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01 NÚMEROS ENTEROS Y NÚMEROS RACIONALES 1. Números enteros 10 2. Números racionales 12 3. Fracciones equivalentes 14 4. Representación y comparación de fracciones 16 5. Operaciones con fracciones 18 6. Operaciones combinadas con fracciones 20 7. Resolución de problemas con fracciones 21 ACTIVIDADES 22 02 NÚMEROS REALES 1. Expresión de una fracción como número decimal 30 2. Expresión de un número decimal como fracción 31 3. Números irracionales 32 4. Números reales 33 5. Operaciones con números reales 34 6. Aproximaciones 36 7. Errores 37 8. Notación científica 38 9. Intervalos y semirrectas 39 ACTIVIDADES 40 03 SUCESIONES 1. Sucesiones de números reales 48 2. Progresiones aritméticas 50 3. Suma de los términos de una progresión aritmética 51 4. Progresiones geométricas 52 5. Suma de los términos de una progresión geométrica 53 6. Aplicación al interés simple y al interés compuesto 54 ACTIVIDADES 56 04 POLINOMIOS 1. Lenguaje algebraico 64 2. Monomios 65 3. Polinomios 66 4. Suma y resta de polinomios 67 5. Multiplicación de polinomios 68 6. División de polinomios 70 7. Potencia de un polinomio. Identidades notables 72 ACTIVIDADES 74 LO QUE VAMOS A APRENDER MATEMÁTICAS APLICADAS PARA QUE LAS COSAS OCURRAN
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01 NÚMEROS ENTEROS Y NÚMEROS RACIONALES 1. Números enteros 10 2. Números racionales 12 3. Fracciones equivalentes 14 4. Representación y comparación de fracciones 16 5. Operaciones con fracciones 18 6. Operaciones combinadas con fracciones 20 7. Resolución de problemas con fracciones 21ACTIVIDADES 22
02 NÚMEROS REALES 1. Expresión de una fracción como número decimal 30 2. Expresión de un número decimal como fracción 31 3. Números irracionales 32 4. Números reales 33 5. Operaciones con números reales 34 6. Aproximaciones 36 7. Errores 37 8. Notación científica 38 9. Intervalos y semirrectas 39ACTIVIDADES 40
03 SUCESIONES 1. Sucesiones de números reales 48 2. Progresiones aritméticas 50 3. Suma de los términos de una progresión aritmética 51 4. Progresiones geométricas 52 5. Suma de los términos de una progresión geométrica 53 6. Aplicación al interés simple y al interés compuesto 54ACTIVIDADES 56
04 POLINOMIOS 1. Lenguaje algebraico 64 2. Monomios 65 3. Polinomios 66 4. Suma y resta de polinomios 67 5. Multiplicación de polinomios 68 6. División de polinomios 70 7. Potencia de un polinomio. Identidades notables 72ACTIVIDADES 74
LO QUE VAMOS A APRENDER
MATEMÁTICAS APLICADAS
PARA QUE LAS COSAS OCURRAN
09 GEOMETRÍA PLANA 1. Rectas y ángulos 156 2. Lugar geométrico 159 3. Polígonos 161 4. Circunferencia y círculo.
Figuras circulares 164 5. Teorema de Pitágoras 165 6. Semejanza 166 7. Teorema de Tales 168ACTIVIDADES 170
10 MOVIMIENTOS EN EL PLANO 1. Movimientos en el plano 178 2. Vectores 180 3. Traslaciones 181 4. Giros 182 5. Simetrías 183ACTIVIDADES 186
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS 1. Poliedros 194 2. Prismas 196 3. Pirámides 198 4. Cuerpos de revolución 200 5. La esfera terrestre 204ACTIVIDADES 206
12 ESTADÍSTICA 1. Terminología 214 2. Frecuencias y tablas 216 3. Gráficos estadísticos 218 4. Parámetros de centralización y posición 220 5. Parámetros de dispersión 222 6. Análisis e interpretación de información
en los medios de comunicación 224ACTIVIDADES 226
05 ECUACIONES 1. Igualdades, identidades y ecuaciones 82 2. Ecuaciones sencillas de primer grado
con una incógnita 84 3. Ecuaciones de primer grado con paréntesis
y fracciones 86 4. Ecuaciones de segundo grado 88 5. Resolución de problemas con ecuaciones 90ACTIVIDADES 92
06 SISTEMAS DE ECUACIONES 1. Sistemas de ecuaciones lineales
con dos incógnitas 100 2. Resolución de sistemas de ecuaciones 102 3. Método gráfico de resolución de un sistema 106 4. Resolución de problemas mediante sistemas 108ACTIVIDADES 110
07 FUNCIONES 1. Concepto de función 118 2. Dominio y recorrido de una función 120 3. Puntos de corte y signo de una función 121 4. Simetría y periodicidad de una función 122 5. Crecimiento y decrecimiento 123 6. Máximos y mínimos de una función 124 7. Continuidad de una función 125 8. Tipos de discontinuidad de una función 126 9. Análisis, interpretación y construcción
de gráficas 127ACTIVIDADES 130
08 TIPOS DE FUNCIONES 1. Funciones lineales 138 2. Funciones afines 140 3. Funciones cuadráticas 142 4. Funciones de proporcionalidad inversa 143 5. Aplicaciones geométricas 144 6. Las funciones en la vida cotidiana 146ACTIVIDADES 148
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194 | CUANDO UNA PIENSA EN UN PROBLEMA MATEMÁTICO DIF ÍCIL , DIBUJAR GARABATOS AYUDA A MANTENERSE CONECTADA AL PROBLEMA
Un poliedro es un cuerpo geométrico cerrado delimitado por polígonos.
En todo poliedro se distinguen los siguientes elementos:
Cara. Es cada uno de los polígonos que delimitan el poliedro.
Arista. Es el segmento que forma el lado de una cara. En cada arista concurren dos y solo dos caras.
Vértice. Constituye el punto donde concurren tres o más caras.
