Loaiza Rivas Hidraulica General

8/12/2019 Loaiza Rivas Hidraulica General

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MECANICA DE FLUIDOS I


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INDICE

INTRODUCCION Y PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 5

Los Fluidos. 5

Hidromecnica. 6Densidad. 7

Densidad Relativa. 9

Viscosidad: Ley de la Viscosidad de Newton. !

Viscosidad "inemtica. 7

#$dulo de %lasticidad Volum&trica '

(resi$n !#edida de la )resi$n *+

ESTATICA DE LOS FLUIDOS 42

Fuer,a -o re -u)er/icie (lana. +9

Fuer,a -o re -u)er/icie "urva. 5+

%l (rinci)io de 0r1u2medes. 5'

CINEMATICA DE LOS FLUIDOS 63

%l "am)o de Velocidades. 6*

%l "am)o de las 0celeraciones. 65

%l "am)o Rotacional. 7

"lasi/icaci$n de los Flu3os. 7+

Descri)ci$n del #ovimiento. 79

L2nea de "orriente. '4

"am)o (otencial solenoidal y 0rm$nico. '+

#ovimiento (lano de los Fluidos. '7

%cuaciones de "auc y Riemann. 97

Red de "orriente. 9'

8asto o "audal %cuaci$n de "ontinuidad. 49

MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 2


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DINMICA DE LOS FLUIDOS

(rinci)io de la "antidad de #ovimiento. 9

Dinmica de los Fluidos (er/ectos. !'

%cuaci$n de ernoulli. *

Dinmica de los Fluidos Reales. *'

"oe/iciente de "oriolis. +4

"oe/iciente de oussines1. +*

%cuaci$n de la %ner;2a. om as y


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INTRODUCCIN

%n la /ormaci$n del =n;eniero adems de las matemticas instrumento im)rescindi le

de tra a3o y de la F2sica ase de la in;enier2a an de intervenir las si;uientes disci)linas

/undamentales: #ecnica de los cuer)os r2;idos mecnica de los cuer)os de/orma les oresistencia de materiales termodinmica transmisi$n de calor y mecnica de /luidos.

La e>)losi$n de la in/ormaci$n de oy en d2a en el mundo de la ciencia y de t&cnica

ace necesario 1ue toda a1uella in/ormaci$n 1ue se sume a las e>istentes &stas de en reunir

ciertos re1uisitos de unidad y s2ntesis 1ue en el )resente se a tratado de cum)lir? y van

)rinci)almente orientados )ara mis alumnos de la %scuela (ro/esional de =n;enier2a "ivil de la

Facultad de =n;enier2a "ivil de -istemas y de 0r1uitectura de la @niversidad Nacional (edroRui, 8allo de la ciudad de Lam aye1ue.

La )resente se)arata contiene )arte del curso de #ecnica de los Fluidos = 1ue dicto

en mi @niversidad )roducto de mi e>)eriencia docente en el dictado del mismo y 1ue incluye

as)ectos como: )ro)iedades esttica cinemtica y dinmica de de los /luidos.

(or u icarnos estrat&;icamente en medio de ;randes )royectos de naturale,a

idrulica tales como el (royecto Almos y el


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CONTENIDO

Lo F!"#$o

D%'#(#)' $% F!"#$o *-on su stancias Ccual1uier materia 1ue tiene la )ro)iedad Cca)acidad

de /luir? es decir de desli,arse a lo lar;o de un conducto a3ustndose o ada)tndose a su

/orma.

)ansi les y no )osee una

su)er/icie li re.D#&%1%'(#+ %' 1% !, "#$o .+ % *

L UIDO GAS

POR SU VOL7MEN . Volumen )ro)io

. No )oseen volumen)ro)io? susce)ti le devariaci$n acomodndoseal reci)iente 1ue loscontiene

POR SUCOMPRESI8ILIDAD

!. -on )rcticamenteincom)resi le. l21uido)er/ecto Cincom)resi le

!. -on com)resi les 8as)er/ecto Cin/initamentecom)resi les

D%'#(#)' M%(9'#(+ $% F!"#$o *%s la )arte de la /2sica 1ue se ocu)a de estudiar el e1uili rio

y movimiento de los /luidos as2 como de las a)licaciones y mecanismos de in;enier2a.

La mecnica de los /luidos se su divide en dos cam)os )rinci)ales:

- L+ % 9 #(+ $% !o &!"#$o o :#$1o 9 #(+;1ue se ocu)a de estudiar los /luidos en re)oso

- L+ $#'9/#(+ $% !o &!"#$o ; 1ue se ocu)a de estudiar los /luidos en movimiento.MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 5


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L+ $%! %'!+(% /o!%("!+1 .

S)!#$o , #(o; es ca)a, de resistir una acci$n de/ormante )ermanente mientras 1ue el /luido

es inca)a, de ello.

S)!#$o %1&%( oCin/inita ri;ide, del enlace molecular y &!"#$o %1&%( o Cin/inita li ertad del

enlace molecular .

MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E

. -$lido -$lido : #asa? volumen? /orma ;eom&trica!. L21uido Fluidos : #asa? volumen*. 8as #asa.

6


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No e>istiendo en la naturale,a ma;nitudes in/initas es decir a /alta de la in/inita ri;ide, o de la

in/inita li ertad del enlace molecular el s$lido )er/ecto y el /luido )er/ecto son entes de ra,$n

)uras a stracciones.

?@- D%' #$+$ B * %s la masa contenido en la unidad de volumen.

#asa: %s la sustancias de la materia.

#: %s el s2m olo de la ma;nitud de la masa.

: %s el s2m olo del volumen de la masa #

E("+(#)' $% $#/%' #o'% *

-istema a soluto : [ ] 3= ML dimensiones

-istema ;ravitacional : [ ] 42 = L FT dimensiones.

U'#$+$% *

#. .- : [ ] 3mkgm=

-istema 0 soluto

".8.- : [ ] 3cm grm=

#. .- : [ ] 42

mS kgf =

-istema 8ravitacional

".8.- : [ ]4

2

cmS grf =

-istema =nternacional [ ] 3mkgm=

Donde: G;m ilo;ramo masa.MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 7

= M


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G;/ ilo;ramo /uer,a.

;rm ;ramo masa.

;r/ ;ramo /uer,a

2@- P% o E %(,(o * %s el )eso de la unidad de volumen.

= W

w m; ; = = =

; =

E("+(#)' $% $#/%' #o'% *

-istema a soluto : [ ] 22 = T ML dimensiones

-istema ;ravitacional : [ ] 3= FL dimensiones

U'#$+$% *

#. .- : [ ] 22 smkgm=

-istema 0 soluto

".8.- : [ ] 22 scm grm=

#. .- : [ ] 3mkgf = o [ ] 3m

Newton= -istema 8ravitacional

".8.- : [ ] 3cm grf = o [ ] 3cm

Dinas=

-istema =nternacional [ ] sm

kgm2=

(ara relacionar las unidades de medida entre los sistemas a solutos y ;ravitacionales se usa

la se;unda ley de Newton del movimiento:MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 8


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a M F .=-=-mN-

=La @nidad derivada )ara la /uer,a es elnewton CN de/inido como la /uer,a 1uea)licada so re G;m le )roduce unaaceleraci$n de mJs ! . G;m m y s? son@nidades /undamentales.

!

mG;/ G;m> 9.'s=

!

G;m>mG;/ 9.' 9.' Ns

= =!G;/ >sG;m

9.' m=

La unidad derivada de masa es elKG;m 1ue ad1uiere la aceleraci$n;ravitacional cuando se le a)licauna /uer,a de G;/. ;/ m y s? sonunidades /undamentales.

3@-D%' #$+$ R%!+ # +@- B1 * es otra /orma de cuanti/icar la densidad de un li1uido re/iri&ndola a

la corres)ondencia al a;ua. %s decir es la relaci$n entre la densidad del /luido y la densidad del

a;ua a una )resi$n y tem)eratura es)eci/ica. C+M" y atm$s/era .

!

/luidor

H 4

= "arece de dimensiones.

4@-P% o E %(,(o 1%!+ # o 1 ; o G1+ %$+$ E %(,(+@-* 0nlo;amente a la densidad

relativa? el (eso es)ec2/ico relativo es la relaci$n entre el )eso es)ec2/ico del /luido y el )eso

es)ec2/ico del a;ua a una )resi$n y tem)eratura es)ec2/ica.

O H

FLUIDOr E G

2

..

== "arece de dimensiones



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O H

FLUIDO

O H

FLUIDOr r

22

===

5@-Vo!"/%' E %(#(o )( s * %l volumen es)ec2/ico se de/ine de distinta manera en el

sistema a soluto y en el sistema ;ravitacional.

5@?@- S# %/+ A o!" o S# %/+ I' %1'+(#o'+!* %l volumen es)ec2/ico es el volumen

ocu)ado )or la unidad de masa Cun Gilo;ramo masa de la sustancia.

M s=

11

== M s

1= s

%l volumen es)ec2/ico es el reci)roco de la densidad.

E("+(#)' $% $#/%' #o'% *

[ ] 13 = M L s

U'#$+$% *

S# %/+ + o!" o M S S# %/+ I' %1'+(#o'+!@

kgmm

s

31=

%3m. %l"" s del a;ua destilada a la )resi$n atmos/&rica y +M" es

a)ro>imadamente i;ual akgm

m 3310 . %s interesante o servar 1ue la densidad del aire a la

)resi$n atmos/&rica y +M" es a)ro>imadamente .* 3mkgm y su

kgm

m s

3.11 3= .

%s decir G;m de aire a la )resi$n atmos/&rica ocu)a a)ro>imadamente '44 veces mas

es)acio 1ue K G;.m de a;ua.MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 10


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5@2@- S# %/+ T=('#(o o G1+ # +(#o'+!* %l volumen es)ec2/ico es el volumen ocu)ado )or la

unidad de )eso Cun Gilo;ramo )eso de la sustancia.

W s=

11 ==

W s

1= s

%l volumen es)ec2/ico es el rec2)roco del )eso es)ec2/ico.

%l volumen es)ec2/ico como todas las ma;nitudes es)ec2/icas se an de re/erir en el sistemaa soluto C)resados enunidades di/erentes C

kgmm 3 en el sistema a soluto y

kgpm 3 en el sistema ;ravitacional .

0simismo el valor num&rico de K en el sistema


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!. La viscosidad de un /luido determina la cantidad de resistencia o)uestas a las /uer,as

cortantes. La viscosidad se de e )rimordialmente a las interacciones Cacci$n reci)roca

1ue se e3ercen entre las mol&culas del /luido.

*.


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(or trin;ulos seme3antes:!y!"

y

!"

y!y = =

0

0

00

C!

)1()2( !y!"

A y

A F =

0

0

!y!"

A F

=

!y!"

= C=

Donde:

viscosidad a soluta o dinmica

-e;En Newton el % &"%1>o +'.%'(#+! 1ue se )roduce entre dos lminas se)aradas una

distancia Kdy 1ue se des)la,an con velocidades Cv y Cv S dv es!y!"

