Logika & razvedrilna matematika 1
Transcript of Logika & razvedrilna matematika 1
Logika & razvedrilna matematika 1
Spoštovani,
Pred vami je tretja številka 30. letnika revije Logika in razvedrilna matematika. Tudi ta številka se
ne razlikuje veliko od prejšnjih. Zadnjič bomo podelili nagrade za logično nalogo in nalogo v
esperantu, ker je zanimanje za reševanje usahnilo. Spet bi vas radi opozorili na starejše številke
revije, ki so zdaj dostopne na spletu, bodisi v celoti, bodisi le delno. Do teh številk pridete prek
povezave: http://www.logika.si/revija/vsebine.htm
Na spletni strani http://www.logika.si/ smo pripravili štiri sklope nalog, ki bodo lahko služile za
pripravo na tekmovanje iz logike (https://www.zotks.si/ ), iz razvedrilne matematike
(https://www.dmfa.si/ ), na tekmovanje Matemček in na tekmovanje za priznanje logične pošasti
(http://www.mathema.si/ ).
Še bolj so te naloge koristne za vsakdanje urjenje možganov, ki tako kot telo potrebujejo nekaj
vsakdanje telovadbe, potrebujejo kakšno logično nalogo za jutranji zagon naših misli.
Na spletni strani logika.si boste našli še vrsto člankov iz preteklih številk revije, ki dajejo nekaj
teoretičnih izhodišč in definicij, povezanih z logiko, ter več zbirk tipičnih logičnih nalog.
Naredili smo tudi precej zgledov sklopa računanje, kjer bomo objavljali naloge za utrjevanje
osnovnih vsebin matematike v osnovni in srednji šoli.
Logika & razvedrilna matematika 2
Barvni sudoku
V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici,
v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve nastopalo vseh n števil.
1.
1
4
3
4
2
3
4
1
2
3
4 2
1
4
1
3
2
3
4
2
3
3
2
4
3
4
1
2
3
3
3
1
4
4
3
1
5
6
4
1
6
1 5
3
2
2
1
4
4
3
3
4
1
2
2
3
1 3
4
Logika & razvedrilna matematika 3
2.
1
4
5
3
3
5
4
2
3
5
2
4
4
2 3
2
1
2
4
4
1
2
2
3
5
1
2
3
1
1
2
3
5
3 1 2
1
4
3
5
4
1
5
2
Logika & razvedrilna matematika 4
Latinski kvadrati
V n n kvadratkov moraš vpisati začetne številke 1, 2, 3, … tako, da bo v vsaki vrstici, v
vsakem stolpcu nastopalo vseh n številk.
3 42
5 3 44 2 1
1 32
3 11 2
5
2 4 1
4
2
1
3
1 3
2
1
3 42 3
53 2 54
5 22 4
1
1 4 2
2
3 1
3
1
2
3
4 3
2 45 2 1
1 25
55 2
1 34
4
3 41
35 1
1 4
2 3
5 25 1
5 1
Logika & razvedrilna matematika 5
Sudoku s črkami
V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici,
v vsakem stolpcu in v kvadratkih z isto črko nastopalo vseh n števil.
D
D
A
A
B
B
A
D
C
C
C
B
B
C
D
A
4
1
2
D
B
C
B
C
B
C
D
A
A
A
A
D
B
D
C1
4
3B
A
C
A
B
B
D
C
B
A
D
D
C
A
D
C1 2
4
A
B
B
A
D
D
C
D
D
B
A
C
A
B
C
C
1 2
3
D
B
A
C
B
B
C
C
A
D
A
A
B
D
C
D2
4
1
B
C
A
B
A
D
C
A
D
D
B
B
C
A
C
D
4
1 2
D
A
B
D
D
B
C
D
A
A
A
B
B
C
C
C
1 2 4
C
C
B
C
B
C
B
D
A
A
A
D
D
B
A
D
3
1 4
D
B
D
A
C
C
C
B
D
C
D
B
B
A
A
A
2
4
3
A
D
B
A
B
D
C
C
B
A
C
C
D
D
A
B
4
3
2C
A
B
D
C
A
B
B
A
D
D
D
C
C
B
A4
1 2D
D
A
D
A
B
C
C
B
C
A
A
B
D
B
C
4 1 3
Logika & razvedrilna matematika 6
Futoshiki
V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici
in v vsakem stolpcu nastopalo vseh n števil ter da bodo izpolnjene vse relacije.
3
1
1
1 4
1
3 5
3
2 1
3
4
3
2
3 2
1
3
1 5
4 2
2
2 3
1
4
4
1
3
3
5
5
1
2 1
3 1
Logika & razvedrilna matematika 7
Določi razpored
A JE SOSEDA OD
B.
N
B JE DESNO OD
C.
N
A JE DESNO OD
C.
R
B JE DESNO OD
C.
