Logika és számításelmélet9. eloadás

Számosság(ismétlés), definíció

A véges halmazok fontos tulajdonsága a méretük

(⇒ természetesszámok fogalma). Cél: ennek kiterjesztése végtelen halmazokra. Egyilyen általánosítás a számosság (G. Cantor, 1845-1918).

Halmazok számosságaI A és B halmazoknak megegyezik a számossága, ha létezik

bijekció köztük. Jelölése: |A| = |B|.I A számossága legalább annyi, mint B számossága, ha van B-bol

injekció A-ba. Jelölése: |A| ≥ |B|.I A számossága nagyobb, mint B számossága, ha van B-bol

injekció A-ba, de bijeckió nincs. Jelölése: |A| > |B|.

Cantor-Bernstein tételHa A-ból B-be van injekció és B-bol A-ba is van, akkor A és B közöttbijekció is van, azaz ha |A| ≤ |B| és |A| ≥ |B|, akkor |A| = |B|.

Számosság(ismétlés), definíció

A véges halmazok fontos tulajdonsága a méretük (⇒ természetesszámok fogalma).

Cél: ennek kiterjesztése végtelen halmazokra. Egyilyen általánosítás a számosság (G. Cantor, 1845-1918).

Halmazok számosságaI A és B halmazoknak megegyezik a számossága, ha létezik

bijekció köztük. Jelölése: |A| = |B|.I A számossága legalább annyi, mint B számossága, ha van B-bol

injekció A-ba. Jelölése: |A| ≥ |B|.I A számossága nagyobb, mint B számossága, ha van B-bol

injekció A-ba, de bijeckió nincs. Jelölése: |A| > |B|.

Cantor-Bernstein tételHa A-ból B-be van injekció és B-bol A-ba is van, akkor A és B közöttbijekció is van, azaz ha |A| ≤ |B| és |A| ≥ |B|, akkor |A| = |B|.

Számosság(ismétlés), definíció

A véges halmazok fontos tulajdonsága a méretük (⇒ természetesszámok fogalma). Cél: ennek kiterjesztése végtelen halmazokra. Egyilyen általánosítás a számosság (G. Cantor, 1845-1918).

Halmazok számosságaI A és B halmazoknak megegyezik a számossága, ha létezik

bijekció köztük. Jelölése: |A| = |B|.I A számossága legalább annyi, mint B számossága, ha van B-bol

injekció A-ba. Jelölése: |A| ≥ |B|.I A számossága nagyobb, mint B számossága, ha van B-bol

injekció A-ba, de bijeckió nincs. Jelölése: |A| > |B|.

Cantor-Bernstein tételHa A-ból B-be van injekció és B-bol A-ba is van, akkor A és B közöttbijekció is van, azaz ha |A| ≤ |B| és |A| ≥ |B|, akkor |A| = |B|.

Számosság(ismétlés), definíció

A véges halmazok fontos tulajdonsága a méretük (⇒ természetesszámok fogalma). Cél: ennek kiterjesztése végtelen halmazokra. Egyilyen általánosítás a számosság (G. Cantor, 1845-1918).

Halmazok számosságaI A és B halmazoknak megegyezik a számossága, ha létezik

bijekció köztük. Jelölése: |A| = |B|.

I A számossága legalább annyi, mint B számossága, ha van B-bolinjekció A-ba. Jelölése: |A| ≥ |B|.

I A számossága nagyobb, mint B számossága, ha van B-bolinjekció A-ba, de bijeckió nincs. Jelölése: |A| > |B|.

Cantor-Bernstein tételHa A-ból B-be van injekció és B-bol A-ba is van, akkor A és B közöttbijekció is van, azaz ha |A| ≤ |B| és |A| ≥ |B|, akkor |A| = |B|.

Számosság(ismétlés), definíció

A véges halmazok fontos tulajdonsága a méretük (⇒ természetesszámok fogalma). Cél: ennek kiterjesztése végtelen halmazokra. Egyilyen általánosítás a számosság (G. Cantor, 1845-1918).

Halmazok számosságaI A és B halmazoknak megegyezik a számossága, ha létezik

bijekció köztük. Jelölése: |A| = |B|.I A számossága legalább annyi, mint B számossága, ha van B-bol

injekció A-ba. Jelölése: |A| ≥ |B|.

I A számossága nagyobb, mint B számossága, ha van B-bolinjekció A-ba, de bijeckió nincs. Jelölése: |A| > |B|.

Cantor-Bernstein tételHa A-ból B-be van injekció és B-bol A-ba is van, akkor A és B közöttbijekció is van, azaz ha |A| ≤ |B| és |A| ≥ |B|, akkor |A| = |B|.

Számosság(ismétlés), definíció

A véges halmazok fontos tulajdonsága a méretük (⇒ természetesszámok fogalma). Cél: ennek kiterjesztése végtelen halmazokra. Egyilyen általánosítás a számosság (G. Cantor, 1845-1918).

Halmazok számosságaI A és B halmazoknak megegyezik a számossága, ha létezik

bijekció köztük. Jelölése: |A| = |B|.I A számossága legalább annyi, mint B számossága, ha van B-bol

injekció A-ba. Jelölése: |A| ≥ |B|.I A számossága nagyobb, mint B számossága, ha van B-bol

injekció A-ba, de bijeckió nincs. Jelölése: |A| > |B|.

Cantor-Bernstein tételHa A-ból B-be van injekció és B-bol A-ba is van, akkor A és B közöttbijekció is van, azaz ha |A| ≤ |B| és |A| ≥ |B|, akkor |A| = |B|.

Számosság(ismétlés), definíció

A véges halmazok fontos tulajdonsága a méretük (⇒ természetesszámok fogalma). Cél: ennek kiterjesztése végtelen halmazokra. Egyilyen általánosítás a számosság (G. Cantor, 1845-1918).

Halmazok számosságaI A és B halmazoknak megegyezik a számossága, ha létezik

bijekció köztük. Jelölése: |A| = |B|.I A számossága legalább annyi, mint B számossága, ha van B-bol

injekció A-ba. Jelölése: |A| ≥ |B|.I A számossága nagyobb, mint B számossága, ha van B-bol

injekció A-ba, de bijeckió nincs. Jelölése: |A| > |B|.

Cantor-Bernstein tételHa A-ból B-be van injekció és B-bol A-ba is van, akkor A és B közöttbijekció is van, azaz ha |A| ≤ |B| és |A| ≥ |B|, akkor |A| = |B|.

SzámosságPéldák

1. Példa: |N| = |Z|.

0 1 2 3 4 5 6

−3 −2 −1 0 1 2 3

2. példa: |N| = |N × N|.

00

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

0 1

2

3

4

5 6

7

8

9

10

11

12

13

14 15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

SzámosságPéldák

1. Példa: |N| = |Z|.0 1 2 3 4 5 6

−3 −2 −1 0 1 2 3

2. példa: |N| = |N × N|.

00

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

0 1

2

3

4

5 6

7

8

9

10

11

12

13

14 15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

SzámosságPéldák

1. Példa: |N| = |Z|.0 1 2 3 4 5 6

−3 −2 −1 0 1 2 3

2. példa: |N| = |N × N|.

00

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

0 1

2

3

4

5 6

7

8

9

10

11

12

13

14 15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

SzámosságPéldák

1. Példa: |N| = |Z|.0 1 2 3 4 5 6

−3 −2 −1 0 1 2 3

2. példa: |N| = |N × N|.

00

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

0 1

2

3

4

5 6

7

8

9

10

11

12

13

14 15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

SzámosságTovábbi példa; a megszámlálhatóan végtelen számosság

3. példa: |N| = |Q|.

Bizonyítás:N ⊂ Q, ezért |N| ≤ |Q|.Q+ := { p

q | p ∈ N+, q ∈ N+, a tört nem egyszerusítheto}.

Q− := {− pq | p ∈ N

+, q ∈ N+, a tört nem egyszerusítheto}.pq ∈ Q

+ 7→ (p, q) ∈ N × N injektív, tehát |Q+| ≤ |N × N| = |N|.

Legyen Q+ = {a1, a2 . . . , }, Q− = {b1, b2 . . . , }, ekkorQ = {0, a1, b1, a2, b2, . . .}.

N számosságát megszámlálhatóan végtelennek nevezzük, azaz:

Megszámlálhatóan végtelen számosságEgy A halmaz számossága megszámlálhatóan végtelen, ha létezik Aés N között bijekció.

A megszámlálhatóan végtelen, ha elemei megindexelhetok atermészetes számokkal.

SzámosságTovábbi példa; a megszámlálhatóan végtelen számosság

3. példa: |N| = |Q|.Bizonyítás:N ⊂ Q, ezért |N| ≤ |Q|.

Q+ := { pq | p ∈ N

+, q ∈ N+, a tört nem egyszerusítheto}.Q− := {− p

q | p ∈ N+, q ∈ N+, a tört nem egyszerusítheto}.

pq ∈ Q

+ 7→ (p, q) ∈ N × N injektív, tehát |Q+| ≤ |N × N| = |N|.

Legyen Q+ = {a1, a2 . . . , }, Q− = {b1, b2 . . . , }, ekkorQ = {0, a1, b1, a2, b2, . . .}.

N számosságát megszámlálhatóan végtelennek nevezzük, azaz:

Megszámlálhatóan végtelen számosságEgy A halmaz számossága megszámlálhatóan végtelen, ha létezik Aés N között bijekció.

A megszámlálhatóan végtelen, ha elemei megindexelhetok atermészetes számokkal.

SzámosságTovábbi példa; a megszámlálhatóan végtelen számosság

3. példa: |N| = |Q|.Bizonyítás:N ⊂ Q, ezért |N| ≤ |Q|.Q+ := { p

q | p ∈ N+, q ∈ N+, a tört nem egyszerusítheto}.

Q− := {− pq | p ∈ N

+, q ∈ N+, a tört nem egyszerusítheto}.

pq ∈ Q

+ 7→ (p, q) ∈ N × N injektív, tehát |Q+| ≤ |N × N| = |N|.

Legyen Q+ = {a1, a2 . . . , }, Q− = {b1, b2 . . . , }, ekkorQ = {0, a1, b1, a2, b2, . . .}.

N számosságát megszámlálhatóan végtelennek nevezzük, azaz:

Megszámlálhatóan végtelen számosságEgy A halmaz számossága megszámlálhatóan végtelen, ha létezik Aés N között bijekció.

A megszámlálhatóan végtelen, ha elemei megindexelhetok atermészetes számokkal.

SzámosságTovábbi példa; a megszámlálhatóan végtelen számosság

3. példa: |N| = |Q|.Bizonyítás:N ⊂ Q, ezért |N| ≤ |Q|.Q+ := { p

q | p ∈ N+, q ∈ N+, a tört nem egyszerusítheto}.

Q− := {− pq | p ∈ N

+, q ∈ N+, a tört nem egyszerusítheto}.pq ∈ Q

+ 7→ (p, q) ∈ N × N injektív, tehát |Q+| ≤ |N × N| = |N|.

Legyen Q+ = {a1, a2 . . . , }, Q− = {b1, b2 . . . , }, ekkorQ = {0, a1, b1, a2, b2, . . .}.

N számosságát megszámlálhatóan végtelennek nevezzük, azaz:

Megszámlálhatóan végtelen számosságEgy A halmaz számossága megszámlálhatóan végtelen, ha létezik Aés N között bijekció.

A megszámlálhatóan végtelen, ha elemei megindexelhetok atermészetes számokkal.

SzámosságTovábbi példa; a megszámlálhatóan végtelen számosság

3. példa: |N| = |Q|.Bizonyítás:N ⊂ Q, ezért |N| ≤ |Q|.Q+ := { p

q | p ∈ N+, q ∈ N+, a tört nem egyszerusítheto}.

Q− := {− pq | p ∈ N

+, q ∈ N+, a tört nem egyszerusítheto}.pq ∈ Q

+ 7→ (p, q) ∈ N × N injektív, tehát |Q+| ≤ |N × N| = |N|.

Legyen Q+ = {a1, a2 . . . , }, Q− = {b1, b2 . . . , }, ekkor

Q = {0, a1, b1, a2, b2, . . .}.

N számosságát megszámlálhatóan végtelennek nevezzük, azaz:

Megszámlálhatóan végtelen számosságEgy A halmaz számossága megszámlálhatóan végtelen, ha létezik Aés N között bijekció.

A megszámlálhatóan végtelen, ha elemei megindexelhetok atermészetes számokkal.

SzámosságTovábbi példa; a megszámlálhatóan végtelen számosság

3. példa: |N| = |Q|.Bizonyítás:N ⊂ Q, ezért |N| ≤ |Q|.Q+ := { p

q | p ∈ N+, q ∈ N+, a tört nem egyszerusítheto}.

Q− := {− pq | p ∈ N

+, q ∈ N+, a tört nem egyszerusítheto}.pq ∈ Q

+ 7→ (p, q) ∈ N × N injektív, tehát |Q+| ≤ |N × N| = |N|.

Legyen Q+ = {a1, a2 . . . , }, Q− = {b1, b2 . . . , }, ekkorQ = {0, a1, b1, a2, b2, . . .}.

N számosságát megszámlálhatóan végtelennek nevezzük, azaz:

Megszámlálhatóan végtelen számosságEgy A halmaz számossága megszámlálhatóan végtelen, ha létezik Aés N között bijekció.

A megszámlálhatóan végtelen, ha elemei megindexelhetok atermészetes számokkal.

SzámosságTovábbi példa; a megszámlálhatóan végtelen számosság

3. példa: |N| = |Q|.Bizonyítás:N ⊂ Q, ezért |N| ≤ |Q|.Q+ := { p

q | p ∈ N+, q ∈ N+, a tört nem egyszerusítheto}.

Q− := {− pq | p ∈ N

+, q ∈ N+, a tört nem egyszerusítheto}.pq ∈ Q

+ 7→ (p, q) ∈ N × N injektív, tehát |Q+| ≤ |N × N| = |N|.

Legyen Q+ = {a1, a2 . . . , }, Q− = {b1, b2 . . . , }, ekkorQ = {0, a1, b1, a2, b2, . . .}.

N számosságát megszámlálhatóan végtelennek nevezzük, azaz:

Megszámlálhatóan végtelen számosságEgy A halmaz számossága megszámlálhatóan végtelen, ha létezik Aés N között bijekció.

A megszámlálhatóan végtelen, ha elemei megindexelhetok atermészetes számokkal.

SzámosságTovábbi példa; a megszámlálhatóan végtelen számosság

3. példa: |N| = |Q|.Bizonyítás:N ⊂ Q, ezért |N| ≤ |Q|.Q+ := { p

q | p ∈ N+, q ∈ N+, a tört nem egyszerusítheto}.

Q− := {− pq | p ∈ N

+, q ∈ N+, a tört nem egyszerusítheto}.pq ∈ Q

+ 7→ (p, q) ∈ N × N injektív, tehát |Q+| ≤ |N × N| = |N|.

Legyen Q+ = {a1, a2 . . . , }, Q− = {b1, b2 . . . , }, ekkorQ = {0, a1, b1, a2, b2, . . .}.

N számosságát megszámlálhatóan végtelennek nevezzük, azaz:

Megszámlálhatóan végtelen számosságEgy A halmaz számossága megszámlálhatóan végtelen, ha létezik Aés N között bijekció.

A megszámlálhatóan végtelen, ha elemei megindexelhetok atermészetes számokkal.

SzámosságTovábbi példa; a megszámlálhatóan végtelen számosság

3. példa: |N| = |Q|.Bizonyítás:N ⊂ Q, ezért |N| ≤ |Q|.Q+ := { p

q | p ∈ N+, q ∈ N+, a tört nem egyszerusítheto}.

Q− := {− pq | p ∈ N

+, q ∈ N+, a tört nem egyszerusítheto}.pq ∈ Q

+ 7→ (p, q) ∈ N × N injektív, tehát |Q+| ≤ |N × N| = |N|.

Legyen Q+ = {a1, a2 . . . , }, Q− = {b1, b2 . . . , }, ekkorQ = {0, a1, b1, a2, b2, . . .}.

N számosságát megszámlálhatóan végtelennek nevezzük, azaz:

Megszámlálhatóan végtelen számosságEgy A halmaz számossága megszámlálhatóan végtelen, ha létezik Aés N között bijekció.

A megszámlálhatóan végtelen, ha elemei megindexelhetok atermészetes számokkal.

SzámosságA continuum számosság

Egy halmaz megszámlálható, ha számossága véges vagymegszámlálhatóan végtelen.

Tétel: Megszámlálható sok megszámlálható halmaz uniójamegszámlálható.

Bizonyítás: Ugyanúgy, mint |N × N| = |N|-nél.

Van-e más végtelen számosság a megszámlálhatóan végtelenen kívül?

R számosságát continuumnak nevezzük, azaz:

Continuum számosságEgy A halmaz számossága continuum, ha létezik A és R közöttbijekció.

Be fogjuk látni, hogy |R| > |N|.

SzámosságA continuum számosság

Egy halmaz megszámlálható, ha számossága véges vagymegszámlálhatóan végtelen.

Tétel: Megszámlálható sok megszámlálható halmaz uniójamegszámlálható.Bizonyítás: Ugyanúgy, mint |N × N| = |N|-nél.

Van-e más végtelen számosság a megszámlálhatóan végtelenen kívül?

R számosságát continuumnak nevezzük, azaz:

Continuum számosságEgy A halmaz számossága continuum, ha létezik A és R közöttbijekció.

Be fogjuk látni, hogy |R| > |N|.

SzámosságA continuum számosság

Egy halmaz megszámlálható, ha számossága véges vagymegszámlálhatóan végtelen.

Tétel: Megszámlálható sok megszámlálható halmaz uniójamegszámlálható.Bizonyítás: Ugyanúgy, mint |N × N| = |N|-nél.

Van-e más végtelen számosság a megszámlálhatóan végtelenen kívül?

R számosságát continuumnak nevezzük, azaz:

Continuum számosságEgy A halmaz számossága continuum, ha létezik A és R közöttbijekció.

Be fogjuk látni, hogy |R| > |N|.

SzámosságA continuum számosság

Egy halmaz megszámlálható, ha számossága véges vagymegszámlálhatóan végtelen.

Tétel: Megszámlálható sok megszámlálható halmaz uniójamegszámlálható.Bizonyítás: Ugyanúgy, mint |N × N| = |N|-nél.

Van-e más végtelen számosság a megszámlálhatóan végtelenen kívül?

R számosságát continuumnak nevezzük, azaz:

Continuum számosságEgy A halmaz számossága continuum, ha létezik A és R közöttbijekció.

Be fogjuk látni, hogy |R| > |N|.

SzámosságA continuum számosság

Egy halmaz megszámlálható, ha számossága véges vagymegszámlálhatóan végtelen.

Tétel: Megszámlálható sok megszámlálható halmaz uniójamegszámlálható.Bizonyítás: Ugyanúgy, mint |N × N| = |N|-nél.

Van-e más végtelen számosság a megszámlálhatóan végtelenen kívül?

