1

Lánc az asztalon

Az interneten talált [ 1 ] műben bukkantunk az alábbi érdekes feladatra – 1. ábra.

1. ábra – forrása:[ 1 ]

A feladat

Az asztalon fekszik egy L hosszúságú lánc. A nyugalmi súrlódási tényező μ0.

A lánc egyik végét lassan felemeljük, h < L magasságba – 2. ábra.

2. ábra – forrása: [ 1 ]

Határozzuk meg a lánc alakját végső nyugalmi helyzetében!

A megoldás

2

Mivel h < L , ezért a lánc egy l hosszúságú darabja az asztalon marad fekve, a másik L – l

hosszúságú része pedig valamilyen görbét ír le a levegőben. Ezt az alakot egy y = y( x )

síkgörbe jelenti, és éppen ezt a függvényt kell meghatároznunk. Ehhez bevezetünk e görbe

függőleges síkjában egy Oxy derékszögű koordináta - rendszert – 3. ábra.

3. ábra

A láncegyensúlyi differenciálegyenletei a 3. ábra alapján az alábbiak:

𝑑 𝑇 ∙ cos 𝜑 = 0 → 𝑇 ∙ cos 𝜑 = 𝐻 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. → 𝑇 =𝐻

cos 𝜑 . ( 1 )

𝑑 𝑇 ∙ sin𝜑 − 𝑞 ∙ 𝑑𝑠 = 0 → 𝑑 𝑇 ∙ sin𝜑 = 𝑞 ∙ 𝑑𝑠 . ( 2 / 1 )

Most ( 1 / 3 ) és ( 2 / 1 ) - gyel:

𝑇 ∙ sin𝜑 =𝐻

cos 𝜑∙ sin𝜑 = 𝐻 ∙ tg 𝜑 , ( 2 / 2 )

így ( 2 / 1 ) és ( 2 / 2 ) - vel:

𝑑 𝑇 ∙ sin𝜑 = 𝑑 𝐻 ∙ tg 𝜑 = 𝐻 ∙ 𝑑 tg 𝜑 = 𝑞 ∙ 𝑑𝑠, tehát:

𝑑 tg 𝜑 =𝑞

𝐻∙ 𝑑𝑠 . ( 3 )

Most kiszámítjuk a q / H állandót.

3

A megoszló önsúlyteher q intenzitására:

𝑑𝐺 = 𝑞 ∙ 𝑑𝑠 = 𝑔 ∙ 𝑑𝑚 = 𝑔 ∙ 𝜌 ∙ 𝑑𝑉 = 𝑔 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴𝑘 ∙ 𝑑𝑠 → 𝑞 = 𝑔 ∙ 𝜌 ∙ 𝐴𝑘 =𝐺

𝐿 . ( 4 )

A húzóerő vízszintes komponensének H nagyságára a mellékábra szerint:

𝐻 = 𝑆 = 𝜇0 ∙ 𝑁 = 𝜇0 ∙ 𝐺𝑙 = 𝜇0 ∙ 𝑞 ∙ 𝑙 , ( 5 )

így a keresett állandó ( 5 ) - ből: 𝑞

𝐻=

1

𝜇0∙𝑙≡

1

𝑎 → 𝑎 =

𝐻

𝑞= 𝜇0 ∙ 𝑙 , ( 6 )

ahol a: a láncgörbe paramétere, a szokásos jelöléssel.

Most ( 3 ) és ( 6 ) - tal:

𝑑 tg 𝜑 =1

𝑎∙ 𝑑𝑠 ; ( 7 )

ámde

tg 𝜑 =𝑑𝑦

𝑑𝑥 → 𝑑 tg 𝜑 = 𝑑

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑑𝑥 ; ( 8 )

továbbá:

𝑑𝑠 =𝑑𝑠

𝑑𝑥𝑑𝑥 = 1 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2 𝑑𝑥 . ( 9 )

Majd ( 7 ), ( 8 ) és ( 9 ) - cel:

𝑑

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑑𝑥 =

1

𝑎∙ 1 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2 𝑑𝑥 →

𝑑

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥 =

1

𝑎∙ 1 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2 . ( 10 )

A ( 10 ) differenciálegyenlet, illetve ennek megoldása írja le a láncgörbe alakját.