R
A JE SOSEDA OD
B.
R
B JE SOSEDA OD
C.
R
A JE LEVO OD D. N
C JE DESNO OD D. N
B JE DESNO OD C. N
B JE LEVO OD C. R
A JE SOSEDA OD D. N
A JE DESNO OD C. R
A JE LEVO OD D. R
B JE LEVO OD C. R
B JE SOSEDA OD C. R
A JE LEVO OD E. N
A JE SOSEDA OD C. R
D JE SOSEDA OD E. N
B JE LEVO OD D. R
A JE SOSEDA OD E. N
C JE SOSEDA OD E. R
D JE DESNO OD E. N
A JE DESNO OD D. R
C JE LEVO OD E. N
A JE SOSEDA OD D. R
A JE LEVO OD C. N
B JE DESNO OD D. N
A JE SOSEDA OD B. R
A JE LEVO OD E. R
A JE DESNO OD E. N
D JE DESNO OD E. R
B JE DESNO OD D. R
B JE LEVO OD D. N
B JE LEVO OD C. R
Logika & razvedrilna matematika 8
Gobelini Kvadratke v razpredelnici moraš pobarvati sivo tako, da bo zaporedje sivih pasov v vrstici
ustrezalo zaporedju števil na desni in da bo zaporedje sivih pasov v stolpcu ustrezalo
zaporedju števil pod njim.
1, 3, 1
1, 3, 1
1, 3, 1
1, 3, 1
1, 3, 1
1, 3, 1
1
6 6 7 6 6
1, 2, 22, 371, 24, 11, 14, 13, 11, 1
4
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
2
1
1
1
4 8
3, 2
1, 1
2, 1
1, 2
1, 1
2, 3
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
7
1
1 1 1 3 1 1 1
2
1, 1
2
2
2 1
2
3
3, 3
2, 1, 2
2, 1, 2
1, 1, 1, 1
1, 1, 1, 1
1, 3, 1
2, 2
6 3
1
1
4
2
1
1
4
3
16
4
4
4
2
1, 2
3
1
3 5 5
3, 3
2, 2
1, 1
1, 1
2, 2
3, 3
3
3
2
2
1
1
1
1
2
2
3
3
1, 1
4
4
1
4
1, 3
2, 1
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1, 1, 1
1, 1, 1, 1
1
2 2 1 2
11
1, 2
5
4, 3
1, 1
2, 5
2, 5
1
6 2
2
2 2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
5
4
1, 2
3
1, 2
2
1, 2
43
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
Logika & razvedrilna matematika 9
Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da je vsota števk v
zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enaka številu, ki je zapisano v rdečem
kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa morajo biti vse števke
v posamezni vrstici (stolpcu) različne.
17 1215
1020
197
1413
17
15 1415
1222
1310
711
3
11 6
9
12
8
12
12 24
16
12
22
10
14 15
16
21
17
11
16
12
11 34
1316
1111
124
15
4 9
9
11
11
4
16 1315
7 1613
513
243 17
1215
17
17 1217
6 1210
514
145 13
1715
9
17 917
814
2412
1110
16
8 21
9
13
23
10
15 1712
5 1714
513
179 15
1514
14
Logika & razvedrilna matematika 10
Križni produkti
Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 2 do 9 tako, da bo zmnožek števk
v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enak številu, ki je zapisano v sivem
kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa morajo biti vse števke
v posamezni vrstici (stolpcu) različne.
35 20
35
16
160
120
16
24
20
18
21 24
28
18
16 252
8
32 63
56
14
72
72
18 84
32
224
24
18 54 30
108
270
14 45
35
24
108
360
36
12
16
30
8 168
12
42
168
28
Logika & razvedrilna matematika 11
Labirint na kocki Poveži točki na kocki:
Logika & razvedrilna matematika 12
Labirinti na enostavnih poliedrih
Poveži točki na poliedru:
Logika & razvedrilna matematika 13
Labirinti na robovih poliedra
V naslednjih nalogah moramo povezati dve oglišči poliedra, ki je podan z mrežo. Poiskati moramo
pot od oranžne do modre točke. Iz ene točke lahko gremo do druge točke, če je med njima debelejša
črta ali pa točki predstavljata isto oglišče poliedra.
1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2.
12
3
4
56
7
8
910
11
12
1314
15
16
17
1819
Logika & razvedrilna matematika 14
Večdelni labirinti na zemljevidu
1.
2.
3.
Logika & razvedrilna matematika 15
Odstranjene kocke Dan je kvader, ki sestoji iz kockic. Odstranimo vse kocke, ki so zaznamovane črno od vrha do
dna, od leve do desne in od spredaj do zadaj. Koliko kock smo odstranili?
Logika & razvedrilna matematika 16
Kocki določi mrežo
Vsaki mreži na desni (večja mreža) določi mrežo iste kocke na levi.