R számosságát continuumnak nevezzük, azaz:

Continuum számosságEgy A halmaz számossága continuum, ha létezik A és R közöttbijekció.

Be fogjuk látni, hogy |R| > |N|.

SzámosságA continuum számosság

Egy halmaz megszámlálható, ha számossága véges vagymegszámlálhatóan végtelen.

Tétel: Megszámlálható sok megszámlálható halmaz uniójamegszámlálható.Bizonyítás: Ugyanúgy, mint |N × N| = |N|-nél.

Van-e más végtelen számosság a megszámlálhatóan végtelenen kívül?

R számosságát continuumnak nevezzük, azaz:

Continuum számosságEgy A halmaz számossága continuum, ha létezik A és R közöttbijekció.

Be fogjuk látni, hogy |R| > |N|.

SzámosságSzavakkal, nyelvekkel kapcsolatos halmazok számossága

4. példa: |R| = |(0, 1)|.

Bizonyítás: tg(π(x − 12 ))

∣∣∣(0,1) : (0, 1)→ R bijekció (0, 1) és R között.

Megjegyzés: |R| = |(a, b)| = |[c, d]| és |R| = |Rn|.

5. Példa: |{0, 1}∗| = |N|.

A hossz-lexikografikus (shortlex) rendezés egy bijekciót ad:ε,0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,110,111,0000,. . .

6. Példa:∣∣∣{L | L ⊆ {0, 1}∗}∣∣∣ =∣∣∣{(b1, . . . , bi, . . .) | bi ∈ {0, 1}, i ∈ N

}∣∣∣Bizonyítás: Természetes bijekció van köztük:Soroljuk fel a bináris szavakat a hossz-lexikografikus rendezésszerint, legyen az i. szó wi (i ∈ N).Egy L nyelvhez rendeljük hozzá azt a megszámlálhatóan végtelenhosszúságú bitsorozatot (a nyelv karakterisztikus vektorát), melynekaz i. bitje akkor és csak akkor 1-es, ha wi ∈ L.

SzámosságSzavakkal, nyelvekkel kapcsolatos halmazok számossága

4. példa: |R| = |(0, 1)|.

Bizonyítás: tg(π(x − 12 ))

∣∣∣(0,1) : (0, 1)→ R bijekció (0, 1) és R között.

Megjegyzés: |R| = |(a, b)| = |[c, d]| és |R| = |Rn|.

5. Példa: |{0, 1}∗| = |N|.

A hossz-lexikografikus (shortlex) rendezés egy bijekciót ad:ε,0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,110,111,0000,. . .

6. Példa:∣∣∣{L | L ⊆ {0, 1}∗}∣∣∣ =∣∣∣{(b1, . . . , bi, . . .) | bi ∈ {0, 1}, i ∈ N

}∣∣∣Bizonyítás: Természetes bijekció van köztük:Soroljuk fel a bináris szavakat a hossz-lexikografikus rendezésszerint, legyen az i. szó wi (i ∈ N).Egy L nyelvhez rendeljük hozzá azt a megszámlálhatóan végtelenhosszúságú bitsorozatot (a nyelv karakterisztikus vektorát), melynekaz i. bitje akkor és csak akkor 1-es, ha wi ∈ L.

SzámosságSzavakkal, nyelvekkel kapcsolatos halmazok számossága

4. példa: |R| = |(0, 1)|.

Bizonyítás: tg(π(x − 12 ))

∣∣∣(0,1) : (0, 1)→ R bijekció (0, 1) és R között.

Megjegyzés: |R| = |(a, b)| = |[c, d]| és |R| = |Rn|.

5. Példa: |{0, 1}∗| = |N|.

A hossz-lexikografikus (shortlex) rendezés egy bijekciót ad:ε,0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,110,111,0000,. . .

6. Példa:∣∣∣{L | L ⊆ {0, 1}∗}∣∣∣ =∣∣∣{(b1, . . . , bi, . . .) | bi ∈ {0, 1}, i ∈ N

}∣∣∣Bizonyítás: Természetes bijekció van köztük:Soroljuk fel a bináris szavakat a hossz-lexikografikus rendezésszerint, legyen az i. szó wi (i ∈ N).Egy L nyelvhez rendeljük hozzá azt a megszámlálhatóan végtelenhosszúságú bitsorozatot (a nyelv karakterisztikus vektorát), melynekaz i. bitje akkor és csak akkor 1-es, ha wi ∈ L.

SzámosságSzavakkal, nyelvekkel kapcsolatos halmazok számossága

4. példa: |R| = |(0, 1)|.

Bizonyítás: tg(π(x − 12 ))

∣∣∣(0,1) : (0, 1)→ R bijekció (0, 1) és R között.

Megjegyzés: |R| = |(a, b)| = |[c, d]| és |R| = |Rn|.

5. Példa: |{0, 1}∗| = |N|.

A hossz-lexikografikus (shortlex) rendezés egy bijekciót ad:ε,0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,110,111,0000,. . .

6. Példa:∣∣∣{L | L ⊆ {0, 1}∗}∣∣∣ =∣∣∣{(b1, . . . , bi, . . .) | bi ∈ {0, 1}, i ∈ N

}∣∣∣Bizonyítás: Természetes bijekció van köztük:Soroljuk fel a bináris szavakat a hossz-lexikografikus rendezésszerint, legyen az i. szó wi (i ∈ N).Egy L nyelvhez rendeljük hozzá azt a megszámlálhatóan végtelenhosszúságú bitsorozatot (a nyelv karakterisztikus vektorát), melynekaz i. bitje akkor és csak akkor 1-es, ha wi ∈ L.

SzámosságSzavakkal, nyelvekkel kapcsolatos halmazok számossága

4. példa: |R| = |(0, 1)|.

Bizonyítás: tg(π(x − 12 ))

∣∣∣(0,1) : (0, 1)→ R bijekció (0, 1) és R között.

Megjegyzés: |R| = |(a, b)| = |[c, d]| és |R| = |Rn|.

5. Példa: |{0, 1}∗| = |N|.

A hossz-lexikografikus (shortlex) rendezés egy bijekciót ad:ε,0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,110,111,0000,. . .

6. Példa:∣∣∣{L | L ⊆ {0, 1}∗}∣∣∣ =∣∣∣{(b1, . . . , bi, . . .) | bi ∈ {0, 1}, i ∈ N

}∣∣∣

Bizonyítás: Természetes bijekció van köztük:Soroljuk fel a bináris szavakat a hossz-lexikografikus rendezésszerint, legyen az i. szó wi (i ∈ N).Egy L nyelvhez rendeljük hozzá azt a megszámlálhatóan végtelenhosszúságú bitsorozatot (a nyelv karakterisztikus vektorát), melynekaz i. bitje akkor és csak akkor 1-es, ha wi ∈ L.

SzámosságSzavakkal, nyelvekkel kapcsolatos halmazok számossága

4. példa: |R| = |(0, 1)|.

Bizonyítás: tg(π(x − 12 ))

∣∣∣(0,1) : (0, 1)→ R bijekció (0, 1) és R között.

Megjegyzés: |R| = |(a, b)| = |[c, d]| és |R| = |Rn|.

5. Példa: |{0, 1}∗| = |N|.

A hossz-lexikografikus (shortlex) rendezés egy bijekciót ad:ε,0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,110,111,0000,. . .

6. Példa:∣∣∣{L | L ⊆ {0, 1}∗}∣∣∣ =∣∣∣{(b1, . . . , bi, . . .) | bi ∈ {0, 1}, i ∈ N

}∣∣∣Bizonyítás: Természetes bijekció van köztük:Soroljuk fel a bináris szavakat a hossz-lexikografikus rendezésszerint, legyen az i. szó wi (i ∈ N).Egy L nyelvhez rendeljük hozzá azt a megszámlálhatóan végtelenhosszúságú bitsorozatot (a nyelv karakterisztikus vektorát), melynekaz i. bitje akkor és csak akkor 1-es, ha wi ∈ L.

SzámosságSzavakkal kapcsolatos számosságok

Jelöljük a fenti, megszámlálhatóan∞ hosszúságú {0, 1}-sorozatokhalmazát {0, 1}N-nel, azaz:{0, 1}N :=

∣∣∣{(b1, . . . , bi, . . .) | bi ∈ {0, 1}, i ∈ N}∣∣∣.

7. Példa: |{0, 1}N| = |[0, 1)|.

Bizonyítás (vázlat):

x ∈ [0, 1)-hez rendeljük hozzá x kettedestört alakjának "0." utánirészét. Ez nem feltétlen egyértelmu, a véges kettedestörteknek kétilyen alalkja is van. Válasszuk az egyiket, ez a leképezés így nembijekció, de injektív, azaz |[0, 1)| ≤ |{0, 1}N|.

z ∈ {0, 1}N minden 1-esét helyettesítsük 2-essel, írjunk elé "0."-t éstekintsük harmadostörtnek. Meggondolható, hogy csak 0-ásokat és2-eseket tartalmazó harmadostört alakja egy valós számnak legfeljebb1 lehet. Tehát |{0, 1}N| ≤ |[0, 1)|.

A Cantor-Bernstein tétel alapján |{0, 1}N| = |[0, 1)|.

SzámosságSzavakkal kapcsolatos számosságok

Jelöljük a fenti, megszámlálhatóan∞ hosszúságú {0, 1}-sorozatokhalmazát {0, 1}N-nel, azaz:{0, 1}N :=

∣∣∣{(b1, . . . , bi, . . .) | bi ∈ {0, 1}, i ∈ N}∣∣∣.

7. Példa: |{0, 1}N| = |[0, 1)|.

Bizonyítás (vázlat):

x ∈ [0, 1)-hez rendeljük hozzá x kettedestört alakjának "0." utánirészét. Ez nem feltétlen egyértelmu, a véges kettedestörteknek kétilyen alalkja is van. Válasszuk az egyiket, ez a leképezés így nembijekció, de injektív, azaz |[0, 1)| ≤ |{0, 1}N|.

z ∈ {0, 1}N minden 1-esét helyettesítsük 2-essel, írjunk elé "0."-t éstekintsük harmadostörtnek. Meggondolható, hogy csak 0-ásokat és2-eseket tartalmazó harmadostört alakja egy valós számnak legfeljebb1 lehet. Tehát |{0, 1}N| ≤ |[0, 1)|.

A Cantor-Bernstein tétel alapján |{0, 1}N| = |[0, 1)|.

SzámosságSzavakkal kapcsolatos számosságok

Jelöljük a fenti, megszámlálhatóan∞ hosszúságú {0, 1}-sorozatokhalmazát {0, 1}N-nel, azaz:{0, 1}N :=

∣∣∣{(b1, . . . , bi, . . .) | bi ∈ {0, 1}, i ∈ N}∣∣∣.

7. Példa: |{0, 1}N| = |[0, 1)|.

Bizonyítás (vázlat):

x ∈ [0, 1)-hez rendeljük hozzá x kettedestört alakjának "0." utánirészét. Ez nem feltétlen egyértelmu, a véges kettedestörteknek kétilyen alalkja is van. Válasszuk az egyiket, ez a leképezés így nembijekció, de injektív, azaz |[0, 1)| ≤ |{0, 1}N|.

z ∈ {0, 1}N minden 1-esét helyettesítsük 2-essel, írjunk elé "0."-t éstekintsük harmadostörtnek. Meggondolható, hogy csak 0-ásokat és2-eseket tartalmazó harmadostört alakja egy valós számnak legfeljebb1 lehet. Tehát |{0, 1}N| ≤ |[0, 1)|.

A Cantor-Bernstein tétel alapján |{0, 1}N| = |[0, 1)|.

SzámosságSzavakkal kapcsolatos számosságok

Jelöljük a fenti, megszámlálhatóan∞ hosszúságú {0, 1}-sorozatokhalmazát {0, 1}N-nel, azaz:{0, 1}N :=

∣∣∣{(b1, . . . , bi, . . .) | bi ∈ {0, 1}, i ∈ N}∣∣∣.

7. Példa: |{0, 1}N| = |[0, 1)|.

Bizonyítás (vázlat):

x ∈ [0, 1)-hez rendeljük hozzá x kettedestört alakjának "0." utánirészét. Ez nem feltétlen egyértelmu, a véges kettedestörteknek kétilyen alalkja is van. Válasszuk az egyiket, ez a leképezés így nembijekció, de injektív, azaz |[0, 1)| ≤ |{0, 1}N|.

z ∈ {0, 1}N minden 1-esét helyettesítsük 2-essel, írjunk elé "0."-t éstekintsük harmadostörtnek. Meggondolható, hogy csak 0-ásokat és2-eseket tartalmazó harmadostört alakja egy valós számnak legfeljebb1 lehet. Tehát |{0, 1}N| ≤ |[0, 1)|.

A Cantor-Bernstein tétel alapján |{0, 1}N| = |[0, 1)|.

SzámosságSzavakkal kapcsolatos számosságok

Jelöljük a fenti, megszámlálhatóan∞ hosszúságú {0, 1}-sorozatokhalmazát {0, 1}N-nel, azaz:{0, 1}N :=

∣∣∣{(b1, . . . , bi, . . .) | bi ∈ {0, 1}, i ∈ N}∣∣∣.

7. Példa: |{0, 1}N| = |[0, 1)|.

Bizonyítás (vázlat):

x ∈ [0, 1)-hez rendeljük hozzá x kettedestört alakjának "0." utánirészét. Ez nem feltétlen egyértelmu, a véges kettedestörteknek kétilyen alalkja is van. Válasszuk az egyiket, ez a leképezés így nembijekció, de injektív, azaz |[0, 1)| ≤ |{0, 1}N|.

z ∈ {0, 1}N minden 1-esét helyettesítsük 2-essel, írjunk elé "0."-t éstekintsük harmadostörtnek. Meggondolható, hogy csak 0-ásokat és2-eseket tartalmazó harmadostört alakja egy valós számnak legfeljebb1 lehet. Tehát |{0, 1}N| ≤ |[0, 1)|.

A Cantor-Bernstein tétel alapján |{0, 1}N| = |[0, 1)|.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

Tétel: |{0, 1}N| > |N|

Bizonyítás:

1. lépés: |{0, 1}N| ≥ |N|:

H0 := {(1, 0, 0, 0, . . .), (0, 1, 0, 0, . . .), (0, 0, 1, 0, . . .), . . .}

H0 ⊂ {0, 1}N, és |H0| = |N|.

Kell:

2. lépés: |{0, 1}N| , |N|, azaz nem létezik bijekció {0, 1}N és N között.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

Tétel: |{0, 1}N| > |N|

Bizonyítás:

1. lépés: |{0, 1}N| ≥ |N|:

H0 := {(1, 0, 0, 0, . . .), (0, 1, 0, 0, . . .), (0, 0, 1, 0, . . .), . . .}

H0 ⊂ {0, 1}N, és |H0| = |N|.

Kell:

2. lépés: |{0, 1}N| , |N|, azaz nem létezik bijekció {0, 1}N és N között.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

Tétel: |{0, 1}N| > |N|

Bizonyítás:

1. lépés: |{0, 1}N| ≥ |N|:

H0 := {(1, 0, 0, 0, . . .), (0, 1, 0, 0, . . .), (0, 0, 1, 0, . . .), . . .}

H0 ⊂ {0, 1}N, és |H0| = |N|.

Kell:

2. lépés: |{0, 1}N| , |N|, azaz nem létezik bijekció {0, 1}N és N között.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

Tétel: |{0, 1}N| > |N|

Indirekt tegyük fel, hogy |{0, 1}N| = |N|. Ez azt jelenti, hogybijekcióba lehet állítani {0, 1}N elemeit N elemeivel, azaz{0, 1}N = {ui | i ∈ N} = {u1, u2, . . .} a {0, 1}N elemeinek egy felsorolása(a természetes számokkal való megindexelése).Legyen ui = (ui,1, ui,2, . . . , ui, j, . . .), ahol minden i, j ∈ N-reui, j ∈ {0, 1}.Tekintsük az u = {u1,1, u2,2, . . . , ui,i, . . .) megszámlálhatóan végtelenhosszúságú bináris (azaz {0, 1}N-beli) szót, ahol b = 0, ha b = 1 ésb = 1, ha b = 0.

Mivel, minden megszámlálhatóan végtelen hosszúságú bináris szó felvan sorolva, ezért létezik olyan k ∈ N, melyre u = uk.Ekkor u k.bitje uk,k (így jelöltük uk k. bitjét), másrészt uk,k (ígydefiniáltuk u-t).De ez nem lehetséges, tehát az indirekt feltevésünk, azaz hogy|{0, 1}N| = |N| hamis.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

Tétel: |{0, 1}N| > |N|Indirekt tegyük fel, hogy |{0, 1}N| = |N|. Ez azt jelenti, hogybijekcióba lehet állítani {0, 1}N elemeit N elemeivel, azaz{0, 1}N = {ui | i ∈ N} = {u1, u2, . . .} a {0, 1}N elemeinek egy felsorolása(a természetes számokkal való megindexelése).

Legyen ui = (ui,1, ui,2, . . . , ui, j, . . .), ahol minden i, j ∈ N-reui, j ∈ {0, 1}.Tekintsük az u = {u1,1, u2,2, . . . , ui,i, . . .) megszámlálhatóan végtelenhosszúságú bináris (azaz {0, 1}N-beli) szót, ahol b = 0, ha b = 1 ésb = 1, ha b = 0.

Mivel, minden megszámlálhatóan végtelen hosszúságú bináris szó felvan sorolva, ezért létezik olyan k ∈ N, melyre u = uk.Ekkor u k.bitje uk,k (így jelöltük uk k. bitjét), másrészt uk,k (ígydefiniáltuk u-t).De ez nem lehetséges, tehát az indirekt feltevésünk, azaz hogy|{0, 1}N| = |N| hamis.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

Tétel: |{0, 1}N| > |N|Indirekt tegyük fel, hogy |{0, 1}N| = |N|. Ez azt jelenti, hogybijekcióba lehet állítani {0, 1}N elemeit N elemeivel, azaz{0, 1}N = {ui | i ∈ N} = {u1, u2, . . .} a {0, 1}N elemeinek egy felsorolása(a természetes számokkal való megindexelése).Legyen ui = (ui,1, ui,2, . . . , ui, j, . . .), ahol minden i, j ∈ N-reui, j ∈ {0, 1}.

Tekintsük az u = {u1,1, u2,2, . . . , ui,i, . . .) megszámlálhatóan végtelenhosszúságú bináris (azaz {0, 1}N-beli) szót, ahol b = 0, ha b = 1 ésb = 1, ha b = 0.

