LKS-SMA-MAT-X.doc

Standar Kompetensi

Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma, persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat, system persamaan linier kuadrat, pertidaksamaan satu variable, logika matematika.

BENTUK PANGKAT/EKSPONEN, AKAR DAN LOGARITMA.Kompetensi Dasar : 1.1. Menggunakan sifat dan aturan tentang pangkat, akar dan logaritma dalam pemecahan masalah 1.2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan tehnis yang berkaitan dengan pangkat, akar dan logaritma.

Pengalaman Belajar

1.1.1. Mendefinisikan pangkat, akar dan logaritma.1.1.2. Mendiskripsikan pangkat, akar dan logaritma, serta hubungan satu dengan yang lainnya.

1.1.3. Mengaplikaikan rumus-rumus pangkat / eksponen.

1.1.4. Mengaplikaikan rumus-rumus bentuk akar.

1.1.5. Mengaplikaikan rumus-rumus logaritma.

.

Prasyarat: 1. Sistem Persamaan linier dan kuadrat.

2. Operasi hitung dalam aljabar.

A. BENTUK PANGKAT/EKSPONEN DAN BENTUK AKAR

A.1. BENTUK PANGKAT / EKSPONEN.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pangkat/eksponen dan bentuk akar diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti diantara beberapa pola berikut ini:Masalah 1 : Tentukan dan jabarkan bentuk : a. 35 b. 56 c. 104Penyelesaian : a. 35 = 3 x . x .. x .. x .. = 243b. 56 = . x . x .. x .. x .. x = .

c. 104 = . x .. x .. x .. =

Penarikan kesimpulan:

an = . x .. x .. x x .. x a , di mana : an dibaca a pangkat n

n factor

a disebut bilangan pokok atau basis.

n disebut pangkat atau eksponen

an disebut bilangan berpangkat.A.1.1. PANGKAT BULAT POSITIF.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti di antara beberapa pola berikut ini:

Masalah 2: Tentukan nilai dari: a. 43 x 42

b. 24 x 25Penyelesaian :

a. 43 x 42 = ( 4 x . x 4 ) x ( 4 x .. ) = ( 4 x .. x .. x .. x .) = 43 + 2 = 4..

3 faktor

2 faktor (3 + 2) factorb. 24 x 25 = ( 2 x . x . x . ) x ( 2 x . x . x . x 2 ) = ( . x . x . x . x . x . x . x . x . ) = 2..


ap . aq = ( a x a x a x x a ) ( a x a x a x x a) = ( a x a x a x .. x a ) = a + .

. factor . factor ( + . ) factor

Sifat 1 : ap . aq = a . + LKS-Mat.X-01LKS-Mat.X-02Masalah 3: Tentukan nilai dari: a. b.

Penyelesaian : 5 faktor 3 faktor a. = = x ( 4 x .. ) = 1 x ( 4 x .. ) = 42 = 4 5 - 3

3 faktor 3 faktor 2 faktor

8 faktor 4 faktor 4 faktor

b. = = x ( 3 x .. x .. x.. )

4 faktor 4 faktor

= 1 x ( 3 x ..x..x.. ) = 3 x . x . x 3 = 34 = 3 .. - ..

4 faktor 4 faktor


p faktor q faktor ( p - . ) faktor

= = . ( a x .. x .. x.. )

q faktor q faktor

= 1 x ( a x ..x..x a ) = a x a x . x a = a. - ( . - . ) faktor ( .. - . ) faktor

Sifat 2 : = a .. - Masalah 4: Tentukan nilai dari: ( 2 x 5 )3 Penyelesaian : 3 faktor 3 faktor 3 faktor

( 2 x 5 )3 = ( 2 x 5 ) x ( x ) x ( x 5 ) = ( 2 x x 2 ) x ( 5 x x ) = 2 . 5 .


( a . b )p = ( a x b ) x ( x )x x ( x b ) = ( a x x x a ) x ( b x .x x b) p factor p factor p factor

= a . b .

Sifat 3 : ( a . b ) p = a .. . b p

Masalah 5: Tentukan nilai dari: ( 53 )4

Penyelesaian : 4 faktor 4 faktor

( 53 )4 = 53 x 5. x x 53 = ( 5 x .x 5 ) x ( 5 x .x . ) x ( 5 x .x . ) x ( 5 x .x . ) 3 faktor 3 faktor , 3 faktor 3 faktor

= 5 x . x . x .. x . x . x .. x .. x .. x . x . x 5 = 5 . x .. = 5

2 faktor atau { ( . x . ) factor }

Sifat 4 : ( a p ) q = a x ..

LKS-Mat.X-03

Masalah 6 : Tentukan nilai dari: ( )4

Penyelesaian : 4 faktor 4 faktor

( )4 = x x .. x = = 4 faktor

Sifat 5 : ( ) p =

A.1.2. PANGKAT BULAT NOL DAN NEGATIF.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna membuktikan kebenaran hubungan yang pasti di antara beberapa pola berikut ini:

Masalah 7 : Buktikan bahwa: a. ao = 1

b. a-p =

Bukti : a. Akan dibuktikan ao = 1

Ambil sifat 1 : ap . aq = a . + , missal : p = 0 didapat:

a. . aq = a 0 + = a ..

a 0 = = . Terbukti.

Sifat 6 : a 0 = 1

b. Akan dibuktikan a-p =

Ambil sifat 1 : ap . aq = a . + , missal : q = -p didapat:

a. . a.. = a .. p = a ..

a p = = Terbukti.

Sifat 7 : a-p = Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Sederhanakan bentuk-bentuk di bawah ini dengan menggunakan sifat-sifat bilangan pangkat!

a. 4p2 x 2p3 x 23p

c. 10y7 : 2y2

e. 6d8 : ( 3d2 x 2d2 )

b. ( -k3 )2 : k4

d. ( -m5 : m2 )4 x m7f. ( -6u3v )4 : ( 2uv2)22. Ubah ke dalam bentuk pangkat negative !

a.

b.

c.

3. Ubah ke dalam bentuk pangkat positif !

a. a-6b4 x a2b-2

c.

e.

b. (5m2n-3)-2 x 2(m-2n3)2 d.

f.

A.2. PANGKAT RASIONAL / PECAHAN ATAU BENTUK AKAR.

Bentuk akar ialah akar bilangan rasional yang tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan rasional.

Definisi: adalah bilangan non negative sedemikian hingga . = a

LKS-Mat.X-04Dengan menggunakan sifat 1 : ap . aq = a p + q akan kita coba membuktikan hubungan pangkat pecahan dan bentuk akar, sebagai berikut:

. = a berarti sehingga : =

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 = a berarti sehingga Sehingga dapat disimpulkan berlakunya : Sifat 8 :

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Nyatakan dalam bentuk pangkat rasional/pecahan !

a.

b.

c.

2. Nyatakan dalam bentuk akar !

a.

b.

c.

3. Sederhanakan bentuk di bawah ini !

a.

b.

c.

4. Hitung nilai dari !

a. 64

b.

c.

A.2.a. OPERASI HITUNG BENTUK AKAR.

a.1. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar.

Bentuk akar yang dapat dijumlahkan atau dikurangi hanyalah bentuk akar yang sejenis / sama.

Masalah 8 : Sederhanakan operasi hitung di bawah ini:

a. 2 + 5

b. 4 -

Penyelesaian:

a. 2+ 5 = ( 2 + . ) = b. 4 -= (. - .) = .

Penarikan Kesimpulan : a b = ( a . )

a.2. Perkalian bentuk akar.

Masalah 9 : Sederhanakan operasi hitung di bawah ini:

a. x

b. 4 x 2

Penyelesaian:

a. x=

b. 4 x 2= ( 4 x. )

Penarikan Kesimpulan : =

a.3. Menyederhanakan bentuk akar.

Masalah 10 : Sederhanakan bentuk akar di bawah ini:

a.

b. x

Penyelesaian:

a.

b. x=x = .x . = ( . x. )= .

LKS-Mat.X-05

A.2..b. MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK AKAR.

Guna menyederhanakan penyebut bentuk akar dari suatu pecahan perlu dipahami tentang operasi perkalian pada bentuk akar, dan diskusikan beberapa permasalahan berikut ini: Masalah 11 : Rasionalkan penyebut bentuk akar di bawah ini:

a.

b.

Penyelesaian:a. = x 1 = x =

b.=x 1=x==

Di mana : dandisebut bentuk akar yang saling sekawan dan jika di-

kalikan menghasilkan bilangan Real: -= 3 2 = 1 Penarikan Kesimpulan :

a.

b. =


1. Nyatakan ke dalam bentuk akar yang paling sederhana !

a.

b.

c.

2. Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini !

a.

b.

c.

3. Diketahui x = 2 dan y = . Tentukan nilai dari :

a. x2 y

b. x2 + 2xy + y2

c.

EMBED Equation.3 B. BENTUK LOGARITMA.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut logaritma diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif.

Perlu diingat bahwa pada definisi eksponen: ax = cDari sini dapat ditarik hubungan sebabagi berikut:1. a x = .

dikenal dengan operasi perpangkatan / eksponen.2. (.)x = c ((

dikenal dengan operasi bentuk akar.3. a (.) = c (( alog c = ... dikenal dengan operasi logaritma.Sehingga dapat disimpulkan bahwa antara bentuk pangkat/eksponen dengan bentuk logaritma memiliki korelasi yang erat.

Definisi: Logaritma suatu bilangan c untuk bilangan pokok/basis a, adalah eksponen bilangan berpangkat yang menghasilkan c jika a dipangkatkan dengan eksponen tersebut, dimana a > 0 , a 1 dan c > 0.

a log c = x (( ax = c

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan nilai yang pasti di antara beberapa model logaritma berikut ini:

LKS-Mat.X-06Masalah 12 : Tentukan nilai dari : a. 2log 8 b. 10log 10000 c. 9

Penyelesaian:

a. 2log 8 = 3

, sebab 23 = 8

b. 10log 10000 = . , sebab 10.. = 10000

c. 9 = ..

, sebab = ..

Pada dasarnya logaritma dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu:1. Logaritma dengan bilangan pokok / basis bilangan real:

1.1. Untuk bil. Pokok a = 10 ( 10log c biasa ditulis log c

1.2. Untuk bil. Pokok selain 10 ( alog c , missalnya: 2log 3

Konsep ini dikenalkan oleh Robert Briggs dan biasa disebut sebagai Logaritma Briggs.

