Lucia 2010 [Lezioni Di Scienza Delle Costruzioni - 03] R0.1.0

3 Geometria delle masse

Corso di Scienza delle Costruzioni dott. ing. Pasquale Lucia

• Baricentri e momenti statici;

• Momenti del secondo ordine;

• Teoremi di trasposizione;

• Circolo di Mohr e direzioni principali d’inerzia;

• Centro relativo ad un asse e polarità d’inerzia;

• Elisse centrale d’inerzia e nocciolo centrale d’inerzia;

• Caratteristiche inerziali di figure piane.

Nel presente capitolo si parlerà di masse, non necessariamente intese come masse materiali, non si faràinfatti alcuna ipotesi circa la loro natura salvo quella che siano tra di loro omogenee.

P6 (m6)

P5 (m5)

P4 (m4)

P3 (m3)

P1 (m1)

P2 (m2)

sistema continuo A

M P dA sistema discreto i

i ..N

M m

1

se m=cost la massa si dice uniformemente distribuita ed il relativo sistema materiale si dice omogeneo. Inparticolare se si assume m=1, la massa si identifica con la misura del campo in cui è diffusa trasformandosiin un volume, in un’area o in una lunghezza.


Baricentri e momenti statici

2/29 a.a. 2010-’11 GEOMETRIA DELLE MASSE

Ad un sistema discreto di masse mi applicate nei punti Pi del piano x,y si associa un sistema di vettoriparalleli (Pi, mi) con direzione arbitraria e modulo proporzionale ai valori delle masse concordi e versoarbitrario (si assume che le masse siano tutte caratterizzate dal medesimo segno).

Il centro del sistema così definito si dice baricentro dellemasse assegnate, si indica usualmente con G e coincidecon il punto intorno al quale ruota l’asse centrale delsistema quando i singoli vettori ruotano intorno airispettivi punti di applicazione restando fra di loroparalleli.

P2 (m2)

P1 (m1)

P3 (m3)

P4 (m4)

P5 (m5)

P6 (m6)

x

y

O

i ii ..n

m P O

(G O)M

1

i ii ..n

G

m y

yM

1

i ii ..n

G

m x

xM

1

Nel caso di sistemacontinuo

A

P P O dA

(G O)M

A

G

P ydA

yM

A

G

P xdA

xM




Determinazione grafica della posizione del baricentro.

La costruzione grafica della posizione del baricentro discende direttamente dalla definizione come punto diintersezione degli assi centrali dei vettori masse per due direzioni distinte.

Le due direzioni possono essere scelte l’una normaleall’altra, in questo modo è necessario costruire un solopoligono funicolare p.

p

il poligono relativo alla direzione normale risulta avere i lati

ortogonali ai lati di p e si dice normal poligono




Proprietà distributiva: quando una figura piana èdecomponibile in altre più semplici di cui si conosce già laposizione dei relativi baricentri Gi, è lecito concentrare inquesti ultimi le aree mi=Ai·m corrispondenti alle varie figure,riducendo così il problema alla determinazione delbaricentro G del sistema discreto Gi(mi).

Proprietà fondamentale del baricentro è quella collegataall’eventuale presenza di un asse di simmetria (ortogonale oobliquo): il baricentro di un sistema discreto o di una figurapiana dotata di un asse di simmetria (meridiana) appartiene almedesimo asse. Il baricentro di una figura (sistema discreto)dotata di due assi di simmetria coincide con il punto diintersezione dei due assi (meridiane).




