Los conjuntos - Material didáctico
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UNIDAD I CONJUNTOS
EUGENIO MARLON EVARISTO BORJA
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
Bienvenidos a nuestra Primera Unidad
Nuestro tema transversal es Identidad Institucional
y Nacional
DIVERSIFICACIÓN
CAPACIDADES Razonamiento y demostración
• Demuestra y verifica el uso operaciones con conjuntos.
Comunicación Matemática
• Describe y utiliza Noción de conjunto. Determinación de conjuntos.
• Describe y utiliza las Relaciones y operaciones entre conjuntos.
• Describe y utiliza los Diagramas de clasificación y organización de información cuantitativa (Venn.).
• Representa de diversas formas la dependencia funcional entre variables: verbal, tablas, gráficos, etc.
Resolución de problemas
• Resuelve problemas con las relaciones y operaciones entre conjuntos.
• Resuelve problemas de contexto real y matemático que implican la organización de datos utilizando conjuntos.
CONOCIMIENTOS
Funciones • Noción de dependencia, función,
variables dependientes e independientes. • Representación tabular y gráfica de
funciones. • Dominio y rango de funciones lineales.
Relaciones lógicas y conjuntos • Noción de conjunto. Determinación de
conjuntos. • Relaciones y operaciones entre
conjuntos. • Diagramas de clasificación y
organización de información cuantitativa (Venn, Carroll, cuadros numéricos, etc.)
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
ÍNDICE
• CONJUNTO
– Definición.
– Representación de conjuntos.
– Relación de pertenencia.
– Determinación de conjuntos.
– Clases de conjuntos.
– Relación entre conjuntos – Inclusión.
– Relación entre conjuntos – Igualdad.
– Conjuntos especiales – Conjunto Universal.
– Conjuntos especiales – Conjunto Potencia.
• Operaciones entre entre conjuntos. – Unión. – Intersección. – Diferencia. – Diferencia Simétrica. – Complemento. – Producto Cartesiano.
• Funciones. – Definición. – Dominio y Rango. – Variable Independiente y
Dependiente.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
CONJUNTO Un conjunto es una colección
de objetos que tienen características en común.
Cada objeto de un conjunto se llama elemento.
Escribir 5 ejemplos de conjuntos en
nuestra sociedad. Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
Ejemplo: Conjunto de vocales
Conjunto de tortas
NOTACIÓN DE CONJUNTO
Diagrama de Venn Euler
A={a, e, i, o, u}
Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas: A, B, C, D ……….
Se puede representar por medio de diagramas o entre llaves.
Cuando se representa entre llaves se separan con comas y en el caso de números se separan con punto y coma. Cuando se representa en diagramas es necesario que lleven un punto en el lado izquierdo.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
CONJUNTO
Ejemplo: Ejemplo:
B={1, 3, 5, 7, 9}
C
C={pato, gallo, pollo} Escribir 5 ejemplos de
conjunto gráficamente y entre llaves.
Aquí algunos ejemplos de conjuntos.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
RELACION DE PERTENENCIA
Ejemplo:
B={1, 3, 5, 7, 9}
C
C={pato, gallo, pollo}
La relación de pertenencia se establece de elementos a
conjunto.
•1 Є A •3 Є A •5 Є A •7 Є A
•9 Є A •11 ∉ A •13 ∉ A •15 ∉ A
•gallo Є A •pollo Є A •pato Є A •zorro ∉ A
Se lee: El elemento 1 pertenece al conjunto A. El elemento 15 no pertenece al conjunto A.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
POR EXTENSIÓN
• Un conjunto se representa por extensión cuando se enumera uno a uno cada uno de sus elementos.
POR COMPRENSIÓN • Un conjunto se determina
por comprensión cuando se recurre a una propiedad que caracteriza todos sus elementos.
