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Fernando Villarrubia Gahete Límites e Indeterminaciones

Límites.Introducción:

Ya hemos tenido contacto anteriormente con el concepto de límite, por lo que no nos detendremos demasiado en la idea intuitiva que ya disponemos todos (límite de un precipicio, límite de la paciencia, límite de un país,...).

Podemos decir que se entiende por límite aquel punto al que uno se puede acercar todo lo que se quiera, y que una vez sobrepasado, cambia totalmente la situación. De esta forma, el límite de un precipicio será un punto al que seguramente será mejor no llegar, y el límite de un país será el punto frontera (al que se puede llegar fácilmente) y que una vez sobrepasado nos garantiza que nos encontramos en un país distinto.

Como se puede ver en los dos ejemplos anteriores, podemos hablar del término límite para referirnos a dos cosas aparentemente muy distintas. En un caso (precipicio) no sabemos si existe realmente ese límite y en el otro (frontera) lo podemos tener perfectamente localizado.

Esta es una de las curiosidades del punto límite: más importante que exista o no el punto es saber dónde estaría si existiera. De esta forma, en matemáticas nos interesará saber localizar el límite, sin importarnos demasiado si existe o no. Vamos a ver un ejemplo referido a una sucesión de números.

Sea la sucesión definida de la siguiente forma:

, , es decir donde n tomará todos los valores naturales.

Los términos de esta sucesión son:

Si representamos esta sucesión de números sobre la recta real, veremos que todos los términos están localizados entre el valor 0 y el valor 1, de la forma siguiente:

Como se puede ver, los términos se van acercando cada vez más a un valor límite que estaría colocado aquí.

Si revisamos un poco la sucesión nos daremos cuenta de dos cosas importantes.

La primera de ellas es que el límite será el valor 0, ya que los términos se van haciendo cada vez más pequeños, tanto como yo quiera sin más que elegir los elementos de la sucesión lo

suficientemente pequeños ( , , , etc.)

La segunda cosa que se ve es que, si bien el 0 es el límite de la sucesión, este elemento (el 0) no es un elemento de la sucesión, ya que n se va haciendo cada vez más grande, pero nunca dará como resultado de una división el valor 0 (sería como decir que no existe, como el límite del precipicio).

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01

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Límites de funciones:

Vamos a estudiar el límite pero llevado a una función. Se trata de ver cómo se comportan los valores de una función (los valores de la variable dependiente y), según vamos variando los valores de la variable independiente.

Esto lo escribiremos así:

Se puede ver que la definición es lo que se espera: (lo veremos con varios ejemplos)

Ejemplo 1: Sea la función . Supongamos que nos interesa

saber cuánto vale . Es decir, queremos saber cuánto vale

. Se puede calcular dando valores a la x cada vez más

cercanos a 3 y viendo a qué valor se acerca . En este ejemplo, daremos primero valores cada vez más cercanos al valor 3, pero siempre con valores más pequeños que 3.

Después vemos también cómo es el límite en el caso de que demos valores cada vez más cercanos al 3, pero tomando siempre valores mayores que 3 (por ejemplo, , , , , ....).

En los dos casos, si continuamos dando valores cada vez más cercanos al 3, vemos que cada vez nos acercamos más al valor 10.

Este valor es el que se obtiene exactamente cuando en la función se sustituye por el valor es decir, :

Hemos visto un ejemplo en el que el límite de la función es un valor definido (10). Veamos más posibilidades:

Ejemplo 2: Sea la función . Si queremos saber cuánto vale

, podemos proceder de la misma forma que antes. Daremos valores

cercanos a 1 pero siempre menores que 1.

Como vemos, lo que obtenemos ahora es que cuanto más cerca esté el valor de la x del valor 1, la y va tomando valores cada vez más pequeños. Esto nos

hace pensar que tomará el valor .

Si los valores que damos son cercanos a 1 pero mayores que 1, lo que obtenemos es que los valores son cada vez más grandes (iguales que los

anteriores pero cambiados de signo). Esto nos hace pensar que

tomará el valor .

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xfx

2,99,41

2,999,9401

2,9999,994001

2,99999,99940001

2,99999999 9,99999994

..... .............

xfx

0,9-10

0,99-100

0,999-1000

0,9999-10000

..... .............

0,9999999-10000000

xfx

3,110,61

3,0110,0601

3,00110,006001

3,000110,00060001

3,00000001 10,0000000600000001

..... .............

xfx

1,110

1,01100

1,0011000

1,000110000

..... .............

