CHỦ ĐỀ 1:

LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHI BIẾT TIẾP ĐIỂM.

I.LÝ THUYẾT:

DẠNG TOÁN 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm .

Nếu tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là thì phương trình tiếp tuyến là .

A.VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của nó với trục tung.

Định hướng giải: Với dạng bài tập này,trước tiên ta cần phải tìm ra tọa độ tiếp điểm mà bài toán yêu cầu.

Lời giải: Tập xác định:

Đạo hàm:

Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là nghiệm của hệ:

Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có dạng:

Ta có .

Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là

(C) M( ; )x0 y0y = f(x) M( ; )x0 y0 d : y = ( )(x − ) +f ′ x0 x0 y0

y =+ ax − 1x2

x − 1

x ≠ 1

=y ′ − 2x − a + 1x2

(x − 1)2

M Oy

⇔ { ⇔ M(0; 1)

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪

y =+ ax − 1x2

x − 1x = 0x ≠ 1

x = 0y = 1

M(0; 1) y = (0)(x − 0) + 1y ′

(0) = 1 − ay ′

y = (1 − a)x + 1.

y = − 3 +1 4 2 5

Bài toán tiếp tuyến

Ví dụ 2: Cho hàm số . Gọi là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ

.Chứng minh rằng hoành độ các giao điểm của tiếp tuyến (d) với đồ thị là nghiệm của phương trình:

Định hướng giải: Ta có thể thấy ví dụ này đã cho sẵn tọa độ của tiếp điểm,như vậy để chứng minh yêu cầu bài

toán ta chỉ việc viết ra phương trình tiếp tuyến và lập phương trình hoành độ giao điểm.

Lời giải: Tập xác định: .Đạo hàm: \displaystyle{{y '} = 2{x 3} - 6x}

Phương trình tiếp tuyến của đồ thi tại M có hoành độ là có dạng :

Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với đồ thị là nghiệm của phương trình:

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Cho hàm số Với giá trị nào của thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ vuông góc với tiệm cận? (ĐS: )

Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3 (ĐS: hay )

Bài 3: Gọi là đồ thị của hàm số . Tìm để có tiếp tuyến tạo với một góc sao cho

. ĐS:

Bài 4: (ĐHQG-khối A 2000) Cho hàm số

Tìm nhữ ng điểm trên có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại điểm đó tạo với 2 đường tiệm cận 1 tam giác có chu vi nhỏ nhất.

ĐS:

Bài 5: Cho

Gọi là tiếp tuyến tại điểm M(0;1) với . Hãy tìm trên những điểm có hoành độ lớn hơn 1 mà khoảng cách từ những điểm đó đến là nhỏ nhất.

ĐS: .

Bài 6: (ĐHKTQD-khối A 2000) Hãy tìm phương trình tất cả các tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết rằng mỗi một trong các tiếp tuyến đó cùng với các trục tọa độ

tạo thành một tam giác có diện tích bằng .

ĐS:

CHỦ ĐỀ 2:

LẬP TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHI BIẾT MỘT ĐIỂM THUỘC TIẾP TUYẾN.

y = − 3 +12

x4 x2 52

(d) M

= axM

( + 2ax + 3 − 6) = 0.(x − a)2x2 a2

D = R= axM

\displaystyle{y = {y '}\left( a \right)\left( {x - a} \right) + y\left( a \right) = \left( {2{a^3} - 6a} \right)x - \frac{{3{a^4}}}{2} + 3{a^2} + \frac{5}{2}}

− 3 + = (2 − 6a)x − + 3 +12

x4 x2 52

a3 3a4

2a2 5

2

⇔ − 6 − (2 − 6a)x + 3 − 6 = 0x4 x2 a3 a4 a2

⇔ ( + 2ax + 3 − 6) = 0(x − a)2x2 a2

y = .4 + mx − 3x2

4x + mm x = 0 m = ± 4

(C) : y =2x − 1x + 1

y = 3x − 1 y = 3x + 11

(C) y = + (1 − 2m) + (2 − m)x + m + 2x3 x2 m (C) (d) : x + y + 7 = 0 α

cos α = .1

26−−√,

⎡⎣⎢⎢ m ≥

112

m ≤−11

2

⎡⎣⎢⎢⎢

m ≥−2 + 19−−√

2

m ≤−2 − 19−−√

2y = x + 1 + (C)

1x − 1

(C)

