5/26/2018 Lgica intuicionista

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Lgica intuicionista

Las matemticas difieren de las dems ciencias en que todas sus proposiciones deben ser demostradas.

Cul deba ser el contenido o la extensin de estas demostraciones es discutible, pero todos los

matemticos estarn de acuerdo en decir que el objetivo de la matemtica es la demostracin. Las

nicas vas para cuestionar una demostracin son: (1) discutir las presunciones sobre las que se basa o

(2) discutir la validez de las inferencias que contiene. Si, despus de reflexionar sobre ello, se aceptan las

presunciones y las inferencias, se debe aceptar la demostracin y afirmar que su conclusin es una

verdad matemtica: un teorema. La mayora de las demostraciones matemticas tienen como

presunciones otros teoremas ya demostrados con anterioridad; pero si se insiste en discutir las

presunciones, se llegar hasta determinados conceptos que simplemente se aceptan como verdaderos

sin otra demostracin.

Ello significa que, las matemticas precisan de unos fundamentos: unas presunciones ltimas sobre los

que se edifican todas las demostraciones y conceptos matemticos. El problema es, pues, si puede

encontrarse un nmero reducido de conceptos bsicos claros y de principios verdaderos, sobre los que

desarrollar de forma sistemtica todas las matemticas. Las matemticas, histricamente, se

encontraban basadas en unas cuantas intuiciones geomtricas y numricas que podan ser imaginadas,

pero no podan ser rigurosamente definidas, tales como el proceso de conteo o los postulados de

Euclides. Durante el siglo diecinueve, los matemticos, no slo fueron exigiendo un mayor rigor en las

definiciones, sino que, adems, empezaron a desarrollar nuevos sistemas basados en principios que

podan llegar a ser muy distintos a las intuiciones aceptadas desde los griegos: geometras no eucldeas,

teora sobre los nmeros reales, conceptos de cuerpo, anillo, grupo, etc. Paradjicamente, al separarsede estas intuiciones primitivas, los matemticos se dieron cuenta de que sus nuevas teoras, ms

abstractas, podan ser aplicadas a un mayor nmero de campos.

En filosofa de las matemticas, intuicionismo o neointuicionismo, es una aproximacin a las

matemticas a partir de una vista mental constructiva humana. Todo objeto matemtico es considerado

producto de la mente humana, y, por ende, la existencia de un objeto es equivalente a la posibilidad de

su construccin. Esto contrasta con el enfoque clsico, que formula que la existencia de un objeto puede

ser demostrada comprobando su falsedad. Para los intuicionistas esto no es vlido; la comprobacin de

la falsedad de un objeto matemtico no significa que es posible hallar una prueba constructiva de su

existencia. Por consiguiente, el intuicionismo es una variedad del constructivismo matemtico, aunque

no son el mismo concepto. Para el intuicionismo la validez de un enunciado matemtico es equivalente

a haber sido probado, pues, qu otro criterio puede ser vlido si los objetos son meras construcciones

mentales?. Esto significa que un enunciado matemtico no tiene el mismo significado para un

intuicionista que para un matemtico clsico. El intuicionismo tambin rechaza la abstraccin del

infinito; no considera asignar a algn conjunto dado entidades infinitas como el campo de los nmeros

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naturales, o una secuencia arbitraria de nmeros racionales. Esto requiere la reconstruccin de los

fundamentos de la teora de conjuntos y el clculo como la teora constructivista de conjuntos y el

anlisis constructivo respectivamente.

Es aceptado en los espacios cientficos que en la lgica clsica las proposiciones pueden tomar solo dos

valores de verdad: verdadero y falso. Segn C. S. Peirce esta es la hiptesis ms simple; mucho antes

Aristteles ya haba formulado los principios fundamentales de la lgica clsica, el de no

contradiccin:nada puede ser y no ser al mismo tiempo, o un enunciado no puede ser a la vez

verdadero y falso y el principio del tercio excluso: algo es o no es, o todo enunciado es verdadero o es

falso. Sin demeritar en manera alguna los desarrollos portentosos de la lgica y la matemtica clsicas,

se logra observar que existen muchas situaciones para cuya discusin se requieren valores de verdad

adicionales. Los fenmenos cotidianos afectados por la percepcin y el comportamiento humanos,

como los gustos, la riqueza, el significado de los adjetivos, solo pueden estudiarse con mayor

aproximacin, si se consideran gradaciones muy complejas. An en modelos matemticos muyutilizados la lgica bivalente conduce a aparentes paradojas. Durante el siglo veinte se han propuesto

diversas lgicas con ms valores de verdad: la lgica tradica de Peirce; la lgica intuicionista de

