LUYÊN Ṭ ÂP C̣ ÁC TRƯỜNG H P Ḅ NG NHAU CỦA TAM GIÁC...

LUYÊN TÂP CAC TRƯƠNG HƠP BĂNG NHAU CUA TAM GIAC VUÔNG

I. MỤC TIÊU:

1. Kiến thức:

- HS cần nắm được trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông. Biết vận

dụng định lí Pytago để chứng minh trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông

của hai tam giác vuông.

- Biết vận dụng, các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông để chứng

minh các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau.

2. Kỹ năng: - Rèn luyện kĩ năng chứng minh tam giác vuông bằng nhau, kĩ

năng trình bày bài chứng minh hình.

3. Thái độ : Tích cực xây dựng bài , hợp tác nhóm.

Bai 1:

Chưng minh:

Bai 2:

Chưng minh:

Trong tam giac vuông ADC co CD la canh đôi diên vơi goc A băng 300 nên:

CD = 10

52 2

ACcm

Bai tâp: (Bai 64/73- TNC&PTT7t1)

LUYÊN TÂP TÔNG HƠP VÊ TƯ GIAC.

I. MỤC TIÊU:

- Kiến thức: Ôn tập củng cố kiến thức về T/c và các dấu hiệu nhận biết về HBH,

HCN, hình thoi, hình vuông.

- Kỹ năng: Rèn luyện cách lập luận trong chứng minh, cách trình bày lời giải một

bài toán chứng minh, cách trình bày lời giải 1 bài toán xác định hình dạng cảu tứ giác ,

rèn luyện cách vẽ hình.

- Thái độ: Rèn tư duy lô gíc

Bai 1:

Bai 2:

Chưng minh:

- Bai tâp: (Bai 89/27-TNC&CCDHH8)

DIÊN TICH ĐA GIAC. TINH CHÂT.

I. Mục tiêu:

- Nắm vững công thức tính diện tích hình chữ nhật, hình vuông, tam giác, các tính

chất của diện tích.

- Hiểu được để c/m các công thức đó cần phải vận dụng các t/c của diện tích

- Vận dụng công thức và t/c của diện tích để giải bài toán về diện tích.

- Tư duy: Phát triển tư duy lôgic hình học phẳng.

- Thái độ: Nghiêm túc, cẩn thận.

1. Khái niệm diện tích đa giác:

* Nhận xét:

- Số đo của phần mặt phẳng giới hạn bởi 1 đa giác được gọi là diện tích đa giác đó.

- Mỗi đa giác có 1 diện tích xác định. Diện tích đa giác là 1 số dương.

* Kí hiệu: Diện tích đa giác ABCDE là SABCDE hoặc S.

2. CT tính diện tích hình chữ nhật:

* Định lý: SGK

S = a . b

3. Công thức tính diện tích hình vuông, tam giác vuông:

a) Diện tích hình vuông

S = a2

b) Diện tích tam giác vuông

S = 1

2a.b

LUYÊN TÂP

VÊ QUAN HÊ GIƯA GOC VA CANH ĐÔI DIÊN TRONG TAM GIAC.

I. MỤC TIÊU:

- Củng cố kiến thức về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác,

học sinh sử dụng thành thạo định lý để giải bài tập.

- Rèn kỹ năng giải toán.

- Rèn thái độ cẩn thận, chính xác, trình bày khoa học. Nghiêm túc khi

học tập.

a

b

a

a

a

b

I. Giới thiệu định lý:

Bài 1:

Chứng minh:

Bài 2:

Chứng minh:

- Bài tập: (Bài 97/130-BTNC&MSCDT7)

Cho ABC, các tia phân giác của góc B, góc C cắt hau tại O.

a. Trong BOC, cạnh nào lớn nhất?

b. Giả sử OB < OC hãy so sánh AB với AC.

CÔNG THƯC DIỆN TÍCH TAM GIÁC, CAC TƯ GIAC ĐĂC BIÊT

I. Mục tiêu:

- Nắm vững công thức tính diện tích tam giác, tinh chất của diện tích.

- Hiểu được để chứng minh các công thức đó cần phải vận dụng các tính chất của

diện tích



- Nghiêm túc, cẩn thận.

1. Định lý:

* Định lý: SGK(120)

S = 1

2 ah

GT ABC có diện tích là S,

AH BC

KL S = 1

2BC. AH

Chứng minh:

HCB

A

H CB

A

CBH

A

* Trường hợp 1: H B (hoặc H C)

1.

2S BC AH (Theo §2 đã học)

* Trường hợp 2: H nằm giữa B và C

SABH = 1

2AH . BH

SACH = 1

2AH . HC

Theo T/c của S đa giác ta có:

SABC = SABH + SACH

= 1

2AH (BH + HC) =

1

2AH.BC

* Trường hợp 3: Điểm H ở ngoài đoạn BC:

Ta có:

SABH = SABC + SAHC

SABC = SABH - SAHC

= 1

2AH.BH -

1

2AH.HC

= 1

2 AH(BH - HC)

= 1

2AH. BC ( đpcm)

2.Công thức tính diện tích hình thang:

SABCD = 2

).( AHCDAB

* Chứng minh:

SABCD = SADC + SABC (tính chất 2 diện tích đa giác)

SADC = 2

.AHDC

SABC = 2

.

2

. AHABCKAB (vì CK = AH)

SABCD = 2

).( AHCDAB

3.Công thức tính diện tích hình bình hành:

Shình bình hành = 2

)( haa

Shình bình hành = a.h

4.Cách tính diện tích của 1 tứ giác có hai đường chéo vuông góc:

S = 2

1AC.BD

5.Công thức tính diện tích hình thoi:

S = 2

1d1.d2

LUYÊN TÂP VÊ DIÊN TICH

I. Mục tiêu:

- Nắm vững công thức tính diện tích cac đa giac đa hoc, các tính chất của diện

tích.





Bài 1: Cho ABC có ba góc nhọn, Vẽ BD AC, CE AB, BH ED, CK ED. Chứng

minh rằng:

a. EH = DK.

b. SBEC + SBDC = SBHKC.

- Bài tập: (Bài 345/173-500BTCB&NCt8)

Cho hình thoi ABCD có BD = 2a, AC = a.

a. Tính diện tích hình thoi ABCD theo a.

b. Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CD = CE. Tính diện tích ABED.

LUYÊN TÂP

VÊ QUAN HÊ GIƯA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN.

ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU

I. MỤC TIÊU:

- Củng cố các định lí về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên,

đường xiên và hình chiếu…

- Rèn kỹ năng vẽ hình theo yêu cầu, tập phân tích để chứng minh bài tập,

biết chỉ ra căn cứ các bước chứng minh.

- Rèn thái độ cẩn thận, chính xác, trình bày khoa học. Nghiêm túc khi

học tập.

I. Kiến thức nâng cao:

Ta luôn có AM ≥AH (Dấu “=” xảy ra khi AM)

Hay AM ngắn nhất bằng AH.

II. Bài tập:

Bài 1:

Bài 2:

Bài 1: (Bài 119/42-TNC&CCDHH7)

Cho ∆ABC nhọn, AB<AC. Kẻ AHBC. M là điểm nằm giữa A và H, tia BM cắt AC ở

D. Chứng minh rằng:

a. BM<CM.

b. DM<DH.

LUYÊN TÂP VÊ DIÊN TICH

I. Mục tiêu:

- Nắm vững công thức tính diện tích cac đa giac đa hoc, các tính chất của diện

tích.





Bài 1: (Bài 259/153-500BTTCL8)

Chứng minh:

Bài 2: (Bài 368/157-500BTTCL8)

Chứng minh:

Bài tập: (Bài 354/150--500BTTCL8)

NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC.

