lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t...

36

Transcript of lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t...

Page 1: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

�� ����������� � �� ����� �� ������

����������

�������� ������∗

�� � �� ���� ������� ����

��� �� ���� ����� ����

�������� ����� ���

��������

��� ������� ������ �� �� ���� ������� ������� ��� ������� ���������� ���

��� �� ����� � ����� ������ � � ���� ��� ������������ �� ���� ��� �������

�� ��� � ������ ��������� ����� � ������ ������� �� ���� ���� � �����

�� ����� �� �������� ���� ������� �� ���� ����� �� ���� ���� �� ������

���������������� ������� ��� �� � ����� �� ��� ����������� ������ �� ��

���� ������� ������� ��� ��������� �������� �������� �������� �� �����

���� ��� ������ ����� �� �� �� ��� ������ ������ �� ���� �����

�� ��� ����� �� �������������� ! ���� �� ��� ������ �� ��� ���������� ��������� ���� ������� ���������� ���� ���� �� ��� �������� ������ ��� ���� �����

������� ��� �� ��� ������� ������ �� �� ��� ����� "����� �� ������ �� ��� �����

������� �� �������� �� ���� �� ��� ������ �������� ��� �� ��� ������ �� �����

#�� ���$� ��� ������������ ��������������� %������ �� �&��� � ���� ���

�� ��� �� ������� ��� ������ ���� ���� ���� '� ������� ��� ����������

���� ������� ������� �� ��� ������ ����� �����������

∗� ����� ���� ��� ����� ��� ����� ����� ���� ��� ���� ����� ��� ����� ��������

��� ������������ ��� ��� ��� ��� ��������� �������� ��� ����� ���� ����� �� �������� ���

�!�"��� ���� ��� �#����� �������� ����������$ % �������� ������ ��� �� ��� ��������"����$

&�� ����� �#������� �� ���� ����� �� ��� ���������� ��'��� ����� �� ��� (������� ������ )���$

(*��� �������+ �������$��"����,��"$���

Page 2: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

��� ������������ �� � ��

��������� ������� ���� ��� ����� ������� ����������� ������ �������

������ ������� ������ ����������� ���������� ������ � ����������

Page 3: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

� ����������

��������� � ���� � ���� �� ��� �� ���� ������ �� ���� ������ ����� �����

�� � ��� � ���������� �� � ���� ��� �� ��� ���� ������� ����� � ���!

������ ���� ��" ����#�� �� ���" �� ����� � � � ��� ���� ���� ��� � #��!

������� �$%&'� �����( )��� �� ��� ���� ��� ���"� ������� �� � � ��� � � �!

��� � � � ���!��� � �� � �� � " �� ��� �(�( %�����!&��* �� +���� ���,�

-�� � �(� ����� .������ � �(� ���/� 0��� �� �� ����� ��� ���� �� ��� ��1!

2��� "�� �� 3����!3 ���1� ���/�(� .� ����#���� ��� ��4����� � �� �����

� ������� �� �������� � � ���� ������" � � ����� "� �� � ������ � � ���

�� ����� �� ���!� �� �� �� ��� ����� �� � � � � ������(� 5 ���������� � �

�������� ���� �� � � ���� ��� ���� �� ��������� �� ���!����� � ��� ����!

����� ���� ����� � ��� ��1!2��� "�� �� 3����!3 ���1 ����/�� .����

� �( ����/� �� -�� � �( ������( 5 ���� ��� �� ��� �� ������ ���� � �

�� �� � ��� ������( ��� � ���� .���� � �( ����/� ������ �� ����� �� �!

������ ��� ��� �� � � ������ �� ��������� ������ ������ ��� ��� �������� ������� ��� ������ ����� ����������� �� ��� ���� �������� �� ���� ����� ��� ������� ��� ��� ���� �������������� �� ��� ����������� ���� ������� �� � ����������! ��� "�#� �� $�� %���������� � �& � � ������ �����& ������� ����������� ����'��� ���� ������ ����������! ��� "�#��� $� �� ���� ������ %����� ��� (����� �� ��� ���' ��' �� ��)� ������ ����� ������������* � ����������! ��� "�#� �� $� '��� ��������� ��� �������)������� ����& +������� �� �� � � ���' ��' �� ������� ������ ����� ������������ ��� ����� '�� ��� ������ ��)�

��� ��� ����� '� ����� �� ���#�� �� ��� ��������� ���#�� �%,�����& �--.& �� ���& ���&� ������ �� / �0 �����& �� ��� ���������� ���#��� �� ������& '� ������ ������ ���� ������� ������� ������ ��� ����� ����������� �1�#�� ���� ���� ��� ���� �� ����������� ���� �������� ���������� ���#� ����� (�& �--$�� �� ��� ���� ��� ����� �� ����������� �� ��� ������������ ������ ��� ���� �� ����������� '��� #� ������ #� ��� ��������� ����� ���)�� ���#������� #��'��� ������ � ��� ����� ���� '�� �2����� ���#�� ���������� (��������& ���� ����� ��� ������#���� ������� �������� ���� '��� ��' �� �� ��)� ���������� ��������� �����#� ��������� �� ��� ���� ������� �������

6

Page 4: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

���������� ��� ������� ��� ���� ��� ������� ��� �� ��� ������� �� �� ��� ������

������ ��� � ����� �� ��� ��� �� ������ ����� ������������ ��� ���� � ������!

�� �� " ������� ����� #�� �����!���� ��� �$ �� %��� ����� ��� ���� ���� �����

� �������� � ��� ���� ��� �� ��� ������ �������� & ��'����� ������� �� $����#��

� (������� ��� ) ������� ����*�� #� ������� � ������!����� ��� ���� �����" �

����� �� �� ��� ����� �������� �$ �� �����!����� ��������������� +� ��� ����� ��

� ���� ������ �� �� ������� �� ���� �� �������� ��� �����!���� ��� �$ ��������� ��

��� ����� ����������� �� �� �� ���� ��� ��� ��#�� ����� ������ ,��� �����

���� ��� ��-� �� �������� ���- �� �� ����������� $� �������� �� ���� ��������

& �� ��� #� %�� �� �� ������� ������

+� ��� ����� #� �����# $��� �� �������!���������� ������� �� �� ��# ���

������������ .)/0 ������ ��� �� ����� �$ ������ ���������� ��� ���� ��!

������ ��� ����� ��� ��� �� ��� ������ ������ ��� ��� ������� � ������ �� ��� �� ��

%��� ����� � ������ �� ������� &� ��������� � 1��� �� ����2� �� 3� ���� �� ���

����� #� ��� ���� �� ����� 4�5 ������ �" ������ #��� �� 4���!������5 ���� �������

��� �� ������ �� ���� ��� " ����������� 6� ��# ���� ������� �� � � ��������

����� ��� ���� ���� ��� ��� �� �������� ���� �� ���� ������ �$ �� ���� �����

#��� �� ������� ����� �� �������

)����� ���!������ .)/0 ������ � ���� ������� ������� ���� ��� �� ������

������ ������ ��� ��� � ��� ���� ��� ����� ���� �� ������� �� ��� �� � ��� ������ ����� ������� �� ������ ��� �� �� � � ���� �������

��������� ��! � � "��� ����#� ���$ ��� ����������� ������ � � �� �� ��� ��� �� %�������� ��� ���� ��� ������ ����� �� ��� � �� �� �������� &���������� ��� ������� �� �������� ���� ������ �� ��� ������ � ��� $��� ���������� ������ ��� '�� � �( ������� ����� ���� ����� ����)������ � * ��� � +��� "��� �� ���� � ��� ��� ��� ���� ���� �� ���

�*� �� ������ � �� ����� ���� ���� �� � ���� �� �� � $���� ��� ������ � ������� � ���������� �� �������� � ��� ,��� ��� $� ��� �� ������� � ����� � ��� ����� ��������� ��� ����������� ����� ����� �� ��� ������ � ��� ������� ��� ���� ��� ��� ��� ��� �������� ����� �� ��� ����� �� ������ � � ��� ���-��� � ������� �� ��� ����������� ����� ����� �. ��� ���� ����� �� ���� ��� ���� � �� ����

7

Page 5: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

��������� ���� �� ����� ����� ����� � ������ � ��������� �����������

� �� ������� ������ �������� ��� ��������� �� ���� ��������� ��� ��������

������ � �� ���� �� �� ������ ���� �� �� �� �� �������� ������� � ������ � ��

���� �� ������������ �� �� ����� �� ��� ������ ���� �� �� ���������� ������

�� ������ ��������� ���� ��� �� ������� � ���� � �� ���� !���" ���

#���� $%&&'( �� �������� �� ���� �� ���� ������ ���� �� ��� )�� ������������

���� ����� �� �� ����� ������� �� �� ����������� ���������� *������ �

+� � ��� $%&&,( �� �� �� ����� ��� �� �������� � �� �� ������ ������������

�� �� �� ����������� ����� �� ����� � ����� � ��� ������� ���������� )�

���� ������ ��� � ����� � ��������� ����������� �� �� �������� ��� ��

������ ��������� ���� ��� �� ��� �� ������� ������� �� ������� ��������

��� �� ���� �� �� ��� ����������� -� ��� ������ �� ������� �� ��� ����� �� ��������

� �� �� ��� $%&&&(� .�� ��� .��� $%&&%(� ���� !���" ��� #���� $%&&'( ��

�������� � ��� $%&&/(� ���� ������ ������� ���� �� ���� ������ ������� �� �

��0���� ����� �� �� �������

)� ���1 ������� �� ������ �� ������� �� �� ���������� ���� ������� ��

��� ������� ��� �������� �������� ���� �� ��������� ��������� �� 2���� $3445(�

6��� $344%( ��� 2���� $3443(� ���� ������ 7� ��������� �� ���� �� �� ���

�������� ���� �� ��������� ���������� �� �� ������� ��������� �� ������ ��

�������� �� ���� �� �� �� -����� 8������ ������ ��� �� ������1� ����� ��

��������� $2����� 3445 ��� *������� %&&/(� �� ���� �� ���������� ���� ���

�� 9�������: �������� �� �� �������� ���� ��� �� ����� ���������� ��� ��������

�� ����� � ���������� ���� ������� � ����������� �����;���� -� ��� �����

��� ����� �0��� � ��� � ��������<� �� 9�������: �����;�� ��������� �� +� � ���

$%&&,( ��� ������ ����� ������������� =��� ��������� ��� ����� ������� � ���

���� �� ��������� ���� �� ���������� �������

5

Page 6: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

������� ��� � ������� ����� ����� �� ��� ���� � ����������� ���� �� ����

�� ������ � ������� �������� ��

�� ��� ����� �� ����� ��� �� �������� �� �� ��� ���������� ���� ���� ����

��������� ��� ������ ���� ��� ��� � �� ����� ���� � ����������� ��� ���

�� �������� � ��� ����������� ������� � �� ������������ ��� ���� !"##$%��

&�� �� � � ��� ����� � ����'�� � ���� � ������ " ������ �� ������� �

��� ���� ������ �� ������ ������ ( �� �� � ��� ��)������ ������� ��� ����

����� �� ����� ��� *������+ ��� ������ � ��� ���� ��� ����� � ����

����� �� ������� ������ ����� ������� � �� � ��� �� � ���� ������� �

������ ������ $ ������ ��� ������,�� � � ����� ��������� -��. ����� ������ /

�� �� � �� ��� ��� ������� ��� ��� �� � �� ������ ���� ��� ���� ����� ��

����� � ��� ���� � ������������ ������ 0 ������� �

� ��� ������ � ���� � ������

�� ��� ����� �� ��� ������ ��� �� ���� ������ � ��� ������ ���

EtF (zt+1, zt, σεt) = 0 !1%

����� F � � � ��� � ��������� ���� ��� ��)������ �,����� ������� ��� �� �

���� ������� � ���� 2 ������ � �� ���� �� ������ ��� ���3�� ������� ���

����� � Et � ��� ������������ ���������� ������� εt � � ����� � �����

���� ��� ����� ���� � ���� ���� �� � ����� zt � � ����� � ������

�������� ��� σ � � ��������� !��� ����������� ���������% ��� ���� �� σ = 0 ��

��� �� ������� �� �������� � � � ��� �� ��� ����� �� �������� ��������� ���������� �� �������������� ������ ���� ������� � ������ �� ��� � � ��� ����� �������� �� ��� � � � ������� ���������� ������� � � ����� �� ���������� ���� �������� ������� � � ���� ������������� ��� ���� ����� �� ����������� � � ���������� ����� �� ������� � � � ���� �� � ������������ � � ������� �������� ��� � ��� ��������� �����������

���� ��� ������ �� � �� !�� "#$%$& � '���()���� "#$%$&�

0

Page 7: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

���� ��� �� ��� �� ���� ��� � ��� � �� ��� ��� �� F (·)�� ��� ������� ��

�������� �� ���� ������� � ������ �� ������� ���� ����� ����� �� �������

� ���� �� ����� �� �� ��� � � �� �� ������� ���� ���������� �� ������

!��� ����� ����� ���� ��� �� ������� ����� � �� �� �� �� �� �� �

�� ����� �� ��� � � � ���� �� �� �� ����� ���� ��� ����� � ����������� "� ��

��� ������ � ���� ����� �� �� ��� ��� � � �� ������� � ����� ���� �� ��

���� ���� � ������ �����

"� ���� �� ������� � �� ��� � �� ����

yt = f (σ, yt−1) �#�

� � � ����� � ������� �$����� �%%& �� '������� #((�����

������ � ������) �� � yt� �� � ���� �� ���� �#�� �� �������� �� ��� �� ��

�� ������ ���� � � ��� σ� * � ������� �� � ������� ���� �� ���� ��������

����� σ = 0� +������� �� ! ����,� ����� � ����� �� ������� � yt ����� ��

���� �� �������

yt = y(0)t + σy

(1)t + σ2y

(2)t , �-�

��� (x) ����� �� ���� x �� ������� ���� �� �� �� ��� ��� y(0)t = O (σ0)

��� .���� �� � y(x)t �� ����� ��� �� ���� �� �� ������ ���� � � ������ "�

����� ����������� �� � ����� �� � �� �������� ���� �� ���� ������� ����� �������� ��� ���� ����� ���� ���� εt+1 �� ��� ��� �� � � �������� �������� �� �� ������ zt�

��� �������� �� ����� � ���� ��� ����� � �� �������� � �� ������� ��� ������ ���������� �� ����� ��� ������ �� � �� ������� f � ������ �� ������� �� ����������� �� �� �� ����� �� � ����� ��� � ���!�������� "��� ��� �������� �� �� �������������!����� ��� ������ �� � ������� #������ ����� ��� ������ ��� ��� ������� �������� ��� ���� � ���� �� $�� %&''()�

���� � �������� ��� �� ����������� ��������� �� ��� �� �� ������� %���� *������ (++,)� ��� ��� �� �� �� ������ ��� ��� i �� �� �������� � �� ������ �� i %i!)� � ������������� ����� �� ����� ��� ������� ���� �������� � ��� ������� ������ ��� ��� �������������������� �� ����� �������� ���� �������� �� ����� ��� �� ��������� ����� � ������ ���� �� �� ��� �����

�� *����� %(++,) �� ���� %(++-� �� ,(.) ������� �� ��� �� ���� ������ ������������� ���� ��

/

Page 8: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

�� �������� �� ���� ���� ���� ������������ �� � ����� �� ���� ������ �� ��

������ �� ��������� ��� �� �� ���� ���� ��� ����� � y(x)t ��� ! ���"���"�� �# $yt (σ)%

���� ������ �� σ ��� σ = 0�&

'�(�� �� �� � � �(����� �# f (·) ���� σ = 0 ������� ���� y(0)t = y0�

f (σ, yt) ≈ f (0, y0) + fσσ + fy (yt − y0) +1

2

(fσσσ

2 + fyy (yt − y0)2)+O

(σ3

), ���

����� #�� ��������� �� ��"� ������ ���� fσy = 0�

)����� �*������ �+� � ��� � ��� ���,��� ������� �-��

y(0)t + σy

(1)t + σ2y

(2)t =

f (0, y0) + fσσ + fy

(σy

(1)t−1 + σ2y

(2)t−1

)+1

2

(fσσσ

2 + fyy

(σy

(1)t−1 + σ2y

(2)t−1

)2)+O

(σ3

). ���

!.� �*����, �� � ������& �/������ ����� �� -�� �� ����� ���� ��� 0��� �� �� ��

y(0)t = f (0, y0) ,

���� ��� 1��� �� �� ��

y(1)t = fyy

(1)t−1 + fσ +O

(σ2

),

� ���� ��� ��� �� �� ��

y(2)t = fyy

(2)t−1 +

1

2

(fσσ + fyy

(y(1)t−1

)2)+O

(σ3

).

