Locally normal space 11Wikipedia

Contents

1 Alexandro extension 11.1 Example: inverse stereographic projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 The Alexandro extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 The one-point compactication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Further examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Alexandrov topology 42.1 Characterizations of Alexandrov topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Duality with preordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 The Alexandrov topology on a preordered set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.2 The specialization preorder on a topological space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.3 Equivalence between preorders and Alexandrov topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.4 Equivalence between monotony and continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.5 Category theoretic description of the duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.6 Relationship to the construction of modal algebras from modal frames . . . . . . . . . . . 7

2.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Algebraic topology 93.1 Main branches of algebraic topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.1 Homotopy groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.2 Homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.3 Cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.4 Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.5 Knot theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.6 Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Method of algebraic invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Setting in category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Applications of algebraic topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

i

ii CONTENTS

3.5 Notable algebraic topologists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.6 Important theorems in algebraic topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.10 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Approach space 164.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4 Categorical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Axiom 195.1 Etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Historical development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.2.1 Early Greeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2.2 Modern development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2.3 Other sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.3 Mathematical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.3.1 Logical axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.3.2 Non-logical axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.3.3 Role in mathematical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3.4 Further discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6 Baire space 276.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.2.1 Modern denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2.2 Historical denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.4 Baire category theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.5 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.8 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

CONTENTS iii

6.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7 Baire space (set theory) 307.1 Topology and trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.3 Relation to the real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8 Base (topology) 328.1 Simple properties of bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.2 Objects dened in terms of bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.3 Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.4 Base for the closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.5 Weight and character . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

8.5.1 Increasing chains of open sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

9 Bijection 369.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

9.2.1 Batting line-up of a baseball team . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.2.2 Seats and students of a classroom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

9.3 More mathematical examples and some non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.4 Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.6 Bijections and cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.7 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399.8 Bijections and category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399.9 Generalization to partial functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.10 Contrast with . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.11 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.12 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.13 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419.14 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

10 Binary relation 4210.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

10.1.1 Is a relation more than its graph? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.1.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

10.2 Special types of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.2.1 Difunctional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

iv CONTENTS

10.3 Relations over a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.4 Operations on binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

10.4.1 Complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4710.4.2 Restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4710.4.3 Algebras, categories, and rewriting systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

10.5 Sets versus classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4810.6 The number of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4810.7 Examples of common binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4910.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4910.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4910.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5010.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

11 Borel set 5211.1 Generating the Borel algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

11.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5311.2 Standard Borel spaces and Kuratowski theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5311.3 Non-Borel sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5311.4 Alternative non-equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5411.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5411.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5411.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5511.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

12 Boundary (topology) 5612.1 Common denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5712.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5712.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5812.4 Boundary of a boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5912.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5912.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

13 Bounded set 6013.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6013.2 Metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6013.3 Boundedness in topological vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6013.4 Boundedness in order theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6113.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6213.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

14 Cartesian product 6314.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

14.1.1 A deck of cards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

CONTENTS v

14.1.2 A two-dimensional coordinate system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6414.2 Most common implementation (set theory) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

14.2.1 Non-commutativity and non-associativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6514.2.2 Intersections, unions, and subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6614.2.3 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

14.3 n-ary product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6714.3.1 Cartesian power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6714.3.2 Finite n-ary product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6714.3.3 Innite products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

14.4 Other forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6814.4.1 Abbreviated form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6814.4.2 Cartesian product of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

14.5 Denitions outside of Set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6914.5.1 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6914.5.2 Graph theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

14.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6914.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6914.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

15 Category (mathematics) 7115.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7215.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7215.3 Small and large categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7315.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7315.5 Construction of new categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

15.5.1 Dual category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7315.5.2 Product categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

15.6 Types of morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7415.7 Types of categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7515.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7515.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7515.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

16 Category of topological spaces 7716.1 As a concrete category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7716.2 Limits and colimits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7816.3 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7816.4 Relationships to other categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7816.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

17 Category theory 8017.1 An abstraction of other mathematical concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

vi CONTENTS

17.2 Utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8117.2.1 Categories, objects, and morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8117.2.2 Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8217.2.3 Natural transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

17.3 Categories, objects, and morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8217.3.1 Categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8217.3.2 Morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

17.4 Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8317.5 Natural transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8417.6 Other concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

17.6.1 Universal constructions, limits, and colimits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8417.6.2 Equivalent categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8517.6.3 Further concepts and results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8517.6.4 Higher-dimensional categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

17.7 Historical notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8617.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8617.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8717.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8717.11Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8817.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

18 Cauchy sequence 9018.1 In real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9118.2 In a metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9118.3 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