I. Mục tiêu: - HS nắm được quy tắc nhân đơn thức với đa thức.

- HS thực hiện thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức.

- Rèn tính cẩn thận, chính xác trong giải toán. I. Quy tắc

A.(B + C + D) = AB + AC + AD.

Ví dụ: Tính

(3x3y – 1

2x2 +

1

5xy). 6xy3

= 3x3y. 6xy3 – 1

2x2. 6xy3 +

1

5xy 6xy3

= 18x4y4 – 3x3y3 + 6

5x2y4.

II. Áp dụng

Bài 1 : Rút gọn và tính giá trị biểu thức sau :

a. A= 3x(x – 2) – 5x(1 – x) – 8(x2 – 3) tại x=1

11

b. B = x(x2 + xy + y2) – y(x2 + xy + y2) tại x=1, y=-1

Giải :

a. A = - 11x + 24

thay x=1

11, giá trị biểu thức là :

A = 23.

b. B = x3- y3

thay x=1, y=-1 giá trị biểu thức là :

B = 2.

Bài 2 : Tìm x, biết :

a. 4(18 –5x)–12(3x–7) = 15(2x – 16) – 6(x+14)

b. 5x – 3{4x – 2[4x – 3(5x – 2)]} = 182

Giải :

a. x = 6

b. x = - 2

Bài 1: Tìm x, biết :

5(3x + 5) – 4(2x – 3) = 5x + 3(2x + 12) + 1

Bài 2 : Rút gọn và tính giá trị biểu thức sau :

C = 2x(4x2 + 6x + 9) + 3(4x2 + 6x + 9) tại x=1

2

CỰC TRỊ HÌNH HỌC.

I. Mục tiêu:

- Học sinh vận dụng được kiến thức về Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu; Quan hệ

đường vuông góc và đường xiên; quan hệ của ba cạnh một tam giác vào bài toán cực trị.

- Rèn luyện tư duy logic, khả năng suy luận, kỹ năng giải toán cực trị.

I.Kiến thức

- Trong ∆ABC, ta có:

AB AC <BC<AB+AC

ABC ACB AC AB

- Với ba điểm bất kỳ, ta có: ABAC+AB. Dấu “=” xảy ra khi C là điểm thuộc đoạn thẳng

AB.

- Quan hệ đường vuông góc và đường xiên:

+ Trong các tam giác vuông có cạnh góc vuông AH, cạnh huyền AB thì AB≥AH, Dấu

“=” xảy ra khi BH.

+ Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn thẳng vuông góc với

đường thẳng đó có độ dài nhỏ nhất.

+ Trong các đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên hai đường thẳng song song đoạn thẳng

vuông góc với hai đường thẳng đó có độ dài nhỏ nhất.

- Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu:

Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến cùng một đường thẳng, đường xiên nào có hình

chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

- Bất đẳng thức Cô si: Nếu x≥0, y≥0, thì x+y≥ .x y . Dấu “=” xảy ra khi x=y.

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở C, D là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Kẻ

DMAC, DNBC. Điểm D ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài nhỏ nhất?

Giải:

Tứ giác DMCN có 090C M N nên là hình chữ nhật.

Suy ra: MN=DC

Do đó: MN nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất.

Kẻ CHAB, ta có CD≥CH, vì thế CD nhỏ nhất khi CD=CH DH.

Vậy MN nhỏ nhất khi D trùng với H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB.

BÀI TẬP CỰC TRỊ HÌNH HỌC.

I. Mục tiêu:

- Học sinh vận dụng được kiến thức về Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu;

Quan hệ đường vuông góc và đường xiên; quan hệ của ba cạnh một tam giác vào bài toán

cực trị.

- Rèn luyện tư duy logic, khả năng suy luận, kỹ năng giải toán cực trị.

Bài 1:

Tổng BE+CF nhận giá trị nhỏ nhất bằng BC.

Bài 2:

Cho tam giác nhọn ABC và điểm M nằm trong tam giác đó. Xác định vị trí của điểm M

sao cho MA.BC+MB.AC+MC.AB đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải:

- Bài tập: (Bài 11/179-TNC&CCDHH8)

HD:Kẻ MP AB, NQ AB, MH NQ

NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC

I. Mục tiêu:

- HS nắm được quy tắc nhân đa thức với đa thức.

- HS biết trình bày phép nhân đa thức theo 2 cách.

- Rèn tính cẩn thận, chính xác trong giải toán.

1. Quy tắc: VD: (x – 2)(6x2 – 5x + 1)

= x(6x2 – 5x + 1) – 2(6x2 – 5x + 1)

= 6x3 – 5x2 + x – 12x2 + 10x – 2

= 6x3 – 17x2 + 11x – 2.

Quy tắc:

(A + B). (C + D) = AC + AD + BC + BD

?1 1

xy 12

(x3 – 2x – 6)

= 1

2xy. (x3 – 2x – 6) – 1. (x3 – 2x – 6)

= 1

2x4y – x2y – 3xy – x3 + 2x + 6

2. Áp dụng

?2

a) (x + 3)(x2 + 3x – 5)

= x(x2 + 3x – 5) + 3(x2 + 3x – 5)

= x3 + 3x2 – 5x + 3x2 + 9x – 15

= x3 + 6x2 + 4x – 15. b) (xy – 1)(xy + 5)

= xy(xy + 5) – (xy + 5)

= x2y2 + 5xy – xy – 5

= x2y2 + 4xy – 5.

?3

+ Biểu thức tính diện tích của hình chữ nhật:

S = (2x + y)(2x – y)

= 4x2 – 2xy + 2xy – y2

= 4x2 – y2 (m2)

+ Khi x = 2,5m và y = 1m thì diện tích của hình chữ nhật là:

S = 4. 2,52 – 12 = 4.

25

2

– 1

= 25 – 1 = 24 (m2)

- Làm BT :

a) (x2 – 2x + 1)(x – 1) = x3 – x2 – 2x2 + 2x + x – 1

= x3 – 3x2 + 3x – 1.

b) (x3 – 2x2 + x – 1)(5 – x) = 5x3 – x4 – 10x2 + 2x3 + 5x – x2 – 5 + x

= – x4 + 7x3 – 11x2 + 6x – 5.

(x3 – 2x2 + x – 1)(x – 5) = x4 – 7x3 + 11x2 – 6x + 5.

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH

I. Mục tiêu:

1.Kiến thức : - Giúp HS biết cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương

pháp đặt nhân tử chung. Giúp HS dùng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân

tử.

2.Kỹ năng: - Rèn kỹ năng phân tích tổng hợp, phát triển năng lực tư duy.

3.Thái độ: - Có thái độ học tập nghiên túc .

1 Ví dụ:

Ví dụ 1: Hãy viết 2x2 -4x thành một tích của những đa thức.

Giải.

2x2 - 4x = 2x.x -2x.2 =2x(x - 2)

Ví dụ 2: Phân tích đa thức 15x3 - 5x2 + 10x thành nhân tử.

Giải:

15x3 - 5x2 + 10x

= 5x. 3x2 - 5x.x + 5x.2

= 5x(3x2 - x + 2)

2.Áp dụng:

?1

x2 - x = x.x - x.1 = x(x - 1)

5x2(x - 2y) - 15x(x -2y)

= 5x.(x - 2y).x - 5x.(x - 2y).3

= 5x(x - 2y)(x - 3)

c) 3(x - y) - 5x(y - x)

= 3(x - y) + 5x(x - y)

= (x -y)(3 + 5x)

Chú ý : A = -(-A)

?2 Tìm x sao cho 3x2 - 6x = 0

1 Ví dụ:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a) x2 - 4x + 4 = (x - 2)2

b) x2 - 2 = (x- 2 )(x + 2 )

c) 1 - 8x3 = (1-2x)(1 + 2x + 4x2)

[?1]

a) x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x +1)3

b) (x+y)2 - 9x2 =

= (x+y + 3x)(x+y - 3x)

= (4x +y)(y - 2x).