0 ora:

0nalicemos el movimiento de un /lu3o so re una /rontera s$lida /i3a donde las )art2culas se

mueven en l2neas rectas )aralelas C/luido viscoso: laminar como consecuencia anterior

su)ondremos 1ue el /lu3o se )roducen en /orma de (+ + o !+/#'+ de es)esor di/erencial

cuyas velocidades var2an con la distancia KQ normal a dic a /rontera.



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Recordemos la de/inici$n C* de la Viscosidad: KL+ V# (o #$+$ % "'+ /%$#$+ $% "

1% # %'(#+ + !+ 1+ #$%> $% $%&o1/+(#)'; ("+'$o % o/% %' + "' % &"%1>o +'.%'(#+!

"% %H !#(+ " &!"#$%> @

(ara las mismas i)$tesis anteriores es decir tratndose de un /lu3o ien ordenado en 1ue las

)art2culas del /luido se mueven en l2neas rectas y )aralelas C/lu3o )aralelo :&!"Jo !+/#'+1 se

trata )ues de un /lu3o de ca)as o lminas.

%n tales condiciones Newton en el aOo 6'6 demostr$:

t

C %l es/uer,o cortante es )ro)orcional a la ra)ide, de de/ormaci$n.

0dems sa emos 1ue: y s = C! ?

Donde: # s y T en radianes y )ara n;ulos )e1ueOos: # s = C*

)2()3( : y # = ? Lue;o y #= C+

)1()4( : > v

yt y =

vy

y"

=

!y!"

=

De acuerdo con esta ecuaci$n el es/uer,o tan;encial en cual1uier )unto de un /luido )uede

$% + +1%(%1en los si;uientes casos:

a -i se des)recia la acci$n de la viscosidad C/luido no viscoso



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-i la distri uci$n de velocidades es uni/orme Cv cte y )or tanto dvJdy 4? sucede cuando el

/lu3o es tur ulento y el e/ecto viscoso es des)recia le.

c %n un l21uido en re)oso donde la velocidad en cada )unto Cy como consecuencia dvJdy

vale cero.

6@2@- E("+(#)' $% D#/%' #o'% *

-istema 0 soluto : [ ] 11 = T ML dimensiones.

-istema 8ravitacional : [ ] T FL 2= dimensiones.

6@3@- U'#$+$% *

#. .-: [ ] sm $gm

= -istema 0 soluto

".8.-: [ ] = = grm %poisecm s

#. .-: [ ] 21

m s $gf =


".8.-: [ ] 21

cm

s grf =

-istema =nternacional. [ ] sm

$gm=

Co'(!" #o'% A$#(#o'+!% : La viscosidad de un l21uido ocurre )or la co esi$n de

mol&culas. %sta co esi$n y )or tanto la viscosidad disminuyen cuando la tem)eratura aumenta.

La viscosidad de un ;as es el resultado del movimiento aleatorio de las mol&culas e>iste )oca

co esi$n entre ellas. -in em ar;o las mol&culas interactEan c ocando unas con otras durantes

sus movimientos r)idos. La )ro)iedad de la viscosidad resulta de estos c o1ues. %ste

movimiento aleatorio aumenta con la tem)eratura de manera 1ue la viscosidad aumenta con la

tem)eratura.

Nuevamente se nota 1ue la )resi$n tiene solo un e/ecto )e1ueOo so re la viscosidad y )or lo

;eneral &sta no se toma en cuenta.



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F)1/"!+ E/ ,1#(+ +1+ C+!("!+1 !+ V# (o #$+$ A o!" + $%! A."+ $%! A#1%@

L+ # (o #$+$ +1+ %! +."+@- %st dada )or la /$rmula de (oiseuille C 799 '69

investi;ador Franc&s Cm&dico .

[ ] 20002.00337.010178.0

t t ++= -istema 0 soluto

Donde: [ ] poise= y & t o=

[ ] 20002.00337.010001814.0

t t ++= -istema 8ravitacional

Donde:

[ ]2m

s $gf = y & t o=

%3em)lo: si t !4 o".

poise poises 01.0010145.0 = =

centipoise1=

..1 pc=

200010348.0 m s $gf =

- L+ # (o #$+$ +1+ %! +#1%@-

)00000034.00275.01(10715.1 24 t t # +=

poise= y & t o=

%stas /$rmulas /uncionan )ara cual1uier valor de la tem)eratura.

K@- V# (o #$+$ C#'%/9 #(+@-

=



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(ara los clculos )rcticos es ms conveniente relacionar la viscosidad dinmica del /luido y su

densidad.

E("+(#)' $% D#/%' #o'% *

12 = T L Dimensiones.

-e a)recia 1ue la venta3a de usar esta nueva )ro)iedad es evidente ya 1ue sus dimensiones

son UL!< esto es inde)endiente de los conce)tos de masa y /uer,a.

U'#$+$% :

-istema #. .-: s

m 2=

-istema ".8.-: -toGes

cm ! ==

%1uivalente Etil: .='m

%Stoke ( (((% s

%n la /i;. se muestra los valores de K y K )ara el caso del a;ua y el aire en /unci$n de la

tem)eratura y la )resi$n atmos/&rica al nivel del mar.



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@- # )$"!o $% E!+ #(#$+$ Vo!"/= 1#(+ E : %>)resa la com)resi ilidad de un /luido es la

relaci$n entre el incremento de )resi$n CW( y la disminuci$n unitaria de volumen C1

.

%s una medida del cam io de volumen Cy )or lo tanto de su densidad cuando se somete a

diversas )resiones.



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1

= p E

12 p p >

%n ;eneral cuando un volumen de un l21uido de densidad K y )resi$n K) se somete a

com)resi$n )or e/ecto de una /uer,a KF como se muestra en la Fi;. la masa total de /luido

),( = m )ermanecer constante es decir 1ue: ( ) ( )= = + =! m ! ! ! (

De donde resulta: =! !

0l multi)licar am as muestras > d) Cdi/erencial de )resi$n se o tiene:

!p!

!p!

=

!

!p!

!p =

!

!p! !p

E +==

%l si;no ne;ativo de la ecuaci$n indica una disminuci$n en el volumen al aumentar la )resi$n

K)

26

)( 10*1.2 cm $gf

E A&E)OS =

26

)( 10*0105.0. cm $gf

E AI)E a =



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24

2 10*1.2210002 cm $gf

cm $gf

E O H ==

28

28 10*1.210*1.2

2 cm $gf

cm $gf

E O H ==

- %l aire es !4444 veces ms com)resi le 1ue el a;ua.

- %l a;ua es 44 veces ms com)resi le 1ue el acero.

E("+(#)' $% $#/%' #o'% *

-istema 0 soluto: [ ] 21 = T ML E Dimensiones

-istema 0 soluto: [ ] 2= FL E Dimensiones

U'#$+$% *

#. .-: [ ] 2 sm $gm

E =-istema 8ravitacional

".8.-: [ ] 2 scm grm

E =

#. .-: [ ] 2m $gf E =


".8.-: [ ] 2cm grf

E =



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@-P1% #)'*

= !* p!A

A

F p N =

La )resi$n no es una /uer,a sino el cociente de una /uer,a so re una su)er/icie.

Donde:

N F %s una /uer,a normal a la su)er/icie K0

* (resi$n media so re la su)er/icie K0

P1o #%$+$% $% !+ P1% #)'P1#/%1+ P1o #%$+$*La )resi$n en un )unto de un /luido en 1% o o es i;ual en todas

direcciones C)rinci)ios de (ascal . %s decir una diminuta )laca Cin/initesimal sumer;ida en un

/luido e>)erimentar2a el mismo em)u3e de )arte del /luido sea cual /uere la orientaci$n de la

)laca.

D%/o 1+(#)'*

a "onsid&rese un )e1ueOo )risma trian;ular de l21uido en re)oso a3o la acci$n del /luido

1ue lo rodea.

Los valores medios de la )resi$n o )resiones medias so re las tres su)er/icies son ) ) !

y ) *.

%n la direcci$n KB las /uer,as son i;uales y o)uestas y se anulan entre ellas.

-umando las /uer,as en la direcci$n K> e Ky se o tiene:



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= 0 F# 032 = sen * *

0)()( 32 = sen!s!+ p!y!+ p

= 0 Fy 0cos31 = !w * *

*) Cd>d,D ) Cdsd,Dcos C d>dyd,D 4! =

coscos !s!#!s

!# = =

%1uivalencias

!ssen!y!s

!y sen = =

Las ecuaciones anteriores se reducen a:

0)()( 32 = !y!+ p!y!+ p $ 32 p p =

*) ) C dy 4! =

"uando el )risma tiende a (o' 1+%1 % o 1% "' "' o; Kdy tiende a cero en el l2mite y la

)resi$n media se vuelve uni/orme en la su)er/icie 1ue tiende a cero y 1ueda de/inida la )resi$n

en un )unto. (or tanto al )oner dy 4 en la ecuaci$n C! se o tiene 31 p p = y de a1u2:

321 p p p == .

P1% #)' $% "' &!"#$o* -e transmite con i;ual intensidad en todas las direcciones y actEa

normalmente a cual1uier su)er/icie )lana en el mismo )lano ori,ontal.



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D%/o 1+(#)'* Ksi se a)lica una )resi$n a un /luido incom)resi le Cun li1uido la )resi$n se

transmite sin disminuci$n a trav&s de todo el /luido .

%sto se demuestra utili,ando la otella de (ascal? 1ue sicamente consiste en una otella de

/orma es/&rica a la cual se le a a)licado varios a;u3eros.


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D%/o 1+(#)'

(or el )rinci)io de (ascal

21 p p =

2

2

1

1

A F

A F =

)(1

212 A

A F F =

F)1/"!+ $% D% !+>+/#%' o

Demostraci$n:

o,-men== 21

)(2

1122211 A

Aeee Ae A = =

D#&%1%'(#+ %' 1% F"%1>+ P1% #)'@-Los s$lidos transmiten s$lo /uer,a los l21uidos transmiten

la )resi$n.

S%."'$+ P1o #%$+$@-

KLa )resi$n en todos los )untos situados en un mismo )lano ori,ontal en el seno de un /luido

en re)oso es la misma .

D%/o 1+(#)'

a "onsideremos un cilindro de /luido ori,ontal de lon;itud Kl y de secci$n circular in/initesimal

Kd0

Lo valores medios de las )resiones o )resiones medias so re las su)er/icies C! son K) y

K)! .

De la %cuaci$n de e1uili rio se;En el e3e del cilindro se deduce.MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 24


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02211 = !A p!A p ? 21 !A!A =

21 p p =

Ni la ;ravedad ni las )resiones so re la su)er/icie lateral del cilindro tienen com)onente al;uno

en la direcci$n del e3e del cilindro. "omo la orientaci$n del e3e del cilindro es ar itraria 1uedademostrada la se;unda )ro)iedad.

T%1(%1+ P1o #%$+$@-

K%n un /luido en re)oso la /uer,a de contacto 1ue e3erce en el interior de un /luido una )arte del

/luido so re la otra conti;ua al mismo tiene la direcci$n normal a la su)er/icie de contacto.

"omo esta /uer,a normal es la )resi$n en el interior de un /luido en re)oso no e>iste mas

/uer,a 1ue la de ida a la )resi$n .

