Mathematik für die ersten Semester (2. Auflage):

Lösungen der Übungsaufgaben VII

C. Zerbe, E. Ossner, W. Mückenheim

2

23.1 Man berechne die ersten und zweiten Ableitungen der Funktionen

◊x, 3◊x, x3,14, 3x + 3, (7x + 2)ÿ(3x3 – 2x6/7), (x2 – 3x)/(x – 1), (x + 7)/(x – 3), (3x2 + 2)1/2, (3x2 + 2)–1/2, ((x3 + 2x2 + x + 2)–1 + 2x)–1, ◊◊x, ((x1/2)1/2)1/2, x1/2ÿx1/2

und gebe die Definitionsbereiche der Funktionen und ihrer Ableitungen an.

( ) ( ) ( )1 1 32 2 21 1( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0

2 4f x x x x f x x x f x x x

− −′ ′′= = ≥ = > = − >

( ) ( ) ( )1 2 5

3 3 3 31 2( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 03 9

f x x x x f x x x f x x x− −

′ ′′= = ≥ = > = − >

( ) ( ) ( )3,14 2,14 1,14( ) 0 , ( ) 3,14 0 , ( ) 3,14 2,14 0f x x x f x x x f x x x′ ′′= ≥ = ≥ = ⋅ ⋅ ≥

( ) 3 3, ( ) 3, ( ) 0, f x x f x f x x′ ′′= + = = ∈

( ) ( )

( ) ( )

6 13 63 4 37 7 7

6 1 1 83 2 27 7 7 7

( ) 7 2 3 2 21 -14 6 - 4 0 ,

24 156 24( ) 84 - 26 18 - 0 , ( ) 252 - 36 0 7 7 49

f x x x x x x x x x

f x x x x x x f x x x x x x− − −

⎛ ⎞= + ⋅ − = + ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠

′ ′′= + > = + + >

( ) ( )

2 2

2 33 2 3 4( ) , ( ) , ( ) , 11 1 1

x x x xf x f x f x xx x x

− − + −′ ′′= = = ≠− − −

( ) ( )2 37 10 20( ) , ( ) , ( ) , 33 3 3

xf x f x f x xx x x

+ −′ ′′= = = ≠− − −

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 12 22 2

1 3 32 2 2 22 2 2

( ) 3 2 , ( ) 3 3 2

( ) 3 3 2 9 3 2 6 3 2 ,

f x x f x x x

f x x x x x x

−

− − −

′= + = ⋅ +

′′ = + − + = + ∈

3

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 32 22 2

3 5 52 2 2 2 22 2 2

( ) 3 2 , ( ) 3 3 2

( ) 3 3 2 27 3 2 3 3 2 2 6 ,

f x x f x x x

f x x x x x x x

− −

− − −

′= + = − ⋅ +

′′ = − + + + = − + − ∈

( )( ) 113 2

3 2

3 2 2

3 2

1( ) 2 2 2 , 1 22 2

Definitionsmenge: 1) 2 2 ( 2)( +1) 0 -2 12) 2 0 Näherung führt auf 0,27 und 1,95

2 2

f x x x x xx

x x xx x x x x x

x x xx x x

−−= + + + + =

++ + +

+ + + = + ≠ ⇒ ≠

+ ≠ ≠ − ≠ −+ + +

f'(x) = 2− 1+4x+3x2

I2+x+2x2+x3M2

I2x+ 12+x+2x2+x3 M

2

f''(x) =2ik2− 1+4x+3x2

I2+x+2x2+x3M2y{

2

I2x+ 12+x+2x2+x3 M

3−

2I1+4x+3x2M2

I2+x+2x2+x3M3− 4+6x

I2+x+2x2+x3M2

I2x+ 12+x+2x2+x3 M

2

( ) ( ) ( )1

1 1 3 722 4 4 41 3( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0

4 16f x x x x x f x x x f x x x

− −⎛ ⎞′ ′′= = = ≥ = > = − >⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( ) ( )

11 2

1 7 151 28 8 82 1 7( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0

8 64f x x x x f x x x f x x x

− −⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ′ ′′= = ≥ = > = − >⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 12 2( ) , ( ) 1, ( ) 0, f x x x x f x f x x′ ′′= ⋅ = = = ∈

23.2 Man berechne mit Hilfe der Kettenregel

4

1d

d2xx

, d(3 5)d(2 3)

xx

+−

, ((x + f (x))2)', ddx

((x5 + 1)3 + 3x)4, d ( )d ( )

f xg x

, d ( )1d

f x

x

.

( ) ( )2

2

1d1 1d1

d 2d 2 2 2

xx dx x

xx xdx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ −⎜ ⎟

⎝ ⎠ = = = −

oder mit Substitution: 2x = z: ( ) 2 2

1 2d2 1

d 2 2

dx zx dz z x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = − = −

d(3 5)

d(3 5) 3d(2 3)d(2 3) 2

xx dx

xxdx

++

= =−−

(oder mit Substitution: 2x - 3 = z )

((x + f (x))2)'= 2(x + f (x))(1 + f ´(x)) ddx

((x5 + 1)3 + 3x)4 5 3 3 4 5 24(( 1) 3 ) (15 ( 1) 3)x x x x= + + ⋅ + +

( )d ( ) ( )

( )d ( ) ( )

df xf x f xdx

dg xg x g xdx

′= =

′

2

2

d ( )d ( ) ( ) ( )1 1 1d d

f xf x f xdx x f x

x x xdx

′′= = = − ⋅

−

5

23.3 Man berechne mit Hilfe der Quotientenregel

d 3 5d 2 3

xx x

+−

, 2d 5 5d 2 3

xx x

++

,3d ( ( ))

d 1 ( )f x

x g y+.

( )2d 3 5 19d 2 3 2 3

xx x x

+= −

− −

( )2

2 22

d 5 5 10 20 15d 2 3 2 3

x x xx x x

+ − − +=

+ +

( )23 3 ( ) ( )d ( ( ))d 1 ( ) 1 ( )

f x f xf xx g y g y

′⋅=

+ +

23.4 Man berechne mit Hilfe der Produktregel:

a) d ( ( ) ( ) ( ))d

f x g y h zx

+

[Hinweis: Funktionen, die nicht von x abhängen, ändern sich nicht bei Änderung von x.] d ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( )d

f x g y h z f x g yx

′+ = ⋅

b) d ( ( ) ( ) ( ))d

f x g x h xx

[Hinweis: fÿgÿh = (fÿg)ÿh.] d ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d

f x g x h x f x g x h x f x g x h x f x g x h xx

′ ′ ′= + +

6

c) 1

d ( )d

n

kk

f xx =∏

[Hinweis: Π ist eine Abkürzung für das Produkt aller Funktionen von f1 bis fn.]