[?2] Tính nhanh.

1052 - 25 =

= 1052 - 52 = (105+5)(105-5)

= 110.100 = 11000

2.Áp dụng:

Chứng minh đẵng thức: (2n + 5)2 - 25

chia hết cho 4 với mọi n thuộc số nguyên.

Giải :

Ta có: (2n + 5)2 - 25 = (2n+5 - 5)(2n+5 +5)

=2n.(2n+ 10)

=4n(n+5)

Vậy đa thức trên luôn chia hết cho 4.

* Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

a) x3 + 27

1 = (x+

3

1)(x2 +

3

1x +

9

1 )

b) -x3 + 9x2 - 27x + 27 = -(x - 3)3

4. Củng cố: (3’)

- Nhắc lại kiến thức đã sử dụng

5. Dặn dò: (5’)

- Hoc thuôc cac hăng đăng thưc đa hoc.

Bai 1: Phân tich đa thưc sau thanh nhân tư:

x3 + y3 + z3 – 3xyz

Bai 2: Tim x, biêt:

a. x3 – 0,25x = 0

b. x2 – 10x = - 25

LUYÊN TÂP

NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC

I. Mục tiêu - Củng cố các quy tắc: nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức.

- HS thực hiện thành thạo phép nhân đơn, đa thức.

- Biết vận dụng phép nhân đơn, đa thức vào giải toán.

Dạng 1: Làm tính nhân

Bai 1 : Tinh

a. 2 2 21.( )( )

2xy x y x xy y

= 4 2 41 1

2 2x y xy

b. (x – 2)(x + 2)(x2 + x – 1)

= x4 + x3 – 5x2 – 4x +1

c. (x + 1)(3x – 1)(9x2 – 6x + 4)

= 27x4 – 9x2 + 14x – 4

Dạng 2: Vận dụng

Bai 2 : Tim x, biêt :

a. (x + 2)(x + 3) – (x – 2)(x + 5) = 0

x = - 8

b. (2x + 3)(x – 4) + (x – 5)(x – 2) = (3x - 5)(x – 4)

x = 4,4

c. (8 – 5x)(x + 2) + 4(x – 2)(x + 1) + 2(x – 2)(x + 2) = 0

x = 0, x = 6

Bai 3 : Rut gon rôi tinh gia tri biêu thưc :

A = (x – y)(x2 + xy + y2) - (x + y)(x2 – y2) vơi x = - 2, y = - 1

Giai :

A = xy2 – x2y

Vơi x = - 2, y = - 1 ta co gia tri A = 2

Bai 4 : Chưng minh răng gia tri biêu thưc sau không phu thuôc vao gia tri cua

biên.

A = (2x – 3)(3x + 5) – (x – 1)(6x + 2) + 3 – 5x

Giai :

A = - 10

Vây, gia tri biêu thưc sau không phu thuôc vao gia tri cua biên.

Bai 1 : Tinh

4(x – 1)(x + 5) – (x + 2)(x + 5) – 3(x – 1)(x + 2)


(8x – 3)(3x + 2) – (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x – 1) – 33

Bai 3 : Rut gon rôi tinh gia tri biêu thưc :

B = (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2) - (x + 2y)(x2 - 2xy + 4y2) tai x = 2016, y = 1

2

Bai 4 : Chưng minh răng gia tri biêu thưc sau không phu thuôc vao gia tri

cua biên.

B = (3t + 2)(2t – 1) + (3 – t)(6t + 2) – 17(t – 1) PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ


I. Mục tiêu:



tử.



I. Phân tich đa thưc thanh nhân tư băng phương phap nhom hang tư :

Bai 1 : Phân tich đa thưc thanh nhân tư

a. x2 – x – y2 – y

= (x + y)(x – y – 1)

b. x2 – 2xy + y2 – z2

= (x – y – z)(x – y + z)

II. Phân tich đa thưc thanh nhân tư băng cach phôi hơp nhiêu phương phap. Bai 2 : Phân tich đa thưc thanh nhân tư

x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y

= (x + y)(x + y + 1)(x + y – 1)

III. Phân tich đa thưc thanh nhân tư băng phương phap tach hang tư, (thêm , bơt

cung môt hang tư)


x2 + 5x – 6

= x2 – x + 6x – 6 (hoăc x2 + 5x – 1 – 5) (hoăc x2 + 2x5

2 +

25

4 -

49

4)

= (x – 1)(x + 6)

IV. Phân tich đa thưc thanh nhân tư băng phương phap đăt biên phu


(x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12

Đăt x2 + x = y thi ta co đa thưc :

y2 + 4y – 12 = y2 + 6y – 2y – 12

= (y + 6)(y – 2)

= (x2 + x + 6)( x2 + x – 2 )

= (x2 + x + 6)( x2 + 2x – x – 2 )

= (x2 + x + 6)(x+ 2)(x – 1)

* Chu y : ngoai ra con phương phap hê sô bât đinh. Phương phap dung lươc đô Hocne.

LUYÊN TÂP



I. Mục tiêu:



tử.




a. x3 + y3 + z3 – 3xyz

=(x + y)3 – 3xy(x + y) + z3 – 3xyz

= (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2] – 3xy(x + y + z)

= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz)

b. 16x – 5x2 – 3

= 15x – 5x2 – 3 + x

= (5x – 1)(3 – x) (dung hăng đăng thưc)

c. x4 – 5x2 + 4

Đăt t = x2, ta co :

t2 – 5t + 4 = (t – 4)(t – 1)

= (x2 – 4)(x2 – 1)

= (x – 2)(x + 2)(x – 1)(x + 1)


a. 4x2 – 25 – (2x – 5)(2x + 7) = 0

x = 5

2

b. x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0

x = 0, x = 2, x = - 3

c. 2x3 + 3x2 + 2x + 3 = 0

x = 3

2

Bai 3 : Chưng minh răng vơi moi m la sô nguyên thi :

m3 – m luôn chia hêt cho 6.

Ta co : m3 – m = (m – 1)m(m + 1)

Trong ba sô nguyên liên tiêp (m – 1), m, (m + 1) bao giơ cung co môt sô chăn nên

(m – 1)m(m + 1) 2. (1)

Do m la sô nguyên nên hoăc m 3, hoăc m : 3 dư 1 thi m – 1 3, hoăc m : 3 dư 2 thi m +

1 3 (2)

Măt khac (2, 3) = 1 nên tư (1)(2) suy ra :

(m – 1)m(m + 1) 6

Vây, m3 – m luôn chia hêt cho 6.



a. (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 (hd: (x + y + z)3 = (x + y)3 + z3 + 3(x + y + z)(x + y)z )

b. x3 – 7x – 6 (hd: ( - 7x = - x – 6x )

c. (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 (hd: đăt x2 + x + 1 = y)

Bai 2: Cho a + b + c = 0. Chưng minh răng: a3 + b3 + c3 = 3abc.

Bai 3: Cho đa thưc: P(x) = x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24 (x Z)

a. Phân tich đa thưc P(x) thanh nhân tư.

b. Chưng minh răng P(x) chia hêt cho 6. ( đê thi HSG lơp 8, 15-16 vong trương)


a. x3 – 6x2 + 12x – 8 = 0

b. 16x2 - 9(x + 1)2 = 0

c. x3 – 9x2 = 27 – 27x

Bai 5 : Chưng minh răng vơi moi m la sô nguyên thi :

m3 + 5m luôn chia hêt cho 6.

