LİSE MATEMATİK - Pegem.Net 1 - TANITIM(4).pdf · Matematik, kimilerine göre genel ölçü ve...

17
KPSS 2017 30. Eğitimde yıl önce bİz sorduk soru 31 50 Soruda LİSE MATEMATİK ALAN EĞİTİMİ ÖABT

Transcript of LİSE MATEMATİK - Pegem.Net 1 - TANITIM(4).pdf · Matematik, kimilerine göre genel ölçü ve...

KPSS2017

30.Eğitimde

yıl

önce bİz sorduk

soru31

50 Soruda

LİSEMATEMATİK

ALAN EĞİTİMİ

ÖABT

Komisyon

ÖABT Lise Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi Konu Anlatımlı

ISBN 978-605-318-705-9

Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayın ve satış hakları

Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.

4. Baskı: Kasım 2016, Ankara

Proje-Yayın: Seher Reyhani

Dizgi-Grafik Tasarım: Vedat Hancı

Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı

Baskı: Vadi Grup Ciltevi A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde

Yenimahalle/ANKARATel : 0312 394 55 91

Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 26687

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.net E-ileti: [email protected]

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Adayları,

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi 4. Kitap" adlı yayınımız Alan Eğitimi bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitapla ilgili görüş ve önerilerinizi [email protected] adresini kullanarak bizimle paylaşabilirsiniz.

Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...

Başarılar...

MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER

MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.

Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenliği Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.

Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası

1) Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40

a) Analiz

b) Cebir

c) Geometri

d) Uygulamalı Matematik

% 24

% 16

% 16

% 24

2) Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50

Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 2013-2014-2015-2016 ÖABT MATEMATİK ÖABT Sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

İÇİNDEKİLER

1. BÖLÜM: MATEMATİK NEDİR?

Matematik Nedir?......................................................................................................................................................3Mutlakçılar ............................................................................................................................................................3

Yarı Deneyselciler .................................................................................................................................................4

Teorik-Uygulamalı Matematik ...............................................................................................................................4

Klasik-Modern Matematik .....................................................................................................................................4

Akademik-Okul Matematiği...................................................................................................................................4

Çözümlü Test ........................................................................................................................................................6

Çözümler ..............................................................................................................................................................8

2. BÖLÜM: MATEMATİĞİ ÖĞRENME VE ÖĞRETME

Matematiği Öğrenme ve Öğretme ........................................................................................................................ 11Bilişsel Öğrenme Alanı ....................................................................................................................................... 11

Duyuşsal Öğrenme Alanı.................................................................................................................................... 11

Devinişsel Öğrenme Alanı .................................................................................................................................. 11

Davranışçı Yaklaşım ........................................................................................................................................... 11

Klasik Koşullanma ........................................................................................................................................ 11

Edimsel Koşullanma .....................................................................................................................................12

Bütünlükçü (Gestaltçı) Yaklaşım .........................................................................................................................12

Fonksiyonalist Yaklaşım .....................................................................................................................................12

Bilişsel Gelişmeci Yaklaşım ................................................................................................................................12

Yapılandırmacı Yaklaşım ....................................................................................................................................12

Buluş Yoluyla Öğrenme ......................................................................................................................................13

Okulda Öğrenme (Tam Öğrenme) ......................................................................................................................14

Bilgi-İşlem Yaklaşımı ..........................................................................................................................................14

Anlamlı Öğrenme (Sunuş Yoluyla Öğretim) ........................................................................................................14

Gerçekçi Matematik Eğitimi ................................................................................................................................14

Çoklu Zekâ Kuramı .............................................................................................................................................15

Öğrenme Stilleri ..................................................................................................................................................15

Matematik Öğretimi Yöntemleri ..........................................................................................................................15

Düz Anlatım Yöntemi ....................................................................................................................................15

Tanımlar Yardımıyla Öğretim ........................................................................................................................15

Buluş Yoluyla Öğretim ..................................................................................................................................15

Analizle Öğretim ...........................................................................................................................................16

Senaryo ile Öğretim ......................................................................................................................................16

Gösterip Yaptırma Yöntemiyle Öğretim ........................................................................................................16

Kurallar Yardımıyla Öğretim .........................................................................................................................16

Deneysel Etkinliklerle Öğretim......................................................................................................................16

Oyunlarla Öğretim ........................................................................................................................................16

Çözümlü Test ......................................................................................................................................................17

Çözümler ............................................................................................................................................................19

vi

3. BÖLÜM: MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI

Matematik Dersi Öğretim Programı .....................................................................................................................23

Programın Özellikleri ..........................................................................................................................................23

Matematik Eğitiminin Genel Amaçları.................................................................................................................24

Temel Beceriler ...................................................................................................................................................24

Problem Çözme ............................................................................................................................................24

İletişim ..........................................................................................................................................................25

Akıl Yürütme .................................................................................................................................................25