A={a, e, i, o, u} A={las vocales} ó A={x/x es una vocal}
B={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} B={los números dígitos} ó B={x/x Є N <10}
¿Cuántas formas de determinar conjuntos hay?
Existen 2: Por Extensión y Por Comprensión
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
POR EXTENSIÓN • A={x/x Є N, x es impar y x≤11}
• B={x/x Є N, x es impar y 2<x≤9}
• C={x/x es una vocal fuerte}
• D={x/x es un mes con cinco letras}
• E={x/x Є N, múltiplo de 5 y 10≤x ≤30 }
POR COMPRENSIÓN • A={1; 3; 5; 7; 9; 11}
• B={3; 5; 7; 9}
• C={a, e, o}
• D={enero, marzo, abril, junio, julio}
• E={10; 15; 20; 25; 30}
Por Comprensión: F={1; 2; 3; 4; 5; 6} G={gato, tigre, león, leopardo} H={7; 14; 21; 28; 35} I={Pinta, Niña, Santa María} J={55, 66, 77, 88, 99}
Por Extensión: K={x/x Є N, x es un número par 5<x<11} L={x/x es un ave domestico} M={x/x es un planeta del sistema solar} N={x/x Є N , x es un numero primo <13} O={x/x es una consonante}
Aquí tienen algunos ejemplos de determinación de conjuntos.
Determinar los siguientes conjuntos:
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS ¿Cuántos clases de conjuntos existen?
Existen 4 y son los que se muestran en la tabla
Conjuntos Por extensión Por comprensión Características
Finito A={a, e, i, o, u} A={x/x es vocal} Se puede enumerar todos sus elementos.
Infinito B={0;1;2;3;4;…} B={x/x ∈ ℕ} No se puede terminar de enumerar todos los elementos.
Vacio C={ } = Ø C={x/x ∈ ℕ ∧ 1<x<2} No tiene elementos.
Unitario D={3} D={x/x ∈ ℕ ∧ 2<x<4} Tiene un único elemento.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS
• B={1; 2; 3; 4; 5}
• C={1; 3; 5}
• D={2; 4; 6}
• E={6; 7; 8; 9}
INCLUSIÓN
1. C ⊂ B 2. D ⊄ B 3. B ⊂ B
4. C ⊂ C
5. B ⊄ E
¿A qué se llama relación de Inclusión?
Se dice que un conjunto esta incluido en otro si todo elemento del primero es
también elemento del segundo.
.2
.4
.1 .3 .5
C B
1) .1 .2
.3 .4 .5
B 3)
.2 .4 .6 .1 .3 .5
B
D
2)
.1 .3 .5
C 4) .1 .2
.3 .4 .5
B .6 .7 .8 .9
E 5)
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS
Simbólicamente: A ⊂ B ⇔ ∀ x, x ∈ A ⇒ x ∈ B
Se escribe Se lee
A ⊂ B A esta incluido en B A es subconjunto de B
A ⊄ C A no esta incluido en C A no es subconjunto de C
C ⊄ B C no esta incluido en B C no es subconjunto de B
Propiedades de la inclusión
Reflexiva: Todo conjunto esta incluido en si mismo A ⊂ A
Transitiva: Si A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C
Cuando un conjunto esta incluido en otro se dice también que es subconjunto del otro.
.d .e B
.a .b .c
A .i .o .u
C
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
Simbólicamente: A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS
• B={b; 2; 3; d; 5}
• C={d; 3; 5; b; 2}
IGUALDAD DE CONJUNTOS
¿A qué se llama Igualdad de conjuntos?
Se dice que dos conjuntos son iguales si tienen exactamente
los mismos elementos.
• D={χ; ψ; ω; σ}
• E={ω; χ; ψ; σ}
.b .2 .3
.d .5
B C
E D
.ω .χ
.ψ .σ
B=C D=C
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
CONJUNTOS ESPECIALES
¿Cuántas clases de conjuntos especiales existen?
