1

Límite de una sucesión numérica.

Como una breve introducción presentamos un pequeño problema de

células ideales, resuelto afortunadamente. El cual dice lo siguiente:

Demostrar que al año habrá (12)2 células, sabiendo que estas se

reproducen a partir de una y tienen de una en una, gestan durante un mes y

maduran para tener otra en otro mes.

Utilizaremos la siguiente simbología:

Célula recién nacida.

Célula madura.

Mes Gráfica de la reproducción Conteo de

células

1° 1

2° 1

3° 2

4° 3

5° 5

6° 8

7° 13

8° 21

9° 34

10° 55

Le invitamos a que en base a su observación coloque en las filas 11º y 12º

las células y el número de ellas.

11º

12º

Si lograste observar el comportamiento de los números, basta sumar dos

números consecutivos últimos para obtener el tercero, esta sucesión de números

los matemáticos le llaman “serie de Fibonacci”.

2

La cual está formada por los siguientes números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,

55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, ... , etc.

Sí esta serie de números te quedó clara, escribe los cinco números

consecutivos de la serie anotada en el párrafo anterior, en esta

línea:_____________________________________________________________

__________________________________________________________________

¿Cuál será el último número?, comenta en tu equipo, a tu profesor o

profesora cual es este y anótalo en este espacio: __________________________

Lo anterior quiere decir que haz definido el límite de la serie de Fibonacci.

esta serie de números guarda otro límite, el cual lo vamos a descubrir

mediante el llenado de la siguiente tabla, este límite lo ocupan mucho los

profesionales del arte y construcción, la prueba está que la proporción la

encontramos hasta en la naturaleza.

División del último al anterior

número último

Resultado del cociente

11

1

12

2

23

1.5

35 6.1

58

1.6

813

1.625

1321 615384.1

2134 619047.1

3

3455 35294117647058826.1

5589 186.1

89144

1.6179775280898876404494382022472

144233 1.61805

233377

1.6180257510729613733905579399142

377610

1.6180371352785145888594164456233

610987

1.6180327868852459016393442622951

9871597

1.6180344478216818642350557244174

15972584

1.618033813400125234815278647464

25844181

1.6180340557275541795665634674923

41816765

1.6180339631667065295383879454676

Tal parece que si seguimos construyendo esta tabla jamás tendremos

definido el límite de esta sucesión, porque aparecen números cada vez más raros,

sin embargo vamos a obtener dicho límite por proporciones a continuación:

Sea el segmento de recta que a continuación se muestra, la parte más

gruesa “x” y la más delgada “1” y el total del largo del segmento es “X + 1”, nos

queda:

Sí las partes son proporcionales la razón quedará:

1::::1 XXX

X 1

4

escrito de otra forma queda:

1

1 X

X

X

haciendo los productos cruzados es:

XXX 11

21 XX

pasamos los término del primer miembro al segundo miembro y quedando igualada dicha expresión de la siguiente forma:

012 XX

resolviendo esta expresión por la fórmula general para resolver ecuaciones de

segundo grado, siendo a = 1; b = - 1; c = - 1 y la fórmula general es:

a

acbbX

2

42

sustituyendo dichos valores queda la expresión:

12

114112

X

2

51X las soluciones son

2

5

2

11 X y

2

5

2

12 X .

5

Aproximadamente X1 = 1.61803398874989484820458683436564

X2 = - 0.61803398874989484820458683436564

Por lo cual el límite de los cocientes de los números de Fibonacci es

aproximadamente: 1.61803398874989484820458683436564 debido a que las

razones con las que se cálculo el valor de X son:

1

1 X

X

X

sustituyendo el valor de “X” queda:

1

6564204586834387498948481.61803398

6564204586834387498948481.61803398

1 6564204586834387498948481.61803398

haciendo dichas operaciones nos resulta:

1.61803398874989484820458683436564

6

Sí graficamos los cambios de los cocientes que están anotados en la tabla

anterior, veremos una gráfica como la que se muestra a continuación:

Si observa solo pudimos graficar hasta 13/8, si puede grafique hasta la

última fracción de la tabla, pero como sabemos que ni el lápiz con la punta más

aguzada logrará graficar todos los cocientes de los números de Fibonacci pues le

invitamos a que lo intente.

Sugerimos para visualizar mejor este ejemplo: que vean la

película de Donald en el país de las matemagicas de Walt

Disney.

En esta película se observa como los profesionales del arte, arquitectos,

dentistas, musicos, etc., y en la naturaleza como presenta la sección aurea o

dorada. Sin embargo en esto último vemos que se puede visualizar también el

concepto del límite.

2 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1

7

Como actividad de estudio es conveniente que sepas cual es la bacteria

que nos produce la enfermedad comúnmente llamada FARINGITIS, esta es el

Staphylococus aureus, esta bacteria se duplica cada 3 horas, siguiendo la misma

pauta del desarrollo de los números de Fibonacci, haz un diagrama de árbol,

determina la sucesión de números, determina la ley matemática con la cual se

reproducen y determina el límite de la sucesión.

Como observó, para llegar a este concepto debemos situarlo sobre una

escala numérica los puntos correspondientes a los términos de la sucesión, te

invitamos a que hagas la gráfica de la siguiente serie de números y determines lo

que se te pide.

... ,n

1 - 2 ..., ,

5

9 ,

4

7 ,

3

5 ,

2

3 1,

Si hacemos una tabulación dándole valores a n podremos ver con mayor

facilidad la aproximación al límite de esta sucesión.

N

n

12

1 1 2

2

3

3

3

5

4 5 6 7 8

9 10

11 12 13 14 15 16

8

El cálculo para n = 1 queda:

11

12

para n = 2 queda:

2

3

2

1

2

4

2

12

para n = 3 queda:

3

5

3

1

3

6

3

12

Calcule el límite de las sucesiones siguientes, utilizando la metodología

antes usada:

a) 1, ,5

1,

4

1,

3

1,

2

1

b) ,25

1,

16

1,

9

1,

4

1,1

c) ,5

14,

4

11,

3

8,

2

5,2

d) ,5

17,

2

7,

3

11,4,5

e) ,32

1,

16

1,

8

1,

4

1,

2

1

f) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, ...

Determina los valores que se indican en la tabla desde n = 4 hasta n = 20 en el

siguiente espacio:

17 18 19 20

9

Si anotas sus equivalencias en decimales ocupando una calculadora, ¿Cuál es el límite de esta sucesión? __________________________ __________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Sin tener que hacer todo esto que hemos hecho, ¿podrás indicar los límites

de las siguientes sucesiones de números indicadas en la tabla?:

n

n

12

1 1 2

5.12

3

3 6.1

3

5

4 5 6

7 8

9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

19 20

Sucesión Límite

n

13

n

15

n

16

n

16

10

De la tabla indicada con números nos da por límite “2”, Si “X” es una

variable cuyo campo de variación es la sucesión n

12 se dice que “X” se

aproxima al límite 2, o bien que “X” tiende a 2, y se representa 2 x .

La sucesión n

12 no contiene a su límite 2, sin embargo, la sucesión

,,1,6

5,1,

2

1,1 en la que todos los términos impares son iguales a 1. por tanto, una

sucesión puede o no contener a su propio límite. Sin embargo, como veremos más

adelante, decir que a x implica ax , esto es, se sobrentenderá que cualquier

sucesión dada no contiene a su límite como término.

Quizá todo esto que hemos estudiado no despierte mucho la ansiedad

matemática que tienes, para esto veremos los siguientes temas que los

matemáticos le llaman “Matemática formal”, sin embargo, esto no quiere decir que

lo que hemos visto hasta ahora no te permita formalizar las matemáticas que

ambicionas.

Límite de una función.

Si 2 x según la sucesión n

12 , 4 2 xxf según la sucesión

2

n

12 , ,

16

49 ,

9

25 ,

4

9 1,

Ahora bien, si 2 x según la sucesión nn

12,, 2.001 , 01 2. 2.1 ; 4 2 x

según la sucesión 4.41; 4.0401; 4.004001; ...,

2

10

12

n; ... Parece razonable

n

14

11

esperar que x2 tiende a 4 siempre que tienda a 2. en estas condiciones se

establece que “el límite de x2 cuando x tiende a 2 es igual a 4”, y se representa por

el simbolismo 42

2

xlím

x.

Determine el límite de 2 Xy , siendo “X” los términos de cada una de

las sucesiones:

a) ,1

,,5

1,

4

1,

3

1,

2

1,1

n

b) ,1

,,25

1,

16

1,

9

1,

4

1,1

2n

c) ,1

5,,5

14,

4

11,

3

8,

2

5,2

n

d) ,,5

17,

2

7,

3

11,4,5 ,

25

n

e) ,,32

1,

16

1,

4

1,

2

1 ,

2

12

n

f) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, ..., ,10

13

n

Límites por la derecha y por la izquierda.

Cuando 2x según la sucesión ,n

1 -2 ,,

5

9,

4

7,

3

5,

2

3 ,1 , cada término es

siempre menor que 2. Se expresa diciendo que x tiende a 2 por la izquierda, y se

representa por 2x . Análogamente, cuando 2x según la sucesión 2.1;

2.01; 2.001; ...; ,,10

12

n cada término es siempre mayor que 2. Se expresa

diciendo que x tiende a 2 por la derecha y se representa por 2x . Es evidente

que la existencia del xflímax

implica la del límite por la izquierda xflímax

y la

12

del límite por la derecha xflímax

, y que por ambos son iguales. Sin embargo, la

existencia del límite por la izquierda (derecha).

Ejemplo: Sea la función 29 xxf . El dominio de definición es el

intervalo – 3 x 3. Si a es un número cualquiera del intervalo abierto

– 3 x 3, 29 xlímax

existe y es igual a 29 a . Considérese ahora que

3a . Si x tiende a 3 por la izquierda, 09 2

3

xlímx

, y si “x” tiende a 3 por la

derecha, 2

3

9 xlímx

no existe, puesto que para x 3, 29 x es un número

imaginario. Por tanto, no existe 2

39 xlím

x

.

Análogamente, 2

3

9 xlímx

existe y es igual a 0; sin embargo, no existen

09 2

3

xlímx

y ni 2

3

9 xlímx

.

Ejemplo 1) Hagamos el análisis del siguiente límite 2

62

2

x

xxlímx

con

precisión de una milésima.

Solución: Sí hacemos la sustitución directa del límite nos quedará:

adoindetermin

0

0

0

44

22

622

2

622

2

x

xxlímx

Ahora hagámoslo con lo que nos mencionan en el párrafo anterior:

Analizando por la izquierda el límite con precisión de una milésima, es

decir, nos aproximamos a una milésima por la izquierda del 2, lo cual quiere decir

13

que hacemos una diferencia de dos con una milésima para ver a que valor tenderá

el límite, siendo este de la siguiente forma:

2 – 0.001 = 1.999 el límite queda:

999.4001.0

0004999.

2999.1

6999.1996001.3

2999.1

6999.1999.1

2

6

2

622

999.1

2

2

x

xxlím

x

xxlím

xx

Analizando por la derecha el límite con precisión de una milésima, es

decir, nos aproximamos a una milésima por la derecha del 2, lo cual quiere decir

que hacemos una suma de dos con una milésima para ver a que valor tenderá el

límite, siendo este de la siguiente forma:

2 + 0.001 = 2.001 el límite queda:

001.5001.0

005001.

2001.2

6001.2004001.4

2001.2

6001.2001.2

2

6

2

622

001.2

2

2

x

xxlím

x

xxlím

xx

Como podemos ver los dos límites se aproximan a 5 si redondeamos los

dos resultados, esto lo comprobarás con los métodos que se utilizan para limites

indeterminado que veremos más adelante, mientras eso sucede hagamos otro

ejercicio un poco más difícil pero con este método que estamos viendo todo se

hace fácil.

14

Ejemplo 2) Analicemos el límite de 3

254 2

x

xxf cuando 3x .

Hagámoslo sustituyendo directamente la tendencia y veamos que pasa:

adoindetermin o indefinido 0

0

0

44

0

164

33

9254

33

3254

3

25422

3

x

xlímx

Nuevamente hagámoslo con lo que hemos aprendido en el párrafo anterior:

Analizando por la izquierda el límite con precisión de una milésima, es

decir, nos aproximamos a una milésima por la izquierda del 3, lo cual quiere decir

que haremos una diferencia de 3 con 0.001 para ver a que valor tenderá el límite,

siendo este de la siguiente forma:

3 – 0.001 = 2.999 el límite queda:

001.0

994001.8254

3999.2

999.2254

3

254lim

3

254lim

22

999.2

2

3

x

x

x

x

xx

7498.0001.0

007498.0

001.0

0007498.44

001.0

00599.164

Analizando por la derecha el límite con precisión de una milésima, es

decir, nos aproximamos a una milésima por la derecha del 3, lo cual quiere decir

que hacemos una suma de 3 con 0.001 para ver a que valor tenderá el límite,

siendo este de la siguiente forma:

3 + 0.001 = 3.001 el límite queda:

15

0.75 es centésimas a oRedondeand

0.7501954001.0

0007501954.0

001.0

9992498.34

001.0

993999.154

001.0

006001.9254

3001.3

001.3254

3

254

3

25422

001.3

2

3

x

xlím

x

xlím

xx

Como podemos ver los dos límites se aproximan a 0.75 si redondeamos los

dos resultados, esto lo comprobarás con los métodos que se utilizan para limites

indeterminado que veremos más adelante, mientras eso sucede hagamos otro

ejercicio un poco más difícil pero con este método que estamos viendo todo se

hace fácil.

Ejemplo 3) Analicemos el siguiente límite 64

23

8

x

xlímx

Hagámoslo sustituyendo directamente la tendencia y veamos que pasa:

definida no división 0

0

88

22

88

28

8

2 33

8

x

xlímx

Nuevamente hagámoslo con lo que hemos aprendido en los párrafos

anteriores:

Analizando por la izquierda el límite con precisión de una milésima, es

decir, nos aproximamos a una milésima por la izquierda del 8, lo cual quiere decir

que haremos una diferencia de 8 con 0.001 para ver a que valor tenderá el límite,

siendo este de la siguiente forma:

8 – 0.001 = 7.999 el límite queda:

08336.0001.0

00008333.0

001.0

29999167.1

8999.7

2999.7

8

2

8

2 33

999.7

3

8

x

xlím

x

xlím

xx

El límite por la izquierda es aproximadamente 0.08336 que es casi 12

1

16

Analizando por la derecha el límite con precisión de una milésima, es

decir, nos aproximamos a una milésima por la derecha del 8 lo cual quiere decir

que hacemos una suma de 8con 0.001 para ver a que valor tenderá el límite,

siendo este de la siguiente forma:

8+ 0.001 = 8.001 el límite queda:

0833.0001.0

00008332.0

001.0

200008333.2

8999.7

2001.8

8

2

8

2 33

001.8

3

8

x

xlím

x

xlím

xx

El límite por la derecha aproximadamente 0.0833 que es casi 12

1

Como podemos ver los dos límites se aproximan a 0.0833 si redondeamos los dos

resultados, esto lo comprobarás con los métodos que se utilizan para limites

indeterminado que veremos más adelante, mientras eso sucede hagamos otro

ejercicio un poco más difícil pero con este método que estamos viendo todo se

hace fácil.

Utilizando el método de aproximación que se aprendieron en esta sección

realiza los siguientes ejercicios:

a)

65

42

2

2 xx

xlímx

b)

34

232

2

1 xx

xxlímx

17

c)

4

222 x

xlímx

d)

4

2

22 x

xlímx

e)

4

222 x

xlímx

f)

23

1

21 x

xlímx

Sin embargo esto aun no lo es todo, habrá que aprender a utilizar las

herramientas que nos han proporcionado en los cursos anteriores de matemáticas,

para esto tenemos que aprender el siguiente tema que calmará aun más tu

ansiedad matemática.

Teoremas sobre límites.

I. Si cxf , constante, tendremos cxflímax

.

Si Axflímax

y Bxglímax

, resulta:

II. kAxfklímax

, siendo k una constante.

III. BAxglímxflímxgxflímaxaxax

.

18

IV. BAxglímxflímxgxflímaxaxax

V.

B que siempre ,

B

A

xglím

xflím

xg

xflím

ax

ax

ax

0.

VI. nnn

ax

n

axAAxflímxflím que siempre ,

sea un número real.

Estos teoremas de límites se ven un poco áridos, sin embargo son

herramientas que debemos aprender para poder abordar la fórmula general de la

derivada o derivada por definición o derivada por los cuatro pasos, que también es

otra herramienta fuerte para resolver problemas sin tener que hacer algunas veces

el uso de gráficos, tablas y algunos otros recursos.

Límite de una función.

En la función definida por: f(x) = x2. Donde el dominio de la función

(valores de X), contenga todos los números reales. El límite de f(x) cuando “x “se

aproxima por ejemplo al valor de 10, será 100. Lo cuál se presenta:

100102

10

2

1010

xxxlímxlímxflím

Y se lee “el límite de la función f(x) es 100 cuándo el valor de la variable x

tiende al valor de 10”.

Existen diferentes casos para poder calcular el límite de una función, que son:

19

CASO I: Si la función dada está simplificada, basta sustituir

directamente el valor a que tiende la variable independiente y realizar las

operaciones indicadas, el resultado será el valor del límite buscado.

EJEMPLO 1: Calcula el límite de la función: y = 2x + 6 cuando x 3.

Sustituimos el valor de “x” por 3 y realizamos las operaciones indicadas utilizando

los teoremas sobre el límite, y tenemos:

126663262623333

xxxx

límxlímxlímxflím

“El límite de función y = 2x + 6 es igual a 12 cuando “x” tiende a 3”.

Anota en tu cuaderno la función siguiente y obtén el LÍMITE sabiendo que:

2

1262

x

xxy cuando 2x .

¿Qué resultado obtuviste?, coméntalo con tus compañeros y maestro.

Resuelve los siguientes límites que son demasiado fáciles:

a)

10

xlímx

b)

x

xlímx

2

2

c)

420

xlímx

d)

x

xlímx

14 2

1

20

e)

x

xlímx

1

1

f)

1

2

1 x

xlímx

g)

xxlímx 4

h)

3

8

xxlímx

i)

122

1hhlím

h

j)

43

0hlím

h

k)

23h

lím

l)

50h

lím

m)

1

2

1 x

xlímx

n)

2

12

2 x

xlímx

ñ)

2

1822

0 x

xxlímx

21

o)

72

1622

3

3 x

xxlímx

p)

4

2042

0 x

xxlímx

q)

12

25

24

3

2

23

234

2

1 xxx

xxxx

límx

Cálculo de expresiones indeterminadas.

En ocasiones obtenemos expresiones indeterminadas cuando no se conoce

su valor, por ejemplo: Cuando se presenta el cociente 0

0. Veamos unos resultados

referente a esto:

? 0

0 1

2.7

2.7 1

3

3

? 0

0 0

4.35-

0 0

2.7

0 0

3

0

Según la primera lista el resultado da uno, ya que el numerador y el

denominador son iguales.

Según la segunda lista el resultado es cero, ya que el numerador es

cero.

Si lo hacemos con la calculadora ésta marca error.

22

Para calcular LÍMITES indeterminados con ayuda de la derivada,

derivamos el numerador y denominador donde se sustituye en esta

nueva fracción el LÍMITE a este procedimiento recibe el nombre de

teorema de L´Hospital, (este método lo veremos más adelante

cuando cubramos el tema de derivadas de funciones algebraicas y

trigonométricas si es posible debido al tiempo que se dispone).

CASO II: Se da cuando es necesario, primero simplificar la función

dada, antes de sustituir directamente el valor de la variable independiente,

por que, de lo contrario puede dar lugar a la forma indeterminada 0

0. La

simplificación generalmente se obtiene factorizando las partes o

expresiones que sean posibles de la función dada.

EJEMPLO 2: Calcula el límite de la función 3

92

X

Xy cuando 3x .

Si sustituimos directamente el valor al que tiende la variable independiente,

tenemos:

0

0

33

99

33

93

3

9 22

33

x

xlímxflímxx

quedando esto indefinido

Por lo tanto, será necesario primero factorizar la expresión; en éste caso el

numerador y posteriormente habrá que reducir la expresión, luego sustituir el valor

de la variable independiente:

63333

33

3

9

33

2

33

xlím

x

xxlím

x

xlímxflím

xxxx

23

Anota en tu cuaderno la función: 64

4032

2

x

xxy y calcula su límite

cuando “x” tiende a 8. Al terminar de hacer este problema en equipo comenta con

el resto del grupo como le hicieron para llegar a tal resultado, si los resultados son

distintos y tus compañeros no te convencen del procedimiento que siguieron

consulten a su facilitador.

Para esto tendrás que factorizar tanto el denominador como el

numerador.

Para tengas el gusto de practicar lo aprendido en este apartado te

facilitamos los siguientes ejercicios que sabemos que los harás con gusto en casa,

si con esto se te presentan algunos problemas para tener dominio de este tema no

dudes en consultar a tus compañeros de equipo, al resto del grupo y a tu

facilitador clave del conocimiento:

a) xx

xlímx 2

2

0

b)

xx

xxlímx 22

2

0

c)

xx

xxlímx 2

2

1

12

d)

xx

xxlímx 2

2

1

23

e)

2

83

2 x

xlímx

24

f)

23

82

3

2 xx

xlímx

g)

xx

xxlímx 2

2

1

42

CASO III: Este caso se da cuándo en la función dada es necesario

simplificar por medio de la racionalización de su numerador o denominador,

antes de sustituir directamente el valor a que tiende la variable

independiente de la función, por que si no, da lugar a la indeterminación 0

0.

Este caso se puede identificar fácilmente porque es la función irracional,

debido a que aparece el signo radical .

EJEMPLO 3: Calcula el límite de función x

xxf

11 cuando 0x .

Sustituimos directamente el valor de la variable independiente por 0, y

tenemos:

0

0

0

11

0

11

0

11011

00

x

xlímxflímxx

Entonces será necesario primero racionalizar el numerador de la expresión,

multiplicando dicha expresión por su conjugado, evita que aparezca el radical en el

numerador de la siguiente forma:

11

11

11

111111

000

xx

xlím

x

x

x

xlím

x

xlím

xxx

25

11

1

1111

11

000

xlím

xx

xlím

xx

xlím

xxx

Después, sustituyendo “x” por 0 tenemos:

2

1

11

1

11

1

110

1

Escribe en tu cuaderno la función: 2

2

4

53

x

xxf

y determine su límite

cuando x2.

Recuerda que tienes que racionalizar la expresión.

Nuevamente como los deportistas, hay que hacer mucha práctica para

poder tener dominio de lo que se quiere lograr y para esto te presentamos los

siguientes ejercicios:

a)

4

2

22 x

xlímx

b)

4

2

22 x

xlímx

c)

23

1

21 x

xlímx

d)

23

1

21 x

xlímx

e) x

x

x

255lim

0

26

f) 24

lim0 h

h

h

g) x

x

x

28lim

3

0

i) 25

5lim

25

x

x

x

j) 11

lim0 x

x

x

Límite de funciones con tendencia a infinito.

Si el límite de una función es infinito cuando su valor aumenta o disminuye

infinitamente cuando cx . Es decir:

xflímcx

O si una función tiende hacia el límite “l” (uno), cuando la variable

independiente “X” tiende al infinito, es decir:

1

xflímcx

Podemos deducir que existen ciertos límites que se presentan

generalmente, cuando la variable independiente “X” tiene el valor de cero ó infinito:

c

xlím

x

clíma

xx b) ;0 )

Con base a lo anterior, podemos decir que:

27

Sí el máximo grado se presenta en el denominador el límite

siempre será cero.

Sí el máximo grado se presenta en el denominador el límite

siempre será .

Sí tanto el denominador como en numerador tienen el mismo

grado, se tendrá como respuesta los coeficientes de los

términos mencionados.

Esto implica que este tipo de límites se pueden resolver por simple

inspección visual, sin embargo, habrá que aprender el procedimiento riguroso de

los matemáticos, que es lo que sigue y en esta situación se nos presenta:

CASO IV: Cuando en una función se obtiene la indeterminación

. Si

la variable independiente tiende al infinito y se requiere encontrar el límite

de una función expresada como un cociente de polinomios, será necesario

dividir primero, el numerador y el denominador por la variable con mayor

exponente que exista en cual quiera de ambos, antes de sustituir en la

expresión el valor a que tiende la variable independiente.

EJEMPLO 4: Obtén el límite de la función: 42

34

638

835

xx

xxy

cuando x tiende a

infinito ().

Si sustituimos directamente, tenemos:

42

34

42

34

638

835

638

835

xx

xxlímx

Por lo que será necesario dividir primero el numerador y denominador por

X4 , que es la variable que hay con el mayor exponente o término de mayor grado:

28

1

638

83

1

5

638

835

638

835

638

835

24

4

4

4

4

2

4

44

3

4

4

4

42

4

34

42

34

xx

xxlím

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

lím

x

xx

x

xx

límxx

xxlím

xxxx

6

5

600

005

638

835

24

4

EJEMPLO 5: En este ejemplo el término de mayor grado se presenta

en el numerador y ocupando el método estricto de los matemáticos se hace

de la siguiente forma:

00

003

16

243

16

243

lim16

243

lim16

243lim

2

2

2

2

22

222

2

2

xx

xx

xx

xxx

x

x

x

x

xx

xxx

EJEMPLO 6: En este ejemplo el término de mayor grado se presenta

en el denominador y ocupando el método estricto de los matemáticos se

hace de la siguiente forma:

07

0

007

0000

217

2151

217

2151

lim27

25

lim27

25lim

3

432

3

432

44

3

4

4

444

2

4

3

34

23

xx

xxxx

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

xxx

xxx

xxx

29

Sí observaste esto no requiere de tanto procedimiento matemático,

aplicando las reglas que se presentan con viñetas antes de esto solo se tiene que

hacer lo siguiente:

Repitiendo el ejemplo 4 se puede hacer de la siguiente forma: Obtén el

límite de la función: 42

34

638

835

xx

xxy

cuando x tiende a infinito ().

Como la función presenta el término de mayor grado de orden “4”,

entonces podemos poner lo siguiente:

6

5

638

835

:quedando de escoeficient los sólo anotamos 638

835

42

34

4

42

34

xx

xxlím

xxx

xxlím

x

x

observa si coincide con la respuesta del procedimiento largo y haz tus

comentarios con tus compañeros y el facilitador.

Repitiendo el ejemplo 5 se puede hacer de la siguiente forma:

16

243lim

2

x

xx

x

Como la función presenta el término de mayor grado de orden “2” y está en

el numerador, entonces podemos poner lo siguiente:

x

xxlím

xx

xxlím

x

x

0

3

00

003

16

243

:será expresión la ceros, con quedan términos

demás los todos y de ecoeficient el sólo anotamos 16

243

2

22

30

observa si coincide con la respuesta del procedimiento largo y haz tus

comentarios con tus compañeros y el facilitador.

Repitiendo el ejemplo 6 se puede hacer de la siguiente forma:

En este ejemplo el término de mayor grado se presenta en el denominador:

07

0

007

0000

27

25lim

:inspección simple por queda expresión la 27

25lim

34

23

34

23

xxx

xxx

xxx

xxx

x

x

Sabemos que ya tienes ansiedad por practicar lo que acabas de aprender,

para esto te ponemos los siguientes ejercicios, hazlos por los dos métodos con el

tiempo que requieras en casa:

a)

35

14lim

23

23

xx

xxx

x

b)

32

36lim

2

2

xx

xx

x

c)

x

x

x 97

23lim

d)

36

246lim

24

23

xx

xxx

x

e)

3

14lim

2

3

xx

x

x

31

f)

74

8432lim

23

23

xx

xxx

x

g)

2

7

7

1

5

4

83

4

5

3

3

2

lim2

23

xx

xxx

x

Como un pequeño repaso de lo que haz aprendido resuelve lo siguiente con

tus compañeros dentro de clase:

1.- Escribe en tu cuaderno la función 4

4

23

8

xx

xxf

y encuentra el límite,

cuando “x” tiende a infinito.

2.- Obtén el límite cundo X tiende a 6 de la función 36

62

x

xxf

3.- Encuentra el límite: x

xlímx

21

1

1

4.- Encuentra el límite: 2

38232

23

3

x

xxxlímx