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200/287 Back Close Lo strato limite Equazioni di Navier Stokes in un flusso incomprimibile ∇ · V =0 , (363) ρ DV Dt + ∇ p = μ∇ 2 V . (364) In forma scalare, in regime stazionario su una lastra piana bidimensio- nale (x> 0,y = 0) ad incidenza nulla (α = 0): ∂u ∂x + ∂v ∂y =0 , (365) u ∂u ∂x + v ∂u ∂y + 1 ρ ∂p ∂x = ν ∂ 2 u ∂x 2 + ∂ 2 u ∂y 2 , (366) u ∂v ∂x + v ∂v ∂y + 1 ρ ∂p ∂y = ν ∂ 2 v ∂x 2 + ∂ 2 v ∂y 2 . (367)
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Lo strato limiteEquazioni di Navier Stokes in un flusso incomprimibile
∇ · V = 0 , (363)
ρDV
Dt+∇p = µ∇2V . (364)
In forma scalare, in regime stazionario su una lastra piana bidimensio-nale (x > 0, y = 0) ad incidenza nulla (α = 0):
∂u
∂x+
∂v
∂y= 0 , (365)
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y+
1
ρ
∂p
∂x= ν
�∂2u
∂x2+
∂2u
∂y2
�, (366)
u∂v
∂x+ v
∂v
∂y+
1
ρ
∂p
∂y= ν
�∂2v
∂x2+
∂2v
∂y2
�. (367)
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La viscosita
µ si misura in Kg/(m s); ν = µ/ρ si misura in m2/s.
• La viscosita e una funzione di stato (dipende solo dal punto) ed eessenzialmente funzione di temperatura e pressione.
• La viscosita aumenta sempre con la pressione.
• Nei liquidi la viscosita diminuisce rapidamente con la temperatura.
• Nei gas rarefatti aumenta con la temperatura.
Per l’aria (legge di Sutherland):
µ
µ0=
�T
T0
�3/2 T0 + 110
T + 110, (368)
T0 = 288K, µ0 = 1.79× 10−5Kg
ms.
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Derivazione delle equazioni dello strato limite
• Nel modello di flusso ideale la velocita sul corpo impermeabile etangente ad esso, ma finita.
• L’esperienza mostra che, in un flusso reale, sul corpo e V = 0: deveesistere una regione (adiacente al corpo), di spessore piccoloδ rispetto alla dimensione caratteristica L, in cui la velocitapassa da valori finiti a 0.
• In questa regione ∆u/V∞ ≈ O(1), ∂u/∂y ≈ ∆u/δ.
• Se δ e piccolo allora µ∂u/∂y non e trascurabile anche se µ � 1.
• In questa regione (strato limite) occorre utilizzare un’altra scaladi lunghezze (δ) per adimensionalizzare le equazioni.
• Nello strato limite la velocita normale alla parete (v) e piccola(rispetto a u) occorre adimensionalizzare anche v con una diversascala delle velocita.
• Prandtl ricava le equazioni dello strato limite ipotizzando apriori che, nello strato limite, i termini convettivi e diffusivi(dissipativi) siano dello stesso ordine di grandezza.
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Adimensionalizzazione
x∗ =x
L, y∗ =
y
δ=
y
�L; (369)
u∗ =u
V∞, v∗ =
v
βV∞, p∗ =
p
ρV 2∞
. (370)
Continuita:∂u∗
∂x∗ +β
�
∂v∗
∂y∗= 0 . (371)
Quantita di moto lungo x:
u∗∂u∗
∂x∗ +β
�v∗∂u∗
∂y∗+
∂p∗
∂x∗ =1
Re∞
�∂2u∗
∂x∗2 +1
�2∂2u∗
∂y∗2
�. (372)
Quantita di moto lungo y:
u∗∂v∗
∂x∗ +β
�v∗∂v∗
∂y∗+
1
β�
∂p∗
∂y∗=
1
Re∞
�∂2v∗
∂x∗2 +1
�2∂2v∗
∂y∗2
�. (373)
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Dalla continuita risultaβ = � , (374)
la scala delle velocita normali e dello strato limite coincidono.Dalla quantita di moto lungo x, imponendo che termini convettivi e
diffusivi dissipativi siano dello stesso ordine, si ottiene:
Re∞�2 = 1 ⇒ � =
1√Re∞
;δ
L=
1√Re∞
. (375)
Le equazioni diventano:
∂u∗
∂x∗ +∂v∗
∂y∗= 0 ; (376)
u∗∂u∗
∂x∗ + v∗∂u∗
∂y∗+
∂p∗
∂x∗ =∂2u∗
∂y∗2+O(�2) ; (377)
∂p∗
∂y∗= O(�2) . (378)
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Equazioni di Prandtl (dimensionali)
∂u
∂x+
∂v
∂y= 0 , (379)
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y+
1
ρ
∂p
∂x= ν
∂2u
∂y2, (380)
∂p
∂y= 0 . (381)
Condizioni al contorno
u(x, 0) = v(x, 0) = 0 ; (382)limy→∞
u(x, y) = V∞ ; (383)
p = p(x) = p∞. (384)
Occorre inoltre conoscere il profilo di velocita u = u(y) ad x = 0.
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Risultati fondamentali della teoria
• In flussi ad elevato numero di Reynolds (Re∞ � 1) esiste,in prossimita del corpo, una regione sottile di spessore δ/L ≈1/√Re∞ (lo strato limite) in cui la viscosita non puo piu essere
trascurata.
• Ad una data stazione x, la pressione e costante lungo y: nellostrato limite p = p(x).