1.000000110000000


Si sustituimos en la expresión la variable x por el valor 1, obtenemos una expresión que

tiende a :

Ejemplo 3: Sea la función . Podemos querer saber cuánto vale .

Procediendo como en los ejemplos anteriores, tomaremos valores cada vez más grandes.

Se puede ver que la tendencia es la de llegar al valor 1.

En el caso de intentar sustituir el valor de por el valor , llegamos a expresiones como esta:

, lo cual nos lleva a una

indeterminación del tipo .

Ya veremos cómo podemos resolver este tipo de indeterminaciones para obtener lo que se ve en el ejemplo, es decir, que tiende al valor 1.

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xfx

101,010101010101010101

1001,00010001000100010001

10001,000001000001000001000001000001

100001,000000010000000100000001

..... .............

100000001,0000000000000100000000000001


Hoja para practicar límite de una función en un punto

Vamos a calcular el límite de la función cuando tomamos una x próxima a distintos

valores:

1.-

Para calcularlo, necesitaremos tomar valores cada vez más cercanos al 2 e iremos viendo a qué valor se acercará la función:

x 1 1,5 1,7 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999

y 1 0,296296 0,203541 0,145794 0,126894 0,125188 0,125019 0,125002

Así, podemos decir que

Además, en este caso, f(2) = .......

2.-

Para calcularlo, necesitaremos tomar valores cada vez más cercanos al -4 e iremos viendo a qué valor se acercará la función:

x -3 -3,7 -3,8 -3,9 -3,99 -3,999 -3,9999 -3,99999

y -0,03703 -0,01974 -0,01822 -0,01686 -0,01574

o también podemos coger valores por el otro lado:

x -5 -4,3 -4,2 -4,1 -4,01 -4,001 -4,0001 -4,00001

y -0,008 -0,01258 -0,013498 -0,014509 -0,015508

Así, podemos decir que y que

Además, en este caso, f(-4) = .......

3.-

Para calcularlo, necesitaremos tomar valores cada vez más cercanos al 0 e iremos viendo a qué valor se acercará la función:

x -1 -0,5 -0,3 -0,1 -0,01 -0.001 -0.0001 -0,00001

y 1 -8,

o también podemos coger valores por el otro lado:

x 1 0,5 0,3 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

y 1 8

Así, podemos decir que y que

Además, en este caso, f(0) = .......

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Límites en el infinito:

La expresión es la siguiente

Sea una función . Se dice que l es el límite de la función en si y sólo si:

, t a l q u e , s e c u m p l e q u e

Se utiliza la notación:

Ejemplo: Representamos la función:

Vemos que en los valores cada vez más grandes, la función va tomando unos valores cada vez más próximo al valor 1 para la y. Es decir, que:

Límites en el infinito (negativo):

La expresión es la siguiente

Sea una función . Se dice que l es el límite de la función en el si y sólo si:

, t a l q u e , s e c u m p l e q u e

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l+

l-

l

h

y =f(x)



Ejemplo: Nos sirve la misma función

Vemos que en los valores cada vez más pequeños, la función va tomando unos valores cada vez más próximo

al valor 1 para la y. Es decir, que:

Así mismo, se habla de siempre que dado un número k arbitrariamente grande, podemos encontrar un número h (tan grande como sea) tal que si

, entonces

Unas definiciones similares pueden dar lugar a

Podemos investigar la forma que tendrá la función en estos casos:

Operaciones con límites finitos.Si y

a) El límite de la suma es la suma de los límites:

b) El límite de la diferencia es la diferencia de los límites:

c) El límite del producto es el producto de los límites:

d) El límite de la división es la división de los límites:

e) El límite de la potencia es la potencia de los límites:

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f) El límite de la raíz es la raíz del límite:

g) El límite del logaritmo es el logaritmo del límite:

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Algunos límites infinitos.

Tenemos tres familias de funciones que se hacen cuando :

Potencias:

Exponenciales:

Logarítmicas:

Comparación de infinitos.

Si y , se dice que es un infinito de orden superior a si:

o lo que es lo mismo

Resultados importantes:

a) Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.

b) Dadas dos exponenciales de base >1, la de mayor base es un infinito de orden superior.

c) Cualquier función exponencial de base >1 es un infinito superior a cualquier potencia.

d) De las tres familias de funciones, la logarítmica es infinito de orden inferior a las otras dos.

e) Dos polinomios de igual grado o exponenciales de igual base son infinitos del mismo orden.

f) Si en una suma hay varios sumandos infinitos, el orden de la suma es la del de mayor orden.