M(1 + ; 2 + + )1

2√42√4 1

2√4

(C) : y =2x + 11 − x

(Δ ) (C) (C) (Δ )M(2; −5)

y =+ 1x3

x12

: y = x + 1; : y = x −d1 d29

25−−√3

3

5√3

I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

Trong chủ đề này,ta thường hay sử dụng đến kiến thức 2 đồ thị hàm số tiếp xúc nhau:

Điều k iện để 2đồ thị hàm số tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau phải có nghiệm:

DẠNG TOÁN 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị đi qua

Ta có thể lựa chọn một trong 2 cách sau:

Cách 1: Ta đi tìm tọa độ của tiếp điểm bằng cách dựa vào phương trình tiếp tuyến:

, trong đó là tọa độ tiếp điểm.

Do

Từ (1) ta sẽ tìm được . Từ đó ta suy ra được phương trình tiếp tuyến.

Cách 2: Phương trình đường thẳng đi qua có dạng:

Công việc của ta chỉ là tìm thông qua điều kiện để tiếp xúc với đồ thị.

A.VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

Ví dụ 1: Cho hàm số . Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ đến đò thị, từ điểm

Định hướng giải: Ta có thể giải ví dụ này theo 2 cách đã trình bày ở trên.Các bạn học viên tốt nhất nên lựa chọn cho mình một cách giải mà mình thấy dễ hiểu và nhanh gọn

nhất.Tuy nhiên,đối với các hàm số phân thức phức tạp thì việc sử dụng cách 2 lại có vẻ hiệu quả hơn.

Lời giải:

Tập xác định: .

Đạo hàm: \displaystyle{{y '} = 3{x 2} - 6x}

Cách 1: GiẢ sử hoành độ tiếp điểm là , khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:

* :Thay vào phương trình tiếp tuyến,ta có:

* :Thay vào phương trình tiếp tuyến,ta có:

*

Cách 2: Phương trình đường thẳng qua với hệ số góc k,có dạng:

Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm:

Với mỗi , ta thay vào thì sẽ thu được 1 tiếp tuyến.

f(x); g(x)

{ f(x) = g(x)

(x) = (x)f ′ g ′

(C) A( ; )xA yA

(d) : y = ( )(x − ) +y ′ x0 x0 y0 ;x0 y0

A( ; ) ∈ (d) ⇔ = ( )( − ) + (1)xA yA yA y ′ x0 xA x0 y0

x0

(d) A( ; )xA yA

y = k(x − ) +xA yA

k (d)

y = − 3 + 2x3 x2 A( ; −2)239

D = R

x = x0

\displaystyle{\left( d \right):y = {y '}\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + y\left( {{x_0}} \right) \Leftrightarrow \left( d \right):\left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2 + 2}

A( ; −2) ∈ (d) ⇔ − 2 = (3 − 6 )( − ) + − 3 + 2239

x20 x0

239

x0 x30 x2

0

⇔ ( − 2)(−2 + − 2) = 0 ⇔x0 x20

203

x0

⎡⎣⎢⎢

= 2x0

= 3x0

=x013

= 2x0 ( ) : y = − 2d1

= 3x0 ( ) : y = 9x − 25d2

= : ( ) : y = x +x013

d3−53

6127

(d) A( ; −2)239

y = k(x − ) − 2239

⇔⎧⎩⎨⎪⎪

− 3 + 2 = k(x − ) − 2x3 x2 239

3 − 6x = kx2

⎧⎩⎨⎪⎪

− 3 + 2 = (3 − 6x)(x − ) − 2x3 x2 x2 239

3 − 6x = kx2

⇔ ⇔

⎧

⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎡⎣⎢⎢

x = 2x = 3

x =13

k = 3 − 6xx2

⎡⎣⎢⎢

k = 0k = 9

k = −53

k (d)

Lưu ý: Với các bài toán đa thức đơn giản như trên thì ta có thể giải bằng cả 2 cách,thế nhưng đối với các bài toán hàm số dạng phân thức thì việc sử dụng cách 2 lại đạt hiệu

quả cao hơn hẳn.Bởi khi sử dụng điều kiện tiếp xúc thì đạo hàm của hàm phân thức luôn có bình phương ở mẫu,làm cho phương trình hệ số góc \displaystyle{k = {f '}(x)} khi

thay vào phương trình tiếp tuyến đầu sẽ làm cho phương trình luôn có nhân tử chung làm cho vấn đề giải các phương trình ấy trở nên dễ dàng hơn.

