A lo largo de la historia la Matemtica se ha constituido como una ciencia de indispensable relevancia, en principio por sus aplicaciones concretas y ms tarde por su dimensin como ciencia pura

Facultad de Ciencia y Tecnologa

Profesorado de Matemtica

Ctedra: Prctica Docente IIFacultad de Ciencia y Tecnologa

Profesorado de Matemtica

Ctedra: Prctica Docente II

UNIVERSIDAD AUTNOMA DE ENTRE ROS

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGA

PROFESORADO EN MATEMTICA

CTEDRA: PRCTICA DOCENTE IIUNIDAD DIDCTICA

LOGARITMOS

ESTABLECIMIENTO: Escuela Secundaria N 22 Ral Scalabrini OrtizCURSO: 5 A

PROFESORA DEL CURSO: Mara del Rosario CaraccioloPROFESORAS DE PRCTICA DOCENTE II: BLASN, Rosi.

CAMPA, Cristina.

MARTINELLI, Carina.

PRACTICANTE: Gonzalez, Luisina.

PERODO LECTIVO: 2010

FUNDAMENTACIN

La Matemtica surge de manera desordenada y en pocas y lugares distintos, cuando al hombre se le presentan necesidades de satisfacer exigencias de orden prctico (contar objetos, registrar y fijar resultados de transacciones comerciales o de medidas), por lo que comienza a desarrollarse un conjunto de reglas y conocimientos de estructura ms emprica que racional.Con el tiempo, el hombre se ocup de perfeccionar esta estructura, haciendo de la Matemtica la ciencia pura y acabada que hoy conocemos, y que sigue desarrollndose an en estos das, respondiendo ahora a las nuevas necesidades de las nuevas culturas. Pero este perfeccionamiento de la Matemtica no se obtuvo slo a base de logros y satisfacciones, sino que tambin hubo errores y desaciertos.

El estudiante de Matemtica debera conocer esto para que no se desanime ante el primer obstculo y siga avanzando hacia la adquisicin de nuevos conocimientos y habilidades.Otro aspecto de gran relevancia es que la potencia de la Matemtica radica en que un mismo concepto abstracto se puede aplicar a muchas situaciones concretas. Esta caracterstica de la Matemtica es la que permite desarrollar procesos tales como el razonamiento lgico y la interpretacin, que favorecen el desarrollo del pensamiento formal del alumno.

Como parte de este desarrollo tambin es importante decir que el alumno llega a ser capaz de: establecer estrategias, poner en juego su creatividad, tomar decisiones, adquirir una actitud crtica. Todas estas son capacidades que favorecen a la formacin integral del alumno, y que se adquieren para su futuro desempeo como adulto dentro de una sociedad que est en continuo cambio y movimiento.En este contexto, la Matemtica ha de ser suficientemente significativa y funcional para todos los estudiantes y suficientemente rigurosa como para dar al alumnouna comprensin ms profunda de los contenidos y mtodos de esta disciplina, posibilitando una aplicacin autnoma de los mismos y el acceso a conocimientos ms complejos.Esta unidad est destinada a alumnos de 5 A de la Escuela Secundaria N 22 Ral Scalabrini Ortiz; y el tema a desarrollar es: Logaritmos.El tiempo estimado para el desarrollo de la misma es de 10 mdulos de 80 minutos cada uno, dependiendo del proceso de aprendizaje de los alumnos.OBJETIVOSGENERALES Comprender el concepto de logaritmo. Operar con logaritmos resolviendo situaciones concretas.

Emplear las propiedades de los logaritmos para hallar la solucin de ecuaciones.

Ampliar el uso de la calculadora.

ESPECFICOS

Comprender y aplicar la definicin de logaritmo. Aplicar las propiedades de los logaritmos.

Efectuar operaciones aritmticas mediante el empleo de logaritmos.

Calcular el logaritmo de un nmero respecto a cualquier base. Resolver ecuaciones exponenciales y logartmicas mediante el uso de las propiedades de los logaritmos.

Realizar cambio de base de los logaritmos para la simplificacin de clculos.

Utilizar correctamente las funciones de la calculadora.

Resolver situaciones problemticas: cambio de peso de un animal, clculo del pH de una sustancia, crecimiento poblacional, inters compuesto, grado de destruccin de un terremoto medido segn la escala de Richter, desintegracin radiactiva. Utilizar el lenguaje propio de la disciplina.

CONTENIDOS

CONCEPTUALES

Logaritmo. Logaritmos decimales y naturales.

Propiedades de los logaritmos.

Cambio de base.

Antilogaritmos.

Ecuaciones exponenciales y logartmicas.

Manejo de calculadora cientfica.

PROCEDIMENTALES

Aplicacin de la definicin de logaritmos. Aplicacin de las propiedades de los logaritmos para resolver ejercitacin.

Resolucin de problemas aplicando las propiedades desarrolladas en clase.

Utilizacin adecuada de la calculadora.ACTITUDINALES

Respeto y tolerancia con los compaeros y docentes. Confianza en sus posibilidades para la resolucin de problemas.

Tolerancia al error y valoracin del mismo como posibilidad de aprendizaje. Cuidado y mantenimiento de las herramientas de trabajo.

SABERES PREVIOS

Operaciones con nmeros Reales: adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin.

Propiedades de las operaciones con nmeros Reales. Ecuaciones con nmeros Reales.

METODOLOGALa presente propuesta comienza con la resolucin de un problema utilizado como estrategia para la construccin de nuevos conocimientos.

Esta metodologa, basada en el aprendizaje significativo, permite al alumno descubrir un nuevo concepto, relacionndolo con otros que ya conocen, determinar procedimientos, confrontarlos con sus pares, justificar la eleccin de estrategias y buscar formas de comunicar sus resultados.Para que los alumnos comprendan el tema, se los guiar en el razonamiento mediante la tcnica de dilogo - interrogatorio, con el fin de que los alumnos sean partcipes activos en la construccin de estos nuevos conocimientos.Los problemas a proponer sern situaciones no necesariamente del mbito estrictamente matemtico, favoreciendo al pensamiento crtico y reflexivo, y dejando a la vista de los alumnos las aplicaciones prcticas del contenido terico a desarrollar y la relacin existente entre este contenido y otras ciencias.