2����#���

yt − y0 ≈ σ(fyy

(1)t−1 + fσ

)+ σ2

(fyy

(2)t−1 +

1

2

(fσσ + fyy

(y(1)t−1

)2))

. ���

��� ���� yt = y(0)t + σαy

(1)t + σ2αy

(2)t + . . . . ������� ���� ����� �� ���� ������ ���������� ��

������� ��� ���� �� �������� ������ ��� ��������� �� �!��� ���� ��������� ���� �� ����"��������� ���� �� �#������� �������� ��� ����$ ���� �� ����� ��$��%� ������ ��� ���� �������� ���$ � ��&������ � ���� �$�� � �#��������� ��� �#������ α �� �� ��' �� � ���� &�#�"���$�()� ���� ����� '� ���� ��$ �� ��� ���� � α = 1� ������� ���� ���� ��� "� ��� "��� ������ ���������

Page 9: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

������ ���� ���� �� ��� �� � � ����� ���� � �� �������� ���� ����� ������

�� ��� ����� � � ��� �� ��� ��� ���� ���� ���� ������ �� O (σ3)���

�� �� ������� �� ������ ���� �� ����������� �� ��� ����� �� ��� ����������� ��

��� ����� ���� �� ����� �� ����� ������������ ��� ��� ������ �� σ� �� ������ ��

�� ��� ���� ���� �� yt �� ��� ���������� ������� � ��� ��!� �������

��� ��� ��������

��� ������������ �� ��� �������� ������ �� ��� �� ��� ����� ������� ���"

����� �� ���� ����� ������� �� #��� � �� $������� � �%%&� ��� ����� ��

����� ��� ����� "� � ��������� �� �������� �� ��������� ���� y0 = 0�

yt = fyyt−1 + σfσ +1

2

(σ2fσσ + fyy (yt−1)

2)+O(σ3

), �&�

���� ��� ���������� ��� � � �� ��� ����������� �� ��� !��������

'� �� ��� ��%%(�� ���� ������ ������)� ���� ���� �������� ���� �������

������� ������� �� ������ � �� � ���������� �� ����� ��� *�"� � �������� ��

������ ��� ����"�� ��� ���� +� �� ����� � � ���� ���� �� ��� �������

!������� ��� ��� �������� �� ��� ��� ���� � ������ �� ���� ����� �� ��������

����� ������ ������� �� � ��� �������� �&� ����

y(2)p,t = fyy

(2)p,t−1 + σfσ +

1

2

(σ2fσσ + fyy

(y(1)p,t−1

)2)+O

(σ3

). �(�

��� �������� ,�- ������ ��� ���� ��������� $��!��� ���. � ��� *�� � �

���� ���� ����� � ������ ��� � ��� ��� � ��� ��� � ������� � ����� �� σ ���� ������� ������ � � �������� ��� ��������� ������ � ��� ���� �� ��� �� ��� �� ��������� ���� � ����� �� � ���� ������� ������ �� ��� �� �� � � ����� ���� ��� ������� ���� � ����� �������� �� ���������� �

��!��� ����� �� ���� ��� ���� �� �������� ������ ��� � �� ������ �"� � ��� ��� ������� ������� �� σ ��� ��� ������ �� ���������� �� �� ��� ������� � �� # ���� ���� ������ ��� ����� � ���� ��� ������ ����� ��� �� ��� ��������

��$����� ��� ��� ����%��� ���� ������� �� σ �� ����� ��&��� �� � ��� ��� ������� ���� ������ �� � �� ����� �� ��� ��� ����� � �� �� ���� � ���� ��� ����� � �� ��

/

Page 10: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

�������� � �������

y(1)p,t = fT

y y(1)p,t−T + σ

T−1∑i=0

f iyfσ, ��

����� ��� ���� ��� �������� �� ������

y(2)p,t = fT

y y(2)p,t−T + σ

T−1∑i=0

f iy (fσ) + σ21

2

T−1∑i=0

f iy

⎛⎝fσσ + fyy

(y(1)p,t−1

σ2

)2⎞⎠ . ���

��������� ��� ������ �������� �� �������� �� ������

yt = σfTy y

(1)t−T + σ2fT

y y(2)t−T + σ

T−1∑i=0

f iy (fσ) + σ21

2

T−1∑i=0

f iy

(fσσ + fyy

(y(1)t−1

)2). ���

������! �� ���� �� |fy| < 1! limT→∞ y(2)p,t = yt" #� ������� ��� ����������� �����

��� �� ��������� ������� �� ��� ������� ����������" #� ������� �$������� ��"�" �������

��������� �� ������������� ������� ������ ����� ������� ��� ������ �$��������

�������� ��� ���� ������� �����"��

%��� ������ ���� ������� ���� �������� �& ���� ��� �������� ��� ���� �������� ��

��� ����� �� ���������������" %��� �� ���� ��� ��� ����'(��� ��(� �� ��� �����������

��� �)�� ��� �������� ���� ������ ���� ��� �������� ������� ����� ��� ������ ��

���)�������! �"�" *���� �� ��"! +��� " ,)������ ����� ����� ��� ��� ����������

�����$��������! ��� ����������� ����� ���� )������� �� � ������ ��� ��(� �� ���

�����������"

#� ����� �� ���� ������ ��� ����������� �-��� ����������� ����)������ ��� ���

.������/ �������������� �� ��� �������� �� �� ������ ����� �� �����$�������" 0�)'

���������! ������� ��� � ��� ����! �� �������! ��� ������ ����� �� �����$�������

��� ����)������ ���� ��� ����"

����� �������� �� � ����� ������ �� ��������� ������ � ���� ��� ��� ������ �� ��� ����� �� ����� ���� �� ��� � � �� � ��� ��! ���

�� ��"� �� ��� ��� � ���� � � � ��� ��� �fy� � ��� � �� � #��� ������ �� ����"� ����

��

Page 11: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

��� ������� � �� ��� � �� �� ��� �������� ���� �� �� � ��� ��

� ����� �� ���� �� �� ��� �������� � �� �� ��������� �� ���� ����� � ��

� ��� � � ���� ���� ������� � ������ ����� ���� �� �� ���� ���� � ���

!��� ��� �� "���# $%&%� ��� ���� �� �� ����� ��� ��� ����� � �����

� ��� ����� �� � ��� ��� �����# ���� �� �� ' �� ������( �) ��� * � �

�$%%+� ���� � ����� �,-� ��� �� �� �������� � � � � � ��� �$%%.�� ���

��� ��� ��� ������ � � ����� �� /��������0 � ��� � � �� �������� �11��

"� ��� �� � �� ��� 11 ��� ����� ���� ���� �� �������� 2������

�� �� �����# ����� ,- ����� ����� �� ��� � � /��������0 ���� �� ��

�� � ��� ������ ��� ������ "� � ��� �� �� �� ��� ��� � ����� � � �

�������� ��� ���� �� �� �� ���� ��� �� ����� ��� �������� �� 3�����

11 ��� ����

� ������ ������ � ������ � ������ ������

�� ����������

4 ������ �� ���������# 5�� � ��� �$%%6� ���� � ���� � /� �����0 ����

��2�� �� ���� �� �� ���� � �� ��� ������ ��������� �����7 ���� ��� ������

� �� � ���� � �� �� ��� ��� � ���� � �� �� ��� ����� � 8 � �� � ���

� ������� *� ����� �� # /� �����0 ��� �� �� ������������ ���� � �

�2�������� � ����� �� � ��� ������# /� �����0 �� ����� � ��������

� ���� ���� � �� �� ��� ��� � ���� � ��� � �� ��� ������� ���� ����

���� �� � ��� ������������ ����� � ��9� ���� �2������ ,��� ������# �� ����

� �� ����� ��� � ���� � ���� ��# ���� �� �� 8 � �� �������� �� �� ��� :�

�� �� � �# �� �� ������������ ���� � ��� ��� �� ���� � ��� �� � ��� ���

����� 4� �� � �# �� ���� ��# �� /� ����0 ����� ���� ��9� � � �� �����

&&

Page 12: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

�� �������� � �� ��� ��������� ���� �� �� ��� �� �� �������

����� � ���� �� ����� ���� ����� ������ �� ������ yt ��� � ���� �� � ����

� ����� ����� �� ������ xt� � ������� � � ����� �� ������� ��� �� ���� ����

�������� �� ����� ����� �! ��� " ���� #$$%�&

yt = g (xt; σ) , ��#�

���

xt+1 = h (xt; σ) + σηεt+1, ��'�

�� � z′t = [x′

t y′

t]�

(� � ��)� �� ��������� ������ �� � ����� � yt ��� xt � � ����� �� *���

� �� � �� ��� �������� �� h (·) ���� ���� � � +, ���� ������

h (·) ≈ h0 + hxxt + hσσ + σηεt+1

1

2hxxx

2t +

1

2hσσσ

2 +2

6hxσxtσ +

1

6hxxxx

3t +

3

6hσσxxtσ

2 +3

6hσxxσx

2t +

1

6hσσσσ

3 + · · ·+O(σn+1

)-�� ��������� � �� �� �����

h (·) ≈ h0 +

[hσσ +

1

2hσσσ

2 +1

6hσσσσ

3

]+

[hx +

2

6hxσσ +

3

6hσσxσ

2

]xt + σηεt+1 +[

3

6hσxxσ

]x2t +

1

6hxxxx

3t + · · ·+O

(σn+1

)� � �� � �������� ���� ��������� � ��� �������� ��������

h (·)− h0 ≈ D + Axt +Bx2t + Cx3

t + σηεt+1 + . . . . ��%�

*�� �� � ������ �� �������� �� � ��� ������� ������� ��������� �� �

��� �� � �� �� � ����� ����� ����� -��� ��� � ��� �#$$.� �� � �� � ���

�#

Page 13: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

���� ����� ��� ���� �� ����� ��� �� � � �� ��� ������ ����� ������ �� ������ ��

��� ������ �� xt � �� ����� �������� �� ����� ��� �� xt �� ����� ������ �����

x(3)t+1 = h (·)− h0 ≈ D + Ax

(3)t +Bx

(1)t x

(2)t + Cx

(1)t

3+ σηεt+1 + . . . . �!"�

#�� ����� �� ���� ��� ����� �� ��� ��� �� �$���� �� ������ �%

h (·)− h0 ≈ σx(1)t+1 + σ2x

(2)t+1 + σ3x

(3)t+1 + . . . , �!&�

�����

x(1)t+1 = hxx

(1)t + hσ + σηεt+1, �!'�

x(2)t+1 = hxx

(2)t + hxσx

(1)t +

1

2hxx

(x(1)t

)2

+1

2hσσ, �!��

x(3)t+1 = hxx

(3)t +

3

6hσσxx

(1)t + hxσx

(2)t +

3

6hσxxx

(1)t x

(1)t +

1

6hxxx

(x(1)t

)3

+1

6hσσσ , �!(�

�����

#�� )�� � *������ ������� ��� ��� ����� ��� �������� ��� � �������� � ���� � ��

������� ��� #�� ��� �� �$���� �� ������ ��� +��� �������� ����� ������ ����� ���

�� ���� �� ��� ,��� ����� ����� �� � �������� ����� ������� #� � ������ ���� ���

�������� �� ���� ���� ��� ��� ���� ��� ��������� �� �� ��� �����

- ���� ��������� ��� �����$ ����� ����� ��� � +�� �� �.��� ��� �!"� ��� �!'� ��

�!(� ��

x(j)t = Φjx

(j)t−1 +Bj,t, ����

����� ���� � ���� ���� � ���������� ��� ������� �� ����� ���� � �������� ���� ����� ������

!/

Page 14: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

����� x(j) �� � ���� �� � ���� ��� ���������� Φj �� � ����� �� � �� ����

�� �� Bj,t �� � ����������� ������ � ���� �� �� x(j) � � j �� ��� �� ����� ��

����������� � ��� � �� �� ��� �� ������� � � �� �� � ���� �� � ������

����� � �������� �� �� ������ ��� �� Φj �� ����� �� ���� ���� �� ������ ��� ����� �xp,j

t � �� ��� ������ �� �� ����� �� �� ���� �� ��������� ���� xp,jt =∑n−1

i=0 ΦijBj,t−i� �� ����� �� ����� �� ������ ��� �� �� �� ��� �� �� �� �����

�� �� ���������� ��� �� �� ������ � �� ������ ���� x(j)t = Φn

j x(j)t−n + x

p,jt �

���� ��� ����� ������� ���� �� ����������� ��� ���� � � ������� ������

���� !"�������� #$$%� �� #�& �

'�� � ���� ������ � � ������� � !"������� �#$$%� �� �� �� � ��( � ��)����

������) �� ��������

��� � �� *)��� ��� �� ��)�������) ����� �� limt→∞ x(j)t = limt→∞ x

p,jt < ∞�

����� ��� � ������ ����� limt→∞ xp,jt �� � ���������) ��������� ���

+���� ����������� �� �� ���� ���� � ��� ����� �� �� ����� v � �

w� ��� nv � � nw ����� � ���������)� ����� �� nvnw ���� ������ �� ��� ��

����� � � v ��� ��� �� ����� � � w� ���� v⊗w = [v1w1, v1w2, . . . , vnvwnw

]′� ����

� �� ������� � ) ����� �� ���� ��� � ) ����� �� ������ ,� �� �) n ��

����� �� ����� ��������) ��� ��� � ������ � �� � ��� ������ -� ��� ��

� ��� ����� � ����� � ������� ����� �� �� �� ����� � ��� ������ -� �

�� ��� �� ������� � ������

����� � �� ��� ����� ������ ������� �� ��������� � ��� � ������� �� ����� ��� ������� �� �� ��� ������ �n!�� �� ���� � ��������� � ��� � ∀n�

�������� ���� �� �� ��� � ������ ������ ��� �������� ��� ������� ���������� �� ��� � ����

��� ��������� � ������� ���� �� �� ������� �� �� ��� �� ������������ ������ ��� ���

#.

Page 15: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

����� ��� ����� ����� ���� ��� ���� ��� ��� �� � ���� ��� ����� �� ��� ����� � ��

�� �� ���������� ��� ���� � ����� �� ��� ����� � �� ��� ����� �� ���� ��� ����

�������� ����� ���� ��� �� !"#� ��� ������� $� n! ����� ���� ��� ����� �����%�

���� ��� n → ∞� �� � ��� ��� &���� ���$�� a� limn→∞

an

n!= 0�

'������ � ��� ����� �� ���� ��� �������% ����������(

���������� ������ ���� ��� �� �� �� ������������ �� ������ ��# ���� �� ���

����� �� ������ ������� � �� ��� ����� �� �������� �������� ������� ��

������� �������� � �� ��� �� �� �� ������������ �� �� � ���� �� �� ������ �

��� ���� �� ������� � )#� ���� ��� ������ �� ��� � ������ ������ �� �������

���� �� �� �� �� �� � ��� � ����������� � ���� � �� ��� ������ ��� �� ��� ������

Φj �� ����� ��� ��� ���� �� ∀j�

����� *� ��� $�� �� +���� � ��� �� +���� � �������� ���� ��� &�� �����

���� � �������� ���� ��$��� � ,�� ���� ��� ���� ����� ����� ����� � �� ���

&�������� ������� �� ��� ������� $� ��� ���� ����� �� ������ �n!# �� � ��� ��&���

����� � t → ∞� ��� ��� ������� ����%�� n� -�� � ��� ��� ��% ��� � �� ��� � ���

����� ������� � � ������ ������������� �� � ��������� ����� ����� � �� &��������

�������� � ���� ������ ���� ��� � ��� ����� ������� � �������� ���� ��$�� �

���% � ��� ��%������� �� ��� Φ2 �����. ��� ����� ��� ���� �� ��� �� ��� � ��� ���

��� ���� ����� ����� ����� � �� ��� � ��������� ������� �� ��� ������� $� ��� ����

����� �� ������ �n!# �� � ��� ��&��� ����� � t → ∞� ��� ��� ������� ����%�� n�

-�� � ��� ��� ��% ��� � �� ��� ����� ����� ������� � � ������ ������������� ��

����������� ����� ����� � �� &��� ��� � ��������� �������� � ���� ������ ����

��� � ��� ����� ������� � �������� ���� ��$�� � ���% � ��� ��%������� �� ���

Φ3 �����. ��� ����� ��� ���� �� ��� ��� � �� . . . �

/� ���� ���% �������� ���# �� ���# � �� ���� Φj = hk ∀j� -� ��� ����

�����.������ ���� � �������� ���� ��$�� � ���% � ��� &�� ����� ���� �

�0

Page 16: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

����������� ����� ���� �� ��� �� |hk| < 1� �� ��� ������� ��� �������� ��������

�� �������� ���� �� �������� �� ��� ��������� A ���� �� ������ �� ��������

���� hk� �� �������� ����� �� �� ��������� ���� |A| < 1 �� ���� ��� ������

��� �� ������� ���� ��� ������� ��� ������� ������ ����� ��� ����� ����

�������� !���������� ��� "������# ������� ������ ���� ��� �������� ���������� ��

��� ������� ������ ��� ������ �� ��� ������� �� ��� �$������� ���%�& ���� ��

��� ��� ��� ��� ��� '( ��������

)������$ * ����� ���� ��� ��������� ������� ����� "�������# ��� ��� ������

�$������� ������ �� ����� ��� ������ ��� ����� �� �����$�������& ���� �� �����

����� �� �� ��� �����$ ��������� ��� ����� ����� ���� ��������� ��� ��������� ��

������ ����� �� ��������� ����� �� ��������� �� ��������� �� ��� �����$ ����

����� ������ ����� ��� �� ���

� �� ������ ��� �� ������� �� ��� � ��

�� ���� ������ �� ���� ��� ������ �� ������ �$������� �� ��� +�� *����� ,�����

-���� .��� ���� ��� ��� ���� ���� �� /��� ��001� 2������� ��� '��������

�3445� ��� '����� ,���6 ��� 7���� �3448� �� ���� ��� �� ���� ����� �����$�

������ ���������� 9��� ���� �� ������� ��� � ����� ����� �����$������� ��

)������$ * �� �$���� ��� �����$������� �� ������ ������� !���������� ����� ��

���� ��� �� ��� �$������ �������� ����� )����� �� �� 344:� �� ���� ���� ���� ��

��� ����� �� �����$�������� .��� ������ ��� ��������� ���� ��� ������� �� ��

����� ������� ����� ������;����� �� ������� �� ���������� ��%���� �������� ��

�� ��������� ��3� ��� ��<�� ) ����� ������ �� ���� ���� �� =��� �3444� �� ���

���� �� ��� ������� �� ������;�� ������� �$�������� ����� ��� �� 2������� ���

�� ��������� �� � � �� ���������� ��� ����� �������� ����� �� �������� �� ������������ �� ���� ������

�:

Page 17: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

�������� �� �� � ������� �� ���� ���� ��������������

������ ��� �������� ������� ���������� ����� �������� �� � ����� ���

������� �c� �������� � ������� �k� ����������� ������� � � ����� ������� ���

��� ����� �� ��� ������� ��! ����" �ε� ���� #��� ��� � ������ ������#� ��

����� $��� ��

c−γt = αβEt

[eσεt+1kα−1

t+1 c−γt+1

]����

kt+1 = eσεtkαt − ct, ����

����� σ > 0 α ∈ (0, 1) γ > 0 β ∈ (0, 1) �� Et (εt+1) = 0

������ ��� �� σ = 0 ��� ����� �� ������������� �� �� ������ ���� ��������

k0 = (αβ)1

1−α �� c0 = (αβ)α

1−α − (αβ)1

1−α .

