Lower Partial Moments in Mean-Varianz-Portefeuilles

5/13/2018 Lower Partial Moments in Mean-Varianz-Portefeuilles - slidepdf.com

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LEO SCHUBERT*

© Schweizerische Gesellschaft fur Finanzmarktforschung (pp. 496-509)

Lower Partial Moments

in Mean- Varianz-Portefeuilles

1. Einleitung

"Neue Informationen bringen die Menschen viel

eher dazu, Gefahren hoher, aber seltener dazu, sie

niedriger einzuschatzen'{ij Wendet man diese

Aussage auf Finanzinvestitionen an, so erklart sich

in Informationsgesellschaften das zunehmende

Interesse an Risikosteuerungsinstrumenten wie sie

z.B. die Portefeuille- Theorie bietet.

Die zunehmende Orientierung am Verlustrisiko

hat bereits zu ersten Anwendungen entsprechen-der RisikomaBe gefiihrt. So bieten fiihrende

Portefeuille-Software- Hersteller wie BARRA

(London)[2] und SSI (New York) in neuerer Zeit

Software an, die als RisikomaB die Semivarianz

verwendet.

Vor dem Hintergrund des zunehmenden Risiko-

bewuBtseins und der verstarkten Anwendung der

Portefeuilletechniken wird im folgenden versucht,

Beziehungen zwischen den klassischen Porte-

feuilles nach MARKOWITZ[3] und denen auf derBasis anderer RisikomaBe, insbesondere in der

Form von Lower-Partial-Momente aufzuzeigen.

* Der Autor dankt einem anonymen Gutachter sowie Priv.

Doz. Dr. Franz Baur von der Universitat Augsburg fur

wertvolle Anregungen. L. Schubert, Fachhochschule Kon-

stanz, Brauneggerstr. 55, 78462 Konstanz, Tel.: 0049 -7531- 206429,Fax.: 0049- 7531- 206427,EMail: [email protected].

2. Shortfall-Risk

Um Risiken von Portefeuilles bzw. assets zu me

sen wird das klassische Volatilitatsmaf der Sta

dardabweichung bzw. der Varianz verwende

Bereits 1952, ein paar Monate nach Veroffentl

chung der Arbeit zum klassischen Mean-Varianz

Portefeuille durch MARKOWITZ [4] schl

ROY[5] einen anderen MaBstab in der Form ein

target-shortfall-risks zur Risikomessung vor. MA

KOWITZ[6] selbst erschien die Betrachtung andrer RisikomaBe mathematisch unhandlich.

Will man bei der Auswahl eines Portefeuill

eine bestimmte zu erzielende Mindestrendi

(target r E IR) die maximal mit der Wahrschei

lichkeit a unterschritten werden solI, beriicksic

tigen, so kann die durch die shortfall probability

peR < r) ~a,mit ° < a< 1 (

ausgedriickt werden. R stellt dabei die Renditezfallsvariable dar. Ist R - N(~f' or) verteilt, so ka

diese wie folgt standardisiert werden, so daB d

shortfall-probability durch

(

mit za.: Fraktilswert der N(O,l)-Verteilung zu a

beschrieben werden kann.

496 Finanzmarkt und Portfolio Management -10. Jahrgang 1996- N

mailto:[email protected].

mailto:[email protected].



L. Schubert: Lower Partial Moments in Mean-Varianz-Portefeuilles

(3)

dung 1 eingezeichneten Geraden liegen, besitzen

eine Wahrscheinlichkeit von a eine Rendite klei-

ner als die Mindestrendite r zu erreichen. Porte-

feuilles mit dariiber liegenden Renditeerwar-

tungswerten ~r beinhalten eine entsprechend ge-

ringere Wahrscheinlichkeit die Mindestrendite zuunterschreiten.

Fur die Auswahl eines effizienten Portefeuilles

unter target-shortfall-Restriktionen wurden 3 Mog-

lichkeiten vorgeschlagen.

Lost man die obige Ungleichung nach u, auf, soerhalt man

Mitt

und a bzw. za ist die shortfall probabilitydurch eine Gerade - wie in Abbildung 1 - dar-

stellbar.

Alle Portefeuilles, deren Renditeerwartungswerte

~ und Standardabweichungen o, auf der in Abbil-

Abbildung 1: Klassische Portefeuilledarstellung mit down-side-risk-Restriktion

II = 't - Z c rt"'r a r

Finanzmarkt und Portfolio Management -10. Jahrgang 1996- Nr. 4 497




TELSER[7] regte an, Po in Abbildung 1 auszu-

wahlen, d.h. das Portefeuille mit der hochsten

Rendite u, unter Einhaltung der target-shortfall-

Restriktion; dabei ist die Mindestrendite 't und die

shortfall-probability a. vorgegeben:

maximiere J lr mit peR < r) ::;;..

