RBOLES DE FORZAMIENTO SEMNTICO PARA LGICA CLSICA Y ALGUNAS NO

CLSICAS

Betsy Vargas

Fundacin Universitaria Konrad Lorenz

Diciembre 13 del 2003.

RBOLES DE FORZAMIENTO SEMNTICO PARA LGICA CLSICA Y ALGUNAS NO

CLSICAS

Betsy Vargas

Trabajo de grado para optar el ttulo de Matemtico.

Director: Pervys Rengifo. Ingeniero civil. Profesor Facultad de Matemticas.

Fundacin Universitaria Konrad Lorenz

Diciembre 13 del 2003.

I

Resumen El siguiente documento ofrece un tratamiento claro, didctico y completo del mtodo de los rboles para determinar propiedades lgicas (consistencia o equivalencia de proposiciones, validez o invalidez de razonamientos deductivos), tanto en el mbito de la lgica proposicional o de enunciados, como en el de la lgica de predicados o cuantificacional. Presenta tambin un abordaje sencillo pero representativo de propiedades metatericas tales como la adecuacin semntica, la indecibilidad y la incompletitud. La originalidad del texto radica en la utilizacin del mtodo de los rboles tambin denominado rboles de forzamiento semnticos ideado por el Matemtico Manuel Sierra, que, en su mbito de aplicacin, permite desarrollar demostraciones de manera ms sencilla que las realizadas a travs de mtodos alternativos.

Abstract The following work gives a clear, didactic, and complete treatment of method of trees to determine logical properties (proposition of consistence or equivalence, validity or invalidity of deductive reasoning), as much in propositional logic or enunciations field as in predicates or quantitatives logic. It also gives a simple overview though its representative to metatheoretic such semantic fitting, indecisiveness and incompleteness. The originality of text is based on the method of trees usage also called Trees of semantic forcement by the mathematician Manuel Sierra, he lets to develop demonstrations in a simpler way than the ones that are done by alternate methods.