( )1 2 31

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

d d( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d

n

k nk

n n n n

f x f x f x f x f xx x

f f f f f f f f f f f f f f f f=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

′ ′ ′ ′= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∏ …

… … … … …

23.5 Man berechne mit Hilfe der l’Hospitalschen Regel die Grenzwerte 2

( 1)

1lim1x

xx→ −

−+

, 3 2

1

2lim1x

x xx→

+ −−

, 3

5 31

( 1)lim2x

xx x→

−+ −

, 4

33

( 3)lim( 3)x

xx→

−−

, 1

1lim1x

xx→

−−

, 2

1

1lim1x

xx→

−−

,

0

sinlimx

xx→

, 2

/ 2

sin 1limcosx

xx→π

− . [Hinweis: (sinx)' = cosx, (cosx)' = –sinx, s. Abschn. 25.]

2

( 1)

1lim 21x

xx→ −

−= −

+

3 2 2

1 1

2 3 2lim lim 51 1x x

x x x xx→ →

+ − += =

−

3 2

5 3 4 21 1

( 1) 3( 1)lim lim 02 5 3x x

x xx x x x→ →

− −= =

+ − +

4 3 2

3 23 3 3 3

( 3) 4( 3) 12( 3) 24( 3)lim lim lim lim 06( 3) 6( 3) 3( 3)x x x x

x x x xxx x→ → → →

− − − −= = = =

−− −

1

122

1 11 1 12 2

11 ( 1)2lim lim lim 01 1 ( 1)

2

x x x

xx xx

x x

−

→ → →−

− −= = =

−−

7

( )2

11 1 12

1 2lim lim lim 4 1 01 1 ( 1)

2

x x x

x x x xx

x→ → →−

−= = − =

−−

0 0

sin coslim lim 11x x

x xx→ →

= =

2

/2 /2

sin 1 2sin coslim lim 0cos sinx x

x x xx x→π →π

− ⋅= =

−

[oder direkt berechnen:2 2

/2 /2 /2

sin 1 coslim lim lim ( cos ) 0cos cosx x x

x x xx x→π →π →π

− −= = − = ]

23.6 An welcher Stelle läuft die Tangente der Kurve 221

xx +

parallel zur Geraden 1 – 2x?

( )

2 2

22 2 4( ) , ( )

1 1x x xf x f x

x x+′= =

+ +

parallel zur Geraden 1 – 2x ⇒ f(x) hat dort Steigung -2:

( )

2

1 222 4 2 2 ( ) 2 1 , 1

2 21x xf x x xx

+′ = = − ⇒ = − + = − −+

An den Stellen x1 und x2 verläuft die Tangente der Kurve parallel zur Geraden.

23.7 An welcher Stelle läuft die Tangente der Kurve 22

x− parallel zur Geraden 2 + x/3?

322( ) , ( ) 4f x f x x

x−− ′= =

parallel zur Geraden 2 + x/3 ⇒ f(x) hat dort Steigung 1/3:

8

3 31( ) 4 12 2,293

f x x x−′ = = ⇒ = =

23.8 An welcher Stelle stimmen die Ableitungen von x2 und ◊x überein?

213212 4 0,397

2x x x

−−= ⇒ = =

23.9 Bilden Sie die erste Ableitung: 3

2

0

n

nn x

=∑ ,

32

0

n

nx x

=∑ , ( )( )

32 2

02 1 n

nx x

=

+ −∑ , 0 !

n

n

xn

∞

=∑ .

( )3 3

2 2 3 2 3 1

0 10 1 4 9 1 8 27n n

n n

d dn x x x x x x n xdx dx

−

= =

= + + + = + + =∑ ∑

Für x = 0 wäre der Ausdruck 03/0 unbestimmt. Deshalb wird die untere Grenze um 1 erhöht.

( ) ( )3 3 3

2 2 2 3 4 5 2 3 4 1

0 0 02 3 4 5 2n n n

n n n

d d dx x x x x x x x x x x n xdx dx dx

+ +

= = =

= = + + + = + + + = +∑ ∑ ∑

Hier kommt kein absoluter Term (x0) vor, also bleibt die untere Grenze erhalten.

( )( ) ( ) ( )3 3 3

2 2 2 2 2 1

0 0 12 1 2 1 2 2n n n

n n n

d x x x x x nxdx

−

= = =

+ − = − − +∑ ∑ ∑

1 1

0 1 1 0! ! ( 1)! !

n n n m

n n n m

d x nx x xdx n n n m

− −∞ ∞ ∞ ∞

= = = =

= = =−∑ ∑ ∑ ∑

9

24.1 Welches ist die größte Zahl, die man im Zehnersystem mit drei Ziffern schreiben kann (Exponentialschreibweise!), und wie viele Stellen besitzt sie? [Hinweis: lg100 = 2. Alle Zah-len x mit 100 ≤ x < 1000 besitzen 3 Stellen.]

999 ist die größte Zahl, die man mit drei Ziffern schreiben kann.

( )99 999 9 9 9 819 9 per Definition, denn (9 ) wäre nur 9 9⋅= =

Zahl der Stellen:

999 99 lg 9 9 lg 9 387420489 0,954242509 369693099,69 10 10 10 10⋅ ⋅= = = =

Die Zahl hat 369693100 Stellen.

