LPV control of High Performance Aircrafts
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7/30/2019 LPV control of High Performance Aircrafts
1/19
P a r a m e t e r V a r y i n g C o n t r o l o f a H i g h P e r f o r m a n c e
A i r c r a f t
J e a n - M a r c B i a n n i c a n d P i e r r e A p k a r i a n
D e p a r t e m e n t d ' A u t o m a t i q u e
C e n t r e d ' E t u d e s e t d e R e c h e r c h e s d e T o u l o u s e ( C E R T )
T o u l o u s e , F R A N C E
W i l l i a m L . G a r r a r d
D e p a r t m e n t o f A e r o s p a c e E n g i n e e r i n g a n d M e c h a n i c s
U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t a
M i n n e a p o l i s , M i n n e s o t a U S A
J a n u a r y 2 , 1 9 9 6
A b s t r a c t
T h e d y n a m i c r e s p o n s e c h a r a c t e r i s t i c s o f m o d e r n a i r c r a f t v a r y s u b s t a n t i a l l y w i t h
i g h t c o n d i t i o n s . T h e s e c h a n g e s r e q u i r e s c h e d u l i n g o f t h e i g h t c o n t r o l s y s t e m w i t h
v a r i a b l e s s u c h a s d y n a m i c p r e s s u r e a n d M a c h n u m b e r . T h i s s c h e d u l i n g c a n b e a c c o m -
p l i s h e d e a s i l y f o r s i m p l e c o n t r o l l e r s b u t i s m u c h m o r e d i c u l t f o r c o m p l e x c o n t r o l l e r s
w h i c h r e s u l t f r o m t h e u s e o f m o s t m o d e r n c o n t r o l d e s i g n t e c h n i q u e s . O n t h e o t h e r h a n d
t h e s e c o m p l e x c o n t r o l l e r s c a n y i e l d s i g n i c a n t p e r f o r m a n c e i m p r o v e m e n t s w h e n c o m -
p a r e d w i t h s i m p l e c o n t r o l l e r s . R e c e n t l y L i n e a r P a r a m e t e r V a r y i n g ( L P V ) t e c h n i q u e s
h a v e b e e n d e v e l o p e d w h i c h p r o v i d e a n a t u r a l m e t h o d f o r s c h e d u l i n g f o r H i n f b a s e d
c o n t r o l l e r s . I n t h i s p a p e r L P V t e c h n i q u e s a r e c o m b i n e d w i t h m u s y n t h e s i s m e t h o d s t o
d e v e l o p a s e l f - s c h e d u l e d l o n g i t u d i n a l c o n t r o l l e r f o r a h i g h p e r f o r m a n c e a i r c r a f t . T h e
a b i l i t y o f t h i s c o n t r o l l e r t o a c h i e v e s p e c i e d h a n d l i n g q u a l i t i e s o v e r a w i d e r a n g e o f
i g h t c o n d i t i o n s i s d e m o n s t r a t e d b y n o n - l i n e a r s i m u l a t i o n s .
K e y w o r d s : L i n e a r P a r a m e t e r - V a r y i n g S y s t e m s , G a i n - S c h e d u l i n g , H
1
C o n t r o l , S y n t h e s i s ,
L M I T e c h n i q u e s , A i r c r a f t C o n t r o l .
T h i s w o r k h a s b e e n s u p p o r t e d b y D . R . E . T . ( D i r e c t i o n d e l a R e c h e r c h e e t d e s E t u d e s T e c h n i q u e s )
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7/30/2019 LPV control of High Performance Aircrafts
2/19
1 I n t r o d u c t i o n
M o d e r n h i g h p e r f o r m a n c e a i r c r a f t o p e r a t e o v e r a w i d e r a n g e o f i g h t c o n d i t i o n s . T h i s
r e s u l t s i n d y n a m i c r e s p o n s e c h a r a c t e r i s t i c s w h i c h v a r y s u b s t a n t i a l l y d u r i n g a t y p i c a l m i s s i o n .
T r a d i t i o n a l l y , i g h t c o n t r o l s y s t e m s w e r e d e s i g n e d u s i n g m a t h e m a t i c a l m o d e l s o f t h e a i r c r a f t
l i n e a r i z e d a t v a r i o u s i g h t c o n d i t i o n s . R e l a t i v e l y s i m p l e x e d s t r u c t u r e c o n t r o l l a w s w e r e
f o r m u l a t e d a n d g a i n s s e l e c t e d f o r e a c h i g h t c o n d i t i o n u s i n g c l a s s i c a l , s i n g l e - i n p u t , s i n g l e -
o u t p u t m e t h o d s . S i n c e t h e s t r u c t u r e o f t h e s e c o n t r o l l a w s w e r e s i m p l e , o n l y a f e w g a i n s
n e e d e d t o b e s c h e d u l e d a n d t h e r e f o r e g a i n s c h e d u l i n g w a s f a i r l y e a s y . A s a i r c r a f t h a v e b e c o m e
m o r e c o m p l e x w i t h a v a r i e t y o f c o n t r o l e e c t o r s a n d s e n s o r s , c o u p l i n g b e t w e e n m o d e s , a n d a s
p e r f o r m a n c e c a p a b i l i t i e s a n d r e q u i r e m e n t s h a v e i n c r e a s e d , t r a d i t i o n a l m e t h o d s f o r c o n t r o l l e r
d e s i g n o f t e n h a v e n o t y i e l d e d a c c e p t a b l e p e r f o r m a n c e . T h u s t h e u s e o f v a r i o u s m o d e r n
m u l t i - i n p u t , m u l t i - o u t p u t t e c h n i q u e s f o r i g h t c o n t r o l l e r d e s i g n h a s b e e n e x t e n s i v e l y s t u d i e d
. T h e s e t e c h n i q u e s u s e l i n e a r i z e d m o d e l s o f t h e a i r c r a f t d y n a m i c s b u t r e s u l t i n c o n t r o l l e r s
w h i c h a r e m u c h m o r e c o m p l e x a n d w h i c h u s e m a n y m o r e g a i n s t h a n t h o s e d e s i g n e d u s i n g
c l a s s i c a l m e t h o d s . C o n s e q u e n t l y , i t i s m u c h m o r e d i c u l t t o s c h e d u l e c o n t r o l l e r s d e s i g n e d
u s i n g m o d e r n t e c h n i q u e s , a n d t h i s h a s b e e n a m a j o r i m p e d i m e n t i n t h e u s e o f t h e s e t h e o r i e s
i n t h e d e s i g n o f i g h t c o n t r o l s y s t e m s .
R e c e n t l y , a n u m b e r o f i n v e s t i g a t o r s h a v e p r o p o s e d t h e u s e o f d y n a m i c i n v e r s i o n t o g e t h e r
w i t h s y n t h e s i s m e t h o d s f o r t h e d e s i g n o f a i r c r a f t i g h t c o n t r o l s y s t e m s 1 , 2 , 3 , 4 ] . D y n a m i c
i n v e r s i o n a v o i d s t h e s c h e d u l i n g p r o b l e m b y u s i n g f e e d b a c k t o c a n c e l t h e d y n a m i c s o f t h e
a i r c r a f t . D e s i r e d d y n a m i c s a r e t h e n s u b s t i t u t e d f o r t h e c a n c e l e d d y n a m i c s . S o m e p r o m i s i n g
p r e l i m i n a r y r e s u l t s h a v e b e e n o b t a i n e d u s i n g d y n a m i c i n v e r s i o n b u t t h e r e a r e s o m e i m p o r t a n t
i m p l e m e n t a t i o n i s s u e s w h i c h m a y i n h i b i t t h e u s e o f t h i s m e t h o d i n p r a c t i c e .