İlişkilendirme .................................................................................................................................................26

Duyuşsal Beceriler..............................................................................................................................................26

Psikomotor Beceriler ..........................................................................................................................................26

Öz Düzenleme Yeterlikleri ..................................................................................................................................26

Programın Öğrenme-Öğretme Yaklaşımı ...........................................................................................................26

Programın Ölçme ve Değerlendirme Yaklaşımı .................................................................................................27

4+4+4 Eğitim Sistemi..........................................................................................................................................30

Çözümlü Test ......................................................................................................................................................33

Çözümler ............................................................................................................................................................35

4. BÖLÜM: PROBLEM ÇÖZME

Problem Çözme .....................................................................................................................................................39Problem Nedir?...................................................................................................................................................39Problem Çözme ..................................................................................................................................................39

Problemi Anlama ..........................................................................................................................................40Çözüm İçin Plan Yapma ...............................................................................................................................40Planın Uygulanması .....................................................................................................................................40Değerlendirme ..............................................................................................................................................40

Problem Çözme Öğretimi ...................................................................................................................................41Sistematik Liste Yapma ................................................................................................................................41Tahmin ve Kontrol .........................................................................................................................................41Diyagram Çizme ...........................................................................................................................................41Bağıntı Bulma ...............................................................................................................................................42Değişken Kullanma.......................................................................................................................................42Benzer Problemlerin Çözümünden Yararlanma ...........................................................................................42Geriye Doğru Çalışma ..................................................................................................................................42Eleme ...........................................................................................................................................................42Tablo Yapma .................................................................................................................................................42Muhakeme etme ...........................................................................................................................................42

Problem Kurma...................................................................................................................................................43Matematiksel İfadeye Uygun Problem Kurma ..............................................................................................43Şekil veya Tabloya Uygun Problem Kurma ..................................................................................................43Cevabı Zihinde Tutarak Problem Kurma ......................................................................................................43

Matematik Eğitiminde Problem Çözme ..............................................................................................................43Problem Çözme İçin Öğretim .......................................................................................................................43Problem Çözmeye İlişkin Öğretim ................................................................................................................43Problem Çözme ile Öğretim .........................................................................................................................43

Çözümlü Test ......................................................................................................................................................44Çözümler ............................................................................................................................................................46

vii

5. BÖLÜM: MANTIK ÖĞRETİMİ

Mantık Öğretimi .....................................................................................................................................................49

Temel Kavramların Öğretimi ...............................................................................................................................49

Önerme Kavramı ..........................................................................................................................................49

Önermenin Olumsuzu (Değili) ......................................................................................................................50

Bileşik Önermeler ...............................................................................................................................................50

Veya Bağlacı (V) (Dahili Birleşim).................................................................................................................51

Ve Bağlacı ...................................................................................................................................................51

Koşullu Bağlaç ..............................................................................................................................................51

Karşılıklı Koşullu Bağlaç ..............................................................................................................................51

Bileşik Önermelerin Özellikleri ............................................................................................................................52

Tek Kuvvet Özelliği .......................................................................................................................................52

Değişme Özelliği...........................................................................................................................................52

Birleşme Özelliği ...........................................................................................................................................52

Dağılma Özelliği ...........................................................................................................................................52

Totoloji ve Çelişki ................................................................................................................................................52

Açık Önermeler ve İspat Teknikleri .....................................................................................................................53

Evrensel ve Varlıksal Niceleyiciler ......................................................................................................................53

İspat Teknikleri ....................................................................................................................................................53

İspat Çeşitleri ......................................................................................................................................................54

Doğrudan İspat .............................................................................................................................................55

Dolaylı İspat ..................................................................................................................................................56

Olmayana Ergi Yöntemi..........................................................................................................................56

Çelişki Bulma Yöntemi............................................................................................................................56

Deneme Yöntemi ....................................................................................................................................56

Aksine Örnek Verme Yöntemi ................................................................................................................56

Çözümlü Test ......................................................................................................................................................58

Çözümler ............................................................................................................................................................60

6. BÖLÜM: KÜMELER ÖĞRETİMİ

Kümeler Öğretimi ...................................................................................................................................................63

Temel Kavramların Öğretimi ...............................................................................................................................63

Kümeler Arasındaki İlişkilerin Öğretimi ...............................................................................................................64

Kümelerle İşlemlerin Öğretimi ............................................................................................................................65

Birleşim İşlemi ..............................................................................................................................................65

Kesişim İşlemi...............................................................................................................................................66

Fark İşlemi ....................................................................................................................................................66

Çözümlü Test ......................................................................................................................................................67

Çözümler ............................................................................................................................................................69

viii

7. BÖLÜM: MODÜLER ARİTMETİK ÖĞRETİMİ

Modüler Aritmetik Öğretimi �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������73Toplama ve Çarpma İşlemi ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������74