II

ndice General 1. rboles de forzamiento semntico clsico 1

1.1. Construccin de enunciados 1

1.2. rboles de construccin de enunciados 1

2. Construccin de rboles de Forzamiento Semntico

para lgica clsica 3

2.1. Reglas de inferencia para el forzamiento semntico. 3

2.1.1. FR (Falsedad de la Raz). 4

2.1.2. Reglas para el condicional 4

2.1.3. Reglas para la conjuncin. 7

2.1.4. Reglas para la disyuncin 10

2.1.5. Reglas para el bicondicional. 13

2.1.6. Reglas para la negacin clsica. 19

2.1.7. Reglas para la iteracin de marcas. 21

2.2. Tipos de rboles. 22

2.2.1. Doble marca. 22

2.2.2. rboles bien marcados. 22

2.2.3. rboles mal marcados. 22

2.3. Teorema de opciones en el forzamiento. 23

2.3.1. OADM (Opcin Afirmativa con Doble Marca). 23

2.3.2. OFDM: (Opcin Falsa con Doble Marca). 23

2.3.3. OAOFDM (Opcin Afirmativa y Opcin

Falsa con Doble Marca) 24

2.3.4. Validez del rbol de forzamiento semntico. 24

2.4. Algunos teoremas importantes. 25

2.4.1. Tercero Excluido. 25

III

2.4.2. Principio de no-contradiccin. 27

2.4.3. Principio de trivializacin. 29

3. rboles de Forzamiento Semntico para la Lgica Bsica

Paraconsistente y Paracompleta con negacin clsica LBPco 32

3.1 Reglas de inferencia para la negacin paraconsistente 34

3.2. Algunos teoremas 40

3.2.1. Tercero Excluido. 40

3.2.2. Principio de no-contradiccin. 41

3.2.3. Principio de trivializacin. 42

4. rboles de Forzamiento Semntico para lgica Multivaluada 43

4.1. Lgica de Lukasiewicz. 43

4.2. Reglas de inferencia. 45

4.2.1 Reglas para el condicional 45

4.2.2. Reglas para la conjuncin. 49

4.2.3. Reglas para la disyuncin. 51

4.2.4. Reglas para el bicondicional. 53

4.2.5. Reglas para la negacin clsica. 56

4.3. Algunas consecuencias. 57

4.3.1. Principio del Tercio Excluido. 58

2.4.2. Principio de no-contradiccin. 59

4.4. Conclusiones 60

IV

ndice De Figuras

1.1. Negacin y Conjuncin. 1

1.2. Disyuncin e Implicacin. 2

1.3. Coimplicacin. 2

1.4. rbol del Argumento ).~())~(~)](]([ BADEDCBA 2

2.1. Falsedad de la Raz. 4

2.2. Afirmacin Izquierda, Afirmacin Del Condicional 4

2.3. Falsedad Derecha, Afirmacin Del Condicional. 5

2.4. Falsedad Del Condicional. 5

2.5. Falsedad Izquierda de un Condicional. 6

2.6. Afirmacin Derecha de un Condicional. 6

2.7. Afirmacin Izquierda, Falsedad Derecha de un Condicional. 7

2.8. Afirmacin de la Conjuncin. 7

2.9. Afirmacin Izquierda, Afirmacin Derecha de la Conjuncin. 8

2.10. Afirmacin Izquierda Falsedad de la Conjuncin. 8

2.11. Afirmacin Derecha, Falsedad de la Conjuncin. 9

2.12. Falsedad Izquierda de la Conjuncin. 9

2.13. Falsedad Izquierda de la Conjuncin. 10

2.14. Falsedad de la Disyuncin. 10

2.15. Falsedad Derecha, Falsedad Izquierda de la Disyuncin. 11

2.16. Afirmacin Derecha de la Disyuncin. 11

2.17. Afirmacin Izquierda de la Disyuncin. 12

2.18. Falsedad Izquierda, Afirmacin de la Disyuncin 12

2.19. Falsedad Derecha, Afirmacin de la Disyuncin. 13

2.20. Afirmacin Derecha, Afirmacin Izquierda del Bicondicional. 13

2.21. Falsedad Derecha, Falsedad Izquierda del Bicondicional. 14

V

2.22. Afirmacin Izquierda, Falsedad Derecha del Bicondicional. 14

2.23. Falsedad Izquierda, Afirmacin Derecha del Bicondicional. 15

2.24. Afirmacin Izquierda, Afirmacin del Bicondicional. 15

2.25. Falsedad Izquierda, Falsedad Del Bicondicional. 16

2.26. FalsedadIzquierda, Afirmacin del Bicondicional. 16

2.27. Afirmacin Izquierda, Falsedad del Bicondicional. 17

2.28. Afirmacin Derecha, Afirmacin del Bicondicional. 17

2.29. Falsedad Derecha, Falsedad del Bicondicional. 18

2.30. Falsedad Derecha, Afirmacin del Bicondicional. 18

2.31. Afirmacin Derecha, Falsedad del Bicondicional. 19

2.32. Afirmacin de la Negacin. 19

2.33. Falsedad del Alcance de la Negacin. 20

2.34. Falsedad de la Negacin. 20

2.35. Afirmacin del Alcance de la Negacin. 21

2.36. Iteracin de la Afirmacin. 21

2.37. Iteracin de la Falsedad. 22

2.38. Opcin Afirmativa con Doble Marca. 23

2.39. Opcin Falsa con Doble Marca. 23

2.40. Opcin Afirmativa y Falsa con Doble Marca. 24

2.41. Principio del Tercero Excluido. 25

2.42. Principio del Tercero Excluido (FR). 26

2.43. Principio del Tercero Excluido. (FV) 26

2.44. Principio del Tercero Excluido. (F ~) 26

2.45. Principio De No-Contradiccin 27

2.46. Principio De No-Contradiccin (FR) 27

2.47. Principio De No-Contradiccin (F~) 28

2.48. Principio De No-Contradiccin (A ) 28 2.49. Principio De No-Contradiccin (A~) 29

2.50. Principio De Trivializacin. 29

2.51. Principio De Trivializacin (FR) 30

VI

2.52. Principio De Trivializacin (F) 30

2.53. Principio De Trivializacin (A~) 31

2.54. Principio De Trivializacin (F) 31

3.1. A es incompatible con su negacin 33

3.2. A es completa con su negacin 33

3.3. Afirmacin de la negacin y

Afirmacin de la Incompatibilidad. 34

3.4. Falsedad del Alcance de la Negacin

y Afirmacin De La Completez 34

3.5. Falsedad de la Negacin y

Afirmacin de la Completez 35

3.6. Afirmacin del Alcance de la Negacin y

Afirmacin de la Incompatibilidad 35

3.7. Afirmacin de la Negacin y Afirmacin del

Alcance de la Negacin en la Incompatibilidad 36

3.8. Falsedad de la Incompatibilidad 36

3.9. Falsedad de la Negacin de la Incompatibilidad 37

3.10. Falsedad del Alcance de la Negacin

de la Incompatibilidad 37

3.11. Afirmacin de la negacin en la Completez 38

3.12. Afirmacin del Alcance de la negacin en la Completez 38

3.13. Falsedad de la Completez 39

3.14. Falsedad de la negacin, Falsedad del Alcance

de la Negacin en La Completez 39

3.15. Principio del Tercero Excluido 40

3.16. Principio De No Contradiccin 41

3.17. Principio De Trivializacin 42

4.1. Afirmacin Izquierda Indeterminacin Derecha 46

4.2. Indeterminacin Izquierda,

Indeterminacin de la Implicacin. 46

VII

4.3. Falsedad Izquierda, Indeterminacin de la Implicacin 47

4.4. Indeterminacin Izquierda, Indeterminacin Derecha 47

4.5. Indeterminacin Izquierda Falsedad Derecha 48

4.6. Afirmacin Izquierda, Indeterminacin de la Implicacin 48

4.7. No Falsedad Izquierda, Indeterminacin

Derecha de la Conjuncin 49

4.8. Indeterminacin Izquierda, No Falsedad

Derecha de la Conjuncin 49

4.9. Indeterminacin Izquierda, Indeterminacin de la Conjuncin 50

4.10. Indeterminacin Derecha, Indeterminacin de la Conjuncin 50

4.11. Indeterminacin de la Conjuncin 51

4.12. No Aceptacin Izquierda, Indeterminacin Derecha

de la Disyuncin 51

4.13. Indeterminacin Izquierda, No Aceptacin Derecha

de la Disyuncin 52

4.14. Indeterminacin Izquierda, Indeterminacin de la Disyuncin 52

4.15. Indeterminacin Derecha, Indeterminacin de la Disyuncin 52

4.16. Indeterminacin de la Disyuncin 53

4.17. Indeterminacin Izquierda, Indeterminacin

Derechadel Bicondicional. 53

4.18. Afirmacin del Bicondicional 54

4.19. Afirmacin Izquierda, Indeterminacin del Bicondicional 54

4.20. Afirmacin Derecha, Indeterminacin del Bicondicional 55

4.21. Falsedad Izquierda, Indeterminacin del Bicondicional 55

4.22. Falsedad Derecha, Indeterminacin del Bicondicional. 56

4.23. Indeterminacin de la negacin 56

4.24. Indeterminacin del Alcance de la negacin 57

4.25. Principio del Tercero Excluido 58

4.26. Principio De No Contradiccin 59

VIII

Introduccin. La aceptacin de que cada frmula bien formada debe tener uno de los dos valores de verdad, verdadero (V o 1) o falso (F o 0), llamado principio de bivalencia, constituye los fundamentos de la Lgica Clsica o Binaria, que ha sido la base de la asignatura Lgica de Primer Orden. Sin embargo, sucesivos planteamientos han demostrado la necesidad de otros tipos de lgicas, a veces presentadas como rivales y otras como complementarias de la lgica clsica, para resolver distintos problemas en campos como la Inteligencia Artificial o la Verificacin de Programas, por poner algunos ejemplos de reas cercanas a nuestro mbito de estudio. Un primer paso para ir ms all de la Lgica Bivalente es la introduccin de ms valores lgicos. Aunque las races ms antiguas de la Lgica Multivaluada las podemos encontrar en Aristteles, esta fue definitivamente establecida en 1920 por Lukasiewicz. Lukasiewicz aade a los valores lgicos clsicos un valor intermedio asentando los principios de la Lgica Trivalente. Una de las bases fundamentales de estos desarrollos eran los principios lgicos tradicionales, ahora adoptados a la formalizacin moderna; especialmente el principio de no contradiccin sin el cual se asuma que no era posible hacer ningn razonamiento correcto, ni decir algo con sentido la realidad. Pero la aplicacin de estos argumentos se puede ver en:

a) Filosofa: El tratamiento de teoras inconsistentes como ciertas formas de dialctica, y la teora de objetos de Meinong, en donde no se podra aplicar la lgica clsica, en vista de la presencia de contradicciones.

b) Matemtica: La formulacin de teoras paraconsistentes de conjuntos en los cuales

el esquema de separacin se encuentra sometido a restricciones. Entre estas teoras se encuentra el conjunto de Russell, compuesto por todos los conjuntos que no pertenecen a si mismos.

c) Lgica: Una mejor comprensin de los principios de la lgica estndar, se puede

observar claramente el sentido y las limitaciones de los principios de contradiccin, identidad y del tercero excluido.

d) Fsica: Aplicaciones en mecnica cuntica, y unificacin formal de teoras.

e) Tecnologa: Aplicaciones en Inteligencia Artificial (Manipulacin de datos

contradictorios), y en informtica en general.