18.3.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9118.3.2 Counter-example: rational numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9118.3.3 Counter-example: open interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9218.3.4 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

18.4 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9318.4.1 In topological vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9318.4.2 In topological groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9318.4.3 In groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9318.4.4 In constructive mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9318.4.5 In a hyperreal continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

18.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9418.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9418.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9418.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

19 Clopen set 9519.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

CONTENTS vii

19.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9619.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9619.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

20 Closed set 9720.1 Equivalent denitions of a closed set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9720.2 Properties of closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9720.3 Examples of closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9720.4 More about closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9820.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9820.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

21 Closure (topology) 9921.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

21.1.1 Point of closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9921.1.2 Limit point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9921.1.3 Closure of a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

21.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10021.3 Closure operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10121.4 Facts about closures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10121.5 Categorical interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10221.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10221.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10221.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10221.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

22 Compact space 10322.1 Historical development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10422.2 Basic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10522.3 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

22.3.1 Open cover denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10522.3.2 Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10622.3.3 Compactness of subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

22.4 Properties of compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10722.4.1 Functions and compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10722.4.2 Compact spaces and set operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10722.4.3 Ordered compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

22.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10822.5.1 Algebraic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

22.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10922.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11022.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

viii CONTENTS

22.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

23 Compact-open topology 11223.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11223.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11223.3 Frchet dierentiable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11323.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11323.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

24 Comparison of topologies 11424.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11424.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11424.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11424.4 Lattice of topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11524.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11524.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11524.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

25 Complement (set theory) 11625.1 Relative complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11625.2 Absolute complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11725.3 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11825.4 Complements in various programming languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11825.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12025.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12025.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

26 Complete metric space 12126.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12126.2 Some theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12226.3 Completion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12226.4 Topologically complete spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12326.5 Alternatives and generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12326.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12326.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12426.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

27 Completely metrizable space 12527.1 Dierence between complete metric space and completely metrizable space . . . . . . . . . . . . . . 12527.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12527.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12527.4 Completely metrizable abelian topological groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12627.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

CONTENTS ix

27.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12627.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

28 Completely uniformizable space 12828.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12828.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12828.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12828.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

29 Complex plane 13029.1 Notational conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13029.2 Stereographic projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13229.3 Cutting the plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

29.3.1 Multi-valued relationships and branch points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13329.3.2 Restricting the domain of meromorphic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13429.3.3 Specifying convergence regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

29.4 Gluing the cut plane back together . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13529.5 Use of the complex plane in control theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13629.6 Other meanings of complex plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13629.7 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13729.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13729.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13829.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13829.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

30 Connected space 13930.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

30.1.1 Connected components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14030.1.2 Disconnected spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

30.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14030.3 Path connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14130.4 Arc connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14230.5 Local connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14230.6 Set operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14230.7 Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14530.8 Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14530.9 Stronger forms of connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14630.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14630.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

30.11.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14630.11.2 General references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

31 Consistency 147

x CONTENTS

31.1 Consistency and completeness in arithmetic and set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14731.2 First-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

31.2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14831.2.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14831.2.3 Basic results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14831.2.4 Henkins theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14931.2.5 Sketch of proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

31.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14931.4 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14931.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15031.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

32 Continuous function 15132.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15132.2 Real-valued continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

32.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15132.2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15432.2.3 Non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15732.2.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15832.2.5 Directional and semi-continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

32.3 Continuous functions between metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16032.3.1 Uniform, Hlder and Lipschitz continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

32.4 Continuous functions between topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16132.4.1 Alternative denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16332.4.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16432.4.3 Homeomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16532.4.4 Dening topologies via continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

32.5 Related notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16532.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16632.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16632.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

33 Contractible space 16833.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16833.2 Locally contractible spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16833.3 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16833.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

34 Cosmic space 17034.1 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17034.2 Unsolved problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17034.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

CONTENTS xi

34.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

35 Countable set 17135.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17135.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17135.3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17135.4 Formal denition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17235.5 Minimal model of set theory is countable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17735.6 Total orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17735.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17835.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17835.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17835.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

36 Cover (topology) 17936.1 Cover in topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17936.2 Renement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17936.3 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18036.4 Covering dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18036.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18036.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18136.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18136.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

37 Dense set 18237.1 Density in metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18237.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18237.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18337.4 Related notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18337.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18337.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

37.6.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18437.6.2 General references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

38 Dense-in-itself 18538.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18538.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

39 Development (topology) 18639.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

40 Discrete space 18740.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18740.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

xii CONTENTS

40.3 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18940.4 Indiscrete spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18940.5 Quotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18940.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18940.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