Son dos y son los siguientes:
• U={plantas}
• F={flores}
• V={verduras}
• R={rosas}
CONJUNTO UNIVERSAL (U) O referencial es aquel que se fija de antemano e incluye a
todos los elementos que están en discusión.
U
flores F
rosas R verduras
V
F⊂U, V⊂U, R⊂F, R⊂U
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
CONJUNTOS ESPECIALES ¿Y que es un conjunto
potencia?
• Sea el conjunto:
• A={pan, queso}
• Donald cuenta con alimentos del conjunto A entonces podemos formar 4 subconjuntos que muestran la manera de comer sus alimentos.
• P(A)={{pan},{queso},{pan, queso}, ninguna de las dos}
CONJUNTO POTENCIA P(A) Es aquel que está constituido
por todos los subconjuntos que es posible formar con los
elementos del conjunto A.
Cantidad de elementos de P(A)=cantidad de subconjuntos de A=n[P(A)]=2n(A)
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a
A o a B o a ambos
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Sean los conjuntos:
• A={1; 2; 3; 4; 5}
• B={1; 3; 5}
• C={2; 4; 6}
• D={3; 4; 5}
Unión (U) de conjuntos
¿Cuáles son las operaciones entre conjuntos?
Existen 6 y son las siguientes:
.1 .2 .3
.4 .5
A
B
A ∪ B A ∪ B={1; 2; 3; 4; 5} C ∪ D={2; 3; 4; 5; 6}
.3
.5
C D .2 .4 .6
C∪ D
.1
.3
.5
B
.2
.4
.6
C
B ∪ C
B ∪ C={1; 3; 5; 2; 4; 6}
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por
todos los elementos que pertenecen a A y a B y a ambos.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Sean los conjuntos:
• A={1; 2; 3; 4; 5}
• B={1; 3; 5}
• C={2; 4; 6}
• D={3; 4; 5}
Intersección (∩) de conjuntos
¿Cuál es la segunda Operación entre conjuntos?
La segunda es la Intersección
.1 .2 .3
.4 .5
A .1 .2
.3 B
A ∩ B A ∩ B={1; 2; 3} C ∩ D={4}
.1
.3
.5
B
.2
.4
.6
C
B ∩ C
B ∩ C={ }
.6
.2
.3
.5 .4
C D
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
C ∩ D
La diferencia de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por
todos los elementos que pertenecen a A y no a B.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Sean los conjuntos:
• A={1; 2; 3; 4; 5}
• B={1; 3; 5}
• C={2; 4; 6}
• D={3; 4; 5}
Diferencia (-) de conjuntos
¿Cuál es la tercera Operación entre conjuntos?
La tercera es la Diferencia
.1 .2 .3
.4 .5
A .1 .2
.3 B
A - B A - B={4; 5} C - D={6; 2; 3; 5}
.1
.3
.5
B
.2
.4
.6
C
B - C
B - C={1; 3; 5}
.6
.2
.3
.5 .4
C D
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
C - D
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B, es el conjunto
formado por todos los elementos que pertenecen a A y B. Pero no a ambos.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Sean los conjuntos:
• A={1; 2; 3; 4; 5}
• B={1; 3; 5}
• C={2; 4; 6}
• D={3; 4; 5}
Diferencia Simétrica (∆) de conjuntos
¿Cuál es la cuarta Operación entre conjuntos?
La cuarta operación es la Diferencia simétrica
.1 .2 .3
.4 .5
A .1 .2
.3 B
A ∆ B A ∆ B={4; 5} C∆D={6; 2; 3; 5}
.1
.3
.5
B
.2
.4
.6
C
B ∆ C
B∆C={1; 3; 5; 2; 4; 6 }
.6
.2
.3
.5 .4
C D
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
C ∆ D
El complemento de un conjunto A’ , es el conjunto formado por todos
los elementos del conjunto universal U que no pertenecen a A .