Momento statico di una massa mi concentrata nel punto Pi rispetto ad un asse è per definizione pari alprodotto mi·di con di distanza orientata valutata secondo una qualsiasi direzione.

yi

Pi (mi)

y

x

yin

xi

xin

O

x i iS m y

y i iS m x

valutando la distanza in direzioneortogonale all’asse:

n

x i iS m y sen

n

y i iS m x sen

Momento statico di un sistema discreto di n masse:

x i ii ..n

S m y

1

y i ii ..n

S m x

1

n

x i ii ..n

S m y sen

1

n

y i ii ..n

S m x sen

1

Momento statico di un sistema continuo: x

A

S P ydA y

A

S P xdA

n

x

A

S P ydA sen n

y

A

S P xdA sen




Vettore momento statico:

xG G

xj

Pj (mj)

xiPi (mi)

y

x

Teorema di Varignon: il momento statico di un sistema piano di masse, rispetto ad un asse qualunque delpiano, con distanze valutate secondo una direzione generica, è uguale all’analogo momento della massa delsistema M supposta concentrata nel baricentro.

x

y

Pi (mi)

yi

Pj (mj)

yj

G

yG

x i i Gi ..n

S m y y M

1

y i i Gi ..n

S m x x M

1

i iy i ..n

G

m xS

xM M

1

i ii ..nx

G

m yS

yM M

1

Oss1: l’annullarsi del momento statico rispetto ad un asse è condizione necessaria e sufficiente affinché quest’ultimo risultibaricentrico. Il baricentro si può pertanto definire come il punto di sostegno del fascio di assi rispetto ai quali è nullo ilmomento statico.

Oss2: visto che le coordinate xi, yi sono affette da segno il valore del momento statico può essere positivo negativo o nullo.




Baricentri di figure piane




yi

Pi (mi)

y

x

yin

xi

xin

O

x i iI m y 2

y i iI m x 2

valutando la distanza in direzioneortogonale all’asse:

n

x i iI m y sen 2 2

n

y i iI m x sen 2 2

Momenti di inerzia assiali diun sistema discreto di nmasse:

x i ii ..n

I m y

2

1y i i

i ..n

I m x

2

1

n

x i ii ..n

I m y sen

2 2

1

n

y i ii ..n

I m x sen

2 2

1

Momenti di inerzia assiali di un sistema continuo:

x

A

I P y dA 2 y

A

I P x dA 2

n

x

A

I P y dA sen 2 2 n

y

A

I P x dA sen 2 2

Nella geometria delle masse si definiscono momenti del secondo ordine delle funzioni quadratiche delledistanze.

Momenti centrifughi di un sistema discreto di n masse: xy i i ii ..n

I m x y

1

n

xy i i ii ..n

I m x y sen

2

1

Momenti centrifughi di un sistema continuo: n

xy

A

I P x ydA sen 2 xy

A

I P x ydA


Momenti di secondo ordine


x

A

I P y dA 2

Oss1: il momento centrifugo può, anche per masse tutte del medesimo segno, risultare positivo, negativo o nullo; il suo segnoresta invariato se si muta il verso di entrambi gli assi rispetto ai quali viene valutato, mentre cambia se si cambia il verso di unosolo di questi.

Oss2: per sistemi di masse di egual segno il momento di inerzia rispetto ad un qualunque asse è affetto dal segno delle masse(per masse positive risulta sempre >=0).

xy i i ii ..n

I m x y

1

O i ii ..n

I m r

2

1

x

y

yj

xj

x

y

x

y

x

y

Fissato un qualunque punto O nel piano, detta rj la distanza da esso del generico punto Pj di un sistema discreto ed r quella delpunto corrente P del campo cui si suppone diffusa la massa di un sistema continuo, si definiscono momenti di inerzia polaririspetto al polo O le grandezze:

O

A

I P r dA 2 O

l

I P r dl 2

Se si considera una qualsiasicoppia di assi ortogonali x, yuscenti da O si ha:

i i ir x y 2 2 2

pertanto risulta




Oss3: La grandezza scalare momento d’inerzia polare così introdotta è dunque per sua definizione invariante al variare dellacoppia di assi prescelti nel fascio avente centro nel medesimo punto O.

Nei sistemi studiati nella meccanica dei solidi le distribuzioni di masse continue o discrete mantengono unsegno costante (generalmente positivo) pertanto i momenti di inerzia assiali Jx(y) mantengono sempre ilsegno delle masse. Il rapporto Jx(y) /M risulta sempre positivo e pertanto è possibile definire le grandezze:

xx

I

M 2 x

x

I

M

y

y

I

M 2 y

y

I

M

ρx e ρy hanno le dimensioni di una lunghezza e prendono il nome di raggio di inerzia del sistemarispettivamente rispetto al assi x e y.