Z/m Kümesinde Toplama ve Çarpma ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������74

Çözümlü Test �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������76

Çözümler �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������78

8. BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR VE DÖRT İŞLEM ÖĞRETİMİ

Gerçek Sayılar Öğretimi �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������81Karekök Kavramı ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������82

Toplama ve Çıkarma İşlemi Öğretimi������������������������������������������������������������������������������������������������������������������83

İşlem Özelliklerinin Öğretimi �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������83

Çarpma İşlemi Öğretimi ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������83

İşlem Özelliklerinin Öğretimi �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������84

Bölme İşlemi Öğretimi ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������84

Gerçek Sayılar ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������85

Eşitlik Özellikleri��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������85

Eşitsizlik Özellikleri ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������86

Asal Sayılar ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������87

Bölünebilme Kuralları �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������88

En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) ������������������������������������������������������������������������90

Aralıklar ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������90

Denklem Çözümü �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������91

Çözümlü Test ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������92

Çözümler ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������94

9. BÖLÜM: ÜSLÜ VE KÖKLÜ İFADELER ÖĞRETİMİ

Üslü ve Köklü İfadeler Öğretimi ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������97Üslü İfadeler Öğretimi ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������97Üslü Denklemler ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������98Köklü İfadeler Öğretimi ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������98Çözümlü Test �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������101Çözümler �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������104

10. BÖLÜM: POLİNOMLAR ÖĞRETİMİ

Polinomlar Öğretimi ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������107Polinomlar Öğretimi ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������107Polinomlar Kümesinde İşlemler Öğretimi ���������������������������������������������������������������������������������������������������������108

Toplama ve Çıkarma Öğretimi ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������108Çarpma Öğretimi ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������109Bölme Öğretimi �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������109

Çarpanlara Ayırma Öğretimi ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������111Ortak Çarpan Parantezine Alma������������������������������������������������������������������������������������������������������������������111Gruplandırma�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������111

ix

Tam Kare İfadelerin Çarpanlara Ayrılması ���������������������������������������������������������������������������������������������������111a2 + 2ab + b2 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ������������������������������������������������������������������������������������������� 112a2 - 2ab + b2 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması �������������������������������������������������������������������������������������������� 112a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ����������������������������������������������������������������� 113a2 - b2 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ������������������������������������������������������������������������������������������������������ 113a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ������������������������������������������������������������������������������ 114x3 - a3 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ������������������������������������������������������������������������������������������������������ 114ax2 + bx + c İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ��������������������������������������������������������������������������������������������� 114

Rasyonel İfadeler ve Denklemler Öğretimi ������������������������������������������������������������������������������������������������������� 116Çözümlü Test ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 117Çözümler ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 119

11. BÖLÜM: İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER,, EŞİTSİZLİKLER VE FONKSİYONLAR ÖĞRETİMİ

İkinci Dereceden Denklemler, Eşitsizlikler ve Fonksiyonlar Öğretimi �������������������������������������������������������������123İkinci Dereceden Denklemler Öğretimi �������������������������������������������������������������������������������������������������������������124

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri ��������������������������������������������������������������������������������������126

Doğrusal Denklem Sistemleri ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������127

Eşitsizlikler Öğretimi �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������128

İkinci Dereceden Fonksiyonlar Öğretimi �����������������������������������������������������������������������������������������������������������131

Çözümlü Test ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������133

Çözümler ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������135

12. BÖLÜM: OLASILIK VE İSTATİSTİK ÖĞRETİMİ

Olasılık ve İstatistik Öğretimi ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������139

Olasılık Öğretimi �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������140

Toplama Yoluyla Sayma İlkesi ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������140

Çarpma Yoluyla Sayma İlkesi ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������140

Permütasyon ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������140

Dönel (Dairesel) Permütasyon �������������������������������������������������������������������������������������������������������������141

Tekrarlı Permütasyon����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������141

Kombinasyon ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������141

Binom Açılımı ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������142

Olasılıkla İlgili Temel Kavramlar������������������������������������������������������������������������������������������������������������������142

Olay Çeşitleri ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������144

Kesin ve İmkânsız Olaylar ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������144

Tümleyen Olay �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������144

Ayrık ve Ayrık Olmayan Olaylar ������������������������������������������������������������������������������������������������������������144

Bağımlı ve Bağımsız Olaylar ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������144

Koşullu Olasılık �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������145

Olasılık Çeşitleri������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������145

İstatistik Öğretimi ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������148

Veri Toplama �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������148

Tablo ve Grafikler����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������148

Merkezî Eğilim ve Yayılma Ölçüleri ������������������������������������������������������������������������������������������������������������150

x

Aritmetik Ortalama ................................................................................................................................151

Tepe Değer (Mod).................................................................................................................................151

Ortanca (Medyan).................................................................................................................................151