2. Logaritma dengan bilangan pokok / basis bilangan natural/alam (e = 1,7218.. )

elog c biasa ditulis ln c (dibaca Lon c)

Konsep ini dikenalkan oleh John Napier dan biasa dikenal dengan Logaritma Natural.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti (sifat-sifat) di antara beberapa pola berikut ini:

Dari definisi : a log c = x (( ax = c didapat ax = a = ..

Sehingga berlaku:

Sifat 1 : a = c ,

Sederhanakan:

Masalah 13 : Tentukan bentuk lain dari : a. alog x + alog y b. alog x - alog y c. alog xpPenyelesaian:

a. alog x + alog y, missal : p = alog x maka sesuai definisi didapat a. = x

q = alog y maka sesuai definisi didapat aq = ..

sehingga x.y = ap . a.. = a.. + .. maka : a log (. ..) = p + ..

Sehingga berlaku: Sifat 2 : a log x.y = alog . + alog .

Sederhanakan: 3 log 15 jika diketahui 3 log 5 = a

3 log 15 = 3 log (.. x ..) = 3log .. + 3 log .. = 1 + ..b. alog x - alog y , dengan cara yang sama didapat:

= = maka a log = . - .. Sehingga berlaku:

Sifat 3 : a log = alog . - alog .

Sederhanakan: 4 log 8 jika diketahui 4 log 2 = a

4 log 8 = 3 log = 4 log . - 4 log . = 4 log (.)2 4 log .. = 2 4 log - a = . -a p faktor c. alog xp = a log ( x . x . x . .. . x ) = a log x + a log x + .. + a log x = .. a log x

p suku Sehingga berlaku:

Sifat 4 : a log xp = .. alog x

Sederhanakan: 2 log 32 =

2 log 32 = 2 log (.)5 = (.) 2log .. = .LKS-Mat.X-07


1. Sederhanakan bentuk logaritma di bwah ini:

a. 6 log 8 6 log 2 + 6 log 9c. 3 log 81 3 log 9

e. 5 log 100 2. 5 log 2

b. 3 log 38 + 3 log

d. 2log 2 + 2log 3 + 2log 5 + 2log 7 2log 105

2. Sederhanakanlah:

a. log x4 3. log x + log 1/x

c. log x + log y- log x y

b. 2 log - . 2 log 3

d. . 10 log 10 + 3 . 10 log

3. Hitunglah bentuk-bentuk di bawah ini:

a. 3 log 275b. 16 log 8

c.

d. 25 log

e. 8 log 4-194. Tentukan nilai x yang memenuhi tiap persamaan berikut:

a. 8 - a log 4 a log = a log x

b. 4 . 2 log x = 2 log 81

Masalah 14 : Buktikan bahwa: a. alog x = c.

b. alog b . blog x = alog x Penyelesaian: a. alog x = , Bukti: Missal a log x = m maka :

(( am = x

(( p log a. = p log ..

(( () p log a = . log x

(( m = = a log x terbukti.

Sehingga berlaku:

Sifat 5 : alog x =

Sederhanakan: 4 log 7 = jika diketahui 2 log 7 = b

4 log 7 =

b. alog b.blog x = alog x, Bukti: alog b.blog x = (dari sifat 5)

=, terbukti.

Sehingga berlaku:

Sifat 6 : alog b . blog x = alog x

Sederhanakan: 3 log 36 .6log 9 =

3 log 36 .6log 9 = 3 log 6. .6log 9 = 3 log 6 .6log 9 = ....3 log .... = . x . = ......

c. , Bukti: ( dari sifat 4 ) .... 1)

Missal : p = (( (am).. = ..

LKS-Mat.X-08

Maka a p = b ((

.2)

Dari 2) ( 1) didapat : = (.)

=

Sehingga berlaku:

Sifat 7 :

Sederhanakan: 9 log 8 = jika diketahui 3 log 2 = a

9 log 8 =


Tunjukan bahwa: a. Jika a log x = y maka

b. p log q +

c. ab log x =

A. Pilih satu jawaban yang paling benar ! 1. Bentuk 5a3 x 2a6 dapat disederhanakan menjadi bentuk .

a. 10 a9

b. 10 a18 c. 10 a3

d. 5 a9

e. 5 a18

2. Bentuk (x2y)3 : (x-1y-3) dapat disederhanakan menjadi bentuk

a. x 6 y 7

b. x-6 y-7

c. x7y6

d. x6 y-7e. x-6 y73. Nilai (27)x (32) sama dengan

a.

b.

c.

d.

e.

4. Hasil operasi

a.

b. c.

d. e.

5. Hasil dari 2+ - =

a. -3

b. -2

c.

d. 2

e. 3

6. Jika penyebut bilangan dirasionalkan, maka bentuknya menjadi

a.

b.

c.

d.

e.

7. Jika penyebut bilangan dirasionalkan, maka bentuknya menjadi ..

a. -15 + 122b. -17 + 122c. -19 + 122d. -21 + 122e. -34 +122

8. Nilai x yang memenuhi persamaan 54 2x = 25 adalah .

a. -2

b. -1

c. 0

d. 1

e. 3

LKS-Mat.X-099.

a. -3

b. -4

c. -6

d. -9

e. -1210. 3log 162 3log 2 = .

a. -3

b. -2

c. 2

d. 3

e. 4

11. Jika log 2 = 0,301, maka log 2000 =

a. 3,01

b. 3,301

c. 4,301

d. 30,1

e. 301

12. 25log 16 identik dengan bentuk .

a.

b.

c.

d.

e.

13. Jika 3log 2 = a , maka 8log 9 = .

a.

b.

c.

d.

e.

14. Nilai a yang memenuhi 4log a = adalah .

a. 2

b. 1

c.

d.

e. 1/16

15. Nilai

a. -5

b. -4

c. -3

d. 3

e. 5

B. Jawablah dengan teepat dan benar !

01. Sederhanakanlah bentuk-bentuk di bawah ini!

a. (6a5b-4)-3 . 2(a3 b-3)2

c.

b.

d.

02. Jika x = 288 dan y = 224, Hitung nilai dari:

03. Sebuah balok panjang masing-masing rusuknya adalah 5 cm, 10 cm, dan 15 cm.

Tentukan dalam bentuk akar paling sederhana dari:

a. panjang diagonal-diagonal bidang sisi.

b. Panjang diagonal ruang balok tersebut.

04. Jika blog 2 = a dan blog 3 = c, gunakan sifat logaritma untuk menghitung nilai dari:

a. blog 144

b. blog (72b2)

05. Tentukan nilai x yang memenuhi sistem di bawah ini:

a. 3x -2 = 81

b. 4 2log x = 2log 81

-------ooo0000ooo------

Standar Kompetensi


A. PERSAMAAN KUADRAT.

Kompetensi Dasar : 1.3. Mengggunakan sifat dan aturan tentang akar persamaan kuadrat, diskriminan, sumbu simetri, dan titik puncak dalam pemecahan masalah.

Pengalaman Belajar1.3.1. Menghitung akar-akar persamaan kuadrat dengan pemfaktoran dan rumus kuadrat.

1.3.2. Menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan diskriminan suatu persamaan kuadrat

1.3.3. Menurunkan rumus tentang jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat sekaligus menggunakannya dalam soal.

1.3.4. Mendiskusikan cara menyusun persamaan kuadrat baru.

.

Prasyarat: 1. Sistem Persamaan linier dan kuadrat terdahulu (SLTP).

2. Operasi hitung dalam aljabar.

A.1. BENTUK UMUM PERSAMAAN KUADRAT.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut persamaan kuadrat diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti di an tara beberapa pola berikut ini:

Masalah 1 : Tentukan dan jabarkan bentuk : a. x ( 2x + 3) b. (x 2)(x + 3) c. (2x + 1)(x 3)

Penyelesaian : a. x ( 2x + 3) = x . 2x + x . 3 = 2 x. + .. x

b. (x 2)(x + 3) = ..2 + 3 . - .. x + (-2) . = .2 + -

c. (2x + 1)(x 3) = 2 .2 - .x + -


Dari beberapa bentuk hasil perhitungan di atas : pangkat tertinggi dari variabel x adalah .. dan selanjutnya disebut dengan pangkat dua atau kuadrat, sehingga bentuk-bentuk di atas dapat disebut sebagai bentuk-bentuk kuadrat.

Secara umum dapat dinyatakan dalam : ax2 + bx + c

Sehingga persamaan kuadrat secara umum adalah:

ax2 + bx + c = 0 dimana a 0 ; a, b, c R

A.2. AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT.

Suatu persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx + c = 0 dimana a 0 ; a,b,c R akan bernilai benar untuk dua nilai x tertentu yang disebut dengan akar-akar persamaan kuadrat dan sering dikenal dengan Himpunan Penyelesaian.

A.2.1. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan memfaktorkan.Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini:

Masalah 2 :

Tentukan dan selesaikan bentuk : a. 2x2 + 3x = 0 b. x2 + x 6 = 0 c. 2x2 -5x -3 = 0

LKS-Mat.X-10

LKS-Mat.X-11

Penyelesaian :

Jika model pada masalah 1 dikerjakan terbalik akan didapat pola sebagai berikut:

a. 2x2 + 3x = 0 b. x2 + x 6 = 0 c. 2x2 - 5x - 3 = 0

(( x ( . + 3 ) = 0 (( ( x + . )( x 2 ) = 0 (( (2x + )(. 3) = 0

(( x = v ( + 3) = 0 (( (x +.) = 0 v (x - ) = 0 (( (2x +) = 0 v ( -) = 0

(( x = . v x = . (( x = . V x = .. (( 2x = . V x = .

Jadi: HP = {.. , . } HP = {.. , . }

HP = {.. , . }

Atau dapat juga diselesaikan:

c. 2x2 - 5x - 3 = 0

(( 2x2 - .x + .x -3 = 0

(( 2x ( x - .) + (. -3 ) = 0

(( ( 2x + .)( . -3 ) = 0 ( 2x + . = 0 v . 3 = 0

x = .. .. = 3 , HP = {.. , . }


Jika diperhatikan maka penyelesaian persamaan kuadrat di atas menggumakan pola perkalian dengan mengubah: ax2 + bx + c = 0 menjadi ( p)( q) = 0 sehingga dapat dikatakan memiliki sifat factor nol dan dapat ditarik kesimpulan bahwa: (x p) = . atau (x q) = .