D%/o 1+(#)'*

a) "onsideremos un volumen cual1uiera de /luido como en la /i;ura.

b) Dividamos el volumen en dos )artes C0 y C )or una su)er/icie KT cuales1uiera.

A'9!# # * -i la /uer,a 1ue e3erce K so re K0 tuviera la direcci$n se descom)ondr2a en dos

/uer,as ! y *.

%l /luido no )uede so)ortar la /uer,a tan;encial * sin )onerse en movimiento? )ero )or i)$tesis

el /luido est en re)oso lue;o la /uer,a no )uede tener la direcci$n y tiene 1ue tener la

direcci$n ! o sea la direcci$n de la normal.

%ste mismo ar;umento es valedero )ara la /uer,a 1ue el /luido en re)oso e3erce so re el

contorno s$lido en el cual est contenido.



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C"+1 + P1o #%$+$

La /uer,a de la )resi$n en un /luido en re)oso se diri;e siem)re acia el interior del /luido es

decir es una com)resi$n 3ams una tracci$n.


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#. .-: [ ] 2mkgf

p =8R0V=)resa con /recuencia la )resi$n en altura e1uivalente de columna de unl21uido determinado: )or e3em)lo en metros de columna de a;ua en mil2metros de columna

de mercurio etc. Dimensionalmente la )resi$n no es una lon;itud sino una /uer,a )artido )or

una su)er/icie. (or eso en el -istema =nternacional C-= las alturas como "'#$+$% $%

1% #)' an sido a olidas aun1ue no ay di/icultad en se;uir utili,ndose (o/o +! "1+

% "# +!%' % . "omo e>ce)ci$n )uede se;uirse utili,ando como unidad de )resi$n el mm. de

columna de mercurio 1ue reci e el nom re de K


28/157

26.1)( = g,icerinar ? Lue;o 31000*26.1 mkgm

g,icerina =

Lue;o 31260 mkgm

g,icerina = C-:=

0)licando CX * !G; m) !64 9.' 4.*mm s=

2*2.3708

seg m

kgm p =

!

G;m(am se;=

*a p 2.3708=

Co' &1%("%'(#+ % 1% %' + %! (+ o +! + +1 $% "'+ (o!"/'+ $%! !, "#$o H + o 1+ $% "'

!, "#$o $# #' o @

0)licando la ecuaci$n CX se tiene:

y y # # g. g. p ==

)( = #

y

# y ..

-i el l21uido Ky es a;ua se tiene: #

O H

#O H ..

22

= $ # #r O H .. =2

"aso )articular )ara trans/ormar a alturas e1uivalentes de columnas de a;ua.

EJ/*

"onvertir 754


29/157

H; H;) ; =

* !

G; m) *644 9.' 4.75mH;m se;

=

!G;) 4446! m se;= !G;m

(a m se;=

*a p 062,100=

P1% #)' A /o &=1#(+ C(am

-e;En las normas D=N * + CFe . 977 1ue denomina a la )resi$n atmos/&rica ( am Cdel

lat2n Kam iens

K-o re la su)er/icie li re de un l21uido reina la )resi$n del aire o ;as 1ue so re ella e>iste. %sta

)resi$n )uede ad1uirir un valor cual1uiera en un reci)iente cerrado? )ero si el reci)iente est

a ierto so re la su)er/icie li re del l21uido reina la )resi$n atmos/&rica K) am de ido al )eso

de la columna de aire 1ue ;ravita so re el /luido .

La )resi$n atmos/&rica var2a con la tem)eratura y la altitud.

P1% #)' + /o &=1#(+ % 9'$+1* %s la )resi$n al nivel medio del mar y a la tem)eratura de

5Y"? e1uivale a la atm$s/era real 1ue se encuentra en muc as )artes del mundo.

.lg7.14

.lg92.29

)..(1.760

.33.10

)......(033227.1

2

2

2

p-,/ *

Hg p- *

ra-naatmosfeam/ * mm *

m *

EEUU cmkg

*

st am/

st am/

st am/

Hg st am/

O H st am/

st am/

====

=

=!

am st

am !st

am !st

am st

am st

am st

6 !am st

( ! 6.!l )ie .( **.'7)ieH A.( +46.79)ul;H A.

( 4 *!5(a.( 4 .*!5G(a.( .4 *!5 ars.( .4 *!5> 4 dinas cm

===

====



30/157

%n la t&cnica se utili,a muc o la atm$s/era t&cnica.

k*am N

/ar tecnicaatmosfera 1001011 25 ===

211 m N

*a =

%l Gilo)ascal es tam i&n usado como unidad de )resi$n

P1% #)' A /o &=1#(+ Lo(+! T%/ o1+!*- %s la )resi$n atmos/&rica reinante en un lu;ar y

tiem)o determinado

(or lo tanto ay tres atm$s/eras:

. 0tm$s/era %stndar .4**!!7 G;Jcm ! .4 *96 ar

!. 0tm$s/era )resan tem)eraturas a solutas medidas a )artir del cero a soluto.

%n el sistema in;l&s de unidades los ;rados Faren eit e>)resan tem)eraturas relativas

C)resan



31/157

tem)eraturas a solutas. %l cero a soluto de tem)eraturas es el mismo en todos los sistemas

de unidades. Lo mismo sucede con el cero a soluto de )resiones.

18032

100

= F & oo

932

5

= F & oo

E (+!+ %! #'@- -e sa e 1ue la tem)eratura no tiene l2mite su)erior? )ero si un in/erior.

#&todos modernos de la /2sica de a3ar la tem)eratura de un cuer)o? m>imo a la vecindad de

!7*Y"? )ero no se a conse;uido lle;ar asta ella ni a3ar ms.

La tem)eratura de !7*Y" se denomina cero a soluto y un ;ran /2sico del si;lo \=\ llamado

elvin )ro)uso una construcci$n de una escala termom&trica cuyo cero /uese el cero a soluto

y cuyos intervalos de un ;rado /ueran i;uales a las de las escalas "elsius o "ent2;rados.

4 !7*Y S 4"

L+ 1% #o'% + o!" + se miden con relaci$n al cero a soluto Cvac2o total o 44] de

vac2o y las )resiones relativas con relaci$n a la atm$s/era.

La mayor2a de los man$metros Cdis)ositivos )ara medir )resiones estn construidos de

manera 1ue miden 1% #o'% 1%!+ # + o e>cedentes con relaci$n a la A /) &%1+ !o(+!. (araMECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 31


32/157

allar la )resi$n a soluta con e>actitud a r 1ue sumar a la )resi$n le2da en el man$metro la

)resi$n atmos/&rica local medida e>actamente con un ar$metro. #uc as veces no se necesita

;ran )recisi$n y entonces se suma a la lectura del man$metro C)resi$n relativa la 0tm$s/era

imada:

1+= r a/s * * ar^^^.C_

ar atm$s/era t&cnica

Las ecuaciones CX y C_ )ueden estudiarse ;r/icamente en la /i;ura si;uiente.

Finalmente los vac2os se miden con muc a /recuencia en tanto )or ciento de la )resi$n

atmos/&rica local. %s decir el cero a soluto es 44] de vac2o y la )resi$n atmos/&rica local al

cero )or ciento.



33/157

To11#(%!!#; Fue el )rimero en medir la )resi$n atmos/&rica su e>)erimento consisti$ en:

a "onsi;ui$ un tu o de vidrio a ierto )or uno de los e>tremos al cual llen$ com)letamente de

mercurio. Fi;. 0

"onsi;ui$ un reci)iente tam i&n al cual introdu3o el mismo l21uido mercurio. Fi;.

c tremo li re del tu o volte$ dic o tu o y lo sumer;i$ en el reci)iente antes

mencionado )ara inmediatamente desta)arlo.

d %l mercurio descendi$ )or el tu o y se detuvo a una altura de 76 cm. %ncima del nivel del

mercurio del reci)iente. Fi;. "..


34/157

M%$#$+ $% !+ P1% #)'

La medida la transmisi$n y el re;istro de )resiones es muy /recuente tanto en la oratorios

como en la industria.

Los medidores de )resi$n o man$metros necesariamente son variad2simos y 1ue en losla oratorios y la =ndustria se an de medir )resiones desde un vac2o a soluto del 44 )or 44

asta 4 444 ar y aEn mayores con ;rado de )recisi$n muy diverso y en medios

Ctem)eraturas elevadas atm$s/eras e>)losivas etc. muy diversos.

Los a)aratos 1ue sirven )ara medir las )resiones se denominan man$metros. Los man$metros

)ueden clasi/icarse se;En los si;uientes criterios:

. "lasi/icaci$n: se;En la naturale,a de la )resi$n medida:

a. =nstrumentos 1ue miden la )resi$n atmos/&rica: ar$metros

. =nstrumentos 1ue miden la )resi$n relativa: man$metros.

c. =nstrumentos 1ue miden la )resi$n a soluta: man$metros de )resi$n a soluta.

d. =nstrumentos )ara medir di/erencias de )resiones: man$metros di/erenciales.

e. =nstrumentos )ara medir )resiones muy )e1ueOas: microman$metros.

!. "lasi/icaci$n se;En el )rinci)io de /uncionamiento.

0. M%(9'#(o el )rinci)io de /uncionamiento de estos consiste en e1uili rar la /uer,a

ori;inada )or la )resi$n 1ue se 1uiere medir con otra /uer,a a sa er con el )eso de una

columna de l21uido con un resorte en los man$metros clsicos o con la /uer,a e3ercida so re

la otra cara de un &m olo en los man$metros de &m olo. %sta Eltima /uer,a se mide

mecnicamente.

. E!=( 1#(o en este ti)o de man$metros la )resi$n ori;ina una de/ormaci$n elstica 1ue

se mide el&ctricamente.

%l ;rado de e>actitud de cada man$metro de)ende del ti)o de la calidad de construcci$n de

su instalaci$n y )or su)uesto de su adecuada lectura.



35/157

A. 8+1)/% 1o

-on =nstrumentos 1ue sirven )ara medir la )resi$n atmos/&rica. Los )rinci)ales son: ar$metro

de mercurio de cu eta y ar$metro de mercurio en K@ .

ar$metro de #ercurio de "u eta.%n la /i;ura re)resentada encima del mercurio reina el vac2o ) 4 se a tenido en cuenta de

eliminar el aire al sumer;ir el tu o. @na escala ;raduada m$vil no di u3ada en la /i;ura cuyo

cero se ace coincidir antes de acer la lectura con el nivel del mercurio en la cu eta )ermite

leer Kl 1ue es la )resi$n atmos/erita ) am en


36/157

%n este ar$metro la cu eta 1ueda eliminada.

(or ra,onamiento similar y evaluando el dia;rama del cuer)o li re de la columna de mercurio

entre las secciones K4 y K y teniendo en consideraci$n 1ue ( o 4 )ues corres)onde al vac2o

total? y adems de la se;unda )ro)iedad de la )resi$n Kla )resi$n en todos los )untos situados

en un mismo )lano ori,ontal en el seno de un /luido en re)oso es la misma ? es decir: ( ( !

