LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD Significado del límite · 2013. 7. 17. · LÍMITES DE...

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1 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD Significado del límite Ejercicio nº 1.- Representa gráficamente y explica el significado de la expresión: Ejercicio nº 2.- Explica el significado de la siguiente expresión y represéntalo gráficamente: Ejercicio nº 3.- Escribe una definición para la siguiente expresión y represéntala gráficamente: Ejercicio nº 4.- Da una definición para esta expresión y represéntala gráficamente: Ejercicio nº 5.- Dado el siguiente resultado: explica su significado y represéntalo gráficamente. Cálculo de límites Ejercicio nº 6.- Calcula: 5 2 1 5 2 2 = + +∞ x x x lím x 6 3 9 2 3 = x x lím x ( ) −∞ = x f lím x 2 +∞ = + 1 3 2 2 1 x x lím x 2 1 2 2 2 2 = + −∞ x x lím x [ ] 2 4 2 3 b) 1 a) x log x x lím x e lím x x x + −∞ +∞

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LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD

Significado del límite

Ejercicio nº 1.-

Representa gráficamente y explica el significado de la expresión:

Ejercicio nº 2.-

Explica el significado de la siguiente expresión y represéntalo gráficamente:

Ejercicio nº 3.-

Escribe una definición para la siguiente expresión y represéntala gráficamente:

Ejercicio nº 4.-

Da una definición para esta expresión y represéntala gráficamente:

Ejercicio nº 5.-

Dado el siguiente resultado:

explica su significado y represéntalo gráficamente.

Cálculo de límites

Ejercicio nº 6.-

Calcula:

52

152

2

=+−

+∞→ xxxlím

x

6392

3=

−−

→ xxlím

x

( ) −∞=−→

xflímx 2

+∞=−+→ 1

32

2

1 xxlím

x

2122

2

2

=+−

−∞→ xxlím

x

[ ] 2

42 3b)1a)

x logxxlímxelím

x

x

x

−+−

−∞→+∞→

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Ejercicio nº 7.-

Obtén el valor de los siguientes límites:

Ejercicio nº 8.-

Calcula los siguientes límites:

Ejercicio nº 9.-

Halla el límite:

Ejercicio nº 10.-

Halla el límite:

Ejercicio nº 11.-

Halla los siguientes límites:

Ejercicio nº 12.-

Halla los siguientes límites:

Ejercicio nº 13.-

Halla los límites:

+−

+−

+

+−+∞→−∞→ 12

1b)12

123a) 2

32

4

4

xx

xxlím

xxlím

xx

1

2322b)

2312a)

2 +

+∞→−∞→

+−

+−

x

x

x

x xxlím

xxlím

−+

−−→ 3

19

223 x

xx

xlímx

x

x xxxlím

32

0 1513

++−

[ ] ( )x

xlnlímxlímx

x

x

1b)2a)2

2 +−

−∞→+∞→

1332b)

113a)

22

32

+

+−

+ −∞→+∞→ xxlím

xx

xxlím

xx

x

x

x

x xxxlím

xxlím

+−

−+

−∞→+∞→ 9374b)

21a) 2

22

2

2

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Ejercicio nº 14.-

Calcula el límite:

Ejercicio nº 15.-

Calcula:

Ejercicio nº 16.-

Calcula los siguientes límites:

Ejercicio nº 17.-

Calcula los límites:

Ejercicio nº 18.-

Calcula:

Ejercicio nº 19.-

Calcula el siguiente límite:

Ejercicio nº 20.-

Halla el siguiente límite:

123

23

2

1 −−+−+

−→ xxxxxlím

x

32

2

3 4412 −

+

+− xx

x xxxlím

[ ]1

3b)a) 2x

3

x +−

−∞→+∞→ xlímx logxlím

x

212b)213a)

4

3 52

+

−−

−∞→+∞→ xxlímxxlím

xx

21

2

232

323b)12a)

+

+∞→

−∞→

+

+

x

x

x

x xxlím

xlím

11242

0 −+

−+→ x

xlímx

2

22 4223 −

+−− x

x

x xxxlím

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Ejercicio nº 21.-

Calcula estos límites:

Ejercicio nº 22.-

Calcula los siguientes límites:

Ejercicio nº 23.-

Halla:

Ejercicio nº 24.-

Calcula:

Ejercicio nº 25.-

Calcula el límite:

Ejercicio nº 26.-

Obtén el valor de los siguientes límites:

Ejercicio nº 27.-

Halla los límites:

1b)13a) 92

+

+−

−∞→+∞→ xelímxxlím

x

xx

+−

+−

+−∞→+∞→

xxxlímxx

xlímxx

23b)135

23a) 2

2

13

2 2

5324b)

5425a)

−∞→+∞→

+−

+−

x

x

x

x xxlím

xxlím

323

23

1 2783132−+−

+−→ xxx

xxlímx

13

21 642 −

+−+ x

x

x xxxlím

xxx

xlímx log

xlím2

1b)23a)2 +−

−∞→+∞→

xxxxlímxxxlím

xx 213b)325a)

6

22

−+

−−

−∞→+∞→

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Ejercicio nº 28.-

Calcula estos límites:

Ejercicio nº 29.-

Halla el valor del siguiente límite:

Ejercicio nº 30.-

Calcula el siguiente límite:

Continuidad

Ejercicio nº3 1.-

Estudia la continuidad de la siguiente función. Si en algún punto no es continua, indica el tipo de discontinuidad que hay:

Ejercicio nº 32.-

Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

Ejercicio nº 33.-

Estudia la continuidad de la siguiente función:

122

2

5221b)

1232a)

+∞→

−∞→

++

+−−

x

x

x

x xxlím

xxlím

43102

23

2

2 +−−+

→ xxxxlím

x

11

2

1 132 −

+

+− x

x xxxlím

( )1

352

23

−−−−

=x

xxxxf

( )

≥+<≤++

<−=

2si1321si2

1si32

xxxabxx

xaxxf

( )

≥+

<≤−−

−<+

=

2si13

21si2

1si32

2

xx

xx

xx

x

xf

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Ejercicio nº 34.-

Calcula el valor de a para que la siguiente función sea continua:

Ejercicio nº 35.-

Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no sea continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta:

Ejercicio nº 36.-

Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en x = 2:

Ejercicio nº 37.-

Estudia la continuidad de la función:

Ejercicio nº 38.-

Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

Ejercicio nº 39.-

discontinuidad que hay en los puntos en los que no es continua.

( )

>+≤+−

=1si 31si122

xxlnaxxaxxf

( )103

8232

2

−+−−

=xxxxxf

( )

=

≠++−++−

=2si

2si8814448113

23

23

xk

xxxxxxx

xf

( )

≥+<≤+

<=

1si 410si13

0si2

xxlnxx

xexf

x

( )

≥+<≤++

≤−=

2si321si4

1si22

2

xbxxbaxx

xxaxxf

( ) de tipo el Indica d.continuida su estudia ,103

5153 función la Dada 2

23

−++++

=xx

xxxxf

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Ejercicio nº 40.-

Halla el valor de a para que la siguiente función sea continua:

Teorema de Bolzano

Ejercicio nº 41.-

Demuestra que la ecuación:

tiene, al menos, una solución real. Determina un intervalo de amplitud menor que 2 en el que se encuentre la raíz.

Ejercicio nº 42.-

Demuestra que la ecuación e−3x + 4x −2 = 0 tiene, al menos, una solución real en el intervalo [0, 1].

Ejercicio nº 43-

Halla un intervalo de amplitud menor que 2 en el que la siguiente ecuación tenga, al menos, una raíz real:

3x3 + 2x − 7 = 0

Ejercicio nº 44.-

Dada la función f (x) = x3 + 2x + 1, encuentra un intervalo de amplitud menor que 2 en el que f (x) corta al eje OX.

Ejercicio nº 45.-

Prueba que la función f (x) = 3x + cos πx + 1 corta al eje OX en el intervalo [−1, 0].