Pola ini dikenal dengan menyelesaikan system persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, di mana nilai p dan q merupakan salah satu pasangan factor dari bilangan c.Masalah 3 :

Tentukan dan selesaikan bentuk : x2 -8 x + 15 = 0

Penyelesaian : x2 -8 x + 15 = 0

Pasangan faktor dari ( 15 ) yang jumlahnya ( -8 ) adalah p = ( ) dan q = (.. ) maka x2 -8 x + 15 = 0 dapat difaktorkan menjadi ( x - .) (x - . ) = 0

(( ( x - . ) = 0 v ( x - .. ) = 0

(( x = . x = .

Jadi HP = { , }

Masalah 4 :

Tentukan Himpunan penyelesaian dari : x2 + 6 x + 2 = 0

Penyelesaian: x2 + 6x + 2 = 0 ternyata tidak terdapat pasangan factor dari 2 yang jumlahnya sama dengan 6, sehingga bentuk ini tidak dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan.

A.2.2. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dg melengkapkan kuadrat sempurnaAda beberapa persamaan kuadrat yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan cara memfaktorkan, sehingga perlu ada cara lain guna menentukan Himpunan penyelesaiannya.

Dengan mengingat sifat pemfaktoran : ( a b )2 = a2 2. a. b + b2 diskusikan masalah berikut ini !

Masalah 5 :

Tentukan Himp. Penyelesaian dari bentuk : a. x2 + 6x +2 = 0 b. 2x2 + 8x + 1 = 0

Penyelesaian :

a. x2 + 6x + 2 = 0

b. 2x2 + 8x + 1 = 0

+ ( -2 )

+ ( - 1 )

(( x2 + .x = -2

(( . x2 + x = - (.)

x ( )

(( x2 + x = -

((( x +3 )2 (...)2 = -2

+ ( .2 )

(( ( x + . )2 = -2 + . (( ( x + .. )2 (..)2 = -

(( ( x + . )2 =

+ (.)2 (( ( x + .) =

(( ( x + .)2 = - + (.)2

+ ( - .) (( ( x + . )2 = ..

(( x = - (.)

(( ( x + . ) =

+ ( - .)

(( x = - (.)

LKS-Mat.X-12


Jika diperhatikan maka penyelesaian persamaan kuadrat di atas menggunakan pola pemfaktoran (kuadrat dua) dengan mengubah: ax2 + bx + c = 0 menjadi ( x p )2 = 0 sebagai berikut:

ax2 + bx + c = 0 ( semua suku dibagi dengan a )

(( x2 + = 0 ( semua ruas dikurangi dengan )

(( x2 + = -

(( ( x + )2 ()2 = -

(( ( x + )2 = - + ()2 dst

A.2.3. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat.

Rumus akar-akar persamaan kuadrat dapat diturunkan dari bentuk umum persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0 dimana a 0 ; a,b,c R

Dengan menggunakan kaidah pada melengkapkan kuadrat sempurna, maka rumus akar-akar persamaan kuadrat dapat diturunkan sebagai berikut:

ax2 + bx + c = 0 ( semua suku dibagi dengan a )

(( x2 + = 0 ( semua ruas dikurangi dengan )

(( x2 + = -

(( ( x + )2 ()2 = -

(( ( x + )2 = - + ()2

(( ( x + )2 =

(( ( x + ) = =

(( x = - atau x =

Dan selanjutnya: dikenal sebagai diskriminan persamaan kuadrat ( D )

Masalah 6 :

Tentukan Himp. Penyelesaian dari: a. x2 + 8x +2 = 0 b. 2x2 - 10x + 5 = 0

Penyelesaian :

a. x2 + 8x +2 = 0 maka a = .. , b = . dan c = .

X1,2 = sehingga : =

= = = 2

X1,2 = =

Jadi HP = { , }

b. 2x2 - 10x + 5 = 0 maka a = .. , b = . dan c = .

=

= = = 2

X1,2 = =

Jadi HP = { }

LKS-Mat.X-13Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan kuadrat di bawah ini dengan memfaktorkan!

a. x2 5x + 6 = 0

b. 3x2 +8x + 4 = 0 c. ( x + 3)2 -6( x + 3) + 8 = 0

2. Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan kuadrat di bawah ini dengan kuadrat sempurna!

a. x2 -6x + 4 = 0

b. 2x2 + 8x -1 = 0

c. 9x2 + 6x 4 = 0

3. Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan kuadrat di bawah ini dengan rumus kuadrat!

a. 4x2 - 7x + 2 = 0b. 3x2 8x = 4

c.

A.3. JENIS-JENIS AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT.

Telah dijelaskan bahwa dari cara menentukan Himpunan Penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara rumus kuadrat, didapat bentuk: dikenal sebagai diskriminan persamaan kuadrat ( D )

Dan dengan melakukan identifikasi nilai D (diskriminan) nya, maka dapat disimpulkan jenis-jenis akar persamaan kuadrat (HP) nya, sebagai berikut:

1. Jika D > 0 (positif) maka bentuk memiliki nilai ganda sbb: dan sehingga: Akar-akarnya : x = dan x =

Jadi akar-akarnya Bilangan Real (Nyata) dan berbeda (berlainan).

2. Jika D = 0 (positif) maka bentuk memiliki nilai . sehingga: Akar-akarnya : x1 , 2 =

Jadi akar-akarnya Bilangan Real (Nyata) dan sama (kembar)

3. Jika D < 0 (negatif) maka bentuk memiliki nilai yang tidak real ( Imajiner ) sehingga akar-akarnya : tidak ada yang real

Jadi akar-akarnya Bilangan Khayal / Imajiner.

Masalah 7 :

Tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat ini: a. 2x2 -5x + 1 = 0 b. 5x2 + 2x + 4 = 0

Penyelesaian :

a. 2x2 -5x + 1 = 0maka a = .. , b = . dan c = .

Sehingga : D = b2 4 a c = .2 4.(.).(.) = .. - .. = > 0

Akar-akarnya Real dan berbeda.

b. 5x2 + 2x + 4 = 0maka a = .. , b = . dan c = .

Sehingga : D = b2 4 a c = .2 4.(.).(.) = .. - .. = < 0

Akar-akarnya .

Masalah 8 :

Tentukan nilai p jika px2 -4x + 3 = 0 mempunyaiakar-akar yang sama.

Penyelesaian : px2 -4x + 3 = 0 maka a = . , b = .. dan c =

Syarat akar-akar sama/kembar adalah : D = 0

D = b2 4 a c = .2 4.(.).(.) = 0

16 = 12 .. (( p = =

A.4. JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT.

Pada bagian terdahulu telah didefinisikan bentuk umum persn kuadrat: ax2 + bx + c = 0

Dan salah satu cara menentukan himpunan penyelesaiannya adalah memfaktorkan sehingga didapat bentuk ( x - ) ( x - ) = 0 dimana dan dikenal sebagai akar-akar persamaan kuadrat.

LKS-Mat.X-14Diskusikan dengan kelompok belajar anda korelasi (hubungan) antara bentuk:

ax2 + bx + c = 0 dengan ( x - ) ( x - ) = 0.

Ambil bentuk: ( x - ) ( x - ) = 0 dan ax2 + bx + c = 0

: ( a ) (( x. - x (.) x + (.)(.) = 0 x2 + x + = 0

(( (.)2 ( . + . ) x + (.)(.) = 0

Jika ke dua bentuk terakhir dikorelasikan akan didapat kesepadanan sebagai berikut:

()2 (+) x + ()() = 0

x2 + x + = 0


1. ( . + . ) = (( . + . = ( Jumlah akar-akar persamaan kuadrat)

2. (..)(..) = (( . .. = (Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat)

Masalah 9 :

Tentukan nilai jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat berikut ini:

a. 3x2 - 4x 6 = 0

b. -2x2 + 3x 1 = 0

Penyelesaian : Missal akar-akar persamaan kuadratnya p dan q. a. 3x2 - 4x 6 = 0 maka a = .. , b = , c = sehingga:

p + q = dan p.q =

b. -2x2 + 3x 1 = 0 maka a = .. , b = .. , c = sehingga:

p + q = dan p.q =

Masalah 10 :

Jumlah kebalikan akar-akar persamaan 3x2 -9x + 4 = 0 adalah .

Penyelesaian :

3x2 -9x + 4 = 0 , missal akar-akar persamaan kuadratnya p dan q, maka nilai:

a = , b = .. dan c = .. maka p + q = dan p.q = sehingga:

= =


1. Tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini:

a. x2 -6x + 4 = 0

b. 2x2 + 8x -1 = 0

c. 9x2 + 6x 4 = 0

2. Tentukan nilai dari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat di bawah ini:

a. x2 5x + 6 = 0

b. 3x2 +8x + 4 = 0 c. ( x + 3)2 -6( x + 3) + 8 = 0

3. Jika p dan q akar-akar persamaan x2 -7x + 2 = 0 maka tentukan nilai dari:

a.

b. p2 + q2

c.

4. Persamaan x2 -8x + k = 0 mempunyai akar-akar yang memiliki perbandingan 3 : 1, maka nilai dari k adalah .

5. Persamaan kuadrat x2 + (m -3)x + m = 0 mempunyai akar-akar dan . Jika nilai dari maka nilai m yang paling tepat adalah .

LKS-Mat.X-15A.5. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT BARU.

Suatu persamaan kuadrat dapat disusun berdasarkan beberapa informasi yang diberikan, dan sebelum anda mempelajari materi ini sebaiknya anda mengingat kembali beberapa cara menentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat serta konsep tentang jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

A.5.1. Menyusun persamaan kuadrat baru jika diketahui akar-akar persamaan kuadratnya.

Pada cara menentukan HP suatu persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan didapat: bentuk ( x - ) ( x - ) = 0 dimana dan dikenal sebagai akar-akar persamaan kuadrat.

Masalah 11 :

Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya :

a. -3 dan 5

b. (1 -) dan (1 +)

Penyelesaian :

a. ( x - ) ( x - ) = 0 b. ( x - ) ( x - ) = 0

(( ( x (- ) (x - .) = 0 (( [ x (1- )] [(x (1+ .)] = 0

(( x2 + . x - . x - .. = 0 (( x2 - (1 - )x (1 + .)x + (1-)(1+) = 0

(( x2 + . x - .. = 0 (( x2 - .. x + = 0

A.5.2. Menyusun persamaan kuadrat baru dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan

kuadratnya.

Bentuk ( x - ) ( x - ) = 0 jika dijabarkan sebagaimana bagian terdahulu akan didapat bentuk: x2 - x + = 0 sehingga teori ini dapat digunakan untuk menyusun persaman kuadrat baru.

