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NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA

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MATEMÁTICA FINANCEIRA

OPERAÇÕES COMERCIAIS

Porcentagem, taxas de acréscimo, descontos, taxa de lucro ou margem sobre o preço de custo e sobre o pre-ço de venda Porcentagem

Porcentagem sobre a venda

Porcentagem ou percentagem é a relação de determinado valor com ca-da 100 unidades.

Se mencionamos DEZ POR CENTO de um valor qualquer, estamos dizendo que de cada 100 partes desse valor tomamos DEZ PARTES.

DEZ POR CENTO, que é representado por 10%, chama-se TAXA DE PERCENTA-GEM. Desta forma, uma fração expressa com o denominador 100 seria uma per-centagem e o numerador seria a taxa de porcentagem.

Na razão 10/100 a taxa de porcenta-gem é 10. Lê-se DEZ POR CENTO. Calcular 10% de R$ 500,00

Pode ser calculado por regra de três simples. Se em R$ 100,00 temos 10 em R$ 500,00 teremos x 500,00 x 10 Logo, x será = -------------- = R$ 50,00 100

Principal é o número ou a quantia sobre a qual se calcula a porcentagem. No exemplo dado, o principal é de R$ 500,00. Exercícios: Calcular: 01) 15% de R$ 30.000,00 02) 25% de R$ 99.000,00 03) 4% de R$ 70.400,00

04) 8,5% de R$ 425.000,00 05) 10,2% de R$ 510.000,00 06) 4,7% de R$ 940.000,00 07) Qual a percentagem obtida com a venda por R$ 348,00 de uma máquina de calcular adquirida ao preço de custo de R$ 240,00? 08) O preço de custo de um computa-dor é de R$ 3.600,00. Desejando obter um lucro bruto de 60%, qual seria o valor de venda? 09) Um negociante efetua compra de mercadorias no valor de R$ 27.000,00. Qual será o seu lucro se aplicar uma taxa de 90% desse valor e os seus gerais fo-rem de 20% sobre o preço de venda? 10) Um vendedor ganhou R$ 2.700,00. Sendo a comissão de 9%, pergunta-se qual o valor de compra da mercadoria.

Percentagem sobre a compra A percentagem também pode ser calculada sobre o preço de compra. Neste caso, 100% é o preço de compra. Exemplo:

Uma mercadoria adquirida por R$ 750,00 foi vendida com um lucro de R$ 150,00. Pergunta-se qual a taxa lucro ou margem sobre o preço de custo e sobre o preço de venda? Preço de custo: R$ 750,00 – 100% R$ 150,00 – x

150,00 x 100750

X = = 20% é lucro sobre o

preço de venda. Preço de venda: R$ 900,00 – 100% R$ 750,00 - x

150x100900

x = =16,66%


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Exercícios: 01) Determine a porcentagem de lucro sobre o valor de compra de uma merca-doria que custou R$ 480,00 e foi vendida por R$ 648,00. R. 35%. 02) Sabendo que um bem vendido por 1.261,50 custou R$ 870,00,00, determine os percentuais sobre os preços de custo e de venda. R. 45% e 31%. 03) A venda de um automóvel por R$ 12.650,00 ensejou um lucro de 10% so-bre o preço de custo. Determine o custo. R. R$ 11.500,00 04) Tendo ganho R$ 330,00 na venda de um computador por 2.530,00, qual foi a porcentagem sobre o preço de compra? R. 15% 05) Uma venda por R$ 6.250,00 ensejou um lucro de 20% sobre esse valor. Calcu-le a porcentagem sobre o preço de com-pra. R. 25% Venda com desconto Uma mercadoria que constava na vitrine por R$ 480,00 teve um desconto de 20%. Pergunta-se quais os valores do desconto e da venda? 100,00 – 20% (se em 100 o desconto é de 20) 480,00 - x (em 480,00 o desconto será de x)

480,00 20100xx = =R$ 96,00 (foi o valor do

desconto) 480,00 – 96,00 = 384,00 (foi o valor de venda) Exemplo:

Uma impressora vendida por R$ 504,00 teve um desconto de 40%. Qual o valor anunciado pela loja? 60% – 504,00 (se 60% equivale a R$ 504,00) 100% - x (100% equivalerá a x) Logo:

100%x504,0060

x = == 840,00 é o preço a-

nunciado pela loja, sem desconto. Exercícios: 01) O preço de um automóvel é de R$ 24.000,00, mas, se pago a vista, o valor é reduzido para R$ 21.120,00. Qual a per-centagem de desconto? R. 12% 02) Ao pagar R$ 607,20 por uma merca-doria que valia 660,00, qual foi o descon-to obtido? R. 8% 03) Um bem vendido por 1.107,00 custou 820,00. Qual o percentual de acréscimo? R. 35% 04) Ao pagar uma conta de R$ 1.450,00, desembolsei R$ 1.580,50. Qual foi a mora cobrada pelo atraso? R. 9% 05) Um bem que valia R$ 360,00 foi ad-quirido por R$ 400,00. Qual o valor do ágio? R. 11% Taxa de porcentagem Considere o seguinte anúncio de jornal: “ Vendem-se tênis: desconto de 50%”. Observe que neste anúncio aparece a ex-pressão 50%, que se lê cinqüenta por cento, e pode ser indicada por 50 em 100

ou 50

100 . A expressão “50% de desconto”

pode ser entendida como um desconto de $ 50,00 em cada $ 100,00 do preço de uma mercadoria.


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Expressão Leitura Significado “18% não votaram”

18 por cento não votaram

Em cada 100 eleitores 18 não votaram.

“ 40% não vieram”

40 por cento não vieram

Em cada 100 pessoas 40 não vieram

As expressões 18% e 40% podem ser in-dicadas na forma de fração, por 18 e 40 , respectivamente. Como essa frações possuem denominadores iguais a 100, são denominadas frações centesimais. Os numerais 40% e 18% são taxas cen-tesimais ou taxas de porcentagens, pois expressam a razão que existe uma grandeza e 100 elementos do universo dessa grandeza . Escreva as frações seguintes na for-ma de taxa de centesimal:

a) 15

100.

b) 37

100.

c) 70

100.

d) 81

100.

e) 3

100.

f)425

.

Escreva cada taxa de porcentagem na forma de fração centesimal: a) 18% b) 52% c) 4% d) 35% e) 10% f) 100% Cálculo da taxa de porcentagem

O cálculo da taxa de porcentagem pode ser realizado utilizando-se uma regra de três simples. Vejamos algumas situações onde esse cálculo é utilizado. 1º situação Depositando-se $60,00 numa caderneta de poupança, ao final de um mês obtêm-se $75,00. Vamos calcular a taxa de por-centagem desse rendimento:

$ 60,00 é a quantia principal do problema ;

$ 15,00 é o rendimento obtido no período.

Organizamos uma regra de três simples, onde: $ 60,00 correspondem a 100% investi-dos; $ 15,00 correspondem a x% do que foi investido. Essa regra de três simples é direta:

$60 100$15 x

↓ ↓

60 100 100.1515 60

= ⇔ Χ =Χ

⇔ X = 25

portanto, a taxa de rendimento foi de 25%. Exercícios 1. Calcule: a) 20% de 1 000 pessoas, b) 70% de 80 cavalos. c) 9% de 10 000 doentes com dengue. d) 40% de 90 pregos. e) 7,5% de 200 ovos. f) 0,45% de 2 000 laranjas. 1. Resolva os seguistes problemas: a) A quantia de $ 945,00 é igual a quan-tos por cento de $ 4 500,00? b) E uma classe de 50 alunos, comparece-ram 35. Qual a taxa percentual de ausên-cia?


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c) Num exame de 110 questões, um aluno errou 10%. Quantas questões ele acer-tou? d) Obtive 14% de desconto numa compra de $ 24.000,00. Quanto paguei? e) O preço marcado de um produto era $ 2.500,00. Paguei apenas $ 2.000,00, pois obtive um abatimento. Qual foi a taxa de porcentagem do desconto? f) Economizei $ 840,00 ao obter um des-conto de 12% na compra de uma roupa. Qual era o preço marcado inicialmente nessa roupa? g) Gastei 20% de meu salário em uma mercadoria que me custou $ 5.000,00. Qual o valor do meu salário?