Brouwer, capturada de manera parcial por el llamado clculo proposicional intuicionista cuyos modelos

algebraicos son las algebras de Heyting; las lgicas de m valores o m-valuadas de Post, que tienen una

contraparte algebraica en las llamadas algebras de Post; las lgicas multivaluadas o polivalentes

introducidas por la escuela polaca de lgica y en especial por Jan Lukasiewicz; y ltimamente la lgica

difusa de Zadeh consistente en sustituir el conjunto discreto de ceros y unos por el conjunto continuo

ubicado en el segmento real.

El intuicionismo encuentra su origen en los trabajos del matemtico holands L. E. J. Brouwer quien ya

desde su tesis doctoral, presentada en 1907, intervino en la entonces candente discusin sobre los

fundamentos de la matemtica. Entre los precursores de las ideas intuicionistas pueden mencionarse a

Kronecker, Poincar, Borel y Weyl; las grandes corrientes filosficas antagonistas fueron el formalismo

propugnado por Hilbert y el logicismo impulsado por Frege, Whitehead y Russell. El principio bsico del

intuicionismo es la constructibilidad: para el intuicionista los objetos de estudio de la matemtica son

ciertas intuiciones mentales y las construcciones que pueden hacerse con ellas. La consecuencia

inmediata es que la matemtica intuicionista solo maneja objetos construidos y solo reconoce las

propiedades puestas en ellos por la construccin. En particular, la negacin de la imposibilidad de un

hecho no es una construccin del mismo luego el principio de doble negacin y las demostraciones porreduccin al absurdo son inaceptables para el intuicionista. De igual manera, es perfectamente factible

que un hecho y su negacin sean ambos imposibles de construir luego, en general, en el intuicionismo

no vale el principio del tercio excluso. A finales de la dcada de los aos veinte se propuso el problema

de formalizar el intuicionismo. Aunque a primera vista eso parezca una tarea contradictoria, lo que se

pretenda era construir, dentro de la matemtica formalista que ya se estaba imponiendo, una lgica

que de alguna manera reflejara los principios intuicionistas.

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El intuicionismo asumi como suyas una serie de crticas que emergieron frente al carcter abstracto de

las matemticas. Con Brouwer se estructur una visin sobre la naturaleza de las matemticas que

haba estado presente tambin entre los matemticos decimonnicos: Krnecker, Baire, etc. Los

intuicionistas se colocaban en un terreno opuesto al axiomatismo y al logicismo. Para los intuicionistas,como en Kant, era necesario recurrir a una intuicin, pero esta vez no poda ser espacio-temporal. stos

decidieron reducirla a una exclusivamente temporal. Para estos es el movimiento que en la mente hace

pasar del uno a dos lo que determina las matemticas. Si existe una evidencia, esta se encuentra en la

intuicin, luego las proposiciones matemticas se consideran sintticas a priori. stos responden a las

paradojas de una manera tajante: se trata de abusos y extralimitaciones de la lgica y el lenguaje.

Cuando la lgica y el lenguaje dejan de corresponderse con la verdadera matemtica es que se suceden

las paradojas.

Mientras que para los logicistas la lgica es elevada a una categora casi metafsica, para los

intuicionistas se trata de un instrumento absolutamente accesorio. No se trata para el intuicionismo de

probar la consistencia de la matemtica sino de hacer matemtica verdadera, apegada a esa intuicin

introspectiva. Esta matemtica as determinada filosficamente establece un programa prctico

centrado en la nocin de constructivismo. Es esto lo que en el fondo determina las reglas usadas, a

saber: el lenguaje y la lgica. Depender de ella tambin el tratamiento de las nociones infinitas. La

verdad y la existencia en matemticas aparecen fundidas en la construccin. La lgica intuicionista, o

lgica constructivista, es el sistema lgico desarrollado por Heyting para proveer una base formal para el

proyecto intuicionista de Brouwer. El sistema enfatiza las pruebas, en vez de la verdad, a lo largo de las

transformaciones de las proposiciones. La lgica intuicionista rechaza el principio del tercero excluido,

pero conserva principio de explosin. Esto se debe a una observacin de Brouwer de que si se enfatizan

las pruebas en vez de la verdad, entonces en los conjuntos infinitos, el principio del tercero excluido

parece fallar.

Guillermo Choque Aspiazu

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Junio 15 de 2009