KATAOKA[8] schlug vor, die Mindestrendite 't

unter Einhaltung der vorgegebenen shortfall-

probability a. zu maximieren:

maximiere tmit peR < 't) ::;;a..

Seinem Vorschlag entsprechend wilrde in Abbil-

dung 1 das Portfeuille Pk

ausgewahlt,

ROY[9] minimierte die shortfall-probability a. unt

Einhaltung der vorgegebenen Mindestrendite 't:

minimiere e x . mit peR < r) ::;;x . d.h.

minimiere peR < r).

Nach dem ROY-Kriterium ware das in Abbildun

2 mit LPMoMVP bezeichnete Portefeuille optim

Dieser Punkt wurde mit LPMo bezeichnet, da d

shortfall probability gleichbedeutend [ s f mit deLower Partial Moment der Ordnung 0 (siehe fo

gendes Kapitel).

Unter target-shortfall-Restriktionen stellt d

Auswahlkriterium nach TELSER das risik

freudigste und das von ROY das risikoscheues

dar.

Abbildung 2: Portefeuille mit minimaler shortfall-probability: LPMoMVP

Jlr a= 5%

a= 10%sinkende

a= 15%target -shortfall

a=25% probability

JlMVP

- - - - - - - a = 50%

498 Finanzmarkt und Portfolio Management -10. Jahrgang 1996- Nr




Eine Erweiterung der 3 Ansatze auf n target-

shortfall- Restriktionen

falls 'ti > 'ti' wurde in der Literatur bislang nichtdiskutiert, obgleich sich dazu sinnvolle Anwen-

dungsbeispiele fur die Praxis finden lassen; z.B.

eine Mindestrendite, die den Wohlstands-status-

quo garantiert und eine, die das Existenzminimum

betrifft. Denkbar ware auch eine Erganzung der

.safty-firsr-Mindestrendite (mit 'tl < )lMVP) durch

eine "chance"-Mindestrendite (mit 't2 > )lMVP).

Grundsatzlich kann die Betrachtung von Shortfall-

Restriktionen einerseits als Beschrankung der ef-

fizienten Portefeuilles im Mean-Varianz- Ansatzbenutzt werden. Kombiniert mit einem Auswahl-

kriterium (z.B.: von TELSER, KATAOKA oder

ROY) erhalt man das jeweils optimale Porte-

feuille.

Eine andere Art der Beschrankung der effizienten

Portefeuilles zeigt LEIBOWITZ und HENRIKS-

SON[lO]. Sie orientieren sich nicht an einer festenMindestrendite t, sondem an der Rendite eines

Benchmark-Portefeuilles wie z.B. eines Aktienin-

dex. Die Rendite des Index sei die Zufallsvariable

Rx. Diese Rendite darf als target maximal urn 'txProzentpunkte unterschritten werden. Als target

wird nicht die Mindestrendite, sondem der Ab-

stand zur Benchmark verwendet. Die entspre-

chende shortfall-probability ist dabei

(4)

Abbildung 3: Il/a.-Darstellung zur u/o-Darstellung der Abbildung 2

)lr

oLPMMVP

)lMVP

~----------------------------------------------~5% 10% 15% 25% 50%

Finanzmarkt und Portfolio Management -10. Jahrgang 1996 - Nr. 4 499




Abbildung 4: Effiziente u/o-Portefeullles und Portefeuille mit minimalem shortfall-risik z.B. aus Tabelle 1

I l r

11,71

14

13

12

11

10

9

• Deereo

LPMOMVp

o

oo

o

o

o

MVPo• Chase Manhatten

8

Steigung: 0.298

/- (za=-0.298 bzw.

a=0.3828)

7

't' = 6

5

• Caterpillar

19.16

o 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 or

Andererseits wurde der Shortfall-Ansatz auch

genutzt, statt der klassischen u/o-Darstellung eine

J.lla-Darstellung und eine r/n-Darstellung zu

entwickeln. Dadurch wird die target-shortfall-

probability nicht als Restriktion, sondem anstelle

der Varianz bzw. Standardabweichung als Risiko-

kriterium verwendet.

