LICEO SCIENTIFICO TEMISTOCLE CALZECCHI-ONESTI

FERMO

ESAMI DI STATO 2015

Alunno: Andrea Ruggeri

Classe V, sez. G

Anno scolastico 2014-2015

LOBAČEVSKIJ E DOSTOEVSKY

Geometria non-euclidea e letteratura.

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Indice:

Indice …........................................................................................................ pag. 1

Introduzione …...............................................................................................pag. 2

I. Breve storia dei metodi della geometria......................................................pag. 3

II. Conseguenze dell'ipotesi di Lobačevskij nel campo della matematica......pag. 7

III. Caratteristiche principali della geometria iperbolica................................pag. 8

III.1 Modello del Disco di Poincaré............................................................pag. 13

III.2 Modello di Klein.................................................................................pag. 14

III.3 Modello di Beltrami............................................................................pag. 15

IV. Cenni sul rapporto tra il pensiero di Kant e geometrie non euclidee.........pag. 16

V. Influenza della novità lobačevskijana su Dostoevsky................................pag. 17

Bibliografia......................................................................................................pag. 24

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Introduzione

La nuova formulazione della geometria da parte del matematico russo Lobačevskij ha segnato una svolta epocale nella riflessione moderna sulla matematica e ha avuto significative ripercussioni sul pensiero epistemologico a partire dalla seconda metà del XIX secolo, quando l'autentica portata rivoluzionaria della nuova “geometria non-euclidea” venne compresa anche dai non matematici. L'opera di Dostoevsky posteriore all'anno 1876, durante il quale con ogni probabilità venne a conoscenza delle nuove teorie del matematico suo connazionale, mostra un particolare interesse da parte dello scrittore russo nei confronti delle nuove frontiere della matematica e dei metodi originali coi quali queste venivano esplorate. In particolar modo, qui viene presa in esame l'ultimo romanzo compiuto di Dostoevsky, “I Fratelli Karamazov”, nel quale l'autore articola una complessa riflessione sulla natura della fede e della libertà umana.Nella presente verranno esposti i fondamenti dai quali trae origine la nuova geometria di Lobačevskij, il loro ruolo all'interno dello sviluppo storico della riflessione filosofica sulla matematica e le principali conclusioni derivanti dallo studio del modello lobačevskijano.

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I. Breve storia dei metodi della geometria.

La geometria è una disciplina antichissima: fonti storiche attestano la conoscenza di elementari teoremi geometrici e delle loro applicazioni pratiche da parte dei Sumeri [1].

La stessa cosa si può affermare per gli antichi Egizi, i quali hanno lasciato una documentazione esplicita della loro conoscenza di una geometria non elementare: essi conoscevano alcuni dei più importanti risultati che i Greci avrebbero formalizzato in seguito.Una svolta epocale per la geometria avvenne con la sistematizzazione e l'assiomatizzazione da parte del matematico greco Euclide. Questi, del quale si hanno scarsissime informazioni biografiche, ebbe il merito di riunire tutto il sapere geometrico fino ad allora conosciuto in un unico modello teorico, nel quale ogni risultato era posto in relazione agli altri in modo logicamente rigoroso. Quello di Euclide è uno dei primissimi esempi di quello che, nella logica moderna, viene definito “sistema formale”.Un sistema formale è un insieme di assiomi, di regole di inferenza e di regole per l'individuazione dei teoremi: dagli assiomi, per mezzo delle regole di inferenza, si deducono delle proposizioni, che prendono il nome di teoremi del sistema formale, e questo procedimento prende il nome di dimostrazione.L'operazione che compì Euclide è molto semplice: egli studiò a fondo la natura delle proposizioni geometriche vere note al suo tempo ed evinse delle “costanti” cui ogni proposizione faceva implicito riferimento. Queste costanti sono gli “assiomi” e le “definizioni” del sistema euclideo, e le proposizioni ricavate da essi sono i teoremi di geometria euclidea. Una particolarità del sistema formale elaborato da Euclide nella sua opera (“Elementi di Geometria”) è la presenza di cinque “Postulati”: Euclide si rese conto del fatto che

[ 1] O.Neugebauer, Le scienze esatte nell'antichità Feltrinelli, Milano 1974: “Le serie di problemi strettamente connesse e le regole generali che si accompagnano ad una soluzione numerica costituiscono di fatto uno strumento che si avvicina molto ad un'operazione puramente algebrica...”

nella dimostrazione dei teoremi di geometria allora noti, prendendo le mosse soltanto

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dalle Definizioni e dagli Assiomi, si operavano inconsapevolmente dei “salti logici”, non legittimi da un punto di vista formale; per tale motivo, egli aggiunse al suo sistema formale questi Postulati, che nell'intenzione dell'autore avrebbero dovuto essere una formalizzazione di alcune proposizioni vere empiricamente, ma assolutamente indecidibili da un punto di vista esclusivamente assiomatico. La loro verità è appunto postulata, non dimostrata.I cinque Postulati, nella versione moderna, sono i seguenti:

Postulato I : Da un qualsiasi punto a un altro punto si può condurre un segmento di

retta.

Postulato II : Un segmento di retta può essere prolungato continuamente in linea

retta.