( )

>+−≤+

=1si531si2

2 xaxxaxf

x

0123 27 =+−+ xxx

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SOLUCIONES LÍMITES Y CONTINUDAD

Significado del límite

Ejercicio nº 1.-

Representa gráficamente y explica el significado de la expresión:

Solución:

valores suficientemente grandes. Con más precisión: Dado ε > 0, podemos encontrar un número h tal que, si x > h, entonces

Representación:

Ejercicio nº 2.-

Explica el significado de la siguiente expresión y represéntalo gráficamente:

Solución:

Dado ε > 0, podemos encontrar δ > 0 tal que, si x ≠ 3 y 3 − δ < x < 3 + δ, entonces

52

152

2

=+−

+∞→ xxxlím

x

xxx

x a dando queramos como 5 a próximo tan esté 2

15 que conseguir Podemos 2

2

+−

.52

152

2

ε<−+−

xxx

6392

3=

−−

→ xxlím

x

.6392

ε<−−−

xx

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Representación:

Ejercicio nº 3.-

Escribe una definición para la siguiente expresión y represéntala gráficamente:

Solución: Dado un número k, podemos encontrar δ tal que, si 2 − δ < x < 2, entonces f(x) < −k. Representación:

Ejercicio nº 4.-

Da una definición para esta expresión y represéntala gráficamente:

Solución:

Dado un número k, podemos encontrar δ > 0 tal que, si 1 < x < 1 + δ, entonces

( ) −∞=−→

xflímx 2

+∞=−+→ 1

32

2

1 xxlím

x

.1

32

2

kx

x>

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Representación:

Ejercicio nº 5.-

Dado el siguiente resultado:

explica su significado y represéntalo gráficamente. Solución:

Representación:

Cálculo de límites

Ejercicio nº 6.-

Calcula:

Solución:

Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.

2122

2

2

=+−

−∞→ xxlím

x

.2122 entonces , si que, tal número un existe 0, Dado 2

2

ε<−+−

−<>εxxhxh

[ ] 2

42 3b)1a)

x logxxlímxelím

x

x

x

−+−

−∞→+∞→

[ ] +∞=+−+∞→

1a) 2xelím x

x

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11

Porque una potencia es un infinito de orden superior a un logaritmo.

Ejercicio nº 7.-

Obtén el valor de los siguientes límites:

Solución:

Ejercicio nº 8.-

Calcula los siguientes límites:

Solución:

Ejercicio nº 9.-

Halla el límite:

Solución:

+∞=+

=−

+∞→−∞→ 2

4

2

4 33b)x log

xxlímx log

xxlímxx

+−

+−

+

+−+∞→−∞→ 12

1b)12

123a) 2

32

4

4

xx

xxlím

xxlím

xx

222

12

123

12

123a)4

4

4

4

−=−

=+

+−=

+

+−+∞→−∞→ x

xlímx

xlímxx

=+++

−−−=

−++−+−

=

+−

+−

+∞→+∞→+∞→ 2221

)1()2()2()1()1(

121b) 23

344

2

322

2

32

xxxxxxlím

xxxxxxlím

xx

xxlím

xxx

222

1223

3

−=+++

−−=

+∞→ xxxxlím

x

1

2322b)

2312a)

2 +

+∞→−∞→

+−

+−

x

x

x

x xxlím

xxlím

032

2312

2312a)

22

=

=

+−−−

=

+−

+∞

+∞→−∞→

x

x

x

x xxlím

xxlím

( ) ( )25

23551·

2323221·1

23221

2322b)

−+−−+

+

−−−+

−+−+

+∞→====

+−

+∞→+∞→+∞→ eeeex

xlím xxlímx

xxxlímx

xxlímx

xxxx

−+

−−→ 3

19

223 x

xx

xlímx

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) =

−+++−

=−+++−

=

−+

−− →→→ 33

34233

31231

92 2

3323 xxxxxlím

xxxxxlím

xx

xxlím

xxx

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Hallamos los límites laterales:

Ejercicio nº 10.-

Halla el límite:

Solución:

Ejercicio nº 11.-

Halla los siguientes límites:

Solución:

Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.

Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.

