Longitud de una elipse

CIDEM Centro de Investigación y Desarrollo del Estado de Michoacán

LONGITUD DE UNA ELIPSE

En el presente artículo daremos justificación a una fórmula de aproximación para la longitud de una elipse de semiejes a y b. La fórmula es: ( )≈ ⋅ +π A B , donde

, y es la longitud de la elipse A a b B a b=

+=

+2 2

2 2

.

Longitud de Arco. DEFINICIÓN 1. Una función f es lisa en un intervalo si su derivada es continua en todo el intervalo.

′f

El significado intuitivo, en la definición anterior, es el de que: variaciones pequeñas de x tienen como consecuencia variaciones pequeñas en la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f. Lo que significa que en la gráfica de una función lisa no hay esquinas o picos.

( )′f x

Si f es una función lisa en [a ; b] , a los puntos ( )( ) ( )( )A a f a B b f b, , y se les llama extremos de la gráfica. Obtengamos la fórmula para la longitud de un arco, de extremos A y B. Para ello consideremos una partición P del intervalo [a ; b] , determinada por los puntos, a x y sean x x bn= =0 1, , ,… ( )( )Q x f x i ni i i, ,, = 0 1…, ,

Qi

)

, puntos de la curva asociados a esta partición, tenemos entonces n + 1 puntos Q0 , Q1 , ... , Qn sobre la gráfica. Al conectar cada mediante un segmento se obtiene una línea quebrada cuya longitud será:

Qi−1 con

( ) ( ) ( ) ([ ]L d Q Q x x f x f xP i ii

n

i i i ii

n

= = − + −−=

− −=

∑ ∑11

1

2

1

2

1

,

Sea ({P i= − −max xi 1 )}x , la norma de la partición. Si P es pequeña, entonces Qi - 1

está cerca de Qi , para cada i , y LP será una buena aproximación de la longitud de arco entre A y B. Lo anterior nos permite definir adecuadamente el concepto de longitud de arco, diciendo: La longitud de arco entre A y B, escrito , es el límite La

b lim LP P→0

Ahora bien como ( ) ( ) ( ) ( )[ ]L d Q Q x x f x f xP i ii

n

i i i ii

n

= = − + −−=

− −=

∑ ∑11

1

2

1

2

1

,

al aplicar el teorema del valor medio a la función f sobre el intervalo [ ]x xi i−1 , se tiene

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f x f x f w x x f w x w x x x x xi i i i i i i i i i i i− = ′ − ′ ∈ =− − −1 1 1 = donde y ∆ ∆; i− −1

de modo que LP se puede escribir

Leonardo Sáenz 1


( ) ( )[ ] ( )[ ]L x f w x f wP i i i ii

n

i

n

= + ′ = + ′ ⋅==∑∑ ∆ ∆

2 2 2

11

1 xi∆

y al tomar límite cuando P → 0 obtenemos la integral:

( )[ ] ( )[ ]L lim L lim f w x f x dxab

P P P i ii

n

a

b= = + ′ ⋅ = + ′ ⋅

→ →=∑ ∫0 0

2

1

21 1∆

Pongamos esto como una definición. DEFINICIÓN 2. Sea f una función lisa en un intervalo [ a ; b ]. La longitud de arco

de la gráfica de y = f(x), entre A y B, esta dada por ( )[ ]L f xab

a

b= + ′ ⋅∫ 1

2dx

Ejemplo. Apliquemos la fórmula anterior para obtener la longitud de una elipse de semiejes a y b.

