lieäu nhö ñöôïc thu nhaän bôûi chieàu daøi cuûa loä trình bieán daïng deûo töông ñöông

∫ ∫ σσ

=ε=ε)(H

dd

ep

epp (5.97)

phaûi laø haøm cuûa chæ öùng suaát töông ñöông. Seõ coù moät haøm ngöôïc duy nhaát ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng, ñeå σe hay F laø haøm cuûa εp = ∫dεp.

5.5.3.1 Bieán cöùng hoãn hôïp

Söï toå hôïp cuûa bieán cöùng ñaúng höôùng vaø ñoäng hoïc cho pheùp beà maët chaûy giaûn nôû vaø tònh tieán ñoàng thôøi trong khoâng gian öùng suaát. Haøm chaûy deûo vaø ñaët taûi coù daïng phöông trình (5.80). Ta ñaõ ñònh nghóa öùng suaát töông ñöông ruùt goïn bôûi phöông trình (5.82). Do bieán daïng εp trong phöông trình (5.80) chi phoái söï giaõn nôû ñaúng höôùng cuûa beà maët chaûy, neân ta coù theå khaûo saùt bieán daïng deûo töông ñöông ruùt goïn vaø ñöôïc kyù hieäu bôûi pε . Maët ñaët taûi cuûa phöông trình (5.80) ñöôïc vieát laïi nhö

( ) ( ) 0kFf p2

ij =ε−σ= (5.98)

laø ñoä ño söï giaõn nôû cuûa maët chaûy töø goác ôû taâm maët naøy. Suaát giaõn nôû cuûa maët chaûy ñöôïc chi phoái bôûi quan heä öùng suaát−bieán daïng töông ñöông ruùt goïn

267

( )pee εσ=σ (5.99)

ñöôïc xaùc ñònh bôûi quan heä öùng suaát−bieán daïng ñôn truïc thí nghieäm.

Gia soá bieán daïng deûo toång baây giôø ñöôïc taùch thaønh hai thaønh phaàn coäng tuyeán

kij

iij

pij ddd ε+ε=ε (5.100)

ôû ñaây iijdε lieân quan ñeán söï giaõn nôû cuûa maët chaûy vaø k

ijdε lieân quan ñeán söï tònh tieán cuûa maët chaûy. Hai thaønh phaàn bieán daïng naøy coù theå ñöôïc vieát nhö

pij

iij Mdd ε=ε (5.101)

pij

kij d)M1(d ε−=ε (5.102)

vôùi M laø thoâng soá bieán cöùng hoãn hôïp vaø coù mieàn xaùc ñònh 0 < M ≤ 1.

Phaàn gia soá bieán daïng deûo iijdε lieân quan ñeán söï giaõn nôû cuûa maët chaûy baây giôø

ñöôïc duøng ñeå ñònh nghóa bieán daïng töông ñöông ruùt goïn pdε nhö

iij

iijp ddCd εε=ε (5.103)

Töø phöông trình (5.101) ta thaáy bieán daïng deûo töông ñöông ruùt goïn pε ñöôïc lieân keát vôùi bieán cöùng ñaúng höôùng baây giôø ñöôïc lieân heä vôùi bieán daïng deûo töông ñöông εp bôûi quan heä ñôn giaûn

ppij

pijp MddCM ε=εε=ε ∫ (5.104)

Pheùp vi phaân phöông trình (5.99) ñem laïi suaát giaõn nôû cuûa beà maët chaûy

ppppe dHMdHd ε=ε=σ (5.105)

ôû ñaây pH laø moâñun deûo ñöôïc lieân heä vôùi söï giaõn nôû cuûa maët chaûy.

Suaát tònh tieán cuûa beà maët chaûy, dαij, nhö ñöôïc cho bôûi phöông trình (5.37) hay caùc phöông trình (5.47) vaø (5.48), ñöôïc lieân heä vôùi phaàn gia soá bieán daïng deûo

pij

kij d)M1(d ε−=ε noù ñöôïc lieân keát vôùi söï tònh tieán. Do ñoù, trong tröôøng hôïp bieán

cöùng hoãn hôïp, kijdε vaø p

kp )M1(d ε−=ε phaûi thay theá p

ijdε trong phöông trình

(5.37) vaø dεp trong phöông trình (5.48) trong vieäc tính toaùn suaát tònh tieán dαij

pij

kijij d)M1(ccdd ε−=ε=α ñoái vôùi quy luaät cuûa Prager (5.106)

hay

)(d)M1(ad ijijpij α−σε−=α ñoái vôùi quy luaät cuûa Ziegler (5.107)

268

5.6 CAÙC THÍ DUÏ MINH HOÏA

Chuùng ta ñaõ thaûo luaän caùc quy luaät bieán cöùng vaø chaûy deûo. Döïa treân caùc giaû ñònh quan troïng naøy, caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng toång quaùt baây giôø coù theå ñöôïc thieát laäp ñoái ôùi vaät lieäu bieán cöùng. Caùc khaùi nieäm veà öùng suaát vaø bieán daïng töông ñöông cho pheùp ta ñònh côõ quan heä öùng suaát−bieán daïng ña truïc theo caùc soá lieäu cuûa thí nghieäm öùng suaát ñôn truïc. Moät soá thí nghieäm minh hoïa ñöôïc giôùi thieäu trong phaàn sau ñaây.

Thí duï 5.5

(a) Cho quan heä öùng suaát−bieán daïng deûo ñôn truïc σe = σ(εp), haõy tìm haøm bieán cöùng G trong vieäc hình thaønh öùng suaát−bieán daïng toång quaùt cuûa phöông trình (5.64) ñoái vôùi vaät lieäu von Mises bieán cöùng ñaúng höôùng vôùi beà maët ñaët taûi coù daïng

0)(kJf p2

2 =ε−= (5.108)

(b) Neáu quan heä öùng suaát−bieán daïng ñôn truïc ñöôïc cho bôûi quan heä Ramberg−Osgood

1n2

11p1

e11 b

aE

+

σ+

σ=ε+ε=ε (5.109)

trong ñoù E laø moâñun ñaøn hoài ban ñaàu vaø a, b, vaø n laø caùc haèng soá, haõy tìm quan heä öùng suaát−bieán daïng deûo gia soá.

Giaûi

(a) Ñoái vôùi moâ hình von Mises bieán cöùng ñaúng höôùng ñöôïc duøng ñôn giaûn vaø thoâng thöôøng nhaát (5.108), ∂f/∂σij = ∂J2/∂σij = sij, ∂f = dJ2, phöông trình (5.64) coù daïng

2ijpij dJsGd =ε (5.110)

Bình phöông moãi soá haïng trong phöông trình (5.110) vaø coäng laïi, ta coù

222

2pij

pij )dJ(J2Gdd =εε

Laáy caên baäc hai caû hai veá vaø chuù yù ñeán caùc ñònh nghóa cuûa öùng suaát töông

ñöông 2e J3=σ vaø bieán daïng töông ñöông pij

pije dd

32d εε=ε , ta coù

e2e2ep dG

9

4dJG

3

2d σσ=σ=ε (5.111)

269

trong ñoù quan heä dJ2 = (2/3)σedσe ñaõ ñöôïc duøng. Ñoái vôùi quan heä σe−εp ñaõ cho, moâñun deûo Hp = dσe/dεp ñöôïc bieát, vaø haøm bieán cöùng G baây giôø ñöôïc tìm thaáy laø

2p

2ep

JH4

3

H

1

4

9G =

σ= (5.112)

(b) Baây giôø quan heä öùng suaát−bieán daïng ñôn truïc ñöôïc cho bôûi phöông trình (5.109), trong ñoù

Do ñoù, 1n2

1p

ba

+

σ=ε

n2

ep1

1p

p

ep

b

a

b

1n2

1

d

d

d

d

d

dH

σ

+=

ε

σ=

εσ

=εσ

= (5.113)

Thay caùc phöông trình (5.113) vaø (5.112) vaøo phöông trình (5.110) seõ ñöa ñeán quan heä bieán daïng deûo−öùng suaát

+=ε

2

2ij

n

22p

ij J

dJs

b

J3

b

a

4

)1n2(3d ñoái vôùi J2 = k2 vaø dJ2 > 0

trong ñoù dJ2 tuyeán tính theo gia soá öùng suaát. Phöông trình cô baûn naøy coù theå ñöôïc vieát theo daïng thaønh phaàn nhö phöông trình (5.73).

Thí duï 5.6 Moät oáng troøn thaønh moûng khoâng coù öùng suaát vaø bieán daïng ban ñaàu chòu lòch söû ñaët taûi toå hôïp keùo ñôn truïc vaø moâmen xoaén noù taïo ra caùc loä trình ñöôøng thaúng lieân tuïc trong khoâng gian (σ, τ) nhö ñöôïc bieåu thò trong hình 5.11a. Giaû söû raèng vaät lieäu laø ñaøn−deûo, vaø ñaùp öùng ñaøn hoài laø tuyeán tính vôùi moâñun ñaøn hoài E = 210.106N/m2 vaø ν = 0,3, trong khi ñaùp öùng deûo laø loaïi bieán cöùng öùng suaát ñaúng höôùng von Mises. Ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng trong keùo ñôn ñöôïc cho bôûi

270

3

6611pe

10.7103

1

101,2

σ×

+×σ

=ε+ε=ε (5.114)

ôû ñaây σ coù ñôn vò N/m2. Chuù yù raèng bieán daïng deûo ñöôïc giôùi thieäu bôûi soá haïng thöù hai xaûy ra luùc baét ñaàu ñaët taûi.

(a) Haõy vieát quan heä öùng suaát−bieán daïng döôùi daïng thaønh phaàn roõ raøng theo σ, τ, dσ, vaø dτ.

(b) Haõy tìm caùc thaønh phaàn bieán daïng ñaøn hoài vaø deûo ôû cuoái cuûa moãi loä trình ñaët taûi.

Giaûi

(a) Ñoái vôùi moâ hình von Mises bieán cöùng ñaúng höôùng, töø thí duï 5.5, ta coù

2ij2pij dJs)J(Gd =ε (5.115)

Ñoái vôùi bieán daïng ñaøn hoài, döïa treân ñònh luaät Hooke, ta coù

ijkkijeij d

E3

21ds

E

1d δσν−+ν+=ε (5.116)

Coäng bieán daïng ñaøn vaø deûo daãn ñeán

2ijijkkijij dJsGdE3

21ds

E

1d +δσν−+ν+=ε (5.117)

Do trong khoâng gian σ−τ, σx = σ, τxy = τ, caùc thaønh phaàn khaùc baèng khoâng; ta coù

222 3

1J τ+σ=

ττ+σσ= d2d3

2dJ2

vaø dσkk = dσ

Phöông trình (5.117) coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo daïng thaønh phaàn nhö

ττ+σσσ+σ

=ε=ε d2d3

2G

3

2

E

ddd x

ττ+σσσ−σ

ν−=ε=ε d2d3

2G

3

1

E

ddd zy (5.118)

ττ+σσσ+τν+

=γ=γ d2d3

2G2d

E

)1(2dd xy

0dd yzxz =γ=γ

271

Töø caùc soá lieäu keùo ñôn ñaõ cho, haøm bieán cöùng )J(G 2 trong phöông trình (5.115) coù theå ñöôïc tính toaùn baèng caùch duøng caùc phöông trình (5.112) vaø (5.113) vôùi a = 10−6/3, b = 7, vaø n = 1 nhö

( )

9632

e

2e

pe2e

2ep

1056,6)10)(7(4

9

d/d

1

4

9

H

1

4

9G

−×=σ

σ=

εσσ=

σ=

(5.119)

Thay phöông trình (5.119) vaøo (5.118) taïo ra caùc coâng thöùc cho söï tính toaùn taát caû caùc gia soá bieán daïng trong caùc tröôøng hôïp ñaët taûi deûo:

[ ] ττ×+×+

σστ×=γ=γ

τστ×−

σ×+ν−=ε=ε

τστ×+σ

σ×+=ε=ε

−−

−

−−

−−

d1025,261024,1

d)1075,8(dd

d)1038,4(1046,1E

dd

d)1075,8(d1029,2E1dd

295

9xy

929zy

929x

(5.120)

(b) Caùc thaønh phaàn bieán daïng ñaøn hoài vaø deûo ôû cuoái moãi loä trình ñaët taûi (hình 5.11b) ñöôïc tìm thaáy nhö sau.

(i) Ñoái vôùi loä trình OA, ñaët taûi deûo xaûy ra. Do σ = 0, dσ = 0, ta thu ñöôïc caùc thaønh phaàn bieán daïng töø phöông trình (5.120) nhö

εxA = εyA = εzA = 0 vaø

339

A

0

29pA

45

A

0

eA

103)70(3

1)1025,26(d1025,26

1067,8101,2

)70)(3,1)(2(d

E

)1(2

−−

τ

−

−

τ

×=

×=ττ×=γ

×=×

=τν+

=γ

∫

∫

ÔÛ cuoái cuûa loä trình OA, caùc tenxô bieán daïng ñaøn vaø deûo baây giôø thu ñöôïc nhö

3eA 10

000

002/867,0

02/867,01

−×

=ε ; 3pA 10

000

002

3

02

31

−×

=ε

vaø beà maët chaûy keà tieáp ñöôïc cho nhö

272

26222 )10.70(

3J =τ+

σ= (5.121)

noù ñöôïc bieåu thò trong hình 5.11b.

(ii) Loä trình AB cuõng laø loä trænh ñaët taûi deûo (xem hình 5.11b). Do doïc loä trình AB, τ = 70N/m2, dτ = 0, caùc thaønh phaàn bieán daïng ñaøn deûo ôû cuoái cuûa loä trình naøy thu ñöôïc töø phöông trình (5.120) nhö sau:

∫ ∫−=

×=

σ+=ε+ε=ε

B

A

210

0

35

ex

exA

exB 10

101,2

210

E

d0d

∫ ∫−×−=

σν−=ε+ε=ε

B

A

210

0

3ey

eyA

eyB 103,0

E

d0d

3eyB

ezB 103,0 −×−=ε=ε

4eA

eB 1067,8 −×=γ=γ

∫ ∫−− ×=σσ×+=ε+ε=ε

B

A

210

0

329px

pxA

pxB 1001,9d)1092,2(0d

3pxB

pyB 105,4

2

1 −×−=ε−=ε

3pyB

pzB 105,4 −×−=ε=ε

∫ ∫−−− ×=σσ×+×=γ+γ=γ

B

A

210

0

393ppA

pB 105,16d)70)(1075,8(103d

noù coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo daïng ma traän nhö

3eB 10

3,000

03,02/867,0

02/867,01

−×

−

−=ε

3pB 10

5,400

05,42/5,16

02/5,1601,9

−×

−

−=ε

Trong suoát quaù trình ñaët taûi, beà maët chaûy giaõn nôû vaø ôû ñieåm B, ta coù

273

2626

22

2 )10.70(3

)10.210(

3J +=τ+

σ= (5.122)

ñaây laø beà maët chaûy hieän haønh nhö ñöôïc bieåu thò trong hình 5.11b.

(iii) Ta coù theå thaáy töø hình 5.11b raèng doïc theo loä trình BC, quaù trình caát taûi ñaøn hoài xaûy ra vaø caùc thay ñoåi bieán daïng trong loä trình BC laø thuaàn ñaøn hoài vaø coù theå thu ñöôïc bôûi ñònh luaät Hooke. Do doïc loä trình BC, σ = 210.106N/m2, dσ = 0, ta coù

0ddd ez

ey

ex =ε=ε=ε

vaø 3C

B

70

70

e 1073,1dE

)1(2d −

−

×−=τν+=γ∫ ∫

ÔÛ cuoái cuûa loä trình naøy, caùc tenxô bieán daïng ñöôïc cho bôûi

3eC 10

3,000

03,02/867,0

02/867,01

−×

−

−−

−

=ε

3pB

pC 10

5,400

05,42/5,16

02/5,1601,9

−×

−

−=ε=ε

(iv) Loä trình CO cuõng laø loä trình caát taûi ñaøn hoài. Caùc thay ñoåi cuûa caùc bieán daïng ñaøn hoài ñöôïc tìm thaáy bôûi ñònh luaät Hooke nhö

∫ ∫−−=

σ=ε

O

C

0

210

3ex 10

E

dd

∫ ∫−×=

σν−=ε

O

C

0

210

3ey 103,0

E

dd

∫ ∫−

−×=τν+

=γO

C

0

70

3e 10867,0dE

)1(2d

3O

C

ez 103,0d −×=ε∫

274

Nhö coù theå ñöôïc thaáy, caùc thay ñoåi bieán daïng ñaøn hoài trong suoát loä trình ñaët taûi CO dòch chuyeån ñuùng bieán daïng ñaøn hoài e

Cε ôû ñieåm C, vaø caùc bieán daïng ñaøn hoài toång ñoái vôùi chu kyø hoaøn chænh O−A−B−O baèng khoâng, trong khi caùc bieán daïng deûo laø khoâng hoài phuïc. Caùc bieán daïng deûo naøy ñöôïc gaây ra ôû cuoái cuûa loä trình ñaët taûi AB vaø duy trì khoâng ñoåi. ÔÛ cuoái cuûa chöông trình ñaët taûi naøy, ta coù

3p

BpC

pO

eO

10

5,400

05,42/5,16

02/5,1601,9

0

−×

−

−=ε=ε=ε

=ε

Ngoaøi ra, ta coù beà maët ñaët taûi keá tieáp nhö ñöôïc cho bôûi phöông trình (5.122), noù laø hoà sô ghi cheùp ñoái vôùi lòch söû taûi hoaøn chænh cuûa vaät lieäu.

5.7 DAÏNG VI PHAÂN CUÛA QUAN HEÄ ÖÙNG SUAÁT−−−−BIEÁN DAÏNG

Trong nhöõng muïc tröôùc, ta ñaõ baøn luaän caùc giaû ñònh cô baûn vaø caùc phöông trình ñöôïc duøng trong vieäc phaùt trieån lyù thuyeát gia soá cuûa chaûy deûo bieán cöùng. Döïa treân caùc phöông trình cô baûn naøy, phöông trình chuû yeáu toång quaùt ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng ñaøn−deûo seõ thu ñöôïc trong muïc naøy döôùi daïng

ll k

epijkij dCd ε=σ (5.123)

ôû ñaây epijkC

l laø tenxô ñoä cöùng ñaøn−deûo cuûa moâñun tieáp tuyeán, noù laø haøm cuûa traïng

thaùi öùng suaát vaø lòch söû ñaët taûi. Ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát vaø lòch söû ñaët taûi ñaõ cho, phöông trình (5.123) ñöa ñeán gia soá öùng suaát dσij ñoái vôùi gia soá bieán daïng ñaõ cho dεij noù thieát laäp quaù trình ñaët taûi deûo. Phöông trình naøy ñöôïc caàn ñeán trong phaân tích soá baøi toaùn chaûy deûo, nhö phaân tích phaàn töû höõu haïn.

5.7.1 Quan heä cô baûn ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng toång quaùt

Bieåu thöùc toång quaùt cuûa beà maët chaûy hay maët ñaët taûi ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng nhö ñaõ ñöôïc ñeà caäp trong muïc 5.3 coù daïng

( ) 0k,,f pijij =εσ (5.124)

vôùi k = k(εp) laø thoâng soá bieán cöùng ñaúng höôùng. Gia soá bieán daïng dεij ñöôïc phaân tích thaønh hai phaàn,

pij

eijij ddd ε+ε=ε (5.125)

275

trong ñoù gia soá bieán daïng ñaøn hoài, eijdε , ñöôïc lieân heä vôùi gia soá öùng suaát, dσij,

bôûi ñònh luaät Hooke toång quaùt hoùa nhö

ekijkij dCdll

ε=σ (5.126)

ôû ñaây Cijkl laø tenxô cuûa moâñun ñaøn hoài, nhö ñaõ ñöôïc ñeà caäp trong chöông 3; gia soá bieán daïng deûo, p

ijdε , coù theå ñöôïc bieåu dieãn moät caùch toång quaùt bôûi quy luaät

chaûy khoâng keát hôïp döôùi daïng

ij

pij

gdd

σ∂∂λ=ε (5.127)

vôùi ( )k,,gg pijij εσ= , nhö ñoái vôùi ( )k,,f p

ijij εσ , laø haøm theá naêng deûo ñaõ bieát nhö ñaõ

ñöôïc ñeà caäp trong muïc 5.4, vaø dλ laø haøm voâ höôùng ñöôïc xaùc ñònh döôùi ñaây bôûi ñieàu kieän kieân ñònh df = 0. Thay gia soá bieán daïng ñaøn hoài, e

ijdε , töø phöông trình

(5.125) vaø gia soá bieán daïng deûo, pijdε , töø phöông trình (5.127) vaøo ñònh luaät

Hooke, phöông trình (5.126), ta coù

σ∂∂

λ−ε=σl

ll

kkijkij

gddCd (5.128)

Töø phöông trình treân, ta nhaän thaáy raèng neáu ta bieát haøm voâ höôùng dλ, quan heä cô baûn ñöôïc xaùc ñònh hoaøn toaøn. Ñeå thu ñöôïc dλ, haõy khaûo saùt quaù trình ñaët taûi deûo. ÔÛ traïng thaùi hieän haønh, ta bieát traïng thaùi öùng suaát hieän haønh σij vaø traïng thaùi bieán daïng deûo hieän haønh p

ijε vaø k(εp), vaø chuùng phaûi thoûa haøm chaûy hieän

thôøi, phöông trình (5.124),

( ) 0k,,f pijij =εσ

Sau gia soá nhoû cuûa bieán daïng toång, dεij, noù taïo thaønh vieäc ñaët taûi deûo, traïng thaùi hieän haønh ñöôïc thay ñoåi thaønh traïng thaùi keá tieáp môùi, σij + dσij, p

ijpij dε+ε , k + dk,

vaø traïng thaùi môùi phaûi thoûa haøm chaûy keá tieáp, phöông trình (5.124), trong daïng toaùn hoïc

( ) ( ) 0dfk,,fdkk,d,df pijij

pij

pijijij =+εσ=+ε+εσ+σ

hoaëc

0dkkfdfdfdf p

ijpij

ijij

=∂∂+ε

ε∂∂+σ

σ∂∂= (5.129)

276

Ñaây ñöôïc bieát nhö laø ñieàu kieän nhaát quaùn ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng toång quaùt vaø aùp ñaët söï haïn cheá leân caùc gia soá giöõa p

ijij d,d εσ , vaø dk. Ñieàu kieän naøy ñeå ñaûm

baûo raèng trong quaù trình ñaët taûi deûo, caùc traïng thaùi öùng suaát vaø bieán daïng keá tieáp vaãn duy trì treân maët chaûy keà tieáp. Haøm voâ höôùng dλ trong phöông trình (5.128) coù theå ñöôïc xaùc ñònh moät caùch tröïc tieáp töø ñieàu kieän naøy. Vieäc naøy ñöôïc moâ taû sau ñaây.

Ñaàu tieân, haõy khaûo saùt gia soá cuûa thoâng soá bieán cöùng ñaúng höôùng, dk, trong phöông trình (5.129). Thoâng soá bieán cöùng ñaúng höôùng k laø moät haøm cuûa bieán daïng deûo töông ñöông εp, noù coù theå ñöôïc bieåu dieãn trong daïng ñôn giaûn cuûa phöông trình (5.83).

pij

pijp ddCd εε=ε

Baèng caùch duøng phöông trình (5.83) ñoái vôùi dεp vaø quy luaät chaûy, phöông trình (5.127), ta thu ñöôïc

λσ∂∂

σ∂∂

ε=ε

ε= d

ggC

d

dkd

d

dkdk

ijijpp

p

(5.130)

Thay theá caùc phöông trình (5.127) ñoái vôùi pijdε , (5.128) ñoái vôùi dσij, vaø (5.130)

ñoái vôùi dk vaøo ñieàu kieän kieân ñònh (5.129), ta coù

0hddCf

df kijkij

=λ−εσ∂∂

=ll

(5.131)

ôû ñaây

ijijpij

pijk

ijkij

ggC

d

dk

k

fgfgC

fh

σ∂∂

σ∂∂

ε∂∂

−σ∂∂

ε∂

∂−

σ∂∂

σ∂∂

=l

l (5.132)

Töø phöông trình (5.131), haøm voâ höôùng dλ coù theå ñöôïc giaûi nhö

llll kkkijk

ij

dHh

1dC

f

h

1d ε−ε

σ∂∂

=λ (5.133)

ôû ñaây tenxô baäc hai Hkl ñöôïc ñònh nghóa lieân keát vôùi haøm chaûy, f, döôùi daïng

ll ijk

ijk C

fH

σ∂∂

= (5.134)

Töông töï, ta seõ ñònh nghóa tenxô baäc hai *kHl ñöôïc lieân keát vôùi haøm theá naêng, g,

nhö

277

ll ijk

ij

*k C

gH

σ∂∂

= (5.135)

Tenxô baäc hai naøy seõ ñöôïc söû duïng sau naøy khi ñeà caäp ñeán söï phaùt trieån cuûa tenxô ñoä cöùng tieáp tuyeán ñaøn−deûo ep

ijkCl döôùi ñaây.

Trong phöông trình (5.133), ta ñaõ bieåu dieãn haøm voâ höôùng dλ döôùi daïng gia soá bieán daïng ñaõ cho dεij. Trong phaàn sau ñaây, ta seõ thaáy raèng haøm voâ höôùng dλ cuõng coù theå ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng gia soá öùng suaát dσij. Ñeå keát thuùc vieäc naøy, ta vieát quy luaät chaûy khoâng keát hôïp (5.70) trong daïng

l

l

l

l

kkij

kkijij

pij d

fg1d

fgG

gdd σ

σ∂∂

σ∂∂

κ=σ

σ∂∂

σ∂∂

=σ∂∂

λ=ε (5.136)

trong ñoù κ ñöôïc bieát nhö laø moâñun bieán cöùng vaø ñöôïc lieân heä vôùi haøm bieán cöùng G vaø haøm voâ höôùng dλ bôûi

G

1=κ (5.137)

l

l

kk

df1

f1

d σσ∂∂

κ=∂

κ=λ (5.138)

Do (∂f/∂σij)dσij = ∂f, dεpij = (∂f/κ)(∂g/∂σij), dk = (dk/dεp)dεp, vaø

)/g/()/g()/fC(

)/g/()/g(Cdd

ijij

ijijp

σ∂∂σ∂∂κ∂=

σ∂∂σ∂∂λ=ε

Ñieàu kieän kieân ñònh (5.129) coù theå ñöôïc vieát nhö

0ggfC

d

dk

k

fgfffdf

ijijpijpij

=σ∂∂

σ∂∂

κ∂

ε∂∂

+σ∂∂

κ∂

ε∂

∂+∂= (5.139)

Töø ñieàu naøy, haøm voâ höôùng κ coù theå ñöôïc giaûi nhö

0gg

Cd

dk

k

fgf

ijijpijpij

=σ∂∂

σ∂∂

ε∂∂

−σ∂∂

ε∂

∂−=κ (5.140)

Nhö coù theå ñöôïc thaáy, moâñun bieán cöùng κ ñöôïc xaùc ñònh töø quy luaät bieán cöùng ñaúng höôùng. Ñoái vôùi tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa vaät lieäu ñaøn−deûo lyù töôûng, beà maët chaûy khoâng thay ñoåi suoát quaù trình ñaët taûi, nghóa laø, ∂f/ p

ijε∂ = 0 vaø dk/dεp = 0; do

ñoù, ta coù κ = 0. Baèng caùch duøng phöông trình (5.140), ta cuõng coù theå bieåu dieãn haøm voâ höôùng h trong phöông trình (5.132) theo moâñun bieán cöùng bôûi

278

l

l

l

l

kk

kijk

ij

gH

gC

fh

σ∂∂

+κ=σ∂∂

σ∂∂

+κ= (5.141)

Moãi laàn haøm voâ höôùng dλ ñöôïc xaùc ñònh, gia soá bieán daïng deûo, pijdε , ñöôïc xaùc

ñònh töø quy luaät chaûy (5.127)

stij

stij

mnstmnij

pij d

g

h

1d

gC

f

h

1gdd ε

σ∂∂

=εσ∂∂

σ∂∂

=σ∂∂

λ=ε (5.142)

vaø gia soá öùng suaát töông öùng, dσij, coù theå ñöôïc xaùc ñònh töø phöông trình (5.128) baèng caùch duøng phöông trình (5.142)

stepijst

stk

ijkmnstmn

ijst

stk

mnstmn

tskijk

stk

mnstmn

kijkij

dC

dg

CCf

h

1C

dg

Cf

h

1C

dg

Cf

h

1dCd

ε=

ε

σ∂∂

σ∂∂

−=

ε

σ∂∂

σ∂∂

−δδ=

ε

σ∂∂

σ∂∂

−ε=σ

l

l

l

ll

l

ll

(5.143)

hoaëc ll k

epijkij dCd ε=σ (5.144)

Do ñoù, tenxô ñoä cöùng tieáp tuyeán ñaøn−deûo coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng

pijkijk

epijk CCC

lll+= (5.145)

vôùi *ijk

stijstmnk

mn

pijk HH

h1g

CCfh1C

lll−=

σ∂∂

σ∂∂−= (5.146)

ôû ñaây pijkC

l ñöôïc goïi laø tenxô ñoä cöùng tieáp tuyeán deûo vaø moâ taû söï suy giaûm ñoä

cöùng cuûa vaät lieäu do chaûy deûo. Roõ raøng töø (5.146) tenxô pijkC

l khoâng ñoái xöùng,

vaø do ñoù laøm cho epijkC

l cuõng khoâng ñoái xöùng neáu quy luaät chaûy khoâng keát hôïp

ñöôïc duøng, nghóa laø,

Neáu g ≠ f, thì epijk

epijk CC

ll≠ (5.147)

Hôn nöõa, trong tröôøng hôïp naøy, ñoä cöùng tieáp tuyeán ñaøn−deûo epijkC

l khoâng theå

xaùc ñònh döông. Traùi laïi, neáu quy luaät chaûy deûo keát hôïp ñöôïc chaáp nhaän, vieäc xaùc ñònh döông cuûa tenxô ep

ijkCl coù theå ñöôïc baûo ñaûm.

Quan heä öùng suaát−bieán daïng ñaøn−deûo gia soá (5.144) chæ thích hôïp ñoái vôùi tröôøng hôïp ñaët taûi deûo. Do ñoù, tröôùc khi duøng quan heä naøy ñeå tính toaùn gia soá

279

öùng suaát töông öùng, dσij, ñoái vôùi gia soá bieán daïng ñaõ cho, dεij, tröôùc tieân ta phaûi kieåm tra xem vaät lieäu coù ôû trong traïng thaùi ñaët taûi deûo töông öùng vôùi gia soá bieán daïng ñaõ cho dεij khoâng. Neáu khoâng, moái quan heä öùng suaát bieán daïng ñaøn hoài

dσij = Cijkldεkl (5.148)

neân ñöôïc duøng thay theá cho quan heä öùng suaát−bieán daïng ñaøn−deûo. Ñeå keát thuùc vieäc naøy, moät tieâu chuaån ñaët taûi thích hôïp ñöôïc can ñeán. Trong muïc 5.3, ta ñaõ bieåu dieãn tieâu chuaån ñaët taûi döôùi daïng gia soá öùng suaát. Tuy nhieân, ôû nay ta can bieåu dieãn tieâu chuan ñaët taûi döôùi daïng gia soá bieán daïng ñaõ cho, bôûi vì gia soá öùng suaát chöa ñöôïc bieát vaø chöa ñöôïc xaùc ñònh töø gia soá bieán daïng. Ñieàu naøy haàu nhö chaéc chaén trong haàu heát caùc phöông phaùp tính soá cuûa bieán daïng deûo keát caáu, thí duï, phöông phaùp phaàn töû höõu haïn noåi tieáng.

Baây giôø haõy döïa vaøo ñieàu kieän kieân ñònh (5.131). Ta coù theå thaáy raèng haøm voâ höôùng h nhö ñöôïc ñònh nghóa trong phöông trình (5.132) luoân döông ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng cuõng nhö ñoái vôùi vaät lieäu bieán meàm. Chöùng côù cuûa lôøi phaùt bieåu naøy laø ngoaøi phaïm vi cuûa taøi lieäu naøy. Duøng söï thaät naøy, ta seõ thu ñöôïc tieâu chuaån ñaët taûi theo caùc gia soá bieán daïng dεij nhö döôùi nay.

Ñoái vôùi ñaët taûi deûo, dλ laø heä soá khoâng aâm vaø hdλ luoân döông. Do ñoù, töø ñieàu kieän kieân ñònh (5.131), ta coù theå suy ra

0dCf

kijkij

>εσ∂∂

ll (5.149)

Ñoái vôùi ñaët taûi trung hoøa, ta coù pijdε = 0, hay dλ = 0, vaø ñieàu kieän kieân ñònh

(5.131) daãn ñeán

0dCf

kijkij

=εσ∂∂

ll (5.150)

Ñoái vôùi vieäc caát taûi töø traïng thaùi ñaøn−deûo, traïng thaùi öùng suaát treân beà maët chaûy ñöôïc di chuyeån vaøo phía trong, keát quaû laø df < 0. Hôn nöõa, ñoái vôùi tröôøng hôïp naøy, ta coù dλ = 0. Baèng caùch duøng ñieàu kieän df < 0 vaø dλ = 0 trong ñaúng thöùc (5.131), ta coù

0dCf

kijkij

<εσ∂∂

ll (5.151)

Noùi toùm laïi, tieâu chuaån ñaët taûi ñoái vôùi gia soá bieán daïng ñaõ cho dεij coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö sau

280

<

=>

εσ∂∂

taûicaát,0

hoøatrungtaûiñaët,0

taûiñaët,0

dCf

kijkij

ll (5.152)

Cuoái cuøng, quan heä öùng suaát−bieán daïng hoaøn chænh ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng ñaøn−deûo coù theå ñöôïc bieåu dieãn trong daïng toång quaùt nhö sau.

Ñoái vôùi f(σij, εpij, k) = 0, vaø (∂f/∂σij)Cijkldεkl > 0, ta coù

ll k

epijkij dCd ε=σ (5.153)

ôû ñaây epijkC

l ñöôïc cho trong caùc ñaúng thöùc (5.145) vaø (5.146).

Ñoái vôùi f(σij, pijε , k) < 0, hoaëc f(σij, p

ijε , k) = 0 vaø (∂f/∂σij)Cijkldεkl ≤ 0, ta coù

ll kijkij dCd ε=σ (5.154)

ôû nay tenxô ñoä cöùng tieáp tuyeán ñaøn hoài Cijkl ñöôïc cho trong chöông 3.

5.7.2 Quan heä cô baûn ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng hoãn hôïp

Bieåu thöùc toång quaùt cuûa beà maët chaûy ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng hoãn hôïp coù daïng

( ) ( ) 0k,fk,f ijijij =α−σ=σ (5.155)

ÔÛ ñaây, beà maët chaûy ñöôïc bieåu dieãn theo αij thay vì roõ raøng theo pijε . Ta seõ nhaän

ñöôïc caùc moái quan heä öùng suaát−bieán daïng gia soá cho vaät lieäu bieán cöùng hoãn hôïp moät caùch tröïc tieáp töø nhöõng phöông trình chaûy deûo cô sôû. Trong vieäc thieát laäp naøy, ta seõ giaû ñònh raèng caùc gia soá bieán daïng deûo p

ijdε coù theå ñöôïc taùch ra

thaønh hai phaàn, phaàn bieán cöùng ñaúng höôùng iijdε vaø phaàn bieán cöùng ñoäng hoïc

kijdε :

pijdε = i

ijdε + kijdε (5.156)

trong ñoù ta laáy

iijdε = M p

ijdε , kijdε = (1 − M) p

ijdε (5.157)

ôû ñaây 0 ≤ M ≤ 1 dieãn taû möùc ñoä hoãn hôïp giöõa bieán cöùng ñaúng höôùng vaø bieán cöùng ñoäng hoïc. Trong tröôøng hôïp naøy, ñieàu kieän kieân ñònh trôû thaønh

0dkk

fd

fd

fdf ij

ijij

ij

=∂∂

+αα∂∂

+σσ∂∂

= (5.158)

Neáu quy luaät bieán cöùng cuûa Prager, phöông trình (5.106), ñöôïc duøng, ta coù

281

λσ∂∂

−=ε−=ε=α dg

)M1(cd)M1(ccddij

pij

kijij (5.159)

hoaëc neáu quy luaät chaûy cuûa Ziegler, phöông trình (5.107), ñöôïc duøng, ta coù

λ

σ∂∂

σ∂∂

α−σ−=

εα−σ−=α

dgg

C))(M1(a

d))(M1(ad

kkijij

pijijij

ll

(5.160)

hay vieát caùc quy luaät naøy döôùi daïng toång quaùt,

dα = Aijdλ (5.161)

ôû ñaây ñoái vôùi quy luaät bieán cöùng cuûa Prager

ij

ijg

)M1(cAσ∂∂

−= (5.162)

vaø ñoái vôùi quy luaät bieán cöùng cuûa Ziegler

ll kkijijij

ggC))(M1(aA

σ∂∂

σ∂∂

α−σ−= (5.163)

vaø söï ñònh nghóa bieán daïng deûo töông ñöông

λσ∂∂

σ∂∂

=εε=ε dgg

CddCdijij

pij

pijp (5.164)

ñaõ ñöôïc duøng trong pheùp ñaïo haøm, vaø caùc thoâng soá a vaø c ñaõ ñöôïc ñeà caäp ñeán trong muïc 5.5. Thoâng soá bieán cöùng ñaúng höôùng k laø haøm cuûa bieán daïng deûo töông ñöông ruùt goïn, pε , ñöôïc ñònh nghóa nhö

∫ ∫∫ ε=ε=εε=εε=ε pppij

pij

iij

iijp MdMddMCddC (5.165)

λσ∂∂

σ∂∂

=ε=ε dgg

MCMddijij

pp (5.166)

Do ñoù, ta coù quan heä

λσ∂∂

σ∂∂

εε

=εε

= dgg

MCMdd

dkd

d

dkdk

kkp

pp

p ll

(5.167)

Chuù yù raèng

ij

jikkij

k

kij

ffff

σ∂∂

=δδσ∂∂

=σ∂σ∂

σ∂∂

=σ∂∂

l

l

l

l

(5.168)

282

ijij

jikkij

k

kij

ff)(

fff

σ∂∂

−=σ∂∂

−=δδ−σ∂∂

=α∂σ∂

σ∂∂

=α∂∂

l

l

l

l

(5.169)

ñieàu kieän nhaát quaùn (5.131) coù theå ñöôïc vieát nhö

0dhdCf

df kijkij

=λ−εσ∂∂

=ll

(5.170)

ôû ñaây

lll

l

l

l

kkpkk

kk

ggMC

d

dk

k

ffA

gHh

σ∂∂

σ∂∂

ε∂∂

−σ∂∂

+σ∂∂

= (5.171)

Trong ñoù tenxô Hkl ñöôïc ñònh nghóa trong phöông trình (5.134). Baây giôø haøm voâ höôùng dλ ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng hoãn hôïp ñöôïc giaûi töø phöông trình (5.170) nhö

llll kkkijk

ij

dHh

1dC

f

h

1d ε=ε

σ∂∂

=λ (5.172)

vaø tenxô ñoä cöùng tieáp tuyeán ñaøn−deûo thu ñöôïc ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng hoãn hôïp nhö

*ijkijk

pijkijk

epijk HH

h

1CCCC

lllll−=+= (5.173)

Tieâu chuaån ñaët taûi toång quaùt, phöông trình (5.152) dó nhieân thích hôïp ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng hoãn hôïp ñaëc bieät. Noùi toùm laïi, moái quan heä öùng suaát−bieán daïng hoaøn chænh ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng hoãn hôïp coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö döôùi ñaây.

Ñoái vôùi f(σij − αij, k) = 0, vaø (∂f/∂σij)Cijkldεkl > 0, ta coù

ll k

epijkij dCd ε=σ (5.174)

ôû ñaây ñoä cöùng tieáp tuyeán ñaøn−deûo epijkC

l ñöôïc cho trong phöông trình (5.173).

Ñoái vôùi f(σij − αij, k) < 0, hay f(σij − αij, k) = 0, (∂f/∂σij)Cijkldεkl ≤ 0, ta coù

ll kijkij dCd ε=σ (5.175)

Vôùi ñoä cöùng tieáp tuyeán ñaøn hoài Cijkl ñöôïc cho trong chöông 3.

5.7.3 Caùc thí duï minh hoïa

Caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng gia soá ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng toång quaùt vaø ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng hoãn hôïp ñaëc bieät ñaõ ñöôïc thieát laäp trong nhöõng muïc tröôùc. Trong muïc naøy ta seõ nhaän ñöôïc hai moâ hình vaät lieäu ñöôïc söû duïng thoâng

283

thöôøng nhaát, ñöôïc goïi laø, vaät lieäu von Mises vaø Drucker−Prager, nhö laø caùc thí duï minh hoïa.

Thí duï 5.7 Haõy xaùc ñònh caùc phöông trình öùng suaát−bieán daïng ñoái vôùi vaät lieäu von Mises vôùi quy luaät bieán cöùng hoãn hôïp keát hôïp.

Giaûi

Haøm ñaët taûi cuûa vaät lieäu von Mises töông öùng vôùi quy luaät bieán cöùng hoãn hôïp coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö

0)(ss2

3)k,(f p

2eijijijij =εσ−=α−σ (5.176)

ÔÛ ñaây, ijs bieåu thò tenxô leäch öùng suaát ruùt goïn

ijkkijij 3

1s δσ−σ= (5.177)

vaø ijijij α−σ=σ laø tenxô öùng suaát ruùt goïn; öùng suaát töông ñöông ruùt goïn, eσ , noù thay theá thoâng soá bieán cöùng thöôøng duøng k, ñöôïc ñònh nghóa bôûi phöông trình (5.103) vôùi haèng soá 3/2C = .

Baèng caùch duøng quy luaät chaûy keát hôïp, g = f, caùc ñaïo haøm rieâng cuûa g vaø f ñöôïc tìm thaáy nhö

ijijij

s3fg

=σ∂∂

=σ∂∂ (5.178)

Ñoái vôùi vaät lieäu ñaúng höôùng ñaøn hoài tuyeán tính, ta coù theå bieåu dieãn ñònh luaät Hooke theo hai haèng soá ñaøn hoài G vaø ν:

δδν−

ν+δδ=

lll kijjikijk 21G2C (5.179)

ôû ñaây G laø moâñun tröôït vaø ν laø heä soá Poisson. Baây giôø caùc tenxô Hkl vaø *kHl

nhö ñöôïc ñònh nghóa trong caùc phöông trình (5.134) vaø (5.135) thu ñöôïc nhö

llll kijk

ij

*kk sG6C

fHH =

σ∂∂

== (5.180)

Ñaàu tieân haõy khaûo saùt quy luaät bieán cöùng cuûa Prager. Baèng caùch duøng phöông trình (5.162) cho tenxô Aij, phöông trình (5.178) cho ∂f/∂σij vaø ∂g/∂σij, vaø phöông trình (5.180) cho Hkl vaø *

kHl, haøm voâ höôùng h nhö ñöôïc ñònh nghóa trong

phöông trình (5.171) coù theå ñöôïc vieát nhö

284

llllll kk

e

eekkkk ss6M

d

d2ss)M1(c9ssG18h

εσ

σ+−+= (5.181)

ôû ñaây ta ñaõ thay theá k bôûi eσ trong phöông trình (5.171) vaø ñaõ duøng haøm chaûy cuûa phöông trình (5.176). Baèng caùch duøng pheùp ñònh nghóa ñoä doác hay ñoä cöùng cuûa quan heä öùng suaát−bieán daïng töông ñöông ruùt goïn, pe d/dH εσ= , haøm voâ

höôùng h coù theå ñöôïc ruùt goïn veà daïng ñôn giaûn

[ ] 2epHM4)M1(c6G12h σ+−+= (5.182)

Trong phöông trình naøy, thoâng soá c ñöôïc lieân heä vôùi thaønh phaàn bieán cöùng ñoäng hoïc vaø thoâng soá pH ñöôïc lieân heä vôùi thaønh phaàn bieán cöùng ñaúng höôùng cuûa moâ hình bieán cöùng hoãn hôïp. Hai thoâng soá naøy seõ ñöôïc xaùc ñònh töø ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng ñôn truïc. Ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát ñôn truïc, tenxô öùng suaát ruùt goïn ijσ coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö

jivôùiñoái0210

ij

11223322

111111

≠=σ

α=α−=σ=σ

α−σ=σ

(5.183)

ôû ñaây α22 = α33 = −α11/2 sinh ra tröïc tieáp töø quy luaät bieán cöùng cuûa Prager, phöông trình (5.106), vaø ñieàu kieän khoâng neùn khi chaûy deûo cuûa vaät lieäu J2. Do ñoù, öùng suaát töông ñöông ruùt goïn eσ trong tröôøng hôïp keùo ñôn truïc thu ñöôïc nhö

[ ]

21111

21133

23322

222112

2e

)23(

)()()(21J3

α−σ=

σ−σ+σ−σ+σ−σ==σ (5.184)

Töø phöông trình (5.184) vaø duøng phöông trình (5.06) ñoái vôùi dα11, ta coù

p1111e d)M1(c

2

3dd ε−−σ=σ ñoái vôùi quy luaät cuûa Prager, (5.185)

Baèng caùch duøng phöông trình (5.105) cho edσ vaø chuù yù raèng dσ11 vaø p11dε thì

baèng vôùi dσe vaø dεp, trong tröôøng hôïp keùo ñôn truïc, ta thu ñöôïc

pp

p

e Hc23c

23HM

d

d=

+

−=

εσ

(5.186)

285

ÔÛ ñaây, ñònh nghóa moâñun deûo Hp, phöông trình (5.96), ñaõ ñöôïc duøng. Do M laø haèng soá vaät lieäu tuøy yù vaø phöông trình (5.162) phaûi phuø hôïp cho moïi giaù trò cuûa M, nghóa laø

ppp HH,H32c == (5.187)

Cuoái cuøng, thay phöông trình (5.187) vaøo (5.182) seõ ñöa ñeán haøm voâ höôùng h trong daïng ñôn giaûn

2ep )HG3(4h σ+= (5.188)

Do ñoù, tenxô ñoä cöùng ñaøn−deûo cho vaät lieäu von Mises vôùi quy luaät bieán cöùng hoãn hôïp keát hôïp nhaän ñöôïc nhö

ijij

2

ijkepijk ss

h

G36CC −=

ll (5.189)

Ta neân chuù yù raèng eσ vaø ijs laø caùc giaù trò öùng suaát ruùt goïn, töùc laø, chuùng ñöôïc lieân quan ñeán khoâng gian öùng suaát vôùi ñieåm goác ôû taâm cuûa beà maët chaûy ñöôïc tònh tieán ñoäng hoïc hieän haønh.