Diagonal del poliedro. Es el segmento que une dos vértices situados en caras distintas.
Ángulo poliedro. Es el ángulo formado por las caras que concurren en un mismo vértice.
Ángulo diedro. Es el ángulo formado por las caras que concurren en una misma arista.
Diagonal de una cara. Es el segmento que une dos vértices no consecutivos de una misma cara.
Como se muestra en las figuras de la derecha, los poliedros se pueden clasificar
en cóncavos y convexos.
Un poliedro es convexo cuando todo segmento que resulta de unir dos cualesquiera de sus puntos está contenido en él; en caso contrario, el poliedro es cóncavo.
1.1 RELACIÓN DE EULEREn la tabla se recoge el número de caras, vértices y aristas de tres poliedros:
Poliedro 1 Poliedro 2 Poliedro 3
N.° de caras (C) 6 4 7
N.° de vértices (V) 8 4 7
N.° de aristas (A) 12 6 12
C + V 6 + 8 = 14 4 + 4 = 8 7 + 7 = 14
A + 2 12 + 2 = 14 6 + 2 = 8 12 + 2 = 14
1 POLIEDROS
Poliedro convexo Poliedro cóncavo
Como puede observarse en la tabla, los poliedros 1, 2 y 3, que son convexos, cumplen la relación C + V = A + 2, conocida como relación de Euler. En cuanto a los poliedros cóncavos, no todos la cumplen.
11 | CUERPOS GEOMÉTRICOS | 195
1.2 ÁREA TOTAL DE UN POLIEDROSi se extienden las caras de un poliedro sobre un plano, como se muestra en la figura del margen, se obtiene su desarrollo plano, lo que resulta de gran ayuda a la hora de calcular su área total.
El área total de un poliedro es igual a la suma de las áreas de todas sus caras.
Actividad resuelta
Calcula el área del poliedro que se muestra en la imagen de la derecha.
El área del poliedro es la suma de las áreas de las caras que lo componen. De este modo:
Atotal = 4 · Arectángulo + 2 · Acuadrado =
= 4 · 2 · 6 + 2 · 2 · 2 = 48 + 8 = 56 ⇒ Atotal = 56 cm2
2 cm
6 cm
6 cm
2 cm
1.3 POLIEDROS REGULARES
Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada uno de cuyos vértices, además, concurre el mismo número de caras.
Solo es posible construir cinco poliedros regulares. A continuación, se mues-tran dichos poliedros y sus principales características:
Tetraedro Octaedro Icosaedro Hexaedro o cubo Dodecaedro
N.° de caras 4 8 20 6 12
N.° de aristas 6 12 30 12 30
N.° de vértices 4 6 12 8 20
Forma de las caras Triángulos equiláteros Triángulos equiláteros Triángulos equiláteros Cuadrados Pentágonos regulares
Caras que concurren en un vértice
3 4 5 3 3
El cálculo del área de un poliedro regular se reduce a multiplicar el número de caras por el área de una de ellas, es decir: Apolígono regular = n · Acara
196 | CUANDO UNA PIENSA EN UN PROBLEMA MATEMÁTICO DIF ÍCIL , DIBUJAR GARABATOS AYUDA A MANTENERSE CONECTADA AL PROBLEMA
Un prisma es un poliedro constituido por dos caras iguales y paralelas entre sí, denominadas bases, y varias caras laterales formadas por paralelogramos.
Existen multitud de objetos y construcciones en la vida cotidiana con forma de prisma, como los paquetes de cereales, las cajas de zapatos o numerosos edificios.
Como se muestra en la siguiente tabla, los prismas se pueden clasificar aten-diendo a dos criterios:
Romboedro
Las bases y las caras laterales son rombos idénticos. Es un prisma oblicuo y no regular.
Paralelepípedo
Perpendicularidad de las caras laterales con las bases Número de lados del polígono de las bases
Son perpendiculares No son perpendiculares Tiene tres lados Tiene cuadro lados Tiene cinco lados Tiene seis lados
Prisma recto Prisma oblicuo Prisma triangular Prisma cuadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal
A los prismas rectos cuyas bases son polígonos regulares se los denomina prismas regulares.
Un caso particular de prisma cuadrangular son los paralelepípedos, que se caracterizan porque sus bases son paralelogramos. Los paralelepípedos se clasifican en función del paralelogramo de las bases.
Ortoedro
Las bases y las caras laterales son rectángulos. Es un prisma recto.
Cubo
Las bases y las caras laterales son cuadrados. Es un prisma regular.
ÁREA Y VOLUMEN DE LOS PRISMAS
• El área total de un prisma es la suma de las áreas de sus bases más el área lateral, que es igual a la suma del área de las caras laterales:
Aprisma = 2Abase + Alateral
• El volumen de un prisma es el producto del área de una de sus bases por la altura, h: Vprisma = Abase · h
2 PRISMAS
Vértice
Cara lateral
Bases
Arista
11 | CUERPOS GEOMÉTRICOS | 197
Actividad resuelta
Halla el área y el volumen de un ortoedro de 8 cm de altura y cuyas bases tienen unas dimensiones de 5 cm × 2 cm.
El área total del ortoedro es igual a la suma del área lateral más el área de sus dos bases.
El área de cada una de las bases es el área de un rectángulo cuyas dimensiones son 5 cm × 2 cm; por tanto:
Abase = 2 · 5 = 10 ⇒ Abase = 10 cm2
El área lateral es la suma de las áreas de sus cuatro caras: dos rectángulos con unas di-mensiones de 5 cm × 8 cm y dos rectángulos de 2 cm × 8 cm; en consecuencia:
Alateral = 2 · (5 · 8) + 2 · (2 · 8) = 2 · 40 + 2 · 16 = 80 + 32 = 112 ⇒ Alateral = 112 cm2
De este modo, el área total del ortoedro es:
Atotal = 2 · Abase + Alateral = 2 · 10 + 112 = 132 ⇒ Atotal = 132 cm2
Conocidas el área de la base y la altura del ortoedro, se calcula su volumen:
Vortoedro = Abase · h ⇒ Vortoedro = 10 · 8 = 80 ⇒ Vortoedro = 80 cm3
Dividir un problema en etapas
Diana se ha comprado una caja de madera con forma de prisma hexagonal regular de 10 cm de altura y cuya base tiene 4 cm de lado. Si quiere forrar la caja con papel de colores, ¿qué superficie de papel necesitará?