��� ���� ���� �� ��� ������ �������� ������ �������� �� ������� ��� ��� �����

���� �� �� ��������� �� ����� �� ������ ��������

ct ≈ c0 + σc(1)t + σ2c

(2)t ����

��

kt ≈ k0 + σk(1)t + σ2k

(2)t . �� �

�!� ������ ����� �������� �� �"������ ���� �� ���� ����� σ = 0 ��������

��� ���������� ������� ��� �������� ���#������� ����������$ �������� �� t + 1

#������� � �

����� ��� ���������� �� ����� � � ������� �������� � ��� � ������� �� ��� ���� �� ��� ��� ���� ��� � ��� ����� ���� � ���� �� ������������ ���� �� ����� �� �� � ������������� �������� ��� ������ �� �� ��� ���� ����� ��� !� �� ��� ����" ��� � � �� �� ���� ���

�%

Page 18: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

O(ε3)= γc

−γ−10 ct + αβkα−1

0 c−γ0

[σεt+1 + k−1

0 (α− 1) kt+1 − γc−10 ct+1

]+

−1

2γ (γ + 1) c−γ−2

0 c2t +1

2αβkα−1

0 c−γ0

[σ2ε2t+1 + γ (γ + 1) c−2

0 c2t+1 + (α− 1) (α− 2) k−20 k2

t+1

]+

+αβkα−10 c

−γ0

[k−10 (α− 1)σεt+1kt+1 − γc−1

0 σεt+1ct+1 − γ (α− 1) k−10 c−1

0 ct+1kt+1

]

���

O(ε3)= −kt+1 + kα

0 σεt + αkα−10 kt − ct +

σαkα−10 εtkt +

1

2kα0 σ

2ε2t +1

2α (α− 1) kα−2

0 k2t .

����� zt =[ct kt

]′

� ��� �� ���� �� � ���� � ����� ��

O(ε3)= A2zt+1 + A1zt + σC0εt +

+B2wt+1 +B1wt + σD2zt+1εt+1 + σD1ztεt + σ2C1ε2t +σ2C2ε

2t+1, ����

������

wt = vech (ztz′

t) =[c2t

(ctkt

)k2t

]′��� ���� �� ���� �� �� ��� ���� ��� ���� ��� � ������ � ��

�� �� ���� ���� �� ��� ������� �� ����� � �� ����� �� � ���� � ����� ����

zt = σz(1)t + σ2z

(2)t . ��!�

"�� � ���

ztz′

t = σ2z(1)t z

(1)′t + σ4z

(2)t z

(2)′t + σ3z

(1)t z

(2)′t + σ3z

(2)t z

(1)′t . ��#�

���� ��� ���� �� vech � ����� � �������� �� ���� ���� �� ��������� ������ �� ��������

������� ��� � ���������� �� ����� ����� ��� �� � �� ���� ���������� ������� ��� �� � ����

� �������� �� ���� ���� �� ��� ����� ������������� �� �� ���� ����������� �� ����� ��� ��������� �� �������� ��� �� ��� �� �����

�� ��������� ���� �� ����������

$%

Page 19: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

����� �� ��� ������� �� � ���� �� � ����� �� �� �� ���� �� ������ ��� ��

� ���������

σ2wt = σ2vech(z(1)t z

(1)′t

).

��� ����� ������� ���� ��� ���� ��� ���� �� �����

A2

(σz

(1)t+1 + σ2z

(2)t+1

)+ A1

(σz

(1)t + σ2z

(2)t

)+ σC0εt +

+B2σ2wt+1 +B1σ

2wt +

σD2

(σz

(1)t + σ2z

(2)t

)εt + σD1

(σz

(1)t+1 + σ2z

(2)t+1

)εt+1

+σ2C1ε2t + σ2C2ε

2t+1 = 0.

! ������� �"� ����� �� ��#�

σ : A2z(1)t+1 + A1z

(1)t + C0εt = 0 ��$�

���

σ2 : A2z(2)t+1 + A1z

(2)t +B2wt+1 +B1wt +

+D2z(1)t+1εt+1 +D1z

(1)t εt + C2ε

2t+1 + C1ε

2t = 0. ��%�

�� ��� ������� ��� �� � #�� �������#� !� ���� ��! � ���� �������� ��� ��&

��� ������ �'������� ���� ��� ( �����#� ! �� ��� �� �� �������� ������

�! )�� ��� )��� ��**�� ��� �� ���� �! �� �� �� �� ��� �������� +� �� ��'

����� ��� �� (������' , �� �� �� �� ��� ���������

��� -�� � ���� � ������� �! � #��� ��� z(1)t ���� ��$� ��� ��� z

(2)t ���� ��%�

��� ��� ����� �� � ���� ��� �����

���� ������� � ��� � ������ ������� ����� ����� � � �� �� ���� ����� �� �� � ��� ��� ��������� �������

���� ������� �� ������ ������� ��� � ����� ������� ���� ������� ���� �!"""� �����

.%

Page 20: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

� ������� ����

�� ������ ���� � � ��� �� � ����� ��� ��� �� ������ � ����� � �� �� �

����� � �� �� �� �������� �� ������� ����� �������� � ���� ���� ����� �

�������� � ������� ��� ���� �� ���� � ���� ����� ���� �� ���� � �������

��� � ���� �� ��� ��� ��� ��� � ��� g (·) ��� h (·) ����� ��� �� ���� ������ �

������ � �� ��� � !������� �� ������� ���� �� ���� � ���� �� ��� "#$$%&�

���� ��������� ��� ��� ��� ��� � ����� ����� �� �� ��� ������� ��� ����� �����

'� ���� ��� !���� � �������� ��� ������ ��� () ��� ��� �� ���� �����

���������

'� ���� ���� ���� ��� ��� �� ������ � ����� � ���� ��*� ���� �+��� �� � �*

������ � ��� �������� � � �������� ��� � ���� �� � ���� ����� � �� �

� ����*���� ���� �� ���� ��� ������ ���� � ����� � � ���� ���� �� ���� '� ����

����� ���� �� � ���� ������ �� � ���� �� ��� ��� ��������� � �� � �� ���� �� � *

���� �� ����� ��� '� ���� ��� ����� ���� ��� ������ �� � ���� �� ��������� �

�� �� ,���� ��-� ��� �� ������ ���� ������� � ��� � ��� ���� � ��� ���� ���� �

������ ������� ����� ������ �� �������� ,���� ��- ��� ��� ��� �� ������ � �����

� �� ��� ��� ��� ���� ����� ��� � � ��� �� �� ����� ��

.�� ����� ���� ���� �������� � ������ ���� �� � ,������� �- �� ���

������ � �������� ��� ��� ���� .� ����� ����� ��� � � ��� �� � ��� �������� � ���

����� ��� � ���� ��*���� �������� �� ��� ��� ��� �� ���� ����� ������ ����

� ��� ������ ��� ��� �� � ���������� � ��� ��� �� ������ � ���� � � �����

�������������� ������ �� ����� �� ��� ������ ���� ��� �� ���� � ������� ��� ������������ � ��� g (·) �� h (·) ������� ����� ������ ��� �� �����!!" �� #�����" #����� ������ � � ��$ ��$���� � �%���� �& �" � ���� �� �� � �������� #������ � ��� �� ���� ���$���� � ������ �'#����

#$

Page 21: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

�� ���� �� �� ��� �� ������� ���� ������� �� �� ������ ������ ����� � �� �

������ ��� �� ��������� � ���� ���� �� ������ ������ ����� �������� �� ����

�� ���!� ��� �� ���� ������ ���� ���� ����������� ����� "��� ��# ��� $��� �����

���%!� &� �� �� �� �� � ����� �� �� ������ ������ ����� �� ���� ������ ��������

��� � �� �� ����� �� ����� �� ������ �� ���������

'� ��� �� �#������ �� ��� ���� ���� �� �� ������� �������� �� �� ���(

�#������� ����� ���� ��� �� �� � �� ������ ���� )� ��� ���� ��� ��

���� ������ �� �� ������ ����� ��� ������ � ���(����� ������ �*������ �� ��

��� � ��� �� ��� �� �� ������������ �� ����������� � ������ �#������� ����� +�

� ������� �#������� ���� �� �� ���������� �� ���������� ��� �������� �� �� ���� (

��� �! ������ ��� ������� ��� ���� ���� ��� �#��������� )��� ��� ��� ��

� �� ��� ��� �� ������� �� �� �� � ��� �� ���� ������ ������ �� �� �� �����

� ������

)� ��� ���� �� �� ����� �� �� ��� �#������� ����� �� �� ����������

� ��� ������ ������� �� �� ,�� � �� �� ��� �#������� ����� � ����� �#�������� ��

�#������ ������ �����

��������

� ������� � � ��� ������ ��������

+� � �� �� ������ ��� �� ���� ���� � ��� ���� �� �� �� �� �� ��� �#������� ������

�� ��� -������# �� ��� � �� � ������ ���(����� ������ ������ ������ �� �� ���

���� �� ��� .��� ��� �� )��� ��� �!� )� ���/� ���� � �� ������ ��� 0� �����1

���� �� �� ���� �� ��� �� ����� 0� �����1 �� ��� � �� � �� ��� �#������� �� ��

����� �� �� ��� �#������� ����� � ������ � ��

Page 22: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

�������� � ���� � ����

yt = γyt−1 + Etexp (αyt−1 (βσεt+1 + 1)) + σεt; ����

���� γ < 1, α < 0� β ≥ 0� ��� ���� εt �� ��� ������ ��� ������� ���� ��

��� � ����� �� ������������� ������ ��� � �� � ��������� ������� �� �

�� ��� ���� � ���� �� � ��� ����� � � �� �� �! � ������ � yt !�� "���� �����

�! � ���������� ��������� �� ��� ��� � ���������� ����� ��� ������� �

���� ���� ���� � �� � � �� �� �����

#���� εt �� $�������� �� %��� �

Etexp (αyt−1 (βσεt+1 + 1)) = exp

(αyt−1 +

1

2

(β2σ2y2t−1

)).

����!���� !�� β = 0 � �������&����� ��� ��'��� !��� � ���&������� ����

(� � �� !�� � ������� �� �! � ������� ����� ��� �� �� �� ����� � � ����

�� )#$* ���� � ��� � �� � ������ �! �������� �! ����� ������� ������� ������

� ���&������� ����� ��� ���� ��� +��� ��� �� (���� ,�-���

(� �������� ��� � ������� ���������� ���������� !�� ��'���� ������ �! ��&

��� ������ ��� �� � ����� ��. �� � ������ � ������� �������� ��� �#*�/ ���

� ��� ���� !�� � ��� � �� 0�������1&2� ������ ��� 3����&3�����1 �,��4� ����"

���� ��5� ��� ���� � ��� ���� ��6���� �� �������" ����� � "������

�����"���� ���� � �� �� ������� �))���� (� �%� 7�� ����� ��� ����� �� � �

�� ,7-�

���� ������� �� ���� ���� � ��� ���������� �� ����� � ��� ����� ������� ���� ������� � ����� ����� ������� ������ ���� �� ���� ���� ��� ����� ���� � ���� �� ��� ����� �� ����� �������� ���������� ���� ���� �� ���� ��� �������� ��������� �� ��� ��� �������� ����� � ���������� ���� �� ������ ��� ��� ����� �� ����� �� ����� ���� ������� ����� �� ������ ������� ��������� �� ���� ��� ����������� � ��� ������ �� ������ �� ���� ���� ��� � ������ � �� ����� �� ���� ����� ��� ��� ���������� ����� ����� �� ������� �� � ������� ��� � ����������� �� ��� ���������� ��� ���� ��� �� ������� ��������� �� ��������� ����� �� ������� �� ����������� ���� �� ���� �� �� ����� ��� ��� �������! � ���� ���������� ������

,,

Page 23: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

����� � ����� ��� ��� � ����� ��� �������� �� ���������� �����

���� � � �������� �β = 0�� � ���� � ��� ��� � ����� ��� ��� ����� ���� ����

�β = 0.1���� �� �� α = −1 �� γ = 0.8� ����� �� �� � ��� �������� �� ���

�� �� ����� �� ����� �σ = 1.2, 1, 0.9, 0.6�� ��� ��� � ��� �� ��� ��� ����� ��

���� � �� �� ��� ���������

���� ��� ��� �� β = 0 � ����� �� ! ��� " � �� �� ��� ��������� ���� ����

� �� �� �� �� ������ ��� #$ ������ ��� ���� ���� ���� �� ��� �� ������

��� � � � ��������� ���� �� ��� � �� �� ��� ��������� ��� ���� % �� ���

�� ��� ������� % � ���� ���� � � ����� �� ������� ������� ��� &' ������

���� ����� �������� �� ��� ����� � �� �� �������� �� ��� ��� �������� ���

����� ��� (( ������ ��� �� �� � ����� ����� �� ��� � ������ � �������

�� ) ���� �� ��� �*++,�� )������� �� ��� �� ������� ��� ����� �� ��� ��� �� �

��� ��� �������� �� ��� � �� �� ��� ��������� ' �� ������ ������ ��� �-�

�� ��� �� �� ����� ��� ���� ��� ���� ����� ��� �������� ��� ��� �� � �������

�� ���� � �� ��������� �������� ��� &' ������ ��� �� ������� �� ����

� �� �� ��� ��������� �������� � � �� ��������� ���� ��� � �� �� ��������

��� ��� ��� �������� � � � ��� ���� � ��� � �� �� ��� ��������� #��� ���

� �� ������ ��� �� �������� ��� ��� ��� ��������� ���������� ���� �� ��������

.��� ��� &' �� (( ������ ��� �� �� �� � ��� ��� #$ ������ �� ��������� ���

� �� �� ��� �������� ����� ���� ��� ��� ����� ��� �������� �� ���� � �� �

)������ �� � �������� ����� ���� ��/� ��� ��� �������� � ��� ��� ��

�������� ����� ���� �� � ���� ���� � �� �� �� � �� ��� ������ �� 0��

�� �� ��� �*+�+� ����� �� ��/� � ��� �������� ���� ��� �������� �����

����� ������� ���� ����� �� ��� �� ������� ���� ������ ��������� �� ��� ������

������� � ���� ��� �� �� ������� ������� �� �� �������� �� �� � ��� ����� ��

����� ����

*1

Page 24: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

������ ����������� �� ��� �� �� ������ �� �� ����������� �� ���������� ��

������������� �� ��� ���� �� ������ ������� �� �� � ! "�� β = 0.1 ��� �������

������������� ����� �� �#����� ��������� ���� � ������ $� ������ ��� ����� ��

��#���� �� ��� ��������� ����� ���� ��� �� � ��� ��� %������������ ����� ��

���&��������� ���� � ������ �� ��� ���� ��� ���� ��� ��� �������� ���������������

$� ��� ����� ��#��� &��#��� ������ �� ��� � �������"����� �� �����

�� ������� ����� ��� � ������� ������ ��� �������� $� ��� ������ �� ������

��� �� �����&��� ��� ����� � ���������� ����� ����&�� �� ��������������� �� ��&

����� ������� �� '��� �� � (�� ���!�� �� �!�� �� ����� ��� ��� ����� ����

��#� �� ���)����� �� �� ����� ���� �" �� ������������� ���� �� �� �� �� �"

�������������� %���� ��� �� �� ������ ��������� ���� � ��� ���)����� �� �����

�� ���� �� � �� ��� �" �������������� ��� ���������� ���� ��� ��� � �����&

���������� �" *�������+ �� ���� �� �� �" ������������� ������ � ��� �� ����

������� ����

� ������� � ������ � � �� � ���������������

���� ��� �� �������� �" ���)������ �" �� ����� �� �� ������������� �" �� ���&

������� ����� �� � �� �����

A2 =

⎡⎣ −γαβkα−1

0 c−γ−10 αβ (α− 1) kα−2

0 c−γ0

0 −1

⎤⎦ , A1 =

⎡⎣ γc

−γ−10 0

−1 αkα−10

⎤⎦ ,

C0 =

⎡⎣ 0

kα0

⎤⎦ , C1 =

1

2

⎡⎣ 0

kα0

⎤⎦ , C2 =

1

2

⎡⎣ αβkα−1

0 c−γ0

0

⎤⎦ ,

����� ����� ��� � � �������� � � ���� �� �����

�,

Page 25: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

B2 =1

2

⎡⎣ γ (γ + 1)αβkα−1

0 c−γ−20 −2αβkα−2

0 c−γ−10 γ (α− 1) (α− 1) (α− 2)αβkα−3

0 c−γ0

0 0 0

⎤⎦ ,

B1 =1

2

⎡⎣ −γ (γ + 1) c−γ−2

0 0 0

0 0 α (α− 1) kα−20

⎤⎦ ,

D2 =

⎡⎣ −γαβkα−1

0 c−γ−10 αβkα−2

0 c−γ0 (α− 1)

0 0

⎤⎦ , D1 =

⎡⎣ 0 0

0 αkα−10

⎤⎦ .