24.2 Man berechne die Zahl e nach (24.1) und nach (24.2) jeweils auf 4 Nachkommastellen genau.

2 3

11! 2! 3!

x x x xe = + + + +…

2 31 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 2,7182

1! 2! 3! 2 6 24 120 720 5040e = + + + + ≈ + + + + + + + =…

11n

en

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

n = 100 000 ⇒ e ≈ 2,7182

24.3 Man berechne exp(ix) nach (24.1).

2 3 4 5 6 2 4 6 3 5

1 1 cos sin1! 2! 3! 4! 5! 6! 2! 4! 6! 1! 3! 5!

ix ix x ix x ix x x x x x x xe i x i x⎛ ⎞

= + − − + + − = − + − + + − + − = +⎜ ⎟⎝ ⎠

… … …

24.4 Man berechne ln(–1). [Hinweis: Nach (5.31) und (5.32) ist exp(i(π + kÿ2π)) = –1.]

( )( 2 )ln( 1) ln ( 2 ) (1 2 )i ke i k i kπ+ ⋅ π− = = π + π = π +

10

24.5 Man berechne die ersten Ableitungen: a) 3x5ÿe2x

5 2 4 2 5 2 4 2( ) 3 , ( ) 15 3 2 3 (5 2 )x x x xf x x e f x x e x e x e x′= ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = +

b) (lnx)/(7x2) 2

2 2 2 3

1 7 2 7 lnln 1 2ln( ) , ( )7 (7 ) 7

x x xx xxf x f xx x x

− ⋅ −′= = =

c) (ln3x)ÿexp(x2 – 2)

( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 21 1( ) ln 3 , ( ) 3 ln 3 2 ln 3 23

x x x xf x x e f x e x e x e x xx x

− − − − ⎛ ⎞′= ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

24.6 Berechnen Sie nach der Kettenregel die Ableitung der Funktion 3ÿln(exp(2x)) = 6x.

( ) ( )( )

( )2 2 22 2

2 22

d 3ln d lnd d d(2 ) 13ln = 3 2 6d d(2 ) ddd ln

x x xx x

x xx

e e e xe ex x xe ee

⎡ ⎤⎣ ⎦ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

24.7 Berechnen Sie die Ableitung der Funktion ln(3ÿexp(2x)).

( ) ( )2 2( ) ln 3 =ln3+ln =ln3+2 ( ) 2x xf x e e x f x′= ⋅ ⇒ =

24.8 Berechnen Sie die Ableitung der Funktion x2x für x > 0.

[ ]2 2

2 2

d exp(2 ln )d d d d(2 ln ) = exp ln = exp(2 ln ) d d d d(2 ln ) d

1exp(2 ln ) 2 ln 2 (2 2ln ) 2 (1 ln )

x x

x x

x x x xx x x xx x x x x x

x x x x x x x xx

= ⋅

⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ = + = +⎢ ⎥⎣ ⎦

24.9 Die Exponentialfunktion ist eine der wichtigsten Funktionen in Naturwissenschaft und Technik. Sie beschreibt kontinuierliche Wachstumsprozesse. Den Unterschied zum quanti-sierten Wachstum macht man sich am einfachsten anhand von folgender Aufgabe klar. a) Bei jährlicher Verzinsung eines Kapitals K mit x wächst das Kapital innerhalb eines

Jahres auf Kÿ(1 + x). Auf wie viel ist eine Einlage von 100 € bei 10 % Jahreszins nach 10 Jahren gewachsen (x = 0,1)?

10 10(1 0,1) 100€ 1,1 259,37€K + = ⋅ =

11

b) Bei halbjährlicher Verzinsung eines Kapitals K mit x/2 wächst das Kapital innerhalb

eines halben Jahres auf Kÿ(1 + x/2). Auf wie viel ist eine Einlage von 100 € bei 10 % Jah-reszins nach 10 Jahren gewachsen (x = 0,1)?

2 10200,11 100€ 1,05 265,33€

2K

⋅⎛ ⎞+ = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

c) Bei monatlicher Verzinsung eines Kapitals K mit x/12 wächst das Kapital innerhalb

eines Monats auf Kÿ(1 + x/12). Auf wie viel ist eine Einlage von 100 € bei 10 % Jahres-zins nach 10 Jahren gewachsen (x = 0,1)?

12 101200,11 100€ 1,008333 270,70€

12K

⋅⎛ ⎞+ = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

d) Am günstigsten ist natürlich eine Bank, die ständig verzinst, auch wenn der Zinssatz x/n

gegen den Jahreszins x sehr klein ist. Auf wie viel ist eine Einlage von 100 € bei 10 % Jahreszins nach 10 Jahren gewachsen (x = 0,1), wenn kontinuierlich verzinst wird? [Hinweis: (24.2).]

10

10 0,1 10lim 1 ( ) 100€ 271,83€n

x

n

xK K e en

⋅

→∞

⎛ ⎞⎛ ⎞+ = = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

12

25.1 Man berechne die zweite Ableitung von arcsinx und arccosx.

2

2 2 1/2 2 1/2 2

2 22

2 3/2 2 3/2

2

2 2 1/2 2 1/2 2

2 22

d arcsin 1d 1

d arcsin d 1 d(1 ) d(1 ) d(1 )d d dd d(1 )1

1(1 ) ( 2 ) (1 )2

d arccos 1d 1

d arccos d 1 d(1 ) d(1 ) d(1 )d d dd d(1 )1

12

xx x

x x x xx x xx xx

x x x x

xx x

x x x xx x xx xx

− −

− −

− −

=−

− − −= = = ⋅

−−−

= − − = −

−=

−

− − −= − = − = − ⋅

−−−

= − 2 3/2 2 3/2(1 ) ( 2 ) (1 )x x x x− −− − = − −

25.2 Man berechne die erste bis vierte Ableitung der Funktion

2

0( 1)

(2 )!

nn

n

xn

∞

=

−∑ .

2

02 1

12 2 2

1 02 1

12 2 2

(4)

1 0

( ) ( 1)(2 )!

'( ) ( 1)(2 1)!

''( ) ( 1) ( 1) ( )(2 2)! (2 )!

'''( ) ( 1)(2 1)!

( ) ( 1) ( 1) ( )(2 2)! (2 )!

nn

nn

n

nn n

n n

n nn

n

nn n

n n

n n

xf xn

xf xn

x xf x f xn n

xf xn

x xf x f xn n

∞

=

−∞

=

−∞ ∞

= =

−∞

=

−∞ ∞

= =

= −

= −−

= − = − − = −−

= − −−

= − − = − =−

∑

∑

∑ ∑

∑

∑ ∑

25.3 Man berechne die erste bis vierte Ableitung der Funktion

2 1

0( 1)

(2 1)!

nn

n

xn

+∞

=

−+∑ .

