“L'universo… è scritto in linguaggio matematico, e le lettere sono triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza le quali è umanamente impossibile comprendere una

singola parola”.

Galileo Galilei

Diamo una definizione matematica di curva:

Per curva si intende un oggetto unidimensionale e continuo (curve semplici possono essere la retta o la circonferenza) che può giacere nel piano o nello spazio tridimensionale. Una curva può essere pensata intuitivamente come la traiettoria descritta da un oggetto (puntiforme) che si muove con continuità in qualche spazio.

Iniziamo il nostro viaggio nel mondo delle curve, parliamo della SPIRALE.

La spirale è una curva che si avvolge attorno a un determinato

punto centrale o asse, avvicinandosi o allontanandosi

progressivamente, a seconda di come si percorre la curva.

Alcuni tipi di spirali bidimensionali più importanti sono:

•SPIRALE ARCHIMEDEA•SPIRALE IPERBOLICA

•SPIRALE LOGARITMICA

S P I R A L E A R C H I M E D E A

Una spirale Archimedea o spirale di Archimede è una curva che può essere descritta in coordinate polari (r, θ) dalla seguente equazione:

r = a + bθ

dove il parametro a fa ruotare la spirale, mentre b controlla la distanza tra i bracci.

Un tipo particolare di spirale archimedea è la spirale di Fermat o spirale parabolica.

L’equazione in coordinate polari è:

r² = α² θ

Nell’equazione r assume due valori, uno positivo e l’altro negativo. Pertanto la curva presenta due bracci che si sviluppano in direzioni opposte, senza mai intersecarsi.È proprio il modello per le spirali estive contro le zanzare!

S P I R A L E I P E R B O L I C A

Una spirale iperbolica è una curva piana nota come spirale reciproca ed è l’inversa della spirale di Archimede.

La curva si avvolge sempre più velocemente al polo mentre si avvicina e la lunghezza totale del percorso è infinita.

L’equazione in coordinate polari è:

r θ = a

S P I R A L E L O G A R I T M I C A

L’equazione in coordinate polari è:

θ

a

rblog

da cui il nome “logaritmica”.

Il parametro a ruota la spirale mentre b controlla quanto è stretta e in quale direzione si avvolge.

La natura ci offre molti esempi di strutture a forma di spirale. Analizziamone alcune tra le più affascinanti.

L’universo e le galassie spirali: LA VIA LATTEA

La nostra galassia, la Via Lattea, è una spirale barrata formata da quattro bracci spirali principali, ciascuno dei quali è una spirale logaritmica con inclinazione di circa 12 gradi.

Una galassia è un sistema costituito da stelle, gas interstellare e polveri che sono legati tra loro attraverso l’azione della forza di gravità.Nella sequenza di Hubble la nostra galassia, la Via Lattea, è una spirale con classificazione SBb, per la presenza di una piccola barra vicino al bulge.

Una galassia spirale è caratterizzata dalle seguenti proprietà:•È composta da un bulge centrale circondato da un disco;•È popolata da giovani stelle azzurre, localizzate in particolare nei bracci.

I cicloni tropicali: GLI URAGANI

I cicloni tropicali sono perturbazioni caratterizzate da venti fortissimi e piogge violente.I venti che si vengono a formare possono superare i 300 Km/h e convergono a spirale verso il centro.

Un particolare tipo di fossile: L’AMMONITE

Si definisce fossile (dal latino fòdere = scavare) qualsiasi resto o traccia di organismo vegetale o animale vissuto in epoche anteriori all’attuale e conservato nelle rocce della crosta terrestre.

Le Ammoniti sono un gruppo di animali marini estinti appartenente alla sottoclasse Ammonoidea. L’animale vivente più simile è il moderno Nautilus.

Le conchiglie di questo tipo di fossili hanno la forma di spirali avvolte su un piano ed è proprio questa caratteristica ad aver determinato il loro nome.

L’aspetto di questi animali ricorda quello del corno di un montone.

Plinio il Vecchio definì i fossili di questi animali ammonis cornua, “corno di Ammone”.

Una delle sue opere fondamentali è la “Naturalis historia” che si presenta come una ricerca a carattere enciclopedico sui fenomeni naturali.