Postulato III : Con qualsiasi centro e con qualsiasi raggio si può descrivere un

cerchio.

Postulato IV : Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.

Postulato V : Se una retta che taglia due segmenti di retta forma da una parte angoli

coniugati interni la cui somma è minore di due retti, allora i due segmenti, se

prolungati illimitatamente, s'incontreranno da quella parte.[2]

L'attendibilità di questo postulati è data innanzitutto dal loro numero esiguo; in

secondo luogo, è impressionante osservare come queste cinque proposizioni

sostengano l'intera impalcatura logico-concettuale della geometria, e come da esse

possono venir dimostrati tutti i teoremi conosciuti.

Nella storia della critica agli “Elementi”, d'altra parte, è emersa una costante

incertezza e diffidenza al riguardo del quinto postulato. Innanzitutto, esso ha una

struttura notevolmente più complessa degli altri quattro; la sua evidenza, inoltre, non

è per nulla scontata quanto si possa credere, poiché gli altri sono “autoevidenti” di per

sé, poiché si riferiscono ad una porzione finita di spazio, mentre esso si riferisce a una

[ 2] Euclide, Classici UTET, 1970, a cura di A. Frajese.

porzione potenzialmente infinita di spazio; trattando di un “infinito potenziale”, esso

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non assurgeva alla “autoevidenza” empirica degli altri quattro.

Uno dei primi commentatori di Euclide, Proclo, già dubitava del fatto che il quinto

postulato potesse essere o meno derivabile dagli altri quattro, riferendosi ad alcune

“stranezze” nelle dimostrazioni di Euclide (il quale, in verità, si avvale il meno

possibile del quinto postulato nelle dimostrazioni dei teoremi, quasi non fosse sicuro

della sua veridicità).

Per duemila anni i commentatori di Euclide hanno tentato di verificare se il quinto

postulato fosse deducibile dagli altri oppure no: spesso si è creduto di esser giunti

finalmente ad una dimostrazione definitiva dello stesso, ma si è sempre trovato

qualcuno che smentisse la tentata dimostrazione, e il problema ricominciava da capo.

Durante il corso del XIX secolo, tre matematici, indipendentemente l'uno dall'altro,

K.F.Gauss, J.Boylai, N.Lobačevskij, pervennero, durante degli studi sul V postulato,

a un risultato completamente nuovo e mai visto prima nel mondo della geometria. Si

prenderà in esame la novità di Lobačevskij in quanto egli fu l'unico dei tre a

sviluppare la sua nuova scoperta in modo sistematico e compiuto.

Nel 1829 Lobačevskij, allora rettore dell'università di Kasan', in Russia, pubblica un

lavoro, in una rivista provinciale, a riguardo di una geometria da lui definita

“immaginaria” (in seguito cambierà il nome in “pangeometria”)[3]. Questo era un

lavoro di geometria non-euclidea, dal momento che minava dalle fondamenta tutto il

sistema assiomatico di Euclide: in esso veniva negata la validità del V Postulato.

Questa nuova geometria era fondata su un postulato radicalmente differente da quello

delle parallele (il V Postulato di Euclide): per un punto C esterno ad una retta AB si

può condurre più di una retta nello stesso piano che non incontri la retta AB. In altre

parole, Lobachevskij sostituì il V postulato delle parallele di Euclide con il seguente:

[ 3] N.Lobačevskij : О началах геометрии [=Dei fondamenti della geometria] 1829

esistono due linee parallele ad una linea data condotte da un punto non appartenente

alla linea data.

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L'eccezionale portata dell'intuizione di Lobachevskij risiede nel fatto che egli per

primo ha negato la consistenza a priori della matematica e dello spazio euclideo (idea

proveniente dallo stesso Euclide e sviluppata da Kant), considerando il postulato

delle parallele come logicamente indipendente dagli altri quattro, ovvero come una

proprietà fisica dimostrata attraverso l'esperienza, che d'altra parte non deve

necessariamente avere carattere di verità logico-geometrica, né tanto meno essere

verificata da ogni possibile entità geometrica.

Nikolaj Ivanovič Lobačevskij

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II. Conseguenze dell'ipotesi di Lobačevskij nel campo della

matematica.

Il nuovo metodo di lavoro e di indagine matematica elaborato da Lobačevskij stentò

ad essere accettato dalla comunità scientifica. Lo stesso Gauss, che venne a

conoscenza del lavoro del matematico russo nel 1840, anno in cui venne tradotta in

tedesco l'opera “La Geometria immaginaria” (1836), non riconobbe mai

pubblicamente l'importanza di quella che in seguito venne chiamata “geometria

iperbolica”, anche se dalla sua corrispondenza privata si evince un particolare

interessamento verso di essa[4]. Con l'opera di E.Beltrami, “Saggio di interpretazione

della geometria non-euclidea” (1868), il lavoro di Lobačevskij cessa di essere

considerato come una teoria “immaginaria” e acquista di consistenza empirica, come

geometria che ammette una sua interpretazione (anche se particolare) all'interno della

struttura dello spazio euclideo. Beltrami, studiando il comportamento delle

geodetiche sulla superficie della pseudosfera, concluse che la metrica della

pseudosfera era identica alla metrica del piano di Lobačevskij in un suo dominio

particolare. Questa conclusione afferma che nel piano di una pseudosfera, che è una

superficie nello spazio euclideo, sono realizzate tutte le proprietà geometriche del

