LUIS GONZALO PULGARÍN R [email protected] Polígonos Luis Gonzalo Pulgarín R.
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PolígonosLuis Gonzalo Pulgarín R
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Es la figura que está formada por segmentos de recta. POLI significa MUCHOS Y GONOS significa Ángulos.
La interseción de dos segmentos de recta o lados de un Polígono determina el ángulo.
Es la figura que está formada por segmentos de recta. POLI significa MUCHOS Y GONOS significa Ángulos.
La interseción de dos segmentos de recta o lados de un Polígono determina el ángulo.
Segmentos de recta
Ángulos
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:
Vértice
Lado
Superficie o área
Para hallar el Perímetro se suman todos sus lados
(1)
(1)
(2)
(2)
(3)
(3)
(4)
(4)
(5)
(5)
Apotema(Distancia del centro del polígono al centro de un lado)
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Polígonos RegularesEs aquella figura que tiene todos sus lados de igual
longitud(congruentes: iguales) y los ángulos internos de la misma amplitud
Ejemplos
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Polígonos Irregulares Si los lados de un polígono tienen diferentes medidas y
sus ángulos interiores no son congruentes(iguales) se
llaman polígonos irregulares. Ejemplos
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Clases de PolígonosPodemos clasificar los polígonos por:
El número de lados que tiene. Dibujar cada figura según el número de sus lados: dejar 3 o 4 renglones para cada dibujo.
•3 lados – TRIÁNGULO
•4 lados – CUADRILÁTERO
•5 lados – PENTÁGONO
•6 lados – HEXÁGONO
•7 lados – HEPTÁGONO
•8..lados OCTÁGONO
•9 lados NONÁGONO
•10 Lados DECÁGONO
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Clasificación de los polígonos por el número de lados
• Triángulo• Tiene 3 lados y 3 ángulos
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CUADRILATERO4 LADOS y 4 ÁNGULOS
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PENTÁGONO5 LADOS y 5 ÁNGULOS
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HEXÁGONO6 LADOS Y 6 ÁNGULOS
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HEPTÁGONO7 LADOS Y 7 ÁNGULOS
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OCTÁGONO8 LADOS Y 8 ÁNGULOS
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NONÁGONO9 LADOS Y 9 ÁNGULOS
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DECÁGONO10 LADOS Y 10 ÁNGULOS
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ENDECÁGONO11 LADOS Y 11 ÁNGULOS
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DODECÁGONO12 LADOS Y 12 ÁNGULOS
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PENTADECÁGONO15 LADOS Y 15 ÁNGULOS
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01.-Polígono convexo.-Las medidas de sus ángulos interiores son agudos.
02.-Polígono cóncavo.-La medida de uno o mas de sus ángulos interiores es cóncavo.
03.-Polígono equilátero.-Sus lados son congruentes.
04.-Polígono equiángulo.-Las medidas de sus ángulos interiores son congruentes.
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Triángulo : 3 lados Cuadrilátero: 4 lados Pentágono:
5 lados Hexágono: 6 lados Heptágono: 7 lados Octágono:
8 lados
Nonágono: 9 lados Decágono: 10 lados Endecágono: 11 lados Dodecágono: 12 lados Pentadecágono: 15 lados Icoságono: 20 lados
05.-Polígono regular.-Todos sus lados y ángulos son iguales(congruentes) es equilátero y a su vez equiángulo.
06.-Polígono irregular.-Sus lados tienen longitudes diferentes.
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El cuadrilátero.Polígonos regulares
Luis Gonzalo Pulgarín R
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Definiciones:
• Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.• Dos lados son opuestos si no son consecutivos.• Dos vértices son opuestos si no son consecutivos.
a
b
d
c
A
BC
D
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Un cuadrilátero es un polígono que
tiene cuatro lados y cuatro ángulos.