Consideremos la elipse xa

yb

2

2

2

2 1+ = . Al despejar la variable y se tiene

y ba

a x= ± −2 2

y considerando únicamente el arco de ( ) ( )A b B a0, a 0, , que se encuentra en el primer cuadrante, tendremos

y ba

a x x= − ≤2 2 0 con a≤

La longitud de este arco nos dará la cuarta parte de la longitud de la elipse, que, de

acuerdo a la fórmula de la Definición 2., sería: ( )4

102

0

= = + ′ ⋅∫L y xaa

dx

y como

( ) ( )

( ) ( )

′ =−

−

′ =−

y x ba

x

a x

y x b xa a x

2 2

22 2

2 2 2

entonces

( )41

2 2

2 2 20

= +−

⋅∫b x

a a xdx

a

( )=− +

−⋅∫4

4 2 2 2 2

2 2 20

a a x b xa a x

dxa

haciendo x asin= θ , se tiene; ( )dx a d a x a a= cos cosθ θ θ θ y - = 1- sin =2 22 2 2 2 se tiene

Leonardo Sáenz 2


( )

( )( )

=+ −

⋅⋅

= + − ⋅

= +−

⋅

∫

∫

∫

4

4

4 1

4 2 2 2 2

2 2 202

2 2 2 2

02

2 2

22

02

a b a a sin

a aa d

a b a sin d

ab a

asin d

θ

θθ θ

θ θ

θ θ

π

π

π

coscos

En una elipse los parámetros a, b y c satisfacen la relación a2 = b2 + c2 ó b2 - a2 = - c2 empleando esto tendríamos

= −∫4 12

22

02a c

asin dθ θ

π

⋅

y puesto que la excentricidad de la elipse se define como ε = ca

, podemos escribir

= −∫4 1 2 2

02a sinε θπ

⋅dθ (1)

La integral que figura en la expresión anterior, es una de las llamadas integrales elípticas, la cual no se puede expresar en términos de funciones elementales, pero, obviamente, se puede calcular con técnicas numéricas o consultando directamente tablas de integrales elípticas. Una expresión para determinar la longitud de una elipse se puede obtener, haciendo lo siguiente: Para la integral elíptica que figura en (1), al aplicar la serie binomial

1 1 12

12 4

1 32 4 6

1 3 52 4 6 8

12 3 4− = − −⋅

−⋅⋅ ⋅

−⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

− <u u u u u u donde

(2) , el radical 1 2 2− ε sin ⋅θ quedaría

1 1 12

12 4

1 32 4 6

1 3 52 4 6 8

2 2 2 2 4 4 6 6 8 8− = − −⋅

−⋅⋅ ⋅

−⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

−ε θ ε θ ε θ ε θ ε θsin sin sin sin sin

de manera que (1) se puede escribir

= − −⋅

−⋅⋅ ⋅

−⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥⋅

= − −⋅

−⋅⋅ ⋅

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

∫

∫∫ ∫∫

4 1 12

12 4

1 32 4 6

1 3 52 4 6 8

4 12

12 4

1 32 4 6

2 2 4 4 6 6 8 8

02

2 2

02

02 4 4 6 6

02

02

a sin sin sin sin d

a d sin d sin d sin d

ε θ ε θ ε θ ε θ

θ ε θ θ ε θ θ ε θ θ

π

ππ ππ

θ

Leonardo Sáenz 3


y, ahora, empleando la fórmula de Wallis para las integrales de potencias del seno; que establece:

( )( )( )( )( )( )( )( )

sin xdx

n nn n n

n

n nn n n

n =

− − ⋅− − ⋅

− − ⋅− − ⋅

⋅

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

∫

1 3 4 22 4 5 3

1 3 5 32 4 4 2

02

, si es impar

2 , si n es parπ

π

, la expresión para la longitud de la elipse quedaría

= − ⋅ ⋅ −⋅

⋅⋅⋅

−⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⋅⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⋅ ⋅⋅ ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

′

42

12 2

12

12 4 2

3 14 2

1 32 4 6 2

5 3 16 4 2

2 1 12

1 32 4 3

1 3 52 4 6 5

1 3 5 72 4 6 8 7

2 4 6

22

2 4 2 6 2 8

a

a

π π ε π ε π ε

π ε ε ε ε (2 )

con la cual podemos aproximar la longitud de la elipse, siendo mejor la aproximación, entre más términos se tomen de la serie. LA APROXIMACIÓN : ( )≈ ⋅ +π A B Veamos como, en efecto, la cantidad ( )π ⋅ +A B es una buena aproximación para la longitud de una elipse.