La estrategia metodolgica de presentar los contenidos mediante este tipo de trabajo se encuadra dentro de las teoras cognitivas del aprendizaje, donde el alumno tiene una participacin activa en su propio proceso de reconstruccin del conocimiento.ACTIVIDADES Presentacin de un problema disparador para introducir el concepto de logaritmo.

Inspeccin de los saberes previos de los alumnos. Clases expositivas - explicativas brindadas por el docente.

Registro en la carpeta de lo desarrollado en el pizarrn. Clculo de logaritmos cuando el argumento es una operacin entre nmeros reales.

Aplicacin de propiedades necesarias para realizar operaciones y ecuaciones con logaritmos.

Desarrollo de ejercitacin propuesta en el pizarrn.

Resolucin de ejercicios en la carpeta, seguido de la formalizacin de resultados en el pizarrn, debatiendo y exponiendo estrategias utilizadas. Trabajo de pares para la resolucin de problemas relacionados con otras disciplinas. Resolucin de guas de ejercicios para afianzar algoritmos.

Resolucin de prueba escrita.EVALUACIN

Evaluar es observar el avance del alumno en el proceso de apropiacin de un contenido. En este proceso, los errores, los obstculos, las carencias son importantes como etapas que favorecen la construccin del conocimiento para que docente y alumnos reflexionen sobre su origen y encuentren formas de superarlo.

Evaluar significa valorar sobre los tres tipos de contenidos, por ello la misma ser continua e implicar no slo el trabajo ulico del alumno, sino tambin su actitud frente a los desafos y el aporte que los mismos realicen al clima ulico.

Para llevar a cabo este proceso se dispone de instrumentos tales como: cuadros de control, registros anecdticos, observacin directa y dos pruebas escritas.CRITERIOS DE EVALUACIN Trabajo y participacin en clase.

Elaboracin de estrategias individuales.

Actitud positiva en el trabajo individual y en pares.

Comprensin de consignas.

Correcta aplicacin de conceptos y procedimientos aprendidos a situaciones dadas. Resultados obtenidos en las actividades propuestas. Presentacin de tareas solicitadas.

Comportamiento en clase.CRONOGRAMA TENTATIVO

1 mdulo: Problema disparador. Logaritmo: definicin y notacin. Ejemplos. Ejercitacin.2 mdulo: Propiedades especiales. Logaritmos decimales y naturales. Manejo de calculadora cientfica. Ejercitacin.3 mdulo: Propiedades de los logaritmos. Ejercitacin.4 mdulo: Cambio de base. Ejemplos. Ejercitacin.5 mdulo: Resolucin de problemas.

6 mdulo: Prueba escrita.7 mdulo: Antilogaritmos. Ejemplos. Manejo de calculadora. Ejercitacin.8 mdulo: Ecuaciones exponenciales y logartmicas. Ejemplos. Ejercitacin.9 mdulo: Ejercitacin integradora. Resolucin de problemas.10 mdulo: Prueba escrita.DESARROLLO

A modo de introducir el nuevo concepto se entrega a los alumnos una fotocopia donde se propone el siguiente problema de cambio de peso de un animal:PROBLEMA 1

Se conoce que el peso promedio de un pollo parrillero al momento de su nacimiento es de 50 g y que el aumento diario del peso es de un 8%. Entonces, el modelo que describe esta situacin ser , donde P(x) es el peso del pollo a los x das.Tambin se conoce que el engorde del pollo culmina cuando ste pesa, aproximadamente, 2,400 Kg.

Se pide calcular el peso del pollo a los 20 das, a los 40 das y a los 60 das.La resolucin ser la siguiente y se desarrollar en el pizarrn con el aporte de los alumnos:

En el ltimo clculo se obtiene que, a los 60 das, el pollo pesar 5062 g, que es equivalente a 5,062 Kg.; preguntar a los alumnos: tiene sentido que el pollo tenga ese peso segn la informacin que brinda el problema? Por qu? Espero que respondan: no, dicho peso supera al de la finalizacin del engorde. Esto provoca la necesidad de determinar un lmite en la cantidad de das de vida del pollo, debido a que este modelo deja de tener sentido, por ejemplo, a los 60 das.Entonces, para hallar el da x en que culmina el engorde del pollo se debe plantear la siguiente expresin:

Operando algebraicamente para despejar la incgnita se tiene:

Obtenida la ltima expresin, preguntar a los alumnos: de las operaciones entre nmeros reales que conocen, Cul consideran ustedes que se debe utilizar para despejar x hallando as su valor? Se puede aplicar alguna propiedad conocida por ustedes para resolver la ecuacin? Espero que respondan: ninguna y no, respectivamente.Entonces explicar a los alumnos que la ecuacin planteada tiene relacin con las operaciones potenciacin y radicacin. En otras clases han estudiado que la radicacin es la operacin inversa de la potenciacin, y que por medio de la radicacin se puede hallar la base desconocida de una potencia. Por ejemplo, si se tiene:

De esta manera, operando con la radicacin se obtiene la base de la potencia dada.Ahora bien, en la expresin obtenida en el problema se conoce la base, pero se desconoce el exponente de la potencia.Entonces, un ejemplo donde se desconoce el exponente de una potencia podra ser el que sigue:

En este ejemplo, hallar el valor de x es fcil; inmediatamente sabemos que .

Pero en el problema no es sencillo halar el valor de x; por lo tanto, se debe recurrir a otra operacin, tambin inversa de la potenciacin, que permita hallar el valor de dicho exponente.Esta nueva operacin que estudiaremos en las prximas clases se llama LOGARITMACIN.