LUYÊN TÂP

ĐƯƠNG PHÂN GIAC CUA MÔT GOC, MÔT TAM GIAC

I. Mục tiêu:

- Củng cố định lí thuận, đảo về tia phân giác của một góc.

- Rèn luyện kỹ năng vẽ hình.

- Rèn luyện suy luận logic. Rèn thái độ cẩn thận, chính xác, trình bày khoa học.

Nghiêm túc khi học tập.

Bài 1 : (bai93/49-tnchh7)

Bài 2 : (bai94/49-tnchh7)

Bài 98/44 nc&ptt7t2

LUYÊN TÂP



I. Mục tiêu:



tử.



Bai 1 : Cho a la sô nguyên, chưng minh răng biêu thưc :

A = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4) + 1 la sô chinh phương.

Ta co :

A = [(a + 1) )(a + 4)][ (a + 2)(a + 3)] + 1

= (a2 + 5a + 4)(a2 + 5a + 6) + 1

đăt a2 + 5a + 4 = x, ta đươc :

A = x(x + 2) + 1 = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2

Thay x = a2 + 5a + 4, ta đươc :

A = (a2 + 5a + 4)2

Do a la sô nguyên, nên a2 + 5a + 4 la sô nguyên, do đo : A = (a2 + 5a + 4)2 la sô chinh

phương.

Bai 2 : Chưng minh răng nêu a, b, c la đô dai ba canh cua môt tam giac thi :

2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 – a4 – b4 – c4 > 0.

Ta co : 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 – a4 – b4 – c4

= 4a2c2 – (a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2b2c2 + 2a2c2)

= (2ac)2 – (a2 – b2 + c2)2

= (2ac + a2 – b2 + c2)( 2ac - a2 + b2 - c2)

=[(a + c)2 – b2][( b2 - (a - c)2]

= (a + c + b)(a + c – b)(b + a + c)(b - a + c)

Do a, b, c la đô dai ba canh cua môt tam giac nên

a + c + b > 0, a + c – b > 0, b + a + c > 0,

b - a + c > 0

vây, 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 – a4 – b4 – c4 > 0.


Bai 1 : (Bai 63/20-TNC&CCDT8)

Cho x la sô nguyên, chưng minh răng biêu thưc :

B = x4 – 4x3 – 2x2 + 12x + 9 la binh phương cua môt sô. (hd : - 2x2 = 4x2 – 6x2)

Bai 2 : (Bai 62/29- 500BTTCL)

Cho a, b, c la ba sô khac 0 thoa man điêu kiên : a3 + b3 + c3 = 3abc va a + b + c = 0. Tinh

gia tri biêu thưc :

A = ( 1 + a

b)( 1 +

b

c)( 1 +

c

a) (hd : a3 + b3 + c3 = 3abc a3 + b3 + c3 - 3abc = 0,

ptich thanh nhan tư, sd hdt sô 8)

CHIA ĐA THƯC MÔT BIÊN ĐA SĂP XÊP

I. Mục tiêu:

- Kiến thức:

HS hiểu được khái niệm chia hết và chia có dư. Nắm được các bước trong thuật

toán phép chia đa thức A cho đa thức B.

- Kỹ năng:

Thực hiện đúng phép chia đa thức A cho đa thức B (Trong đó B chủ yếu là nhị

thức, trong trường hợp B là đơn thức HS có thể nhận ra phép chia A cho B là phép chia

hết hay không chia hết).

-Thái độ:

Rèn tính cẩn thận, tư duy lô gíc.

- GV: Bảng phụ

- HS: Bảng nhóm. Xem lại cách sắp xếp đa thức 1 biến

1) Phép chia hết.

Cho đa thức

A = 2x4 - 13x3 + 15x2 + 11x - 3

B = x2 - 4x – 3

2x4- 12x3+15x2+ 11x-3 x2 - 4x - 3

2x4 - 8x3 - 6x2 2x2 - 5x + 1

- 5x3 + 21x2 + 11x- 3

- -5x3 + 20x2 + 15x- 3

x2 - 4x - 3

- x2 - 4x - 3

0

Phép chia có số dư cuối cùng = 0

Phép chia hết.

* Vậy ta có:

2x4 - 12x3 + 15x2 + 11x - 3

= (x2 - 4x - 3)( 2x2 - 5x + 1)

2. Phép chia có dư:

Thực hiện phép chia:

5x3 - 3x2 + 7 cho đa thức x2 + 1

5x3 - 3x2 + 7 x2 + 1

- 5x3 + 5x 5x - 3

- 3x2 - 5x + 7

- -3x2 - 3

- 5x + 10

+ Kiểm tra kết quả:

( 5x3 - 3x2 + 7): (x2 + 1)

=(5x3 - 3x2 + 7)=(x2+1)(5x-3)-5x +10

* Chú ý: Ta đã CM được với 2 đa thức tuỳ ý A&B có cùng 1 biến (B 0) tồn tại duy nhất

1 cặp đa thức Q&R sao cho:

A = B.Q + R Trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B ( R được gọi là dư trong

phép chia A cho B

3. Ap dung:

Bai 1: Tim a sao cho đa thưc:

x4 – x3 + 6x2 – x + a chia hêt cho đa thưc x2 – x + 5

Giai:

a = 5

Bai 2: Tim gia tri nguyên cua n đê gia tri biêu thưc A= 3n3 + 10n2 – 5 chia hêt cho gia tri

biêu thưc

B = 3n + 1

Giai:

A = 3n3 + 10n2 – 5 = (3n + 1)(n2 +3n – 1) – 4

Vây, đê A chia hêt cho B thi 4 3n + 1

Do đo 3n + 1 (4) = { 1; 2; 4}

Khi đo n = {0; - 1; 1}

Bai 1: Thưc hiên phep chia x3 + 3x2 + 3x + 1 cho đa thưc x + 1

Bai 2: (Bai 64/25-TBDHSL8DS)

Tim gia tri nguyên cua n đê gia tri biêu thưc A= 25n2 - 97n + 11 chia hêt cho gia

tri biêu thưc B = n - 4

Bai 3: (Bai 58a/25-TBDHSL8DS)

Tim a sao cho đa thưc: 27x2 + a chia hêt cho 3x + 2

LUYỆN TẬP ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG,

CỦA TAM GIÁC

I. Mục tiêu:

- Củng cố các định lí về tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng.

- Vận dụng các định lí đó vào việc giải các bài tập hình (chứng minh, dựng hình).

Rèn luyện kĩ năng vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước, dựng đường

thẳng qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước bằng

thước thẳng và compa.

- Giải bài toán thực tế có ứng dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng.

Bài 1: bài 124/139-btnc&mscdt7

Chứng minh:

Bài 2: bài 122/139-btnc&mscdt7

Chứng minh:

Bai 1: bài 104/46-nc&ptt7

Cho tam giác ABC trong đó Â = 1100. Các đường trung trực của AB và của CD

cắt cạnh BC theo thứ tự ở E và F. Tính EAF

Bài 2: bài 149/51-tnc&ccdhh7

ĐỊNH LÝ BƠZU. LƯỢC ĐỒ HOOCNE

I. Mục tiêu:

- Hs nắm được định lý Bowzu, lược đồ Hoocne.

- Hs vận dụng được định lý Bowzu, lược đồ Hoocne vào các bài toán.

- Rèn luyện kỹ năng chia đa thức cho đa thức, tìm số dư trong phép chia, phân

tích đa thức thành nhân tử.

- Rèn luyện tính cẩn thận trong các bài toán chia đa thức cho đa thức, tìm số dư

trong phép chia, phân tích đa thức thành nhân tử.