Para resolver el problema, se pueden seguir estos pasos:
1 Se dibuja un esquema de la caja, es decir, un prisma hexagonal regular de 10 cm de altura y una base de 4 cm de lado. La superficie de papel que necesitará Diana para forrar la caja será igual al área total de dicho prisma.
2 Se divide el problema en etapas para resolverlo:
Primero, se calcula el área lateral de la caja, que corresponde a 6 rectángulos de 4 cm de base y 10 cm de altura:
Alateral = 6 · (4 · 10) = 240 ⇒ Alateral = 240 cm2
A continuación, se calcula el área de la base. Para hacerlo, es necesario calcular previamente la apotema del hexágono.
Como se trata de un hexágono regular, puede descomponerse en 6 triángulos equi-láteros, tal como muestra la figura de la derecha. Aplicando el teorema de Pitágoras a uno de ellos, se obtiene la apotema:
ap 2 + 22 = 42 ⇒ ap 2 = 16 – 4 = 12 ⇒ ap = + 12 = 3,46 ⇒ ap = 3,46 cm
De este modo, el área de la base es igual a:
Abase = ,P ap2
6 4 3 462· · ·= = 41,52 ⇒ Abase = 41,52 cm2
Para terminar, se calcula el área total del prisma:
Atotal = 2 · Abase + Alateral = 2 · 41,52 + 240 = 323,04 ⇒ Atotal = 323,04 cm2
3 Por tanto, la superficie de papel que necesitará Diana para forrar la caja es de 323,04 cm2.
4 cm
10 c
m
2 cm
ap
4 cm
5 cm 2 cm
8 cm
198 | CUANDO UNA PIENSA EN UN PROBLEMA MATEMÁTICO DIF ÍCIL , DIBUJAR GARABATOS AYUDA A MANTENERSE CONECTADA AL PROBLEMA
Una pirámide es un poliedro que está formado por una base poligonal y varias caras laterales, constituidas siempre por triángulos, que confluyen en un punto llamado vértice o cúspide.
En toda pirámide se distinguen los siguientes elementos:
Arista de la pirámide. Es cada uno de los segmentos donde se unen dos caras laterales.
Altura de la pirámide. Es la distancia del vértice de la pirámide al plano que contiene al polígono de la base.
Vértice de la pirámide. Constituye el punto donde confluyen los triángulos que forman las caras laterales.
Arista básica. Es cada uno de los lados de la base poligonal.
Las pirámides se pueden clasificar atendiendo a dos criterios:
Tipo de triángulos de las caras laterales Número de lados del polígono de la base
Son triángulos isósceles No todos son triángulos isósceles Tiene tres lados Tiene cuadro lados Tiene cinco lados Tiene seis lados
Pirámide recta Pirámide oblicua Pirámide triangular Pirámide cuadrangular Pirámide pentagonal Pirámide hexagonal
A las pirámides rectas que tienen por base un polígono regular se las denomina pirámides regulares. En una pirámide regular, las caras laterales son triángulos isósceles iguales, la altura es la distancia del vértice de la pirámide al punto medio de la base y la apotema de la pirámide es la altura de cualquiera de las caras laterales.
ÁREA Y VOLUMEN DE LAS PIRÁMIDES
• El área total de una pirámide es la suma del área de la base más el área lateral:
Alateral = P ap
2·base Apirámide = Abase + Alateral
• El volumen de un prisma es la tercera parte del volumen del prisma que
tiene igual base y altura: Vpirámide = 31 · Abase · h
3 PIRÁMIDES
La pirámide de Keops es la mayor de las pirámides de Egipto y una de las siete maravillas del mundo.
Altura (h )
Apotema (ap )
11 | CUERPOS GEOMÉTRICOS | 199
Actividad resuelta
Halla el área y el volumen de una pirámide hexagonal regular de 8 m de arista básica, 9 m de apotema y 6 m de altura.
Como se muestra en la siguiente figura, la superficie lateral de la pirámide corresponde a seis triángulos isósceles idénticos de 9 m de altura (la apotema de la pirámide) y 8 m de base:
8 m 8 m
8 m
6 m
9 m
9 m
Alateral = b ap
6 62
8 9 6272·
2·
· · ·= =e co m = 216 ⇒ Alateral = 216 cm2
Dado que la base es un hexágono regular, se puede considerar que está formada por seis triángulos equiláteros como el de la figura. La apotema del hexágono coincide con la altura del triángulo, que se calcula aplicando el teorema de Pitágoras: ap
8 m
ap 2 + 42 = 82 ⇒ ap 2 = 64 – 16 = 48 ⇒ ap = + 48 = 6,93 ⇒ ap = 6,93 cm
Por tanto:
Abase = ,P ap2
6 8 6 932· · ·= = 166,32 ⇒ Abase = 166,32 cm2
Se calcula el área total de la pirámide y su volumen:
Atotal = Abase + Alateral = 166,32 + 216 = 382,32 ⇒ Atotal = 382,32 cm2
Vpirámide = 31 · Abase · h =
31 · 166,32 · 6 = 332,64 ⇒ Vpirámide = 332,64 cm3
Construir un tetraedroConstruye un tetraedro utilizando la siguiente técnica:
1 Utilizando un folio y cinta adhesiva, construye un tubo de papel.
2 Pliega uno de los extremos del tubo como en el dibujo y fija el pliegue con la cinta adhesiva.
3 Para cerrar el otro extremo del tubo, haz un pliegue perpendicular al que has realizado en el paso 2 y fíjalo:
200 | CUANDO UNA PIENSA EN UN PROBLEMA MATEMÁTICO DIF ÍCIL , DIBUJAR GARABATOS AYUDA A MANTENERSE CONECTADA AL PROBLEMA
Los cuerpos de revolución son los cuerpos que se generan por el giro de una figura plana alrededor de un eje, al que se denomina eje de giro. Los principa-les cuerpos de revolución son el cilindro, el cono y la esfera.