I n t h i s p a p e r w e d e s c r i b e t h e a p p l i c a t i o n s o f a n e x t e n d e d H
1
t e c h n i q u e f o r t h e d e s i g n o f
a s e l f - s c h e d u l e d c o n t r o l l e r f o r t h e l o n g i t u d i n a l c o n t r o l o f a h i g h p e r f o r m a n c e a i r c r a f t . T h i s
t e c h n i q u e c a n h a n d l e b a s e d o n L i n e a r P a r a m e t e r V a r y i n g ( L P V ) s y s t e m s w h i c h r e s u l t s i n a
c o n t r o l l e r w h i c h i s s c h e d u l e d w i t h d y n a m i c p r e s s u r e . T h e c l o s e d - l o o p L P V c o n t r o l s t r u c t u r e
c a n b e r e p r e s e n t e d a s s h o w n i n F i g u r e 1 :
K G-
yw u
LPV plant
() ()
LPV controller
F i g u r e 1 : L P V C o n t r o l o f a L P V S y s t e m
S u c h a c o n t r o l s t r u c t u r e i n c o r p o r a t e s t h e p a r a m e t e r m e a s u r e m e n t s i n r e a l - t i m e w h i c h a l -
l o w s a m o r e e c i e n t c o n t r o l o f u n d e s i r a b l e m o d e s . I n s h o r t , t h e p r o p o s e d t e c h n i q u e p r o d u c e s
a u t o m a t i c a l l y g a i n - s c h e d u l e d c o n t r o l l e r s w h i c h s i m u l t a n e o u s l y e n s u r e :
g l o b a l s t a b i l i t y o v e r t h e o p e r a t i n g d o m a i n .
L T I r o b u s t n e s s p r o p e r t i e s .
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T h i s l a s t p o i n t i s a f u n d a m e n t a l d i e r e n c e b e t w e e n t h e s e t e c h n i q u e s a n d a d a p t a t i v e c o n t r o l
m e t h o d o l o g i e s 5 , 6 ] w h i c h o f t e n f a i l t o i n t e g r a t e b o t h r o b u s t c o n t r o l a n d g a i n s c h e d u l i n g . I t
i s a l s o t h e k e y i d e a m o t i v a t i n g s e v e r a l L P V c o n t r o l t e c h n i q u e s 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 ] .
I t h a s b e e n s h o w n t h a t t h e L P V c o n t r o l p r o b l e m , a s f o r m u l a t e d i n F i g u r e 1 , i s c o n v e x a n d
t h e r e f o r e c a n b e e c i e n t l y s o l v e d u s i n g L M I - L A B 1 6 ] M o r e r e c e n t l y , t h e t e c h n i q u e h a s b e e n
e x t e n d e d 1 7 , 1 8 ] t o i n c l u d e b o u n d e d p a r a m e t e r - v a r i a t i o n r a t e s .
T h e m e t h o d d e s c r i b e d i n t h i s p a p e r e x t e n d s t h e r e s u l t s o f 1 1 ] t o t h e c a s e w h e r e t h e L P V
s y s t e m i s u n c e r t a i n . T h i s p r o b l e m i s o f g r e a t p r a c t i c a l i n t e r e s t , b u t a s a n y r o b u s t c o n t r o l
p r o b l e m , i t i s n o t c o n v e x . O u r a p p r o a c h i s i t e r a t i v e a n d p a r a l l e l s t h e - s y n t h e s i s s c h e m e .
A l t h o u g h t h e r e i s n o g u a r a n t e e t h a t a g l o b a l s o l u t i o n c a n b e g i v e n , t h e m e t h o d w o r k s w e l l
i n m a n y p r a c t i c a l c a s e s .
T h e r e m a i n d e r o f t h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . S e c t i o n 2 i s a b r i e f r e v i e w o f t h e H
1
s y n t h e s i s t e c h n i q u e f o r L P V s y s t e m s . M o r e s p e c i c a l l y , t h e a l g o r i t h m w h i c h i s u s e d i n t h i s
a p p l i c a t i o n a n d c o n n e c t i o n s w i t h - t e c h n i q u e s a r e o u t l i n e d . S e c t i o n 3 p r e s e n t s t h e a i r c r a f t
n o n l i n e a r m o d e l , f o r w h i c h a n L P V r e p r e s e n t a t i o n i s d e r i v e d , a n d a b r i e f o p e n - l o o p a n a l y s i s
o f t h e a i r c r a f t a t s e v e r a l i g h t c o n d i t i o n s . I n S e c t i o n 4 , h a n d l i n g q u a l i t y s p e c i c a t i o n s a r e
d e t a i l e d a n d t h e p r o b l e m i s f o r m u l a t e d . F i n a l l y , i n S e c t i o n 5 , v a r i o u s - p l o t s a r e s h o w n t o
i l l u s t r a t e t h e r o b u s t n e s s o f t h e r e s u l t i n g c o n t r o l l e r , a n d n o n l i n e a r p a r a m e t e r - v a r y i n g s i m u -
l a t i o n r e s u l t s a r e p r e s e n t e d .
2 G a i n - S c h e d u l i n g C o n t r o l o f L F T S y s t e m s
T h i s s e c t i o n b r i e y o u t l i n e s t h e m a i n r e s u l t s f o r g a i n - s c h e d u l i n g c o n t r o l o f L F T s y s t e m s .
T h e r e a d e r i s r e f e r r e d t o r e f e r e n c e 1 1 ] f o r d e t a i l s a n d p r o o f s . T h e g e n e r a l i n t e r c o n n e c t i o n
s t r u c t u r e f o r t h e d e s i g n o f g a i n - s c h e d u l e d H
1
c o n t r o l l e r s i s d e p i c t e d i n F i g u r e 2 . T h e p l a n t
i s d e s c r i b e d b y t h e u p p e r L F T
F
u
P ( s ) ;
0
0
; ( 2 1 )
w h e r e u a n d y d e n o t e c o n t r o l i n p u t s a n d m e a s u r e d o u t p u t s , r e s p e c t i v e l y .
T h e p a r a m e t e r d e p e n d e n c e o f t h e p l a n t i s d e n e d a s f o l l o w s .
: = ( t ) d e n o t e s t h e s c h e d u l e d t i m e - v a r y i n g p a r a m e t e r w i t h t h e f o l l o w i n g d i a g o n a l
s t r u c t u r e
( t ) 2 f b l o c k d i a g (
1
I
r
1
; : : : ;
L
I
r
L
) g ( 2 2 )
: = ( t ) d e s i g n a t e s a n u n c e r t a i n t i m e - v a r y i n g p a r a m e t e r w i t h t h e f o l l o w i n g s t r u c t u r e
( t ) 2
n
b l o c k d i a g (
1
; : : : ;
N
) : 2 R
q q
i = 1 ; : : : ; N
o
( 2 3 )
N o t e t h a t , i n c o n t r a s t t o ( t ) , t h e s c h e d u l e d p a r a m e t e r ( t ) i s m e a s u r e d i n r e a l t i m e
a n d i s e x p l o i t e d f o r t h e i m p r o v e m e n t o f b o t h t h e p e r f o r m a n c e a n d t h e r o b u s t n e s s o f t h e
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c l o s e d - l o o p s y s t e m . > F r o m n o w o n , w e a s s u m e t h a t t h e s c h e d u l e d p a r a m e t e r ( t ) h a s b e e n
n o r m a l i z e d s u c h t h a t f o r a l l t 0 ,
( t )
T
( t ) 1 ; ( 2 4 )
a n d t h a t t h e u n c e r t a i n t y ( t ) s a t i s e s t h e f o l l o w i n g b o u n d
( t )
T
( t )
1
2
( 2 5 )
f o r s o m e p o s i t i v e s c a l a r
K(s)
P(s) wz
y u
z w
wz
0
0
F i g u r e 2 : L F T I n t e r c o n n e c t i o n
W i t h t h i s i n m i n d , t h e g a i n - s c h e d u l e d H
1
c o n t r o l p r o b l e m a m o u n t s t o s e e k i n g a n L F T
c o n t r o l l e r
F
l
( P ( s ) ; ) ;
h a v i n g t h e s a m e L F T d e p e n d e n c e a s t h e p l a n t i n , s u c h t h a t t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m o f
F i g u r e 2 i s r o b u s t l y s t a b l e , i . e . , i s s t a b l e f o r a l l a d m i s s i b l e t r a j e c t o r i e s o f ( t ) a n d ( t )
N o t e t h a t , a s i s s t a n d a r d i n r o b u s t c o n t r o l t h e o r y , t h e u n c e r t a i n b l o c k s
i
c a n b e i n t e r -
p r e t e d a s p e r f o r m a n c e b l o c k s w h e n e v e r t h e y a r e a s s o c i a t e d w i t h p e r f o r m a n c e s p e c i c a t i o n s .