I. Định lý Bơzu (Bezoute 1739-1783)

Khi chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất x – a thì dư trong phép chia này là f(a)

Vd : Tìm dư trong phép chia f(x) = x3 - 3x2 + 3x - 1 cho p(x) = x – 2

Giải :

x3 - 3x2 + 3x - 1 x – 2

- x3 - 2x2 x2 – x +1

- x2 + 3x - 1

- - x2 + 2x

x – 1

- x – 2

1

Vậy dư trong phép chia f(x) cho q(x) bằng 1 ( đúng bằng f(2)= 23 – 3.22 + 3.2 – 1 = 1)

* Hệ quả cuả định lý Bowzu :

Nếu x = a là một nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho nhị thức x – a

Vd : f(x) = x3 + 3x2 + 3x + 2

Thay x = - 2 ta được f(-2) = -8 + 12 – 6 + 2 = 0

Vậy x = - 2 là một nghiệm của f(x)

Do đó khi thực hiện phép chia f(x) cho x + 2 ta được thương q(x) = x2 + x + 1

Dư r(x) = 0

x3 + 3x2 + 3x + 2 = (x + 2).(x2 + x + 1)

II. Định lý về nghiệm nguyên của đa thức

f(x) = anxn + an-1x

n-1 +…+ a1x + a0

Nếu f(x) có nghiệm nguyên, thì nghiệm đó phải là ước của a0

- Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có nghiệm x = 1

- Nếu hiệu của tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn với tổng các hệ số của các hạng

tử bậc lẻ là bằng 0 thì đa thức có nghiệm x = -1

III. Lược đồ Hooc-ne (Horner)

Lược đồ Hoocne là thuật toán tìm thương Q(x) va số dư r trong phép chia đa thức f(x)

cho nhị thức bậc nhất x – a

Vd1 : Tìm thương và số dư khi chia

f(x) = 3x4 – 2x3 + x – 5 cho x + 2

Giải :

Sơ đồ Hoone :

3 - 2 0 1 - 5

- 2 3 (3=3)

- 8 [(-8=-2.3+(-2)]

16 [16=-2.(-8)+0]

- 31 [-31=-2.16+1]

57 [57=-2.(-31+(-5)]

Vậy thương Q(x) = 3x3 – 8x2 + 16x – 31

Số dư là 57

Vd2 : Tính giá trị đa thức

f(x) = x7 – 4x6 + 3x2 + 2x – 4 tại x = 2

Giải :

Sơ đồ Hoone :

1 - 4 0 0 0 3 2 - 4

2 1 - 2 - 4 - 8 - 16 - 29 - 56 - 116

Vậy f(2) = - 116.

* Chú ý : Vận dụng sơ đồ Hoocne cho các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.

Bai 1: Phân tich đa thưc thanh nhân tư

P(x) = x3 – x2 – 8x + 12

Bai 2: Không lam phep chia đa thưc, hay tim sô dư trong phep chia đa thưc f(x)

cho đa thưc g(x) trong trương hơp sau:

f(x) = x21 + x20 + x19 + 101 g(x) = x + 1

Dặn dò: (3’) - HS cần nắm vững định lý Bơzu và hệ quả. Sơ đồ Hoocne.

- Xem lại kiến thức đã sử dụng

- Bai 1: (Bai 93c/27-btnc&mscdt8)

Phân tich đa thưc thanh nhân tư

P(x) = 2x4 + x3 – 22x2 + 15x – 36

- Bai 2: (Bai 91b/27-btnc&mscdt8)

Không lam phep chia đa thưc, hay tim sô dư trong phep chia đa thưc f(x) cho đa thưc g(x)

trong trương hơp sau:

f(x) = x4 - 5x3 + 2x – 10 g(x) = x – 5

BÀI TẬP NGHIỆM ĐA THỨC

I. Mục tiêu:

- Hs nắm được định lý Bơzu, lược đồ Hoocne.

- Hs vận dụng được định lý Bơzu, lược đồ Hoocne vào các bài toán.





* Kiến thức sử dụng :

Nếu tại x = a đa thức f(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của đa thức đó.

Bài 1 : Tìm nghiệm của đa thức sau :

a. f(x) = x4 + 3x3 + 3x2 – x – 6

Giải :

Xét x4 + 3x3 + 3x2 – x – 6 = 0

Ta thấy x = 1 là một nghiệm của f(x), dùng sơ đồ Hoocne ta có :

f(x) = (x – 1)(x3 + 4x2 + 7x + 6) = 0

Ta thấy x = - 2 là một nghiệm của f(x), dùng sơ đồ Hoocne ta có :

f(x) = (x – 1)(x + 2)(x2 + 2x + 3) = 0 (1)

Ta xét : x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 + 2

= (x + 1)2 + 2 > 0 với mọi x.

Từ (1) suy ra : (x – 1)(x + 2) = 0

Suy ra x = 1, x = - 2

b. g(x) = (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

Giải:

Xét: (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 = 0

(x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 24 = 0

(x2 + 5x + 5)2 – 25 = 0

(x2 + 5x) (x2 + 5x + 10) = 0

Vì x2 + 5x + 10 > 0 với mọi x nên đa thức có nghiệm là x = 0, x = - 5

4. Củng cố: (3’)

- Nhắc lại kiến thức đã sử dụng

5. Dặn dò: (5’)

Bai 1: Tìm nghiệm của đa thức sau :

a. f(x) = x4 – 6x3 + 8x2 + 12x – 9

b. g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) – 40

Bài 2: Tìm dư của phép chia đa thức f(x) cho đa thức q(x) trong mỗi

trường hợp sau:

a. f(x) = x + x3 + x9 + x27 + x243. q(x) = x – 1 (hd: định lý Bơzu)

b. f(x) = 1 + x + x19 + x199 + x1995. q(x) = 1 – x2 (hd: Tương tự Bài 1)

LUYỆN TẬP VỀ ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC

I. Mục tiêu:

- Ôn luyện khái niệm, tính chất đường cao của tam giác.

- Ôn luyện cách vẽ đường cao của tam giác.

- Vận dụng giải được một số bài toán.

Bài 1 :

Bài 2 : (Bai 129/141-btnc&mscdt7)

Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ điểm K sao cho

AB là trung trực của HK. Chứng minh rằng : KAB KCB

Chứng minh :

H la trưc tâm cua tam giac ABC nên AH BC.

Suy ra : KCB BAH (Hai goc co canh tương ưng vuông goc) (1)

∆KAE = ∆KHE suy ra : KAB BAH (2)

Tư (1)(2) suy ra : KCB KAB

Dặn dò:

(Bai 130/141-btnc&mscdt7)

BÀI TẬP NGHIỆM ĐA THỨC

I. Mục tiêu:

- Hs nắm được định lý Bowzu, lược đồ Hoocne.






Bai 1: Chưng minh răng :

a. P(x) = x3 – x + 5 không co nghiêm nguyên.

Giai :

Gia sư x = a la môt nghiêm cua đa thưc P(x)

Ta co :

a3 – a + 5 = 0

a(a2 – 1) = - 5

a(a – 1)(a + 1) = - 5

ta thây a(a – 1)(a + 1) la tich cua ba sô nguyên liên tiêp thi chia hêt cho 3. Nhưng – 5

không chia hêt cho 3.

Vây, P(x) = x3 – x + 5 không co nghiêm nguyên.

b. Q(x) = x3 + 5x2 + 2x + 3 không co nghiêm nguyên.

Giai :

Gia sư x = a la môt nghiêm nguyên cua đa thưc Q(x)

Ta co :

a3 + 5a2 + 2a + 3 = 0

a.a2 + 5a2 + 2a = - 3

- Nêu a la sô le thi a2 la sô le, suy ra a.a2 la sô chăn,

5a2 la sô chăn, 2a la sô chăn. Nên a.a2 + 5a2 + 2a la sô chăn ma vê phai la sô le nên mâu

thuân.