Masalah 12 :

Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya : -3 dan 5

Penyelesaian: Jika akar-akar persamaan kuadratnya: = -3 dan = 5 maka

= . + .. = dan = (.)(.) = ..

Sehingga : x2 - x + = 0

x2 (..) x + = 0

Masalah 13 :

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan x2 +8x + 10 = 0

Penyelesaian : Missal akar-akar dari x2 +8x + 10 = 0 adalah p dan q maka:

p + q = dan p.q =

Persamaan kuadrat baru akar-akarnya : 2 p dan 2 q sehingga didapat:

2 p + 2 q = 2 ( . + q ) = 2 (..) dan 2 p . 2 q = (..) p.q = (.)(..) = .

Sehingga PKd baru adalah : x2 (+ akar baru) x + ( hasil kali akarbaru) = 0

x2 (..) x + . = 0


1. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya di bawah ini adalah:

a. -2 dan 5

b. dan -3

c. 7 dan -

2. Jika akar-akar persamaan 2x2 - x + 3 = 0 adalah p dan q maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya sebagaimana tersebut di bawah ini adalah:

a. 2p dan 2q

b. ( p 1 ) dan ( q 1)

c. dan

3. Persamaan kuadrat yg akar-akarnya kebalikan dari persamaan: 2x2-3x+5=0 adalah 4. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dan jika diketahui bahwa p dan q akar-akar dari persamaan 2x2 5x + 2 = 0

5. Jika akar-akar persamaan x2 + 2x 8 = 0 adalah x1 dan x2 , sedangkan akar-akar persamaan x2 + 10x 16 p = 0 adalah 3x1 dan 4x2, maka nilai p adalah ........

LKS-Mat.X-16

A. Pilih satu jawaban yang paling benar !

1. Nilai x yang memenuhi persamaan: 3x2 +x -2 = 0 adalah .......

a. 2 v 1b. 2/3 v 2c. 2/3 v 1d. -2/3 v 2e. -2/3 v 1

2. Salah satu akar persamaan kuadrat 2(x +1)2 = (x +1)2 +2(2x +3) -3 adalah .......

a. 1 +

b. 1 -

c. -1 -

d. 1e.

3. Persamaan: x2 +mx -1 = 0 akan mempunyai akar kembar jika nilai m adalah .......

a. 2b. 1c. 0d. -1e. -24. Persamaan kuadrat x2 +4x -5 = 0 dapat diubah menjadi bentuk (x a)2 = b, maka nilai a dan b yang tepat adalah .......

a. 2 dan 9b. -2 dan 9c. 2 dan -9d. 2 dan 1e. -2 dan 1

5. Persamaan kuadrat berikut ini yang mempunyai akar kembar adalah .......

a. x2+2x +2 = 0b. 2x2+x +2 = 0c. 4x2+4x +1 = 0d. x2+x +1 = 0e. x2-4 = 0

6. Jumlah akar-akar dari persamaan kuadrat 3x2 -12x -2 = 0 adalah .......

a. 12b. 4c. 3d. 2/3e. -2

7. Hasil kali akar-akar persamaan ax2-(3a +1)x + 2(a -1) = 0 adalah sama dengan jumlah akar-akarnya, maka nilai a = ..........

a. -3b. -2c. 1d. 2e. 3

8. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar dan 3/2 adalah .......

a. 2x2-x +3 = 0b. 2x2-x -3 = 0c. 4x2+4x +3 = 0d. 4x2-4x +3 = 0e. 4x2-4x -3 = 0

9. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar 2 kurangnya dari akar-akar persamaan kuadrat 2x2-7x + 3 = 0 adalah .......

a. 2x2+x +3 = 0b. 2x2-x +3 = 0c. 2x2+ x +3 = 0d. 2x2-x -3 = 0e. -2x2+x +3 = 0

10. Diketahui dua buah bilangan yang jumlahnya 3/2 dan hail kalinya , maka selisih dua bilangan tersebut adalah .......

a. b. c. 1d. 2e. 411. Himpunan penyelesaian dari: x2 5x + 6 = 0 adalah .

a. (-2, 3) b. (2, 3)

c. (2, -3)

d. (-2, -3) e. (-3, 2)

12. Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 1 = 4x adalah .

a. khayal b. kompleks c. nyata dan sama d. nyata dan irasional e. nyata

13. Persamaan kuadrat x2 ax + a = 0 mempunyai akar kembar jika nilai a =

a. 0 b. 4

c. 0 atau 4d. 0 atau -4 e. -4 atau 4

14. Supaya persamaan kuadrat (p-2)x2 + 5x 2 = 0 mempunyai akar khayal maka nilai p adalah

a. p < -

b. p < -

c. p <

d. p <

e. p <

15. Jika salah satu akar persamaan kuadrat x2 + (a +1)x + (3a + 2) = 0 adalah 5 maka akar yang lainnya adalah

a. -4 b. -3

c. -2

d. 2

e. 4

16. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan - adalah

a. 4x2 +4x + 15 = 0

c. 4x2 -4x - 15 = 0

e. 4x2 -15x - 4 = 0

b. 4x2 +4x - 15 = 0

d. 4x2 -4x + 15 = 0

17. Dari persamaan kuadrat x2 + 5x 2 = 0 dengan akar-akar p dan q, maka nilai p2 + q2= a. 25 b. 33

c. 23

d. 17

e. 35

18. Selisih akar-akar persamaan x2 + 2x a = 0 adalah 8 maka nilai a = .

a. 15

b. -15

c. 15 atau -15d. 17

e. -17

LKS-Mat.X-1719. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan 2x2 +6x -5 = 0 adalah ..

a. 2x2 x 5 = 0

c. 2x2 2x 7 = 0

e. 2x2 x 7 = 0

b. 2x2 + 2x + 7 = 0

d. 2x2 + 2x 7 = 07

20. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 kali dari akar-akar persamaan kuadrat 10x2 + 11x 6 = 0 adalah ..

a. 10x2 + 22x 12 = 0

c. 5x2 + x 3 = 0

e. 5x2 + 11x 12 = 0

b. 20x2 + 44x 48 = 0

d. 5x2 + 11x 24 = 0

B. Jawab dengan tepat dan benar ! 01. Tentukan himpunan penyelesaian dari:

a. 2x2 +7x+ 6 = 0

b. x2 +8x-6 = 0

c. x2 +6x-5 = 002. Tentukan nilai a jika persamaan kuadrat di bawah ini memiliki akar-akar yang Real dan sama!

a. 2x2 + (a +1)x + a 1 = 0

b. x2 -x + 1 = 003. Tentukan persamaan kuadrat yang :

a. akar-akarnya - dan 3

b. akar-akarnya 2 kurangnya dari akar-

akar persamaan: x2 -3x + 2 = 004. Jika akar-akar persamaan kuadrat x2 x 2 = 0 adalah p dan q.Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:

a. dan

b. dan

LKS-Mat.X-18 B. FUNGSI KUADRAT.

Kompetensi Dasar : 1.4. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan persamaan kuadrat, dan fungsi kuadrat.

1.5. Merancang model matematika yang berkaitan persamaan dan fungsi kuadrat, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil yang diperoleh.

Pengalaman Belajar

1.4.1. mengidentifikasi komponen-komponen grafik fungsi kuadrat.

1.4.2. Melakukan manipulasi aljabar tentang akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat.

1.4.3. Menganalisis dan menentukan komponen fungsi kuadrat dengan menggunakan cara melengkapkan bentuk kuadrat, serta menentukan fungsi kuadrat dengan ketentuan tertentu.

1.4.4. Mengaplikasikan konsep persamaan dan fungsi kuadrat dalam kehidupan sehari-hari.

.

Prasyarat: 1. Sistem Persamaan linier dan kuadrat terdahulu (SLTP).

2. Persamaan kuadrat, Diskriminan dan Jumlah / hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

B.1. FUNGSI KUADRAT.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut fungsi kuadrat diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif.

Definisi: Fungsi f : R ( R yang didefinisikan f(x) = ax2 bx + c, untuk a, b, c R; a 0

disebut dengan fungsi kuadrat.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang terdapat pada beberapa fungsi berikut ini:

Masalah 14 : Buat sketsa garfik fungsi yang didefinisikan sebagai f(x) = x2 - x -2

Penyelesaian :

f(x) = x2 + 4x - 5 biasa dinyatakan ke dalam y = x2 + 3x - 4

Sebagaimana telah anda pelajari saat SLTP , dapat anda gunakan beberapa titik menguntungkan sbb:x..-3-2-10123..

y....4..-2....4..

Pasangan titik tersebut tempatkan pada salib sumbu kartesius dan hubungkan dengan garis sehingga akan terbentuk grafik.

y

x

-1 2 ( titik potong pada sumbu x

(titik potong pada sumbu y)( -2

( , ) Puncak/titik balik

Nampak bahwa grafik fungsi kuadrat merupakan bentuk kurva parabola.

Masalah 15 : Buat sketsa garfik fungsi yang didefinisikan sebagai:

a. f(x) = x2

b. f(x) = (x 2)2c. f(x) = (x 2)2 + 3

Penyelesaian :

a. f(x) = x2

b. f(x) = (x 2)2

c. f(x) = (x 2)2 + 3xf(x)xf(x)xf(x)

-220.0.

0.2.23

2.424.

LKS-Mat.X-19

5

2

2

-2 2 0 2 4 0 2 4

Dari garfik di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa grafik fungsi f(x) = (x 2)2 + 3 diperoleh dengan cara mengeser grafik f(x) = x2 sejauh 2 ke arah kanan sehingga menjadi grafik fungsi dari f(x) = (x 2)2 dan selanjutnya mengesernya sejauh 3 keatas, dimana factor gesernya merupakan koordinat titik puncak/balik kurva yaitu: ( 2 ,3 )

Secara umum dapat disimpulkan bahwa fungsi kuadrat : f(x) = a ( x h )2 + k dengan

( h , k ) disebut titik puncak/balik.

B.2. SKETSA GRAFIK FUNGSI KUADRAT.

Grafik fungsi f(x) = a (x h)2 +k ,a0 memiliki koordinat titik puncak/balik adalah (., .)

Sehingga sumbu simetrinya x = h dan nilai balik maksimum/minimumnya f(h) = k di mana, jika a < 0 merupakan titik balik maksimum dan jika a > 0 merupakan titik balik minimum.