Ñoái vôùi quy luaät bieán cöùng cuûa Ziegler vaø baèng caùch duøng phöông trình (5.163) thay cho phöông trình (5.162) cho Aij, ta thu ñöôïc haøm voâ höôùng h nhö

[ ] 2epe HM4)M1(a4G12h σ+σ−+= (5.190)

Ñeå xaùc ñònh caùc thoâng soá bieán cöùng a vaø pH , ta söû duïng phöông trình (5.107) thay cho phöông trình (5.106) ñoái vôùi dα11 trong phöông trình (5.184) vaø thu ñöôïc baûn sao cuûa phöông trình (5.185)

11p11e d)M1(add σε−−σ=σ (5.191)

Töông töï caùch thu phöông trình (5.186), ta nhaän ñöôïc

( )[ ] peep

p

e HaaHMd

d=σ+σ−=

εσ

(5.192)

Baèng caùch duøng cuøng luaän cöù nhö ñoái vôùi phöông trình (5.187), ta coù theå keát luaän töø phöông trình (5.192) raèng

pp

e

pHH,

Ha =

σ= (5.193)

Cuoái cuøng, quy luaät bieán cöùng cuûa Ziegler daãn ñeán bieåu thöùc töông töï cho h , phöông trình (5.188), nhö quy luaät bieán cöùng cuûa Prager ñoái vôùi vaät lieäu J2.

286

Caùc phöông trình (5.188) vaø (5.189) xaùc ñònh tenxô ñoä cöùng tieáp tuyeán ñaøn−deûo epijkC

l ñoái vôùi vaät lieäu von Mises bieán cöùng hoãn hôïp, noù goàm bieán cöùng ñaúng

höôùng, bieán cöùng ñoäng hoïc, vaø chaûy deûo lyù töôûng (khoâng coù bieán cöùng) nhö caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät. Ñieàu naøy ñöôïc minh hoïa döôùi ñaây.

(i) Tröôøng hôïp bieán cöùng ñaúng höôùng. Ñoái vôùi tröôøng hôïp naøy, ta coù M = 1, αij = 0, vaø ijs = sij. Haøm ñaët taûi f, haøm voâ höôùng h, vaø tenxô ñoä cöùng tieáp tuyeán

ñaøn−deûo epijkC

l laø

0)(ss23)k,(f p

2eijijij =εσ−=σ (5.194)

2ep )HG3(4hh σ+== (5.195)

lll kij

2

ijkepijk ss

hG36CC −= (5.196)

Moät caùch khaùc, baèng caùch duøng phöông trình (5.141), ta coù

l

l

kk

gHh

σ∂∂

+κ= (5.197)

So saùnh phöông trình (5.195) vôùi phöông trình (5.197), ta coù

2epH4

1Gσ

= (5.198)

Phöông trình naøy töông töï vôùi phöông trình (5.112) ñöôïc cho tröôùc ñaây trong thí duï 5.5, nhöng khaùc bôûi heä soá 9. Ñieàu naøy laø bôûi vì haøm ñaët taûi ñöôïc duøng trong phöông trình (5.194) khaùc vôùi haøm ñaët taûi ñöôïc duøng trong phöông trình (5.108) bôûi heä soá 3.

(ii) Tröôøng hôïp bieán cöùng ñoäng hoïc. Ñoái vôùi tröôøng hôïp naøy, ta coù M = 0 vaø 2eσ = constant = 2

0σ . Haøm ñaët taûi trôû thaønh

0ss23)(f 2

0ijijijij =σ−=α−σ (5.199)

Tenxô ñoä cöùng tieáp tuyeán ñaøn−deûo epijkC

l vaø bieåu thöùc ñoái vôùi haøm voâ höôùng h

töông öùng laáy cuøng daïng nhö caùc phöông trình (5.189) vaø (5.188), vôùi 2eσ = σ0.

Baây giôø ta haõy xaùc ñònh söï dòch chuyeån cuûa taâm, dαij. Theo quy luaät bieán cöùng cuûa Ziegler, phöông trình (5.107), ta coù

ij0

ppij

e

ppijpij

dHdHadd σ

σ

ε=σ

σ

ε=σε=α (5.200)

287

trong ñoù phöông trình (5.193) ñaõ ñöôïc duøng. Chuù yù raèng trong phöông trình (5.200), Hpdεp = dσe = ( ) ijije dss2/3( σ , nghóa laø gia soá öùng suaát töông ñöông ñöôïc ñònh giaù chæ ñoái vôùi caùc gia soá caùc thaønh phaàn öùng suaát, nghóa laø, vôùi haèng soá αij.

Ñoái vôùi tröôøng hôïp ñaëc bieät trong thí duï 5.4, σx = σ, τxy = τ, caùc thaønh phaàn öùng suaát khaùc baèng zero, )d3d)(/1(dsH 0pp ττ+σσσ= , phöông trình (5.200) daãn ñeán phöông trình (5.50).

(iii) Tröôøng hôïp chaûy deûo lyù töôûng. Ñoái vôùi tröôøng hôïp naøy, ta coù M = 1, αij = 0, eσ = σ0 = constant, vaø Hp = 0. Ñoä cöùng tieáp tuyeán ñaøn−deûo laáy cuøng daïng nhö phöông trình (5.196), nhöng haøm voâ höôùng h trong phöông trình (5.195) trôû thaønh

220 GJ36G12h =σ= (5.201)

Do ñoù,

lll kij

2ijk

epijk ss

J

GCC −= (5.202)

noù daãn ñeán phöông trình (5.92), quan heä cô sôû ñoái vôùi vaät lieäu von Mises chaûy deûo lyù töôûng.

Thí duï 5.8 Haõy xaùc ñònh caùc phöông trình öùng suaát−bieán daïng ñoái vôùi vaät lieäu Drucker−Prager bieán cöùng ñaúng höôùng vôùi quy luaät chaûy khoâng keát hôïp.

Giaûi

Daïng toång quaùt cuûa haøm ñaët taûi cuûa vaät lieäu Drucker−Prager bieán cöùng ñaúng höôùng coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö

0)(kJI)(),(f p21ppij =ε++εα=εσ (5.203)

Trong muïc 4.10, phöông trình öùng suaát−bieán daïng ñoái vôùi vaät lieäu chaûy deûo lyù töôûng ñaõ ñöôïc giôùi thieäu vôùi α = const vaø k = const. ÔÛ ñaây, vì söï ñôn giaûn, ta seõ giaû söû raèng ñoä doác cuûa beà maët ñaët taûi trong khoâng gian 2/1

21 JI − laø haèng, α(εp) = α1, ñeå maø öùng xöû bieán cöùng cuûa vaät lieäu coù theå ñöôïc xaùc ñònh moät caùch duy nhaát bôûi quan heä öùng suaát−bieán daïng ñôn truïc thoâng qua thoâng soá bieán cöùng k(εp)

0)(kJI),(f p211pij =ε++α=εσ (5.204)

Nhö ñaõ ñöôïc baøn luaän tröôùc ñaây trong muïc 4.19, bieán daïng deûo cuûa vaät lieäu Drucker−Prager luoân ñöôïc ñi keøm bôûi söï giaõn nôû theå tích neáu ñònh luaät chaûy keát

288

hôïp ñöôïc choïn. Trong tröôøng hôïp naøy, suaát giaõn nôû ñöôïc chi phoái bôûi thoâng soá α, phöông trình (4.120). ÔÛ ñaây, ta seõ duøng haøm theá naêng deûo töông töï nhö haøm ñaët taûi, phöông trình (5.204)

212ij JI)(g +α=σ (5.205)

ôû ñaây 0 ≤ α2 ≤ α1 laø haèng soá. Caùc beà maët ñaët taûi keá tieáp vaø beà maët theá naêng ñöôïc veõ trong hình 5.12. Caùc ñaïo haøm rieâng cuûa f vaø g thu ñöôïc nhö

ij2

ij1ij

sJ2

1f+δα=

σ∂∂ (5.206)

ij2

ij2ij

sJ2

1g+δα=

σ∂∂ (5.207)

Baèng caùch duøng tenxô ñoä cöùng ñaøn hoài trong daïng

( )jkijijkijijk GG3

2KC δδ+δδ+δδ

−=llll

(5.208)

ta thu ñöôïc

llll k

2k1

ijijkk s

J

1K3

fCH +δα=

σ∂∂

= (5.209)

Beà maët theá naêng deûo

Beà maët ñaët taûi hieän haønh

Caùc beà maët ñaët taûi keá tieáp

Hình 5.12 Caùc maët ñaët taûi vaø theá naêng deûo ñoái vôùi vaät lieäu Drucker−Prager vôùi quy luaät chaûy khoâng keát hôïp

289

llll k

2k2

ijijk

*k s

J

1K3

gCH +δα=

σ∂∂

= (5.210)

Do haøm ñaët taûi khoâng ñöôïc bieåu dieãn roõ raøng nhö laø haøm cuûa pijε , ta coù

0/f pij =ε∂∂ . Ñeå xaùc ñònh haøm voâ höôùng h ñöôïc ñònh nghóa trong phöông trình

(5.132), ta cuõng caàn thu ñöôïc dk/dεp vaø thoâng soá C. ÖÙng suaát töông ñöông σe ñoái vôùi vaät lieäu Drucker−Prager ñaõ thu ñöôïc trong muïc 5.5, phöông trình (5.79)

( )

1

211e

31

JI3

α+

+α=σ (5.211)

Baèng caùch duøng caùc phöông trình (5.204) vaø (5.211), ta coù theå bieåu dieãn k theo σe

e1

3

31k σ

α+=

töø keát quaû naøy ta thu ñöôïc

p1

p

e1

p

H3

31

d

d

3

31

ddk α+

=εσα+

=ε

(5.212)

ôû ñaây Hp ñöôïc xaùc ñònh töø ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng keùo ñôn truïc, dσ = Hpdε.

Bieán daïng töông ñöông, εp, ñaõ thu ñöôïc ñoái vôùi tröôøng hôïp quy luaät chaûy keát hôïp trong muïc 5.5. ÔÛ ñaây, ta seõ thöïc hieän thuû tuïc töông töï vaø thu ñöôïc bieåu thöùc cuûa dεp cho quy luaät chaûy khoâng keát hôïp.

pij

pij

stst

pij

pij

e

kk

e

kk

e

pkk

e

pp

ddCgg

ddg

d

g

ddWd

εε=

σ∂∂

σ∂∂

εε

σσ∂∂

σ=

λσ

σ∂∂

σ=

σεσ

=σ

=ε

l

l

l

l

ll

(5.213)

Trong ñoù ta ñaõ duøng phöông trình (5.83) nhö ñònh nghóa cuûa dεp. Töø phöông trình treân, ta coù

290

estst

kk

gg

g

C

σσ∂∂

σ∂∂

σ∂∂σ

= l

l

(5.214)

Thay caùc phöông trình töø (5.206) ñeán (5.214) vaøo (5.132), ta coù theå bieåu dieãn haøm voâ höôùng h nhö

( ) p

2

1212

21 H31k3

JIK9Gh α+

+α+αα+= (5.215)

Cuoái cuøng, ta thu ñöôïc tenxô ñoä cöùng tieáp tuyeán ñaøn−deûo nhö

+δα

+δα−=

−=

ij

2

ij2k

2

k1ijk

k*ijijk

epijk

sJ

GK3s

J

GK3

h1

C

HHh1CC

lll

lll

(5.216)

Nhö ñaõ ñöôïc chuù yù tröôùc ñaây trong muïc 5.7.2, ñoái vôùi vaät lieäu quy luaät chaûy deûo khoâng keát hôïp, ñoä cöùng ep

ijkCl nhö ñöôïc cho bôûi phöông trình (5.216), laø khoâng

ñoái xöùng. Tuy nhieân, ñoái vôùi giaù trò cuûa thoâng soá α2 trong mieàn 0 ≤ α2 ≤ α1, epijkC

l vaãn xaùc ñònh döông. Söï thay ñoåi theå tích deûo hay söï giaõn nôû theå tích coù giaù

trò

λα=ε d3d 2pkk (5.217)

Baèng caùch hieäu chænh giaù trò cuûa α2, suaát giaõn nôû theå tích cuûa vaät lieäu coù theå ñöôïc ñieàu khieån töø 0 (khoâng neùn) leân ñeán 3α1dλ.

Ta haõy khaûo saùt ba tröôøng hôïp ñaëc bieät sau ñaây:

Tröôøng hôïp (i): Tröôøng hôïp quy luaät chaûy keát hôïp. Ñoái vôùi tröôøng hôïp naøy, α2 = α1 = α, ta coù

p

22 H

3

1K9Gh

+α+α+= (5.218)

+αδ

+αδ−= ij

2

ijk

2

kijkepijk s

J

GK3sJ

GK3h1CC

llll (5.219)

Hôn nöõa, neáu öùng xöû chaûy deûo ñöôïc xem laø lyù töôûng, caùc phöông trình (5.218) vaø (5.219) daãn ñeán phöông trình (4.126) ñoái vôùi vaät lieäu Drucker−Prager lyù töôûng.

291

Tröôøng hôïp (ii): Beà maët Drucker−Prager ñöôïc duøng nhö beà maët theá naêng chaûy deûo ñoái vôùi vaät lieäu von Mises. Ñoái vôùi tröôøng hôïp naøy, α1 = 0, α2 > 0, ta coù

p212 H

k3

JIGh

+α+= (5.220)

lll k

2

ij

2

ij2ijkepijk s

J

GsJ

GK3h1CC

+δα−= (5.221)

vaø vaät lieäu von Mises khoâng coøn khoâng bò neùn deûo nöõa, vaø suaát giaõn nôû ñöôïc cho bôûi phöông trình (5.217).

Tröôøng hôïp (iii): Beà maët von Mises ñöôïc duøng nhö beà maët theá naêng chaûy deûo ñoái vôùi vaät lieäu Drucker−Prager. Ñoái vôùi tröôøng hôïp naøy, α1 > 0, α2 = 0, ta coù

( ) p

2

12 H31

k3

JGh α++= (5.222)

+δα−=

llll k2

k1ij2

ijkepijk s

J

GK3s

J

G

h

1CC (5.223)

vaø vaät lieäu trôû neân khoâng theå neùn deûo, 0d pkk =ε .

5.8 BAØI TAÄP

5.1 Trong lyù thuyeát bieán daïng, ta giaû ñònh quan heä öùng suaát−bieán daïng toång coù daïng

( ) ij22ij1ij scJbaI ++δε

a) Haõy xaùc ñònh caùc haèng soá vaät lieäu a, b, vaø c neáu caùc ñöôøng cong ñaùp öùng cuûa vaät lieäu ñöôïc xaáp xæ nhö döôùi ñaây.

(i) Trong thí nghieäm tröôït thuaàn tuùy (tröôït ñôn giaûn: τxy = τyx = τ, caùc thaønh phaàn öùng suaát khaùc σij = 0, vaø γxy = γ):

5

910 10.7,027

10.8,2

τ+

τ=γ , τ coù ñôn vò laø N/m2

(ii) Trong thí nghieäm öùng suaát thuûy tónh (σx = σy = σz = p, caùc thaønh phaàn öùng suaát khaùc σij = 0):

×=ευ 10107

p

2

3 , p coù ñôn vò laø N/m2

292

b) Moät phaân toá cuûa vaät lieäu ôû treân chòu lòch söû ñaët taûi ñeå taïo ra traïng thaùi öùng suaát sau ñaây:

−

−=σ

04256

42700

560140

.106ij , N/m2

Haõy döï ñoaùn caùc thaønh phaàn töông öùng cuûa bieán daïng εij.

5.2 Moät phaân toá vaät lieäu bieán cöùng ñoäng hoïc von Mises chòu taùc ñoäng taûi song truïc. Baây giôø moät gia soá öùng suaát (dσ1, dσ2) ñöôïc ñaët choàng leân traïng thaùi öùng suaát (σ1, σ2) noù naèm treân beà maët chaûy. Gia soá öùng suaát thoûa ñieàu kieän ñaët taûi. Haõy xaùc ñònh söï thay ñoåi toïa ñoä cuûa taâm beà maët ñaët taûi, dαij, ñöôïc döïa treân quy luaät bieán cöùng cuûa Ziegler.

5.3 Ñoái vôùi caùc traïng thaùi öùng suaát song truïc (σ1, σ2) vôùi σ3 = 0, haõy vieát phöông trình bieán daïng deûo gia soá döôùi caùc daïng thaønh phaàn ñoái vôùi vaät lieäu Tresca trong nhöõng cheá ñoä khaùc nhau, giaû ñònh theo quy luaät chaûy keát hôïp.

5.4 Moät ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng cuûa kim loaïi döôùi thí nghieäm keùo ñôn truïc ñöôïc giaû söû ñöôïc cho bôûi

σσ+σ=ε+ε=ε

n2

0

pe 1E

trong ñoù E = 2(1+ν)G laø moâñun ñaøn hoài, σ0 laø öùng suaát chaûy keùo ban ñaàu, vaø n laø thoâng soá vaät lieäu ñaõ cho. Giaû söû raèng kim loaïi laø khoâng neùn. Ñöôïc döïa treân lyù thuyeát bieán cöùng ñaúng höôùng cuûa von Mises, haõy chöùng minh quan heä öùng suaát−bieán daïng

++=ε−

22

ij

1n

22

ijijk

dJs

k

J

21n2

dsGd2

ôû ñaây k laø öùng suaát chaûy ban ñaàu trong tröôït thuaàn tuùy.

5.5 Moät oáng troøn thaønh moûng chòu taûi toå hôïp keùo ñôn truïc vaø moment xoaén. Moät traïng thaùi öùng suaát vôùi σ = σ0 vaø τ = σ0/ 3 ñöôïc ñaït ñeán trong vaùch cuûa oáng. Quan heä öùng suaát−bieán daïng cuûa vaät lieäu trong keùo ñôn giaûn ñöôïc cho bôûi

293

σ≥σσ−σ

+σ

σ<σσ

=ε)(

EE

)(E

0p

00

0

ñaây laø quan heä öùng suaát−bieán daïng ñaøn−deûo bieán cöùng tuyeán tính vôùi moâñun ñaøn hoài E vaø moâñun deûo Ep, vaø σ0 laø öùng suaát chaûy ban ñaàu. Giaû söû vaät lieäu laø loaïi von Mises bieán cöùng ñaúng höôùng. Haõy tìm traïng thaùi bieán daïng (ε, γ) töông öùng vôùi traïng thaùi öùng suaát ñaõ cho (σ0, σ0/ 3 ) ñoái vôùi caùc loä trình ñaët taûi döôùi ñaây (H.5.5):

(i) ÖÙng suaát phaùp σ ñaàu tieân taêng leân σ0 vaø roài duy trì haèng soá. ÖÙng suaát tieáp τ taêng leân σ0/ 3 (loä trình OCB).

(ii) ÖÙng suaát tieáp τ ñaàu tieân taêng leân σ0/ 3 vaø roài duy trì haèng soá. ÖÙng suaát phaùp σ taêng leân σ0 (loä trình OAB).

(iii) Caùc öùng suaát σ vaø τ gia taêng vôùi tyû soá haèng σ/τ = 3 cho tôùi khi σ = σ0 (loä trình OB).

Haõy duøng lyù thuyeát bieán daïng ñeå tìm (ε, γ) vaø so saùnh noù vôùi caùc keát quaû thu ñöôïc trong (i), (ii), vaø (iii).

5.6 Haõy tieáp tuïc baøi toaùn cuûa thí duï 5.6:

a) Neáu loä trình ñaët taûi ñöôïc truy baét theo traät töï ngöôïc: (−iv), (−iii), (−ii), (−i), nghóa laø, O−C−B−A−O, haõy tìm caùc thaønh phaàn bieán daïng deûo ôû cuoái cuûa moãi loä trình ñaët taûi, vaø so saùnh caùc bieán daïng dö trong chu kyø ñaët taûi naøy vôùi caùc bieán daïng töông öùng ñöôïc cho bôûi thí duï 5.6.

b) Haõy veõ caùc ñöôøng cong lieân tuïc luùc baét ñaàu, giöõa, vaø cuoái cuûa loä trình ñaët taûi (−iv), vaø chæ roõ tính phaùp tuyeán cuûa p

ijdε ñoái vôùi caùc ñöôøng cong chaûy

naøy döïa treân caùc tính toaùn soá cuûa baïn ôû cuoái cuûa loä trình (−iv).

Hình 5.5

294

5.7 ÖÙng xöû cuûa moät kim loaïi ñöôïc giaû ñònh laø bò chi phoái bôûi lyù thuyeát chaûy deûo ñöôïc döïa treân quy luaät bieán cöùng öùng suaát ñaúng höôùng cuûa loaïi J2 (von Mises); nghóa laø, khi chaûy deûo xaûy ra ta coù

2ij2pij dJs)J(Gd =ε

ÖÙng xöû ñaøn hoài tuyeán tính ñaúng höôùng ñöôïc giaû söû cho vieäc caát taûi. Moät phaân toá cuûa vaät lieäu naøy chòu caùc lòch söû ñaët taûi toå hôïp chuùng gaây ra caùc loä trình öùng suaát ñöôøng thaúng döôùi ñaây trong khoâng gian öùng suaát (σ, τ); caùc ñôn vò laø N/m2 (keùo, tröôït), nhö ñöôïc bieåu thò trong hình P5.7:

(i) Töø (0, 0) ñeán (70.106, 70.106)

(ii) Töø (70.106, 70.106) ñeán (70.106, 0)

(iii) Töø (70.106, 0) ñeán (210.106, 0)

(iv) Töø (210.106, 70.106) ñeán (0, 0)

a) Haõy xaùc ñònh haøm )J(G 2 . Ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng cuûa kim loaïi treân loä trình ñaët taûi keùo ñaàu tieân ñöôïc xaáp xæ nhö sau (σ coù ñôn vò N/m2):

5

910pe

10.7,0107

σ×

σ=ε+ε=ε

Heä soá Poisson ñöôïc giaû söû laø ν = 0,3.

b) Haõy vieát quan heä öùng suaát−bieán daïng deûo roõ raøng trong daïng thaønh phaàn theo σ, τ, dσ, vaø dτ.

Hình 5.7

295

c) Haõy xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa caùc bieán daïng ñaøn hoài vaø deûo toång ôû cuoái cuûa moãi loä trình öùng suaát.

d) Haõy veõ phaùc caùc ñöôøng cong chaûy keá tieáp luùc baét ñaàu vaø keát thuùc cuûa moãi loä trình öùng suaát. Haõy lieät keâ caùc phaàn cuûa caùc loä trình öùng suaát ñaõ cho maø chuùng caáu thaønh vieäc ñaët taûi deûo vaø vieäc caát taûi.

5.8 Quan heä öùng suaát−bieán daïng cuûa moät vaät lieäu J2 trong thí nghieäm tröôït thuaàn tuùy ñöôïc xaáp xæ bôûi

τ≥ττ−τ

+τ

τ<ττ

=γ)(

mG

)(G

yy

y

ôû ñaây τy laø öùng suaát chaûy ban ñaàu trong tröôït. Baèng caùch duøng lyù thuyeát bieán daïng, haõy vieát caùc moái quan heä öùng suaát−bieán daïng cuûa vaät lieäu:

(i) Trong traïng thaùi keùo ñôn giaûn, σx = σ, εx = ε, caùc thaønh phaàn öùng suaát khaùc baèng zero.

(ii) Trong traïng thaùi keùo−neùn song truïc baèng nhau, σx = σ, σy = −σ, εx = ε, εy = −ε, caùc thaønh phaàn öùng suaát khaùc baèng zero.

5.9 Moái quan heä öùng suaát−bieán daïng cuûa moät vaät lieäu trong keùo ñôn giaûn ñöôïc cho bôûi

σσ+σ=ε+ε=ε

m

0

pe 1E

ôû ñaây σ0 laø öùng suaát chaûy ban ñaàu trong keùo, vaø m laø haèng soá ñaõ cho. Baèng caùch duøng lyù thuyeát gia soá J2, haõy xaùc ñònh bieåu thöùc cho dτ/dγ trong traïng thaùi öùng suaát tröôït thaàn tuùy.

5.10 Moät oáng theùp daøi thaønh moûng ñöôøng kính D vaø chieàu daøy thaønh t chòu aùp suaát beân trong p1 vaø aùp suaát beân ngoaøi p2 nhö ñöôïc bieåu thò trong hình P5.10. Caùc ñaàu cuoái cuûa oáng ñöôïc ñoùng kính. AÙp suaát beân ngoaøi ñöôïc giaû söû laø khoâng aûnh höôûng ñeán thaønh phaàn öùng suaát doïc truïc cuûa oáng. Giaû ñònh raèng vaät lieäu tuaân theo lyù thuyeát bieán cöùng ñaúng höôùng J2, vaø duøng moái quan heä öùng suaát töông ñöông−bieán daïng töông ñöông döôùi daïng

3ep aσ=ε

296

ôû ñaây a laø haèng soá, haõy xaùc ñònh caùc bieán daïng deloä trình ñaët taûi sau ñaây baèng caùch duøng lyù thuyeát gia soá:

(i) (p1, p2) = (0, 0) → (P1, RP1)

(ii) (p1, p2) = (0, 0) → (0, RP1) →

(iii) (p1, p2) = (0, 0) → (P1, 0) → (P

ôû ñaây paε vaø p

cε töông öùng laø caùc bieán daïng deûo doïc truïc vaø tieáp tuyeán, vaø P1 vaø R laø nhöõng haèng soá, R = 3/2. Haõy veõ phaùc caùc beà maët chaûy vaø caùc loä trình ñaët taûi trong khoâng gian (trong ba tröôøng hôïp ñaët taûi.

5.11 Haõy xaùc ñònh caùc bieán daïng deûo (trong baøi taäp 5.10 ñoái vôùi loä trình ñaët taûi tyû leä baèng caùch duøng lyù thuyeát bieán daïng cho vaät lieäu J2.

ôû ñaây a laø haèng soá, haõy xaùc ñònh caùc bieán daïng deûo ( ), pc

pa εε ôû cuoái cuûa ba

loä trình ñaët taûi sau ñaây baèng caùch duøng lyù thuyeát gia soá:

(P1, RP1)

(P1, RP1)

töông öùng laø caùc bieán daïng deûo doïc truïc vaø tieáp tuyeán, vaø vaø R laø nhöõng haèng soá, R = 3/2. Haõy veõ phaùc caùc beà maët chaûy vaø caùc

loä trình ñaët taûi trong khoâng gian (σa, σc), vaø giaûi thích keát quaû thu ñöôïc

Haõy xaùc ñònh caùc bieán daïng deûo ( ), pc

pa εε cuûa oáng thaønh moûng ñöôïc moâ taû

trong baøi taäp 5.10 ñoái vôùi loä trình ñaët taûi tyû leä baèng caùch duøng lyù thuyeát

297

CC hh öö ôô nn gg 66

CHAÛY DEÛO CUÛA KIM LOAÏI

6.1 GIÔÙI THIEÄU

Caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng döôùi traïng thaùi öùng suaát toå hôïp ñaõ ñöôïc ñeà caäp trong chöông 4 vaø 5 laø ñieån hình cho caùc kim loaïi ña tinh theå. Ta bieát raèng, theùp ít carbon (theùp meàm) bieåu thò chaûy deûo döôùi öùng suaát haèng (hình 1.1a). ÖÙng xöû naøy coù theå ñöôïc moâ hình bôûi lyù thuyeát chaûy deûo lyù töôûng. Caùc kim loaïi thoâng duïng hôn nhö nhoâm vaø ñoàng, noùi chung, thuoäc loaïi caùc vaät lieäu bieán cöùng (hình 1.1b). Chuùng coù theå ñöôïc moâ hình toát nhaát bôûi lyù thuyeát deûo bieán cöùng.

Moät trong nhöõng ñaëc ñieåm ñaùng chuù yù cuûa kim loaïi laø caùc aûnh höôûng cuûa öùng suaát thuûy tónh leân chaûy deûo vaø söï bieán daïng deûo keá tieáp khoâng theå ñaùnh giaù ñöôïc. Nhöõng söï kieän naøy nguï yù raèng, chæ coù öùng suaát tieáp ñoùng vai troø then choát cho chaûy deûo vaø söï thay ñoåi theå tích deûo ñöôïc boû qua ngay caû ñoái vôùi nhöõng bieán daïng deûo lôùn. Ñieàu kieän öùng suaát tieáp cöïc ñaïi cuûa Tresca vaø ñieàu kieän öùng suaát tieáp baùt dieän cuûa von Mises cho chaûy deûo cho thaáy phuø hôïp toát vôùi caùc döõ lieäu thí nghieäm, vaø quy luaät chaûy deûo ñöôïc keát hôïp vôùi moät trong hai haøm chaûy naøy döï ñoaùn bieán daïng tröôït deûo khoâng coù söï thay ñoåi theå tích deûo. Do ñoù, moâ hình Tresca hoaëc von Mises coù hoaëc khoâng coù söï bieán cöùng noùi chung ñöôïc thöøa nhaän trong vieäc thieát laäp caùc ñònh luaät cô baûn cuûa chaûy deûo kim loaïi.

Do baûn chaát phi tuyeán cuûa caùc quan heä cô baûn chaûy deûo, caùc lôøi giaûi giaûi tích cuûa caùc baøi toaùn trò bieân raát khoù thu ñöôïc. Cho ñeán baây giôø, chæ coù raát ít lôøi giaûi chính xaùc cuûa caùc baøi toaùn trò bieân ñaøn−deûo. Trieån voïng töông lai cho caùc lôøi giaûi chính xaùc laø khoâng töôi saùng ñoái vôùi tröôøng hôïp cuûa caùc quaù trình ba chieàu nôi maø bieán daïng dö laø quan troïng hay tính phöùc taïp hình hoïc laø ñaëc tính tieâu bieåu cuûa baøi toaùn. Nhôø coù söï phaùt trieån nhanh choùng cuûa maùy tính toác ñoä cao vaø caùc kyõ thuaät tính soá hieän ñaïi, vieäc phaân tích phi tuyeán gia soá cuûa caùc baøi toaùn keát caáu baát kyø baây giôø ñeàu coù theå thöïc hieän baèng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn maïnh meõ. Noù cung caáp lyù thuyeát deûo coå ñieån vôùi nhöõng khaùi nieäm môùi hôn vaø nhöõng öùng duïng roäng raõi hôn.

298

Chöông naøy, quan taâm ñeán nhöõng öùng duïng cuûa caùc quan heä cô baûn cuûa kim loaïi ñeán caùc tính toaùn keát caáu baèng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn phi tuyeán. Vieäc hình thaønh quan heä cô baûn ñaøn−deûo ñöôïc toùm taét trong muïc 6.2, trong ñoù ma traän ñoä cöùng ñaøn−deûo [Cep] ñöôïc döïa treân lyù thuyeát J2 ñöôïc cho trong caùc daïng 3−D cuõng nhö 2−D ñoái vôùi vieäc laäp trình maùy tính. Caùc vieäc hình thaønh cuûa phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn keát caáu ñaøn−deûo ñöôïc toång keát trong muïc 6.3. Trong muïc 6.4 vaø 6.5, caùc giaûi thuaät giaûi baøi toaùn phaàn töû höõu haïn vaät lieäu phi tuyeán toång quaùt ñöôïc ñeà caäp chi tieát. Caùc muïc 6.6 vaø 6.7 xöû lyù moät soá phaùt trieån hôn nöõa veà lyù thuyeát deûo kim loaïi. Lyù thuyeát beà maët bieân ñaõ ñöôïc phaùt trieån gaàn ñaây cho moâ hình öùng xöû cuûa caùc kim loaïi döôùi cheá ñoä ñaët taûi chu kyø ñöôïc giôùi thieäu trong muïc 6.6. Vieäc baøn luaän vaén taét veà caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng cho caùc vaät lieäu tröïc höôùng ñöôïc trình baøy trong muïc 6.7.

6.2 SÖÏ HÌNH THAØNH MA TRAÄN ÑAØN−−−−DEÛO

Phöông phaùp phaàn töû höõu haïn gia soá khi ñöôïc aùp duïng thaønh coâng cho chaûy deûo kim loaïi nhôø söï thieát laäp ma traän ñoä cöùng tieáp tuyeán ñaøn−deûo [Cep]. Nhöõng vieäc hình thaønh coâng thöùc cuûa ma traän [Cep] ñaõ ñöôïc ñeà caäp trong nhöõng chöông tröôùc baây giôø ñöôïc toùm taét trong caùc phaàn sau ñaây.

(i) Ma traän [Cep] cuûa vaät lieäu toång quaùt vôùi quy luaät bieán cöùng hoãn hôïp ñöôïc cung caáp bôûi nhöõng phöông trình (5.173) vaø (5.171). Ma traän ñaøn−deûo [Cep] ñöôïc bieåu dieãn theâm bôûi caùc phöông trình (5.187), (5.188), vaø (5.189). Nhö coù theå ñöôïc thaáy, caùc phaàn töû cuûa ma traän ñöôïc bieåu dieãn theo caùc ñaïo haøm rieâng cuûa haøm chaûy vaø haøm theá naêng chaûy.

(ii) Ñoái vôùi vaät lieäu ñaúng höôùng, caùc ñaïo haøm rieâng ∂f/∂σij (hoaëc ∂g/∂σij) coù theå ñöôïc vieát theo caùc ñaïo haøm rieâng lieân quan vôùi caùc baát bieán öùng suaát ∂f/∂I1, ∂f/∂J2, vaø ∂f/∂J3 nhö ñöôïc cho bôûi phöông trình (4.140) (xem muïc 4.11). Caùc phöông trình (4.156), (4.157), vaø (4.158) laø nhöõng bieåu thöùc toång quaùt cuûa ma traän ñoä cöùng tieáp tuyeán [Cep] ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn−deûo lyù töôûng (khoâng coù bieán cöùng).

(iii) Ñoái vôùi vaät lieäu J2 ñöôïc duøng phoå bieán trong chaûy deûo kim loaïi, ma traän [Cep] ñaõ thu ñöôïc trong thí duï 5.7. Daïng cuï theå trong caùc tröôøng hôïp 3−D vaø 2−D seõ ñöôïc cho ôû ñaây.

6.2.1 Ma traän ñoä cöùng ñaøn−−−−deûo 3−−−−D

Ta vieát laïi moái quan heä gia soá cuûa caùc ñaúng thöùc (5.143) vaø (5.145)

lllll k

pijkijkk

epijkij d)CC(dCd ε+=ε=σ (6.1)

299

trong ñoù gia soá tenxô öùng suaát vaø bieán daïng dσij, dεij ñöôïc bieåu dieãn toång quaùt trong nhöõng daïng vectô:

ddddddd xyzxyzzyxT τττσσσ=σ (6.2)

ddddddd xyzxyzzyxT γγγεεε=ε (6.3)

Vaø tenxô cuûa moâñun ñaøn hoài Cijkl ñöôïc bieåu dieãn trong daïng ma traän

+−−

−+−

−−+

=

G00000

0G0000

00G000

000)G3

4K()G

3

2K()G

3

2K(

000)G3

2K()G

3

4K()G

3

2K(

000)G3

2K()G

3

2K()G

3

4K(

]C[ (6.4)

trong ñoù G vaø K töông öùng laø caùc moâñun tröôït vaø khoái. Tenxô ñoä cöùng deûo Cp

ijkl ñoái vôùi vaät lieäu J2 ñöôïc cho bôûi phöông trình (5.189) nhö

ijij

2pijk ss

h

G36C −=

l (6.5)

trong ñoù haøm voâ höôùng h ñöôïc bieåu dieãn bôûi ñaúng thöùc (5.188) laø

2ep )HG3(4h −σ+= (6.6)

vaø ijs laø tenxô leäch öùng suaát ruùt goïn cuõng ñöôïc bieåu dieãn trong daïng vectô nhö

ssssssS xyzxyzzyxT = (6.7)

Do ñoù, tenxô ñoä cöùng deûo coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö ma traän 6×6:

=

2xyzxxyyzxyzxyyxyxxy

2zxyzzxzzxyzxxzx

2yzzyzyyzxyz

2zyzxz

2yxy

2x

p

sssssssssss

sssssssss

sssssss

sssss

sss

xöùngñoáis

]C[ (6.8)

trong ñoù 1/H = 36G2/h.

300

6.2.2 Tröôøng hôïp bieán daïng phaúng

Döôùi ñieàu kieän bieán daïng phaúng, dεz = dγxz = dγyz = 0. Caùc phöông trình (6.4) vaø (6.8) coù theå ñöôïc ruùt goïn, vaø ma traän ñoä cöùng ñaøn−deûo [Cep] ñöôïc bieåu dieãn trong daïng

−−−

−+−−

−+

=

H

sG

H

ss

H

ssH

sG

3

4K

H

ssG

3

2K

xöùngñoáiH

sG

3

4K

]C[

2xyyxyxxy

2yxy

2x

ep (6.9)

6.2.3 Tröôøng hôïp ñoái xöùng truïc

Caùc thaønh phaàn öùng suaát khaùc khoâng trong tröôøng hôïp ñoái xöùng truïc laø σr, σz, σθ, vaø τrz, vaø caùc bieán daïng töông öùng laø εr, εz, εθ, vaø γrz. Caùc phöông trình (6.4) vaø (6.8) coù theå ñöôïc thu goïn, vaø ma traän ñoä cöùng ñaøn−deûo [Cep] ñöôïc cho bôûi

−−−−

−+−−−−

−+−−

−+

=

θ

θθθ

H

sG

H

ss

H

ss

H

ssH

sG

3

4K

H

ssG

3

2K

H

ssG

3

2K

H

sG

3

4K

H

ssG

3

2K

H

sG

3

4K

]C[

2rzrzzrzrrz

2zr

2zrz

2r

ep (6.10)

6.2.4 Tröôøng hôïp öùng suaát phaúng

Trong tröôøng hôïp naøy, dσz = dτyz = dτxz = 0, nhöng thaønh phaàn bieán daïng dεz khoâng bò trieät tieâu, chæ nhöõng thaønh phaàn bieán daïng tröôït dγyz vaø dγzx laø trieät tieâu. dεz phaûi ñöôïc giaûi töø ñieàu kieän dσz = 0 vaø thay theá dεz thu ñöôïc vaøo phöông trình thöù nhaát vaø thöù hai cuûa (6.1). Tieáp theo ma traän ñoä cöùng ñaøn−deûo coù theå nhaän ñöôïc. Tuy nhieân, bieåu thöùc cuûa [Cep] thu ñöôïc baèng caùch naøy toán nhieàu coâng söùc. Moät daïng khaùc ñöôïc ñeà nghò bôûi Yamada (1969) thì töông ñoái ñôn giaûn. Noù coù daïng

301

−ν+

−−

−ν−

−ν−

ν

−ν−

=

s

s

)1(2

E

s

ss

s

sss

s

1

E

s

ss

1

E

xöùngñoáis

s

1

E

]C[

266261

22

221

2

21

2

ep (6.11)

vôùi xy6yx22yx21 s1

Es),ss(

1

Es),ss(

1

Es

ν+=+ν

ν−=ν+

ν−= (6.12)

vaø xy6x2x1pe ss2ssssH9

4s +++σ= (6.13)

Phöông trình (6.11) nhaän ñöôïc moät caùch tröïc tieáp töø daïng thaønh phaàn cuûa quy luaät chaûy. Ma traän ñoä cöùng tieáp tuyeán ñaøn−deûo [Cep] ñoái vôùi vaät lieäu tröïc höôùng trong tröôøng hôïp öùng suaát phaúng laáy daïng töông töï. Ñieàu naøy seõ ñöôïc cung caáp sau trong muïc 6.7.

6.3 PHÖÔNG PHAÙP PHAÀN TÖÛ HÖÕU HAÏN

Trong muïc naøy vaø caùc muïc sau, taøi lieäu naøy ñaùp öùng cho ngöôøi ñoïc ñaõ coù moät ít hieåu bieát veà tính toaùn phaàn töû höõu haïn tuyeán tính. Phöông trình chi phoái toång quaùt cuûa phöông phaùp phaàn töû höõu haïn cho baøi toaùn tónh coù theå thu ñöôïc töø nguyeân lyù coâng aûo, phöông trình (3.157),

∫∫∫ δ+δ=δεσV

iiA

iiV

ijij dVuqdAuTdV (6.14)

ôû ñaây δui vaø δεij töông öùng laø caùc gia soá chuyeån vò aûo vaø gia soá bieán daïng aûo, vaø chuùng taïo thaønh taäp hôïp töông thích cuûa bieán daïng; Ti vaø qi töông öùng laø aùp löïc beà maët vaø löïc theå tích; vaø σij vôùi Ti vaø qi taïo thaønh taäp hôïp caân baèng. Trong daïng ma traän, phöông trình (6.14) trôû thaønh:

∫ ∫∫ δ+δ=σδεV V

T

A

TT dVqudATudV (6.15)

ôû ñaây caùc vectô chuyeån vò u, bieán daïng ε, vaø öùng suaát σ ñöôïc ñònh nghóa nhö:

uuuu,uuuu 321T

321T δδδ=δ= (6.16)

xyzxyzzyxT γγγεεε=ε (6.17a)

ddddddd xyzxyzzyxT γγγεεε=ε (6.17b)

302

xyzxyzzyxT τττσσσ=σ (6.18)

Ñoái vôùi phaân tích tuyeán tính hình hoïc, hoaëc tính toaùn bieán daïng nhoû, ta coù

U]B[,U]B[ δ=δε=ε (6.19)

ôû ñaây U laø vectô chuyeån vò cuûa caùc ñieåm nuùt chuùng ñöôïc lieân heä vôùi vectô chuyeån vò phaân boá trong phaàn töû u bôûi

U]N[u = (6.20)

trong ñoù [N] laø ma traän cuûa haøm noäi suy chuyeån vò, hay haøm daïng, vaø ma traän chuyeån vò−bieán daïng [B] laø ma traän ñöôïc ñònh nghóa nhö

]N][L[]B[ = (6.21)

vaø [L] laø ma traän toaùn töû ñaïo haøm ñöôïc ñònh nghóa nhö sau:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

0xy

x0

z

yz0

z00

0y

0

00x

]L[ (6.22)

do ñoù u]L[ =ε (6.23)

Thay theá caùc phöông trình (6.19) vaø (6.20) vaøo phöông trình (6.15), ta thu ñöôïc phöông trình chuû ñaïo cho phaân tích bieán daïng nhoû:

∫∫∫ +=σV

T

A

T

V

T dVq]N[dAT]N[dV]B[ (6.24a)

hay RdV]B[V

T =σ∫ (6.24b)

ôû ñaây R laø ngoaïi löïc caân baèng taùc ñoäng leân caùc ñieåm nuùt,

∫∫ +=V

T

A

T dVq]N[dAT]N[R (6.25)

Hôn nöõa, neáu quan heä öùng suaát−bieán daïng ñaøn hoài tuyeán tính ñöôïc giaû ñònh, ta thu ñöôïc phöông trình chuû ñaïo cho phaân tích tuyeán tính,

303

RU]K[ = (6.26a)

ôû ñaây [K] laø ma traän ñoä cöùng cuûa keát caáu,

∫=V

T dV]B][C[]B[]K[ (6.26b)

trong ñoù [C] laø ma traän cô baûn ñaøn hoài.

Trong tính toaùn ñaøn−deûo, do moái quan heä phi tuyeán giöõa öùng suaát σ vaø bieán daïng ε, phöông trình chuû ñaïo (6.24) laø phöông trình phi tuyeán cuûa bieán daïng, vaø do ñoù, laø haøm phi tuyeán cuûa chuyeån vò nuùt, U. Caùc phöông phaùp laëp thöôøng ñöôïc söû duïng ñeå giaûi phöông trình (6.24) cho U töông öùng vôùi taäp hôïp ngoaïi löïc ñaõ cho. Tuy nhieân, do quan heä cô baûn ñaøn−deûo phuï thuoäc vaøo lòch söû bieán daïng, vieäc phaân tích gia soá theo söï bieán thieân thaät cuûa ngoaïi löïc neân ñöôïc duøng ñeå theo saùt söï bieán thieân cuûa chuyeån vò, bieán daïng, vaø öùng suaát cuøng vôùi ngoaïi löïc.

Trong phaân tích gia soá, taûi toång R taùc ñoäng leân caáu truùc ñöôïc theâm vaøo töøng böôùc bôûi caùc gia soá. ÔÛ böôùc thöù (m+1), taûi coù theå ñöôïc bieåu dieãn:

RRR 1mm1m ∆+= ++ (6.27)

ôû ñaây chöõ vieát leân treân beân traùi m ñaõ ñöôïc duøng ñeå chæ böôùc gia taûi thöù m. Giaû söû raèng caùc lôøi giaûi ôû böôùc thöù m, mU, mσ, mε, ñaõ ñöôïc bieát, vaø ôû böôùc taûi thöù (m+1), ta coù, töông öùng vôùi gia soá taûi ∆R,

UUU m1m ∆+=+ (6.28)

m1m σ∆+σ=σ+ (6.29)

ÔÛ ñaây, chöõ vieát leân treân beân traùi ñoái vôùi caùc gia soá ñaõ ñöôïc boû qua. Phöông trình (6.24) trôû thaønh:

RF 1m1m ++ = (6.30a)

ôû ñaây m+1F laø löïc caân baèng cuûa öùng suaát taùc ñoäng leân caùc ñieåm nuùt,

dV]B[F 1m

V

T1m σ= ++∫ (6.30b)

hay dV]B[RdV]B[ m

V

T1m

V

T σ−=σ∆ ∫∫+ (6.30c)

Phöông trình (6.30a), treân thöïc teá, moâ taû söï caân baèng cuûa ngoaïi löïc, m+1R, vôùi noäi löïc, m+1F. Do ñoù hai loaïi giaûi thuaät phaûi caàn ñeán trong vieäc giaûi phöông trình (6.30) ñoái vôùi gia soá chuyeån vò ∆U vaø gia soá öùng suaát ∆σ. Moät laø giaûi thuaät ñöôïc duøng ñeå giaûi caùc phöông trình ñoàng thôøi phi tuyeán. Ñieàu naøy seõ ñöôïc

304

baøn luaän trong muïc tieáp theo. Hai laø giaûi thuaät ñöôïc duøng ñeå xaùc ñònh gia soá öùng suaát, ∆σ, töông öùng vôùi gia soá bieán daïng, ∆ε, ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát ñaõ cho vaø lòch söû bieán daïng. Vieäc naøy seõ ñöôïc baøn luaän sau trong muïc 6.5.