Los lados de un cuadrilátero pueden
ser: consecutivos u opuestos. De acuerdo
a la igualdad o al paralelismo de sus
lados, podemos clasificarlos en:
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DENTRO DE LOS CUADRILÁTEROS TENEMOS:
PARALELOGRAMOS NO PARALELOGRAMOS
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DENTRO DE LOS PARALELOGRAMOS HAY CUATRO TIPOS:
ROMBOIDE CUADRADO
RECTÁNGULO
ROMBO
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Clasificación De Los Cuadriláteros
CUADRILÁTEROS
PARALELOGRAMOS
TRAPECIOS
TRAPEZOIDES
(Tienen sus ladosOpuestos paralelos)
(Únicamente tieneParalelas sus bases)
(No tiene ladosParalelos)
RECTÁNGULOS
ROMBO
ROMBOIDE
RECTANGULAR
ISÓSCELES
ESCALENO
SIMÉTRICO
ASIMÉTRICO
CUADRADO
CUADRILONGO(4 ángulos rectos)(4 lados iguales)
(lados opuestos iguales)(4 lados iguales, 2 ángulos agudos,
2 ángulos obtusos)(lados opuestos iguales, 2 Ángulos agudos 2 obtusos)
(2 ángulos rectos)
(2 lados iguales)(lados diferentes, no tineÁngulos rectos)
(tiene sus lados iguales 2 A 2 y una de sus diagonales es eje de simetria
(no tiene lados iguales, ni ejes de simetría)
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Perímetro De Un Polígono RegularEl perímetro de un polígono es la suma de las longitudes
de sus lados. Si representamos el Perímetro con la letra P , el número de sus lados con la letra L y la longitud con la
letra L. La fórmula es: P L x L
P=L x L
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Para conocer el perímetro de un polígono cualquiera debemos medir y sumar las longitudes de sus lados. Algunas figuras, debido a que tienen lados iguales, tienen fórmulas fáciles y rápidas con las que podemos calcular su perímetro.
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Hagamos un concurso por grupos.
1. Tiene los cuatro lados iguales:
a) Sólo el cuadrado b) Algunos rectángulos c) El cuadrado y el rombo
2. Sólo tiene sus lados iguales dos a dos:
a) El cuadrado c) El rombob) El rectángulo y el romboide
3 Sus cuatro ángulos son iguales :
a) El cuadrado b) El cuadrado, el rombo y el rectángulo
c) El cuadrado y el rectángulo
4. Sus diagonales son perpendiculares: a) El cuadrado c) El cuadrado y el romboide c) El cuadrado y el rombo
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ÁREA DE UN PARALELOGRAMO = BASE ∙ ALTURA
A VECES NO ES FÁCIL CALCULAR LA BASE Y LA ALTURA DE UN PARALELOGRAMO.
ASÍ QUE TRATAREMOS DE VER FÓRMULAS QUE NOS AYUDARÁN PARA CADA CASO.
¿BASE?
¿ALTURA?
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PARA FACILITARNOS EL TRABAJO MEMORIZAREMOS LA FÓRMULA DEL ÁREA DE CADA PARALELOGRAMO.
PERO ADEMÁS COMPRENDEREMOS DE DÓNDE SALE CADA FÓRMULA
COMPRENDEREMOSParalelogramo Nombre Área
cuadrado lado X lado
rectángulo
rombo
romboide
base X altura
Diagonal X diagonal
2
base X altura
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Sabiendo que el área de un triángulo es:
AT = Base · altura
2
AC = 2 · AT = 2 · lado X lado
2 = lado X lado
= base X altura AR = 2 · AT = 2 · base · altura
2
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Área De Un Polígono Regular
A=NoT x AT
AT=L x a2
a
NoT=NoL
A= NoL x L x a
2A= P x a
2
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Área De Un Círculo
Apr=P x a2
Pc=2 x pi x R R=a
Ac=2 x pi x R x R2
Ac= pi x R2
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Los polígonos son equivalentes cuando tienen la misma superficie, aunque tengan distinta forma. Esta propiedad es de suma utilidad para calcular la superficie de diferentes polígonos.
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Los cuerpos geométricos se clasifican de acuerdo a la forma de sus caras: - Cuerpos poliedros: son aquellos que tienen todas sus caras planas. Estos, a su vez, pueden dividirse en poliedros regulares y poliedros irregulares. - Cuerpos rodantes: son aquellos que tienen por lo menos una cara curva.
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PRIMERA PROPIEDAD
Numéricamente: Lados, vértices, ángulos interiores, ángulos exteriores y ángulos centrales son iguales.
• Lados
• Vértices
• Ángulos interiores
• Ángulos exteriores
• Ángulos centrales
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SEGUNDA PROPIEDAD
A partir de un vértice de un polígono, se pueden trazar (n-3 ) diagonales.