Rövidítő jelöléssel: 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑧 , ( 11 )

így ( 10 ) és ( 11 ) - gyel: 𝑑𝑧

𝑑𝑥=

1

𝑎∙ 1 + 𝑧2 →

𝑑𝑧

1+𝑧2=

𝑑𝑥

𝑎 ; ( 12 )

integrálva:

Arsh 𝑧 =𝑥

𝑎+ 𝑐1 → 𝑧 𝑥 =

𝑑𝑦

𝑑𝑥= sh

𝑥

𝑎+ 𝑐1 ; ( 13 )

4

figyelembe véve, hogy

𝑥 = 0 → 𝑧 0 = 0 , ( 14 )

így ( 13 ) és ( 14 ) - gyel c1 = 0 , és:

𝑧 𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑥= sh

𝑥

𝑎 . ( 15 )

Ismét integrálva:

𝑦 𝑥 = 𝑎 ∙ ch 𝑥

𝑎 + 𝑐2 ; ( 16 )

figyelembe véve, hogy

𝑥 = 0 → 𝑦 0 = 0 , ( 17 )

így ( 16 ) és ( 17 ) - tel c2 = − a , és:

𝑦 𝑥 = 𝑎 ∙ ch 𝑥

𝑎 − 1 . ( 18 )

A következő rész - feladat az a paraméter meghatározása a feladat ( L, h, μ0 ) adataiból.

Ehhez írjuk fel az A pontbeli érintő iránytangensét, kétféle módon is! Egyfelől:

tg 𝜑𝐴 = tg𝜑 𝑥𝐴 = 𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑥=𝑥𝐴

= sh 𝑥𝐴

𝑎 = ch2

𝑥𝐴

𝑎 − 1 =

𝑦 𝑥𝐴

𝑎+ 1

2

− 1 ,

tg 𝜑𝐴 = ℎ

𝑎+ 1

2− 1 ; ( 19 )

másfelől – egyensúlyi alapon – , ( 5 ) - tel is:

tg 𝜑𝐴 =𝑇𝐴 ∙sin 𝜑𝐴

𝑇𝐴 ∙cos 𝜑𝐴=

𝐺1

𝐻=

𝑞∙ 𝐿−𝑙

𝜇0∙𝑞∙𝑙=

𝐿−𝑙

𝜇0∙𝑙 , tehát:

tg 𝜑𝐴 =𝐿−𝑙

𝜇0∙𝑙 . ( 20 )

Most ( 19 ) és ( 20 ) - ból:

ℎ

𝑎+ 1

2− 1 =

𝐿−𝑙

𝜇0∙𝑙 ; ( 21 )

átalakításokkal, ( 6 ) - tal is:

ℎ

𝜇0∙𝑙+ 1

2− 1 =

𝐿−𝑙

𝜇0∙𝑙

2,

ℎ

𝜇0∙𝑙

2+ 2 ∙

ℎ

𝜇0∙𝑙+ 1 − 1 =

𝐿−𝑙 2

𝜇0∙𝑙 2 ,

5

ℎ

𝜇0∙𝑙

2+ 2 ∙

ℎ

𝜇0∙𝑙=

𝐿−𝑙 2

𝜇0∙𝑙 2 ,

ℎ2 + 2 ∙ ℎ ∙ 𝜇0 ∙ 𝑙 = 𝐿 − 𝑙 2,

ℎ2 + 2 ∙ ℎ ∙ 𝜇0 ∙ 𝑙 = 𝐿2 − 2 ∙ 𝐿 ∙ 𝑙 + 𝑙2 ,

𝑙2 − 2 ∙ 𝐿 + ℎ ∙ 𝜇0 ∙ 𝑙 + 𝐿2 − ℎ2 = 0 . ( 22 )

A ( 22 ) másodfokú egyenletet a megoldó - képlettel megoldva:

𝑙1,2 =2∙ 𝐿+ℎ∙𝜇0 ± 4∙ 𝐿+ℎ∙𝜇0 2−4∙1∙ 𝐿2−ℎ2

2∙1= 𝐿 + ℎ ∙ 𝜇0 ± 𝐿 + ℎ ∙ 𝜇0 2 − 𝐿2 − ℎ2 ;

( 23 )

minthogy

𝑙 < 𝐿 , ( 24 )

ezért ( 23 ) - ban a „ – ” előjel választandó:

𝑙 = 𝐿 + ℎ ∙ 𝜇0 − 𝐿 + ℎ ∙ 𝜇0 2 − 𝐿2 − ℎ2 . ( 25 )

Ezzel a láncgörbe paramétere ( 6 ) - ból:

𝑎 =𝐻

𝑞= 𝜇0 ∙ 𝑙 = 𝜇0 ∙ 𝐿 + ℎ ∙ 𝜇0 − 𝐿 + ℎ ∙ 𝜇0 2 − 𝐿2 − ℎ2 . ( 26 )

A láncgörbe alakját immár meghatározzák a ( 18 ) és ( 26 ) összefüggések:

𝑦 𝑥 = 𝑎 ∙ ch 𝑥

𝑎 − 1 , 𝑎 = 𝜇0 ∙ 𝐿 + ℎ ∙ 𝜇0 − 𝐿 + ℎ ∙ 𝜇0 2 − 𝐿2 − ℎ2 . ( 27 )

Ezzel a feladatot az [ 1 ] forrás alapján megoldottuk.