6.4 CAÙC GIAÛI THUAÄT SOÁ ÑEÅ GIAÛI CAÙC PHÖÔNG TRÌNH PHI TUYEÁN

Nhieàu giaûi thuaät toàn taïi ñeå giaûi caùc phöông trình ñoàng thôøi phi tuyeán (6.30a). Trong muïc naøy, seõ giôùi thieäu ba phöông phaùp Newton ñöôïc söû duïng roäng raõi trong tính toaùn phaàn töû höõu haïn.

Khaûo saùt öùng suaát σ laø haøm phi tuyeán cuûa chuyeån vò, U, phöông trình (6.30a) coù theå ñöôïc vieát laïi nhö sau:

R)U(F)U( 1m1m1m1m ++++ −=Ψ (6.31)

Phöông trình (6.31) laø phöông trình ma traän phi tuyeán theo chuyeån vò m+1U. Nhö ñaõ ñöôïc chuù yù tröôùc ñaây trong muïc 6.3, phöông trình naøy giôùi thieäu söï caân baèng cuûa ngoaïi löïc, m+1R, vôùi noäi löïc, m+1F. Do ñoù, phöông phaùp laëp ñöôïc duøng ñeå giaûi phöông trình (6.31) ñöôïc goïi laø phöông phaùp laëp caân baèng.

6.4.1 Phöông phaùp Newton−−−−Raphson

Ta ñaõ thu ñöôïc lôøi giaûi xaáp xæ cuûa böôùc laëp thöù (i − 1), m+1U(i−1), cho chuyeån vò m+1U. Khai trieån chuoãi Taylor cho Ψ(m+1U) ôû m+1U(i−1) vaø boû qua caùc soá haïng baäc cao, ta thu ñöôïc

0)UU(U

)U( )1i(1m1m

U

)1i(1m

)1i(1m=−

∂Ψ∂+Ψ −++−+

−+

hay 0RFUU

F 1m)1i(1m)i(

U )1i(1m=−+∆

∂∂ +−+

−+ (6.32)

vôùi )1i(1m1m)i( UUU −++ +=∆ (6.33)

)U(FF )1i(1m1m)1i(1m −++−+ = (6.34)

Ta nhaän ra raèng

dV]B[]C[]B[U

F]K[ )1i(1m)1i(1m U

ep

V

T

U

)1i(1m−+−+ ∫=

∂∂=−+ (6.35)

ôû ñaây m 1 ( i 1)

ep

U[C ] + − laø ma traän ñoä cöùng ñaøn−deûo töông öùng vôùi chuyeån vò m+1U(i-

1), vaø m+1[K](i-1) laø ma traän ñoä cöùng tieáp tuyeán cuûa keát caáu, ta thu ñöôïc sô ñoà laëp cuûa giaûi thuaät Newton−Raphson nhö

305

)1i(1m1m)i()1i(1m FRU]K[ −++−+ −=∆ (6.36a)

)i()1i(1m)i(1m UUU ∆+= −++ (6.36b)

,...)2,1i(,FF],K[

]K[,UUm)0(1mm

)0(1mm)0(1m

===

=+

++

(6.36c)

Böôùc laëp naøy tieáp tuïc cho ñeán khi tieâu chuaån hoäi tuï thích hôïp ñöôïc thoûa. Tieâu chuaån hoäi tuï naøy seõ ñöôïc ñeà caäp ñeán sau trong muïc 6.4.4. Quy trình böôùc laëp naøy cho heä phi tuyeán moät baäc töï do ñöôïc bieåu thò baèng ñoà thò trong hình 6.1.

Hình 6.1 Phöông phaùp Newton−Raphson

Phöông phaùp Newton−Raphson coù toác ñoä hoäi tuï cao, vaø noù hoäi tuï baäc hai. Tuy nhieân, töø phöông trình (6.36) ta neân chuù yù raèng ma traän ñoä cöùng tieáp tuyeán, m+1[K](i-1), ñöôïc ñaùnh giaù vaø tìm thöøa soá ôû moãi böôùc laëp, vaø pheùp toaùn nhö theá coù theå quaù ñaét khi heä thoáng lôùn ñöôïc khaûo saùt. Hôn nöõa, ñoái vôùi chaûy deûo lyù töôûng hay vaät lieäu bieán meàm, ma traän ñoä cöùng tieáp tuyeán coù theå trôû neân suy bieán.

306

Ñieàu naøy coù theå gaây khoù khaên trong quy trình tính laëp. Do ñoù, vieäc hieäu chænh giaûi thuaät Newton−Raphson laø caàn thieát, vaø seõ ñöôïc moâ taû trong nhöõng muïc tieáp theo.

6.4.2 Phöông phaùp Newton−−−−Raphson hieäu chænh Moät trong nhöõng hieäu chænh cuûa phöông phaùp Newton−Raphson laø thay theá ma traän ñoä cöùng tieáp tuyeán m+1[K](i-1) trong phöông trình (6.36a) bôûi n[K], laø ma traän ñoä cöùng tieáp tuyeán ñöôïc ñònh ôû böôùc taûi thöù n, n < m+1. Neáu n[K] chæ ñöôïc ñònh giaù luùc baét ñaàu böôùc taûi ñaàu tieân, nghóa laø, ma traän ñoä cöùng ñaøn hoài ban ñaàu n[K] = [K]0 nhö ñöôïc ñònh nghóa trong phöông trình (6.26b) ñöôïc duøng cho toaøn boä caùc böôùc taûi, ta thu ñöôïc phöông phaùp öùng suaát ban ñaàu. Thoâng thöôøng, ma traän ñoä cöùng ñöôïc ñònh luùc baét ñaàu cuûa moãi böôùc taûi, hay ñoái vôùi böôùc taûi thöù (m+1), ma traän ñoä cöùng ]K[]K[]K[ m)0(1mn == + (6.37)

ñöôïc duøng. Sô ñoà laëp cho giaûi thuaät Newton−Raphson hieäu chænh ñöôïc bieåu dieãn nhö )1i(1m1m)i(n FRU]K[ −++ −=∆ (6.38a)

)i()1i(1m)i(1m UUU ∆+= −++ (6.38b)

FF,UU m)0(1mm)0(1m == ++ (6.38c)

(vôùi i = 1, 2...)

Pheùp laëp cuõng ñöôïc tieáp tuïc cho ñeán khi tieâu chuaån hoäi tuï thích hôïp ñöôïc thoûa. Quy trình laëp ñöôïc hieäu chænh naøy ñoái vôùi heä phi tuyeán moät baäc töï do ñöôïc bieåu thò baèng ñoà thò trong hình 6.2.

Hình 6.2 Phöông phaùp Newton

Giaûi thuaät Newton−Raphson hieäu chænh ñoøi hoûi vieäc ñaùnh giaù ma traän ñoä cöùng vaø caùc böôùc tìm thöøa soá ít hôn. Keát quaû laø söï tính toaùn cho moät chu kyø laëp ít hôn nhieàu so vôùi giaûi thuaät NewtonNewton−Raphson hieäu chænh hoäi tuï tuyeán tính vaø, noùi chung, chaäm hôn so vôùi phöông phaùp Newton−Raphson, nghóa laø, ñoái vôùi baøi toaùn ñaõ cho, caàn nhieàu pheùp laëp hôn ñeå ñaït ñeán söï hoäi tuï khi phöông phaùp ñöôïc duøng. Trong moät vaøi tình huoáng, nhö trong tính toaùn vaät lieäu bieán meàm, noù trôû neân quaù chaäm. Toác ñoä hoäi tuï cuûa giaûi thuaät thuoäc vaøo soá laàn ma traän ñoä cöùng ñöôïc caäp nhaät. Ma traän ñoä cöùng ñöôïc caäp nhaät caøng thöôøng xuyeân, caùc böôùc laëp caàn ñeå ñaït ñeán söï hoäi tuï caøng ít. Tuy nhieân, vaán ñeà ma traän ñoä cöùng suy bieán vaãn toàn taïi.

Vaán ñeà khaùc lieân quan ñeán phöông phaùp thay ñoåi ngoaïi löïc gaây neân vieäc caát taûtraïng thaùi bieán daïng deûo veà bieán daïng ñaøn hoài, phöông phaùp naøy coù theå khoâng daãn ñeán pheùp laëp hoäi tuï tröø khi ma traän ñoä cöùng cuûa keát caáu ñöôïc caäp nhaät cho tình huoáng naøy. Ñieàu naøy laøm taêng söï phöùc taïp trong vieäc laäp chöông trình tính soá theo phöông phaùp naøy.

6.4.3 Phöông phaùp töïa Newton

307

Phöông phaùp Newton−Raphson hieäu chænh

hieäu chænh ñoøi hoûi vieäc ñaùnh giaù ma traän ñoä cöùng vaø caùc böôùc tìm thöøa soá ít hôn. Keát quaû laø söï tính toaùn cho moät chu kyø laëp ít hôn

Newton−Raphson. Tuy nhieân, phöông phaùp uï tuyeán tính vaø, noùi chung, chaäm hôn so vôùi

, nghóa laø, ñoái vôùi baøi toaùn ñaõ cho, caàn nhieàu pheùp laëp hôn ñeå ñaït ñeán söï hoäi tuï khi phöông phaùp Newton−Raphson hieäu chænh

ng, nhö trong tính toaùn vaät lieäu bieán meàm, noù trôû neân quaù chaäm. Toác ñoä hoäi tuï cuûa giaûi thuaät Newton−Raphson hieäu chænh phuï thuoäc vaøo soá laàn ma traän ñoä cöùng ñöôïc caäp nhaät. Ma traän ñoä cöùng ñöôïc caäp nhaät

, caùc böôùc laëp caàn ñeå ñaït ñeán söï hoäi tuï caøng ít. Tuy nhieân, vaán ñeà ma traän ñoä cöùng suy bieán vaãn toàn taïi.

Vaán ñeà khaùc lieân quan ñeán phöông phaùp Newton−Raphson hieäu chænh laø neáu söï thay ñoåi ngoaïi löïc gaây neân vieäc caát taûi, nghóa laø, traïng thaùi öùng suaát laø caát taûi töø traïng thaùi bieán daïng deûo veà bieán daïng ñaøn hoài, phöông phaùp naøy coù theå khoâng daãn ñeán pheùp laëp hoäi tuï tröø khi ma traän ñoä cöùng cuûa keát caáu ñöôïc caäp nhaät cho

y. Ñieàu naøy laøm taêng söï phöùc taïp trong vieäc laäp chöông trình tính

308

Moät söï thoûa hieäp giöõa giaûi thuaät Newton−Raphson vaø giaûi thuaät Newton−Raphson hieäu chænh laø giaûi thuaät töïa Newton. Phöông phaùp Newton−Raphson yeâu caàu söï ñaùnh giaù vaø söï tìm thöøa soá ma traän ñoä cöùng cuûa keát caáu ôû moãi böôùc laëp, vaø ñieàu naøy yeâu caàu löôïng lôùn thôøi gian tính toaùn. Maët khaùc, phöông phaùp Newton−Raphson hieäu chænh duy trì ma traän ñoä cöùng haèng trong vaøi böôùc laëp vaø, keát quaû laø, coù toác ñoä hoäi tuï chaäm. Khoâng gioáng nhö hai phöông phaùp naøy, phöông phaùp töïa Newton duøng ma traän caáp thaáp hôn ñeå caäp nhaät ma traän ñoä cöùng nghòch ñaûo, m+1[K−1](i−1), vaø quy trình naøy ñöa ñeán moät söï xaáp xæ caùt tuyeán cho ma traän m+1[K−1](i). Phöông phaùp naøy thuoäc loaïi caùc phöông phaùp ñöôïc bieát laø caùc phöông phaùp caäp nhaät ma traän. Phöông phaùp caáp 2 Broyden−Fletcher−Goldfarb−Shanno (BFGS) thöôøng ñöôïc duøng vôùi giaûi thuaät töïa Newton (Bathe, 1982) seõ ñöôïc giôùi thieäu ôû ñaây.

Ta ñònh nghóa gia soá chuyeån vò δ nhö

δ(i) = m+1U(i) − m+1U(i−1) (6.39)

vaø vectô löïc maát caân baèng R vaø gia soá cuûa noù γ nhö

R(i) = m+1R − m+1F(i) (6.40)

γ(i) = R(i−1) − R(i) (6.41)

ma traän caäp nhaät m+1[K](i) thoûa phöông trình töïa Newton

m+1[K](i)δ(i) = γ(i) (6.42)

Ñoái vôùi ma traän ñoä cöùng xaùc ñònh döông ñoái xöùng, caùc coâng thöùc truy toaùn cuûa söï nghòch ñaûo ma traän laø

m+1[K−1](i) = [A](i−1)T m+1[K−1](i−1)[A](i−1) (6.43)

trong ñoù [A] laø ma traän hieäu chænh ñöôïc ñònh nghóa nhö

[A](i−1) = [I] + V(i−1) W(i−1)T (6.44)

ôû ñaây [I] laø ma traän ñôn vò coù cuøng kích thöôùc nhö [K]; V(i−1) vaø W(i−1) laø nhöõng vectô coù theå bieåu dieãn theo caùc vectô δ, R, vaø γ.

Quy trình laëp ñoái vôùi böôùc laëp I (i = 1, 2, …) ñöôïc chia thaønh hai böôùc:

Böôùc 1: Ñaùnh giaù gia soá chuyeån vò ∆U

)1i()1i()1(1nT)1(T)1i(

)1i()1i(11m

R]A[]A][K[]A[]A[

R]K[U

−−−−

−−−+

=

=∆

KK

(6.45a)

Hình 6.3 Phöông phaùp töïa Newton

vaø U )i( ∆=δ

UU )1i(1m)i(1m += −++

Vieäc tính toaùn thaät söï trong böôùc naøy caàn ñeán tích voâ höôùng vectô, pheùp giaûi heä phöông trình tuyeán tính vôùi ma traän heä soá ña

Böôùc 2: Tính toaùn caùc vectô hieäu chænh Vtrong böôùc laëp keá tieáp

)1i()i()i(

)i()1i(1m)i()i(

R)c1(R

]K[cV

−

−+

−−=

γ−δ−=

1(G)0(G

W

)i(

)i(T)i(

)i()i(

−δ=

γδδ=

vôùi c(i) laø soá ñieàu kieän cho ma traän hieäu chænh [A],

309

Phöông phaùp töïa Newton

(6.45b)

U∆ (6.45c)

Vieäc tính toaùn thaät söï trong böôùc naøy caàn ñeán tích voâ höôùng vectô, pheùp giaûi heä phöông trình tuyeán tính vôùi ma traän heä soá ñaõ xaùc ñònh n[K].

Tính toaùn caùc vectô hieäu chænh V(i) vaø W(i) chuùng seõ ñöôïc duøng

)i(γ (6.46a)

)1 (6.46b)

laø soá ñieàu kieän cho ma traän hieäu chænh [A],

310

)0(G

)1(G)0(G

]K[

c

2/1

)i()1i(1mT)i(

)i(T)i()i( −=

γδ

γδ= −+ (6.47)

Ñeå traùnh vieäc caäp nhaät soá nguy hieåm, vieäc caäp nhaät seõ ñöôïc thöïc hieän chæ khi c(i) nhoû hôn ñoä chính xaùc ñaõ caøi ñaët tröôùc, chaúng haïn, 105. G(x) bieåu thò tích voâ höôùng cuûa caùc vectô ñöôïc ñònh nghóa nhö

[ ])UxU(FRU

)UxF(G)x(G

)1i(1m1m1mT

)1i(1m

∆+−∆=

∆+=

−+++

−+

(6.48)

Chuù yù raèng trong böôùc thöù hai, vieäc tính toaùn löïc caân baèng ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát töông öùng vôùi chuyeån vò m+1U(i) ñöôïc yeâu caàu. Böôùc laëp naøy tieáp tuïc cho ñeán khi tieâu chuaån hoäi tuï thích hôïp ñaït ñöôïc. Thuû tuïc laëp cho heä phi tuyeán moät baäc töï do ñöôïc bieåu dieãn baèng ñoà thò trong hình 6.3.

Söï tính toaùn ñöôïc yeâu caàu trong giaûi thuaät töïa Newton ñoái vôùi moät böôùc laëp thì nhieàu hôn so vôùi giaûi thuaät Newton−Raphson hieäu chænh, nhöng ít hôn so vôùi giaûi thuaät Newton−Raphson. Tuy nhieân, phöông phaùp naøy coù ñaëc tính hoäi tuï toát hôn phöông phaùp Newton−Raphson hieäu chænh, vaø toác ñoä hoäi tuï cuûa noù naèm giöõa toác ñoä tuyeán tính vaø baäc hai. Hôn nöõa, ma traän ñoä cöùng trong phöông phaùp naøy ít quan troïng hôn trong hai phöông phaùp khaùc, khi söû duïng pheùp tính gaàn ñuùng caäp nhaät ma traän. Thöïc teá, ma traän ñoä cöùng ñaøn hoài ban ñaàu cuûa keát caáu coù theå ñöôïc duøng cho taát caû caùc böôùc gia soá maø khoâng laøm maát ñi tính hieäu quaû. Do ñoù, phöông phaùp naøy thích hôïp cho tính toaùn vaät raén ñaøn−deûo coù tính bieán cöùng, bieán meàm hay chaûy deûo lyù töôûng. Khoâng coù nhöõng khoù khaên xuaát hieän trong tröôøng hôïp caát taûi. Vì theá, phöông phaùp naøy ñöa ñeán söï an toaøn vaø quy trình hieäu quaû trong vieäc giaûi heä caùc phöông trình phi tuyeán (6.30) ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn−deûo toång quaùt. Ñaây laø giaûi thuaät toát nhaát maø ta coù ñöôïc hieän nay.

6.4.4 Tieâu chuaån hoäi tuï

Moät tieâu chuaån hoäi tuï ñöôïc ñònh nghóa thích hôïp ñeå keát thuùc pheùp laëp caân baèng laø phaàn caàn thieát cuûa chieán löôïc giaûi phaùp gia soá hieäu quaû. ÔÛ cuoái cuûa moãi böôùc laëp, lôøi giaûi thu ñöôïc phaûi ñöôïc kieåm tra vôùi dung sai ñaõ ñöôïc choïn ñeå xaùc ñònh söï hoäi tuï ñaõ xaûy ra chöa.

Ñoái vôùi phaân tích phaàn töû höõu haïn laáy chuyeån vò laøm goác, chuyeån vò ñöôïc tính neân xaáp xæ vôùi chuyeån vò thaät. Do chuyeån vò thaät chöa ñöôïc bieát tröôùc, moät pheùp xaáp xæ cuûa tieâu chuaån naøy coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö

311

2

m)i(1mD2

)i( UUU −ε≤∆ + (6.49)

vôùi ∆U(i) laø gia soá chuyeån vò thu ñöôïc trong böôùc laëp thöù i, 2ñöôïc duøng ñeå chæ tieâu

chuaån Euclid cuûa vectô, vaø εD laø sai soá ñaõ ñöôïc quy ñònh tröôùc ñoái vôùi chuyeån vò U. Do ñoù, tieâu chuaån naøy ñöôïc goïi laø tieâu chuaån chuyeån vò.

Ñoái vôùi pheùp laëp caân baèng, ta tìm lôøi giaûi U ôû ñoù ñieàu kieän caân baèng seõ ñöôïc thoûa. Ñeå keát thuùc vieäc naøy, tieâu chuaån hoäi tuï thöù hai ñoøi hoûi raèng löïc maát caân baèng, hay hieäu giöõa noäi löïc vaø ngoaïi löïc, m+1R − m+1F, trieät tieâu. Tuy nhieân, trong moät quy trình soá, khoâng theå vaø khoâng caàn ñeå ñaït ñeán traïng thaùi löïc maát caân baèng zero. Do ñoù, taøi lieäu giôùi thieäu pheùp xaáp xæ daïng

2

m1mF2

)i(1m1m FRFR −ε≤− +++ (6.50)

vôùi εF laø sai soá ñaõ ñöôïc ñònh tröôùc cho löïc maát caân baèng. Tieâu chuaån naøy ñöôïc goïi laø tieâu chuaån löïc.

Tieâu chuaån thöù ba laø ñöa ra moät phöông caùch gaén keát caû chuyeån vò vaø löïc taïo thaønh caùc giaù trò caân baèng cuûa chuùng. Tieâu chuaån naøy ñöôïc goïi laø tieâu chuaån noäi naêng vaø coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö

)FR(U)FR(U m1mT)1(E

)i(1m1mT)i( −∆ε≤−∆ +++ (6.51)

ôû ñaây veá traùi cuûa baát ñaúng thöùc bieåu thò coâng ñöôïc thöïc hieän bôûi löïc maát caân baèng treân gia soá chuyeån vò, vaø veá phaûi laø giaù trò ban ñaàu cuûa coâng naøy; εE laø sai soá ñaõ ñöôïc ñònh tröôùc cho noäi naêng.

312

Hình 6.4 Hình truï thaønh daøy chòu aùp suaát beân trong

d) Tieâu chuaån noäi naêng

Newton−Raphson hieäu chænh

Newton−Raphson

Töïa Newton

Newton−Raphson hieäu chænh

Newton−Raphson

Töïa Newton

Newton−Raphson hieäu chænh

Newton−Raphson

Töïa Newton

c) Tieâu chuaån löïc

b) Tieâu chuaån chuyeån vò

a) Hình truï thaønh daøy vaø maïng löôùi phaàn töû höõu haïn

Böôùc laëp

Böôùc laëp

Böôùc laëp

313

Tieâu chuaån baát kyø trong ba tieâu chuaån naøy hay caùc toå hôïp cuûa chuùng coù theå ñöôïc duøng ñeå keát thuùc moät böôùc laëp, nhöng dung sai phaûi ñöôïc choïn caån thaän. Moät dung sai quaù roäng seõ daãn ñeán keát quaû khoâng chính xaùc, trong khi moät dung sai quaù nhoû coù theå daãn ñeán söï tính toaùn laõng phí ñeå thu ñöôïc ñoä chính xaùc khoâng caàn thieát.

Ñeå so saùnh tính hieäu quaû cuûa ba giaûi thuaät laëp caân baèng naøy, moät thí duï ñöôïc giôùi thieäu trong hình 6.4 baèng caùch duøng ba tieâu chuaån hoäi tuï. Moät baøi toaùn ñaøn−deûo lyù töôûng ñieån hình, moät hình truï thaønh daøy chòu aùp suaát beân trong nhö ñöôïc bieåu thò trong hình 6.4a, ñaõ ñöôïc tính toaùn baèng caùch duøng ba giaûi thuaät laëp naøy. Trong moät böôùc taûi, böôùc 2, aùp suaát noäi ñöôïc gia taêng töø 0,5ps ñeán 0,99ps, vôùi ps laø aùp suaát giôùi haïn deûo cuûa hình truï. Trong hình 6.4b, tieâu chuaån cuûa gia soá chuyeån vò tích luõy trong böôùc taûi naøy,

2

1)i(2 UU − , ñöôïc veõ theo

böôùc laëp. Trong caùc hình 6.4c vaø 6.4d, tieâu chuaån cuûa löïc maát caân baèng, veá traùi cuûa phöông trình (6.50), vaø noäi naêng, veá traùi cuûa phöông trình (6.51), töông öùng ñöôïc veõ theo böôùc laëp. Taát caû caùc ñöôøng cong ñöôïc bình thöôøng hoùa ñoái vôùi giaù trò cöïc ñaïi töông öùng cuûa chuùng.

Ñoái vôùi baøi toaùn naøy, ta coù theå thaáy raèng söï hoäi tuï nhanh nhaát laø theo phöông phaùp Newton−Raphson. Phöông phaùp töïa Newton laëp nhieàu hôn hai laàn so vôùi phöông phaùp Newton−Raphson. Tuy nhieân, thôøi gian CPU (thôøi gian tính treân maùy tính) ñöôïc duøng cho hai phöông phaùp naøy gaàn nhö gioáng nhau. Phöông phaùp chaäm nhaát laø phöông phaùp Newton−Raphson hieäu chænh, noù laëp 57 laàn ñeå ñaït ñeán söï hoäi tuï vôùi thôøi gian CPU nhieàu hôn gaàn hai laàn hai phöông phaùp khaùc. Chuù yù raèng ñaây laø baøi toaùn raát nhoû, vaø ñoái vôùi heä thoáng lôùn, caùc tyû soá veà thôøi gian CPU caàn ñeán cho ba giaûi thuaät coù theå khaùc nhau ñaùng keå.

6.5 PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI SOÁ CAÙC QUAN HEÄ CÔ BAÛN GIA SOÁ ÑAØN−−−−DEÛO

Nhö ñaõ ñöôïc bieåu thò trong muïc 6.4, ñoái vôùi moãi böôùc laëp, öùng suaát m+1σ(i) töông öùng vôùi chuyeån vò m+1U(i) neân ñöôïc tính toaùn baèng caùch duøng quan heä cô baûn ñaøn−deûo, vaø sau ñoù noäi löïc töông öùng cuûa öùng suaát, m+1F(i), ñöôïc tính toaùn baèng caùch duøng phöông trình (6.30b). Tieáp theo, vieäc tích phaân phöông trình (6.30b) treân moãi phaàn töû cuûa keát caáu, baèng caùch duøng kyõ thuaät tích phaân Gauss. Do ñoù, öùng suaát seõ ñöôïc tính toaùn ôû taát caû nhöõng ñieåm Gauss cuûa keát caáu trong moãi böôùc laëp.

Quan heä cô baûn gia soá ñoái vôùi vaät lieäu ñaøn−deûo toång quaùt ñaõ ñöôïc giôùi thieäu trong chöông 5. Moái quan heä naøy lieân heä gia soá öùng suaát vi phaân vôùi gia soá bieán daïng vi phaân töông öùng vôùi traïng thaùi öùng suaát vaø lòch söû bieán daïng deûo

314

ñaõ cho. Tuy nhieân, trong vieäc tính toaùn phaàn töû höõu haïn, do gia soá taûi höõu haïn thay cho gia soá taûi vi phaân ñöôïc aùp duïng trong moät böôùc taûi, caùc gia soá öùng suaát vaø bieán daïng coù lieân quan coù kích thöôùc höõu haïn. Do ñoù, quan heä cô baûn gia soá ñaõ ñöôïc giôùi thieäu trong chöông 5 phaûi ñöôïc tích phaân soá. Caùc giaûi thuaät ñeå thöïc thi tích phaân soá naøy ñoùng vai troø quan troïng vaø, cuøng vôùi caùc giaûi thuaät ñeå giaûi heä phöông trình phi tuyeán, caáu thaønh phaàn trung taâm cuûa phaân tích phaàn töû höõu haïn ñaøn−deûo. Moät giaûi thuaät khoâng thích hôïp coù theå khoâng chæ daãn ñeán lôøi giaûi öùng suaát khoâng chính xaùc, maø coøn coù theå laøm chaäm treã söï hoäi tuï cuûa böôùc laëp.

Do tính toaùn öùng suaát thöôøng tieâu toán phaàn ñaùng keå cuûa toång thôøi gian tính, neân söï hieäu quaû cuûa giaûi thuaät naøy laø caàn thieát.

Trong muïc naøy, ñaàu tieân ta seõ vieát laïi quan heä cô baûn gia soá cho vaät lieäu ñaøn−deûo toång quaùt döôùi daïng ma traän vaø roài ñeà caäp moät caùch chi tieát ñeán caùc giaûi thuaät caàn ñeán. Cuoái cuøng, seõ giôùi thieäu moät quy trình hoaøn chænh ñeå tính öùng suaát. Quy trình ñöôïc giôùi thieäu ôû ñaây hoaøn toaøn coù tính toång quaùt. Noù khoâng caàn ñöôïc lieân heä vôùi moät phöông phaùp giaûi heä phöông trình phi tuyeán cuï theå maø cuõng khoâng caàn lieân heä vôùi loaïi moâ hình vaät lieäu cuï theå. Thöïc ra, quy trình phuø hôïp cho chaûy deûo lyù töôûng, chaûy deûo bieán cöùng, hay vaät lieäu bieán meàm. Tuy nhieân, ñeå ñôn giaûn vaø roõ raøng, caùc beà maët chaûy vaø theá naêng trôn vaø öùng xöû bieán cöùng ñaúng höôùng ñöôïc giaû ñònh ôû ñaây. Khoâng khoù ñeå môû roäng quy trình naøy nhaèm bao goàm caû nhöõng tröôøng hôïp khoâng coù caùc giôùi haïn treân.

6.5.1 Söï moâ taû toång quaùt

Trong daïng ma traän, gia soá öùng suaát, dσ, coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo gia soá bieán daïng ñaøn hoài, dεe, hoaëc gia soá bieán daïng toång, dε, nhö

dσ = [C]dεe = [C]( dε − dεp) (6.52a)

dσ = [Cep]dε (6.52b)

Gia soá bieán daïng deûo, dεp, ñöôïc bieåu dieãn, baèng caùch duøng quy luaät khoâng keát hôïp, nhö

σ∂∂λ=ε

gdd p (6.53)

vôùi ∂g/∂σ laø vectô ñoä doác haøm theá naêng chaûy, g(σij, k). Haøm voâ höôùng dλ, phöông trình (5.133), ñöôïc bieåu dieãn nhö

h

Ld =λ (6.54)

315

ôû ñaây L laø haøm tieâu chuaån ñaët taûi ñaõ ñöôïc ñònh nghóa trong ñaúng thöùc (5.125),

d]C[

fL

T

ε

σ∂∂= (6.55)

vôùi ñaây ∂f/∂σ laø vectô ñoä doác haøm theá naêng chaûy, f(σij, k). ÔÛ ñaây haøm chaûy khoâng ñöôïc bieåu dieãn roõ raøng nhö laø haøm cuûa εp

ij. Haøm voâ höôùng döông h ñöôïc ñònh nghóa trong phöông trình (5.132) trôû thaønh

k

fn

y]C[

fh

T

∂∂−

σ∂∂

σ∂∂= (6.56)

vaø

σ∂∂

σ∂∂

ε=

g

gC

ddkn

T

(6.57)

Cuoái cuøng, ma traän ñoä cöùng ñaøn−deûo [Cep], caùc phöông trình (5.145) vaø (5.146), ñöôïc bieåu dieãn nhö

]C[

f

g]C[

h

1]C[]C[

Tep

σ∂∂

σ∂∂

−= (6.58)

Ta coù theå thaáy ma traän [Cep] khoâng ñoái xöùng khi quy luaät chaûy khoâng keát hôïp ñöôïc söû duïng.

Vieäc tính toaùn öùng suaát seõ ñöôïc thöïc hieän ñoái vôùi taát caû caùc ñieåm maãu Gauss. Trong phaàn döôùi ñaây, chæ trình baøy söï tính toaùn cho moät ñieåm Gauss. Trong moät böôùc taûi cuï theå, goïi laø böôùc taûi thöù (m+1), ta ñaõ bieát ñöôïc öùng suaát vaø bieán daïng, mσ, mε, vaø caùc thoâng soá bieán cöùng, goïi laø, mεp, mk, ôû cuoái cuûa böôùc taûi thöù m trong ñoù pheùp laëp caân baèng ñaõ hoäi tuï. Ñoái vôùi böôùc laëp cuï theå, goïi laø, i, cuûa böôùc taûi thöù (m+1), pheùp xaáp xæ thöù I cuûa chuyeån vò, m+1U(i), ñaõ nhaän ñöôïc. Theá roái, baèng caùch duøng phöông trình (6.19), bieán daïng vaø gia soá bieán daïng töông öùng ôû moät ñieåm Gauss laø

)i(1m)i(1m U]B[ ++ =ε (6.59a)

m)i(1m ε−ε=ε∆ + (6.59b)

Ta ñònh nghóa gia soá öùng suaát thöû ∆σe, giaû ñònh öùng xöû ñaøn hoài,

]C[ e ε∆=σ∆ (6.60)

Giaû söû raèng ôû cuoái cuûa böôùc taûi thöù m, traïng thaùi öùng suaát ôû moät ñieåm Gauss laø traïng thaùi ñaøn hoài thoûa f(mσ, mk) < 0 vaø böôùc vaøo traïng thaùi ñaøn−deûo trong böôùc taûi thöù m+1, f(mσ + ∆σe, mk) > 0. Do ñoù, toàn taïi moät heä soá voâ höôùng r ñeå maø f(mσ + r∆σe, mk) = 0. Theá thì bieán daïng ñöôïc chia thaønh hai phaàn,

316

r∆ε vaø (1 − r)∆ε. Phaàn ñaàu töông öùng vôùi nghieäm ñaøn hoài thuaàn tuùy, trong khi phaàn thöù hai töông öùng vôùi nghieäm ñaøn−deûo. Do ñoù, gia soá öùng suaát coù theå ñöôïc tích phaân nhö

∫

∫∫

∫

ε∆+ε

ε∆+ε

ε∆+ε

ε∆+ε

ε∆+ε

ε

ε

ε∆+ε

ε−ε+σ∆=

ε−ε+ε=

ε−ε=σ∆

+

r

pe

p

r

r

r

p

m

m

m

m

m

m

)i(1m

m

)dd](C[r

)dd(]C[d]C[

)dd](C[

(6.61a)

hoaëc ∫ε∆+ε

ε∆+ε

ε+σ∆=σ∆

r

epe

m

m

d]C[r (6.61b)

Sau cuøng, ta thu ñöôïc öùng suaát töông öùng vôùi m+1U(i) nhö

m)i(1m σ∆+σ=σ+ (6.62)

Trong caùc muïc tieáp theo, vieäc xaùc ñònh heä soá voâ höôùng r vaø kyõ thuaät tính tích phaân seõ ñöôïc moâ taû chi tieát.

6.5.2 Vieäc xaùc ñònh traïng thaùi taûi

Böôùc ñaàu tieân trong vieäc tính toaùn öùng suaát laø xaùc ñònh traïng thaùi taûi ôû moät ñieåm Gauss, nghóa laø, ñieåm ñoù ôû trong traïng thaùi ñaët taûi deûo, traïng thaùi ñaët taûi ñaøn hoài, hay traïng thaùi caát taûi, töông öùng vôùi gia soá bieán daïng, ∆ε. Chæ ñoái vôùi tröôøng hôïp taïo thaønh ñaët taûi deûo thì quan heä cô baûn ñaøn−deûo seõ ñöôïc duøng ñeå xaùc ñònh gia soá öùng suaát töông öùng. Ñeå keát thuùc vieäc naøy, seõ giôùi thieäu quy trình naøy cho hai tröôøng hôïp taùch bieät nhau. Moät tröôøng hôïp laø ñieåm Gauss ôû trong traïng thaùi ñaøn hoài ôû cuoái böôùc taûi thöù m, vaø tröôøng hôïp coøn laïi laø ñieåm Gauss ôû trong traïng thaùi ñaøn−deûo ôû cuoái böôùc taûi thöù m.

Neáu ñieåm Gauss ôû trong traïng thaùi ñaøn hoài ôû cuoái böôùc taûi thöù m, f(mσ,mk) < 0, gia soá öùng suaát thöû ∆σe ñöôïc ñònh nghóa trong phöông trình (6.60) coù theå ñöôïc duøng ñeå kieåm tra raèng traïng thaùi ñaøn−deûo seõ ñöôïc taïo ra trong böôùc taûi thöù (m+1) hay khoâng. Neáu f(mσ+∆σe,mk) ≤ 0, ñieåm Gauss naøy seõ vaãn duy trì traïng thaùi ñaøn hoài trong böôùc taûi thöù (m+1), vaø moái quan heä öùng suaát−bieán daïng ñaøn hoài daãn ñeán

eσ∆=σ∆ (6.63)

317

Neáu f(mσ + ∆σe, mk) > 0, ñieåm Gauss seõ böôùc vaøo traïng thaùi ñaøn−deûo trong böôùc taûi naøy. Keát quaû laø, toàn taïi moät tyû soá voâ höôùng r sao cho

0)k,r(f mem =σ∆+σ (6.64)

Hình 6.5 Söï minh hoïa cuûa vieäc ñi vaøo traïng thaùi ñaøn−deûo töø traïng thaùi ñaøn hoài ôû moät ñieåm Gauss

Ñieàu naøy ñöôïc theå hieän trong hình 6.5. Phöông trình (6.64) thöôøng phi tuyeán theo thöøa soá r. Ta coù theå giaûi phöông trình (6.64) baèng phöông phaùp giaûi tích hoaëc phöông phaùp soá ñeå xaùc ñònh r. Neáu haøm chaûy ñöôïc bieåu dieãn theo daïng ñôn giaûn cuûa caùc baát bieán öùng suaát, thöøa soá r coù theå ñöôïc giaûi theo phöông phaùp giaûi tích. Thí duï, haøm chaûy cuûa vaät lieäu bieán cöùng von Mises coù theå bieåu dieãn nhö

0)(kss21)k,(f p

2T =ε−=σ (6.65)

ôû ñaây s laø vectô cuûa öùng suaát leäch ñöôïc ñònh nghóa nhö

s,s,s,s,s,ss xyzxyzzyxT = (6.66a)

Ta cuõng ñònh nghóa gia soá cuûa s, ∆s, nhö

s,s,s,s,s,ss xyzxyzzyxT ∆∆∆∆∆∆=∆ (6.66b)

Trong tröôøng hôïp naøy, phöông trình (6.64) trôû thaønh

f(mσ, mk) = 0

mσ + ∆σe

mσ

r∆σe

∆σe

(r−1)∆σe

318

0

k)srs()srs(21)k,r(f 2mmTmmem

=

−∆+∆+=σ∆+σ (6.67)

hay 0kss21ssrssr

21 2mmTmTmT2 =−+∆+∆∆ (6.68)

Theá thì thöøa soá tyû leä r coù theå ñöôïc giaûi nhö

ss

)ssk2(ss)ss(ssr

T

mTm2mT2TmTm

∆∆−∆∆+∆+∆= (6.69)

Maët khaùc, phöông trình (6.64) coù theå daãn ñeán daïng phi tuyeán cao cuûa r ñoái vôùi moät soá haøm chaûy, vaø keá saùch phaûi ñöôïc thöïc hieän laø phöông phaùp soá. Phöông phaùp ñôn giaûn nhaát laø khai trieån phöông trình (6.64) theo chuoãi Taylor, boû qua caùc soá haïng baäc cao, vaø nhaän ñöôïc

0r

f)k,(f)k,r(f e

T

m

mmmem

=σ∆

σ∂∂+σ=σ∆+σ

σ

(6.70)

noù daãn ñeán pheùp xaáp xæ cho r nhö (Nayak vaø Zienkiewicz, 1972)

f

)k,(fr

eT

m

mm

σ∆

σ∂∂

σ−=

σ

(6.71)

Ta cuõng coù theå giöõ laïi taát caû caùc soá haïng baäc hai trong khai trieån chuoãi Taylor vaø thu ñöôïc phöông trình baäc hai theo r:

0

fr

r

f)k,(f)k,r(f

e

2

2Te2

eT

mmmem

m

m

=σ∆

σ∂∂σ∆+

σ∆

σ∂∂+σ=σ∆+σ

σ

σ (6.72)

Phöông trình treân coù theå ñöôïc giaûi ñeå thu nhaän söï xaáp xæ r toát hôn.

Ñoái vôùi tröôøng hôïp ñieåm Gauss ôû trong traïng thaùi ñaøn−deûo ôû cuoái böôùc taûi thöù m, f(mσ, mk) = 0, ta coù theå duøng haøm tieâu chuaån ñaët taûi ñaõ ñöôïc ñònh nghóa trong ñaúng thöùc (6.55) ñeå xaùc ñònh traïng thaùi ñaët taûi. Giaû ñònh böôùc taûi nhoû, phöông trình (6.55) trôû thaønh

]C[

fL

T

ε∆

σ∂∂= (6.73)

319

Nhö ñaõ ñeà caäp tröôùc ñaây cho tieâu chuaån ñaët taûi, neáu L ≤ 0, nghóa laø, ñieåm Gauss ôû trong traïng thaùi caát taûi hoaëc traïng thaùi ñaët taûi trung hoøa, quan heä cô baûn ñaøn hoài neân ñöôïc duøng, hay

eσ∆=σ∆ (6.74)

Neáu L > 0, nghóa laø, ñieåm Gauss ôû trong traïng thaùi ñaët taûi deûo, thöïc hieän tích phaân phöông trình (6.61) baèng phöông phaùp soá vôùi r = 0 ñeå thu ∆σ. Vieäc naøy ñöôïc moâ taû chi tieát trong muïc döôùi ñaây.

6.5.3 Caùc kyõ thuaät tích phaân

Caùc kyõ thuaät ñöôïc duøng ñeå thöïc hieän tích phaân trong phöông trình (6.61a) hay phöông trình (6.61b) coù theå ñöôïc phaân thaønh hai loaïi: caùc giaûi thuaät ñöôïc döïa treân kyõ thuaät hieän vaø caùc giaûi thuaät ñöôïc döïa treân kyõ thuaät aån. Ñoái vôùi caû hai loaïi, gia soá bieán daïng caáu thaønh nghieäm ñaøn−deûo ñöôïc chia theâm thaønh moät soá ñuû, goïi laø m, caùc gia soá con bieán daïng, ∆ε% ,

m/)r1(~d ε∆−=ε∆=ε (6.75)

ñeå ñaït ñöôïc ñoä chính xaùc caàn thieát cuûa quaù trình tích phaân. Neáu kyõ thuaät hieän ñöôïc duøng, nhö laø phöông phaùp tieáp tôùi cuûa Euler, öùng suaát ñöôïc tính tieán tôùi ñoái vôùi moãi gia soá con bieán daïng. Neáu kyõ thuaät aån ñöôïc duøng, nhö phöông phaùp luøi cuûa Euler, öùng suaát ôû cuoái cuûa moãi gia soá con ñöôïc tính laëp. Do ñoù, trong tröôøng hôïp naøy, coù hai chu kyø laëp ñeå giaûi heä caùc phöông trình phi tuyeán (6.30): moät laø chu kyø laëp caân baèng ñaõ ñöôïc ñeà caäp trong muïc 6.4, vaø chu kyø coøn laïi laø chu kyø laëp trong quaù trình tích phaân (6.62) ñeå ñaùnh giaù öùng suaát chính xaùc.

Trong muïc naøy, ta seõ chæ baøn luaän chi tieát phöông phaùp hieän. Phöông trình (6.62) coù theå ñöôïc vieát laïi döôùi daïng caùc phöông trình vi phaân nhö

)dd](C[d pε−ε=σ (6.76)

vaø

σ∂∂=

σ∂∂λ=ε

g

hL

gdd p (6.77a)

vôùi ~]C[

fL

T

ε∆

σ∂∂= (6.77b)

Hoaëc d]P[d p ε=ε (6.77c)

vôùi ]C[

f

g

h

1),,(P]P[

T

pp

σ∂∂

σ∂∂

=εεε= (6.77d)

vôùi caùc ñieàu kieän ban ñaàu

320

r m ε∆+ε=ε (6.78a)

r em σ∆+σ=σ (6.78b)

pm

ppmp , ε=εε=ε (6.78c)

ôû ñaây caùc phöông trình (6.54) vaø (6.55) ñaõ ñöôïc duøng ñeán, vaø r laø thöøa soá tyû leä ñaõ ñöôïc giôùi thieäu trong muïc tröôùc.

Ñoái vôùi moãi gia soá con bieán daïng, ∆ε% , kyõ thuaät hieän bao goàm nhöõng böôùc sau

ñaây:

Böôùc 1: Xaùc ñònh gia soá con bieán daïng deûo, p∆ε% , baèng caùch duøng phöông

trình (6.77) vôùi giaûi thuaät hôïp lyù, vaø gia soá con bieán daïng deûo töông ñöông,

p∆ε% .

Böôùc 2: Tính toaùn gia soá con öùng suaát, ∆σ% , baèng caùch duøng phöông trình (6.76):

)~~](C[~ pε∆−ε∆=σ∆

Böôùc 3: Caäp nhaät öùng suaát, bieán daïng, vaø caùc thoâng soá bieán cöùng:

)(kk,~~

~

~

pppp

ppp

ε←ε∆+ε←ε

ε∆+ε←ε

ε∆+ε←ε

σ∆+σ←σ

Trong quy trình naøy, ñoä chính xaùc cuûa öùng suaát thu ñöôïc phuï thuoäc chuû yeáu vaøo ñoä chính xaùc cuûa gia soá con bieán daïng deûo ñöôïc tính toaùn. Baèng caùch bieåu thò

)~r,~r,~r(P]P[ 1ipip1ip

ip

ii −− ε∆+εε∆+εε∆+ε= (6.79)

vôùi ma traän [P] ñaõ ñöôïc ñònh nghóa trong phöông trình (6.77c), ba giaûi thuaät ñeå tính p∆ε% ñöôïc bieåu dieãn nhö sau:

Phöông phaùp tieáp tôùi Euler:

~]P[~ 1p ε∆=ε∆ (6.80a)

r1 = 0

Phöông phaùp Runge−Kutta baäc hai:

~w~w~ p22

p11

p ε∆+ε∆=ε∆ (6.81a)

321

~]P[~ ipi ε∆=ε∆ (6.81b)

r1 = 0, r2 = 1, w1 = w2 = ½

Phöông phaùp Runge−Kutta baäc boán:

~w~w~w~w~ p44

p33

p22

p11

p ε∆+ε∆+ε∆+ε∆=ε∆ (6.82a)

~]P[~ ipi ε∆=ε∆ (6.82b)

r1 = 0, r2 = r3 = ½, r4 = 1, w1 = w4 = 1/6, w2 = w3 = 1/3 (6.82c)

Trong kyõ thuaät laäp trình, khoâng caàn taïo thaønh ma traän [P]; thay vaøo ñoù, phöông trình (6.77a) coù theå ñöôïc duøng moät caùch tröïc tieáp ñeå tính ~ pε∆ .