4.1 CILINDRO
El cilindro es el cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
En la vida cotidiana se pueden encontrar multitud de cilindros, como es el caso de las latas de refresco o los tubos metálicos.
ÁREA Y VOLUMEN DEL CILINDRO
• Si se separan las bases y se corta el cilindro longitudinalmente, se ob-tiene su desarrollo plano, que permite deducir el área de este cuerpo de revolución: Acilindro = Alateral + 2 · Abase = 2 · π · r · h + 2 · π · r 2 = 2 · π · r · (r + h )
• El volumen del cilindro es el producto del área de su base por la altura del cilindro: Vcilindro = Abase · h = π · r 2 · h
Actividades resueltas
1 Una lata de tomate tiene forma de cilindro de 12 cm de altura y 8 cm de diámetro de la base. ¿Qué superficie de chapa se ha empleado en su fabricación?
Se dibuja el cilindro y su desarrollo plano y se calcula su área:
Acilindro = 2 · π · r · (r + h) = 2π · 4 · (4 + 12) = 128 · π = 402,12 ⇒ Acilindro = 402,12 cm2
Es decir, se han necesitado 401,92 cm2 de chapa.
2 Un depósito cilíndrico de 10 m de diámetro y 15 m de altura está lleno de agua
hasta las 54 partes de su capacidad. Calcula los litros de agua que contiene.
Se dibuja el depósito y se calcula su volumen:
Vdepósito = π · r 2 · h = π · 52 · 15 = 375π ⇒ Vdepósito = 375π m3
De este volumen, 54 partes están ocupadas por agua; por tanto:
Vagua = 54 · Vdepósito =
54 · 375 · π = 300 · π = 942,48 ⇒ Vagua = 942,48 m3
Como 1 L = 1 dm3, se tiene que: Vagua = 942 480 dm3 = 942 480 L
4 CUERPOS DE REVOLUCIÓN
4 cm12 c
m 12 cm
4 cm
4 cm
5 m
15 m
h2πr
r
r
h
r
Altura del cilindro (h )
Radio de la base (r )
Bases
Eje de giro
11 | CUERPOS GEOMÉTRICOS | 201
4.2 CONOSon múltiples los ejemplos de conos que podemos encontrar en nuestro en-torno cotidiano, como el cucurucho de un helado o el tejado de las almenas de ciertos castillos, entre otros.
El cono es el cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
Como se observa en la figura del margen, el cateto del triángulo rectángulo correspondiente al eje de giro coincide con la altura, h, del cono; el cateto per-pendicular al eje de giro, con el radio de la base, r, y la hipotenusa, con la ge-neratriz, g. El teorema de Pitágoras permite, así, hallar una expresión que relaciona la generatriz del cono, la altura y el radio de la base:
g 2 = h 2 + r 2
ÁREA Y VOLUMEN DEL CONOSi se separa la base y se corta el cono longitudinalmente siguiendo una gene-ratriz, tal y como muestra la figura del margen, se obtiene su desarrollo plano, que permite deducir el área de este cuerpo de revolución:
Acono = Abase + Alateral
El área de la base corresponde al área de un círculo de radio r, y el área lateral, al área de un sector circular de radio g y arco de longitud 2 · π · r.
• El área del cono viene dada por la expresión:
Acono = Abase + Alateral = π · r 2 + π · r · g = π · r · (r + g)
• El volumen del cono es igual a la tercera parte del volumen del cilindro que tiene la misma base y altura:
Vcono = 31 · π · r 2 · h
Actividad resuelta
Calcula el área y el volumen de un cono de 5 cm de radio y 12 cm de altura.
Se calcula la generatriz del cono a partir del teorema de Pitágoras, ya que radio, altura y generatriz forman un triángulo rectángulo:
g 2 = h 2 + r 2 ⇒ g 2 = 122 + 52 = 169 ⇒ g = + 169 = 13 ⇒ g = 13 cm
Luego, el área del cono es:
Acono = π · r · (r + g ) = π · 5 · (5 + 13) = 90π = 282,74 ⇒ Acono = 282,74 cm2
El volumen, por su parte, es:
Vcono = 31 · π · r 2 · h =
31 · π · 25 · 12 = 100π = 314,16 ⇒ Vcono = 314,16 cm3
g
2πr
r
Bases iguales
h
h
r
g
Altura del cono (h )
Radio de la base (r )
Generatriz (g )
202 | CUANDO UNA PIENSA EN UN PROBLEMA MATEMÁTICO DIF ÍCIL , DIBUJAR GARABATOS AYUDA A MANTENERSE CONECTADA AL PROBLEMA
4.3 ESFERAExiste un cuerpo de revolución que no está compuesto por ninguna cara plana y que, por tanto, no admite desarrollo plano: se trata de la esfera.
La esfera es el cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.
ÁREA Y VOLUMEN DE LA ESFERA
El área de la esfera se calcula por aproximación y puede demostrarse que es dos tercios del área del cilindro circunscrito a la esfera:
2rr
r
• El área de una esfera se calcula a partir de la siguiente expresión:
Aesfera = 32Acilindro circunscrito = 3
2 · 2 π · r · (r + 2r ) = 4 · π · r 2
• En cuanto al volumen de una esfera, viene dado por la expresión:
Vesfera = 34 · π · r 3
Actividades resueltas
1 Halla el área y el volumen de una esfera de 5 cm de radio.
Se sustituye el valor del radio en la expresión que permite hallar el área de una esfera:
Aesfera = 4 · π · r 2 = 4 · π · 52 = 314,2 ⇒ Aesfera = 314,2 cm2
Se determina el volumen de la esfera a partir de la expresión general:
Vesfera = 34 · π · r 3 =
34 · π · 53 = 523,6 ⇒ Vesfera = 523,6 cm3
2 Calcula el área de una esfera cuyo volumen es igual a 2 L.
Se establece el radio de la esfera a partir de la expresión del volumen. Puesto que 1 L = 1 dm3, el valor del radio se obtendrá en decímetros:
Vesfera = 34 · π · r 3 ⇒ 2 =
34 · π · r 3 ⇒ r 3 =
··π4
2 3 = 0,48 ⇒
⇒ r = ,0 483 = 0,783 ⇒ r = 0,783 dm
Una vez conocido el radio de la esfera, se halla su área a partir de la expresión general:
Aesfera = 4 · π · r 2 = 4 · π · 0,7832 = 7,70 ⇒ Aesfera = 7,70 dm2
Es decir, el área de una esfera de 2 L de volumen es 7,70 dm2.