Logika & razvedrilna matematika 17
Labirint v kvadru
Kvader sestoji iz vodoravnih slojev kockastih oddelkov (zgornji, srednji in spodnji sloj so dani od
leve proti desni). Odebeljene črte preprečujejo prehajanje med sosednjima oddelkoma istega sloja.
Med oddelkom in oddelkom neposredno pod njim lahko prehajamo, če in samo če je prvi pobarvan
belo.
Poišči najkrajšo pot od oddelka s smeškom do oddelka s srcem! Pot označi z zaporednimi
naravnimi števili. Prvi oddelek je že označen z 1, vsak naslednji sosednji oddelek (kocko) pa s
številom, večjim za 1.
Logika & razvedrilna matematika 18
Labirinti na ploskvah
Podan je labirint na pravokotniku. Moramo poiskati pot od temnejše do svetlejše pike. Prehod med
sosednjimi kvadratki je možen, če med njima ni odebeljene črte. Skica na levi pomeni, kako sta
nasprotni stranici pravokotnika povezani (miselno ju moramo zlepiti).
Logika & razvedrilna matematika 19
Labirinti na projekcijah teles
Telo je projicirano v ravnino. Na projekciji je podan labirint, kjer odebeljene črte preprečujejo
prehod iz projekcije mejne ploskve na projekcijo sosednje mejne ploskve.
Logika & razvedrilna matematika 20
Labirinti na mreži valja in stožca
1.
2.
3.
Logika & razvedrilna matematika 21
Analiziraj pogoje nalog
Dobro definirana naloga je naloga, pri kateri so njeni pogoji potrebni in zadostni za njeno rešitev.
To pomeni, da noben pogoj ni odveč in da ima naloga enolično rešitev. Pri zastavljeni nalogi imamo
lahko več možnosti:
Naloga nima rešitve, pogoji so protislovni.
Naloga ima več rešitev, to je, pogoji niso zadostni (za enolično rešitev).
Naloga ima enolično rešitev, vendar pogoji niso potrebni (vsaj en pogoj bi lahko izpustili in bi
naloga še vedno imela enolično rešitev).
Naloga ima enolično rešitev in pogoji so potrebni (neodvisni) in seveda zadostni. Naloga je dobro
definirana.
V naslednjih nalogah moramo ugotoviti, kako je s pogoji naloge.
Poiskati moramo imena A, B,C, … likov, ki so označeni z 1, 2, 3, …, če so izpolnjeni pogoji na
desni strani slike. Ugotoviti moramo tudi, ali so pogoji neodvisni.
1
2
4 3
1. Lik D je oranžen. N
2. Lik A je desno od D. R
3. Ali je lik C zelen ali je lik B rumen. R
2
3
4
1
1. Če je lik A kvadrat, potem je lik A rumen. R
2. Lik D je oranžen, če in samo če je lik C petkotnik. N
3. Če je lik D rumen, potem je lik C trikotnik. N
1
3 2
4
1. Lik A je nad D. N
2. Lik D je zelen in lik C je rumen. R
3. Lik D je petkotnik ali je lik A kvadrat. R
3
2
1 4
1. Lik A ni rumen. R
2. Ali je lik D trikotnik ali je lik C trikotnik. N
3. Če je lik A trikotnik, potem je lik D oranžen. N
Logika & razvedrilna matematika 22
1
3
4
2
1. Petkotnik D Zelen B R
2. Petkotnik B Rumen B R
3. Zelen C Rumen B N
4
3
1
2
1. Trikotnik A N
2. Rumen C Trikotnik D R
3. Zelen B Oranžen D R
1
4 3
2 1. Trikotnik D R
2. Desno od B, C N
3. Zelen A Trikotnik C R
1
2
3
4
1. Trikotnik C N
2. Kvadrat D Zelen D R
3. Zelen D Rumen A N
Logika & razvedrilna matematika 23
Logična naloga Štiri prijateljice (Maja, Dora, Jana, Ada) imajo z različnine konje (Blisk,
Viharnik, Mistral, Reno), ki so različnih pasem (arabec, lisec, vranec, lisjak).
Za vsako določi ime, ime konja in njegovo pasmo.
1. Reno ni ne lisec ne lisjak.
2. Blisk ni ne lisec ne lisjak.
3. Maja nima lisca.
4. Jana nima Mistrala.
5. Mistral ni lisjak.
6. Ada ima konja z imenom Reno.
7. Jana nima vranca.
8. Reno ni vranec.
Maja
Dora
Jana
Ada
arabec
lisec
vranec
lisjak
Bli
sk
Vih
arnik
Mis
tral
Ren
o
arab
ec
lise
c
vra
nec
lisj
ak
Maja
Dora
Jana
Ada
ime konj pasma
Naslednji reševalci nagradne uganke iz 2. številke bodo prejeli nagrado Prizme in piramide: S.L.P.,
ŠMARJE PRI JELŠAH, S.U., RAKEK in Ž.D., PREBOLD.