CONCEITOS BÁSICOS

Juros, principal, montante, taxas de juros, fluxo de caixa, contagem de dias, anos comercial e civil, regra do banqueiro Juros. Custo do capital durante determinado período de tempo. Taxa de Juros. Unidade de medida do juro que cor-responde à remuneração paga pelo uso do capital, durante um determinado período de tempo. Indica a periodicidade dos ju-ros. Observação. Em nosso curso usaremos a taxa uni-tária para que o cálculo fique simplificado, quando estivermos utilizando fórmulas para realizar os cálculos. Montante. Capital empregado mais o valor acu-mulado dos juros. Fluxo de Caixa.

Conjunto de entradas e saídas, dispos-tas ao longo do tempo, geralmente repre-sentado por um diagrama, também cha-mado de horizonte financeiro, constituído por um eixo horizontal, que representa a linha do tempo, tendo acima as entradas e abaixo as saídas, e vice-versa. Cálculo do número de dias Ano comercial são os juros calculados com uma taxa diária a partir de 360 dias. Ano civil são os juros calculados com uma taxa diária a partir de 365dias. Juros Exatos ou Regra do Banqueiro São os juros calculados com uma taxa diária a partir de um ano civil (365dias). Observação Por convenção, usam-se sempre os juros comercias, a não ser quando é ex-plícito o contrário. Tempo Exato. Quando se considera o número exato de dias contados no calendário. Tempo Aproximado. Quando se considera qualquer mês como tendo 30 dias. Taxas Proporcionais ou Nominais. Duas taxas se dizem proporcionais, quando há uma proporção entre as gran-dezas em que se expressam e as dura-ções dos períodos de tempo a que se refe-rem. Como a proporção existente, neste ca-so, é inversa, temos: Calcular a taxa anual correspondente a 2,5% ao mês. → i1.n1 = i2. n2 → 2,5 . 12 = i . 1 → i = 30% a.a.


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Juros simples Considere a seguinte situação: “ A importância de $ 100.000,00 foi em-prestado por um Banco ao cliente Epami-nondas da Silva. O Banco cobrará do cli-ente 10% e juros mensal. Quanto será cobrado? Vamos denominar e convencionar uma representação para cada dado do problema:

O dinheiro emprestado, $100.000,00, chama-se quantia principal. Representa-se por C.

A retribuição periódica pela cessão

do dinheiro, eu corresponde à quantia que será cobrada pelo Ban-co, é o aluguel que se paga em ca-da período. Recebe o nome de juro e representa-se por j.

A taxa de juro, 10% é a taxa que

funciona como o aluguel que o cli-ente pata por 100 unidades de di-nheiro que o Banco lhe empresta; representa-se por i.

A referência de tempo. Um mês em

que o dinheiro ficou aplicado, re-presenta-se por t.

Problemas desse tipo podem ser resolvi-dos utilizando-se uma regra de três. Va-mos estabelecer um problema genérico e obter uma formula que permite obter a solução de problemas semelhantes. “Quem aplica $ 100,00 à taxa de 1% ao período (ano, ou mês, ou dia etc.) recebe no fim do período $ 1,00 de juros. Se a-plicasse um capital C à taxa i ao período, então receberia o juros j”. Monta-se uma regra de três compos-ta:

Capital taxa tempo juro100 1 1 1C i t j

↓ ↓ ↓ ↓

Como são grandezas diretamente proporcionais em relação à grandeza do juro, podemos escrever: 100 . 1 . 1 = 1 . C I t j J = C i t 100 Vamos calcular o juros pago por uma pes-soa que tomou emprestada quantia de $ 50 000,00, durante 8 meses, a uma taxa de 1,2% ao mês: Dados C = $ 50.000,00 j = C i t I = 1,2% ao mês 100 t = 8 meses j = 50.000 . 1,2 . 8 j = ? 100 j = 4.800 foram pagos $ 4.800,00 de juro. Vamos, agora , determinar a quantia que deve ser aplicada por uma pessoa a uma taxa de 6% ao ano, para que após 2 anos receba $ 18.000,00 de juro. Dados C = ? j = C i t I = 6% ao ano 100 t = 2 anos 18.000 = C . 6 . 2 j = $ 18.000,00 100 12 . C = 1. 800.000 C = 18.000.000 12 C = 150.000 A quantia que deve ser aplicada é de $150.000,00. Exercício 1. Resolva os seguintes problemas : a) Qual o juro sobre $ 25.000,00 à taxa de 1% ao mês, em 16 meses? b) A que taxa foi depositado o capital de $15.000,00 que em 4 anos produziu $ 6.000,00 de juros? c) Qual o capital que, aplicado a 3% ao mês , produz $ 6.000,00 de juro em 10 meses?


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d) Uma pessoa toma emprestado de um Banco $ 54.000,00 e após 6 meses e 15 dias devolve $60.000,00. A que taxa foi tomado o empréstimo? e) Uma pessoa empregou $ 50.000,00 . Sabendo-se que após 10 meses ela irá receber $ 100.000,00 calcule a que taxa de juro foi empregado este dinheiro. f) Qual o capital que aplicado a 8% ao mês, num período de 6 meses, produz $ 24.000,00 de juro? g) A que taxa foi empregado o capital de $25.000,00, sabendo h) Uma pessoa toma emprestado $ 10.000,00 durante 5 meses. Qual a taxa de juro que essa pessoa pagou, sabendo-se que ela devolveu $ 15.000,00?

JUROS SIMPLES

Cálculo dos juros, do principal, da ta-xa, do prazo e do montante. Como já vimos anteriormente, Juro é a remuneração paga por um capital em-prestado, calculado sobre determinada taxa e período. Nos juros simples, a remuneração sempre é calculada sobre o principal ou valor emprestado. Exemplo: Um capital de R$ 1.000,00, em-prestado durante 5 anos a 10%a.a.

PERÍODO SALDO INICIAL

JUROS MONTANTE

0 1.000,00 0 1.000,00

1 1.000,00 100,00 1.100,00

2 1.100,00 100,00 1.200,00

3 1.200,00 100,00 1.300,00

4 1.300,00 100,00 1.400,00

5 1.400,00 100,00 1.500,00

Fórmula tradicional para cálculo dos juros

j Cit=

100

Fórmula Atual j Cin= (sempre i/100) MONTANTE (NOS JUROS SIMPLES) M = C + J Não tendo o valor dos juros, utilizar a sua fórmula M = C + Cin Coloca-se C em evidência M C Cin ---- = --- + ----- (Simplificando C:C= 1 e C C C Cin:C = in) M --- = 1 + in (C dividindo para o outro C lado multiplicando) Logo, a formula do montante nos ju-ros simples : M = C(1 + in) Exemplo 1: Quanto receberá quem aplicar R$ 100.000,00, à taxa de juros simples de 5%a.m., durante um mês? M = 100.000,00 (1+0,05.1) = 105.000,00 Obedecendo a hierarquia das ope-rações, primeiro elimina-se os parêntesis. Para tanto, dentro deles, em primeiro lu-gar efetuamos a multiplicação de 0,05 por 1 = 0,05. Após, soma-se ao número UM e o resultado é multiplicado pelos 100.000,00. Exemplo 2: (prazo da operação diferente do prazo da taxa)


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Qual será o montante de um capital de R$ 100.000,00, aplicado à taxa de ju-ros de 5%a.m. durante 45 dias?