rO
r
e
La esfera también puede definirse como el conjunto de puntos del espacio que equidistan de un punto fijo llamado centro, O. A la distancia entre un punto cualquiera de la superficie de la esfera y el centro de esta se la denomina radio, r, de la esfera.
11 | CUERPOS GEOMÉTRICOS | 203
SECCIONES DE LA ESFERA POR PLANOS. FIGURAS ESFÉRICAS
Al cortar una esfera por uno o dos planos, se obtienen diversas figuras esféri-cas. Las características de estas figuras dependen de la posición que ocupan los planos con respecto a la esfera.
Las principales figuras esféricas son las siguientes:
Semiesfera. Si el plano que corta a la esfera pasa por su centro, se obtiene un círculo denominado círculo máximo o ecuador. Asimismo, se forman dos semiesferas, cuya superficie se denomina hemisferio.
Casquete esférico. Si el plano que corta a la esfera no pasa por su centro, se genera un círculo denominado círculo menor, que da lugar a dos casquetes esféricos.
Como se muestra en la figura de la derecha, el teorema de Pitágoras permite establecer una relación entre el radio de un círculo máximo, R, que coincide con el radio de la esfera; el radio de un círculo menor, r, y la distancia que se-para los centros de los dos círculos, d. Dicha relación responde a la expresión:
R 2 = d 2 + r 2
Al cortar una esfera por dos planos, se obtienen las siguientes secciones esféricas:
Zona esférica. Constituye la parte de la superficie esférica comprendida entre dos planos paralelos que la cortan. El cuerpo geométrico correspondiente es el segmento esférico.
Zonaesférica
Segmentoesférico
Huso esférico. Es la parte de la superficie esférica comprendida entre dos planos secantes que pasan por el centro de la circunferencia. El cuerpo geométrico correspondiente es la cuña esférica.
Huso esféricoCuña esférica
Actividad resuelta
Al cortar una esfera de 13 cm de radio mediante un plano, se obtiene un círculo menor de 5 cm de radio. Calcula a qué distancia se encuentra el centro de la esfera del centro del círculo obtenido.
Para calcular la distancia, d, entre el centro del círculo menor y el centro de la esfera, se aplica la relación R 2 = d 2 + r 2, donde R es el radio de la esfera y r es el radio del círculo menor obtenido con el plano:
R 2 = d 2 + r 2 ⇒ 132 = d 2 + 52 ⇒ d 2 = 132 – 52 = 144 ⇒ d 2 = + 144 = 12 ⇒ d = 12 cm
Por tanto, el centro del círculo menor está a 12 cm de distancia del centro de la esfera.
R = 13 cm
r = 5 cm
d
rd
R
204 | CUANDO UNA PIENSA EN UN PROBLEMA MATEMÁTICO DIF ÍCIL , DIBUJAR GARABATOS AYUDA A MANTENERSE CONECTADA AL PROBLEMA
La Tierra es casi una esfera y, en consecuencia, es posible trazar sobre ella una
serie de puntos y líneas imaginarias que permiten definir la localización de
cualquier punto situado sobre su superficie.
O
Eje de rotación o eje terrestre. Es el eje imaginario alrededor del cual la Tierra realiza su movimiento de rotación.
Ecuador. Es la circunferencia máxima que corresponde al círculo ecuatorial.
Paralelo. Es toda circunferencia menor paralela al círculo ecuatorial.
Meridiano. Es toda circunferencia máxima que pasa por los polos y que, por tanto, es perpendicular al círculo ecuatorial.
Polo norte y polo sur. Son los dos puntos en los que el eje de rotación corta la superficie terrestre.
Círculo ecuatorial. Divide a la Tierra en dos hemisferios: el hemisferio norte y el hemisferio sur.
5.1 COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Es posible imaginar la esfera terrestre dividida por infinitos paralelos y meri-
dianos. De este modo, cualquier punto de la superfice terrestre queda determi-
nado por el meridiano y el paralelo que pasan por él.
Considerando como referencia el ecuador y el meridiano de Greenwich, se pue-
den definir las coordenadas geográficas de cualquier punto, que se expresan
de la forma (latitud [ϕ] , longitud [λ]):
Latitud (ϕ). Es el ángulo definido por el arco de meridiano comprendido entre un punto y el ecuador. Oscila entre 0º y 90º de amplitud y puede ser norte (N) o sur (S) dependiendo del hemisferio en que esté situado el punto en cuestión.
Longitud (λ). Es el ángulo definido por el arco del ecuador comprendido entre un punto y el meridiano de Greenwich. Oscila entre 0º y 180º de amplitud y puede ser este (E) u oeste (O), según su posición con respecto a Greenwich.
Meridiano del punto
Paralelo del punto
Meridiano de Greenwich
Punto
Latitud norte
Ecuador
Latitud sur
Latitud
Longitud oeste
Longitud
Longitud este
Como se muestra en la figura anterior, el punto, P, de la superficie terrestre
cuyas coordenadas geográficas son P (55º 12’ N, 63º 30’ E) se encuentra en el
hemisferio norte, en el paralelo que define con el ecuador un arco de 55º 12’
sobre el meridiano en el que se encuentra. Además, P está situado al este del
meridiano de Greenwich, en el meridiano que define con el de Greenwich un
arco de 63º 30’ sobre el ecuador.