[ 4] Lettera di Gauss a H.Schumacher (1846) :”Lei sa che per 54 anni ho avuto la medesima

convinzione (con qualche arricchimento successivo del quale non intendo parlare adesso). Non ho trovato

alcunché di nuovo nel lavoro di Lobačevskij. Nello sviluppo della materia, l'autore ha percorso una via differente

da quella che ho seguito io; Lobačevskij ha raggiunto l'obiettivo con una mirabile eleganza e con autentico spirito

geometrico. Considero come un dovere sottoporre alla Sua attenzione questo lavoro, dal momento che non ho

dubbio alcuno sul fatto che vi procurerò un tremendo piacere...” Gauss, Epistolario, citato in Геометрия

Лобачевского и математическая физика [= La geometria di Lobačevskij e la fisica-matematica], ed.

Физический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, 2012, “Introduzione: Ricognizione sulla geometria non-

euclidea e sul suo significato filosofico”, traduzione propria

piano bidimensionale di Lobachevsky; questo fatto verrà in seguito ripreso dal

matematico tedesco B.Riemann per definire la sua nozione di “curvatura”.

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La piena accettazione del lavoro di Lobačevskij si ha con le altre due interpretazioni

della geometria iperbolica elaborate da F.Klein (1871) e H.Poincaré (1882).

Il contributo di Lobačevskij alla riflessione teorica sulla matematica ha avuto una

fondamentale importanza nello sviluppo di nuovi rami del sapere matematico. In

primo luogo, la sua teoria geometrica gioca un ruolo fondamentale nella possibilità di

formare analiticamente varie geometrie intuitive (e controintuitive) possibili

all'interno dello spazio euclideo, abituale per l'essere umano.

In secondo luogo, la stessa teoria geometrica divenne uno strumento [5] (non più uno

scopo, e ancor meno una teoria scientifica completa in sé), in grado di promuovere lo

sviluppo di nuovi rami del sapere che, allo stato attuale, stanno a fondamento della

scienza filosofica e matematica del XXI secolo.

III. Caratteristiche principali della geometria iperbolica.

Quella elaborata da Lobačevskij prende il nome di “geometria iperbolica”. Il nome

“iperbolico” deriva dal greco ὑπερβολικός, “eccessivo”, in questo caso

“eccessività” di rette parallele passanti per un punto. Difatti il quinto postulato di

Euclide viene sostituito da Lobačevskij con un altro postulato, formulato in modo

differente:

“data una retta r ed un punto P disgiunto da r, esistono almeno due rette distinte

passanti per P e parallele ad r”

[ 5] lo stesso Lobačevskij adoperò le sue teorie per calcolare il valore di complessi integrali definiti,

fornendo una ulteriore prova della veridicità delle sue scoperte.

Adesso è importate fare una premessa: la nozione di parallelismo nella geometria

iperbolica è differente da quello comunemente conosciuto nella geometria euclidea,

ancorché la sua formulazione sia la stessa.

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Definizione 1: “due rette si dicono secanti se possiedono almeno un punto comune ad

entrambe”.

Definizione 2: “due rette non secanti si dicono parallele”.

Pertanto, due rette non sono parallele se la loro distanza reciproca rimane invariata

(come avviene ad esempio per i binari di una ferrovia): che esse sono parallele,

significa solo che due rette complanari non si intersecano in alcun punto.

Fig.1; rette parallele

Pertanto, seguendo la Fig.1, è lecito disegnare una porzione di piano con due rette

definite parallele ad una retta data: tale disegno, bisogna sottolineare, non è una

rappresentazione del piano di Lobačevskij, è solo una modellizzazione (peraltro

abbastanza riduttiva) di esso.

Le rette m e n sono parallele alla retta r poiché, per ipotesi, non la incontrano in alcun

punto. Sarà lecito quindi supporre che esistano due rette-limite, una inclinata verso

destra e l'altra verso sinistra, che in qualche modo segnino il “confine” fra le rette

parallele e quelle secanti: fra queste due rette si formeranno due regioni di piano nelle

quali potranno essere rappresentate infinite rette parallele alla retta data. Esse

formano una regione di semipiano chiamata l'una I e l'altra II. Se tutte le rette

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appartenenti alla regione I sono parallele a r e tutte le rette appartenenti alla regione II

sono secanti, le rette m e n si dicono “rette limite”. L'angolo α=β/2 si chiama “angolo

di parallelismo”. Nel piano euclideo esso vale sempre 90°, mentre nel piano

iperbolico esso è sempre minore di un angolo retto.

Esistono due tipi di rette parallele in geometria iperbolica.

Fig.2; rette asintoticamente parallele

Definizione 3 : due rette si dicono asintoticamente parallele se all'infinito hanno un

punto in comune (oppure, il che è equivalente, non esiste alcuna retta perpendicolare

ad entrambe; un esempio grafico è quello riportato in Fig.2).