Mivel, minden megszámlálhatóan végtelen hosszúságú bináris szó felvan sorolva, ezért létezik olyan k ∈ N, melyre u = uk.Ekkor u k.bitje uk,k (így jelöltük uk k. bitjét), másrészt uk,k (ígydefiniáltuk u-t).De ez nem lehetséges, tehát az indirekt feltevésünk, azaz hogy|{0, 1}N| = |N| hamis.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

Tétel: |{0, 1}N| > |N|Indirekt tegyük fel, hogy |{0, 1}N| = |N|. Ez azt jelenti, hogybijekcióba lehet állítani {0, 1}N elemeit N elemeivel, azaz{0, 1}N = {ui | i ∈ N} = {u1, u2, . . .} a {0, 1}N elemeinek egy felsorolása(a természetes számokkal való megindexelése).Legyen ui = (ui,1, ui,2, . . . , ui, j, . . .), ahol minden i, j ∈ N-reui, j ∈ {0, 1}.Tekintsük az u = {u1,1, u2,2, . . . , ui,i, . . .) megszámlálhatóan végtelenhosszúságú bináris (azaz {0, 1}N-beli) szót, ahol b = 0, ha b = 1 ésb = 1, ha b = 0.

Mivel, minden megszámlálhatóan végtelen hosszúságú bináris szó felvan sorolva, ezért létezik olyan k ∈ N, melyre u = uk.Ekkor u k.bitje uk,k (így jelöltük uk k. bitjét), másrészt uk,k (ígydefiniáltuk u-t).De ez nem lehetséges, tehát az indirekt feltevésünk, azaz hogy|{0, 1}N| = |N| hamis.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

Tétel: |{0, 1}N| > |N|Indirekt tegyük fel, hogy |{0, 1}N| = |N|. Ez azt jelenti, hogybijekcióba lehet állítani {0, 1}N elemeit N elemeivel, azaz{0, 1}N = {ui | i ∈ N} = {u1, u2, . . .} a {0, 1}N elemeinek egy felsorolása(a természetes számokkal való megindexelése).Legyen ui = (ui,1, ui,2, . . . , ui, j, . . .), ahol minden i, j ∈ N-reui, j ∈ {0, 1}.Tekintsük az u = {u1,1, u2,2, . . . , ui,i, . . .) megszámlálhatóan végtelenhosszúságú bináris (azaz {0, 1}N-beli) szót, ahol b = 0, ha b = 1 ésb = 1, ha b = 0.

Mivel, minden megszámlálhatóan végtelen hosszúságú bináris szó felvan sorolva, ezért létezik olyan k ∈ N, melyre u = uk.

Ekkor u k.bitje uk,k (így jelöltük uk k. bitjét), másrészt uk,k (ígydefiniáltuk u-t).De ez nem lehetséges, tehát az indirekt feltevésünk, azaz hogy|{0, 1}N| = |N| hamis.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

Tétel: |{0, 1}N| > |N|Indirekt tegyük fel, hogy |{0, 1}N| = |N|. Ez azt jelenti, hogybijekcióba lehet állítani {0, 1}N elemeit N elemeivel, azaz{0, 1}N = {ui | i ∈ N} = {u1, u2, . . .} a {0, 1}N elemeinek egy felsorolása(a természetes számokkal való megindexelése).Legyen ui = (ui,1, ui,2, . . . , ui, j, . . .), ahol minden i, j ∈ N-reui, j ∈ {0, 1}.Tekintsük az u = {u1,1, u2,2, . . . , ui,i, . . .) megszámlálhatóan végtelenhosszúságú bináris (azaz {0, 1}N-beli) szót, ahol b = 0, ha b = 1 ésb = 1, ha b = 0.

Mivel, minden megszámlálhatóan végtelen hosszúságú bináris szó felvan sorolva, ezért létezik olyan k ∈ N, melyre u = uk.Ekkor u k.bitje uk,k (így jelöltük uk k. bitjét), másrészt uk,k (ígydefiniáltuk u-t).

De ez nem lehetséges, tehát az indirekt feltevésünk, azaz hogy|{0, 1}N| = |N| hamis.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

Tétel: |{0, 1}N| > |N|Indirekt tegyük fel, hogy |{0, 1}N| = |N|. Ez azt jelenti, hogybijekcióba lehet állítani {0, 1}N elemeit N elemeivel, azaz{0, 1}N = {ui | i ∈ N} = {u1, u2, . . .} a {0, 1}N elemeinek egy felsorolása(a természetes számokkal való megindexelése).Legyen ui = (ui,1, ui,2, . . . , ui, j, . . .), ahol minden i, j ∈ N-reui, j ∈ {0, 1}.Tekintsük az u = {u1,1, u2,2, . . . , ui,i, . . .) megszámlálhatóan végtelenhosszúságú bináris (azaz {0, 1}N-beli) szót, ahol b = 0, ha b = 1 ésb = 1, ha b = 0.

Mivel, minden megszámlálhatóan végtelen hosszúságú bináris szó felvan sorolva, ezért létezik olyan k ∈ N, melyre u = uk.Ekkor u k.bitje uk,k (így jelöltük uk k. bitjét), másrészt uk,k (ígydefiniáltuk u-t).De ez nem lehetséges, tehát az indirekt feltevésünk, azaz hogy|{0, 1}N| = |N| hamis.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

1. KövetkezményA continuum számosság nagyobb, mint a megszámlálhatóan végtelenszámosság.

2. KövetkezményTöbb {0, 1} feletti nyelv van mint {0, 1} feletti szó. (Számosságértelemben.)

Ezekhez csak foglaljuk össze amit tudunk:|R| = |[0, 1)| = |{0, 1}N| =

∣∣∣{L | L ⊆ {0, 1}∗}∣∣∣ > |N| = |{0, 1}∗|.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

1. KövetkezményA continuum számosság nagyobb, mint a megszámlálhatóan végtelenszámosság.

2. KövetkezményTöbb {0, 1} feletti nyelv van mint {0, 1} feletti szó. (Számosságértelemben.)

Ezekhez csak foglaljuk össze amit tudunk:|R| = |[0, 1)| = |{0, 1}N| =

∣∣∣{L | L ⊆ {0, 1}∗}∣∣∣ > |N| = |{0, 1}∗|.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

1. KövetkezményA continuum számosság nagyobb, mint a megszámlálhatóan végtelenszámosság.

2. KövetkezményTöbb {0, 1} feletti nyelv van mint {0, 1} feletti szó. (Számosságértelemben.)

Ezekhez csak foglaljuk össze amit tudunk:

|R| = |[0, 1)| = |{0, 1}N| =∣∣∣{L | L ⊆ {0, 1}∗}∣∣∣ > |N| = |{0, 1}∗|.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

1. KövetkezményA continuum számosság nagyobb, mint a megszámlálhatóan végtelenszámosság.

2. KövetkezményTöbb {0, 1} feletti nyelv van mint {0, 1} feletti szó. (Számosságértelemben.)

Ezekhez csak foglaljuk össze amit tudunk:|R| = |[0, 1)| = |{0, 1}N| =

∣∣∣{L | L ⊆ {0, 1}∗}∣∣∣ > |N| = |{0, 1}∗|.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

Észrevétel:{L | L ⊆ {0, 1}∗

}= P({0, 1}∗).

Igaz-e általában, hogy |P(H)| > |H|?

TételMinden H halmazra |P(H)| > |H|.

Bizonyítás: |P(H)| ≥ |H|, hiszen {{h} | h ∈ H} ⊆ P(H).

|P(H)| , |H|: Cantor-féle átlós módszerrel:Indirekt f : P(H)↔ H bijekció. Definiálunk egy A ⊆ H halmazt:∀x ∈ H : x :∈ A ⇔ x < f −1(x)

f (A) ∈ A igaz-e? Ha igen, f (A) < A, ha nem f (A) ∈ A, tehát f (A) seaz A halmazban, se azon kívül nincs, ellentmondás.

Következmény: Minden számosságnál van nagyobb számosság, tehátvégtelen sok számosság van.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

Észrevétel:{L | L ⊆ {0, 1}∗

}= P({0, 1}∗).

Igaz-e általában, hogy |P(H)| > |H|?

TételMinden H halmazra |P(H)| > |H|.

Bizonyítás: |P(H)| ≥ |H|, hiszen {{h} | h ∈ H} ⊆ P(H).

|P(H)| , |H|: Cantor-féle átlós módszerrel:Indirekt f : P(H)↔ H bijekció. Definiálunk egy A ⊆ H halmazt:∀x ∈ H : x :∈ A ⇔ x < f −1(x)

f (A) ∈ A igaz-e? Ha igen, f (A) < A, ha nem f (A) ∈ A, tehát f (A) seaz A halmazban, se azon kívül nincs, ellentmondás.

Következmény: Minden számosságnál van nagyobb számosság, tehátvégtelen sok számosság van.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

Észrevétel:{L | L ⊆ {0, 1}∗

}= P({0, 1}∗).

Igaz-e általában, hogy |P(H)| > |H|?

TételMinden H halmazra |P(H)| > |H|.

Bizonyítás: |P(H)| ≥ |H|, hiszen {{h} | h ∈ H} ⊆ P(H).

|P(H)| , |H|: Cantor-féle átlós módszerrel:Indirekt f : P(H)↔ H bijekció. Definiálunk egy A ⊆ H halmazt:∀x ∈ H : x :∈ A ⇔ x < f −1(x)

f (A) ∈ A igaz-e? Ha igen, f (A) < A, ha nem f (A) ∈ A, tehát f (A) seaz A halmazban, se azon kívül nincs, ellentmondás.

Következmény: Minden számosságnál van nagyobb számosság, tehátvégtelen sok számosság van.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

Észrevétel:{L | L ⊆ {0, 1}∗

}= P({0, 1}∗).

Igaz-e általában, hogy |P(H)| > |H|?

TételMinden H halmazra |P(H)| > |H|.

Bizonyítás: |P(H)| ≥ |H|, hiszen {{h} | h ∈ H} ⊆ P(H).

|P(H)| , |H|: Cantor-féle átlós módszerrel:Indirekt f : P(H)↔ H bijekció. Definiálunk egy A ⊆ H halmazt:∀x ∈ H : x :∈ A ⇔ x < f −1(x)

f (A) ∈ A igaz-e? Ha igen, f (A) < A, ha nem f (A) ∈ A, tehát f (A) seaz A halmazban, se azon kívül nincs, ellentmondás.

Következmény: Minden számosságnál van nagyobb számosság, tehátvégtelen sok számosság van.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

Észrevétel:{L | L ⊆ {0, 1}∗

}= P({0, 1}∗).

Igaz-e általában, hogy |P(H)| > |H|?

TételMinden H halmazra |P(H)| > |H|.

Bizonyítás: |P(H)| ≥ |H|, hiszen {{h} | h ∈ H} ⊆ P(H).

|P(H)| , |H|: Cantor-féle átlós módszerrel:

Indirekt f : P(H)↔ H bijekció. Definiálunk egy A ⊆ H halmazt:∀x ∈ H : x :∈ A ⇔ x < f −1(x)

f (A) ∈ A igaz-e? Ha igen, f (A) < A, ha nem f (A) ∈ A, tehát f (A) seaz A halmazban, se azon kívül nincs, ellentmondás.

Következmény: Minden számosságnál van nagyobb számosság, tehátvégtelen sok számosság van.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

Észrevétel:{L | L ⊆ {0, 1}∗

}= P({0, 1}∗).

Igaz-e általában, hogy |P(H)| > |H|?

TételMinden H halmazra |P(H)| > |H|.

Bizonyítás: |P(H)| ≥ |H|, hiszen {{h} | h ∈ H} ⊆ P(H).

|P(H)| , |H|: Cantor-féle átlós módszerrel:Indirekt f : P(H)↔ H bijekció. Definiálunk egy A ⊆ H halmazt:

∀x ∈ H : x :∈ A ⇔ x < f −1(x)

f (A) ∈ A igaz-e? Ha igen, f (A) < A, ha nem f (A) ∈ A, tehát f (A) seaz A halmazban, se azon kívül nincs, ellentmondás.

Következmény: Minden számosságnál van nagyobb számosság, tehátvégtelen sok számosság van.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

Észrevétel:{L | L ⊆ {0, 1}∗

}= P({0, 1}∗).

Igaz-e általában, hogy |P(H)| > |H|?

TételMinden H halmazra |P(H)| > |H|.

Bizonyítás: |P(H)| ≥ |H|, hiszen {{h} | h ∈ H} ⊆ P(H).

|P(H)| , |H|: Cantor-féle átlós módszerrel:Indirekt f : P(H)↔ H bijekció. Definiálunk egy A ⊆ H halmazt:∀x ∈ H : x :∈ A ⇔ x < f −1(x)

f (A) ∈ A igaz-e? Ha igen, f (A) < A, ha nem f (A) ∈ A, tehát f (A) seaz A halmazban, se azon kívül nincs, ellentmondás.

Következmény: Minden számosságnál van nagyobb számosság, tehátvégtelen sok számosság van.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

Észrevétel:{L | L ⊆ {0, 1}∗

}= P({0, 1}∗).

Igaz-e általában, hogy |P(H)| > |H|?

TételMinden H halmazra |P(H)| > |H|.

Bizonyítás: |P(H)| ≥ |H|, hiszen {{h} | h ∈ H} ⊆ P(H).

|P(H)| , |H|: Cantor-féle átlós módszerrel:Indirekt f : P(H)↔ H bijekció. Definiálunk egy A ⊆ H halmazt:∀x ∈ H : x :∈ A ⇔ x < f −1(x)

f (A) ∈ A igaz-e? Ha igen, f (A) < A, ha nem f (A) ∈ A, tehát f (A) seaz A halmazban, se azon kívül nincs, ellentmondás.

Következmény: Minden számosságnál van nagyobb számosság, tehátvégtelen sok számosság van.

SzámosságCantor-féle átlós módszer

Észrevétel:{L | L ⊆ {0, 1}∗

}= P({0, 1}∗).

Igaz-e általában, hogy |P(H)| > |H|?

TételMinden H halmazra |P(H)| > |H|.

Bizonyítás: |P(H)| ≥ |H|, hiszen {{h} | h ∈ H} ⊆ P(H).

|P(H)| , |H|: Cantor-féle átlós módszerrel:Indirekt f : P(H)↔ H bijekció. Definiálunk egy A ⊆ H halmazt:∀x ∈ H : x :∈ A ⇔ x < f −1(x)

f (A) ∈ A igaz-e? Ha igen, f (A) < A, ha nem f (A) ∈ A, tehát f (A) seaz A halmazban, se azon kívül nincs, ellentmondás.

Következmény: Minden számosságnál van nagyobb számosság, tehátvégtelen sok számosság van.

A Turing gépek egy elkódolásaTegyük fel, hogy Σ = {0, 1}. A fentiek szerint minden inputhatékonyan kódolható Σ felett.

Egy M Turing-gép kódja (jelölése 〈M〉) a következo:Legyen M = (Q, {0, 1},Γ, δ, q0, qi, qn), ahol

I Q = {p1, . . . , pk}, Γ = {X1, . . . , Xm}, D1 = R, D2 = S , D3 = LI k ≥ 3, p1 = q0, pk−1 = qi, pk = qn,I m ≥ 3, X1 = 0, X2 = 1, X3 = t.I Egy δ(pi, X j) = (pr, Xs,Dt) átmenet kódja 0i10 j10r10s10t.I 〈M〉 az átmenetek kódjainak felsorolása 11-el elválasztva.

Észrevétel: 〈M〉 0-val kezdodik és végzodik, nem tartalmaz 3 darab1-t egymás után.

〈M,w〉 := 〈M〉111w

A Turing gépek egy elkódolásaTegyük fel, hogy Σ = {0, 1}. A fentiek szerint minden inputhatékonyan kódolható Σ felett.Egy M Turing-gép kódja (jelölése 〈M〉) a következo:

Legyen M = (Q, {0, 1},Γ, δ, q0, qi, qn), ahol

I Q = {p1, . . . , pk}, Γ = {X1, . . . , Xm}, D1 = R, D2 = S , D3 = LI k ≥ 3, p1 = q0, pk−1 = qi, pk = qn,I m ≥ 3, X1 = 0, X2 = 1, X3 = t.I Egy δ(pi, X j) = (pr, Xs,Dt) átmenet kódja 0i10 j10r10s10t.I 〈M〉 az átmenetek kódjainak felsorolása 11-el elválasztva.

Észrevétel: 〈M〉 0-val kezdodik és végzodik, nem tartalmaz 3 darab1-t egymás után.

〈M,w〉 := 〈M〉111w

A Turing gépek egy elkódolásaTegyük fel, hogy Σ = {0, 1}. A fentiek szerint minden inputhatékonyan kódolható Σ felett.Egy M Turing-gép kódja (jelölése 〈M〉) a következo:Legyen M = (Q, {0, 1},Γ, δ, q0, qi, qn), ahol

I Q = {p1, . . . , pk}, Γ = {X1, . . . , Xm}, D1 = R, D2 = S , D3 = LI k ≥ 3, p1 = q0, pk−1 = qi, pk = qn,I m ≥ 3, X1 = 0, X2 = 1, X3 = t.I Egy δ(pi, X j) = (pr, Xs,Dt) átmenet kódja 0i10 j10r10s10t.I 〈M〉 az átmenetek kódjainak felsorolása 11-el elválasztva.

Észrevétel: 〈M〉 0-val kezdodik és végzodik, nem tartalmaz 3 darab1-t egymás után.

〈M,w〉 := 〈M〉111w

A Turing gépek egy elkódolásaTegyük fel, hogy Σ = {0, 1}. A fentiek szerint minden inputhatékonyan kódolható Σ felett.Egy M Turing-gép kódja (jelölése 〈M〉) a következo:Legyen M = (Q, {0, 1},Γ, δ, q0, qi, qn), ahol

I Q = {p1, . . . , pk}, Γ = {X1, . . . , Xm}, D1 = R, D2 = S , D3 = LI k ≥ 3, p1 = q0, pk−1 = qi, pk = qn,I m ≥ 3, X1 = 0, X2 = 1, X3 = t.I Egy δ(pi, X j) = (pr, Xs,Dt) átmenet kódja 0i10 j10r10s10t.I 〈M〉 az átmenetek kódjainak felsorolása 11-el elválasztva.

Észrevétel: 〈M〉 0-val kezdodik és végzodik, nem tartalmaz 3 darab1-t egymás után.

〈M,w〉 := 〈M〉111w

A Turing gépek egy elkódolásaTegyük fel, hogy Σ = {0, 1}. A fentiek szerint minden inputhatékonyan kódolható Σ felett.Egy M Turing-gép kódja (jelölése 〈M〉) a következo:Legyen M = (Q, {0, 1},Γ, δ, q0, qi, qn), ahol

I Q = {p1, . . . , pk}, Γ = {X1, . . . , Xm}, D1 = R, D2 = S , D3 = LI k ≥ 3, p1 = q0, pk−1 = qi, pk = qn,I m ≥ 3, X1 = 0, X2 = 1, X3 = t.I Egy δ(pi, X j) = (pr, Xs,Dt) átmenet kódja 0i10 j10r10s10t.I 〈M〉 az átmenetek kódjainak felsorolása 11-el elválasztva.

Észrevétel: 〈M〉 0-val kezdodik és végzodik, nem tartalmaz 3 darab1-t egymás után.