Açıklık (Ranj) ........................................................................................................................................152

Çeyrekler Açıklığı .................................................................................................................................152

Standart Sapma....................................................................................................................................152

Standart Puan.......................................................................................................................................152

Çözümlü Test ....................................................................................................................................................154

Çözümler ..........................................................................................................................................................156

13. BÖLÜM: TRİGONOMETRİ ÖĞRETİMİ

Trigonometri Öğretimi ..........................................................................................................................................159

Yönlü Açılar Öğretimi........................................................................................................................................159

Trigonometrik Fonksiyonlar Öğretimi ................................................................................................................161

Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ............................................................................................................162

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Öğretimi .....................................................................................................163

Üçgende Trigonometrik Bağıntıların Öğretimi ..................................................................................................163

Toplam ve Fark Formüllerinin Öğretimi.............................................................................................................164

Yarım Açı Formüllerinin Öğretimi ......................................................................................................................164

Dönüşüm Formüllerinin Öğretimi ......................................................................................................................164

Trigonometrik Denklemlerin Öğretimi ...............................................................................................................165

Çözümlü Test ....................................................................................................................................................166

Çözümler ..........................................................................................................................................................168

14. BÖLÜM: KARMAŞIK SAYILAR ÖĞRETİMİ

Karmaşık Sayılar Öğretimi �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������171

Karmaşık Sayılarda Toplama ve Çıkarma ........................................................................................................172

Karmaşık Sayılarda Çarpma ve Bölme ............................................................................................................173

Karmaşık Kökler ...............................................................................................................................................173

Çözümlü Test ....................................................................................................................................................174

Çözümler ..........................................................................................................................................................175

15. BÖLÜM: ÜSTEL FONKSİYON VE LOGARİTMA ÖĞRETİMİ

Üstel Fonksiyon ve Logaritma Öğretimi�������������������������������������������������������������������������������������������������������������179

Üstel Fonksiyon ................................................................................................................................................180

Logaritma Fonksiyonu ......................................................................................................................................180

Onluk ve Doğal Logaritma ................................................................................................................................181

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri................................................................................................................182

Üslü ve Logaritmalı Denklemler ve Eşitsizlikler ................................................................................................182

Çözümlü Test ....................................................................................................................................................183

Çözümler ..........................................................................................................................................................185

xi

16. BÖLÜM: DİZİLER ÖĞRETİMİ

Diziler Öğretimi .....................................................................................................................................................189

Toplam Sembolü ................................................................................................................................................189

Diziler .................................................................................................................................................................190

Monoton Diziler ..................................................................................................................................................191

Aritmetik Dizi ......................................................................................................................................................191

Geometrik Dizi ...................................................................................................................................................192

Çözümlü Test .....................................................................................................................................................193

Çözümler ...........................................................................................................................................................195

17. BÖLÜM: FONKSİYON ÖĞRETİMİ

Fonksiyon Öğretimi .............................................................................................................................................199

Fonksiyon Kavramı ...........................................................................................................................................200

Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi ............................................................................................200

Venn Şeması ile Gösterim ..........................................................................................................................201

Liste Biçiminde Gösterim ............................................................................................................................201

Grafiklerle Gösterim....................................................................................................................................201

Cebirsel Gösterim .......................................................................................................................................202

Fonksiyonların Grafiği.......................................................................................................................................202

Fonksiyon Türleri ..............................................................................................................................................203

Ters Fonksiyon .................................................................................................................................................204

Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyonlar.................................................................................................................205

Çift ve Tek Fonksiyon .......................................................................................................................................205

Fonksiyonlarda İşlemler....................................................................................................................................206

Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi ....................................................................................................................206

Fonksiyonların En Geniş Tanım Kümesi...........................................................................................................207

Parçalı Fonksiyonlar .........................................................................................................................................207

Mutlak Değer Fonksiyonu .................................................................................................................................208

Çözümlü Test ....................................................................................................................................................209

Çözümler .......................................................................................................................................................... 211

18. BÖLÜM: LİMİT VE SÜREKLİLİK ÖĞRETİMİ

Limit ve Süreklilik Öğretimi .................................................................................................................................215

Limit ..................................................................................................................................................................215

Süreklilik ...........................................................................................................................................................217

Çözümlü Test ....................................................................................................................................................219

Çözümler ..........................................................................................................................................................221

xii

19. BÖLÜM: TÜREV VE İNTEGRAL ÖĞRETİMİ

Türev ve İntegral Öğretimi ...................................................................................................................................225

Türev..................................................................................................................................................................226

Türevin Uygulamaları.........................................................................................................................................227

Belirli İntegral .....................................................................................................................................................229

Belirsiz İntegral ..................................................................................................................................................230

Belirli İntegralin Uygulamaları ............................................................................................................................230

Çözümlü Test .....................................................................................................................................................232

Çözümler ...........................................................................................................................................................234