Neân chuù yù raèng ñoái vôùi ba giaûi thuaät ñöôïc moâ taû ôû treân, ñoä chính xaùc vaø coâng söùc tính toaùn ñöôïc caàn cho moãi gia soá con gia taêng theo thöù töï maø chuùng ñöôïc giôùi thieäu. Ñoái vôùi moät baøi toaùn ñaõ cho, ñeå thu ñöôïc cuøng ñoä chính xaùc, vieäc söû duïng phöông phaùp vôùi ñoä chính xaùc cao seõ ñoøi hoûi soá gia soá con ít hôn. Söï choïn löïa giaûi thuaät cuï theå vaø soá caùc gia soá con, m, phuï thuoäc vaøo loaïi baøi toaùn. Cuõng caàn chuù yù raèng, thöïc teá, trong quy trình tính toaùn gia soá con öùng suaát, phöông trình (6.61a) ñaõ ñöôïc duøng thay theá cho phöông trình (6.61b). Phöông trình (6.61b) ñaõ ñöôïc öùng duïng roäng raõi bôûi nhieàu taùc giaû. Lyù do cho söï thay ñoåi naøy laø baèng caùch duøng phöông trình (6.61a), ta coù theå deã daøng taïo thaønh nhieàu giaûi thuaät khaùc nhau, vaø ñoái vôùi vaät lieäu bieán cöùng, söï tính toaùn bieán daïng deûo laø böôùc caàn thieát. Ma traän ñoä cöùng ñaøn−deûo, [Cep], khoâng ñöôïc bao goàm trong quy trình tính toaùn öùng suaát naøy, vaø [Cep] ñöôïc ñaùnh giaù chæ khi ma traän ñoä cöùng cuûa keát caáu ñöôïc caàn ñeán.

6.5.4 Söï cöôõng böùc caùc gia soá thoûa ñieàu kieän töông thích

Nhö ñaõ ñöôïc ñeà caäp ñeán trong chöông 4 vaø 5, ñieàu kieän töông thích df = 0 phaûi ñöôïc ñaùp öùng trong quaù trình ñaët taûi deûo. Tuy nhieân, do nhieàu pheùp xaáp xæ ñaõ ñöôïc thöïc hieän trong vieäc thöïc thi soá cuûa quan heä cô baûn gia soá, ñieàu kieän töông thích thöôøng voâ hieäu. Vieäc theâm gia soá con bieán daïng ôû traïng thaùi keá tieáp ñöa ñeán

f(σ, εp) ≠ 0

hoaëc, noùi caùch khaùc, öùng suaát seõ khoâng ôû treân maët chaûy keá tieáp. Nhö theá söï leäch cuûa öùng suaát khoûi maët chaûy keá tieáp laø tích luõy ñöôïc vaø coù theå daãn ñeán loãi raát lôùn trong vieäc giaûi phöông trình phi tuyeán (6.30). Moät söï hieäu chænh vectô öùng suaát phaûi ñöôïc tieán haønh ñeå thoûa ñieàu kieän töông thích. Moät söï hieäu chænh nhö theá thöôøng ñaït ñöôïc baèng caùch theâm vaøo vectô öùng suaát moät vectô hieäu chænh theo höôùng vuoâng goùc vôùi maët chaûy,

322

σ∂∂=δσ

fa (6.83)

vôùi a laø moät soá höôùng nhoû vaø ñöôïc xaùc ñònh sao cho ñieàu kieän chaûy ñöôïc thoûa ôû vò trí keá tieáp,

0,

faf),(f pp =

ε

σ∂∂+σ=εδσ+σ (6.84)

Phöông trình (6.84) laø moät phöông trình phi tuyeán ñoái vôùi voâ höôùng a. ÔÛ ñaây, nhö ñoái vôùi thöøa soá voâ höôùng r, a coù theå ñöôïc giaûi töø phöông trình (6.84) baèng phöông phaùp giaûi tích hay soá. Neáu söï khai trieån chuoãi Taylor ñöôïc duøng cho phöông trình (6.84), vaø taát caû caùc soá haïng baäc cao ñöôïc boû qua, ta coù theå thu ñöôïc voâ höôùng a:

σ∂∂

σ∂∂

εσ−=

f

f

),(fa

T

p (6.85)

vaø vectô hieäu chænh thu ñöôïc

σ∂∂

σ∂∂

σ∂∂

εσ−=δσ

f

f

f

),(f

T

p (6.86)

Cuoái cuøng, vectô öùng suaát ñöôïc hieäu chænh nhaän ñöôïc

σ∂∂+σ←σ

fa

6.5.5 Quy trình toång quaùt tính toaùn öùng suaát

Toùm laïi, quy trình tính toaùn öùng suaát cuï theå seõ ñöôïc toùm taét ôû ñaây. Trong quy trình naøy, kyù hieäu IPEL ñöôïc duøng ñeå bieåu thò traïng thaùi ôû moät ñieåm Gauss ñang khaûo saùt. IPEL = 0 bieåu thò ñieåm Gauss ôû trong traïng thaùi ñaøn hoài, vaø IPEL = 1 bieåu thò ñieåm Gauss ôû trong traïng thaùi ñaøn−deûo.

Böôùc 1: Tính toaùn gia soá bieán daïng ∆ε vaø gia soá öùng suaát thöû ∆σe baèng caùch giaû ñònh öùng xöû ñaøn hoài.

m)i(1m ε−ε=ε∆ +

]C[ ε∆=σ∆

Böôùc 2: Xaùc ñònh traïng thaùi taûi.

Neáu IPEL = 1, ñieåm Gauss ôû trong traïng thaùi ñaøn−deûo tröôùc ñoù. Haõy tính toaùn haøm tieâu chuaån ñaët taûi L, phöông trình (6.73). Neáu L > 0, r ← 0, ñaët taûi deûo.

Neáu L ≤ 0, r ← 1, caát taûi hoaëc ñaët taûi trung hoøa.Neáu IPEL = 0, ñieåm Gauss ôû trong traïng thaùi ñaøn hoài tröôùc ñoù. Haõy tính haøm chaûy f:

),(ff pem εσ∆+σ←

Neáu f < 0, r ← 1, ñieåm Gauss vaãn ôû trong traïng thaùi ñaøn hoài. Ñi ñeán böôùc 5.Neáu f > 0, IPEL = 1, ñieåm Gauss ñi vaøo traïng thaùi ñaønXaùc ñònh r sao cho f(mσ + r∆σe,

r m σ∆+σ←σ

Böôùc 3: Tính toaùn gia soá con bieán daïng

Böôùc 4: Tích phaân soá, laëp töø 1 ñeán m.

Xaùc ñònh gia soá con bieán daïng deûo ∆

p

p

,~

)~~](C[~

ε←εσ∆+σ←σ

ε∆−ε∆=σ∆

Kieåm tra ñieàu kieän chaûy keá tieáp. Neáu |f(σ, εp)| > εf, vôùi εf laø sai soá ñaõ ñònh tröôùc cho haøm chaûy, haõy xaùc ñònh vectô öùng suaát hieäu chænh δσ vaø σ

Böôùc 5: )i(1m σ←σ+

Neáu caàn thieát, tính toaùn ma traän ñaøn−

323

1, caát taûi hoaëc ñaët taûi trung hoøa. ôû trong traïng thaùi ñaøn hoài tröôùc ñoù. Haõy tính haøm

vaãn ôû trong traïng thaùi ñaøn hoài. Ñi ñeán böôùc 5. ñi vaøo traïng thaùi ñaøn−deûo.

, εp) = 0

Tính toaùn gia soá con bieán daïng m

)r1(~ ε∆−=ε∆

~pε∆ vaø p∆ε%

pp~ε∆+ε

laø sai soá ñaõ ñònh tröôùc cho haøm chaûy, haõy xaùc ñònh ← σ + δσ.

−deûo, [Cep].

324

Hình 6.6 Caát taûi vaø ñaët taûi laïi töø traïng thaùi chaûy deûo: (a) ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng lyù töôûng hoùa; (b) voøng laëp treã trong chu kyø ñaët taûi

6.6 LYÙ THUYEÁT MAËT BIEÂN

Caùc moâ hình coå ñieån cuûa chaûy deûo bieán cöùng ñaúng höôùng hoaëgiaûn vaø khaù toát ñoái vôùi caùc lòch söû ñaët taûi ñôn giaûn. Ñoái vôùi nhöõng lòch söû ñaët taûi phöùc taïp, nhö caùc quaù trình ñaët taûi chu kyø trong mieàn chaûy deûo, caùc moâ hình naøy khoâng coù ñuû khaû naêng ñeå moâ taû öùng xöû treã ñöôïc bieåu thò trong hình 6.6b. Moät ñaëc tính hieån nhieân cuûa öùng xöû chu kyø laø khoâng coù söï truøng khôùp cuûa öùng suaát chaûy keá tieáp (A) vaø öùng suaát ñaët taûi keá tieáp (A’). Tuy nhieân, ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng ñöôïc lyù töôûng hoùa cuûa hình 6.6a nguï yù raèng chu kyø ñaët taûi coù theå thuaän nghòch hoaøn toaøn, vaø do ñoù khoâng coù bieán daïng deûo ñöôïc ghi nhaän neáu khoâng coù chaûy deûo nghòch ñaûo ñaõ xaûy ra. Caùc bieán daïng deûo theâm chæ coù theå xaûy ra vôùi vieäc gia taûi laïi laøm cho traïng thaùi öùng suaát vöôït qua ñieåm A, vaø öùng xöû keá tieáp gioáng vôùi öùng xöû thu ñöôïc neáu caát taûi ñaõ khoâng bao giôø xaûy ra. Söï khoâng ñaày ñuû cuûa caùc moâ hình coå ñieån ñaõ daãn ñeán vieäc phaùt trieån hình chaûy deûo khaùc.

Lyù thuyeát maët bieân ñöôïc ñeà nghò bôûi laø moät noå löïc ñeå toång quaùt hoùa lyù thuyeát chaûy quy öôùc ñeå giaûi thích öùng xöû chu kyø cuûa caùc vaät lieäu.

6.6.1 Söï khaûo saùt toång quaùt

Tröôùc khi ñi ñeán thaûo luaän lyù thuyeát maët bieâncuûa caùc phöông trình (5.125), (5.136), vaø (5.140) nhaän ñöôïc töø chöông 5 döïa treân lyù thuyeát chaûy deûo:

Caát taûi vaø ñaët taûi laïi töø traïng thaùi chaûy deûo: (a) ñöôøng cong öùng bieán daïng lyù töôûng hoùa; (b) voøng laëp treã trong chu kyø ñaët taûi

Caùc moâ hình coå ñieån cuûa chaûy deûo bieán cöùng ñaúng höôùng hoaëc ñoäng hoïc laø ñôn giaûn vaø khaù toát ñoái vôùi caùc lòch söû ñaët taûi ñôn giaûn. Ñoái vôùi nhöõng lòch söû ñaët taûi phöùc taïp, nhö caùc quaù trình ñaët taûi chu kyø trong mieàn chaûy deûo, caùc moâ hình naøy

g xöû treã ñöôïc bieåu thò trong hình 6.6b. Moät ñaëc tính hieån nhieân cuûa öùng xöû chu kyø laø khoâng coù söï truøng khôùp cuûa öùng suaát chaûy keá tieáp (A) vaø öùng suaát ñaët taûi keá tieáp (A’). Tuy nhieân, ñöôøng cong öùng

lyù töôûng hoùa cuûa hình 6.6a nguï yù raèng chu kyø ñaët taûi coù theå thuaän nghòch hoaøn toaøn, vaø do ñoù khoâng coù bieán daïng deûo ñöôïc ghi nhaän neáu khoâng coù chaûy deûo nghòch ñaûo ñaõ xaûy ra. Caùc bieán daïng deûo theâm chæ coù

ôùi vieäc gia taûi laïi laøm cho traïng thaùi öùng suaát vöôït qua ñieåm A, vaø öùng xöû keá tieáp gioáng vôùi öùng xöû thu ñöôïc neáu caát taûi ñaõ khoâng bao giôø xaûy ra. Söï khoâng ñaày ñuû cuûa caùc moâ hình coå ñieån ñaõ daãn ñeán vieäc phaùt trieån caùc moâ

ñöôïc ñeà nghò bôûi Dafalias vaø Popov (1975) vaø Krieg (1975) laø moät noå löïc ñeå toång quaùt hoùa lyù thuyeát chaûy quy öôùc ñeå giaûi thích öùng xöû chu

lyù thuyeát maët bieân, ta haõy xem laïi caùc quan heä cô baûn cuûa caùc phöông trình (5.125), (5.136), vaø (5.140) nhaän ñöôïc töø chöông 5 döïa

325

l

l

kkij

ijklpij

eijij dfg1Dddd σ

σ∂∂

σ∂∂

κ+=ε+ε=ε (6.87)

vaø ll

l krsmnrsmn

pqkpqtuijtuijkij d

)/g(C)/f(

C)/f()/g(CCd ε

σ∂∂σ∂∂+κ

σ∂∂σ∂∂−=σ (6.88)

Caùc bieåu thöùc tenxô naøy baây giôø coù theå ñöôïc vieát laïi döôùi daïng ma traän:

dnn1]D[ddd Tfg

pe σ

κ+=ε+ε=ε (6.89)

vaø dn]C[n

]C[nn]C[]C[d

gT

f

Tfg ε

+κ−=σ (6.90)

trong ñoù [C] laø tenxô cuûa caùc moâñun ñaøn hoài, vaø [D] laø ma traän nghòch ñaûo cuûa ma traän [C], nghóa laø, tenxô ñoä meàm ñaøn hoài, ng vaø nf töông öùng laø caùc phaùp tuyeán ñôn vò cuûa maët theá naêng deûo g vaø maët ñaët taûi f,

( ) 2/1T

g/g/g

/gn

σ∂∂σ∂∂

σ∂∂= (6.91)

( ) 2/1T

f/f/f

/fnσ∂∂σ∂∂

σ∂∂= (6.92)

vaø κ coù theå ñöôïc xem nhö laø moâñun deûo vaø ñöôïc lieân heä vôùi moâñun bieán cöùng κ bôûi

( ) ( ) 2/1T2/1T /f/f/g/g σ∂∂σ∂∂σ∂∂σ∂∂

κ=κ (6.93)

trong khi moâñun bieán cöùng κ ñöôïc lieân heä vôùi caùc thoâng soá bieán cöùng vaø moâñun deûo Hp trong thí nghieäm ñôn truïc, noù laø ñoä doác cuûa ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng deûo ñôn truïc.

Töø caùc phöông trình (6.89) ñeán (6.93) cho thaáy ñònh nghóa cuûa quan heä cô baûn laø hoaøn chænh neáu, ñoái vôùi traïng thaùi öùng suaát baát kyø, ta coù theå ñònh roõ:

1. Caùc thoâng soá lòch söû, nghóa laø caùc thoâng soá bieán cöùng, 2. Höôùng nf cuûa ñaët taûi, 3. Höôùng ng cuûa chaûy deûo, 4. Tenxô cuûa moâñun ñaøn hoài [C], vaø 5. Moâñun deûo κ .

326

Coù nhieàu caùch ñeå thöïc hieän nhöõng tröôøng hôïp nhö theá. Chuùng bao goàm chaûy deûo coå ñieån, chaûy deûo maët bieân, vaø nhieàu bieán chöa ñöôïc thöû nghieäm.

YÙ töôûng cô baûn cuûa moâ hình maët bieân do Dafalias vaø Popov ñeà xuaát (1975) coù theå ñöôïc phaùc thaûo nhö sau:

1. Khaùi nieäm maët bieân ñöôïc giôùi thieäu bôûi vieäc giaû ñònh söï toàn taïi cuûa maët nhö theá noù ñi keøm theo caùc maët chaûy vaø maët ñaët taûi keá tieáp trong khoâng gian öùng suaát. Söï ñònh nghóa cuûa maët bieân ñoàng nhaát vôùi ñònh nghóa maët chaûy trong lyù thuyeát deûo coå ñieån. Noùi chung, caû maët bieân vaø maët chaûy coù theå bieán daïng vaø dòch chuyeån trong khoâng gian öùng suaát neáu ñaët taûi deûo xaûy ra.

2. Moät quy luaät ñöôïc thieát laäp cho vieäc lieân keát ñieåm öùng suaát σ, noù ôû beân trong maët bieân vaø treân maët chaûy hoaëc maët ñaët taûi keá tieáp, vôùi moät ñieåm σ treân

maët bieân. Sau ñoù, khoaûng caùch giöõa hai ñieåm naøy, δ, ñöôïc ñònh nghóa.

3. Moâ hình giaû ñònh raèng söï bieán thieân cuûa moâñun deûo, Ep, (nghóa laø, Hp theo thuaät ngöõ cuûa taøi lieäu naøy) coù theå ñöôïc phaân thaønh ba mieàn. Mieàn ñaàu tieân ñöôïc lieân keát vôùi söï keát thuùc cuûa öùng xöû ñaøn hoài, nôi maø Ep = ∞; mieàn thöù hai xaûy ra vöôït qua chaûy deûo ban ñaàu, nôi maø Ep laø haøm giaûm ñôn ñieäu theo khoaûng caùch, δ, cho ñeán khi ñaït ñeán mieàn thöù ba, nôi maø Ep laø haèng soá E0.

6.6.2 Ñaët taûi keùo ñôn truïc

Hình 6.7a bieåu thò moät phaùc ñoà cuûa ñaùp öùng öùng suaát−bieán daïng ñôn truïc. Vaät lieäu bieåu thò ñaùp öùng ñaøn hoài tuyeán tính cho ñeán ñieåm A. Beân trong mieàn ñaøn hoài naøy, moâñun deûo laø voâ haïn. Sau khi vöôït qua ñieåm A, caùc bieán daïng deûo xaûy ra vaø Ep baét ñaàu coù nhöõng giaù trò höõu haïn, noù thay ñoåi daàn vaø tieán ñeán giaù trò cuoái cuøng ñöôïc lieân keát vôùi nhöõng ñöôøng giôùi haïn XX’ vaø YY’. Trong hình 6.7a, OA dieãn taû phaàn ñaøn hoài, vaø ABD laø phaàn ñaøn−deûo. Caát taûi ñaøn hoài ñöôïc giaû ñònh xaûy ra ôû ñieåm D doïc DD’ vaø vieäc ñaët laïi taûi deûo xaûy ra doïc D’D’’F. Mieàn FF’ dieãn taû söï caát taûi ñaøn hoài môùi, noù ñöôïc tieáp noái bôûi vieäc ñaët taûi deûo laïi doïc F’F’’X. Sau ñieåm B, ñöôøng cong ñöôïc tieáp noái trong luùc ñaët taûi deûo laïi töông töï nhö laàn ñaët taûi deûo ñaàu tieân ñoái vôùi bieán cöùng ñoäng hoïc thuaàn. Noùi chung, caùc giôùi haïn coù theå thay ñoåi vôùi lòch söû ñaët taûi.

Trong mieàn ñaøn hoài nhö FF’, moâñun deûo Ep laø voâ haïn. Giaù trò cuûa Ep thay ñoåi trong quaù trình öùng xöû deûo trong nhöõng mieàn nhö F’F’’. Doïc FF’, Ep laø voâ haïn, nhöng ngay sau F’, noù coù giaù trò höõu haïn vaø giaù trò naøy thay ñoåi khi quaù trình ñi ñeán F’’. Mieàn F’’X moâ taû öùng xöû deûo trong thôøi gian ñoù Ep ñöôïc cho raèng vaãn giöõ giaù trò haèng. Do ñoù, ñaùp öùng öùng suaát−bieán daïng ñöôïc giôùi haïn bôûi hai ñöôøng thaúng XX’ vaø YY’. Trong caùc tröôøng hôïp ña truïc, caùc hình chieáu cuûa

327

nhöõng ñieåm treân caùc bieân ñöôïc toång quaùt hoùa thaønh maët bieân, do ñoù noù coù teân laø moâ hình maët bieân.

Moâ hình coù theå ñöôïc giaûi thích baèng ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng deûo ñoái vôùi tröôøng hôïp ñôn truïc (hình 6.7b). Haõy khaûo saùt hai ñieåm A vaø A’ treân ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng deûo. Caát taûi seõ xaûy ra töø ñieåm A, doïc AA . Söï môû roäng cuûa AA ñeán XX’ vaø YY’ daãn ñeán B,B . Caùc ñieåm K vaø R töông öùng laø caùc trung ñieåm cuûa AA vaø B,B . Thuaät ngöõ töông öùng aùp duïng cho traïng thaùi A’.

Döôùi moät gia soá öùng suaát dσ, traïng thaùi öùng suaát seõ di chuyeån töø A ñeán A’. Theá thì mieàn ñaøn hoài AA di chuyeån ñeán ,,

AA vaø B,B di chuyeån ñeán ,,BB . Baây

giôø ta ñònh nghóa dα laø hình chieáu cuûa KK’ leân truïc öùng suaát. KK’ laø söï di chuyeån gia soá cuûa taâm K cuûa ñoaïn ñöôøng trong hoaëc mieàn ñaøn hoài AA , vaø dβ laø laø hình chieáu cuûa RR’, noù laø söï di chuyeån gia soá cuûa taâm R cuûa ñoaïn ñöôøng ngoaøi B,B . Ta kyù hieäu S vaø dS töông öùng laø chieàu daøi vaø gia soá chieàu daøi cuûa ñoaïn ñöôøng trong vaø p

0E laø moâñun deûo ñöôïc keát hôïp vôùi ñöôøng (beà maët) bieân. Roài thì töø caùc khaûo saùt hình hoïc (hình 6.7b), caùc bieåu thöùc sau ñaây coù theå ñöôïc vieát:

ppdEd ε=σ (6.94)

2

dSdd −σ=α (6.95)

328

Hình 6.7 Bieåu ñoà cuûa moâ hình maët (ñöôøng) trong khoâng gian (a) σ−ε vaø (b) σ−εp (Dafalias vaø Popov, 1975)

D’’

F’’

329

pp0dEd ε=β (6.96)

σ

−=δ=δ−δ d1

E

Ed

P

p0, (6.97)

ôû ñaây δ laø khoaûng caùch cuûa A töø B treân XX’ vaø δ’ laø khoaûng caùch cuûa A’ töø B’ treân XX’. Caùc ñaúng thöùc treân aùp duïng khi hai bieân ñöôïc giaû ñònh laø caùc ñöôøng thaúng.

Moâñun deûo Ep ñöôïc thöøa nhaän laø ñöôïc cho bôûi quan heä cuûa daïng

Ep = EÂp(δ, Wp) (6.98)

vôùi p0E = EÂp(0, Wp). Haøm EÂp laø: (i) haøm taêng cuûa δ, (ii) haøm giaûm cuûa Wp neáu

vaät lieäu bò laøm meàm, vaø (iii) haøm taêng cuûa Wp neáu vaät lieäu bò laøm cöùng. Wp laø coâng deûo trong suoát nöûa chu kyø coù tröôùc traïng thaùi bieán daïng deûo hieän haønh. S thöôøng ñöôïc giaû ñònh laø haøm cuûa coâng chaûy deûo Wp; do ñoù, dδ coù theå ñöôïc xaùc ñònh.

Baây giôø, quy trình gia soá cho tröôøng hôïp ñôn truïc ñöôïc xaùc ñònh hoaøn toaøn töø heä caùc phöông trình treân. Thöïc ra, dσ, Wp, vaø δ ñaõ ñöôïc cho, dεp, dα, vaø dβ thu ñöôïc töø nhöõng bieåu thöùc (6.94), (6.95), vaø (6.96) baèng caùch duøng giaù trò cuûa Ep töø ñaúng thöùc (6.98), vaø giaù trò cuûa dS töø moät quan heä ñoái vôùi S. Ñoái vôùi gia soá keá tieáp, δ’ thu ñöôïc töø ñaúng thöùc (6.97) vaø giaù trò môùi cuûa Ep thu ñöôïc töø ñaúng thöùc (6.98). Sau ñoù quy trình ñöôïc laëp laïi.

Caùc hình chieáu cuûa hai ñoaïn thaúng AA vaø BB leân truïc σ di chuyeån trong quaù trình ñaët taûi deûo. Ñoaïn phía trong di chuyeån do gia soá öùng suaát dσ. Ñoaïn phía ngoaøi di chuyeån theo cuøng caùch thöùc nhöng ôû toác ñoä chaäm hôn. Do ñoù, roát cuoäc ñoaïn phía trong coù theå tieán ñeán ñoaïn phía ngoaøi, vaø sau ñoù caû hai cuøng di chuyeån. Trong quaù trình di chuyeån, Ep thay ñoåi vôùi δ vaø tieáp caän p

0E khi δ = 0.

Coù khaû naêng Ep trôû thaønh p0E ñoái vôùi δ ≠ 0. Theá roài caû hai ñoaïn di chuyeån cuøng

toác ñoä maø khoâng coù söï tieáp xuùc.

6.6.3 Ñaët taûi ña truïc

Söï moâ taû ñaõ ñeà caäp ôû treân cho tröôøng hôïp ñaët taûi ñôn truïc coù theå deã daøng ñöôïc toång quaùt hoùa thaønh tröôøng hôïp ñaët taûi ña truïc. Trong tröôøng hôïp ña truïc, mieàn ñaøn hoài ñöôïc dieãn taû bôûi caùc ñoaïn thaúng phía trong trôû thaønh moät mieàn ñöôïc giôùi haïn bôûi maët chaûy hoaëc maët ñaët taûi keá tieáp, ñeå ñôn giaûn, ñöôïc bieåu thò nhö laø moät ñöôøng troøn taâm k (hình 6.8). Ñieàu naøy töông öùng vôùi ñoaïn thaúng phía trong treân truïc σ cuûa tröôøng hôïp ñôn truïc. Ñoaïn thaúng phía ngoaøi ñöôïc bieåu thò

330

bôûi moät maët khaùc trong khoâng gian öùng suaát, laïi ñöôïc bieåu thòtroøn taâm r, di keøm vôùi maët chaûy. Maët thöù hai naøy trong khoâng gian öùng suaát seõ ñöôïc goïi laø maët bieân, töø thöïc teá ta thaáy raèng maët chaûy bò raøng buoäc ñeå luoân di chuyeån beân trong maët naøy, noù cuõng di chuyeån

Neáu traïng thaùi öùng suaát σ, ñöôïc giôùi thieäu bôûi ñieåm a, naèm treân maët ñaët taûi vaø tieáp tuïc di chuyeån ra phía ngoaøi, ñaët taûi deûo xaûy ra. Baèng caùch thöøa nhaän quy luaät chaûy keát hôïp, töùc laø, ng = nf, theo ñaúng thöùc (6.89), ta coù

dnn1de Tff

p =σκ

=

trong ñoù dσ = nfTdσ, laø soá voâ höôùng bieåu thò hình chieáu cuûa gia soá öùng suaát dσ leân phaùp tuyeán ñôn vò nf, vaø töông töï vôùi ñaúng thöùc (6.98):

)W,( pδκ=κ∧

ÔÛ ñaây haøm κ) coù cuøng nhöõng ñaëc tính nhö haøm EÂCoâng chaûy deûo baây giôø ñöôïc ñònh nghóa nhö

∫ εσ= pijijp dW

ÔÛ ñaây tích phaân ñöôïc thöïc hieän trong khoâng gian bieán daïng doïc theo loä trình ñaët taûi trong quaù trình bieán daïng deûo tröôùc khi bieán daïng ñaøn hoài coù tröôùc traïng thaùi deûo hieän thôøi.

Hình 6.8 Sô ñoà bieåu dieãn cho a) Maët ñaët taûi vaø maët bieân vaø

bôûi moät maët khaùc trong khoâng gian öùng suaát, laïi ñöôïc bieåu thò nhö moät ñöôøng troøn taâm r, di keøm vôùi maët chaûy. Maët thöù hai naøy trong khoâng gian öùng suaát seõ

, töø thöïc teá ta thaáy raèng maët chaûy bò raøng buoäc ñeå luoân di chuyeån beân trong maët naøy, noù cuõng di chuyeån trong khoâng gian öùng suaát.

, ñöôïc giôùi thieäu bôûi ñieåm a, naèm treân maët ñaët taûi vaø tieáp tuïc di chuyeån ra phía ngoaøi, ñaët taûi deûo xaûy ra. Baèng caùch thöøa nhaän quy

, theo ñaúng thöùc (6.89), ta coù

nd1fσ

κ= (6.99)

, laø soá voâ höôùng bieåu thò hình chieáu cuûa gia soá öùng suaát , vaø κ laø moâñun deûo, ñöôïc cho bôûi quan heä

(6.100)

coù cuøng nhöõng ñaëc tính nhö haøm EÂp ñoái vôùi tröôøng hôïp ñôn truïc. baây giôø ñöôïc ñònh nghóa nhö

thöïc hieän trong khoâng gian bieán daïng doïc theo loä trình ñaët taûi trong quaù trình bieán daïng deûo tröôùc khi bieán daïng ñaøn hoài coù tröôùc traïng thaùi

Sô ñoà bieåu dieãn cho a) Maët ñaët taûi vaø maët bieân vaø

331

b) Söï minh hoïa chuyeån ñoäng cuûa chuùng Baây giôø, moät vaán ñeà xuaát hieän trong tröôøng hôïp ña truïc laø laøm theá naøo xaùc ñònh khoaûng caùch δ. Trong tröôøng hôïp ñôn truïc, ta coù δ = AB, vôùi A laø traïng thaùi öùng suaát vaø B laø moät ñieåm treân ñöôøng XX’. Vì vaäy, trong hình 6.8a, ñieåm a ñöôïc laáy treân beà maët chaûy, vaø ñieåm b treân beà maët bieân. Theo caùch naøy, khoaûng caùch δ = ab. Veà phaàn xaùc ñònh b, nhieàu giaû thieát coù theå chaáp nhaän ñöôïc. Thí duï, neáu maët chaûy vaø maët bieân ñoàng daïng, b coù theå laø ñieåm ñoàng vò vôùi a veà söï ñoàng daïng; hoaëc b coù theå thu ñöôïc nhö laø giao ñieåm cuûa phaùp tuyeán beà maët ñaët taûi taïi a vôùi maët bieân; hay ñôn giaûn b coù theå laø giao ñieåm cuûa ka vôùi beà maët bieân nhö ñöôïc bieåu thò trong hình 6.8a. Khoaûng caùch δ coù theå ñöôïc cho bôûi heä meùt Euclid thoâng thöôøng, töùc laø, neáu σ laø traïng thaùi öùng suaát taïi b, thì

2/1T )]()[( σ−σσ−σ=δ (6.101)

Maët ñaët taûi coù theå dòch chuyeån vaø bieán daïng trong khoâng gian öùng suaát theo quy luaät bieán cöùng thích hôïp tuøy yù. Ñoàng thôøi, maët bieân coù theå dòch chuyeån trong khoâng gian öùng suaát. Maët bieân cuõng coù theå bieán daïng; thí duï söï giaõn nôû cuûa maët bieân seõ töông öùng vôùi söï gia taêng khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng bieân trong tröôøng hôïp moät chieàu.

Quy luaät cho söï dòch chuyeån cuûa maët bieân thu ñöôïc töø söï di chuyeån dβ cuûa taâm maët naøy. Trong tröôøng hôïp moät chieàu, ñaúng thöùc (6.96) ñoái vôùi dβ coù theå ñöôïc vieát laïi döôùi daïng sau:

pp0

ppp0

ppppp0 d)EE(dd)EE(dEdEd ε−−σ=ε−−ε=ε=β (6.102)

Trong ñaúng thöùc naøy, gia soá öùng suaát dσ laø gia soá chuyeån vò trong khoâng gian öùng suaát cuûa ñieåm treân beà maët ñaët taûi noù dieãn taû traïng thaùi öùng suaát hieän haønh. Neân chuù yù raèng ñaïi löôïng naøy coù yù nghóa khaùc vôùi dσ trong ñaúng thöùc (6.99), nôi maø noù aùp duïng cho tröôøng hôïp ña truïc. Hình 6.8b minh hoïa ñaïi löôïng töông öùng vôùi dσ cuûa ñaúng thöùc (6.102) trong khoâng gian öùng suaát nhieàu chieàu. Ñieåm a cuûa beà maët ñaët taûi dieãn taû traïng thaùi öùng suaát hieän haønh. Neáu gia soá öùng suaát ñöôïc kyù hieäu bôûi dσ, thì vectô 1aa seõ dieãn taû noù; vectô 2aa bieåu dieãn hình chieáu cuûa dσ leân phaùp tuyeán ñôn vò n; vaø vectô 3aa bieåu thò gia soá chuyeån vò cuûa a noù theo höôùng cuûa vectô ñôn vò ν. Chuù yù raèng traïng thaùi öùng suaát môùi ñöôïc moâ taû bôûi a1, trong khi ñieåm a cuûa beà maët ñaët taûi di chuyeån ñeán a3. Vectô 3aa töông öùng vôùi ñaïi löôïng dσ cuûa ñaúng thöùc (6.102) trong tröôøng hôïp ñôn truïc. Beân trong pheùp xaáp xæ baäc hai, coù theå xaùc nhaän raèng aa2 = nTdσ laø hình chieáu leân n cuûa caû hai vectô 1aa vaø 3aa . Do ñoù, neáu ω laø goùc toång quaùt hoùa giöõa n vaø ν, vaø do nTν = nijνij = cosω,

332

cos

daa 3 νω

σ= (6.103)

Ñeå khaùi quaùt hoùa phaàn pp0

p d)EE( ε− trong ñaúng thöùc (6.102), yù töôûng ñöôïc ñeà nghò bôûi Mroz (1967) ñöôïc söû duïng ôû ñaây. Kyù hieäu c trong hình 6.8a bieåu thò ñieåm treân beà maët bieân nôi maø phaùp tuyeán ngoaøi cuøng höôùng vôùi phaùp tuyeán cuûa beà maët ñaët taûi taïi a. Theá roài, kyù hieäu µ laø vectô ñôn vò doïc theo ac , gia soá tònh tieán cuûa beà maët bieân doïc theo µ seõ thoûa yeâu caàu raèng ñieåm tieáp xuùc ôû cuøng luùc vôùi traïng thaùi öùng suaát. Baèng caùch duøng caùc ñaúng thöùc (6.99), (6.103), vaø giaû ñònh ôû treân, ta nhaän ñöôïc

µ

κκ

−−νω

σ=

µεεκ−κ−νω

σ=β

1cos

1d

dd)(cos

dd

0

pTp0

(6.104)

Phöông trình naøy töông öùng vôùi phöông trình (6.96). Caùc quan heä töông öùng vôùi caùc ñaúng thöùc (6.95) vaø (6.97) cuûa tröôøng hôïp ñôn truïc ñoøi hoûi söï hình thaønh coâng thöùc cuï theå cuûa beà maët ñaët taûi vaø beà maët bieân. Haõy quan saùt xem beà maët ñaët taûi coù di chuyeån nhö vaät theå cöùng khoâng, soá haïng dσν/cosω cuõng laø gia soá chuyeån vò dα cuûa taâm beà maët ñaët taûi. Trong tröôøng hôïp nhö theá, khi hai beà maët ñeán tieáp xuùc, ñieåm chung coù δ = 0 vaø κ = 0κ , vaø ñaúng thöùc (6.104) laøm cho dβ = dα, nghóa laø, caùc beà maët di chuyeån laïi vôùi nhau vôùi cuøng toác ñoä. Nhö trong tröôøng hôïp ñôn truïc, cuõng coù theå κ laáy giaù trò 0κ tröôùc khi beà maët ñaët taûi ñeán ñöôïc beà maët bieân, vaø sau ñoù hai beà maët di chuyeån cuøng toác ñoä vaø cuøng höôùng maø khoâng coù tieáp xuùc.

Coù theå thaáy raèng caùc moâ hình bieán cöùng ñoäng hoïc cuûa Prager vaø Ziegler laø nhöõng tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa moâ hình beà maët bieân. Söï hình thaønh toång quaùt cuûa chaûy deûo maët bieân vôùi hình thöùc bieán noäi ñöôïc trong nhöõng baøi baùo cuûa Dafalias vaø Popov (1976, 1977).

6.6.4 Caùc moâ hình maët bieân khaùc

Theo yù töôûng cô baûn cuûa lyù thuyeát beà maët bieân, nhieàu moâ hình cô baûn khaùc nhau coù theå ñöôïc phaùt trieån cho caùc kim loaïi cuõng nhö nhöõng vaät lieäu ñòa chaát khaùc. Do vieäc ñònh nghóa caùc hình daùng vaø nhöõng thay ñoåi cuûa beà maët bieân vaø beà maët ñaët taûi coù theå khaùc nhau giöõa caùc vaät lieäu, vieäc ñònh nghóa ñieåm öùng suaát σ treân beà maët bieân töông öùng vôùi ñieåm öùng suaát σ treân beà maët ñaët taûi cuõng theá, vaø caùc quy luaät ñeå nhaän ñöôïc caùc giaù trò cuûa ng, nf, κ , vaø δ coù theå phöùc taïp khaùc nhau.

333

Nhö ñaõ ñöôïc toùm taét bôûi Zienkiewicz (1982), vaøi moâ hình ñieån hình cuûa loaïi ñòa cô hoïc naøy goàm moâ hình bieán cöùng baát ñaúng höôùng hai maët, moâ hình beà maët bieân vôùi söï suy bieán, moâ hình beà maët voâ haïn, vaø moâ hình beà maët voâ haïn hieäu chænh (xem Mroz, Norris, vaø Zienkiewicz, 1978, 1979). Moät moâ hình maët bieân ñaëc bieät cho ñaát ñaõ ñöôïc phaùt trieån bôûi Dafalias vaø Herrmann (1982).

6.7 SÖÏ MÔÛ ROÄNG TRÖÔØNG HÔÏP BAÁT ÑAÚNG HÖÔÙNG

Moät soá vaät lieäu, nhö kim loaïi taám vaø caùc daïng ñöôïc cheá taïo, bieåu thò nhöõng ñaëc tính ñònh höôùng noåi baät. Trong nghieân cöùu chaûy deûo cuûa nhöõng vaät lieäu nhö theá, can thieát phaûi khaûo saùt aûnh höôûng cuûa söï baát ñaúng höôùng. Moät trong nhöõng nghieân cöùu ñaàu tieân veà chaûy deûo cuûa vaät lieäu baát ñaúng höôùng ñöôïc cho bôûi Hill (1950). Hill ñaõ ñeà nghò moät tieâu chuaån chaûy vôùi bieåu thöùc baäc hai cuûa caùc thaønh phaàn öùng suaát noù quy veà tieâu chuan von Mises khi baäc cuûa baát ñaúng höôùng baèng khoâng [xem ñaúng thöùc 2.198), muïc 2.4]. Caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng töông töï cho caùc vaät lieäu baát ñaúng höôùng vôùi söï bieán cöùng ñaõ ñöôïc ñeà nghò bôûi Jackson, Smith, vaø Lankford (1948), Dorn (1949), vaø Hu (1956). Moät lyù thuyeát toång quaùt hôn noù keát hôïp lyù thuyeát ñaúng höôùng vaø lyù thuyeát bieán cöùng ñoäng hoïc ñaõ ñöôïc ñeà nghò bôûi Baltov vaø Sawczuk (1965).

Döïa treân caùc söï tieán trieån coå ñieån, Yamada (1968, 1969) ñaõ thieát laäp laïi caùc quan heä cô baûn cho vaät lieäu tröïc höôùng vôùi söï bieán cöùng thích hôïp cho nhöõng öùng duïng vaøo phaân tích phaàn töû höõu haïn.

6.7.1 Tieâu chuaån chaûy

Theo lyù thuyeát cuûa Hill, ta ñònh nghóa haøm chaûy hay haøm ñaët taûi, f, trong daïng töông töï vôùi haøm cuûa ñaúng thöùc (2.198):

[ ]

kN2M2L2

)(H)(G)(F)HGF(2

1f

2xy

2zx

2yz

2yx

2xz

2zy

=τ+τ+τ+

σ−σ+σ−σ+σ−σ++

= (6.105)

trong ñoù F, G, H, L, M, vaø N laø nhöõng thoâng soá vaät lieäu. Neân chuù yù raèng caùc truïc toïa ñoä x, y, vaø z trong ñaúng thöùc (6.105) ñöôïc laáy laø caùc truïc chính cuûa tính khoâng ñaúng höôùng vaät lieäu. Thoâng soá bieán cöùng k, bieåu dieãn kích thöôùc cuûa beà maët chaûy, ñöôïc bieåu dieãn theo öùng suaát töông ñöông eσ , noù seõ ñöôïc xaùc ñònh sau. Ñaúng thöùc (6.105) coù theå ñöôïc bieåu dieãn moät caùch khaùc bôûi haøm aån Q sau ñaây:

Q = f − k = 0 (6.106)

6.7.2 Quy luaät chaûy vaø caùc gia soá bieán daïng deûo

334

Ta seõ duøng quy luaät chaûy keát hôïp ñeå xaùc ñònh caùc gia soá bieán daïng deûo, ôû ñaây haøm theá naêng g ñöôïc giaû söû laø töông töï nhö haøm chaûy hay haøm ñaët taûi f ñöôïc cho trong phöông trình (6.105):

G = f (6.107)

Theá thì, caùc gia soá bieán daïng deûo ñöôïc cho bôûi

ijij

pij

fd

gdd

σ∂∂λ=

σ∂∂

λ=ε (6.108)

Trong daïng ma traän,

σ∂

∂λ=ε fdd p (6.109)

ôû ñaây ddddddd pxy

pzx

pyz

pz

py

px

Tp γγγεεε=ε (6.110)

τ∂∂

τ∂∂

τ∂∂

σ∂∂

σ∂∂

σ∂∂=

σ∂∂

xyzxyzzyx

T fffffff (6.111)

vaø dλ laø soá voâ höôùng döông cuûa tính tyû leä. Chuù yù raèng caùc thaønh phaàn tröôït ñöôïc ñònh nghóa ôû ñaây laø caùc gia soá bieán daïng deûo kyõ thuaät, nghóa laø,

,...d2d pyz

pyz ε=γ (6.112)

Baèng caùch duøng haøm chaûy f trong phöông trình (6.105), ta coù theå thu ñöôïc caùc bieåu thöùc cuûa caùc gia soá bieán daïng deûo nhö sau:

λτ=τ++

λ=τ∂∂λ=γ

λτ=τ++

λ=τ∂∂λ=γ

λτ=τ++

λ=τ∂∂λ=γ

λσ=σ+σ+σ−σ++

λ=σ∂∂λ=ε

λσ=σ+σ+σ−σ++

λ=σ∂∂λ=ε

λσ=σ+σ+σ−σ++

λ=σ∂∂λ=ε

d2]N2[)HGF(

dfdd

d2]M2[)HGF(

dfdd

d2]L2[)HGF(

dfdd

d)](G)(H[)HGF(

dfdd

d)](H)(F[)HGF(

dfdd

d)](G)(H[)HGF(

dfdd

,xyxy

xy

pxy

,zxzx

zx

pzx

,yzyz

yz

pyz

,zxzxz

z

pz

,yxyzy

y

py

,xzxyx

x

px

(6.113)

trong ñoù

335

)HGF(

)](F)(G[f

)HGF(

)](H)(F[f

)HGF(

)](G)(H[f

xzxz

z

,z

xyzy

y

,y

zxyx

x

,x

++σ−σ+σ−σ

=σ∂∂=σ

++

σ−σ+σ−σ=

σ∂∂=σ

++

σ−σ+σ−σ=

σ∂∂=σ

(6.114a)

)HGF(

Nf21

)HGF(

Mf21

)HGF(

Lf21

xy

xy

,xy

zx

zx

,zx

yz

yz

,yz

++

τ=

τ∂∂=τ

++τ

=τ∂∂=τ

++

τ=

τ∂∂=τ

(6.114b)

Ñaúng thöùc (6.113) ñöôïc bieåu dieãn trong daïng ma traän nhö sau:

λσ=ε dd ,p (6.115)

vôùi σ∂

∂=σ f , (6.116)

222 ,xy

,zx

,yz

,z

,y

,x

, τττσσσ=σ (6.117)

Caùc öùng suaát σ’x, …, τ’yz, … coù theå ñöôïc ruùt goïn veà caùc öùng suaát leäch töông öùng ñoái vôùi vaät lieäu ñaúng höôùng khi F = G = H = 3L = 3M = 3N

Caùc thoâng soá vaät lieäu F, G, H, L, M, vaø N, coù theå laø caùc haøm cuûa caùc traïng thaùi öùng suaát vaø bieán daïng deûo. Ñeå ñôn giaûn, chuùng cuõng coù theå ñöôïc giaû ñònh laø caùc haèng soá suoát quaù trình chaûy deûo.

6.7.3 Caùc quan heä öùng suaát−−−−bieán daïng

Trong lyù thuyeát deûo, ta giaû söû raèng gia soá bieán daïng toång caùc thaønh phaàn deûo vaø caùc thaønh phaàn ñaøn hoài:

ddd ep ε+ε=ε (6.118)

ôû ñaây ddddddd xyzxyzzyxT γγγεεε=ε (6.119)

ddddddd exy

ezx

eyz

ez

ey

ex

Te γγγεεε=ε (6.120)

Caùc gia soá bieán daïng ñaøn hoài dεe coù theå ñöôïc lieân heä vôùi caùc gia soá öùng suaát thoâng qua moái quan heä öùng suaát−bieán daïng ñaøn hoài baát ñaúng höôùng:

d]D[d ee σ=ε (6.121)

336

ôû ñaây ddddddd xyzxyzzyxT τττσσσ=σ (6.122)

=

66

55

44

332313

232212

131211

e

d00000

0d0000

00d000

000ddd

000ddd

000ddd

]D[ (6.123)

Caàn chuù yù raèng, tính baát ñaúng höôùng ñaøn hoài vôùi caùc truïc chính töông töï nhö tính baát ñaúng höôùng deûo, ñaõ ñöôïc hôïp nhaát trong ma traän [De]. Baûn chaát ñoái xöùng cuûa ma traän [De] nguï yù söï toàn taïi cuûa haøm naêng löôïng bieán daïng ñaøn hoài. Nghòch ñaûo cuûa ñaúng thöùc (6.121) ñöôïc bieåu dieãn bôûi

d]C[d ee ε=σ (6.124)

vôùi

== −

66

55

44

332313

232212

131211

1ee

c00000

0c0000

00c000

000ccc

000ccc

000ccc

]D[]C[ (6.125)

Thay theá caùc ñaúng thöùc (6.115) vaø (6.121) vaøo ñaúng thöùc (6.118), ta nhaän ñöôïc bieåu thöùc cho caùc gia soá bieán daïng toång:

d]D[dddd e,ep σ+λσ=ε+ε=ε (6.126)

6.7.4 ÖÙng suaát töông ñöông vaø bieán daïng töông ñöông

Töông töï nhö lyù thuyeát von Mises cho tröôøng hôïp ñaúng höôùng, ta ñònh nghóa öùng suaát töông ñöông eσ nhö sau:

HGF

N2M2L2)(H)(G)(F

23

2xy

2zx

2yz

2yx

2xz

2zy2

e ++

τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ

(6.127) Theo ñònh nghóa, gia soá coâng chaûy deûo dWp ñöôïc bieåu dieãn bôûi

LL +γτ++εσ= pyzyz

pxxp dddW (6.128)

Baèng caùch duøng ñaúng thöùc (6.113) ñeå thay caùc gia soá bieán daïng deûo trong ñaúng thöùc (6.128), ta nhaän ñöôïc

337

λσ= d32dW 2

ep (6.129)

Moät caùch khaùc ñeå thu ñöôïc ñaúng thöùc (6.129) laø aùp duïng ñònh lyù Euler leân caùc haøm ñoàng nhaát. So saùnh ñaúng thöùc (6.105) vaø (6.127), ta coù

2e3

1f σ=

Theá thì ta thu ñöôïc

λσ=λ=λσ∂∂σ=εσ= d

3

2fd2d

fddW 2

eij

ijpijijp

do haøm chaûy f ñöôïc cho trong ñaúng thöùc (6.105) laø ña thöùc baäc hai ñoàng nhaát theo caùc thaønh phaàn öùng suaát.