13

2 1

02

02 1 2 1

1 02

02 1 2 1

(4)

1 0

( ) ( 1)(2 1)!

'( ) ( 1)(2 )!

''( ) ( 1) ( 1) ( )(2 1)! (2 1)!

'''( ) ( 1)(2 )!

( ) ( 1) ( 1) ( )(2 1)! (2 1)!

nn

nn

n

nn n

n n

n nn

n

nn n

n n

n n

xf xn

xf xn

x xf x f xn n

xf xn

x xf x f xn n

+∞

=

∞

=

− +∞ ∞

= =

∞

=

− +∞ ∞

= =

= −+

= −

= − = − − = −− +

= − −

= − − = − =− +

∑

∑

∑ ∑

∑

∑ ∑

25.4 Man berechne 2

0( 1)

(2 )!

nn

n

xn

∞

=

−∑ + i2 1

0( 1)

(2 1)!

nn

n

xn

+∞

=

−+∑ für x = iϕ.

2 2 1

0 02 4 6 3 5 7

2 4 6 3 5 7

2 3 4 5 6 7

0

( ) ( )( 1) ( 1)(2 )! (2 1)!

1 ... [( ) ...]2! 4! 6! 3! 5! 7!

1 ... ...2! 4! 6! 3! 5! 7!

1 ...2! 3! 4! 5! 6! 7!

( )!

n nn n

n n

k

k

i iin n

i i ii i

k

+∞ ∞

= =

∞

=

ϕ ϕ− + −

+

−ϕ ϕ −ϕ − ϕ ϕ − ϕ= − + − + − + ϕ − + − + −

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + + + + − − ϕ − − − + −

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= − ϕ + − + − + − − +

−ϕ=

∑ ∑

e−ϕ=

∑

exp(-ϕ) = exp(iiϕ) =cos(iϕ) + isin(iϕ)

fl exp(ix) =cosx + isinx

25.5 Man berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion 2

0

( )( 1)(2 )!

nn

n

ixn

∞

=

−∑ .

14

2

02 1

12 2 2

1 0

( )( ) ( 1) cos( )(2 )!

( )'( ) ( 1) sin( )(2 1)!

( ) ( )''( ) ( 1) ( 1) cos( )(2 2)! (2 )!

nn

nn

n

nn n

n n

n n

ixf x ixn

ixf x i i ixn

ix ixf x ixn n

∞

=

−∞

=

−∞ ∞

= =

= − =

= − = −−

= − − = − =−

∑

∑

∑ ∑

[Hinweis: Bei allen Übungen ist gegebenenfalls die untere Summationsgrenze anzupassen.]

25.6 Man berechne die Ableitungen der Funktionen sin(1/x), sin(2x), sin(2x + 3), sin2x, cos(x2), 1/sinx, cosx/cotx, 1/(sinxÿcosx), arccos(sinx), arccos(cosx), sin(tanx), sin(exp(arcsin(lnxx))), arccos(sin(tanx)), ◊exp(xÿsin(ln(x + 5))). [Hinweis: Der Differentialquotient ist der Grenzwert eines Bruches und kann deshalb nach den Regeln der Bruchrechnung bearbeitet werden. Beispiel

d(sin(exp(arcsin( )))) d(sin(exp(arcsin( )))) d(exp(arcsin( ))) d(arcsin( )) d( )d dd(exp(arcsin( ))) d(arcsin( )) d( )

n n n n n

n n nx x x x x

x xx x x= ⋅ ⋅ ⋅

(s. auch Beispiel 6 in Abschn. 24.5).]

2

2 21

2 2 22

2

1 1 1dsin dsin d 1 1cos1d dd

dsin 2 dsin 2 d2 2cos 2d d2 d

dsin(2 3) dsin(2 3) d(2 3) 2cos(2 3)d d(2 3) d

dsin dsin d sin 2sin cosd d sin d

d cos( ) d cos( ) d sin( ) 2d dd

x x xx x xx

xx x x x

x x xx x x x

x x x

x x x x xx x x

x x x x xx xx

−= ⋅ =

= ⋅ =

+ + += ⋅ = +

+

= ⋅ = ⋅

= ⋅ = − ⋅

1 12

1 1 2 1 1 2

2

d sin dsin dsin sin cosd dsin d

d(cos / cot ) d sin cosd d

d (sin cos ) sin cos sin cosdd arccos(sin ) d arccos(sin ) d sin 1 cos 1

d dsin d 1 sin

x x x x xx x x

x x x xx x

x x x x x xx

x x x xx x x x

− −−

− − − − − −

= ⋅ = − ⋅

= =

⋅ = − ⋅ − ⋅

−= ⋅ = = −

−

15

2

2

d arccos(cos ) d arccos(cos ) dcos 1 d( sin) 1d dcos d d1 cos

dsin(tan ) dsin(tan ) dtan cos(tan )d dtan d cos

x x x xxx x x xx

x x x xx x x x

−= ⋅ = − = =

−

= ⋅ =

2

d sin(exp(arcsin(ln ))) d sin(exp(arcsin( ln ))) d exp(arcsin( ln )) d arcsin( ln ) d( ln )d d exp(arcsin( ln )) d arcsin( ln ) d( ln ) d

1cos(exp(arcsin( ln ))) exp(arcsin( ln )) (1 ln )1 ( ln )

xx x x x x x x x xx x x x x x x x

x x x x xx x

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ +−

22

d arccos(sin(tan )) d arccos(sin(tan )) d sin(tan ) d tand dsin(tan ) d tan d

1 1cos(tan )cos1 sin (tan )

x x x xx x x x

xxx

= ⋅ ⋅

−= ⋅ ⋅

−

d exp( sin(ln( 5))) d exp( sin(ln( 5))) d exp( sin(ln( 5))) d( sin(ln( 5))d d exp( sin(ln( 5))) d( sin(ln( 5))) d

1 dsin(ln( 5))exp( sin(ln( 5))) sin(ln( 5))d2 exp( sin(ln( 5)))

x x x x x x x xx x x x x x

xx x x xxx x

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ += ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ +

+⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅⎢ ⎥⋅ + ⎣ ⎦

=1 1exp( sin(ln( 5))) sin(ln( 5)) cos(ln( 5))

52 exp( sin(ln( 5)))denndsin(ln( 5) d sin(ln( 5)) d ln( 5) d( 5)

d d ln( 5) d( 5) d1cos(ln( 5))

5

x x x x xxx x

x x x xx x x x

xx

⎡ ⎤⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅⎢ ⎥+⋅ + ⎣ ⎦

+ + + += ⋅ ⋅

+ +

= + ⋅+

25.7 Die unendliche Produktreihe von Vieta. Unter Benutzung von (7.4) ersetze man den Sinus und jeden sich ergebenden Sinus durch die Winkelfunktionen der halben Argumente

sinx = 2ÿcos(x/2)ÿsin(x/2) = 2ÿcos(x/2)ÿ2ÿcos(x/4)ÿsin(x/4) = 2ÿcos(x/2)ÿ2ÿcos(x/4)ÿ2ÿcos(x/8)ÿsin(x/8) ……………………………. = 2ÿcos(x/21)ÿ2ÿcos(x/22) ÿÿÿ 2ÿcos(x/2n)ÿsin(x/2n) = xÿcos(x/21)ÿcos(x/22) ÿÿÿ cos(x/2n)ÿ[(2n/x)ÿsin(x/2n)] .

Man berechne für n → ¶ den Grenzwert von [(2n/x)ÿsin(x/2n)], setze x = π/2 und löse die

Gleichung nach 2/π auf. Man zeige und verwende 2ÿcos(π/4) = 2 , 2ÿcos(π/8) = 2 2+ ,

2ÿcos(π/16) = 2 2 2+ + etc. [Hinweis: Übung 7.3 zeigt auch 2cos(ϕ/2) = 2 2cos+ ϕ .]

16

[ ]0

lim sin( / 2 ) / ( / 2 ) lim (sin ) / 1n n

n xx x x x

→∞ Δ →⎡ ⎤ = Δ Δ =⎣ ⎦ Dies ergibt sich aus der Reihenentwick-

lung (25.8) für sinΔx = Δx + Rest(Δx)3

Aus sinx = xÿcos(x/21)ÿcos(x/22) ÿÿÿ cos(x/2n)ÿ[(2n/x)ÿsin(x/2n)] folgt mit x = π/2 und sin(π/2) = 1 für n Ø ¶:

2

sin 22 cos2

2

kk

∞

=

ππ

= =π π ∏

Nach Übung 7.3 ist cos2α = 2cos2α – 1 fl cosϕ = 2cos2(ϕ/2) – 1 fl 2cos2(ϕ/2) = 1 + cosϕ fl 4cos2(ϕ/2) = 2 + 2cosϕ

fl 2cos 2 2cos2ϕ

= + ϕ

Damit folgt die oben angegebene Entwicklung:

2cos 2 2cos 24 2

2cos 2 2cos 2 28 4

2cos 2 2cos 2 2 216 8

2cos 2 2cos 2 2 2 232 8

...

π π= + =

π π= + = +

π π= + = + +

π π= + = + + +

2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 ...2 2 2 2

+ + ++ + += ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

π

Die erste unendliche Produktreihe in der Mathematik.

17

8 10 12 14

414243444546

-1 1 2 3 4 5 6

0.20.40.60.8

11.2

26.1 Man diskutiere die Funktion f (x) = x2/ex.

Einfachere Darstellung: f (x) = x2ÿe-x

Definitionsbereich -¶ < x < ¶, also —

Wertebereich: 0 < f (x) < ¶

Nullstellen: x = 0

1. Ableitung: f'(x) = (2x - x2)e-x

Nullstellen der 1. Ableitung: 0 = xÿ(2 - x) fl Extremstellen xM1 = 0 und xM2 = 2

2. Ableitung: f''(x) = (2 - 2x)e-x - (2x - x2)e-x = (2 - 4x + x2)e-x

Nullstellen der 2. Ableitung: x = 2 ≤ ◊2 fl Wendestellen xW1 = 2 - ◊2 und xW2 = 2 + ◊2

Skizze: f(x)

x

26.2 Wie muss der Grundriss eines rechteckigen Hauses aussehen, wenn bei einer Grundflä-che von A = 100 m2 die Außenwände so kurz wie möglich sein sollen? [Hinweis: Die Wand-länge ist als Funktion von Länge und Breite darzustellen und das Minimum zu suchen. Durch die Flächenvorgabe wird die freie Wahl von Länge und Breite auf eine freie Variable einge-schränkt.]

Die Wandlänge ist L = 2(x + y) wobei xÿy = A. Also ist die Wandlänge:

L(x) = 2(x + A/x)

L'(x) = 2(1 - A/x2) = 0 fl x = ◊A = 10 m (x = -◊A ist nicht möglich.)

Das Haus ist quadratisch mit der Wandlänge Lmin = 40 m.

Es handelt sich um ein Minimum, denn L''(x) = 4A/x3 > 0.

Skizze: L(x)

x

18

0.5 1 1.5 20.5

11.5

2

5 10 15 20 25

1000200030004000500060007000

26.3 In eine Kugel ist ein Zylinder von möglichst großem Volumen zu legen.

Das Zylindervolumen V ist πr2h, wobei für den Kugelradius R gilt R2 = r2 + (h/2)2.

V(h) = π(R2 - (h/2)2)h = π(R2h - h3/4)

V'(h) = π(R2 - 3h2/4) = 0 fl h = 2R/◊3 (h = -2R/◊3 ist nicht möglich.)

r2 = R2 - h2/4 = 2R2/3

Vmax = 4π(R/◊3)3

Es handelt sich um ein Maximum, denn V''(h) = -3πh/2 < 0.

V(h)

h/R

26.4 Aus einem Baumstamm von 27 cm Durchmesser ist ein rechtwinkliger Balken von größtmöglicher Tragfähigkeit t zu schneiden. t ist proportional zur Breite und zum Quadrat der Höhe des Balkens.

Die Tragfähigkeit ist t = bÿh2 wobei b2 + h2 = D2 = (27 cm)2.

t(b) = bÿ(D2 - b2) = bÿD2 - b3

t'(b) = D2 - 3b2 = 0 fl b = D/◊3 (b = -D/◊3 ist nicht möglich.)

h2 = D2 - b2 = 2D2/3

tmax = 2(D/◊3)3 = 2(D/◊3)3 º 7576 cm3

t(b)

b

Es handelt sich um ein Maximum, denn t''(b) = -6b < 0.