Ejercicio nº 12.-

Halla los siguientes límites:

( ) ( ) )0(18

33322

3

−=

−+−−−

=→ xx

xxlímx

( ) ( ) ( ) ( ) −∞=−+−−−

+∞=−+−−−

+− →→ 3332;

3332 2

3

2

3 xxxxlím

xxxxlím

xx

x

x xxxlím

32

0 1513

++−

( )( ) =====

++− +

+−

+−−+−

++−

→→→→ 15833·

1583·

1515133·1

15133

2

0

0

2

0

2

0

2

0

1513 xx

xxlímxx

xxlímxxxxxlím

xxxxlímx

x

xxxx eeeex

xxlím

( )2415

830 −+

== → ee xxlím

x

[ ] ( )x

xlnlímxlímx

x

x

1b)2a)2

2 +−

−∞→+∞→

[ ] +∞=−+∞→

22a) xlím x

x

( ) ( ) 011b)22

=−

+=

++∞→−∞→ x

xlnlímx

xlnlímxx

1332b)

113a)

22

32

+

+−

+ −∞→+∞→ xxlím

xx

xxlím

xx

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13

Solución:

Ejercicio nº 13.-

Halla los límites:

Solución:

Ejercicio nº 14.-

Calcula el límite:

Solución:

Hallamos los límites laterales:

Ejercicio nº 15.-

Calcula:

=+++−−+

=

+++−+

=

+−

+ +∞→+∞→+∞→ 133

)1()1()1()1(3

113a) 23

3424

2

322

2

32

xxxxxxxlím

xxxxxxlím

xx

xxlím

xxx

+∞=+++

+−=

+∞→ 132

23

234

xxxxxxlím

x

332

32

13

32

13

32b)22

−=

−=

+

−−=

+

−+∞→−∞→ x

xlímx

xlímxx

x

x

x

x xxxlím

xxlím

+−

−+

−∞→+∞→ 9374b)

21a) 2

22

2

2

121a) 02

62·2

212·1212

2

222

22

2

2

=====

−+ −

+−+

+

+∞→

+∞→+∞→+∞→ eeeexxlím x

xlímxx

xxlímxx

xlímx

x

xxx

043

34

9374

9374b) 2

2

2

2

=

=

=

−−

=

+−

+∞−∞−

+∞→−∞→

x

x

x

x xxxlím

xxxlím

123

23

2

1 −−+−+

−→ xxxxxlím

x

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) )0(

511

2311231

123

12123

2

1

−=

−+−

=−+

−+=

−−+−+

−→−→−→ xxxlím

xxxxlím

xxxxxlím

xxx

( ) ( ) ( ) ( ) +∞=−+

−−∞=

−+−

+− −→−→ 1123;

1123

11 xxxlím

xxxlím

xx

32

2

3 4412 −

+

+− xx

x xxxlím

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14

Solución:

Ejercicio nº 16.-

Calcula los siguientes límites:

Solución:

Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.

Ejercicio nº 17.-

Calcula los límites:

Solución:

Ejercicio nº 18.-

Calcula:

====

+

+− −+−−

+−−+−

++−

→→→ 32·

44352

32·

444412

32·1

4412

32

2

3

2

3

2

3

2

3

4412 x

xx

xxlímxx

xxxxlím

xx

xxxlímx

x

xxxx eee

xxxlím

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) 8

211642

44212

3442312

33 eeee xxxlím

xxxxxlím

xx ==== ++

−+−+

→→

[ ]1

3b)a) 2x

3

x +−

−∞→+∞→ xlímx logxlím

x

[ ] +∞=−+∞→

x logxlímx

3a)

001

31

3b) 22 =∞+

=+

=+

+∞→−∞→ xlím

xlím

x

x

x

x

212b)213a)

4

3 52

+

−−

−∞→+∞→ xxlímxxlím

xx

=+−

−−=

+−

−−

−−

=

−−

+∞→+∞→+∞→ xx

xxlímxx

xxxxlímxxlím

xxx 213

413

213

213213213a)

2

22

2

22

2

−∞=+−

−−=

+∞→ xx

xlímx 213

12

2

02

12

2

12b)4

3 5

4

3 5

=+

−−=

+

−+∞→−∞→ x

xlímx

xlímxx

21

2

232

323b)12a)

+

+∞→

−∞→

+

+

x

x

x

x xxlím

xlím

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15

Solución:

Ejercicio nº 19.-

Calcula el siguiente límite:

Solución:

Ejercicio nº 20.-

Halla el siguiente límite:

Solución:

Ejercicio nº 21.-

Calcula estos límites:

021212a)3232

==

−=

+ ∞−

−−

+∞→

−∞→

x

x

x

x xlím

xlím

132

3b) 06422

21·

32323

21·1

323

21

2

222

22

2

2

=====

++

−−

+

+

−−

+

+

+

+∞→

+∞→+∞→+∞→ eeeex

xlím x

xlímx

x

xxlímx

x

xlímx

x

xxx

11242

0 −+

−+→ x

xlímx

=++−+

++−+=

++++−+

++++−+=

−+

−+→→→ )242()11(

)11()442()242()11()11()11()242()242(

11242

000 xxxxlím

xxxxxxlím

xxlím

xxx

144

242)11(2

)242()11(2

00==

++

++=

++

++=

→→ xxlím

xxxxlím

xx

2

22 4223 −

+−− x

x

x xxxlím

====

+−− −+−

−+−−

+−

−+−−

+−

−−

→→→ )2()42()65(

424223

2·1

4223

2

22

2

2

22

2

222

4223 xxx

xxxlímx

x

xx

xxxlímx

x

xx

xlímxx

x

xxx eeexx

xlím

21

42

)42()3(

)2()42()2()3(

2222 eeee xx

xxlímxxx

xxxlímxx ==== +−

−−

−+−

−−−→→

1b)13a) 92

+

+−

−∞→+∞→ xelímxxlím

x

xx

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16

Solución:

Ejercicio nº 22.-

Calcula los siguientes límites:

Solución:

Ejercicio nº 23.-

Halla:

Solución:

Ejercicio nº 24.-

Calcula:

−∞=

−=

+−

+∞→+∞→29

92 13a) xlímxxlímxx

0011

)b =∞−

=+−

=+

+∞→−∞→ xelím

xelím

x

x

x

x

+−

+−

+−∞→+∞→

xxxlímxx

xlímxx

23b)135

23a) 2

2

553

53

135

23a)2

==+−

++∞→ xx

xlímx

=++

++

−+

=

−+=

+−

+∞→+∞→−∞→ xxx

xxxxxxlímxxxlímxxxlím

xxx 23

23232323b)

2

22

22

−∞=++

+−=

++

−+=

+∞→+∞→ xxx

xxlímxxx

xxxlímxx 23

33

23

432

2

2

22

13

2 2

5324b)

5425a)

−∞→+∞→

+−

+−

x

x

x

x xxlím

xxlím

54

1512

151212

32·

545425

32·1

5425

32

5425a)

−−+−

+

−−−

−+−

+∞→=====

+−

+∞→+∞→+∞→ eeeeex

xlím xxlím

xx

xxlímxx

xlímx

xxxx

+∞=

=

+−−−

=

+−

+∞−

+∞→

−∞→ 34

5324

5324b)

11 22 x

x

x

x xxlím

xxlím

323

23

1 2783132−+−

+−→ xxx

xxlímx

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17

Solución:

Ejercicio nº 25.-

Calcula el límite:

Solución:

Ejercicio nº 26.-

Obtén el valor de los siguientes límites:

Solución:

Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logartimos.

Ejercicio nº 27.-

Halla los límites:

Solución:

( ) ( )( ) ( )

331

32

2

13

23

23

13

2312

123112

2783132

=−+

=−−

−+=

−+−+−

→→→ xxlím

xxxxlím

xxxxxlím

xxx

13

21 642 −

+−+ x

x

x xxxlím

====

+−+ −+−

−+−−

+−

−+−+

+−

+−

→→→ )1()6()3()23(

13·

6642

13·1

642

13

21

2

2

12

2

121

642 xxx

xxxlímx

x

xx

xxxlímx

x

xx

xlímxx

x

xxx eeexx

xlím

21

63

6)2(3

)1()6()1()2(3

2121 eeee xx

xxlímxxx

xxxlímxx ==== +−

−−−+−

−−−

→→

xxx

xlímx log

xlím2

1b)23a)2 +−

−∞→+∞→

+∞=−

+∞→ x logxlím

x

23a)2

−∞=+−

=+

−+∞→−∞→ xxxx

xlímxlím2

12

1b)

xxxxlímxxxlím

xx 213b)325a)

6

22

−+

−−

−∞→+∞→

=+−

+−

−−

=

−−

+∞→+∞→ xxx

xxxxxxlímxxxlím

xx 325

325325325a)

2

22

2

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18

Ejercicio nº 28.-

Calcula estos límites:

Solución:

Ejercicio nº 29.-

Halla el valor del siguiente límite:

Solución:

Hallamos los límites laterales:

Ejercicio nº 30.-

Calcula el siguiente límite:

Solución:

−∞=+−

−−=

+−

−−=

+∞→+∞→ xxx

xxlímxxx

xxxlímxx 325

24

325

9252

2

2

22

02

13

2

13b)6

2

6

2

=+

−−=

−++∞→−∞→ xx

xxlímxx

xxlímxx

122

2

5221b)

1232a)

+∞→

−∞→

++

+−−

x

x

x

x xxlím

xxlím

+∞=

=

++

=

+−−

∞+

+∞→

−∞→ 23

1232

1232a)

22x

x

x

x xxlím

xxlím

( ) ( )0

5221b) 52

4812·52

522112·152

2112 2222

=====

++ ∞−+

+−−

+

−−+−

−+

+−

+∞→

+∞→+∞→+∞→ eeeex

xlím xxlímx

xxxlímx

xxlímx

xxxx

43102

23

2

2 +−−+

→ xxxxlím

x

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) )0(

921

5221

25243

10222223

2

2=

−++

=−+

−+=

+−−+

→→→ xxxlím

xxxxlím

xxxxlím

xxx

( ) ( ) ( ) ( ) +∞=−+

+−∞=

−++

+− →→ 2152;

2152

22 xxxlím

xxxlím

xx

11

2

1 132 −

+

+− x

x xxxlím

====

+

+− −++−

+−−+−

++−

→→→ 11·

123

11·

1132

11·1

132

11

2

1

2

1

2

1

2

1

132 xx

xxlímxxxxxlím

xxxxlímx

xxxx eee

xxxlím

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19

Continuidad

Ejercicio nº3 1.-

Estudia la continuidad de la siguiente función. Si en algún punto no es continua, indica el tipo de discontinuidad que hay:

Solución:

• Dominio = − {−1, 1}.

f(x) es continua en − {−1, 1}.

• Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x = −1 y en x = 1:

Discontinuidad evitable en x = −1.

Discontinuidad de salto infinito en x = 1.

Ejercicio nº 32.-

Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

Solución:

• Dominio =

• Si x ≠ 1 y x ≠ 2 → f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas. • En x = 1:

( ) ( )( ) ( ) 2

112

1·11·2

11−

+−

−+−−

=== →→ eee xxlímxx

xxlímxx

( )1

352

23

−−−−

=x

xxxxf

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) 02

01

311131

135

1

2

12

23

1=

−=

−−+

=−+−+

=−

−−−−→−→−→ x

xxlímxxxxlím

xxxxlím

xxx

( ) ( ) ( ) :laterales límites los Hallamos.)0(4

131

11

−=

−−+

=→→ x

xxlímxflímxx

( ) ( ) −∞=+∞=+− →→

xflímxflímxx 11

;

( )

≥+<≤++

<−=

2si1321si2

1si32

xxxabxx

xaxxf

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20

Para que f (x) sea continua en x = 1, ha de ser:

3 − a = 2 + b + a → 2a + b = 1

• En x = 2:

Para que f (x) sea continua en x = 2, ha de ser:

8 + 2b + a = 7 → a + 2b = −1

• Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que:

Ejercicio nº 33.-

Estudia la continuidad de la siguiente función:

Solución:

• Dominio =

• Si x ≠ −1 y x ≠ 2 → f (x) es continua, pues está formada por funciones que son continuas en los intervalos

correspondientes.

• En x = −1:

• En x = 2:

( ) ( )

( ) ( )

( )

++=

++=++=

−=−=

++

−−

→→

→→

abf

ababxxlímxflím

aaxlímxflím

xx

xx

21

22

33

2

11

11

( ) ( )( ) ( )

( )

=

=+=

++=++=

++

−−

→→

→→

72

713

282

22

2

22

f

xlímxflím

ababxxlímxflím

xx

xx

( ) 1;133142121221

1212

−==→−=−→−=−+→−=−+−=

−=+=+

baaaaaaab

baba

( )

≥+

<≤−−

−<+

=

2si13

21si2

1si32

2

xx

xx

xx

x

xf

( )

( ) ( )( )

( ) .1 en continua es

11

12

132

2

11

11

−=

−=−

−=−=

−=+

=

++

−−

−→−→

−→−→

xxf

f

xlímxflímx

xlímxflím

xx

xx

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21

Ejercicio nº 34.-

Calcula el valor de a para que la siguiente función sea continua:

Solución:

• Dominio =

• Si x ≠ 1 → f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

• En x = 1:

Para que f (x) sea continua en x = 1, ha de ser:

Ejercicio nº 35.-

Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no sea continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta:

Solución:

• Dominio = − {−5, 2}

f (x) es continua en − {−5, 2}.

• Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x = −5 y en x = 2:

( ) ( )( ) ( )

( )finito. salto

de idaddiscontinu unaHay .2 en adiscontinu es 713

22

22

2

22 =

=+=

=−=

++

−−

→→

→→xxf

xlímxflím

xlímxflím

xx

xx

( )

>+≤+−

=1si 31si122

xxlnaxxaxxf

( ) ( )( ) ( )

( )

−=

=+=

−=+−=

++

−−

→→

→→

11

3 3

112

11

2

11

af

axlnalímxflím

axaxlímxflím

xx

xx

211231 −=→−=→=− aaaa

( )103

8232

2

−+−−

=xxxxxf

( ) ( ) ( )( ) ( )25

243103

8232

2

−+−+

=−+−−

=xxxx

xxxxxf

( ) :laterales límites los Hallamos .)0(

11543

55

−=

++

=−→−→ x

xlímxflímxx

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22

Discontinuidad de salto infinito en x = −5.

Discontinuidad evitable en x = 2.

Ejercicio nº 36.-

Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en x = 2:

Solución:

Para que f (x) sea continua en x = 2, ha de tenerse que:

f (2) = k

Ejercicio nº 37.-

Estudia la continuidad de la función:

Solución:

• Dominio =

• Si x ≠ 0 y x ≠ 1 → f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

• En x = 0:

( ) ( ) −∞=+∞=+− −→−→

xflímxflímxx 55

;

( )7

10543

22=

++

=→→ x

xlímxflímxx

( )

=

≠++−++−

=2si

2si8814448113

23

23

xk

xxxxxxx

xf

( ) ( )22

fxflímx

=→

( ) ( ) ( )( ) ( ) 10

72413

242132

8814448113

22

2

223

23

22=

++

=+−

+−=

++−++−

=→→→→ x

xlímxxxxlím

xxxxxxlímxflím

xxxx

7Por tanto, ha de ser 10

k• =

( )

≥+<≤+

<=

1si 410si13

0si2

xxlnxx

xexf

x

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23

• En x = 1:

• Por tanto, f (x) es continua en .

Ejercicio nº 38.-

Calcula los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

Solución:

• Si x ≠ 1 y x ≠ 2 → f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

• En x = 1:

Para que f (x) sea continua x = 1, ha de ser:

a − 2 = 4 + a + b → b = −6

• En x = 2:

Para que f (x) sea continua en x = 2, ha de ser:

10 + 2a = 0 → 2a = −10 → a = −5

• Por tanto, f (x) será continua si a = −5 y b = −6.

( )

( ) ( )

( )

( ) .0 en continua es

10

113

1

2

00

00

=

=

=+=

==

++

−−

→→

→→

xxf

f

xlímxflím

elímxflím

xx

x

xx

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) .1 en continua es

41

1 4

413

11

2

11

=

=

=+=

=+=

++

−−

→→

→→

xxf

f

xlnlímxflím

xlímxflím

xx

xx

( )

≥+<≤++

≤−=

2si321si4

1si22

2

xbxxbaxx

xxaxxf

( ) ( )

( ) ( )

( )

++=

++=++=

−=−=

++

−−

→→

→→

baf

babaxxlímxflím

axaxlímxflím

xx

xx

41

44

22

2

11

2

11

( ) ( )( ) ( )

( )

=

=−=

+=−+=

++

−−

→→

→→

02

063

21064

22

2

22

f

xlímxflím

aaxxlímxflím

xx

xx

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24

Ejercicio nº 39.-

discontinuidad que hay en los puntos en los que no es continua. Solución:

• Dominio = − {−5, 2}

f (x) es continua en − {−5, 2}.

• Veamos que tipo de discontinuidad que presenta en x = −5 y en x = 2:

Discontinuidad evitable en x = −5.

Discontinuidad de salto infinito en x = 2.