Megjegyzések:

M1. Az eredeti ábrák kissé elnagyoltnak tűnnek, ezért újakat is rajzoltunk. Lehet, hogy

nem szebbek, ám talán informatívabbak. Némely jelölést is megváltoztattunk, az itteni

szokásokhoz igazodva.

M2. Az a paraméter ismeretében már számíthatók a H, T, stb. mennyiségek is:

𝐻 = 𝑞 ∙ 𝜇0 ∙ 𝑙 , ( 28 )

𝑇 𝜑 =𝐻

cos 𝜑= 𝐻 ∙ 1 + tg2 𝜑 , 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜑𝐴 . ( 29 )

Most ( 20 ) és ( 25 ) - tel is:

6

tg 𝜑𝐴 =𝐿−𝑙

𝜇0∙𝑙=

1

𝜇0∙

𝐿

𝑙− 1 =

1

𝜇0∙

𝐿

𝐿+ℎ∙𝜇0− 𝐿+ℎ∙𝜇0 2− 𝐿2−ℎ2 − 1 , innen:

𝜑𝐴 = arctg 1

𝜇0∙

𝐿

𝐿+ℎ∙𝜇0− 𝐿+ℎ∙𝜇0 2− 𝐿2−ℎ2 − 1 . ( 30 )

M3. A számításokat így részletezve mondhatnánk, hogy ez egy könnyű feladat volt.

Nem mondjuk, mert ez igazából egy nehezebb feladat, amint azt [ 1 ] címe is mondja.

Úgy látjuk, hogy a feladat leginkább „fogós” része az a paraméter meghatározása.

Igaz ugyan, hogy ez szokott lenni a helyzet más láncgörbés feladatnál is, itt azonban más,

a megszokottól némiképpen eltérő feltételt kellett ehhez találni.

M4. Eszünkbe jutott, hogy az Amonton ~ Coulomb - féle súrlódási törvény alakja erede -

tileg ez volt:

𝑆 = 𝐴 + 𝜇0 ∙ 𝑁 , 𝐴 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. , 𝜇0 = 𝐾𝑜𝑛𝑠𝑡. ,

ahol:

~ 𝑆: a tapadási súrlódási erő nagysága;

~ 𝐴: adhéziós állandó;

~ 𝜇0: a tapadási súrlódási tényező;

~ 𝑁: az érintkező felületeket merőlegesen összenyomó erő nagysága.

Létezhetnek olyan érintkező anyag - párosítások, ahol erre a képletre lehet szükség, vagyis

ahol az adhézió jelentős lehet, azaz A ≠ 0.

( Kicsit zavaró, hogy néhol Amonton, néhol Amontons alakban írják az említett tudós

nevét. ) Meglepő, hogy Amonton(s) nevét [ 2 ] a tapadási súrlódás tárgyalásánál nem is

említi. Ahogyan [ 3 ] sem. Ennek valószínű okai:

~ nem kívánnak belemenni a jelenség mélyebb / mikroszkopikus szintű vizsgálatába;

~ a műszaki alkalmazások többségénél A ≈ 0 vehető.

Ennél már csak az megdöbbentőbb, hogy [ 4 ] már Coulomb nevét sem említi a súrlódás

tárgyalásánál. Ahogyan [ 5 ] sem. Hogy mik vannak…

M5. Az interneten nézelődve azt láttuk, hogy fentieken kívül előjött L. da Vinci, L. Euler

és még mások neve is, a súrlódás tanulmányozásával kapcsolatban. A helyzet tovább fo -

kozódik a 20 ~ 21. században, amikor is a Tribológia nevű tudomány / tantárgy egyre mé -

lyebb vizsgálatokba bonyolódik, a súrlódás vonatkozásában is.

M6. A lánc vízszintesen nyugvó darabjában az N normálerő változó nagyságú.

Ennek ( közelítő ) számításához tekintsük a 4. ábrát is!