41 Disjoint sets 19041.1 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19041.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19141.3 Intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19141.4 Disjoint unions and partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19241.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19241.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19241.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

42 Disjoint union 19442.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19442.2 Set theory denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19442.3 Category theory point of view . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19542.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19542.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

43 Dispersion point 19643.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

44 Door space 19744.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19744.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

45 Dunce hat (topology) 19845.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19945.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

46 Empty set 20046.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20046.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

46.2.1 Operations on the empty set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20346.3 In other areas of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

46.3.1 Extended real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20346.3.2 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20346.3.3 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

46.4 Questioned existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20446.4.1 Axiomatic set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20446.4.2 Philosophical issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

CONTENTS xiii

46.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20546.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20546.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20546.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

47 Equivalence class 20647.1 Notation and formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20647.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20747.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20747.4 Graphical representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20847.5 Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20847.6 Quotient space in topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20847.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20847.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20947.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20947.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

48 Equivalence relation 21148.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21148.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21148.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

48.3.1 Simple example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21148.3.2 Equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21248.3.3 Relations that are not equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

48.4 Connections to other relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21248.5 Well-denedness under an equivalence relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21348.6 Equivalence class, quotient set, partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

48.6.1 Equivalence class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21348.6.2 Quotient set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21348.6.3 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21348.6.4 Equivalence kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21348.6.5 Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

48.7 Fundamental theorem of equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21448.8 Comparing equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21448.9 Generating equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21448.10Algebraic structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

48.10.1 Group theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21548.10.2 Categories and groupoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21648.10.3 Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

48.11Equivalence relations and mathematical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21648.12Euclidean relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21748.13See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

xiv CONTENTS

48.14Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21748.15References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21848.16External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

49 Filter (mathematics) 22049.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22149.2 General denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22149.3 Filter on a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

49.3.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22249.3.2 Filters in model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22249.3.3 Filters in topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

49.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22549.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22549.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

50 Final topology 22650.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22650.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22650.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22750.4 Categorical description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22850.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22850.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

51 Fine topology (potential theory) 22951.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22951.2 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22951.3 Properties of the ne topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22951.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

52 Finite set 23152.1 Denition and terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23152.2 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23152.3 Necessary and sucient conditions for niteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23252.4 Foundational issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23352.5 Set-theoretic denitions of niteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

52.5.1 Other concepts of niteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23452.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23452.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23452.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23552.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

53 First-countable space 23653.1 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

CONTENTS xv

53.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23653.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23753.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

54 F set 23854.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23854.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23854.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

55 Generic point 23955.1 Denition and motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23955.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23955.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23955.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

56 Glossary of topology 24156.1 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24256.2 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24356.3 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24356.4 D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24556.5 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24556.6 F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24556.7 G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24656.8 H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24656.9 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24756.10K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24756.11L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24856.12M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24856.13N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24956.14O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25056.15P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25056.16Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25156.17R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25256.18S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25256.19T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25356.20U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25456.21W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25556.22Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25556.23References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25556.24External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

57 G set 25757.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

xvi CONTENTS

57.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25757.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

57.3.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25857.4 G space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25857.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25857.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25857.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

58 H-closed space 26058.1 Examples and equivalent formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26058.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26058.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

59 Hausdor space 26159.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26159.2 Equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26259.3 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26259.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26259.5 Preregularity versus regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26359.6 Variants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26359.7 Algebra of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26459.8 Academic humour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26459.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26459.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26459.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

60 Hereditary property 26560.1 In topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26560.2 In graph theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

60.2.1 Monotone property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26560.3 In model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26660.4 In matroid theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26660.5 In set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26660.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

61 Hilbert manifold 26861.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26861.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26861.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26961.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26961.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

62 Homeomorphism 270

CONTENTS xvii

62.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27062.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

62.2.1 Non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27162.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27262.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27262.5 Informal discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27362.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27362.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27362.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

63 Homogeneous space 27463.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

63.1.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27563.2 Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27563.3 Homogeneous spaces as coset spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27663.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27663.5 Prehomogeneous vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27663.6 Homogeneous spaces in physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27763.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27763.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

64 Homotopy 27864.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

64.1.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28064.2 Homotopy equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

64.2.1 Null-homotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28064.3 Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28064.4 Relative homotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28164.5 Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28164.6 Category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28164.7 Timelike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28164.8 Lifting property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28164.9 Extension property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28264.10Isotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28264.11Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28264.12See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28264.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28364.14Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

65 Hyperconnected space 28465.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28465.2 Hyperconnectedness vs. connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

xviii CONTENTS

65.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28465.4 Irreducible components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28565.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28565.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

66 Identity function 28666.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28766.2 Algebraic property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28766.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28766.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28766.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

67 If and only if 28867.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28867.2 Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