Masalah 16 :

Diskusikan dengan kelompok anda dapatkah bentuk y = ax2bx +c, untuk a,b,cR ; a0

Kita ubah menjadi bentuk: y = a ( x h )2 + k , a 0

Penyelesaian :

y = ax2 bx + c(( y - . = ax2 bx

((

Dengan melengkapkan kuadrat sempurna didapat bentuk:

(( (masing-masing ruas dikurangi )

(( (masing-masing ruas dikalikan a)

(( (masing-masing ruas ditambah c)

((

((

Jika dibandingkan dengan bentuk y = a ( x h )2 + k terlihat bahwa fungsi kuadrat tersebut di atas memiliki sumbu simetri: x = dan titik puncak (balik) adalah , perlu diingat bahwa Diskriminan persamaan kuadrat D = b2 4ac

LKS-Mat.X-20Penarikan kesimpulan:

Berdasar pada uraian di atas maka untuk fungsi kuadrat y = ax2 bx + c model grafik fungsi (kurva) nya dapat diidentifikasikan menurut beberapa komponen/unsur pembentuk nya, sbb:

1. Titik potong kurva dengan sumbu koordinat, yaitu:

a. memotong sumbu x untuk y = .: ax2 bx + c = 0 (merupakan persamaan kuadrat) ,sehingga titik potongnya meru-

pakan Himpunan Penyelesaian Persamaan Kuadrat. Dengan syarat D 0.

b. memotong sumbu y untuk x = .. sehingga didapat titik potong ( 0, .. )

2. Persamaan sumbu imetri, yaitu: x =

3. Nilai titik balik atau nilai maksimum / minimum, yaitu: y =

4. Koordinat titik balik, yaitu :

5. Jenis titik balik ditentukan oleh nilai a (koefisien dari x2 ) , yaitu:

a. jika a > 0, maka kurva terbuka ke . dan titik baliknya .

b. Jika a < 0, maka kurva terbuka ke bawah dan titik baliknya ..

6. Range, ditentukan oleh:

a. Jika a > 0 maka Range =

b. Jika a < 0 maka Range =

Masalah 17 :

Buatlah sketsa grafik fungsi y = 2x2 -x - 6

Penyelesaian :

Sketsa grafik fungsi y = 2x2 -x 6 dapat ditentukan dengan menemukan beberap unsur pembentuknya, sebagai berikut:

a) Titik potong pada sumbu koordinat:

a. memotong sumbu x ( y = 0 didapat : 2x2 -x 6 = 0

(2x + .)(x - .. ) = 0

(2x + .) = 0 v ( x - . ) = 0

2x = .. x =

x = ...

didapat pasangan titik potong ( .., 0 ) dan ( .. , 0 )

b. memotong sumbu y ( x = 0 didapat : y = 2.02 - - 6 =

didapat pasangan titik potong ( 0 , . )

b) Persamaan sumbu simetri: x =

c) Nilai balik :D = b2 4ac = (.)2 4.2.(- .) = - =

Jadi nilai baliknya adalah :

EMBED Equation.3 d) Koordinat titik balik : ( .. , )

e) Sketsa grafik/kurvanya, adalah :

- 2

LKS-Mat.X-21Masalah 18 :

Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk x = -1 dan grafiknya melalui titik (1, 4), memotong sumbu y di titik

Penyelesaian :

Bentuk kuadrat : y = a ( x h )2 + k maka y = a ( x ( - .))2 + 2

Grafik melalui : (1, 4) ( 4 = a ( . + . )2 + 2 ( a = ..

Didapat : y = ( x + 1)2 + . Memotong sumbu y ( x = 0 didapat y = ..

Jadi titik potong pada sumbu y adalah ( .. , )


Buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat yang mempunyai bentuk sebagai berikut:

1. y = x2 -4x + 5

6. Titik balik ( 2, 1 0 dan melalui titik ( 5, 19)

2. y = -3x2 + 4x -1

7. Persamaan sumbu simetri x = -3, a = 1 melalui (-2, 8)

3. y = -x2 + 2x 4

8. Persamaan sumbu simetri x = -1 dan melalui ( 1, -5) , (-2, 1)

4. y = 2x2 4x + 2

9. Melalui titik (2, 0) , (6, 0) dan ( 4, 5 )

5. y = -5 + 6x- x2

10. Melalui titik ( -2, 0 ) , ( 9, 0 ) dan ( 3, 7)

B.3. BEBERAPA MASLAH KEHIDUPAN SEHARI-HARI TERKAIT FUNGSI KUADRAT.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang terdapat pada beberapa fungsi berikut ini:

Masalah 19 :

PQRS adalah suatu persegi panjang yang panjangnya x cm dan lebarnya (8 x) cm, Jika fungsi L(x) menyatakan luas PQRS maka :

a. Nyatakan arumus luas dalam fungsi L !

b. Htung luas maksimum PQRS dan ukuran-ukuran yang memenuhi !

Penyelesaian :

a. L(x) = panjang x lebar = . ( 8 - . ) sehingga fungsi L(x) = x ( 8 - ) = ... x - ..2

b. L(x) maksimum === , untuk x =

Jadi Luas maksimumnya = untuk panjang = dan lebar = (8 - .. ) = Masalah 20 :

Tinggi suatu lemparan setelah t detik diwakili oleh fungsi h(t) yang didefinisikan :

h(t) = 30t -5t2 untuk 0 t 6 , t bilangan real.

Jika satuan tinggi dalam meter, sketsalah grafik fungsi h, berdasarkan kurva tersebut Tentukan :

a. Tinggi maksimum yang ditempuh dan waktu yang diperlukan.

b. Selang waktu ketika tinggi lemparan di atas 30 meter

c. Tinggi lemparan pada saat t = 5,5 detik.

Penyelesaian :

a. h(t) = 30t -5t2

h maksimum = = =

untuk t =

Jadi tinggi maksimumnya adalah m terjadi pada saat t = .. detik.

LKS-Mat.X-22b. Untuk h(t) = 30 maka: 30t -5t2 = 30 (( 5t2 - . t + . = 0 (dibagi 5)

(( t2 - .t + . = 0

(( t1 = 3 - .. dan t2 = .. +

Jadi tinggi lemparan di atas 30 meter terjadi dalam selang waktu:

3 - < t < .. +

c. Untuk t = 5,5 detik ( h(5,5) = 30(..) 5 ( .. )2 = .. - =

Jadi tinggi lemparan saat t = 5,5 detik adalah meter.


1. Sebuah partikel ditembakan secara vertical ke atas dengan kecepatan mula-mula Vo meter/detik. Dalam waktu t detik jarak s meter didefinisikan s = Vo t 16 t2 .

Jika kecepatan partikel mula-mula 12 m/det, maka tentukan :

a. jarak setelah 2, 3 dan 5 detik

b. kapan partikel berada pada 192 meter di atas titik awal.

2. Jumlah dua bilangan asli sama dengan 16, tentukan masing-masing bilangan terse-but jika hasil kalinya maksimum !

3. Sebuah kawat yang panjangnya 40 cm dipotong menjadi dua bagian. Masing-masing bagian kawat tersebut dibuat persegi. Tentukan panjang potongan kawat masing-masing agar jumlah luas persegi tersebut minimum.4. Dua bilangan jumlahnya 30, jika salah satu bilangan itu adalah x, maka Tentukan:a. Bilangan ke-dua dinyatakan dalam x.

b. Hasil kali ke-dua bilangan itu dinyatakan dalam x.5. Sebuah pagar kawat panjangnya 120 m, akan dipakai untuk pagar sebuah kandang ayam. Kandang ayam yang akan dibuat berbentuk persegi panjang dengan memanfaatkan pagar tembok sebagai salah satu batasnya.

Tentukan luas maksimum kandang yang dapat dibuat !


01. Fungsi kuadrat f(x) = x2 +4x -12 memotong sumbu x dengan absis ..........

a. -6 v 2b. -6 v -2c. 6 v -2d. 6 v 2e. 3 v 402. Fungsi kuadrat yang melalui titik (-1, 8) , (2, -1) dan (3, 4) adalah .......

a. y = 2x2 x +1

c. y = 2x2 5x +1

e. y = 2x2 5x -1

b. y = x2 5x +1

d. y = 2x2 +5x +103. Luas maksimum dari suatu persegi panjang yang kelilingnya 64 meter adalah ..........

a. 256m2b. 246m2c. 236m2d. 226m2e. 216m2

04. Suatu taman berbentuk persegi panjang dengan panjang : lebar = 3 : 2. Jika luas taman 27 satuan luas, maka ukuran panjangnya adalah ..........

a.

b.

c.

d.

e.

05. Hasil kali dua bilangan positif adalah 140. Jika bilangan pertama satu kurangnya dari tiga kali bilangan ke-dua, maka selisih ke-dua bilangan itu adalah ................

a. 31b. 20c. 13d. 10e. 7

LKS-Mat.X-2306. Titik balik parabola y = -3x2 -18x + 2 adalah ................

a. (-3, 19)b. (-3, 29)c. (-3, 23)d. (3, 27)e. (3, 29)07. Fungsi kuadrat yang melalui titik (0, 2) dan (-1, 0) dengan sumbu simetri garis x = adalah ................

a. y = -x2 + x +2

c. y = 2 x x2

e. y = -x2 +x -2

b. y = x2 +x -2

d. y = x2 -x +208. Fungsi f(x) = (2x + p)2 + q mempunyai titik balik minimum (-1, 3) maka nilai p + q sama dengan ................

a. 2b. 4c. 5d. 6e. 7

09. Nilai minimum grafik fungsi f(x) = ax2 -2x + 8 adalah 5, maka nilai 6a = ................

a. 1b. 2c. 4d. 9e. 1210. Sebuah batu dilempar tegak ke atas dengan kecepatan awal 30 m/det, mencapai ketinggian (at -5t2) meter, maka waktu t yang dibutuhkan untuk mencapai tinggi h maksimum berturut-turut adalah ................

a. 2 detik dan 43 meterc. 3 detik dan 42 meter e. 4 detik dan 43 meter

b. 2 detik dan 45 meterd. 3 detik dan 45 meterB. Jawab dengan tepat dan benar ! 01. Tentukan hasil terbesar dari suatu perkalian dua bilangan bulat yang berjumlah 22 dan tentukan pula bilangan-bilangan tersebut!02. Tentukan persaman fungsi kuadrat, jika diketahui titik baliknya (-3, 1) dan melalui titik (-5, 2)!03. Tentukan persamaan fungsi kuadrat jika fungsi tersebut melalui titik (-5, 0) , (3, 0) dan (0, 5)!

