Логарифмическая функция

Содержание

1. Понятие логарифма.2. Графики логарифмических функций.3. Свойства логарифмов.4. Решение логарифмических уравнений.5. Решение логарифмический неравенств.

завершить

Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую необходимо возвести число а, чтобы получить число b.

baxb xa log

8238log 32

);1()1;0( a );0( b

Пример:

В зависимости от значения основания приняты два обозначения

1. Если основанием является 10, то вместо log10 x пишут lg x.

2. Для введения следующего определения стоит понимать что за число e.Число е есть предел, к которому стремится при неограниченном возрастании n. Т.е

Вместо loge x принято писать ln x.

...718281,211lim

n

n ne

n

n

11

Можно выделить три формулы

Из определения логарифма следует следующее тождество:

1log aa caca log01log a

ba ba log

53 5log3 01lg 1ln e

Примеры:

Графики логарифмических функции

1. y = lg x2. y = ln x3. y = loga x, a>1

4. y = loga x, 0<a<1

5. Свойства функции.

содержание

График функции y=lg x

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

График функции y=ln x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

График функции y=loga x

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

a>1

График функции y=loga x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

0<a<1

Свойства f(x)=loga x

1. D(f)=(0;+∞);2. Не является ни четной, ни нечетной;3. При a>1 функция возрастающая, при 0<a<1 функция убывающая;4. Не ограничена;5. Не имеет ни максимального, ни минимального значения;6. Непрерывна;7. E(f)=(- ∞;+ ∞);8. Асимптота х=0;9. Выпукла вверх при a>1, выпукла вниз при 0<a<1

Стоит заметить, что график проходит через точки (1;0) и (а;1)

Свойства логарифмов

1. Логарифм произведения.2. Логарифм частного.3. Логарифм степени.4. Логарифм корня.5. Переход от одного показателя к другому.6. Свойства натуральных логарифмов.

содержание

1. Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей:

baab xxx logloglog 2. Логарифм частного равен логарифмов делимого без

логарифма делителя:

baba

xxx logloglog

3. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:

ama xm

x loglog

4. Логарифм корня равен отношению логарифма подкоренного выражения и показателя корня:

maa xm

xloglog

5. Переход от одного основания к другому

ax

axx

xa

b

ba log

1loglogloglog

Свойства натуральных логарифмовЧтобы по известному десятичному логарифму числа х найти

его натуральный логарифм, нужно разделить десятичный логарифм числа х на десятичный логарифм числа е:

Чтобы по известному натуральному логарифму числа х найти его десятичный логарифм, нужно умножить

натуральный логарифм числа х на десятичный логарифм числа е:

xxexx lg30259.2

43429.0lg

lglgln

xxex ln43429.0lnlglg

Число lg e=0.43429 называется модулем десятичных логарифмов и обозначается через М.

Решения логарифмических уравнений

25log x

5:

05..,5

52

xОтвет

ктx

x

5,0log4 x

2:2

244 5.0

xОтветxx

x

x

x

xx

2152

21422 1

Решить уравнение:

23

4

5,32

,1

056

0524

524

12,1

21

2

2

aDk

m

ackD

cbka

mm

mmm

mmm ноm ,11 1m 52 m

Значит, 5log52 2 xx

.5log: 2xОтвет

;11;0,2 mпричемmПусть x

Решение логарифмических неравенств

0log 5.0 x

)1;0(:1

0log 5.0

xОтветx

x

32 x

.;3log:3log

22

2

2

3log2

xОтветx

x

Решите неравенство: 2103210

2 xx

6lg06101

61061

067

02344

232

2

2

2

x

ttttt

ttt

tt

x

,0,10 ttПусть x

.6lg;0: xОтвет

Над презентацией работали:

Киселев МихаилТаячков Максим

Кирилов Дмитрий

Спасибо за внимание