Definizione 4 : due rette si dicono ultraparallele se esse non hanno punti all'infinito in

comune (ovvero, equivalentemente, esiste una retta perpendicolare ad entrambe e la

loro distanza è limitata inferiormente, un esempio in Fig.3)

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Fig.3; rette ultraparallele

Da queste definizioni Lobačevskij costruisce una nuova geometria allo stesso modo

di come fece Euclide negli “Elementi”: a partire dagli assiomi e dai postulati ricava i

teoremi. Di seguito alcuni risultati importanti.

Una delle caratteristiche che differenziano la geometria iperbolica da quella euclidea

è l'assenza di una teoria della similitudine: difatti la lunghezza dei segmenti dei

triangoli dipende dagli angoli che formano fra di loro e viceversa, pertanto è

impossibile costruire triangoli simili di grandezza arbitraria.

Vengono definite alcune nuove figure, sulla base di alcune definizioni già presenti

negli “Elementi”.

Iperciclo: è il luogo dei punti equidistanti da una retta e situati da una medesima parte

rispetto ad essa. L'equidistante è normale alle sue altezze ossia le tangenti alla curva

sono perpendicolari alle altezze, dunque l’equidistante è anche la curva ortogonale ad

un fascio di rette perpendicolari ad una medesima retta (Fig.4).

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Fig. 4; esempio di iperciclo. Si notino le rette parallele ortogonali all'iperciclo.

Oriciclo: è il la curva ortogonale ad un fascio di rette parallele in un determinato

verso, è anche il luogo delle secanti di uguale inclinazione alle rette del fascio (Fig.5)

Fig.5; esempio di oriciclo. Si noti il fascio improprio di rette ortogonali all'oriciclo.

In modo del tutto simile si costruisce lo spazio di Lobačevskij: due piani sono

paralleli se per ogni punto dell'uno passa una e una sola parallela all'altro. Due piani

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possono essere asintoticamente paralleli o divergenti (ultraparalleli), e similmente

all'iperciclo e all'oriciclo si costruiscono l'ipersfera e l'orisfera.

Alcuni matematici dell'Ottocento hanno elaborato dei modelli per rappresentare la

geometria iperbolica nel piano euclideo: costoro furono Beltrami, Klein e Poincaré.

Questi modelli sono tutti logicamente equivalenti, però forniscono ognuno una

diversa “interpretazione” della geometria lobačevskijana. Ogni modello è uno spazio

in cui sono definiti gli enti geometrici fondamentali e in cui valgono i 5 postulati di

Lobačevskij; in ogni modello vengono formulati in maniera differente i concetti di

punto, retta e piano.

III.1 Modello del Disco di Poincaré.

In questo modello le rette sono date da archi di circonferenza contenuti all'interno di

una circonferenza e ortogonali ad essa (ovvero nei punti di intersezione le tangenti

sono ortogonali).

Fig.6;

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Nell'esempio grafico (Fig.6), γ è il disco definito come piano iperbolico, e le linee a,

b, c, d, e, r sono esempi di rette del piano; allo stesso modo, i diametri di C sono

anch'essi delle rette (corrispondenti ad archi di circonferenza ortogonali aventi raggio

infinito).

In questo modello sono soddisfatti tutti gli assiomi di Lobačevskij: per due punti

passa una sola retta; ogni segmento può essere prolungato (ad ogni punto di una retta

ne segue uno senza necessariamente toccare il bordo di C); inoltre, per un punto

esterno ad una retta passano infinite rette parallele.

III.2 Modello di Klein.

Il modello proposto da Klein per il piano iperbolico è il seguente. Si consideri una

circonferenza nel piano euclideo: si definisca “retta iperbolica” quella porzione di

retta euclidea passante per due punti A e B all'interno della circonferenza, si indichi la

"distanza" tra due punti A e B con la formula seguente:

dove Q1 e Q2 sono i punti di intersezione della retta A B con la circonferenza (Fig.7)..

Fig.7.

La distanza fra due punti gode di queste proprietà: se essi coincidono essa è nulla, se

uno dei due tende verso la frontiera la distanza tende all'infinito. Quest'ultimo fatto è

particolarissimo: Klein elabora un modello nel quale la metrica non è costante.

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III.3 Modello di Beltrami.

Il modello di Beltrami è stato il primo modello proposto per l'interpretazione delle

geometrie non euclidee.

Esso è basato su una curva fondamentale, chiamata trattrice, definita come il luogo

dei punti del piano tali che i segmenti di tangente compresi tra essa e una retta hanno

lunghezza costante; tale retta risulta essere asintoto per la curva (Fig.8).

Fig.8

La superficie con la quale opera Beltrami è data dalla rotazione della trattrice attorno

l'asse delle ascisse: questa superficie prende il nome di pseudosfera (Fig.9).

Se viene chiamata retta la geodetica fra due punti, ovvero la linea di minore

estensione fra due punti e il suo prolungamento, si può notare che gli assiomi della

geometria iperbolica sono verificati e, in particolare, per un punto esterno a una retta

passano infinite rette parallele ad essa.

Fig.9

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IV Cenni sul rapporto tra il pensiero di Kant e geometrie non

euclidee.