Considerando el ejemplo anterior, podemos operar de este modo:

Entonces, teniendo en cuenta la expresin obtenida en el problema, se opera de la siguiente manera para hallar el valor de x:

Luego, explicar entonces a los alumnos que el exponente x se llama LOGARITMO y se designa con la expresin si y slo si , donde la base de la potencia pasa a ser la base del logaritmo y la potencia pasa a ser el argumento del logaritmo.En smbolos:

Pedir a los alumnos que por el momento dejen expresado el valor de x de la siguiente manera: . Esto es por lo siguiente: para hallar el valor de un logaritmo, no slo se debe conocer la definicin del mismo, sino que primero se debe aprender a calcularlo y tambin se deben estudiar las propiedades que cumplen los logaritmos; estos dos contenidos se desarrollaran con el transcurrir de las prximas clases guindonos siempre con el mismo problema hasta hallar su solucin.Para continuar, presentar dos ejemplos sencillos para que los alumnos puedan operar segn el procedimiento antes explicado.

La resolucin ser:

Luego, los alumnos escribirn como ttulo LOGARITMO y les dictar la siguiente definicin, escribiendo la forma simblica en el pizarrn:

Se llama logaritmo al exponente c al que se tiene que elevar un nmero a (base), positivo y distinto de uno, para obtener un nmero b (argumento), mayor que cero.En smbolos:

Se lee: logaritmo en base a de b.Se presentan a continuacin algunos ejemplos a resolver en el pizarrn junto con los alumnos con el fin de aplicar la definicin de logaritmo:

Para comenzar a resolver los ejemplos preguntar a los alumnos: a qu exponente hay que elevar la base 4 para obtener 16? Espero que respondan: 2. entonces en el pizarrn se escribir:

Se seguir el mismo razonamiento para hallar el valor pedido en los ejemplos que restan.

La resolucin es la siguiente:

En el caso que sea necesario se recordarn las propiedades de la potenciacin con participacin de los alumnos.

Para afianzar la aplicacin de la definicin de logaritmo se propone la siguiente ejercitacin:

Halla los siguientes logaritmos aplicando su definicin:

La resolucin de la ejercitacin es la siguiente:

Para continuar, dir a los alumnos que las restricciones que se dan en la definicin de logaritmo se pueden probar con unos ejemplos como los que se darn a continuacin:

Para la restriccin se consideran los siguientes ejemplos con y con :

Preguntar a los alumnos sobre los ejemplos: Existe algn nmero x que satisfaga la expresin ? Existe algn nmero y que satisfaga la expresin ? Espero que respondan NO a ambas preguntas.Luego, estos logaritmos NO EXISTEN.Para la restriccin se considera el siguiente ejemplo:

Preguntar a los alumnos: Existe alguna potencia de 1 que de cmo resultado algn nmero distinto de 1? Qu sucede si se eleva 1 a cualquier exponente? Espero que respondan: cualquier potencia de 1 es igual a 1.Luego, este logaritmo NO EXISTE.

Para la restriccin se consideran los siguientes ejemplos con y con :

Preguntar a los alumnos: De qu signo es el resultado de una potencia cuando su base es positiva? Puede este resultado tomar valores negativos? Espero que los alumnos respondan NO. Para el segundo ejemplo les preguntar: Puede una potencia ser cero cuando su base es distinta de cero? Espero que los alumnos respondan NO.Luego, estos logaritmos NO EXISTEN.

Con estos ejemplos queda justificado el por qu de las restricciones que se presentan el la definicin de logaritmo.Para continuar explicar a los alumnos que los logaritmos cumplen con ciertas propiedades especiales. Las mismas se presentarn a partir de distintos ejemplos como los que siguen:

Pedir a los alumnos que resuelvan los logaritmos propuestos en sus carpetas aplicando la definicin y que luego digan el resultado que obtuvieron en cada uno de ellos; espero que todos digan que el resultado de los tres logaritmos es cero. Entonces, les preguntar: Qu conclusiones consideran se pueden extraer a partir de lo observado? Qu sucede cuando se quiere calcular el logaritmo de 1 en cualquier base? Espero que respondan: el logaritmo de 1 en cualquier base es siempre igual a cero.Entonces en el pizarrn escribir en forma simblica la propiedad:

Dictar a los alumnos lo siguiente, y luego pedir que copien la forma simblica escrita en el pizarrn:El logaritmo de 1 en cualquier base es siempre igual a cero.

Luego escribir en el pizarrn los siguientes ejemplos:

Esperar a que los alumnos copien estos ejemplos, los resuelvan y luego pedir que me contesten: Qu concusiones pueden extraer en este caso? Espero que digan: si la base del logaritmo y su argumento son iguales, entonces dicho logaritmo es igual a 1.

En el pizarrn escribir la forma simblica:

Entonces, dictar lo siguiente y pedir que luego de ello copien la forma simblica en sus carpetas:Si la base de un logaritmo y su argumento son iguales entonces dicho logaritmo es igual a 1.

Para continuar, recordar junto con los alumnos que la base de un logaritmo puede ser cualquier nmero real positivo distinto de uno; por lo tanto, la base de un logaritmo siempre debe escribirse para poder resolverlo.Entonces, les pedir que tomen sus calculadoras cientficas y observen que en ellas se puede ver que existe la tecla log.

Esta tecla representa a un logaritmo en especial, ya que si observamos vemos que no tiene especificada la base en la que est operando. Entonces preguntar: Teniendo en cuenta que utilizando la tecla shift se accede a las operaciones inversas que estn escritas sobre cada tecla, Qu base consideran que utiliza este logaritmo? Espero que respondan: base 10.Entonces, una vez que se concluye esto, explicar a los alumnos que estos logaritmos que utilizan base 10 se llaman LOGARITMOS DECIMALES. Luego, esta tecla de la calculadora calcula logaritmos en base 10; entonces, cuando se desea calcular un logaritmo en base 10 no se especifica la base de los mismos ya que se sobreentiende.