In der J.lla-Darstellung wird die Targetrendite 't

fixiert und die Steigung der shortfall-Restriktionen

J.lr~ 't - za crr fur unterschiedliche a bzw. za

betrachtet. Das Portefeuille mit dem minimalen a

ist in Abbildung 2 mit LPMoMVP bezeichnet. Die

im LPMoMVP beginnenden effizienten Portefeuilles

werden u/u-efficient frontier genannt. Vergleicht

man dazu den Punkt Pu mit Po in Abbildung 1, so

sieht man, daB beim selben Risiko a das Porte-

feuille Po eine hohere Rendite als Pu erwarten la

Pu ist also ein u/n-ineffizientes Portefeuille.

In Abbildung 3 wurde versucht, zur u/

Darstellung der Abbildung 2 eine u/o-Darstellun

zu skizzieren. Die a- Werte befinden sich nun a

der Abszisse.

BAUMOL[ll] formulierte ein Effizienzkriterium

das der u/o-Bffizienz entspricht und zeigte, d

BAUMOL-Effizienz die Effizienz des klassisch

Portefeuilles impliziert, d.h. u/o-effizient ist.

Der Bereich zwischen PMVP und LPMoMVP in A

bildung 2 bzw. 3 ist bei gegebenem r nicht BA

MOL-Effizient.

RUDOLF[l2] verwendet eine u/rz-Portefeuill

Darstellung und zeigt, daB die zugehorige ef

ziente Linie einen Wendepunkt besitzt. Dies b

500 Finanzmarkt und Portfolio Management -10. Jahrgang 1996 - N




deutet - im Gegensatz zum klassischen RisikomaB

0' - daB nach dem Wendepunkt das Grenzrisiko je

zusatzlicher Renditeeinheit abnimmt. Dies wurde

eine Empfehlung riskanterer Anlagen nahelegen.

Der Einbezug von risikolosen Anlagen durch

Ubertragung der Capital Market Line im Sinne

des CAPM von SHARPE-LINTNER-MOS-

SIN[13] fuhrt beim u/u-Portefeuille zum selben

Anlageverhalten wie bei u/o-Portefeuilles.

In der r/c-Darstcllung (vgl. JAEGER/RUDOLFI

ZIMMERMANN[14]) wird zu jeder moglichen

Mindestrendite 't nach dem ROY-Kriterium die

minimale shortfall-probability a bzw. das minimal

mogliche Risiko ermittelt. Die Mindestrendite r

darf nicht grofier als der Renditeerwartungswert

des Portefeuilles mit der minimalen Varianz PMVP

gewahlt werden[15]. Die 't/a-Kombinationen erhalt

man graphisch, indem man Tangenten an die Linie

der effizienten Portefeuilles in Abbildung 2 anlegt,

an den Ordinatenschnittpunkten das jeweilige 't

abliest und aus der jeweiligen Tangentensteigung

-za das a ermittelt.

Die "efficient shortfall frontier" oder ,,'t/a-efficient

frontier" stellt den Zusammenhang zwischen

shortfall probability a und dem Target 't, die dem

ROY-Kriterium geniigen, dar. Auf eine separate

r/c-Darstellung wird hier jedoch verzichtet.

In der Tabelle 1 sind die Covarianzen der Rendi-

ten von 3 Aktien (Deere, Caterpillar und Chase-

Manhattan) abgebildet[l6]. Als Mindestrendite 't

wurde 6% festgelegt. Die u/o-effizienten Porte-

feuilles wurden durch leere Punkte angedeutet.

Das nach dem ROY-Auswahl-Kriterium effiziente

Portefeuille LPMoMVP ergibt sich mit ~r = 11.71

und O 'r = 19.16 (vgl. Abbildung 4). Die Steigung

der Geraden betragt 0.298 = -za; mit diesem

Fraktilswert der N(O,I)-Verteilung HiBt sich die

optimale shortfall-probability a = 0.3828 ermit-

teln. Dies bedeutet, daB das Portefeuille LPMoMVP

eine Rendite von ~r = 11.71 erwarten HiBt und

daB das Unterschreiten der Mindestrendite von

6% mit einer Wahrscheinlichkeit von 38.28%

moglich ist.

3. Lower Partial Moment (LPM)

Die statistischen Momente der 1. und 2. Ordnung

spannen die klassische u/o-Portefeuilles-Darstel-

lung von MARKOWITZ[l7] und SHARPE[l8]

auf. In neuerer Zeit werden LPMs haufiger als

RisikomaBe fur Portefeuilles diskutiert[l9]. Die

LPMs stellen eine Ubertragung der statistischen

Momente auf Teilbereiche einer Verteilung dar.

1m Kontext von Finanzportefeuilles ist dies der

Bereich unterhalb der Mindestrendite 'to

Die Ordnung I (I = 0, 1, ...,00 ) des Lower Partial

Moments

t

LPM1(R,'t) = f (t-r)' fer) dr (5)

mit der Dichtefunktion fer) der Renditezufallsva-

riablen R

driickt aus, wie stark das AusmaB der Unter-

schreitung der Mindestrendite 't in das LPM ein-

geht.

1st die Ordnung I = 0, so wird das AusmaB der

Unterschreitung der Mindestrendite r nicht be-

rucksichtigt, Es bleibt lediglich der durch die

Dichtefunktion fer) gebildete Gewichtungsfaktor,

so daB die target-shortfall-probability

(6)

resultiert.

Das LPM der Ordnung I = 1 wird als target-

shortfall-mean bezeichnet. Er druckt den Erwar-

tungswert der Mindestrenditeunterschreitung aus;

d.h. in den Fallen, in denen die Mindestrendite

unterschritten wird, ist der Renditeerwartungswert

(7)

Das LPM der Ordnung I = 2 wird target -shortfall-varianz oder target-semi -varianz genannt. Ersetzt

Finanzmarkt und Portfolio Management -10. Jahrgang 1996- Nr. 4 501




man im LPM der Ordnung 2 den target r durch

den Renditeerwartungswert J.lrso spricht man von

der sog. semi-varianz.

Auf LPM hoherer Momente lassen sich die Be-

zeichnungen der statistischen Momente tiber-

tragen, so daB sich eine target-shortfall skew-

ness (Ordnung 1 = 3), eine target-shortfall-kurtosis(Ordnung 1 = 4) etc. ergibt. Bei der Ordnung 1 = 00

kann vom target-shortfall-maximum gesprochen

werden.

1m vorigen Kapitel wurde einerseits die Beschran-

kung der u/o-Portefeuilles durch die target-

shortfall Restriktion in Kombination mit einem

Auswahlkriterium betrachtet und andererseits die

Moglichkeit, die shortfall-probability als Risiko-

maBstab in einer J.l/a-oder J.lILPMo-Darstellung zu

verwenden.

Bei LPMs (jeder Ordnung) hat sich dabei das

ROY-Kriterium als Auswahlkriterium durchge-

setzt. Deshalb wird unter einem LPM -Portefeuille

dasjenige verstanden, das bei gegebener Min-

destrendite r das kleinste LPM besitzt. Urn dieses

LPM-Portefeuille von den J.lILPM-effizienten

Portefeuilles abzuheben wird hier das LPM-

Portefeuille mit LPMMVP bezeichnet.

Die J.lILPM-Darstellungen lassen sich zu jeder

Ordnung analog zur Abbildung 3 bilden. Da nur

die Wahrscheinlichkeit der Unterschreitung der

Mindestrendite und nicht das AusmaB der Unter-

schreitung in das LPMo eingeht, wird es zur Erfas-

sung des Risikos als unzureichend kritisiert[20].

Dieser Mangel ist bei den LPMI (I > 0) nicht vor-

handen. Ferner bilden diese konvexe "J.lILPM-

efficient frontieres". Fur 1 = ° dagegen besitzt die

"J.lILPM-efficient frontieres" einen Wendepunkt,

wie im vorherigen Kapitel bereits erwahnt,

Die Annahmen bzgl. der Nutzenfunktionen u der

Investoren sind bei LPM allgemeiner - als beim

J.l/(j-Portefeuille - im Rahmen der "stochastischen

Dominanz" charakterisierbar. Die Ordnung des

LPM korrespondiert mit der Ordnung der

"stochastischen Dominanz"[21]. LPMo ist adaquat

fur Investoren, die den hoheren dem niedrigeren

Wohlstand vorziehen (u" > 0), LPM1entspricht

Investoren mit risikoaversen Nutzenfunktionen

(u > 0, UN < 0) und LPM2 bezieht zudem Schi

fenpraferenzen mit ein (u"> 0, UN < 0, U'N > 0).

Die Betrachtung der LPM wird i.d.R. auf d

Ordnung 1 = 0, 1, 2 beschrankt, Ohne Ordnung

beschrankung gilt folgende Beziehung zwische

J.lILPM-effizienten Portefeuilles und u/o-Porte

feuilles:

Satz:

Die Renditen von n Aktien R , (i = 1, ... , n) sei

multivariat normal verteilt. 1st ein Mean-LPMI(R,'

Portefeuille effizient mit (I E IN und 't E IR) od

(l = ° und 't ::;u), so ist es auch ein Mean-Varian

effizientes Portefeuille.