� ����� ��� �� ����� �� �� ���� ���� � ������

��� ����� ����� � �� ������

������ �� � �� �� ������� ���� ������� � ����������� ���� �� ��� ��� ����

������ ����������� � ��� g (·) ��� h (·) �������� ���� ��� �� ���� �� ��! � ��� ����

��������� ������� ��������� �� ���� ����� "� ��� ����� �� ������������ ���#

��� ���� ! �� �� ���� ��� ���������� $����� ���� ��������� �� ��� �������

%�� �� ������������ ��� ������ ����������� g (·) ��� h (·) �������� ��

���� � ��� ����$����� &��� ��� ����� ��������# ������� ��� �'�$����� ����( ��

������� �� ��� �� ���)� ������� �� �$� ����� �����! ����������� �����������

*� ��������� �����

ct = g (kt, zt, σ) �+)�

kt+1 = g (kt, zt, σ) �+��

������� ������ �� �� �� ��� � ���� �������� ���� � ���� �� � ���������� ���� ������

����� ��� ������� �� ������ � �� ����� ����� � ���� ������ � ������ ���� ���� �� ����� �

���� �� ���� �����

�,

Page 26: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

���

zt+1 = ρzt + σηεt+1 ����

�� zt = log (At)�

� ����� ����� � ��� ������� ������������ ��� ��� ���� � ��� !������

��� �������� ����"�� ����# ���$� ��� $��% ��������& �� ���� �� ��#$ �

���$��'���� ��� ��'����� (������ � �� $�) � ���'��$��� � �$ ��

$�� '�����*����� �$� �& ������������ ��� ��� ���� � ��� !������ ���

�������� ����"�+ ��� ρ = 1� δ = 1� β = 0.95� α = 0.3 ��� γ = 2�

,��� � $���$ ��� �� ��-�� '����� ��%���%$ � �$$������ �� �� $���

%�����$ %������ �� ��-�� ��$ � �''�.������� �������# �� �� $�$ .�

'��$��� ������ ,��$ ,��� ���'����$ �� $��� $���� �� �� �.� �������#

�� ��$�'���& ���� �� $�$�.'��$��� ����� ��� /'����#0� 1� ��� $

���� �������# �� �� 23 �''���� �� �� ��%��%��# k2t ����� � Bk2

t � ��

B ≡ [gkk + gkkσ + gkkσσ]� �������# �� �� /'����#0 �''����� �� �� �� #���

� ��$�%�& ���� $&$�� �� ����� $�4� �� '��� k2t ���� �� '����� � ��$

� ��� ��� ,� $�$ .'��$��� ����� ���� � ��%����� �� �� �����&�

$�##$�$ ��� �� ���'���� � �� ��4���� 5 $����� '��$�& � �$$�#�� �� ��

��-�� ��$�

� � #�����# �� '����� ��%���%$ � �� g (·) ��� h (·) �������$ ���� ����

�������� ����� � $�% ��� �$��# ������������������������� (�����&

� �� ��� ���������������� ��� ��� ���������������������� �� 6���

���� ,�$ ���$ ��% �� $�%� '����� ��%���%$� ���$����$ �� �''�'���

%���$ � ���$$�'�����$ � � %�����$ ���� � #�%� ������� ���������$ ��� .�#�

���$ '��$$� #���$ ��� $�$ �� �� #�%� �� � �''�.�������� �$��# ��

��

Page 27: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

������������� ��� � �� � � �� ��� � ���������������

����� � � �� � � ������ � ������� �� � ������� �� ������� ��� � �

��� ����� ������ ������ � � ��������� ������� � ��� ��� �� � !��� � ��

������� �"��� � � ������ ��������� � #������ #$ �� �� �� � � �� �����

�� ���� �� ���� ����� ��� � �������� �� ���������� ������ �� ������� ����

������� �������� ����� � �� � � � "��� ����� �� ������ �� ������� � � ����

������� � �� �� � � ���� �� �� �� ����� ��� � � ���� ����� ������ �����% ��

�� � � � �� ��������

����� ���������� �� ������������ ��� �� � ������� �� ���������������������������������� ������������ ��� ���� ��� �������� ���� �� �� �������� ��� ���������������������������� �����������������

������ �� �� ������ �� ������� ������� ������ �� �� � �� ������� ��� ������� ���� ���� ��������

&'

Page 28: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

����������

�������� ��� � ������� � ������ ����� ���������� ����������� �� ��������

���� ������ ��� ���� ���������� ����!������ "� �������� �� ������� �� �����

������ ��� �������

���� ���� � #�!��� �� ��� $ ������ � ����%� &���� '� �� �� �� (����� ��'

������� �� �)������ ���� ���'���� ������� ������������ ������ *� ���� +���

$� ��� ���%'��� "��� �� ,��� !� -��� �� $�� " �������

��� ������ . ������ &� /��'������� $����� �0��� ,��� + ���� �� /��'#����

1$� .����� ����� ������� ������

�������� � . ��2%3� �������� !����� 4�44 *���)

� ��(�� $ -� "� �����5'6����!� ��� 7� ��� ,�(��',��� �5� 7 " ����%� 8���� '

��� �������� ������� �� �)����� �9����( ��� ��������� ������� �� �����

������ ��� �������� :�����;�<33=�>�?

�5� ������ 8 ��22:� ������������� ����������� -���� ���

-������� � -������� +� ��� /�����@� $ ������ $�����'� �� ��� ��������� ��

�)����� ������ ��� ����'!� )��� ��� *� ���� +��� �%%::� /������� -� ���

�� �������� ,���� ��

-� ������ / ������ +� �� (����� ���� ) �� �)������� �)����� ����� ��������

����� !"#$$$$%&

-���� � ��22�� ������'����� ������� ��� ��(������ ��� ��������� 8,8

�?

Page 29: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

�������� ��� ����� ���������� ��� ����������� � �� �� ��� ���� �� �������

��� �!��" �#" ����# $�!% �&��#�� �'��&#� ()*� ���+��" ,� �# -.��/�

(�!����� )���� �' *&�����& �#��&%� 0�&�

�%�&��� �� ����/�� �������� �������� � ����� ��� ������������ ����� 12�

3 ���"� ����"�

�%��#!����� 4� ������� 3�����" �5����& 6��������� ����# �5 � �!%�� �' ���!��

���� &�7&��!#� ���� ������ ���������� ���-�8�-9..�

�������� � ��� ��������� :� ����-�� ;&&���&5 �' #!�&%�#!�& �!����!��� �!%��#8

<% &�# �' �##! ��&��" ����#� �� ���� �� �������� �������� ��� �������

�.�/�=�8�=�9����

�� >���� �� ��� � ����� �� ���-��� >�$ $����%��� �� %�"%������ �!���

��!��� #���!���#? ��� ������� ������

����@� :� ��� 3�!%������ ;� ����A�� ����&��� "������ �!��� ��� ���!��5

���&5� �� ���� �� ����� ���������� ..�A�8-1/19-1=.�

*��#� :� ���-��� ; #�'�&��#�#!�! �!����!��� ��&��� '�� #�����" �5����&

#!�&%�#!�& "���� 6��������� ����#� :����

����� ���������� �� ��� ����������� � �� � ����/�� 3�����" �#" ����# $�!%

�!����!��� �!%��# ��� � &%��" �' �������#� �� ���� �� �������� ��������

��� ������� 1��-��8�.��9�.1-�

B���� ,� ��� C���� ,� ���-��� 3&�������� � ��@���!��� �' �5����& ����#

$�!%��! !% �# �' !�#��#� �� ���� �� �������� �������� ��� ������� ��!%�

&����"�

��

Page 30: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

��������� �� ������ �������������� ��� ������ ��������� ����� � �������

�� ���� ������ !" #��$���

%��&� �� ������ ����������� ������� '� ���(� )��* +�

%�� �� �� ���$�� ����������� �� ������������ ������� ����(��

,�� %��%� ��� ,��� -� ,� #""#�� +��������� ������ .� (����� ���� �& ���&����

��& ������ �����&��� ����.�� )��*������

,��� -� /� ������ ��������� ����� �� ���������� �0� +��� '� ���(� �1�

,��� -� /� #""#�� +��������� ������� ���� 2������� '���(�� �. 3��������

� �� %��*� 0�����������

,��� -� /� ��� ��� ����� #""��� 1�� �����& ������� .� 1���� ��4�� �5������

�� 1�������� �������� ������ ����#!6�$!�

,������ �� ��� -� ���4 7� #""$�� ���*��( ��(� ������ 1���8� ����� ����� ���

���&�����& ������ ������ '� �����( �� �&��� �&� ��� 9����&� #""$ �": ��&����

.� '� ���������� �&��� �&��

-� ,� -� �� �&��� ��( �� ��� �� � '� 1� #""��� '��&������( ��� )���(

��&��� 7�� 1&&���� ��������� �. ;��&��� �� � ;��� �& �5������� �������

������� �� �������� �������� �� ������� <# ����<<�!6<=�=�

-��( >� �� ��� ?����� �� ?� #""#�� ����� >���&���� ��� �������� 1�(���� �

.� ���(��� /���� ;�@���&� ����� � ���� >������� �8��&�������� ��������

������ ��������� #"�$!6�:�

<"