45100.000,00(1 0,05. )107.500,0030

M = +

(0,05 x 45 : 30 + 1) x 100.000,00 = 107.500,00 Cálculo com prazo fracionário: Qual o montante produzido pelo capital de R$ 5.000,00, à taxa de 2%a.m. e prazo de 45 dias? Com taxa mensal o prazo é dividido por 30: M = 5.000,00 (1 + 0,02.45/30) = R$ 5.150,00 Com taxa anual o prazo é dividido por 360. M = 2.000,00 (1 + 0,18 . 60/360) = 2.060,00 CAPITAL Se M = C(1+in) M --- = C (1 + in) Ou, invertendo a ordem M C = ------- (1 + in) Qual o capital que, aplicado durante 45 dias, à taxa de juros simples de 5%a.m., gerou um montante de R$ 107.500,00? 107.500,00 C = --------------------- = 100.000,00 (1 + 0,05 . 45/30) TAXA Se M = C(1 + in)

M --- = 1 + in C Inverte-se: M 1 + in = --- C M in= ---- - 1 C Logo: M ---- - 1 C i = --------- n Utilizando os dados do problema an-terior: 107.500,00 -------------- - 1 100.000 i = ------------------- = 0,05 45/30 Se 1 equivale a 0,05 100 equivalerá a x 100 x 0,05 Logo: x = ------------- = 5% a.m. 1 PRAZO Utilizando os dados do problema anterior. 107.500,00 -------------- - 1 100.000,00 n = -------------------- = 1,5 mês 0,05 Se 1 mês tem 30 dias 1,5 meses terá x dias 1,5 x 30 Logo: x = ------------ = 45 dias 1


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Exercícios: 01) Uma aplicação, com taxa de 31,5%a.a., em dois anos e meio acusou um saldo de R$ 53.625,00. Qual o capital inicial? R. R$ 30.000,00. 02) Um montante de R$ 11.115,00 foi formado à taxa de 7%a.a., em dois anos. Quais os juros? R. 1.365,00 03) À taxa de juros de 8,5% e prazo de dois anos e seis meses foi formado um montante de R$ 13.337,50. De quanto foram os juros? R. 2.337,50. 04) Tendo recebido 821,84 após 91 dias de aplicação, à taxa de 0,9% a.m., calcu-lar os juros. R. 21,84 05) Tendo pago 675,50 após 13 meses de ter efetuado uma compra por 500,00, qual foi a taxa praticada? R. 2,7% a.m. 06) Resgatei a importância de R$ 1.388,80 após decorridos 3 meses da venda de um carro por R$ 1.240,00. Qual a taxa anual cobrada? 48% a. a. 07) Quanto tempo será necessário para que R$ 4.000,00 seja transformado em R$ 4.375,00, a taxa de 45% a.a.? R. 75 dias. 08) Na aquisição de um bem por R$ 6.000,00, determinar qual o montante após 180 dias e taxa de 7,%a.t. R. 6.900,00. 09) Sendo os juros de R$ 345,60, o ca-pital inicial de R$ 12.000,00 e o prazo de 72 dias, determine a taxa mensal. R. 1,2% 10) Apliquei R$ 2.400,00 ao prazo de 45 dias e taxa de 2,7%a.m. Qual o mon-tante da operação?

JUROS COMPOSTOS

Cálculo dos juros, do principal, da ta-xa, do prazo e do montante; conven-ções linear e exponencial para perío-

dos não inteiros; utilização de tabelas para cálculos. São aqueles calculados sobre o montante anterior. Exemplo: O capital de R$ 100,00, a juros compostos de 10%a.a., montará a quanto ao final de 4 anos?

Ano Capital inicial

Juros anuais

Montante

0 - - 100,00 1 100,00 10,00 110,00 2 110,00 11,00 121,00 3 121,00 12,10 133,10 4 133,10 13,31 146,41

Pela fórmula dos juros simples temos: j = Cin Logo, a fórmula dos juros sim-ples fica: j = M – C (isolando M, fica) - M = - C – j (para que a incógnita “M” não fique negativa, substituímos o sinal de todos. Logo: M = C + j Substituindo "j" pela sua fórmula, temos: M = C + C.i.n Colocando C em evidência: M = C(1 + in) Como "n" será sempre um = 1, que é o período de capitalização, o "n" pode ser eliminado da fórmula, porque qualquer número multiplicado por "1" = ao próprio número. M = C(1 + i)


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Exemplo: Quanto receberei, se aplicar R$ 100,00, à taxa de juros compostos de 10%a.a., durante três anos? M = 100 (1 + 0,1)(1 + 0,1)(1 + 0,1) M = 100 (1,1)(1,1)(1,1) Ou M = 100(1,1)3 = 133,10 A fórmula básica, no montante pe-los juros compostos, então, é: M = C(1+i)n = 133,10 EXEMPLOS COM PRAZO FRACIONÁRIO Exemplo Sendo o capital inicial de R$ 4.000,00, determine os juros compostos ao final de 4 anos, à taxa de 6,3%a.a. Para efetuarmos este cálculo, necessitamos recorrer à Tábua Financeira de Juros Compostos, utilizando 7 casas decimais. A taxa de 6,3% não existe na tá-bua. Ela está compreendida entre 6% e 7% para 4 anos. (Tábua II)

6% ... 1,262.4770 e 7% ... 1.310.7960

1% ... 0,048.3190 Para acharmos o valor de 0,3%, para ser acrescentado aos 6%, efetuamos uma regra de três: 1% - 0.048.3190 0,3% - x Então, o número correspondente a 6,3% é 1,2624770 + 0,01449570 = 1,2769727 O montante será: 4.000 x 1,2769727 = 5.107,89

Logo, os juros serão: 5.107,89 – 4.000,00 = 1.107,89 Exemplo Qual o prazo necessário para que um de-pósito de 3.000,00, a taxa de 8%a.a., produza um montante de R$ 5.025,00? M 5.025,00 --- = ------------ = 1,675 a 3.000,00 Na Tábua II, o número 1,675 não existe na coluna de 8%. Esse número está com-preendido entre os números 6 e 7.

1,5868743 corresponde a 6 anos e 1,7138243 corresponde a 7 anos

0,1269500 corresponde a 1 ano 0,0881257 corresponde a x

Se 1 ano tem 360 dias 0,6941764 do ano terá x dias 1 mês tem 30 dias 0,33 meses terá x dias Logo a resposta será: 6 anos, 8 meses e 10 dias. Exercícios: (as respostas serão apro-ximadas) 1) Quanto receberei ao final de 32 dias se aplicar R$ 200,00, à taxa de 2,4%a.a.? R. 205,00. 2) Por quanto tempo um capital de R$ 50.000,00 ficou depositado , a juros de 5% a. a., gerando um montante de R$ 65.000,00? R. 5a 4m 13d 3) A que taxa devo aplicar R$ 60.000,00 a juros compostos para, aos 10 anos rece-

X = 0,048319 x 0,3/1 = 0,01449570

x=1,675 – 1,5868743 =0,0881257

0,0881257 x 1 / 0,12695 = 0,6941764

0,6941764 x 360 / 1 = 249,9 dias 249,9 dias / 30 = 8,33 meses

0,33 x 30 / 1 = 9,9 (ou 10 dias)


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ber o montante de 120.000,00? R 7,174% a.a. 4) Uma aplicação de R$ 20.000,00, a taxa de juros compostos de 5%a.a, sem mo-vimento durante 9 anos terá um montan-te de quanto? R$ 31.026,60 5) Qual o tempo necessário para um capi-tal qualquer duplicar à taxa de juros com-postos de 8% a.a.? R 9a 2d. 6) Determine qual o capital deverei aplicar à taxa de juros compostos de 6%a.a. pa-ra, ao final de 6 anos, chegar a um mon-tante de R$ 17.765,00. R. 25.200,00. 7) A que taxa devo emprestar R$ 50.000,00 à taxa de juros compostos, pa-ra, em 5 anos, possuir um montante de R$ 85.000,00. 8) Tendo aplicado R$ 42.500,00 e recebi-do R$ 36.726,60, à taxa de juros compos-tos de 5%a.a., qual foi o prazo da opera-ção? R 3 anos. 9) Efetuei uma aplicação de R$ 30.000,00 à taxa de juros compostos de 7%a.a. e prazo de 4 anos e 2 meses. Determine o montante. R 39.782,70. 10) Tendo recebido R$ 80.000,00, à taxa de juros compostos de 7,45%a.a. e 4 a-nos de prazo, qual foi o capital aplicado? R. 60.000,00. TAXAS Equivalência entre taxas de desconto Nas operações de desconto COMERCIAL, haverá sempre uma taxa implícita de ju-ros, também chamada de “taxa efetiva” da operação. Podemos encontrar a relação entre a taxa de desconto e a taxa efetiva (ou taxa im-plícita de juros) através das fórmulas a-baixo:

( )d i

i n=

+ ⋅1 ou ( )

i dd n

=− ⋅1

A taxa “i” (desconto racional) também é conhecida como “taxa efetiva” da opera-ção. Neste tipo de operação DC = DR Diferença entre os descontos:

( )D D i nC R= ⋅ + ⋅1 Neste tipo de operação i = d. QUESTÃO DE CONCURSO (RESOLVI-DA) 01) TFC/2001 (ESAF) - Um indivíduo ob-teve um desconto de 10% sobre o valor de face de um título ao resgatá-lo um mês antes do seu vencimento em um banco. Como esta operação representou um em-préstimo realizado pelo banco, obtenha a taxa de juros simples em que o banco a-plicou os seus recursos nessa operação. a) 9% ao mês b) 10% ao mês c) 11,11% ao mês d) 12,12% ao mês e) 15% ao mês Solução: Se a taxa de DESCONTO é d = 10%, quer-se calcular a taxa de juros equiva-lente para o prazo n = 1 mês. Usando a fórmula:

i dd n

=−1 .

Substituindo-se os dados...

i =−

= = ≅01

1 01010 9

19

0111,,

,,

, ... ou 11,11% a.m.

Resposta: letra c. CONVENÇÃO LINEAR E EXPONENCIAL As convenções são utilizadas quando é pedido no problema a resolução através de uma das convenções e é dado o tempo fracionado, por exemplo: 2 meses e 5 dias ou 258 anos e 2 meses.... LINEAR-> Para resolvermos esse tipo de problema usa-se a fórmula M = C ( 1 + i )


15

t' x ( 1 + i t''), onde t' é a parte inteira e t'' é a fração. Obs: O termo linear refere-se ao fator ( 1 + it'') que nada mais é do que uma função linear ou de 1º grau. Vamos exemplificar: Se o tempo dado é 5 anos e 6 meses, a taxa de juros é 10% a.a. e o capital é R$35.600,00 , então: M= 35.600 [1 + (10 ÷ 100)]5 x [ 1 + (10 ÷ 100) x (6 ÷ 12)] M = 35.600 (1,6105) x (1,05) = R$60.200,49. EXPONENCIAL A diferença da linear é que se utiliza a seguinte fórmula: M = C ( 1 + i ) t' + t'' Obs: O termo exponencial refere-se ao fator (1 + i) t' + t'' que é uma função ex-ponencial. *Considerando os mesmos dados do pro-blema anterior teremos: M = 35.600 [ 1 + (10 ÷ 100) ] 5 + (6 ÷ 12) M = 35.600 ( 1,6891 ) = R$60.131,96

TAXAS

Nominal e efetiva; proporcionais en-tre si; equivalentes entre si em juros simples e em juros compostos; taxa over; utilização de tabelas para cálcu-los.

Taxa Nominal e Efetiva Para que você guarde a diferença entre a taxa de juros nominal e efetiva ai vai uma dica: Sempre que o prazo de capitalização for o mesmo que o prazo a que a taxa se refere teremos uma taxa de juros efetiva. Já se o prazo de capitalização for diferente do prazo a que a taxa se refere teremos uma taxa de juros nominal. Taxa nominal é a expressão dos juros não considerando o prazo pelo qual ele incidirá

e efetiva é a taxa ajustada ao prazo cor-respondente. Por exemplo: Um Banco informa que cobra 5% de juros ao mês. Entretanto, sua operação será liquidada em 35 dias. O cálculo que o Banco efetua é demons-trado a seguir: Taxa nominal = 5,00% a.m. Taxa efetiva

Substituindo:{[(((5/100)+1) ^ (35/30))]–1}*100 = 5,86% Note que agora a taxa representa os juros cobrados pelo período. Diz-se então que a taxa é 5,86 % efetiva ou pelo período.

Taxas Proporcionais Taxas Proporcionais são taxas de juros simples, cuja razão possui a mesma cons-tante de proporcionalidade que os respec-tivos tempos a que se referem.

1 1

2 2

i ni n

=

Exemplo: As taxas de 6% ao ano e 3% ao semestre são proporcionais, pois: 6% 12 meses3% 6 meses

=

Taxas Equivalentes

Taxas Equivalentes são aquelas que, quando aplicadas ao mesmo capital, du-rante o mesmo intervalo de tempo, pro-duzirão o mesmo montante. Em juros simples não há distinção entre taxas proporcionais e equivalentes, pois significam a mesma coisa.


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Ex.: Aplicando-se, a juros simples, o capi-tal de R$ 100,00 (ou outro qualquer) a uma taxa de 24% a.a., durante um ano teremos o mesmo montante se o capital for aplicado à taxa de 2% a.m., durante 12 meses. Em juros compostos, a equivalência se dá pela fórmula do juro composto:

( ) ( )' "1 21 1n ni i+ = +

onde: i1 2 e i ão as taxas a serem relacio-nadas; n’ e n” são os prazos, em unidades compatíveis de tempo. Taxa Nominal Taxa Nominal é, na verdade, uma taxa de juros simples, cuja capitalização ocorre em período diferente do período de refe-rência da taxa. Exemplo: taxa de 24% ao ano com capi-talização mensal. Para convertermos uma taxa nominal em efetiva, utilizamos o critério da proporcio-nalidade.

Taxa Efetiva Taxa Efetiva é aquela cujo período de ca-pitalização coincide com o período da pró-pria taxa. Normalmente, costuma-se omi-tir o período de capitalização em uma taxa efetiva. Exemplo: taxa de 2% ao mês com capi-talização mensal, ou, simplesmente, 2% ao mês.

Taxa Real Taxa Real é aquela efetivamente paga em uma operação qualquer, após descontar-mos a inflação.

111

+ =+

+i

iirap

i

onde: ir é a taxa real; iap é a taxa apa-

rente e ii é a taxa de inflação.

QUESTÕES DE CONCURSOS (RESOL-VIDAS) 01) BB/1998 (FCC) - Qual a taxa semes-tral equivalente à taxa de 25% ao ano? a) 11,8% b) 11,7% c) 11,6% d) 11,5% e) 11,4% Solução: Um problema simples de conver-são de taxas efetivas. Basta aplicarmos a fórmula:

( ) ( )1 111

22+ = +i in n

Relacionando “ano” com “semestre”, te-mos: n1 = 2 (pois há dois semestre em um a-no) n2 = 1

( ) ( )1 1 0 2512 1

+ = +i , Como a incógnita do problema é “i1”, de-veremos extrair a raiz quadrada do se-gundo membro: 1 1251+ =i , É óbvio que, sem usarmos calculadora eletrônica, é necessário termos uma tabe-la financeira (que normalmente é forneci-da com provas que envolvem cálculos de juros compostos). Mas, e no caso de não haver tabela na prova? Teremos um pouquinho mais de trabalho: iremos representar o 1,25 por

sua fração decimal: 125100

. A seguir, iremos

decompor o 125 em fatores primos (en-contramos 53). E 100 = 102. Substituindo na equação:

15 510

1 510

51

2

2 1+ =⋅

⇒ + =i i . Nesse ponto, é útil lembrar dos valores aproximados das seguintes raízes:

2 = 1,414; 3 = 1,732; 5 = 2,236 Ficamos, então, com:

1 12

5 1 2 2362

1 1118 01181 1 1 1+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =i i i i. , , ,

Sempre que calculamos a taxa, ela será dada na forma “unitária”. Para obtermos a taxa “percentual”, basta multiplicarmos o


17

resultado encontrado por 100. Desse mo-do, a taxa será: i1 = 11,8% Resposta: letra a 02) BB/1999 (CESPE-UnB) - O valor de um aluguel era de R$ 400,00 no dia 1º de julho de 1999 e foi reajustado para R$ 410,00 no dia 1º de agosto de 1999. Con-siderando que a inflação registrada no mês de julho foi de 1%, é correto afirmar que a taxa real de juros utilizada no rea-juste do valor desse aluguel foi a) inferior a 1,5% b) igual a 1,5% c) superior a 1,5% e inferior a 2,0%. d) igual a 2,0% e) superior a 2,0% Solução: Calculamos a variação percentual no valor do aluguel por meio de uma regra de três simples:

400 100% 10 x

X =×

=10 100

4002 5%, .