20. BÖLÜM: GEOMETRİ ÖĞRETİMİ

Geometri Öğretimi ................................................................................................................................................237

Çocuklarda Geometrik Düşünmenin Gelişimi ....................................................................................................238

Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik Öğretimi.............................................................................................................243

Üçgenin Yardımcı Elemanları ............................................................................................................................245

Pisagor Bağıntısı ...............................................................................................................................................245

Trigonometrik Oranlar ........................................................................................................................................246

Vektörler.............................................................................................................................................................246

Analitik Geometri ...............................................................................................................................................247

Çember ve Daire................................................................................................................................................247

Geometrik Cisimler ............................................................................................................................................248

Dönüşüm Geometrisi .........................................................................................................................................250

Uzay Geometri ...................................................................................................................................................253

Çözümlü Test .....................................................................................................................................................253

Çözümler ...........................................................................................................................................................254

Kaynaklar .............................................................................................................................................................255

MATEMATİK NEDİR?

3

MATEMATİK NEDİR?Matematik, kimilerine göre genel ölçü ve düzen bilimi, kimilerine göre evrensel bir dil, kimilerine göre ise mede-niyetten medeniyete zenginleşerek aktarılan sayılar, şe-killer, uzaylar gibi soyut varlıkları ve aralarındaki ilişkileri inceleyen bilim dalıdır. Ortak bir tanıma ulaşamamakla birlikte her tanımlamanın ya da betimlemenin doğruluk payının olduğu söylenebilir. Tanımlamaların büyük bir kısmında matematiğin konusunun sayılar, şekiller, fonk-siyonlar vb. soyut varlıklar olduğu ve düşünme yapısının da tümdengelim olduğu ifade edilmektedir.

Örnek

“İki çift sayının çarpımı, çifttir.” önermesinde matematik-sel düşüncenin hangi işletim yolu kullanılmaktadır?A) İndirgeme

B) Genelleme

C) Soyutlama

D) Tümevarım

E) Tümdengelim

Çözüm

“İki çift sayının çarpımı çifttir.” önermesinin doğruluğu gösterilirken 2n ve 2k gibi iki çift sayı alınıp çarpılarak ispat yapılır. Yani en genel durum için önermenin doğru-luğu gösterilmiş olur ve bilinir ki önerme her özel durum için de doğrudur. “Genelden özele” şeklinde özetlenebi-len bu düşünce yapısı tümdengelimdir.

Cevap E

Bugünkü matematik bilginin ortaya çıkışı ile ilgili olarak iki yaklaşımdan söz edilmektedir:

1. Matematiği insanoğlu kendi icat etti.

2. Matematik evrende vardı, insanoğlu bunu yaşarken fark etti.

Her iki ekolün de savunanları kendi yaklaşımlarını haklı çı-karacak bazı kanıtlar ortaya koymaktadır. Bunlardan ikinci yaklaşımı benimseyen grubun sunduğu örneklerden belki de en önemlisi Fibonacci Sayıları ve Altın Oran’dır. İtalyan Matematikçi Leonardo Fibonacci’nin meşhur tavşan prob-leminden yola çıkarak ulaştığı Fibonacci Dizisi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … şeklinde olup bu dizideki her bir terimin kendinden önceki terime oranlanmasıyla oluşan yeni dizinin yakınsa-dığı 1,618 değeri de Altın Oran olarak bilinmektedir. Gerek ardışık Fibonacci sayıları ve gerekse Altın Oran sayısı do-ğada, resimde, müzikte, mimaride ve daha pek çok yerde şaşırtıcı bir şekilde insanoğlunun karşısına çıkmaktadır.

Matematik yeni bilgilerin üretimi konusunda “kendi kendi-ne yeterlik” özelliği ile diğer bilim dallarından farklılaşmak-tadır. Yani matematiğin bilgi üretmek için geçmiş bilgilerin yanında dil ve mantık dışında bir şeye ihtiyaç yoktur.

Matematik, belli bir düzen ve mantıksal sıralamaya sahip kavram ve işlemler üzerine kurulu bir bilimdir. Bu düzen veya intizamı bulmak ve keşfetmek ve sonrasında anlam-landırmak, tam anlamıyla “matematik yapmak” demektir.

Mevcut matematik bilgisinin oluşmasına yönelik teorik matematikçiler “amaç olarak matematik” görüşünü sa-vunurken uygulamalı matematikçiler ise “araç olarak matematik” görüşünü desteklemektedir. Genel inanış ise, bugünkü bilgilerin büyük kısmının matematik yapma amacıyla ve bir kısmının da günlük yaşam problemlerine çözüm ararken ortaya çıktığı yönündedir.

Örnek

Matematiksel bilginin türeyişinde katkısı olan bilim dalları hangileridir?

A) Sosyoloji-Psikoloji

B) Dil-Mantık

C) Fizik-Kimya

D) Tıp-Biyoloji

E) Tarih-Edebiyat

Çözüm

Matematiğin “kendi kendine yeterlik” özelliği olduğu ha-tırlanırsa yeni bilgi üretmek için geçmiş bilgilerin yanında katkısı olan bilim dalları sadece dil ve mantıktır.

Cevap B

Matematik bilgisinin doğasına bakış farklılaşabilmek-tedir. Matematik felsefesine bakıldığında bu farklı algı-lamalardan dolayı ortaya mutlakçı, kesinlikçi ve öznelci felsefeler çıkmıştır.

Mutlakçılar

Eflatuncular, matematiğin nesne ve yapılarının insandan bağımsız olarak var olduğunu iddia etmektedirler. Onlara göre matematik yapmak, bizden önce var olan bu nesne ve yapıların keşfedilmesidir.

Matematiğin doğasına deneysel olarak bakan görüş, matematiksel doğruların deneysel yollarla genellenebile-ceğini söyler. Deneyselcilik, matematiği sağlam temel-ler üzerinde inşa etmeyi amaçlamış ve bunu deneysel kanıtlamalarla yapmaya çalışmıştır.

Matematiği kendi içinde tutarlı bir yapıya kavuşturmak amacıyla onu mantıksal önermelere indirgemeye çalışan mantıkçılar olmuştur. Onlara göre matematik, mantık-tan başka bir şey değildir. Mantığı kullanmaktaki amaç, matematiği kesin biçimde tanımlanmış çıkarsama kural-larına ve aksiyomlara dayandırmaktır. Bu görüşü savu-nanların başında Frege, Russell ve Peano gelmektedir.

4

Formalistlere göre matematik, soyut nesne ve ilişkileri konu alan simgesel bir sistemdir. Sistemi oluşturan terim-ler anlamsız birer simge, ilişkileri dile getiren ifadeler içe-rikten yoksun birer önerme kalıbıdırlar. Formalistler ma-tematiği, aritmetik ve mantık aksiyomlarıyla sınırlayarak tutarlılık ve tamlık özelliğine sahip simgesel bir sisteme dönüştürmeye çalışmışlardır. Bu görüşü savunanların başında Hilbert gelmektedir.

Sezgi, matematikçinin formül, sembol veya ispat kullan-madan bir problemin çözümünü ve bir teoremin doğru-luğunu görebilmesi, hissedebilmesidir. Sezgiciler de mantıkçılar ve formalistler gibi matematikte kesinlik arar. Onlar matematiksel kesinliği, insanın matematiksel tü-mevarım yeteneğine bağlamaktadır. Bildiğimiz en meş-hur sezgiciler Brouwer ile Poincare’dir.

Yarı Deneyselciler

Lakatos’a göre, matematik felsefesi tarih, yöntem ve yanlışlanabilir bilgi kuramı boyutlarında ele alınmalıdır. Sosyal ve kültürel bir ürün olması nedeniyle matematik-çiler yanılabilir ve ürünleri de mükemmel olmayabilir. Yarı deneyselci yaklaşım yanlışlanabilirlik kavramına vurgu yapar ve bu sistemde kuramlar ispatlanmaz, açıklanır ve doğrulukları onaylanır. Onlara göre, matematiksel doğru-lar her zaman yanlışlanabilirlik aşamasında kalmaktadır ve sürekli gelişmeye ve değişmeye açıktır, dinamik bir yapıya sahiptir.

Mutlakçılardan ve yarı deneyselcilerden farklı olarak ge-lenekselcilere göre, matematiğin bilgileri ve doğrulukla-rı, dilbilim geleneklerinden etkilenir ve onlar tarafından şekillenir. Wittgenstein’a göre, matematiksel ve mantık-sal doğrular, dilin kabul edilen kurallarına ve gramerine bağlıysa ve bu durumda doğrular dilin kurallarını ve gra-merini bozuyorsa yanlışlanabilirlikleri söz konusudur.

Örnek

Matematiği soyut nesne ve ilişkiler olarak ele alan ve sistemi oluşturan terimleri anlamsız birer simge, ilişkileri dile getiren ifadeleri içerikten yoksun birer önerme kalıbı olarak görenler hangi yaklaşımın savunucularıdır?

A) Sezgici yaklaşım

B) Deneyselci yaklaşım

C) Mutlakçı yaklaşım

D) Formalist yaklaşım

E) Mantıkçı yaklaşım

Çözüm

Formalist yaklaşımı savunanlar, matematiği soyut nes-ne ve ilişkileri konu alan bir sistem olarak görmektedirler.

Cevap D

Matematiği kendi içinde farklı açılardan sınıflandırmak mümkündür. Teorik-uygulamalı matematik, klasik-mo-dern matematik, akademik-okul matematiği gibi.