Ví dụ 2: Cho hàm số . Viết phương trình các tiếp kẻ đến đồ thị từ điểm .

Định hướng giải: Đối với các dạng hàm có chứa trị tuyệt đối thì ta không thể đạo hàm trực tiếp được(các hàm dạng này không liên tục) cho nên ta phải xét trường hợp để

“phá” trị tuyệt đối.

Lời giải:

Tập xác định: . Đạo hàm:

\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0}\\{x \neq - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow y = \frac{{{x 2} + 2x + 2}}{{ - x - 1}} \Rightarrow {y '} = \frac{{ - {x 2} - 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}}

Phương trình tiếp tuyến đi qua có dạng: .

tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm:

Với mỗi ta sẽ tìm 1 tiếp tuyến tương ứng.

Bài tập đề nghị:

Bài 1: (ĐHKT-1999) Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ gốc tọa độ đến đồ thị hàm số.

ĐS: .

Bài 2: (ĐHNN-1998) Cho hàm số . Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào khác của đồ thị song song với tiếp tuyến đi qua của đồ thị.

Bài 3: (ĐHXD-2001) Cho hàm số . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm .

ĐS:Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn.

DẠNG TOÁN 2: Cho hàm số . Tìm điểm thỏa mãn tính chất để từ đó kẻ được tiếp tuyến tới đồ thị .

Ta sẽ giải quyết dạng toán này theo 5 bước:

Bước 1: Tìm điểm thỏa mãn tính chất , giả sử .

Bước 2: Phương trình đường thẳng đi qua với hệ số góc có dạng:

Bước 3: Đường thẳng tiếp xúc với đồ thị khi hệ sau có nghiệm:

Bước 4: Thay vào , được: \displaystyle{f\left( x \right) = {f '}\left( x \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}(3)}

y =− 2|x| + 2x2

|x| − 1A(3; 0)

x ≠ ± 1 { ⇒ y = ⇒ =x ≥ 0x ≠ 1

− 2x + 2x2

x − 1y ′ − 2xx2

(x − 1)2

A(3; 0) (d) : y = k(x − 3)

(d)

⎧

⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

= k(x − 3)− 2|x| + 2x2

|x| − 1

= k( )− 2|x| + 2x2

|x| − 1

′

⇔ ⇔

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎧

⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

x ≥ 0; x ≠ 1

= k(x − 3)− 2x + 2x2

x − 1

= k− 2xx2

(x − 1)2

⎧

⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

x < 0; x ≠ − 1

= k(x − 3)+ 2x + 2x2

−x − 1

= k− − 2xx2

(x + 1)2

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

k =−1 − 5√

2

k =1 − 87−−√

8

k =1 + 87−−√

8

k

y = − (C)12

x4 12

x2

( ) : y = 0; ( ) : y = x; ( ) : y = xd1 d2−1

3 3√d3

1

3 3√

y = − 3 + 2(C)x3 x2 A(1; 0)

y = x ln x(C) A(2; 1)

y = f(x)(C) A K k (C)

A K A( ; )x0 y0

A( ; )x0 y0 k

(d) : y = k(x − ) +x0 y0

(d) (C)

{ f(x) = k(x − ) + (1)x0 y0

(x) = k(2)f ′

(2) (1)

A (C) A (C) ⇔

Bước 5: Khi đó số nghiệm phân biệt của (3) là số tiếp tuyến kẻ được từ tới đồ thị . Do đó để từ kẻ được tiếp tuyến đến đồ thị phương trình (3) có

nghiệm phân biệt.

B.VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

Ví dụ 1:

Cho hàm số . Xác định sao cho qua điểm không có đường thẳng nào tiếp xúc với đồ thị hàm số.

Định hướng giải: Đây là dạng bài biện luận tham số nên khi ta biến đổi ta sẽ thu được phương trình sẽ chứa tham số . Khi đó ta theo bước 5 mà thức hiên biện luận

tham số để thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải:

Phương trình đường thẳng đi qua có dạng: .

Đường thẳng không tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau vô nghiệm:

Thay vào ta được:

Để qua không có đường thẳng nào tiếp xúc với đồ thị hàm số tương đương phương trình vô nghiệm.