Logika & razvedrilna matematika 24
Naloga v esperantu
Kvar amikinoj (Belindo, Elizabeto, Julia, Kristina) kun diversaj familiaj nomoj
(Gonzalez, Dupont, MacDonald, Schneider) havas diversajn profesiojn (artistino,
bankistino, muzikistino, policistino).
Divenu iliajn nomojn, familiajn nomojn kaj profesiojn.
1. Belindo ne estas muzikistino.
2. La familia nomo de Kristina estas nek Schneider nek Gonzalez.
3. Sinjorino Dupont estas nek policistino nek artistino.
4. Sinjorino Schneider estas nek muzikistino nek policistino.
5. La familia nomo de Julia estas MacDonald.
6. La profesio de sinjorino Gonzalez ne estas policistino.
7. La profesio de sinjorino Dupont ne estas muzikistino.
Naslednji reševalki nagradne uganke v esperantu iz 2. številke bosta prejeli nagrado Prizme in
piramide: R.K. in N.K., Prebold. Knjigo Esperanto prejme OŠ Prebold.
Logika & razvedrilna matematika 25
Prizmatični kalejdoskopi
Prizmatični kalejdoskop dobimo, če dve zrcali, katerih ravnini se sekata pod nekim kotom,
postavimo pravokotno na tretje zrcalo. Če je kot med prvima zrcaloma 2/n, dobimo n-kotni
prizmatični kalejdoskop. Pri naslednjih modelih smo uporabili zrcalno folijo, ki smo jo nalepili na
pravokotne ploščice Polydron. Kote smo merili s posebnim kotomerom. Ker je najmanjši kot med
dvema ploščicama 45=2/8=/4, lahko dobimo 3-8 kotne kalejdoskope.
Logika & razvedrilna matematika 26
Drugi poliedrski kalejdoskopi iz ploščic Tri ploščice v obliki zlatega romba, ki imajo skupno oglišče tvorijo kalejdoskop dvajseterca.
trikotnika.
Z uporabo enakokrakega trikotnika lahko tvorimo enakokrake trapeze in dobimo odprte
kalejdoskope. V spodnjem primeru dobimo približno kalejdoskop dvanajsterca.
Logika & razvedrilna matematika 27
Večje strukture iz paličic Tokrat si bomo ogledali nekaj večjih struktur, ki smo jih naredili iz paličic in kroglic podjetja
Zometool. Rdeče paličice so povezane s petkratno rotacijsko simetrijo. Na spodnji sliki imamo
strukturo sestavljeno iz koničastih zlatih romboedrov. V naravi se ti romboedri pojavljajo v
kvazikristalih. Naš ima obliko rombskega šestdeseterca in ima simetrijo dvajseterca.
Na spodnji sliki je Nobelov nagrajenec za fiziko Roger Penrose z modelom molekule v obliki
koničastega zlatega romboedra. Desno je fotografija vzdolž osi petkratne simetrije.
Logika & razvedrilna matematika 28
In še vzdolž trikratne in dvojne simetrije.
Naslednja fotografija prikazuje površje nekonveksnega rombskega poliedra, ki aproksimira
dvajseterec.
Logika & razvedrilna matematika 29
Naloga z dvema absolutnima vrednostima
Spodnja slika prikazuje reševanje naloge z dvema absulutnima vrednostima. Program v mathematici generira
in reši nalogo.
Najprej razdelimo množico realnih števil na tri intervale glede na ničli izrazov v absolutnih vrednostih. V
našem primeru sta ničli 0 in 1. V drugi vrstici odpravimo absolutni vrednosti. V tretji vrstici poenostavimo
levo stran neenačbe. Četrta vrstica predstavlja rešitev neenačbe, ne da bi upoštevali pogoj, kjer jo rešujemo.
V peti vrstici upoštevamo pogoj. Če ni rešitve, mathematica vrne “False.” Končen rezultat zapišemo z
logičnimi znaki. Slika predstavlja grafično rešitev. Rjava premica je graf desne strani neenačbe.
Referenci:
Izidor Hafner"Inequalities and Equations with Absolute Values"
http://demonstrations.wolfram.com/InequalitiesAndEquationsWithAbsoluteValues/
Wolfram Demonstrations Project
Izidor Hafner"Inequalities and Equations with Nested Absolute Values"
http://demonstrations.wolfram.com/InequalitiesAndEquationsWithNestedAbsoluteValues/
Wolfram Demonstrations Project
Logika & razvedrilna matematika 30
Rešitev neke logične naloge
Nekje v oceanu obstaja otok, na katerem živijo prebivalci dveh vrst Vitezi, ki vedno govorijo resnico in
oprode, ki vedno govorijo neresnico. V naslednji nalogi bomo imeli 3 domačine, ki jih označujemo z A, B,
C. Prva 2 med njimi bosta zaporedoma dala eno izjavo. Kateri prebivalec je vitez in kateri je oproda?
Izjava prebivalca A: C je oproda ali je B oproda.