5 LA ESFERA TERRESTRE
11 | CUERPOS GEOMÉTRICOS | 205
5.2 HUSOS HORARIOSDebido al movimiento de rotación de la Tierra, que gira en torno a su eje, dos pun-tos que tienen distinta longitud, es decir, que están en distintos meridianos, tienen diferentes horas solares. Para minimizar las consecuencias de esta diferencia ho-raria, y ya que la Tierra tarda 24 h en girar 360º, se establecieron 24 husos horarios.
Un huso horario es la zona de la Tierra comprendida entre dos meridianos que difieren en 15º de longitud, tomando como referencia el huso horario centrado en el meridiano de Greenwich.
El huso horario al que pertenece el meridiano de Greenwich abarca la superfi-cie terrestre cuyas longitudes van desde los 7,5º O a los 7,5º E.
24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1211 13 14
Meridiano deGreenwich
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Cuando en un huso horario son las 12:00 h del mediodía, en el huso horario situado al este será una hora más, y en el localizado al oeste, una hora menos. Para averiguar a cuántos husos horarios se encuentra un punto de la superficie terrestre de Greenwich, hay que restar 7,5º a su longitud, dividir el resultado entre 15º y aproximarlo al número entero superior.
Actividad resuelta
¿Qué hora solar será en Sídney (33° 52’ S, 151° 12’ E) cuando en Madrid (40° 26’ N, 3° 41’ O) sean las 10 de la mañana?
Como Madrid se encuentra en el huso horario correspondiente al meridiano de Greenwich, para conocer en qué huso horario se encuentra Sídney, se resta 7,5° a su longitud y se divide entre quince: (151° 12’ – 7,5°) : 15° = 9,84.
Se aproxima el resultado al número entero superior y se concluye que Sídney se encuentra a 10 husos horarios de Madrid. Es decir, cuando en Madrid sean las 10:00 h, en Sídney serán las 10 h + 10 h = 20 h, o lo que es lo mismo, las 8 h de la tarde.
Hora solar y hora oficialNo se debe confundir hora solar con hora oficial.
En ocasiones, la hora solar puede no corresponderse con la hora oficial por razones económicas, políticas o geográficas. Así, en países muy extensos, que abarcan distintos husos horarios, se puede acordar establecer una misma hora oficial en todo el territorio a pesar de que este cuente con distintas horas solares.
206 | CUANDO UNA PIENSA EN UN PROBLEMA MATEMÁTICO DIF ÍCIL , DIBUJAR GARABATOS AYUDA A MANTENERSE CONECTADA AL PROBLEMA
ACTIVIDADES
1Poliedros
1 Nombra cinco objetos de tu vida diaria que tenga forma de poliedro.
2 Clasifica estos poliedros según sean cóncavos o convexos y comprueba que en los poliedros convexos se cumple la relación de Euler:
a. c.
b. d.
3 Dibuja en tu cuaderno el desarrollo plano de cada uno de los siguientes poliedros.
a. c.
b. d.
4 Determina a qué poliedro regular corresponden los siguientes objetos y comprueba que cumplen la relación de Euler.
a. c.
b. d.
11 CUERPOS GEOMÉTRICOS
11 | CUERPOS GEOMÉTRICOS | 207
11 Calcula el área de este poliedro:
6 cm
2 cm3 cm
12 ¿Cuánto mide el lado del cubo que tiene la misma área que un tetraedro de 12 cm de lado?
13 Calcula el área total de un cristal de fluorita con forma de octaedro regular de 3 cm de arista.
14 La figura adjunta se ha obtenido a partir de un icosaedro de 4 cm de lado en el que cada cara ha sido sustituida por un te-traedro. ¿Cómo calcularías su área?
2Prismas
15 Clasifica los siguientes elementos según los prismas que tienen sus mismas formas:
a. d.
b. e.
c. f.
5 ¿Cómo se llama este poliedro regular?
6 Dibuja los desarrollos planos de los siguientes poliedros, clasifí-calos en cóncavos o convexos y comprueba que estos últimos cumplen la relación de Euler:
a. c.
b. d.
7 Comprueba que los poliedros regulares cumplen la relación de Euler.
8 Busca información sobre el origen de los poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos, y justifica el sobrenombre de dichos poliedros.
9 Investiga, piensa y explica por qué solo existen cinco poliedros regulares.
10 Indica a qué poliedro regular corresponde cada uno de los si-guientes desarrollos planos:
a. c.
b. d.
208 | CUANDO UNA PIENSA EN UN PROBLEMA MATEMÁTICO DIF ÍCIL , DIBUJAR GARABATOS AYUDA A MANTENERSE CONECTADA AL PROBLEMA
3Pirámides
22 Nombra objetos o construcciones que tengan forma piramidal.
23 Dibuja una pirámide recta de base pentagonal y señala sus ele-mentos básicos.
24 Indica si las siguientes afirmaciones son verdadera o falsas:
a. La altura de una pirámide coincide con la altura de una de sus caras laterales.
b. La apotema de una pirámide coincide con la altura de una de sus caras laterales.
c. Toda pirámide tiene dos bases poligonales.
d. Toda pirámide tiene un mínimo de tres caras laterales.
e. Las pirámides tienen tantos vértices como aristas.
25 ¿Existe alguna pirámide con forma de poliedro regular? Justifica tu respuesta.
26 Copia en tu cuaderno y relaciona cada pirámide con su desarro-llo plano.
27 ¿Existe alguna pirámide cuyas caras laterales sean paralelas? Justifica tu respuesta.
28 Calcula el área y el volumen de una pirámide hexagonal de 9 m de altura y 6 m de arista básica.
16 Halla el área y el volumen de un ortoedro de 10 cm de altura cuyas bases tienen por dimensiones 3 cm × 4 cm.
17 Determina el volumen y el área total de los siguientes prismas triangulares:
a. b.