Dabei sei das l-te "Lower-Partial-Moment":

Beweis: (vgl. Anhang)

Unter der Annahme normalverteilter Rendite

bieten also die J.lILPM-Darstellung keine weit

ren effizienten Portefeuilles tiber die der u/

Darstellung hinaus. Trotzdem ermoglichen d

J.lILPM-Darstellungen evtl. zusatzliche Inform

tionen aus dem Verlauf der efficient frontier w

es im Kapitel zum shortfall-risk angedeutet wurd

Urn die Lage der LPMIMVP und damit die de

J.lILPMI-effizienten Portefeuilles im u/o-Konte

abzuschatzen wurden die LPM -Hohenlinien fu

't = 1 und 1 = 0, 1, ... , 5 im u/o-Raum mit d

Computer-Algebra-Software "Mathematic a" d

gestellt (vgl. Abbildung 5). Dabei wurden d

Abszissenachse o und der Ordinatenachse J.l z

geordnet. Von links oben nach rechts unten nim

dabei der Wert der Hohenlinien zu. Fur das LP

der Ordnung ° resultieren lineare Hohenlinien, w

bereits in Abbildung 2 dargestellt.

Die linke obere Ecke entspricht Portefeuilles, d

abgesichert sind mit einer Rendite, die gro l ser al

ist. Falls eine perfekte Absicherung (o = 0) vo

liegt, ist das LPM aufgrund des resultierende

Nenners (o = 0) problematisch zu handhaben.

502 Finanzmarkt und Portfolio Management -10. Jahrgang 1996 - N



L.Schubert: Lower Partial Moments in Mean-Varianz-Portefeuilles

Abbildung 5: Hdhenlinlen der LPM-Funktion im u-o-Raum fiir 't= 1und I = 0,1,2,3,4 und 5

LPM-Ordnung 02r---~~--~--~ LPM-Ordnung 1 LPM-Ordnung 22~~--~--~~~

1

o

-1~------~~--~0.1

-1~~=-~~~~~2 0.12 2

LPM-Ordnung 4 LPM-Ordnung 5PM-Ordnung 3

1 1

o o

-1 L.....:~....L.....=::.:......!:.:..L.:..:::.::!::!l

0.1-1~~~~~--~0.12 1

Diese vermutete Ordnung wird durch ein ab-

schlieBendes Rechenbeispiel gesttitzt. Dazu wer-

den die in Tabelle 1 enthaltenen Daten verwendet.

In Abbildung 6 ist ein Ausschnitt aus Abbildung 4

zu sehen, in dem zusatzlich die LPM1MVPur l = 0,

1, ... ,5 eingezeichnet wurden.

Die rechts in Abbildung 6 angegebenen minimalen

LPM-Werte sind zum Teil schwer interpretierbar.

Lediglich das minimale LPM zur Ordnung

°und 1

lassen sich sinnvoll deuten. LPMoMVP= 0,39281

besagt, daB die Wahrscheinlichkeit eine Rendite

unter der Mindestrendite von 6% zu erreichen

0,39281 ist. LPM1MVP = 4,9218 druckt aus, daB

die Unterschreitung der Mindestrendite mit einem

Erwartungswert von 4,9218% geschieht. Falls das

Desaster der Unterschreitung also eintritt kann

eine Rendite von 6% - (4,9218% / 0,39281) =-6,5297217% erwartet werden (vgl. (7)).

J ede der Hohenlinien in Abbildung 2 konnte eine

Restriktion im u/o-Raum darstellen, die wie in

Abbildung 1 die u/o-effizienten Portefeuilles ein-

schrankt. Das LPMMVP ist jeweils - entsprechend

dem ROY-Kriterium - der Bertihrpunkt der (nicht

eingezeichneten) j.l/cr-effizienten Linie und der

Hohenlinie mit dem geringsten LPM.

Die Kriimmung der Hohenlinien laBt vermuten,

daB

und j.l1MVP bzw. j.lMVP: Renditeerwartungswert

der LPM1MVP bzw. des minimalen Varianz-

punktes.

503inanzmarkt und Portfolio Management - 10. Jahrgang 1996 - Nr.4




Abbildung 6: LPM-Portefeuilles im Beispiel aus Tabelle 1

11.71

~r0

0LPM MVP

0

11 0

LPM1MVP

0

2LPM MVP

LPM3MVpo

LPM MVP

10 LPM vMVPc

MVPo

9

16 17 17.36 18 19 2017.2317 77 19.1617.16 .