Izjava prebivalca B: C je vitez in A je vitez.
Postopek reševanja:
Zgornje pogoje zapišemo v matematičnem jeziku. Dogovorimo se za oznako , ki jo dodamo pri oprodi.
Potek reševanja sem zapisala s semantičnim drevesom in s tabelo.
A: C B
B: C A
Predpostavimo 4 možnosti:
1. A in B sta viteza.
2. A je vitez in B je oproda.
3. A je oproda in B je vitez.
4. A in B sta oprodi.
Semantično drevo:
A
B
A
B
A
B
A
B
C
C
X
B
X
C
A
X
C B C
B
X C A
X
C A
X
Tabela:
A
B
A
B
A
B
A
B
1. izjava C B
X
C
B
C B C
B
X
2. izjava C
A
X
C
A
X
C A
X
C A
X
Rešitev:
A je vitez
B je oproda
C je oproda
Nina Budna
Logika & razvedrilna matematika 31
Rešitve Barvni sudoku 1.
3
2
4
1
4
1
3
2
1
4
2
3
2
3
1
4
2
3
1
4
3
2
4
1
4
1
3
2
1
4
2
3
3
2
1
4
2
3
4
1
1
4
2
3
4
1
3
2
3
1
2
4
1
3
4
2
2
4
1
3
4
2
3
1
1
3
4
2
3
1
2
4
2
4
1
3
4
2
3
1
2
1
3
4
3
2
4
1
1
4
2
3
4
3
1
2
2
4
1
5
3
3
1
5
2
4
5
3
4
1
2
4
5
2
3
1
1
2
3
4
5
4
2
1
3
1
3
2
4
2
4
3
1
3
1
4
2
4
3
1
2
5
6
5
6
3
4
2
1
1
2
5
6
3
4
3
1
4
5
6
2
6
5
2
1
4
3
2
4
6
3
1
5
3
4
1
2
1
2
3
4
4
3
2
1
2
1
4
3
1
2
3
4
4
3
1
2
3
4
2
1
2
1
4
3
5
4
2
3
1
2
3
1
4
5
1
5
4
2
3
4
1
3
5
2
3
2
5
1
4
Logika & razvedrilna matematika 32
2.
3
2
1
4
5
5
4
3
2
1
4
5
2
1
3
2
1
5
3
4
1
3
4
5
2
1
3
2
4
5
4
5
3
1
2
2
4
1
5
3
5
2
4
3
1
3
1
5
2
4
1
4
3
2
5
5
2
1
3
4
3
1
5
4
2
2
5
4
1
3
4
3
2
5
1
3
2
1
4
1
3
4
2
4
1
2
3
2
4
3
1
3
2
1
4
2
3
4
1
1
4
3
2
4
1
2
3
2
4
3
1
4
2
1
3
1
3
2
4
3
1
4
2
5
1
2
3
4
4
5
3
2
1
2
4
1
5
3
1
3
5
4
2
3
2
4
1
5
4
2
3
1
3
1
4
2
1
4
2
3
2
3
1
4
4
1
2
3
2
3
4
1
1
2
3
4
3
4
1
2
4
2
1
3
5
3
4
5
1
2
1
5
4
2
3
2
1
3
5
4
5
3
2
4
1
2
1
4
5
3
4
2
5
3
1
1
5
3
2
4
5
3
1
4
2
3
4
2
1
5
5
1
4
2
3
3
2
5
4
1
2
4
1
3
5
1
3
2
5
4
4
5
3
1
2
Logika & razvedrilna matematika 33
Latinski kvadrati
2 3 1 4 53 2 4 5 14 1 5 3 21 5 3 2 45 4 2 1 3
2 4 1 5 35 2 3 4 13 5 4 1 21 3 5 2 44 1 2 3 5
3 2 4 1
2 3 1 4
1 4 2 3
4 1 3 2
3 4 1 2
2 1 3 4
4 3 2 1
1 2 4 3
3 5 2 1 45 2 1 4 34 1 3 5 21 3 4 2 52 4 5 3 1
4 1 5 3 22 5 1 4 35 3 2 1 43 2 4 5 11 4 3 2 5
2 1 3 4
3 4 1 2
4 3 2 1
1 2 4 3
4 3 2 1
1 2 3 4
3 4 1 2
2 1 4 3
1 2 5 4 34 5 2 3 13 4 1 5 22 3 4 1 55 1 3 2 4
1 3 2 5 45 1 3 4 24 5 1 2 33 2 4 1 52 4 5 3 1
3 4 1 2 55 1 4 3 24 2 3 5 12 3 5 1 41 5 2 4 3
4 2 1 3 52 1 3 5 41 5 2 4 35 3 4 1 23 4 5 2 1
Logika & razvedrilna matematika 34
Sudoku s črkami
D
D
A
A
B
B
A
D
C
C
C
B
B
C
D
A
3
2
4
1
2
1
3
4
1
4
2
3
4
3
1
2
D
B
C
B
C
B
C
D
A
A
A
A
D
B
D
C
4
3
2
1
1
4
3
2
2
1
4
3
3
2
1
4
B
A
C
A
B
B
D
C
B
A
D
D
C
A
D
C
2
4
3
1
3
1
4
2
4
2
1
3
1