Si osserva che ρx (ρy) può interpretarsi come distanza dall’asse x (y) di un punto in cui si deve immaginareconcentrata la massa totale M affinché il relativo momento di inerzia uguagli quello del sistema.

Oss: per i momenti del secondo ordine non vale il teorema di Varignon:

x xI M 2

y yI M 2

x G y Gy x




Leggi di variazione dei momenti: tali leggi consentono di valutare i momenti del secondo ordine ed i raggi di inerzia pergenerici assi del piano quando siano noti alcuni di essi (relativi ad assi del fascio baricentrico).

Teoremi di trasposizione o di Huyghens: leggi di variazione dei momenti rispetto alle rette di un fascioimproprio.

G

yi

Pi (mi)

y

x

yG

xG

xi

x'

y'

y'i

x'i

• Il momento centrifugo Ixy del sistema rispetto agli assi x e y è pari alla sommadell’analogo momento Ix’y’ rispetto agli assi x’ e y’ baricentrici e paralleli ai dati assi edel momento centrifugo, rispetto ai primi, della massa totale M suppostaconcentrata nel baricentro:

' '

i i G i i Gx x x y y y

xy x'y' G GI I x y M

• Il momento di inerzia di un sistema rispetto ad un qualunque asse x (y) del suopiano è pari alla somma dell’analogo momento rispetto all’asse x’ (y’) ad essoparallelo e baricentrico e del momento di inerzia, rispetto al primo, della massatotale M supposta concentrata nel baricentro:

x x' GI I y M 2

y y' GI I x M 2

• Il momento polare di un sistema rispetto ad un qualsiasi polo O è pari alla somma dell’analogo momento rispetto al baricentro edel momento d’inerzia polare rispetto ad O della massa totale:

O x y x' y' G G G GI I I I I x y M I r M 2 2 2


Teoremi di trasposizione


Oss1: Gli assi baricentrici rappresentano tra le rette appartenenti ad un qualsiasi fascio improprio, quellerispetto alle quali è minimo il momento di inerzia.

Oss2: Il baricentro si può considerare come il punto rispetto al quale è minimo il momento di inerzia polaredel sistema.

Dal teorema di trasposizione dei momenti di inerzia può dedursi un teorema analogo relativo ai raggi diinerzia:

x x'G x x' G

I Iy y

M M 2 2 2 2

y y'

G y y' G

I Ix x

M M 2 2 2 2

Oss3: tra le rette appartenenti ad un qualsiasi fascio improprio, quelle baricentriche sono tali da rendereminimo, oltre che il momento d’inerzia, il raggio d’inerzia.


Teoremi di trasposizione


Leggi di trasformazione dei momenti rispetto alle rette di un fascio proprio

Si considera un sistema piano continuo di area A e distribuzione di massa m costante. Noti Ix0, Iy0 e Ix0y0 i momenti di inerzia ed il momentocentrifugo rispetto agli assi x0 e y0, si calcoli Ix, Iy Ixy rispetto agli assi x e y ottenuti ruotando di un angolo α gli assi x0 e y0.

x x cos + y sen ; y y cos x sen 0 0 0 0

x

A A

I y dA y cos x sen dA 22

0 0

x x y x yI I cos I sen I cos sen 2 2

0 0 0 02

y

A A

I x dA x cos y sen dA 22

0 0

y y x x yI I cos I sen I cos sen 2 2

0 0 0 02

xy

A A

I x ydA x cos y sen y cos x sen dA 0 0 0 0

xy x y x yI I I sen cos I cos sen 2 2

0 0 0 0

Oss: Invarianza di IO

x y x y OI I I I costante I 0 0

cos cos sen ; sen sen cos 2 22 2 2

cos coscos ; sen

2 21 2 1 2

2 2


Circolo di Mohr e direzioni principali d’inerzia


x y x y

x x y

I I I II cos I sen

0 0 0 0

0 02 2

2 2

x y x y

y x y

I I I II cos I sen

0 0 0 0

0 02 2

2 2

x y

xy x y

I II sen I cos

0 0

0 02 2

2

Gli assi principali di inerzia rappresentano gli assi rispetto ai quali imomenti di inerzia assumono i valori estremi.