1

Captulo 1 rboles de forzamiento Semntico Clsico 1.1. Construccin de enunciados Enunciados atmicos; A, B, C. Enunciados compuestos: generados a partir de los atmicos utilizando los conectivos binarios ,, , y el conectivo unario ~. 1.2. rboles de construccin de enunciados El rbol de construccin del enunciado A se representa como A* y se construye utilizando y enunciados arbitrarios;

FIGURA 1.1. - Negacin y conjuncin.

2

FIGURA 1.2. - Disyuncin e Implicacin.

FIGURA 1.3. Coimplicacin. El rbol de construccin de argumentos n ,...,,, 321 esta definido como, el rbol del condicional asociado al argumento ))...(( 321 n . El nodo principal del rbol se llama raz, y corresponde al conectivo principal del argumento, las hojas del rbol corresponden a los enunciados atmicos. Para el argumento: ).~(|~~)()( BADEyBCBA El condicional asociado es: ).~())~(~)](]([ BADEDCBA Su rbol es:

FIGURA 1.4. - rbol del argumento ).~())~(~)](]([ BADEDCBA

3

Captulo 2 Construccin de rboles de Forzamiento Semntico para Lgica Clsica Los rboles de Forzamiento Semnticos son construidos a partir de los arboles de construccin de enunciados. Para su realizacin se deben tener en cuenta las siguientes reglas de inferencia para el Forzamiento Semntico, donde un nodo marcado con un crculo indica la aceptacin del enunciado asociado al nodo, y un nodo marcado con un cuadro indica que el enunciado asociado al nodo es rechazado. 2.1. Reglas de inferencia para el forzamiento semntico Las tautologas, tienen gran utilidad en el clculo proposicional, as como tambin las contradicciones que son proposiciones que son falsas para cualquier combinacin de valores de verdad de las componentes. El objetivo de la realizacin de estos rboles, es lograr una demostracin por contradiccin, es decir para poder demostrar que un argumento es un teorema o no, se asume que es falso por tal razn la primera regla es:

4

2.1.1. FR (Falsedad de la Raz) El nodo raz siempre debe estar marcado con cuadro. Con esta regla se esta suponiendo que el enunciado asociado al rbol no es vlido.

FIGURA 2.1 - Falsedad de la raz.

2.1.2. Reglas para el condicional El condicional, tambin llamado implicacin, es falso slo en el caso en que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso, y es verdadera en todos los dems casos. De hay se derivan las siguientes reglas: 2.1.2.1. AIA (Afirmacin Izquierda, Afirmacin del Condicional) Cuando se tiene un condicional aceptado y el antecedente es aceptado, se deduce que el consecuente es aceptado.

FIGURA 2.2 - Afirmacin Izquierda, Afirmacin del condicional.

5

2.1.2.2. FDA (Falsedad Derecha, Afirmacin de Condicional) Cuando se tiene un condicional aceptado y el consecuente es rechazado, se deduce que el antecedente es rechazado.

FIGURA 2.3 - Falsedad Derecha, Afirmacin del condicional.

2.1.2.3. F (Falsedad del Condicional) Al tener un condicional rechazado, se deduce que el consecuente es aceptado y el antecedente es rechazado.

FIGURA 2.4 - Falsedad del condicional.

6

2.1.2.4. FI (Falsedad Izquierda en un Condicional) Un condicional es aceptado cuando su antecedente es rechazado.

FIGURA 2.5 Falsedad Izquierda en un Condicional.

2.1.2.5. AD (Afirmacin Derecha en un Condicional) Un condicional es aceptado cuando su consecuente es aceptado.

FIGURA 2.6 - Afirmacin Derecha en un Condicional.

7

2.1.2.6. FDAI (Falsedad Derecha, Afirmacin Izquierda en un Condicional)

Un condicional es rechazado cuando el antecedente es aceptado y el consecuente es rechazado.

FIGURA 2.7 - Afirmacin Izquierda. Falsedad Derecha en un Condicional.

2.1.3. Reglas para la conjuncin Una conjuncin es verdadera slo en el caso en que las proposiciones atmicas componentes sean verdaderas y es falsa en todos los dems casos- De all se derivan las siguientes reglas. 2.1.3.1. A (Afirmacin de la Conjuncin) Ambos componentes de una conjuncin son aceptados cuando la conjuncin es aceptada.

FIGURA 2.8 Afirmacin de la conjuncin

8

2.1.3.2. AIAD (Afirmacin Izquierda, Afirmacin Derecha en la Conjuncin)

Si ambos componentes de una conjuncin son aceptados, se deduce que la conjuncin es aceptada.

FIGURA 2.9 - Afirmacin Izquierda, Afirmacin Derecha de la conjuncin

2.1.3.3. AIF (Afirmacin Izquierda, Falsedad de la Conjuncin) De una conjuncin rechazada con uno de sus componentes aceptado, se deduce que el otro componente es rechazado.

FIGURA 2.10 - Afirmacin Izquierda Falsedad de la conjuncin.

9

2.1.3.4. ADF (Afirmacin Derecha, Falsedad de la Conjuncin) De una conjuncin rechazada con uno de sus componentes aceptado, se deduce que el otro componente es rechazado.

FIGURA 2.11 - Afirmacin Derecha, Falsedad de la Conjuncin.

2.1.3.5. FI (Falsedad Izquierda en la Conjuncin) Una conjuncin es rechazada cuando uno de sus componentes lo es.

FIGURA 2.12 - Falsedad Izquierda de la Conjuncin.

10

2.1.3.6. FD (Falsedad Derecha en la Conjuncin) Una conjuncin es rechazada cuando uno de sus componentes lo es.

FIGURA 2.13 - Falsedad Derecha de la Conjuncin.

2.1.4. Reglas para la disyuncin V La disyuncin es verdadera, cuando al menos una de las proposiciones atmicas componentes, es verdadera, y es falsa slo en el caso en que ambas sean falsas. 2.1.4.1. F V (Falsedad de la Disyuncin) Se deduce que ambos componentes de una disyuncin son rechazados cuando la disyuncin es rechazada.

FIGURA 2.14 - Falsedad de la Disyuncin.

11

2.1.4.2. FDFI V (Falsedad Derecha, Falsedad Izquierda de una Disyuncin)

Una disyuncin es rechazada cuando sus componentes son rechazados.

FIGURA 2.15 - Falsedad Derecha, Falsedad Izquierda de la Disyuncin.

2.1.4.3. AD V (Afirmacin Derecha de una Disyuncin) Una disyuncin es aceptada cuando uno de sus componentes lo es.

FIGURA 2.16 - Afirmacin Derecha de la Disyuncin.