- Vơi n la sô chăn thi a.a2 + 5a2 + 2a la sô chăn ma vê phai la sô le nên mâu thuân.

Vây, Q(x) = x3 + 5x2 + 2x + 3 không co nghiêm nguyên.

Bai 2 : Chưng minh răng :

Đa thưc P(x) = x95 + x94 + x93 + …+ x2 + x + 1

Chia hêt cho đa thưc

Q(x) = x31 + x30 + x29 + ..+ x2 + x + 1

Giai :

Ta co : P(x) = x95 + x94 + x93 + …+ x2 + x + 1

= x64(x31 + x30 + x29 + ..+ x2 + x + 1)

+ x32(x31 + x30 + x29 + ..+ x2 + x + 1)

+ x31 + x30 + x29 + ..+ x2 + x + 1

= (x31 + x30 + x29 + ..+ x2 + x + 1)(x64 + x32 + 1)

Suy ra : P(x) Chia hêt cho đa thưc Q(x)

Bai 3 : Tim dư trong phep chia đa thưc f(x) cho đa thưc q(x), biêt :

f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2003

q(x) = x2 + 8x + 12

Giai :

Ta co : (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2003

= (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 2003

Đăt x2 + 8x + 7 = t thi :

(x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 2003

= t(t + 8) + 2003

= (t2 + 8t + 15) + 1988

= (t + 3)(t + 5) + 1988

Suy ra : f(x) = (x2 + 8x + 10)( x2 + 8x + 12) + 1988

Vây, sô dư trong phep chia đa thưc f(x) cho đa thưc q(x) la 1988.

Bai 1: Chưng minh răng :

a. P(x) = x2 – 2x + 5 không co nghiêm

Bai 2 : (Bai 92/27-btnc&mscdt8)

Chưng minh răng : f(x) = ( x2 – 3x + 1)31 – (x2 – 4x + 5)30 + 2 chia hêt cho x – 2

(hd : dùng Bơzu )

Bai 3 : (Bai 10/19-ccdnct8)

Tim dư trong phep chia đa thưc f(x) cho đa thưc q(x), biêt :

f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2006

q(x) = x2 + 8x + 11 (hd :tương tư bai 3)

BÀI TẬP XÁC ĐỊNH ĐA THỨC

I. Mục tiêu:






Tim hiêu phương phap xet gia tri riêng trong bai toan xac đinh đa thưc

Bai 1: Xac đinh cac hê sô a, b sao cho :x4 + ax3 + b chia hêt cho x2 – 1.

Giai :

- Co thê sư dung phep chia, sau đo xet sô dư phai băng 0.

- Co thê sư dung phương phap đông nhât hê sô.

- Tim hiêu phương phap xet gia tri riêng

Goi đa thưc thương la Q. Ta co:

x4 + ax3 + b = (x – 1)(x = 1).Q

Vi đăng thưc đung vơi moi x nên ta lân lươt cho x=1, x = - 1 ta đươc :

1 0

1 0

a b

a b

0

1

a

b

Vây vơi a = 0, b = - 1 thi x4 + ax3 + b chia hêt cho x2 – 1.

Bai 2 : Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x – 2 thì dư 2, f(x) chia cho x – 3 thì

dư 7, f(x) chia cho x2 – 5x + 2 thì được thương là 1 – x2 và còn dư.

Giải:

Gọi thương của phép chia f(x) cho x – 2, x – 3 lần lượt là P(x), Q(x) ta có:

f(x) = (x – 2)P(x) + 5 (1)

f(x) = (x – 3)P(x) + 7 (2)

Gọi thương của phép chia f(x) cho x2 – 5x + 2 là g(x) và dư là nhị thức bậc nhất ax+b ta

có:

f(x) = (x – 2) (x – 3) g(x) + ax+b (3)

Vì các đẳng thức trên đúng với mọi x, nên:

- Với x = 2 thì từ (1) ta có: f(2) = 5, từ (3) ta có: f(2) = 2a + b suy ra: 2a + b = 5 (I)

- Với x = 3 thì từ (2) ta có: f(3) = 7, từ (3) ta có: f(3) = 3a + b suy ra: 3a + b = 7 (II)

Kết hợp (I)(II) ta có: 2 5

3 7

a b

a b

2

1

a

b

Vậy đa thức phải tìm là: f(x) = (x2 – 5x + 2)( 1 – x2) + 2x + 1

= -x4 + 5x3 – 5x2 – 3x + 7

Bai 3 : Tim đa thưc dư trong phep chia :

(x54 + x45 + x36 + … + x9 + 1) : (x2 – 1 )

Giai :

Do đa thưc chia co bâc la 2 nên bâc đa thưc dư không vươt qua 1.

Ta co :

x54 + x45 + x36 + … + x9 + 1 = (x2 – 1 ).Q + ax + b

lân lươt cho x = 1, x = - 1 ta đươc :

1

7

a b

a b

3

4

a

b

Vây đat thưc dư la: 3x + 4

Bai 1 : (Bai 96/28-btnc&mscdt8) (hd : Tương tư bai 2)

Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x – 1 thì dư 4, f(x) chia cho x + 2 thì dư 1, f(x)

chia cho (x – 1)(x + 2) thì được thương là 5x2 và còn dư.

Bai 2: (Bai 81c/26-tnc&ccds8) (hd : Tương tư bai 1)

Xac đinh cac hê sô a, b sao cho :x4 + ax3 + bx – 1 chia hêt cho x2 – 1.

Bai 3 : (Bai 11/11-bdhsgtds8) (hd : Tương tư bai 3)

Tim đa thưc dư trong phep chia :

(x81 + x27+ x9 + x3 + x) : (x2 – 1 )

LUYÊN TÂP VÊ CAC ĐƯƠNG ĐÔNG QUY TRONG TAM GIAC

I. Mục tiêu:

- Biết vẽ và nhận biết 3 đường trung tuyến, 3 đương phân giac trong tam

giác. Biết trọng tâm của 1 tam giác, tính chất 3 đường trung tuyến của 1 tam

giác.

- Vận dụng được các định lí về sự đồng quy của ba đường trung tuyến ,

3 đương phân giac của 1 tam giác để giải bài tập.

- Rèn luyện suy luận logic. Rèn thái độ cẩn thận, chính xác, trình bày

khoa học. Nghiêm túc khi học tập.

Bai 1 : Bai 96/43-nc&ptt7t2

Bai 2 : vd 3.6/45-tnchh7

Bai 1:

Bai 1: vd19/42-nc&ptt7t2

Cho tam giac ABC, cac đương trung tuyên BD, CE. Chưng minh răng :

BD + CE > 3

2BC

BÀI TẬP XÁC ĐỊNH ĐA THỨC

I. Mục tiêu:






Bai 1 : Tim đa thưc bâc ba P(x) biêt chia P(x) cho x-1 , cho x – 2, cho x – 3 đêu dư 6 va

P(- 1) = -18

Giai :

Ta co : P(x) – 6 chia hêt cho x – 1, x – 2, x – 3 , do đo P(x) chia hêt cho (x – 1)( x – 2)( x

– 3)

Đăt P(x) – 6 = (x – 1)( x – 2)( x – 3).m (mQ)

Suy ra : P(x) = (x – 1)( x – 2)( x – 3).m + 6

Theo bai ta co :

P(- 1) = - 18

Hay : - 2. (- 3)(- 4).m + 6 = - 18

Suy ra m = - 1

Vây đa thưc P(x) = - (x – 1)( x – 2)( x – 3) + 6

Bai 2 : Cho đa thưc A = ax2 + bx + c. Xac đinh hê sô b biêt răng khi chia A cho x – 1,

chia A cho x + 1 đêu co cung sô dư.