Ta ñònh nghóa gia soá bieán daïng deûo töông ñöông dεp nhö

pep ddW εσ= (6.130)

Töø ñaúng thöùc (6.129), gia soá bieán daïng deûo töông ñöông coù theå ñöôïc bieåu dieãn bôûi

λσ=ε d32d ep (6.131)

Ñeå bieåu dieãn gia soá bieán daïng deûo töông ñöông theo caùc gia soá bieán daïng deûo, ,...,d,...,d p

yzpx γε caùc böôùc sau ñaây cuûa phöông trình (6.113) seõ ñöôïc thöïc hieän:

))(HFGHFG(HGF

dHdGd zypz

p σ−σ++++

λ=ε−ε γ (6.132)

Theá roài λ

++++

ε−ε=σ−σ

dHGF

HFGHFG

HdGd)(

pz

py

zy

Töông töï, λ

++++

ε−ε=σ−σ

d

HGF

HFGHFG

FdHd)(

px

pz

xz

λ

++++

ε−ε=σ−σ

dHGF

HFGHFG

GdFd)(

py

px

yx (6.133)

vaø cuõng coù λ

++γ=τ

dHGF

L2

d pyz

yz

λ++γ

=τ

λ++γ

=τ

dHGF

N2

d

dHGF

M2

d

pxy

xy

pzx

zx

338

Thay theá caùc ñaúng thöùc (6.133) vaøo ñaúng thöùc (6.127), ta nhaän ñöôïc bieåu thöùc cho 2

eσ theo caùc gia soá bieán daïng deûo nhö sau:

2/12pxy

2pzx

2pyz

2

2py

px

2px

px

2pz

p

2

2e

N2

)d(

M2

)d(

L2

)d(

)HFGHFG(

)GdFd(H)FdHd(G)HdGd(F

)d(

HGF23

γ+

γ+

γ+

++

ε−ε+ε−ε+ε−ε×

λ++=σ

γ (6.134)

Thay theá ñaúng thöùc (6.134) vaøo (6.131), thì ta thu ñöôïc bieåu thöùc cho gia soá bieán daïng deûo töông ñöông dεp theo caùc gia soá bieán daïng deûo:

2/12pxy

2pzx

2pyz

2

2py

px

2px

pz

2pz

py

p

N2

)d(

M2

)d(

L2

)d(

)HFGHFG(

)GdFd(H)FdHd(G)HdGd(F

)HGF(32d

γ+

γ+

γ+

++

ε−ε+ε−ε+ε−ε×

++=ε

(6.135)

Chuù yù raèng thoâng soá bieán cöùng k ñöôïc lieân heä vôùi öùng suaát töông ñöông eσ trong ñaúng thöùc (6.127) bôûi

2e3

1k σ= (6.136)

vaø raèng caùc ñònh nghóa cuûa eσ vaø dεp trong caùc ñaúng thöùc (6.127) vaø (6.135) coù theå ñöôïc quy veà caùc ñaúng thöùc cuûa lyù thuyeát von Mises neáu tính baát ñaúng höôùng hieän dieän quaù yeáu.

6.7.5 Ñieàu kieän töông thích

Töø ñaúng thöùc (6.136), ta coù theå vieát laïi ñaúng thöùc (6.106) nhö sau:

031fQ 2

e =σ−= (6.137)

Ñieàu kieän töông thích, ñoøi hoûi traïng thaùi öùng suaát duy trì treân maët chaûy hay maët ñaët taûi trong suoát quaù trình chaûy deûo, ñöôïc bieåu dieãn bôûi

dQ = 0 (6.138)

339

Töø ñaúng thöùc (6.137),

0d32dfdQ ee =σσ−= (6.139)

Neáu ta giaû söû moái quan heä moät−moät giöõa öùng suaát töông ñöông ( eσ ) vaø bieán daïng

deûo töông ñöông ( ∫ εpd ), ñaúng thöùc (6.139) coù theå ñöôïc vieát laïi nhö

0Hd32dfd

d

d

32dfdQ ppep

p

ee =εσ−=ε

εσ

σ−= (6.140)

ôû ñaây pep d/dH εσ= töông öùng vôùi ñoä doác cuûa ñöôøng cong öùng suaát töông

ñöông ( eσ ) theo bieán daïng deûo töông ñöông ( )∫ εpd .

Duøng laïi ñaúng thöùc (6.131), ñieàu kieän töông thích coù theå ñöôïc bieåu dieãn bôûi

0dH94df p

2e =λσ− (6.141)

trong ñoù

ijij

df

df σσ∂∂=

xy,xyzx

,zxyz

,yzz

,zy

,yx

,x d2d2d2ddd ττ+ττ+ττ+σσ+σσ+σσ= (6.142)

vôùi σ’x, …, τ’yz, … ñöôïc ñònh nghóa trong ñaúng thöùc (6.114).

Do ñoù, ñieàu kieän töông thích cuûa ñaúng thöùc (6.141) ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng ma traän nhö

0dH94d p

2e

T, =λσ−σσ (6.143)

ôû ñaây σ’ vaø dσ töông öùng ñöôïc ñònh nghóa trong caùc ñaúng thöùc (6.117) vaø (6.122).

6.7.6 Ma traän öùng suaát−−−−bieán daïng ñaøn−−−−deûo

Cho ñeán baây giôø, caùc gia soá bieán daïng deûo ñöôïc bieåu dieãn theo traïng thaùi öùng suaát hieän σij bao goàm caû voâ höôùng döông dλ. Ñeå thu ñöôïc caùc moái quan heä öùng suaát−bieán daïng ñaøn−deûo gia soá, ta phaûi xaùc ñònh bieåu thöùc cho dλ. Bieåu thöùc hieän cuûa dλ coù theå thu ñöôïc thoâng qua caùc ñieàu kieän töông thích töø (6.141) ñeán (6.143) baèng caùch thay theá cho dσ.

Caùc bieåu thöùc cho caùc gia soá öùng suaát thu ñöôïc baèng caùch nghòch ñaûo bieåu thöùc (6.126),

340

)dd](C[)dd](C[d ,epe λσ−ε=ε−ε=σ (6.144)

λ−ε=σ dSd]C[d e (6.145)

ôû ñaây ]C[S ,e σ= (6.146)

T654321 ssssssS = (6.147)

trong ñoù

,yz444

,z13

,y12

,x111 c2s,cccs τ=σ+σ+σ=

,xy666

,z33

,y23

,x133

,zx555

,z23

,y22

,x122

c2s,cccs

c2s,cccs

τ=σ+σ+σ=

τ=σ+σ+σ= (6.148)

Thay theá caùc gia soá öùng suaát (6.145) vaøo ñieàu kieän kieân ñònh (6.143), ta nhaän ñöôïc

0dH94dSd]C[ p

2e

T,eT, =λσ−λσ−εσ (6.149)

Tính ñoái xöùng cuûa [Ce] vaø vieäc duøng ñaúng thöùc (6.146) ñöa ñeán

0dH94dSdS p

2e

T,T =λσ−λσ−ε (6.150)

Giaûi xaùc ñònh dλ, ta nhaän ñöôïc

s

dSdT ε=λ (6.151)

s

dsdsdsdsdsdsd

xy6zx5yz4z3y2x1 γ+γ+γ+ε+ε+ε=λ (6.152)

ôû ñaây

SH94s ,

p2e σ+σ= (6.153)

,xy6

,zx5

,yz4

,z3

,y2

,x1p

2e s2s2s2sssH

94s τ+τ+τ+σ+σ+σ+σ= (6.154)

Cuoái cuøng, thay dλ töø bieåu thöùc (6.151) vaøo bieåu thöùc (6.145) daãn ñeán

d]C[d ep ε=σ (6.155)

ôû ñaây Teep SSs1]C[]C[ −= (6.156)

341

hoaëc

[ ]

−−−−−−

−−−−−

−−−−

−−−

−−

−

=

s

sc

s

ss

s

ss

s

ss

s

ss

s

sss

sc

s

ss

s

ss

s

ss

s

sss

sc

s

ss

s

ss

s

sss

sc

s

ssc

s

ssc

cs

sc

s

ssc

xöùngñoáis

sc

C

26

666564636261

25

5554535251

24

44434241

23

3332

2331

13

23

22

2221

12

21

11

ep

6.7.7 Ma traän ñaøn−−−−deûo ñoái vôùi tröôøng hôïp öùng suaát phaúng

Trong tröôøng hôïp ñieàu kieän öùng suaát phaúng, σz = τzx = τyz = 0; theá thì dσz = dτzx = dτyz = 0, nhöng thaønh phaàn bieán daïng dεz khaùc khoâng. Söû duïng laïi ñaúng thöùc (6.144),

[ ] ( )λσ−ε=σ d'dCd e (6.158)

Khai trieån ñaúng thöùc (6.158),

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )λτ−γ=τ

λτ−γ=τ

λτ−γ=τ

λσ−ε+λσ−ε+λσ−ε=σ

λσ−ε+λσ−ε+λσ−ε=σ

λσ−ε+λσ−ε+λσ−ε=σ

d2dcd

d2dcd

d2dcd

ddcddcddcd

ddcddcddcd

ddcddcddcd

,xyxy66xy

,zxzx55zx

,yzyz44yz

,zz33

,yy23

,xx13z

,zz23

,yy22

,xx12y

,zz13

,yy12

,xx11x

(6.159)

Do dσz = 0,

( ) ( ) ( )λσ−ε−λσ−ε−=λσ−ε ddc

cdd

c

cdd ,

yy33

23,xx

33

13,zz (6.160)

Thay bieåu thöùc (6.160) vaøo caùc bieåu thöùc tính dσx vaø dσy trong ñaúng thöùc (6.159), ta nhaän ñöôïc

( ) ( )λ−ε+ε=

λσ−ε

−+λσ−ε

−=σ

dsdcdc

ddc

cccdd

c

cccd

1y12x11

,yy

33

231312

,xx

33

131311x (6.161a)

342

( ) ( )λ−ε+ε=

λσ−ε

−+λσ−ε

−=σ

dsdcdc

ddc

cccdd

c

cccd

2y22x12

,yy

33

232322

,xx

33

132312y (6.161b)

Ngoaøi ra, dτyz = dτzx = 0, vaø

( ) λ−γ=λτ−γ=τ dsdcd2dcd 6xy66,xyxy66xy (6.161c)

vôùi

666633

23232222

33

23131212

33

13131111

cc;c

cccc

;c

cccc;

c

cccc

=−=

−=−=

(6.162)

,xy666

,y22

,x122

,y12

,x111 c2s;ccs;ccs τ=σ+σ=σ+σ= (6.163)

Töø caùc bieåu thöùc treân, ta coù theå bieåu thò raèng

[ ] [ ] ( )

[ ] ( ) [ ] λ−ε=λσ−ε=

ε−ε=ε=σ

dSdCd'dC

ddCdCdee

peee

(6.164)

ôû ñaây

xyyx

Tdddd τσσ=σ (6.165)

[ ]

=

66

2212

1211

e

c00

0cc

0cc

C (6.166)

xyyx

Tdddd γεε=ε (6.167)

exy

ey

ex

Tedddd γεε=ε (6.168)

pxy

py

px

Tpdddd γεε=ε (6.169)

vaø ,xy

,y

,x

T 2' τσσ=σ (6.170)

vaø 621

TsssS = (6.171)

trong ñoù

[ ] 'CS e σ= (6.172)

343

Trong nhöõng kyù hieäu treân, caùc vectô vaø caùc ma traän ñöôïc vieát vôùi caùc gaïch treân ñeå phaân bieät traïng thaùi öùng suaát phaúng vôùi tröôøng hôïp 3−D.

Ñieàu kieän töông thích cho tröôøng hôïp öùng suaát phaúng ñöôïc bieåu dieãn bôûi

0dH94d' p

2e

T =λσ−σσ (6.173)

Thay ñaúng thöùc (6.164) vaøo soá haïng ñaàu tieân, ta thu ñöôïc

[ ]

λσ−ε=

λσ−εσ=σσ

dS'dS

dS'dC'd'

TT

TeTT

(6.174)

Theá thì ñieàu kieän töông thích daãn tôùi

0dH94dS'dS p

2e

TT=λσ−λσ−ε (6.175)

Giaûi dλ, ta thu ñöôïc

s

dsdsds

s

dSd

xy6y2x1T γ+ε+ε

=ε

=λ (6.176)

ôû ñaây

,xy6

,y2

,x1p

2e

Tp

2e

s2ssH94

S'H94s

τ+σ+σ+σ=

σ+σ= (6.177)

Thay dλ töø ñaúng thöùc (6.176) vaøo (6.164), ta thu ñöôïc

[ ]

[ ] [ ] ε=ε

−=

ε−ε=σ

dCdSSs1C

dSSs1dCd

epTe

Te

(6.178)

ôû ñaây [ ]epC laø ma traän ñaøn−deûo ñoái vôùi ñieàu kieän öùng suaát phaúng:

[ ]

−−−

−−

−

=

−

s

sc

s

ss

s

ss

s

sc

s

ssc

xöùngñoáis

sc

C

26

666261

22

2221

12

21

11

ep (6.179)

Maët khaùc, gia soá bieán daïng theo phöông z, dεz, coù theå tính ñöôïc nhö sau:

344

ez

pzz ddd ε+ε=ε

ôû ñaây

( )s

dsdsdsdd

z3y2x1,y

,x

,z

pz

ε+ε+εσ+σ−=λσ=ε

( ) ( )y22x1223y12x1113

y23x13ez

dcdcddcdcd

ddddd

ε+ε+ε+ε=

σ+σ=ε

ôû ñaây d13 vaø d23 laø nhöõng thaønh phaàn cuûa ma traän [De] ñöôïc cho trong ñaúng thöùc (6.123).

Neáu ta giaû ñònh raèng vaät lieäu laø ñaøn hoài ñaúng höôùng, thì

)1(2Ec;

1

Ec

;1

Ec;

1

Ec

66222

212211

ν+=

ν−=

ν−ν=

ν−=

(6.180)

Trong tröôøng hôïp naøy, ñaúng thöùc (6.179) coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö

[ ]

−ν+

−−

−ν−

−ν−

ν

−ν−

=

s

s

)1(2E

s

ss

s

ss

s

s

1

Es

ss

1

E

xöùngñoáis

s

1

E

C

266261

22

221

2

21

2

e (6.181)

ôû ñaây

,xy6

,y2

,x1p

2e s2ssH

94s τ+σ+σ+σ= (6.182)

( ) ( ) ,xy6

,y

,x22

,y

,x21 1

Es;1

Es;1

Es τν+

=σ+νσν−

=νσ+σν−

= (6.183)

Caùc öùng suaát σ’x, σ’y, vaø τ’xy ñöôïc ñònh nghóa bôûi ñaúng thöùc (6.114).

6.7.8 Thí duï keùo höôùng kính taám troøn (Yamada, 1969)

Ñoái vôùi caùc baøi toaùn phaúng, caùc thoâng soá vaät lieäu trong phöông trình (6.105) laø F, G, H, vaø N. Caùc thoâng soá naøy coù theå ñöôïc xaùc ñònh bôûi caùc thí nghieäm keùo cuûa caùc maãu daïng taám nhö sau.

345

Giaû söû raèng x vaø y laø nhöõng truïc chính cuûa tính tröïc höôùng vaät lieäu vaø maãu taám keùo bò caét vôùi goùc α so vôùi truïc x. Neáu maãu chòu öùng suaát keùo σ (hình 6.9), caùc thaønh phaàn öùng suaát phaùp theo phöông x vaø y laø

αασ=τασ=σασ=σ cossin,sin,cos xy2

y2

x

Baèng caùch duøng ñaúng thöùc (6.113), vaø quan taâm σz = τyz = τzx = 0, ta coù theå tính caùc gia soá bieán daïng deûo nhö sau:

( )

( )[ ]α−α+++

λσ=

λ++

σ−σ+=λσ=ε

22

yx,x

px

sinHcosHGHGF

d

dHGF

HHGdd

( )

( )[ ]α−α+++

λσ=

λ++

σ−σ+=λσ=ε

22

xy,y

py

cosHsinHFHGF

d

dHGF

HHFdd

[ ]α−α−

++λσ=

λ++

σ−σ−=λσ=ε

22

yx,z

pz

cosGsinFHGF

d

dHGF

FGdd

Hình 6.9 Keùo ñôn truïc taám tröïc höôùng

346

71 nuùt 103 phaàn töû

( )

[ ]αα++

λσ=

λ++

τ=λτ=γ

cossinN2HGF

d

dHGF

N2d2d

xy,xy

pxy

Gia soá bieán daïng deûo theo höôùng cuûa t coù theå thu ñöôïc baèng söï bieán ñoåi cuûa caùc thaønh phaàn bieán daïng deûo:

[ ]αα−−−−−++

λσ=

ααγ−αε+αε=ε

22

pxy

2py

2px

pt

cossin)H4GFN2(HHGF

d

cossindcosdsindd

Tyû soá giöõa gia soá bieán daïng deûo theo phöông ngang vôùi phöông chieàu daøy ñöôïc cho bôûi

α+α

αα−−−+=ε

ε=

22

22

pz

pt

cosGsinF

cossin)H4GFN2(H

d

dr (6.184)

Tyû soá naøy thöôøng ñöôïc xem nhö laø giaù trò r cuûa Lankford. Ñaët α = 00, 900, vaø 450, vaø bieåu thò caùc giaù trò r töông öùng bôûi rx, ry, vaø r45, ta thu ñöôïc

+

+===

yx45

yx r1

r1

21r

HN;

r1

HF;

r1

HG (6.185)

347

Hình 6.10 Keùo höôùng kính cuûa taám hình khuyeân vaø maïng löôùi phaàn töû

Caùc quan heä höõu ích boå trôï laø

++++=

4N2GF:)HF(:)HG(

T

1:Y

1:X

1222

(6.186)

ôû ñaây X, Y, vaø T laø caùc öùng suaát chaûy keùo theo caùc phöông 00, 900, vaø 450.

Baøi toaùn keùo höôùng kính ñöôïc bieåu thò trong hình 6.10. Caùc ñaëc tröng vaät lieäu thích ñaùng ñöôïc chaáp nhaän trong tính toaùn laø:

Moâñun ñaøn hoài: E = 21000kg/mm2, heä soá Poisson: ν = 0,3, caùc giaù trò cuûa Lankford: rx = 2,5, ry = 2, vaø r45 = 1.

ÖÙng suaát chaûy theo phöông 900: Y = 25kg/mm2, vaø X:Y:T = 1,035:1:1,291 töø ñaúng thöùc (6.186).

Suaát bieán cöùng: Hp = d σ /dεp = 0,001E.

Chuù yù raèng taát caû caùc ñaëc tröng ñaøn hoài ñöôïc giaû ñònh laø ñaúng höôùng.

Caùc mieàn chaûy deûo ôû caùc traïng thaùi cuï theå cuûa quaù trình keùo ñöôïc minh hoïa trong hình 6.11; traïng thaùi 1 töông öùng chaûy deûo ñaàu tieân vaø traïng thaùi 37 laø tröôùc khi traïng thaùi chaûy deûo hoaøn toaøn. Coù theå ñöôïc thaáy töø hình 6.11 raèng caùc mieàn chaûy deûo phaùt trieån haàu nhö nhanh choùng theo höôùng x, vaø caùc phaàn töû doïc theo phöông 450 laø phaàn chaûy deûo sau cuøng. Hình khuyeân phía ngoaøi cuûa taám chòu keùo veà cô baûn ôû trong traïng thaùi öùng suaát neùn theo phöông chu vi, noù chieám öu theá so vôùi öùng suaát keùo höôùng kính. Do ñoù, caùc keát quaû cuûa hình 6.11 laø phuø hôïp vôùi thöù töï giaû ñònh veà ñoä lôùn cuûa caùc öùng suaát chaûy Y < X < T theo ba phöông. Ngoaøi ra, caùc chuyeån vò höôùng kính ñaõ ñöôïc döï ñoaùn, tuaân theo thöù töï cuûa caùc öùng suaát chaûy vaø caùc giaù trò r cuûa Lankford, caùc hình tai ôû caùc vò trí 00 vaø 900.

348

Hình 6.11 Söï môû roäng cuûa mieàn deûo ôû caùc traïng thaùi khaùc nhau cuûa quaù trình keùo höôùng kính

Traïng thaùi chaûy deûo ñaàu tieân Traïng thaùi 10

Traïng thaùi 24

Traïng thaùi 37

Tröôùc traïng thaùi chaûy deûo hoaøn toaøn

349

CC hh öö ôô nn gg 77

CHAÛY DEÛO CUÛA BEÂ TOÂNG

7.1 GIÔÙI THIEÄU

7.1.1 Thoâng tin cô baûn

Trong nhieàu naêm ñaõ qua, caùc phöông phaùp phaân tích vaø thieát keá ñoái vôùi caùc keát caáu beâ toâng chuû yeáu ñaõ ñöôïc döïa treân phaân tích ñaøn hoài ñöôïc keát hôïp vôùi caùc quy trình coå ñieån rieâng leû cuõng nhö döïa vaøo caùc coâng thöùc kinh nghieäm ñaõ ñöôïc xaây döïng treân khoái löôïng lôùn caùc soá lieäu thí nghieäm. Caùc caùch tieáp caän nhö theá vaãn caàn thieát vaø laø nhöõng phöông phaùp coù hieäu quaû cho vieäc thieát keá thoâng thöôøng. Tuy nhieân, söï phaùt trieån nhanh choùng cuûa caùc kyõ thuaät tính soá hieän ñaïi vaø caùc maùy tính soá toác ñoä cao ñaõ cung caáp cho caùc kyõ sö keát caáu moät coâng cuï maïnh meõ ñeå phaân tích phi tuyeán hoaøn toaøn caùc keát caáu beâ toâng. Baèng caùch duøng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn vaø tieán haønh phaân tích phi tuyeán gia soá, caùc ñaëc tröng bieán daïng vaø phaù huûy cuûa caùc keát caáu beâ toâng coù theå ñöôïc ñaùnh giaù ôû möùc ñoä chính xaùc hôïp lyù. Thí duï, moät vaøi öùng xöû phöùc taïp cuûa beâ toâng coát theùp, nhö caùc ñaëc tröng öùng suaát−bieán daïng phi tuyeán ña truïc, nöùt, vieäc caøi keát taäp, tröôït lieân keát, vaø caùc aûnh höôûng khaùc ñöôïc boû qua hay ñöôïc xem xeùt moät caùch raát xaáp xæ tröôùc ñaây baây giôø coù theå ñöôïc moâ hình vaø ñöôïc nghieân cöùu moät caùch hôïp lyù hôn. Hôn nöõa, khi kieán thöùc ñònh löôïng veà öùng xöû taûi−bieán daïng cuûa beâ toâng phaùt trieån vaø khi khaû naêng tính toaùn môû roäng, phaïm vi cuûa phaân tích phi tuyeán coù theå ñöôïc môû roäng ñeå keå ñeán caùc keát caáu beâ toâng chòu taûi ba chieàu, nhö loø phaûn öùng haït nhaân, thuyeàn noåi, saøn ngoaøi khôi, ñaäp hình cung... ñoái vôùi chuùng loaïi phaân tích naøy laø giaù trò rieâng bieät vì nhöõng nghieân cöùu thí nghieäm quy moâ lôùn cuûa caùc keát caáu ñaëc bieät naøy thöôøng raát ñaét.

Noã löïc ñaàu tieân ñeå aùp duïng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn vaøo keát caáu beâ toâng coát theùp ñaõ ñöôïc thöïc hieän bôûi Ngo vaø Scordelis vaøo naêm 1967 vaø sau ñoù, phaùt trieån nhanh. Ñieàu ñaõ ñöôïc nhaän ra laø söï khoâng hoaøn thieän cuûa caùc moâ hình vaät lieäu ñoái vôùi beâ toâng coát theùp laø nhaân toá chính giôùi haïn söï môû roäng hôn nöõa khaû naêng phaân tích caùc keát caáu beâ toâng. Do ñoù, haàu heát nhöõng noã löïc ñaõ ñöôïc tieán

350

haønh trong quaù khöù ñaõ ñöôïc höôùng vaøo caùc vaät lieäu beâ toâng cuõng nhö vieäc moâ hình söï töông taùc giöõa coát theùp vaø beâ toâng. Cho ñeán ngaøy nay, nhieàu caùch tieáp caän moâ hình ñaõ ñöôïc ñeà nghò, bao goàm ñaøn hoài phi tuyeán, chaûy deûo, lyù thuyeát endochronic, vaø lyù thuyeát phaù huûy. Chöông naøy chæ quan taâm ñeán moâ hình chaûy deûo cuûa vaät lieäu beâ toâng.

7.1.2 Nhöõng neùt ñaëc tröng cuûa öùng xöû beâ toâng

Beâ toâng laø vaät lieäu composite. Noù bao goàm coát lieäu thoâ vaø moät neàn vöõa lieân tuïc, noù töï chöùa moät hoãn hôïp hoà xi maêng vaø nhöõng haït coát lieäu nhoû hôn. ÖÙng xöû vaät lyù cuûa noù raát phöùc taïp, ñöôïc xaùc ñònh bôûi caáu truùc cuûa vaät lieäu composite, nhö tyû leä cuûa nöôùc vôùi xi maêng, tyû leä cuûa xi maêng vôùi coát lieäu, hình daùng vaø kích thöôùc cuûa coát lieäu, vaø loaïi xi maêng ñöôïc duøng. Baøn luaän cuûa taøi lieäu ñöôïc giôùi haïn vaøo öùng xöû öùng suaát−bieán daïng cuûa beâ toâng thoâng thöôøng trung bình. Caáu truùc cuûa vaät lieäu ñöôïc boû qua vaø caùc quy luaät öùng xöû vaät lieäu ñöôïc xaây döïng treân cô sôû cuûa moâi tröôøng lieân tuïc ñoàng nhaát. Ngoaøi ra, vaät lieäu ñöôïc giaû ñònh thoâng thöôøng laø ñaúng höôùng ban ñaàu.

Beâ toâng laø loaïi vaät lieäu gioøn. ÖÙng xöû öùng suaát−bieán daïng cuûa noù bò aûnh höôûng bôûi söï phaùt trieån cuûa caùc veát nöùt vi moâ vaø vó moâ beân trong vaät lieäu. Ñaëc bieät, beâ toâng chöùa löôïng lôùn caùc veát nöùt vi moâ, nhaát laø nôi tieáp xuùc giöõa caùc coát lieäu thoâ vaø vöõa, ngay tröôùc khi chòu taùc ñoäng cuûa ngoaïi löïc. Caùc veát nöùt vi moâ ban ñaàu naøy ñöôïc gaây ra bôûi söï chia taùch, söï co ngoùt, hoaëc söï giaõn nôû nhieät trong hoà xi maêng. Döôùi taùc ñoäng cuûa taûi, hieän töôïng nöùt vi moâ nhieàu hôn coù theå xaûy ra ôû nôi tieáp giaùp coát lieäu−hoà xi maêng, noù laø choã noái yeáu nhaát trong heä thoáng composite. Söï tieán trieån cuûa caùc veát nöùt naøy, chuùng khoâng theå thaáy ñöôïc luùc ban ñaàu, ñeán trôû thaønh caùc veát nöùt thaáy ñöôïc xaûy ra vôùi söï taùc ñoäng cuûa ngoaïi löïc vaø goùp phaàn thu ñöôïc öùng xöû öùng suaát−bieán daïng phi tuyeán.

7.1.2.1 ÖÙng xöû öùng suaát−−−−bieán daïng phi tuyeán

Ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng ñieån hình trong thí nghieäm neùn ñôn truïc ñöôïc bieåu thò trong hình 7.1. Coù ba traïng thaùi bieán daïng ñöôïc khaûo saùt trong thí nghieäm ñôn giaûn naøy (Kotsovos vaø Newman, 1977). Traïng thaùi ñaàu tieân töông öùng vôùi öùng suaát trong mieàn ñeán 30% cuûa öùng suaát neùn cöïc ñaïi f’c. ÔÛ traïng thaùi naøy, caùc veát nöùt toàn taïi trong beâ toâng tröôùc khi chòu taûi vaãn gaàn nhö khoâng ñoåi. Do ñoù, öùng xöû öùng suaát−bieán daïng laø ñaøn hoài tuyeán tính. Vì theá, 0,3f’c thöôøng ñöôïc xem nhö laø giôùi haïn ñaøn hoài. Vöôït qua giôùi haïn naøy, ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng baét ñaàu leäch höôùng khoûi ñöôøng thaúng. ÖÙng suaát giöõa 30% vaø khoaûng 75% cuûa f’c ñaëc tröng cho traïng thaùi thöù hai, trong ñoù caùc veát nöùt lieân keát baét ñaàu gia taêng chieàu daøi, chieàu roäng, vaø soá löôïng, vaø moät vaøi veát nöùt sau naøy ôû gaàn caùc beà maët coát lieäu baét ñaàu lieân keát taïo thaønh caùc veát nöùt vöõa. Vôùi söï

351

nöùt ñaùng keå ñöôïc phaùt trieån, tính phi tuyeán cuûa vaät lieäu trôû neân roõ raøng hôn. Tuy nhieân, söï lan truyeàn nöùt ôû giai ñoaïn naøy vaãn oån ñònh cho ñeán khi öùng suaát ñaït tôùi möùc khoaûng 75% cuûa f’c. Do ñoù, 0,75f’c noùi chung ñöôïc cho laø söï baét ñaàu maïnh meõ cuûa söï lan truyeàn nöùt baát oån ñònh. Vieäc gia taêng taûi theâm roát cuoäc gaây ra nöùt baát oån ñònh, vaø trong traïng thaùi thöù ba, söï phaù huûy luõy tieán cuûa beâ toâng chuû yeáu ñöôïc gaây ra bôûi caùc veát nöùt xuyeân qua vöõa. Caùc veát nöùt naøy noái caùc veát nöùt lieân keát ôû beà maët cuûa caùc coát lieäu vaø taïo thaønh caùc vuøng nöùt hay söï phaù huûy noäi. Sau ñoù kieåu bieán daïng thay ñoåi trôn mòn coù theå thay ñoåi, vaø caùc bieán daïng theâm coù theå bò cuïc boä hoùa. Cuoái cuøng, caùc veát nöùt chính hình thaønh song song vôùi höôùng taûi taùc ñoäng, gaây ra söï phaù huûy maãu.

Hình 7.1 Ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng neùn ñôn truïc (Kupfer vaø caùc coäng söï, 1969)

Bieán daïng ngang Bieán daïng doïc truïc

Chieàu daøi ño: 40mm

352

Hình 7.2 Ñöôøng cong öùng suaát−ñoä giaõn daøi keùo ñôn truïc (Peterson, 1981)

Maëc duø söï baøn luaän treân ñaây chæ ñeà caäp ñeán tröôøng hôïp neùn ñôn truïc, ba traïng thaùi bieán daïng cuõng coù theå ñöôïc nhaän ra moät caùch ñònh tính trong nhöõng tröôøng hôïp taûi khaùc, nghóa laø, traïng thaùi ñaøn hoài tuyeán tính, traïng thaùi khoâng ñaøn hoài, vaø traïng thaùi cuïc boä hoùa, vaø chuùng phaûi ñöôïc khaûo saùt trong moâ hình öùng xöû beâ toâng.

7.1.2.2 Caùc ñaùp öùng khaùc nhau trong keùo vaø neùn

Hình 7.2 bieåu thò ñöôøng cong öùng suaát−ñoä giaõn daøi keùo ñôn truïc. Noùi chung giôùi haïn ñaøn hoài ñöôïc quan saùt khoaûng 60 ñeán 80% cuûa ñoä beàn keùo tôùi haïn. ÔÛ treân möùc naøy, caùc veát nöùt vi moâ lieân keát baét ñaàu taêng tröôûng. Do traïng thaùi öùng suaát keùo ñôn truïc coù khuynh höôùng ngaên chaën caùc veát nöùt ít hôn nhieàu traïng thaùi öùng suaát neùn, ta coù theå cho raèng khoaûng thôøi gian cuûa söï lan truyeàn veát nöùt oån ñònh laø hoaøn toaøn ngaén, vaø söï lan truyeàn veát nöùt baát oån ñònh baét ñaàu raát nhanh. Ñoù laø lyù do öùng xöû cuûa beâ toâng khi chòu keùo hoaøn toaøn coù tính gioøn. Hôn nöõa, beà maët tieáp giaùp coát lieäu−vöõa coù ñoä beàn keùo thaáp hôn nhieàu so vôùi vöõa. Ñaây laø lyù do chính cho ñoä beàn keùo thaáp cuûa vaät lieäu beâ toâng.

7.1.2.3 Ñaët taûi neùn ña truïc

Bieán daïng doïc truïc, Microinch/inch Bieán daïng ngang

Beâ toâng öôùt

Ñôn truïc Ñôn truïc

Keùo Neùn

ÖÙn

g s

uaá

t d

oïc

tru

ïc tö

ôn

g ñ

oái:

353

Hình 7.3 Caùc ñöôøng cong öùng suaát− bieán daïng döôùi taûi neùn ña truïc

(Palaniswamy vaø Shah, 1974). ÖÙng suaát vaø bieán daïng döông khi neùn

ÖÙng xöû öùng suaát−bieán daïng ñieån hình cuûa beâ toâng döôùi caùc ñieàu kieän ñaët taûi ña truïc ñöôïc bieåu thò trong hình 7.3 (Palaniswamy vaø Shah, 1974). Caùc keát quaû thu ñöôïc töø caùc thí nghieäm maãu hình truïc. Caùc hình truï beâ toâng chòu caùc aùp löïc ngang haèng, σ2 = σ3. AÙp suaát doïc truïc σ1 ñöôïc gia taêng ñeán khi hoûng. Hình 7.3 bieåu thò caùc ñöôøng cong öùng suaát doïc truïc−bieán daïng doïc truïc (σ1−ε1) vaø öùng suaát doïc truïc−bieán daïng ngang (σ1−ε2) ñoái vôùi caùc giaù trò khaùc nhau cuûa aùp suaát giam haõm (ngang). Ta nhaän thaáy raèng aùp suaát haõm coù nhöõng aûnh höôûng ñaùng keå leân öùng xöû bieán daïng cuûa maãu. Ñaàu tieân, caùc bieán daïng doïc truïc vaø ngang luùc hoûng taêng theo söï taêng cuûa aùp löïc haõm. Nhöng, ñoái vôùi caùc öùng suaát ngang vöôït quaù moät giaù trò nhaát ñònh, thí duï, 4 ksi, vieäc gia taêng caùc öùng suaát ngang seõ laøm giaûm nhöõng giaù trò bieán daïng doïc truïc luùc nöùt. Tuy nhieân, khi so saùnh vôùi tröôøng hôïp neùn ñôn truïc, caùc bieán daïng lôùn hôn nhieàu xaûy ra trong caùc maãu beâ toâng bò aùp löïc haõm. Ta coù theå thaáy raèng döôùi vieäc ñaët taûi neùn vôùi aùp löïc haõm, beâ toâng theå hieän moät möùc ñoä nhaát ñònh cuûa tính deûo tröôùc khi bò phaù huûy.

Töông töï vôùi tröôøng hôïp keùo ñôn truïc, moät caùch ñònh tính, cuõng coù ba traïng thaùi bieán daïng ñoái vôùi beâ toâng bò haõm ôû möùc ñoä vöøa phaûi, nghóa laø, ñaøn hoài tuyeán tính, phi ñaøn hoài vaø taäp trung hoùa.

7.1.2.4 Söï giaõn nôû theå tích döôùi vieäc gia taûi neùn

Hình 7.4 Bieán daïng theå tích döôùi taûi neùn song truïc (Shah vaø Chandra)

Ñôn truïc

354

Bieán daïng theå tích ñöôïc veõ theo öùng suaát trong caùc thí nghieäm neùn song truïc ñöôïc bieåu thò trong hình 7.4. Ñaàu tieân, bieán daïng giaûm ñeán khoaûng 0,75 ñeán 0,90 cuûa öùng suaát tôùi haïn. Roài thì chieàu höôùng ñöôïc ñaûo ngöôïc vôùi vieäc gia taêng öùng suaát. Shah vaø Chandra ñaõ chæ ra raèng hoà xi maêng töï noù khoâng giaõn nôû döôùi taùc ñoäng cuûa taûi neùn. Hoà xi maêng tieáp tuïc trôû neân chaéc chaén ñeán khi hoûng. Söï giaûn nôû theå tích ñöôïc khaûo saùt chæ khi vöõa xi maêng ñöôïc pha troän vôùi coát lieäu, ñieàu naøy chæ ra raèng baûn chaát composite cuûa beâ toâng cô baûn coù theå ñaùp öùng ñoái vôùi söï giaõn nôû theå tích. Chuù yù raèng öùng suaát maø ôû ñoù theá tích baét ñaàu taêng ñöôïc lieân heä vôùi söï gia taêng ñaùng keå cuûa caùc veát nöùt vi moâ xuyeân qua vöõa, nghóa laø, vôùi vieäc baét ñaàu cuûa söï lan truyeàn nöùt baát oån ñònh.

7.1.2.5 Söï bieán meàm bieán daïng

Hình 7.5 Caùc ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng neùn ñôn truïc cho beâ toâng (Wischers, 1978)

ÖÙn

g s

uaá

t

Bieán daïng, %

Hình 7.6 AÛnh höôûng cuûa chieàu cao maãu leân ñöôøng congöùng suaát−bieán daïng ñôn truïc (van Mier, 1984)

Nhieàu vaät lieäu kyõ thuaät nhö beâ toâng, ñaù, vaø ñaát theå hieän moät öùng xöû bieán meàm bieán daïng roõ reät khi vöôït qua ñænh cuûa öùng suaát phaù huûy. Hình 7.5 bieåu thò caùc ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng neùn ñôn truïc ñieån hình thu ñöôïc töø caùc thínghieäm ñöôïc ñieàu khieån bieán daïng. Moãi ñöôøng cong naøy coù nhaùnh ñi xuoáng ñoät ngoät ôû phía beân kia ñænh cuûa öùng suaát phaù huûy.

Tuy nhieân, nhö ñaõ ñeà caäp ôû treân, ngay caû tröôùc öùng suaát ñænh, söï taäp trung hoùa bieán daïng ñaõ baét ñaàu xaûy ra. Noù trôû neân ñaùng keå hôn sau öùng suaát ñænh. Söï phaân boá bieán daïng trong maãu thì khoâng tieáp tuïc nöõa. Do ñoù, caùc caâu hoûi ñöôïc ñaët ra laø “Nhaùnh bieán meàm cuûa ñöôøng cong öùng suaátvaø “Caùc keát quaû thí nghieäm sau ñieåm ñænh coù theå ñöôïc dieãn giaûi theo öùng suaát vaø bieán daïng khoâng?”.

Hieän nay, noùi chung, ngöôøi ta ñaõ nhaát trí raèng nhaùnh bieán meàm cuûa ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng khoâng phaûn aùnh ñaëc tröng vaät lieäcuûa keát caáu ñöôïc hình thaønh bôûi maãu cuøng vôùi heä thoáng ñaët taûi hoaøn chænh cuûa noù (van Mier, 1984). Luaän cöù naøy ñöôïc xaùc nhaän bôûi caùc thí nghieäm neùn cuûa nhöõng maãu coù chieàu cao khaùc nhau. Caùc keát vaø bieán daïng ñöôïc bieåu thò trong hình 7.6. Nhö ta coù theå thaáy ñöôïc hình naøy, caùc nhaùnh ñi xuoáng cuûa caùc ñöôøng cong öùng suaátcoù caùc ñoä doác giaûm theo söï gia taêng caùc chieàu cao cuûa maãu. Maët khaùc, tuy nhieân, neáu chuyeån vò sau ñieåm ñænh thay cho bieán daïng ñöôïc veõ theo öùng suaát, caùc ñöôøng cong öùng suaát−chuyeån vò thì haàu nhö gioáng nhau, ñoäc laäp vôùi caùc

355

AÛnh höôûng cuûa chieàu cao maãu leân ñöôøng cong bieán daïng ñôn truïc (van Mier, 1984)

lieäu kyõ thuaät nhö beâ toâng, ñaù, vaø ñaát theå hieän moät öùng xöû bieán meàm bieán daïng roõ reät khi vöôït qua ñænh cuûa öùng suaát phaù huûy. Hình 7.5 bieåu thò caùc

bieán daïng neùn ñôn truïc ñieån hình thu ñöôïc töø caùc thí nghieäm ñöôïc ñieàu khieån bieán daïng. Moãi ñöôøng cong naøy coù nhaùnh ñi xuoáng ñoät ngoät ôû phía beân kia ñænh cuûa öùng suaát phaù huûy.

Tuy nhieân, nhö ñaõ ñeà caäp ôû treân, ngay caû tröôùc öùng suaát ñænh, söï taäp trung hoùa ñaàu xaûy ra. Noù trôû neân ñaùng keå hôn sau öùng suaát ñænh. Söï

phaân boá bieán daïng trong maãu thì khoâng tieáp tuïc nöõa. Do ñoù, caùc caâu hoûi ñöôïc Nhaùnh bieán meàm cuûa ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng coù yù nghóa gì?’

keát quaû thí nghieäm sau ñieåm ñænh coù theå ñöôïc dieãn giaûi theo öùng suaát vaø

Hieän nay, noùi chung, ngöôøi ta ñaõ nhaát trí raèng nhaùnh bieán meàm cuûa ñöôøng cong bieán daïng khoâng phaûn aùnh ñaëc tröng vaät lieäu, maø bieåu dieãn ñaùp öùng

cuûa keát caáu ñöôïc hình thaønh bôûi maãu cuøng vôùi heä thoáng ñaët taûi hoaøn chænh cuûa , 1984). Luaän cöù naøy ñöôïc xaùc nhaän bôûi caùc thí nghieäm neùn cuûa

nhöõng maãu coù chieàu cao khaùc nhau. Caùc keát quaû thí nghieäm döôùi daïng öùng suaát vaø bieán daïng ñöôïc bieåu thò trong hình 7.6. Nhö ta coù theå thaáy ñöôïc hình naøy, caùc nhaùnh ñi xuoáng cuûa caùc ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng khoâng gioáng nhau maø

êng caùc chieàu cao cuûa maãu. Maët khaùc, tuy nhieân, neáu chuyeån vò sau ñieåm ñænh thay cho bieán daïng ñöôïc veõ theo öùng suaát,

chuyeån vò thì haàu nhö gioáng nhau, ñoäc laäp vôùi caùc

356

chieàu cao cuûa maãu (van Mier, 1984). Hieän töôïng naøy coù theå ñöôïc giaûi thích nhö sau. Do bieán daïng sau ñieåm ñænh ñöôïc taäp trung hoùa trong mieàn nhoû cuûa caùc maãu, ñieàu naøy seõ daãn ñeán chuyeån vò sau ñieåm ñænh nhö nhau cho taát caû caùc maãu. Tuy nhieân, khi ta tính caùc bieán daïng cho moãi maãu, ta seõ duøng cuøng giaù trò chuyeån vò ñeå chia cho caùc chieàu cao khaùc nhau. Vieäc naøy seõ ñöa ñeán caùc giaù trò bieán daïng khaùc nhau. Caùc giaù trò naøy khoâng laø caùc giaù trò thaät ñöôïc ño töø maãu, maø laø caùc giaù trò trung bình treân toaøn boä caùc chieàu cao cuûa maãu.

Vì vaäy, khi bieán daïng sau ñieåm ñænh ñöôïc taäp trung, nhaùnh ñi xuoáng cuûa ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng khoâng theå ñöôïc xem laø ñaëc tröng vaät lieäu. Maø ñuùng hôn, noù phaûi ñöôïc xem nhö laø ñaëc tröng cuûa keát caáu.

7.1.2.6 Söï suy giaûm ñoä cöùng

Hình 7.7 bieåu thò ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng neùn ñôn truïc ñieån hình döôùi taùc ñoäng cuûa taûi chu kyø. Nhö ta coù theå thaáy, caùc ñöôøng cong caát taûi−ñaët taûi laïi khoâng laø nhöõng ñoaïn thaúng maø laø nhöõng ñöôøng voøng coù kích thöôùc thay ñoåi vôùi vieäc giaûm caùc ñoä doác trung bình. Neáu ta giaû ñònh raèng ñoä doác trung bình laø ñoä doác cuûa ñöôøng thaúng noái caùc ñieåm ngoaët cuûa moät chu kyø vaø raèng öùng xöû cuûa vaät lieäu theo vieäc caát taûi vaø ñaët taûi laïi laø ñaøn hoài tuyeán tính (ñöôïc veõ baèng caùc ñöôøng ñöùt trong hình 7.7), theá thì moâñun ñaøn hoài (hay ñoä doác) giaûm suùt theo theo söï taêng bieán daïng. ÖÙng xöû giaûm suùt ñoä cöùng naøy ñöôïc lieân heä vôùi moät vaøi loaïi phaù huûy (goïi laø caùc loã hoång vi moâ vaø caùc veát nöùt vi moâ). Söï phaù huûy naøy trôû neân ñaùng keå hôn nhieàu trong mieàn sau ñieåm ñænh.

Hình 7.7 Ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng neùn ñôn truïc (Sinha vaø caùc coäng söï, 1964)

357

7.1.3 Moâ hình cô baûn cuûa vaät lieäu beâ toâng

Nhöõng nghieân cöùu chuyeân saâu ñaõ ñöôïc thöïc hieän trong nhöõng naêm gaàn ñaây ñaõ daãn ñeán nhöõng hieåu bieát toát hôn veà öùng xöû cô baûn cuûa beâ toâng döôùi caùc ñieàu kieän ñaët taûi khaùc nhau. Nhieàu moâ hình cô baûn ñaõ ñöôïc ñeà nghò. Phaàn lôùn caùc moâ hình naøy laø loaïi coù tính hieän töôïng. Muïc ñích cuûa moâ hình hieän töôïng laø moâ phoûng baèng toaùn hoïc caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng vó moâ ñoái vôùi nhöõng ñieàu kieän ñaët taûi khaùc nhau, baèng caùch boû qua cô cheá öùng xöû vi moâ. Phöông phaùp chaûy deûo thuoäc loaïi naøy.