A c e n t r a l t o o l l e a d i n g t o s u c i e n t s o l v a b i l i t y c o n d i t i o n s f o r t h i s p r o b l e m i s t h e s c a l e d
B o u n d e d R e a l L e m m a 1 1 ] . I t m e r e l y c o n s i s t s i n r e p l a c i n g t h e s m a l l g a i n c o n d i t i o n b y a
m o r e r e n e d v e r s i o n t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e p a r t i c u l a r s t r u c t u r e s o f a n d . T h e s e t s o f
s i m i l a r i t y s c a l i n g s a s s o c i a t e d w i t h t h e s t r u c t u r e s o f a n d a r e d e n e d a s
L
= f L > 0 : L = L ; f o r a l l a d m i s s i b l e g R
r r
w i t h r =
L
X
i = 1
r
i
( 2 6 )
7 2
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P
= f P > 0 : P = P ; f o r a l l a d m i s s i b l e g R
q q
w i t h q =
N
X
i = 1
q
i
( 2 7 )
S i n c e t h e s y n t h e s i s t e c h n i q u e d i s c u s s e d h e r e i s s t a t e - s p a c e b a s e d , w e n e e d t o i n t r o d u c e a
r e a l i z a t i o n o f t h e p l a n t P ( s )
P ( s ) =
0
B
@
D
D
1
D
2
D
1
D
1 1
D
1 2
D
2
D
2 1
D
2 2
1
C
A
+
0
B
@
C
C
1
C
2
1
C
A
( s I ? A )
? 1
( B
B
1
B
2
) ; ( 2 8 )
w h e r e t h e p a r t i t i o n i n g i s c o n f o r m a b l e t o t h e i n p u t s w
, w a n d u , a n d t h e o u t p u t s z
, z a n d
y , s e e F i g u r e 2 . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , t h e p r o b l e m d i m e n s i o n s a r e d e t e r m i n e d b y
A 2 R
n n
; D
2 R
r r
; D
1 1
2 R
q q
; D
2 2
2 R
p
2
m
2
;
a n d i t i s a l s o a s s u m e d t h a t
( A ; B
2
; C
2
) i s s t a b i l i z a b l e a n d d e t e c t a b l e
D
2 2
= 0
B y a n i m m e d i a t e a p p l i c a t i o n o f t h e r e s u l t s i n 1 1 ] , s u c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e s o l v a b i l i t y
o f t h e g a i n - s c h e d u l e d H
1
c o n t r o l p r o b l e m a r e e a s i l y i n f e r r e d . T h e y e x p r e s s i n t e r m s o f m a t r i x
i n e q u a l i t y f e a s i b i l i t y c o n d i t i o n s w i t h a n a d d i t i o n a l a l g e b r a i c c o n d i t i o n w h i c h i s r e p e a t e d h e r e
f o r c o m p l e t e n e s s . W i t h t h e n o t a t i o n s a n d a s s u m p t i o n s a b o v e i n p l a c e , t h e g a i n - s c h e d u l e d
H
1
c o n t r o l p r o b l e m i s s o l v a b l e w h e n e v e r t h e r e e x i s t p a i r s o f s y m m e t r i c m a t r i c e s ( R ; S ) i n
R
n n
, ( L
3
; J
3
) i n L
a n d ( P ; Q ) i n P
s u c h t h a t
N
T
R
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
A R + R A
T
R C
T
R C
T
1
B
J
3
B
1
Q
C
R ? J
3
0 D
J
3
D
1
Q
C
1
R 0 ? Q D
1
J
3
D
1 1
Q
J
3
B
T
J
3
D
T
J
3
D
T
1
? J
3
0
Q B
T
1
Q D
T
1
Q D
T
1 1
0 ? Q
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
N
R
-
7/30/2019 LPV control of High Performance Aircrafts
6/19
R I
I S
0 ; ( 2 1 1 )
J
3
I
I L
3
0 ; ( 2 1 2 )
a n d P , Q f u r t h e r s a t i s f y
P Q = I ; ( 2 1 3 )
a n d N
R
, N
S
a r e a n y b a s i s o f t h e n u l l s p a c e s o f
( B
T
2
D
T
2
D
T
1 2
0 ) ; ( C
2
D
2
D
2 1
0 ) ; ( 2 1 4 )
r e s p e c t i v e l y .
N o t e t h a t d u e t o t h e a l g e b r a i c c o n s t r a i n t ( 2 . 1 3 ) , t h e s o l v a b i l i t y c o n d i t i o n s d o n o t c o n s t i -
t u t e a c o n v e x p r o b l e m . I n t h e s p e c i a l c a s e , h o w e v e r , w h e r e t h e u n c e r t a i n t y s t r u c t u r e ( 2 . 3 )
r e d u c e s t o a s i n g l e b l o c k , t h e r e i s n o l o s s o f g e n e r a l i t y i n t a k i n g P : = I , Q : = I a n d t h e
p r o b l e m ( 2 . 9 ) - ( 2 . 1 2 ) i s a n L M I f e a s i b i l i t y p r o b l e m .
G i v e n a n L F T g a i n - s c h e d u l e d c o n t r o l l e r , t h e c o m p u t a t i o n o f P a n d Q c a n b e p e r f o r m e d
b y a p p l y i n g S m a l l G a i n t h e o r y w i t h a d e q u a t e s c a l i n g s t o t h e i n t e r c o n n e c t i o n d i a g r a m o f
F i g u r e 2 . S i m i l a r l y t o s y n t h e s i s , t h i s s u g g e s t t h e f o l l o w i n g s c h e m e t o f u r t h e r e n h a n c e t h e
l e v e l .
i n i t i a l i z e P a n d Q t o i d e n t i t y .
w i t h x e d P a n d Q , m i n i m i z e s u b j e c t t o t h e L M I c o n s t a i n t ( 2 . 9 ) - ( 2 . 1 2 ) , a n d d e d u c e
a g a i n - s c h e d u l e d c o n t r o l l e r , s e e 1 1 ] .
w i t h a x e d g a i n - s c h e d u l e d c o n t r o l l e r , c o m p u t e m i n i m i z i n g P a n d Q v i a a S m a l l G a i n
t e s t .
s t o p , w h e n n o f u r t h e r i m p r o v e m e n t i s o b s e r v e d .
N o t e t h a t s u c h a s c h e m e i s n o t g u a r a n t e e d t o n d a g l o b a l o p t i m u m , b u t h a s p r o v e d u s e f u l
i n m a n y a p p l i c a t i o n s .