Giai :

Ta co : A = ax2 + bx + c = (x – 1).Q1 + r (1)

A = ax2 + bx + c = (x + 1).Q2 + r (2)

Cho x = 1, tư (1) a + b + c = r

Cho x = - 1, tư (2) a - b + c = r

Do đo : a + b + c = a - b + c b = 0

Bai 3 : Chưng minh răng nêu

x4 – 4x3 + 5ax2 – 4bx + c chia hêt cho

x3 + 3x2 – 9x – 3 thi a + b + c = 0.

Giai :

x4 – 4x3 + 5ax2 – 4bx + c

= (x3 + 3x2 – 9x – 3)(x + m)

= x4 + (m + 3)x3 + (3m – 9)x2 – (9m + 3)x – 3m

Suy ra : m + 3 = - 4 m = - 7

3m – 9 = 5a a = - 6

9m + 3 = 4b b = - 15

- 3m = c c = 21

Vây, a + b + c = - 6 – 15 + 21= 0.

Bai 1: (Bai 99/28-btnc&mscdt8) (hd : tương tư bai 3)

Đa thưc 4x3 + ax + b chia hêt cho cac đa thưc x – 2, x + 1. Tinh 2a – 3b

Bai 2: (Bai 82a/26tnc&ccdt8)

Tim cac sô nguyên n đê gia tri biêu thưc 10n2 + n – 10 chia hêt cho biêu thưc n – 1

BÀI TẬP VÊ ĐA THỨC GIAI TRÊN MAY TINH CÂM TAY

I. Mục tiêu:






Bai 1 : trang37-casio

LUYÊN TÂP VÊ CAC ĐƯƠNG ĐÔNG QUY TRONG TAM GIAC

I. Mục tiêu:

- Biết vẽ và nhận biết 3 đường phân giac trong tam giác. Biết tâm của 1

đương tron nôi tiêp tam giác, tính chất 3 đường phân giac của 1 tam giác.

- Vận dụng được các định lí về sự đồng quy của ba đường phân giac của

1 tam giác để giải bài tập.

- Rèn luyện suy luận logic. Rèn thái độ cẩn thận, chính xác, trình bày

khoa học. Nghiêm túc khi học tập.

Bai 1 :

Bai 2 :

Bai 1: (bai 129/141-btnc&mscdt7)

Cho tam giac nhon ABC, Hai đương cao BD, CE căt nhau tai H. Ve điêm K sao cho AB

la trung trưc cua HK. Chưng minh răng KAB KCB

Bai 2: (bai 122/139-btnc&mscdt7)

NGUYÊN LY DIRICHLE

I. Mục tiêu:

- HS nắm được nguyên tắc Dirichle và bài toán chia hết.

- HS biết vận dụng nguyên tắc Dirichle vào giải toán

I. Nhăc lai nguyên tăc Dirichle

- Nếu nhốt a con thỏ vào b cái lồng mà a = b. q + r

(0 < r < b) thì ít nhất cũng có một lồng nhốt từ q + 1 con thỏ trở lên.

VD: Trong 13 người tùy ý, bao giờ cũng có hai người cùng sinh một tháng.

(13 = 12. 1 + 1)

VD2 : Co 6 con chim đâu trên 5 canh cây, thê nao cung co môt canh co it nhât 2con.

VD3 : Nhôt 9con ga vao 4 chuông thi phai co môt ngăn nao đo co tư 3 con trơ lên.

VD4 : Không thê xêp 7 ngươi ngôi trên 3 ghê ma không co ghê nao qua 2 ngươi.

II. Ap dung.

Bai 1:

Môt trương hoc co 1000 hoc sinh gôm 23 lơp. Chưng minh răng phai co it nhât môt lơp

co tư 44 hoc sinh trơ lên

Giai:

Gia sư 23 lơp môi lơp co không qua 43 hoc sinh.

Khi đo sô hoc sinh la:

43.23 = 989 hoc sinh (it hơn 1000 – 989 =11 hoc sinh)

Theo nguyên li Dirichlet phai co it nhât môt lơp co tư 44 hoc sinh trơ lên

Bài 2:

Môt lơp co 50 hoc sinh. Chưng minh răng co it nhât 5 hoc sinh co thang sinh giông

nhau

Giai:

Giả sử co không qua 4 hoc sinh co thang sinh giông nhau

Môt năm co 12 thang, khi đo sô hoc sinh của lơp co không qua: 12. 4 = 48 (hoc

sinh)

Theo nguyên li Dirichlet phai co it nhât 5 hoc sinh co thang sinh giông nhau

Bai 3:

Trong 45 hoc sinh lam bai kiêm tra, không co ai bi điêm dươi 2, chi co 2 hoc sinh

đươc điêm 10. Chưng minh răng it nhât cung tim đươc 6 hoc sinh co điêm kiêm tra

băng nhau (điêm kiêm tra la môt sô tư nhiên)

Giai:

Co 43 hoc sinh phân thanh 8 loai điêm (tư 2 đên 9)

Gia sư trong 8 loai điêm đêu la điêm cua không qua 5 học sinh thi lơp hoc co:

5.8 = 40 hoc sinh, it hơn 3 hoc sinh so với 43.

Theo nguyên ly Dirichlet tôn tai 6 hoc sinh co điêm kiêm tra băng nhau.

LUYÊN TÂP

NGUYÊN LY DIRICHLE

I. Mục tiêu:



Bài 5: Chứng minh rằng tồn tại số có dạng 19941994...199400...0 chia hết cho 1995.

Giai: Xét 1995 số có dạng: 1994; 19941994; ...;1994...1994

Nếu các số trên đều không chia hết cho 1995 thì khi chia từng số cho 1995 sẽ chỉ có 1994

khả năng dư là 1; 2; 3; ...; 1994.

Vì có 1995 số dư mà chỉ có 1994 khả năng dư, theo nguyên lí Đi-rích-lê tồn tại ít nhất 2

số khi chia cho 1995 có cùng số dư, hiệu của chúng chia hết cho 1995. Khi đó:

1994...199400...0 chia hết cho 1995.

Bài 6: CMR: Với 17 số nguyên bất kỳ bao giờ cũng tồn tại 1 tổng 5 số chia hết cho 5.

Giai: Xét dãy số gồm 17 số nguyên bất kỳ là : a1, a2, …, a17

Chia các số cho 5 ta được 17 số dư ắt phải có 5 số dư thuộc tập hợp{0; 1; 2; 3; 4}

Nếu trong 17 số trên có 5 số khi chia cho 5 có cùng số dư thì tổng của chúng sẽ chia hết

cho 5. Nếu trong 17 số trên không có số nào có cùng số dư khi chia cho 5 tồn tại 5 số

có số dư khác nhau tổng các số dư là: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 10

Vậy tổng của 5 số này chia hết cho 5.

Bài 7: Một lớp học có 40 học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất 4 học sinh có tháng sinh

giống nhau.

Giai: Một năm có 12 tháng. Ta phân chia 40 học sinh vào 12 tháng đó.

Nếu mỗi tháng có không quá 3 học sinh được sinh ra thì số học sinh không quá: 3.12 = 36

mà 36 < 40: vô lý.Vậy tồn tại một tháng có ít nhất 4 học sinh trùng tháng sinh ( trong bài

này 40 thỏ là 40 học sinh, 12 lồng là 12 tên tháng).