04. Suatu benda bergerak di sepanjang garis lurus dari satu titik tetap O yang ditentukan oleh rumus S = 4t t2 + 12, di mana jarak S meter dan waktu t detik. Tentukan:

a. Jumlah jarak yang dilalui benda itu dalam waktu 6 detik pertama.

b. Jarak yang dilalui benda tersebut dalam detik yang ke-enam.

05. Gambar di samping adalah bentuk penampang sebuah QMeja. Bangun PRST adalah persegi dan PQR adalah x mSegitiga siku-siku di Q. Jika jumlah panjang PQ dan P RQR adalah 6 meter dan L(x) mewakili fungsi luas

PQRST serta QR = x meter, maka:

a. Nyatakan fungsi L(x) dalam bentuk fungsi kuadrat.

b. Ukuran sisi-sisi PQRST jika luasnya minimum.

T S-------------ooooo000000ooooo------------

LKS-Mat.X-24

MENGUKUR MINAT SISWA TERHADAP MATERI BELAJAR

Menurut anda materi belajar tentang persamaan dan fungsi kuadrat (lingkari angka diantara pernyataan berikut):

Menyenangkan12345Membosankan

Bermanfaat12345Tidak Bermanfaat

Menarik12345 Tidak Menarik

Sangat perlu dipelajari12345Tidak perlu dipelajari

Menantang12345Tidak Menantang

Perlu disebar luaskan12345Tidak Perlu disebar luaskan

Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari12345Tidak Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari

Petunjuk Penilaian:

1. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 1 dan 2 maka materi pembelajaran menarik minat siswa.

2. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 4 dan 5 maka materi pembelajaran tidak menarik minat siswa, sehingga perlu adanya perubahan metode, media, strategi pembelajaran, dll.

Standar Kompetensi :Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma, persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat, system persamaan linier kuadrat, pertidak samaan satu variable, logika matematika.

A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR.

Kompetensi Dasar : 1.6. Menggunakan sifat dan aturan sistem persamaan linear dan kuadrat dalam pemecah-

cahan masalah.

1.7. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan

sistem persamaan.

Pengalaman Belajar : 1.6.1. Menentukan penyelesaian tentang sistem persamaan linear dua variabel.

1.7.1. Mendikusikan dengan kelompoknya untuk menyelesaikan soal-soal dan manipulasi masalah yang berhubungan dengan sistem persamaan linear tiga variable, sistem persamaan linear-kuadrat dua variable, dan sistem persamaan kuadrat dua variabel.

Prasyarat: 1. Persamaan dan fungsi linier.

2. Operasi hitung Aljabar.

A.1. Sistem Persamaan linier dua variabel.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut sistem persamaan linear dua variable diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Bentuk Umum: Sistem persamaan linear dua variable ditulis sebagai berikut : dengan a1,2 , b1,2 , c1,2 R

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan Himpunan Penyelesaian sistem persamaan berikut ini:

Masalah 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari

Penyelesaian:

a. Titik potong pada sumbu x didapat jika y = 0

Untuk : x + 2y = 7 maka x + 2 (.) = . (( x = didapat titik ( , )

2x + 3y = 12 maka 2x + 3 (.) = . (( 2x =

x = didapat titik (. , )

b. Titik potong pada sumbu y syarat x = 0

Untuk : x + 2y = 7 maka . + 2 y = . (( y = didapat titik ( , )

2x + 3y = 12 maka 2 () + 3y = . (( 3y =

y = didapat titik (. , )

c. Sketsa grafiknya adalah : Y

(Buatlah garis yang didapat- dari penyelesaian a dan b

untuk melengkapi grafik di- samping)

4

3,5

HP X

6 7

Penarikan Kesimpulan:

Cara menentukan Himpunan Penyelesaian sebagaimana tertuang di atas merupakan salah satu cara yang dikenal dengan metode grafik fungsi.

Masalah 2:


LKS-Mat.X-25

LKS-Mat.X-26

Penyelesaian :

, ambil salah satu persamaan yang paling sederhana:

1) x + 2y = 7 (( x = 7 - .. Masukan (substitusikan) x = 7 - .. ke dalam persamaan 2) sehingga didapat :

2) 2x + 3y = 12

2( . - . ) + 3y = 12

- 4 () + = 12

(-4 + ) y = 12 - . (( y = = . Bentuk y = disubstitusikan pada x = 7 - . sehingga didapat :

x = 7 - .. (( x = Jadi Himpunan Penyelesaiannya , HP = { , }


Cara menentukan Himpunan Penyelesaian sebagaimana tertuang di atas merupakan cara lain yang dikenal dengan metode substitusi dan hasilnya / nilainya sama dengan cara yang pertama.

Masalah 3:


Penyelesaian: , eleminasi ( hilangkan ) variabel x dengan cara menyamakan koefisien, yakni :

----------------------- -

y =

, eliminasi ( hilangkan ) variabel y dengan cara menyamakan

menyamakan koefisien, yakni :

----------------------- -

x = (( x =

Jadi HP = {( , )}Penarikan Kesimpulan:

Cara menentukan Himpunan Penyelesaian sebagaimana tertuang di atas merupakan cara lain yang dikenal dengan metode eleminasi dan hasilnya / nilainya sama dengan cara yang pertama.

Masalah 4 :


Penyelesaian: , eleminasi variabel x dengan cara menyamakan koefisiennya, yakni:

----------------------- -

y =

substitusikan y = .... ke salah satu persamaan, missal : x + 2y = 7

x + 2 . = 7 (( x =

Jadi HP. = {( , )}

LKS-Mat.X-27Kesimpulan:

Cara menentukan Himpunan Penyelesaian sebagaimana tertuang di atas merupakan cara lain yang dikenal dengan metode gabungan (eleminasi dan substitusi) dan hasilnya / nilainya sama dengan cara yang pertama.

Permasalahan untuk didiskusikan siswa:A. Tentukan himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem persamaan berikut dengan metode grafik :

1.

2.

3.

B. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode substitusi :

1.

2.

3.

C. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode eleminasi :

1.

2.

3.

D. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut :

1.a.

b.

c.

2. a.

b.

c.

3. a.

b.

c.

PETUNJUK soal nomor 3 : misalkan dan

A.2. Sistem Persamaan Linear tiga variabel.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut sistem persamaan linear tiga variabel diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media inetraktif.

Bentuk umum : Sistem persamaan dengan tiga variable dinyatakan dengan :

, dengan a1,1,2 , b1,2,3 , c1,2,3 , dan d1,2,3 R

Diskusikan guna menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem pertidaksamaan berikut ini:

Masalah 5 :


Penyelesaian:

, pilih salah satu persamaan yang paling sederhana :

LKS-Mat.X-28

persamaan 1) : x + y +z = 6 (( z = 6 - .

Masukan (substitusikan) z = . ke dalam persamaan 2) dan 3) sehingga didapat :

2) x + 2y - ( .) = 6 (( 2x + . = .------------ 4)

3) 2x 3y + ( .) = 1 (( x . = ..------------ 5)

Dari persamaan 5) x - . = . (( x = .- .

x = .. disubstitusikan pada persamaan 4) sehingga didapat :

2 ( - ) + 3y = 12 (( y =

Substitusikan y = ke 5) sehingga didapat x 4 . = 5 (( x = ..

Substitusikan x = dan y = ke 1) sehingga didapat .+ + z = 6 (( z = ..Jadi Himpunan Penyelesaiannya , HP = { (, , )}

Kesimpulan:

Cara menentukan Himpunan Penyelesaian sebagaimana tertuang di atas merupakan cara lain yang dikenal dengan metode substitusi.Masalah 6 :


Penyelesaian:

,ambil dua persamaan kemudian eleminasikan salah satu variable:

Dari pers. 1) dan 2) : x + y + z = 6

x +2y z = 6 +

2x + . = ... ----------4)

Dari pers. 2) dan 3) : x + 2y z = 6

2x 3y +z = 1 +

.. .. = ... --------- 5)

Dari 4) dan 5) :

.y = . (( y =

substitusikan y = ke 5) : 3x . = 7

x =

substitusikan x = , y = . ke 1) : . + . + z = 6 (( z = .

Jadi HP. = {(, , . )}

Kesimpulan:

Cara menentukan Himpunan Penyelesaian sebagaimana tertuang di atas merupakan cara lain yang dikenal dengan metode eleminasi dan substitusi (gabungan).Permasalahan untuk didiskusikan siswa:

1. Tentukan himpunan penyelesaiannya dengan metode substitusi :

a.

b.

LKS-Mat.X-292. Tentukan himpunan penyelesaiannya dengan metode eleminasi :

a.

b.

c.

3. Selesaikan sistem persamaan berikut :

a.

b.

c.

A.3. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut sistem persamaan linear dan kuadrat diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Bentuk umum : , dengan a, b , p, q, r bilangan Real.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem pertidaksamaan berikut ini:

Masalah 7 :

Tentukan Himpunan penyelesaian dari:

Penyelesaian: Dengan menggunakan cara substitusi anda dapat menentukan himpunan penyelesaian

sebagai berikut:

y = x 1 ( y = x2 3x + 2

(( x - = x2 2x + 2

(( x2 - .. + .. = 0

(( ( x - ..) ( x - .) = 0

(( x - . = 0 v x - .. = 0

x = .. x = Jadi HP = {( , )}


Tentukan Himpunan Penyelesaian dari :

1.

3.

5.

2.

4.

6.

LKS-Mat.X-30A.3. Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut sistem persamaan kuadrat dan kuadrat diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Bentuk umum : , dengan a, b , c, p, q, r bilangan Real.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem persamaan berikut ini:

Masalah 8 :

Tentukan Himpunan penyelesaian dari:

Penyelesaian: =Dengan menggunakan cara substitusi anda dapat menentukan himpunan penyelesaian:

sebagai berikut: y = x2 disubstitusikan pada y = 2x2 -4x sehingga didapat,

x2 = 2x2 - .. (( x2 - .. = 0 (( x ( . 4 ) = 0

(( x = . v x - . = 0 (( x =

Jadi HP = {(. , . )} =Pada kondisi tertentu dapat digunakan cara eleminasi sehingga penyelesaian sebaga berikut:

y = 2x2 - 4x

y = x2

-

0 = x2 - 4x

(( x2 - .. = 0 (( x ( . 4 ) = 0

(( x = . v x - . = 0 (( x = , Jadi HP = {( , )}


Tentukan Himpunan Penyelesaiannya (jika ada) dari :

1.

3.

5.

2.

4.