〈M,w〉 := 〈M〉111w

A Turing gépek egy elkódolásaTegyük fel, hogy Σ = {0, 1}. A fentiek szerint minden inputhatékonyan kódolható Σ felett.Egy M Turing-gép kódja (jelölése 〈M〉) a következo:Legyen M = (Q, {0, 1},Γ, δ, q0, qi, qn), ahol

I Q = {p1, . . . , pk}, Γ = {X1, . . . , Xm}, D1 = R, D2 = S , D3 = LI k ≥ 3, p1 = q0, pk−1 = qi, pk = qn,I m ≥ 3, X1 = 0, X2 = 1, X3 = t.I Egy δ(pi, X j) = (pr, Xs,Dt) átmenet kódja 0i10 j10r10s10t.I 〈M〉 az átmenetek kódjainak felsorolása 11-el elválasztva.

Észrevétel: 〈M〉 0-val kezdodik és végzodik, nem tartalmaz 3 darab1-t egymás után.

〈M,w〉 := 〈M〉111w

Létezik nem Turing-felismerheto nyelvJelölés: Minden i ≥ 1-re,

I jelölje wi a {0, 1}∗ halmaz i-ik elemét a hossz-lexikografikusrendezés szerint.

I jelölje Mi a wi által kódolt TG-t (ha wi nem kódol TG-t, akkorMi egy tetszoleges olyan TG, ami nem fogad el semmit)

TételLétezik nem Turing-felismerheto nyelv.

Bizonyítás: Két különbözo nyelvet nem ismerhet fel ugyanaz a TG. ATG-ek számossága megszámlálható (a fenti kódolás injekció{0, 1}∗-ba, ami volt, hogy megszámlálható). Másrészt viszont a {0, 1}feletti nyelvek számossága continuum (volt).

Azaz valójában a nyelvek "többsége" ilyen. Tudnánk-e konkrétnyelvet mutatni? Igen, Látló = {〈M〉 | 〈M〉 < L(M)} például ilyen.

Létezik nem Turing-felismerheto nyelvJelölés: Minden i ≥ 1-re,

I jelölje wi a {0, 1}∗ halmaz i-ik elemét a hossz-lexikografikusrendezés szerint.

I jelölje Mi a wi által kódolt TG-t (ha wi nem kódol TG-t, akkorMi egy tetszoleges olyan TG, ami nem fogad el semmit)

TételLétezik nem Turing-felismerheto nyelv.

Bizonyítás: Két különbözo nyelvet nem ismerhet fel ugyanaz a TG. ATG-ek számossága megszámlálható (a fenti kódolás injekció{0, 1}∗-ba, ami volt, hogy megszámlálható). Másrészt viszont a {0, 1}feletti nyelvek számossága continuum (volt).

Azaz valójában a nyelvek "többsége" ilyen. Tudnánk-e konkrétnyelvet mutatni? Igen, Látló = {〈M〉 | 〈M〉 < L(M)} például ilyen.

Létezik nem Turing-felismerheto nyelvJelölés: Minden i ≥ 1-re,

I jelölje wi a {0, 1}∗ halmaz i-ik elemét a hossz-lexikografikusrendezés szerint.

I jelölje Mi a wi által kódolt TG-t (ha wi nem kódol TG-t, akkorMi egy tetszoleges olyan TG, ami nem fogad el semmit)

TételLétezik nem Turing-felismerheto nyelv.

Bizonyítás: Két különbözo nyelvet nem ismerhet fel ugyanaz a TG. ATG-ek számossága megszámlálható (a fenti kódolás injekció{0, 1}∗-ba, ami volt, hogy megszámlálható). Másrészt viszont a {0, 1}feletti nyelvek számossága continuum (volt).

Azaz valójában a nyelvek "többsége" ilyen. Tudnánk-e konkrétnyelvet mutatni? Igen, Látló = {〈M〉 | 〈M〉 < L(M)} például ilyen.

Létezik nem Turing-felismerheto nyelvJelölés: Minden i ≥ 1-re,

I jelölje wi a {0, 1}∗ halmaz i-ik elemét a hossz-lexikografikusrendezés szerint.

I jelölje Mi a wi által kódolt TG-t (ha wi nem kódol TG-t, akkorMi egy tetszoleges olyan TG, ami nem fogad el semmit)

TételLétezik nem Turing-felismerheto nyelv.

Bizonyítás: Két különbözo nyelvet nem ismerhet fel ugyanaz a TG. ATG-ek számossága megszámlálható (a fenti kódolás injekció{0, 1}∗-ba, ami volt, hogy megszámlálható). Másrészt viszont a {0, 1}feletti nyelvek számossága continuum (volt).

Azaz valójában a nyelvek "többsége" ilyen. Tudnánk-e konkrétnyelvet mutatni? Igen, Látló = {〈M〉 | 〈M〉 < L(M)} például ilyen.

Létezik nem Turing-felismerheto nyelvJelölés: Minden i ≥ 1-re,

I jelölje wi a {0, 1}∗ halmaz i-ik elemét a hossz-lexikografikusrendezés szerint.

I jelölje Mi a wi által kódolt TG-t (ha wi nem kódol TG-t, akkorMi egy tetszoleges olyan TG, ami nem fogad el semmit)

TételLétezik nem Turing-felismerheto nyelv.

Bizonyítás: Két különbözo nyelvet nem ismerhet fel ugyanaz a TG. ATG-ek számossága megszámlálható (a fenti kódolás injekció{0, 1}∗-ba, ami volt, hogy megszámlálható). Másrészt viszont a {0, 1}feletti nyelvek számossága continuum (volt).

Azaz valójában a nyelvek "többsége" ilyen. Tudnánk-e konkrétnyelvet mutatni? Igen, Látló = {〈M〉 | 〈M〉 < L(M)} például ilyen.

Létezik nem Turing-felismerheto nyelvJelölés: Minden i ≥ 1-re,

I jelölje wi a {0, 1}∗ halmaz i-ik elemét a hossz-lexikografikusrendezés szerint.

I jelölje Mi a wi által kódolt TG-t (ha wi nem kódol TG-t, akkorMi egy tetszoleges olyan TG, ami nem fogad el semmit)

TételLétezik nem Turing-felismerheto nyelv.

Bizonyítás: Két különbözo nyelvet nem ismerhet fel ugyanaz a TG. ATG-ek számossága megszámlálható (a fenti kódolás injekció{0, 1}∗-ba, ami volt, hogy megszámlálható). Másrészt viszont a {0, 1}feletti nyelvek számossága continuum (volt).

Azaz valójában a nyelvek "többsége" ilyen. Tudnánk-e konkrétnyelvet mutatni?

Igen, Látló = {〈M〉 | 〈M〉 < L(M)} például ilyen.

Létezik nem Turing-felismerheto nyelvJelölés: Minden i ≥ 1-re,

I jelölje wi a {0, 1}∗ halmaz i-ik elemét a hossz-lexikografikusrendezés szerint.

I jelölje Mi a wi által kódolt TG-t (ha wi nem kódol TG-t, akkorMi egy tetszoleges olyan TG, ami nem fogad el semmit)

TételLétezik nem Turing-felismerheto nyelv.

Bizonyítás: Két különbözo nyelvet nem ismerhet fel ugyanaz a TG. ATG-ek számossága megszámlálható (a fenti kódolás injekció{0, 1}∗-ba, ami volt, hogy megszámlálható). Másrészt viszont a {0, 1}feletti nyelvek számossága continuum (volt).

Azaz valójában a nyelvek "többsége" ilyen. Tudnánk-e konkrétnyelvet mutatni? Igen, Látló = {〈M〉 | 〈M〉 < L(M)} például ilyen.

Látló Turing-felismerhetetlen

TételLátló < RE.

A Cantor-féle átlós módszerrel adódik:Bizonyítás: Tekintsük azt a mindkét dimenziójábanmegszámlálhatóan végtelen méretu T bittáblázatot, melyreT (i, j) = 1 ⇔ w j ∈ L(Mi) (i, j ≥ 1) .Legyen z a T átlójában olvasható végtelen hosszú bitsztring, z a zbitenkénti komplementere. Ekkor:

I minden i ≥ 1-re, T i-ik sora az L(Mi) nyelv karakterisztikusfüggvénye

I z az Látló karakterisztikus függvényeI Minden TG-pel felismerheto, azaz RE-beli nyelv

karakterisztikus függvénye megegyezik T valamelyik sorávalI z különbözik T minden sorátólI Ezek alapján Látló különbözik az összes RE-beli nyelvtol

Látló Turing-felismerhetetlen

TételLátló < RE.

A Cantor-féle átlós módszerrel adódik:

Bizonyítás: Tekintsük azt a mindkét dimenziójábanmegszámlálhatóan végtelen méretu T bittáblázatot, melyreT (i, j) = 1 ⇔ w j ∈ L(Mi) (i, j ≥ 1) .Legyen z a T átlójában olvasható végtelen hosszú bitsztring, z a zbitenkénti komplementere. Ekkor:

I minden i ≥ 1-re, T i-ik sora az L(Mi) nyelv karakterisztikusfüggvénye

I z az Látló karakterisztikus függvényeI Minden TG-pel felismerheto, azaz RE-beli nyelv

karakterisztikus függvénye megegyezik T valamelyik sorávalI z különbözik T minden sorátólI Ezek alapján Látló különbözik az összes RE-beli nyelvtol

Látló Turing-felismerhetetlen

TételLátló < RE.

A Cantor-féle átlós módszerrel adódik:Bizonyítás: Tekintsük azt a mindkét dimenziójábanmegszámlálhatóan végtelen méretu T bittáblázatot, melyreT (i, j) = 1 ⇔ w j ∈ L(Mi) (i, j ≥ 1) .

Legyen z a T átlójában olvasható végtelen hosszú bitsztring, z a zbitenkénti komplementere. Ekkor:

I minden i ≥ 1-re, T i-ik sora az L(Mi) nyelv karakterisztikusfüggvénye

I z az Látló karakterisztikus függvényeI Minden TG-pel felismerheto, azaz RE-beli nyelv

karakterisztikus függvénye megegyezik T valamelyik sorávalI z különbözik T minden sorátólI Ezek alapján Látló különbözik az összes RE-beli nyelvtol

Látló Turing-felismerhetetlen

TételLátló < RE.

A Cantor-féle átlós módszerrel adódik:Bizonyítás: Tekintsük azt a mindkét dimenziójábanmegszámlálhatóan végtelen méretu T bittáblázatot, melyreT (i, j) = 1 ⇔ w j ∈ L(Mi) (i, j ≥ 1) .Legyen z a T átlójában olvasható végtelen hosszú bitsztring, z a zbitenkénti komplementere. Ekkor:

I minden i ≥ 1-re, T i-ik sora az L(Mi) nyelv karakterisztikusfüggvénye

I z az Látló karakterisztikus függvényeI Minden TG-pel felismerheto, azaz RE-beli nyelv

karakterisztikus függvénye megegyezik T valamelyik sorávalI z különbözik T minden sorátólI Ezek alapján Látló különbözik az összes RE-beli nyelvtol

Látló Turing-felismerhetetlen

TételLátló < RE.

A Cantor-féle átlós módszerrel adódik:Bizonyítás: Tekintsük azt a mindkét dimenziójábanmegszámlálhatóan végtelen méretu T bittáblázatot, melyreT (i, j) = 1 ⇔ w j ∈ L(Mi) (i, j ≥ 1) .Legyen z a T átlójában olvasható végtelen hosszú bitsztring, z a zbitenkénti komplementere. Ekkor:

I minden i ≥ 1-re, T i-ik sora az L(Mi) nyelv karakterisztikusfüggvénye

I z az Látló karakterisztikus függvényeI Minden TG-pel felismerheto, azaz RE-beli nyelv

karakterisztikus függvénye megegyezik T valamelyik sorávalI z különbözik T minden sorátólI Ezek alapján Látló különbözik az összes RE-beli nyelvtol

Látló Turing-felismerhetetlen

TételLátló < RE.

A Cantor-féle átlós módszerrel adódik:Bizonyítás: Tekintsük azt a mindkét dimenziójábanmegszámlálhatóan végtelen méretu T bittáblázatot, melyreT (i, j) = 1 ⇔ w j ∈ L(Mi) (i, j ≥ 1) .Legyen z a T átlójában olvasható végtelen hosszú bitsztring, z a zbitenkénti komplementere. Ekkor:

I minden i ≥ 1-re, T i-ik sora az L(Mi) nyelv karakterisztikusfüggvénye

I z az Látló karakterisztikus függvénye

I Minden TG-pel felismerheto, azaz RE-beli nyelvkarakterisztikus függvénye megegyezik T valamelyik sorával

I z különbözik T minden sorátólI Ezek alapján Látló különbözik az összes RE-beli nyelvtol

Látló Turing-felismerhetetlen

TételLátló < RE.

A Cantor-féle átlós módszerrel adódik:Bizonyítás: Tekintsük azt a mindkét dimenziójábanmegszámlálhatóan végtelen méretu T bittáblázatot, melyreT (i, j) = 1 ⇔ w j ∈ L(Mi) (i, j ≥ 1) .Legyen z a T átlójában olvasható végtelen hosszú bitsztring, z a zbitenkénti komplementere. Ekkor:

I minden i ≥ 1-re, T i-ik sora az L(Mi) nyelv karakterisztikusfüggvénye

I z az Látló karakterisztikus függvényeI Minden TG-pel felismerheto, azaz RE-beli nyelv

karakterisztikus függvénye megegyezik T valamelyik sorával

I z különbözik T minden sorátólI Ezek alapján Látló különbözik az összes RE-beli nyelvtol

Látló Turing-felismerhetetlen

TételLátló < RE.

A Cantor-féle átlós módszerrel adódik:Bizonyítás: Tekintsük azt a mindkét dimenziójábanmegszámlálhatóan végtelen méretu T bittáblázatot, melyreT (i, j) = 1 ⇔ w j ∈ L(Mi) (i, j ≥ 1) .Legyen z a T átlójában olvasható végtelen hosszú bitsztring, z a zbitenkénti komplementere. Ekkor:

I minden i ≥ 1-re, T i-ik sora az L(Mi) nyelv karakterisztikusfüggvénye

I z az Látló karakterisztikus függvényeI Minden TG-pel felismerheto, azaz RE-beli nyelv

karakterisztikus függvénye megegyezik T valamelyik sorávalI z különbözik T minden sorától

I Ezek alapján Látló különbözik az összes RE-beli nyelvtol

Látló Turing-felismerhetetlen

TételLátló < RE.

A Cantor-féle átlós módszerrel adódik:Bizonyítás: Tekintsük azt a mindkét dimenziójábanmegszámlálhatóan végtelen méretu T bittáblázatot, melyreT (i, j) = 1 ⇔ w j ∈ L(Mi) (i, j ≥ 1) .Legyen z a T átlójában olvasható végtelen hosszú bitsztring, z a zbitenkénti komplementere. Ekkor:

I minden i ≥ 1-re, T i-ik sora az L(Mi) nyelv karakterisztikusfüggvénye

I z az Látló karakterisztikus függvényeI Minden TG-pel felismerheto, azaz RE-beli nyelv

karakterisztikus függvénye megegyezik T valamelyik sorávalI z különbözik T minden sorátólI Ezek alapján Látló különbözik az összes RE-beli nyelvtol

Az univerzális TGFelismerhetoség

Univerzális nyelv: Lu = {〈M,w〉 |w ∈ L(M)}.

TételLu ∈ RE

Bizonyítás: Konstruálunk egy 4 szalagos U "univerzális" TG-et, amiminden TG minden bementére szimulálja annak muködését.

1. szalag: U ezt csak olvassa, itt olvasható végig 〈M,w〉.

2. szalag: M aktuális szalagtartalma és a fej helyzete (elkódolva afentiek szerint)

3. szalag: M aktuális állapota (elkódolva a fentiek szerint)

4. szalag: segédszalag

Az univerzális TGFelismerhetoség

Univerzális nyelv: Lu = {〈M,w〉 |w ∈ L(M)}.

TételLu ∈ RE

Bizonyítás: Konstruálunk egy 4 szalagos U "univerzális" TG-et, amiminden TG minden bementére szimulálja annak muködését.

1. szalag: U ezt csak olvassa, itt olvasható végig 〈M,w〉.

2. szalag: M aktuális szalagtartalma és a fej helyzete (elkódolva afentiek szerint)

3. szalag: M aktuális állapota (elkódolva a fentiek szerint)

4. szalag: segédszalag

Az univerzális TGFelismerhetoség

Univerzális nyelv: Lu = {〈M,w〉 |w ∈ L(M)}.

TételLu ∈ RE

Bizonyítás: Konstruálunk egy 4 szalagos U "univerzális" TG-et, amiminden TG minden bementére szimulálja annak muködését.

1. szalag: U ezt csak olvassa, itt olvasható végig 〈M,w〉.

2. szalag: M aktuális szalagtartalma és a fej helyzete (elkódolva afentiek szerint)

3. szalag: M aktuális állapota (elkódolva a fentiek szerint)

4. szalag: segédszalag

Az univerzális TGFelismerhetoség

Univerzális nyelv: Lu = {〈M,w〉 |w ∈ L(M)}.

TételLu ∈ RE

Bizonyítás: Konstruálunk egy 4 szalagos U "univerzális" TG-et, amiminden TG minden bementére szimulálja annak muködését.

1. szalag: U ezt csak olvassa, itt olvasható végig 〈M,w〉.

2. szalag: M aktuális szalagtartalma és a fej helyzete (elkódolva afentiek szerint)

3. szalag: M aktuális állapota (elkódolva a fentiek szerint)

4. szalag: segédszalag

Az univerzális TGFelismerhetoség

U muködése vázlatosan:

I Megnézi, hogy a bemenetén szereplo szó elso része kódol-eTG-t; ha nem⇒ elutasítja a bemenetet

I ha igen⇒ felmásolja w-t a 2., q0 kódját a 3. szalagraI Szimulálja M egy lépését:

– Leolvassa a második szalagról M aktuálisan olvasottszalagszimbólumát.– Leolvassa a harmadik szalagról M aktuális állapotát.– Szimulálja M egy lépését M elso szalagon található leírásaalapján. Ehhez a 2. szalagon elo kell állítania az újszalagtartalmat a fej helyzetével és a 3. szalagon az új állapotot.Ehhez, ha szükséges használja a 4. szalagot. Ezt tovább nemrészletezzük, de látható, hogy U számára ehhez mindeninformáció rendelkezésre áll.

I Ha M aktuális állapota elfogadó vagy elutasító, akkor U is belépa saját elfogadó vagy elutasító állapotába.

Az univerzális TGFelismerhetoség

U muködése vázlatosan:I Megnézi, hogy a bemenetén szereplo szó elso része kódol-e

TG-t; ha nem⇒ elutasítja a bemenetet

I ha igen⇒ felmásolja w-t a 2., q0 kódját a 3. szalagraI Szimulálja M egy lépését:

– Leolvassa a második szalagról M aktuálisan olvasottszalagszimbólumát.– Leolvassa a harmadik szalagról M aktuális állapotát.– Szimulálja M egy lépését M elso szalagon található leírásaalapján. Ehhez a 2. szalagon elo kell állítania az újszalagtartalmat a fej helyzetével és a 3. szalagon az új állapotot.Ehhez, ha szükséges használja a 4. szalagot. Ezt tovább nemrészletezzük, de látható, hogy U számára ehhez mindeninformáció rendelkezésre áll.

