LU Factorization in Action Example 3 Es
33
Factorizaci´ on LU en acci´ on (ejemplo 3 × 3) Egor Maximenko http://esfm.egormaximenko.com Instituto Polit´ ecnico Nacional, Escuela Superior de F´ ısica y Matem´ aticas M´ exico, D.F. 21 de marzo de 2015
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Método de Factorización LU de Matrices
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Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
Egor Maximenkohttp://esfm.egormaximenko.com
Instituto Politecnico Nacional,Escuela Superior de Fısica y Matematicas
Mexico, D.F.
21 de marzo de 2015
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1
−−−−−−−−→
2 −1 3
−3 3 42 −6 −13
R3 += 2R2
−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2
−2 −5
.
Vamos a construir dos matrices L y U tales que
L es unitriangular inferior,U es triangular superior,A = LU.
L =
1 0 0? 1 0? ? 1
, U =
? ? ?0 ? ?0 0 ?
.
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1
−−−−−−−−→
2 −1 3
−3 3 42 −6 −13
R3 += 2R2
−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2
−2 −5
.
Vamos a construir dos matrices L y U tales que
L es unitriangular inferior,U es triangular superior,A = LU.
L =
1 0 0? 1 0? ? 1
, U =
? ? ?0 ? ?0 0 ?
.
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1
−−−−−−−−→
2 −1 3
−3 3 42 −6 −13
R3 += 2R2
−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2
−2 −5
.
Vamos a construir dos matrices L y U tales que
L es unitriangular inferior,U es triangular superior,A = LU.
L =
1 0 0? 1 0? ? 1
, U =
? ? ?0 ? ?0 0 ?
.
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1
−−−−−−−−→
2 −1 3
−3 3 42 −6 −13
R3 += 2R2
−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2
−2 −5
.
Vamos a construir dos matrices L y U tales que
L es unitriangular inferior,U es triangular superior,A = LU.
L =
1 0 0? 1 0? ? 1
, U =
? ? ?0 ? ?0 0 ?
.
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1
−−−−−−−−→
2 −1 3−3
3 42 −6 −13
R3 += 2R2
−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2
−2 −5
.
Vamos a construir dos matrices L y U tales que
L es unitriangular inferior,U es triangular superior,A = LU.
L =
1 0 0? 1 0? ? 1
, U =
? ? ?0 ? ?0 0 ?
.
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1
−−−−−−−−→
2 −1 3−3
3 4
2
−6 −13
R3 += 2R2
−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2
−2 −5
.
Vamos a construir dos matrices L y U tales que
L es unitriangular inferior,U es triangular superior,A = LU.
L =
1 0 0? 1 0? ? 1
, U =
? ? ?0 ? ?0 0 ?
.
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1
R3 +=(−2)R1
−−−−−−−−→
2 −1 3−3
3 4
2
−6 −13
R3 += 2R2
−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2
−2 −5
.
Vamos a construir dos matrices L y U tales que
L es unitriangular inferior,U es triangular superior,A = LU.
L =
1 0 0? 1 0? ? 1
, U =
? ? ?0 ? ?0 0 ?
.
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3
3 4
2
−6 −13
R3 += 2R2
−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2
−2 −5
.
Vamos a construir dos matrices L y U tales que
L es unitriangular inferior,U es triangular superior,A = LU.
L =
1 0 0? 1 0? ? 1
, U =
? ? ?0 ? ?0 0 ?
.
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3
4
2
−6 −13
R3 += 2R2
−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2
−2 −5
.
Vamos a construir dos matrices L y U tales que
L es unitriangular inferior,U es triangular superior,A = LU.
L =
1 0 0? 1 0? ? 1
, U =
? ? ?0 ? ?0 0 ?
.
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2
−6 −13
R3 += 2R2
−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2
−2 −5
.
Vamos a construir dos matrices L y U tales que
L es unitriangular inferior,U es triangular superior,A = LU.