7

4. ábra

A dX hosszúságú láncelem vízszintes egyensúlyi egyenlete:

𝑁 + 𝑑𝑁 − 𝑁 − 𝑡 ∙ 𝑑𝑋 = 0 → 𝑑𝑁 = 𝑡 ∙ 𝑑𝑋 ; ( 31 )

ámde – feltéve, hogy q = r – :

𝑡 = 𝜇0 ∙ 𝑟 = 𝜇0 ∙ 𝑞 , ( 32 )

így ( 31 ) és ( 32 ) - vel:

𝑑𝑁 = 𝜇0 ∙ 𝑞 ∙ 𝑑𝑋 ; ( 33 )

integrálva:

𝑁 = 𝜇0 ∙ 𝑞 ∙ 𝑋 + 𝐶 ; ( 34 )

peremfeltétel:

𝑋 = 0 → 𝑁 0 = 0 , ( 35 )

így ( 34 ) és ( 35 ) szerint C = 0, vagyis:

𝑁 𝑋 = 𝜇0 ∙ 𝑞 ∙ 𝑋 . ( 36 )

Speciálisan X = l esetén ( 5 ) - tel egyezően:

𝑁 𝑙 = 𝜇0 ∙ 𝑞 ∙ 𝑙 = 𝐻 . ( 37 )

Azt kaptuk, hogy a vízszintes láncrészben a húzóerő lineárisan változik, 0 - tól H - ig.

Egy relatíve vékony, sok kis szemből álló merev lánc esetén közelítésünk egészen jó lehet.

M7. Megemlítjük, hogy a 3. és a 4. ábrán mást jelent az N jelölés, értelemszerűen.

M8. Triviálisnak tűnhet, ám azért szóvá tesszük, hogy az asztal síkja vízszintes, felülete

pedig száraz és kellően merev legyen.

8

M9. A vízszintes szakasz l hosszának a h felemelési magasságtól való függését szemlél -

teti az 5. ábra, L = 100 cm lánchossz esetén, különböző μ0 nyugalmi súrlódási tényezőket

felvéve, a ( 25 ) képlet alapján.

5. ábra

Látható, hogy minél nagyobb a súrlódási tényező, annál kisebb l vízszintes lánchossz

tartozik egy adott h felemelési magassághoz – a szemlélettel egyezően.

A súrlódási tényezők felvett értékei:

~ 𝜇0 = 0,00 ∶ fekete egyenes;

~ 𝜇0 = 0,05 ∶ kék görbe; ~ 𝜇0 = 0,30 ∶ türkiz görbe;

~ 𝜇0 = 0,10 ∶ bordó görbe; ~ 𝜇0 = 0,50 ∶ piros görbe;

~ 𝜇0 = 0,15 ∶ magenta görbe; ~ 𝜇0 = 0,70 ∶ lila görbe.

M10. Ha nincs súrlódás, akkor a lánc derékszögben megtörik egyik végének felemelése -

kor. Erről az jut eszünkbe, hogy a feladatbeli jelenséggel akár súrlódási tényezőt is mér -

hetnénk. Ezt pl. a ( 22 ) képletre vezető ℎ2 + 2 ∙ ℎ ∙ 𝜇0 ∙ 𝑙 = 𝐿 − 𝑙 2 egyenletből előálló

9

𝜇0 = 𝐿−𝑙 2−ℎ2

2∙ℎ∙𝑙 ( 38 )

képlet, vagy az 5. ábra szerinti görbesereg alkalmazásával is végezhetnénk. Igaz, ez egy

az l hossz mentén átlagolt nyugalmi súrlódási tényező lenne, de ez nem lenne akkora baj,

hiszen kiterjedt testek súrlódási eseteiben az érintkezés gyakran nem pontszerűen történik.

M11. Az érdeklődő Olvasónak javasoljuk a különböző esetekre a lánc - alakok megrajzol -

tatását, pl. az általunk is használt Graph - fal, pl. a ( 27 ) képletek alapján.

M12. Megemlítjük, hogy egy az ittenihez megszólalásig hasonló feladatot egyszer már

feldolgoztunk; előző dolgozatunk címe: Egy újabb szép köteles feladat. Nem baj.

Források:

[ 1 ] – Red. A. N. Matvejev: Zadacsi povüsennoj szlozsnosztyi v kursze obscsej fiziki

Izd. „Egyitorial URSS”, Moszkva, 2001.

[ 2 ] – Budó Ágoston: Kísérleti fizika I.

6. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975.

[ 3 ] – Tasnádi Péter ~ Skrapits Lajos ~ Bérces György: Mechanika I.

Dialóg Campus Kiadó, Budapest - Pécs, 2004.

[ 4 ] – Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1.

Mechanik und Waerme

4. Auflage, Springer - Verlag, Berlin - Heidelberg, 2006.

[ 5 ] – Szerk. Holics László: Fizika

Akadémiai Kiadó, Budapest, 2011.

Összeállította: Galgóczi Gyula

ny. mérnöktanár

Sződliget, 2019. 08. 22.