I Ha M aktuális állapota elfogadó vagy elutasító, akkor U is belépa saját elfogadó vagy elutasító állapotába.

Az univerzális TGFelismerhetoség

U muködése vázlatosan:I Megnézi, hogy a bemenetén szereplo szó elso része kódol-e

TG-t; ha nem⇒ elutasítja a bemenetetI ha igen⇒ felmásolja w-t a 2., q0 kódját a 3. szalagraI Szimulálja M egy lépését:

– Leolvassa a második szalagról M aktuálisan olvasottszalagszimbólumát.– Leolvassa a harmadik szalagról M aktuális állapotát.– Szimulálja M egy lépését M elso szalagon található leírásaalapján. Ehhez a 2. szalagon elo kell állítania az újszalagtartalmat a fej helyzetével és a 3. szalagon az új állapotot.Ehhez, ha szükséges használja a 4. szalagot. Ezt tovább nemrészletezzük, de látható, hogy U számára ehhez mindeninformáció rendelkezésre áll.

I Ha M aktuális állapota elfogadó vagy elutasító, akkor U is belépa saját elfogadó vagy elutasító állapotába.

Az univerzális TGFelismerhetoség

U muködése vázlatosan:I Megnézi, hogy a bemenetén szereplo szó elso része kódol-e

TG-t; ha nem⇒ elutasítja a bemenetetI ha igen⇒ felmásolja w-t a 2., q0 kódját a 3. szalagraI Szimulálja M egy lépését:

– Leolvassa a második szalagról M aktuálisan olvasottszalagszimbólumát.

– Leolvassa a harmadik szalagról M aktuális állapotát.– Szimulálja M egy lépését M elso szalagon található leírásaalapján. Ehhez a 2. szalagon elo kell állítania az újszalagtartalmat a fej helyzetével és a 3. szalagon az új állapotot.Ehhez, ha szükséges használja a 4. szalagot. Ezt tovább nemrészletezzük, de látható, hogy U számára ehhez mindeninformáció rendelkezésre áll.

I Ha M aktuális állapota elfogadó vagy elutasító, akkor U is belépa saját elfogadó vagy elutasító állapotába.

Az univerzális TGFelismerhetoség

U muködése vázlatosan:I Megnézi, hogy a bemenetén szereplo szó elso része kódol-e

TG-t; ha nem⇒ elutasítja a bemenetetI ha igen⇒ felmásolja w-t a 2., q0 kódját a 3. szalagraI Szimulálja M egy lépését:

– Leolvassa a második szalagról M aktuálisan olvasottszalagszimbólumát.– Leolvassa a harmadik szalagról M aktuális állapotát.

– Szimulálja M egy lépését M elso szalagon található leírásaalapján. Ehhez a 2. szalagon elo kell állítania az újszalagtartalmat a fej helyzetével és a 3. szalagon az új állapotot.Ehhez, ha szükséges használja a 4. szalagot. Ezt tovább nemrészletezzük, de látható, hogy U számára ehhez mindeninformáció rendelkezésre áll.

I Ha M aktuális állapota elfogadó vagy elutasító, akkor U is belépa saját elfogadó vagy elutasító állapotába.

Az univerzális TGFelismerhetoség

U muködése vázlatosan:I Megnézi, hogy a bemenetén szereplo szó elso része kódol-e

TG-t; ha nem⇒ elutasítja a bemenetetI ha igen⇒ felmásolja w-t a 2., q0 kódját a 3. szalagraI Szimulálja M egy lépését:

– Leolvassa a második szalagról M aktuálisan olvasottszalagszimbólumát.– Leolvassa a harmadik szalagról M aktuális állapotát.– Szimulálja M egy lépését M elso szalagon található leírásaalapján. Ehhez a 2. szalagon elo kell állítania az újszalagtartalmat a fej helyzetével és a 3. szalagon az új állapotot.Ehhez, ha szükséges használja a 4. szalagot. Ezt tovább nemrészletezzük, de látható, hogy U számára ehhez mindeninformáció rendelkezésre áll.

I Ha M aktuális állapota elfogadó vagy elutasító, akkor U is belépa saját elfogadó vagy elutasító állapotába.

Az univerzális TGFelismerhetoség

U muködése vázlatosan:I Megnézi, hogy a bemenetén szereplo szó elso része kódol-e

TG-t; ha nem⇒ elutasítja a bemenetetI ha igen⇒ felmásolja w-t a 2., q0 kódját a 3. szalagraI Szimulálja M egy lépését:

– Leolvassa a második szalagról M aktuálisan olvasottszalagszimbólumát.– Leolvassa a harmadik szalagról M aktuális állapotát.– Szimulálja M egy lépését M elso szalagon található leírásaalapján. Ehhez a 2. szalagon elo kell állítania az újszalagtartalmat a fej helyzetével és a 3. szalagon az új állapotot.Ehhez, ha szükséges használja a 4. szalagot. Ezt tovább nemrészletezzük, de látható, hogy U számára ehhez mindeninformáció rendelkezésre áll.

I Ha M aktuális állapota elfogadó vagy elutasító, akkor U is belépa saját elfogadó vagy elutasító állapotába.

Az univerzális TGEldönthetetlenség

Megjegyzés: Ha M nem áll meg w-n, akkor U se áll meg 〈M,w〉-n,így U nem dönti el Lu-t.

TételLu < R.

Bizonyítás: Indirekt, tegyük fel, hogy létezik Lu-t eldönto M TG.M-et felhasználva készítünk egy Látló-t felismero M′ TG-et.

qi qiw111w qn qn

w

M′Másol M

w ∈ L(M′) ⇔ w111w < L(M)⇔ a w által kódolt TG nem fogadja elw-t⇔ w ∈ Látló.Tehát L(M′) = Látló, ami lehetetlen egy elozo tétel miatt.

Az univerzális TGEldönthetetlenség

Megjegyzés: Ha M nem áll meg w-n, akkor U se áll meg 〈M,w〉-n,így U nem dönti el Lu-t.

TételLu < R.

Bizonyítás: Indirekt, tegyük fel, hogy létezik Lu-t eldönto M TG.M-et felhasználva készítünk egy Látló-t felismero M′ TG-et.

qi qiw111w qn qn

w

M′Másol M

w ∈ L(M′) ⇔ w111w < L(M)⇔ a w által kódolt TG nem fogadja elw-t⇔ w ∈ Látló.Tehát L(M′) = Látló, ami lehetetlen egy elozo tétel miatt.

Az univerzális TGEldönthetetlenség

Megjegyzés: Ha M nem áll meg w-n, akkor U se áll meg 〈M,w〉-n,így U nem dönti el Lu-t.

TételLu < R.

Bizonyítás: Indirekt, tegyük fel, hogy létezik Lu-t eldönto M TG.M-et felhasználva készítünk egy Látló-t felismero M′ TG-et.

qi qiw111w qn qn

w

M′Másol M

w ∈ L(M′) ⇔ w111w < L(M)⇔ a w által kódolt TG nem fogadja elw-t⇔ w ∈ Látló.Tehát L(M′) = Látló, ami lehetetlen egy elozo tétel miatt.

Az univerzális TGEldönthetetlenség

Megjegyzés: Ha M nem áll meg w-n, akkor U se áll meg 〈M,w〉-n,így U nem dönti el Lu-t.

TételLu < R.

Bizonyítás: Indirekt, tegyük fel, hogy létezik Lu-t eldönto M TG.M-et felhasználva készítünk egy Látló-t felismero M′ TG-et.

qi qiw111w qn qn

w

M′Másol M

w ∈ L(M′) ⇔ w111w < L(M)⇔ a w által kódolt TG nem fogadja elw-t⇔ w ∈ Látló.Tehát L(M′) = Látló, ami lehetetlen egy elozo tétel miatt.

Az univerzális TGEldönthetetlenség

Megjegyzés: Ha M nem áll meg w-n, akkor U se áll meg 〈M,w〉-n,így U nem dönti el Lu-t.

TételLu < R.

Bizonyítás: Indirekt, tegyük fel, hogy létezik Lu-t eldönto M TG.M-et felhasználva készítünk egy Látló-t felismero M′ TG-et.

qi qiw111w qn qn

w

M′Másol M

w ∈ L(M′)

⇔ w111w < L(M)⇔ a w által kódolt TG nem fogadja elw-t⇔ w ∈ Látló.Tehát L(M′) = Látló, ami lehetetlen egy elozo tétel miatt.

Az univerzális TGEldönthetetlenség

Megjegyzés: Ha M nem áll meg w-n, akkor U se áll meg 〈M,w〉-n,így U nem dönti el Lu-t.

TételLu < R.

Bizonyítás: Indirekt, tegyük fel, hogy létezik Lu-t eldönto M TG.M-et felhasználva készítünk egy Látló-t felismero M′ TG-et.

qi qiw111w qn qn

w

M′Másol M

w ∈ L(M′) ⇔ w111w < L(M)

⇔ a w által kódolt TG nem fogadja elw-t⇔ w ∈ Látló.Tehát L(M′) = Látló, ami lehetetlen egy elozo tétel miatt.

Az univerzális TGEldönthetetlenség

Megjegyzés: Ha M nem áll meg w-n, akkor U se áll meg 〈M,w〉-n,így U nem dönti el Lu-t.

TételLu < R.

Bizonyítás: Indirekt, tegyük fel, hogy létezik Lu-t eldönto M TG.M-et felhasználva készítünk egy Látló-t felismero M′ TG-et.

qi qiw111w qn qn

w

M′Másol M

w ∈ L(M′) ⇔ w111w < L(M)⇔ a w által kódolt TG nem fogadja elw-t

⇔ w ∈ Látló.Tehát L(M′) = Látló, ami lehetetlen egy elozo tétel miatt.

Az univerzális TGEldönthetetlenség

Megjegyzés: Ha M nem áll meg w-n, akkor U se áll meg 〈M,w〉-n,így U nem dönti el Lu-t.

TételLu < R.

Bizonyítás: Indirekt, tegyük fel, hogy létezik Lu-t eldönto M TG.M-et felhasználva készítünk egy Látló-t felismero M′ TG-et.

qi qiw111w qn qn

w

M′Másol M

w ∈ L(M′) ⇔ w111w < L(M)⇔ a w által kódolt TG nem fogadja elw-t⇔ w ∈ Látló.

Tehát L(M′) = Látló, ami lehetetlen egy elozo tétel miatt.

Az univerzális TGEldönthetetlenség

Megjegyzés: Ha M nem áll meg w-n, akkor U se áll meg 〈M,w〉-n,így U nem dönti el Lu-t.

TételLu < R.

Bizonyítás: Indirekt, tegyük fel, hogy létezik Lu-t eldönto M TG.M-et felhasználva készítünk egy Látló-t felismero M′ TG-et.

qi qiw111w qn qn

w

M′Másol M

w ∈ L(M′) ⇔ w111w < L(M)⇔ a w által kódolt TG nem fogadja elw-t⇔ w ∈ Látló.Tehát L(M′) = Látló, ami lehetetlen egy elozo tétel miatt.

RE és R tulajdonságaiJelölés: Ha L ⊆ Σ∗, akkor jelölje L = {u ∈ Σ∗ | u < L}.

TételHa L és L ∈ RE, akkor L ∈ R.

Bizonyítás: Legyen M1 és M2 rendre az L-t és L-t felismero TG.

Konstruáljuk meg az M′ kétszalagos TG-t:

qi qi

qi qn

w w

wM′

MásolM1

M2

M′ lemásolja w-t a második szalagjára, majd felváltva szimulálja M1és M2 egy-egy lépését addig, amíg valamelyik elfogadó állapotba lép.Így M′ az L-et ismeri fel, és minden bemeneten meg is áll, azaz L ∈ R.

RE és R tulajdonságaiJelölés: Ha L ⊆ Σ∗, akkor jelölje L = {u ∈ Σ∗ | u < L}.

TételHa L és L ∈ RE, akkor L ∈ R.

Bizonyítás: Legyen M1 és M2 rendre az L-t és L-t felismero TG.Konstruáljuk meg az M′ kétszalagos TG-t:

qi qi

qi qn

w w

wM′

MásolM1

M2

M′ lemásolja w-t a második szalagjára, majd felváltva szimulálja M1és M2 egy-egy lépését addig, amíg valamelyik elfogadó állapotba lép.Így M′ az L-et ismeri fel, és minden bemeneten meg is áll, azaz L ∈ R.

RE és R tulajdonságaiJelölés: Ha L ⊆ Σ∗, akkor jelölje L = {u ∈ Σ∗ | u < L}.

TételHa L és L ∈ RE, akkor L ∈ R.

Bizonyítás: Legyen M1 és M2 rendre az L-t és L-t felismero TG.Konstruáljuk meg az M′ kétszalagos TG-t:

qi qi

qi qn

w w

wM′

MásolM1

M2

M′ lemásolja w-t a második szalagjára, majd felváltva szimulálja M1és M2 egy-egy lépését addig, amíg valamelyik elfogadó állapotba lép.

Így M′ az L-et ismeri fel, és minden bemeneten meg is áll, azaz L ∈ R.

RE és R tulajdonságaiJelölés: Ha L ⊆ Σ∗, akkor jelölje L = {u ∈ Σ∗ | u < L}.

TételHa L és L ∈ RE, akkor L ∈ R.

Bizonyítás: Legyen M1 és M2 rendre az L-t és L-t felismero TG.Konstruáljuk meg az M′ kétszalagos TG-t:

qi qi

qi qn

w w

wM′

MásolM1

M2

M′ lemásolja w-t a második szalagjára, majd felváltva szimulálja M1és M2 egy-egy lépését addig, amíg valamelyik elfogadó állapotba lép.Így M′ az L-et ismeri fel, és minden bemeneten meg is áll, azaz L ∈ R.

RE és R tulajdonságai

KövetkezményRE nem zárt a komplementer-képzésre.

Bizonyítás:Legyen L ∈ RE \ R (Lu pl. egy ilyen nyelv) Ekkor L < RE, hiszen haL ∈ RE lenne, akkor ebbol az elozo tétel miatt L ∈ R következne, amiellentmondás.

TételHa L ∈ R, akkor L ∈ R. (Azaz R zárt a komplementer-képzésre.)

Bizonyítás: Legyen L ∈ R és M egy TG, ami az L-t dönti el. Akkoraz alábbi M′ L-t dönti el:

qi qi

qn qnw

M′M

RE és R tulajdonságai

KövetkezményRE nem zárt a komplementer-képzésre.

Bizonyítás:Legyen L ∈ RE \ R (Lu pl. egy ilyen nyelv) Ekkor L < RE, hiszen haL ∈ RE lenne, akkor ebbol az elozo tétel miatt L ∈ R következne, amiellentmondás.

TételHa L ∈ R, akkor L ∈ R. (Azaz R zárt a komplementer-képzésre.)

Bizonyítás: Legyen L ∈ R és M egy TG, ami az L-t dönti el. Akkoraz alábbi M′ L-t dönti el:

qi qi

qn qnw

M′M

RE és R tulajdonságai

KövetkezményRE nem zárt a komplementer-képzésre.

Bizonyítás:Legyen L ∈ RE \ R (Lu pl. egy ilyen nyelv) Ekkor L < RE, hiszen haL ∈ RE lenne, akkor ebbol az elozo tétel miatt L ∈ R következne, amiellentmondás.

TételHa L ∈ R, akkor L ∈ R. (Azaz R zárt a komplementer-képzésre.)

Bizonyítás: Legyen L ∈ R és M egy TG, ami az L-t dönti el. Akkoraz alábbi M′ L-t dönti el:

qi qi

qn qnw

M′M

RE és R tulajdonságai

KövetkezményRE nem zárt a komplementer-képzésre.

Bizonyítás:Legyen L ∈ RE \ R (Lu pl. egy ilyen nyelv) Ekkor L < RE, hiszen haL ∈ RE lenne, akkor ebbol az elozo tétel miatt L ∈ R következne, amiellentmondás.

TételHa L ∈ R, akkor L ∈ R. (Azaz R zárt a komplementer-képzésre.)

Bizonyítás: Legyen L ∈ R és M egy TG, ami az L-t dönti el.

Akkoraz alábbi M′ L-t dönti el:

qi qi

qn qnw

M′M

RE és R tulajdonságai

KövetkezményRE nem zárt a komplementer-képzésre.

Bizonyítás:Legyen L ∈ RE \ R (Lu pl. egy ilyen nyelv) Ekkor L < RE, hiszen haL ∈ RE lenne, akkor ebbol az elozo tétel miatt L ∈ R következne, amiellentmondás.

TételHa L ∈ R, akkor L ∈ R. (Azaz R zárt a komplementer-képzésre.)

Bizonyítás: Legyen L ∈ R és M egy TG, ami az L-t dönti el. Akkoraz alábbi M′ L-t dönti el:

qi qi

qn qnw

M′M

Visszavezetés

Kiszámítható szófüggvényAz f : Σ∗ → ∆∗ szófüggvény kiszámítható, ha van olyan Turing-gép,ami kiszámítja. [lásd szófüggvényt kiszámító TG]

VisszavezetésL1 ⊆ Σ∗ visszavezetheto L2 ⊆ ∆∗-ra, ha van olyan f : Σ∗ → ∆∗

kiszámítható szófüggvény, hogy w ∈ L1 ⇔ f (w) ∈ L2. Jelölés:L1 ≤ L2

[A fogalom Emil Posttól származik, angol szakirodalomban:many-one reducibility]

Visszavezetés

Kiszámítható szófüggvényAz f : Σ∗ → ∆∗ szófüggvény kiszámítható, ha van olyan Turing-gép,ami kiszámítja. [lásd szófüggvényt kiszámító TG]

VisszavezetésL1 ⊆ Σ∗ visszavezetheto L2 ⊆ ∆∗-ra, ha van olyan f : Σ∗ → ∆∗

kiszámítható szófüggvény, hogy w ∈ L1 ⇔ f (w) ∈ L2. Jelölés:L1 ≤ L2

[A fogalom Emil Posttól származik, angol szakirodalomban:many-one reducibility]

Visszavezetés

Kiszámítható szófüggvényAz f : Σ∗ → ∆∗ szófüggvény kiszámítható, ha van olyan Turing-gép,ami kiszámítja. [lásd szófüggvényt kiszámító TG]

VisszavezetésL1 ⊆ Σ∗ visszavezetheto L2 ⊆ ∆∗-ra, ha van olyan f : Σ∗ → ∆∗

kiszámítható szófüggvény, hogy w ∈ L1 ⇔ f (w) ∈ L2. Jelölés:L1 ≤ L2

[A fogalom Emil Posttól származik, angol szakirodalomban:many-one reducibility]

VisszavezetésL1 ≤ L2

L1

L1

L2

L2

Σ∗

∆∗

f

f kiszámítható, az egész Σ∗-on értelmezett, f (L1) ⊆ L2 valamintf (L1) ⊆ L2. f nem kell hogy injektív legyen és az se, hogy szürjektív.