La scoperta della possibilità di molte geometrie alternative a quella euclidea ha portato a riformulare completamente il concetto di verità in matematica: non vi è più una sola verità (geometria euclidea), ma più “verità” possibili, talora inconciliabili tra loro. Di conseguenza anche i postulati possono essere scelti in diversi modi, e quindi non sono più considerati veri perché evidenti: il nuovo metodo non-euclideo conferisce alla geometria il carattere di scienza pura “a priori”. In questa maniera Lobačevskij ritiene di aver scardinato la fallacia logica nella quale, secondo lui, era caduto Kant. Questi era mosso dall'esigenza di giustificare i fondamenti della meccanica newtoniana, nei quali credeva fermamente a causa della loro pressoché universale correttezza nella descrizione di ogni fenomeno meccanico, e di conseguenza l'uso della matematica che in essi veniva fatto: essa, per essere applicata alla maniera di Newton, doveva fornire dei giudizi sintetici a priori, quello che sono i teoremi (che producono conoscenza nuova riguardo al mondo pur essendo connaturati alla natura stessa dell'uomo).

Anche la geometria doveva avere le stesse caratteristiche della matematica: i teoremi della geometria euclidea erano da Kant ritenuti assolutamente veri poiché riguardano delle proprietà basilari dello spazio, una delle forme in cui si manifestano necessariamente i fenomeni; lo “spazio geometrico” e lo “spazio umano” sono intimamente legati. Come scrive Lobačevskij:

"L'idealismo kantiano implica quindi il carattere assoluto, a priori, delle

proposizioni geometriche; come ogni apriorismo ha come conseguenza l'immobilità,

la negazione della conoscenza come vero processo costruttivo: è metafisica, non

dialettica. La geometria è quella che è, e deve essere necessariamente quella che è,

come scienza di uno spazio che è condizione soggettiva della sensibilità" [7].

Kant dà così una veste di verità filosofica al pregiudizio e alla credenza della

assolutezza della geometria euclidea: secondo Lobačevskij, in termini moderni,

l'errore di Kant era stato quello di confondere la geometria fisica (euclidea), che è

soltanto una teoria dello spazio fisico, e la geometria pura, fondata su un sistema

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assiomatico-deduttivo.

Ma è lo stesso Kant, d'altra parte, ad affermare che "Una scienza di tutte queste

specie di spazio possibili [le geometrie indipendenti dal V postulato, nda] sarebbe

senz'altro la geometria più alta, che un intelletto finito potesse intraprendere" [8],

riferendosi alla possibilità di ammettere che il V postulato non sia necessario, essendo

indimostrabile. Dio, difatti, ha l'onnipotenza di creare il mondo a suo piacimento, e

può creare innumerevoli mondi aventi regole geometriche diverse che non si

contraddicono tra loro, e, secondo Kant, è possibile che Dio, metafisicamente

parlando, questi mondi li abbia creati tutti. Pertanto, nulla impedisce di pensare che lo

stesso pensiero di Kant abbia avuto un ruolo determinante nello sviluppo delle

geometrie non euclidee: egli era fermamente convinto della verità del V postulato,

poiché fondato sulla forma a priori di spazio derivante dall'esperienza empirica, ma

d'altra parte riconosce la possibilità di una realtà alternativa a quella sperimentabile.

[ 7] N.Lobačevskij : op. cit.[ 8] I.Kant: Opere 1846

V. Influenza della novità lobačevskijana su Dostoevsky.

La novità del lavoro del matematico russo ha influenzato anche l'attività di un

personaggio appartenente ad un mondo culturale totalmente estraneo al suo. Di tutto

ci si poteva aspettare, meno che ritrovare in alcune pagine supreme del romanzo “I

Fratelli Karamazov” una tanto inaspettata quanto fondamentale rivisitazione del

modus operandi di Lobačevskij.

F.M.Dostoevsky studiò, seppur contro voglia, ingegneria militare a Pietroburgo, dove

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si diplomò, anche se già proiettato verso il mondo della letteratura. Molto

probabilmente Dostoevsky apprese della novità di Lobačevskij da Sofia Vasiljievna

Kovalevskaja, amica intima della famiglia Dostoevsky che prendeva lezioni di

geometria da Weierstrass, dal quale sicuramente avrà avuto un indottrinamento sulle

geometrie non euclidee. Le conoscenze matematiche di Dostoevsky all'epoca del

rapporto con la Kobalevskaja erano sicuramente scarse, essendo trascorsi quasi

trent'anni dal diploma, ma la sua mente geniale era in grado di capire le

problematiche profonde che stavano minando le basi della scienza matematica, dalla

questione delle somme infinite alle teoria dello spazio. Il dibattito su tali questioni,

all'epoca, era molto acceso, dato che in quegli anni erano apparse in circolazione

delle traduzioni delle opere precritiche di Immanuel Kant, nelle quali già il filosofo di

Königsberg si poneva i problemi dello spazio e della matematica.