I m p o r t a n t r e m a r k I n t h e i n t e r e s t i n g c a s e w h e r e t h e u n c e r t a i n t y b l o c k i s p a r t l y t i m e -
i n v a r i a n t , t h e p r e v i o u s a l g o r i t h m c a n b e f u r t h e r i m p r o v e d u s i n g d y n a m i c s c a l i n g s . I t c o n s i s t s
i n r e p l a c i n g P a n d Q b y b l o c k d i a g ( P ; D
L
( s ) ) a n d b l o c k d i a g ( Q ; D
R
( s ) r e s p e c t i v e l y . A n e w
a l g o r i t h m c a n t h u s b e d e r i v e d :
i n i t i a l i z e P , Q , D
L
( s ) a n d D
R
( s ) t o i d e n t i t y .
w i t h x e d P , Q , D
L
( s ) , a n d D
R
( s ) c o m p u t e t h e s t a t e - s p a c e e l e m e n t s o f t h e s c a l e d
o p e n - l o o p s y t e m , m i n i m i z e s u b j e c t t o t h e L M I c o n s t r a i n t ( 2 . 9 ) - ( 2 . 1 2 ) , a n d d e d u c e a
g a i n - s c h e d u l e d c o n t r o l l e r .
7 4
-
7/30/2019 LPV control of High Performance Aircrafts
7/19
w i t h a x e d g a i n - s c h e d u l e d c o n t r o l l e r , b u i l d t h e c l o s e d - l o o p p a r a m e t e r - d e p e n d e n t s y s -
t e m a n d c o m p u t e m i n i m i z i n g P , Q , D
L
w
a n d D
R
w
o n a n i t e s e t o f f r e q u e n c i e s . T h e
d y n a m i c s c a l i n g D
L
( s ) a n d D
R
( s ) a r e t h e n o b t a i n e d b y i n t e r p o l a t i o n .
s t o p , w h e n n o f u r t h e r i m p r o v e m e n t i s o b s e r v e d .
T h e o r e t i c a l l y , t h e s c a l i n g c o m p u t a t i o n c a n n o t b e a c h i e v e d u s i n g t h e t o o l b o x 1 9 ] . H o w -
e v e r , i n p r a c t i c a l c a s e s i t g i v e s s a t i s f y i n g r e s u l t s w h e n t h e s c a l i n g s h a v e n o c o n s t a n t p a r t .
I n t h e g e n e r a l c a s e , t h e p r o b l e m c a n b e s o l v e d s i n c e i t c a n b e t r a n s f o r m e d i n t o a c o n v e x
o p t i m i z a t i o n p r o g r a m 2 0 ] .
3 T h e A i r c r a f t M o d e l
3 . 1 E q u a t i o n s o f M o t i o n a n d L P V M o d e l
T h i s s e c t i o n p r e s e n t s t h e a p p l i c a t i o n o f t h e m e t h o d t o t h e l o n g i t u d i n a l c o n t r o l o f a h i g h
p e r f o r m a n c e a i r c r a f t . O n l y l o n g i t u d i n a l m o t i o n s a r e c o n s i d e r e d a n d t h e u s u a l e q u a t i o n s o f
m o t i o n o f t h e a i r p l a n e i n t h e l o n g i t u d i n a l a x i s . S l i d e s l i p a n g l e , r o l l a n d y a w a n g u l a r v e l o c i t i e s
a r e a s s u m e d t o b e z e r o . T h e e q u a t i o n o f m o t i o n c a n b e w r i t t e n a s f o l l o w s :
_ = ?
g
V
c o s +
L
m V
+
F
m V
s i n ( 3 . 1 5 )
_ = q ? _ ( 3 . 1 6 )
_q = M
c
J
y
( 3 . 1 7 )
_
V = ? g s i n ?
D
m
+
F
m
( 3 . 1 8 )
_
H = V s i n ( 3 . 1 9 )
w h e r e , , q , V a n d H d e n o t e s t h e v e r t i c a l i g h t p a t h a n g l e , t h e a n g l e o f a t t a c k , p i t c h
r a t e , a i r p l a n e v e l o c i t y a n d a l t i t u d e r e s p e c t i v e l y . E x p r e s s i o n s o f a e r o d y n a m i c d r a g ( D ) , l i f t
( L ) a n d p i t c h m o m e n t ( M ) a r e e x p r e s s e d a s :
L =
1
2
S V
2
C
L
( )
+ q
c
2 V
C
L
q
( )
+
e
C
L
e
( )
( 3 . 2 0 )
D =
1
2
S V
2
C
D
( )
+ q
c
2 V
C
D
q
( )
+
e
C
D
e
( )
( 3 . 2 1 )
M =
1
2
S V
2
C
M
( )
+ q
c
2 V
C
M
q
( )
+
e
C
M
e
( )
( 3 . 2 2 )
7 5
-
7/30/2019 LPV control of High Performance Aircrafts
8/19
S , m , c , J
y
a r e c o n s t a n t s d e n o t i n g r e s p e c t i v e l y t h e a i r p l a n e w i n g r e f e r e n c e a r e a , m a s s ,
r e f e r e n c e m e a n a e r o d y n a m i c c h o r d , a n d p i t c h m o m e n t o f i n e r t i a .
C
L
( )
, C
L
q
( )
, . . . a r e p o l y n o m i a l f u n c t i o n s o f w h i c h i n t e r p o l a t e r e a l d a t a o v e r a w i d e
r a n g e o f a n g l e s o f a t t a c k ( s e e 2 4 ] f o r m o r e d e t a i l s )
e
a n d F a r e c o n t r o l i n p u t s : s y m m e t r i c e l e v a t o r p o s i t i o n a n d t h r u s t .
i s t h e a i r d e n s i t y w h i c h v a r i e s a s a f u n c t i o n o f t h e a l t i t u d e .
I t c a n b e o b s e r v e d t h a t t h e a i r p l a n e m o t i o n i s d e s c r i b e d b y a n o n l i n e a r p a r a m e t e r v a r y i n g
s y s t e m o f t h e f o r m :
_
X = f ( X ; ; F ) + g ( X ; ) u ( 3 . 2 3 )
w i t h : X = q V H
T
, u =
e
F
T
a n d = V H
T
I n o r d e r t o a p p l y t h e L P V t e c h n i q u e ( s e e S e c t i o n 2 ) t h i s m o d e l h a s b e e n l i n e a r i z e d f o r
d i e r e n t i g h t c o n d i t i o n s w h i c h h a v e b e e n s e l e c t e d t h r o u g h o u t t h e e n v e l o p e . T h u s , s e v -
e r a l e q u i l i b r i u m p o i n t s
n
0
i
=
0
i
;
0
i
= 0 ; q
0
i
= 0 ; V
0
i
= V
i
T
; u
0
i
=
e
i
0
; F
0
i
T
o
a r e
c o m p u t e d a n d c o r r e s p o n d i n g 4
t h
o r d e r l i n e a r s y s t e m s a r e d e d u c e d :
_
~
i
= A
H V
~
i
+ B
H V
~u
i
;
~
i
= ?