TételI Ha L1 ≤ L2 és L2 ∈ RE, akkor L1 ∈ RE.I Ha L1 ≤ L2 és L2 ∈ R, akkor L1 ∈ R.

VisszavezetésL1 ≤ L2

L1

L1

L2

L2

Σ∗

∆∗

f

f kiszámítható, az egész Σ∗-on értelmezett, f (L1) ⊆ L2 valamintf (L1) ⊆ L2.

f nem kell hogy injektív legyen és az se, hogy szürjektív.

TételI Ha L1 ≤ L2 és L2 ∈ RE, akkor L1 ∈ RE.I Ha L1 ≤ L2 és L2 ∈ R, akkor L1 ∈ R.

VisszavezetésL1 ≤ L2

L1

L1

L2

L2

Σ∗

∆∗

f

f kiszámítható, az egész Σ∗-on értelmezett, f (L1) ⊆ L2 valamintf (L1) ⊆ L2. f nem kell hogy injektív legyen és az se, hogy szürjektív.

TételI Ha L1 ≤ L2 és L2 ∈ RE, akkor L1 ∈ RE.I Ha L1 ≤ L2 és L2 ∈ R, akkor L1 ∈ R.

VisszavezetésL1 ≤ L2

L1

L1

L2

L2

Σ∗

∆∗

f

f kiszámítható, az egész Σ∗-on értelmezett, f (L1) ⊆ L2 valamintf (L1) ⊆ L2. f nem kell hogy injektív legyen és az se, hogy szürjektív.

TételI Ha L1 ≤ L2 és L2 ∈ RE, akkor L1 ∈ RE.I Ha L1 ≤ L2 és L2 ∈ R, akkor L1 ∈ R.

VisszavezetésBizonyítás:Legyen L2 ∈ RE (∈ R) és tegyük fel, hogy L1 ≤ L2. Legyen M2 azL2-t felismero (eldönto), M pedig a visszavezetést kiszámító TG.

Konstruáljuk meg M1 -et:

qi qi

qn qnw f (w)

M1

M M2

Ha M2 felismeri L2-t M1 is fel fogja ismerni L1-t, ha el is dönti, akkorM1 is el fogja dönteni.

KövetkezményI Ha L1 ≤ L2 és L1 < RE, akkor L2 < RE.I Ha L1 ≤ L2 és L1 < R, akkor L2 < R.

Bizonyítás: Indirekten azonnal adódik a fenti tételbol.

VisszavezetésBizonyítás:Legyen L2 ∈ RE (∈ R) és tegyük fel, hogy L1 ≤ L2. Legyen M2 azL2-t felismero (eldönto), M pedig a visszavezetést kiszámító TG.Konstruáljuk meg M1 -et:

qi qi

qn qnw f (w)

M1

M M2

Ha M2 felismeri L2-t M1 is fel fogja ismerni L1-t, ha el is dönti, akkorM1 is el fogja dönteni.

KövetkezményI Ha L1 ≤ L2 és L1 < RE, akkor L2 < RE.I Ha L1 ≤ L2 és L1 < R, akkor L2 < R.

Bizonyítás: Indirekten azonnal adódik a fenti tételbol.

VisszavezetésBizonyítás:Legyen L2 ∈ RE (∈ R) és tegyük fel, hogy L1 ≤ L2. Legyen M2 azL2-t felismero (eldönto), M pedig a visszavezetést kiszámító TG.Konstruáljuk meg M1 -et:

qi qi

qn qnw f (w)

M1

M M2

Ha M2 felismeri L2-t M1 is fel fogja ismerni L1-t, ha el is dönti, akkorM1 is el fogja dönteni.

KövetkezményI Ha L1 ≤ L2 és L1 < RE, akkor L2 < RE.I Ha L1 ≤ L2 és L1 < R, akkor L2 < R.

Bizonyítás: Indirekten azonnal adódik a fenti tételbol.

VisszavezetésBizonyítás:Legyen L2 ∈ RE (∈ R) és tegyük fel, hogy L1 ≤ L2. Legyen M2 azL2-t felismero (eldönto), M pedig a visszavezetést kiszámító TG.Konstruáljuk meg M1 -et:

qi qi

qn qnw f (w)

M1

M M2

Ha M2 felismeri L2-t M1 is fel fogja ismerni L1-t, ha el is dönti, akkorM1 is el fogja dönteni.

KövetkezményI Ha L1 ≤ L2 és L1 < RE, akkor L2 < RE.I Ha L1 ≤ L2 és L1 < R, akkor L2 < R.

Bizonyítás: Indirekten azonnal adódik a fenti tételbol.

VisszavezetésBizonyítás:Legyen L2 ∈ RE (∈ R) és tegyük fel, hogy L1 ≤ L2. Legyen M2 azL2-t felismero (eldönto), M pedig a visszavezetést kiszámító TG.Konstruáljuk meg M1 -et:

qi qi

qn qnw f (w)

M1

M M2

Ha M2 felismeri L2-t M1 is fel fogja ismerni L1-t, ha el is dönti, akkorM1 is el fogja dönteni.

KövetkezményI Ha L1 ≤ L2 és L1 < RE, akkor L2 < RE.I Ha L1 ≤ L2 és L1 < R, akkor L2 < R.

Bizonyítás: Indirekten azonnal adódik a fenti tételbol.

VisszavezetésBizonyítás:Legyen L2 ∈ RE (∈ R) és tegyük fel, hogy L1 ≤ L2. Legyen M2 azL2-t felismero (eldönto), M pedig a visszavezetést kiszámító TG.Konstruáljuk meg M1 -et:

qi qi

qn qnw f (w)

M1

M M2

Ha M2 felismeri L2-t M1 is fel fogja ismerni L1-t, ha el is dönti, akkorM1 is el fogja dönteni.

KövetkezményI Ha L1 ≤ L2 és L1 < RE, akkor L2 < RE.I Ha L1 ≤ L2 és L1 < R, akkor L2 < R.

Bizonyítás: Indirekten azonnal adódik a fenti tételbol.

A Turing gépek megállási problémájaMegállási probléma:Lh = {〈M,w〉 |M megáll a w bemeneten}.[Megjegyzés: más jegyzetekben Lhalt néven is elofordulhat.]

Észrevétel: Lu ⊆ Lh

Igaz-e ha A ⊆ B, és A eldönthetetlen akkor B is az? Nem.

TételLh < R.

Bizonyítás: Az elozo tétel alapján elég megmutatni, hogy Lu ≤ Lh,hiszen tudjuk, hogy Lu < R.Tetszoleges M TG-re, legyen M′ az alábbi TG:M′ tetszoleges u bemeneten a következoket teszi:

1. Futtatja M-et u-n

2. Ha M qi-be lép, akkor M′ is qi -be lép

3. Ha M qn-be lép, akkor M′ végtelen ciklusba kerül

A Turing gépek megállási problémájaMegállási probléma:Lh = {〈M,w〉 |M megáll a w bemeneten}.[Megjegyzés: más jegyzetekben Lhalt néven is elofordulhat.]Észrevétel: Lu ⊆ Lh

Igaz-e ha A ⊆ B, és A eldönthetetlen akkor B is az? Nem.

TételLh < R.

Bizonyítás: Az elozo tétel alapján elég megmutatni, hogy Lu ≤ Lh,hiszen tudjuk, hogy Lu < R.Tetszoleges M TG-re, legyen M′ az alábbi TG:M′ tetszoleges u bemeneten a következoket teszi:

1. Futtatja M-et u-n

2. Ha M qi-be lép, akkor M′ is qi -be lép

3. Ha M qn-be lép, akkor M′ végtelen ciklusba kerül

A Turing gépek megállási problémájaMegállási probléma:Lh = {〈M,w〉 |M megáll a w bemeneten}.[Megjegyzés: más jegyzetekben Lhalt néven is elofordulhat.]Észrevétel: Lu ⊆ Lh

Igaz-e ha A ⊆ B, és A eldönthetetlen akkor B is az?

Nem.

TételLh < R.

Bizonyítás: Az elozo tétel alapján elég megmutatni, hogy Lu ≤ Lh,hiszen tudjuk, hogy Lu < R.Tetszoleges M TG-re, legyen M′ az alábbi TG:M′ tetszoleges u bemeneten a következoket teszi:

1. Futtatja M-et u-n

2. Ha M qi-be lép, akkor M′ is qi -be lép

3. Ha M qn-be lép, akkor M′ végtelen ciklusba kerül

A Turing gépek megállási problémájaMegállási probléma:Lh = {〈M,w〉 |M megáll a w bemeneten}.[Megjegyzés: más jegyzetekben Lhalt néven is elofordulhat.]Észrevétel: Lu ⊆ Lh

Igaz-e ha A ⊆ B, és A eldönthetetlen akkor B is az? Nem.

TételLh < R.

Bizonyítás: Az elozo tétel alapján elég megmutatni, hogy Lu ≤ Lh,hiszen tudjuk, hogy Lu < R.Tetszoleges M TG-re, legyen M′ az alábbi TG:M′ tetszoleges u bemeneten a következoket teszi:

1. Futtatja M-et u-n

2. Ha M qi-be lép, akkor M′ is qi -be lép

3. Ha M qn-be lép, akkor M′ végtelen ciklusba kerül

A Turing gépek megállási problémájaMegállási probléma:Lh = {〈M,w〉 |M megáll a w bemeneten}.[Megjegyzés: más jegyzetekben Lhalt néven is elofordulhat.]Észrevétel: Lu ⊆ Lh

Igaz-e ha A ⊆ B, és A eldönthetetlen akkor B is az? Nem.

TételLh < R.

Bizonyítás: Az elozo tétel alapján elég megmutatni, hogy Lu ≤ Lh,hiszen tudjuk, hogy Lu < R.Tetszoleges M TG-re, legyen M′ az alábbi TG:M′ tetszoleges u bemeneten a következoket teszi:

1. Futtatja M-et u-n

2. Ha M qi-be lép, akkor M′ is qi -be lép

3. Ha M qn-be lép, akkor M′ végtelen ciklusba kerül

A Turing gépek megállási problémájaMegállási probléma:Lh = {〈M,w〉 |M megáll a w bemeneten}.[Megjegyzés: más jegyzetekben Lhalt néven is elofordulhat.]Észrevétel: Lu ⊆ Lh

Igaz-e ha A ⊆ B, és A eldönthetetlen akkor B is az? Nem.

TételLh < R.

Bizonyítás: Az elozo tétel alapján elég megmutatni, hogy Lu ≤ Lh,hiszen tudjuk, hogy Lu < R.

Tetszoleges M TG-re, legyen M′ az alábbi TG:M′ tetszoleges u bemeneten a következoket teszi:

1. Futtatja M-et u-n

2. Ha M qi-be lép, akkor M′ is qi -be lép

3. Ha M qn-be lép, akkor M′ végtelen ciklusba kerül

A Turing gépek megállási problémájaMegállási probléma:Lh = {〈M,w〉 |M megáll a w bemeneten}.[Megjegyzés: más jegyzetekben Lhalt néven is elofordulhat.]Észrevétel: Lu ⊆ Lh

Igaz-e ha A ⊆ B, és A eldönthetetlen akkor B is az? Nem.

TételLh < R.

Bizonyítás: Az elozo tétel alapján elég megmutatni, hogy Lu ≤ Lh,hiszen tudjuk, hogy Lu < R.Tetszoleges M TG-re, legyen M′ az alábbi TG:

M′ tetszoleges u bemeneten a következoket teszi:

1. Futtatja M-et u-n

2. Ha M qi-be lép, akkor M′ is qi -be lép

3. Ha M qn-be lép, akkor M′ végtelen ciklusba kerül

A Turing gépek megállási problémájaMegállási probléma:Lh = {〈M,w〉 |M megáll a w bemeneten}.[Megjegyzés: más jegyzetekben Lhalt néven is elofordulhat.]Észrevétel: Lu ⊆ Lh

Igaz-e ha A ⊆ B, és A eldönthetetlen akkor B is az? Nem.

TételLh < R.

Bizonyítás: Az elozo tétel alapján elég megmutatni, hogy Lu ≤ Lh,hiszen tudjuk, hogy Lu < R.Tetszoleges M TG-re, legyen M′ az alábbi TG:M′ tetszoleges u bemeneten a következoket teszi:

1. Futtatja M-et u-n

2. Ha M qi-be lép, akkor M′ is qi -be lép

3. Ha M qn-be lép, akkor M′ végtelen ciklusba kerül

A Turing gépek megállási problémájaMegállási probléma:Lh = {〈M,w〉 |M megáll a w bemeneten}.[Megjegyzés: más jegyzetekben Lhalt néven is elofordulhat.]Észrevétel: Lu ⊆ Lh

Igaz-e ha A ⊆ B, és A eldönthetetlen akkor B is az? Nem.

TételLh < R.

Bizonyítás: Az elozo tétel alapján elég megmutatni, hogy Lu ≤ Lh,hiszen tudjuk, hogy Lu < R.Tetszoleges M TG-re, legyen M′ az alábbi TG:M′ tetszoleges u bemeneten a következoket teszi:

1. Futtatja M-et u-n

2. Ha M qi-be lép, akkor M′ is qi -be lép

3. Ha M qn-be lép, akkor M′ végtelen ciklusba kerül

A Turing gépek megállási problémájaBizonyítás: (folyt.)Belátható, hogy

I f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvényI Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra 〈M,w〉 ∈ Lu ⇔ M elfogadja

w-t⇔ M′ megáll w-n⇔ 〈M′,w〉 ∈ Lh

Tehát f által Lu visszavezetheto Lh-ra. Így Lh < R.

Megjegyzés: Visszavezetések megadásakor jellemzoen csak azonszavakra térünk ki, amelyek ténylegesen kódolnak valamilyennyelvbeli objektumot (TG-t, (TG,szó) párt, stb.)

Pl. a fenti esetben nem foglalkoztunk azzal, hogy f mit rendeljenolyan szavakhoz, melyek nem kódolnak (TG, szó) párt. Ez általábanegy könnyen kezelheto eset, most:

f (x) =

{〈M′,w〉 ha ∃M TG, hogy x = 〈M,w〉

ε egyébként,(x ∈ {0, 1}∗)

hiszen ε nem kódol (TG,szó) párt (Lh elemei (TG,szó) párok).

A Turing gépek megállási problémájaBizonyítás: (folyt.)Belátható, hogyI f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvény

I Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra 〈M,w〉 ∈ Lu ⇔ M elfogadjaw-t⇔ M′ megáll w-n⇔ 〈M′,w〉 ∈ Lh

Tehát f által Lu visszavezetheto Lh-ra. Így Lh < R.

Megjegyzés: Visszavezetések megadásakor jellemzoen csak azonszavakra térünk ki, amelyek ténylegesen kódolnak valamilyennyelvbeli objektumot (TG-t, (TG,szó) párt, stb.)

Pl. a fenti esetben nem foglalkoztunk azzal, hogy f mit rendeljenolyan szavakhoz, melyek nem kódolnak (TG, szó) párt. Ez általábanegy könnyen kezelheto eset, most:

f (x) =

{〈M′,w〉 ha ∃M TG, hogy x = 〈M,w〉

ε egyébként,(x ∈ {0, 1}∗)

hiszen ε nem kódol (TG,szó) párt (Lh elemei (TG,szó) párok).

A Turing gépek megállási problémájaBizonyítás: (folyt.)Belátható, hogyI f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvényI Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra

〈M,w〉 ∈ Lu ⇔ M elfogadjaw-t⇔ M′ megáll w-n⇔ 〈M′,w〉 ∈ Lh

Tehát f által Lu visszavezetheto Lh-ra. Így Lh < R.

Megjegyzés: Visszavezetések megadásakor jellemzoen csak azonszavakra térünk ki, amelyek ténylegesen kódolnak valamilyennyelvbeli objektumot (TG-t, (TG,szó) párt, stb.)

Pl. a fenti esetben nem foglalkoztunk azzal, hogy f mit rendeljenolyan szavakhoz, melyek nem kódolnak (TG, szó) párt. Ez általábanegy könnyen kezelheto eset, most:

f (x) =

{〈M′,w〉 ha ∃M TG, hogy x = 〈M,w〉

ε egyébként,(x ∈ {0, 1}∗)

hiszen ε nem kódol (TG,szó) párt (Lh elemei (TG,szó) párok).

A Turing gépek megállási problémájaBizonyítás: (folyt.)Belátható, hogyI f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvényI Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra 〈M,w〉 ∈ Lu ⇔

M elfogadjaw-t⇔ M′ megáll w-n⇔ 〈M′,w〉 ∈ Lh

Tehát f által Lu visszavezetheto Lh-ra. Így Lh < R.

Megjegyzés: Visszavezetések megadásakor jellemzoen csak azonszavakra térünk ki, amelyek ténylegesen kódolnak valamilyennyelvbeli objektumot (TG-t, (TG,szó) párt, stb.)

Pl. a fenti esetben nem foglalkoztunk azzal, hogy f mit rendeljenolyan szavakhoz, melyek nem kódolnak (TG, szó) párt. Ez általábanegy könnyen kezelheto eset, most:

f (x) =

{〈M′,w〉 ha ∃M TG, hogy x = 〈M,w〉

ε egyébként,(x ∈ {0, 1}∗)

hiszen ε nem kódol (TG,szó) párt (Lh elemei (TG,szó) párok).

A Turing gépek megállási problémájaBizonyítás: (folyt.)Belátható, hogyI f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvényI Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra 〈M,w〉 ∈ Lu ⇔ M elfogadja

w-t⇔

M′ megáll w-n⇔ 〈M′,w〉 ∈ Lh

Tehát f által Lu visszavezetheto Lh-ra. Így Lh < R.

Megjegyzés: Visszavezetések megadásakor jellemzoen csak azonszavakra térünk ki, amelyek ténylegesen kódolnak valamilyennyelvbeli objektumot (TG-t, (TG,szó) párt, stb.)

Pl. a fenti esetben nem foglalkoztunk azzal, hogy f mit rendeljenolyan szavakhoz, melyek nem kódolnak (TG, szó) párt. Ez általábanegy könnyen kezelheto eset, most:

f (x) =

{〈M′,w〉 ha ∃M TG, hogy x = 〈M,w〉

ε egyébként,(x ∈ {0, 1}∗)

hiszen ε nem kódol (TG,szó) párt (Lh elemei (TG,szó) párok).

A Turing gépek megállási problémájaBizonyítás: (folyt.)Belátható, hogyI f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvényI Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra 〈M,w〉 ∈ Lu ⇔ M elfogadja

w-t⇔ M′ megáll w-n⇔

〈M′,w〉 ∈ Lh

Tehát f által Lu visszavezetheto Lh-ra. Így Lh < R.

Megjegyzés: Visszavezetések megadásakor jellemzoen csak azonszavakra térünk ki, amelyek ténylegesen kódolnak valamilyennyelvbeli objektumot (TG-t, (TG,szó) párt, stb.)