Bài 2: CMR từ 52 số nguyên bất kỳ luôn có thể chọn ra hai số mà tổng hoặc hiệu

của chúng chia hết cho 100

Hướng dẫn giải :Tất cả các số dư trong phép chia cho 100 được chia thành 51

nhóm như sau: {0} ;{1;99},{ 2;98}, … ,{49;51}; {50}. Có 52 số nên theo nguyên

tắc Dirichlet có hai số mà co số dư khi chia cho 100 thuộc cùng một nhóm trên.

Hai số này có hiệu chia hết cho 100 (Nếu số dư của chúng bằng nhau ) hoặc có

tổng chia hết cho 100 (nếu số dư của chúng khác nhau)

Bài 5: CMR trong các số tự nhiên thế nào cũng có k số sao cho 198k – 1 chia hết

cho 105.

Hướng dẫn giải:Cho k lần lượt lấy 105+1 giá trị liên tiếp từ 1 trở đi, ta được

105+1 giá trị khác nhau của 1983k – 1 .Chia 105+1 số này cho 105 ta chỉ có nhiều

nhất là 105 số dư. Vì vậy theo nguyên tắc Dirichlet phải có ít nhất hai số cho

cùng số dư khi chia cho 105. Giả sử số đó là 1983m-1 và 1983n-1 (m>n) Thế thì

hiệu của hai số này phải chia hết cho 105 (1983m-1)-(1983n-1)chia hết cho

105.Mà (1983m-1)-(1983n-1)=1983m-1983n=1983n(1983m-n -1).Nhưng 105và

1983n nguyên tố cùng nhau, do đó phải có 1983m-n -1 chia hết cho 105. Như vậy

có số k’=m-n sao cho 1983k’ –1 chia hết cho 105.

Bai 3: Có hay không một số có dạng 19911991 …. 1991 0000000 chia hết cho

1990

Bài 18: CMR trong 7 số tự nhiên bất kì ta cũng tìm được 3 số mà tổng của chúng

chia hết cho 3.Giải Một số tự nhiên khi chia cho 3 thì cho ta các số dư 0, 1 hoặc

2 .Vì 7 = 3.2 + 1 nên tồn tại 3 số mà khi chia cho 3 cho ta cùng một số dư .Tổng

3 số này sẽ chia hết cho 3

Bài 19: CMR trong số 100 số tự nhiên tuỳ ý bao giờ ta cũng chọn được 15 số mà

hiệu của 2 số bất kì trong 15 số ấy chia hết cho 4.Giải Các số dư trong phép chia

cho 7 của các số nhận nhiều nhất là 7 giá trị . Vì 100= 7.14 + 2 nên ta sẽ tìm

được 15 số mà khi chia cho 7 thì cho cùng một số dư.

Bài 22: CMR tồn tại 1 số tự nhiên, tất cả các chữ số bằng 1, chia hết cho 1993

NGUYÊN TĂC CƯC HAN

I. Mục tiêu:

- HS biêt đươc nguyên ly cưc han.

- HS bươc đâu vân dung đươc nguyên ly cưc han vao giai môt sô bai tâp.

- Ren luyên ky năng ly luân cho hoc sinh.

I. Tim hiêu vê nguyên tăc cưc han.

II. Tinh chât:

- Trong tâp hơp hưu han va khac rông cac sô thưc luôn co thê chon đươc sô be nhât va sô

lơn nhât.

- Trong tâp hơp khac rông cac sô nguyên dương luôn co thê chon đươc sô be nhât.

III. Bai tâp:

Bai 1:

LUYÊN TÂP

NGUYÊN LY DIRICHLE

I. Mục tiêu:



Bai 1: Cho ba sô nguyên tô lơn hơn 3. Chưng minh răng tôn tai hai sô co tông hoăc hiêu

chia hêt cho 12.

Giai:

Môt sô nguyên tô lơn hơn 3 chia cho 12 thi sô dư co thê la môt trong bôn sô 1; 5; 7; 11.

Chia thanh 2 nhom: Nhom dư 1 hoăc dư 11. Nhom dư 5 hoăc dư 7.

Co ba sô nguyên tô ma chi co hai nhom sô dư nên tôn tai hai sô thuôc cung môt nhom.

- Nêu hai sô dư băng nhau thi hiêu cua chung chia hêt cho 12.

- Nêu hai sô dư khac nhau thi tông cua chung chia hêt cho 12.

Bai 2: Cho 51 sô nguyên dương khac nhau không vươt qua 100. Chưng minh răng tôn tai

hai sô trong 51 sô đo

a. Hơn kem nhau 50 đơn vi .

b. Co tông bang 101.

Giai:

a. Tâp hơp cac sô dư khi chia cho 50 la

{0; 1; 2;...49} gôm 50 phân tư.

Trong 51 sô đa cho, tôn tai hai sô co cung sô dư khi chia cho 50, chăng han la am, va an va

gia sư am > an, khi đo: am - an 50

Do 0 < am - an < 100 nên am - an = 50.

Vây, tôn tai hai sô trong 51 sô đo Hơn kem nhau 50 đơn vi .

b.

Goi 51 sô đa cho la a1; a2; ..a51; gia sư a1 < a2 < ...< a51

Xet 102 sô sau, chia thanh hai nhom:

Nhom thư nhât gôm 51 sô đa cho, xêp tăng dân:

a1 < a2 < ...< a51

Nhom thư hai gôm 51 hiêu, xêp tăng dân:

101 – a1 > 101 – a2 >...> 101 – a51.

Ta co 102 sô nguyên dương lây trong tâp hơp {0; 1; 2;...100}. Vây tôn tai hai sô băng

nhau, hai sô nay thuôc hai nhom khac nhau, chăng han am thuôc nhom 1 va 101 – an

thuôc nhom 2. Khi đo: am = 101 – an nên am + an = 101.

Hai sô am va an không thê bang nhau vi tông cua chung la sô le. Đo la hai sô trong 51 sô

đa cho co tông băng 101.

- Bai 1: Chưng minh răng trong ba sô tư nhiên bât ky luôn chon đươc hai sô co tông chia

hêt cho 2.

LUYÊN TÂP

NGUYÊN TĂC CƯC HAN

I. Mục tiêu:

- HS biêt đươc nguyên ly cưc han.

- HS bươc đâu vân dung đươc nguyên ly cưc han vao giai môt sô bai tâp.

- Ren luyên ky năng ly luân cho hoc sinh.

Bai 1:

Trên măt phăng, cho 25 điêm. Biêt răng vơi ba điêm bât ki trong sô cac điêm đo luôn

chon đươc hai điêm co khoang cach nho hơn 1. Chưng minh răng trong cac điêm đa cho

co it nhât 13 điêm năm trong môt đương tron co ban kinh la 1.

Giai:

Bai 2: Trên măt phăng cho 2n điêm, không co ba điêm nao thăng hang, trong đo n điêm

đươc tô mau đo, n điêm tô mau xanh. Chưng minh răng tôn tai môt cach nôi tât ca cac

điêm tô mau đo vơi tât ca cac điêm tô mau xanh bơi n đoan thăng không giao nhau.

Giai:

Bai 1: Trên măt phăng cho 2004 điêm, trong đo không co ba điêm nao thăng hang. Ngươi

ta tô mau xanh môt cach tuy y 1002 điêm, va tô mau đo 1002 điêm con lai. Hoi co thê tim

đươc 1002 điêm tô mau vang sao cho môi điêm nay la trung điêm cua môt va chi môt

đoan thăng nôi môt điêm mau đo vơi môt điêm mau xanh.

Giai:

LUYÊN Ṭ ÂP C̣ ÁC TRƯỜNG H P Ḅ NG NHAU CỦA TAM GIÁC...

Documents

Transcript of LUYÊN Ṭ ÂP C̣ ÁC TRƯỜNG H P Ḅ NG NHAU CỦA TAM GIÁC...