xx y x y

dII I sen I cos

d

0 0 0 02 2 2 0

y

x y x y

dII I sen I cos

d

0 0 0 0

2 2 2 0

Oss2: in corrispondenza dei valori estremi si ha: Ixy=0

x y

x y

Itan

I I

0 0

0

0 0

22si ricava la relazione:

Oss1: se α0 è soluzione lo è anche α 0+ π /2




Gli angoli α0 e α0+ π/2 definiscono due assi tra loro ortogonali, indicati con ξ e η e denominati assiprincipali di inerzia per il punto O, rispetto ai quali i momenti principali di inerzia Iξ Iη risultano unomassimo ed uno minimo, mentre il momento centrifugo I ξ η risulta nullo. Se l’origine O del riferimentocoincide con il baricentro G della figura piana gli assi ξ e η sono detti assi centrali d’inerzia.

x

I I I II cos

22 2

xy

I II sen

22

I I

y

I I I II cos

22 2

Equazione parametrica di unacirconferenza, nel parametro α, nelpiano Ix e Ixy (piano di Mohr): x xy

I I I II I

2 2

2

2 2

Circolo di Mohr: i punti di tale circonferenza rappresentano con le loro coordinate imomenti di inerzia ed i momenti centrifughi rispetto a tutte le coppie di rette x e ytra loro ortogonali del fascio di centro O=G.

I I I IC , R0

2 2

Centro

I I I IC , R0

2 2

Raggio




Il generico punto D (Ix0, Ix0y0) con lesue coordinate rappresenta ilmomento di inerzia Ix0 ed il momentocentrifugo Ix0y0 rispetto agli assi x0 e y0

di un riferimento ortogonale Gx0y0. Gliassi x0 e y0 sono individuatidall’angolo α che l’asse x0 forma con ladirezione positiva dell’asse x(direzione principale). Tale angolo è lametà di quello che la semiretta CDforma con l’asse delle ascisse Ix sulpiano di Mohr.




Un procedimento pratico per determinare le direzioni principali consiste nel considerare il polo D*,ottenuto dall’intersezione delle rette parallele ad x0 e y0 condotte per D e D’.

I momenti di inerzia principali assumono le seguenti espressioni (per Ix0>Iy0):x y x y

x y

I I I I II

I

2

0 0 0 0 2

0 02 2




Dato un sistema di masse Pi (mi)i=1..n nel piano e fissato un generico asse x, si immagini di concentrare neglistessi punti Pi in luogo delle masse mi altre “masse” date da: mi·yi corrispondenti ai momenti statici delle masseoriginarie mi valutate con distanze parallele ad un altro asse generico y.

Il sistema così definito prende il nome di sistema di masse –momenti statici. La massa totale coincide con il momentostatico Sx del sistema dato rispetto l’asse x: dipendeevidentemente da y ed è definita a meno di una costantemoltiplicativa conseguente alla direzione arbitraria dell’asse y. Ilbaricentro X di un siffatto sistema non dipende invece da taledirezione che se variata produce una variazione proporzionaledi tutte le masse; esso dipende unicamente da x e vienedenominata centro relativo all’asse x.

yG

G

Pj (mjyj)

yi

y

x

Pi (miyi)

X

yX

xX

Oss: il centro relativo ad una retta rispetto un sistema di masse è distinto dal baricentro, rispetto albaricentro G il centro X della retta x si sposta rispetto alla posizione di G verso le masse più lontane e seG sta su x tende all’infinito (punto improprio). In definitiva il centro relativo ad un retta baricentrica è unpunto improprio e quello relativo alla retta impropria coincide con il baricentro.

i i i i i ii ..n i ..n

X X

i i i ii ..n i ..n

m y y m y x

y ; xm y m y

1 1

1 1


Centro relativo ad un asse e polarità d’inerzia


Infatti si può scrivere:

Teorema di reciprocità: se di due assi uno contiene il centro relativoall’altro, questo contiene il centro relativo al primo.