i
0
; ~u
i
= u ? u
i
0
( 3 . 2 4 )
N o t e h e r e , t h a t H h a s b e e n r e m o v e d f r o m t h e s t a t e v e c t o r , s i n c e i t o n l y a p p e a r s a s a
p a r a m e t e r . T h e e q u a t i o n 3 . 1 9 i s m a i n l y u s e d f o r s i m u l a t i o n p u r p o s e s . F u r t h e r m o r e , a s t h i s
p a p e r f o c u s e s o n m a n u a l i g h t c o n t r o l d e s i g n , t h e m o d e l s a r e t r u n c a t e d s o a s t o k e e p o n l y
s h o r t p e r i o d d y n a m i c s . I t s h o u l d a l s o b e r e m a r k e d t h a t t h e t h r u s t i n p u t c a n b e r e m o v e d
s i n c e i t h a s n o i m m e d i a t e e e c t o n t h e s h o r t p e r i o d d y n a m i c s . T h u s , a f a m i l y o f s i n g l e - i n p u t
2
n d
o r d e r s y s t e m s i s o b t a i n e d , w h e r e t h e s t a t e s a r e ~ a n d ~ q :
_
~
_
~q
=
Z
(
i
) 1
M
(
i
) M
q
(
i
)
~
~q
+
Z
e
(
i
)
M
e
(
i
)
~
e
( 3 . 2 5 )
I n a l a s t s t e p , t h e e v o l u t i o n o f Z
, M
, M
q
, Z
e
a n d M
e
v e r s u s i g h t c o n d i t i o n (
i
) i s
s t u d i e d . T h e c o e c i e n t s m a i n l y d e p e n d o n t h e d y n a m i c p r e s s u r e q :
q =
1
2
( H ) V
2
( 3 2 6 )
T h e s e l e c t e d i g h t c o n d i t i o n s ( H 2 5 0 0 0 f t 3 5 0 0 0 f t ] a n d V 2 3 0 0 f t = s e c 9 0 0 f t = s e c )
m a k e t h e d y n a m i c p r e s s u r e v a r y f r o m 4 7 p s f u p t o 9 9 8 p s f . T h e v a r i a t i o n s o f s t a t e - s p a c e
c o e c i e n t s v e r s u s q a r e s h o w n o n F i g u r e 3 ( s o l i d l i n e s ) . U n c e r t a i n t i e s o n t h e s e c o e c i e n t s
a r e a l s o p r e s e n t e d ( d o t t e d l i n e s ) . L i n e a r m e a n - s q u a r e i n t e r p o l a t i o n s ( d a s h e d l i n e ) r e m a i n i n
a n e i g h b o r h o o d o f t h e p a r a m e t e r s , w h i c h n e v e r g r o w l a r g e r t h a n t h e u n c e r t a i n t y d o m a i n f o r
a n y q ( s e e T a b l e 1 ) .
7 6
-
7/30/2019 LPV control of High Performance Aircrafts
9/19
0 500 10002.5
2
1.5
1
0.5
0
Z_alpha
0 500 10004
3
2
1
0
M_alpha
0 500 10000.8
0.6
0.4
0.2
0
M_q
0 500 10000.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
M_de
F i g u r e 3 : S t a b i l i t y D e r i v a t i v e s v s q
I t f o l l o w s t h a t t h e f a m i l y o f m o d e l s 3 . 2 5 c a n b e f a i r l y w e l l r e p r e s e n t e d b y t h e L P V s y s t e m :
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
_
~
_
~q
=
Z
m
1
M
m
M
q
m
~
~q
+ w
q
+
Z
e
m
M
e
m
~
e
z
q
= C
q
~
~q
+ D
q
e
~
e
w
q
= q
S
z
q
( 3 2 7 )
w h e r e q h a s b e e n r e s c a l e d t o q
S
w h i c h b e l o n g s t o t h e i n t e r v a l ? 1 1 ] . T h u s q = 4 7 5 6 5 q
S
+
5 2 3 0 5 . T h e r e s u l t i n g a e r o d y n a m i c c o e c i e n t s a r e a s f o l l o w s :
Z
= 1 2 1 ? 0 9 2 5 q
S
( 3 . 2 8 )
M
= ? 2 ? 1 3 q
S
( 3 . 2 9 )
M
q
= ? 0 3 4 ? 0 2 2 q
S
( 3 . 3 0 )
M
e
= ? 0 2 0 ? 0 2 0 q
S
( 3 . 3 1 )
Z
e
= 0 ( 3 . 3 2 )
7 7
-
7/30/2019 LPV control of High Performance Aircrafts
10/19
T h e c o e c i e n t s Z
m
, M
m
a n d M
q
m
a r e t h o s e o b t a i n e d w h e n q
S
= 0 . M a t r i c e s C
q
a n d D
q
e
a r e c a l c u l a t e d a c c o r d i n g t o t h e l i n e a r i n t e r p o l a t i o n s o f F i g u r e 3 a n d a r e
C
q
=
0 9 2 5 0
? 1 3 ? 0 2 2
( 3 3 3 )
a n d
D
q
e
=
0
? 0 2
( 3 3 4 )
3 . 2 O p e n - L o o p A n a l y s i s
I n t h i s p a r a g r a p h , a s h o r t o p e n - l o o p a n a l y s i s o f t h e f a m i l y o f l i n e a r s y s t e m s 3 . 2 5 i s p r e s e n t e d .
A s e x p e c t e d , t h e a i r c r a f t b e h a v i o r s i g n i c a n t l y d e p e n d s o n t h e i g h t c o n d i t i o n . F o r l o w
d y n a m i c p r e s s u r e , t h e s y s t e m h a s v e r y l o w b a n d w i d t h a n d i s p o o r l y d a m p e d . F o r h i g h
d y n a m i c p r e s s u r e , t h e b a n d w i d t h i s h i g h e r b u t d a m p i n g r e m a i n s p o o r ( s e e F i g u r e 4 ) .
1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 02
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
ImaginaryAxis
Damping > 0.7
F i g u r e 4 : S y s t e m p o l e s v s q
M o r e o v e r i t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t t h e o n t r o l e c i e n c y i s a l s o h i g h l y d e p e n d e n t o n
t h e p a r a m e t e r q . T h i s i s i l l u s t r a t e d b y F i g u r e 5 w h i c h p r e s e n t s t r a n s f e r f u n c t i o n s f r o m t h e
c o n t r o l i n p u t
e
t o t h e a n g l e o f a t t a c k f o r l o w , m e d i u m a n d h i g h v a l u e s o f q ( s o l i d , d a s h e d
a n d d o t t e d l i n e s r e s p e c t i v e l y ) .
7 8
-
7/30/2019 LPV control of High Performance Aircrafts
11/19
103
102
101
100
101
102
103
108
107
106
105
104
103
102
101
100
Frequency (rad/sec)
Magnitude
F i g u r e 5 : T r a n s f e r f u n c t i o n s v s q
4 S p e c i c a t i o n s a n d P r o b l e m S e t u p
I n m a n y c a s e s i t i s d e s i r a b l e t h a t t h e a n g l e o f a t t a c k o f a n a i r c r a f t b e p r o p o r t i o n a l t o p i l o t
s t i c k i n p u t s . T h i s i s c a l l e d a n a n g l e o f a t t a c k c o m m a n d s y s t e m a n d i t i s d e s i r a b l e f o r t h e
r e s p o n s e o f t h e a n g l e o f a t t a c k t o a l o n g i t u d i n a l s t i c k i n p u t a p p r o x i m a t e t h a t o f a s e c o n d
o r d e r t r a n s f e r f u n c t i o n w i t h n o n u m e r a t o r d y n a m i c s . T h e l o n g i t u d i n a l c o n t r o l l e r d e s i g n e d
i n t h i s s t u d y w i l l b e r e q u i r e d t o s t a b i l i z e t h e s h o r t p e r i o d a i r c r a f t a t a l l i g h t c o n d i t i o n s a n d
t o f o l l o w t h e p a r a m e t e r v a r y i n g , s e c o n d - o r d e r r e f e r e n c e m o d e l g i v e n b e l o w ,
_x
r e f
=
0 1
? ! ( q )
2
? 2 ! ( q )
x
r e f
+
0
! ( q )
2
r
( 4 . 3 5 )
i d e a l
= ( 1 0 ) x
r e f
( 4 . 3 6 )
E x p e r i m e n t s i n d i c a t e t h a t p i l o t s l i k e h i g h e r b a n d w i d t h a t h i g h e r s p e e d s ( s m a l l e r t r i m a n g l e s
o f a t t a c k ) a n d l o w e r b a n d w i d t h a t l o w e r s p e e d s ( h i g h e r t r i m a n g l e s o f a t t a c k ) . A d a m p i n g
f a c t o r o f = 0 . 7 a p p e a r s a d e q u a t e f o r m o s t i g h t c o n d i t i o n s 2 5 ] . V a l u e s o f n a t u r a l f r e q u e n c y
7 9
-
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12/19
r a n g e f r o m 2 r a d / s e c a t t h e l o w e s t d y n a m i c p r e s s u r e t o 4 r a d / s e c a t h i g h d y n a m i c p r e s s u r e .