Presentar algunos ejemplos a resolver junto con los alumnos:

En estos dos ejemplos propuestos es fcil calcular el logaritmo debido a que son nmeros enteros, pero hay otros nmeros que son ms complejos de calcular y es all cuando hacemos uso de la calculadora.Por ejemplo, si se quiere calcular se debe utilizar la calculadora siguiendo estos pasos:

log 5 3 =De esta manera se obtiene el siguiente resultado: 1,72427587. Aqu indicare a los alumnos que al momento de calcular logaritmos con la calculadora redondearemos siempre a milsimos. Entonces, en el pizarrn quedar escrito lo siguiente:

.Pedir entonces a los alumnos que escriban como ttulo LOGARITMOS DECIMALES, les dictar lo siguiente y les dir luego que copien lo desarrollado en el pizarrn.Los logaritmos decimales son aquellos cuya base es 10 y se escriben .

Para continuar, propondr a los alumnos los siguientes ejercicios con el fin de afianzar este procedimiento con la calculadora:Calcular los siguientes logaritmos utilizando la calculadora:

La resolucin de la ejercitacin es la siguiente:

Para continuar, pedir a los alumnos que vuelvan a observar en sus calculadoras cientficas, esta vez la tecla ln.

Esta tecla tambin representa a un logaritmo en especial, y tambin observamos que no tiene especificada la base en la que est operando. Entonces preguntar: Teniendo en cuenta lo analizado con la tecla log, respecto a las operaciones inversas que estn escritas sobre cada tecla, Qu base consideran que utiliza este logaritmo? Espero que respondan: base e; en el caso que no respondan correctamente les explicar que la base de estos logaritmos es el nmero irracional e=2,718281828....

Entonces, dir a los alumnos que estos logaritmos que utilizan base e se llaman LOGARITMOS NATURALES O NEPERIANOS (Este nombre es en honor a Neper, su descubridor). Luego, esta tecla de la calculadora calcula logaritmos en base e; entonces, cuando se desea calcular un logaritmo en base e se escribe ln y tampoco se especifica la base de los mismos ya que se sobreentiende.

A continuacin, presentar algunos ejemplos a resolver junto con los alumnos, utilizando la calculadora:

En estos ejemplos utilizaremos la calculadora de manera similar a la que empleamos para calcular los logaritmos decimales.En el ejemplo 1), se quiere calcular , entonces se debe utilizar la calculadora siguiendo estos pasos:

ln 2 4 =De esta manera se obtiene el siguiente resultado: 3,178. En el pizarrn quedara escrito lo siguiente: .

De igual modo se calcular el segundo logaritmo: .Pedir entonces a los alumnos que escriban como ttulo LOGARITMOS NATURALES O NEPERIANOS, les dictar lo siguiente y les dir luego que copien lo desarrollado en el pizarrn.

Los logaritmos decimales son aquellos cuya base es e y se escriben .

Para continuar, propondr a los alumnos que calculen los siguientes logaritmos con el fin de afianzar este procedimiento con la calculadora:

Calcular los siguientes logaritmos utilizando la calculadora:

En los ejercicios c), f) e i) se calcularn los logaritmos naturales de los mismos argumentos para que los alumnos puedan ver que el nmero no es el mismo cuando la base no es la misma.

La resolucin de la ejercitacin es la siguiente:

A continuacin, dir a los alumnos que as como se puede calcular directamente el logaritmo de un nmero, tambin se puede calcular el logaritmo de una operacin entre nmeros. Entonces, propondr a los alumnos los siguientes ejemplos:

Pedir a los alumnos que resuelvan junto conmigo dichos logaritmos de la siguiente manera: en una columna se resolver operando y luego aplicando el logaritmo; y en otra columna se resolver aplicando la propiedad distributiva y luego aplicando el logaritmo.

Luego, se concluye que la operacin logaritmo no es distributiva respecto a la adicin.

Pedir a los alumnos que escriban como ttulo PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS y que luego copien el ejemplo del pizarrn y su conclusin.

De igual modo, se probar si se cumple la propiedad distributiva respecto a la sustraccin, respecto a la multiplicacin y respecto a la divisin.

Luego, se concluye que la operacin logaritmo no es distributiva respecto a la sustraccin.Pedir a los alumnos que copien este ejemplo seguido de su conclusin.

Seguir con el prximo ejemplo presentado en el pizarrn.

Luego, se concluye que la operacin logaritmo no es distributiva respecto a la multiplicacin.

Dir a los alumnos que copien el ejemplo del pizarrn y luego la conclusin a la que hemos llegado.

Por ltimo, resolveremos el ejemplo restante:

Luego, se concluye que la operacin logaritmo no es distributiva respecto a la divisin.

Aqu tambin pedir que copien en sus carpetas el ejemplo seguido de su conclusin.

Entonces, probamos que la operacin logaritmo no es distributiva respecto a las cuatro operaciones anteriores.

Luego, pedir que observen en el ejemplo c) lo siguiente (que se obtiene aplicando la definicin de logaritmo):

Si ahora multiplicamos miembro a miembro del siguiente modo:

En el primer miembro podemos aplicar una propiedad de la potenciacin; preguntar a los alumnos: Qu propiedad podemos aplicar aqu? Espero que contesten: la propiedad del producto de potencias de igual base. Cmo podemos expresar entonces el primer miembro de la igualdad? Espero que digan: .Entonces, podremos escribir lo siguiente:

Aplicando nuevamente la definicin de logaritmos tenemos:

Pero antes tenemos que: ; entonces, reemplazamos esto en la expresin anterior y obtenemos:

Por lo tanto, les dir que se puede calcular el logaritmo de un producto como la suma de los logaritmos de los factores.