Vamos a ver varios ejemplos de esto último:

a) ; ;

b) ; ;

c) ; ;

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d) ; ; ; ;

e) ; ;

f) ;

Operaciones con expresiones infinitas.

Si y , hay operaciones que se pueden realizar con los límites que tienen resultados que se pueden comprobar fácilmente.

Sumas Productos

Si ,

Si ,

Cocientes

, si

Potencias

Si , Si , Si ,

Si ,

Si ,

Indeterminaciones

Hay casos en los que no se puede aventurar el resultado de una operación entre límites. En este caso, decimos que son INDETERMINACIONES que hemos de resolver para saber a qué valores tiende (la información de los límites no es información suficiente para saber el límite de la operación, hay que seguir investigando). Estas indeterminaciones son:

Reglas prácticas para el cálculo de límites cuando

a) Cociente de polinomios:

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Este cálculo se resuelve con sencillez si prestamos atención a los términos de mayor grado del numerador y del denominador.

Así, teniendo: , podemos tener tres casos:

Si , (el signo de depende de los signos de a y b)

Si ,

Si ,

b) Cociente de otras expresiones infinitas:

Cuando en el numerador o en el denominador tenemos expresiones que no son exactamente polinomios (como por ejemplo, expresiones radicales del tipo ) la regla anterior también sirve, aplicando el razonamiento que vemos en el siguiente ejemplo:

Calcula el siguiente límite:

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Para calcular este límite, lo que no se puede hacer es lo siguiente:

Lo que sí se puede hacer es plantearnos, hablando de límites, el orden que tendrá el infinito del numerador y el orden que tendrá el del denominador. En ese sentido, el orden del numerador vendrá marcado por el mayor exponente del polinomio (el del término ), pero el orden no será 18, sino que, al igual que todo el polinomio, estará afectado por una raíz 5.

Por este motivo, se puede considerar que el numerador tiene un orden . De la misma forma,

el orden del denominador será de . Así, como , esto indica que el numerador tendrá

un orden superior al del denominador y por tanto, el límite valdrá .

c) Diferencias de expresiones infinitas

Hay ocasiones en los que nos encontramos con límites formados por diferencias de expresiones infinitas (Indeterminaciones del tipo ). En la mayoría de los casos esto ocurre porque hay una diferencia de dos expresiones polinómicas del tipo , en los que se puede aplicar el mismo razonamiento que antes, es decir, identificar los órdenes de cada expresión y quedarse con la de mayor orden. De la misma forma se puede razonar con expresiones como las siguientes:

(En el primer caso, la expresión forma un infinito de grado superior al de la expresión segunda que es polinómica de grado 6. En el segundo ejemplo, se ve que el orden del primer elemento de la diferencia es 5, mientras que el del segundo término es 6, por lo que mandará el segundo término).

En otras ocasiones encontraremos que no es fácil hacer esta comparación por ejemplo, porque tienen el mismo orden. En el ejemplo siguiente se puede apreciar:

(En este caso, se ve que tienen el mismo orden, por lo que estamos en un caso de indeterminación)

En los casos como el indicado anteriormente, la mejor forma de proceder es intentando efectuar la operación que se pueda (en este caso, se puede reducir a común denominador y dejarlo todo en una sola fracción, con lo que se termina el problema).

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Hay otra forma de llegar a una indeterminación del tipo , que es con una diferencia en la que uno o los dos elementos que se restan están afectados por raíces:

En estos casos, la solución pasa por eliminar la diferencia y transformarla en una división, multiplicando y dividiendo por el conjugado:

d) Límite de una potencia

Se calcula sustituyendo por el valor. Puede dar indeterminaciones del tipo , o . El primero de los casos se explica cómo resolverlo a continuación. Para los otros dos casos habrá que utilizar las propiedades de los logaritmos. Los estudiaremos más adelante.

e) Límite de una función cuando

Para realizar el cálculo de un límite de una función cuando nos acercamos a , basta con tener en cuenta que , por lo que cada vez que tengamos un de una

función , lo que haremos será cambiar por y calculamos entonces su . Vamos a verlo en un ejemplo:

Calcular .

Un caso especial: el número e :

La función es una función especial que cumple que . (Se puede

comprobar que es así sabiendo que el número e es el límite de la sucesión ).

El número e es un número muy importante, que se utiliza mucho en matemáticas (ya que es la base de los logaritmos neperianos, imprescindibles para facilitar operaciones con números grandes).

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De la misma forma, las funciones relacionadas con el número e tienen como limites expresiones derivadas de esta definición. Se utiliza en los cálculos de límites de indeterminaciones del tipo .