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Sean los conjuntos:
• U={1; 2; 3; 4; 5,6}
• A={1; 3; 5}
• B={2; 4; 6}
• C={3; 4; 5}
Complemento (’) de conjuntos
¿Cuál es la quinta Operación entre conjuntos?
La quinta operación es el Complemento
.2 .4 .6
U
.1 .5 .3
A
A’ A’={2; 4; 6} C’={1; 2; 6}
B’={2; 4; 6 }
.1 .2 .6 C .3 .4
.5
U
C’
.2
.4
.6
.1
.3
.5
B
B’
U
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
El producto cartesiano de los conjuntos A y B es un conjunto de pares ordenados (x, y) tal que x ∈
A ∧ y ∈ B.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
• Sean los conjuntos:
• B={2; 4; 6}
• C={3; 5; 7}
Producto Cartesiano (x) de conjuntos
¿Cuál es la sexta Operación entre conjuntos?
La sexta operación es el Producto Cartesiano.
.2
.4
.6
B .3 .5 .7
C
B x C B x C={(2;3),(2;5),(2;7),(4;3),(4;5),(4;7),(6;3),(6;5),(6;7)}
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
FUNCIONES: Definición.
• Sean los conjuntos: A={2; 4; 6} B={3; 5; 7}
¿Qué es una función?
La función es una correspondencia entre
dos conjuntos
ƒ1={(2;3),(4;5),(6;7)}
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
.2
.4
.6
A .3 .5 .7
B
Dominio Rango
.2
.4
.6
A .3 .5 .7
B
Dominio Rango
•Un conjunto A llamado conjunto de partida o dominio •Un conjunto B llamado conjunto de llegada o rango.
•Una regla que asigna a cada elemento de A un único elemento de B.
ƒ2={(2;3),(4;5),(6;7)}
.2
.4
.6
A .3 .5 .7
B
Dominio Rango No es una función
.2
.4
.6
A .3 .5 .7
B
Dominio Rango No es una función
FUNCIONES: Dominio y Rango.
• Sean los conjuntos:
• A={a; b; c}
• B={β; γ; δ}
¿Qué es el Dominio y Rango de una función?
La función es una correspondencia entre
dos conjuntos
ƒ1={(a;β),(b;γ),(c;δ)}
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
.a
.b
.c
A .β .γ .δ
B
Dominio Rango
.a
.b
.c
A .β .γ .δ
B
Dominio Rango
•Dado una función ƒ de A en B: •El dominio de ƒ esta formado por todos los elementos de A.
•El Rango de ƒ esta formado por subconjunto de B.
ƒ2 ={(a; γ),(b;γ),(c; γ)}
FUNCIONES: Variable dependiente e independiente.
¿Cuántas clases de variable existe en una función?
Existen 2: •Variable dependiente. •Variable independiente.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
•Una función ƒ : A => B •La variable x representa cualquier valor del dominio y se llama
variable independiente. •Los valores que tome la variable “y” dependen de los valores que
tome x, por lo que se denomina variable dependiente.
.x
A
y= ƒ(x)
B
V. Ind. V. Depen.
ƒ (x,y) o (x, ƒ(x))
V. Ind. V. Depen. V. Ind. V. Depen.
FUNCIONES: Variable dependiente e independiente.
¿Cómo se determina el valor de la variable dependiente?
El valor de la V. dep. esta en función de la variable
independiente.
Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
•La función es ƒ={(1;2),(2;3),(3;4),(4;5)}
• Sean los conjuntos:
• A={1; 2; 3; 4}
• B={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
Se define la función
ƒ : AB por el criterio y = x+1
Solución Sabemos que ƒ(x) = y = x+1 Esto es ƒ(x)= x+1; reemplazamos en x los elementos de A ƒ(1)=1+1=2 ƒ(2)=2+1=3 ƒ(3)=3+1=4 ƒ(4)=4+1=5