Với :

Ta có (không thỏa mãn điều kiện vô nghiệm)

Với

Có vô nghiệm

Vậy giá trị $m

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Cho hàm số . Xác định tất cả các điểm trên sao cho từ mỗi điểm đó kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị.

ĐS:Các điểm thỏa mãn:

Bài 2: (ĐHNT-khối D 2000) Cho hàm số . Từ điểm bất kỳ trên đường thẳng ta có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị hàm số.

ĐS: Kẻ được duy nhất 1 tiếp tuyến.

Bài 3: (HVNH/TPHCM-1999) Cho hàm số . Tìm những điểm trên đường thẳng từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị.

ĐS: Các điểm thỏa mãn

CHỦ ĐỀ 3:

GÓC GIỮA 2 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ.

I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

NhỮng vấn đề về góc giữa 2 tiếp tuyến chủ yếu phụ thuộc vào công thức sau:

Gọi theo thứ tự là hệ số góc của các tiếp tuyến .

Khi đó nếu ta đặt thì .

A (C) A k (C) ⇔ k

y =2 + mx + mx2

x + 1m A(0; 1)

(3) m

A(0; 1) (d) : y = kx + 1

(d)

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

= kx + 1 (1)− x + 1x2

x − 1

= k (2)2 + 4xx2

(x − 1)2

(2) (1) g(x) = (m − 3) + 2(m − 1)x + m − 1 = 0 (3)x2

A (3)

m = 3

(3) ⇔ 4x + 2 = 0 ⇔ x = −12

m ≠ 3 :

(3) ⇔ < 0 ⇔ − (m − 1)(m − 3) < 0 ⇔ m < 1.Δ′g (m − 1)2

y = x + 4 + 2x + 1x2− −−−−−−−−−√ Oy

A(0; b) −1 ≤ b ≤ 1

y = − 6 + 9x − 1(C)x3 x2 x = 2

y = − 3x (C)x3 y = 2

A(a; 2)⎡⎣

a > 2

−1 ≠ a <−23

;k1 k2 ( ); ( )d1 d2

α = (( ); ( ))d1 d2ˆ tan α =

∣∣∣

−k1 k2

1 + k1k2

∣∣∣

Do đó .

II.VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

Ví dụ 1: Cho hàm số . Xác định để cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt . Tìm để tiếp tuyến tại và

vuông góc nhau.

Đinh hướng giải: Trước tiên ta phải giải quyết từng bước một yêu cầu bài toán.Đầu tiên ta phải tìm điều kiện để cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt,rồi sau

đó ta tìm hệ số góc của 2 tiếp tuyến tại và và cho tích của chúng bằng .

Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng với là:

Đồ thị cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt khi có 2 nghiệm phân biệt khác

Khi đó,theo định lý Viete có nghiệm thỏa mãn:

Tiếp tuyến tại có hệ số góc: \displaystyle{{k_D} = {y '}\left( {{x_D}} \right) = 3x_D^2 + 6{x_D} + m} .

Tương tự ta có tiếp tuyến tại có hệ số góc:

Các tiếp tuyến tại và vuông góc nhau khi

Ví dụ 2: Cho hàm số . Tìm điều kiện cần và đủ đối với m để trên mặt phẳng tọa độ tồn tại ít nhất 1 điểm sao cho từ đó ta có thể kẻ được 2 tiếp tuyến

tới đồ thị và 2 tiếp tuyến đó vuông góc nhau.

Lời giải: Gọi là điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có:

Đường thẳng qua với hệ số góc ,có dạng:

Đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm:

Trong đó

Từ có thể kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau tới : khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác thỏa mãn .

( )⊥( ) ⇔ = −1d1 d2 k1k2

y = + 3 + mx + 1 ( )x3 x2 Cm m ( )Cm y = 1 C(0; 1); D; E m D E

( )Cm y = 1D E −1

y = 1 (C)

+ 3 + mx + 1 = 1 ⇔ x( + 3x + m) = 0 ⇔ [x3 x2 x2 x = 0+ 3x + m = 0 (1)x2

( )Cm y = 1 C(0; 1), D, E (1) 0

⇔ { ⇔ { ⇔ 0 ≠ m < (∗)Δ > 0′

(1)

+ 3.0 + m ≠ 002

9 − 4m > 0m ≠ 0

94

(∗)