Vamos a ver varios ejemplos:

Ejemplo 1: Calcula .

Al sustituir vemos que obtenemos una indeterminación

No es exactamente de la forma por lo tanto, el límite no es el número e. Pero siguiendo

las propiedades de los límites (propiedad f), podemos transformar la expresión en una que sí podamos utilizar.


Al sustituir vemos que obtenemos una indeterminación .

Se trata de la misma definición del límite del número e. Si no se ve, se puede hacer un cambio de

variable, llamando

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Al sustituir vemos que obtenemos una indeterminación . Se puede modificar la expresión para poder utilizar lo aprendido anteriormente (ejemplo 1º). De esta forma, aplicando las propiedades de las potencias, podemos ver que :


Al sustituir vemos que obtenemos una indeterminación .Se puede modificar simplemente el signo, ya que un signo – delante de una fracción se puede afectar a cualquiera de los dos elementos.


Al sustituir vemos que obtenemos una indeterminación .En este ejemplo, hemos de transformar la fracción para que tenga la forma 1 partido por algo. Ya sabemos que 1 partido por una fracción equivale a dar la vuelta a la fracción, por tanto, le damos la vuelta a la fracción de la base. En el exponente lo que hacemos es intentar conseguir la misma expresión que nos ha quedado en el denominador de la base, por lo tanto, multiplicamos y dividimos por 3.

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En primer lugar, vamos a sustituir para ver si se trata de un límite inmediato o es una indeterminación:

. Es una indeterminación

Para resolverlo, lo que haremos será ir aplicando los mismos pasos que hemos ido aplicando en los ejemplos anteriores. Así, primero cambiamos el signo de la fracción, después colocamos la fracción de forma 1 partido por algo, a continuación multiplicamos y dividimos por la expresión completa del denominador y por último, calculamos el límite de lo que nos queda en el exponente:

.

En general, podemos calcular el siguiente límite:

Ejemplo 7:

Al sustituir vemos que obtenemos otra indeterminación .

Se intentará modificar la expresión (sin cambiarla, claro) de forma que se parezca a la expresión

, que sabemos que tiene como límite el número e. Lo único nuevo que hacemos en este

ejercicio es forzar a que aparezca 1+ algo, ya que es lo que hace falta para poder aplicar el método anterior. Para ello, lo único que hace falta hacer es sumar y restar 1. De esta forma colocamos el 1 delante y sólo nos falta integrar el –1 en la fracción.

Límite de una función real de variable real.

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Dada una función y un punto c de .

Se dice que el número es el límite de la función en el punto c si y sólo si:

, t a l q u e , c o n , e n t o n c e s ,


Se puede utilizar también la notación por entornos:

Dada una función y un punto a de , se dice que es el límite de la función en el punto a si y sólo si para cualquier entorno abierto y centrado en ,

, existe un entorno abierto , centrado y perforado en a , tal que si , entonces .

Límites laterales izquierdos.

Dada una y un punto c de :

Si existe un intervalo abierto, de extremo superior c, contenido en D, se dice que es el límite de la función por la izquierda en el punto c si y sólo si:



Límites laterales derechos.

Dada una y un punto c de :

Si existe un intervalo abierto, de extremo inferior c, contenido en D, se dice que es el límite de la función f por la derecha en el punto c si y sólo si:


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l1+

l1-

c-

l1

c

y = f(x)

c+

l2+

l2-

l2

c

y = f(x)

Va*

a

Vp* l

y = f(x)

l+

l-

l

c- c+c

y = f(x)



Límites infinitos.

Sea una función y un punto c de . Se dice que el límite de la función en el punto c es si y sólo si:

, t a l q u e , c o n e n t o n c e s


Igualmente, se dice que el límite de la función en el punto c es si y sólo si:

, t a l q u e , c o n e n t o n c e s


Además, igual que en los límites normales, se puede definir los límites laterales de la misma forma. Se escribe así:

¡¡IMPORTANTE!!

Siempre que exista la posibilidad de límite infinito (es decir, siempre que la función no esté definida en algún punto), ha de realizarse el estudio mediante los límites laterales.

Ejemplo:

Hay que señalar que tanto en la definición de como en las definiciones laterales de

y no se está diciendo nada de

cómo es el valor de , que puede o no coincidir con los valores obtenidos, o incluso puede que ni siquiera exista. Esta se estudiará cuando hablemos de continuidad de una función.