( am

Lue;o: ( am ` H;

8 . P#%>)/% 1o

-on tu os trans)arentes de cristal o )lstico recto o con un codo de dimetro 1ue no de e ser

in/erior a 5 mm )ara evitar los e/ectos de ca)ilaridad de idos a la tensi$n su)er/icial. %ste tu o

se conecta al )unto 1ue se 1uiere medir la )resi$n )racticando cuidadosamente en la )ared

del reci)iente o tu er2a un ori/icio 1ue se llama ori/icio )ie,om&trico.

Los tu os )ie,om&tricos constituyen el )rocedimiento ms econ$mico y al mismo tiem)o de

;ran )recisi$n )ara medir )resiones relativamente )e1ueOas. #idiendo la altura de ascensi$n

del l21uido en el tu o )ie,om&trico nos dar la )resi$n re1uerida.

( 0 `

Donde ` es el )eso es)ec2/ico del /luido en la tu er2a 1ue es mismo 1ue asciende en el tu o

)ie,om&trico o sim)lemente )ie,$metro.MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 36


37/157

C. M+')/% 1o

-e utili,an )ara medir )resiones relativas tanto )ositivas como ne;ativas. (articularmente se

utili,an cuando el /luido es )oco viscoso )ues en este caso trata de ;anar ;randes alturas

utili,ndose el mercurio como l21uido manom&trico.

%l l21uido manom&trico se esco;er a)ro)iadamente de acuerdo a las )resiones a medir.


38/157

( ( 0 S , C!

=;ualando C y C! :

( 0 ` l ` ,

Ha;amos

-l

= ?

,-C( 0 =

#an$metro en K@ ? con De)resi$n o (resi$n Relativa Ne;ativa

%s a1uel 1ue es conectado a de)$sito o tu er2a en vac2o )or lo tanto las )resiones a

re;istrar son menores 1ue la atmos/&rica.

A 3etivo determinar la )resi$n en K0 .

-e sa e 1ue la )resi$n en K! es i;ual a la )resi$n en K*

( ! ( *

Del dia;rama del cuer)o li re en e1uili rio de altura K,S )uesto 1ue se est tra a3ando con

)resiones relativas

Lue;o

( * 4 C

%ntonces:

( ! ( 0 S ` , S ` l C!

=;ualando C y C! :



39/157

( 0 C` l ` ,

Ha;amos

-l

=

%ntonces:

,-C( 0 + =

R%.!+ P19( #(+*

"onsiste en dividir el /luido en secciones corres)ondientes a los cam ios de densidad. %n la

)rctica se escri e inmediatamente una sola ecuaci$n )artiendo del )unto inicial C0 y en

nuestro caso sumndole o restndole los t&rminos corres)ondientes a las columnas de l21uido

asta lle;ar al )unto /inal C ? es una suma y resta de )resiones? al considerar )ositivas las

)resiones de secciones 1ue se encuentran )or de a3o de la secci$n inmediata de re/erencia y

ne;ativas las )resiones 1ue se encuentren )or encima de la secci$n inmediata de re/erencia?

e3em)lo:

Dl

0 (,( = + +

(ero

( D 4

%ntonces:

,-C( 0 + =

Resultado 1ue es el mismo o tenido )or el )rocedimiento anal2tico o ;eneral.

#an$metro Di/erencial

#ide la di/erencia de )resiones entre dos )untos. La sensi ilidad del man$metro es tanto

mayor cuanto la di/erencia C m ` sea menor. -iendo ` m el )eso es)ec2/ico del l21uido

manom&trico.



40/157

A 3etivo determinar la di/erencia de )resiones entre K0 y K .

-e sa e 1ue la )resi$n en K es i;ual a la )resi$n en K! y tam i&n a la (resi$n en K*

( ( ! ( * C

Del dia;rama del cuer)o li re en e1uili rio de la columna de altura K,

( 0 ( S ` , C!

Reem)la,ando C en C!

Resulta:

( 0 ( * S ` , C*

Del dia;rama del cuer)o li re en e1uili rio de la columna de altura K

( * ( + S `l

C+(ero ( + ( 5 C5

-ustituyendo C5 en C+ resulta:

( * ( 5 S ` l C6

0dems del dia;rama del cuer)o li re de la columna de altura K S, :

( ( 5 S C S, C7

Restando C* C7 y sim)li/icando

Resulta:

( 0 ( ( * ( 5 ` C'

C6 en C' :

( 0 ( C` l `MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 40


41/157

D@-V+(")/% 1o

-irve )ara medir )resiones de l21uidos o ;ases em)leando un l21uido manom&trico no misci le.

0)licando los mismos )rinci)ios 1ue en los man$metros al vacu$metro de l21uido de la /i;ura

se o tiene la )resi$n a soluta de la secci$n K5 :

( 5 ` C- ,



42/157

ESTTICA DE LOS FLUIDOS

La esttica de los /luidos estudia las condiciones de e1uili rio de los /luidos en re)oso y

cuando se trata s$lo de l21uidos se denomina idrosttica. Desde el )unto de vista de

in;enier2a civil es ms im)ortante el estudio de los l21uidos en re)oso 1ue de los ;ases )or lo

cual a1u2 se ar mayor inca)i& en los l21uidos y en )articular en el a;ua.

-i todas las )art2culas de un elemento /luido visto como un medio continuo estn en re)oso o

movi&ndose con la misma velocidad se dice 1ue el /luido es un medio esttico? )or lo 1ue el

conce)to de )ro)iedades de un /luido esttico )ueden a)licarse a situaciones en las cuales se

estn moviendo los elementos del /luido con tal de 1ue no aya movimiento relativo entre

elementos /initos. "omo no ay movimiento relativo entre las )lacas adyacentes tam)oco

e>istirn /uer,as cortantes )or lo 1ue la viscosidad en este caso de3a de ser im)ortante y las

Enicas /uer,as 1ue actEan so re las su)er/icies de los /luidos son las de )resi$n. La esttica se

refiere a un estudio de las condiciones en las que permanece en reposo una partcula fluida o

un cuerpo.

-e distin;uen dos ti)os de /uer,as 1ue )ueden actuar so re los cuer)os ya sea en re)oso o

en movimiento:L+ &"%1>+ /9 #(+ !+ &"%1>+ " %1(#+!% @L+ &"%1>+ /9 #(+ incluyen todas las /uer,as e>teriores 1ue actEan so re el material en

cuesti$n sin contacto directo e3em)lo la ;ravedad.

L+ &"%1>+ " %1(#+!% incluyen todas las /uer,as e3ercidas so re su contorno )or su

)ro>imidad )or contacto directo? es )or esto una acci$n de contorno o su)er/icial e3em)lo las

/uer,as de )resi$n de /ricci$n etc.

%n mecnica de /luidos se usan las /uer,as relativas con las masas o reas as2:

amF

maF == == $ ;mF

m;F 88 ==

) 0F

)0FN

(N( == $ ==

se cancelan )or lo 1ue resulta a)lica le solo la ecuaci$n de e1uili rio en la

direcci$n Ky :

( ) =+= ;dyd>d,d>d,d)))d>d,FQ-im)li/icando y ordenando resulta:

;dyd) = $ ;dyd) =

%n ;eneral la ecuaci$n de la esttica de los /luidos no se )uede inte;rar a menos 1ue se

es)eci/i1ue la naturale,a de K . %n la determinaci$n de la )resi$n se trata entonces )or

se)arado los ;ases y a los l21uidos.

(ero como remarcamos al inicio del estudio del )resente tema como in;enieros civiles nos

interesa /undamentalmente el estudio de los l21uidos es)ecialmente el a;ua )or lo 1ue solo

a ordaremos el caso de /luidos l21uidos? )or lo 1ue siendo as2 inte;raremos )ara los )untos (

y ( ! en el interior y en la su)er/icie li re res)ectivamente del /luido en re)oso:MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 43


44/157

=== !!y

y

))

))dy;d)

( )!! yy;)) =

Donde de la /i;ura su)erior e>trema derec a: 0m! )) =

Lue;o:

))) 0m +==

Donde: )) = (resi$n a soluta

0m) (resi$n atmos/&rica

6 (resi$n manom&trica o relativa

La e>)resi$n es conocida como !+ E("+(#)' F"'$+/%' +! $% !+ E 9 #(+ $% !o F!"#$oL, "#$o o I'(o/ 1% # !% en re)oso a soluto @

-i se tra a3a con )resiones relativas la e>)resi$n se trans/orma en:

6) = Q

"uyo dia;rama de variaci$n de la )resi$n de la ecuaci$n Q es:

E("+(#)' F"'$+/%' +! $% !+


45/157

-ea K) la )resi$n 1ue actEa so re cada una de las caras del triedro ms )r$>imo al ori;en de

coordenadas. -o re las caras del triedro o)uesto las )resiones sern res)ectivamente:

d>>)

)+ ? dy

y)

)+ ? d,

,)

)+

Ha i&ndose des)reciado in/init&simas de orden su)erior al )rimero.

-ea F La Resultante de las /uer,as e>teriores o Fuer,a terna )or unidad de masa

1ue su)onemos a)licada en el centro de ;ravedad de la masa Kdm del elemento di/erencial

orto&drico de volumen d>dyd,d = .

%s decir : GB 3Qi\F ++=

Donde:

F Fuer,a )or unidad de masa de ida a la inercia 1ue se ori;ina )or la aceleraci$n e>terna al

/luido? es una /uer,a msica. \ Q y B son sus com)onentes. terna ( )a .

"omo el elemento di/erencial de /luido se encuentra en e1uili rio se veri/ica en cada e3e

coordenado: = iF

Co'$#(#)' $% % "#!# 1#o %' %! %J% *

=++ d>dyd,Qd>d,dy

y))C)d>d,

-im)li/icando: Qy)

=



46/157

De i;ual manera reali,ando el e1uili rio en los e3es K> y K, resulta:

\>) =

B,

) =

Donde: i\i>) =

3Q 3

y)

=

y GBG,) =

Las e>)resiones son conocidas como las E("+(#o'% % 9 #(+ $% E"!%1@

-umando miem ro a miem ro las %cuaciones estticas de %uler tendremos:

GB 3Qi\G,)

3y)

i>) ++=

+

+

%l )rimer miem ro de la ecuaci$n corres)onde al desarrollo de ) :

DGB 3Qi\C) ++=

0dems reem)la,ando en la e>)resi$n anterior resulta:

F) =

La e>)resi$n es conocida como la E("+(#)' F"'$+/%' +! V%( o1#+! $% !+ )resi$n se;En la direcci$n Kdr :

Donde: Gd, 3dyid>dr ++=

dr Fdr ) =

%l desarrollo de la e>)resi$n anterior resulta:

Bd,Qdy\d>d,,)

dyy)

d>>) ++=

+

+

%l desarrollo del )rimer miem ro de la ecuaci$n corres)onde a Kd) lue;o esta )uede ser

escrita como:

Bd,Qdy\d>Cd) ++=

La e>)resi$n es conocida como la E("+(#)' F"'$+/%' +! A'+!, #(+ $% !+


47/157

0)licando la ecuaci$n /undamental anal2tica de la idrosttica

Donde:

=\ =Q y ;B =

Reem)la,ando en la %cuaci$n tendremos:

d,;d,d) ==

d,d) =

d,d) =

=+ d,

d)

%n el caso de los l21uidos ` "te? lue;o tendremos:

=+ d,d)

=nte;rando )ara los )untos ( y ( ! en el interior y en la su)er/icie li re res)ectivamente del

/luido en re)oso:

=+ )

,

,

!

d,d)

=+

D,,C) !

-a iendo 1ue: ,, ! = y reem)la,ando y acomodando la e>)resi$n anterior:

) = $ ) = Q



48/157

La e>)resi$n Q ; es conocida como la E("+(#)' F"'$+/%' +! $% !+ E 9 #(+ $% !o F!"#$o

L, "#$o o I'(o/ 1% # !% %' R% o o A o!" o )ara el caso de )resiones relativas.



49/157

F"%1>+


50/157

C* en C! : A0 sen F G = ^^^^. C+ ? )ero GG . sen0 =

)......(.......... A. F G=

%s decir:

KL+ &"%1>+ :#$1o 9 #(+ o 1% "'+ " %1(#% !+'+ "/%1.#$+; % #."+! + !+ 1% #)'1%!+ # + +! (%' 1o $% .1+ %$+$; /"! # !#(+$+ o1 %! 91%+.

D% %1/#'+(#)' $%! C%' 1o $% P1% #o'%

- La l2nea de acci$n de la /uer,a resultante KF corta a la su)er/icie en un )unto 1ue se llama

centro de )resiones 1ue no coincide en ;eneral con el centro de ;ravedad Cs$lo en las

su)er/icies ori,ontales coinciden )or1ue Q; Q)

- (ara determinar las coordenadas del centro de )resiones C\) Q) ? se utili,a el teorema de

los momentos C


51/157

%n C6 : )7.(..................... A y

I 0

G

# p =

(ero es muy usual tra a3ar con los momentos de inercia res)ecto a los e3es centroidales

)aralelos a los e3es K> e Ky .

(ara ello a)licamos el teorema de -teiner

R% %( o +! %J% # *

)8.(....................2G # # A0 I I +=

C' en C7 :

A0

A0 I 0

G

G #

p

2+=

A0 A0

A0 I

0 G

G

G

# p

2

+=

GG

# p 0 A0

I 0 +=

)......( A0

I 0 0

G

#G p += Donde: 0> A0

I

G

#

E $%(#1*

%l centro de )resiones est de a3o del centro de ;ravedad e>ce)to en las su)er/icies

ori,ontales 1ue coinciden )( G p 0 0 =

@2* C9!("!o $%

0 ora a)licamos el teorema de los momentos res)ecto al e3e Q:

= >dF# R ? (ero )R \F# =

= D9CdF>\F )

C y C+ en C9 :

= )()( !A ysen # 1 A0 sen pG

)10( A0

#y!A 1

G p =



52/157

Donde: = #y I #y!A

(roducto de inercia de la su)er/icie K0 res)ecto a los e3es K> e Ky .

en C 4 : )11( A0

I 1 G

#y p = .

0)licando -teiner res)ecto a los e3es centroidales # e y se tiene:

)12( A0 1 I I GG #y #y +=

C ! en C : A0

A0 1 #y I 1

G

GG p

+=

A0 A0 1

A0 #y I 1

G

GG

G p +=

GG

p 1 A0 #y I

1 +=

)( A0

#y I 1 1

GG p +=

%l valor #y I )uede ser )ositivo o ne;ativo de modo 1ue el K") )uede encontrarse a uno u otro

lado de de 8. asta 1ue la su)er/icie )lana inclinada ten;a un e3e de simetr2a )ara 1ue = #y I

en cuyo caso:

G p 1 1 =

"omentario: (or lo ;eneral las situaciones de inter&s se relacionan con su)er/icies )lanas 1ue

tienen uno o dos e3es de simetr2a de modo 1ue s$lo se trata de determinar el valor de KQ) .



53/157

=VF

Co/ o'%' % $% !+ F"%1>+


54/157

)ueden determinar con /acilidad las com)onentes ori,ontal y vertical de la Resultante )ara

lue;o com inarlas vectorialmente.

"onsid&rense las /uer,as 1ue o ran so re el )risma de l21uido ilustrado en la /i;.C0 limitado

)or la su)er/icie li re a o )or la su)er/icie vertical )lana o y )or la su)er/icie curva a . %l

)eso de este volumen es una /uer,a Kw vertical acia a a3o y actuando de derec a a

i,1uierda so re o est la /uer,a ori,ontal v8 0( = en donde K0v es el rea de la

su)er/icie )lana vertical ima;inaria uno de cuyos ordes es o . %stas /uer,as se mantienen en

e1uili rio )or /uer,as i;uales y o)uestas de reacci$n de la su)er/icie curva a . -e deduce en

consecuencia 1ue la com)onente ori,ontal de la Resultante total de las )resiones so re una

su)er/icie curva es i;ual y est a)licada en el mismo )unto 1ue la /uer,a 1ue actEa so re lasu)er/icie )lana vertical /ormada al )royectar en direcci$n ori,ontal la su)er/icie curva. (or

otra )arte la com)onente vertical de dic a Resultante total so re la su)er/icie curva es i;ual al

)eso del l21uido 1ue se encuentra encima de &sta y est a)licada en el centro de la ;ravedad

del volumen l21uido. @n ra,onamiento seme3ante demostrar 1ue cuando el l21uido se

encuentra de a3o de la su)er/icie curva la com)onente vertical es i;ual al )eso del volumen

ima;inario del l21uido 1ue se encontrar2a encima de la su)er/icie y est a)licada acia arri a

)asando )or su centro de ;ravedad.

(or e3em)lo la com)onente vertical de la Resultante total de )resiones e3ercida so re la

com)onente radial o de a anico de la /i;. C es i;ual al )eso del volumen re)resentado )or

LN# y actEa acia arri a )asando )or K8 como se indica.



55/157

%3m . La /i;ura 1ue se muestra ilustra una secci$n de un de)$sito de a;ua de 6 mts. de

lon;itud. La )ared a c del de)$sito est articulado en Kc y es so)ortado en Ka )or un tirante.

%l se;mento c de la )ared es un cuadrante de circun/erencia de .!4 m de radio.

a Determinar la /uer,a K< 1ue e3erce el tirante

Determinar la Resultante total de )resiones 1ue o ra so re la com)uerta

c Determinar la Fuer,a Resultante so re la articulaci$n c des)reciando el )eso de la

)ared.

So!"(#)'*

a Determinar la /uer,a K< 1ue e3erce el tirante

;+*!4Dm!4.>44.6DCm64.4DCm

;444C 0( !*8 == =

;+*!4( =

La )osici$n de K( est a mm # 40.0)20.131

( = arri a de K"

$ m. * 80.0=

;67'5m;

444m!4.Cm6+r

m6I( *!

!

v == ==

$g * " 6785=



56/157

K(v esta a)licada en el centro de ;ravedad del cuadrante del circulo el cual se encuentra a:

m5.4*

m!4.C+*

r + == a la i,1uierda de Koc

m # p 51.0=

(ara calcular K< se alla tomado momentos res)ecto a la articulaci$n Kc como si;ue:

= m+4.4C(m5.4CI


57/157

== H R(


58/157

)unto de a)licaci$n de dic o em)u3e coincide con el "entroide del volumen sumer;ido C=;ual al

del volumen desalo3ado y se conoce con el nom re de K(%' 1o $% &!o +(#)' o $% (+1%'+.

"entro de /lotaci$n o de carena: es el centro de ;ravedad de la )arte sumer;ida del cuer)o y

es el )unto donde est a)licado el em)u3e.

D%/o 1+(#)'*

-ea el caso de un cuer)o s$lido cual1uiera /lotando en un l21uido e>iste un estado de e1uili rio

de ido a 1ue el l21uido e3erce so re el cuer)o una )resi$n ascendente de i;ual ma;nitud 1ue el

)eso )ro)io del cuer)o 1ue se )uede calcular a )artir de los resultados anteriores.



59/157

P+1(#+!/%' % S"/%1.#$o

= " F en el volumen de control.!E !F !F = 12

HaHa d0)d0)Cd% +=HaHHa d0)d0d0)d% +=

Hd0d% = = 0 H6d0%

La inte;ral es i;ual al volumen C s de la)arte del cuer)o en /lotaci$n 1ue seencuentra de a3o de la su)er/icie li re dell21uido? esto es:

s% =

To +!/%' % S"/%1.#$o

= " F en el volumen de control

12 !F !F !E =HH! d0d0d% =

Cd0d% !H =Hd0d% =

H 0d06% =

s% =

s Volumen del l21uido desalo3ado Cvolumen del cuer)o sumer;ido

(eso es)ec2/ico del l21uido.



60/157

R%!+(#)' %' 1% %! E/ "J% %! P% o $%! ("%1 o "/%1.#$o

-ea I %l )eso total del cuer)o

% %m)u3e del /luido so re el cuer)o

. -i % b I el cuer)o tiende a ir acia el /ondo

!. -i % I el e1uili rio del cuer)o es esta le Cel cuer)o se mantiene sumer;ido en la

)osici$n en 1ue se le de3e KFlotaci$n en %1uili rio .

*. -i % I el cuer)o tiende a ir acia la su)er/icie.

Co'$#(#o'% $% E "#!# 1#o $% !o C"%1 o %' F!o +(#)'

%l e1uili rio de un cuer)o /lotante se clasi/ica en tres ti)os:

?@- E + !%@-@na /uer,a actuante )or e3em)lo el em)u3e del olea3e o del viento ori;ina una

inclinaci$n lateral )ero cuando a1uella cesa el cuer)o vuelve a su )osici$n ori;inal. %ste

ti)o de e1uili rio lo tienen los cuer)os de centro de ;ravedad a3o.

2@- I'% + !%@-La /uer,a actuante ori;ina el volteo rusco del cuer)o C,o,o ra el cul des)u&s

recu)era una )osici$n ms o menos esta le. %ste e1uili rio lo tienen a1uellos cuer)os cuyo

centro de ;ravedad es alto.

3@- I'$#&%1%' %@-La /uer,a actuante ori;ina un movimiento de rotaci$n continua del cuer)o?

cuya velocidad es directamente )ro)orcional a la ma;nitud de la /uer,a y cuya duraci$n es

la misma 1ue la de dic a /uer,a. %ste ti)o de e1uili rio lo )oseen cuer)os cuya distri uci$n

de la masa es uni/orme C)or e3em)lo la es/era con )osici$n de /lotaci$n indi/erente? el

cilindro cuya )osici$n de /lotaci$n es indi/erente con su e3e lon;itudinal en la direcci$n

ori,ontal .

Las condiciones de e1uili rio de un cuer)o /lotante se e>)lican con claridad utili,ando como

e3em)lo un arco Ccomo el mostrado en la /i;. a cuya su)er/icie de /lotaci$n muestra una /orma

sim&trica con un e3e lon;itudinal y otro transversal. La rotaci$n alrededor del )rimer e3e se

conoce como 8+!+'(%o; y del se;undo C+ %(%o.