• La pressione e data dal campo di moto ideale!
• Nello strato limite si genera un’elevata vorticita ζ ≈ ∂u/∂y che, inbase al teorema di Stokes, giustifica la circolazione presente intornoa corpi bidimensionali portanti.
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Equazioni di Prandtl per un corpo generico
Le equazioni di Prandtl sono state appena ricavate nel caso di lastrapiana. Si dimostra che le stesse equazioni sono valide per un corpobidimensionale generico (per esempio un profilo alare) con le seguentiipotesi e definizioni:
• x indica l’ascissa curvilinea lungo il corpo. In genere l’origine vieneposta nel punto di ristagno anteriore.
• y indica la coordinata pependicolare, per ogni x al corpo.
• u e v sono rispettivamente le componenti di velocita in ogni puntodello strato limite in direzione tangente e perpendicolare al corpo.
• Il raggio di curvatura del corpo r(x) e tale che L/r = O(�) � 1e dr/dx = O(�) � 1. La curvatura del corpo e piccola e nonvaria bruscamente.
In queste ipotesi le equazioni (379), (380) e (381) sono ancora vali-de anche se l’equazione di continuita e ora approssimata (a meno diO(1/
√Re∞) e la quantita di moto lungo y vale a meno diO(1/
√Re∞)
(invece di O(1/Re∞)).
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Condizioni al contorno
u(x, 0) = v(x, 0) = 0 ; (385)limy→∞
u(x, y) = Ue(x) ; (386)
dp
dx= −ρUe
dUe
dx. (387)
• Ue(x) e la velocita sul corpo determinata risolvendo il flusso ideale,influenza della forma del corpo sullo strato limite.
• Due problemi indipendenti: sul ventre e sul dorso del profilo apartire da condizioni iniziali note nel punto di ristagno.
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Il coefficiente di attrito
In un flusso incomprimibile:
τij = −pδij + µ�∂Vj
∂xi
+∂Vi
∂xj
�(388)
Tenendo conto che ∂/∂y ≈ O(1/δ) e v ≈ O(δV∞), nell’ipotesi distrato limite il termine fondamentale della parte dissipativa del tensoredegli sforzi (τ ) e
τ ≈ µ∂u
∂y. (389)
τ valutato alla parete y = 0 fornisce lo sforzo di attrito alla parete:
τw = µ�∂u
∂y
�
y=0
. (390)
Nel caso di una lastra piana di lunghezza L si ottiene quindi la resi-stenza per unita di lunghezza:
d =�
L
0τw dx . (391)
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Coefficiente di attrito:Cf(x) =
τw12ρU 2
e
. (392)
Coefficiente di resistenza di una lastra piana di lunghezza L:
Cd =d
12ρV 2
∞L=
� 1
0Cf
�x
L
�d�x
L
�. (393)
Lo spessore dello strato limite
Definizione:u[x, δ(x)] = Ue(x) . (394)
• La condizione al contorno per y → ∞ indica che questa condizionee esattamente verificata solo all’infinito.
• Non esiste una definizione senza ambiguita dello spessore dellostrato limite.
• Definizione pratica (convenzionale): u[x, δ(x)] = 0.99 Ue(x).
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Lo spessore di spostamento
δ∗(x) =� ∞
0
�1− u(x, y)
Ue(x)
�dy . (395)
• δ∗ e univocamente determinato (non ci sono ambiguita).
• La portata di massa che attraversa lo strato limite ad una da-ta stazione x si ottiene supponendo il flusso ideale (u(x, y) =Ue(x)) ed ispessendo il corpo di una quantita δ∗(x):
y → ∞ : ρ�
y
0u dy = ρUe (y − δ∗) . (396)
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Velocita normale al bordo dello strato limite
Conservazione della massa:
ρV∞δ =�
δ
0ρu dy +
�x
0ρvδ(x) dx . (397)
Da cui si ottiene:
δ∗ =�
x
0
vδ(x)
V∞dx ⇒ vδ(x)
V∞=
dδ∗
dx. (398)
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• La lastra piana si comporta come un corpo di geometria yc =δ∗(x) immerso in una corrente a potenziale (non viscosa).
Infatti la condizione di tangenza della corrente ideale per y = δ∗ e:
v
u≈ v
V∞=
dycdx
=dδ∗
dx. (399)
Nel caso di corpo generico si ottiene, in modo analogo:
vδ(x) = Ue(x)dδ∗
dx. (400)
E possibile risolvere il campo di moto nel seguente modo iterativo:
1. calcolare il campo di moto ideale (non viscoso) con la condi-zione sul corpo di velocita del fluido tangente al corpo stesso;
2. calcolare lo strato limite sul ventre e sul dorso del corpo par-tendo dal punto di ristagno anteriore;
3. correggere la geometria del corpo con lo spessore di spostamen-to calcolato;
4. reiterare il procedimento a paetire dal punto 1.
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Spessore di quantita di moto
θ(x) =� ∞
0
�1− u(x, y)
Ue(x)
�u(x, y)
Ue(x)dy . (401)
Bilancio di quantita di moto in direzione x per una lastra piana:
d =�
h
0ρV 2
∞ dy −�
δ
0ρu2 dy . (402)
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Per la conservazione della massa:�
h
0ρV 2
∞ dy = V∞
�δ
0ρu dy . (403)
Quindi:
d =�
δ
0(ρV∞u− ρu2) dy = ρV 2
∞θ . (404)
Cd(x) = 2θ(x)
x. (405)
• Lo spessore di quantita di moto e indice della resistenza (viscosa)della lastra piana.