La matematica, pur attraversando un periodo di crisi profonda in quell'epoca,

rimaneva nel senso comune una disciplina assolutamente rigorosa e di sicura e certa

verità: a tal punto i nuovi strumenti dell'analisi e del calcolo infinitesimale avevano

prodotto risultati tangibili che dubitare di essa sarebbe stato oltremodo strano. Uno

scrittore così eclettico come Dostoevsky, molto interessato al problema del rapporto

tra Verità e Cristo, non poteva non guardare il metodo matematico come una possibile

risorsa per giungere alla Verità, anche se questo avrebbe voluto dire che, in caso

affermativo, quest'ultima farebbe a meno di Cristo stesso, dubbio che con ogni

probabilità si sarà spesso scontrato con la sua coscienza. Scrive infatti a Fonvizin: “...

se qualcuno mi dimostrasse, che nella Verità non c'è Cristo, e se veramente Cristo non

fosse nella verità, piuttosto io rimarrei con Cristo, che con la Verità.” [9] . L'uomo non

può cambiare per mezzo di “cause esterne”, sembra affermare Dostoevsky: piuttosto

da uno sconvolgimento della morale[10].

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Ciononostante, Dostoevsky tenta di dimostrare l'assenza, o meglio l'inutilità, di Cristo

nella Verità attraverso la rigidezza della dimostrazione matematica. Questo è il

tentativo che attua nei tre capitoli cruciali del romanzo: “I fratelli si conoscono”,

“Ribellione”, e “Il Grande Inquisitore”.

“... se Dio esiste e ha creato il mondo, allora, come noi ben sappiamo, lo ha creato

secondo la geometria euclidea, e l'intelletto umano con la facoltà di comprendere

soltanto tre dimensioni spaziali. D'altra parte ci sono stati e si trovano tutt'ora

geometri e filosofi... che dubitano del fatto... che tutto sia stato formato secondo la

geometria euclidea, osano addirittura farneticare che due linee parallele … può darsi

che si incontrino, da qualche parte nell'infinito...

“Sono assolutamente d'accordo sul fatto che non posseggo alcuna possibilità di risolvere tali

questioni, il mio intelletto è euclideo, terrestre, e quindi come possiamo risolvere quello che non c'è

nel mondo? E ti consiglio di non pensarci mai, amico Alëša, e men che mai penare a Dio: c'è o non

c'è? Queste domande non possono essere in alcun modo di pertinenza dell'intelletto, formato con la

percezione di sole tre dimensioni. E così, accetto Dio.... e la Sua saggezza e il suo fine …. Ma

immaginati che come risultato finale io non accetti il mondo di Dio, anche se capisco che esso

esiste...il Suo mondo, il mondo creato da Lui non lo accetto e non posso accettare di riconoscerlo.

Mi spiego: sono convinto come un bambino che tutti i dolori passeranno e saranno ripagati... sia

[ 9] “...если б кто мне доказал, что Христос вне истины, и действительно было бы, что истина вне Христа, то мне лучше хотелось бы оставаться со Христом, нежели с истиной” Достоевский Ф. М. Полн. собр. соч. в 30-ти томах. , кн. 1, стр. 176. Курсив Достоевского [= F.M.Dostoevsky Opere complete in 30 volumi, tomo 1, pag. 176. Corsivo di Dostoevsky.][ 10] “Но человек изменится не отвнешних причин, а не иначе как от перемены нравственной” ibid.

171-172

pure, sia pure che tutto ciò avvenga, ma non lo accetto e non voglio accettarlo”[11]

Da questa citazione si evince il motivo matematico nei tre capitoli. Qui viene

formulato un preciso sistema assiomatico e si afferma che oggetto d'indagine sarà il

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mondo empirico così come si presenta a noi: Dio non interessa ad Ivan Karamazov;

se il suo sistema sarà coerente, allora vorrà dire che Dio è inutile in quel sistema, e

dato che Dio non si manifesta tangibilmente nel mondo, quel sistema sarà vero.

Ivan fa il Lobačevskij della situazione, smascherando il “sistema euclideo”: pur non

operando nel campo della geometria, egli menziona la geometria euclidea e gli

“strani” tentativi di chi si inventa una nuova geometria. Il mondo così come lo

conosciamo, così come Dio lo ha creato, è euclideo, e l'uomo può concepirlo

solamente in modo euclideo così come Dio lo ha fatto, ovvero, in campo morale, per

l'uomo c'è un “senso della vita” che struttura tutta l'esistenza: questo senso della vita

è ridotto da Ivan a tre assiomi fondamentali:

1- i bambini sono innocenti, non avendo “provato il pomo”

2- nel mondo esiste giustizia, ovvero un innocente non può soffrire al posto di un

altro

3- la giustizia deve trionfare nel mondo, hic et nunc, non in eterno (dal momento che,

[ 11] «…если Бог есть и если Он действительно создал землю, то, как нам совершенно

известно, создал Он ее по эвклидовой геометрии, а ум человеческий с понятием лишь о трех измерениях

пространства. Между тем находились и находятся даже и теперь геометры и философы, ...которые

сомневаются в том, чтобы ... всё бытие было создано лишь по эвклидовой геометрии, осмеливаются

даже мечтать, что две параллельные линии, ...может быть, и сошлись бы где-нибудь в бесконечности. ...