Ejercicio nº 40.-

Halla el valor de a para que la siguiente función sea continua:

Solución:

• Si x ≠ 1 → la función es continua, pues está formada por funciones continuas.

• En x = 1:

Para que f (x) sea continua en x = 1, ha de ser:

2 + a = 6 − 3a → 4a = 4 → a = 1

( ) de tipo el Indica d.continuida su estudia ,103

5153 función la Dada 2

23

−++++

=xx

xxxxf

( ) ( ) ( )( ) ( )25

135103

5153 2

2

23

−+++

=−+

+++=

xxxx

xxxxxxf

( )776

776

213 2

55

−=

−=

−+

=−→−→ x

xlímxflímxx

( ) :laterales límites los Hallamos .)0(

132

13 2

22=

−+

=→→ x

xlímxflímxx

( ) ( ) +∞=−∞=+− →→

xflímxflímxx 22

;

( )

>+−≤+

=1si531si2

2 xaxxaxf

x

( ) ( )

( ) ( )

( )

+=

−=+−=

+=+=

++

−−

→→

→→

af

aaxlímxflím

aalímxflím

xx

x

xx

21

3653

22

2

11

11

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25

Teorema de Bolzano

Ejercicio nº 41.-

Demuestra que la ecuación:

tiene, al menos, una solución real. Determina un intervalo de amplitud menor que 2 en el que se encuentre la raíz. Solución:

• Consideramos la función f (x) = x7 + 3x2 − 2x + 1, que es continua por ser polinómica.

• Tanteando, encontramos que f (−2) = −111; f (−1) = 5.

• Es decir:

Por el teorema de Bolzano, sabemos que existe, al menos, un c ∈ (−2, −1) tal que f (c) = 0.

La raíz de la ecuación es c.

Ejercicio nº 42.-

Demuestra que la ecuación e−3x + 4x −2 = 0 tiene, al menos, una solución real en el intervalo [0, 1]. Solución:

• Consideramos la función f (x) = e−3x + 4x −2, continua en , pues es suma de funciones continuas. En

particular, será continua en [0, 1].

• Por otra parte, tenemos que:

• Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe, al menos, un c ∈ −(−1, 0) tal que f (c) = 0.

La raíz de la ecuación es c.

Ejercicio nº 43-

Halla un intervalo de amplitud menor que 2 en el que la siguiente ecuación tenga, al menos, una raíz real:

3x3 + 2x − 7 = 0

0123 27 =+−+ xxx

( ) [ ]( ) ( )

−≠−

−−1 de signo 2 de signo

1,2 en continua es ff

xf

( )( ) ( ) ( )1 de signo 0 de signo

021010

3 ffef

f≠

>+=<−=

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26

Solución:

• Consideramos la función f (x) = 3x3 + 2x − 7, continua por ser polinómica.

• Tanteando, encontramos que f (1) = −2; f (2) = 21.

• Es decir:

Por el teorema de Bolzano, sabemos que existe, al menos, un c ∈ (1, 2) tal que f (c) = 0.

La raíz de la ecuación es c.

Ejercicio nº 44.-

Dada la función f (x) = x3 + 2x + 1, encuentra un intervalo de amplitud menor que 2 en el que f (x) corta al eje OX. Solución:

• f (x) es continua en , pues es una función polinómica.

• Tanteando, encontramos que f (−1) = −2, f (0) = 1.

• Es decir:

Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe, al menos, un c ∈ (−1, 0) tal que f (c) = 0.

f (x) cortará al eje OX en x = c.

Ejercicio nº 45.-

Prueba que la función f (x) = 3x + cos πx + 1 corta al eje OX en el intervalo [−1, 0]. Solución:

• f (x) es una función continua en , pues es suma de funciones continuas. En particular, será continua en [−1,

0].

• Por otra parte:

Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que existe, al menos, un c ∈ (−1, 0) tal que f (c) = 0.

f (x) cortará al eje OX en x = c.

( ) [ ]( ) ( )

≠ 2 de signo 1 de signo

2,1 en continua es ff

xf

( ) [ ]( ) ( )

≠−

−0 de signo 1 de signo

0,1 en continua es ff

xf

( )( ) ( ) ( )0 de signo 1 de signo

020031

fff

f≠−

>=<−=−