12

2.1.4.4. AI V (Afirmacin Izquierda de una Disyuncin) Una disyuncin es aceptada cuando uno de sus componentes lo es.

FIGURA 2.17 - Afirmacin Izquierda de la Disyuncin.

2.1.4.4. FIA V (Falsedad Izquierda. Afirmacin de la Disyuncin) Cuando una disyuncin es aceptada y uno de sus componentes es rechazarlo, se deduce que el otro componente es aceptado.

FIGURA 2.18 - Falsedad Izquierda, Afirmacin de la Disyuncin.

13

2.1.4.5. FDA V (Falsedad Derecha, Afirmacin de la Disyuncin) Cuando una disyuncin es aceptada y uno de sus componentes es rechazado, se deduce que el otro componente es aceptado.

FIGURA 2.19 - Falsedad Derecha, Afirmacin de la Disyuncin.

2.1.5. Reglas para el bicondicional El bicondicional, tambin llamado coimplicacin, es verdadero cuando ambas proposiciones atmicas son verdaderas o falsas, y es falsa en todos los dems casos. 2.1.5.1 ADAI (Afirmacin Derecha, Afirmacin Izquierda en un

Bicondicional) Un Bicondicional es aceptado cuando sus dos componentes son aceptados

FIGURA 2.20 - Afirmacin Derecha, Afirmacin Izquierda del bicondicional.

14

2.1.5.2. FDFI (Falsedad Derecha, Falsedad Izquierda en un Bicondicional)

Un bicondicional es aceptado cuando sus dos componentes son rechazados.

FIGURA 2.21 - Falsedad Derecha, Falsedad Izquierda del bicondicional.

2.1.5.3. AIFD (Afirmacin Izquierda, Falsedad Derecha en un

Bicondicional) Un bicondicional es rechazado cuando uno de sus componentes es rechazado y el otro es aceptado.

FIGURA 2.22. Afirmacin Izquierda, Falsedad Derecha del bicondicional.

15

2.1.5.4. FIAD (Falsedad Izquierda, Afirmacin Derecha en un Bicondicional)

Un bicondicional es rechazado cuando uno de sus componentes es rechazado y el otro es aceptado.

FIGURA 2.23. Falsedad Izquierda, Afirmacin Derecha del bicondicional.

2.1.5.5. AIA (Afirmacin Izquierda, Afirmacin del Bicondicional) Un componente de un bicondicional es aceptado cuando el Incondicional y el otro componente son aceptados.

FIGURA 2.24 - Afirmacin Izquierda, Afirmacin del bicondicional.

16

2.1.5.6. FIF (Falsedad Izquierda, Falsedad del Bicondicional) Un componente de un bicondicional es aceptado cuando el bicondicional y el otro componente son rechazados.

FIGURA2.25 - Falsedad Izquierda, Falsedad del bicondicional.

2.1.5.7. FIA (Falsedad Izquierda, Afirmacin del Bicondicional) Un componente de un Incondicional es rechazado cuando el bicondicional es aceptado y el otro componente es rechazado.

FIGURA 2.26 - Falsedad Izquierda, Afirmacin del Bicondicional.

17

2.1.5.8. AIF (Afirmacin Izquierda, Falsedad del Bicondicional) Un componente de un bicondicional es rechazado cuando el bicondicional es rechazado y el otro componente es aceptado.

FIGURA 2.27. Afirmacin Izquierda, Falsedad del bicondicional.

2.1.5.9. ADA (Afirmacin Derecha, Afirmacin del Bicondicional) Un componente de un bicondicional es aceptado cuando el bicondicional y el otro componente son aceptados.

FIGURA 2.28. Afirmacin Derecha, Afirmacin del bicondicional.

18

2.1.5.10. FDF (Falsedad Derecha, Falsedad del Bicondicional) Un componente de un bicondicional es aceptado cuando el bicondicional y el otro componente son rechazados.

FIGURA 2.29 - Falsedad Derecha, Falsedad del bicondicional.

2.1.5.11. FDA (Falsedad Derecha, Afirmacin del Bicondicional) Un componente de un bicondicional es rechazado cuando el bicondicional es aceptado y el otro componente es rechazado.

FIGURA 2.30 - Falsedad Derecha, Afirmacin del bicondicional.

19

2.1.5.12. ADF (Afirmacin Derecha, Falsedad del Bicondicional) Un componente de un bicondicional es rechazado cuando el bicondicional es rechazado y el otro componente es aceptado.

FIGURA 2.31 - Afirmacin Derecha Falsedad del bicondicional. 2.1.6 Reglas para la negacin clsica ~ 2.1.6.1. A ~ (Afirmacin de la Negacin) El alcance de una negacin es rechazado cuando la negacin es aceptada.

FIGURA 2.32 - Afirmacin de la negacin.

20

2.1.6.2. FA ~ (Falsedad del Alcance de la Negacin) Una negacin es aceptada cuando su alcance es rechazado.

FIGURA 2.33 - Falsedad del alcance de la negacin. 2.1.6.3. F ~ (Falsedad de la Negacin) El alcance de una negacin es aceptado cuando la negacin es rechazada.

FIGURA 2.34 - Falsedad de la negacin.

21

2.6.4. AA ~ (Afirmacin del Alcance de la Negacin) Una negacin es rechazada cuando su alcance es aceptado.

FIGURA 2.35 - Afirmacin del alcance de la negacin.

2.1.7. Reglas para la iteracin de marcas 2.1.7.1. IA (Iteracin de la Afirmacin) Cuando un enunciado es aceptado, lo ser siempre.

FIGURA 2.36 - Iteracin de la Afirmacin.

22

2.1.7.2. IF (Iteracin de la Falsedad) Cuando un enunciado es rechazado, lo ser siempre.

FIGURA 2.37 - Iteracin de la Falsedad.

2.2. Tipos de rboles 2.2.1. Doble marca

DM (Doble Marca): Si dos nodos asociados a un mismo enunciado tienen marcas distintas entonces el rbol est mal marcado. 2.2.2. rboles bien marcados Un rbol de forzamiento semntico se dice que est bien marcado (ABM) si todos sus nodos estn marcados y no existe doble marca. 2.2.3. rboles mal marcados Un rbol de forzamiento semntico se dice que est mal marcado (AMM) si no est bien marcado, es decir, si existe un nodo con doble marca

23

2.3. Teorema de opciones en el forzamiento 2.3.1. OADM (Opcin Afirmativa con Doble Marca) Si se toma la opcin de marcar un nodo con crculo y se obtiene un rbol mal marcado entonces dicho nodo est marcado con cuadro. Si se supone que un enunciado es verdadero y se obtiene una contradiccin entonces dicho enunciado es falso.