67.2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28867.2.2 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28967.2.3 Origin of i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

67.3 Distinction from if and only if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28967.4 More general usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29067.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29067.6 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29067.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

68 Image 29168.1 Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29168.2 Imagery (literary term) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29168.3 Moving image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29268.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29268.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29268.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

69 Image (mathematics) 29669.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

69.1.1 Image of an element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29769.1.2 Image of a subset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29769.1.3 Image of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

69.2 Inverse image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29769.3 Notation for image and inverse image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

69.3.1 Arrow notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29769.3.2 Star notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29769.3.3 Other terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

69.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

CONTENTS xix

69.5 Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29869.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29969.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29969.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

70 Index set 30070.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30070.2 Other uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30070.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30070.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

71 Inmum and supremum 30171.1 Inma of real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30271.2 Inma in partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30271.3 Supremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

71.3.1 Supremum of a set of real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30371.3.2 Suprema within partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30471.3.3 Comparison with other order theoretical notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30571.3.4 Least-upper-bound property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

71.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30671.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30671.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

72 Injective function 30772.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30872.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30972.3 Injections can be undone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31272.4 Injections may be made invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31272.5 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31272.6 Proving that functions are injective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31372.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31372.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31472.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31472.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

73 Interior (topology) 31573.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

73.1.1 Interior point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31673.1.2 Interior of a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

73.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31673.3 Interior operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31773.4 Exterior of a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31773.5 Interior-disjoint shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

xx CONTENTS

73.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31873.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31873.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

74 Interval (mathematics) 32074.1 Notations for intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

74.1.1 Including or excluding endpoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32074.1.2 Innite endpoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32174.1.3 Integer intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

74.2 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32174.3 Classication of intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

74.3.1 Intervals of the extended real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32274.4 Properties of intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32274.5 Dyadic intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32374.6 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

74.6.1 Multi-dimensional intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32374.6.2 Complex intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

74.7 Topological algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32374.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32474.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32474.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

75 Isolated point 32575.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32675.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32675.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

76 Kolmogorov space 32776.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32776.2 Examples and nonexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

76.2.1 Spaces which are not T0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32776.2.2 Spaces which are T0 but not T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

76.3 Operating with T0 spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32876.4 The Kolmogorov quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32876.5 Removing T0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32976.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

77 Kuratowski closure axioms 33077.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33077.2 Connection to other axiomatizations of topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

77.2.1 Induction of Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33077.2.2 Induction of closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33177.2.3 Recovering notions from topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

CONTENTS xxi

77.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33177.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33177.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33177.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

78 Limit point 33278.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33278.2 Types of limit points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33278.3 Some facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33378.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33378.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

79 Lindelf space 33579.1 Properties of Lindelf spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33579.2 Properties of strongly Lindelf spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33579.3 Product of Lindelf spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33579.4 Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33679.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33679.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33679.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

80 Locally compact space 33780.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33780.2 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

80.2.1 Compact Hausdor spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33880.2.2 Locally compact Hausdor spaces that are not compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33880.2.3 Hausdor spaces that are not locally compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33880.2.4 Non-Hausdor examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

80.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33980.3.1 The point at innity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33980.3.2 Locally compact groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

80.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34080.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

81 Locally connected space 34181.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34281.2 Denitions and rst examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

81.2.1 First examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34381.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34381.4 Components and path components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

81.4.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34481.5 Quasicomponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

81.5.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

xxii CONTENTS

81.6 More on local connectedness versus weak local connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34581.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34581.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34581.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34681.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

82 Locally nite collection 34782.1 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

82.1.1 Compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34782.1.2 Second countable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

82.2 Closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34882.3 Countably locally nite collections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34882.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

83 Locally Hausdor space 34983.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

84 Locally normal space 35084.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35084.2 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35084.3 Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35084.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35084.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

85 Locally regular space 35285.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35285.2 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35285.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35285.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

86 Loop (topology) 35386.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35386.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

87 Mathematical analysis 35587.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35687.2 Important concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

87.2.1 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35787.2.2 Sequences and limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

87.3 Main branches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35887.3.1 Real analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35887.3.2 Complex analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35887.3.3 Functional analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35887.3.4 Dierential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

CONTENTS xxiii

87.3.5 Measure theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35987.3.6 Numerical analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

87.4 Other topics in mathematical analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35987.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

87.5.1 Physical sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36087.5.2 Signal processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36087.5.3 Other areas of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

87.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36087.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36187.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36287.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

88 Meagre set 36388.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

88.1.1 Relation to Borel hierarchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36388.2 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36388.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36488.4 BanachMazur game . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36488.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

88.5.1 Subsets of the reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36488.5.2 Function spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

88.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36488.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36488.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .