数理学研究院 谷口説男

1次元ブラウン運動 (数学的に)

01

1次元ブラウン運動 (数学的に)

(Ω F P) 確率空間(Ω,F,P): 確率空間

確率変数 B Ω R確率変数 Bt:Ω→R確率過程 Bt確率過程 Btt≧0

(i) Bt+s-Bs と Bu:u≤s は独立

(ii)

株価とブラウン運動02

株価とブラウン運動

株価（ホールディングス）

ブラウン運動

株価（ホ ルディングス）

幾何ブラウン運動03

幾何ブラウン運動

Louis Bacherier (1870-1946)

時刻 t での株価∝Bt時刻 t での株価∝Bt

P l S l (1915 2009 12 13)

時刻tでの株価

Paul Samuelson (1915-2009.12.13)

時刻tでの株価∝exp(σBt+νt)exp(σBt+νt)

Black-Sholesの価格公式

確率論小史04

確率論小史

1654 Blaise Pascal（1623 1662）1654 Blaise Pascal（1623-1662）Pierre de Fermat（1601-1665）

PascalFermat

往復書簡 ゲーム中断時の掛け金の配分

1812 19 Pi Si L l1812，19 Pierre-Simon Laplace統計・確率論の基礎概念

Laplace

統計 確率論の基礎概念

1932 Andreｙ Kolmogrov

伊藤清 確率積分 確率微分方程式

Foundations of the Theory of Probability

1942 伊藤清 確率積分・確率微分方程式

顕微鏡05

顕微鏡

発明 1590年頃オランダ人ヤンセン親子発明：1590年頃オランダ人ヤンセン親子(Hans, Zacharias Janssen)

Robert Hooke;1635-1703

Anton van Leeuwenhoek;1632-1723

ブラウン運動の発見(現象)06

ラウン運動の発見(現象)

Robert Brown;1773-18581828(1827年夏の観測)非生物現象（すす 岩石 鉱物

Adolphe Brongniart;1801-1876 1827年

非生物現象（すす,岩石,鉱物,スフィンクスの破片）

Jan Ingenhousz;1730-17991784年 アルコール上の炭素粒子

ユーロネクスト・パリ（旧パリ証券取引所

ブラウンの見たもの07

ラウンの見たもの

水の中に浮かぶ花粉にから出てき水の中に浮かぶ花粉にから出てきた微粒子が，止むことのない不規則でジグザグな運動を行うことを観察でジグザグな運動を行うことを観察

B.Ford

19世紀後半(なぜ動く？)08

世紀後半(なぜ動く )

～1880年代～1880年代(a)光による不規則な加熱，(b)溶液内の温度差，溶液の蒸発

1877年 J. Delsaux水分子との衝突による( )溶液内の温度差，溶液の蒸発

(c)溶液の表面張力(d)電気的な力 YES

1888年 L. Gouy(1)運動は非常に不規則，軌道は微分不可(1)運動は非常に不規則，軌道は微分不可(2) 粒子はお互いに独立に動く(3) 粒子が小さい，溶液の粘性が低い溶液 度が が 激 くな溶液温度が上がる，と運動は激しくなる

(4) 粒子の組成・濃度は運動に影響しない(5) 運動は止むことがない カルノーの原理？(5) 運動は止むことがない ル 原理

ポアンカレ

19世紀後半 原子は存在しない09

19世紀後半 原子は存在しない

電磁気学理論電磁気学理論「連続な微分方程式で

熱力学の成功（巨視的）

微分方程式で記述できる」 Lucretius;BC99年頃-BC55

実証主義

J.Maxwell物質はすべて原子から成りたつ部屋に差し込む光に浮かぶ微塵

実証主義

気体分子論

E.Mach F.Ostwald L.Boltzmann

気体分子論統計力学

1905年 奇跡の年 アインシュタイン10

1905年 奇跡の年 アインシュタイン

光量子仮説，ブラウン運動，特殊相対性理論

時刻 t に x の回り単位体積空間に時刻 t に x の回り単位体積空間に見つかるブラウン運動する

微粒子の数 f(x t)微粒子の数 f(x,t)