26.5 Aus einem Kreis vom Durchmesser D ist ein Rechteck der Breite B und der Länge L zu schneiden, so dass das Produkt BÿL3 maximal wird.

19

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.050.1

0.150.2

0.250.3

B2 + L2 = D2

BÿL3 = (D2 - L2)1/2ÿL3 = f(L)

2 2 1/2 3 2 2 1/2 2

4 2 2 4 2 22

2 2 2 2

1'( ) ( ) 2 ( ) 32

3 3 3 4 0

f L D L L L D L L

L D L L D L LD L D L

−= − − ⋅ + −

− + − −= = =

− −

Die Lösung L = 0 ist uninteressant.

fl 3

2L D= ,

12

B D= fl 4max

3 3( )16

f L D=

f(L, D = 1)

L

Es handelt sich um ein Maximum. Dies kann man durch Untersuchung der zweiten Ablei-tung erkennen. Einfacher ist aber die folgende Überlegung: L = ◊3ÿD/2 liefert die einzige Extremstelle im interessierenden Bereich 0 < L < D. Die Funktion f(L) besitzt dort einen positiven Wert und es gilt außerdem f(L = 0) = 0 = f(L = D).

20

27.1 Man berechne mit Hilfe von binomischer Reihenentwicklungen 1/1,3 und 0,8 jeweils auf drei zählende Stellen genau.

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6

(1 ) 1 ...(1 0,3) 1 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 ...

1 0,3 0,09 0,027 0,0081 0,00243 0,000729 ...0,769399

x x x x x x−

−

+ = − + − + − + −

+ = − + − + − + + −= − + − + − + − +≈

Als Darstellung bietet sich an: 4 1 10,8 5 15 14 4

= = =+

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

(1 ) 1 ...(1 0, 25) 1 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 ...

0,7998

x x x x x x−

−

+ = − + − + − + −

+ = − + − + − + −≈

27.2 Kann man trotz der Bedingung |x| < 1 auch ◊3 aus einer binomischen Reihenentwick-lung finden? [Hinweis: Ja.]

Wegen der Bedingung |x| < 1 ist die Darstellung von 3 als 1 + x nicht geeignet.

Man verwende zum Beispiel:

1 13 1 213 3

= =−

oder 3 13 2 2 14 4

= = −

wobei die zweite Darstellung schneller als die erste konvergiert, weil die Konvergenz von |x| abhängt und 1/4 kleiner als 2/3 ist. Die Entwicklung erfolgt nach S. 239 des Buchs:

1 x− = 1 ( )x+ − = 1 – 12

x – 18

x2 – 116

x3 – …

27.3 Berechnen Sie die Binomialkoeffizienten für (1 + x)–2, (1 + x)–3, (1 + x)–4 und (1 + x)–5 durch wiederholte Ableitung von (1 + x)–1 = 1 – x + x2 – x3 +– …

Für |x| < 1 finden wir:

( )2 3 2

2

0 1 2 3 4 5 6 72

d 1 1 d 1 ... 1 2 3 ...d 1 (

1 2 3 4 5 6 7 8

1 ) d1 ...

(1 )

x x x x xx x x x

x x x x x x x xx

−= = − + − + − = − + − + −

+ +

⇒ = − + − + − + − + −+

21

2 3 4 5 6 7

2 3

0 1 2 3 4 5 63

d 1 2 d (1 2 3 4 5 6 7 8 ...)d (1 ) (1 ) d

1 ...(1

1 3 6 10 15 21 28)

x x x x x x xx x x x

x x x x x x xx

−= = − + − + − + − + −

+ +

⇒ = − + − + − + − ++

2 3 4 5 6

3 4

0 1 2 3 4 54

d 1 3 d (1 3 6 10 15 21 28 ...)d (1 ) (1 ) d

1 ...(1 )

1 4 10 20 35 56

x x x x x xx x x x

x x x x x xx

−= = − + − + − + − +

+ +

⇒ = − + − + − + −+

2 3 4 5

4 5

0 1 2 3 45

d 1 4 d (1 4 10 20 35 56 ...)d (1 ) (1 ) d

1 ...(1 )

1 5 15 35 70

x x x x xx x x x

x x x x xx

−= = − + − + − + −

+ +

⇒ = − + − + − ++

27.4 Man bestimme die MacLaurin-Entwicklungen für x3 und (x – 1)3.

k f (k)(x) f (k)(x0) f (k)(x0)/k! f (k)(x0)(x – x0)k/k!0 x3 0 0 0 1 3x2 0 0 0 2 6x 0 0 0 3 6 6 1 x3

T(x) = x3

k f (k)(x) f (k)(x0) f (k)(x0)/k! f (k)(x0)(x – x0)k/k!0 (x - 1)3 -1 -1 -1 1 3(x - 1)2 3 3 3x 2 6(x - 1) -6 -3 -3x2 3 6 6 1 x3

T(x) = -1 + 3x - 3x2 + x3 = (x - 1)3

27.5 Man entwickle die Funktion ex um den Punkt x0 = 0, bestimme den Konvergenzradius und gebe die Reihe mit Hilfe des Σ-Symbols an.

22

k f (k)(x) f (k)(x0) f (k)(x0)/k! f (k)(x0)(x – x0)k/k!0 ex 1 1 1 1 ex 1 1 x 2 ex 1 1/2 x2/2 3 ex 1 1/6 x3/6 ... ... ... ... ...

T(x) = 0 1 2 3

…0! 1! 2! 3!x x x x

+ + + + =0 !

n

n

xn

∞

=∑

Der Konvergenzradius ist

ρ = 1/ !lim1/ ( 1)!n

nn→∞

= ∞+

.

27.6 Man entwickle die Funktion cosx um den Punkt x0 = 0, bestimme den Konvergenzradius und gebe die Reihe mit Hilfe des Σ-Symbols an.

k f (k)(x) f (k)(x0) f (k)(x0)/k! f (k)(x0)(x – x0)k/k!0 cosx 1 1 1 1 -sinx 0 0 0 2 -cosx -1 -1/2 -x2/2 3 sinx 0 0 0 4 cosx 1 1/24 x4/24 ... ... ... ... ...

T(x) = 0 2 4

…0! 2! 4!x x x

− + + =2

0( 1)

(2 )!

nn

n

xn

∞

=

−∑

Der Konvergenzradius ist

ρ = 1/ (2 )!lim1/ (2 2)!n

nn→∞

= ∞+

.

27.7 Man entwickle die Funktion sinx um den Punkt x0 = 0, bestimme den Konvergenzradius und gebe die Reihe mit Hilfe des Σ-Symbols an.

23

k f (k)(x) f (k)(x0) f (k)(x0)/k! f (k)(x0)(x – x0)k/k!0 sinx 0 0 0 1 cosx 1 1 x 2 -sinx 0 0 0 3 -cosx -1 -1/6 -x3/6 4 sinx 0 0 0 5 cosx 1 1/120 x5/120 ... ... ... ... ...

T(x) = 1 3 5

…1! 3! 5!x x x

− + + =2 1

0( 1)

(2 1)!

nn

n

xn

+∞

=

−+∑

Der Konvergenzradius ist

ρ = 1/ (2 1)!lim1/ (2 3))!n

nn→∞

+= ∞

+ .

27.8 Man entwickle die Funktion lnx um den Punkt x0 = 1 (warum nicht um x0 = 0?) und bestimme den Konvergenzradius und gebe die Reihe mit Hilfe des Σ-Symbols an. Welche Reihe ergibt sich für x = 2?

Entwicklung um x = 0 ist nicht möglich, da die Funktion dort nicht definiert ist.

k f (k)(x) f (k)(x0) f (k)(x0)/k! f (k)(x0)(x – x0)k/k!0 lnx 0 0 0 1 1/x 1 1 (x-1) 2 -1/x2 -1 -1/2 -(x-1)2/2 3 2/x3 2 1/3 (x-1)3/3 4 -6/x4 -6 -1/4 -(x-1)4/4 ... ... ... ... ...

T(x) = 2 3 2 31 ( 1) ( 1) 1 (1 ) (1 )…= …=

1 2 3 1 2 3x x x x x x− − − − − −

− + + − − − +1

(1 )n

n

xn

∞

=

−−∑

Der Konvergenzradius für die Potenzreihe 1

n

n

yn

∞

=∑ ergibt sich nach (22.4)

zu ρ = limn→∞

1

n

n

aa +

= limn→∞

1nn+ = 1.

24

Die Reihe 1

(1 )n

n

xn

∞

=

−−∑ konvergiert demnach für -1 < (1 - x) < 1 oder 0 < x < 2.

Für x = 0 divergiert die Reihe (negative harmonische Reihe), für x = 2 ergibt sich

ln2 = 1

1 1

( 1) ( 1)n n

n nn n

+∞ ∞

= =

− −− =∑ ∑ 1 1 11 …

2 3 4= − + − + −

27.9 Man zeige 1

1 x+ = 1 – 1

2x + 21 3

2 4x⋅

⋅ – 31 3 5

2 4 6x⋅ ⋅

⋅ ⋅ + 41 3 5 7

2 4 6 8x⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ – + …

sowie 3

11 x+

= 1 – 13

x + 21 43 6

x⋅⋅

– 31 4 73 6 9

x⋅ ⋅⋅ ⋅

+ 41 4 7 103 6 9 12

x⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

– + …

und stelle weitere ähnliche Formeln auf.

Entwicklung von 1

1 x+ um x0 = 0 liefert:

k f (k)(x) f (k)(x0) f (k)(x0)/k! f (k)(x0)(x – x0)k/k!0 (1+x)-1/2 1 1 1 1 -(1+x)-3/2/2 -1/2 -1/2 -x/2 2 3(1+x)-5/2/4 3/4 3/8 3x2/8 3 -15(1+x)-7/2/8 -15/8 -15/48 -15x3/48

In der nächsten Zeile kommt zu 1 3 52 2 2− − −

⋅ ⋅ der Faktor 72

− vom Differenzieren und

11 2 3 4⋅ ⋅ ⋅

von 1!k, also insgesamt 1 3 5 7

2 4 6 8⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

usw.

Entwicklung von 3

11 x+

um x0 = 0 liefert:

k f (k)(x) f (k)(x0) f (k)(x0)/k! f (k)(x0)(x – x0)k/k!0 (1+x)-1/3 1 1 1 1 -(1+x)-4/3/3 -1/3 -1/3 -x/3 2 4(1+x)-7/3/9 4/9 4/18 4x2/18 3 -28(1+x)-10/3/27 -28/27 -28/162 -28x3/162

25

In der nächsten Zeile kommt zu 1 4 73 3 3− − −

⋅ ⋅ der Faktor 103

− vom Differenzieren und

11 2 3 4⋅ ⋅ ⋅

von 1!k, also insgesamt 1 4 7 10

3 6 9 12⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

usw.

Entwicklung von 11k x+

um x0 = 0 liefert im vierten Schritt den Faktor:

1 (1 ) (2 ) (3 )k k kk k k k− − + − + − +

⋅ ⋅ ⋅ vom Differenzieren und 11 2 3 4⋅ ⋅ ⋅

von 1!k, insgesamt also

1 ( 1) (2 1) (3 1)2 3 4

k k kk k k k

⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅ ⋅ ⋅

usw.

27.10 Man entwickle 21

(1 )x+ um den Punkt x0 = 0 und vergleiche mit Übung 27.3.

k f (k)(x) f (k)(x0) f (k)(x0)/k! f (k)(x0)(x – x0)k/k!0 (1+x)-2 1 1 1 1 -2(1+x)-3 -2 -2 -2x 2 6(1+x)-4 6 3 3x2 ... ... ... ... ...

Übereinstimmung.

27.11 Man entwickle 31

(1 )x+ um den Punkt x0 = 0 und vergleiche mit Übung 27.3.

k f (k)(x) f (k)(x0) f (k)(x0)/k! f (k)(x0)(x – x0)k/k!0 (1+x)-3 1 1 1 1 -3(1+x)-4 -3 -3 -3x 2 12(1+x)-5 12 6 6x2 ... ... ... ... ...

Übereinstimmung.

26

27.12 Man versuche, die nicht analytische Funktion 2exp( 1/ ) für 0( )

0 für 0x xf x

x⎧ − ≠⎪= ⎨

=⎪⎩ um den

Punkt x0 = 0 zu entwickeln. Die im Punkte x0 = 0 stetige Funktion ist dort nicht analytisch. Das ist aber gleichbedeutend damit, dass sie dort nicht in eine Potenzreihe entwickelt werden kann. Alle Ableitungen

verschwinden, weil 21

0lim e 0xx

−

→= Dieser Faktor tritt bei jeder Ableitung auf und zieht alle

Potenzen von0

1lim 0nx x→= auf Null.

27

28.1 Man bilde alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung: a) f (x, y) = (x + y)/2

2 2 2

2 2

1 1, , 0 , 0 , 02 2

f f f f fx y x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

b) f (x, y) = xÿy

2 2 2

2 2, , 0 , 0 , 1f f f f fy xx y x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

c) f (x, y) = 1/(xÿy)

2 2 2

2 2 2 3 2 3 2 2

1 1 2 2 1, , , ,f f f f fx x y y xy x x y y xy x y x y

∂ − ∂ − ∂ ∂ ∂= = = = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

d) f (x, y) = (x + y)ÿsin(x – y)

2

2

2

2

2

sin( ) ( ) cos( )

sin( ) ( ) cos( )

2cos( ) ( )sin( )

2cos( ) ( )sin( )

( )sin( )

f x y x y x yxf x y x y x yy

f x y x y x yxf x y x y x y

yf x y x y

x y

∂= − + + −

∂∂

= − − + −∂

∂= − − + −

∂∂

= − − − + −∂

∂= + −

∂ ∂

e) f (x, y, z) = xÿy2ÿlnz

28

2 2

2 2 22

2 2 2 2

2 2 22

1ln , 2 ln ,

10 , 2 ln ,

1 12 ln , 2 ,

f f fy z x y z xyx y z z

f f fx z xyx y z z

f f fy z x y yx y y z z x z z

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ −= = =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

f) f (x, y, z) = ex/yÿz

2

2 2 2 2

2 2 2 3 4 2

2 2 2

2 3 2

1 e , e , e

1 2e , e e , 0

1 1e e , e , e

x x xy y y

x x xy y y

x x x xy y y y

f f x fz zx y y y z

f f x x fz z zx y y y y z

f x f x fz zx y y y y z y x z y

∂ ∂ − ∂= = =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= = + =

∂ ∂ ∂

∂ − − ∂ − ∂= + = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

28.2 Man differenziere implizit nach x unter Beachtung von y = f (x): a) xÿy = 1 ' 0y xy+ =

b) x3ÿy2 = 1/y'

2 2 32

''3 2 '( ')

yx y x yyy−

+ =

c) xÿyÿsin(xÿy) = const.

2 2sin( ) 'sin( ) cos( ) 'cos( ) 0y xy xy xy xy xy x yy xy+ + + =

d) xÿy + x6ÿy9 = 2

5 9 6 8' 6 9 ' 0y xy x y x y y+ + + =

e) y2 = x/(x2 + tany)

29

2

2 2 2 2 2 2

1 2 '2 'tan ( tan ) ( tan ) cos

x x yyyx y x y x y y

− −= + +

+ + +

f) y/x = 1

2

' 0y yx x

− =

28.3 Man bestimme die Tangenten von Ellipse, Hyperbel und Parabel (s. Abschn. 17).

Die Ellipse besitzt die implizite Mittelpunktsgleichung (17.1) 1 = 2x

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ 2y

b⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Implizite Differentiation liefert: 0 = 2x/a2 + 2yy'/b2 fl 2

2' b xyya

= −

Mit Hilfe der expliziten Mittelpunktsgleichung (17.2) y = 2 2b a xa

−

bestätigt man: 2 2

2 22 2 2 2' b x b x b xy

ba ya aa x a xa

= − = − = −− −

Die Parabel besitzt die Scheitelgleichung (17.17) y2 = 2px

Implizite Differentiation liefert: 2yy' = 2p fl '2

p pyy x

= =

Die explizite Scheitelgleichung (17.17') 2y px= liefert dasselbe Ergebnis.

Die Hyperbel besitzt die implizite Mittelpunktsgleichung (17.20) 1 = 2x

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

- 2y

b⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Implizite Differentiation liefert: 0 = 2x/a2 - 2yy'/b2 fl 2

2' b xyya

=

30

Mit Hilfe der expliziten Mittelpunktsgleichung (17.21) y = 2 2b x aa

−

bestätigt man: 2 2

2 22 2 2 2' b x b x b xy

ba ya ax a x aa

= = =− −

28.4 Für zwei Variablen lautet die Taylor-Entwicklung bis zur zweiten Ordnung

f (x + Δx, y + Δy) = f (x, y) + fx

∂∂

Δx + fy

∂∂

Δy + 12!

2 2 22 2

2 2( ) 2 ( )f f fx x y yx yx y

⎡ ⎤∂ ∂ ∂Δ + ⋅ Δ Δ + Δ⎢ ⎥∂ ∂∂ ∂⎣ ⎦

.

a) Man entwickle f (x, y) = x2 + y2 um den Punkt (2, 3) und bestimme so f (3, 4). Warum ergibt sich der exakte Wert f (3, 4) = 25?

T2(2 + 1, 3 + 1) = (4 + 9) + 2ÿ2ÿ1 + 2ÿ3ÿ1 + 12!

2 22 1 2 1⎡ ⎤⋅ + ⋅⎣ ⎦ = 25 = 32 + 42 = f (3, 4)

T2 ergibt den exakten Wert, weil alle Terme höherer Ordnung verschwinden.

b) Man entwickle f (x, y) = 1/(xÿy) um den Punkt (2, 3) und bestimme so f (3, 4). Warum ergibt sich nicht der exakte Wert f (3, 4) = 1/12?

T2(2 + 1, 3 + 1) = 1 1 1 1 2 1 2 25 1[ 2 ]2 3 4 3 2 9 2! 8 3 4 9 2 27 8 27 12

− − + + + = ≠⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= f (3, 4)

T2 ergibt nicht den exakten Wert, weil nicht alle Terme höherer Ordnung verschwinden.