La forza di Lorentz:MOTO DI UNA PARTICELLA IN UN CAMPO

MAGNETICO

Una carica q in moto immersa in un campo magnetico subisce l’azione di una forza, detta forza di Lorentz, la cui espressione è:

BvqF In particolare, una particella carica che entra in un campo magnetico uniforme con velocità non perpendicolare e non parallela al campo stesso, compie una traiettoria elicoidale, combinazione di un moto circolare uniforme e di un moto rettilineo uniforme e perpendicolare al primo.La particella quindi si muove descrivendo una spirale nello spazio formata da un susseguirsi di circonferenze secondo un moto costante.

Continuiamo il nostro viaggio nel mondo delle curve, parliamo ora delle CONICHE.

Si definisce conica una curva piana che sia luogo dei punti

ottenibili come rappresentazione della superficie di un cono,

o doppio cono, tagliato da un piano intersecante.

L’ellisse è definita come il luogo dei punti, in un piano, la cui somma delle distanze da due punti fissi dati (detti fuochi) è costante.

E L L I S S E

L’equazione cartesiana dell’ellisse è:

12

2

2

2

b

y

a

x

L’ellisse: L’ORBITA DEI PIANETI

PRIMA LEGGE DI KEPLERO

L’orbita descritta da un pianeta è un’ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.

SECONDA LEGGE DI KEPLERO

Il raggio vettore che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali.

TERZA LEGGE DI KEPLERO

I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono direttamente proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite.

In termini matematici la legge si può scrivere come:

32 aKT

dove K è una costante che dipende dal corpo celeste che si prende in considerazione.

La Terra:ELLISSOIDE O GEOIDE?

ELLISSOIDE A TRE ASSIDefinito da un’equazione

matematica ma poco rispondente alla realtà.

GEOIDENon ha un’equazione

matematica ma è costruito con misurazioni che fanno riferimento alla forza di

gravità, per questo più fedele alla realtà.

Passiamo ora a parlare di curve particolari, LE CURVE MODERNE.

LA DISTRIBUZIONE GAUSSIANA

2kxeaxf

La curva rappresenta la distribuzione di probabilità di un evento descritto da una variabile continua.La distruzione si definisce gaussiana, o normale, se la curva di probabilità assume la caratteristica forma a “campana”.

a

0

Poiché la probabilità continua si definisce:

dxxfbxaPb

a

è interessante calcolare questo integrale che però non è risolvibile elementarmente

0

y

xa b

bxaP

LA CURVA DI PEANO

Peano è noto per la sua celebre curva che riempie un quadrato.Come fa una curva, che è un ente geometrico ad una sola dimensione, a riempire un quadrato che è bidimensionale?La curva non ha una equazione cartesiana ma si procede per iterazioni successive.

LE CURVE FRATTALI

Il frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella sua struttura allo stesso modo su scale diverse, ovvero che non cambia aspetto anche se visto con una lente di ingrandimento.La costruzione di un frattale avviene tramite algoritmo.

Un celebre tipo di frattale è la curva di Koch (o fiocco di neve):

La linea curva nell’arte:LO STILE LIBERTY

Lo stile Liberty è l’equivalente italiano dell’Art Nouveau, che si diffuse in tutta l’Europa fra il 1890 e il 1915. Generalmente è caratterizzato da un eccesso di ornamenti, sia nell’architettura che nelle altre arti: prevalgono le linee ondulate, le spirali, soprattutto i fiori, che danno allo stile anche il nome di Floreale.

Klimt è il pittore più complesso di questo periodo artistico.Nell’opera “L’Attesa”, osserviamo due elementi decorativi: la linea a spirale e i triangoli che formano la figura femminile.

Le spirali rappresentano il grande albero della vita.

Le curve in architettura:LA CATENARIA

La catenaria è una curva piana (simile alla parabola), il cui andamento è quello caratteristico di una fune i cui due estremi siano fissati e la cui parte centrale sia lasciata pendere, soggetta soltanto al proprio peso.Considerando il fatto che la catenaria ha in ogni punto una distribuzione uniforme del suo stesso peso, essa è stata sfruttata per molte costruzioni architettoniche.La catenaria è usata nella costruzione dei ponti sospesi e anche nelle cupole delle cattedrali.Un esempio è il GOLDEN GATE BRIDGE sulla baia di San Francisco.

Un altro uso della catenaria è nella costruzione delle cupole. La cupola della Cattedrale di St. Paul a Londra, per esempio, è costruita seguendo una catenaria riflessa lungo una retta orizzontale.