En el pizarrn completar con lo siguiente:

Pedir que copien lo desarrollado en el pizarrn.

Para continuar, les dictar la propiedad y escribir en el pizarrn la forma simblica para que la copien luego:

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores.

Ahora, pedir que observen los resultados obtenidos en el ejemplo d) lo siguiente (que se obtiene aplicando la definicin de logaritmo, al igual que en el ejemplo anterior):

Si ahora dividimos miembro a miembro del siguiente modo:

En el primer miembro podemos aplicar tambin una propiedad de la potenciacin; preguntar a los alumnos: Qu propiedad podemos aplicar ahora aqu? Espero que contesten: la propiedad del cociente de potencias de igual base. Cmo podemos expresar entonces el primer miembro de la igualdad? Espero que digan: .

Entonces, podremos escribir lo siguiente:

Aplicando nuevamente la definicin de logaritmos tenemos:

Pero antes tenemos que: ; entonces, si reemplazamos esto en la expresin anterior obtenemos:

Por lo tanto, podemos concluir que se puede calcular el logaritmo de un cociente como la diferencia de los logaritmos de los factores.

En el pizarrn completar con lo siguiente:

Pedir nuevamente que copien lo desarrollado en el pizarrn.

Entonces, pedir que copien el ejemplo d) para luego dictarles la propiedad y escribir en el pizarrn la forma simblica para que tambin la copien en sus carpetas:

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

Ahora bien, queda estudiar qu sucede con el logaritmo de una potencia y con el logaritmo de una raz. Para ello tambin presentar dos ejemplos.En primer lugar, se tiene:

Por definicin de potencia de un nmero, podemos expresar a dicha potencia como el producto reiterado de su base; entonces se tiene:

Aqu les preguntar: Qu propiedad estudiada se puede aplicar en este caso? Espero que respondan: la propiedad del logaritmo de un producto. Entonces, con el aporte de los alumnos escribir lo siguiente:

Preguntar a los alumnos: Qu operacin realizamos entre el exponente y el logaritmo de la base? Espero que respondan: multiplicacin.Entonces, pedir que copien el ejemplo escrito en el pizarrn; luego les dictar la propiedad y escribir en el pizarrn la forma simblica:

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

En segundo lugar, se tiene:

Recordar con los alumnos que la raz de un nmero se puede expresar cono una potencia de un exponente fraccionario. Entonces podemos escribir:

Preguntar a los alumnos: Qu propiedad estudiada podremos aplicar en este caso? Espero que respondan: la propiedad del logaritmo de una potencia.Entonces en el pizarrn se completar de la siguiente manera:

Pedir a los alumnos que copien lo desarrollado en el pizarrn y luego les dictar la propiedad, seguida de su forma simblica:El logaritmo de una raz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el ndice de la raz.

Con el fin de fijar las propiedades propondr los siguientes ejercicios:Resuelve aplicando las propiedades de los logaritmos:

La resolucin de la ejercitacin es la siguiente:

Ahora, conociendo ya la definicin de logaritmo y las propiedades estudiadas, podremos resolver el problema que qued sin poder expresar completamente su respuesta.Recordar que la expresin a la que se arrib es la siguiente:

(1)Por definicin de logaritmo podemos expresar lo siguiente (pedir a los alumnos que participen):

Aplicaremos logaritmo decimal a ambos miembros de la igualdad; aclarando tambin que se podra utilizar cualquier base, pero es ms sencillo utilizar una base con la que podamos operar en la calculadora:

Preguntar a los alumnos: Qu propiedad podremos utilizar para despejar x? Espero que respondan: la propiedad del logaritmo de una potencia. Entonces seguir completando en el pizarrn con la participacin de los alumnos:

Para continuar, preguntar a los alumnos: cmo podemos operar ahora para despejar x, que es el valor que deseamos conocer? Espero que digan: dividimos ambos miembros por . Luego, nos quedar:

(2)

Entonces, podemos concluir que el tiempo de engorde del pollo parrilleros culmina a los 50 das, aproximadamente.De este modo, queda resuelto el problema que se utiliz como disparador para introducir el concepto de logaritmo.Ahora, pedir a los alumnos que observen las expresiones (1) y (2):

Les preguntar: Cmo son los primeros miembros de estas igualdades? Espero que respondan: son iguales. Luego, preguntar: Cmo son entonces los segundos miembros de estas igualdades? Espero que respondan: tambin son iguales.

Entonces podremos escribir:

Explicar a los alumnos que, como les dije antes, utilizamos logaritmos decimales para poder calcular de manera sencilla; pero podemos usar cualquier base, la que sea ms conveniente para realizar los clculos. Entonces si escribimos:

tambin es vlido; lo mismo sucede si escribimos:

Pedir a los alumnos que participen para escribir de forma simblica una expresin similar a las anteriores. Se obtendr lo siguiente:

Entonces, dir a los alumnos que este procedimiento se llama CAMBIO DE BASE. Pedir que escriban como ttulo CAMBIO DE BASE y que copien lo desarrollado en el pizarrn; luego les dictar lo siguiente:Este procedimiento nos permite cambiar la base a de un logaritmo por otra base ms conveniente.Presentar estos ejemplos para que apliquen el procedimiento al resolverlos en el pizarrn:

Para continuar, se propone que los alumnos apliquen la definicin de logaritmo y las propiedades del mismo para resolver la siguiente ejercitacin:1) Halla los siguientes logaritmos aplicando la definicin y las propiedades:

2) Dados:

La resolucin de la ejercitacin es la siguiente:

1)

2)

A continuacin, presentar los siguientes problemas para que los alumnos puedan observar como se pueden resolver situaciones de otras disciplinas por medio de la definicin y las propiedades de los logaritmos. Estos problemas sern entregados a los alumnos en fotocopia.1) En qumica, el pH es una medida para determinar si una solucin es cida, bsica o neutra, indica la concentracin de iones de hidrgeno presentes en una sustancia. La sigla pH significa potencial de hidrgeno. En 1909 este trmino fue introducido por un qumico dans P. L. Sorensen, quien lo defini como el logaritmo decimal del inverso de la concentracin de iones de hidrgeno:

Se sabe que: una solucin es cida si su pH es menor a 7; es neutra si su pH es igual a 7; es bsica si su pH es mayor a 7.Entonces, determina si las siguientes soluciones son cidas, bsicas o neutras:a) La gaseosa cola presenta un valor de concentracin de iones de hidrgeno igual a

b) El jugo de naranja presenta un valor de concentracin de iones de hidrgeno igual a

c) El caf presenta un valor de concentracin de iones de hidrgeno igual a

d) La sangre presenta un valor de concentracin de iones de hidrgeno igual a

2) Un grupo de entomlogos estudia el comportamiento de una plaga cuya poblacin crece segn la expresin , donde representa el nmero de miles de insectos y el tiempo transcurrido, en meses, a partir del comienzo de la investigacin.a) Cul es la poblacin inicial?b) En cunto tiempo, aproximadamente, se duplicar la poblacin inicial?

c) En cunto tiempo, aproximadamente, se cuadruplicar la poblacin inicial?

3) Un estudiante quiere comprar una computadora y slo posee $1000, a fin de incrementar su dinero decide colocarlo en un banco en un depsito a plazo fijo. El banco le ofrece una tasa de inters compuesto del 7% mensual, por lo que el dinero que recibir al finalizar cada mes se representa por:

Si la computadora cuesta $2500, Cunto tiempo necesitar el estudiante dejar en depsito su dinero a fin de realizar la compra de la computadora?

4) La escala de Richter, utilizada para medir la intensidad de los terremotos, es una escala logartmica de base 10. La magnitud de un terremoto en esa escala est dada por la frmula: ; donde M es el grado de la escala de Richter y p es la potencia, que indica cuntas veces mayor fue la amplitud de la onda ssmica del terremoto en comparacin con una onda de referencia correspondiente a la situacin normal.Sabiendo que el terremoto de Chile de este ao tuvo una potencia de 1.584.893.192, calcula su magnitud.5) Para la datacin de restos arqueolgicos se utiliza el C-14 (carbono-14), que se desintegra con una velocidad tal que su masa se reduce a la mitad en aproximadamente 5730 aos. La variacin de la masa de cierta cantidad de C-14 a travs del tiempo puede calcularse, aproximadamente, aplicando la frmula: ; donde es la masa inicial (en gramos), es el tiempo transcurrido (en miles de aos) y es la masa de carbono que queda luego de la desintegracin (en gramos).Entonces, supongamos que se hall un fsil que contena 200g de C-14 cuando estaba vivo, Qu edad aproximada tiene el fsil si se encuentran en l 8,3g?La resolucin de estos problemas es la siguiente:1) a)

b) c)

d)

2) a) La poblacin inicial se calcula cunado el tiempo es cero. Entonces:

Luego, la poblacin inicial es de 4000 insectos.b) Si se duplicara la poblacin inicial se tendrn 8000 insectos; por lo tanto:

Luego, la poblacin se duplicar en un mes, aproximadamente.

c) Si se cuadruplicara la poblacin inicial se tendrn 16000 insectos; por lo tanto:

Luego, la poblacin se duplicar entre un mes y medio y dos meses, aproximadamente.3) Si el estudiante desea obtener $2500 entonces el planteo ser el siguiente:

Luego, el estudiante necesitar dejar su dinero en el banco, aproximadamente, 14 meses para realizar la compra de la computadora.4)

Entonces, la magnitud del terremoto de Chile de este ao fue de 9,2 en la escala de Richter.5) Si el fsil hallado tena 200g de C-14 cuando estaba vivo, la formula ser: .

Si se encuentran 8,3g de C-14 en el fsil, la expresin resultar:

Luego, la edad aproximada del fsil es de 26000 aos, aproximadamente.PRUEBA ESCRITA1) Calcula los siguientes logaritmos aplicando la definicin y sus propiedades:

2) Considerando que , realiza los siguientes clculos sin utilizar la calculadora:

3) Decide si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas; si es falsa, justifica.a)

b)

4) Enuncia dos propiedades que cumplen los logaritmos.

5) Sabiendo que la masa de C-14 puede calcularse con la frmula , donde es la masa inicial (en gramos), es el tiempo (en miles de aos) y es la masa luego del tiempo transcurrido. Halla el tiempo aproximado de un fsil que en vida tena 180g de C-14 y hoy tiene 76g.

La resolucin de esta prueba escrita es la siguiente:

a) FALSO. Pues

b) FALSO. Pues el argumento de un logaritmo no puede ser negativo. Adems, es

4) Cualquier propiedad que enuncien correctamente ser considerada como vlida.

Criterios y puntajes de correccin de la prueba escrita:

EJERCICIO 1a)b)c)d)

Correcta la aplicacin de la definicin0.500.50--

Correcta la aplicacin de propiedades0.500.50-0.50

Correcto el despeje de la incgnita0.250.25--

Correcto el resultado obtenido0.250.250.250.25

EJERCICIO 2a)b)

Correcta la aplicacin de propiedades.0.500,50

Correcto el resultado obtenido0.250.25

EJERCICIO 3a)b)

Correcta determinacin de validez.0.250.25

Correcta justificacin.0.750.75

EJERCICIO 4

Correcto enunciado de la propiedad.0.50

Correcto enunciado de la propiedad.0.50

EJERCICIO 5

Correcto el reemplazo de datos conocidos0.25

Correcta la aplicacin de propiedades0.50

Correcto el despeje de la incgnita0.25

Correcto el resultado obtenido0.25

Correcta la interpretacin del resultado0.25

Para continuar, les dir a los alumnos que al operar con logaritmos se pueden plantear dos situaciones: primero, podemos desconocer el valor del logaritmo; segundo, podemos conocer el valor del logaritmo pero desconocer su argumento. Es importante tener en cuenta que la base del logaritmo siempre se debe conocer para poder operar con el.Aqu es donde presentar a los alumnos un nuevo concepto a partir del siguiente ejemplo:

Para despejar es que debemos recurrir al nuevo concepto: a partir de ahora, llamaremos a ANTILOGARITMO; en este caso, es el antilogaritmo decimal de .