L =
1 0 0? 1 0? ? 1
, U =
? ? ?0 ? ?0 0 ?
.
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −6
−13
R3 += 2R2
−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2
−2 −5
.
Vamos a construir dos matrices L y U tales que
L es unitriangular inferior,U es triangular superior,A = LU.
L =
1 0 0? 1 0? ? 1
, U =
? ? ?0 ? ?0 0 ?
.
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −6 −13
R3 += 2R2
−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2
−2 −5
.
Vamos a construir dos matrices L y U tales que
L es unitriangular inferior,U es triangular superior,A = LU.
L =
1 0 0? 1 0? ? 1
, U =
? ? ?0 ? ?0 0 ?
.
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −6 −13
R3 += 2R2
−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2
−2 −5
.
Vamos a construir dos matrices L y U tales que
L es unitriangular inferior,U es triangular superior,A = LU.
L =
1 0 0? 1 0? ? 1
, U =
? ? ?0 ? ?0 0 ?
.
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −6 −13
R3 += 2R2
−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2
−2 −5
.
Vamos a construir dos matrices L y U tales que
L es unitriangular inferior,U es triangular superior,A = LU.
L =
1 0 0? 1 0? ? 1
, U =
? ? ?0 ? ?0 0 ?
.
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −6 −13
R3 += 2R2
−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −2
−5
.
Vamos a construir dos matrices L y U tales que
L es unitriangular inferior,U es triangular superior,A = LU.
L =
1 0 0? 1 0? ? 1
, U =
? ? ?0 ? ?0 0 ?
.
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −6 −13
R3 += 2R2−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −2
−5
.
Vamos a construir dos matrices L y U tales que
L es unitriangular inferior,U es triangular superior,A = LU.
L =
1 0 0? 1 0? ? 1
, U =
? ? ?0 ? ?0 0 ?
.
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −6 −13
R3 += 2R2−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −2 −5
.
Vamos a construir dos matrices L y U tales que
L es unitriangular inferior,U es triangular superior,A = LU.
L =
1 0 0? 1 0? ? 1
, U =
? ? ?0 ? ?0 0 ?
.
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −6 −13
R3 += 2R2−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −2 −5
.
Respuesta:
L =
1 0 0−3 1 0
2 −2 1
, U =
2 −1 30 3 40 0 −5
.
Comprobacion:
LU =
2 −1 3−6 3 + 3 −9 + 4
4 −2− 6 6− 8− 5
=
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
= A. X
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −6 −13
R3 += 2R2−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −2 −5
.
Respuesta:
L =
1 0 0−3 1 0
2 −2 1
, U =
2 −1 30 3 40 0 −5
.
Comprobacion:
LU =
2 −1 3−6 3 + 3 −9 + 4
4 −2− 6 6− 8− 5
=
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
= A. X
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −6 −13
R3 += 2R2−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −2 −5
.
Respuesta:
L =
1 0 0−3 1 0
2 −2 1
, U =
2 −1 30 3 40 0 −5
.
Comprobacion:
LU =
2
−1 3−6 3 + 3 −9 + 4
4 −2− 6 6− 8− 5
=
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
= A. X
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −6 −13
R3 += 2R2−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −2 −5
.
Respuesta:
L =
1 0 0−3 1 0
2 −2 1
, U =
2 −1 30 3 40 0 −5
.
Comprobacion:
LU =
2 −1
3−6 3 + 3 −9 + 4
4 −2− 6 6− 8− 5
=
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
= A. X
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −6 −13
R3 += 2R2−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −2 −5
.
Respuesta:
L =
1 0 0−3 1 0
2 −2 1
, U =
2 −1 30 3 40 0 −5
.
Comprobacion:
LU =
2 −1 3
−6 3 + 3 −9 + 44 −2− 6 6− 8− 5
=
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
= A. X
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −6 −13
R3 += 2R2−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −2 −5
.