Page 31: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

������ �� ����� ���� ��� ����������� ����� ���� �� ����� � ������������ ���

��� !������� "#$��������� ������ ������� �� ����� ������ ��� ��������

�����������

�� ����� �� ���� �� ��� ���� � � ������� �� ���� ��� �� ��� ����!" !��

#�$���$$ " � ���� �$��� � %�!��!#����� ������ ������� �� ����� ������

��� �������� ����������&

�� ����� �� '� ��!� �� '� ��� ( )� ��� *� � �!� * �����#� +��%�!�$�� �,

$� �����$ �� ��� �� ��� ����!" !�� #�$���$$ " � ���� ������� �� �����

������ ��� �������� ������-&����

./���0��$�� . ��� ��!����� 1 � ������ �������� ���������� ������ '21

*!�$$� +��#!����� ')

.��#�!��� 3 ��� �����! ���� ) � ����4� +��%����� �� ����5!��!�) �!���

�� �����$ ,�! ������� 67%� ������ '��� $ �$��� .����! �� ����� '�����$ �������

�� ����� ������ ��� �������� �����������

�����'�! ��� 8 � ������ 6$�������� ��� ����! �$�� ���� $ #" ��� $��� ����

������ �, ������$ 9�!:��� *�%�! ��!��$ �;<��� ������ +���!� ,�! 6 �����

)�� "$�$

� ������3!��=� � ��� >!�#�� ' ������ �� ���� ?"���� 3���!� 60�� �#!���

'��� $ >$��� � �� ����5!��! )%%!�7������� �� ��� *� � " 8�� ���� ������� ��

����� ������ ��� �������� �-�4���44�

���$� + ) ������ �� ����5!��! ) �!��� �� �����$ �, ?�$ !��� 1��� ?"����

60�� �#!��� '��� $ '���$ !�%�� *!�� ���� >����!$��"

Page 32: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

��� �� �� ���� ��������� ����� � �������������� �����������

������ �� ���� � ������� �� ����!"��� ��������� #!��$�% ���%��&��% '����&

(�&��!� )� '���$��� *� ��� �%���� ��� ������&� ������������ ������ ��� ���

���� �� ������� ��������� %�� ��� +� ,- ��� ���.��&��! ���&&� ,- ����

+/

Page 33: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

����� �� ������ ������ ���� �����

β = 0 β = 0.1

����� �� �� ��

σ = 1.2

� ������� �� ����� � � �!

" #�$!$�% ���#!# ���#!#

�%#� �� ����� �!��!"�

� "� % � �� ����� �� ���

$ ��!"#%$ "�!�#" "�!�#"

�� ��$�%! ��%$"�� ��%$"��

σ = 1

� ����% " �� ����� ����� !

" "�#$�"$ $�"�! $�"�!

��$ %$� �� ����� ��!"��%

� ��!� !" ��!�%�� ��!�%��

$ ��%% !! ����" � ����" �

�� ��"!%! ����!$ ����!$

σ = 0.9

� �� !#$ �� ����� � �%�!�

" �� %$#! %�%�%!# %�%�%!#

���$ !! #����" "���! $

� �� " #" ��� ��� ��� ���

$ ����%"! ���#"" ���#""

�� ������� ����� � ����� �

σ = 0.6

� ��� "%# "�# #�# "�# #�#

" �� �!� ���%�%% ���%�%%

��� "%! ��"�!$$ ��"�!$$

� ���� �" ����!#! ����!#!

$ ����%# �����$$ �����$$

�� ����� # "�&�% "�&�%

�� �� ��

σ = 1.2

����#�% �� ����� �$��$��

#�!#� ���#�#" ���#�#"

���"% �� ����� �$���"!

"� � $� �� ����� ���"""

��!��� "�!"�# "�!"�#

��#$%!$ ��#��$! ��#��$!

σ = 1

�����$� �� ����� �%� !"�

"�#!%! $�"�$� $�"�$�

��$��%$ �� ����� ��$#%�

��!��#$ ��!!$�� ��!!$��

��%���� ��"" "" ��"" ""

�� �$" ����# � ����# �

σ = 0.9

�� %�# �� ����� � �"$�%

�� ��#" %� �!!� %� �!!�

���!�# ��!��#$ "���#"!

�� "$" ���$�!� ���$�!�

���"%�� ������� �������

���%�$# ���%!�" ���%!�"

σ = 0.6

��� �� "�#��#" "�#��#"

�� �!#! ��� � � ��� � �

��� "## ��"��!% ��"��!%

���" �� ����!� ����!�

�����%! ����# " ����# "

����##$ ����#" ����#"

""

Page 34: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

����� �� ��� �� �� �� ����� �������������

��������������� (1) (2) (3) (4) . . .

gk k(1) k(2) k(3) k(3) . . .

gz z(1) 0 0 0 . . .

gσ 1 0 0 0 . . .

gkk 0 k(1)2

2k(1) k(2) k(2)

2

2+ k(1) k(3) . . .

gkz 0 k(1) z(1) k(2) z(1) k(3) z(1) . . .

gkσ 0 k(1) k(2) k(3) . . .

gzz 0 z(1)2

20 0 . . .

gzσ 0 z(1) 0 0 . . .

gσσ 0 12

0 0 . . .

gkkk 0 0 k(1)3

6k(1)

2k(2)

2. . .

gllz 0 0 k(1)2z(1)

2k(1) k(2) z(1) . . .

gkkσ 0 0 k(1)2

2k(1) k(2) . . .

gkzz 0 0 k(1) z(1)2

2k(2) z(1)

2

2. . .

gkzσ 0 0 k(1) z(1) k(2) z(1) . . .

gkσσ 0 0 k(1)

2k(2)

2. . .

gzzz 0 0 z(1)3

60 . . .

gzzσ 0 0 z(1)2

20 . . .

gzσσ 0 0 z(1)

20 . . .

gσσσ 0 0 16

0 . . .

������ ����� �

��

Page 35: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

����� �� ��� �� �� �� ����� ������������� ��������

����

��������������� (1) (2) (3) (4) . . .

gkkkk 0 0 0 k(1)4

24. . .

gkkkz 0 0 0 k(1)3z(1)

6. . .

gkkkσ 0 0 0 k(1)3

6. . .

gkkzz 0 0 0 k(1)2z(1)

2

4. . .

gkkzσ 0 0 0 k(1)2z(1)

2. . .

gkkσσ 0 0 0 k(1)2

4. . .

gkzzz 0 0 0 k(1) z(1)3

6. . .

gkzzσ 0 0 0 k(1) z(1)2

2. . .

gkzσσ 0 0 0 k(1) z(1)

2. . .

gkσσσ 0 0 0 k(1)

6. . .

gzzzz 0 0 0 z(1)4

24. . .

gzzzσ 0 0 0 z(1)3

6. . .

gzzσσ 0 0 0 z(1)2

4. . .

gzσσσ 0 0 0 z(1)

6. . .

gσσσσ 0 0 0 124

. . .���

������

������

� � �

��

Page 36: lombardo jedc perturb revision2 - Northwestern Universitylchrist/... · O ε3 =γc−γ−1 0 ˆc t +αβk α−1 0 c −γ 0 σε t+1 +k −1 0 (α−1)kˆ t+1 −γc−1 0 ˆc t+1

����� �� ����� � ���� ��������� ����� �� �� �� ������ � ��� ������ � ����!"�����

#�$�������$ � � � %

&�� ����� � � � ���� � ��''(�� ��'')' ��'')�%��� � ��''(() ��''�� ��'*��)�%� � ������ �����% ����%��)� � �����% �����' �����)

&���+ ������ � � � ���� � ��''%** ��'*�() ��'()(��� � ��'')'� ��'(��( ��'�����%� � ������ �����( ���%�(�)� � �����( ������ ����%�

��