7 cm3
cm
4 cm 8 cm 6 cm
5 cm
18 Calcula el área y el volumen de las siguientes figuras:
a. c.
4 cm
8 cm 10 cm
6 cm
b. d.
5 cm 3 cm
4 cm
6 cm
9 cm
19 Una empresa fabrica cajas de zapatos de 30 cm × 40 cm × 15 cm con cartón reciclado.
a. ¿Cuántos metros cuadrados de cartón necesitará para elabo-rar una caja?
b. Si la empresa ha recibido un pedido de 800 cajas, ¿cuántos metros cuadrados de cartón utilizará para abastecerlo?
20 Una conocida marca de refrescos desea lanzar al mercado su nueva gama de productos, que quiere comercializar en briks de 1 L de capacidad.
a. ¿Cuál de estos modelos deberá elegir para reducir costes du-rante el envasado?
10 cm
10 cm
20 cm
17,25 cm
5 cm 5,8 cm10 cm
4 cm
b. Comprueba que el volumen de los tres briks es igual a 1 L.
21 Se desea colocar en un pueblo una estatua en honor a su ciudadano más ilustre. Para ello, se ha fabricado una peana de cemento en forma de prisma hexagonal con una arista básica de 1 m y una altura de 5 m.
a. ¿Cuántos metros cúbicos de cemento se han empleado en su fabricación?
b. ¿Cuántas teselas cuadradas de 1,5 cm de lado se necesitan para cubrir la peana?
11 | CUERPOS GEOMÉTRICOS | 209
36 El Partenón, templo griego dedicado a la diosa Atenea, cuenta con 8 columnas en cada una de sus dos fachadas frontales y con 17 columnas en cada una de las laterales. Cada columna mide 1,9 m de diámetro y 10,4 m de altura. Calcula qué volumen de piedra (expresado en metros cúbicos) tienen las columnas.
37 Una empaquetadora de paja prepara balas cilíndricas de 1,5 m de diámetro y 2 m de largo. Para su mejor conservación, durante el invierno, las balas son envueltas en plástico. Calcula la super-ficie de plástico (expresada en metros cuadrados) que se nece-sitará para resguardar la producción de este año, que asciende a 20 000 balas de paja.
38 ¿Qué cantidad de madera se ha empleado en la fabricación de este baúl?
90 cm 40 cm
50 cm
39 Un camión cisterna transporta gasoil en su tanque cilíndrico de 3 m de diámetro y 15 m de largo.
a. ¿Cuántos metros cúbicos de combustible caben en el depó-sito?
b. Si el precio del gasoil es de 1,39 €/L, ¿a cuánto asciende el valor del combustible que transporta el camión?
40 Una ONG construye en un campo de refugiados un depósito de metal para almacenar agua potable. El depósito es un cilin-dro de 20 m de altura, cuya base tiene 10 m de radio y al que se le ha añadido una tapa metálica en la parte superior para que no se evapore el agua.
a. ¿Qué capacidad, expresada en litros, tiene el depósito?
b. ¿Cuántos metros cuadrados de chapa se necesitan para cons-truirlo?
41 Una fábrica produce tuberías de cemento para el alcantari-llado. Si cada tubería tiene una longitud de 4 m, un diámetro interior de 1 m y un grosor de 2 cm, ¿cuántos litros de cemento se han de emplear en su construcción?
42 Las 43 partes de un vaso cilíndrico de 9 cm de altura y una
base de 4 cm de diámetro están ocupadas por un refresco. ¿Qué volumen de refresco hay en el vaso?
43 En una almazara, un grifo vierte aceite en un tanque cilíndrico de 20 m de diámetro y 5 m de altura a razón de 50 L por minuto. ¿Cuánto tardará en llenarse el tanque?
29 Calcula, en cada caso, el área y el volumen de la pirámide cua-drangular regular indicada.
a. La arista básica mide 4 cm, y la altura, 5 cm.
b. La arista básica mide 8 m, y la apotema, 9 m.
30 La Gran Pirámide de Giza, tumba del faraón egipcio Keops, tiene forma de pirámide cuadrangular regular.
a. Sabiendo que su altura original era de 146,61 m y que la lon-gitud media de cada lado de la base es de 230,347 m, calcula su volumen.
b. Investiga sobre este monumento y las diferentes teorías exis-tentes en relación con su método de construcción.
31 Un tipi indio tiene forma de pirámide cuadrangular regular con una base de 1,5 m de lado y altura de 2 m. Calcula cuántos metros cuadrados de material se han usado en su fabricación.
32 El circo ha llegado a la ciudad y ha instalado una enorme carpa con forma de pirámide hexagonal regular que tiene una apotema de 20 m y cuya base mide 15 m de lado.
a. ¿Qué superficie de lona plastificada se ha usado para fabricar la carpa?
b. ¿Sabrías calcular la altura de la carpa del circo? Justifica tu respuesta.
4Cuerpos de revolución
33 Busca información sobre tres edificios emblemáticos que tengan forma de cilindro.
34 Dibuja los cuerpos de revolución que se obtienen al hacer girar estas figuras alrededor del eje de giro indicado:
a. b. c.
35 Se desea construir con cartulina un bote cilíndrico para lápices como el de la figura.
7 cm
13 cm
a. ¿Qué superficie de cartulina se necesita?
b. ¿Cuál es el volumen del bote?
210 | CUANDO UNA PIENSA EN UN PROBLEMA MATEMÁTICO DIF ÍCIL , DIBUJAR GARABATOS AYUDA A MANTENERSE CONECTADA AL PROBLEMA
51 Cristina va a celebrar su cumpleaños y quiere construir unos gorritos en forma de cono con cartulinas de colores para ella y sus amigos. Averigua qué superficie de cartulina necesitará si en total van a ser 15 personas en la fiesta de cumpleaños.
20 cm
30 cm
52 Calcula la superficie de plástico, expresada en metros cuadra-dos, que se ha utilizado en la fabricación de la parte cónica de un cono de señalización de 500 mm de altura y que tiene una base de 300 mm de diámetro.