• Il risultato e valido anche per un profilo alare (con θ valutato nellascia del profilo).
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Fattore di forma dello strato limite
H(x) =δ∗
θ(406)
• H caratterizza la forma del profilo di velocita u = u(y) all’internodello strato limite.
Prob. n. 19: Calcolare H per un profilo di velocitatriangolare
y ≤ δ :u
Ue
=y
δ; y > δ :
u
Ue
= 1 . (407)
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Soluzione delle equazioni di Prandtl per la lastra piana
Equazioni (adimensionali):
∂u
∂x+
∂v
∂y= 0 , (408)
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y=
∂2u
∂y2. (409)
Condizioni al contorno:
u(x, 0) = v(x, 0) = 0 ; (410)limy→∞
u(x, y) = 1 . (411)
• Si deve risolvere un sistema di equazioni a derivate parziali nonlineare!
Introducendo la funzione di corrente ψ(x, y) l’equazione di conti-nuita (408) e automaticamente soddisfatta.
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Si cercheranno soluzioni simili, cioe nella forma
ψ(x, y) = X(x)f (η) , (412)
dove η = y/g(x).
Essendo∂η
∂x= −g�(x)
g(x)η ;
∂η
∂y=
1
g(x)(413)
si ottiene
u =∂ψ
∂y=
X(x)
g(x)f �(η) , (414)
v = −∂ψ
∂x= −X �(x)f (η) +X(x)
g�(x)
g(x)ηf �(η) , (415)
∂u
∂x=
X �(x)
g(x)f �(η)−X(x)
g�(x)
g2(x)[ηf ��(η) + f �(η)] , (416)
∂u
∂y=
X(x)
g2(x)f ��(η) ,
∂2u
∂y2=
X(x)
g3(x)f ���(η) . (417)
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Sostituendo nella (409) si ottiene:
f ��� +X �(x)g(x)f f �� + [X(x)g�(x)−X �(x)g(x)] f �2 = 0 . (418)
Affinche f = f (η), l’equazione (418) deve essere ordinaria in η e nondipendere da x, cioe:
X �(x)g(x) = k1 , X(x)g�(x) = k2 , (419)
con k1 e k2 costanti arbitrarie.Ponendo k1 = k2 = 1/2, dalle (419) si ottiene
[X(x)g(x)]� = 1 ⇒ X =x + C1
g(x). (420)
Si puo porre, senza perdere di generalita, C1 = 0. Sostituendo l’e-spressione di X(x) nella seconda delle (419) ed integrando:
g(x) = C2
√x , (421)
dove si puo porre, ancora una volta, C2 = 1.In definitiva:
g(x) =√x ; X(x) =
√x . (422)
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L’equazione (418) si riduce alla equazione di Blasius:
f ��� +1
2f f �� = 0 , (423)
con condizioni al contorno (ai limiti):
f �(0) = 0 , f (0) = 0 , limη→+∞
f �(η) = 1 . (424)
Questo problema puo essere risolto numericamente in modo abba-stanza semplice.
Prob. n. 20: Risolvere al calcolatore il problema diBlasius
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Valori della funzione di Blasius f e delle sue derivate.
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Risultati della soluzione lastra piana
η = ydim
�V∞
νx, u = f �(η) . (425)
• Il profilo di velocita e simile: al variare di x e sempre lo stesso inη mentre in ydim risulta solo scalato di
√x.
v =1
2√x[ηf �(η)− f (η)] . (426)
• Nello strato limite esiste una (piccola) componente di velocita nor-male che varia come 1/
√x.
• u = 0.99 → η = 5.0 ⇒ δ99% = 5.0�
νx
V∞: lo spessore dello strato
limite varia parabolicamente con x.�δ99%x
≈ 5.00√Rex
�5
• δ∗ = 1.721�
νx
V∞, θ = 0.664
�νx
V∞, H=2.59.
5Rex e il numero di Reynolds in cui si e usato x come lunghezza di riferimento.
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Profilo di velocita nello strato limite sulla lastra piana, confronto tra soluzione di Blasius ed
esperimenti.
τw = µV∞
�V∞
νxf ��(0) , f ��(0) = 0.332 , Cf =
0.664√Rex
. (427)
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Cd(L) = 2θ(L)
L=
1.328√ReL
. (428)
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Flussi con gradiente di pressione, punto di separazione
Bilancio di quantita di moto lungo x valutato per y = 0:
µ�∂2u
∂y2
�
y=0
=∂p
∂x. (429)
• La curvatura del profilo di velocita alla parete e direttamente col-legata al gradiente di pressione.
∂p
∂x< 0 (favorevole) ∂p
∂x> 0 (sfavorevole)
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Definizione del punto di separazione:
xs :�∂u
∂y
�
y=0
= 0
.
• Strati limite con gradienti sfavorevoli di pressione (∂p∂x
> 0) possonoportare alla separazione della vena fluida.
• Il punto di separazione dipende solo dal gradiente di pressione (enon dal numero di Reynolds).
• La separazione e un punto di singolarita delle equazioni di Prand-tl che cessano di essere valide: negli strati limite separati lapressione sul corpo non e piu indipendente dalla viscosita.
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La turbolenzaL’esperienza di Reynolds
L’esperimento di Reynolds ha messo in luce l’esistenza di due regimi dimoto in un condotto profondamente diversi, il passaggio da un regimeall’altro e identificato da un numero di Reynolds critico Recr ≈ 2200(basato sulla velocita media e sul diametro del condotto).
• Re < Recr: il flusso e stabile regime laminare;
• Re > Recr: regime turbolento (il flusso e instabile).
Strato limite turbolento su lastra piana
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Strato limite turbolento su lastra piana
Visualizzazione mediante fumi di un flusso d’aria su una lastra piana(V∞ = 3.3 m/s), transizione a Rex ≈ 2× 105:(a) vista dall’alto; (b) vista laterale.
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Getto assialsimmetrico
Fluorescenza indotta da laser, ReD ≈ 2300.
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Proprieta di un flusso turbolento
1. Fluttuazioni di pressione e velocita (anche di temperatura se c’eflusso termico). Le fluttuazioni di velocita sono in tutte e 3 ledirezioni (anche in caso di fenomeno laminare 2D); le fluttuazionisono intorno ad un valore medio.
2. Vortici (Eddies) di diverse dimensioni (da 40mm a 0.05mm nell’e-sperimento della fotografia precedente).
3. Variazioni casuali delle proprieta del fluido; non e possibile preve-derle deterministicamente ad un dato istante in un dato punto.
4. Moto autosostenibile. Una volta innescato, il flusso turbolentoe in grado di mantenersi da solo producendo nuovi vortici chesostituiscono quelli persi per effetto della dissipazione.
5. Il mescolamento e molto piu forte che nel caso laminare (in cuie dovuto esclusivamente ad azioni molecolari). I vortici turbolentisi muovono in 3 dimensioni e causano una rapida diffusione dimassa, quantita di moto ed energia. Attrito e flusso termico sonomolto piu elevati del caso laminare. Il mescolamento turbolentoe proporzionale al gradiente del flusso medio.
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Medie e fluttuazioni
u = u + u� , u =1
T
�t0+T
t0
u dt . (430)
• Per definizione di media u� = 0, per misurare le fluttuazioni siutilizza
√u�2.
Lastra piana.
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• Anche se il flusso e 2D in media esistono fluttuazioni di V in tuttele direzioni.
• Le fluttuazioni scompaiono alla parete (sottostrato laminare).
• Il profilo di velocita medio turbolento e piu panciuto del corrispon-dente laminare: a parita di numero di Reynolds, in uno stratolimite turbolento gli sforzi di attrito sono molto piu grandi.
• Lo spessore di uno strato limite turbolento e maggiore.
• Allontanandosi dalla parete le fluttuazioni di velocita diventanouguali: la turbolenza diventa isotropa.
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Lastra piana, Cf = Cf(Rex).
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Equazioni di Navier-Stokes mediate alla Reynolds
Equazioni di Navier-Stokes per un flusso incomprimibile:
∇ · V = 0 ;
ρDV
Dt= −∇p + µ∇2V . (431)
con V = (u, v, w)T . Si assuma
u = u + u�, v = v + v�, w = w + w�,p = p + p�, T = T + T �.
L’equazione di continuita mediata nel tempo diventa:
∇ · V = 0 . (432)
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L’equazione di quantita di motodiventa:
ρDu
Dt= −px + µ∇2u− ρ[(u�u�)x + (v�u�)y + (w�u�)z],
ρDv
Dt= −py + µ∇2v − ρ[(u�v�)x + (v�v�)y + (w�v�)z], (433)
ρDw
Dt= −pz + µ∇2w − ρ[(u�w�)x + (v�w�)y + (w�w�)z],
(il pedice indica derivazione parziale rispetto alla corrispondente va-riabile).
• τR= σi(−ρu�
iu�j)σj: tensore di Reynolds.
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Posto
τij = µ
�∂V i
∂xj
+∂V j
∂xi
�
− ρu�iu
�j , (434)
Il bilancio di quantita di moto diventa:
ρDV
Dt= −∇p +∇ · τ . (435)
• E formalmente identico al caso laminare avendo sostituito le gran-dezze con la loro media ed aggiunto il tensore di Reynolds al tensore“laminare” degli sforzi.
• L’introduzione di altre 6 incognite (le componenti del tensore diReynolds) rende il sistema indeterminato, a meno che non si troviuna legge (od almeno un modello accurato) che definisca il tensoredi Reynolds (Problema della chiusura delle equazioni di Navier-Stokes mediate alla Reynolds).
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Strato limite turbolento
L’analisi dimensionale delle equazioni di Reynolds nei flussi di stratolimite mette in evidenza che le equazioni possono essere approssimatead una forma equivalente alle equazioni di Prandtl posto τ ≈ µ∂u
∂y−
ρu�v�.
La viscosita turbolenta (eddy viscosity)
Nel 1877 Boussinesq formulo la seguente ipotesi:
− ρu�v� = −ρu�v� = µt
∂u
∂y, (436)
dove µt e la viscosita turbolenta (eddy viscosity).
• Le equazioni dello strato limite turbolento diventano formalmenteidentiche a quelle dello strato limite laminare previa sostituzionedi u e v con i valor medi e la viscosita µ con µtot = µ + µt.
Quanto vale µt?
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• L’ipotesi (intelligente) consiste nell’assumere che il meccanismodi scambio di quantita di moto dovuto al ricircolo caotico dellaturbolenza avvenga in maniera perfettamente analoga a quello alivello molecolare in un fluido newtoniano (µ).
• Per la maggioranza dei flussi la correlazione u�v� < 0.
• Quindi, come per la viscosita molecolare, µt > 0: lo sforzo tur-bolento tende ad accelerare la particella adiacente mediamentepiu lenta.
• Se µt fosse una funzione di stato come la viscosita molecolare (µ =µ(p, T )) le equazioni di Reynolds sarebbero chiuse, ma purtropponon e cosı, l’esperienza ha messo in luce che la viscosita turbolentadipende dalla geometria e dal tipo di flusso.
• Oggi vengono utilizzati dei modelli di turbolenza che, su basesemi-empirica, propongono delle espressioni chiuse per la viscositaturbolenta, o piu in generale, per tutte le componenti del tensoredi Reynolds.
• Questi modelli vengono utilizzati con successo per problemi in cuila fisica e chiara a priori.
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Lo strato limite sui profili alari ad elevato numero diReynolds
Strato limite sul dorso e sul ventre del profilo a partire dal punto diristagno anteriore
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1. Punto di ristagno; nell’intorno del punto di ristagno lo spessoredello strato limite e finito.
2. Strato limite laminare.
3. (Eventuale) separazione laminare xsl: puo avvenire se si incontraun forte gradiente sfavorevole di pressione prima della transizionea flusso turbolento (profili sottili); si forma quindi una bolla diseparazione laminare, nella bolla il flusso transisce a turbolento e,generalmente, riattacca.
4. (Eventuale) punto di transizione a flusso turbolento; dipende dadiversi parametri, i piu importanti sono: numero di Reynolds, gra-diente di pressione, turbolenza iniziale della corrente, rugosita dellasuperficie, numero di Mach.
5. (Eventuale) strato limite turbolento.
6. (Eventuale) separazione turbolenta: puo avvenire se si incontra unforte gradiente sfavorevole di pressione; in condizioni di crociera ingenere i profili lavorano senza separazione.
7. Scia, di spessore piccolo se non c’e separazione o questa e moltovicina al bordo d’uscita.
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La resistenza dei profili alari in subsonico
• In campo subsonico la resistenza totale che agisce su un profilo (2D)e solo di origine viscosa ed e indicata come resistenza di profilo(dp).
• La resistenza di profilo puo essere distinta nei seguenti contributi:
1. resistenza di attrito (df), dovuta all’azione diretta degli sfor-zi tangenziali che si esercitano sulle pareti, sia nella regionelaminare che in quella turbolenta;
2. resistenza di scia o di forma (dwake), che deriva dal mancatorecupero di pressione conseguente a (eventuali) separazioni edalla formazione della scia.
dp = df + dwake . (437)
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La resistenza di scia
Dovuta a due effetti concomitanti:
1. variazione delle distribuzioni di pressione rispetto a quella valutatacon il modello di flusso ideale sulle superfici del corpo;
2. sensibile diminuzione del livello di pressione sulla base ddelle geo-metrie con coda tronca.
• Se la pressione sul corpo fosse perfettamente identica a quella delmodello ideale la resistenza di scia sarebbe nulla.
• La resistenza di scia e tanto maggiore quanto piu estesa e la zonadi flusso separato.
• Nei corpi aerodinamici e dominante la resistenza di attrito.
• Nei corpi tozzi e dominante la resistenza di scia.
Si consideri, a parita di Re, una lastra piana ad α = 0o ed una adα = 90o:
Cd90o≈ 100Cd0o
(438)
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Flusso intorno al cilindro, Cd = Cd(ReD).
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Perche il coefficiente di resistenza diminuisce quando il flusso tran-sisce a turbolento?
• In caso di flusso laminare la separazione avviene a θ ≈ 100o.
• In caso di flusso turbolento la separazione avviene a θ ≈ 80o.
• Per flusso turbolento il recupero di pressione e maggiore e quindidiminuisce sensibilmente la resistenza di scia.
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I profili laminari
Nel caso di corpi aerodinamici la resistenza si riduce in modo signi-ficativo se il flusso si mantiene lungo il corpo il piu possibile laminare.
• I profili laminari sono caratterizzati dalla presenza di una estesazona di flusso laminare a partire dal bordo d’attacco in crociera.
• L’obiettivo e raggiunto spostando il piu possibile indietro il puntoin cui inizia la ricompressione (dp/dx > 0) e lo strato limite diventainstabile.
• In condizioni portanti il picco di pressione puo essere mantenutoverso poppa progettando una opportuna linea media caratterizzatada carico basico costante.
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Caratteristiche del profilo NACA 651 − 212
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• Le polari dei profili laminari sono caratterizzate dalla presenza dellatipica sacca laminare nell’intorno dell’angolo di attacco ideale incui il coefficiente di resistenza e notevolmente piu basso.
• Lontano dall’incidenza ideale, per effetto del carico addizionale, lostrato limite transisce a turbolento molto prima, come nei profiliconvenzionali (la sacca scompare).
• Fuori sacca le prestazioni di un profilo laminare sono, in genere,piu scadenti di un corrispondente profilo convenzionale.
• Per effetto della contaminazione e molto delicato mantenere lecondizioni di flusso laminare.
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Superfici portanti
Oltre all’ala principale, un’aeromobile convenzionale possiede altre su-perfici portanti:
piano orizzontale: consente il controllo e garantisce la stabilitaintorno all’asse di beccheggio.
piano verticale o deriva: consente il controllo e garantisce lastabilita intorno all’asse di imbardata.
• Il controllo intorno all’asse di rollio e consentito dagli alettoni.
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Sistemi di ipersostentazione
Hanno il compito di aumentare CLmax e di ridurre la velocita minimadi sostentamento.
Classificazione:
1. sistemi meccanici (flaps);
2. sistemi di controllo dello strato limite;
3. sistemi gettosostentati (jet flaps).
SI discutono brevemente qui solo i sistemi meccanici.
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Tipi di flap:
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Alettone semplice
• Una cerniera consente la rotazione della parte posteriore del profilo,la conseguente variazione della curvatura comporta una variazionedi αzl e quindi del Cl a parita di incidenza.
• In genere l’angolo di stallo diminuisce.
Curva Cl = Cl(α) per un profilo con alettone al variare dell’inclinazione dell’alettone δ.
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Alettone con uno o piu slot
Profilo NACA 653 − 118, alettone con doppio slot (0.309c).
• Lo slot consente il passaggio di flusso ad alta pressione del ventre suldorso, la separazione viene cosı notevolmente ritardata e l’angolodi stallo aumenta.
• Significativo aumento del Clmax.
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Tipo ∆CLmax
Alettone ≈ 0.9Flap con slot ≈ 1.5Flap con doppio slot ≈ 1.9
Flap Fowler
E uno slotted flap che si abbassa con un moto di rototraslazione percui la portanza viene ulteriormente aumentata a causa dell’aumentodella corda del profilo.
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Slat
Un’aletta con canale posta anteriormente al profilo.
Coefficienti di pressione su una sezione dell’ala del B737-100.40oflaps, α = 8o. Confronto tra prova di volo ed analisi numerica del flusso non viscoso.
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Effetto dello slat sul CLmax.
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Effetti della comprimibilita• In campi di moto comprimibili le equazioni di continuita e quantitadi moto sono accoppiate all’equazione dell’energia: il campo dimoto dipende dal campo termico.
• Nel caso di campi ideali (Re → ∞) con condizioni a monte unifor-mi l’equazione dell’energia ha una soluzione particolarmente sem-plice (H = cost) e la trattazione risulta semplificata nonche validain tutto il campo di moto a parte lo strato limite.
• La fisica dei flussi con M > 1 e profondamente diversa da quellasubsonica!
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Equazioni di Eulero in coordinate intrinseche
Flusso 2D, stazionario, ideale; equazioni di Eulero:
∇ · (ρV) = 0 ; (439)ρV ·∇ V +∇p = 0 . (440)
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Coordinate intrinseche ξ = ξ(x, y), n = n(x, y):
ξ : V = V ξ; n : n ⊥ ξ . (441)
ξ = σx cos θ + σy sin θ ; (442)
n = −σx sin θ + σy cos θ . (443)
dξ = (−σx sin θ + σy cos θ)dθ = ndθ ; (444)
dn = (−σx cos θ − σy sin θ)dθ = −ξdθ . (445)
In particolare si ha che∂ξ
∂ξ= ∂θ
∂ξn .
∇ = ξ∂
∂ξ+ n
∂
∂n. (446)
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Continuita:1
V
∂V
∂ξ+
1
ρ
∂ρ
∂ξ+
∂θ
∂n= 0 . (447)
Oppure, applicando il bilancio integrale tra 2 linee di corrente:
∂(ρV A)
∂ξ= 0 . (448)
Quantita di moto:
ρV∂V
∂ξξ + ρV 2∂θ
∂ξn +
∂p
∂ξξ +
∂p
∂nn = 0 . (449)
Poiche |∂θ/∂ξ| = |1/R|, dove R e il raggio di curvatura e proiettandonelle direzioni ξ e n si ottiene:
ρV∂V
∂ξ+
∂p
∂ξ= 0 ; (450)
ρV 2
R+
∂p
∂n= 0 . (451)
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1. Affinche la velocita possa variare lungo la linea di corrente e neces-saria, lungo la stessa una variazione di pressione di segno opposto.
2. Se la linea di corrente e curva e necessario un gradiente di pressionenormale per bilanciare la forza centrifuga.
Ricaviamo una relazione tra variazione di V e variazione di A lungola linea di corrente.Continuita:
1
V
∂V
∂ξ+
1
ρ
∂ρ
∂ξ+
1
A
∂A
∂ξ= 0 . (452)
Essendo il flusso ideale (isoentropico):
∂p
∂ξ= a2
∂ρ
∂ξ. (453)
Dalla quantita di moto lungo ξ:
1
ρ
∂ρ
∂ξ= −V
a2∂V
∂ξ. (454)
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Dalla continuita:
1
A
∂A
∂ξ= −(1−M 2)
1
V
∂V
∂ξ. (455)
Inoltre1
A
∂A
∂ξ= (1−M 2)
1
ρV 2
∂p
∂ξ. (456)
• In un flusso supersonico all’aumentare della sezione del tubodi flusso la velocita aumenta e la pressione diminuisce.
• Se il numero di Mach e uguale a 1 allora nel tubo di flusso∂A/∂ξ = 0: il passaggio da subsonico a supersonico (o vi-ceversa) avviene in una sezione di minimo (gola) del tubo diflusso.
• A parita di variazione d’area, la comprimibilita esalta le va-riazioni di pressione.
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Bilancio dell’energia in coordinate intrinseche:
∂H
∂ξ= 0 . (457)
L’equazione dell’energia ed il bilancio di quantita di moto lungo ξ nonsono indipendenti.
Relazioni del flusso isoentropico
1. s = cost;
2. H = cpT + V 2
2= γ
γ−1p
ρ+ V 2
2= cost (il flusso e anche isoentalpico).
Ipotesi di gas piucheperfetto:
1. p = ρRT ;
2. dh = cpdT .
Dalla relazione di Gibbs dh = Tds+1ρdp si ha che un flusso isoentropico
e caratterizzato dalle relazioni:
p
prif=
�T
Trif
�γ/(γ−1)
=�
ρ
ρrif
�γ
. (458)
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L’equazione dell’energia si puo scrivere:
T0
T= 1 +
γ − 1
2M 2 , (459)
dove il pedice 0 indica condizioni di ristagno; per cui, in un flussoisoentropico:
p0p
=�1 +
γ − 1
2M 2
�γ/(γ−1)
; (460)
ρ0ρ
=�1 +
γ − 1
2M 2
�1/(γ−1)
. (461)
• In un flusso isoentropico, note le condizioni termodinamichenel punto di ristagno e noto il numero di Mach locale, e notolo stato termodinamico.
• In un flusso reale le condizioni di ristagno variano al variare delpunto: sono cioe a loro volta funzioni dello stato termofluido-dinamico attuale della particella.
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Il coefficiente di pressione in un flusso comprimibile
Cp =p− p∞12ρ∞V 2
∞=
2
γM 2∞
�p
p∞− 1
�. (462)
Utilizzando le relazioni del flusso isoentropico:
Cp =2
γM 2∞
��1 +
γ − 1
2M 2
�− γγ−1
�1 +
γ − 1
2M 2
∞
� γγ−1
− 1
�
. (463)
Nel punto di ristagno:
Cp(M = 0) =2
γM 2∞
��1 +
γ − 1
2M 2
∞
� γγ−1
− 1
�
. (464)
• Nel punto di ristagno di un flusso comprimibile Cp > 1.
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Per M = 1:
C∗p=
2
γM 2∞
��1 +
γ − 1
2
�− γγ−1
�1 +
γ − 1
2M 2
∞
� γγ−1
− 1
�
. (465)
• Per una corrente caratterizzata da un dato valore di M∞ esiste unben preciso valore del coeffficiente di pressione (C∗
p) nel punto in
cui M = 1.
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Effetti della comprimibilita per flussi subcritici intorno aprofili alari
Si consideri un flusso subcritico (M < 1 ovunque) intorno ad un pro-filo sottile a piccole incidenze (ipotesi di piccole perturbazioni). Sidimostra che in ogni punto del campo (formula di Prandtl-Glauert):
Cp ≈CpM∞=0�1−M 2
∞, (466)
dove CpM∞=0 indica il coefficiente di pressione nello stesso punto per ilcaso dello stesso profilo alla stessa incidenza e M∞ = 0.
• Flussi ideali intorno a profili sottili a piccole incidenze in regi-me subcritico possono essere studiati con le tecniche sviluppateper l’analisi incomprimibile!
• Basta amplificare del fattore 1/�1−M 2
∞ il coefficiente di pressio-ne.
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Chiaramente risulta:
Cl ≈ClM∞=0�1−M 2
∞, (467)
dove ClM∞=0 indica il coefficiente di portanza dello stesso profilo allastessa incidenza e M∞ = 0.
• In condizioni subcritiche il coefficiente di portanza aumentadel fattore 1/
�1−M 2
∞ rispetto al caso incomprimibile.
Essendo αzl indipendente da M∞ risulta:
Clα ≈ ClαM∞=0�1−M 2
∞. (468)
• Si dimostra, invece, che il Cd e solo debolmente influenzato da M∞in condizioni subcritiche.
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Calcolo approssimato del Mach critico inferiore
• Per un dato profilo in flusso ideale il Mach critico inferioredipende solo dall’angolo di attacco.
• Quando M∞ = M �∞,cr
la condizione M = 1 viene raggiunta nelpunto di minima pressione.
Procedura
1. Si assegna α.
2. Si calcola il campo di pressione per M∞ = 0.
3. Si determina il valore minimo del coefficiente di pressione Cp,min.
4. Si diagramma in funzione di M∞ la curva Cp,min/�1−M 2
∞.
5. Si diagrammala curva C∗p= C∗
p(M∞) (equazione (465)).
6. L’ascissa del punto di intersezione delle due curve individua M �∞,cr
.
Prob. n. 21: Calcolare M �∞,cr per un dato profilo NACA
ad un assetto assegnato
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Regime transonico
• Il regime transonico e caratterizzato da M �∞,cr
< M∞ < M ��∞,cr
.
• Caratterizza la crociera della maggior parte dei velivoli civili emilitari.
• E il regime piu difficile da analizzare teoricamente.
• Anche nelle ipotesi di flusso ideale e piccole perturbazioni le equa-zioni che governano il problema sono non lineari.
• Solo la comparsa negli anni ’70 dei calcolatori elettronici di grossapotenza di calcolo ha consentito la soluzione con metodi numericidi queste equazioni e quindi la determinazione dei campi transonici.
• In transonico (ed anche in supersonico) compare una nuova formadi resistenza: la resistenza d’onda associata alla perdita di pres-sione di ristagno attraverso le possibili onde d’urto che si formanonel campo.
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• Onda d’urto: superficie di discontinuita di un flusso ideale che siforma in regime stazionario solo se M > 1. Una particella cheattraversa un’onda d’urto subisce un salto positivo di pressionedensita e temperatura, una riduzione della velocita, ad entalpiatotale costante.
• Il processo e irreversibile e non isoentropico (la pressione di ristagnodiminuisce).
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Profilo RAE 2822;α = 2.31o, M∞ = 0.729, Re∞ = 6.5× 106;
linee iso-Mach.
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Profilo RAE 2822; α = 2.31o, M∞ = 0.729, Re∞ = 6.5× 106;distribuzione di pressione sul corpo.
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NACA 0012-34; Cd = Cd(M∞).
• Oltre alla crescitadella resistenza conV 2∞ c’e una ripida
variazione del coeffi-ciente di resistenza:il muro del suono.
• MDD, Mach di di-vergenza della resi-stenza: M∞ tale chedCd/dM∞ = 0.1.
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• Il transonico e caratterizzato da una forte interazione tra stratolimite e onda d’urto
• Attraverso l’onda d’urto si ottiene un gradiente di pressione infi-nitamente sfavorevole.
• Lo strato limite separa molto facilmente.
• Lo strato limite separato si ingrossa, l’urto avanza e si indebolisce,lo strato limite riattacca, l’urto riarretra ed aumenta in intensita ecosı via: si genera un fenomeno instazionario detto buffet.
• Il buffet e pericoloso per le ali; la barriera di buffet costituisce illimite per la velocita massima dei velivoli da trasporto commerciale.
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Profili supercritici
Sono profili caratterizzati da Cd accettabili anche in regime transonicoe consentono quindi di volare in crociera transonica.
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• I profili supercritici sono caratterizzati dall’assenza in crociera dipicchi di pressione (a parte i profili peaky) per limitare i valorimassimi di Mach e quindi l’intensita delle onde d’urto.
• Per recuperare carico in crociera al fine di raggiungere il necessarioCl spesso sono caratterizzati da forti curvature nella parte poppiera(rear loading).
• I profili laminari in condizioni di progetto sono caratterizzati dapicchi di pressione inferiori a quelli dei NACA a 4 e 5 cifre.
• I profili laminari sono quindi caratterizzati (a parita di Cl) da valoripiu elevati di M �
∞,cr: consentono di raggiungere velocita di crociera
piu elevate allontanando l’insorgenza del drag rise.
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L’ala a freccia
L’ala a freccia consente di aumentare (a parita di assetto) il M �∞,cr
,di conseguenza aumenta anche MDD e consente quindi un volo avelocita di crociera piu elevate (a parita di potenza del propulsore).
Schema di un’ala a freccia infinita.
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• In un flusso ideale intorno ad un’ala a freccia infinita il campo dimoto e bidimensionale rispetto ad un riferimento (inerziale) che simuove con velocita V∞ sinΛ.
• Il campo di moto intorno al profilo individuato dalla sezione AC equindi bidimensionale e caratterizzato da M∞ ≈ M∞ cosΛ.
• Le condizioni critiche si raggiungeranno quando M∞ = M �∞,cr
(M �∞,cr
e il Mach critico inferiore del profilo AC).
• Il Mach critico inferiore dell’ala e quindi M �∞,cr
= M �∞,cr
/ cosΛ.
• Le linee di corrente sono fortemente tridimensionali.
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tanαeff =tanα
cosΛ, αeff ≈
α
cosΛ; (469)
V 2eff
= V 2∞(sin
2 α + cos2 α cos2 Λ)
= V 2∞(1− cos2 α sin2 Λ)
≈ V 2∞ cos2 Λ . (470)
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La portanza e indipendente dal sistema inerziale scelto:
CL
1
2ρ∞V
2∞S = CLeff
1
2ρ∞V
2eff
Seff . (471)
Per b → ∞:
S → bc ; Seff →b
cosΛc cosΛ = S . (472)
CLV2∞ = CLeff
V 2eff
⇒ CL = CLeffcos2 Λ ; (473)
CLeff= Clααeff = Clα
α
cosΛ; (474)
CL = Clα
α
cosΛcos2 Λ = Clα cosΛα . (475)
• Il coefficiente di portanza di un’ala a freccia infinita e minoredi un fattore cosΛ rispetto a quello della corrispondente aladritta.
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Effetto dell’allungamento e della freccia sul CLα.
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Altri effetti dell’ala a freccia
• Fissato lo svergolamento di un’ala, all’aumentare della freccia (po-sitiva) il carico si sposta verso le estremita e quindi si allontanadall’andamento ellittico con maggiori rischi di stallo all’estremita.
• Fissato lo svergolamento di un’ala, all’aumentare della freccia (ne-gativa) il carico si sposta verso la mezzeria (soluzione preferibiledal punto di vista aerodinamico, ma fino ad oggi praticamente nonutilizzata per problemi strutturali-aeroelastici).
• Per frecce positive tendenza al fenomeno del nose-up.
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L’aeromobileLe polari
CD = CD(CL,M∞, Re∞, configurazione, trim,motore) . (476)
Polare, curva di portanza e dei momenti per un ala di AR = 10
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Espressione approssimata della polare
L’espressione parabolica della polare costituisce una buona approssi-mazione della polare reale nell’intorno della crociera del velivolo:
CD = CD0 +C2
L
πARe(477)
CD0 = CDp + CDw: coefficiente di resistenza a portanza nulla.
CDp: coefficiente di resistenza di profilo.
CDw: coefficiente di resistenza d’onda;
e: fattore di Oswald.
Una buona approssimazione, nel caso di ala isolata in flusso iposonicoper CDp:
CDp =1
SW
� +b/2
−b/2Cd(y)cdy , (478)
Cd(y): coefficiente di resistenza del profilo dell’ala alla stazione y.
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L’aerodinamica viscosa e fortemente non lineare, comunque in avam-progetto si assume sovente:
CD0 ≈1
Sw
�
k
CDkSk ; (479)
k: k-esimo componente del velivolo (ala, fusoliera, gondola motore,deriva, piano orizzontale, etc.);
CDk: coefficiente di resistenza del k-esimo componente;
Sk: superficie di riferimento del k-esimo componente.
Errori insiti nell’approssimazione parabolica della polare:
• in generale il coefficiente di resistenza non e minimo per CL = 0;
• la resistenza di profilo e la resistenza d’onda variano al variare diCL;
• in condizioni di alta portanza la polare del velivolo si discosta moltodall’andamento parabolico che addirittura non prevede lo stallodell’aeromobile.