Más reglas prácticas para el cálculo de límites.

f) Límite de una función cuando

Siempre que tengamos que calcular un límite hacia un valor finito, deberemos calcular los límites laterales individualmente, antes de dar un valor. Si los dos límites laterales se pueden

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calcular y coinciden, entonces podemos afirmar que existe el límite. En caso contrario no se puede afirmar nada.

g) Límite de una función formada por un cociente de polinomios cuando en la que se obtiene

una indeterminación del tipo .

Estamos en un límite de la siguiente forma: , es decir, un cociente de

polinomios en los que, al sustituir por , se obtiene una indeterminación del tipo . En ese

caso, lo que ocurre es que el valor es una raíz común de los dos polinomios (ya que se anula en el valor c). Para intentar resolver la indeterminación, bastará con descomponer en dos polinomios sacando el factor común, ya que sabemos que es una raíz común. Una vez obtenida la raíz en el numerador y en el denominador, se podrá simplificar, quedando un cociente de polinomios de grado inferior.

Vamos a verlo en un ejemplo:

Calcular

Es una indeterminación.

Para resolverla, nos damos cuenta de que tanto el polinomio de arriba como el de abajo tiene como raíz el valor 2, por lo que podemos descomponerlos.

Para descomponer los polinomios, lo haremos por Ruffini por ser un método más general, aunque al ser polinomios de segundo grado, se podría hacer simplemente calculando las dos soluciones y descomponiendo como .

1 -3 2 1 6 -16

2 2 -2 2 2 16

1 -1 0 1 8 0

Por tanto, podemos descomponer los polinomios de la siguiente manera:

Calculando los límites laterales:

Por tanto:

Así se deshace la indeterminación.

Relación entre la existencia del límite y la existencia de límites laterales.

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Si una función posee límite en el punto c, y vale l, entonces, la función posee límites por la derecha y por la izquierda del punto c y su valor es l.

Si una función posee límite por la izquierda en el punto c (con valor ), límite por la derecha de c (con valor )y además coinciden ( ), entonces la función tiene límite en el punto c y su valor coincide con el de los límites laterales.

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Casos especiales.

a) Aunque la función no esté definida en el punto a, sí puede existir el límite en ese punto.

Como se ve en el ejemplo, la función presenta una discontinuidad evitable en el punto a, la función no está definida en dicho punto, y sin embargo, yo soy perfectamente capaz de saber hacia qué punto tiende la función si nos acercamos a a.

En este caso, el límite de la función es l.

Vamos a ver un ejemplo de esto que decimos:

Calcula .

Como es un límite a un número finito, debemos calcular los límites laterales.

Es una indeterminación. Para deshacer la indeterminación, nos damos cuenta de

que la expresión se puede simplificar:

Es una indeterminación. La resolvemos de la misma forma

Vemos que en este ejemplo, los límites laterales coinciden y son iguales, por lo que se puede

asegurar que .

Sin embargo, si representamos la función lo primero que vemos es que en el punto

la función no está definida, es decir, el punto en cuestión no está siquiera en el dominio.

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l+

l-

l

a- a+a

y = f(x)


b) Una función puede no tener límite, ni finito ni infinito. Esto ocurre cuando es imposible calcular cuánto vale este límite. Una función que no tenga límite en un punto puede ser la siguiente:

. En el punto 0 no se puede calcular el valor de dicho límite ya que según nos vamos

acercando al valor 0, la función oscila infinitamente entre los valores 1 y –1 cada vez

más cerca, por lo que resulta imposible saber en el punto 0 en qué valor se parará (de hecho, es que no se para nunca, obviamente).

En este caso, no se puede calcular el valor del límite en el punto 0.

Ejercicios: Calcular los siguientes límites:

a) g)

b) h)

c) i)

d) j)

e) k)

f) l)

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Soluciones:

a) Es una indeterminación

b) Es una indeterminación

c) Es una indeterminación

d) Es una indeterminación

e) Es una indeterminación

f) Es una indeterminación

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0 0

0 0

01

(*) Aunque no sean iguales las dos expresiones, si son iguales sus límites, por eso podemos poner un igual. No es que se ignore la raíz cuadrada, sino que, al comparar los infinitos de la suma que hay en la raíz, es mayor el cuadrado.

0

0

0


g) . Calculamos los límites laterales

h) . Calculamos los límites laterales

i) Calculamos los límites laterales

j) Calculamos los límites laterales

k) Calculamos los límites laterales

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No existe

Por tanto se puede decir que no hay

l) Calculamos los límites laterales

No existe

Por tanto se puede decir que no hay

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