3
2
4
A
B
B
A
D
D
C
D
D
B
A
C
A
B
C
C
2
3
1
4
3
1
4
2
4
2
3
1
1
4
2
3
D
B
A
C
B
B
C
C
A
D
A
A
B
D
C
D
3
4
1
2
2
3
4
1
4
1
2
3
1
2
3
4
B
C
A
B
A
D
C
A
D
D
B
B
C
A
C
D
3
4
2
1
4
2
1
3
1
3
4
2
2
1
3
4
D
A
B
D
D
B
C
D
A
A
A
B
B
C
C
C
3
1
4
2
1
3
2
4
4
2
3
1
2
4
1
3
C
C
B
C
B
C
B
D
A
A
A
D
D
B
A
D
4
2
3
1
2
3
1
4
3
1
4
2
1
4
2
3
D
B
D
A
C
C
C
B
D
C
D
B
B
A
A
A
1
3
2
4
2
4
3
1
3
1
4
2
4
2
1
3
A
D
B
A
B
D
C
C
B
A
C
C
D
D
A
B
3
4
2
1
4
3
1
2
1
2
3
4
2
1
4
3
C
A
B
D
C
A
B
B
A
D
D
D
C
C
B
A
3
2
1
4
1
3
4
2
4
1
2
3
2
4
3
1
D
D
A
D
A
B
C
C
B
C
A
A
B
D
B
C
2
1
4
3
3
2
1
4
4
3
2
1
1
4
3
2
Logika & razvedrilna matematika 35
Futoshiki
3 2 1
1 3 2
2 1 3
4 3 2 1
2 1 4 3
1 4 3 2
3 2 1 4
1 3 2
3 2 1
2 1 3
5 2 4 1 3
4 1 2 3 5
1 5 3 2 4
3 4 1 5 2
2 3 5 4 1
2 1 3 4
4 2 1 3
1 3 4 2
3 4 2 1
4 1 3 2
1 4 2 3
2 3 4 1
3 2 1 4
2 1 3
3 2 1
1 3 2
5 3 2 4 1
1 2 3 5 4
3 5 4 1 2
2 4 1 3 5
4 1 5 2 3
2 5 1 4 3
1 2 5 3 4
5 4 3 1 2
3 1 4 2 5
4 3 2 5 1
3 4 5 2 1
1 5 3 4 2
2 1 4 5 3
5 2 1 3 4
4 3 2 1 5
2 3 1
1 2 3
3 1 2
1 2 3
3 1 2
2 3 1
Logika & razvedrilna matematika 36
Razpored znakov
B C A C B A
B C D A C A B D
E B C A D B D E C A
C B A D E A E D B C
Gobelini
1, 3, 1
1, 3, 1
1, 3, 1
1, 3, 1
1, 3, 1
1, 3, 1
1
6 6 7 6 6
1, 2, 22, 371, 24, 11, 14, 13, 11, 1
4
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
2
1
1
1
4 8
3, 2
1, 1
2, 1
1, 2
1, 1
2, 3
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
7
1
1 1 1 3 1 1 1
2
1, 1
2
2
2 1
2
3
3, 3
2, 1, 2
2, 1, 2
1, 1, 1, 1
1, 1, 1, 1
1, 3, 1
2, 2
6 3
1
1
4
2
1
1
4
3
16
4
4
4
2
1, 2
3
1
3 5 5
3, 3
2, 2
1, 1
1, 1
2, 2
3, 3
3
3
2
2
1
1
1
1
2
2
3
3
1, 1
4
4
1
4
1, 3
2, 1
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1, 1, 1
1, 1, 1, 1
1
2 2 1 2
11
1, 2
5
4, 3
1, 1
2, 5
2, 5
1
6 2
2
2 2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
5
4
1, 2
3
1, 2
2
1, 2
43
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
Logika & razvedrilna matematika 37
Križne vsote
8 7
9 5 6
4 3
7 6
9 8
17 1215
1020
197
1413
17
6 9
9 5 8
4 6
5 6
2 1
15 1415
1222
1310
711
3
7 2
4 1 3
3 9
11 6
9
12
8
12
7 9
5 8 9
7 3
12 24
16
12
22
10
9 7
5 8 4
9 7
8 4
14 15
16
21
17
11
16
12
3 1
8 2 6
7 4
1 3
6 9
11 34
1316
1111
124
15
3 6
1 2 8
1 3
4 9
9
11
11
4
7 8
9 4 6 7
1 2 7 1 9
3 4 8
8 9
16 1315
7 1613
513
243 17
1215
17
8 9
9 1 5 9
2 3 9 1 3
2 9 4
8 1
17 1217
6 1210
514
145 13
1715
9
9 8
8 1 5
3 9
8 2
7 9
17 917
814
2412
1110
16
2 7
6 8 9
6 4
8 21
9
13
23
10
9 3
6 8 4 9
6 3 6 1 8
2 9 3
6 8
15 1712
5 1714
513
179 15