Teorik-Uygulamalı Matematik

Matematiğin güzellik ve zihni uyandırması boyutuyla teo-rik (pür) matematikçiler ilgilenmektedir. Onlar için önemli olan yapılanın estetik olması ve bu durumun kişiyi en-telektüel doyuma ulaştırmasıdır. Hardy’nin dediği gibi, "Teorik matematikçinin üzerinde uğraştığı sorunların, problemlerin uygulama alanı bulması, işe yaraması veya faydalı olması gibi bir endişesi yoktur."

Teorik matematikçilerin ortaya koyduğu matematiksel bilgilerin diğer bilim dallarında ve günlük yaşamda nasıl kullanılabileceğini araştırmak ise uygulamalı matema-tikçilerin işidir. Biliyoruz ki çoğu teorik matematik ürünü daha sonraları pratik uygulama alanı bulmuştur.

Klasik-Modern Matematik

Klasik matematik daha çok aritmetik ağırlıklı, cebirsel iş-lemlerin yürütülerek problemlerin çözüldüğü ve Euclid’in tanımladığı geometrik nesnelerin üzerine kurulan bir ge-ometrinin ele alındığı matematiktir.

1960’lı yıllarda ABD’de başlatılan eğitim reformlarının sonucunda modern matematik kavramı ortaya çıkmıştır. Modern matematik, küme ve grup kavramlarını kullanarak matematiksel yapıları yeniden tanımlamaktadır. Modern matematik ile birlikte, belli semboller ve formüller kullanı-larak yapılan soyutlamalar ve birbirinden bağımsız gibi gö-rünen işlem ve algoritmalar kendi içinde tutarlı ve bağlan-tılı hâle gelmiştir. Modern matematik müfredatı ülkemizde 1970’li yılların başında uygulanmaya başlanmıştır.

Akademik-Okul Matematiği

Akademik matematik, teorik matematikçilerin uğraştığı ma-tematik olarak tanımlanabilir. Akademik matematiğin ama-cı, matematiğin ulaşmış olduğu birikimi kullanarak teorik ve pratik alanda matematiğe bilimsel katkıda bulunmaktır.

Okul matematiği “Toplum için nasıl bir insan yetiştirmek istiyoruz?” sorusuna cevap ararken matematik ile ilgili “Ne öğretelim?” ve “Nasıl öğretelim?” konusu ile ilgilenir. Akademik matematik ürünü bilgilerin genç nesillere akta-rılması, okul matematiğinin işidir.

Okullarda öğretilen matematiğin amacı her düzeyde bazı farklılıklar göstermektedir. İlköğretim ve ortaöğretim düze-yinde okul matematiğinin amacı, öğrenciye istenilen ma-tematik kültürü vermek ve temel matematiksel beceriler yanında matematiksel düşünme yeteneğini geliştirmektir. Yükseköğretim düzeyindeki okul matematiğinin amacı ise öğrenim görülen alana göre farklılaşmaktadır. Örneğin, Fen Fakültesi Matematik bölümünde okutulan matema-

5

tiğin amacı, öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, matematiksel düşünme seviyesini yükseltmek ve öğrenci-ye akademik matematik alanında çalışabilecek bir altyapı hazırlamak iken Eğitim Fakültesinde okutulan matemati-ğin amacı, öğretmen adayına sahip olması gereken alan bilgisini sağlayan matematiği kazandırmaktır.

Bu çerçevede matematik öğretiminin genel amaçları aşağıdaki gibi sıralanabilir:

• Öğrencilerin açık-seçik ve mantıklı düşünüp iletişim kurabilmelerine yardımcı olma

• Günlük yaşamda, gerçek dünyada ve başka konu alanlarında kullanılabilecek gerekli becerileri sağlama

• Örüntüleri, ilişkileri tanıma ve genelleme yapabilme yeteneğini geliştirme

• Yaratıcılığı ve sezgisel düşünmeyi geliştirme

• Zihinsel bağımsızlığı geliştirme

• Estetik değerleri geliştirme

• Dünyaya ve öteki kültürlere ilgiyi artırma

• Toplumun gelişmesine katkıda bulunma

Buna göre okulda iyi bir matematik eğitimi alan öğrenci;

• Matematiğe değer vermeyi öğrenir,

• Matematiksel düşünme becerisi kazanır,

• Matematiği iletişim aracı olarak kullanır,

• Problem çözme becerisi kazanır.

Örnek

“Öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, mate-matiksel düşünme seviyesini yükseltmek ve böylece matematik biliminin farkında olmasını sağlamak” hangi düzeyde okul matematiğinin amacıdır?

A) Okul öncesi

B) İlköğretim

C) Ortaöğretim

D) Yükseköğretim (Fen fakültesi)

E) Yükseköğretim (Eğitim fakültesi)

Çözüm

Öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, matema-tiksel düşünme seviyesini yükseltmek ve öğrenciye akademik matematik alanında çalışabilecek bir altyapı hazırlamak, Yükseköğretim (Fen fakültesi) düzeyinde okutulan matematiğin amacını ifade etmektedir.