Lyù thuyeát chaûy deûo coå ñieån ñöôïc xaây döïng ban ñaàu cho kim loaïi, vaø caùc cô cheá bieán daïng cuûa kim loaïi hoaøn toaøn khaùc vôùi caùc cô cheá bieán daïng cuûa beâ toâng. Tuy nhieân, töø quan ñieåm vó moâ, chuùng vaãn coù vaøi tính töông töï, ñaëc bieät trong cheá ñoä tröôùc phaù huûy. Thí duï, beâ toâng bieåu thò öùng xöû öùng suaát−bieán daïng phi tuyeán trong quaù trình ñaët taûi vaø coù bieán daïng khoâng hoài phuïc ñaùng keå trong quaù trình caát taûi. Ñaëc bieät döôùi vieäc ñaët taûi neùn vôùi caùc aùp suaát haõm, beâ toâng coù theå bieåu thò moät ít öùng xöû deûo. Caùc bieán daïng khoâng theå hoài phuïc cuûa beâ toâng ñöôïc gaây ra bôûi nöùt vi moâ vaø tröôït vaø coù theå ñöôïc nghieân cöùu bôûi lyù thuyeát chaûy deûo.

Moâ hình chaûy deûo baát kyø phaûi goàm coù ba giaû thieát cô baûn:

1- Beà maët chaûy deûo ban ñaàu trong khoâng gian öùng suaát ñònh nghóa möùc öùng suaát ôû ñoù bieán daïng deûo baét ñaàu.

2- Quy luaät bieán cöùng ñònh nghóa söï thay ñoåi cuûa beà maët ñaët taûi cuõng nhö söï thay ñoåi cuûa caùc ñaëc tröng bieán cöùng cuûa vaät lieäu trong quaù trình dieãn bieán cuûa chaûy deûo.

3- Quy luaät chaûy, noù ñöôïc xem nhö laø haøm theá naêng chaûy, cung caáp quan heä öùng suaát−bieán daïng chaûy deûo gia soá.

Trong vieäc moâ hình chaûy deûo cuûa beâ toâng, ñieàu kieän beàn tôùi haïn, nghóa laø ñieàu kieän hoûng noù thieát laäp bieân treân cuûa caùc traïng thaùi coù theå ñaït tôùi ñöôïc, phaûi ñöôïc giaû ñònh, theâm vaøo ba giaû thieát ôû treân. Do lyù thuyeát chaûy deûo coå ñieån ñöôïc xaây döïng ban ñaàu cho caùc kim loaïi, moät vaøi giaû thieát cô baûn cuûa noù khoâng coù hieäu löïc caùc vaät lieäu kyõ thuaät khaùc nhö beâ toâng. Do ñoù, caùc hieäu chænh ñaùng keå laø caàn thieát trong vieäc aùp duïng lyù thuyeát coå ñieån naøy cho caùc vaät lieäu beâ toâng.

Trong chöông naøy, söï phaùt trieån moâ hình ñöôïc döïa treân tính chaûy deûo trong mieàn tröôùc phaù huûy ñöôïc ñeà caäp chi tieát tröôùc tieân. Taàm quan troïng ñöôïc ñaët vaøo caùc khaùi nieäm cô baûn cuûa beà maët chaûy, quy luaät bieán cöùng, vaø quy luaät chaûy deûo rieâng bieät cho caùc vaät lieäu beâ toâng.

Tuy nhieân, moâ hình cô baûn thích hôïp ñeå phaân tích caùc keát caáu beâ toâng ñoøi hoûi söï moâ taû hoaøn chænh cuûa öùng xöû vaät lieäu, khoâng chæ trong mieàn tröôùc phaù huûy (bieán

358

cöùng), maø coøn bao goàm öùng xöû sau phaù huûy cuûa noù (bieán meàm). Töø quan ñieåm vó moâ, öùng xöû haäu phaù huûy ñöôïc ñaëc tröng hoùa bôûi nhaùnh ñi xuoáng cuûa quan heä öùng suaát−bieán daïng cuõng nhö söï suy giaûm cuûa moâñun ñaøn hoài trong quaù trình caát taûi. Trong khuoân khoå cuûa chaûy deûo khoâng gian bieán daïng, öùng xöû bieán meàm coù theå ñöôïc moâ taû toång quaùt, vaø hôn nöõa, söï suùt giaûm ñaøn hoài ñöôïc caëp ñoâi vôùi bieán daïng deûo cuõng coù theå ñöôïc taïo thaønh bôûi caùc lyù thuyeát nöùt deûo. Do ñoù, phaàn sau cuûa chöông naøy ñöôïc daønh heát cho vieäc ñeà caäp lyù thuyeát deûo khoâng gian bieán daïng. Do moâ hình ñoái vôùi öùng xöû haäu phaù huûy cuûa beâ toâng vaãn ñang ñöôïc phaùt trieån, neân vieäc baøn luaän chæ ñöôïc giôùi haïn vaøo caùc khaùi nieäm cô baûn cuûa lyù thuyeát toång quaùt hôn laø ñi vaøo moät moâ hình cuï theå cuûa beâ toâng.

Trong phaàn tieáp theo, ta seõ baét ñaàu vôùi vieäc ñeà caäp caùc tieâu chuaån phaù huûy chuùng taïo thaønh cô sôû cho haàu heát caùc moâ hình cô baûn cuûa beâ toâng.

7.2 CAÙC TIEÂU CHUAÅN PHAÙ HUÛY

7.2.1 Caùc ñaëc tröng cuûa maët phaù huûy cuûa beâ toâng

Do giaû thieát tính ñaúng höôùng laø hôïp lyù cho vaät lieäu beâ toâng, daïng toång quaùt cuûa beà maët phaù huûy coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö (xem chöông 2)

f(I1, J2, J3) = 0 (7.1a)

hoaëc f(ξ, ρ, θ) = 0 (7.1b)

Maët khaùc, baèng caùch duøng caùc öùng suaát baùt dieän σoct vaø τoct ñeå thay theá caùc baát bieán öùng suaát I1 vaø J2, phöông trình (7.1a, 7.1b) coù theå ñöôïc vieát nhö:

F(σoct, τoct, θ) = 0 (7.1c)

Daïng hieän cuûa haøm phaù huûy ñöôïc ñònh nghóa bôûi caùc döõ lieäu thí nghieäm. Caùc thí nghieäm beàn cuûa beâ toâng thoâng thöôøng ñöôïc daãn chöùng roõ trong taøi lieäu. Ñeå chæ roõ moät soá, caùc baùo caùo cuûa Kupfer vaø caùc coäng söï (1969) vaø Tasuji vaø caùc coäng söï (1978) gaàn nhö bao goàm toaøn mieàn öùng suaát song truïc. Ñoái vôùi caùc traïng thaùi öùng suaát ba truïc, caàn keå ñeán caùc keát quaû cuûa Mills vaø Zimmerman (1970), Launay vaø Gachon (1970), vaø Gerstle vaø caùc coäng söï (1978), trong soá caùc keát quaû khaùc. Caùc döõ lieäu thí nghieäm coù giaù trò bieåu thò roõ caùc ñaëc tính caàn thieát cuûa beà maët phaù huûy. Ñieàu naøy ñöôïc minh hoïa trong hình 7.8.

Laø nhöõng vaät lieäu phuï thuoäc aùp löïc thuûy tónh, beâ toâng coù beà maët phaù huûy vôùi nhöõng kinh tuyeán cong, nguï yù raèng aùp suaát thuûy tónh gaây ra nhöõng aûnh höôûng laøm taêng khaû naêng tröôït cuûa vaät lieäu (hình 7.8a). Caùc kinh tuyeán baét ñaàu töø ñieåm phaù huûy keùo thuûy tónh vaø môû roäng theo höôùng aâm cuûa truïc thuûy tónh. Moät cheá ñoä ñaët taûi thuûy tónh thuaàn tuùy khoâng theå gaây ra phaù huûy. Ñöôøng cong phaù

359

a)

b)

huûy doïc theo kinh tuyeán neùn leân ñeán I1 = 79f’c ñaõ ñöôïc xaùc ñònh baèng thí nghieäm bôûi Chinn vaø Zimmerman (1965) maø khoâng phaùt hieän khuynh höôùng cuûa kinh tuyeán naøy tieäm caän truïc thuûy tónh. Kinh tuyeán keùo ρt, kinh tuyeán neùn ρc, vaø kinh tuyeán tröôït ρs töông öùng vôùi θ = 00, θ = 600, vaø θ = 300, thoûa ρt < ρs < ρc. Giaù trò cuûa ρt/ρc taêng theo söï gia taêng cuûa aùp löïc thuûy tónh. Noù khoaûng 0,5 gaàn maët phaúng π vaø ñaït ñeán giaù trò cao khoaûng 0,8 gaàn aùp löïc thuûy tónh ξ = −7f’c.

Nhö ñöôïc bieåu thò trong hình 7.8b, caùc maët caét ngang cuûa beà maët phaù huûy treân nhöõng maët phaúng leäch coù chu kyø 1200 vaø ñoái xöùng 600 vì tính ñaúng höôùng. Hình daùng cuûa caùc giao tuyeán giöõa beà maët phaù huûy vôùi maët phaúng leäch thay ñoåi töø daïng gaàn nhö tam giaùc ñoái vôùi caùc öùng suaát keùo hay neùn nhoû ñeán daïng phoàng ra (gaàn gioáng ñöôøng troøn) ñoái vôùi caùc öùng suaát neùn cao hôn. Caùc tieát dieän leäch coù tính loài vaø phuï thuoäc θ (hình 7.8b).

Kinh tuyeán neùn ρc

Kinh tuyeán tröôït ρs

Kinh tuyeán keùo ρt

360

Hình 7.8 Caùc ñaëc tröng cô baûn cuûa beà maët phaù huûy a) Caùc kinh tuyeán cuûa beà maët phaù huûy b) Caùc tieát dieän trong maët phaúng leäch

Döïa treân söï hieåu bieát lieân quan ñeán hình daùng beà maët phaù huûy cuûa vaät lieäu beâ toâng, nhieàu tieâu chuaån phaù huûy ñaõ ñöôïc ñeà nghò. Phaàn lôùn caùc tieâu chuaån naøy ñaõ ñöôïc ñeà caäp trong quyeån saùch cuûa Chen (1982), ôû ñoù chuùng ñaõ ñöôïc phaân loaïi theo soá caùc haèng soá vaät lieäu xuaát hieän trong bieåu thöùc nhö moâ hình moät thoâng soá ñeán moâ hình naêm thoâng soá. Moät soá trong nhöõng moâ hình phoå bieán nhaát ñöôïc bieåu dieãn trong hình 7.9.

Hình 7.9 Caùc moâ hình phaù huûy

Caùc moâ hình moät thoâng soá, bao goàm loaïi beà maët phaù huûy ñoái vôùi caùc kim loaïi deûo, noùi chung ñöôïc söû duïng trong caùc phaàn tích phaàn töû höõu haïn ñoái vôùi beâ toâng döôùi caùc öùng suaát neùn. Loaïi beà maët chaûy ñoäc laäp aùp löïc naøy töông töï phuï thuoäc tröôït thuaàn tuùy. Ñeå keå ñeán khaû nabeâ toâng, beà maët von Mises hoaëc Trescaöùng suaát chính cöïc ñaïi hay beà maët ngöôõng keùo

Trong soá caùc moâ hình hai thoâng soá, caùc beà maët coù leû laø nhöõng loaïi tieâu chuaån phaù huûy phuï thuoäc aùp löïc ñôn giaûn nhaát. Trong

361

Caùc moâ hình phaù huûy

Caùc moâ hình moät thoâng soá, bao goàm loaïi beà maët phaù huûy von Mises hoaëc Tresca ñoái vôùi caùc kim loaïi deûo, noùi chung ñöôïc söû duïng trong caùc phaàn tích phaàn töû höõu haïn ñoái vôùi beâ toâng döôùi caùc öùng suaát neùn. Loaïi beà maët chaûy ñoäc laäp aùp löïc naøy töông töï phuï thuoäc tröôït thuaàn tuùy. Ñeå keå ñeán khaû naêng keùo giôùi haïn cuûa

Tresca thöôøng ñöôïc laøm taêng leân bôûi beà maët beà maët ngöôõng keùo.

Trong soá caùc moâ hình hai thoâng soá, caùc beà maët Drucker−Prager vaø Mohr−Coulomb coù leû laø nhöõng loaïi tieâu chuaån phaù huûy phuï thuoäc aùp löïc ñôn giaûn nhaát. Trong

362

nhöõng moâ hình naøy, öùng suaát tieáp thuaàn hay öùng suaát tieáp baùt dieän τoct phuï thuoäc tuyeán tính vaøo öùng suaát thuûy tónh σm hoaëc öùng suaát phaùp baùt dieän σoct. Beà maët Mohr−Coulomb ñaõ ñöôïc duøng thöôøng xuyeân nhö laø beà maët phaù huûy cho beâ toâng, trong khi beà maët Drucker−Prager ñaõ ñöôïc duøng phoå bieán nhaát cho ñaát. Beà maët Drucker−Prager coù hai thieáu soùt veà vieäc moâ hình beâ toâng: quan heä tuyeán tính giöõa τoct vaø σoct vaø söï ñoäc laäp cuûa goùc ñoàng daïng θ (hình 7.9c). Nhö ñaõ ñöôïc ñeà caäp ôû treân, döïa vaøo thí nghieäm, quan heä τoct−σoct ñaõ ñöôïc bieåu thò laø ñöôøng cong, vaø veát cuûa beà maët phaù huûy treân caùc tieát dieän leäch khoâng laø ñöôøng troøn. Do ñoù, caùc moâ hình hai thoâng soá vôùi caùc kinh tuyeán thaúng khoâng thích hôïp ñeå moâ taû phaù huûy cuûa beâ toâng trong mieàn neùn cao. Beà maët Drucker−Prager toång quaùt hoùa ñaõ ñöôïc ñeà nghò bôûi Bresler vaø Pister (1958) laø moâ hình ba thoâng soá noù giaû ñònh söï phuï thuoäc parabola cuûa τoct vaøo σoct, trong khi caùc tieát dieän leäch ñoäc laäp vôùi θ. Maët khaùc, moâ hình ba thoâng soá tröôùc ñoù ñaõ ñöôïc ñeà nghò bôûi Willam vaø Warnke giöõ laïi quan heä τoct−σoct tuyeán tính, nhung caùc tieát dieän leäch theå hieän söï ñoäc laäp vôùi θ. Caùc moâ hình boán thoâng soá cuûa Ottosen (1977) vaø Hsieh vaø caùc coäng söï (1982) vaø moâ hình naêm thoâng soá ñöôïc caûi tieán cuûa Willam vaø Warnke (1975) ñeàu coù quan heä τoct−σoct parabola. Caùc moâ hình caûi tieán naøy (hình 7.9f, g, h) moâ phoûng taát caû nhöõng ñaëc tính quan troïng cuûa beà maët phaù huûy ba truïc vaø ñöa ra söï ñaùnh giaù saùt veà caùc döõ lieäu thí nghieäm thích hôïp. Caùc moâ hình moät vaø hai thoâng soá ñôn giaûn ñaõ ñöôïc ñeà caäp trong chöông 2. Caùc moâ hình caûi tieán seõ ñöôïc giôùi thieäu trong nhöõng muïc sau.

7.2.2 Moâ hình boán thoâng soá Ottosen

Ñeå ñaùp öùng caùc yeâu caàu hình hoïc trong beà maët phaù huûy cho vaät lieäu beâ toâng, Ottosen (1977) ñaõ ñeà nghò tieâu chuaån chöùa taát caû ba thoâng soá baát bieán I1, J2, vaø θ nhö sau: 01bIJaJ),J,I(f 12221 =−+λ+=θ (7.2a)

vôùi λ laø haøm cuûa cos3θ:

≤θ

θ−−π

≥θ

θ=λ

−

−

03cosvôùiñoái)3cosk(cos3

1

3cosK

03cosvôùiñoái)3cosk(cos3

1cosK

21

1

21

1

(7.2b)

Trong ñaúng thöùc (7.2a, b), a, b, k1, k2 laø nhöõng haèng soá. Ñeå thuaän tieän cho nhöõng baøn luaän sau naøy, ta seõ giaû ñònh taát caû caùc öùng suaát vaø caùc baát bieán öùng suaát xuaát hieän trong tieâu chaåun phaù huûy ñöôïc bình thöôøng hoùa bôûi f’c, ñoä beàn neùn ñôn truïc cuûa beâ toâng, nghóa laø, I1, J2 trong ñaúng thöùc (7.2a) töông öùng ñaïi dieän cho I1/f’c, J2/f’c.

Caùc ñaúng thöùc (7.2a,b) ñònh nghóa beà maët phaù huûy vôùi caùc kinh tuyeán cong vaø caùc tieát dieän ngang khoâng troøn treân caùc maët phaúng leäch. Caùc kinh tuyeán ñöôïc

363

moâ taû bôûi ñaúng thöùc (7.2a) laø caùc parabola baäc hai chuùng loài neáu a > 0 vaø b > 0. Caùc maët caét ngang coù nhöõng ñaëc tröng hình hoïc ñoái xöùng vaø loài, vaø coù hình daùng thay ñoåi töø gaàn gioáng tam giaùc ñeán gaàn gioáng hình troøn vôùi söï gia taêng aùp suaát thuûy tónh. Moâ hình bao goàm vaøi moâ hình tröôùc ñoù nhö laø caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät, nghóa laø, moâ hình von Mises ñoái vôùi a = b = 0 vaø λ = constant, vaø moâ hình Drucker−Prager ñoái vôùi a = 0 vaø λ = constant.

Boán thoâng soá trong tieâu chuaån phaù huûy coù theå ñöôïc xaùc ñònh treân cô sôû cuûa hai thí nghieäm beâ toâng ñôn truïc ñieån hình (f’c vaø f’t) vaø hai döõ lieäu song truïc vaø ba truïc tieâu bieåu:

1- Ñoä beàn neùn ñôn truïc f’c (θ = 600).

2- Ñoä beàn keùo ñôn truïc f’t (θ = 00).

3- Ñoä beàn neùn song truïc f’c (θ = 00). Cuï theå, ta choïn σ1 = σ2 = −1,16f’c, σ3 = 0, töông öùng vôùi caùc thí nghieäm cuûa Kupfer vaø caùc coäng söï (1969); nghóa laø f’b c = 1,16f’c.

4- Traïng thaùi öùng suaát ba truïc (ξ/f’c, ρ/f’c) = (−5, 4) treân kinh tuyeán neùn (θ = 600) noù cung caáp söï phuø hôïp toát nhaát vôùi caùc keát quaû thí nghieäm cuûa Balmer (1949) vaø Richart vaø caùc coäng söï (1928).

Caùc giaù trò thu ñöôïc ñoái vôùi caùc thoâng soá töø nhöõng döõ lieäu naøy vaø söï phuï thuoäc cuûa chuùng vaøo t'f =f’t/f’c ñöôïc trình baøy trong baûng 7.1.

Caùc öùng suaát phaù huûy ñöôïc ñaùnh giaù bôûi tieâu chaån Ottosen vôùi caùc thoâng soá cuûa baûng 7.1, t'f = 0,1, baây giôø seõ ñöôïc so saùnh vôùi caùc keát quaû thí nghieäm. Hình 7.10 bieåu dieãn söï so saùnh cuûa tieâu chuaån phaù huûy vôùi caùc döõ lieäu ba truïc trong caùc maët phaúng kinh tuyeán, noù chæ ra söï phuø hôïp toát nhaát vôùi phaàn coù lieân quan (ξ/f’c > −5) cuûa kinh tuyeán neùn nhö ñöôïc xaùc ñònh bôûi Balmer (1949) vaø Richart vaø caùc coäng söï (1928) ñaït ñöôïc bôûi ñieåm öùng suaát phaù huûy ñaõ choïn (ξ/f’c, ρ/f’c) = (−5, 4). Ñoái vôùi ξ/f’c < −5, tieâu chuaån döôøng nhö ñöa ra söï ñaùnh giaù vöøa phaûi. Caàn chuù yù raèng neáu caàn thieát khaûo saùt moät mieàn khaùc ñeå coù phuø hôïp toát, moät ñieåm khaùc treân kinh tuyeán neùn neân ñöôïc choïn ñeå coù söï phuø hôïp toát hôn cho mieàn ñoù. Doïc theo kinh tuyeán keùo, tieâu chuaån ñöôïc xem laø ñöa ra söï phuø hôïp toát vôùi ñieåm beàn song truïc ñöôïc ñaùnh daáu f’bc treân ñöôøng cong, noù ñaõ ñöôïc duøng nhö laø ñieåm ñieàu chænh töông öùng vôùi caùc thí nghieäm cuûa Kupfer vaø caùc coäng söï (1969). Giao ñieåm cuûa caùc kinh tuyeán vôùi truïc ξ/f’c (töông öùng vôùi keùo thuûy tónh) ñöôïc tìm thaáy trong mieàn töø 0,14 ñeán 0,22, phuï thuoäc vaøo giaù trò f’t/f’c, vaø roõ raøng raèng tính deã thay ñoåi lôùn moät caùch töông ñoái trong giaù trò naøy aûnh höôûng ñeán kinh tuyeán keùo raát ít.

364

Baûng 7.1 Caùc giaù trò thoâng soá vaø söï phuï thuoäc cuûa chuùng vaøo t'f = f’t/f’c

tf ' =f’t/f’c a b k1 k2

0,08 0,10 0,12

1,8076 1,2759 0,9218

4,0962 3,1962 2,5969

14,4863 11,7365 9,9110

0,9914 0,9801 0,9647

Hình 7.10 Söï so saùnh tieâu chuaån Ottosen vôùi caùc döõ lieäu ba truïc trong nhöõng maët phaúng kinh tuyeán: caùc ñöôøng troøn roãng, Balmer (1949), neùn; caùc voøng troøn ñaëc, Richart vaø caùc coäng söï (1928), neùn; caùc hình vuoâng, Richart vaø caùc coäng söï (1928), keùo; caùc daáu thaäp, Kupfer vaø caùc coäng söï (1969), keùo

Khaû naêng cuûa tieâu chaån Ottosen ñeå mieâu taû caùc keát quaû thí nghieäm song truïc cuûa Kupfer vaø caùc coäng söï (1969) ñöôïc bieåu thò trong hình 7.11. Söï phuø hôïp ñöôïc khaûo saùt laø thoûa ñaùng, söï khaùc nhau lôùn nhaát xaûy ra luùc neùn khi σ1/σ2 ≈ 0,5 (kinh tuyeán tröôït θ = 300), ôû ñaây Kupfer vaø caùc coäng söï ñaõ baùo caùo 1,27f’c nhö laø giaù trò trung bình cuûa caùc thí nghieäm. Tieâu chuaån phaù huûy vôùi vôùi caùc thoâng soá cuûa baûng 7.1 cho 1,35f’c ( tf ' = 0,08), 1,38f’c ( tf ' = 0,1), vaø 1,41f’c ( tf ' = 0,12).

Toång quaùt, tieâu chuaån phaù huûy boán thoâng soá thích hôïp cho mieàn toå hôïp öùng suaát roäng. Noù coù daïng toaùn hoïc phuø hôïp cho nhöõng öùng duïng maùy tính. Tuy nhieân, bieåu thöùc cho haøm λ hoaøn toaøn phöùc taïp. Hsieh vaø caùc coäng söï (1982) ñaõ ñeà nghò daïng ñôn giaûn hôn noù cuõng coù theå phuø hôïp vôùi caùc keát quaû thí nghieäm raát toát.

Kinh tuyeán neùn

Kinh tuyeán keùo

7.2.3 Moâ hình boán thoâng soá Hsieh−−−−Ting

Hsieh vaø caùc coäng söï ñaõ ñeà nghò moät haøm ñoái vôùi θ ≤ 600, ôû ñaây b vaø c laø caùc haèng soá. Thay theá baèng bieåu thöùc naøy vaø duøng caùc toïa ñoä phaù huûy nhö sau:

Hình 7.11 Söï so saùnh caùc tieâu chuaån phaù huûy vôùi caùc thí nghieäm song truïc (f’

d)ccosb(ap),,(f 2 −ζ+ρ+θ+=θρζ

trong ñoù: a, b, c, vaø d laø nhöõng haèng soá ( )6/I2/3cos 11 −σ=θρ [xem ñaúng thöùc (2.123)], ta coù theå vieát ñaúng thöùc

(7.3) theo caùc baát bieán öùng suaát I1, J2

D nhö:

1DICJBAJ 1122 =−+σ++

Chuù yù raèng taát caû caùc öùng suaát trong caùc tieâthöôøng hoùa bôûi f’c. Do ñoù, f’c khoâng xuaát hieän roõ raøng trong caùc ñaúng thöùc (7.3) vaø (7.4). Hôn nöõa, thaät haáp daãn ñeå nhaän ra raèng daïng haøm cuûa ñaúng thöùc (7.4)

Moâ hình Hsieh-

Moâ hình Ottosen 4

Moâ hình Willam-

Kupfer vaø caùc coäng söï (1969)

365

Ting−−−−Chen

vaø caùc coäng söï ñaõ ñeà nghò moät haøm λ vôùi daïng ñôn giaûn λ(θ) = bcosθ + c , ôû ñaây b vaø c laø caùc haèng soá. Thay theá λ trong ñaúng thöùc (7.2b)

baèng bieåu thöùc naøy vaø duøng caùc toïa ñoä Haigh−Westergaard seõ ñöa ñeán daïng haøm

Söï so saùnh caùc tieâu chuaån phaù huûy

vôùi caùc thí nghieäm song truïc (f’c = 30,7 MPa)

01 =− (7.3)

trong ñoù: a, b, c, vaø d laø nhöõng haèng soá vaät lieäu. Chuù yù raèng [xem ñaúng thöùc (2.123)], ta coù theå vieát ñaúng thöùc

2, J3 vôùi theo boán haèng soá vaät lieäu A, B, C,

0= (7.4)

Chuù yù raèng taát caû caùc öùng suaát trong caùc tieâu chuaån phaù huûy ñaõ ñöôïc bình khoâng xuaát hieän roõ raøng trong caùc ñaúng thöùc (7.3)

vaø (7.4). Hôn nöõa, thaät haáp daãn ñeå nhaän ra raèng daïng haøm cuûa ñaúng thöùc (7.4)

-Ting-Chen 4-P

hình Ottosen 4-P

-Warnke 5-P

Kupfer vaø caùc coäng söï (1969)

366

laø toå hôïp tuyeán tính cuûa ba tieâu chuaån phaù huûy noåi tieáng, ñoù laø von Mises, Drucker−Prager, vaø Rankine (xem chöông 2).

Ñeå xaùc ñònh boán thoâng soá vaät lieäu A, B, C, vaø D ta duøng caùc thí nghieäm song truïc cuûa Kupfer vaø caùc coäng söï (1969) vaø caùc thí nghieäm ba truïc cuûa Mills vaø Zimmerman (1970). Caùc thoâng soá ñöôïc xaùc ñònh töø boán traïng thaùi phaù huûy nhö sau:

1- Ñoä beàn neùn ñôn truïc f’c

2- Ñoä beàn keùo ñôn truïc f’t = 0,1f’c

3- Ñoä beàn neùn song truïc ñeàu nhau f’b c = 1,15f’c

4- Traïng thaùi öùng suaát ba truïc (σoct/f’c, τoct/f’c) = (−1,95; 1,6) treân kinh tuyeán neùn (θ = 600) noù cung caáp söï phuø hôïp toát nhaát vôùi caùc keát quaû thí nghieäm cuûa Mills vaø Zimmerman.

Caùc giaù trò cuûa boán haèng soá A, B, C, D thu ñöôïc laø:

A = 2,0108; B = 0,9714; C = 9,1412; D = 0,2312

Caùc quan heä giöõa hai boä haèng soá vaät lieäu (a, b, c, d) vaø (A, B, C, D) coù theå thu ñöôïc baèng caùch so saùnh caùc ñaúng thöùc (7.3) vaø (7.4) vaø duøng theâm moät soá coâng thöùc ñöôïc cho trong phuï luïc, keát quaû laø:

678,5

6

bD3d6869,0

2

Bc

4638,7C3

2b0054,1

2

Aa

=

+===

====

Trong hình 7.12, caùc keát quaû thí nghieäm cuûa Mills vaø Zimmerman ñaõ bieåu thò trong heä toïa ñoä σoct/f’c, τoct/f’c. Chæ nhöõng kinh tuyeán neùn (θ = 600) vaø keùo (θ = 00) laø ñöôïc bieåu dieãn; σoct vaø τoct ñaõ ñöôïc bình thöôøng hoùa bôûi ñoä beàn neùn ñôn truïc f’c > 0. Ñieåm (σoct/f’c; τoct/f’c) = (−1,95; 1,6) ñöôïc duøng ñeå xaùc ñònh caùc thoâng soá cuûa tieâu chuaån phaù huûy cuõng ñöôïc ñaùnh daáu treân kinh tuyeán neùn. Söï phuø hôïp ñöôïc khaûo saùt thoûa ñaùng. Tieâu chuaån phaù huûy vaø caùc thí nghieäm cuûa Launay vaø Gachon (1970) ñöôïc so saùnh trong maët phaúng leäch trong hình 7.13. Söï phuø hôïp toát coù theå ñöôïc khaûo saùt ôû cheá ñoä aùp löïc thaáp ñoái vôùi I1/f’c = 3σoct/f’c = −1 vaø −3. ÔÛ cheá ñoä aùp löïc cao, I1/f’c ≤ −5, tieâu chuaån döôøng nhö ñöa ñeán söï ñaùnh giaù vöøa phaûi. Ñieàu naøy ñöôïc mong ñôïi, do caùc thí nghieäm cuûa Launay vaø Gachon ñöôïc bieát seõ cho ñoä beàn neùn song truïc raát cao (f’bc = 1,8f’c). Hình 7.11 bieåu thò hình bao phaù huûy song truïc cuûa moâ hình boán thoâng soá. So saùnh vôùi thí nghieäm cuûa Kupfer vaø caùc coäng söï cho thaáy söï phuø hôïp raát toát.

Maëc duø tieâu chuaån boán thoâng soá thoûa yeâu caàu tính loài cho taát caû caùc ñieàu kieän öùng suaát, noù vaãn coù caùc caïnh doïc theo nhöõng kinh tuyeán neùn (hình 7.13) maø ñieàu kieän lieân tuïc cuûa ñaïo haøm khoâng toàn taïi. Ñieàu kieän lieân tuïc cuûa caùc ñaïo haøm ñöôïc duøng trong quan heä cô baûn seõ mang laïi tính hoäi tuï toát trolaëp cuûa pheùp phöông phaùp tính soá. Do ñoù, tính trôn phaúng ôû moïi nôi cuûa beà maët chaûy laø ñaëc tính mong muoán.

Hình 7.12 So saùnh tieâu chuaån Hsieh−Mills vaø Zimmerman (1970) trong maët phaúng öùng suaát tieáp vaø phaùp baùt dieän. Caùc thí nghieäm (caùc voøng troøn roãng ñoái vôùi 600), xaùc ñònh thoâng soá (caùc ñieåm ñoái vôùi boán traïng thaùi phaù huûy ñaõ ñöôïc duøng)

Kinh tuyeán neùn

Kinh tuyeán keùo

367

Maëc duø tieâu chuaån boán thoâng soá thoûa yeâu caàu tính loài cho taát caû caùc ñieàu kieän öùng suaát, noù vaãn coù caùc caïnh doïc theo nhöõng kinh tuyeán neùn (hình 7.13) maø ñieàu kieän lieân tuïc cuûa ñaïo haøm khoâng toàn taïi. Ñieàu kieän lieân tuïc cuûa caùc ñaïo haøm ñöôïc duøng trong quan heä cô baûn seõ mang laïi tính hoäi tuï toát trong quaù trình laëp cuûa pheùp phöông phaùp tính soá. Do ñoù, tính trôn phaúng ôû moïi nôi cuûa beà maët

−Ting−Chen vôùi caùc keát quaû thí nghieäm cuûa Mills vaø Zimmerman (1970) trong maët phaúng öùng suaát tieáp vaø phaùp baùt dieän. Caùc thí nghieäm (caùc voøng troøn roãng ñoái vôùi θ = 00, caùc hình vuoâng roãng ñoái vôùi θ =

aùc ñieåm ñoái vôùi boán traïng thaùi phaù huûy ñaõ ñöôïc duøng)

Kinh tuyeán neùn

Tieâu chuaån phaù huûy

Kinh tuyeán keùo

368

Hình 7.13 So saùnh tieâu chuaån Hsieh−Ting−Chen vôùi caùc döõ lieäu ba truïc trong maët phaúng leäch; caùc voøng troøn roãng, Launay vaø Gachon (1970)

7.2.4 Moâ hình naêm thoâng soá Willam−−−−Warnke

Moâ hình naêm thoâng soá Willam−Warnke ñöôïc minh hoïa trong hình 7.14. Moâ hình ñaõ uoán cong caùc kinh tuyeán keùo vaø neùn ñaõ ñöôïc bieåu dieãn bôûi caùc parabola coù daïng:

2t2t1om paaa +ρ+=σ (7.5a)

2c2c1om bbb ρ+ρ+=σ (7.5b)

ôû ñaây σm = I1/3 laø öùng suaát thuûy tónh, ρt vaø ρc töông öùng laø caùc thaønh phaàn öùng suaát vuoâng goùc vôùi truïc thuûy tónh taïi θ = 00 vaø θ = 600, vaø a0, a1, a2, b0, b1, vaø b2 laø caùc haèng soá vaät lieäu. Taát caû caùc öùng suaát ñaõ ñöôïc bình thöôøng hoùa bôûi f’c, nghóa laø σm, ρt, vaø ρc trong caùc ñaúng thöùc (7.5a,b) töông öùng bieåu dieãn σm/ f’c, ρt/ f’c, vaø ρc/ f’c.

Do hai kinh tuyeán phaûi giao vôùi truïc thuûy tónh ôû cuøng ñieåm, ñieàu naøy daãn ñeán

a0 = b0 (7.6)

Naêm thoâng soá coøn laïi coù theå ñöôïc xaùc ñònh bôûi naêm thí nghieäm tieâu bieåu (xem baûng 7.2). Moãi laàn hai kinh tuyeán ñöôïc xaùc ñònh töø taäp hôïp caùc döõ lieäu thí nghieäm, maët caét ngang coù theå ñöôïc xaây döïng baèng caùch noái caùc kinh tuyeán vaø duøng caùc ñöôøng cong thích hôïp.

369

Kinh tuyeán neùn

a) Caùc kinh tuyeán keùo vaø neùn

Kinh tuyeán keùo

Caùc döõ lieäu ñöôïc laáy töø

Mills vaø caùc coäng söï, 1970

Caùc ñieåm ñeå xaùc ñònh caùc thoâng soá

Caùc döõ lieäu thí nghieäm ñöôïc laáy töø Launay vaø caùc coäng söï (1970)

Hình 7.14 Moâ hình naêm thoâng soá Willam−Warnke

370

Caùc ñöôøng cong cuûa Willam vaø Warnke loài vaø trôn ôû moïi nôi. Ñieàu naøy ñaït ñöôïc baèng caùch duøng moät phaàn cuûa ñöôøng cong ellipse (hình 7.15a). Do tính ñoái xöùng phaàn ba, ta chæ caàn khaûo saùt phaàn 00 ≤ θ ≤ 600. Pheùp ñaïo haøm cuûa bieåu thöùc elliptic ñöôïc phaùc thaûo döôùi ñaây.

Trong hình 7.15b, ñöôøng cong phaù huûy P1−P−P2, vôùi (ρ, θ) laø toïa ñoä cöïc, ñöôïc xaáp xæ bôûi moät phaàn tö ellipse P1−P−P2−P3 vôùi (x, y) laø caùc truïc chính (caùc baùn truïc a, b). Caùc ñieàu kieän ñoái xöùng ôû θ = 00 vaø θ = 600 (hình 7.15) ñoøi hoûi raèng caùc vectô vò trí ρt vaø ρc töông öùng phaûi vuoâng goùc vôùi ellipse ôû caùc ñieåm P1(0, b) vaø P2(m, n). Do ñoù truïc phuï y ñöôïc choïn truøng vôùi vectô vò trí ρt ñeå ñieàu kieän phaùp tuyeán ôû P1 luoân ñöôïc thoûa. Phaùp vectô ngoaïi ñôn vò vôùi ellipse taïi P2(m, n) phaûi taïo thaønh moät goùc 300 vôùi truïc x.

Caùc ñöôøng cong cuûa Willam vaø Warnke loài vaø trôn ôû moïi nôi. Ñieàu naøy ñaït ñöôïc baèng caùch duøng moät phaàn cuûa ñöôøng cong ellipse (hình 7.15a). Do tính ñoái xöùng

371

phaàn ba, ta chæ caàn khaûo saùt phaàn 00 ≤ θ ≤ 600. Pheùp ñaïo haøm cuûa bieåu thöùc elliptic ñöôïc phaùc thaûo döôùi ñaây.

Trong hình 7.15b, ñöôøng cong phaù huûy P1−P−P2, vôùi (ρ, θ) laø toïa ñoä cöïc, ñöôïc xaáp xæ bôûi moät phaàn tö ellipse P1−P−P2−P3 vôùi (x, y) laø caùc truïc chính (caùc baùn truïc a, b). Caùc ñieàu kieän ñoái xöùng ôû θ = 00 vaø θ = 600 (hình 7.15) ñoøi hoûi raèng caùc vectô vò trí ρt vaø ρc töông öùng phaûi vuoâng goùc vôùi ellipse ôû caùc ñieåm P1(0, b) vaø P2(m, n). Do ñoù truïc phuï y ñöôïc choïn truøng vôùi vectô vò trí ρt ñeå ñieàu kieän phaùp tuyeán ôû P1 luoân ñöôïc thoûa. Phaùp vectô ngoaïi ñôn vò vôùi ellipse taïi P2(m, n) phaûi taïo thaønh moät goùc 300 vôùi truïc x.

Baèng caùch duøng caùc ñieàu kieän ñaõ cho ôû treân, ta coù theå xaùc ñònh caùc baùn truïc a vaø b theo caùc vectô vò trí ρt vaø ρc vaø sau ñoù thu ñöôïc phöông trình tieâu chuaån cuûa ellipse. Cuoái cuøng phöông trình naøy ñöôïc bieán ñoåi theo caùc toïa ñoä cöïc (ρ, θ). Sau moät soá thao taùc ñaïi soá, baùn kính ρ(θ) coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo caùc thoâng soá ρt vaø ρc:

[ ]2

tc22

t2c

2/1

ct2t

22t

2cctc

2t

2cc

)p2(cos)(4

45cos)(4)2(cos)(2)(

−ρ+θρ−ρ

ρρ−ρ+θρ−ρρ−ρρ+θρ−ρρ=θρ (7.7)

Hai tröôøng hôïp giôùi haïn cuûa ñaúng thöùc (7.7) coù theå ñöôïc khaûo saùt. Tröôùc tieân, ñoái vôùi ρt/ρc = 1 (hoaëc, moät caùch töông ñöông, a = b), ellipse thoaùi hoùa thaønh ñöôøng troøn (töông töï nhö veát leäch cuûa caùc moâ hình von Mises hay Drucker−Prager). Thöù hai, khi tyû soá ρt/ρc ñaït ñeán giaù trò 1/2 (hay a/b tieán ñeán voâ haïn), veát leäch trôû neân gaàn gioáng tam giaùc (töông töï vôùi veát leäch cuûa hình 2.20c ñoái vôùi tieâu chuaån öùng suaát keùo cöïc ñaïi). Ñöôøng cong leäch tam giaùc töông öùng vôùi ρt/ρc = 1/2 coù caùc goùc ôû caùc kinh tuyeán neùn. Do ñoù, caû tính loài vaø tính trôn cuûa ñöôøng cong phaù huûy (hình 7.15) coù theå ñöôïc ñaûm baûo ñoái vôùi tyû soá ρt/ρc trong mieàn 1/2 < ρt/ρc ≤ 1. Caùc ñaúng thöùc (7.5a, b) vaø (7.7) ñònh nghóa hoaøn chænh tieâu chuaån phaù huûy cuûa moâ hình naêm thoâng soá Willam−Warnke. Ñöôïc döïa treân caùc thí nghieäm song truïc Kupfer vaø caùc thí nghieäm ba truïc khaùc, naêm thoâng soá cuûa haøm phaù huûy ñöôïc xaùc ñònh bôûi naêm traïng thaùi sau ñaây:

1- Ñoä beàn neùn ñôn truïc f’c.

2- Ñoä beàn keùo ñôn truïc f’t = 0,1f’c.

3- Ñoä beàn neùn song truïc f’b c = 1,15f’c.

4- Ñoä beàn neùn song truïc coù haõm vôùi σ1 > σ2 = σ3:

(σmt, ρt) = (−1,95f’c; 2,77f’c)

5- Ñoä beàn neùn song truïc coù haõm vôùi σ1 = σ2 > σ3:

372

(σmc, ρc) = (−3,9f’c; 3,461f’c)

Naêm ñieåm phaù huûy ñöôïc bieåu dieãn theo caùc toïa ñoä (σm/f’c, ρ/ f’c, θ) ñöôïc lieät keâ trong baûng 7.3. Caùc giaù trò cuûa caùc haèng soá a0, a1, a2, b1, vaø b2 thu ñöôïc laø:

a0 = 0,1025; a1 = −0,8403; a2 = −0,0910

b1 = −0,4507 b2 = −0,1018

So saùnh caùc döï ñoaùn moâ hình vôùi caùc döõ lieäu thí nghieäm ñöôïc bieåu thò trong hình 7.14a,b, trong ñoù naêm ñieåm thí nghieäm ñöôïc duøng ñeå xaùc ñònh caùc haèng soá vaät lieäu ñöôïc bieåu thò bôûi caùc ñöôøng troøn nöûa roãng. Nhö coù theå ñöôïc thaáy, söï phuø hôïp thoûa doïc theo caû caùc kinh tuyeán vaø caùc maët caét leäch.

Ba moâ hình ñöôïc baøn luaän ôû treân ñöôïc so saùnh trong hình 7.11, ôû ñoù caùc ñöôøng bao phaù huûy hai chieàu trong maët phaúng σ1−σ2 ñaõ ñöôïc veõ. Coù theå thaáy raèng ba ñöôøng cong hôïp vôùi nhau hoaøn toaøn ngoaïi tröø trong mieàn quanh kinh tuyeán tröôït nôi maø moâ hình naêm thoâng soá Willam−Warnke vaø moâ hình boán thoâng soá Ottosen döï ñoaùn taûi phaù huûy cao hôn moâ hình boán thoâng soá Hsieh−Ting−Chen, moâ hình naøy cho caùc döï ñoaùn thaáp vaø an toaøn hôn. Tuy nhieân, baèng caùch khaûo saùt söï phaân taùn cuûa caùc döõ lieäu thí nghieäm, caû ba moâ hình naøy ñeàu toát ñeå bieåu dieãn beà maët phaù huûy cuûa beâ toâng.

Baûng 7.3 Xaùc ñònh caùc haèng soá vaät lieäu (moâ hình naêm thoâng soá)

Ñieåm phaù huûy Caùc haèng soá vaät lieäu

σσσσm ρρρρ θθθθ

−0,3333

−1,93330*

0,03333

−0,76700

−3,90000*

0,81650

2,77600

0,08165

0,93900

3,46100

600

600

00

00

00

a0

a1

a2

b1

b2

0,1025

−0,84030

−0,09100

−0,45070

−0,10180

Caùc döõ lieäu ñöôïc laáy töø Kupfer vaø caùc coäng söï (1969) ngoaïi tröø * ñöôïc laáy töø caùc thí nghieäm ba truïc khaùc

7.2.5 Söï hình thaønh toång quaùt maët phaù huûy

Trong vieäc thieát laäp sau ñaây, beà maët phaù huûy cuûa beâ toâng ñöôïc bieåu dieãn toång quaùt trong daïng:

0mtm 600),(),,(f ≤θ=θσρ−ρ=θσρ (7.8)

373

vôùi 2J2=ρ laø thaønh phaàn öùng suaát vuoâng goùc vôùi truïc thuûy tónh, vaø ρf(σm,θ) ñònh nghóa ñöôøng bao phaù huûy treân nhöõng maët phaúng leäch vaø ñöôïc cho bôûi caùc bieåu thöùc theo nhöõng moâ hình phaù huûy khaùc. Ñaúng thöùc (7.8) cuõng coù theå ñöôïc vieát nhö:

00f0000 600),(),,(f ≤θ=θστ−τ=θστ (7.9)

ôû ñaây τ0 vaø σ0 töông öùng laø caùc öùng suaát tieáp vaø phaùp baùt dieän, vaø τ0f(σ0,θ) laø öùng suaát tieáp baùt dieän phaù huûy. Chuù yù raèng σ0 = σm vaø ρ=τ )3/1(0 , coù theå thaáy raèng caùc ñaúng thöùc (7.8) vaø (7.9) cô baûn laø gioáng nhau.

Caùc bieåu thöùc ñoái vôùi ρf(σ0,θ) trong ba moâ hình phaù huûy ñöôïc khaûo saùt ôû treân coù theå thu ñöôïc nhö sau:

1- Moâ hình boán thoâng soá Ottosen: baèng caùch giaûi phöông trình (7.2a) ñoái vôùi

t2J2 ρ= daãn tôùi bieåu thöùc sau:

−σ−λ+λ−=θσρ )1b3(a822

a2

1),( m

2mt (7.10)

ôû ñaây λ laø haøm cuûa cos3θ ñöôïc ñònh nghóa bôûi daúng thöùc (7.2b).

2- Moâ hình boán thoâng soá Hsieh−Ting−Chen: töông töï, töø ñaúng thöùc (7.3), ta nhaän:

−σ−+θ++θ−=θσρ )1d3(a4)ccosb()ccosb(

a2

1),( m

2mt (7.11)

trong ñoù toïa ñoä ξ ñaõ ñöôïc thay theá bôûi 3 σm vaø σm laø öùng suaát thuûy tónh.