1514
14
Logika & razvedrilna matematika 38
Križni produkti
7 5
5 4 8
2 8
5 4
3 6
35 20
35
16
160
120
16
24
20
18
7 4
3 6
21 24
28
18
2 4
8 7 8 9
9 2 3 4 7
7 8 4
4 6
16 252
8
32 63
56
14
72
72
18 84
32
224
24
2 9 6
9 6 5
18 54 30
108
270
7 5
2 9 6
4 9
8 2
5 6
14 45
35
24
108
360
36
12
16
30
2 6
4 7 6
4 7
8 168
12
42
168
28
Logika & razvedrilna matematika 39
Labirint na kocki
1
23
4
5
6 7 8
9
101112
13
14
15
1617
18
19
20
21 22
23 24
25
26 27
28
29
30
31
32
33
34
3536
37
383940
41 42 43
44
4546
47
48 49
5051
52 53
54
55
565758
59
606162
63 64
6566
6768
69
70
71 72
73
74
1
2 3 4
56
789
10 11
12 13 14
15 16
1718
192021
22
2324
25 26
27 28 29
30
31
3233
34
35
3637
3839
4041424344
45
46
47
48
49
50 51
52 53 54
55 56
57
585960
12
3 4
5
67
89
10
11
12
13
14
15
16
17
1819
20
21 22
23
24
252627
2829
30
31
3233
34
35
36
37 38
394041 42
43
4445
46
1
2
34
5
6
7 8 9 10
111213
14
1516
17
18
1920
21
22
23
24
25
26
27 28
29
30 31 32
33
34
35 36
37
38
39
40 41 42
43
4445
4647
48 49
5051
52 53 54
555657
5859
1
23
45
6789
10
11121314
15
16
17 1819
20 21
22 23
24 25 26
27
2829
30 31
32
33
34 35
36
37 38
39
40
4142 43
44
45
46
47
4849
505152
53
54 55
5657
58
59 60
61 62
63
64 65
66 67 68 69
70 71
72 73 7475 76 77
7879
80 81
82 83
8485
86
87
88 89
1
2
3
4
5
67
8
9
10
11
12
131415
16 17
181920
21
2223
242526
27 28
2930
31 32 33 34 35
36
373839
40
414243
44
4546
47 48
49 50 51
Logika & razvedrilna matematika 40
Labirinti na enostavnih poliedrih
1 2
3456
7 8
9 10 11 12
13
14 15 16
1718
19
2021
222324
25 26 27
2829
3031
32
33
3435
3637
38 39
4041
4243
44 4546
4748
49
50 51 52
53
54 55
5657
58 59 60 61
62636465
666768
69
70 71
72 73
1
2
3 4
5
6
7
8 9
10 11
12 13
14
151617
18 19
20 21 22
23
24
25
2627
2829
30
31
3233
3435
36
37 38
39 40
4142
43
44
45464748
49
50
51
52 53
54
55
56 57 58
59
6061
62
63
64
65 66
67
686970
71
72
1234
56
7
8
910
11
12
1314
15
16
17 18 19
20
2122
23
24
252627
2829
30
31
32333435
36
37
3839
40
41
42
43
44
45
46
47
1
2
3
4
5
6
7
8 9
1011
12
13 14
15
16171819
2021
22
23
24
25
26
27
28
2930
31
12
3 45
678
910
11
1213
14 15
1617
1819
2021
22
23
24
25
26
27
28
29
3031 32 33
34
35
36
37
3839
40
4142
43
44 45
46 47
48
49
50
5152
53
5455
5657
58
1 2 3 4
56
7
8
9
1011
12
13
14
15
16
17
18
19
2021
2223
2425
26 2728
2930313233
3435
3637
3839 40 41
42 4344
4546
4748
49
Logika & razvedrilna matematika 41
Labirinti na robovih poliedra
1.
5
9
1
7
3
2 10
6
4
8
2
1
9
10
6
10
9
55 3
46
7
8
4
3
2
8
7
1
{8,4,6,10,2,1,7}
2.