%n La )osici$n de e1uili rio C-in /uer,as ocasionales so re el arco actEa el )eso KI e3ercido

en el centro de ;ravedad K8 adems del em)u3e ascendente del l21uido K% 1ue actEa en el



61/157

centro de /lotaci$n o de carena 8 . 0m as /uer,as son i;uales colineales y de sentido

contrario.

0l )roducirse una /uer,a ocasional el arco se inclina un n;ulo T y )asa a ocu)ar la )osici$n

mostrada en la /i;. C ? el )unto K8 )asa a ora a la )osici$n K8 .

(or e/ecto de las cuOas som readas una 1ue se sumer;e y otra 1ue emer;e )or encima de la

l2nea de /lotaci$n se ori;ina un movimiento )roducido )or las /uer,as F y F! .

%l em)u3e ascendente total K% en su nueva )osici$n K8 es la resultante de K% en su

)osici$n ori;inal y las /uer,as F F ! )or e/ecto de las cuOas.

%l momento de la Fuer,a Resultante con res)ecto a K8 ser i;ual a la suma al;e raica de los

momentos de sus com)onentes y considerando 1ue KT es )e1ueOo )or lo tanto KI )asa )or

K8 .

mFn% =

%

mFn

=

C9!("!o $% F m @

cuOadF d C=

(ara un elemento de volumen C ! de la cuOa

y!A! c-2a = donde g # y tan= .

!A #! c-2a tan=

)2(tan !A #! c-2a =

C! C : d0;tan>dF =

d# > tan; d0 >=

d0>;tand# ! =

d0>;tan# 0

! =

,=;tan# =

,=;tanmF# ==



62/157

%=;tan

n , = ? s% =

s

,

s

, =;tan=;tann=

=

Lue;o:

,= #omento de =nercia del rea de la secci$n del arco a nivel de la su)er/icie de /lotaci$n

a/ con res)ecto al e3e lon;itudinal KB del mismo 1ue )asa )or KA .

E! +1 $% &"%1>+ E W )roducen un momento M? X W : %' 1ue tratar de volver al arco a

su )osici$n ori;inal o de voltearlo mas asta acerlo ,o,o rar.

(ara )redecir el com)ortamiento del arco es im)ortante conocer la )osici$n del )unto K M de

intersecci$n de K% en K8 con el e3e Ky del arco inclinado? )unto 1ue se denomina

/% +(%' 1o !+ +! "1+ /% +(=' 1#(+ se indica con K: . 0 medida 1ue K: aumenta es mas

esta le la /lotaci$n del cuer)o es decir ms r)idamente tratar de reco rar su )osici$n

ori;inal.

E! % "#!# 1#o % % + !% si el )unto KM 1ueda arri a del )unto K8 C: 0 y es inesta le si KM

1ueda de a3o de K8 ? )or tanto la esta ilidad del arco e>i;e 1ue sea 4 esto es:

>=

= 4

s

,4 sen

=;tansen

n siendo KT )e1ueOo senT tan;T

4

nsen

< s,

4=clusivamente )or la ma;nitud 1ue ad1uiere la cantidad /2sica a la

cual corres)onde? e3em)los: )resi$n densidad y tem)eratura.

C+/ o V%( o1#+!* %n un cam)o vectorial adems de la ma;nitud se necesita de/inir una

direcci$n y un sentido )ara la cantidad /2sica a la cual corres)onde esto es tres valores

escalares de/inen la cantidad /2sica? e3em)los: la velocidad la aceleraci$n y la rotaci$n.

C+/ o %' o1#+!* (ara de/inir un cam)o tensorial se re1uieren nueve o ms com)onentesescalares? e3em)los: es/uer,o de/ormaci$n unitaria y momento de inercia.

. C+/ o %( o1#+! $% %!o(#$+$% .

%l anlisis del movimiento de una )art2cula del /luido 1ue recorre una l2nea usualmente curva

1ue se llama trayectoria se )uede acer de dos maneras distintas:

a (or el conocimiento del vector de )osici$n Cr de la )art2cula como una /unci$n vectorial

del tiem)o Ct .



64/157

r >i y 3 ,G= + + r rCt=

-i es /unci$n del tiem)o entonces sus com)onentes son tam i&n /unciones del tiem)o? es

decir:

)( t # # = ? )( t y y = ? )( t + + = . (or el conocimiento de la curva 1ue recorre la )art2cula y la /unci$n camino recorrido tiem)o.

%n este caso la )osici$n de la )art2cula se determina )or la lon;itud del camino recorrido

si;uiendo la curva Ca )artir de un )unto de ori;en 0 como una /unci$n escalar del tiem)o?

esto es: ( )s s t=

D%'#(#)' $% V%!o(#$+$@-%l Vector velocidad de una )art2cula /luida se de/ine como !+

1+ #$%> /+.'# "$ $% !+ %!o(#$+$ %/ o1+! $%! (+/ #o %' " o #(#)'@

.

dr V Cdt

=u



65/157

Donde dr re)resenta el vector di/erencial de arco so re la curva " 1ue recorre la )art2cula en

el tiem)o dt.

La velocidad es entonces un cam)o vectorial dentro de un /lu3o y al des)la,arse la )art2cula

se;En la curva " es un vector tan;ente en cada )unto a la misma 1ue en ;eneral de)ende de

la )osici$n de la )art2cula y del tiem)o.

V VCr5tD..........C!D=

V VC> y , t .........C*=

d> dy d,V i 3 Gdt dt dt

= + +

Haciendo: # !t !# = ? y !t

!y = y + !t !+ =

Lue;o > y ,V V i V 3 V G= + + EH 1% #)' %( o1#+! $% !+ %!o(#$+$.

Donde:

> >d>V V C> y , tdt

= =

y y dyV V C> y , t dt= =

, ,d,V V C> y , tdt

= =

#$dulo de la Velocidad:

! ! !> y ,V V CV CV CV= = + +

2@- C+/ o %( o1#+! $% +(%!%1+(#o'% @-%s un cam)o vectorial 1ue se deriva del cam)o develocidades.

D%'#(#)' $% +(%!%1+(#)'@-%l vector aceleraci$n de una )art2cula en un )unto se de/ine como

la variaci$n tem)oral de la velocidad en ese )unto? esto es:

!

!

dv d r adt dt

= =



66/157

%n cuanto a su direcci$n la aceleraci$n no tiene una orientaci$n coincidente con la trayectoria

de la )art2cula? siendo la aceleraci$n tam i&n una /unci$n de la )osici$n y tiem)o.

a aC> y , t=

y> ,dVdV dV dVa i 3 Gdt dt dt dt

= = + +

Haciendo: >> adtdV = ? y y a!t

! = y + + a!t ! =

Resulta:

> y ,a a i a 3 a G= + + EH 1% #)' %( o1#+! $% !+ +(%!%1+(#)'

0 veces es conveniente e>)resar la aceleraci$n a en /unci$n de sus com)onentes normal ytan;encial.

t na a a= +!

t ndV Va e edt R

=

M)$"!o $% +(%!%1+(#)'*

La aceleraci$n deriva del cam)o de velocidades donde: ( )=V V x,y,z,t

a aCv t=



67/157

> y ,a aCv v v t=

dy d, dt> y , t

= + + +

dt

dV V d> V dy V d, V dtdt > dt y dt , dt t dt

= + + +

> y ,

dV V V V Va V V Vdt > y , t

= = + + +

Ardenando:

> y ,V V V Va V V Vt > y ,

= + + +

> y ,Va C V V V Vt > y ,

= + + + ^^^^..C

-a emos 1ue: i 3 G> y , = + +

Q adems * > y ,V V i V 3 V G= + +

Lue;o * > y ,.V V V V> y , = + + ^^^^^C!

C! C : Va C .V Vt

= +

^^^^^.C*

Donde la %>)resi$n C* re)resenta el "am)o Vectorial de 0celeraciones en /unci$n del

)roducto escalar C .V $%'o/#'+$o $# %1.%'(#+ $% V .

Vt

+(%!%1+(#)' !o(+! Cde)ende del tiem)o

C .VDV +(%!%1+(#)' (o' %( # + Cde)ende de la )osici$n

"omentario: -i el &!"Jo % %1/+'%' %:V

4t = yMECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 67


68/157

a C .V V=

%s decir el cam)o de aceleraciones se reduce solo a la com)onente convectiva.

D% +11o!!%/o +:o1+ !+ (o/ o'%' % (o' %( # + )ara re)resentarla en t&rmino del

)roducto vectorial C >V conocido como rotacional de )( rot .

C .V V C V> Vy V, CV>i Vy 3 V,G> y , = + + + +

0)li1uemos la )ro)iedad distri utiva de la multi)licaci$n.

C .V V C V> Vy V, V>i C V> Vy V, Vy 3> y , > y , = + + + + +

C V> Vy V, V,G> y , + + +

Ha;amos:

C=D C V> Vy V,DV> i> y ,

= + +

C==C V> Vy V, Vy 3> y , + +

C=== C V> Vy V, V, G> y , + +

Vy V,DV> i> y , = + +

> y ,CV V V DV> i> y ,

= + +

> > >> y ,V V V

CV V V D i> y ,

= + +

-umando y restando y ,V V

Vy V,> >

+

? a la e>)resi$n anterior resulta:

i+ #

+ y #

y+ #

+ y #

y# +

+ # y

y# #

# )(

+

+

+

+

=



69/157

= + + + + X Y Z X Y X Z V V V V V V V I (Vx Vy Vz i Vy Vz i

x x x y x z x

^^^ CX .

Del )rimer t&rmino de CX ? o servamos*

>V>

V>>V>

V>!!>V>

!

!

==

tremos: ##

# #

#

=

221 ^^^^^..C_

0nlo;amente * #y

y #

y

=

221 ^^^^^..C_

#+

+ #+

=

221 ^^^^^ C_

C_ CX

! ! !V> Vy V, V> Vy V> V,= C i VyC V,C i! > ! > ! > y > , >

= + + + +

Factor comEn: #

21

! ! ! V> Vy V> V,= CV> Vy V, i VyC V,C i! > y > , >

= + + + +

! V> Vy V> V,= V i VyC V,C i! > y > , >

= + +

^^^^^.Cf

0dems conocemos 1ue:

+ y# + y #

k 3i

= cuyo desarrollo es:

VyV iC V, 3C V, V> GC Vy V>y , > , > y = +

0 ora el desarrollo de: C V V :



70/157

+ y#

# y

y #

# +

+ #

y +

+ y

k 3i

)()()()(

=

i C V, V> V, C Vy V> Vy> , > y

3 C V, Vy V, C Vy V> V>y , > y

G C V, Vy Vy C V, V> V>y , > ,

= + +

C V V i V,C V> V, VyC V> Vy C

, > y > = +

u u

C` CT :!V= i C V V i

! > = +

u u

0nlo;amente:

!V== 3 C VD V 3

! y

= +

u u u

!V=== G C V V G! ,

= + u u u

( ).V V = == === = + +

0celeraci$n convectivaC ca :

c c > c y c ,a a a a= + +

!ca C .V V CV C >V >V!

= = + ?