La forma de expresin cuando se desea despejar ser la siguiente:

Para hallar el valor de se utilizar la calculadora del siguiente modo, teniendo en cuenta que en el ejemplo el logaritmo es decimal:Shift 10x 0,552668 =En la calculadora se observar el resultado: 3,569998224. Entonces, expresamos de la siguiente manera y aproximando al verdadero valor:

De igual modo, se opera con los logaritmos naturales, pero esta vez utilizando la tecla ex. Presentar un ejemplo para que los alumnos puedan observar esto y se resolver tambin en el pizarrn.

Para verificar, se reemplaza en la expresin original:

Para concluir, explicar a los alumnos que con las teclas y determinamos el logaritmo decimal o natural, respectivamente, de un nmero dado; y con la tecla SHIFT activamos las funciones y , con las que determinamos el antilogaritmo dado su logaritmo decimal o natural, respectivamente.Pedir a los alumnos que escriban como ttulo ANTILOGARITMO y que copien lo desarrollado en el pizarrn.

Luego, propondr a los alumnos la siguiente ejercitacin:

Calcula x en cada caso:

La resolucin de esta ejercitacin es la siguiente:

Ahora, les explicar a los alumnos que hasta el momento hemos trabajado con distintas incgnitas, pero todas ellas eran posible de hallar mediante un clculo directo, ya sea mental o por medio de la calculadora. Pero si tenemos ahora una expresin de este tipo:

Preguntar a los alumnos: conocen de qu tipo de ecuacin se trata? Si responden NO, entonces les preguntar: Dnde aparece la incgnita? Espero que respondan: la incgnita est en el exponente. Entonces les dir que si se tiene una ecuacin donde el exponente aparece al menos una vez en el exponente se trata de una ecuacin exponencial. Las ecuaciones exponenciales se pueden resolver aplicando la definicin de logaritmo y sus propiedades. Entonces nos dedicamos ahora a resolver la ecuacin con la participacin de los alumnos:

Otra forma de resolver la misma ecuacin es la siguiente:Debemos escribir , entonces tendremos:

Entonces, una vez resuelta la ecuacin, pedir a los alumnos que escriban como ttulo ecuacin exponencial, les dictar lo siguiente y luego debern copiar lo desarrollado en el pizarrn:

La ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incgnita figura en al menos un exponente.Para continuar, se proponen las siguientes ecuaciones para que los alumnos resuelvan aplicando los contenidos estudiados hasta el momento:

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

La resolucin de estas ecuaciones ser la siguiente:

Ahora, les preguntar a los alumnos: de qu tipo sern las ecuaciones que tienen la incgnita en el argumento de un logaritmo? Espero que respondan logartmicas. Entonces presentar el siguiente ejemplo:

Las ecuaciones logartmicas, as como las ecuaciones exponenciales, tambin se resuelven aplicando la definicin de logaritmo y sus propiedades. Por lo tanto, comenzaremos a resolver la ecuacin planteada aplicando la definicin de logaritmo:

Resuelta esta ecuacin, pedir a los alumnos que escriban como ttulo ecuacin lOGARTMICA, les dictar lo siguiente y luego debern copiar el desarrollo realizado en el pizarrn:

La ecuaciones logartmicas son aquellas que tienen la incgnita en el argumento de un logaritmo.

A continuacin, se presenta la siguiente ejercitacin:Resolver las siguientes ecuaciones logartmicas:

La resolucin de estas ecuaciones ser la siguiente:

En este ltimo ejercicio se deber considerar una restriccin, debido a que si tomamos como solucin a , los argumentos y toman valores negativos y esto contradice la definicin de logaritmo. Por lo tanto, no es solucin de esta ecuacin. Luego, la solucin a esta ecuacin es .

Con el fin de integrar los contenidos estudiados en la unidad y como prctica previa a la prueba escrita se propone la siguiente ejercitacin:

1) Halla el valor de x en las siguientes expresiones:

2) Realiza los siguientes clculos sin utilizar calculadora:

3) Se dispone de $1500 y cada mes aumenta 1,5%. Por lo tanto, cada mes que pase se multiplica por 1,015 con lo que se obtiene la siguiente expresin:

; donde t es el tiempo en meses.

Responda:

a) De cunto dinero se dispondr al cabo de un ao?

a) Cunto tiempo se deber esperar para disponer de $2000?4) Resuelve las siguientes ecuaciones:

La resolucin de estas actividades es la siguiente:

a) Como el tiempo est dado en meses, se deben considerar doce meses en lugar de considerar un ao. Entonces:

Luego, al cabo de un ao se dispondr de $1794, aproximadamente.

b) Para saber cunto tiempo se deber esperar hacemos:

Luego, se deber esperar 20 meses, aproximadamente.

PRUEBA ESCRITA

GRUPO I

1) Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la definicin de logaritmo y las propiedades que consideren adecuadas (justifiquen cada paso):

2) Cundo una ecuacin es exponencial?

3) Si la frmula que representa el crecimiento de la poblacin de cierto lugar es la siguiente: ; x est en aos. Determina en cuntos meses la poblacin ser de 6000 habitantes.GRUPO II

1) Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la definicin de logaritmo y las propiedades que consideren ademadas (justifiquen cada paso):

2) Cundo una ecuacin es logartmica?