3- Moâ hình naêm thoâng soá Willam−Warnke: veá phaûi cuûa phöông trình (7.7) coù theå ñöôïc vieát nhö:

υ+=θσρ ts

),( mt (7.12)

ôû ñaây: θρ−ρρ=θσ= cos)(2),(ss 2

t2ccm (7.12a)

2/1ctcm u)2(),(tt ρ−ρρ=θσ= (7.12b)

ct2t

22t

2cm 4p5cos)(4),(uu ρρ−+θρ−ρ=θσ= (7.12c)

2tc

22t

2cm )2(cos)(4),( ρ−ρ+θρ−ρ=θσυ=υ (7.12d)

Töø caùc ñaúng thöùc (7.5a, b), ρc vaø ρt coù theå thu ñöôïc nhö laø caùc haøm cuûa σm:

374

σ−−+−=ρ )b(b4bb

b2

1m02

211

2c (7.13a)

σ−−+−=ρ )a(a4aa

a2

1m02

211

2t (7.13b)

7.3 MOÂ HÌNH CHAÛY DEÛO: ÖÙNG XÖÛ BIEÁN CÖÙNG

Moät trong nhöõng moâ hình chaûy deûo noåi tieáng hôn cuûa beâ toâng laø moâ hình ñöôïc ñeà nghò bôûi Chen vaø Chen (1975), thöïc ra moâ hình naøy thieát laäp khuoân khoå toång quaùt cho loaïi moâ hình naøy. Vaøi moâ hình döïa treân chaûy deûo khaùc ñaõ ñöôïc ñeà nghò trong quaù khöù coù theå ñöôïc keå ra: caùc moâ hình cuûa Chen vaø Schnobrich (1981), Hsieh, Ting, vaø Chen (1982), Fardis, Alibe, vaø Tassoulas (1983), Vermeer vaø De Borst (1984), Han vaø Chen (1985), vaø Chen vaø Buyukozturk (1985). Caùc moâ hình naøy khaùc nhau veà hình daùng cuûa caùc beà maët phaù huûy vaø ñaët taûi, veà quy luaät bieán cöùng, vaø veà quy luaät chaûy. Sau ñaây ta seõ ñöôïc giôùi thieäu söï thieát laäp chi tieát cuûa moâ hình chaûy deûo bieán cöùng khoâng ñeàu ñöôïc ñeà nghò bôûi Han vaø Chen (1985, 1987). Moâ hình naøy ñöôïc duøng ôû ñaây nhö laø moät thí duï minh hoïa ñeå giaûi thích caùc kyõ thuaät toång quaùt ñöôïc duøng trong vieäc moâ hình chaûy deûo cuûa vaät lieäu beâ toâng.

Hình 7.16 Moâ hình chaûy deûo taùi beàn khoâng ñeàu

Moâ hình ñöôïc phaùc thaûo vaø ñöôïc minh hoïa trong maët phaúng thuûy tónh treân hình 7.16. Beà maët phaù huûy bao quanh taát caû caùc beà maët ñaët taûi vaø ñaùp öùng nhö laø beà maët bieân, noù ñöôïc giaû ñònh laø vaãn khoâng ñoåi trong suoát quaù trình ñaët taûi. Caùc hình daùng cuûa caùc maët caét leäch cuûa beà maët ñaët taûi ñöôïc giaû ñònh laø töông töï vôùi caùc maët caét leäch cuûa beà maët cuû beà maët phaù huûy, nhöng caùc kinh tuyeán cuûa

375

chuùng thì khaùc nhau. Beà maët chaûy ban ñaàu coù daïng keùp kín. Trong quaù trình bieán cöùng, beà maët ñaët taûi giaõn nôû vaø thay ñoåi hình daùng cuûa noù töø beà maët chaûy ban ñaàu ñeán daïng cuoái cuøng khôùp vôùi beà maët phaù huûy. Moãi beà maët ñaët taûi ñöôïc ñaëc tröng hoùa bôûi thoâng soá bieán cöùng k0. Quy luaät chaûy khoâng keát hôïp ñöôïc thöøa nhaän. Theá roài, caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng gia soá coù theå ñöôïc thieát laäp theo lyù thuyeát deûo coå ñieån.

7.3.1 Tieâu chuaån chaûy

Do öùng suaát chaûy cuûa beâ toâng khoâng deã ño ñöôïc töø thí nghieäm, tieâu chuaån chaûy cuûa beâ toâng thöôøng ñöôïc giaû ñònh treân cô sôû cuûa tieâu chuaån phaù huûy ñaõ bieát. Thí duï, trong moät soá moâ hình chaûy deûo tröôùc ñaây, öùng suaát chaûy ñaõ ñöôïc laáy nhö laø giaù trò ñöôïc laøm giaûm tyû leä cuûa öùng suaát phaù huûy. Ñieàu naøy nguï yù raèng beà maët chaûy coù hình daïng töông töï vôùi beà maët phaù huûy nhöng vôùi kích thöôùc ñöôïc laøm giaûm. Sau naøy, giaû ñònh naøy ñaõ ñöôïc tìm thaáy laø khoâng thoûa ñaùng cho beâ toâng: ñaàu tieân, beà maët chaûy ñöôïc giaû ñònh nhö theá seõ coù daïng môû, ñieàu naøy thì voâ lyù. Thöù hai, vieäc giaû ñònh nhö theá ñònh nghóa vuøng ñaøn deûo (bieán cöùng) phaân boá khoâng ñeàu giöõa beà maët chaûy ban ñaàu vaø beà maët phaù huûy, noù khoâng theå phaûn aùnh chính xaùc nhöõng ñaùp öùng khaùc nhau cuûa beâ toâng ñoái vôùi caùc ñaët taûi keùo vaø neùn.

Trong mieàn tröôùc phaù huûy, öùng xöû bieán daïng cuûa beâ toâng trong ñaët taûi keùo thì haàu nhö laø ñaøn hoài tuyeán tính; chæ bieán daïng ñaøn hoài xaûy ra cho ñeán khi phaù huûy. Tuy nhieân, trong tröôøng hôïp cuûa loaïi ñaët taûi neùn, öùng xöû trôû neân phi tuyeán: caùc bieán daïng lôùn töông ñoái, bao goàm caùc bieán daïng hoài phuïc (ñaøn hoài) vaø khoâng theå hoài phuïc (deûo), xaûy ra tröôùc phaù huûy. Ñieàu naøy ñaëc bieät laø thaät trong nhöõng tröôøng hôïp ñaët taûi neùn vôùi aùp löïc haõm. Trong nhöõng tröôøng hôïp nhö theá, bieán daïng khoâng hoài phuïc coù theå laø khaù lôùn, vaø beâ toâng seõ bieåu hieän trong moät chöøng möïc naøo ñoù öùng xöû deûo.

Do beâ toâng öùng xöû khaùc nhau khi chòu keùo vaø neùn, beà maët chaûy ban ñaàu khoâng neân ñöôïc giaû söû coù hình daïng töông töï, maëc duø ñaõ ñöôïc laøm giaûm tyû leä, vôùi beà maët phaù huûy. Moät söï giaû ñònh nhö theá coù theå daãn ñeán moät söï ñaùnh giaù quaù cao cuûa bieán daïng deûo khi ñaët taûi keùo vaø söï ñaùnh giaù quaù thaáp khi ñaët taûi neùn vôùi aùp löïc haõm.

Coù raát ít caùc keát quaû thí nghieäm ñöôïc baùo caùo trong taøi lieäu veà hình daùng beà maët chaûy ban ñaàu cuûa beâ toâng. Launay vaø Gachon (1972), trong soá nhöõng taùc giaû khaùc, ñaõ baùo caùo giôùi haïn ñaøn hoài vaø ñöôøng cong nöùt ban ñaàu trong maët phaúng öùng suaát thuûy tónh (hình 7.17). Ñöôøng cong naøy coù theå ñöôïc xem laø söï moâ taû moät caùch ñònh tính beà maët chaûy ban ñaàu cuûa vaät lieäu beâ toâng. Ngöôøi ta ñaõ khaùm phaù ra raèng, giôùi haïn ñaøn hoài haàu nhö truøng vôùi ñöôøng cong phaù huûy, vaø vuøng

376

bieán cöùng bieán maát trong mieàn aùp löïc thuûy tónh raát thaáp, traùi laïi trong mieàn neùn vôùi aùp löïc haõm cao vuøng bieán cöùng thì hoaøn toaøn lôùn.

Döïa treân khaûo saùt naøy, hình daïng caùc kinh tuyeán cuûa beà maët chaûy coù theå ñöôïc giaû ñònh nhö ñöôïc bieåu thò trong hình 7.18, noù goàm coù boán phaàn sau:

1- Trong vuøng keùo, nghóa laø, σm ≥ ξt, beà maët chaûy truøng vôùi beà maët phaù huûy. Giaû ñònh khoâng coù bieán daïng deûo ñeán khi phaù huûy, vuøng bieåu dieãn öùng xöû gioøn.

2- Trong vuøng neùn−keùo hoãn hôïp, nghóa laø, ξt > σm ≥ ξc, vuøng bieán cöùng deûo tieán trieån daàn daàn.

3- Trong vuøng neùn vôùi aùp löïc haõm thaáp, töùc laø, ξc > σm ≥ ξk, kinh tuyeán bieåu dieãn kích thöôùc ñöôïc giaûm tyû leä cuûa beà maët phaù huûy.

377

4- Trong vuøng neùn vôùi aùp löïc haõm töông ñoái lôùn, töùc laø, σm < ξk, beà maët chaûy saùt laïi daàn gaàn truïc thuûy tónh vaø mieàn cöùng deûo roäng ñöôïc phaùt sinh.

Ñeå nhaän daïng caùc vuøng nhö keùo−keùo, keùo−neùn, neùn−keùo, hoaëc neùn−neùn, tieâu chuaån phaân vuøng ba truïc sau ñaây coù theå ñöôïc duøng (hình 7.18):

Keùo−keùo: 0I3

1J 12 >−

Keùo−neùn: 0I3

1J 12 ≤− vaø I1 ≥ 0

Neùn−keùo: 0I3

1J 12 ≥− vaø I1 < 0

Neùn−neùn: 0I3

1J 12 <+

Chuù yù raèng beà maët 03/IJ 12 =+ ñi xuyeân qua traïng thaùi neùn ñôn truïc, trong

khi beà maët 03/IJ 12 =− ñi xuyeân qua traïng thaùi keùo ñôn truïc. Ñaây laø lyù do hai beà maët naøy ñöôïc duøng nhö laø caùc beà maët bieân.

Trong vieäc choïn caùc giaù trò cuûa caùc thoâng soá ξt, ξc, vaø ξk, khoâng caàn theo moät caùch chính xaùc tieâu chuaån phaân vuøng ôû treân. Ñeå ñôn giaûn, ta coù theå laáy ξt = 0, ξc = ξk = −f’c/3.

Vôùi haøm phaù huûy ñaõ ñònh nghóa bôûi ñaúng thöùc (7.8), haøm chaûy ban ñaàu coù theå ñöôïc taïo thaønh baèng caùch giôùi thieäu heä soá hình daïng k vaøo tieâu chuaån phaù huûy, taïo ra bieåu thöùc coù daïng:

ρ − kρf = 0 (7.14)

Heä soá hình daïng k laø haøm cuûa öùng suaát thuûy tónh, σm, noù hieäu chænh beà maët phaù huûy ñeå ñöa ra hình daïng thích hôïp ñoái vôùi beà maët chaûy ban ñaàu.

7.3.2 Quy luaät taùi beàn vaø maët chaûy keá tieáp

Nhö ñaõ ñöôïc thaáy töø hình 7.16, beà maët chaûy ban ñaàu nhö ñaõ ñònh nghóa coù hình daïng khaùc vôùi beà maët phaù huûy, vaø trong suoát quaù trình bieán cöùng, caû kích thöôùc vaø hình daùng cuûa caùc beà maët chaûy keá tieáp phaûi thay ñoåi moät caùch lieân tuïc töø hình daùng chaûy ban ñaàu ñeán hình daïng phaù huûy cuoái cuøng. Quy luaät bieán cöùng nhö theá laø khoâng ñeàu ñoái vôùi öùng suaát thuûy tónh. Ñieàu naøy hoaøn toaøn khaùc vôùi quy luaät bieán cöùng ñaúng höôùng.

378

Theo quy luaät bieán cöùng khoâng ñeàu, beà maët chaûy keá tieáp coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo daïng töông töï vôùi ñaúng thöùc (7.14) nhö:

0),(),k(kf mtm0 =θσρσ−ρ= (7.15)

trong ñoù heä soá hình daùng k ñöôïc ñònh nghóa nhö laø haøm cuûa σm cuõng nhö thoâng soá bieán cöùng k0. Moät daïng haøm cuûa k(k0, σm) ñaõ ñeà nghò ñöôïc cho trong phuï luïc.

Thoâng soá k0 bieåu thò möùc ñoä bieán cöùng, noù coù theå laáy giaù trò giöõa ky vaø 1, nghóa laø,

ky ≤ k0 ≤ 1

k0 = ky töông öùng vôùi beà maët chaûy ban ñaàu, trong khi k0 = 1 chæ ra raèng traïng thaùi öùng suaát cuoái cuøng ñaõ ñaït ñöôïc vaø raèng beà maët ñaët taûi cuoái cuøng ñaõ truøng vôùi beà maët phaù huûy. Vì lyù do naøy, ta cho:

)k1(

A

0−=ζ (7.16)

ôû ñaây: ξ - giao ñieåm cuûa beà maët ñaët taûi vôùi truïc thuûy tónh vaø A- haèng soá.

Theo ñaúng thöùc (7.16), giao ñieåm ξ seõ tieán ñeán voâ taän khi k0 → 1.

Thoâng soá bieán cöùng k0 ñöôïc lieân heä vôùi moâñun deûo pbH , noù laø moâñun ñöôïc ñònh

nghóa töø ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng deûo neùn ñôn truïc. Quan heä giöõa k0 vaø pbH coù theå ñöôïc tìm thaáy baèng caùch xaùc ñònh giao cuûa loä trình ñaët taûi neùn ñôn

truïc vôùi beà maët ñaët taûi (hình 7.16). Giao ñieåm cho öùng suaát neùn ñôn truïc töông öùng vôùi k0 ñaõ cho, vaø caû moâñun deûo, noù laø ñoä doác cuûa ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng deûo neùn ñôn truïc thí nghieäm ôû möùc öùng suaát ñaõ cho. Trong caùch naøy, moãi beà maët ñaët taûi cuûa thoâng soá k0 ñöôïc lieân heä vôùi moâñun deûo cô sôû p

bH moät caùch roõ raøng vaø aån caû coâng chaûy deûo.

Moâñun deûo pbH thu ñöôïc töø thí nghieäm neùn ñôn truïc ñöôïc goïi laø moâñun deûo cô

sôû, khaùc vôùi moâñun deûo Hp ñöôïc duøng trong phöông trình cô sôû. Do pbH ñöôïc

xaùc ñònh töø traïng thaùi öùng suaát neùn ñôn truïc, noù chæ thích hôïp cho caùc tröôøng hôïp maø öùng suaát thuûy tónh σm khoaûng (−1/3)f’c. Trong nhöõng tröôøng hôïp neùn vôùi aùp löïc haõm cao, beâ toâng trôû neân deûo hôn, vì theá moâñun deûo phaûi ñöôïc hieäu chænh. Ñeå lyù giaûi ñoä nhaïy vôùi aùp suaát thuûy tónh vaø söï phuï thuoäc goùc ñaëc tröng, heä soá hieäu chænh M(σm,θ) coù theå ñöôïc giôùi thieäu, vaø moâñun deûo Hp coù theå ñöôïc bieåu dieãn toång quaùt nhö:

pbm

p H),(MH θσ= (7.17)

379

ôû ñaây σm laø öùng suaát thuûy tónh vaø θ laø goùc ñaëc tröng. Moät daïng haøm cuûa M(σm,θ) ñöôïc ñeà nghò cuõng ñöôïc cho trong phuï luïc.

7.3.3 Quy luaät chaûy khoâng keát hôïp vaø heä soá giaõn nôû

Söï thay ñoåi theå tích trong quaù trình bieán cöùng laø ñaëc ñieåm noåi baät cuûa vaät lieäu beâ toâng. Caùc keát quaû thí nghieäm chæ ra raèng döôùi vieäc ñaët taûi neùn, söï co giaûm theå tích phi ñaøn hoài xaûy ra luùc baét ñaàu chaûy deûo vaø söï giaõn nôû theå tích xaûy ra ôû khoaûng 90% cuûa öùng suaát tôùi haïn. Caùc ñieåm uoán thöôøng ñöôïc khaûo saùt (hình 7.4). Loaïi öùng xöû naøy noùi chung vi phaïm quy luaät chaûy keát hôïp. Do ñoù haøm theá naêng deûo khaùc vôùi haøm ñaët taûi ñöôïc caàn ñeán ñeå ñònh nghóa quy luaät chaûy. Ñeå ñôn giaûn, ta coù theå choïn daïng haøm cuûa loaïi Drucker−Prager:

211 JIg +α= (7.18)

Do ñoù quy luaät chaûy trôû thaønh:

+αδλ=

σ∂∂λ=ε

2

ijij

ij

pij

J2

Sd

gdd (7.19)

Theo quy luaät chaûy, söï thay ñoåi theå tích deûo gia soá, pii

p dd ε=ευ , ñöôïc cho bôûi 3αdλ; do ñoù, α laø soá ño söï giaûn nôû theå tích deûo. Ñeå phaûn aùnh söï thay ñoåi theå tích phi tuyeán, daïng haøm cuûa α coù theå ñöôïc ñònh nghóa theo caùc döõ lieäu thí nghieäm ñaõ coù. ÔÛ ñaây, ta seõ giaû ñònh α laø haøm tuyeán tính cuûa thoâng soá bieán cöùng k0, laáy giaù trò aâm luùc baét ñaàu chaûy (k0 = ky) vaø giaù trò döông luùc phaù huûy (k0 = 1).

7.3.4 Caùc quan heä öùng suaát−−−−bieán daïng gia soá

7.3.4.1 Caùc quan heä cô baûn toång quaùt

Döïa treân lyù thuyeát deûo coå ñieån (chöông 4 vaø 5), quan heä öùng suaát−bieán daïng gia soá toång quaùt coù theå nhaän ñöôïc baèng caùch thöùc sau ñaây. Gia soá bieán daïng toång ñöôïc laáy laø toång cuûa caùc gia soá bieán daïng ñaøn vaø deûo:

pij

eijij ddd ε+ε=ε (7.20)

Theo ñònh luaät Hooke, gia soá öùng suaát coù theå ñöôïc xaùc ñònh bôûi:

)dd(CdCd pkkijk

ekijkij lllll

ε−ε=ε=σ (7.21)

ôû ñaây:

δδ

υ−υ+δδ+δδ=

llll kijikijikijk 21

2GC (7.22)

380

laø tenxô ñaúng höôùng vôùi caùc haèng soá ñaøn hoài G vaø ν. Trong khi chaûy deûo xaûy ra, ñieàu kieän kieân ñònh:

df = 0 (7.23)

phaûi duy trì. Trong bieán cöùng khoâng ñeàu, haøm ñaët taûi cuûa ñaúng thöùc (7.15) laø thích ñaùng. Vi phaân toaøn phaàn cuûa haøm f laø:

0dd

dfd

fdf p

pij

ij

=εετ

τ∂∂+σ

σ∂∂= (7.24)

vôùi τ laø öùng suaát töông ñöông. Thay dσij töø ñaúng thöùc (7.21) vaøo ñaúng thöùc (7.24) vaø chuù yù raèng:

p

p

Hd

d =ετ (7.25)

ôû ñaây Hp laø moâñun deûo, ta coù:

( ) 0dHf

ddCf

df ppp

kkijkij

=ετ∂

∂+ε−εσ∂∂= εll

(7.26)

Bieán daïng deûo töông ñöông dεp coù theå ñöôïc lieân heä vôùi dλ nhö:

dεp = φdλ (7.27)

vôùi φ laø haøm voâ höôùng cuûa traïng thaùi öùng suaát (xem muïc 7.3.5). Baèng caùch duøng quy luaät chaûy (7.19) vaø ñònh nghóa bieán daïng deûo töông ñöông (7.27) trong ñaúng thöùc (7.26), vaø giaûi ñoái vôùi dλ, ta coù:

ll kpqk

pq

dCf

h

1d ε

σ∂∂=λ (7.28)

vôùi: φτ∂

∂−σ∂∂

σ∂∂= f

Hg

Cf

h p

pqmnpq

mm

(7.29)

Caùc ñaïi löôïng φ vaø ∂f/∂τ seõ ñöôïc cho sau naøy trong muïc 7.3.5. Thay theá ñaúng thöùc (7.28) vaøo ñaúng thöùc (7.19) seõ taïo ra bieåu thöùc cho gia soá bieán daïng deûo. Cuoái cuøng, duøng ñaúng thöùc (7.21) daãn ñeán phöông trình cô baûn:

lll k

pijkijkij d)CC(d ε+=σ (7.30)

trong ñoù tenxô ñoä cöùng deûo Cpijkl coù daïng:

ll kij

pijk HH

h

1C ∗−= (7.31)

vaø mn

ijmnijg

CHσ∂∂=∗ (7.32)

381

ll pqk

pqk C

fH

σ∂∂= (7.33)

Baây giôø, neáu haøm ñaët taûi f vaø haøm theá naêng deûo g ñöôïc bieát, quan heä cô baûn coù theå thu ñöôïc moät caùch tröïc tieáp töø caùc ñaúng thöùc (7.29) ñeán (7.33) theo caùch khaù deã daøng.

7.3.4.2 Caùc quan heä cô baûn döïa treân quy luaät chaûy keát hôïp

Quy luaät chaûy keát hôïp giaû ñònh raèng g = f, vôùi f ñöôïc cho bôûi ñaúng thöùc (7.15). Caùc ñaïo haøm rieâng cuûa noù toång quaùt coù theå ñöôïc bieåu dieãn bôûi [xem ñaúng thöùc (4.140), muïc 4.11]

ij2ij1ij0ijij

tBsBBfg ++δ=

σ∂∂=

σ∂∂ (7.34)

vôùi caùc heä soá B0, B1, vaø B2 laø caùc ñaïo haøm cuûa haøm daët taûi f ñoái vôùi caùc baát bieán öùng suaát. Caùc bieåu thöùc cho B0, B1, vaø B2 ñoái vôùi ba daïng khaùc nhau cuûa caùc beà maët phaù huûy ñöôïc lieät keâ trong phuï luïc. Baây giôø, ta thay ñaúng thöùc (7.34) vaøo caùc ñaúng thöùc (7.29) seõ daãn ñeán:

τ∂

∂φ−

−++

ν−ν+= f

HJB3

2JBB6JB2

21

1B3G2h p2

2223212

21

20 (7.35)

Trong pheùp ñaïo haøm ta ñaõ duøng quan heä 22jikjik J2ssss =

ll.

Ngoaøi ra, söû duïng ñaúng thöùc (7.34) vaøo caùc ñaúng thöùc (7.32) vaø (7.33), ta coù:

++δ

ν−ν+== ∗

ij2ij1ij0ijij tBsB21

1BG2HH (7.36)

Vì theá, tenxô ñoä cöùng deûo coù daïng ñoái xöùng

ll kij

pijk HH

h

1C −= (7.37)

7.3.4.3 Caùc quan heä cô baûn döïa treân quy luaät chaûy khoâng keát hôïp

Beà maët Drucker−Prager, ñaúûng thöùc (7.28), ñöôïc duøng ôû ñaây nhö laø theá naêng deûo. Ta thay caùc ñaúng thöùc (7.19) vaø (7.34) vaøo caùc ñaúng thöùc (7.29) vaø (7.32), ta nhaän ñöôïc:

τ∂

∂φ−

++

ν−ν+α= f

HJJ2

B3JB

21

1B3G2h p

32

2210 (7.38)

vaø

+δ

ν−ν+α∗

ij2

ijij sJ2

1

21

1G2H (7.39)

382

Tenxô ñoä cöùng deûo Cpijkl ñöôïc bieåu dieãn bôûi ñaúng thöùc (7.31), trong ñoù caùc

tenxô Hij vaø H*ij töông öùng ñöôïc cho bôûi caùc ñaúng thöùc (7.36) vaø (7.39). Roõ raøng,

tenxô ñoä cöùng laø khoâng ñoái xöùng.

Ñeå thöïc thi quan heä öùng suaát−bieán daïng trong chöông trình phaàn töû höõu haïn, toát nhaát laø vieát caùc ñaúng thöùc (7.36) vaø (7.39) moät caùch roõ raøng nhö:

−++++ν−

ν+=2

J3sssBsB

21

1BG2H 22

xz2xy

2xx2xx10xx , … (7.40)

( )[ ]zzyzyzyyxzxy2yz1yz ssssssBsBG2H +++= (7.41)

vaø

+

ν−ν+α=∗

xx2

xx sJ2

1

21

1G2H , … (7.42)

yz

2

yz sJ

GH =∗ , … (7.43)

Hôn nöõa, quan heä öùng suaát−bieán daïng ñöôïc vieát nhö:

d)]C[]C([d p ε+=σ (7.44)

vôùi ( )Txyxzyzzyx d,d,d,d,d,dd τττσσσ=σ

( )Txyxzyzzyx d,d,d,d,d,dd γγγεεε=ε

vaø ]H[]H[h

1]C[ Tp ∗−= (7.45)

trong ñoù

]H,H,H,H,H,H[]H[ xyxzyzzzyyxx= (7.46)

∗∗∗∗∗∗∗ = xyxzyzzzyyxx H,H,H,H,H,H]H[ (7.47)

7.3.5 ÖÙng suaát töông ñöông vaø bieán daïng töông ñöông

Döïa treân haøm ñaët taûi ñöôïc cho bôûi ñaúng thöùc (7.15), öùng suaát töông ñöông τ vaø gia soá bieán daïng töông ñöông dεp ñöôïc ñònh nghóa cho traïng thaùi öùng suaát ña truïc baèng caùch ñöôøng cong τ−εp coù theå ñöôïc ñònh côõ döïa vaøo ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng deûo neùn ñôn truïc.

Trong thí nghieäm neùn ñôn truïc, nghóa laø, (0, 0, −τ), ta coù τ=ρ 3/2 , σm = −τ/3, ρf = ρc, vaø haøm ñaët taûi ruùt goïn thaønh:

383

0k3

2f c =ρ−τ= (7.48)

Baây giôø ta ñònh nghóa öùng suaát töông ñöông τ nhö:

k2

3cρ=τ (7.49)

Nhö theá thì, gia soá bieán daïng deûo töông ñöông töông öùng dεp coù theå ñöôïc ñònh nghóa theo coâng bieán daïng deûo treân ñôn vò theå tích döôùi daïng:

dWp = τdεp (7.50)

Maët khaùc, ta coù:

ij

ijpijijp

gdddW

σ∂∂λσ=εσ= (7.51)

Do ñoù, dεp coù theå thu ñöôïc töø caùc ñaúng thöùc (7.50) vaø (7.51) nhö:

dεp = φdλ (7.52)

vôùi: ijij

g1 σσ∂∂

τ=φ (7.53)

Ñoái vôùi tröôøng hôïp quy luaät chaûy keát hôïp, ta duøng ñaúng thöùc (7.34) cho ∂g/∂σij vaø ñaúng thöùc (7.49) cho τ vaø nhaän ñöôïc:

k3

)JB3JB2IB(2

c

322110

ρ

++=φ (7.54)

Ñoái vôùi tröôøng hôïp quy luaät chaûy khoâng keát hôïp, ta duøng ñaúng thöùc (7.19) cho ∂g/∂σij vaø ñaúng thöùc (7.49) cho τ vaø thu ñöôïc:

k3

)JI(2

c

21

ρ

+α=φ (7.55)

Ñeå tìm bieåu thöùc cho ñaïi löôïng ∂f/∂τ, ta vieát laïi daúng thöùc kieân ñònh (7.24) nhö:

0df

df

df ijij

=ττ∂

∂+σσ∂∂= (7.56)

Chuù yù, trong söï ñaët taûi neùn ñôn truïc, chæ thaønh phaàn öùng suaát khaùc khoâng laø dσ33, vaø theo ñònh nghóa öùng suaát töông ñöông τ, ta coù dτ = −dσ33. Phöông trình (7.56) daãn ñeán:

384

33

ff

σ∂∂=

τ∂∂ (7.57)

Baây giôø ta laáy vi phaân ñaúng thöùc (7.48), chuù yù raèng τ = −σ33, 332 3ρ = − σ , vaø σm = σ33/3, vaø nhaän ñöôïc:

σ

ρ+

σ

ρ+−=

σ∂∂=

τ∂∂

m

c

m

c

33 d

dk

3d

d

3

k

3

2ff (7.58)

7.3.6 Caùc thoâng soá vaø caùc döï ñoaùn moâ hình

Moâ hình chaûy deûo bieán cöùng khoâng ñeàu keát hôïp chaët cheõ nhieàu khía caïnh ñaëc tröng cuûa vaät lieäu beâ toâng, bao goàm phaù huûy gioøn khi keùo, öùng xöû deûo khi neùn, ñoä nhaïy öùng suaát thuûy tónh, vaø söï giaõn nôû theå tích khoâng ñaøn hoài. Do ñoù noù caàn moät soá thí nghieäm ñeå xaùc ñònh caùc haèng soá vaät lieäu. Ñoái vôùi öùng xöû phaù huûy, ta caàn boán hoaëc naêm thí nghieäm söùc beàn ñeå xaùc ñònh caùc haèng soá vaät lieäu trong caùc ñaúng thöùc (7.11) vaø (7.13). Ñoái vôùi öùng xöû bieán cöùng, ta caàn moät thí nghieäm neùn ñôn truïc ñeå ruùt ra ñöôïc ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng ñeán luùc phaù huûy, vaø ta cuõng caàn kieán thöùc toång quaùt veà öùng xöû bieán daïng cuûa beâ toâng ñeå xaùc ñònh heä soá hieäu chænh M(σm,θ). Ñoái vôùi öùng xöû chaûy deûo, ta caàn xaùc ñònh caùc giaù trò ban ñaàu vaø cuoái cuøng cuûa heä soá giaõn nôû α. Daïng cuï theå cuûa M(σm,θ) vaø moät soá giaù trò ñieån hình cuûa α ñaõ ñöôïc ñeà nghò vaø ñöôïc keát hôïp chaët cheõ trong chöông trình maùy tính, EPM1. Ta nhaän thaáy raèng heä soá hieäu chænh khoâng thay ñoåi nhieàu töø loaïi beâ toâng naøy sang loaïi khaùc. Do ñoù, caùc thoâng soá nhaäp vaøo chæ goàm boán haèng soá vaät lieäu cho beà maët phaù huûy vaø moät ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng neùn ñôn truïc.

Do trong phaân tích keát caáu, caùc traïng thaùi öùng suaát khaùc nhau coù theå xaûy ra, söï thöïc hieän moâ hình ñöôïc ñeà nghò neân ñöôïc khaûo saùt chi tieát tröôùc khi noù ñöôïc aùp duïng cho chöông trình tính toaùn phaàn töû höõu haïn baát kyø ñoái vôùi söï phaân tích keát caáu toång quaùt. Moät moâ hình cô baûn toát neân coù theå döï ñoaùn toát moät caùch hôïp lyù ñaùp öùng cuûa vaät lieäu döôùi taát caû caùc toå hôïp öùng suaát coù theå coù. Chöông trình EPM1 ñaõ ñöôïc phaùt trieån vì muïc tieâu naøy. Trong chöông trình naøy, moâ hình Willam−Warnke naêm thoâng soá ñöôïc söû duïng nhö laø beà maët phaù huûy. Chi tieát cuûa chöông trình naøy ñöôïc cho trong saùch tính toaùn cuûa Chen vaø Zhang (1988).

Boán boä keát quaû thí nghieäm ñaõ ñöôïc duøng ñeå so saùnh caùc döõ lieäu thí nghieäm vôùi caùc döï ñoaùn moâ hình. Chuùng bao goàm caùc thí nghieäm song truïc thoâng duïng cuûa Kupfer vaø caùc coäng söï (1969), caùc thí nghieäm neùn ba truïc cuûa Schickert vaø Winkler (1977), caùc thí neùn song truïc vaø ba truïc treân beâ toâng ñoä beàn thaáp (Traina vaø caùc coäng söï, 1983), vaø caùc thí nghieäm ñaët taûi chu kyø cuûa tröôøng ñaïi hoïc

Colorado (Scavuzzo vaø caùc coäng söï, 1983). Caùc keát quaû tieâu bieåu ñöôïc bieåu thò trong caùc hình töø 7.19 ñeán 7.21. Söï phuø hôïp toát noùi chung ñaõ nhaän ñöôïc.

Hình 7.19 So saùnh caùc döï ñoaùn moâ hình vôùi caùc döõ lieäu thí nghieäm vaø caùc coäng söï (1969) ñoái vôùi caùc tröôøng hôïp ñaët taûi neùn song truïc

Hình 7.20 So saùnh caùc döï ñoaùn moâ hình ñoái vôùi ñaët taûi neùn ba truïc vôùi caùc döõ lieäu thí nghieäm cuûa Schickert vaø Winkler (1977)

385

vaø caùc coäng söï, 1983). Caùc keát quaû tieâu bieåu ñöôïc bieåu thò trong caùc hình töø 7.19 ñeán 7.21. Söï phuø hôïp toát noùi chung ñaõ nhaän ñöôïc.

So saùnh caùc döï ñoaùn moâ hình vôùi caùc döõ lieäu thí nghieäm cuûa Kupfer vaø caùc coäng söï (1969) ñoái vôùi caùc tröôøng hôïp ñaët taûi neùn song truïc

So saùnh caùc döï ñoaùn moâ hình ñoái vôùi ñaët taûi neùn ba truïc vôùi caùc döõ lieäu thí nghieäm cuûa Schickert vaø Winkler (1977)

386

Hình 7.21 So saùnh caùc döï ñoaùn moâ hình vaø caùc döõ lieäu thí nghieäm ñoái vôùi ñaët taûi chu kyø trong maët phaúng leäch

σ1 = σ2 >

7.3.6 Toùm taét

Döïa treân thaûo luaän ôû treân, caùc ñaëc tröng cuûa moâ hình chaûy deûo beâ toâng coù theå ñöôïc toång quaùt hoùa nhö sau:

1- Beà maët chaûy ban ñaàu khoâng neân ñöôïc giaû ñònh ñôn giaûn laø coù hình daùng ñöôïc thu nhoû tyû leä töø beà maët phaù huûy,daãn ñeán vuøng chaûy deûo phaân boá ñeàu giöõa beà maët chaûy vaø beà maët phaù huûy. Ñieàu naøy coù theå ñöa ñeán söï ñaùnh giaù bieán daïng deûo khoâng hôïp lyù trong nhöõng tröôøng hôïp ñaët taûi keùo vaø neùn cao. Söï giaû ñònh nhö theá khoâng theå phaûn aùnh caùc ñaëc tröng cuûa beâ toâng, noù öùng xöû hoaøn toaøn khaùc vôùi keùo vaø neùn.

2- Do beà maët chaûy ban ñaàu coù hình daïng khaùc vôùi beà maët phaù huûy, caû kích thöôùc vaø hình daùng cuûa caùc beà maët ñaët taûi keá tieáp phaûi thay ñoåi lieân tuïc suoát quaù trình bieán cöùng töø hình daùng beà maët chaûy ban ñaàu ñeán daïng beà maët phaù huûy cuoái cuøng. Ñaây laø lyù do quy luaät bieán cöùng khoâng ñeàu ñöôïc ñeà nghò thì töông ñoái phöùc taïp. Quy luaät bieán cöùng khoâng ñeàu laø khoâng ñaúng höôùng.

3- Ñeå giaûi thích öùng xöû söï neùn/giaõn nôû theå tích trong quaù trình bieán daïng deûo cuûa beâ toâng, moät quy luaät chaûy khoâng keát hôïp vôùi heä soá giaõn nôû coù theå thay ñoåi ñöôïc ñeà nghò trong vieäc thieát laäp quan heä öùng suaát

7.4 MOÂ HÌNH CHAÛY DEÛO: ÖÙNG XÖÛ BIEÁN MEÀM

ùnh caùc döï ñoaùn moâ hình vaø caùc döõ lieäu thí nghieäm ñoái vôùi ñaët taûi chu kyø trong maët phaúng leäch σm = 6 ksi doïc kinh tuyeán neùn:

> σ3 (θ = 600)

Döïa treân thaûo luaän ôû treân, caùc ñaëc tröng cuûa moâ hình chaûy deûo beâ toâng coù theå

Beà maët chaûy ban ñaàu khoâng neân ñöôïc giaû ñònh ñôn giaûn laø coù hình daùng ñöôïc thu nhoû tyû leä töø beà maët phaù huûy, bôûi vì söï giaû ñònh nhö theá noùi chung seõ daãn ñeán vuøng chaûy deûo phaân boá ñeàu giöõa beà maët chaûy vaø beà maët phaù huûy. Ñieàu naøy coù theå ñöa ñeán söï ñaùnh giaù bieán daïng deûo khoâng hôïp lyù trong nhöõng

neùn cao. Söï giaû ñònh nhö theá khoâng theå phaûn aùnh caùc ñaëc tröng cuûa beâ toâng, noù öùng xöû hoaøn toaøn khaùc vôùi keùo vaø neùn.

Do beà maët chaûy ban ñaàu coù hình daïng khaùc vôùi beà maët phaù huûy, caû kích beà maët ñaët taûi keá tieáp phaûi thay ñoåi lieân tuïc suoát

quaù trình bieán cöùng töø hình daùng beà maët chaûy ban ñaàu ñeán daïng beà maët phaù huûy cuoái cuøng. Ñaây laø lyù do quy luaät bieán cöùng khoâng ñeàu ñöôïc ñeà nghò thì töông

p. Quy luaät bieán cöùng khoâng ñeàu laø khoâng ñaúng höôùng.

Ñeå giaûi thích öùng xöû söï neùn/giaõn nôû theå tích trong quaù trình bieán daïng deûo cuûa beâ toâng, moät quy luaät chaûy khoâng keát hôïp vôùi heä soá giaõn nôû coù theå thay

ñeà nghò trong vieäc thieát laäp quan heä öùng suaát−bieán daïng cuûa beâ toâng.

7.4 MOÂ HÌNH CHAÛY DEÛO: ÖÙNG XÖÛ BIEÁN MEÀM

387

Hình 7.22 Caùc öùng xöû vaät lieäu tieâu bieåu

Nhö ñaõ ñöôïc ñeà caäp trong muïc 7.1, caùc thí nghieäm neùn ñôn truïc leân caùc maãu thöû beâ toâng noùi chung bieåu thò öùng xöû meàm hoùa cuûa vaät lieäu trong mieàn haäu phaù

(a) Vaät raén ñaøn−deûo

(b) Vaät raén nöùt taêng daàn

(c) Vaät raén nöùt deûo

a) Vaät raén ñaøn deûo

b) Vaät raén nöùt

388

huûy. ÖÙng xöû meàm hoùa do bieán daïng, nghóa laø, ñoä doác cuûa ñöôøng cong taûi−bieán daïng aâm, seõ ñöôïc khaûo saùt döôùi ñaây nhö laø ñaëc trung cuûa vaät lieäu vaø seõ ñöôïc xem xeùt bôûi söï thieát laäp bieán daïng deûo khoâng gian bieán daïng. Tröôùc khi thöïc hieän ñieàu naøy, ñaàu tieân ta seõ khaûo saùt vaøi öùng xöû vaät lieäu ñöôïc bieåu thò trong hình 7.22.

7.4.1 Caùc loaïi öùng xöû cuûa vaät lieäu

7.4.1.1 Vaät raén ñaøn deûo Hình 7.22a bieåu thò ñoà thò öùng suaát−bieán daïng cuûa vaät raén bieán cöùng−bieán meàm, trong ñoù caùc ñöôøng caát vaø ñaët taïi laïi theo nhöõng ñöôøng thaúng noù song song vôùi tieáp tuyeán ban ñaàu cuûa ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng, nghóa laø, ñoä doác cuûa ñöôøng caát vaø ñaët taïi laïi khoâng thay ñoåi vôùi bieán daïng deûo. Ñaây laø öùng xöû tieâu bieåu cuûa vaät raén ñaøn−deûo.

7.4.1.2 Vaät raén nöùt vi moâ taêng daàn ÖÙng xöû ñöôïc moâ taû trong muïc tröôùc khoâng laø tröôøng hôïp cuûa nhieàu vaät lieäu kyõ thuaät nhö beâ toâng. Thí duï, moâñun ñaøn hoài hoaëc ñoä cöùng thöôøng giaûm theo söï taêng bieán daïng. Loaïi öùng xöû naøy ñöôïc cho laø do nöùt vi moâ. Do ñoù, treân cöïc khaùc, moâ hình vaät lieäu lyù töôûng, ñöôïc goïi laø vaät raén nöùt vi moâ taêng daàn vaø ñöôïc bieåu thò trong hình 7.22b, ñaõ ñöôïc ñeà nghò bôûi Dougill (1975). Vaät lieäu lyù töôûng naøy laø ñaøn hoài hoaøn toaøn. Luùc caát taûi, vaät lieäu trôû veà traïng thaùi öùng suaát vaø bieán daïng töï do ban ñaàu; khoâng coù bieán daïng dö xaûy ra.

Do öùng xöû suy giaûm ñoä cöùng chuû yeáu laø do nöùt vi moâ, noù khaùc vôùi söï tröôït, hieän töôïng naøy khoâng theå giaøi thích thoûa ñaùng beân trong khuoân khoå chaûy deûo. Baèng caùch nhaän ra söï khaùc nhau giöõa nöùt vi moâ vaø chaûy deûo, Dougill (1975, 1976) ñaõ ñeà nghò moät lyù thuyeát ñöôïc goïi laø lyù thuyeát nöùt vi moâ. YÙ töôûng naøy ñöôïc nhaän thöùc roõ hôn trong vieäc phaùt trieån lyù thuyeát gaàn ñaây ñöôïc goïi laø lyù thuyeát phaù huûy.

7.4.1.3 Vaät raén chaûy deûo nöùt vi moâ

Vaät lieäu bieåu thò caû öùng xöû bieán daïng deûo vaø öùng xöû suy giaûm ñoä cöùng ñöôïc bieåu thò trong hình 7.22c. Beâ toâng thuoäc loaïi naøy, ñaëc bieät trong mieàn bieán meàm cuûa chuùng. Ñeå lyù giaûi caû hai hieän töôïng naøy, moät lyù thuyeát keát hôïp ñöôïc goïi laø lyù thuyeát chaûy deûo−nöùt vi moâ ñaõ ñöôïc ñeà nghò bôûi Bazant vaø Kim (179). Trong lyù thuyeát naøy, bieán daïng deûo ñöôïc ñònh nghóa bôûi lyù thuyeát bieán daïng deûo theo caùch thöùc truyeàn thoáng, trong khi söï suy giaûm ñoä cöùng ñöôïc moâ hình bôûi lyù thuyeát nöùt vi moâ cuûa Dougill. Caùch tieáp caän naøy gaëp phaûi moät vaøi khoù khaên trong vieäc ñònh nghóa tieâu chuaån ñaët taûi, bôûi vì noù bao goàm hai beà maët ñaët

389

taûi−beà maët chaûy ñöôïc ñònh roõ trong khoâng gian öùng suaát vaø beà maët nöùt vi moâ ñöôïc ñònh roõ trong khoâng gian bieán daïng. Ñeå traùnh vaán ñeà naøy, phöông phaùp chaûy deûo khoâng gian bieán daïng coù theå ñöôïc duøng trong vieäc thieát laäp öùng xöû deûo−nöùt vi moâ (Han vaø Chen, 1986). Söï thieát laäp naøy moâ taû daïng thích hôïp cuûa caùc phöông trình cô baûn cho vaät lieäu ñaøn−deûo vôùi söï suy giaûm ñoä cöùng trong mieàn bieán cöùng cuõng nhö trong mieàn bieán meàm.

7.4.1.4 Söï bieán meàm vaø söï thaønh laäp khoâng gian bieán daïng ÖÙng xöû bieán meàm moät chieàu ñöôïc bieåu thò trong hình 7.23 baây giôø ñöôïc toång quaùt hoùa cho traïng thaùi öùng suaát vaø bieán daïng ña chieàu theo caùch thöùc töông töï nhö ñoái vôùi öùng xöû bieán cöùng. Tröôùc tieân ta baøn luaän öùng xöû bieán meàm tronh khoâng gian öùng suaát. Ñieàu naøy roài seõ daãn ñeán vieäc baøn luaän veà söï thieát laäp khoâng gian bieán daïng. Trong söï hình thaønh khoâng gian öùng suaát, traïng thaùi öùng suaát ñöôïc bieåu dieãn bôûi moät ñieåm trong khoâng gian öùng suaát (hình 7.24a). Neáu traïng thaùi A ôû treân beà maët ñaët taûi f = 0 nhöng vaät lieäu vaãn ôû trong mieàn bieán cöùng, gia soá öùng suaát dσ phaûi höôùng ra ngoaøi ñeå taïo ra gia soá bieán daïng chaûy deûo cuõng nhö gia soá bieán daïng ñaøn hoài. Gia soá öùng suaát höôùng vaøo seõ chæ gaây ra gia soá bieán daïng ñaøn hoài. Söï chuyeån ñoäng ra ngoaøi cuûa ñieåm öùng suaát A mang theo noù beà maët chaûy töông öùng vôùi söï bieán cöùng hoaëc nhaùnh ñi leân cuûa ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng ñoái vôùi vieäc gia taêng öùng suaát trong tröôøng hôïp moät chieàu. Maët khaùc, neáu vaät lieäu ôû trong mieàn bieán meàm, bieán daïng deûo gaây ra beà maët chaûy thu nhoû laïi hay di chuyeån vaøo phía trong ôû ñieåm öùng suaát hieän haønh C (hình 7.24a). Söï di chuyeån vaøo phía trong naøy töông öùng vôùi nhaùnh bieán meàm hoaëc nhaùnh suy giaûm cuûa ñöôøng cong öùng suaát−bieán daïng ñoái vôùi söï gia taêng bieán daïng trong tröôøng hôïp moät chieàu. Ñoái vôùi vieäc caát taûi ñaøn hoài, gia soá öùng suaát cuõng höôùng vaøo beân trong töø beà maët ñaët taûi. Do ñoù, söï hình thaønh khoâng gian öùng suaát bieåu thò nhöõng khoù khaên trong vieäc phaân bieät giöõa söï suy giaûm öùng suaát noù gaây ra bieán daïng deûo theâm vaø söï suy giaûm öùng suaát do caát taûi ñaøn hoài.