FIGURA 2.38 - Opcin afirmativa con doble marca.

2.3.2. OFDM: (Opcin Falsa con Doble Marca) Si se toma la opcin de marcar un nodo con cuadro y se obtiene un rbol mal marcado entonces dicho nodo est marcado con crculo. Si se supone que un enunciado es falso y se obtiene una contradiccin entonces dicho enunciado es verdadero.

FIGURA 2.39. Opcin falsa con doble marca.

24

2.3.3. OAOFDM (Opcin Afirmativa y Opcin Falsa con Doble marca) Si se toma la opcin de marcar un nodo con cuadro y se obtiene un rbol mal marcado, y adems, si se toma la opcin de marcar un nodo con crculo y se obtiene un rbol mal marcado entonces el rbol esta mal marcado. Si suponemos que un enunciado es falso y se obtiene una contradiccin y adems, si se supone que el enunciado es verdadero y se obtiene una contradiccin entonces la contradiccin no depende de dicho enunciado. Si marcando A con crculo no se obtiene rbol mal marcado entonces A est marcado con crculo. Si marcando A con cuadro no se obtiene rbol mal marcado entonces A est marcado con cuadro. 2.3.4. Validez del rbol de forzamiento semntico. Un enunciado es vlido si y solamente si el rbol de forzamiento semntico asociado al enunciado est mal marcado.

FIGURA 2.40 - Opcin afirmativa y falsa con doble marca. Es decir, un enunciado es invlido (existe una asignacin de valores ce verdad que lo refuta) si y solamente si el rbol de forzamiento semntico asociado al enunciado est bien marcado. Si un rbol de forzamiento semntico asociado a un enunciado est bien marcado, la interpretacin de las marcas de sus hojas nos proporciona una asignacin de valores de verdad que refuta el enunciado, Podemos concluir que los rboles de forzamiento semntico nos proporciona un mtodo de decisin para el clculo proposicional clsico.

25

2.3.4. Algunos teoremas Importantes

2.3.4.1. Tercero Excluido Dada una proposicin A, entonces A y ~ A no pueden ser simultneamente verdaderas. De esta manera, una proposicin (en esta lgica bivalente) o bien es verdadera o bien es falsa y no caben mas alternativas. Por lo tanto, en caso de presentarse una proposicin que es verdadera y falsa a la vez se la elimina por ser contradictoria. A ~ A Su rbol es:

FIGURA 2.41 rbol del argumento A ~A

26

FIGURA 2.42 Principio del tercero excluido (FR)

FIGURA 2.43 Principio del tercero excluido (F )

FIGURA 2.44 Principio de tercero excluido (F~)

27

Tenemos un argumento con doble marca (A es falso y verdadero a, la vez), por lo tanto el rbol es un rbol mal marcado (AMM) y se puede concluir que el principio del tercero excluido es un teorema. 2.4.2. Principio de no contradiccin Un enunciado no puede ser a la vez verdadero y falso. De esta manera, una proposicin (en esta lgica bivalente) no ser al mismo tiempo verdadero y falsa.

)~(~ AA Su rbol es:

FIGURA 2.45 Principio de no contradiccin

FIGURA 2.46 Principio de no contradiccin (FR).

28

FIGURA 2.47 Principio de no contradiccin (F~).

FIGURA 2.48 Principio de no contradiccin (A)

29

FIGURA 2.49 Principio de no contradiccin (A~)

Tenemos un argumento con doble marca (a es falso y verdadero a, la vez) por lo tanto el rbol, es un rbol mal marcado (AMM) y se puede concluir que el principio de no contradiccin es un teorema.

2.4.3. Principio de trivializacin El principio de trivializacin indica que la lgica clsica no soporta contradicciones, es decir: de un enunciado y su negacin se puede deducir cualquier otro enunciado.

)(~ BAA Su rbol es:

FIGURA 2.50. -Principio de trivializacin

30

FIGURA 2.51 Principio de Trivializacin (FR)

FIGURA 2.52 Principio de trivializacin (F)

31

FIGURA 2.53 Principio de trivializacin (A~)

FIGURA 2.54 Principio de trivializacin (F)

Tenemos un argumento con doble marca (A es falso y verdadero a la vez), por lo tanto el rbol, es un rbol mal marcado (AMM) y se puede concluir que el principio de trivializacin es un teorema.

32

Captulo 3.

rboles de forzamiento Semntico para la Lgica Bsica Paraconsistente y Paracompleta con negacin clsica LBPco Los rboles de forzamiento semntico para el sistema de Lgica Bsica Paraconsistente y Paracompleta con Negacin Clsica LBPco, se obtienen a partir de los rboles de forzamiento semntico clsico agregando un nuevo operador de negacin llamado negacin dbil ( )junto con reglas de inferencia similares a las del operador Negacin Clsica (~) pero debilitadas. La negacin clsica (~) est caracterizada por ser completa, es decir, si el enunciado A es falso entonces el enunciado ~A es verdadero, o de forma equivalente, si el enunciado ~A es falso entonces el enunciado A es verdadero, lo cual significa que no puede ocurrir que los enunciados A y ~A sean simultneamente falsos. Adems tambin es consistente, es decir, Si el enunciado A es verdadero entonces el enunciado ~A es falso, o de forma equivalente, si el enunciado ~A es verdadero entonces el enunciado A es falso, lo cual significa que no puede ocurrir que los enunciados A y ~A sean simultneamente verdaderos. Cuando una lgica tiene un operador negacin () que no es completo, es decir que para algn enunciado A, tanto A como A son falsos, se dice que dicha lgica es paracompleta. Cuando una lgica tiene un operador negacin () que no es consistente, es decir, para algn enunciado A, tanto A como A son verdaderos), se dice que dicha lgica es paraconsistente. Las reglas de inferencia para esta negacin se obtienen debilitando las reglas de inferencia

33

para el operador negacin clsica y agregando reglas que indiquen en que casos particulares valen las reglas eliminadas. El sistema resultante soporta contradicciones dbiles sin trivializar las teoras que las incluyen. La frmula A puede leerse: A es cuestionable, A es cuestionado. La frmula AI se lee: A es incompatible con su negacin. La frmula AC se lee: A es completa con su negacin. El rbol de una incompatibilidad tiene la siguiente forma:

FIGURA 3.1. - A es incompatible con su negacin El rbol de una completez tiene la siguiente forma:

FIGURA 3.2. - A es completa con su negacin.

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3.1 Reglas de inferencia para la negacin paraconsistente 3.1.1 AAI(Afirmacin de la Negacin y Afirmacin de la

Incompatibilidad) Los enunciados cuestionados que son incompatibles con su negacin, son rechazados es decir, el alcance de una negacin es falso cuando la negacin es verdadera y es incompatible con su alcance.