Il teorema di reciprocità consente di invertire la corrispondenza: Y, punto genericoindividuato dalle sue rette r ed s corrisponde al centro della retta individuata daicentri delle rette s e r (che coincidono, rispettivamente, con i punti S ed R). Inoltreogni retta che passa per Y ha il suo centro nella retta che passa per S ed R.

Due rette che verifichino il teorema di reciprocità si dicono coniugate:due rette x e y si dicono coniugate se risulta nullo il momento centrifugoIxy fra di esse.

Due punti si dicono coniugati quando l’uno appartiene all’asse di cuil’altro è il centro relativo.

1 1

1 1

i i X i i i x x X G X x x' Gi ..n i ..n

i i X i i i xy x X G X xy xy' G Gi ..n i ..n

m y y m y y I S y M y y I I y M

m y x m y x I S x M y x I I x y M

x'

x G

G

y yy

2

Oss: il momento centrifugo Iyx può essere espresso analogamente in funzione della coordinata Yy del centro Y relativo all’assey.

y y G y yx S y M x y I

r s

G

x

RX

S

Y

Oss: di un asse x esistono infiniti assi coniugati: questi sono tutti gli assi del fascio avente per sostegno il centroX relativo all’asse dato. Di un punto Y esistono infiniti punti coniugati: questi sono tutti i punti dell’asse y adesso relativo.

applicazione ripetuta di Varignon




La corrispondenza che, nel piano del sistema sussiste tra punti, intesi come centri relativi, e rette intese comeassi relativi è biunivoca e risulta una polarità: un asse ed il suo centro relativo si corrispondono come polare epolo.

Tale polarità determina corrispondenze (involuzioni) tra rette e tra punti del piano:fissato un generico asse y e scelto un arbitrario punto U su y, tra gli infiniti punticoniugati (tali sono quelli appartenenti all’asse relativo u) ve n’è uno ed uno solo cheappartiene anche a y: U’ dato dall’intersezione di u con y. Viceversa partendo da U’, peril teorema di reciprocità si giunge ad U. Stesso ragionamento può essere fattoconsiderando i punti V e V’. Le coppie di punti (U,U’) e (V,V’) sono legate da

un’involuzione. In modo analogo si riconosce l’esistenza di involuzioni che legano traloro le rette di un fascio. Tra le infinite rette coniugate ad una generica retta u del fasciodi centro Y (sono tutte quelle del fascio di centro U) ve n’è una ed una soltanto cheappartenga al primo fascio retta u’=YU. Ad un’altra retta v del fascio di centro Ycorrisponde la retta v’=YV.

Legge che governa l’involuzione:

Se si considera un’involuzione su un asse baricentrico y2’ ad esempio al punto Y1

corrisponde Y’1, il baricentro risulta essere il centro dell’involuzione:

Involuzione su un asse baricentrico.

GY GY ' cost 1 1

GY GY ' 2

1 1 1La conica fondamentale èimmaginaria

YG Gy y y 1 2

2 2 2 1




Per studiare la polarità attraverso la conica fondamentale è necessario introdurre una relazione basata su unaconica reale. Ciò si ottiene facendo corrispondere ad una retta generica y1 non più il suo centro relativo Y1 ma ilpunto Y1* simmetrico di Y1 rispetto a G.

L’asse ed il centro relativo vengono denominati antipolare e antipolo rispettivamente l’una dell’altro.

In tale polarità elementi corrispondenti giacciono sempre nellamedesima banda rispetto il baricentro.

Relazione di coniugo tra i punti appartenenti all’elisse:

'GY GY '

1 1 1

Il raggio di inerzia r1’ risulta massimo o minimo a seconda chel’asse y1’ si identifichi rispettivamente con l’asse minore o conquello maggiore dell’ellisse. Perciò gli assi dell’ellisse si identificanocon gli assi principali di inerzia del sistema.