01. Himpunan penyelesaian dari system persamaan: adalah

a. {(1, 3)}

b. {(3, -1)}

c. {(3, 2)}

d. {(4, -3)}e. {(2, -3)}

LKS-Mat.X-31

02.Himpunan penyelesaian dari system persamaan: adalah

a. {( , )}

b. {( , )}

c. {( , )}

d. {(4 , 3)}e. {(2 , -3)}03. Penyelesaian dari system persamaan: adalah x = . dan y = ..

a. dan

b. dan

c. dan

d. dan

e. dan

04.Tentukan himpunan penyelesaian dari:

a. 2, -5, -2

b. 2, 5, -2

c. -2, -5, 2

d. -2, -5, 2e. 2, 5, 205.Himpunan penyelesaian system persamaan: , adalah ..

a. 9, 4, -1

b. 6, -2, -1

c. 8, -2,

d. , , e. 2, 2, 106. Diketahui sistem persamaan linier : ax + 3y = 2 dan 4x + 12y = 3

Sistem persamaan linier itu tidak mempunyai anggota dalam himpunan pnyelesaiannya, jika a = ......

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. 6

07. Jika x dan y memenuhi persamaan linier : , maka nilai x + y = .

a. -8

b. -6

c. 2

d. 4

e. 6

08. Absis titik potong grafik 5x 6y = 15 dan 2x + 3y = 15 adalah

a. -5

b. -4

c. 0

d. 1

e. 5

09. Grafik dari x + 3y = 10 dan 2x y = 6 berpotongan di titik (p, q). Maka pernyataan yang tepat di bawah ini adalah .........

a. p = q

b. p = 2q

c. p = q

d. q = 2pe. p = 2-q010. Diketahui {p, q} adalah himpunan penyelesaian dari: , Jika diketahui p + q = dan p + 3q = 2 , maka nilai a yang tepat adalah ........a. -

b. -

c. 0

d. 2

e. 6

B. Jawablah dengan langkah yang tepat dan benar ! Selesaikan sistem persamaan di bawah ini:

a.

c.

b.

d.

LKS-Mat.X-32 B. MODEL MATEMATIKA SUATU SISTEM PERSAMAAN.

Kompetensi Dasar : 1.8. Merancang model matematika yang berkaitan dengan system persamaan linier, menyelesaikan modelnya dan menafsirkan hasil yang diperoleh.

Pengalaman Belajar: 1.8.1. Mengaplikasikan konsep system persamaan linier dan kuadrat dalam kehidupan sehari-hari.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan model matematika yang menyangkut system persamaan linier dan kuadrat diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Dalam kehidupan sehari-hari terkadang ditemui berbagai permasalahan yang pemecahannya memerlukan konsep system persamaan linier dan kuadrat .

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan Penyelesaian permasalahan berikut ini:

Masalah 8 :

Dua tahun yang lalu umur ayah sama dengan enam kali umur anaknya. Delapan belas tahun yang akan datang umur ayah sama dengan dua kali umur anaknya . Tentukan umur ayah dan anak saat ini !

Penyelesaian:

Missal: umur ayah sekarang = x dan umur anak sekarang = y maka dapat dibentuk model sebagai berikut:

x - .. = 6 ( y - ..)

x + . = 2 ( . + . ) , dimana dapat diselesaikan dengan kaidah yang sama seperti pada bagian (uraian) terdahulu, sebagai berikut:

x - .. = 6 ( y - ..) (( x (.) y = - .

x + . = 2 ( . + . ) (( x (.) y =

-

. = . (( y = .

Nilai y = . , disubstitusikan pada salah satu persamaan missal : x (.) y = .

x - 2 (.) = .

x =

Sehingga didapat umur ayah ( x ) = .. dan umur anak ( y ) =

Masalah 9 : Diketahui tiga buah bilangan x , y , dan z . Jumlah ke-tiga bilangan itu adalah 75, bilangan pertama 5 lebihnya dari jumlah bilangan yang lain. Bilangan ke-dua sama dengan dari jumlah bilangan yang lain, tentukan bilangan-bilangan yang dimaksud tersebut !

Penyelesaian:

Model matematikanya :

Dari pers. 1) dan 2) : x + y + z = 75

x - y z = 5 +

2x = . (( x = .

Dari pers. 2) dan 3) : x - y z = 5

x 4y +z = 0 +

2x . = .. 4)

substitusikan x = . ke 4) : 2(.) . = 0

5y = ..... (( y = ...

LKS-Mat.X-33

substitusikan x = . , y = . ke persm. 1/2/3) , missal 1) : . + . + z = 75

z = 75 . = .

Jadi bilangan-bilangan tersebut adalah : . , .. , dan


1. Pada suatu hari seorang ibu dan anaknya pergi ke pasar membeli mangga dan jeruk. Ibu membeli 2 Kg mangga dan 1 kg jeruk dengan harga Rp. 10.500,- sedangkan anaknya membeli 3 Kg mangga dan 4 Kg jeruk dengan harga Rp. 23.250,-.

Tentukan harga 1 kg mangga dan jeruk !2. Keliling persegi panjang adalah 180 cm. Jika 3 kali panjangnya sama dengan 7 kali lebarnya, maka luas persegi panjang tersebut adalah ..3. Lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + ax + by + c = 0 melalui titik (3, -1) , (5, 3) dan (6, 2)

Tentukan nilai a, b dan c kemudian tuliskan persamaan lingkarannya !4. A dan B bekerja bersama-sama dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalam 12 hari. Jika A dan C bekerja bersama-sama pekerjaan itu selesai dalam 15 hari dan bila B dan C bekerja bersama-sama pekerjaan itu selesai dalam 20 hari.

Dalam berapa harikah masing-masing dapat meyelesaikan pekerjaan itu !5. Diketahui tiga buah bilangan p, q, dan r. Rata-rata ke-tiga bilangan itu adalah 12, Bilangan p ditambah 14 sama dengan jumlah bilangan q dan r. Bilangan r sama dengan selisih bilangan q dan p. Tentukan bilangan-bilangan tersebut !

6. Ani,. Wati dan Wanda berbelanja di toko buah. Ani membeli 12 kg jeruk, 4 kg anggur dan 7 kg apel. Ani harus membayar Rp. 111.000,-. Wati membeli 5 kg jeruk, 3 kg angur dan 8 kg apel. Wati harus membayar Rp. 73.500,- sedangkan Wanda membeli 12 kg jeruk, 6 kg anggur dan 10 kg apel. Wanda harus membayar Rp. 138.000,-

a. Berapakah harga setiap kg untuk buah jeruk, anggur dan apel ?

b. Jika Anita membeli 3 kg jeruk, 4 kg anggur dan 7 kg apel, Berapakah jumlah uang yang harus dibayarkan ?

7. Sebuah penerbit membuat tiga buah buku yaitu Matematika X, XI dan XII sebanyak 15.000 eksemplar. Harga jual buku tersebut berturut-turut adalah Rp. 9.000,- , Rp. 10.000,- dan Rp. 9.500,- Penerimaan dari penjualan ketiga buku tersebut adalah Rp. 150.500.000,-

Jika jumlah buku Matematika XII yang dibuat sebanyak 4.000 eksemplar, maka jumlah buku yang lain masing-masing adalah ........


01. Suatu persegi panjang kelilingnya 60 m. Panjangnya 4 m lebih dari lebarnya. Luas persegi panjang itu adalah .. m2

a. 216

b. 221

c. 224

d. 228

e. 300

02. Jumlah dua bilangan adalah 80. Seperlima dari bilangan pertama sana dengan sepertiga dari bilangan ke dua. Bilangan-bilangan tersebut adalah ..

a. 20 dan 60

b. 25 dan 55 c. 30 dan 50d. 35 dan 45e. 45 dan 55

03.Pembilang dan penyebut suatu pecahan berbanding 3 : 5

Dua kali pembilang ditambah empat kali penyebutnya sama dengan 208. Pecahan itu adalah ..

a.

b.

c.

d.

e.

04. Jumlah tiga bilangan adlah 10. Bilangan pertama 10 kurangnya dari bilangan ke dua. Dua kali jumlah bilangan pertama dan bilangan ke dua sama dengan tiga kali bilangan ke tiga.

Bilangan-bilangan tersebut adalah .

a. -2, 4, 8

b. 2, -8, 4 c. -2, 8, 4

d. 2, 12, 4e. 4, 14, 4

LKS-Mat.X-3405. Parabola y = ax2 +bx+ c melalui titik (-4, 20) ; (1, 5) dan (2, 20), Nilai a, b dan c yang memenuhi persamaan tersebut brturut-turut adalah

a. 3, 6, 4

b. 3, 6, -4 c. -3, -4, 6

d. 3, -6, -4e. 6, 3, -406. Ibu membuat kue sebanyak 80 buah. Biaya untuk membuat kue donat sebesar Rp. 250.- dan biaya untuk membuat kue lapis Rp. 150,-. Biaya yang dikeluarkan ibu untuk membuat kue adalah Rp. 17.000,- . Jumlah kue lapis yang dibuat ibu adalah

a. 20

b. 30 c. 40

d. 50

e. 60

07. Di sebuah took, Aprilia membeli 4 barang A dan 2 barang B dengan harga Rp. 4.000,- Agus membeli 10 barang A dan 4 barang B dengan harga Rp. 9.500,-. Yanto juga membeli sebuah barang A dan sebuah barang B dengan harga ......

a. Rp. 950,-

b. Rp. 1.050,- c. Rp. 1.150,-d. Rp. 1.250,-e. Rp. 1.350,-08. Sepuluh tahun yang lalu umur ayah enam kali umur adik. Lima tahun yang akan dating jumlah umur ayah dan adik menjadi 72 tahun. Jika umur ibu empat tahun lebih muda daripada umur ayah, maka umur ibu sekarang adalah

a. 32

b. 36

c. 40

d. 42

e. 4809. Sekarang jumlah penduiduk desa A dan desa B adalah 3000 orang. Sepuluh tahun yang lalu penduduk desa A adalah 200 kurangnya dari dua kali penduduk desa B. Selisih penduduk desa A dan B sekarang adalah

a. 750

b. 760

c. 800

d. 850

e. 86010. Petugas laboratorium akan membuat 200 mililiter larutan asam berkadar 6 % dengan mencampur jenis larutan asam dari kadar 10 % dan 4 %. Sistem persamaan linier yang dapat disusun dari informasi ini adalah

a.

c.

e.

b.

d.

B. Jawablah dengan langkah yang tepat dan benar ! 01. Dua tahun yang lalu umur seorang ayah 6 kali umur anaknya. Dlam 18 tahun mendatang umur Ayah akan menjadi dua kali lipat umur anaknya. Berapakah umur mereka sekarang ?