Aquí, A a b=

+2

, es la media aritmética de los semiejes a y b , y

B a b=

+2 2

2 , es la media cuadrática.

Puesto que ε = ca

, entonces

1 1

1 1

22

2

2 2

2

2

2

2 2

− = − =−

− = = −

ε

ε ε

ca

a ca

ba

ba

b a

= , y

;

y por lo tanto

( ) ( )2 1 1 2A a b a ba

aπ π π π ε= ⋅ + = ⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= ⋅ + −1

y si desarrollamos 1 2− ε con la serie binomial (2), se tiene

1 1 12

12 4

1 32 4 6

1 3 52 4 6 8

2 2 4 6 8− = − −⋅

−⋅⋅ ⋅

−⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

−ε ε ε ε ε

y por lo tanto

Leonardo Sáenz 4


Leonardo Sáenz 5

2 2 12

12 4

1 32 4 6

1 3 52 4 6 8

2 1 12 2

12 2 4

1 32 2 4 6

1 3 52 2 4 6 8

2 4 6 8

2 4 6 8

A a

a

π π ε ε ε ε

π ε ε ε ε

= ⋅ − −⋅

−⋅⋅ ⋅

−⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⋅ −⋅

−⋅ ⋅

−⋅

⋅ ⋅ ⋅−

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π π ε ε ε ε⋅ = ⋅ −⋅

−⋅ ⋅

−⋅

⋅ ⋅ ⋅−

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

A a 1 12 2

12 2 4

1 32 2 4 6

1 3 52 2 4 6 8

2 4 6 8 (3)

De manera análoga, y teniendo en cuenta que ( )b a2 2 21= − ε , podemos escribir

( )π π π

επ ε⋅ =

+=

+ −= ⋅ −B a b a a

a2 2 2 2 2

12

2

21

21

y aplicando la serie binomial (2) al radical 1 1

22− ε , se obtiene

π π ε ε ε ε⋅ = ⋅ −⋅

−⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⋅⋅ ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

B a 1 12 2

12 4

12

1 32 4 6

12

1 3 52 4 6 8

12

22

43

64

8 (4)

sumando (3) y (4) se tiene

( ) ( ) ( ) ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅⋅⋅

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅⋅⋅

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅−−⋅=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−+⋅⋅⋅

⋅−+

⋅⋅−−⋅=+

86242

22

8642

8816

414

212

88642229531

5642531

34231

2112

89

86422531

45

642231

23

4221

212

186422

53116422

311422

1212

εεεεπ

εεεεπ

εεεεππ

a

a

aBA

comparando este resultado con el de la longitud dada en (2’), vemos que coincide en los cuatro primeros términos de la serie y por lo tanto ( )π A B+ ≈ . Nótese que el quinto término, el que contiene a ε8, en ( )π A B+ tiene como coeficiente a

1 3 5 92 2 2 4 6 8 8

454096

0 01098633⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = . y el término similar en el desarrollo de ,

tiene como coeficiente a 1 3 5 72 4 6 8

17

17516384

0 001525882⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ = = . , los cuales ya no

coinciden EJEMPLO Para una elipse de semiejes a = 10 y b = 8 , tendríamos

ε 22

2

2 2

2

36100

0 36= =−

= =ca

a ba

.


y de acuerdo a (1) , la integral elíptica sería

( )

( )

220

40 1 0.36 sin

consultando el valor de la integral en tablas de integrales elipticas, se tiene40 1.418083394 56.72333576

dπ

θ θ= − ⋅

≈ =

∫

Si empleamos la aproximación ( )π A B+ tendremos

A a b B a b=

+= =

+=

29

282

2 2

y

( )≈ + ≈ ≈π 9 82 56 722665 56 723. .

la aproximación ( )π A B+ da , como puede verse, tres decimales correctos. Leonardo Sáenz Baez

Leonardo Sáenz 6

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