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
_x
r e f
=
0 1
? 1 0 ? 4 6
x
r e f
+
0
1
w
q
+
0
1 0
r
z
q
= ( 6 1 8 ) x
r e f
+ 6
r
w
q
= q
S
z
q
( 4 3 7 )
R o b u s t n e s s s p e c i c a t i o n s s h o u l d a l s o b e i n c l u d e d i n t h e d e s i g n s c h e m e . T y p i c a l l y , i t
w o u l d b e d e s i r e d t o a c c o u n t f o r a c t u a t o r u n c e r t a i n t i e s , n o i s e m e a s u r e m e n t s , a n d p a r a m e t r i c
u n c e r t a i n t i e s . H o w e v e r , t h i s w o u l d i m p l y m a n y w e i g h t i n g f u n c t i o n s a n d c o m p u t a t i o n o f
h i g h o r d e r s c a l i n g s . F o r s i m p l i c i t y a n d n u m e r i c a l t r a c t a b i l i t y , a s i n g l e i n p u t u n c e r t a i n t y
r o b u s t n e s s s i g n a l h a s b e e n i n t r o d u c e d . Y e t , a c o m p l e t e r o b u s t n e s s a n a l y s i s i s p r e s e n t e d i n
n e x t s e c t i o n .
I n o r d e r t o a c h i e v e a h i g h q u a l i t y m o d e l f o l l o w i n g , a t w o f e e d b a c k - l o o p c o n t r o l s t r u c t u r e
h a s b e e n a d o p t e d ( s e e F i g u r e 6 ) .
q,
rWp
W
z
w
zp+
-
+
+
+
-
1-
2-
-
K (q )-
G(q )
K (q )
Ref(q )
S
S
S
S
F i g u r e 6 : W e i g h t e d S t a n d a r d P l a n t
T h e n , r e p l a c i n g G ( q ) a n d R e f ( q ) b y t h e e q u a t i o n s 3 . 2 7 a n d 4 . 3 7 , a n L P V s y n t h e s i s
p l a n t i s e a s i l y d e r i v e d . T h e m i x e d \ L P V - " t e c h n i q u e ( s e e S e c t i o n 2 ) h a s t h e n b e e n a p p l i e d
t o t h e w e i g h t e d p l a n t . T h e w e i g h t s W
p
a n d W
a r e u s e d t o a d d r e s s t h e u s u a l p e r f o r -
m a n c e / r o b u s t n e s s t r a d e o . T h e r e f o r e , a l o w p a s s l t e r i s c h o s e n f o r W
p
a n d a h i g h p a s s l t e r
f o r W
( s e e F i g u r e 7 ) . T h e d i e r e n t p a r a m e t e r s ( b a n d w i t h , c u t - o f r e q u e n c y , s t a t i c g a i n s ,
e t c . ) h a v e b e e n a d j u s t e d a f t e r s e v e r a l i t e r a t i o n s .
8 0
-
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13/19
101
100
101
102
103
104
103
102
101
100
101
Frequency
Magnitude
Wrob
Wperf
F i g u r e 7 : W e i g h t i n g F u n c t i o n s
A s s h o w n o n F i g u r e 8 , t h e i n i t i a l b o u n d o n t h e L
2
- i n d u c e d n o r m o f t h e p l a n t i s 1 9 1
T h e n , d y n a m i c s c a l i n g s D
p e r f
( s ) a n d D
r o b
( s ) a r e c o m p u t e d f o r t h e p e r f o r m a n c e a n d i n p u t
u n c e r t a i n t y s i g n a l s r e s p e c t i v e l y ( s e e F i g u r e 9 ) . A n e w L P V c o n t r o l l e r o f t h e 8 t h o r d e r i s
t h u s o b t a i n e d f o r w h i c h t h e b o u n d i s l e s s t h a n o n e ( F i g u r e 8 ) .
101
100
101
102
103
104
100
Frequency (rad/sec)
Mag
nitude
Hinf Norm
Scaled Hinf Norm
F i g u r e 8 : I n i t i a l a n d S c a l e d L
2
- i n d u c e d n o r m b o u n d s
8 1
-
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14/19
101
100
101
102
103
104
101
100
101
102
Frequency (rad/sec)
Magnitude
Dperf
Drob
F i g u r e 9 : S c a l i n g F u n c t i o n s
5 N u m e r i c a l R e s u l t s a n d S i m u l a t i o n s
5 . 1 R o b u s t n e s s A n a l y s i s
A s m e n t i o n n e d a b o v e , r o b u s t n e s s s p e c i c a t i o n s h a v e n o t a l l b e e n c o n s i d e r e d i n t h e s y n t h e s i s
d e s i g n . Y e t , t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m b e h a v i o r s h o u l d n o t b e a e c t e d o v e r m u c h b y a c t u a t o r
u n c e r t a i n t i e s , n o i s e m e a s u r e m e n t s a n d p a r a m m e t r i c u n c e r t a i n t i e s . I n t h i s p a r a g r a p h a
a n a l y s i s o n t h e p e r t u r b e d s y s t e m o f F i g u r e 1 0 i s p e r f o r m e d .
G(q )-
S
qu
W
W
Wu
q q
u
A,B
F i g u r e 1 0 : R o b u s t n e s s s p e c i c a t i o n s
W e i g h t s W
( s ) , W
q
( s ) a n d W
u
( s ) a r e u s e d t o s p e c i f y t h e p e r t u r b a t i o n s b o u n d s v e r s u s
f r e q u e n c y ( s e e F i g u r e 1 1 ) . P a r a m e t r i c u n c e r t a i n t i e s (
A B
) t h e o r e t i c a l l y d e p e n d o n q . F o r
s i m p l i c i t y , t h e w o r s e c a s e , a s g i v e n i n T a b l e 1 , h a s b e e n r e t a i n e d :
8 2
-
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Z M M q Z eM
e
2% 4% 20% 20% 4%
T a b l e 1 : P a r a m m e t r i c U n c e r t a i n t i e s
102
101
100
101
102
103
104
106
105
104
103
102
101
100
101
102
Frequency
Magnitude
W_alpha
W_q
W_u
F i g u r e 1 1 : I n p u t / O u p u t p e r t u r b a t i o n w e i g h t s
T h e s t r u c t u r e d s i n g u l a r v a l u e ( s s v ) p l o t s p r e s e n t e d b e l o w ( s e e F i g u r e 1 2 ) c o r r e s p o n d t o
t h e p e r t u r b a t i o n s a n d u n c e r t a i n t i e s p r e v i o u s l y d e s c r i b e d . T h e p e r f o r m a n c e s i g n a l ( s h a p e d b y
W
p
( s ) ) h a s b e e n l e f t f o r t h e a n a l y s i s . T h u s , a s t h e s s v r e m a i n b o u n d e d b y o n e , p e r f o r m a n c e
r o b u s t n e s s i s a c h i e v e d f o r e a c h v a l u e q . F i g u r e 1 2 g i v e s o n l y t w o p l o t s f o r c l a r i t y . I t m u s t
b e n o t i c e d h e r e , t h a t a p a r a m e t e r v a r y i n g a n a l y s i s ( u s i n g c o n s t a n t s c a l i n g s f o r t h e b l o c k
a s s o c i a t e d w i t h q ) w o u l d g i v e a m o r e p r e c i s e i n f o r m a t i o n a b o u t p e r f o r m a n c e r o b u s t n e s s .