(or lo tanto !+ +(%!%1+(#)' o +! tCa de la )art2cula ser:

!t

V a CV D C VD V

t != + +

u u u u



71/157

3@- E! (+/ o 1o +(#o'+!@

%s un cam)o vectorial 1ue se deriva del cam)o de velocidades y 1ue evalEa la rotaci$n local

de una )art2cula y se de/ine matemticamente )or el )roducto vectorial de )or V .

Rotacional de V >V=

rot V >V=

+ y# + y #

k 3i

rot

=

"uyo desarrollo es:

B Q B \ Q \V V V V V Vrot V C i C 3 C Gy , > , > y

= +

"omo deriva del cam)o de velocidades tam i&n es /unci$n tanto del )unto como de tiem)o y

es una medida de la rotaci$n o vorticidad de la )art2cula dentro del /lu3o )or esta ra,$n se le

conoce tam i&n como (+/ o o1 #(o o .

S#.'#(+$o &, #(o $%! %( o1 1o +(#o'+!*

"omo el cuer)o r2;ido adems de la traslaci$n una )art2cula )uede e>)erimentar una

rotaci$n intentemos una re)resentaci$n /2sica del vector rotacional.

G%'%1+!#$+$% +1+ !+ #' %1 1% +(#)' &, #(+*

a "onsideremos la rotaci$n )ura de una )art2cula C)rescindimos de la traslaci$n de la

)art2cula

0l encontrarse la )art2cula en rotaci$n )ura a trav&s del movimiento de ;iro alrededor

de un e3e instantneo 1ue )asa )or el centro de ;ravedad de la )art2cula K( 4 Ccuya

direcci$n lo da el vector unitario Ce normal al )lano /ormado )or dos l2neas orto;onales

contenidas en la )art2cula.



72/157

c (ara )oder entender la rotaci$n consideramos 1ue el )unto K( o a tenido una

traslaci$n )ura al )unto K( des)la,ndose un in/init&simo 4Cr r dr = en un instante dt?

ad1uiriendo una velocidad tan;encial dr Vdt

= .

D% (1# (#)' $% !+ 1o +(#)' "1+@-

. De/inida la )osici$n del )unto K( coincidente con el e>tremo de una de las l2neas

orto;onales esta la tomamos como )osici$n inicial de la rotaci$n )ura C)rescindiendo de la

traslaci$n de la )art2cula .

!. %n un instante Kdt el )unto K( a rotado a una )osici$n K( a i&ndose des)la,ado un

d con un radio de ;iro dr .

*. 0l )roducirse la rotaci$n la velocidad an;ular gg vale:

dtd =

Variaci$n del n;ulo de rotaci$n KT con el tiem)o Kt . %l vector velocidad an;ular ser:

= + + # y + i 3 k

La velocidad tan;encial g V g)uede de/inirse como: V dr =

Donde:

dr d>i dy3 d,G= + +

= =

u u

# y +

i 3 k

! r !# !y !+

y , > , > yV dr iC d, dy 3C d, d> GC dy d>= = +

!y!+ # + y =

!#!+ y + # =

!#!y + y # =



73/157

"alculamos el rotacional de V : V es decir:

)()()( !#w!y!#!+ ! !+ + y #

k 3i

rot

y # + # y + y

=

> y > , > y > ,rotV V C dy d> C d, d> i C dy d> C d, dy 3y , > , = = + +

u u

k !y!+ y

!#!+ # + y + #

+

+ )()(

[ ] [ ]> > y y , ,rotV V i 3 G = = + + +

> y ,rotV V C! i ! 3 ! G= = + +

> y ,rotV V !C i 3 G rotV != = + + =

Po1 !o +' o %! #.'#(+$o &, #(o $%! %( o1 1o +(#o'+! %' "' /o #/#%' o $% 1o +(#)'

+!1%$%$o1 $% "' %J% % #."+! +! $o !% $%! %( o1 %!o(#$+$ +'."!+1*

rotV V != =

De la e>)resi$n C_

!Va CV C V Vt !

= + +

u u u u

La aceleraci$n en un )unto est /ormada )or las com)onentes:

)(21 2 "orres)onde al movimiento de traslaci$n )ura.

rot # "orres)ondiente al movimiento de rotaci$n llamada

aceleraci$n de K"oriolis .

y

t

0celeraci$n local.



74/157

C!+ #(+(#)' $% !o F!"Jo

%>isten di/erentes criterios )ara clasi/icar un /lu3o. %ste )uede ser: )ermanente o no

)ermanente? uni/orme o no uni/orme? laminar o tur ulento? su)ercr2tico cr2tico o su cr2tico?

tridimensional idimensional o unidimensional? rotacional o irrotacional incom)resi le o

com)resi le etc. aun1ue no los Enicos si son los /lu3os ms im)ortantes 1ue clasi/ica la

in;enier2a.

%s de inter&s )articular de la in;enier2a las conducciones )or tu er2a y )or canal.

F!"Jo %1/+'%' % 'o %1/+'%' %

%sta clasi/icaci$n o edece a la utili,aci$n del tiem)o como varia le. %l /lu3o es )ermanente si

las caracter2sticas idrulicas del /lu3o en una secci$n Cvelocidad )resi$n densidad etc. nocam ian con res)ecto al tiem)o? o ien si las variaciones en ella son muy )e1ueOas con

res)ecto a sus valores medios y &stos no var2an con el tiem)o.

#atemticamente se )uede re)resentar:

0; 0; 0 ; . = = =

" petc

t t t

Flu3o )ermanente.

-i las caracter2sticas idrulicas cam ian con res)ecto al tiem)o tendremos un /lu3o no)ermanente matemticamente se re)resenta:

0; 0; 0

" pt t t

? etc. Flu3o no )ermanente.



75/157

F!"Jo U'#&o1/% 'o "'#&o1/%

%sta clasi/icaci$n o edece a la utili,aci$n del es)acio como varia le. %l /lu3o es uni/orme si las

varia les idrulicas del /lu3o en una lon;itud de su desarrollo Cvelocidad )resi$n densidad

etc. no cam ian con res)ecto al es)acio.

#atemticamente se )uede re)resentar:

0 ; 0 ; 0 = = =

" p L L L

-i las caracter2sticas idrulicas cam ian con res)ecto al es)acio tendremos un /lu3o no

uni/orme o varia le. #atemticamente se re)resenta.

0 ; 0 ; 0

" p

L L L

"onsid&rese un /lu3o )ermanente en dos situaciones distintas: una con tu er2a de dimetro

constante y la otra con tu er2a de dimetro decreciente.

F!"Jo U'#$#/%' #'+!; 8#$#/%' #o'+! T1#$#/%' #o'+!@

%strictamente a lando el /lu3o es siem)re 1#$#/%' #o'+! es decir cuando sus caracter2sticas

idrulicas o varia les idrulicas cam ian en el es)acio o sea 1ue los ;radientes del /lu3o

e>isten en las tres direcciones.

%l /lu3o % #$#/%' #o'+! cuando sus caracter2sticas son id&nticas so re una /amilia de )lanos

)aralelos no a iendo com)onentes en direcci$n )er)endicular a dic o )lano o ien ellas

)ermanecen constantes? es decir 1ue el /lu3o tiene ;radiente de velocidad o de )resi$n Co tiene

am os en dos direcciones e>clusivamente.



76/157

%l /lu3o es "'#$#/%' #o'+! "uando sus caracter2sticas var2an como /unciones del tiem)o y de

una coordenada curvil2nea en el es)acio usualmente la distancia medida a lo lar;o del e3e de la

conducci$n.

%l /lu3o de un /luido real no )uede ser com)letamente unidimensional de ido al e/ecto de la

viscosidad ya 1ue la velocidad en una /rontera s$lida es i;ual a cero )ero en otro )unto es

distinto de cero? sin em ar;o a3o la consideraci$n de valores medios de las caracter2sticas en

cada secci$n se )uede considerar unidimensional. %sta i)$tesis es la ms im)ortante en

idrulica )or las sim)li/icaciones 1ue trae consi;o.

%n resumen un /lu3o es siem)re tridimensional. -in em ar;o cuando en el /lu3o )revalece una

direcci$n es considerada unidimensional como ocurre con las tu er2as y los canales. %n el

caso de los canales ay circunstancias en las cuales no se )uede )rescindir de una se;unda

dimensi$n )ara descri ir al /lu3o de iendo acerse el estudio del /lu3o )lano o idimensional.

L+/#'+1 T"1 "!%' o

"lasi/icaci$n de los /lu3os de acuerdo al )redominio de las /uer,as viscosas y de las /uer,as de

inercia.

F!"Jo L+/#'+1@-Flu3o caracter2stico de velocidades a3as de trayectorias ordenado rectil2neas

y )aralelas.

F!"Jo "1 "!%' o* Flu3o caracter2stico de velocidades ordinarias Caltas de trayectoria errticas

o desordenadas. %>isten )e1ueOas com)onentes de velocidad en direcciones transversales a

la del movimiento ;eneral las cuales no son constantes si no 1ue /luctEan con el tiem)o? de

acuerdo con una ley aleatoria aEn cuando el /lu3o en ;eneral sea )ermanente.



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Las com)onentes transversales de la velocidad en cada )unto ori;inan un /%>(!+$o #' %' o

$% !+ +1 ,("!+ 1ue consume )arte de la ener;2a del movimiento )or e/ecto de la /ricci$n

interna y 1ue tam i&n en cierto modo es resultado de los e/ectos viscosos del /luido.

%>iste un )armetro

1ue es /unci$n

D y cuyo valor

)ermite di/erenciar el

/lu3o es decir si es

laminar o tur ulento denominado NEmero de Reynolds C .

F!"Jo Ro +(#o'+! % I11o +(#o'+!@-

@n /lu3o es rotacional; si en su seno el cam)o rot ad1uiere valores distintos de cero )ara

cual1uier instante y es =rrotacional )or el contrario si en su seno del cam)o de /lu3o el vector

rotacional de es i;ual a cero )ara cual1uier )unto e instante.

-i se e>ce)tEa la )resencia de sin;ularidades vorticosas en el caso ;eneral el movimiento de

un /luido ideal se )uede su)oner =rrotacional. Los e/ectos de la viscosidad de /luido constituyen


No e>iste me,cla macrosc$)ica o

intercam io transversal entre

)art2culas.

%>iste me,clado intenso de las

)art2culas.

3 2

22 2 2

2

2 2

2 2

2 2

( )

= = = =

= =

=

= = = =

== =

= =

I

I

I

T

I

m F ma a L LT

L F L L

T F L

! F A L L L

!y L

F - L F L L F L

D D


78/157

la causa )rinci)al de dic as sin;ularidades Cvorticosas . -in em ar;o el /lu3o =rrotacional ocurre

con astante /recuencia en los )ro lemas de la )rctica.

-i ien el t&rmino rotaci$n im)lica un ;iro de )art2culas esto no si;ni/ica 1ue es rotacional todo

movimiento e/ectuado de acuerdo a una trayectoria curva o ien 1ue todo movimiento rectil2neo

es =rrotacional.