Pl. a fenti esetben nem foglalkoztunk azzal, hogy f mit rendeljenolyan szavakhoz, melyek nem kódolnak (TG, szó) párt. Ez általábanegy könnyen kezelheto eset, most:

f (x) =

{〈M′,w〉 ha ∃M TG, hogy x = 〈M,w〉

ε egyébként,(x ∈ {0, 1}∗)

hiszen ε nem kódol (TG,szó) párt (Lh elemei (TG,szó) párok).

A Turing gépek megállási problémájaBizonyítás: (folyt.)Belátható, hogyI f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvényI Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra 〈M,w〉 ∈ Lu ⇔ M elfogadja

w-t⇔ M′ megáll w-n⇔ 〈M′,w〉 ∈ Lh

Tehát f által Lu visszavezetheto Lh-ra.

Így Lh < R.

Megjegyzés: Visszavezetések megadásakor jellemzoen csak azonszavakra térünk ki, amelyek ténylegesen kódolnak valamilyennyelvbeli objektumot (TG-t, (TG,szó) párt, stb.)

Pl. a fenti esetben nem foglalkoztunk azzal, hogy f mit rendeljenolyan szavakhoz, melyek nem kódolnak (TG, szó) párt. Ez általábanegy könnyen kezelheto eset, most:

f (x) =

{〈M′,w〉 ha ∃M TG, hogy x = 〈M,w〉

ε egyébként,(x ∈ {0, 1}∗)

hiszen ε nem kódol (TG,szó) párt (Lh elemei (TG,szó) párok).

A Turing gépek megállási problémájaBizonyítás: (folyt.)Belátható, hogyI f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvényI Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra 〈M,w〉 ∈ Lu ⇔ M elfogadja

w-t⇔ M′ megáll w-n⇔ 〈M′,w〉 ∈ Lh

Tehát f által Lu visszavezetheto Lh-ra. Így Lh < R.

Megjegyzés: Visszavezetések megadásakor jellemzoen csak azonszavakra térünk ki, amelyek ténylegesen kódolnak valamilyennyelvbeli objektumot (TG-t, (TG,szó) párt, stb.)

Pl. a fenti esetben nem foglalkoztunk azzal, hogy f mit rendeljenolyan szavakhoz, melyek nem kódolnak (TG, szó) párt. Ez általábanegy könnyen kezelheto eset, most:

f (x) =

{〈M′,w〉 ha ∃M TG, hogy x = 〈M,w〉

ε egyébként,(x ∈ {0, 1}∗)

hiszen ε nem kódol (TG,szó) párt (Lh elemei (TG,szó) párok).

A Turing gépek megállási problémájaBizonyítás: (folyt.)Belátható, hogyI f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvényI Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra 〈M,w〉 ∈ Lu ⇔ M elfogadja

w-t⇔ M′ megáll w-n⇔ 〈M′,w〉 ∈ Lh

Tehát f által Lu visszavezetheto Lh-ra. Így Lh < R.

Megjegyzés: Visszavezetések megadásakor jellemzoen csak azonszavakra térünk ki, amelyek ténylegesen kódolnak valamilyennyelvbeli objektumot (TG-t, (TG,szó) párt, stb.)

Pl. a fenti esetben nem foglalkoztunk azzal, hogy f mit rendeljenolyan szavakhoz, melyek nem kódolnak (TG, szó) párt. Ez általábanegy könnyen kezelheto eset, most:

f (x) =

{〈M′,w〉 ha ∃M TG, hogy x = 〈M,w〉

ε egyébként,(x ∈ {0, 1}∗)

hiszen ε nem kódol (TG,szó) párt (Lh elemei (TG,szó) párok).

A Turing gépek megállási problémájaBizonyítás: (folyt.)Belátható, hogyI f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvényI Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra 〈M,w〉 ∈ Lu ⇔ M elfogadja

w-t⇔ M′ megáll w-n⇔ 〈M′,w〉 ∈ Lh

Tehát f által Lu visszavezetheto Lh-ra. Így Lh < R.

Megjegyzés: Visszavezetések megadásakor jellemzoen csak azonszavakra térünk ki, amelyek ténylegesen kódolnak valamilyennyelvbeli objektumot (TG-t, (TG,szó) párt, stb.)

Pl. a fenti esetben nem foglalkoztunk azzal, hogy f mit rendeljenolyan szavakhoz, melyek nem kódolnak (TG, szó) párt. Ez általábanegy könnyen kezelheto eset,

most:

f (x) =

{〈M′,w〉 ha ∃M TG, hogy x = 〈M,w〉

ε egyébként,(x ∈ {0, 1}∗)

hiszen ε nem kódol (TG,szó) párt (Lh elemei (TG,szó) párok).

A Turing gépek megállási problémájaBizonyítás: (folyt.)Belátható, hogyI f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvényI Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra 〈M,w〉 ∈ Lu ⇔ M elfogadja

w-t⇔ M′ megáll w-n⇔ 〈M′,w〉 ∈ Lh

Tehát f által Lu visszavezetheto Lh-ra. Így Lh < R.

Megjegyzés: Visszavezetések megadásakor jellemzoen csak azonszavakra térünk ki, amelyek ténylegesen kódolnak valamilyennyelvbeli objektumot (TG-t, (TG,szó) párt, stb.)

Pl. a fenti esetben nem foglalkoztunk azzal, hogy f mit rendeljenolyan szavakhoz, melyek nem kódolnak (TG, szó) párt. Ez általábanegy könnyen kezelheto eset, most:

f (x) =

{〈M′,w〉 ha ∃M TG, hogy x = 〈M,w〉

ε egyébként,(x ∈ {0, 1}∗)

hiszen ε nem kódol (TG,szó) párt (Lh elemei (TG,szó) párok).

A Turing gépek megállási problémája

TételLh ∈ RE.

Bizonyítás: Az elozo tétel következménye alapján elég megmutatni,hogy Lh ≤ Lu, hiszen tudjuk, hogy Lu ∈ RE.

Tetszoleges MTuring-gépre, legyen M′ az alábbi TG: M′ tetszoleges u bemeneten akövetkezoket teszi:

1. Futtatja M-et u-n2. Ha M qi-be lép, akkor M′ is qi -be lép3. Ha M qn-be lép, akkor M′ qi -be lép

Belátható, hogyI f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvényI Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra 〈M,w〉 ∈ Lh ⇔ M megáll

w-n⇔ M′ elfogadja w-t⇔ 〈M′,w〉 ∈ Lu

Tehát f által Lh visszavezetheto Lu-ra.

A Turing gépek megállási problémája

TételLh ∈ RE.

Bizonyítás: Az elozo tétel következménye alapján elég megmutatni,hogy Lh ≤ Lu, hiszen tudjuk, hogy Lu ∈ RE. Tetszoleges MTuring-gépre, legyen M′ az alábbi TG:

M′ tetszoleges u bemeneten akövetkezoket teszi:

1. Futtatja M-et u-n2. Ha M qi-be lép, akkor M′ is qi -be lép3. Ha M qn-be lép, akkor M′ qi -be lép

Belátható, hogyI f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvényI Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra 〈M,w〉 ∈ Lh ⇔ M megáll

w-n⇔ M′ elfogadja w-t⇔ 〈M′,w〉 ∈ Lu

Tehát f által Lh visszavezetheto Lu-ra.

A Turing gépek megállási problémája

TételLh ∈ RE.

Bizonyítás: Az elozo tétel következménye alapján elég megmutatni,hogy Lh ≤ Lu, hiszen tudjuk, hogy Lu ∈ RE. Tetszoleges MTuring-gépre, legyen M′ az alábbi TG: M′ tetszoleges u bemeneten akövetkezoket teszi:

1. Futtatja M-et u-n2. Ha M qi-be lép, akkor M′ is qi -be lép3. Ha M qn-be lép, akkor M′ qi -be lép

Belátható, hogyI f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvényI Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra 〈M,w〉 ∈ Lh ⇔ M megáll

w-n⇔ M′ elfogadja w-t⇔ 〈M′,w〉 ∈ Lu

Tehát f által Lh visszavezetheto Lu-ra.

A Turing gépek megállási problémája

TételLh ∈ RE.

Bizonyítás: Az elozo tétel következménye alapján elég megmutatni,hogy Lh ≤ Lu, hiszen tudjuk, hogy Lu ∈ RE. Tetszoleges MTuring-gépre, legyen M′ az alábbi TG: M′ tetszoleges u bemeneten akövetkezoket teszi:

1. Futtatja M-et u-n2. Ha M qi-be lép, akkor M′ is qi -be lép3. Ha M qn-be lép, akkor M′ qi -be lép

Belátható, hogyI f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvényI Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra 〈M,w〉 ∈ Lh ⇔ M megáll

w-n⇔ M′ elfogadja w-t⇔ 〈M′,w〉 ∈ Lu

Tehát f által Lh visszavezetheto Lu-ra.

A Turing gépek megállási problémája

TételLh ∈ RE.

Bizonyítás: Az elozo tétel következménye alapján elég megmutatni,hogy Lh ≤ Lu, hiszen tudjuk, hogy Lu ∈ RE. Tetszoleges MTuring-gépre, legyen M′ az alábbi TG: M′ tetszoleges u bemeneten akövetkezoket teszi:

1. Futtatja M-et u-n2. Ha M qi-be lép, akkor M′ is qi -be lép3. Ha M qn-be lép, akkor M′ qi -be lép

Belátható, hogy

I f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvényI Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra 〈M,w〉 ∈ Lh ⇔ M megáll

w-n⇔ M′ elfogadja w-t⇔ 〈M′,w〉 ∈ Lu

Tehát f által Lh visszavezetheto Lu-ra.

A Turing gépek megállási problémája

TételLh ∈ RE.

Bizonyítás: Az elozo tétel következménye alapján elég megmutatni,hogy Lh ≤ Lu, hiszen tudjuk, hogy Lu ∈ RE. Tetszoleges MTuring-gépre, legyen M′ az alábbi TG: M′ tetszoleges u bemeneten akövetkezoket teszi:

1. Futtatja M-et u-n2. Ha M qi-be lép, akkor M′ is qi -be lép3. Ha M qn-be lép, akkor M′ qi -be lép

Belátható, hogyI f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvény

I Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra 〈M,w〉 ∈ Lh ⇔ M megállw-n⇔ M′ elfogadja w-t⇔ 〈M′,w〉 ∈ Lu

Tehát f által Lh visszavezetheto Lu-ra.

A Turing gépek megállási problémája

TételLh ∈ RE.

Bizonyítás: Az elozo tétel következménye alapján elég megmutatni,hogy Lh ≤ Lu, hiszen tudjuk, hogy Lu ∈ RE. Tetszoleges MTuring-gépre, legyen M′ az alábbi TG: M′ tetszoleges u bemeneten akövetkezoket teszi:

1. Futtatja M-et u-n2. Ha M qi-be lép, akkor M′ is qi -be lép3. Ha M qn-be lép, akkor M′ qi -be lép

Belátható, hogyI f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvényI Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra

〈M,w〉 ∈ Lh ⇔ M megállw-n⇔ M′ elfogadja w-t⇔ 〈M′,w〉 ∈ Lu

Tehát f által Lh visszavezetheto Lu-ra.

A Turing gépek megállási problémája

TételLh ∈ RE.

Bizonyítás: Az elozo tétel következménye alapján elég megmutatni,hogy Lh ≤ Lu, hiszen tudjuk, hogy Lu ∈ RE. Tetszoleges MTuring-gépre, legyen M′ az alábbi TG: M′ tetszoleges u bemeneten akövetkezoket teszi:

1. Futtatja M-et u-n2. Ha M qi-be lép, akkor M′ is qi -be lép3. Ha M qn-be lép, akkor M′ qi -be lép

Belátható, hogyI f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvényI Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra 〈M,w〉 ∈ Lh ⇔

M megállw-n⇔ M′ elfogadja w-t⇔ 〈M′,w〉 ∈ Lu

Tehát f által Lh visszavezetheto Lu-ra.

A Turing gépek megállási problémája

TételLh ∈ RE.

Bizonyítás: Az elozo tétel következménye alapján elég megmutatni,hogy Lh ≤ Lu, hiszen tudjuk, hogy Lu ∈ RE. Tetszoleges MTuring-gépre, legyen M′ az alábbi TG: M′ tetszoleges u bemeneten akövetkezoket teszi:

1. Futtatja M-et u-n2. Ha M qi-be lép, akkor M′ is qi -be lép3. Ha M qn-be lép, akkor M′ qi -be lép

Belátható, hogyI f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvényI Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra 〈M,w〉 ∈ Lh ⇔ M megáll

w-n⇔

M′ elfogadja w-t⇔ 〈M′,w〉 ∈ Lu

Tehát f által Lh visszavezetheto Lu-ra.

A Turing gépek megállási problémája

TételLh ∈ RE.

Bizonyítás: Az elozo tétel következménye alapján elég megmutatni,hogy Lh ≤ Lu, hiszen tudjuk, hogy Lu ∈ RE. Tetszoleges MTuring-gépre, legyen M′ az alábbi TG: M′ tetszoleges u bemeneten akövetkezoket teszi:

1. Futtatja M-et u-n2. Ha M qi-be lép, akkor M′ is qi -be lép3. Ha M qn-be lép, akkor M′ qi -be lép

Belátható, hogyI f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvényI Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra 〈M,w〉 ∈ Lh ⇔ M megáll

w-n⇔ M′ elfogadja w-t⇔

〈M′,w〉 ∈ Lu

Tehát f által Lh visszavezetheto Lu-ra.

A Turing gépek megállási problémája

TételLh ∈ RE.

Bizonyítás: Az elozo tétel következménye alapján elég megmutatni,hogy Lh ≤ Lu, hiszen tudjuk, hogy Lu ∈ RE. Tetszoleges MTuring-gépre, legyen M′ az alábbi TG: M′ tetszoleges u bemeneten akövetkezoket teszi:

1. Futtatja M-et u-n2. Ha M qi-be lép, akkor M′ is qi -be lép3. Ha M qn-be lép, akkor M′ qi -be lép

Belátható, hogyI f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvényI Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra 〈M,w〉 ∈ Lh ⇔ M megáll

w-n⇔ M′ elfogadja w-t⇔ 〈M′,w〉 ∈ Lu

Tehát f által Lh visszavezetheto Lu-ra.

A Turing gépek megállási problémája

TételLh ∈ RE.

Bizonyítás: Az elozo tétel következménye alapján elég megmutatni,hogy Lh ≤ Lu, hiszen tudjuk, hogy Lu ∈ RE. Tetszoleges MTuring-gépre, legyen M′ az alábbi TG: M′ tetszoleges u bemeneten akövetkezoket teszi:

1. Futtatja M-et u-n2. Ha M qi-be lép, akkor M′ is qi -be lép3. Ha M qn-be lép, akkor M′ qi -be lép

Belátható, hogyI f : 〈M,w〉 → 〈M′,w〉 kiszámítható függvényI Tetszoleges (M,w) (TG,input)-párra 〈M,w〉 ∈ Lh ⇔ M megáll

w-n⇔ M′ elfogadja w-t⇔ 〈M′,w〉 ∈ Lu

Tehát f által Lh visszavezetheto Lu-ra.

Rice tétel

Rekurzíve felsorolható nyelvek tulajdonságaiTetszoleges P ⊆ RE halmazt a rekurzívan felsorolható nyelvek egytulajdonságának nevezzük.

P triviális, ha P = ∅ vagy P = RE.

LP = {〈M〉 | L(M) ∈ P}.

Rice tételeHa P ⊆ RE egy nem triviális tulajdonság, akkor LP < R.

Rice tétel

Rekurzíve felsorolható nyelvek tulajdonságaiTetszoleges P ⊆ RE halmazt a rekurzívan felsorolható nyelvek egytulajdonságának nevezzük. P triviális, ha P = ∅ vagy P = RE.

LP = {〈M〉 | L(M) ∈ P}.

Rice tételeHa P ⊆ RE egy nem triviális tulajdonság, akkor LP < R.

Rice tétel

Rekurzíve felsorolható nyelvek tulajdonságaiTetszoleges P ⊆ RE halmazt a rekurzívan felsorolható nyelvek egytulajdonságának nevezzük. P triviális, ha P = ∅ vagy P = RE.

LP = {〈M〉 | L(M) ∈ P}.

Rice tételeHa P ⊆ RE egy nem triviális tulajdonság, akkor LP < R.

Rice tétel

Rekurzíve felsorolható nyelvek tulajdonságaiTetszoleges P ⊆ RE halmazt a rekurzívan felsorolható nyelvek egytulajdonságának nevezzük. P triviális, ha P = ∅ vagy P = RE.

LP = {〈M〉 | L(M) ∈ P}.

Rice tételeHa P ⊆ RE egy nem triviális tulajdonság, akkor LP < R.

Rice tételBizonyítás

Bizonyítás:1. eset ∅ < P.

Mivel tudjuk, hogy Lu < R, elég belátni, hogy Lu ≤ LP.Mivel P nem triviális, ezért létezik L ∈ P. (L , ∅).L ∈ RE, ezért van olyan ML TG, melyre L(ML) = L.

Egy tetszoleges 〈M,w〉 TG – bemenet pároshoz elkészítünk egy M′

(valójában M′〈M,w〉) kétszalagos TG-t, mely egy x bemenetén a

következoképpen muködik:

1. Bemenetétol függetlenül eloször szimulálja M-et w-n2. Így, ha M nem áll meg w-n, M′ se áll meg semelyik inputján⇒ L(M′) = ∅.

3. Ha M elutasítja w-t, akkor M′ qn-be lép és leáll (azaz nemfogadja el x-et⇒ L(M′) = ∅.

4. Ha M elfogadja w-t, akkor M′ szimulálja ML -et x-en (azazL(M′) = L).

Rice tételBizonyítás

Bizonyítás:1. eset ∅ < P.Mivel tudjuk, hogy Lu < R, elég belátni, hogy Lu ≤ LP.

Mivel P nem triviális, ezért létezik L ∈ P. (L , ∅).L ∈ RE, ezért van olyan ML TG, melyre L(ML) = L.

Egy tetszoleges 〈M,w〉 TG – bemenet pároshoz elkészítünk egy M′

(valójában M′〈M,w〉) kétszalagos TG-t, mely egy x bemenetén a

következoképpen muködik:

1. Bemenetétol függetlenül eloször szimulálja M-et w-n2. Így, ha M nem áll meg w-n, M′ se áll meg semelyik inputján⇒ L(M′) = ∅.

3. Ha M elutasítja w-t, akkor M′ qn-be lép és leáll (azaz nemfogadja el x-et⇒ L(M′) = ∅.

4. Ha M elfogadja w-t, akkor M′ szimulálja ML -et x-en (azazL(M′) = L).

Rice tételBizonyítás

Bizonyítás:1. eset ∅ < P.Mivel tudjuk, hogy Lu < R, elég belátni, hogy Lu ≤ LP.Mivel P nem triviális, ezért létezik L ∈ P. (L , ∅).

L ∈ RE, ezért van olyan ML TG, melyre L(ML) = L.