H o w e v e r , t h i s a n a l y s i s , w h i c h c a n n o t b e p e r f o r m e d w i t h t h e c u r r e n t - t o o l b o x , r e q u i r e s t h e
i m p l e m e n t a t i o n o f a v e r y t i m e c o n s u m i n g L M I - b a s e d a l g o r i t h m . M o r e o v e r , d y n a m i c p r e s s u r e
v a r i a t i o n s a r e r a t h e r s l o w . T h u s a \ f r o z e n - p a r a m e t e r " a n a l y s i s , a s s h o w n i n F i g u r e 1 2 g i v e s
a g o o d i n s i g h t .
8 3
-
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16/19
103
102
101
100
101
102
103
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Frequency
Magnitude
Low q
High q
F i g u r e 1 2 : s s v p l o t s
5 . 2 N o n l i n e a r S i m u l a t i o n s
T h i s l a s t p a r a g r a p h p r e s e n t n o n l i n e a r s i m u l a t i o n s . T h e y h a v e b e e n p e r f o r m e d u s i n g e q u a -
t i o n s o f p a r a g r a p h 3 . 1 a n d t h e s t a n d a r d a t m o s p h e r e m o d e l . A c t u a t o r a n d s e n s o r m o d e l s ,
w h i c h c a n b e f o u n d i n 2 6 ] , h a v e a l s o b e e n i m p l e m e n t e d .
I n F i g u r e 1 3 , u n i t s t e p i n p u t s r e s p o n s e s ( s o l i d l i n e s ) a r e p l o t t e d f o r d i e r e n t i g h t c o n -
d i t i o n s w h i c h c o r r e s p o n d t o l o w ( 4 7 p s f ) , m e d i u m ( 6 0 0 p s f ) a n d h i g h ( 9 9 8 p s f ) v a l u e s o f t h e
d y n a m i c p r e s s u r e . T h e r e f e r e n c e c o m m a n d s t o b e f o l l o w e d a p p e a r a s d a s h e d l i n e s . T h e g u r e
c l e a r l y i l l u s t r a t e s t h e r e f e r e n c e m o d e l v a r i a t i o n s w i t h q a n d t h e h i g h q u a l i t y o f t h e t r a c k i n g
a c h i e v e d i n e a c h c a s e . T h e e l e v a t o r c o m m a n d s f o r t h e t h r e e i g h t c o n d i t i o n s a r e s h o w n i n
t h e l a s t s u b p l o t o f t h e g u r e . P o s i t i o n ( ? 2 4
1 0 5
] ) a n d r a t e ( ? 6 0
= s e c + 6 0
= s e c ] ) l i m i t s
a r e r e s p e c t e d . D u r i n g t h e s e s h o r t s i m u l a t i o n s , t h e d y n a m i c p r e s s u r e d o e s n o t s i g n i c a n t l y
v a r y a n d t h e c o n t r o l l e r r e m a i n s a l m o s t c o n s t a n t i n e a c h c a s e .
F i g u r e 1 4 s h o w s a n o n l i n e a r p a r a m e t e r - v a r y i n g s i m u l a t i o n . I n t h i s c a s e , a n a n g l e o f
a t t a c k s t e p o f m a g n i t u d e 4 d e g r e e s i s a p p l i e d f o r 2 s e c o n d s . A s t h e t h r u s t i s l e f t c o n s t a n t ,
t h e s p e e d a n d t h e d y n a m i c p r e s s u r e d e c r e a s e ( s e e t h e c o r r e s p o n d i n g s u b p l o t ) . T h e c o n t r o l l e r
i s t h u s s c h e d u l e d i n r e a l - t i m e . A t t i m e t = 3 s e c , a n e w s t e p i s a p p l i e d t o m a k e t h e a n g l e o f
a t t a c k g o b a c k t o i t s i n i t i a l t r i m v a l u e . I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t a c o n s t a n t c o n t r o l l e r
( w h i c h i s o b t a i n e d b y f r e e z i n g t h e p r e s s u r e a t i t s i n i t i a l v a l u e ) w o u l d n o t g i v e a s a t i s f a c t o r y
r e s p o n s e i n t h e s e c o n d p a r t o f t h e s i m u l a t i o n .
8 4
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17/19
0 1 2 3 42
1.5
1
0.5
0
0.5
time (sec)
elevator(deg)
__ low
med
.. high
0 1 2 3 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
time (sec)
alpha(deg)
high pressure
0 1 2 3 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
time (sec)
alpha(deg)
low pressure
0 1 2 3 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
time (sec)
alpha(deg)
med pressure
F i g u r e 1 3 : N o n l i n e a r s t e p r e s p o n s e s
0 2 4 60
1
2
3
4
5
time (sec)
alpha(deg)
0 2 4 62
0
2
4
6
8
time (sec)
q(deg/sec)
0 2 4 6740
760
780
800
820
840
time (sec)
pressure
(psf)
0 2 4 61.5
1
0.5
0
0.5
time (sec)
elevator
(deg)
F i g u r e 1 4 : N o n l i n e a r p a r a m e t e r v a r y i n g s i m u l a t i o n s
6 C o n c l u s i o n
A n L P V / t e c h n i q u e h a s b e e n p r e s e n t e d a n d a p p l i e d t o t h e d e s i g n o f l o n g i t u d i n a l i g h t
c o n t r o l s y s t e m f o r a h i g h p e r f o r m a n c e a i r c r a f t . N o n l i n e a r s i m u l a t i o n s s h o w t h a t t h e m e t h o d
y i e l d s g o o d d y n a m i c r e s p o n s e f o r t h e e x a m p l e c o n s i d e r e d . T h e c o n t r o l l e r i s o f r e l a t i v e l y l o w
8 5
-
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18/19
o r d e r a n d i s s e l f s c h e d u l e d w i t h r e s p e c t t o i g h t c o n d i t i o n s ( i n t h i s c a s e d y n a m i c p r e s s u r e ) .
T h e r e s u l t s a p p e a r t o b e s u c i e n t l y p r o m i s i n g t o w a r r a n t f u r t h e r s t u d y o f t h i s m e t h o d f o r
a p p l i c a t i o n s t o i g h t c o n t r o l d e s i g n s .
R e f e r e n c e s
1 ] S . A . S n e l l , D . F . E n n s , a n d W . L . G a r r a r d , \ N o n l i n e a r i n v e r s i o n i g h t c o n t r o l f o r a
s u p e r m a n e u v e r a b l e a i r c r a f t " , i n p r o c e e d i n g s o f A I A A G u i d . N a v a n d C o n t r . C o n f . , p p .
8 0 8 { 8 2 5 , W a s h i n g t o n , D C , A u g u s t 1 9 9 0 .