Ejemplo:
ND = (n-3) = (5-3) = 2 diagonales
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TERCERA PROPIEDAD
El número total de diagonales que se puede trazar en un polígono:
2
)3n(nND
Ejemplo:
diagonales 52
)35(5ND
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CUARTA PROPIEDAD
Al trazar diagonales desde un mismo vértice se obtiene (n-2) triángulos
Ejemplo:
3
2
1
Ns. = ( n – 2 ) = 5 - 2 = 3 triángulos
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QUINTA PROPIEDAD
Suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono:
Si =180°(n-2)
Ejemplo:
180º
180º
180º
Si = 180º x número de triángulos = 180º(5-2) = 540º
Donde (n-2) es número de triángulos
Suma de las medidas de losángulos interiores del triangulo
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SEXTA PROPIEDADSuma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono es 360º
Se = 360°
+ + + + = 360º
Ejemplo:
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SEPTIMA PROPIEDAD
Al unir un punto de un lado con los vértices opuestos se obtiene (n-1) triángulos
Ejemplo:
3
2
1
4
Ns. = ( n – 1 ) = 5 - 1 = 4 triángulos
Punto cualquiera deun lado
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OCTAVA PROPIEDAD
Al unir un punto interior cualquiera con los vértices se obtiene “n” triángulos
3
2
1
45
Ns. = n = 5 = 6 triángulos
Ejemplo:
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NOVENA PROPIEDAD
Número de diagonales trazadas desde “V” vértices consecutivos, se obtiene con la siguiente fómula.
2
)2V)(1V(nVND
Ejemplo:
2
1
y así sucesivamente
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1ra. Propiedad 2da. Propiedad
3ra. Propiedad 4ta. PropiedadSuma de las medidas de los ángulos centrales.
Sc = 360°
Medida de un ángulo interior de un polígono regular o polígono equiángulo.
n
)2n(180m
i
Medida de un ángulo exterior de un polígono regular o polígono equiángulo.
n
360em
Medida de un ángulo central de un polígono regular.
n
360cm
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En un polígono, la suma de las medidas de los ángulos exteriores e interiores es 1980°. Calcule el total de diagonales de dicho polígono.
360° + 180°( n - 2 ) = 1980°
Se + Si = 1980°
Resolviendo: n = 11 ladosn = 11 lados
Número de diagonales:
2
)3n(nND
2
)3n(nND
2
) 311 ( 11ND
ND = 44ND = 44
Del enunciado:
Luego, reemplazando por las propiedades:
Problema Nº 01
RESOLUCIÓN
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¿Cómo se denomina aquel polígono regular, en el cual la medida de cada uno de su ángulo interno es igual a 8 veces la medida de un ángulo externo
mi = 8(me )
Resolviendo: n = 18 ladosn = 18 lados
Polígono de 18 ladosPolígono de 18 lados
Polígono es regular:
)n
360(8
n
)2n(180
Problema Nº 02
Del enunciado:
Reemplazando por las propiedades:
Luego polígono es regular se denomina:
RESOLUCIÓN
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Calcule el número de diagonales de un polígono convexo, sabiendo que el total de las diagonales es mayor que su número de lados en 75.
Resolviendo: n = 15 ladosn = 15 lados
Luego, el número total de diagonales:
2
)3n(nND
2
)3n(nND
2
) 315 ( 15ND
ND = 90ND = 90
2
) 3n ( n
ND = n + 75
= n + 75
n2 - 5n - 150 = 0
Problema Nº 03
Del enunciado:
Reemplazando la propiedad:
RESOLUCIÓN
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En un polígono regular, se le aumenta un lado, la medida de su ángulo interno aumenta en 12°; entonces el número de vértices del polígono es:
Resolviendo: n = 5 ladosn = 5 lados
NV= 5 vérticesNV= 5 vértices
Polígono es regular:
Polígono original: n ladosPolígono modificado: (n+1) lados
1n
) 21n (180 12
n
) 2n (180
Número de lados = Número de vértices
Problema Nº 04
Del enunciado:
Reemplazando por la propiedad:
RESOLUCIÓN
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El número total de diagonales de un polígono regular es igual al triple del número de vértices. Calcule la medida de un ángulo central de dicho polígono.
Resolviendo: n = 9 ladosn = 9 lados
mc = 40°
Polígono es regular:
2
)3n(n = 3n
Luego, la medida de un ángulo central:
n
360m c
n
360m c
9
360m c
Problema Nº 05
Del enunciado:
RESOLUCIÓN
ND = 3nReemplazando por la propiedad:
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LUIS GONZALO PULGARÍN R