Agora devemos "deflacionar” este valor, ou seja, procuramos aqui a "taxa real":

111

+ =+

+i

iirap

i

onde: ir = taxa real; iap = taxa “aparente"; ii = taxa de inflação. Lembrando de colocar todas as taxas na forma "unitária" antes de substituirmos na fórmula acima, obteremos:

1 0,025 1,0251 1,014851 0,01 1,01ri+

+ = = =+

⇒

1,01485 1ri = − ⇒ ir = 1,485% Observação: O candidato não precisava realizar o cálculo acima (é um pouco tra-balhoso...). Basta saber que, ao “deflacio-narmos” uma taxa, ela será menor do que a diferença entre elas, ou seja: 2,5% - 1% = 1,5%. Devemos, então, encontrar um valor inferior a 1,5%. A taxa resultante será tanto mais próxima da diferença simples entre elas, quanto

mais próximas forem as taxas envolvidas no cálculo. Também faz-se necessário que as taxas envolvidas no cálculo não sejam muito grandes. Para taxas elevadas ou para diferenças muito grandes entre as taxas esse raciocínio não funciona! Resposta: letra a. 03) BB/1998 (FCC) - Um investidor dispu-nha de R$ 300.000,00 para aplicar. Divi-diu esta aplicação em duas partes. Uma parte foi aplicada no banco alfa, à taxa de 8% ao mês, e a outra parte no banco Be-ta, à taxa de 6% ao mês, ambas em juros compostos. O prazo de ambas as aplica-ções foi de 1 mês. Se, após este prazo, os valores resgatados forem iguais nos dois bancos, os valores de aplicação, em reais, em cada banco, foram, respectivamente: a) 152.598,13 e 147.401,87 b) 151.598,13 e 148.401,87 c) 150.598,13 e 149.401,87 d) 149.598,13 e 150.401,87 e) 148.598,13 e 151.401,87 Solução: Aplicamos a fórmula do Montan-

te nas duas aplicações. ( )M C i n= +. 1

Como os Montantes das duas aplicações deverão ser iguais:

( ) ( )C C11

211 0 08 1 0 06. , . ,+ = + [equação 1] e

C C1 2 300000+ = [equação 2]. Isolando-se uma das variáveis da equação 1 e substi-tuindo-se na segunda, vem:

12

1,081,06

CC ×= ⇒ C C

11108

106300000+

×=

,,

⇒

106 108 300000 1061 1, , ,× + × = ×C C ⇒ 2,14 x C1 = 318000 ⇒ C1 = 148.598,13 ⇒ C2 = 300000 - 148598,13 = 151.401,87 Resposta: letra e 04) CEF/1998 (FCC) - Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num regime de capitalização com-posta. Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serão a) R$ 98,00 b) R$ 101,00 c) R$ 110,00 d) R$ 114,00 e) R$ 121,00


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Solução: C = 2.500,00; i = 2% a.m.; n = 2 meses; J = ? (Capitalização Composta) A fórmula do Montante no regime de capi-

talização composta é: ( )M C i n= +. 1

Entretanto, o problema solicita que se cal-cule os Juros. Não há uma fórmula especí-fica para o cálculo direto dos juros em ca-pitalização composta. Podemos deduzi-la, associando a fórmula acima a: M = C + J. Mas não há muita utilidade nisto. Calcula-remos, então, separadamente o valor do montante com a primeira fórmula, e, pos-teriormente, o valor dos juros com a segunda... M = 2500 . (1 + 0,02)2 ⇒ M = 2500 .

1,022 ⇒ M = 2500 . 1,0404 ⇒ M = 2601.

M = C + J ⇒ J = M - C ⇒ J = 2601 - 2500 ⇒ J=101

Resposta: letra b 05) CEF/1998 (FCC) - Pretendendo guar-dar uma certa quantia para as festas de fim de ano, uma pessoa depositou R$ 2.000,00 em 05/06/97 e R$ 3.000,00 em 05/09/97. Se o banco pagou juros com-postos à taxa de 10% ao trimestre, em 05/12/97 essa pessoa tinha um total de a) R$ 5 320,00 b) R$ 5 480,00 c) R$ 5 620,00 d) R$ 5 680,00 e) R$ 5 720,00 Solução: Dados: C1 = 2000 n1 = 2 trimestres C2 = 3000 n2 = 1 trimestre i = 10% ao trimestre Utilizando a fórmula do montante no re-gime de juros compostos (ver problema anterior), para os dois depósitos, vem: M = 2000 . (1,1)2 + 3000 . (1,1)1 ⇒ M = 2000 . 1,21 + 3000 . 1,1 ⇒ M = 2420 + 3300 ⇒ M = 5720 Resposta: letra e 06) PMPA/1993 (PMPA) - Um capital de CR$ 50.000,00, aplicado a juros compos-tos, à taxa de 26% ao mês, produzirá um

montante de CR$ 126.023,60 no prazo de: Observação: Se necessário, utilize a tabe-la seguinte:

n 1,26n 1 1,26000 2 1,58760 3 2,00038 4 2,52047 5 3,17580 6 4,00150 7 5,04190 8 6,35279 9 8,00451

a) 2 meses b) 2 meses e meio c) 3 meses d) 4 meses e) 6 meses Solução: Fórmula para cálculo do Montante a juros compostos: M C i n= +.( )1 . Substituindo-se os dados do problema na fórmula (C = 50000; M = 126033,60; i = 26% a.m.): LEMBRE-SE de que a TAXA deve estar na forma UNITÁRIA para ser substituída na fórmula! 126023 60 50000 1 0 26, .( , )= + n ⇒

( ) ( )126 126023 6050000

126 2 520472, , , ,n n= ⇒ = .

Agora, buscamos este valor (ou o MAIS PRÓXIMO dele possível) na tabela dada. Assim procedendo, encontramos o valor de “n”: n = 4 Resposta: letra d.

TESTES PROPOSTOS: 01) A aplicação de R$ 5.000 à taxa de juros compostos de 20% a.m. irá gerar, após 4 meses, o montante de: a) R$ 10.358,00 b) R$ 10.368,00 c) R$ 10.378,00 d) R$ 10.388,00 e) R$ 10.398,00 02) Um investidor aplicou a quantia de R$ 20.000,00 à taxa de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital irá gerar após 3 meses? a) R$ 26.420,00


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b) R$ 26.520,00 c) R$ 26.620,00 d) R$ 26.720,00 e) R$ 26.820,00 03) Um capital de US$ 2,000.00, aplicado à taxa de 5% a.m., em 1 ano produz um montante de: Dado: (1,05)12 = 1,79586 a) US$ 3.291,72 b) US$ 3.391,72 c) US$ 3.491,72 d) US$ 3.591,72 e) US$ 3.691,72 04) A aplicação de um capital de Cz$ 10.000,00, no regime de juros compostos, pelo período de três meses, a uma taxa de 10% ao mês, resulta, no final do ter-ceiro mês, num montante acumulado: a) de Cz$ 3.000,00 b) de Cz$ 13.000,00 c) inferior a Cz$ 13.000,00 d) superior a Cz$ 13.000,00 e) menor do que aquele obtido por juros simples 05) Um investidor aplicou a quantia de CR$ 100.000,00 à taxa de juros compos-tos de 10% a.m. Que montante este capi-tal irá gerar após 4 meses? a) CR$ 140.410,00 b) CR$ 142.410,00 c) CR$ 144.410,00 d) CR$ 146.410,00 e) CR$ 148.410,00 06) A caderneta de poupança remunera seus aplicadores à taxa nominal de 6% a.a., capitalizada mensalmente, no regime de juros compostos. Qual é o valor do juro obtido pelo capital de R$ 80.000,00 du-rante 2 meses? a) R$ 801,00 b) R$ 802,00 c) R$ 803,00 d) R$ 804,00 e)R$ 805,00 07) AFC/1993 (ESAF) - Um título de valor inicial CR$ 1.000,00 vencível em um ano com capitalização mensal a uma taxa de juros de 10% ao mês, deverá ser resga-tado um mês antes do seu vencimento.