{ + = − 3xD xE

= mxDxE

D

= 3( + 3 + m) − 3 − 2m = − 3 − 2m.x2D xD xD xD

E = − 3 − 2m.kE xE

D E . = − 1kD kE

⇔ (3 + 2m)(3 + 2m) = − 1 ⇔ 4 − 9m + 1 = 0 ⇔ m =xD xE m2 9 ± 65−−√8

y = x − 1 +m − 1x + 1

A( ; )xA yA

(d) A k y = k(x − ) +xA yA

(d)

⇔

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪

x − 1 + = k(x − ) +m − 1x + 1

xA yA

1 − = k1

(x + 1)2

⎧

⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

=1

x + 1−( + 1)k + 2 +xA yA

m

1 − = k (1)[ ]−( + 1)k + 2 +xA yA

m

2

(1) ⇔ f(k) = a + 2bk + c = 0k2

a = ; b = 2m − − 2 − − 4; c = − 4m + 4( + 1)xA2

xAyA xA yA ( + 2)yA2

A © (1) ;k1 k2+ 2yA

+ 1xA

= − 1k1k2

.

Vậy giá trị thỏa mãn yêu cầu đề.

Ví dụ 3: Cho hàm số .

a) Chứng minh rằng trên đồ thị không tồn tại 2 điểm sao cho 2 tiếp tuyến tại 2 điểm đó của đồ thị vuông góc nhau.

b) Xác định k để trên đồ thị có ít nhất 1 điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng .

Định hướng giải: Việc chứng minh 2 tiếp tuyến hay 2 đường thẳng nói chung vuông góc nhau nhắc cho ta nhớ đến kiến thức:”2 đường thẳng vuông góc nhau khi và chỉ khi

tích 2 hệ số góc bằng -1”,còn vấn đề “làm sao để xác định được hệ số góc” buộc ta phải hiểu được định nghĩa của nó.

Lời giải:

a) Tập xác định: .

Đạo hàm: \displaystyle{{y '} = 3{x 2} + 6x + 3 = 3{\left( {x + 1} \right)^2}}

Giả sử 2 điểm có hoành độ theo thứ tự là thuộc đồ thị,ta có:

Hệ số góc cùa tiếp tuyến tại A và B có giá trị là: \displaystyle{{y '}\left( {{x_A}} \right);y'\left( {{x_B}} \right)}

Hai tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau

Đây là điều vô lý nên ta có điều phải chứng minh.

b) Gọi điểm thuộc đồ thị,ta có:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M có giá trị là

Tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng

Để tồn tại ít nhất 1 điểm M thỏa mãn yêu cầu thì phương trình phải có nghiệm .

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Cho hàm số . Chứng tỏ rằng trên đường thẳng có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ đến đồ thị của hàm số 2 tiếp tuyến lập với

nhau 1 góc .

Bài 2: (ĐHKT-1998) Cho hàm số . Tìm những điểm trên sao cho từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số và 2 tiếp tuyến đó vuông góc

nhau.

ĐS: .

Bài 3: (ĐHQG/TPHCM-Khối A 1998) Cho hàm số . Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ sao cho từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau

⇔ ⇒ + = 4m − 4

⎧

⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

+ 1 ≠ 0xA

= − 1− 4m + 4( + 2)yA

2

( + 1)xA2

f( ) ≠ 0+ 2yA

+ 1xA

( + 1)xA2 ( + 2)yA

2

⇒ 4m − 4 > 0 ⇔ m > 1

m > 1

y = + 3 + 3x + 5x3 x2

y = kx

D = R

A, B ;xA xB

⇔ ( ). ( ) = − 1y ′ xA y ′ xB

⇔ 9 = − 1( + 1)xA2( + 1)xB

2

M( ; )x0 y0

( )y ′ x0

y = kx ⇔ k ( ) = − 1y ′ x0

⇔ k = − 1(1)( + 1)x02

(1) ⇔ k ≤ 0

y =2 − x + 1x2

x − 1y = 7 ©

450

y =2 + x + 1x2

x + 1Oy

(0; −3 − ); (0; −3 + )A1 15−−√ A2 15−−√

y =x2

x − 1

tới đồ thị hàm số.

ĐS: Tập hợp là đường tròn tâm ; bán kính , bỏ đi 4 giao điểm với 2 đường thẳng và là

I(1; −2) R = 2 x = 1 y = x + 1A(1; 4); C(1; 0); D(1 − ; 2 − ); E(1 + ; 2 + )2√ 2√ 2√ 2√