In virtù dei teoremi di trasposizione, noti i momenti di secondo ordine per le rette baricentriche si conosconole analoghe quantità per tutte le rette del piano.

Di conseguenza per conoscere lo stato di inerzia di un sistema piano è sufficiente conoscere lo stato di inerziacon riferimento al fascio di rette baricentrico.

Lo stato di inerzia nel fasciobaricentrico è noto se è noto unellisse particolare detto ellissecentrale di inerzia o di Culmann:

2 2

2 21

I semiassi dell’ellisse, nelriferimento G(x,h) sono i raggicentrali di inerzia.

I

A

I

A


Elisse centrale d’inerzia – nocciolo centrale d’inerzia


L’ellisse di Culmann può essere interpretato come il diagramma polare dei raggi d’inerzia rispetto alle rettebaricentriche; il raggio di inerzia ρx’ rispetto alla retta x’ è fornito dal semidiametro disteso sull’asse y’coniugato di x’ (nell’ipotesi che le distanze da x’ siano valutate in direzione coniugata).

x'y'

x'

A

B

Oss1: è direzione coniugata di x’ la direzioney’ ottenuta usando i punti di tangenza A e Bcon le rette t parallele a x’.

Oss2: gli assi principali sono l’unica coppia diassi coniugati ortogonali.

L’ellisse di Culmann definisce una relazione di polarità tra le rette x del piano ed i punti X’ simmetrici rispettoal baricentro G del sistema dei centri relativi X alle rette stesse.




Si definisce antipolo di una retta x rispetto all’ellisse d’inerzia il punto X caratterizzato dalle seguenti proprietà:

1) X si trova sul diametro y’ coniugato di x’dalla parte opposta di x rispetto albaricentro.

2) la distanza X da G è tale che:

x'GX GX' 2

dove rx’ è il raggio di inerzia rispetto all’asse x’

G

x'

x

X

X'

x'

y'




Si definisce nocciolo centrale di inerzia di una figura geometrica il luogo degli antipoli delle rette che nontagliano la figura.

Il perimetro del nocciolo è il luogo degli antipoli delle rette che con la figura hanno in comune solo uno o piùpunti del contorno.

Oss: se il contorno della figura presenta un vertice odei tratti rettilinei, il contorno del nocciolo hacorrispondentemente un tratto rettilineo o un vertice.Infatti l’antipolo di ogni retta x che, uscendo dalvertice Y della figura, non la tagli appartiene alsegmento RS definito dagli antipoli delle rette limiti red s che individuano il vertice stesso. Viceversa gliantipoli di tutte le rette che, uscendo dai vertici R o Sdel nocciolo, non lo taglino, appartengono ai lati BY oAY del contorno della figura. Ne deriva che se ilcontorno della figura è poligonale tale è anche quellodel nocciolo. Atra caratteristica del nocciolo è quelladi risultare sempre una figura convessa comunque siala figura data.




Siano r ed s rette radenti la figura e parallele ad ungenerico asse baricentrico y1; i loro antipoli R ed Ssono punti d’intersezione del contorno del nocciolocon l’asse y2 coniugato di y1 nel fascio baricentrico.

Dette y2’ e l’ le distanze, nella direzione coniugata y2 dir e di R da G ed y2’’ e l’’ le analoghe distanze di s e diS, dalla relazione di coniugio si ha:

' ''

' '' ;

y y

2 2

1 2

2 2





Caratteristiche inerziali di figure piane


DEF: Si definiscono moduli di resistenza di un a figura rispetto ad un dato asse baricentrico x0 i quozienti:

dove:

•y’ e y’’ sono le distanze da x0 dei due punti P’ e P’’ più distanti dal contorno, misurate in direzione del diametro y0 coniugato a x0 ;

•Ix0momento d’inerzia calcolato con le distanze nella medesima direzione.

La dimensione del modulo d’inerzia è [L3]




Il modulo di resistenza

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