熱方程式

Albert Einstein, 1879-1955

核ガウス核

アインシュタインよりも先に

11

アインシュタインよりも先に

19061904 1906

William Sutherland (Austraria)1859 1911

Marian von Smoluchowski1872-1917

R：気体定数，T：絶対温度

1859-1911 1872-1917

気NA：アボガドロ数η：粘性率，a：粒子半径

歴史ー数学的に 1880年12

Thorvald Thiele;1838 1910Thorvald Thiele;1838-1910デンマーク人の天文学者・統計学者

1880年計器の時刻tにおける位置Btの推定計器の時刻tにおける位置Btの推定

観測値：Zt=Bt+εｔ（測定誤差あり）

Btは独立な増分を持つBtは独立な増分を持デンマーク語の論文

最小二乗法

歴史ー数学的に 1900年13

歴史 数学的に 900年

L i B h i 1870 1946Louis Bacherier;1870-1946Théorie de la spéculation, 投機の理論Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.17 (1900), 21--86

S 株価 S S S と仮定St：株価 St-Ss～St-s と仮定

熱方程式・ガウス核熱 式 核

数学的厳密性？学位論文 honorable

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ランダムウォーク14

中心極限定理・Donskerの不変原理

歴史ー数学的に 1905ｰ13年15

R：気体定数，T：絶対温度，NA：アボガドロ数， Les Atomes (1913)

直径1μm程度の球形微粒子を浮かべたコロイド溶液で精緻な観測

Jean Perrin;1870-1942η：粘性率，a：粒子半径

(i) ストークスの法則を『小さい』ブラウン粒子に適用してよい(ii) 浸透圧の公式を『大きい』ブラウン粒子に適用してよい(iii) 平均二乗変位σ＾2∝t(iii) 平均二乗変位σ 2∝t，

粒子の変位のヒストグラムは正規分布のグラフに一致する(iv) Dを力学的拡散係数と同一視して良い(iv) Dを力学的拡散係数と同 視して良い(v) 種々の方法によるアボガドロ数の計測

⇒Einsteinのアボガドロ数の計測法が正しい

歴史ｰ数学的に 1923年16

bNorbert Wiener;1894-19641923 Differential space, J. Math. Phys. 2

ブラウン運動の存在！連続性！連続性！

歴史ｰ数学的に 1931年17

Andrey Kolmogorov;1903 1987Andrey Kolmogorov;1903-1987Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Math. Ann. 104

拡散過程の構成⇔偏微分方程式拡散過程の構成⇔偏微分方程式

コルモゴロフの拡張定理ル フ 拡張定理

コルモゴロフの連続性定理

歴史ｰ数学的に 1940年18

Paul Lévy;1886-1971Paul Lévy;1886 1971Le mouvement Brownien plan Amer Jour Math 62 (1940)Amer. Jour. Math., 62 (1940)

Haar関数Haar関数

ウェーブレットウェーブレット解析解析

(k+1)2-n+1k2-n+1

確率積分ｰ1942年19

伊藤清；1915 2008伊藤清；1915-20081942年，『Markoff過程ヲ定メル

確率微分方程式』

ブラウン運動に基づく微積分学微積分学

Richard Feynman; 1918-1988Richard Feynman; 1918 19881942年 Feynman経路積分

伊藤清の業績20

確率微分方程式に関連した人々21

日本：丸山儀四郎 本尾実 池田信行日本：丸山儀四郎，本尾実，池田信行渡辺信三，國田寛，山田俊雄，小倉幸雄

マルチンゲ ルメソッド

H. McKean

マルチンゲールメソッドD.Stroock, S.Varadhan

ソ連 Klyrov, Skrokhod

金融工学と確率解析の邂逅(1)22

1900年バシェリエ1900年バシェリエ

高い評価

M. Kac J. Doob W. Feller1950年以前

経済学 ず経済学者には認知されず

経済学者が再発見1950年代

P E dä

経済学者が再発見

P. Erdäs

「誰かバシェリエという1914年に投資に関する

J. Savage

「誰かバシェリエという1914年に投資に関する小冊子を出版したフランス人を知っているか?」

金融工学と確率解析の邂逅（２）23

株価: 1965年 P. SamuelsonRational theory of warrant pricingIndustrial Management Review 6

1973年 F Black & M Sholes 1973年 F. Black & M. Sholes The pricing of options and corporate liabilitiesJ. Political Economy 81

1970年前半に完成

1973年 R. Merton

1970年前半に完成B&S 1970年10月に論文完成

1973年 R. MertonTheory of rational option pricingBell J. Economics and Management Science 4