390

Hình 7.23 Caùc ñaëc ñieåm cuûa öùng xöû bieán meàm

Beà maët ñaët taûi f = 0

Caát taûi

Ñaët taûi bieán cöùng

Caát taûi

Beà maët ñaët taûi F = 0

b)

a)

Caùc ñaëc ñieåm cuûa öùng xöû bieán meàm

Beà maët ñaët taûi f = 0

taûi

Ñaët taûi bieán meàm

Ñaët taûi bieán cöùng

Ñaët taûi bieán meàm

Ñaët taûi bieán cöùng

Beà maët ñaët taûi F = 0

391

Hình 7.24 Caùc maët ñaët taûi trong khoâng gian öùng suaát vaø bieán daïng

Tuy nhieân, khi khaûo saùt ñieåm A vaø ñieåm C trong hình 7.23, gia soá bieán daïng dε luoân döông ñoái vôùi ñaët taûi deûo vaø aâm ñoái vôùi caát taûi ñaøn hoài doïc theo loä trình AG hoaëc CH. Söï toång quaùt hoùa cho tröôøng hôïp nhieàu chieàu ñöôïc bieåu thò trong hình 7.24b, nôi beà maët ñaët taûi F = 0 laø haøm cuûa caùc bieán daïng. Ñoái vôùi ñieåm bieán daïng baát kyø treân beà maët ñaët taûi (thí duï A hoaëc C), gia soá bieán daïng dε höôùng ra phía ngoaøi bieåu dieãn tröôøng hôïp ñaët taûi deûo vaø höôùng vaøo trong bieåu dieãn tröôøng hôïp caát taûi ñaøn hoài. Khoâng coù söï nhaäp nhaèng. Roõ raøng raèng neáu caùc bieán daïng ñöôïc söû duïng nhö laø nhöõng bieán ñoäc laäp trong vieäc hình thaønh quan heä cô baûn deûo, öùng xöû bieán cöùng vaø öùng xöû bieán meàm coù theå ñöôïc nghieân cöùu moät caùch ñoàng thôøi.

Trong muïc naøy, söï baøn luaän ñöôïc lieân quan chæ vôùi caùc kyõ thuaät moâ hình ñoái vôùi caùc öùng xöû vaät lieäu tieâu bieåu ñöôïc bieåu thò trong hình 7.22, hôn laø moâ hình cuï theå cuûa beâ toâng. Daïng toång quaùt cuûa söï hình thaønh khoâng gian bieán daïng cuûa chaûy deûo ñaàu tieân ñöôïc giôùi thieäu ñeå moâ taû öùng xöû cô cô baûn cuûa vaät raén ñaøn−deûo (hình 7.22a). Söï hình thaønh naøy roài ñöôïc môû roäng cho vaät raén bieán daïng deûo−nöùt vi moâ (hình 7.22c). Phöông phaùp moâ hình ñoái vôùi vaät raén nöùt vi moâ taêng daàn (hình 7.22b) seõ khoâng ñöôïc ñeà caäp ôû ñaây, do noù bao goàm nhöõng khaùi nieäm cuûa lyù thuyeát phaù huûy, ñieàu naøy thì ngoaøi phaïm vi cuûa taøi lieäu naøy.

7.4.2 Söï hình thaønh chaûy deûo trong khoâng gian bieán daïng

Söï hình thaønh chaûy deûo trong khoâng gian bieán daïng ñaõ ñöôïc baøn luaän trong taøi lieäu cuûa Naghdi vaø Trapp, 1975; Yoder vaø Iwan, 1981; Qu vaø Yin, 1981; Casey vaø Naghdi, 1983. Söï hình thaønh sau ñaây ñöôïc döïa treân tieâu chuaån oån ñònh yeáu noù giaûm nheï caùc yeâu caàu cuûa caùc ñònh ñeà oån ñònh cuûa Drucker vaø cho pheùp ñoái caùc öùng xöû khoâng oån ñònh. Ta coù theå thaáy raèng nhieàu ñaëc tính quen thuoäc cuûa chaûy deûo trong khoâng gian öùng suaát coù theå ñöôïc mang sang vieäc hình thaønh khoâng gian bieán daïng.

7.4.2.1 Caùc quan heä cô baûn

Haõy xem xeùt ñoà thò öùng suaát−bieán daïng ñieån hình ñöôïc bieåu thò trong hình 7.25. Trong söï thieát laäp truyeàn thoáng cuûa chaûy deûo, caùc öùng suaát ñoùng vai troø caùc bieán ñoäc laäp. Bieán daïng toång ñöôïc tìm thaáy baèng caùch coäng bieán daïng ñaøn, e

ijε ,

noù seõ phaùt sinh töø öùng suaát ñaõ cho, vôùi bieán daïng deûo, pijε , nhö ñöôïc chæ roõ trong

hình 7.25. Do ñoù,

pij

eijij ε+ε=ε (7.59)

392

Moät caùch tieáp caän khaùc seõ laáy caùch bieán daïng nhö laø caùc bieán ñoäc laäp trong vieäc moâ taû traïng thaùi vaät lieäu. Ñeå tìm öùng suaát, tröôùc tieân ta coù theå tính öùng suaát ñaøn hoài, ñöôïc kyù hieäu bôûi e

ijσ , noù laø ñaùp öùng ñaøn hoài cuû

εij, vaø roài tröø ñaïi löôïng, pijσ , öùng suaát ñaõ ñöôïc nôùi loûng do aûnh höôûng chaûy deûo

hình 7.25):

pij

eijij σ−σ=σ

Ñaùp öùng ñaøn hoài eijσ ñöôïc lieân heä vôùi bieán daïng toång

ñöôïc toång quaùt hoùa nhö:

ll kijk

eij C ε=σ

Hình 7.25 Ñoà thò thieát laäp chaûy deûo döïa treân ñònh ñeà cuûa Il’yushin

ôû ñaây Cijkl laø tenxô ñaúng höôùng cuûa caùc moâñun ñaøn hoài. Noù coù daïng, trong daïng chæ soá thöôøng duøng,

kijijk )21)(1(

EC δδ

ν−ν+ν=

l

ÖÙng suaát nôùi loûng do aûnh höôûng deûo,

ñaúng thöùc töông töï nhö (7.61):

pkijk

pij C

llε=σ

Moät caùch tieáp caän khaùc seõ laáy caùch bieán daïng nhö laø caùc bieán ñoäc laäp trong vieäc moâ taû traïng thaùi vaät lieäu. Ñeå tìm öùng suaát, tröôùc tieân ta coù theå tính öùng suaát

, noù laø ñaùp öùng ñaøn hoài cuûa bieán daïng hieän haønh,

, öùng suaát ñaõ ñöôïc nôùi loûng do aûnh höôûng chaûy deûo

(7.60)

ñöôïc lieân heä vôùi bieán daïng toång εij bôûi ñònh luaät Hooke

(7.61)

Ñoà thò thieát laäp chaûy deûo döïa treân ñònh ñeà cuûa Il’yushin

laø tenxô ñaúng höôùng cuûa caùc moâñun ñaøn hoài. Noù coù daïng, trong daïng

jkijikk )1(2

E δδ+δδν+

+lll

(7.62)

ÖÙng suaát nôùi loûng do aûnh höôûng deûo, pijσ , ñöôïc lieân heä vôùi bieán daïng deûo p

ijε bôûi

(7.63)

393

Trong ñaúng thöùc (7.59), bieán daïng eijε laø ñaùp öùng ñaøn hoài öùng vôùi öùng suaát toång

σij vaø do ñoù coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö:

ll kijk

eij D σ=ε (7.64)

vôùi tenxô ñoä meàm ñaøn hoài Dijkl laø nghòch ñaûo cuûa Cijkl vaø coù daïng:

)(E2

)1(

ED jkiiikkijijk δδ+δδν++δδν−=

llll (7.65)

Caùc quan heä cuûa caùc ñaïi löôïng e p e pij ij ij ij ij, , , ,σ σ σ ε ε ñöôïc bieåu thò baèng ñoà thò treân

hình 7.25 ñoái vôùi tröôøng hôïp moät chieàu vaø ñöôïc toùm taét trong hai phöông trình sau ñaây:

pijkijk

pij

eijij C σ−ε=σ−σ=σ

ll (7.66)

pijkijk

pij

eijij D ε+σ=ε+ε=ε

ll (7.67)

7.4.2.2 Maët ñaët taûi trong khoâng gian bieán daïng vaø quy luaät chaûy

Trong söï thieát laäp khoâng gian bieán daïng, ta caàn yeâu caàu raèng beà maët ñaët taûi trong khoâng gian bieán daïng ñöôïc ñònh nghóa nhö laø traïng thaùi bieán daïng töùc thôøi luoân naèm trong hoaëc treân beà maët naøy vaø söï nôùi loûng öùng suaát chæ xaûy ra neáu bieán daïng naèm treân beà maët vaø neáu gia soá bieán daïng ñöôïc höôùng ra ngoaøi beà maët. Beà maët naøy coù theå traûi qua söï tònh tieán vaø/hoaëc xoay. Nhö ñoái vôùi beà maët ñaët taûi trong khoâng gian öùng suaát (xem chöông 5), ta coù theå giaû ñònh raèng haøm ñaët taûi F coù daïng nhö sau:

( ) 0k,,F pijij =εε (7.68)

trong ñoù εij laø tenxô cuûa bieán daïng hieän haønh, pijε laø tenxô cuûa bieán daïng deûo

(hình 7.25), vaø k laø thoâng soá bieåu thò lòch söû ñaët taûi, noù coù theå ñöôïc laáy nhö laø coâng chaûy deûo Wp (hình 7.25) hay bieán daïng deûo tích luõy εp. Beà maët ñöôïc cho bôûi ñaúng thöùc (7.68) cuõng ñöôïc goïi laø beà maët nôùi loûng (Yoder vaø Iwan, 1981) do chæ khi traïng thaùi bieán daïng naèm treân beà maët naøy thì khaû naêng nôùi loûng öùng suaát, noù ñi cuøng vôùi bieán daïng deûo môùi xaûy ra.

Vôùi haøm ñaët taûi F ñaõ bieát, tieâu chuaån ñaët taûi coù theå ñöôïc cho nhö sau:

394

0d,taûiñaët,0dF

vaø0FNeáu

0d,hoøatrungtaûiñaët,0dF

vaø0FNeáu

0d,taûicaát,0dF

vaø0FNeáu

pijij

ij

pijij

ij

pijij

ij

≠σ>εε∂

∂=

=σ=εε∂

∂=

=σ<εε∂

∂=

(7.69)

Trong tröôøng hôïp ñaët taûi ba chieàu, caàn gaùn moät höôùng cho gia soá nôùi loûng öùng suaát, p

ijdσ .

Baây giôø khaûo saùt chu trình kín cuûa bieán daïng A−B−C nhö ñöôïc minh hoïa trong hình 7.25. Trong tröôøng hôïp ñaët taûi ba chieàu, chu trình bieán daïng naøy töông öùng vôùi loä trình bieán daïng trong ñoù bieán daïng di chuyeån ra ngoaøi beà maët nôùi loûng, taêng leân, vaø roài trôû laïi traïng thaùi goác. Ñònh ñeà Il’ yushin phaùt bieåu raèng ngoaïi coâng trong chu trình kín cuûa bieán daïng cuûa vaät lieäu ñaøn−deûo laø khoâng aâm, nghóa laø, coâng döông neáu bieán daïng deûo, vaø do ñoù söï nôùi loûng öùng suaát, xaûy ra vaø noù baèng zero neáu chæ coù bieán daïng ñaøn hoài xaûy ra. Dieän tích ñöôïc toâ ñaäm trong hình 7.25, dW, bieåu dieãn coâng ñöôïc thöïc hieän trong chu trình bieán daïng A−B−C. Theo ñònh ñeà Il’ yushin, ta coù:

0dd][dW ijpij ≥εσ= ∫ (7.70)

töø ñoù quy luaät phaùp tuyeán hay quy luaät chaûy theo:

ij

pij

Fdd

ε∂∂λ=σ (7.71)

ôû ñaây dλ laø soá voâ höôùng lôùn hôn khoâng. Quy luaät phaùp tuyeán ñoái vôùi vaät lieäu caëp ñoâi ñaøn deûo cuõng ñaõ ñöôïc ñeà caäp bôûi Dafalias (1977a, b) vaø Yin vaø Qu (1982).

Lieân heä vôùi tieâu chuaån ñaët taûi (7.69), ta coù theå giaû ñònh:

l

l

kk

dF

h

1

h

Fd ε

ε∂∂=∂=λ (7.72)

trong ñoù

l

l

kk

Pijij

pijijij d

F)k,,(F)k,,d(FF ε

ε∂∂=εε−εε+ε=∂ (7.72a)

vaø h laø soá voâ höôùng lôùn hôn khoâng. Theá roài gia soá nôùi loûng öùng suaát pijdσ ñöôïc

bieåu dieãn nhö:

395

l

l

kkij

pij d

FF

h

1d ε

ε∂∂

ε∂∂=σ (7.73)

7.4.2.3 Caùc quan heä öùng xöû vi phaân

Caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng gia soá baây giôø thu ñöôïc tröïc tieáp baèng caùch thay ñaúng thöùc (7.73) vaøo daïng gia soá cuûa ñaúng thöùc (7.66):

l

l

l kkij

ijkij dFF

h

1Cd ε

ε∂∂

ε∂∂−σ (7.74)

Nhö coù theå ñöôïc thaáy, chaûy deûo khoâng gian bieán daïng ñöa ñeán tenxô ñoä cöùng moät caùch tröïc tieáp theo traïng thaùi bieán daïng, vaø tenxô ñoä cöùng tieáp tuyeán baây giôø ñöôïc bieåu dieãn bôûi:

l

llll

kijijk

pijkijk

epijk

FF

h

1CCCC

ε∂∂

ε∂∂−=+= (7.75)

Ñeå tìm tenxô ñoä meàm, ta coù theå nhaân ñaúng thöùc (7.74) vôùi (∂F/∂εmn)Dmnij:

ε

ε∂∂

ε∂∂

ε∂∂−ε

ε∂∂=σ

ε∂∂

l

l

ll kkij

mnijmn

kijkmnijmn

ijmnijmn

dF

h

1FD

FdCD

FdD

F (7.76)

Thay theá ñaúng thöùc (7.72) vaøo veá phaûi cuûa ñaúng thöùc (7.76) vaø roài giaûi ñoái vôùi dλ, ta thu ñöôïc:

rs

FD

Fh

dDF

d

mnrsmn

kpqkpq

ε∂∂

ε∂∂

+

σε∂∂

=λll

(7.77)

Nghòch ñaûo ñaúng thöùc (7.63), thay theá noù vaøo ñaúng thöùc (7.67), vaø vieát keát quaû döôùi daïng gia soá, ta thu ñöôïc:

ptuijtukijk

pij

eijij dDdDddd σ+σ=ε+ε=ε

ll (7.78)

Baèng caùch duøng quy luaät nôùi loûng (7.71) trong ñaúng thöùc (7.78) vaø thay theá ñaúng thöùc (7.77) ñoái vôùi dλ daãn ñeán daïng caùc quan heä cô baûn nhö sau:

l

l

l k

rsmnrs

mn

pqkpqtu

ijtu

ijkij dF

DF

h

DFF

D

Dd σ

ε∂∂

ε∂∂

+

ε∂∂

ε∂∂

+ε (7.79)

396

Bieåu thöùc trong daáu ngoaëc ñôn bieåu dieãn tenxô ñoä meàm.

Caùc phöông trình (7.74) vaø (7.79) laø caùc quan heä cô baûn gia soá toång quaùt ñoái vôùi vaät raén ñaøn deûo vôùi haøm ñaët taûi F trong khoâng gian bieán daïng. Caùc phöông trình naøy thích hôïp cho caû mieàn bieán cöùng vaø bieán meàm nhöng noù khoâng ñöôïc ñònh nghóa trong tröôøng hôïp chaûy deûo hoaøn toaøn. Cho ñeán baây giôø, thoâng soá voâ höôùng h hoaëc dλ chöa ñöôïc xaùc ñònh. Vieäc naøy ñöôïc cung caáp trong phaàn döôùi ñaây.

7.4.2.4 Ñieàu kieän kieân ñònh

Vôùi beà maët ñaët taûi ñöôïc ñònh nghóa bôûi ñaúng thöùc (7.68), soá voâ höôùng h hoaëc dλ coù theå ñöôïc xaùc ñònh töø ñieàu kieän kieân ñònh, noù phaùt bieåu raèng trong quaù trình nôùi loûng öùng suaát, moãi gia soá bieán daïng daãn daét töø moät traïng thaùi bieán daïng deûo ñeán moät traïng thaùi bieán daïng deûo khaùc. Ñaúng thöùc (7.68) giöõ vöõng tröôùc vaø sau gia soá bieán daïng. Vi phaân ñaúng thöùc (7.68) taïo ra:

0dk

k

Fd

Fd

FdF p

ijpij

pijp

ij

ijij

=εε∂

∂∂∂

+εε∂

∂+ε

ε∂∂

= (7.80)

Nghòch ñaûo daïng gia soá cuûa ñaúng thöùc (7.63) vaø goïi laïi ñaúng thöùc (7.71), ta coù theå bieåu dieãn p

ijdε theo dλ vaø roài giaûi ñaúng thöùc ñoái vôùi dλ:

ijij

dF

h

1d ε

ε∂∂=λ (7.81)

trong ñoù:

pq

mnpqpmnpq

mnpqpmn

FD

k

k

FFD

Fh

ε∂∂

ε∂∂

∂∂−

ε∂∂

ε∂∂= (7.82)

Ta thaáy raèng h döïa vaøo quy luaät phaùt trieån cuûa beà maët chaûy trong khoâng gian bieán daïng. Ngay khi daïng haøm cuûa F ñöôïc cho, thoâng soá h hoaëc dλ coù theå ñöôïc xaùc ñònh.

Nhö coù theå ñöôïc thaáy, nguoàn goác cuûa caùc quan heä öùng suaát−bieán daïng trong khoâng gian bieán daïng thì töông töï nhö trong khoâng gian öùng suaát (xem muïc 5.7). Söï töông öùng giöõa caùc thieát laäp khoâng gian öùng suaát vaø khoâng gian bieán daïng ñöôïc bieåu thò trong baûng 7.4.

7.4.3 Söï thieát laäp chaûy deûo−−−−nöùt vi moâ trong khoâng gian bieán daïng

397

Daïng kieân ñònh cuûa quan heä cô baûn ñoái vôùi vaät lieäu chaûy deûo−nöùt vi moâ trong caùc mieàn bieán cöùng cuõng nhö bieán meàm ñöôïc cho trong muïc naøy.

7.4.3.1 Caùc moái quan heä cô baûn

Khaûo saùt ñoà thò öùng suaát−bieán daïng ñieån hình ñöôïc bieåu thò trong hình 7.26. Gia soá öùng suaát ñöôïc giaû söû goàm coù ba thaønh phaàn:

fij

pij

eijij dddd σ−σ−σ=σ (7.83)

trong ñoù eijdσ laø ñaùp öùng ñaøn hoài öùng vôùi gia soá bieán daïng toång, dεij,

ll kijk

eij dCd ε=σ (7.84)

vaø pijdσ laø gia soá öùng suaát nôùi loûng trong quan heä vôùi gia soá bieán daïng deûo,

pijdε ,

pkijk

pij dCd

llε=σ (7.85)

trong khi fijdσ laø gia soá öùng suaát nôùi loûng do söï giaûm suùt ñoä cöùng (hình 7.26a)

vaø ñöôïc lieân heä vôùi gia soá bieán daïng nöùt, fijdε f

ijdε , nhö: fkijk

fij dCd

llε=σ (7.86)

Trong caùc ñaúng thöùc (7.84) ñeán (7.86), Cijkl laø tenxô cuûa caùc moâñun ñaøn hoài hieän haønh.

Baûng 7.4 Söï thieát laäp chaûy deûo khoâng gian öùng suaát vaø bieán daïng

Khoâng gian öùng suaát Khoâng gian bieán daïng Caùc bieán ñoäc laäp Caùc bieán ñöôïc xaùc ñònh Ñònh luaät Hooke Moái quan heä cô baûn Haøm chaûy Tieâu chuaån ñaët taûi Ñònh ñeà vaø quy luaät phaùp

tuyeán Tính tuyeán tính

σij e p

ij ij ijε = ε + ε e p

ij ij ijd d dε = ε + ε eij ijk kDε = σ

l l

pij ijk k ijd D d dε = σ + ε

l l

( )pij ijf , , k 0σ ε =

ijij

ff 0 vaø d 0

∂= σ >

∂σ

Ñònh ñeà Drucker p

ij ijd d 0σ ε ≥∫

pij

ij

fd d

∂ε = λ

∂σ

εij e p

ij ij ijσ = σ − σ e p

ij ij ijd d dσ = σ − σ eij ijk kCσ = ε

l l

pij ijk k ijd C d dσ = ε − σ

l l

( )pij ijF , , k 0ε ε =

ijij

FF 0 vaø d 0

∂= ε >

∂ε

Ñònh ñeà Il’yushin pij ijd d 0σ ε ≥∫

pij

ij

Fd d

∂σ = λ

∂ε

398

Caùc quan heä cô baûn: Tenxô ñoä cöùng ep

ijkCl

Tenxô ñoä meàm, ep

ijkDl

pij k

ij k

1 f fd d

∂ ∂ε = σ

κ ∂σ ∂σ l

l

kk

f 1 fd d

∂ ∂λ = = σ

κ κ ∂σ l

l

ijtu pqktu pq

ijk

mnrsmn rs

f fC C

Cf f

D

∂ ∂∂σ ∂σ

−∂ ∂κ +

∂σ ∂σ

l

l

ijkij k

1 f fD

∂ ∂+

κ ∂σ ∂σl

l

pij k

ij k

1 F Fd d

h∂ ∂

σ = ε∂ε ∂ε l

l

kk

F 1 Fd d

h h∂ ∂

λ = = ε∂ε l

l

ijkij k

1 F FC

h∂ ∂

−∂ε ∂εl

l

ijtu pqktu pq

ijk

mnrsmn rs

F FD D

DF F

h D

∂ ∂∂ε ∂ε

+∂ ∂+

∂ε ∂ε

l

l

Ta coù theå ñònh nghóa theâm gia soá bieán daïng ñaøn hoài, eijdε , nhö laø ñaùp öùng ñaøn

hoài öùng vôùi gia soá öùng suaát toång, dσij, nghóa laø,

ll kijk

eij dDd σ=ε (7.87)

trong ñoù Dijkl laø tenxô ñoä meàm hieän haønh, töùc laø, nghòch ñaûo cuûa tenxô Cijkl.

399

Hình 7.26 Moâ taû ñoà thò söï hình thaønh toå hôïp a) Caùc gia soá öùng suaát vaø bieán daïng; b) Gia soá coâng chaûy deûo−nöùt vi moâ

Giaûi dσij töø ñaúng thöùc (7.87) vaø thay theá noù cuøng vôùi caùc ñaúng thöùc (7.84) ñeán (7.86) vaøo ñaúng thöùc (7.83), ta thaáy ñöôïc quan heä cho caùc gia soá bieán daïng

fij

pij

eijij dvaød,d,d εεεε :

fij

pij

eijij dddd ε+ε+ε=ε (7.88)

noù nguï yù raèng gia soá bieán daïng toång dεij goàm coù ba phaàn: gia soá bieán daïng ñaøn, eijdε , noù coù theå hoài phuïc; gia soá bieán daïng deûo, p

ijdε , noù laø gia soá bieán daïng vónh

a)

b)

400

cöûu; vaø gia soá bieán daïng nöùt vi moâ, fijdε , noù coù theå hoài phuïc chæ khi öùng suaát

ñöôïc caát boû hoaøn toaøn.

Traùi vôùi caùc bieán daïng gia soá, neân chuù yù raèng bieán daïng toång εij goàm chæ coù hai phaàn: p

ijε , bieán daïng deûo (vónh cöûu), vaø eijε , bieán daïng hoài phuïc hoaëc bieán daïng

ñaøn hoài; nghóa laø,

pij

eijij ε+ε=ε (7.89)

vaø bieán daïng ñaøn eijε ñöôïc lieân heä vôùi bieán daïng toång σij bôûi tenxô caùc moâñun

ñaøn hoài hieän haønh:

ekijkij Cll

ε=σ (7.90)

7.4.3.2 Maët nôùi loûng vaø quy luaät chaûy

Trong taøi lieäu naøy, ta seõ giaû ñònh beà maët nôùi loûng trong khoâng gian bieán daïng coù daïng töông töï vôùi daïng cuûa ñaúng thöùc (7.68), nhöng thoâng soá k ñöôïc thay theá bôõi Wpf:

( ) 0W,,F pfpijij =εε (7.91)

ôû ñaây Wpf laø coâng chaûy deûo−nöùt vi moâ, noù laø söï tieâu hao naêng löôïng toång trong quaù trình ñaët taûi vaø caát taûi (hình 7.26b). Beà maët nôùi loûng cuõng laø beà maët ñaët taûi do chæ khi traïng thaùi bieán daïng naèm treân beà maët naøy thì noù môùi coù khaû naêng laøm cho söï nôùi loûng öùng suaát, noù ñi cuøng vôùi bieán daïng deûo cuõng nhö söï suùt giaûm ñoä cöùng, xaûy ra. Do ñoù, ta coù tieâu chuaån ñaët taûi sau ñaây:

0d,taûiñaët,0dF

vaø0FNeáu

0d,hoøatrungtaûiñaët,0dF

vaø0FNeáu

0d,taûicaát,0dF

vaø0FNeáu

pfijij

ij

pfijij

ij

pfijij

ij

≠σ>εε∂

∂=

=σ=εε∂

∂=

=σ<εε∂

∂=

(7.92)

ôû ñaây pfijdσ laø öùng suaát nôùi loûng gia soá, baèng vôùi toång cuûa gia soá öùng suaát deûo,

pijdσ , vaø gia soá öùng suaát nöùt, f

ijdσ fijdσ , nghóa laø,

fij

pij

pfij ddd σ+σ=σ (7.93)

401

Ñònh ñeà Il’yushin yeâu caàu raèng coâng ñöôïc thöïc hieän trong chu trình bieán daïng, dW, khoâng aâm. Trong hình 7.26a, dW ñöôïc bieåu thò bôûi dieän tích toâ ñaäm. Do ñoù, ta coù:

0dd][dW ijpfij ≥εσ= ∫ (7.94)

trong ñoù quy luaät phaùp tuyeán (hoaëc quy luaät chaûy) ñöôïc dieãn taû nhö:

ij

pfij

Fdd

ε∂∂λ=σ (7.95)

Quy luaät phaùp tuyeán ñoái vôùi vaät lieäu caëp ñoâi ñaøn−deûo ñaõ ñöôïc ñeà caäp bôûi Dafalias (1977b) vaø Yin vaø Qu (1982).

7.4.3.3 Suaát tieâu hao naêng löôïng vaø söï phaân chia cuûa fijdσ

Theo ñònh nghóa, suaát tieâu hao naêng löôïng treân moät ñôn vò theå tích, D = dWpf, ñoái vôùi vaät raén chaûy deûo−nöùt vi moâ goàm hai phaàn: moät laø do bieán daïng deûo, vaø phaàn coøn laïi laø do söï suy giaûm ñoä cöùng. Do ñoù ta coù:

ek

eijijk

pijij

pf dC2

1ddWD

llεε−εσ== (7.96)

Do caùc quan heä cô baûn (7.85) vaø (7.90), soá haïng ñaàu tieân cuûa ñaúng thöùc (7.96) coù theå ñöôïc vieát laïi theo thaønh phaàn öùng suaát deûo p

ijdσ vaø bieán daïng ñaøn eijε nhö

pij

eijdσε . [Moái quan heä naøy coù theå ñöôïc thaáy deã daøng baèng caùch nhaân ñaúng thöùc

(7.85) vôùi eijε vaø duøng ñaúng thöùc (7.90)]. Hôn nöõa, chuù yù raèng thaønh phaàn öùng

suaát nöùt, fijdσ , phuï thuoäc vaøo söï suy giaûm ñoä cöùng nhö:

ekijk

fij dCd

llε=σ (7.97)

soá haïng thöù hai cuûa ñaúng thöùc (7.96) coù theå ñöôïc bieåu dieãn theo fijdσ nhö

eij

fijd

2

1 εσ vaø ñaúng thöùc (7.96) trôû thaønh:

σ+σε== f

ijpij

eij

pf d2

1ddWD (7.98)

Thöïc teá, ñaïi löôïng naøy dieãn taû dieän tích toâ ñaäm cuûa hình 7.26b. Ta coù theå giaû söû raèng tenxô ñoä cöùng ñaøn hoài Cijkl laø haøm cuûa coâng chaûy deûo−nöùt vi moâ, Wpf, nghóa laø,

)W(CC pfijkijk ll

= (7.99)

402

Theá thì suaát suy giaûm ñoä cöùng coù theå ñöôïc bieåu dieãn nhö:

pf

ijk,

ijkdW

dCC

l

l= (7.100)

Chuù yù ñònh nghóa veà suaát tieâu hao naêng löôïng cuûa ñaúng thöùc (7.98), ta thu ñöôïc söï suy giaûm ñoä cöùng dCijkl nhö:

σ+σε== f

mnpmn

emn

,

ijkpf

pf

ijkijk d

2

1dCdW

dW

dCdC

l

l

l (7.101)

Thay theá ñaúng thöùc (7.101) vaøo ñaúng thöùc (7.97) daãn ñeán:

σ+σεε−=σ f

mnpmn

emn

ek

,

ijkfij d

2

1dCd

ll (7.102)

Sau moät vaøi thao taùc tenxô cuûa ñaúng thöùc (7.102), quan heä giöõa gia soá öùng suaát nöùt f

ijdσ vaø gia soá öùng suaát deûo toång ptijdσ coù theå thu ñöôïc döôùi daïng:

fk

fijk

fij dTd

llσ=σ (7.103)

ôû ñaây fijkT

l coù theå ñöôïc xem nhö tenxô bieán ñoåi vaø ñöôïc bieåu dieãn bôûi:

ll mnkijmn

fijk NMT = (7.104)

trong ñoù tenxô Mijmn laø nghòch ñaûo cuûa tenxô ijmnM vaø

emn

epq

,

ijpqinimimn C2

1M εε−δδ= (7.105)

trong khi Nmnkl ñöôïc ñònh nghóa nhö:

ek

epq

,

mnpqmnk CNll

εε−= (7.106)

Töø ñaúng thöùc (7.93), pijdσ coù theå ñöôïc lieân heä vôùi pf

ijdσ bôûi:

pfk

pijk

pij dTd

llσ=σ (7.107)

ôû ñaây:

fijkjik

pijk TT

lll−δδ=

Do ñoù, hai thaønh phaàn öùng suaát pijdσ vaø f

ijdσ coù theå ñöôïc xaùc ñònh töø söï nôùi loûng

öùng suaát toång pfijdσ bôûi caùc ñaúng thöùc (7.107) vaø (7.103), töø ñoù suaát suy giaûm ñoä

cöùng, ,

ijkCl, ñöôïc xaùc ñònh.

403

7.4.3.4 Quan heä cô baûn

Ngay khi caùc moái quan heä giöõa caùc gia soá öùng suaát pijdσ , f

ijdσ vaø gia soá toång pfijdσ ñaõ ñöôïc thieát laäp, voâ höôùng dλ trong ñaúng thöùc (7.95) coù theå thu ñöôïc töø

ñieàu kieän kieân ñònh theo caùch thöùc thoâng thöôøng. ÔÛ ñaây, nhö trong ñaúng thöùc (7.81), dλ coù daïng:

ijij

dF

h

1d ε

ε∂∂=λ (7.108)

nhöng haøm voâ höôùng h coù daïng khaùc:

ε∂∂

+ε

∂∂+

ε∂∂

ε∂∂−=

l

ll

l

l

k

fmnk

pmnk

emnpf

k

pmnkijmnp

ij

FT

2

1T

W

FFTD

Fh (7.109)

Thay theá ñaúng thöùc (7.108) vaøo (7.95), goïi laïi:

pfij

eijij ddd σ−σ=σ

vaø chuù yù raèng:

ll kijk

eij dCd ε=σ

ta thu ñöôïc phöông trình cô baûn ñoái vôùi vaät raén chaûy deûo−nöùt vi moâ

ε∂∂

ε∂∂−=σ

l

l

kijijkij

FF

h

1Cd (7.110)

noù coù cuøng daïng nhö ñaúng thöùc (7.74).

Söï thieát laäp toång quaùt ñöôïc ñöa ra ôû treân coù hieäu löïc cho toaøn boä mieàn caùc ñieàu kieän ñaët taûi (bieán cöùng vaø bieán meàm) vaø thích hôïp cho vieäc moâ hình öùng xöû öùng suaát−bieán daïng cuûa caùc vaät lieäu vôùi söï caëp ñoâi ñaøn deûo.

7.4.4 Caùc nhaän xeùt veà moâ hình bieán meàm cuûa vaät lieäu beâ toâng

ÖÙng xöû bieán daïng deûo (khoâng hoài phuïc) ñöôïc caëp ñoâi vôùi söï suy giaûm ñaøn hoài thöôøng ñöôïc khaûo saùt cho vaät lieäu beâ toâng trong mieàn haäu phaù huûy. Phöông phaùp keát hôïp lyù thuyeát deûo vôùi lyù thuyeát phaù huûy (nöùt vi moâ) trong vieäc moâ hình öùng xöû nhö theá laø hôïp lyù vaø chaáp nhaän ñöôïc. Söï hình thaønh khoâng gian bieán daïng ñaõ cung caáp caùch thöùc ñeå toå hôïp hai lyù thuyeát naøy moät caùch chaët cheõ.

404

Ñeå thieát laäp moâ hình giaûi tích cho vaät lieäu thöïc nhö beâ toâng, hai haøm phaûi ñöôïc ñònh nghóa: (1) haøm ñaët taûi (haøm nôùi loûng), F, trong khoâng gian bieán daïng; (2) suaát cuûa tenxô suy giaûm ñoä cöùng C’ijkl nhö laø haøm cuûa söï tieâu taùn naêng löôïng Wpf. Haøm nôùi loûng ban ñaàu moâ taû taát caû caùc traïng thaùi bieán daïng coù theå ôû ñoù bieán daïng deûo vaø söï suy giaûm ñaøn hoài baét ñaàu xaûy ra. Haøm naøy thay ñoåi vôùi söï gia taêng bieán daïng deûo vaø söï tieán trieån cuûa phaù huûy. Do caùc döõ lieäu thí nghieäm ñoái vôùi beâ toâng trong mieàn bieán meàm khoâng ñuû, söï ñònh nghóa roõ raøng haøm nôùi loûng cho beâ toâng laø khoù khaên luùc naøy. Suaát suy giaûm ñoä cöùng C’ijkl vôùi 21 thaønh phaàn, noùi chung, laø coøn khoù ñònh nghóa hôn. Tuy nhieân, do öùng xöû suy giaûm ñoä cöùng noùi chung ñöôïc quy vaøo moät vaøi loaïi phaù huûy vaät lieäu, lyù thuyeát phaù huûy lieân tuïc coá gaéng tieáp caän vaán ñeà naøy döïa treân caùc nguyeân lyù cô hoïc moâi tröôøng lieân tuïc. Vieäc naøy hieän vaãn ñang phaùt trieån cho vaät lieäu beâ toâng. Vôùi söï thaønh coâng cuûa lyù thuyeát naøy vaø vieäc coù theå coù ñöôïc nhieàu hôn caùc döõ lieäu thí nghieäm sau naøy, öùng xöû bieán meàm vó moâ cuûa beâ toâng seõ ñöôïc moâ taû toát hôn.

Caùc moâ hình chaûy deûo−nöùt vi moâ cho öùng xöû bieán meàm ñaõ ñöôïc pheâ bình raèng moái quan heä öùng suaát−bieán daïng trong mieàn bieán meàm chæ laø moät ñaëc tính danh nghóa. Thöïc ra trong mieàn haäu phaù huûy, söï taäp trung bieán daïng thöôøng xaûy ra. Nhaùnh suy giaûm cuûa ñöôøng cong taûi−bieán daïng khoâng theå ñöôïc hieåu nhö söï bieán meàm do bieán daïng cuûa vaät lieäu. Tuy nhieân, neáu caùc thay ñoåi keát caáu trong vaät lieäu ñöôïc khaûo saùt bôûi moät vaøi caùch thöùc (thí duï, moâ hình cuûa Frantziskonis vaø Desai, 1987), söï moâ taû lieân tuïc cuûa quan heä öùng suaát−bieán daïng bieán meàm laø chaáp nhaän ñöôïc.

405

PHUÏ LUÏC: CAÙC THOÂNG SOÁ VAØ CAÙC HEÄ SOÁ COÙ LIEÂN QUAN ÑEÁN MOÂ HÌNH CHAÛY DEÛO CUÛA VAÄT LIEÄU BEÂ TOÂNG

A.1 Heä soá hình daùng vaø heä soá hieäu chænh

A.1.1 Heä soá hình daùng cuûa maët ñaët taûi

Ñeå ñaùp öùng caùc yeâu caàu hình daùng cô baûn cho beà maët chaûy treân maët phaúng kinh tuyeán, ta choïn caùc haøm sau ñaây cho heä soá hình daùng k:

σ>ξσξ≥σ>ξξ≥σ>ξσ

ξ>σ

=

mkm2

kmc0

cmtm1

tm

)(k

k

)(k

1

k (A.1)

Haøm k1(σm) ñöôïc giaû ñònh coù daïng baäc hai cuûa σm, thoûa ba ñieàu kieän sau ñaây: ôû σm = ξt, k1 = 1 vaø ôû σm = ξc, k1 = k0 vaø dk1/dσm = 0, töø ñoù ta thu ñöôïc:

[ ]2

tc

2mmctct0

m1)(

22()k1(1)(k

ξ−ξ

σ+σξ−ξ+ξ−ξ−−+=σ (A.2)

Töông töï, k2(σm) cuõng ñöôïc giaû ñònh coù daïng baäc hai cuûa σm, thoûa caùc ñieàu kieän: ôû σm = ξk, k2 = k0 vaø dk2/dσm = 0, vaø ôû mσ = ξ , k2 = 0, vaø ta nhaän ñöôïc:

2

k

kmm0m2

)(

)2)((k)(k

ξ−ξ

ξ−σ+ξσ−ξ=σ (A.3)

A.1.2 Heä soá hieäu chænh M(σσσσm, θθθθ)

≤<θσ

=θσkhaùchôïptröôøng1

1f0neáu),(f),(M m

m (A.4)

trong ñoù:

( )5,2

31)cos4,1(

15,0),(f

mm

m+σ

+σθ−

=θσ

A.2 Caùc ñaïo haøm cuûa caùc haøm ñaët taûi

A.2.1 Caùc bieåu thöùc toång quaùt

Caùc ñaïo haøm cuûa haøm ñaët taûi toång quaùt

( ) 0k,,f pijij =εσ (A.5)

406

ñoái vôùi vaät lieäu ñaúng höôùng coù theå ñöôïc bieåu dieãn bôûi quy luaät chuoãi nhö:

ij3

ij2

ij1ij

tJ

fs

J

f

I

ff

∂∂

+∂∂

+δ∂∂

=σ∂∂ (A.6)

trong ñoù: ij

1ij

I

σ∂∂

=δ

laø kyù hieäu Kronecker,

ij

2ij

Js

σ∂∂

=

laø tenxô leäch öùng suaát, vaø

ij2kjikij

3ij J

3

2ss

Jt δ−=

σ∂∂

=

laø ñoä leäch cuûa bình phöông ñoä leäch öùng suaát.

Chuù yù: 3

22

11

0 J

fB,

J

fB,

I

fB

∂∂

=∂∂

=∂∂

= (A.7)

caùc ñaïo haøm ñöôïc bieåu dieãn theâm nhö:

ij2ij1ij0ij

tBsBBf

++δ=σ∂∂ (A.8)

Ñaëc bieät, beà maët ñaët taûi ñoái vôùi beâ toâng ñöôïc ñònh nghóa bôûi ñaúng thöùc (7.15) nhö:

0k)k,,(f fpijij =ρ−ρ=εσ (A.9)

trong ñoù k laø haøm cuûa σm (hay I1) vaø cuûa bieán daïng deûo pijε hoaëc coâng chaûy deûo

Wp.

Töø ñaúng thöùc (A.9), caùc ñaïo haøm B0, B1, vaø B2 coù theå ñöôïc vieát nhö:

23

2

12

1

0f11

0

kAJ

fB

kA1

J

fB

kAI

k

I

fB

−=∂∂

=

−ρ

=∂∂

=

−ρ∂∂

−=∂∂

=

(A.10)

ÔÛ ñaây A0, A1, vaø A2 laø caùc ñaïo haøm cuûa haøm phaù huûy ρf:

407

3

f2

2

f1

1

f0

JA,

JA,

IA

∂ρ∂

=∂

ρ∂=

∂ρ∂

= (A.11)

noù phuï thuoäc caùc daïng cuï theå cuûa ρf.

A.2.2 Moâ hình boán thoâng soá Ottosen, ñaúng thöùc (7.10)

Haøm phaù huûy cuûa moâ hình naøy laø:

−σ−λ+λ−=ρ )1b3(a822

a2

1m

2f (A.12)

trong ñoù:

<θ

θ−−π

≥θ

θ

=λ−

−

03cosvôùiñoái)3cosk(cos3

1

3cosk

03cosvôùiñoái)3cosk(cos3

1cosk

21

1

21

1

Theo ñaúng thöùc (A.12), caùc ñaïo haøm cuûa haøm phaù huûy naøy coù theå thu ñöôïc:

313

f2

212

f1

1m

f

1

f0

dJ

d

d

d

h

22

a2

1

JA

dJ

d

d

d

h

22

a2

1

JA

h

b2

3IA

θθλ

λ+−=∂

ρ∂=

θθλ

λ+−=∂

ρ∂=

−=σ∂ρ∂

=∂ρ∂

=

(A.13)

trong ñoù: )1b3(a82h m2

1 −σ−λ= (A.14)

[ ]

[ ]

<θθ−

θ−−πθ−

≥θθ

θθ−

=θλ

−

−

−

−

03cosvôùiñoái)3cosk(cossin

)3cosk(cos31

3sin3sinkk

03cosvôùiñoái)3cosk(cossin

)3cosk(cos31sin3sinkk

d

d

21

21

21

21

21

21

(A.15)

2/5

2

3

2 J

J

3sin4

33

J θ=

∂θ∂ (A.16)

2/3

2

3

3 J

J

3sin2

3

J θ=

∂θ∂ (A.17)

408

A.2.3 Moâ hình boán thoâng soá Hsieh−−−−Ting−−−−Chen, ñaúng thöùc (7.11)

Haøm phaù huûy cuûa moâ hình naøy laø:

−σ−+θ++θ−=ρ )1d3(a4)ccosb()ccosb(

a2

1m

2f (A.18)

Caùc ñaïo haøm cuûa noù ñöôïc cho bôûi:

322

221

20

dJ

d

h

)ccosb(1

a2

sinbA

dJ

d

h

)ccosb(1

a2

sinbA

h3

d3A

θ

+θ−θ−=

θ

+θ−θ−=

−=

(A.19)

trong ñoù ∂θ/∂J2 vaø ∂θ/∂J3 ñöôïc bieåu dieãn bôûi caùc ñaúng thöùc (A.16) vaø (A.17) vaø

)1d3(a4)ccosb(h m2

2 −σ−+θ= (A.20)

A.2.4 Moâ hình naêm thoâng soá Willam−−−−Warnke, ñaúng thöùc (7.12)

Haøm phaù huûy cuûa moâ hình naøy ñöôïc bieåu dieãn bôûi caùc phöông trình sau:

υ+=ρ ts

f (A.21)

ÔÛ ñaây: θρ−ρρ= cos)(2s 2t

2cc (A.22)

2/1ctc u)2(t ρ−ρρ= (A.23)

ct2t

22t

2c 45cos)(4u ρρ−ρ+θρ−ρ= (A.24)

2tc

22t

2c )2(cos)(4 ρ−ρ+θρ−ρ=υ (A.25)

vaø

σ−−+−=ρ )b(b4bb

b2

1m02

211

2c (A.26)

σ−−+−=ρ )a(a4aa

a2

1m02

211

2t (A.27)

Caùc ñaïo haøm cuûa haøm phaù huûy naøy ñöôïc dieãn taû nhö:

409

)]5cos2(u)2(2

u)(2cos)3(2[

cos8)2(23

]25cos4(

u)2(u2cos4[

cos8)2(43

A

t2

c2/1

ctc

2/1ct

2t

2c

2ctc

,c

ct2

t

2/1ctc

2/1ctc

2ttc

,t

0

ρ−θρρ−ρρ+

ρ−ρ+θρ−ρ−

θρρ+ρ−ρρυ

ρ+

ρ+ρ−θρ×

ρ−ρρ+ρ−θρρ−

θρρ+ρ−ρρυ

ρ−=

−

−

(A.28)

ÔÛ ñaây:

t21m

t,t a2a

1

d

d

ρ+=

σρ

=ρ

c21m

c,c b2b

1

d

d

ρ+=

σρ

=ρ

vaø 22

31 A

J2

J3A −= (A.29)

2/3

22

2t

2c

2J)1cos4(

)(3A

−θυ

ρ−ρ=

( )[ ] θρ−ρ+ρ−θρ× − cos2u21cos4 ct2/1

c (A.30)

410

TTAAØØII LLIIEEÄÄUU TTHHAAMM KKHHAAÛÛOO

1. Ñaøo Huy Bích, Lyù thuyeát quaù trình ñaøn deûo, NXB ÑHQG Haø Noäi, 2000.

2. Leâ Minh Khanh, Ngoâ Thaønh Phong, Cô sôû lyù thuyeát deûo (saùch dòch), NXB ÑH vaø THCN, 1987.

3. Nguyeãn Löông Duõng, Giaùo trình tính chaát cô hoïc cuûa vaät lieäu, Ñaïi hoïc Baùch khoa - Ñaïi hoïc Quoác gia TP Hoà Chí Minh, 1993.

4. Tröông Tích Thieän, Lyù thuyeát ñaøn hoài, NXB Khoa hoïc Kyõ thuaät, 2004.

5. J. Chakrabarty, Theory of Plasticiy, McGRAW-HILL Internatinal Book Company, 1988.

6. W. F. Chen, D. J. Han, Plasticity for Structural Engineers, Springer-Verlag New York Inc, 1988.