17 13
9
5
1
711
15
19
3
2
6
10 14
18
4
20
1612
8
1920
43
19
1516
20
12 16
1511
11 7
812
7
1
2
8
1
56
2
65
91010
9
131414
13
171818
17
34
{14,18,4,20,16,12,8,2,1,5,9,13}
Logika & razvedrilna matematika 42
Večdelni labirinti na zemljevidu 1.
2.
3.
Logika & razvedrilna matematika 43
Odstranjene kocke
52 83 53
89 51 54
56 77 74
97 81 57
Kocki določi mrežo {3, 4, 1, 4, 3, 2} Labirint v kvadru
12
3
4
567
8 9
1011
12 13 14
15
16
1718
19
20
21 22
23
24
25 26 2728
29
30 31
3233
34
35 36
12
3 4
56
7 8 9
10
11
12131415
16
17
18 19
20
21 2223
242526
27 28
2930
31 32 33
34 35
1 2 3
456
7 8 9
101112 13
14
15
16 17 18
1920
21 22
2324 25
26
27
28 29
30
31
32
123
4
5
678
9 10
1112
13 14 15
16
17
1819
20
21
22 23
24
25
26 27 2829
30
31 32
3334
35
36
Logika & razvedrilna matematika 44
Labirint na ploskvah
123
4
5678
910
11
12
13 14
15 16 17
18
19 20 21 22
23
12
3 45
6
7
8
9 10
11 12 13
14
15 16
17
18 19
20212223
24
25
262728 29
30
31
32333435
3637
3839
4041
42 43
44 45 46 47
4849
50
51 52 53
5455
1
2
3456
78
9 10 11
12 13
14
15
16 17
18
19 20 21 22 23
2425
2627
28 29
303132
1
23
45
67
8 9 10
11
1213
14
15
16 17 18
1920
21 22 23
24 25 26
27
28
29 30
31
32
33
3435
36 37
3839
40414243
44
45 46 47
4849
Logika & razvedrilna matematika 45
Labirint na projekcijah teles
Logika & razvedrilna matematika 46
Labirinti na mreži valja in stožca 1.
1
23
4
5
6
789
10
11
12
13
14
15
16 17
1819 20 21
22
23 24
25
26
27
28
29
3031
32
3334
3536
2.
1
2
34
5
6
7
8
9
1011
12
13
14
15
16
17
18
19
20 212223
24 252627
3.
123
4
56
7
8
910
1112
13
14
151617
18 1920
2122
23
24
25
26
2728
29
30
31
32
Logika & razvedrilna matematika 47
Analiziraj pogoje nalog
A B D C
ABCD ACBD CABD CBAD
ADBC CBDA CDBA
ACDB BADC CADB
D A B C
DBAC
DACB DBCA
BADC ABDC ADBC
A C B D
ACDB BCDA
ABCD BDAC CDAB BADC CADB DCBA DBCA
BCAD
C B A D
CABD
BCAD BDAC CDAB
DBAC ADCB ACDB
A D B C
DABC
ACDB BCAD CDAB CBAD CADB
CDBA
C D B A
DABC
DCBA ADBC
BDCA BCDA CBDA ADCB ACDB
A D C B
ABCD BCDA DCBA BCAD DCAB
ADBC
BDCA CDAB
A B C D
ACBD
BADC DABC CADB DACB BDAC DBAC CDAB BDCA CBDA DBCA CDBA
BACD CABD CBAD
Logika & razvedrilna matematika 48
Izdaja: Založniško podjetje LOGIKA d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241 Kamnik. Poslovni račun pri NLB:
02312-0016592829. Davčna številka: SI56917309. Podjetje je zavezanec za DDV po zakonu o DDV. Za izdajatelja: Izidor Hafner.
E-mail: [email protected]
Spletna stran: http://www.logika.si. Revija Logika & razvedrilna matematika je vpisana v register medijev pri Ministrstvu za kulturo pod
številko 759. Strokovni pokrovitelj: Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko - oddelek za teoretično
računalništvo.
Glavni in odgovorni urednik: dr. Izidor Hafner (http://mat03.fe.uni-
lj.si/html/people/izidor/homepage/) Člana časopisnega sveta: prof. dr. Tomaž Pisanski in Darjo Felda, prof.
Recenzent: Vilko Domajnko, prof. Sodelavci: mag. Urša Demšar, dr. Gregor Dolinar, Monika Kavalir, dr. Meta Lah, Boštjan
Kuzman,Teja Oblak, Hiacinta Pintar, Maja Pohar, mag. Katka Šenk in dr. Aleš Vavpetič.
Oblikovanje: Ana Hafner Naslovnica: Maša Bratkovič
Jezikovni pregled: Besana
Za objavljene prispevke ne plačujemo honorarjev.
© 2021 LOGIKA d.o.o. ISSN 2350-532X
LOGIKA & RAZVEDRILNA MATEMATIKA, letnik XXX, št. 3 od 4, 2020/2021
Elektronska izdaja. Cena revije: 0 €.