300 mm
500 mm
53 En una heladería, el precio de los helados depende del tamaño del cucurucho, tal y como se indica en la figura.
4 cm 5 cm
7 cm
9 cm
3 €
5 €
Suponiendo que sirviesen el helado a ras de la base del cucuru-cho, ¿cuál de los dos sale proporcionalmente más barato?
54 El volcán Villarrica, en la cordillera de los Andes (en Chile), po-see una forma cónica casi perfecta. Calcula la superficie del cono volcánico, sabiendo que su base ocupa una superficie de 2 040 km2 y que la longitud de su ladera es de aproximada-mente 25 505 m.
44 Al verter el líquido de la primera probeta en la segunda, ¿qué altura alcanzará en esta?
45 Antonio es un pastelero cuya especialidad son unos canutillos de hojaldre en forma de cilindro rellenos de crema. Todos los días elabora 125 de estos canutillos.
8 cm3 cm
a. ¿Cuántos metros cuadrados de lámina de hojaldre precisa An-tonio cada día?
b. Averigua cuántos litros de crema necesita.
c. ¿Por cuánto tiene que vender cada canutillo si quiere obtener un beneficio de 50 cts./unidad, sabiendo que compra el hojal-dre a 5 €/m2 y la crema a 7 €/L?
46 Una fábrica de conservas envasa caldo de pescado en latas cilíndricas de 10 cm de altura y 4 cm de radio.
a. ¿Cuántas latas se necesitan para envasar 5 000 L de caldo?
b. Si se venden las latas a 1,80 €, ¿cuánto dinero se obtiene por la comercialización de todas las latas del apartado anterior?
47 Calcula la masa de una tarta cilíndrica de 10 cm de radio y 7 cm de altura, sabiendo que 0,75 dm3 de tarta elaborada co-rresponden a una masa de 1 kg aproximadamente.
48 Calcula la altura, h, que debe tener el cilindro para que las dos figuras tengan el mismo volumen. Para ese valor de h, ¿qué figura tiene menor superficie?
5 m
h
5 m
18 m
49 Indica cuántos briks de 10 cm × 5 cm × 15 cm con forma de ortoedro se pueden llenar con el mosto que cabe en una cuba cilíndrica de 1 m de diámetro y 1 m de altura.
50 Determina, en cada caso, el área y el volumen del cono indicado.
a. El radio de la base mide 3 cm, y la altura, 6 cm.
b. El radio de la base mide 5 m, y la generatriz, 9 m.
c. La generatriz mide 15 cm, y la altura, 7 cm.
1 cm 1,5 cm
3 cm
11 | CUERPOS GEOMÉTRICOS | 211
63 Indica qué figuras esféricas se advierten en las siguientes foto-grafías:
a. b.
64 Un plano corta una esfera de 8 cm de radio de manera que determina una circunferencia de 3 cm de radio. Calcula la dis-tancia que hay de este plano al centro de la esfera.
65 Al cortar una esfera por un plano que dista 6 cm de su centro, se obtiene una circunferencia de 9 cm de diámetro. ¿Cuánto mide el radio de esta esfera?
5La esfera terrestre
66 ¿Qué latitud tienen todos los puntos situados sobre el ecuador?
67 ¿Dónde están localizados todos los puntos que tienen 0° de longitud?
68 ¿Cuáles son las coordenadas geográficas del polo norte? ¿Y las del polo sur?
69 Si dos lugares de la Tierra están situados en un mismo meri-diano, ¿qué coordenada geográfica tienen igual? ¿Y si están ubicados en el mismo paralelo?
70 Con la ayuda de un atlas, localiza una ciudad con las coordena-das geográficas que se indican en cada caso.
a. Latitud norte y longitud este.
b. Latitud sur y longitud oeste.
c. Latitud 0° y longitud oeste.
d. Latitud norte y longitud 0°.
71 Lucía toma un avión de París (48° 51’ N, 2° 21’ E) a Toronto (43° 42’ N, 79° 20’ O). Teniendo en cuenta que el vuelo dura 7 horas y media, aproximadamente, ¿a qué hora solar tomará tierra en Toronto si el avión despegó de París a las 9 h de la mañana?
72 La diferencia horaria entre dos lugares de la Tierra, A y B, es de 4 horas. Si A tiene una longitud de 50° 27’ O, ¿sabrías determinar de forma aproximada la longitud de B?
55 Una manga pastelera tiene forma de cono de 12 cm de diámetro y 30 cm de altura. Calcula los litros de crema que puede conte-ner.
56 Actualmente, los molinos de viento se emplean, entre otros usos, para almacenar trigo. Calcula la capacidad total de alma-cenaje de este molino, sabiendo que tiene un diámetro de 10 m, una altura total de 12 m y que el alero del tejado se encuentra a 9 m del suelo.
12 m
9 m
10 m
57 Observa la figura y calcula cuántas copas se pueden llenar con el contenido de la lata de refresco.
10 c
m
6 cm
8 cm
6 cm
58 Una fábrica de pelotas de tenis produce 10 000 pelotas cada día. Calcula los metros cuadrados de fieltro amarillo que nece-sitará diariamente, sabiendo que el diámetro de cada pelota es de 66 mm.
59 Para preparar la fiesta de cumpleaños de Ana, su padre ha com-prado unos globos esféricos que se hinchan hasta alcanzar un diámetro de 30 cm. ¿Cuántos globos puede inflar como máximo con una bombona de aire que tiene una capacidad de 150 L?
60 Si el volumen de un balón es de 74 dm3, ¿cuánto mide su radio?
61 Calcula la superficie de vidrio, expresada en metros cuadrados, empleada en la fabricación de una farola que consta de 3 esfe-ras iguales de 50 cm de diámetro cada una.
62 ¿Cuántos metros cuadrados de plástico se han utilizado en la fabricación del diábolo de la figura? Si el precio del material es 5 €/m2, ¿cuánto cuesta fabricar 1 000 diábolos como este?
18 cm
14 cm