FIGURA 3. 3 -. Afirmacin de la negacin y Afirmacin de la incompatibilidad

3.1.2. F AC (Falsedad del Alcance de la Negacin y Afirmacin de la

Completez) Los enunciados determinables que son rechazados, son cuestionados, es decir, una negacin es aceptada cuando su alcance es rechazado y completo.

FIGURA 3.4. Falsedad del alcance de la negacin y Afirmacin de la completez.

35

3.1.3. F AC (Falsedad de la Negacin y Afirmacin de la Completez) Los enunciados determinables que son cuestionados, son aceptados. El alcance de una negacin es aceptado cuando la negacin es rechazada y el alcance completo.

FIGURA 3.5.- Falsedad de la Negacin y Afirmacin de la Completez

3.1.4. AA AI (Afirmacin del Alcance de la Negacin y Afirmacin de

la Incompatibilidad) No son cuestionados los enunciados que se aceptan y adems sean incompatibles con su negacin es decir, una negacin es rechazada cuando su alcance es aceptado y es incompatible con su negacin.

FIGURA 3.6.- Afirmacin del Alcance de la Negacin y Afirmacin de la Incompatibilidad

36

3.1.5. A AA I (Afirmacin de la Negacin y Afirmacin del Alcance de la Negacin en la Incompatibilidad)

Los enunciados que son aceptados y cuestionados son compatibles con su negacin, es decir, la incompatibilidad de un enunciado y su negacin es rechazada cuando el enunciado y su negacin son aceptados.

FIGURA 3.7. Afirmacin de la Negacin y Afirmacin del Alcance de la Negacin en la Incompatibilidad 3.1.6. FI (Falsedad de la Incompatibilidad) Los enunciados compatibles con su negacin se aceptan y se cuestiona, es decir un enunciado y su negacin son aceptados cuando la incompatibilidad es rechazada.

FIGURA 3.8. - Falsedad de la Incompatibilidad

37

3.1.7. FI (Falsedad de la Negacin en la Incompatibilidad) Si un enunciado no es cuestionado entonces es incompatible con su negacin es decir, una incompatibilidad es aceptada cuando es rechazada la negacin en su alcance.

FIGURA 3.9. - Falsedad de la Negacin de la Incompatibilidad 3.1.8. FA I (Falsedad del Alcance de la Negacin en la

incompatibilidad) Si un enunciado es rechazado entonces es incompatible con su negacin es decir, Una incompatibilidad es aceptada cuando es rechazado el alcance de la negacin en su alcance.

FIGURA 3.10. - Falsedad del alcance de la Negacin en la Incompatibilidad

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3.19. A C (Afirmacin de la Negacin en la Completez)

Un enunciado es determinable cuando es cuestionado, es decir, una completez es aceptada cuando es aceptada la negacin en su alcance.

FIGURA 3.11. Afirmacin de la Negacin en la Completez

3.1.10 AA C(Afirmacin del Alcance de la Negacin en la Completez) Un enunciado es determinable cuando es aceptado, es decir, una completez es aceptada cuando es aceptado el alcance de la negacin en su alcance.

FIGURA 3.12. Afirmacin del Alcance de la Negacin en la Completez.

39

3.1.11. FC (Falsedad de la Completez) Cuando un enunciado es determinable, ni se acepta ni se rechaza, es decir, un enunciado y su negacin son rechazados cuando la completez es rechazada.

FIGURA 3.13. Falsedad de la Completez. 3.1.12. F F C (Falsedad de la Negacin Falsedad del Alcance de la

Negacin en la Completez) Cuando un enunciado es rechazado y no es cuestionado, es indeterminable. Cuando un enunciado y su negacin son rechazados, la completez es rechazada.

FIGURA 3.14. Falsedad de la Negacin Falsedad del Alcance de la Negacin en la Completez

40

3.2. Algunos teoremas 3.2.1. Tercero Excluido Este principio es valido solo cuando un enunciado es completo. AC (A A) Su rbol es:

FIGURA 3.15. Tercero Excluido AC (A A)

Justificaciones

1. FR. 6. IF en 5. 2, 3. F . 7. IF en 4. 4, 5. F V. 8. F AC.en 2 y 6 9. DM en 8 y 7. AMM.

41

3.2.2. Principio de No Contradiccin: Este principio solo tiene validez restringida, es decir, cuando el enunciado es incompatible con su negacin.

(A A)C AI (A A) Su rbol es:

FIGURA 3.16. Principio de No Contradiccin

Justificaciones

1. FR. 7. F AC en 4 y 6. 12. A AI en 5 y 11. 2, 3. F en 1. 8, 9. A en 7. 13. IA en 7. 4, 5. A en 2 10. IA en 8 14, 15. A en 13. 6. IF en 3 11. IA en 9. 16. IA en 14.

17. DM en 12 y 16. AMM.

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3.2.3. Principio de trivializacin: Este principio indica que el sistema soporta las contradicciones, es decir, pueden tenerse como teoremas los enunciados A y A y a pesar de ello el sistema no se trivializa.

FIGURA 3.17. Principio de trivializacin Justificaciones

1. FR. 6, 7. F en 5 10. A AI en 2 y 9. 2, 3. F en 1. 8. IA en 6. 11. DM en 10 y 8. 4, 5. F en 3. 9. IA en 4

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Captulo 4. rboles De Forzamiento Semntico Para Lgica Multivaluada 4.1 Lgica de Lukasiewicz La lgica trivalente naci de la necesidad de incorporar dentro de la lgica cierto tipo de proposiciones imposibles de tratar por los medios de la lgica bivalente. Para ello se necesito ampliar el clculo anterior y hacer en l ciertas correcciones. La ampliacin consisti en aadir un nuevo valor a los dos anteriores con los que trabajaba la lgica bivalente. Un valor intermedio entre el 1 y el 0, el , interpretado como posiblemente 1 o posiblemente 0. Para construir las tablas de verdad para frmulas moleculares, se debe seguir los mismos criterios que en la lgica bivalente, es decir, se construyen a partir de los valores de las frmulas atmicas y de las definiciones de las conectivas lgicas. Lukasiewicz toma como base la extensin de la interpretacin clsica de las conectivas de implicacin ( ) y negacin (). Y define la disyuncin ( ), la conjuncin ( ) y la equivalencia ( ) de la siguiente manera: A B = (A B) B A B = (A B) A B = (A B) (B A)

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Las tablas de verdad en este sistema son construidas tomando en cuenta las siguientes formulas: La conjuncin elige el valor mas bajo de las sub-frmulas que conecta. v(A B) = min. {v(A), v(B)}

1 1/2 0 1 1 1/2 0

1/2 1/2 1/2 0 0 0 0 0

La disyuncin elige el mejor valor de las frmulas que conecta. v (A B) = mx. {v(A), v(B)}

1 1/2 0 1 1 1 1

1/2 1 1/2 1/2 0 1 1/2 0

La implicacin toma el valor del consecuente cuando dicho consecuente tiene un valor ms bajo que el antecedente; en caso contrario se evala como verdadero, es decir como 1. v(A B)=min{1,1-v(A)+v(B)}

1 1/2 0 1 1 1/2 0

1/2 1 1 1/2 0 1 1 1

45

Del anterior se deduce los valores de la doble implicacin.