Qual o desconto comercial simples à mesma taxa de 10% ao mês? a) CR$ 313,84 b) CR$ 285,31 c) CR$ 281,26 d) CR$ 259,37 e) CR$ 251,81 08) AFTN/1985 (ESAF) - Um capital de Cr$ 100.000 foi depositado por um prazo de 4 trimestres à taxa de juros de 10% ao trimestre, com correção monetária trimes-tral igual à inflação. Admitamos que as taxas de inflação trimestrais observadas foram de 10%, 15%, 20% e 25% respec-tivamente. A disponibilidade do depositan-te ao final do terceiro trimestre é de, a-proximadamente: a) Cr$ 123.065 b) Cr$ 153.065 c) Cr$ 202.045 d) Cr$ 212.045 e) Cr$ 222.045 09) AFCE/1995 (ESAF) - Para que se ob-tenha R$ 242,00 ao final de seis meses, a uma taxa de juros de 40% a.a., capitali-zados trimestralmente(*), deve-se inves-tir hoje a quantia de: a) R$ 171,43 b) R$ 172,86 c) R$ 190,00 d) R$ 200,00 e) R$ 220,00 (*) Ver o capítulo sobre taxas, a seguir. 10) BB/1998 (CESGRANRIO) - Um inves-tidor dispunha de R$ 300.000,00 para a-plicar. Dividiu esta aplicação em duas par-tes. Uma parte foi aplicada no banco alfa, à taxa de 8% ao mês, e a outra parte no banco Beta, à taxa de 6% ao mês, ambas em juros compostos. O prazo de ambas as aplicações foi de 1 mês. Se, após este prazo, os valores resgatados forem iguais nos dois bancos, os valores de aplicação, em reais, em cada banco, foram, respec-tivamente: a) 152.598,13 e 147.401,87 b) 151.598,13 e 148.401,87 c) 150.598,13 e 149.401,87 d) 149.598,13 e 150.401,87 e) 148.598,13 e 151.401,87


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11) BB/1998 (CESGRANRIO) - Um aplica-dor aplica R$ 10.000,00 em um CDB do Banco do Brasil, de 30 dias de prazo e uma taxa prefixada de 3% ao mês. Consi-derando o Imposto de Renda de 20% no resgate, o valor líquido a ser resgatado pelo aplicador, em reais, e a taxa de ren-tabilidade efetiva da aplicação são, res-pectivamente: a) 10.300,00 e 2,40% b) 10.240,00 e 2,45% c) 10.240,00 e 2,40% d) 10.240,00 e 2,35% e) 10.200,00 e 2,35% 12) CEF/1998 (FCC) - Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num regime de capitalização com-posta. Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serão a) R$ 98,00 b) R$ 101,00 c) R$ 110,00 d) R$ 114,00 e) R$ 121,00 13) CEF/1998 (FCC) - Pretendendo guar-dar uma certa quantia para as festas de fim de ano, uma pessoa depositou R$ 2.000,00 em 05/06/97 e R$ 3.000,00 em 05/09/97. Se o banco pagou juros com-postos à taxa de 10% ao trimestre, em 05/12/97 essa pessoa tinha um total de a) R$ 5 320,00 b) R$ 5 480,00 c) R$ 5 620,00 d) R$ 5 680,00 e) R$ 5 720,00 14) BB/1999 (CESPE-UnB) - Na tabela abaixo, que apresenta três opções de um plano de previdência privada com inves-timentos mensais iguais por um período de 10 anos, a uma mesma taxa de juros, capitalizados mensalmente, o valor de x será

Valor (em reais) investido men-

salmente a receber após

10 anos 200,00 41.856,00 500,00 104.640,00

1.000,00 X a) inferior a R$ 200.000,00.

b) superior a R$ 200.000,00 e inferior a R$ 205.000,00. c) superior a R$ 205.000,00 e inferior a R$ 210.000,00. d) superior a R$ 210.000,00 e inferior a R$ 215.000,00. e) superior a R$ 215.000,00. 15) PMPA/1993 (PMPA) - Um capital de CR$ 50.000,00, aplicado a juros compos-tos, à taxa de 26% ao mês, produzirá um montante de CR$ 126.023,60 no prazo de: Observação: Se necessário, utilize a tabe-la seguinte: n 1,26n 1 1,26000 2 1,58760 3 2,00038 4 2,52047 5 3,17580 6 4,00150 7 5,04190 8 6,35279 9 8,00451

a) 2 meses b) 2 meses e meio c) 3 meses d) 4 meses e) 6 meses 16) PMPA/1993 (PMPA) - Urna inflação mensal de 26% acarreta uma inflação a-cumulada no semestre, aproximadamen-te, igual a: Observação: Se necessário, utilize a tabe-la da questão anterior. a) 156% b) 200% c) 250% d) 300% e) 400% 17) TCDF/1994 (CESPE-UnB) - No Brasil, as cadernetas de poupança pagam, além da correção monetária, juros compostos à taxa nominal de 6% a.a., com capitaliza-ção mensal. A taxa efetiva bimestral é, então, de: a) 1,00025% b) 1,0025% c) 1,025%


21

d) 1,25% e) 12,5% 18) BACEN/1994 (ESAF) - A taxa de 30% ao trimestre, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva bimestral de: a) 20% b) 21% c) 22% d) 23% e) 24% 19) AFTN/1991 (ESAF) - Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês, ren-dendo uma taxa de 1% ao dia útil, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis, no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado mais: a) 20,324% b) 19,6147% c) 19,196% d) 18,174% e) 18% 20) TCU/1992 (ESAF) - Um certo tipo de aplicação duplica o valor da aplicação a cada dois meses. Essa aplicação renderá 700% de juros em: a) 5 meses e meio b) 6 meses c) 3 meses e meio d) 5 meses e) 3 meses 21) AFTN/1996 (ESAF) - A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal, é equivalente a uma taxa trimestral de: a) 60,0% b) 66,6% c) 68,9% d) 72,8% e) 84,4% 22) AFTN/1996 (ESAF) - Uma empresa aplica $ 300 à taxa de juros compostos de 4% ao mês por 10 meses. A taxa que mais se aproxima da taxa proporcional mensal dessa operação é: a) 4,60% b) 4,40% c) 5,00% d) 5,20% e) 4,80%

23) TCDF/1995 (CESPE-UnB) - A renda nacional de um país cresceu 110% em um ano, em termos nominais. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi de 100%. O crescimento da renda real foi então de: a) 5% b) 10% c) 15% d) 105% e) 110% Gabarito 1 - b

2 - c

3 - d

4 - d

5 - d

6 - b

7 - a

8 - c

9 - d

10 - e

11 - c

12 - c

13 - e

14 - c

15 - d

16 - d

17 - b

18 - b

19 - b

20 - b

21 - d

22 - e

23 - a

OVER A taxa de “Over Night”, mais comumente chamada de taxa de “over”, é a taxa de juros de um dia útil, multiplicada por 30 (convenção de mercado, pois um mês tem 23 dias úteis). É uma forma de expressar a taxa de juros muito usada no mercado financeiro, mais especificamente no mer-cado aberto (open market) Muitos produtos do mercado tem sua rentabilidade ou custo expresso na taxa de OVER (exemplo, CDI, HOT MONEY). Toda taxa nominal “over’ deve informar o número de dias úteis que os juros serão capitalizados de forma que se possa apurar a taxa efetiva do período. Exemplo Suponha que a taxa “over” em determi-nado momento esteja definida em 5,4% a.m.. No período de referência da taxa, estão previstos 22 dias úteis. Qual a taxa efetiva do período? Solução Como a taxa “over” é geralmente definida por juros simples (taxa nominal), a taxa diária atinge:


22

%18,0

30%4,5

==i ao dia

taxa nominal Sabendo que no período de refe-rência dessa taxa existem 22 dias úteis, a taxa efetiva é obtida pela capacitação composta, ou seja: i = (1 + 0,0018)22 – 1 = 4,04% a.m. Em outras palavras, pode-se con-cluir que 4,04% representam a taxa efeti-va para 22 dias úteis, ou mesmo para os 30 dias corridos do mês. Em resumo, os procedimentos de apurar a taxa efetiva dada uma taxa no-minal de juros “over” são os seguintes: Dividir a taxa de “over” geralmente men-sal, pelo número de dias corridos no perí-odo para se obter a taxa nominal diária; Capitalizar a taxa diária pelo número de dias úteis previsto na operação. A expressão básica de cálculo da taxa efe-tiva é:

1

301)( −

+=

duoverefetivai

sendo: “over” a taxa nominal mensal “o-ver”, du o número de dias úteis previsto no prazo da operação. Por outro lado, muitas vezes é inte-ressante transformar uma taxa efetiva em taxa de “over”. No exemplo acima, foi de-finida uma taxa nominal “over” de 5,4% a.m. para um período com 22 dias úteis. Com isso, calculou-se a taxa efetiva de 4,04% a.m.. Se fosse dada a taxa efetiva para se transformar em “over”, o procedimento de cálculo seria o inverso, ou seja:

Descapitalizar exponencialmente a taxa efetiva para cada dia útil pre-visto na operação;

Por ser nominal, e definida men-salmente, a taxa “over” é obtida pelo produto da taxa descapitaliza-da pelo número de dias corridos do mês.

Aplicando-se esses procedimentos na ilus-tração, tem-se: i = 4,04% ao mês du = 22 dias úteis

1)0404,1( 221

−=i = 0,18% ao dia útil OVER = 0,18% x 30 = 5,4% a.m. A formula de cálculo da taxa “over”, dada uma taxa efetiva de juros, pode ser de-senvolvida da seguinte forma:

( ) 30111

xiover du

−+=

Substituindo os valores ilustrativos acima, chega-se aos 5,4% a.m., ou seja:

( ) 3010404,1 221

xover

−=

= 5,4% a.m.

DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES

Taxa de desconto, cálculo do valor do desconto e cálculo do valor descon-tado (valor presente); taxa efetiva ou implícita em juros compostos da operação de desconto bancário simples; utilização de tabelas para cálculos. É a operação de crédito em que são negociados títulos mediante o abatimen-to, no ato, de um percentual. VALOR NOMINAL é o valor ex-presso no título. VALOR ATUAL é o Valor Nominal menos o desconto. VALOR LÍQUIDO é o valor efeti-vamente pago ao emitente do título. A fórmula básica do desconto é d VN i n= . .


23

VALOR ATUAL = VALOR NOMI-NAL– DESCONTO VA = VN - d Substituindo o "d" pela sua fórmula: VA = VN - VN.i.n Colocando VN em evidência, che-ga-se à fórmula básica do Valor Atual: VA VN in= −( )1 Exemplo Qual o Valor Atual de títulos que perfazem o total de R$ 100,00, desconta-dos à taxa de 2%a.m. e prazo de 30 di-as? VA = 100,00 (1 - 0,02.1) VA = 100,00 (0,98) = 98,00 Exemplo com prazo fracionário Qual o Valor Atual dos títulos que perfazem o total de R$ 100,00, desconta-dos à taxa de 2%a.m. e prazo de 36 di-as? VA = 100,00 (1 - 0,02 . 36/30) VALOR NOMINAL

VN VAin

=−( )1

Utilizando os dados do exemplo anterior: 97,60 VN = --------------------- = 100,00 (1 - 0,02 . 36/30) TAXA

i

VAVNn

=−1

Utilizando os dados do proble-ma anterior: 97,60 1 - --------- 100,00 i = ------------- = 2%a.m. 36/30 PRAZO

n

VAVNi

=−1

Utilizando os dados do problema an-terior: 97,60 1 - ------ 100,00 n = ------------ = 1,2 meses (visto a taxa ser

0,02 mensal)

Se 1 mês tem 30 dias 1,2 meses terá x dias Sendo o prazo médio dos títulos de 24 dias, o somatório dos seus valores R$ 1.050,00 e a taxa de 1,4%a.m., qual será o Valor Atual? VA = 1.050 (1 - 0,014 . 24/30) = 1.038,24 Por quanto tempo serão descontados títu-los que perfazem R$ 5.540,00, desconta-dos à taxa de 2,2%a.m., se o Valor Atual for de R$ 5.401,87? 5.401,86 1 - ------------ 5.540,00 n = ----------------- = 1,1334099 0,022

Desconto Simples

X = 30 x 1,2 / 1 = 36 dias

Se 1 mês tem 30 dias 1,1334099 terá x dias 1,1334099 x 30 = 34 dias


24

Desconto Comercial ou “por fora” Denomina-se Desconto Comercial

Simples de um título de crédito aos juros simples calculados sobre seu valor Nomi-nal.

Fórmulas

CD N d n= ⋅ ⋅

onde: DC é o desconto; N é o va-

lor nominal do título, d é a taxa de des-conto e n é o prazo de antecipação do título

C CA N D= −

onde: AC é o valor atual comerci-

al; N é o valor nominal do título, DC é o desconto comercial.

Por uma simples manipulação al-

gébrica, podemos “reunir” as duas fórmu-las acima:

( )1CA N d n= ⋅ − ⋅

LEMBRE-SE das observações feitas no capítulo de juros simples (elas valem para qualquer problema de Matemática Financeira): 1. Taxa e o prazo devem estar

SEMPRE na mesma referência de tempo

2. A taxa deve estar na forma U-NITÁRIA.

Exemplos: 1) Qual é o desconto comercial (ou

bancário) sobre um título de R$ 5.000,00, resgatado 2 meses antes do seu venci-mento à taxa de 6% a.m.?

Solução: Dados: N = 5000 n = 2 meses i = 6% ao mês DC = ? Temos taxa e prazo em meses →

não é necessário fazer transformações de unidades!

Fórmula: CD N d n= ⋅ ⋅

65000 2 600100CD = ⋅ ⋅ =

DC = 600 Resposta: R$ 600,00 2) Calcular o valor atual comercial

de um título cujo valor nominal é R$ 1.200,00 à taxa de 15% a.a., descontado 8 meses antes do vencimento.

Solução: Dados: N = 1200 n = 8 meses i = 15% a.a. AC = ? Temos taxa ao ano e prazo em

meses → iremos converter o prazo para “ano”, por meio de uma regra de três simples:

1 ano 12 meses x 8 meses

8 2

12 3x = = ano

Podemos realizar os cálculos de

duas formas: (1) calculamos o valor do desconto, e, a seguir, o valor atual (sub-traindo o desconto do valor nominal do título); (2) calculamos o valor atual dire-tamente pela fórmula (6.2.3).

Utilizaremos o procedimento dado em (1):

Fórmulas: CD N d n= ⋅ ⋅ e

C CA N D= −

15 21200 120100 3CD = ⋅ ⋅ =

AC = 1200- 120 = 1080 Resposta: R$ 1.080,00 3) Uma promissória foi descontada

à taxa de 45% a.a., 1 mês e 12 dias antes de seu vencimento. Qual o valor nominal desse título se o desconto comercial foi de R$ 105,00.