Cevap D

Örnek

Aşağıda, matematik tarihinden bazı olaylar verilmiştir.

I. Harezmi’nin ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik çalışmaları

II. Euler’in i 1= - gösterimini kullanması

III. Apollonuis’un koniklerle ilgili çalışmaları

IV. Descartes’ın analitik geometriyle ilgili çalışmaları

Bu olayların kronolojik sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

A) I, III, IV, II B) III, IV, I, II C) III, I, IV, II

D) I, III, II, IV E) III, I, II, IV

Çözüm

İkinci dereceden denklemlerin çözümleriyle ilgili çalış-malar yapan Harezmi 750-820 yıllarında, gösterimini ilk kez kullanan Euler 1707-1783 yıllarında, i 1= -

koniklerle ilgili çalışmalar yapan Apollonios M.Ö.260-190 yıllarında ve analitik geometriyle ilgili çalışmalar yapan Descartes 1596-1650 yıllarında yaşamıştır. Buna göre söz konusu olayların kronolojik sırası “III-I-IV-II” olur.

Cevap C

6

ÇÖZÜMLÜ TEST

1. Seda Öğretmen öğrencilerine matematiğin doğası konusunda fasulye bitkisinin helis eğrisi şeklinde büyüdüğü, bal peteklerinin her zaman altıgen oldu-ğu, insan yüzünün uzunluğunun genişliğine oranının sabit olduğu gibi örnekler vermektedir.

Buna göre Seda Öğretmen'in matematiğin doğası-na ilişkin hangi görüşe sahip olduğu söylenebilir?

A) Matematik icattır.

B) Matematik keşiftir.

C) Matematik hayattır.

D) Matematik mutluluktur.

E) Matematik mucizedir.

2. Pelin Öğretmen öğrencilerine bir çember yayı üzerinde 2 nokta işaretletir, iki noktayı birleştirerek çember içinde oluşan bölge sayısını buldurur. Sonra aynı işlemi çem-ber üzerinde 3, 4 ve 5 nokta işaretleterek tekrar ettirir. Bu etkinlikten hareketle öğrencilerden çember üzerinde işaretlenen nokta sayısı ile çember içinde oluşan bölge sayısı arasında bir ilişki olup olmadığını düşünmelerini ister. Öğrencilerin alınan n nokta için 2n-1 bölge bulun-duğunu söylemeleri üzerine, etkinliği son kez çember üzerinde 6 nokta alarak tekrar etmelerini ister.

Pelin Öğretmen bu etkinlikle hangi düşünme yapısına dikkat çekmeyi amaçlamaktadır?

A) İndirgeme

B) Özelleştirme

C) Tümevarım

D) Tümdengelim

E) Soyutlama

3. Kaan Öğretmen öğrencilerine “Bir dişi arının hem annesi hem babası vardır. Buna karşın erkek arının yalnız annesi vardır. Buna göre elinizde bir erkek arı olsa, bu arı 10 nesil geriden kaç arıdan gen al-mıştır?” sorusunu yönelterek hangi bilgiye dikkat çekmeyi amaçlamaktadır?

A) Fourier serisi

B) Taylor dizisi

C) McLaurin serisi

D) Fibonacci dizisi

E) Cauchy dizisi

4. Bir sınıftaki öğrencilerden bazılarının matematiksel bilgiye ilişkin görüşleri aşağıdaki gibidir.

I. Matematiksel bilgilerin büyük bir kısmı deneysel etkinliklerden elde edilmiştir.

II. Matematiksel bilgilerin çoğu doğruyu bilme ve anlama uğraşı sonucunda elde edilmiştir.

III. Matematiksel bilgilerin büyük bir kısmı doğal afetlerle mücadele sırasında elde edilmiştir.

Buna göre öğrenci görüşlerinden hangisi doğ-rudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II

D) I ve III E) II ve III

5. Aşağıdakilerden hangisi matematik derslerinde doğadan ve günlük yaşamdan örnekler verme-nin sağlayacağı öncelikli yararlardan değildir?

A) Matematiğe değer verme

B) Matematiğin önemini anlama

C) Matematiğe karşı olumlu tutum geliştirme

D) Farklı alanlarda matematikten yararlanma

E) Matematik dersinde başarılı olma

6. Matematik bilgisinin doğasına ilişkin farklı algıla-malardan dolayı ortaya mutlakçı ve yarı deneyselci felsefeler çıkmıştır.

Aşağıdakilerden hangisi mutlakçı yaklaşımı savunan bilim adamlarından değildir?

A) Lakatos

B) Hilbert

C) Frege

D) Russell

E) Poincare