1 1/2 0 1 1 1/2 0

1/2 1/2 1 1/2 0 0 1/2 1

El valor de la negacin esta determinada por uno menos el valor del argumento. v( A)=1-v(A)

1 0

1/2 1/2

0 1 4.2. Reglas de inferencia: A partir de las tablas establecidas para el conector se pueden realizar las mismas operaciones que en lgica bivalente, aunque tales operaciones son mucho mas largas y enojosas en el nuevo calculo, puesto que para tres argumentos las combinaciones posibles son 27, para cuatro 81 etc., de acuerdo con 3n en que el exponente n designa el numero de argumentos que tenga la formula. Los resultados que se obtengan, pueden ser triples: Tautolgicos, si como resultado se obtiene 1 en todos los casos, es decir todos son verdaderos; Posibles, si no aparecen nmeros inferiores a , es decir no aparecen valores falsos; y Falsos, si resultan nmeros 0 en cualquier caso. En este sistema el nodo raz no siempre necesita estar marcado con cuadro, como en el caso de la lgica clsica, sino que puede tomar el valor de , marcado con un crculo discontinuo. 4.2.1. Reglas para la el condicional Como se puede observar en la tabla de verdad, la implicacin es falsa, solo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, y de hay se derivan las siguientes reglas.

46

4.2.1.1. AIID (Afirmacin Izquierda, indeterminacin Derecha) Un condicional es indeterminado cuando el antecedente es aceptado, y el consecuente es indeterminado.

FIGURA 4.1. Afirmacin Izquierda, indeterminacin Derecha

4.2.1.2. III (Indeterminacin Izquierda, Indeterminacin de la

Implicacin)

Cuando se tiene el antecedente y el condicional indeterminado, el consecuente es rechazado.

FIGURA 4.2. Indeterminacin Izquierda, Indeterminacin de la Implicacin

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4.2.1.3. FII (Falsedad Izquierda, Indeterminacin de la Implicacin) Cuando se tiene un consecuente rechazado, y una implicacin indeterminada, es porque el antecedente es indeterminado.

FIGURA 4.3. Falsedad Izquierda, Indeterminacin de la Implicacin

4.2.1.4. IIID (Indeterminacin Izquierda, Indeterminacin Derecha.) Al tener un antecedente y un consecuente indeterminado, la implicacin es verdadera.

FIGURA 4.4. Indeterminacin Izquierda, Indeterminacin Derecha.

48

4.2.1.5. IIFD (Indeterminacin Izquierda, Falsedad Derecha) Cuando el antecedente es indeterminado y el consecuente es falso, se deduce que la implicacin es indeterminada.

FIGURA 4.5. Indeterminacin Izquierda, Falsedad Derecha

4.2.1.6. AII (Afirmacin Izquierda, Indeterminacin de la Implicacin) Cuando el antecedente es aceptado, y la implicacin es indeterminada, se deduce que el consecuente es indeterminado.

FIGURA 4.6. Afirmacin Izquierda, Indeterminacin de la Implicacin

49

4.2.2. Reglas para la conjuncin 1 4.2.2.1.NFIID (No Falsedad Izquierda, Indeterminacin Derecha De la Conjuncin)

IINFD (Indeterminacin Izquierda, No Falsedad Derecha de la Conjuncin)

Cuando uno de los componentes de la conjuncin es indeterminado y el otro no es rechazado, es decir no es falso2, la conjuncin es indeterminada.

FIGURA 4.7. No Falsedad Izquierda, Indeterminacin Derecha De la Conjuncin.

FIGURA 4.8. Indeterminacin Izquierda, No Falsedad Derecha De la Conjuncin

1 Se aplican las mismas reglas de la lgica clsica para la conjuncin. 2 Para determinar que un valor no es rechazado, se dibujaran dos cuadrados uno dentro de otro.

50

4.2.2.2. III (Indeterminacin Izquierda, Indeterminacin de la conjuncin). IDI (Indeterminacin Derecha, Indeterminacin de la conjuncin). Cuando la conjuncin y uno de los componentes de la conjuncin son indeterminados, el otro componente no es falso.

FIGURA 4.9. Indeterminacin Izquierda, Indeterminacin de la conjuncin

FIGURA 4.10. Indeterminacin Derecha, Indeterminacin de la conjuncin

51

4.2.2.3. I (Indeterminacin de la conjuncin) Al tener una conjuncin indeterminada, es porque uno de los componentes es indeterminado, y el otro no es rechazado.

FIGURA 4.11. Indeterminacin de la conjuncin

4.2.3. Reglas para la disyuncin 3 4.2.3.1 NAI ID (No Aceptacin Izquierda, Indeterminacin Derecha de Disyuncin)

IINAD(Indeterminacin Izquierda, No aceptacin Derecha de la Disyuncin) Cuando uno de los componentes de la Disyuncin es indeterminado y el otro No es aceptado, es decir no es verdadero4, La disyuncin se hace indeterminada.

FIGURA 4.12. No Aceptacin Izquierda, Indeterminacin Derecha de Disyuncin

3 Se aplican las mismas reglas de la lgica clsica para la disyuncin. 4 Para determinar que un valor no es aceptado, se dibuja un crculo dentro de un cuadro.

52

FIGURA 4.13. Indeterminacin Izquierda, No Aceptacin Derecha de Disyuncin 4.2.3.2. III(Indeterminacin Izquierda, Indeterminacin de la Disyuncin).

IDI(Indeterminacin Derecha, Indeterminacin de la Disyuncin). Cuando la Disyuncin y uno de los componentes de la conjuncin son indeterminados, el otro componente no es aceptado.

FIGURA 4.14. Indeterminacin Izquierda, Indeterminacin de la Disyuncin.

FIGURA 4.15. Indeterminacin Derecha, Indeterminacin de la Disyuncin.

53

4.2.3.3. I (Indeterminacin de la Disyuncin) Al tener una Disyuncin indeterminada, es porque uno de los componentes es indeterminado, y el otro no es aceptado.

FIGURA 4.16. Indeterminacin de la Disyuncin. 4.2.4. Reglas para el bicondicional 5 4.2.4.1. IIID (Indeterminacin Izquierda, Indeterminacin Derecha

del Bicondicional) Un bicondicional es aceptado, cuando sus dos componentes son indeterminados.