Я смиренно сознаюсь, что у меня нет никаких способностей разрешать такие вопросы, у меня ум эвклидовский, земной, а потому где нам решать о том, что не от мира сего. Да и тебе советую об этом никогда не думать, друг Алеша, а пуще всего насчет Бога: есть ли Он или нет? Всё это вопросы совершенно несвойственные уму, созданному с понятием лишь о трех измерениях. Итак, принимаю Бога, ... и премудрость Его, и цель Его, ... Ну так представь же себе, что в окончательном результате я мира этого Божьего — не принимаю и хоть и знаю, что он существует, ... Им созданного, мира-то Божьего не принимаю и не могу согласиться принять. Оговорюсь: я убежден, как младенец, что страдания заживут и сгладятся, ... пусть, пусть это всё будет и явится, но я-то этого не принимаю и не хочу принять!» т. 9, стр. 264 -265 [= tomo 9, pagg 264 – 265. Traduzione propria.], passim.

a rigore, l'uomo non può conoscere l'eternità, in accordo con Kant).

Matematicamente parlando, questo “mondo assiomatico” sarà coerente, ovvero avrà

possibilità di esistere, se in nessun caso questi assiomi vengono contraddetti

dall'esperienza (in termini matematici, dai teoremi).

Cosa ha fatto Lobačevskij? E' andato a pescare, in tutto il mare magnum della

geometria euclidea, un caso particolare, il caso del V postulato, uno solo: di questo ha

dimostrato l'indimostrabilità, e l'ha sostituito con un altro, autentico così come lo era

quello di Euclide. Ivan opera nella stessa maniera: trova una contraddizione nel

“mondo assiomatico”, e, con mentalità non-euclidea (poiché un euclideo puro non

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può riflettere sulla “euclidicità” del mondo, poiché questo è così e basta) scopre che

uno degli assiomi del mondo stesso viene contraddetto.

“Quand'ecco che un ragazzo della servitù, un ragazzetto di otto anni al massimo, tira, così giocando,

un sasso, e rovina la zampa al levriero preferito del generale. -Come mai il cane mio preferito s'è

azzoppato?- Gli vanno a riportare che ecco, proprio quel ragazzo là gli ha tirato un sasso e gli ha

rovinata la zampa. -Ah, sei stato tu?- lo squadrò il generale. -Pigliatelo!- ... Al mattino, appena

giorno, esce fuori il generale, parato di tutto punto per la caccia, e monta a cavallo, circondato dai

parassiti, dai cani, dai canettieri, dai cacciatori, tutti a cavallo. Intorno era stata radunata, per

assistere all'esempio, la servitù, e innanzi a tutti la madre del ragazzo colpevole. ... -Cacciatelo

innanzi! - comanda il generale. - Corri, corri! - gli gridano i canettieri: e il ragazzo si mette a

correre... -Atù, acchiappalo! - grida il generale, e gli lancia dietro tutto lo squadrone dei cani da

presa. Lo fece raggiungere sotto gli occhi della madre, e i cani sbranarono il bambino a pezzi... Pare

che il generale fosse interdetto”.[12]

I bambini soffrono. Per male loro? Ma che male hanno potuto fare, essi che sono

assolutamente innocenti? Per male dei genitori allora? Ma dove sarebbe allora la

giustizia in questo mondo, se un innocente ha da soffrire per male altrui? Ecco che c'è

[ 12] F.M.Dostoevsky: I Fratelli Karamazov, Einaudi, 2005, 325, traduzione di Agostino Villa, passim.

un'incongruenza, una mostruosità nel sistema: il mondo reale, ovvero l'insieme dei

teoremi, contiene la negazione di un assioma, e questo, in linguaggio matematico,

comporta la non coerenza del sistema; quindi, almeno uno degli assiomi va

riformulato, dal momento che questi si contraddicono per mezzo di quel teorema,

ovvero la sofferenza dei bambini.

Ivan si confronta con Alëša, suo fratello, spiritualmente maturo ancorché giovane,

sottoponendogli lo strazio della madre del ragazzo sbranato: Alëša afferma che il

generale vada fucilato senza ombra di dubbio, anche se nessuna punizione può

bastare per compensare la sua colpa, e così facendo cade egli stesso in

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contraddizione, secondo il “pensiero matematico”. Ivan riesce a smascherare lo stesso

Alëša: con la “lacrima del bambino” Ivan mostra che non possono esistere assiomi

morali immanenti.

A questo punto Ivan si accinge a formulare un'altra sequela di assiomi, da porre a

fondamento del mondo ideale, e stavolta non si basa sulla giustizia bensì sulla libertà.