10.86

10.39

10.19

10.07

10.00

17.13

Minimale LPM :

(8ei gegebenem Target = 6%)

LPMo

= 0,38281

LPM1

= 4,9218

LPM2

= 98,826

LPM3

= 2541,3

LPM4

= 77421

LPM5

= 26812 * 1d

4. Zusammenfassung

Bei normalverteilten Renditen bietet die Verwen-

dung von RisikomaBen in der Form von LPMs

keine ~ILPM-effizienten Portefeuilles, die nicht

auch ~/a-effizient sind. In diesem Sinne kann man

die Betrachtung von LPM als uberflussig bezeich-

nen. Da dagegen nicht jedes u/o-effiziente Porte-

feuille /-lILPM-effizient ist, macht der Einbezug

von LPMs dann Sinn, falls ein Investor unter Risi-

ko ein MaB im Sinne z.B. der target-shortfall-

probability oder des target-shortfall-mean ver-

steht. Dann ware z.B. die Auswahl des MVP fur

diesen Investor ineffizient.

Trotzdem kann der Erkenntnisgewinn durch E

bezug von LPM bei normalverteilten Renditen

sehr gering bezeichnet werden im Gegensatz

dem bei log-normalverteilten- oder allgeme

asymmetrisch verteilten Renditen, die hier nic

einbezogen wurden. In diesen Hillen befinden si

die LPM-effizienten Portefeuilles nicht - wie

Abbildung 6 - ausschlieBlich auf der u/

effizienten Linie, sondem unterhalb; wie star

hangt von den Schiefen der Verteilungen abo

empirischen Untersuchungen wurden hauf

leichte Schiefen festgestellt. Neben der adaquat

Risikoerfassung ermoglichen LPM als Entsche

dungskriterien in diesen Fallen auch hohere durc

schnittliche Renditen[22].

504 Finanzmarkt und Portfolio Management - 10. Jahrgang 1996 - N



L.Schubert: Lower Partial Moments in Mean-Varianz-Portefeuilles

Deere

281.62968

8.2139691

829.92391

Tabelle 1: Statistische Momente zu 3 Aktien und aus- Anhang

gewahlte effiziente Portefeuilles (unten)

Covarianz Caterpillar Chase-M. Deere

Caterpillar 467.13906

Chase-M. 150.96359

Deere 281.62968

150.96359

547.09210

8.2139691

Rendite Rendite

Erwartung Standardabw.

9.3922 16.9962

9.8151 17.06162

10.00 17.13

10.07 17.16

10.19 17.23

10.2379 17.2562

10.39 17.36

10.6608 17.575710.86 17.77

11.0836 18.0135

11.5065 18.5997

11.71 19.16

11.9293 20.0218

12.3521 22.3571

12.7750 25.3547

13.1978 28.8084

6.2523 21.6134

9.87435 23.3900

13.1978 28.8084

MVP:

LPM5MVP

LPM4MVP

LPM3MVP

LPM2MVP

LPM1MVP

LPMOMVP

Caterpillar

Chase-MDeere

Satz:Die Renditen von n Aktien R, (i = 1, ... , n)

seien multivariat norrnalverteilt. 1st ein Mean-

LPM1(R,'t)-Portefeuille effizient mit (l E IN und

't E IR) oder (l = 0 und 't ~ 1 1 ) , so ist es auch ein

Mean- Varianz effizientes Portefeuille.

Beweis zum Satz (1.Teil)

Annahme:

X - N(llx' o) und Y - N(lly' o) seien die Rendi-

ten zu Portefeuille Px bzw. Py mit u, > 1 1 ; die

zugehorigen Dichten seien f(x) bzw. fey). Z~dem

sei tE IR.

Behauptung:

Px ist ein Mean- LPM1-effizientes Portefeuille und

Pyineffizient bzw. LPM1(y,'t) > LPM1(X,'t - ()Il)

fu r lE INo , 't E IR und mit ()Il = Ilx - Ily.

Beweis:

a) LPMi (Y,'t) > LPMi (Y;t - ()Il):

LPM1(y,'t) HiBt sich durch 2 Teilintegrale aus-driicken und mit ()Il > 0 resultiert

~

LPM1(y,'t) = f (r - YY fey) dy

~-o~

= f ('t-yY f(y)dy

t

+ f (t - YY fey) dy (AI)

~-o~

~-o~

~ f ('t - ()Il - YYfey) dy

r

+ f ('t - YYfey) dy.

~-o~

(A2)

~

Da f (r - y i fey) dy > 0 ergibt sich aus (AI)

~-o~

und (A2)

Finanzmarkt und Portfolio Management -10. Jahrgang 1996 - Nr. 4 505




t

LPMi(y,"C) = f ( " C - yY fey) dy

~-8~

> f ( " C - 81 1

- YYfey) dy = LPMi(y,"C- (1 1

) , (A3)

Substituiert man y durch

x = y + 81 1

( ¢ : : > Y = x - (1 1 ) in

~-8

=

1 /J2ita ( ( " C - 8

1 1- YYe - ( y - ~ S /2cr

2dy, (A4)

so erhalt man mit dx/dy = 1 und den Integralgrenzen

x = " C ( ¢ : : > Y= " C - (1 1

) bzw. x = -00 ( ¢ : : > y = -00)

Mit J .ly = J .lx - 81 1resuitiert

r

= 1 / J2ita f ( " C - xj'e -(x-~S /2cr2dx

Beweis zu Satz (2.Teil)

Annahme:

X - N ( J . l , ax) und Y - N ( J . l , ay) seien die Rendite

zu Portefeuille Px bzw. Py mit ax < ay; die zug

horigen Dichten seien f(x) bzw. fey).

Behauptung:

Px ist ein Mean-Ll'Mi-effizientes Portefeuille un

Py ineffizient bzw. LPMi(y,"C)> LPMi(X,"C) f

(lE IN, " C E IR) oder (l= 0, " C ~ u),

Beweis:

Anhand der Zufallsvariablen Z - N ( J . l , a) m

konstantem J .l (ohne Beschrankung der Allg

meinheit wirdJ .l= ° gesetzt), variablem a un

der Dichte fez) wird gezeigt, daB d(LPMi

( Z , " C ) )

do » ° ist.Da die entsprechenden Voraussetzungen erfii

sind, kann vor dem Integrieren differenziert we

den.

Es ergibt sich fur d(LPMi(Z,"C))I do =

t

= d[I/J2ita f ( " C _ z Y e - z 2 / 2 c r 2 d z ] / d a =

t

=-I/J2ita2 f ("C_zie-z2/2cr2dz

r

(A6) +I/J2ita f ( " C _ z Y e - z 2 / 2 c r 2 ( _ ( z 2 / 2 ) ( _ 2 I a 3 ) ) d z =

Mit LPMi(y,"C) > LPMi(X,"C- (1 1

) = LPMi(X,"C)

besitzt Portefeuille Py das grofiere Risiko und mit

der vorausgesetzten geringeren Renditeerwartung

J .ly ist Pyim Vergleich zu Px ineffizient.

r

=I/J2ita2[ f ( " C - z Y ( z 2 / ~ ) e-z2/2cr2dz

r- f("C_zie-z2/2cr2dz]. (A7

Fiihrt man t = zk: ( ¢ : : > z = to) in (7) ein, so erh

man mit d z / d t = a und den Integralgrenzen

t = " C I a ( ¢ : : > z = " C ) bzw. t = -00 ( ¢ : : > z = -00)

~/cr

1/ J2ita 2 r ] ( " C - to)' ee-t2/2a dt

506 Finanzmarkt und Portfolio Management - 10. Jahrgang 1996 - N



L. Schubert: Lower Partial Moments in Mean- Varianz-Portefeuilles

~ / ( J- f (1'_toYe-t2/2

c dt ] .

k

(A8) - f (k - tie-t2

/2 dt} =

Mit k = 1'/0'(bzw. l'= ko) vereinfacht sich (8) zu

k

1 / J2it0' 2 t ] (k - tid t2 e_t2

/2 0' dt

k- f (k_tide-t2/2

o dt ] = (A9)

k

=0'1-1/ J2it t ] (k - t/ t2 e-t2

/2 dt

k- f (k_tYe-t2/2 dt].

k

= l O " ' -- 1 /J2it f (k-ttl (-t) e-t2/2dt=: H(l,k).

(AI2)

Unter der Beschrankung l = 0 resultiert aus (All)

k- f [(k - t)' 1] (_e-t2/2

) dt

k- f (k_tYe-t2/2

dt}

Durch partielle Integration und Verwendung von

u(t)=(k-tYt unddv(t)=te-t2

/

2

ergibtsich =O'-I/J2it{(-k) e-k2/2} =: H(O,k).

k k

=0"'--1/ J2it {u(t) vet) I - f vet) duet) dt

k

- f (k - tYe-t2/2 dt} (AlO)

k

=0'1-1 / J2it {(k - t)' t ( -e _t

2

/ 2 ) I

k- f [l (k - ttl (-1) t + (k - t)' 1] (_e-t2/2

) dt

k- f (k - tYe-t2/2 dt }. (All)

Da lim(k - t)' t (_e-t2/2

) = 0 wird (All) untert - - - > =

der Beschrankung l E IN zuk

d-I / J2it {O- f [l (k - ttl (-1) t +

(AI3)

Anhand von H (O,k) und H(l,k) wird nun folgende

Fallunterscheidung vorgenommen:

(Dabei ist t= ko (vgl. Zeile (A8) und (A9)) und

l'< 0, l'= 0, l'> 0 entspricht r < u, r = u, r > / . l )

a) I = 0, l'< 0 bzw. l'= 0 bzw. l'> 0

Mit k = 1'/0'ergibt sich aus (A13)

{

< 0 fur l'> 0

H(O,k) =OfUr1'=O> 0 fur l'< O. (AI4)

b)IEIN,1'~O

Mit t < k und k = 1'/0' ~ 0 ist t < O. Somit ist jederFaktor in Zeile (AI2) positiv und damit

H (l,k) > 0 fur l E IN mit k ~ 0 bzw. (mit k = 1'/0')

fur jedes l'~ . (AI5)

Finanzmarkt und Portfolio Management - 10. Jahrgang 1996 - Nr. 4 50 7




c) 1 EIN, 't > 0

(AI2) kann durch zwei Integrale wie folgt ausge-

druckt werden:

-kH(l,k)= ld-l /

J2 i t r ](k - t)l-i (-t) e_t

2

/ 2 dt

kf (k + ttl te-t2

/2 dt

o

k

+ f (k - t)/-l ( -t) e-t2/2 dt

o

(A

k

+ f (k - ttl (-t) e-t2

/2 dt}.

-k

k

(AI6) = f {(k+ttl_(k-ttl} te-t2

/2 dt.

o

(A

Mit t < -k und k = 'tla > 0 ist t < O. Somit ist das

erste Integral in (AI6) positiv. Das zweite Integral

kf (k - ttl (-t) e-t2

/2

dt

-k

Mit 0 < t < k bzw. k = -ao > 0 ist jeder Fakto

(A21) positiv. Damit ist auch das zweite Integ

in (AI6) positiv, d.h.

(AI7) H (l,k) > 0 fur 1E IN mit k > 0 bzw. (mit k = '

ftir jedes 't > 0 . (A

HiBtsich wiederum in die zwei Integrale

of (k - ttl (-t) e-t2

/2 dt +

-k

k

+ f (k - ttl (-t) e-t2

/2 dt (AlS)

o

aufteilen. Ersetzt man t durch s = (-t) ( ¢ : : > t = -s)

so ergibt sich mit ds I dt = (-1) und den Integral-

grenzen s = k ( ¢ : : > t = -k) und s = 0 ( ¢ : : > t = 0)

of (k+stlse-S2

/2

(-l)ds

k

k

+ f (k - ttl (-t) e-t2

/2 dt.

o

(AI9)

b a

Da f hex) dx = - f hex) dx konnen die Inte-

b

gralgrenzen vertauscht werden.

Verwendet man wieder die ursprtingliche Be-

zeichnung t fur die 1. Integrationsvariable, erhalt

man

ZusammenJassung:

Mit (AI4), (AlS) und (A22) ist d(LPM1 (Z

do ~ 0 fur (l E IN, 't E IR) oder (l = 0, 't ::;11) .

In der Annahme zum 2. Teil des Beweises wu

fu r die Portefeuilles Px und Py ax < ayvoraus

setzt. Damit ist LPM/(y,'t) > LPM/(X,'t) bzw.

ein Mean-Ll'M'-effizientes Portefeuille.

Damit ist der Satz bewiesen.

508 Finanzmarkt und Portfolio Management -10. Jahrgang 1996 -




Fussnoten

[1] WILDARSKY (1993)

[2] KAHN (1992)

[3] MARKOWITZ (1952)


[5] ROY (1952)


[7] ELTON/GRUBER (1991)

[8] ELTON/GRUBER (1991)

[9] ROY (1952)

[10] LEIBOWITZ/HENRICKSON (1989)

[11] BAUMOL (1963), MARKOWITZ (1959)

[12] RUDOLF (1994)

[13] LINTNER (1965), MOSSIN (1966), SHARPE (1964)

[14] JAEGER! RUDOLF/ZIMMERMANN (1995)

[15] JAEGER! RUDOLF/ZIMMERMANN (1995)

[16] siehe Software zu HAUGEN (1989)


[18] SHARPE (1967)

[19] LEIBOWITZlHENRICKSON (1989)/

LEIBOWITZlKOGELMAN(1991 )

[20] HARLOW (1991)

[21] HARLOW (1991)

[22] HARLOW (1991)

Literatur

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509inanzmarkt und Portfolio Management -10. Jahrgang 1996 - Nr. 4

Lower Partial Moments in Mean-Varianz-Portefeuilles

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