"iertos escurrimientos se )ueden considerar macrosc$)icamente como irrotacionales. %n otros

casos a )esar de e>istir trayectorias curvas la distri uci$n de velocidades )uede ser de /orma

tal 1ue las l2neas medianas o las dia;onales de una )art2cula de /orma rectan;ular no

modi/ican su orientaci$n durante el movimiento el /lu3o es o viamente =rrotacional@%sto se

re)resenta es1uemticamente en las /i;uras si;uientes en las cuales el vector rot ser2a

normal al )lano del )a)el.

%l movimiento a a3as velocidades de un /luido viscoso es ;eneralmente rotacional.

Flu3o Lineal =rrotacional Flu3o Lineal Rotacional

Flu3o "urvil2neo =rrotacional Flu3o "urvil2neo RotacionalC%s1uema =deal C%s1uema Real

D% (1# (#)' $%! Mo #/#%' o

%l movimiento de un /luido 1ueda descrito cuando se est en condiciones de conocer:MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 78


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%l cam io de )osici$n de una )art2cula

La variaci$n de la velocidad en un )unto.

Hay dos /ormas clsicas de descri ir el movimiento de un /luido:

M= o$o $% E"!%1* y ,V V C> y , t i V C> y , t 3 V C> y , t G= + +

Las varia les de)endientes son: V > Vy y V,

Las varia les inde)endientes son: > y , t.

M= o$o $% L+.1+'.%*"onsiste en ele;ir una )art2cula y determinar las varia les cinemtica

de esa )art2cula en cada instante si;uiendo su recorrido. =denti/icada una )art2cula )or su

)osici$n inicial or C>o yo , o en el instante t t o en otro instante cual1uiera Kt la misma

)art2cula se encuentra en la )osici$n rC> y , . %ntonces la )osici$n de la )art2cula se tiene

conocida en cual1uier instante si el vector de )osici$n r se determina como /unci$n del tiem)o

Kt y la )osici$n inicialor ? o sea:

0( , )r r r t =

0

( , , , ) ( , , , ) ( , , , )r ai / 3 ck r # a / c t i y a / c t 3 + a / c t k

= + += + +

Las varia les de)endientes son: > y ,.

Las varia les inde)endientes son: a c t.

De los dos m&todos se )re/iere el )rimero )or 1u& su mane3o anal2tico es ms sim)le. %s el

1ue normalmente se em)lea en los li ros de mecnica de /luidos.

L,'%+ $% (o11#%' %; 1+ %( o1#+ " o $% (o11#%' %MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 79


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-e su)one 1ue en un instante Kt 4 se conoce el cam)o de velocidad de un /lu3o.

L,'%+ $% Co11#%' %. se de/ine l2nea de corriente toda l2nea tra,ada idealmente en el seno

l21uido de modo 1ue la tan;ente en cada uno de sus )untos )ro)orcione la direcci$n del vector

velocidad corres)ondiente. No e>iste )osi ilidad de 1ue dos l2neas de corriente ten;an un

)unto comEn )ues ello si;ni/icar2a 1ue en el )unto de intersecci$n e>istieran dos vectores

distintos.

( ) Lc t =

-i el /lu3o es no )ermanente )ara otro instante Kt la con/i;uraci$n de las l2neas de corriente es

otra. -i el /lu3o es )ermanente la con/i;uraci$n de dos l2neas de corriente es la misma en

cual1uier momento.

L2nea de corriente )ara un instante Kt

E("+(#o'% $% !+ !,'%+ $% (o11#%' %

%n la l2nea de corriente de la /i;ura )ara un instante Kt donde el )unto K est in/initamente

)r$>imo a K! de manera 1ue se )uede considerar 1ue1 2= =

.



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"omo V y dr son vectores )aralelos Ctienden a ser colineales lue;o:

4V dr =

? = g V dr ! dr sen u

Donde u Vector unitario )er)endicular al )lano K4 K y K!

"omo son )aralelos 4 4= = V dr

4 = =u

x y z

i " # V dr V V V

dx dy dz

( ) ( ) ( ) 4 + =y z x z x y i V dz V dy " V dz V dx # V dy V dx

=y z V dz V dy

..............C=y z V V dy dz

...............C!= x z V V dx dz

...............C*= y x V V dx dy

-istema de tres ecuaciones di/erenciales o tenida de C C! y C* :

= =y x z V V V

dx dy dz

La Eltima e>)resi$n constituye la ecuaci$n anal2tica de la l2nea de corriente )ara un instante Kt .

Donde recordamos 1ue: ( ) x y z V V y V x y z t =



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T1+ %( o1#+* -e de/ine trayectoria la curva 1ue marca el camino 1ue si;ue una )art2cula

con el transcurrir del tiem)o.

dr V dt =

u

...........Cdr Vdt =

( )............ != + +

= + + u u

x y z

dr dxi dy " dz#

V V i V " V #

Lue;o C! C

( )+ + = + + x y z dxi dy " dz# V i V " V # dt

.............C*= = x x

dx dx V dt dt

V

.............C+= =y y

dy dy V dt dt

V

.............C5= =z z dz

dz V dt dt V MECNICA DE FLUIDOS I ING CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2005-E 82


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"om)arando C* C+ C5 y acomodando:

y> ,VV V

d> dy d,= =

La e>)resi$n anterior constituye la ecuaci$n analtica de la trayectoria.

( )= x y z V V y V x y z t

K-i el /lu3o es no )ermanente la l2nea de corriente y trayectoria son l2neas distintas )ero si el

/lu3o es )ermanente si;ni/ica lo mismo .

La ra,$n est en 1ue el /lu3o )ermanente el cam)o de velocidad no cam ia con el tiem)o.


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C+/ o o %'(#+!; o!%'o#$+! A1/)'#(o

C+/ o Po %'(#+! : %s un cam)o vectorial en el 1ue e>iste una /unci$n escalar

Cdenominada /unci$n )otencial o )otencia tal 1ue:

F = Donde:

' cam)o )otencial vectorial

/unci$n escalar o /unci$n )otencial de '

"alculemos el ?rot ' donde ' =

i " #

' x y z

x y z

=

u

u u

! ! ! ! ! ! = + + + +

u i " #

y z z y x z z x x y x y

( ) ( ) ( )4 4 4= +i " #

4 ='

Lo 1ue demuestra 1ue si el cam)o de ' es )otencial es =rrotacional? lo cual 3usti/ica 1ue se

)ueda decir indistintamente campo potencial o campo Irrotacional .

(ara el caso )articular del cam)o vectorial de velocidades

V =

V = %s un cam)o )otencial de velocidades

/unci$n )otencial de velocidades

Veri/icndose tam i&n: 4V =

Lo 1ue 3usti/ica 1ue elcampo potencial de !elocidades es un campo Irrotacional .



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(or de/inici$n de y son orto;onales

C+/ o So!%'o#$+! : %s un cam)o vectorial en el 1ue e>iste una /unci$n vectorial

Cdenominada /unci$n solenoidal tal 1ue:

=' (

Donde:

' "am)o solenoidal

/unci$n solenoidal vectorial de '

"alculemos la diver;encia de F : [[ =' donde: ' =

( ) ( )[[ = = ='

= +

u uu uy y z z x x ) ) ) ) ) ) i " #

y z x z x y

( ) [[ =

= + +

u ug y y z z x x

) ) ) ) ) ) i " # i " #

x y z y z x z x y

( ) ! !! ! ! ! = + + u u uug y y z z x x ) ) ) ) ) )

x z x y y x y z z y z x

-umando t&rminos o tenemos:

( ) 4 =

F 4 =



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KLo 1ue demuestra 1ue si el cam)o de ' es solenoidal se veri/icar 1ue su diver;encia es

nula .

0dems se cum)le 1ue es normal a ' ? )ara 1ue el )roducto escalar sea cero ( )94 =

P+1+ %! (+ o +1 #("!+1 $%! (+/ o $% %!o(#$+$% *

V =

V %s un cam)o solenoidal de velocidades

%s una /unci$n solenoidal vectorial de V

Veri/icndose tam i&n: 4 =V

K"ondici$n de /lu3o incom)resi le Cl21uidos . C+/ o A1/)'#(o o L+ !+(%+'o : %s un cam)o vectorial 1ue sucede )ara /lu3os

incompresi%les y 1ue adems es Irrotacional

(or ser incompresi%le ? el cam)o cum)le:

4 =V C "ondici$n de cam)o solenoidal

(or ser Irrotacional ? el cam)o cum)le:

4 =V y = V V C! condici$n de cam)o )otencial

C! C ( ) 4 =V V

( ) 4 =V V ! 4 = %cuaci$n de La)lace o La)laceano

K%n resumen un cam)o es arm$nico cuando cum)le la ecuaci$n de La)lace donde K reci eel nom re de /unci$n arm$nica .



87/157


88/157

Familia de l2neas de corriente

De la ecuaci$n anal2tica de las l2neas de corriente C/lu3o idimensional :

= y x V V

dx dy

D%'#(#)'* La /unci$n corriente es una /unci$n escalar 1ue de/ine a una /amilia de l2neas de

corriente. %sta /unci$n tiene un valor constante di/erente )ara cada l2nea de corriente.

( ) . = x y +te

Las l2neas de corriente sirven )ara la re)resentaci$n ;r/ica de los /lu3os llamados

idimensionales 1ue )ueden re)resentarse /cilmente en un )lano )or1ue la velocidad notiene com)onente normal al )lano del di u3o y la confi uraci$n de corriente en todos los )lanos

)aralelos al del di u3o es id&ntica.

(or cada )unto de la corriente )asa una l2nea de corriente. (or tanto si se tra,aran todas las

l2neas de corriente no se distin;uir2a nin;una y se tra,aran demasiadas el di u3o ser2a con/uso.

(or eso se tra,an solo unas cuantas? )ero de manera 1ue entre cada dos l2neas consecutivas

circula el mismo caudal - .%n el )unto K( so re una l2nea de corriente los tres vectores indicados en la /i;ura son

normales entre s2 de modo 1ue se cum)le:



89/157

= V #

i "

x y

= +

u

4 4

i " #

V x y az =

u

C =

V i " ay x

(ero: C= + x y V V i V i %

"om)arando Ca y C

>

y

Vy

V>

= =

"om)onentes de V en coordenadas cartesianas relacionada con la Funci$n "orriente.



90/157

%ncoordenadas polares en /orma anlo;a:

r V r

Vr

=

=

K"om)onentes de V en coordenadas )olares relacionada con la Funci$n "orriente.

De la ecuaci$n anal2tica de las l2neas de corriente )ara un /lu3o )lano:

= y x V V dx dy

Desarrollando: 4= = x y x y V dy V dx V dy V dx

-ustituyendo:

= =

x

y

V y

V x

en la e>)resi$n anterior resulta: 4 + =dy dx

ay x

4= d

=nte;rando resulta:

.= +te

KLo 1ue con/irma 1ue la /unci$n corriente Kh tiene un valor constante di/erente )ara cada l2nea

de corriente .

0dems sa emos 1ue V y son orto;onales es decir:



91/157

-iendo: = + = +

u u x y V V i V " y i " x y

Donde se conoce 1ue: x V y =

y V x

=

Lue;o: y x V i V " = +

0dems si son orto;onales 4 =V y V

( ) ( ) x y y x V V i V " V i V " = + +

= + x y y x V V V V V 4 = V

"onclusiones *

"onocido uno de las /un

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