Il poema del “Grande Inquisitore” altro non è, da questo punto di vista, che

l'esposizione dei principî sui quali si potrebbe fondare un mondo al proprio interno

coerente. Questo sistema è basato su una doppia morale, una delle masse, l'altra per le

élitè dirigenti: questa forma è indispensabile, poiché altrimenti il mondo si

sfalderebbe. Il Grande Inquisitore si confronta con Cristo stesso, ovvero la libertà

assoluta, trascendentale, e gli rinfaccia l'inutilità della sua libertà in terra: l'Inquisitore

e i suoi colleghi tengono in mano gli uomini per mezzo del pane, dei miracoli, dei

misteri e dell'autorità[13], tutti strumenti che Cristo ha rifiutato, ma che al contempo

sono indispensabili per mantenere e “salvare” le persone più deboli. Chi debole non è

(i “centomila” forti), si trova a vivere male, dal momento che non riesce e non può

adeguarsi alla morale imposta dall'alto, ma d'altra parte può preoccuparsi di salvare

gli altri mantenendoli assoggettati (ovvero difendendo gli assiomi). Necessaria, per la

sopravvivenza di questo sistema, la fede in Dio da parte delle masse: l'Inquisitore può

[ 13] ibid. 340

non credervi, ed egli stesso afferma di non credervi più, ma per il bene dei più deboli

egli deve offrire loro un “surrogato del pane celeste”, che li faccia sperare e li

mantenga buoni. In questo senso per loro vale la morale del “tutto è possibile”, in

quanto possono costruire loro stessi la loro moralità in virtù della loro forza.

Dopo l'esposizione della teoria di Ivan, Dostoevsky, in un certo senso, opera come il

Lobačevskij della situazione: Ivan ha smentito Alesa, e Dostoevsky smentice Ivan;

ancora una volta è un motivo prettamente “geometrico” a muovere la vicenda. Un

personaggio del romanzo, Smerdjakov, debole e misero, rimane affascinato dalla

teoria del “tutto è possibile” di Ivan e dalla sua logica ferrea, alla quale si aggrappa

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disperatamente. Questo lo porta ad uccidere Fëdor Karamazov, e costui è una delle

prime vittime di questa nuova morale propugnata da Ivan, il quale, d'altra parte, fatica

a rendersi conto della sua responsabilità morale in quest'omicidio. Il sistema del

Grande Inquisitore fin qui non barcolla, ma all'improvviso avvertiamo un elemento

estraneo al sistema: Smerdjakov, e più tardi anche Ivan, sentono le tenaglie della

propria coscienza, che, ironia del caso (oppure di Dostoevsky?) è un elemento

perfettamente immanente e contraddittorio col sistema. Punto a capo: anche il sistema

di Ivan traballa, stavolta in modo diverso: non si trova un teorema che contraddica gli

assiomi, ma ci si ritrova a non poter andare più avanti, la teoria, in un certo senso, si è

esaurita, o meglio, è incompleta. Smerdjakov, essendo debole, non regge al rimorso e

si suicida; Ivan, essendo più forte, cade in preda ad una commozione celebrale.

Questo breve cenno sul “metodo geometrico” di Dostoevsky mostra come lo scrittore

russo provi, in fin dei conti, una certa diffidenza nei confronti del raziocinio

esclusivamente “geometrico”: d'altra parte, egli descrive la parabola di Ivan

Karamazov in maniera tale che il lettore può intuire che alla fine anche Ivan riuscirà a

raggiungere la vera fede. La ragione non è rigettata in toto, ma il suo campo d'azione

è fortemente ridimensionato, poiché Dostoevsky dimostra che essa non può operare

in ogni situazione della vita, pena la perdizione in Terra (difatti il rimorso di

coscienza di Ivan porta costui addirittura ad ammalarsi gravemente). Nucleo centrale

del romanzo è l'esistenza di Dio: Dostoevsky mostra in modo geniale come la ragione

non può raggiungere Dio, in nessun modo, poiché essa è incompleta in sé, ha bisogno

dell'irrazionale, dell' “anima dei Karamazov” per permettere all'uomo di porsi

domande e darsi delle risposte durante l'esistenza. Questo è l'unico aspetto, più

attinente al tema della presente trattazione, che ci si limita a sottolineare del romanzo,

che,oltretutto, è il punto di arrivo della riflessione di Dostoevsky sul Bene e sul Male,

raggiunto dopo la delusione nel Bello ideale ( ne “L'idiota”) e l'affacciarsi tremendo

del Male in tutta la sua forza (ne “I Demoni”), che si compie con il grande capolavoro

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de “I Fratelli Karamazov”, un'ampia opera d'arte incentrata sulla libertà dell'uomo.

Fëdor Michajlovič Dostoevsky

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Bibliografia:

Франц Герман: К вопросу о работе "Восприятие Достоевским неевклидовой

геометрии". [= Franz Herman: Sulla questione dell'opera “La percezione di

Dostoevsky della geometria non-euclidea] in Вопросы литературы [= Questioni di

letteratura], settembre-ottobre, 1997.

Губайловский Владимир Алексеевич: Геометрия Достоевского в Роман Ф.

М. Достоевского „Братья Карамазовы”: современное состояние изучения [=

Gubailovskij Vladimir Alekseevic: La geometria di Dostoevsky in “I Fratelli

Karamazov” romanzo di F.M.Dostoevsky: riepilogo degli studi attuali]

Enciclopedia Treccani

Imre Toth: Aristotele e i fondamenti assiomatici della geometria.

Андрей Попов: Геометрия Лобачевского и математическая физика

Физический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова[= Andrei Popov: La

geometria di Lobačevskij e la fisica-matematica, ed Facoltà di Fisica dell'Università

statale di Mosca “M.V. Lomonosov”]

Opere:

Euclide: Elementi di Geometria

Lobačevskij: Principi di Geometria

F.M.Dostoevsky: “I Fratelli Karamazov”