FIGURA 4.17. Indeterminacin Izquierda, Indeterminacin Derecha del Bicondicional.

5 Se aplican las mismas reglas de la lgica clsica para el bicondicional.

54

4.2.4.2. A (Afirmacin del bicondicional) Si un bicondicional es aceptado; sus dos componentes tienen el mismo valor de verdad.

FIGURA 4.18. Afirmacin del bicondicional

4.2.4.3. AII(Afirmacin Izquierda, Indeterminacin del bicondicional)

ADI (Afirmacin Derecha, Indeterminacin del bicondicional)

Al tener un bicondicional indeterminado y uno de sus componentes aceptados, el otro componente es indeterminado.

FIGURA 4.19. Afirmacin Izquierda, indeterminacin del bicondicional

55

FIGURA 4.20. Afirmacin Derecha, indeterminacin del bicondicional

4.2.4.4. FII (Falsedad Izquierda, Indeterminacin del bicondicional)

FDI (Falsedad Derecha, Indeterminacin del bicondicional) Al tener un bicondicional indeterminado, y uno de sus componentes rechazado, el otro componente es indeterminado.

FIGURA 4.21.Falsedad Izquierda, Indeterminacin del bicondicional

56

FIGURA 4.22.Falsedad Derecha, Indeterminacin del bicondicional

4.2.5. Reglas para la negacin 6 4.2.5.1. I (Indeterminacin de la de la Negacin) El alcance de la negacin es indeterminado cuando la negacin es indeterminada.

FIGURA 4.23. Indeterminacin de la negacin.

6 Se aplican las mismas reglas de la lgica clsica para la negacin.

57

4.2.5.2. IA (Indeterminacin del alcance de la Negacin) Una negacin es indeterminada, cuando su alcance es indeterminado.

FIGURA 4.24. Indeterminacin del alcance de la negacin.

4.3. Algunas consecuencias. Lukasiewicz concluye que en cuanto a la lgica, no es cierto que el principio de no contradiccin sea el mas alto de todos los principios, en el sentido en el que sea presupuesto por todos los otros principios, en el contexto de la lgica simblica, se haba demostrado que una serie de principios podran seguir siendo validos incluso si el de no contradiccin no lo fuera. A partir de esto, el autor concluyendo la parte histrico crtica del artculo, afirma que:

Debemos abandonar la falsa, aunque ampliamente extendida, perspectiva de que el principio de no contradiccin es el ms alto principio de todas las demostraciones! Esto slo se sostiene para las pruebas indirectas; para las directas no es cierto.7

7 Tomado del libro Inconsistencias Por qu no? Pagina 17.

58

4.3.1. Principio del Tercio Excluido A A Su rbol es:

FIGURA 4.25. Principio del tercero excluido. Justificaciones

1. IR. 4. I en 3. 2, 3. I 5. DM en 2 y 4.

El valor de A marcado con cuadro y crculo dentro significa, que no puede ser verdadero, por lo cual puede tomar los valores de indeterminado o falso; entonces el rbol, al marcar a A como indeterminado, queda bien marcado, lo cual demuestra que el principio del tercio excluido no es un teorema en la lgica de Lukasiewicz.

59

4.3.2. Principio de No Contradiccin (A A) Su rbol es:

FIGURA 4.26. Principio de no contradiccin. Justificaciones

1. IR. 2. I en 1. 3, 5. I en 2 5. I en 4. 6. DM en 3 y 5.

El valor de A marcado con cuadro y otro cuadro dentro significa, que no puede ser falso, por lo cual puede tomar los valores de indeterminado o verdadero; entonces el rbol, al marcar a A como indeterminado, queda bien marcado, lo cual demuestra que el principio de no contradiccin no es un teorema en la lgica de Lukasiewicz.

60

CONCLUSIONES Los rboles de forzamiento semntico son diagramas utilizados para la llamada investigacin formativa, es decir, son utilizados para presentar de manera bastante simple tpicos relacionados con algunas lgicas no clsicas, como la lgica Paraconsistente, Paracompleta y la lgica de Lukasiewiez, mostrando las diferencias y semejanzas con la clsica. Tambin son utilizados de manera muy eficiente en el estudio de la "negacin", adems de ser utilizados como una solucin en tiempo finito en la realizacin de teoremas, o poder saber en tiempo real si un argumento es un teorema o no, los rboles de Forzamiento Semntico, proporcionan una herramienta de inferencia visual muy til en el estudio de teoras inconsistentes. Por otra parte se puede observar que las conclusiones a las cuales llega Lukasiewiez, son totalmente demostrables por este mtodo. Por ejemplo tenemos el principio de no contradiccin el cual no puede ser probado proclamndolo directamente evidente porque:

1) La evidencia no parece ser un criterio aceptable de verdad; de hecho ha sucedido que proposiciones falsas se han mostrado como evidentes

. 2) El principio de no contradiccin no parece ser evidente para todo el mundo; para

algunos pensadores como Hegel no era evidente. Con relacin a la posibilidad de dar una prueba del principio de no contradiccin a partir de una investigacin concreta, Lukasiewiez hace mencin de objetos contradictorios como El mas grande de los nmeros primos, o el circulo cuadrado, l asuma que el principio de no contradiccin slo estaba dirigido a lo real y a lo posible. Por otra parte, como lo haba demostrado la aparicin de las paradojas, tales como la de Russell, no se puede excluir la eventualidad de que construcciones que parecen consistentes, contengan una contradiccin escondida que no se ha descubierto aun.

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Referencia [BOB96] Andrs Bobenrieth.

Inconsistencias Por qu no? Trazos filosficos en la senda de la lgica paraconsistente. Bogot: Tercer mundo, 1996.

[CAY90] Xavier Caicedo. Elementos de lgica y Calculabilidad. Bogota, Universidad de los Andes 1990.

[GOT01] Siegfried Gottwald A Treatise on many valued logics. Institute for logic and philosophy of science University of Leipzig,

Germany 2000.

[SIE99] Manuel Sierra. Lgica Paraconsistente Memorias de la Primera reunin del Grupo LOG&CO Lgica y computacin Universidad Nacional de Colombia, Manizales, Diciembre 13 al 17 de 1999.

[SIE01] Manuel Sierra. rboles de Forzamiento Semntico. Revista Universidad EAFIT No 123, Medelln, 2001.

[SI201] Manuel Sierra. Lgica Bsica Paraconsistente Clsica. Memorias del VIII Encuentro de la Escuela Regional de Matemticas, Pasto, 2001.

[SIE02] Manuel Sierra. Lgica Bsica Paraconsistente y Paracompleta con Negacin Clsica. Revista Universidad EAFIT No 126. Medelln, 2002.