Egy tetszoleges 〈M,w〉 TG – bemenet pároshoz elkészítünk egy M′

(valójában M′〈M,w〉) kétszalagos TG-t, mely egy x bemenetén a

következoképpen muködik:

1. Bemenetétol függetlenül eloször szimulálja M-et w-n2. Így, ha M nem áll meg w-n, M′ se áll meg semelyik inputján⇒ L(M′) = ∅.

3. Ha M elutasítja w-t, akkor M′ qn-be lép és leáll (azaz nemfogadja el x-et⇒ L(M′) = ∅.

4. Ha M elfogadja w-t, akkor M′ szimulálja ML -et x-en (azazL(M′) = L).

Rice tételBizonyítás

Bizonyítás:1. eset ∅ < P.Mivel tudjuk, hogy Lu < R, elég belátni, hogy Lu ≤ LP.Mivel P nem triviális, ezért létezik L ∈ P. (L , ∅).L ∈ RE, ezért van olyan ML TG, melyre L(ML) = L.

Egy tetszoleges 〈M,w〉 TG – bemenet pároshoz elkészítünk egy M′

(valójában M′〈M,w〉) kétszalagos TG-t, mely egy x bemenetén a

következoképpen muködik:

1. Bemenetétol függetlenül eloször szimulálja M-et w-n2. Így, ha M nem áll meg w-n, M′ se áll meg semelyik inputján⇒ L(M′) = ∅.

3. Ha M elutasítja w-t, akkor M′ qn-be lép és leáll (azaz nemfogadja el x-et⇒ L(M′) = ∅.

4. Ha M elfogadja w-t, akkor M′ szimulálja ML -et x-en (azazL(M′) = L).

Rice tételBizonyítás

Bizonyítás:1. eset ∅ < P.Mivel tudjuk, hogy Lu < R, elég belátni, hogy Lu ≤ LP.Mivel P nem triviális, ezért létezik L ∈ P. (L , ∅).L ∈ RE, ezért van olyan ML TG, melyre L(ML) = L.

Egy tetszoleges 〈M,w〉 TG – bemenet pároshoz elkészítünk egy M′

(valójában M′〈M,w〉) kétszalagos TG-t, mely egy x bemenetén a

következoképpen muködik:

1. Bemenetétol függetlenül eloször szimulálja M-et w-n2. Így, ha M nem áll meg w-n, M′ se áll meg semelyik inputján⇒ L(M′) = ∅.

3. Ha M elutasítja w-t, akkor M′ qn-be lép és leáll (azaz nemfogadja el x-et⇒ L(M′) = ∅.

4. Ha M elfogadja w-t, akkor M′ szimulálja ML -et x-en (azazL(M′) = L).

Rice tételBizonyítás

Bizonyítás:1. eset ∅ < P.Mivel tudjuk, hogy Lu < R, elég belátni, hogy Lu ≤ LP.Mivel P nem triviális, ezért létezik L ∈ P. (L , ∅).L ∈ RE, ezért van olyan ML TG, melyre L(ML) = L.

Egy tetszoleges 〈M,w〉 TG – bemenet pároshoz elkészítünk egy M′

(valójában M′〈M,w〉) kétszalagos TG-t, mely egy x bemenetén a

következoképpen muködik:

1. Bemenetétol függetlenül eloször szimulálja M-et w-n

2. Így, ha M nem áll meg w-n, M′ se áll meg semelyik inputján⇒ L(M′) = ∅.

3. Ha M elutasítja w-t, akkor M′ qn-be lép és leáll (azaz nemfogadja el x-et⇒ L(M′) = ∅.

4. Ha M elfogadja w-t, akkor M′ szimulálja ML -et x-en (azazL(M′) = L).

Rice tételBizonyítás

Bizonyítás:1. eset ∅ < P.Mivel tudjuk, hogy Lu < R, elég belátni, hogy Lu ≤ LP.Mivel P nem triviális, ezért létezik L ∈ P. (L , ∅).L ∈ RE, ezért van olyan ML TG, melyre L(ML) = L.

Egy tetszoleges 〈M,w〉 TG – bemenet pároshoz elkészítünk egy M′

(valójában M′〈M,w〉) kétszalagos TG-t, mely egy x bemenetén a

következoképpen muködik:

1. Bemenetétol függetlenül eloször szimulálja M-et w-n2. Így, ha M nem áll meg w-n, M′ se áll meg semelyik inputján

⇒ L(M′) = ∅.3. Ha M elutasítja w-t, akkor M′ qn-be lép és leáll (azaz nem

fogadja el x-et⇒ L(M′) = ∅.4. Ha M elfogadja w-t, akkor M′ szimulálja ML -et x-en (azaz

L(M′) = L).

Rice tételBizonyítás

Bizonyítás:1. eset ∅ < P.Mivel tudjuk, hogy Lu < R, elég belátni, hogy Lu ≤ LP.Mivel P nem triviális, ezért létezik L ∈ P. (L , ∅).L ∈ RE, ezért van olyan ML TG, melyre L(ML) = L.

Egy tetszoleges 〈M,w〉 TG – bemenet pároshoz elkészítünk egy M′

(valójában M′〈M,w〉) kétszalagos TG-t, mely egy x bemenetén a

következoképpen muködik:

1. Bemenetétol függetlenül eloször szimulálja M-et w-n2. Így, ha M nem áll meg w-n, M′ se áll meg semelyik inputján⇒ L(M′) = ∅.

3. Ha M elutasítja w-t, akkor M′ qn-be lép és leáll (azaz nemfogadja el x-et⇒ L(M′) = ∅.

4. Ha M elfogadja w-t, akkor M′ szimulálja ML -et x-en (azazL(M′) = L).

Rice tételBizonyítás

Bizonyítás:1. eset ∅ < P.Mivel tudjuk, hogy Lu < R, elég belátni, hogy Lu ≤ LP.Mivel P nem triviális, ezért létezik L ∈ P. (L , ∅).L ∈ RE, ezért van olyan ML TG, melyre L(ML) = L.

Egy tetszoleges 〈M,w〉 TG – bemenet pároshoz elkészítünk egy M′

(valójában M′〈M,w〉) kétszalagos TG-t, mely egy x bemenetén a

következoképpen muködik:

1. Bemenetétol függetlenül eloször szimulálja M-et w-n2. Így, ha M nem áll meg w-n, M′ se áll meg semelyik inputján⇒ L(M′) = ∅.

3. Ha M elutasítja w-t, akkor M′ qn-be lép és leáll (azaz nemfogadja el x-et

⇒ L(M′) = ∅.4. Ha M elfogadja w-t, akkor M′ szimulálja ML -et x-en (azaz

L(M′) = L).

Rice tételBizonyítás

Bizonyítás:1. eset ∅ < P.Mivel tudjuk, hogy Lu < R, elég belátni, hogy Lu ≤ LP.Mivel P nem triviális, ezért létezik L ∈ P. (L , ∅).L ∈ RE, ezért van olyan ML TG, melyre L(ML) = L.

Egy tetszoleges 〈M,w〉 TG – bemenet pároshoz elkészítünk egy M′

(valójában M′〈M,w〉) kétszalagos TG-t, mely egy x bemenetén a

következoképpen muködik:

1. Bemenetétol függetlenül eloször szimulálja M-et w-n2. Így, ha M nem áll meg w-n, M′ se áll meg semelyik inputján⇒ L(M′) = ∅.

3. Ha M elutasítja w-t, akkor M′ qn-be lép és leáll (azaz nemfogadja el x-et⇒ L(M′) = ∅.

4. Ha M elfogadja w-t, akkor M′ szimulálja ML -et x-en (azazL(M′) = L).

Rice tételBizonyítás

Bizonyítás:1. eset ∅ < P.Mivel tudjuk, hogy Lu < R, elég belátni, hogy Lu ≤ LP.Mivel P nem triviális, ezért létezik L ∈ P. (L , ∅).L ∈ RE, ezért van olyan ML TG, melyre L(ML) = L.

Egy tetszoleges 〈M,w〉 TG – bemenet pároshoz elkészítünk egy M′

(valójában M′〈M,w〉) kétszalagos TG-t, mely egy x bemenetén a

következoképpen muködik:

1. Bemenetétol függetlenül eloször szimulálja M-et w-n2. Így, ha M nem áll meg w-n, M′ se áll meg semelyik inputján⇒ L(M′) = ∅.

3. Ha M elutasítja w-t, akkor M′ qn-be lép és leáll (azaz nemfogadja el x-et⇒ L(M′) = ∅.

4. Ha M elfogadja w-t, akkor M′ szimulálja ML -et x-en

(azazL(M′) = L).

Rice tételBizonyítás

Bizonyítás:1. eset ∅ < P.Mivel tudjuk, hogy Lu < R, elég belátni, hogy Lu ≤ LP.Mivel P nem triviális, ezért létezik L ∈ P. (L , ∅).L ∈ RE, ezért van olyan ML TG, melyre L(ML) = L.

Egy tetszoleges 〈M,w〉 TG – bemenet pároshoz elkészítünk egy M′

(valójában M′〈M,w〉) kétszalagos TG-t, mely egy x bemenetén a

következoképpen muködik:

1. Bemenetétol függetlenül eloször szimulálja M-et w-n2. Így, ha M nem áll meg w-n, M′ se áll meg semelyik inputján⇒ L(M′) = ∅.

3. Ha M elutasítja w-t, akkor M′ qn-be lép és leáll (azaz nemfogadja el x-et⇒ L(M′) = ∅.

4. Ha M elfogadja w-t, akkor M′ szimulálja ML -et x-en (azazL(M′) = L).

Rice tételBizonyítás

qi qi

qn qn

w

x

qi

M′

MML

Összefoglalva

I 〈M,w〉 ∈ Lu ⇒ L(M′) = L⇒ L(M′) ∈ P ⇒ 〈M′〉 ∈ LP.I 〈M,w〉 < Lu ⇒ L(M′) = ∅ ⇒ L(M′) < P⇒ 〈M′〉 < LP.

Azaz:〈M,w〉 ∈ Lu ⇔ 〈M′〉 ∈ LP, tehát Lu ≤ LP és így LP < R.

Rice tételBizonyítás

qi qi

qn qn

w

x

qi

M′

MML

Összefoglalva

I 〈M,w〉 ∈ Lu

⇒ L(M′) = L⇒ L(M′) ∈ P ⇒ 〈M′〉 ∈ LP.I 〈M,w〉 < Lu ⇒ L(M′) = ∅ ⇒ L(M′) < P⇒ 〈M′〉 < LP.

Azaz:〈M,w〉 ∈ Lu ⇔ 〈M′〉 ∈ LP, tehát Lu ≤ LP és így LP < R.

Rice tételBizonyítás

qi qi

qn qn

w

x

qi

M′

MML

Összefoglalva

I 〈M,w〉 ∈ Lu ⇒ L(M′) = L

⇒ L(M′) ∈ P ⇒ 〈M′〉 ∈ LP.I 〈M,w〉 < Lu ⇒ L(M′) = ∅ ⇒ L(M′) < P⇒ 〈M′〉 < LP.

Azaz:〈M,w〉 ∈ Lu ⇔ 〈M′〉 ∈ LP, tehát Lu ≤ LP és így LP < R.

Rice tételBizonyítás

qi qi

qn qn

w

x

qi

M′

MML

Összefoglalva

I 〈M,w〉 ∈ Lu ⇒ L(M′) = L⇒ L(M′) ∈ P

⇒ 〈M′〉 ∈ LP.I 〈M,w〉 < Lu ⇒ L(M′) = ∅ ⇒ L(M′) < P⇒ 〈M′〉 < LP.

Azaz:〈M,w〉 ∈ Lu ⇔ 〈M′〉 ∈ LP, tehát Lu ≤ LP és így LP < R.

Rice tételBizonyítás

qi qi

qn qn

w

x

qi

M′

MML

Összefoglalva

I 〈M,w〉 ∈ Lu ⇒ L(M′) = L⇒ L(M′) ∈ P ⇒ 〈M′〉 ∈ LP.

I 〈M,w〉 < Lu ⇒ L(M′) = ∅ ⇒ L(M′) < P⇒ 〈M′〉 < LP.

Azaz:〈M,w〉 ∈ Lu ⇔ 〈M′〉 ∈ LP, tehát Lu ≤ LP és így LP < R.

Rice tételBizonyítás

qi qi

qn qn

w

x

qi

M′

MML

Összefoglalva

I 〈M,w〉 ∈ Lu ⇒ L(M′) = L⇒ L(M′) ∈ P ⇒ 〈M′〉 ∈ LP.I 〈M,w〉 < Lu

⇒ L(M′) = ∅ ⇒ L(M′) < P⇒ 〈M′〉 < LP.

Azaz:〈M,w〉 ∈ Lu ⇔ 〈M′〉 ∈ LP, tehát Lu ≤ LP és így LP < R.

Rice tételBizonyítás

qi qi

qn qn

w

x

qi

M′

MML

Összefoglalva

I 〈M,w〉 ∈ Lu ⇒ L(M′) = L⇒ L(M′) ∈ P ⇒ 〈M′〉 ∈ LP.I 〈M,w〉 < Lu ⇒ L(M′) = ∅ ⇒ L(M′) < P

⇒ 〈M′〉 < LP.

Azaz:〈M,w〉 ∈ Lu ⇔ 〈M′〉 ∈ LP, tehát Lu ≤ LP és így LP < R.

Rice tételBizonyítás

qi qi

qn qn

w

x

qi

M′

MML

Összefoglalva

I 〈M,w〉 ∈ Lu ⇒ L(M′) = L⇒ L(M′) ∈ P ⇒ 〈M′〉 ∈ LP.I 〈M,w〉 < Lu ⇒ L(M′) = ∅ ⇒ L(M′) < P⇒ 〈M′〉 < LP.

Azaz:〈M,w〉 ∈ Lu ⇔ 〈M′〉 ∈ LP, tehát Lu ≤ LP és így LP < R.

Rice tételBizonyítás

qi qi

qn qn

w

x

qi

M′

MML

Összefoglalva

I 〈M,w〉 ∈ Lu ⇒ L(M′) = L⇒ L(M′) ∈ P ⇒ 〈M′〉 ∈ LP.I 〈M,w〉 < Lu ⇒ L(M′) = ∅ ⇒ L(M′) < P⇒ 〈M′〉 < LP.

Azaz:〈M,w〉 ∈ Lu ⇔ 〈M′〉 ∈ LP, tehát Lu ≤ LP és így LP < R.

Rice tételBizonyítás

2. eset ∅ ∈ P.

I Alkalmazhatjuk az 1. eset eredményét P = RE \ P-re, hiszenekkor P szintén nem triviális és ∅ < P.

I Azt kapjuk, hogy LP< R.

I LP < R, hiszen ha R-beli lenne akkor a nem TG-kódokatelutasítva L

P-t eldönto TG-t kapnánk.

I LP < R⇒ LP < R (tétel volt).

Rice tételBizonyítás

2. eset ∅ ∈ P.

I Alkalmazhatjuk az 1. eset eredményét P = RE \ P-re, hiszenekkor P szintén nem triviális és ∅ < P.

I Azt kapjuk, hogy LP< R.

I LP < R, hiszen ha R-beli lenne akkor a nem TG-kódokatelutasítva L

P-t eldönto TG-t kapnánk.

I LP < R⇒ LP < R (tétel volt).

Rice tételBizonyítás

2. eset ∅ ∈ P.

I Alkalmazhatjuk az 1. eset eredményét P = RE \ P-re, hiszenekkor P szintén nem triviális és ∅ < P.

I Azt kapjuk, hogy LP< R.

I LP < R, hiszen ha R-beli lenne akkor a nem TG-kódokatelutasítva L

P-t eldönto TG-t kapnánk.

I LP < R⇒ LP < R (tétel volt).

Rice tételBizonyítás

2. eset ∅ ∈ P.

I Alkalmazhatjuk az 1. eset eredményét P = RE \ P-re, hiszenekkor P szintén nem triviális és ∅ < P.

I Azt kapjuk, hogy LP< R.

I LP < R, hiszen ha R-beli lenne akkor a nem TG-kódokatelutasítva L

P-t eldönto TG-t kapnánk.

I LP < R⇒ LP < R (tétel volt).

Rice tételBizonyítás

2. eset ∅ ∈ P.

I Alkalmazhatjuk az 1. eset eredményét P = RE \ P-re, hiszenekkor P szintén nem triviális és ∅ < P.

I Azt kapjuk, hogy LP< R.

I LP < R, hiszen ha R-beli lenne akkor a nem TG-kódokatelutasítva L

P-t eldönto TG-t kapnánk.

I LP < R⇒ LP < R (tétel volt).

Rice tételAlkalmazások

Következmények:Eldönthetetlen, hogy egy M TG

I az üres nyelvet ismeri-e fel. (P = {∅})I véges nyelvet ismer-e fel (P = {L | L véges })I környezetfüggetlen nyelvet ismer-e fel

(P = {L | L környezetfüggetlen })I elfogadja-e az üres szót (P = {L ∈ RE | ε ∈ L})I . . .

Rice tételAlkalmazások

Következmények:Eldönthetetlen, hogy egy M TG

I az üres nyelvet ismeri-e fel. (P = {∅})

I véges nyelvet ismer-e fel (P = {L | L véges })I környezetfüggetlen nyelvet ismer-e fel

(P = {L | L környezetfüggetlen })I elfogadja-e az üres szót (P = {L ∈ RE | ε ∈ L})I . . .

Rice tételAlkalmazások

Következmények:Eldönthetetlen, hogy egy M TG

I az üres nyelvet ismeri-e fel. (P = {∅})I véges nyelvet ismer-e fel (P = {L | L véges })

I környezetfüggetlen nyelvet ismer-e fel(P = {L | L környezetfüggetlen })

I elfogadja-e az üres szót (P = {L ∈ RE | ε ∈ L})I . . .

Rice tételAlkalmazások

Következmények:Eldönthetetlen, hogy egy M TG

I az üres nyelvet ismeri-e fel. (P = {∅})I véges nyelvet ismer-e fel (P = {L | L véges })I környezetfüggetlen nyelvet ismer-e fel

(P = {L | L környezetfüggetlen })

I elfogadja-e az üres szót (P = {L ∈ RE | ε ∈ L})I . . .

Rice tételAlkalmazások

Következmények:Eldönthetetlen, hogy egy M TG

I az üres nyelvet ismeri-e fel. (P = {∅})I véges nyelvet ismer-e fel (P = {L | L véges })I környezetfüggetlen nyelvet ismer-e fel

(P = {L | L környezetfüggetlen })I elfogadja-e az üres szót (P = {L ∈ RE | ε ∈ L})

I . . .

Rice tételAlkalmazások

Következmények:Eldönthetetlen, hogy egy M TG

I az üres nyelvet ismeri-e fel. (P = {∅})I véges nyelvet ismer-e fel (P = {L | L véges })I környezetfüggetlen nyelvet ismer-e fel

(P = {L | L környezetfüggetlen })I elfogadja-e az üres szót (P = {L ∈ RE | ε ∈ L})I . . .