2 ] J . R e i n e r , G . J . B a l a s , a n d W . L . G a r r a r d , \ D e s i g n o f a i g h t c o n t r o l s y s t e m f o r a h i g h l y
m a n e u v e r a b l e a i r c r a f t u s i n g s y n t h e s i s " , i n p r o c e e d i n g s o f A I A A G u i d . N a v a n d C o n t r .
C o n f . , p p . 7 1 0 { 7 1 9 , M o n t e r e y , C A , A u g u s t 1 9 9 3 .
3 ] R . J . A d a m s , J . M . B u n g t o n , A . G . S p a r k s , a n d S . B a n d a , R o b u s t m u l t i v a r i a b l e i g h t
c o n t r o l , A d v a n c e s i n i n d u s t r i a l c o n t r o l . S p r i n g e r - V e r l a g , L o n d o n , 1 9 9 4 .
4 ] S . H o u g u i , G . J . B a l a s , a n d W . L . G a r r a r d , \ D e s i g n o f a r o b u s t d y n a m i c i n v e r s i o n
l a t e r a l / d i r e c t i o n a l i g h t c o n t r o l l e r " , i n p r o c e e d i n g s o f A I A A G u i d . N a v . a n d C o n t r .
C o n f . , A u g u s t 1 9 9 5 .
5 ] J . K r a u s e , M . J a c k s o n , J . C l o u t i e r , J . E v e r s , a n d R . W i l s o n , \ A n a d a p t i v e a u t o p i l o t
f o r a e x i b l e a i r - t o - a i r m i s s i l e " , i n p r o c e e d i n g s o f I E E E C o n f . o n D e c i s i o n C o n t r . , p p .
3 0 0 2 { 3 0 0 7 , B r i g h t o n , U K , 1 9 9 1 .
6 ] P . B e n d o t t i a n d M . S a a d , \ A s k i d - t o - t u r n m i s s i l e a u t o p i l o t d e s i g n : T h e g e n e r a l i z e d
p r e d i c t i v e a d a p t i v e c o n t r o l a p p r o a c h " , I n t . J . A d a p t i v e C o n t r . a n d S i g . P r o c e s s , v o l . 7 ,
p p . 1 3 { 3 1 , 1 9 9 3 .
7 ] G . J . B a l a s a n d A . P a c k a r d , \ D e s i g n o f r o b u s t t i m e - v a r y i n g c o n t r o l l e r s f o r m i s s i l e a u -
t o p i l o t " , i n p r o c e e d i n g s o f I E E E C o n f e r e n c e , p p . 1 0 4 { 1 1 0 , D a y t o n , O H , 1 9 9 2 .
8 ] J . F . S h a m m a a n d J - R . C l o u t i e r , \ A l i n e a r p a r a m e t e r - v a r y i n g a p p r o a c h t o g a i n -
s c h e d u l e d m i s s i l e a u t o p i l o t d e s i g n " , i n p r o c e e d i n g s o f A C C , p p . 1 3 1 7 { 1 3 2 1 , J u n e 1 9 9 2 .
9 ] W . M . L u a n d J . C . D o y l e , \ H 1 c o n t r o l o f L F T s y s t e m s : a n L M I a p p r o a c h " , i n
p r o c e e d i n g s o f I E E E C o n f . o n D e c i s i o n C o n t r . , p p . 1 9 9 7 { 2 0 0 1 , T u c s o n , A R , 1 9 9 2 .
1 0 ] A . P a c k a r d , \ G a i n s c h e d u l i n g v i a l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n f o r m a t i o n s " , S y s t . C o n t r . L e t t . ,
v o l . , o c t o b e r 1 9 9 3 .
1 1 ] P . A p k a r i a n a n d P . G a h i n e t , \ A c o n v e x c h a r a c t e r i z a t i o n o f g a i n - s c h e d u l e d H 1 C o n -
t r o l l e r s " , I E E E T r a n s A u t o m a t . C o n t r . , v o l . 4 0 , p p . 8 5 3 { 8 6 4 , M a y 1 9 9 5 .
1 2 ] P . A p k a r i a n , J - M . B i a n n i c , a n d P . G a h i n e t , \ S e l f - s c h e d u l e d H 1 c o n t r o l o f m i s s i l e v i a
l i n e a r m a t r i x i n e q u a l i t i e s " , J o u r n a l o f G u i d . C o n t r . a n d D y n . , v o l . 1 8 , p p . 5 3 2 { 5 3 8 ,
M a y - J u n e 1 9 9 5 .
8 6
-
7/30/2019 LPV control of High Performance Aircrafts
19/19
1 3 ] G . B e c k e r , A . P a c k a r d , D . P h i l b r i c k , a n d G . B a l a s , \ C o n t r o l o f p a r a m e t r i c a l l y -
d e p e n d e n t l i n e a r s y s t e m s : A s i n g l e q u a d r a t i c L y a p u n o v a p p r o a c h " , i n p r o c e e d i n g s o f
A C C , S a n F r a n c i s c o , C A , 1 9 9 3 .
1 4 ] J . M . B i a n n i c , P . A p k a r i a n , a n d L . L e l e t t y , \ A q u a d r a t i c H 1 p e r f o r m a n c e a p p r o a c h t o
g a i n s c h e d u l i n g o f a m i s s i l e a u t o p i l o t " , i n p r o c e e d i n g s o f t h e W o r k s h o p o n V a r . S t r u c t .
a n d L y a p . T e c h . , B e n e v e n t o , I T , s e p t 1 9 9 4 .
1 5 ] J . M . B i a n n i c a n d P . A p k a r i a n , \ A c o n v e x c h a r a c t e r i z a t i o n o f s e l f - s c h e d u l e d H
2
c o n -
t r o l l e r s " , i n p r o c e e d i n g s o f I F A C C o n f e r e n c e o n S y s t e m S t r u c t u r e a n d C o n t r o l , N a n t e s ,
F r . , J u l y 1 9 9 5 .
1 6 ] P . G a h i n e t , A . N e m i r o w s k i i , A . J . L a u b , a n d M . C h i l a l i , \ L M I c o n t r o l t o o l b o x " , M a t h -
w o r k s , N a t i c k , M A , v o l . , 1 9 9 4 .
1 7 ] F . W u , X . H . Y a n g , A . P a c k a r d , a n d G . B e c k e r , \ I n d u c e d L
2
n o r m c o n t r o l f o r L P V
s y s t e m w i t h b o u n d e d p a r a m e t e r v a r i a t i o n r a t e s " , i n p r o c e e d i n g s o f A C C , v o l . 3 , p p .
2 3 7 9 { 2 3 8 3 , S e a t t l e , W A , J u n e 1 9 9 5 .
1 8 ] G . B e c k e r , \ p a r a m e t e r - d e p e n d e n t c o n t r o l o f a n u n d e r - a c t u a t e d m e c h a n i c a l s y s t e m " , i n
S u b m i t t e d t o t h e 3 4 t h C D C , 1 9 9 5 .
1 9 ] G . J . B a l a s , J . C . D o y l e , K . G l o v e r , A . P a c k a r d , a n d R . S m i t h , - A n a l y s i s a n d s y n t h e s i s
t o o l b o x : U s e r ' s G u i d e , T h e M a t h W o r k s , I n c . , a p r i l 1 9 9 1 .
2 0 ] R . L i n d , G . J . B a l a s , a n d A . P a c k a r d , \ R o b u s t n e s s a n a l y s i s w i t h l i n e a r t i m e - i n v a r i a n t
a n d t i m e - v a r y i n g r e a l u n c e r t a i n t y " , i n p r o c e e d i n g s o f A I A A C o n f e r e n c e , p p . 1 3 2 { 1 4 0 ,
B a l t i m o r e , U S A , J u l y 1 9 9 5 .
8 7