Respuesta:
L =
1 0 0−3 1 0
2 −2 1
, U =
2 −1 30 3 40 0 −5
.
Comprobacion:
LU =
2 −1 3−6
3 + 3 −9 + 44 −2− 6 6− 8− 5
=
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
= A. X
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −6 −13
R3 += 2R2−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −2 −5
.
Respuesta:
L =
1 0 0−3 1 0
2 −2 1
, U =
2 −1 30 3 40 0 −5
.
Comprobacion:
LU =
2 −1 3−6 3 + 3
−9 + 44 −2− 6 6− 8− 5
=
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
= A. X
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −6 −13
R3 += 2R2−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −2 −5
.
Respuesta:
L =
1 0 0−3 1 0
2 −2 1
, U =
2 −1 30 3 40 0 −5
.
Comprobacion:
LU =
2 −1 3−6 3 + 3 −9 + 4
4 −2− 6 6− 8− 5
=
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
= A. X
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −6 −13
R3 += 2R2−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −2 −5
.
Respuesta:
L =
1 0 0−3 1 0
2 −2 1
, U =
2 −1 30 3 40 0 −5
.
Comprobacion:
LU =
2 −1 3−6 3 + 3 −9 + 4
4
−2− 6 6− 8− 5
=
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
= A. X
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −6 −13
R3 += 2R2−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −2 −5
.
Respuesta:
L =
1 0 0−3 1 0
2 −2 1
, U =
2 −1 30 3 40 0 −5
.
Comprobacion:
LU =
2 −1 3−6 3 + 3 −9 + 4
4 −2− 6
6− 8− 5
=
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
= A. X
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −6 −13
R3 += 2R2−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −2 −5
.
Respuesta:
L =
1 0 0−3 1 0
2 −2 1
, U =
2 −1 30 3 40 0 −5
.
Comprobacion:
LU =
2 −1 3−6 3 + 3 −9 + 4
4 −2− 6 6− 8− 5
=
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
= A. X
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −6 −13
R3 += 2R2−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −2 −5
.
Respuesta:
L =
1 0 0−3 1 0
2 −2 1
, U =
2 −1 30 3 40 0 −5
.
Comprobacion:
LU =
2 −1 3−6 3 + 3 −9 + 4
4 −2− 6 6− 8− 5
=
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
= A. X
Factorizacion LU en accion (ejemplo 3× 3)
A =
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
R2 += 3R1R3 +=(−2)R1−−−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −6 −13
R3 += 2R2−−−−−−→
2 −1 3−3 3 4
2 −2 −5
.
Respuesta:
L =
1 0 0−3 1 0
2 −2 1
, U =
2 −1 30 3 40 0 −5
.
Comprobacion:
LU =
2 −1 3−6 3 + 3 −9 + 4
4 −2− 6 6− 8− 5
=
2 −1 3−6 6 −5
4 −8 −7
= A. X
Ejercicio
Construir la factorizacion LU de la siguiente matriz y hacer la comprobacion: −2 −1 2−8 −2 6
6 1 1
.
¡Gracias por su tiempo!
Ejercicio
Construir la factorizacion LU de la siguiente matriz y hacer la comprobacion: −2 −1 2−8 −2 6
6 1 1
.
¡Gracias por su tiempo!
![Introduction to communication avoiding algorithms for ... · LU factorization is introduced in [40, 41], while the communication avoiding QR factorization is introduced in [24], and](https://static.fdocuments.net/doc/165x107/5ed73c06d37f9f58ca6a850c/introduction-to-communication-avoiding-algorithms-for-lu-factorization-is-introduced.jpg)
![Factorization Machines with libFMb97053/paper/Factorization...Factorization Machines with libFM 57:3 Fig. 1. Example (from Rendle [2010]) for representing a recommender problem with](https://static.fdocuments.net/doc/165x107/5e671c5cbd644c7e8d06c310/factorization-machines-with-libfm-b97053paperfactorization-factorization-machines.jpg)