02. Apabila pembilang suatu pecahan ditambah 2 dan penyebutnya ditambah 1 maka hasilnya sama dengan . Namun apabila pembilang ditambah 1 dan penyebutnya dikurangi 2 hailnya menjadi , Tentukan nilai pecahan tersebut?

03. Jumlah tiga buah bilangan adalah 45. Perbandingan jumlah bilangan pertama dan ke-dua dengan bilangan ke-tiga , selisih bilangan pertama dan ke-dua adalah 8. Tentukan ke-tiga bilangan tersebut !=====oo0O0oo=====

LKS-Mat.X-35

MENGUKUR MINAT SISWA TERHADAP MATERI BELAJAR

Menurut anda materi belajar tentang persamaan dan fungsi kuadrat (lingkari angka diantara pernyataan berikut):Menyenangkan12345Membosankan

Bermanfaat12345Tidak Bermanfaat

Menarik12345 Tidak Menarik

Sangat perlu dipelajari12345Tidak perlu dipelajari

Menantang12345Tidak Menantang

Perlu disebar luaskan12345Tidak Perlu disebar luaskan

Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari12345Tidak Mempunyai korelasi dengan masalah sehari-hari

Petunjuk Penilaian:

1. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 1 dan 2 maka materi pembelajaran menarik minat siswa.

2. Jika rata-rata jawaban berkisar angka 4 dan 5 maka materi pembelajaran tidak menarik minat siswa, sehingga perlu adanya perubahan metode, media, strategi pembelajaran, dll.

Standar Kompetensi


A. PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL.

Kompetensi Dasar : 1.9. Menggunakan sifat dan aturan pertidaksamaan satu variabel dlm pemecahan masalah

Pengalaman Belajar: 1.9.1. Menentukan daerah himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan satu variabel yang memuat linier atau kuadrat dengan cara mencari informasi pada media interaktif /perpustakaan.

1.9.2. Menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan pertidaksamaan satu variabel yang memuat linier atau kuadrat dengan cara diskusi bersama kelompoknya. Prasyarat : 1. Sistem Persamaan linier dan kuadrat.

2. Persamaan dan Fungsi Kuadrat.

Definisi : Pertidak samaan adalah suatu kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan tanda hubung >, 5x 9 untuk x R

Penyelesaian: 3x 5 > 5x 9

+( 5 )

3x -5 + . > 5x - 9 + .

3x > 5x - ..

- ( 5x )

3x - > -

- .. > -

X ( -1 )

. < ..

: ( 2 )

x < ..

Jadi HP = { x / x < , x R }

Masalah 2:

Selesaikan untuk x R

Penyelesaian :

X ( 4 )

2x + .. + 5

- ( 8 )

. 3x + 5 - .

. 3x - .

- ( 3x )

2x -. 3x - . -3

- - 3

x ( -1 )

x

Jadi HP = { x / x , x R }

3

LKS-Mat.X-36

LKS-Mat.X-37Penarikan Kesimpulan:

Teorema 1.1: Suatu pertidaksamaan tidak berubah . jika ke dua ruas ditambah atau dikurangi dengan suatu bilangan yang nilainya ..

Teorema 1.2: Suatu pertidaksamaan tidak berubah . jika ke dua ruas dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan positif yang nilainya

Teorema 1.3: Suatu pertidaksamaan akan terbalik tandanya jika ke-dua ruas dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan negatif yang nilainya .


Tentukan daerah Himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan berikut, untuk x R !

1. 2x + 7 < 6x 5

4. 3 (-4 +x ) -2 (2x -1) > 2 (x + 1) -5x2. 2 (3x - 1) + 6 4x 9

5.

3.

6. 4x 3(2x 1) < 6(2x 4) 7xA.2. Pertidaksamaan kuadrat satu variabel.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pertidaksamaan kuadrat satu variabel diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media inetraktif.

Bentuk umum : ax2 + bx + c 0 dimana : adalah >, x2 + 2x +4 untuk x R

Penyelesaian: 2x2 5x > x2 - 2x +4

- ( x2 )

2x2 - .. 5x > x2 x2 - 2x + 4

()2 5x > -2x +

+ ( 2x )

x2 5x+ . > -2x + .. + ..

x2 - > 4

- ( 4 )

x2 3x - .. > 0

(x - ..)(x + 1) > 0

(x - ..)(x + 1) 0 (pembuat nol)

(x - ..) = 0 v (x + ..) = 0

x = . v x = .

Daerah Himpunan penyelesaiannya diuji dengan bantuan garis bilangan :

Untuk x = 0 didapat nilai : 02 3 (.) 4 > 0

> 0 (Pernyataan Salah)

B

S

B

-1 0 4

x < ..

x > .

Jadi HP = { x / x < .. v x > , x R }

LKS-Mat.X-38Permasalahan untuk didiskusikan siswa:


1. (4 x)(2 + 2) < 0

6. x (x 3)(x + 2) > 0

2. x2 -6x + 3 < 0

7. (x + 5)(x 4)(6 x) < 0

3. 21 + 4x x2 > 0

8. x (2x + 3) 19 (x + 1)2

4. 3x2 + 7x + 4 0

9. x (3x +4) < (x + 2)(x + 3)

5. (x 3)2 -4 (x 6)

10. (x2 4)(x2 - 6x + 9) 0

A.3. Pertidaksamaan bentuk pecahan satu variabel.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pertidak samaan bentuk pecahan yang memuat linier dan kuadrat satu variabel diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media inetraktif.

Bentuk umum : 0 dimana : adalah >, 0

2. 0

5. < 0

3. > 0

6. 0

A.4. Pertidaksamaan bentuk akar linier satu variabel.

Bentuk umum : 0 dimana : adalah >, 0

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem pertidaksamaan berikut ini:

Masalah 6 :

Nilai x yang memenuhi : < 3 untuk x R adalah:

Penyelesaian: < 3

di kuadratkan

(x 4)2 <

x2 (.) x + .. < 9

- ( 9 )

x2 (.) x + .. - . < 0

x2 8 x + .. < 0

LKS-Mat.X-40

(x - )(x - . ) < 0

(x - )(x - ..) 0(pembuat nol)

(x - ..) = 0 v (x - ..) = 0

x = 1 v x = .

Daerah Himpunan penyelesaiannya diuji dengan bantuan garis bilangan :

Untuk x = 0 didapat nilai : < 3

< 3 (Pernyataan Salah)

S

B

S

0 1 7

Jadi HP = { x / . < x < , x R }


Teorema 1.5: Sehingga untuk pertidaksamaan bentuk akar 0 nilainya tidak berubah jika ke dua ruas ...



1. < 3

3. <

5. < 0

2. 7

4. 0


01. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan : 3x 2 < x + 6 adalah ..

a. x < 4

b. x > 4

c. x > -4

d. x < -4e. x > 0

02. Nilai x yang tepat untuk : 0 adalah .

a. x 3b. x -4c. x < 4

d. x < -4 atau x3d. x -4 atau x > 3

03. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x 1 < x + 1 < 3 x adalah .

a. x < 1

b. x < 2

c. 1 < x < 2d. x > 2

e. x > 1

04. Pertidaksamaan 3x2 + 4x > 7 mempunyai penyelesaian ..

a. x < - atau x > 0

c. x < -1 atau x > 1

e. x < - atau x > 0

b. x < - atau x > 1

d. x < - atau x> 1

05. Jika (x -2)(x -3)(x -4) > 0 maka himpunan penyelesaiannya adalah .

a. x > 2 atau x > 3

c. x < 4 atau x < 2

e. 2 < x < 3 atau x > 4

b. x > 3

d. 3 < x < 4 atau x < 2

06. Pertidaksamaan dipenuhi oleh ..

a. 0 x 1

c. -4 < x 1

e. x -4 atau x < 1

b. -8 x < 1

d. 1 < x 7

07. Diberikan pertidaksamaan > 0 , Himpunan harga-harga x yang memenuhi pertidaksaman ini adalah ..

a. x < 1 atau x > 7

c. x < 3 atau x < 7

e. x < 1 atau 3 < x < 7

b. 1 < x < 3 atau x > 7

d. 1 < x < 7

LKS-Mat.X-4108. Agar nilai pecahan bernilai positif, maka x anggota himpunan

a. x < -5 atau x > 2

c. x -5

e. -5 < x 2

b. -5 < x < 2

d. x < 2

09. bila

a. x 0

b. 0 < I x I < 3c. -3 < x < 3d. 3 < x

e. x

010. Bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan adalah ..

a. x < 0 atau 1 < x < 2

c. x < -2 atau -1 < x < 0e. x < 0 atau 2 < x < 3

b. 0 < x < 1 atau x > 2

d. -2 < x < -1 atau x > 0

B. Jawablah dengan langkah yang tepat dan benar ! Selesaikan sistem pertidaksamaan satu varioabel di bawah ini!

1. x2 (2x2 x) < x2 (2x +5)

4.

2.

5.

3.

B. MODEL MATEMATIKA SUATU PERTIDAKSAMAAN.

Kompetensi Dasar: 1.10. Merancang model matematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu

variabel, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil yg diperoleh.

Pengalaman Belajar :1.10.1.Mengaplikasikan konsep pertidaksamaan dalam kehidupan sehari-hari.

Prasyarat : 1. Sistem Pertidaksamaan linier dan kuadrat.

Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan model matematika yang menyangkut pertidaksamaan diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Dalam kehidupan sehari-hari terkadang ditemui berbagai permasalahan yang pemecahannya memerlukan konsep pertidaksamaan.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan Penyelesaian permasalahan berikut ini:

Masalah 7 : Umur Ali ditambah umur Anton lebih kecil dari umur Budi, jika umur Budi kurang dari 30 tahun.

Tentukan model matematikanya!

Penyelesaian: Missalkan : Umur Ali = x

,Umur Anto = dan Umur Budi = ..

Maka model matematikanya: x + < z

z <

Masalah 8 :

Tinggi h meter dari suatu benda setelah bergerak t detik, ditentukan oleh rumus: h = 40t 5t2.

Tentukan interval t agar h 60 !

LKS-Mat.X-42

Penyelesaian:

h = 40t 5t2.

h 60

Maka: 40t 5t2 60

5t2 40t + .. 0

(.) t2 8t + .. 0

(t - ..) (t - .. ) 0

t = v t

LKS-SMA-MAT-X.doc

Documents

Transcript of LKS-SMA-MAT-X.doc