3) La frmula que representa la desintegracin radiactiva del carbono 14 (C-14) es la siguiente: ; donde es la masa inicial y m es la masa despus del tiempo t (en aos). Determina la edad del fsil recin hallado en el que se encontraron 17g de C-14, si este contena 250g de C-14 cuando estaba vivo.La resolucin de la prueba escrita es la siguiente:

En estos ejercicios a) y b) slo se considera la solucin positiva, pues de otro modo obtendramos el logaritmo de un nmero negativo.

GRUPO I 2) Una ecuacin es exponencial cuando la incgnita aparece en al menos un exponente.GRUPO II 2) Una ecuacin es logartmica cuando la incgnita aparece en el argumento del logaritmo.

Criterios y puntajes de correccin de la prueba escrita:

EJERCICIOCRITERIOSGrupo IGrupo II

1) a)Correcta la aplicacin de la definicin.

Correcta la aplicacin de propiedades.

Correcto el cambio de base.

Correcto el despeje de la incgnita.

Correcto el resultado obtenido.0.750.75

0.75

0.500.500.75

0.75

0.75

0.50

0.50

1) b)Correcta la aplicacin de la definicin.

Correcta la aplicacin de propiedades.

Correcto el despeje de la incgnita.

Correcta la aplicacin de restricciones.

Correcto el resultado obtenido.---0.750.500.50

0.500.500.75

0.50

0.50

0.50

2)Correcta la definicin solicitada.1,501,50

3)Correcto el reemplazo de datos conocidos.

Correcta la aplicacin de logaritmos.

Correcto despeje de la incgnita.

Correcto el resultado obtenido.

Correcta la interpretacin del resultado.0.500.750.500.50

0.750.50

0.75

0.50

0.50

0.25

BIBLIOGRAFA CONSULTADA ABDALA, REAL, TURAO. Carpeta de Matemtica I. Editorial Aique. Buenos Aires. 2001.

ALTMAN, COMPARATORE, KURZROK. Matemtica Polimodal. Funciones 2. Editorial Longseller. Buenos Aires. 2003. BOCCO, M. Funciones elementales para construir modelos matemticos. Ministerio de Educacin de la Nacin. Instituto Nacional de Educacin Tecnolgica. Buenos Aires. 2010.

KACZOR, P. y otros. Matemtica I. Editorial Santillana. Buenos Aires. 2005.

PISANO, J. P. Logikamente: Tomo IV. Ediciones Logikamente. Buenos Aires. 2006.

ANEXOS

PROBLEMA 1

Se conoce que el peso promedio de un pollo parrillero al momento de su nacimiento es de 50 g y que el aumento diario del peso es de un 8%. Entonces, el modelo que describe esta situacin ser , donde P(x) es el peso del pollo a los x das.

Tambin se conoce que el engorde del pollo culmina cuando ste pesa, aproximadamente, 2,400 Kg.

Se pide calcular el peso del pollo a los 20 das, a los 40 das y a los 60 das.

1) En qumica, el pH es una medida para determinar si una solucin es cida, bsica o neutra, indica la concentracin de iones de hidrgeno presentes en una sustancia. La sigla pH significa potencial de hidrgeno. En 1909 este trmino fue introducido por un qumico dans P. L. Sorensen, quien lo defini como el logaritmo decimal del inverso de la concentracin de iones de hidrgeno:

Se sabe que: una solucin es cida si su pH es menor a 7; es neutra si su pH es igual a 7; es bsica si su pH es mayor a 7.

Entonces, determina si las siguientes soluciones son cidas, bsicas o neutras:

a) La gaseosa cola presenta un valor de concentracin de iones de hidrgeno igual a

b) El jugo de naranja presenta un valor de concentracin de iones de hidrgeno igual a

c) El caf presenta un valor de concentracin de iones de hidrgeno igual a

d) La sangre presenta un valor de concentracin de iones de hidrgeno igual a

2) Un grupo de entomlogos estudia el comportamiento de una plaga cuya poblacin crece segn la expresin , donde representa el nmero de miles de insectos y el tiempo transcurrido, en meses, a partir del comienzo de la investigacin.

a) Cul es la poblacin inicial?b) En cunto tiempo, aproximadamente, se duplicar la poblacin inicial?

c) En cunto tiempo, aproximadamente, se cuadruplicar la poblacin inicial?

3) Un estudiante quiere comprar una computadora y slo posee $1000, a fin de incrementar su dinero decide colocarlo en un banco en un depsito a plazo fijo. El banco le ofrece una tasa de inters compuesto del 7% mensual, por lo que el dinero que recibir al finalizar cada mes se representa por:

Si la computadora cuesta $2500, Cunto tiempo necesitar el estudiante dejar en depsito su dinero a fin de realizar la compra de la computadora?

4) La escala de Richter, utilizada para medir la intensidad de los terremotos, es una escala logartmica de base 10. La magnitud de un terremoto en esa escala est dada por la frmula: ; donde M es el grado de la escala de Richter y p es la potencia, que indica cuntas veces mayor fue la amplitud de la onda ssmica del terremoto en comparacin con una onda de referencia correspondiente a la situacin normal.

Sabiendo que el terremoto de Chile de este ao tuvo una potencia de 1.584.893.192, calcula su magnitud.

5) Para la datacin de restos arqueolgicos se utiliza el C-14 (carbono-14), que se desintegra con una velocidad tal que su masa se reduce a la mitad en aproximadamente 5730 aos. La variacin de la masa de cierta cantidad de C-14 a travs del tiempo puede calcularse, aproximadamente, aplicando la frmula: ; donde es la masa inicial (en gramos), es el tiempo transcurrido (en miles de aos) y es la masa de carbono que queda luego de la desintegracin (en gramos).

Entonces, supongamos que se hall un fsil que contena 200g de C-14 cuando estaba vivo, Qu edad aproximada tiene el fsil si se encuentran en l 8,3g?1Gonzalez, Luisina Beln

PAGE 2Gonzalez, Luisina Beln.

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