25

Solução: Dados: DC = 105 n = 1 mês 12 dias i = 45% a.a. N = ? O prazo de antecipação não está

compatível, em unidade de tempo, com a taxa. Temos aqui: n = (30 + 12) dias, ou n = 42 dias. Por meio de uma regra de três, passaremos esse prazo para “ano”:

1 ano 360 dias x 42 dias

42 7

360 60x = = ano

Fórmula: CD N d n= ⋅ ⋅

45 7 3 7105 105

100 60 100 421 105 400105 2000

400 21

N N

N N N

= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

⋅= ⋅ ⇒ = ⇒ =

Resposta: R$ 2.000,00

QUESTÃO DE CONCURSO (RESOLVI-DA)1 01) TFC/2001 (ESAF) - Um título de valor nominal de R$ 10.000,00, a vencer exa-tamente dentro de 3 meses, será resgata-do hoje, por meio de um desconto comer-cial simples a uma taxa de 4% ao mês. O desconto obtido é de a) R$ 400,00 b) R$ 800,00 c) R$ 1.200,00 d) R$ 2.000,00 e) R$ 4.000,00 Solução: Um problema de aplicação direta da fór-mula do Desconto Comercial Simples:

. .CD N d n= , onde:

DC é o desconto comercial simples; N é o valor nominal do título; d é a taxa de des-

1 Teste extraído do livro: MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - 500 questões de concursos resolvidas e comen-tadas, de autoria do prof. Milton Araújo.

conto; n é o prazo de antecipação. Te-mos: N = 10000; n = 3 meses; d = 4% ao mês.

410000 3 1200100CD = × × =

Resposta: letra c.

TESTES PROPOSTOS: 01) Uma duplicata foi descontada por fo-ra, 3 meses e 10 dias antes do seu ven-cimento, à taxa de 10% a.m., produzindo um desconto de R$ 40,00. O valor nomi-nal da duplicata era (R$): a) 120 b) 100 c) 90 d) 110 e) 80 02) Um título com valor de face de R$ 240,00 foi descontado a 4,5% a.m., 6 meses antes de seu vencimento. Qual o valor do desconto? (R$) a) 63,60 b) 64,80 c) 62,00 d) 65,60 e) 65,00 03) Uma duplicata foi resgatada em 16/09/99, quando seu vencimento estava marcado para 10/11/99. O desconto foi de R$ 440,00 e a taxa foi de 6% a.m. O valor nominal da duplicata é (R$): a) 2000 b) 2500 c) 3000 d) 4000 e) 3500 04) Um título com vencimento em 04/08/01 foi descontado em 12/05/01, a uma taxa de 5% a.m. O valor nominal do título era R$ 3.500,00. Nestas condições, seu valor atual é (R$): a) 2830 b) 2960 c) 3200 d) 3000 e) 3010 05) Uma duplicata foi descontada 1 mês e 18 dias antes do vencimento, à taxa de 4,5% a.m. O valor líquido foi de R$ 203,00. Então, o valor de face da duplica-ta era de (R$): a) 220,00 b) 219,65 c) 199,50 d) 210,00 e) 218,75 06) Em 25/07/99, descontou-se em um banco uma duplicata de R$ 600,00, cujo vencimento era para 23/10/99. A taxa da operação foi de 48% a.a. Nesta condições, qual foi o valor líquido do título? (R$) a) 480,00 b) 528,00


26

c) 400,00 d) 426,00 e) 540,00 07) Jaime descontou duas duplicatas em um banco, à uma taxa de 15% a.a. A primeira venceria em 9 meses e a segun-da em 5 meses e 10 dias, sendo essa úl-tima de valor nominal 50% superior à primeira. O total dos descontos foi de R$ 382,50. Qual era o valor nominal do título que produziu o maior desconto? (R$) a) 1.500 b) 2.000 c) 1.200 d) 2.400 e) 1.800 08) Um título de R$ 5.000,00 foi descon-tado por R$ 3.000,00, à uma taxa de 120% a.m. Qual foi o prazo de antecipa-ção? a) 8 dias b) 10 dias c) 12 dias d) 9 dias e) 11 dias 09) Uma promissória de R$ 200,00 foi descontada por R$ 120,00, 4 meses antes do seu vencimento. A taxa mensal da o-peração é: a) 12% b) 15% c) 10% d) 18% e) 20% 10) João descontou 2 duplicatas em um banco. A primeira, de R$ 560,00, com vencimento para 35 dias e a segunda, de R$ 450,00, para vencimento em 40 dias. O valor atual da primeira superou o da segunda em R$ 109,60. A taxa de descon-to foi de: a) 15% a.a. b) 18% a.a. c) 9% a.a. d) 24% a.a. e) 12% a.a. 11) Um título de valor nominal R$ 12.000,00 sofre um desconto à taxa de 6% a.a., 120 dias antes do vencimento. Qual o valor do desconto? (R$) a) 260 b) 300 c) 240 d) 850 e) 680 12) Qual o valor atual de uma duplicata que sofre um desconto por fora de R$ 500,00, a 50 dias de seu vencimento, à taxa de 3% ao mês? (R$) a) 9.500 b) 9.600 c) 10.500 d) 12.000 e) 10.000

13) Utilizando o desconto bancário, o va-lor que deve ser pago por um título com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de $ 295,00 e com taxa de 36% ao ano, é de: a) 240,00 b) 275,00 c) 188,00 d) 241,90 e) 250,00 Gabarito 1 - b

2 - b

3 - d

4 - e

5 - e

6 - b

7 - e

8 - b

9 - c

10 - c

11 - c

12 - a

13 - d

Desconto Racional ou “por dentro” O Desconto Racional Simples é calculado sobre seu valor Atual. Fórmulas

( )1RN i nDi n

⋅ ⋅=

+ ⋅

onde: DR é o desconto; N é o valor nomi-nal do título, i é a taxa de juros e n é o prazo de antecipação do título

R RA N D= −

onde: AR é o valor atual racional; N é o valor nominal do título, DR é o desconto racional. Por uma simples manipulação algébrica, podemos “reunir” as duas fórmulas acima:

( )1RNAi n

=+ ⋅

LEMBRE-SE das observações feitas no capítulo de juros simples):

1. Taxa e o prazo devem estar SEM-PRE na mesma referência de tempo 2. A taxa deve estar na forma UNITÁ-RIA. Exemplos: 1) Qual é o desconto sobre um título de R$ 1.500,00, resgatado 9 meses antes do seu vencimento à taxa de juros 6% a.a.?


27

Solução: Observe que a taxa dada foi de JUROS, o que nos leva a calcular o Des-conto RACIONAL. Dados: N = 1500 n = 9 meses i = 6% a.a. DR = ? Temos taxa ao ano e prazo em meses → por meio de uma regra de três, encon-tramos n = 3/4 ano.

Fórmula: ( )1RN i nDi n

⋅ ⋅=

+ ⋅

( )1500 0,06 0,75 64,59

1 0,06 0,75RD⋅ ⋅

= =+ ⋅

Resposta: DR = R$ 64,59 2) Calcular o valor atual racional de uma dívida de R$ 1.500,00 à taxa de 6% a.a., vencível em 9 meses. Solução: Dados: N = 1500 n = 9 meses (0,75 ano) i = 6% a.a. AR = ? Temos taxa ao ano e prazo em meses → iremos converter o prazo para “ano”, por meio de uma regra de três simples:

1 ano 12 meses x 9 meses

9 3 0,75

12 4x = = = ano

Fórmula: ( )1RNAi n

=+ ⋅

( )1500 1435, 41

1 0,06 0,75RA = ≅+ ⋅

Resposta: R$ 1.435,41 Observação: Associa-se o Desconto Comercial à taxa de desconto, enquan-to que o Desconto Racional está ligado à taxa de juros.

Taxa Implícita de Juros do Desconto Bancário Um título é descontado num banco três meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto definida pelo banco é de 3,3 % ao mês. Sendo de R$ 25.000,00 o valor nominal desse título, e sabendo-se que o banco trabalha com o sistema de desconto por fora, pede-se calcular a taxa implícita de juros simples desta operação. O desconto simples, racional ou comercial são aplicados somente aos títulos de cur-to prazo, geralmente inferiores a 1 ano. Quando os vencimentos têm prazos lon-gos, não é conveniente transacionar com esses tipos de descontos, porque podem conduzir a resultados que ferem o bom senso. Observe o exemplo: Exemplo Calcular o desconto comercial de um títu-lo de R$ 100.0000,00 com resgate para 5 anos, à taxa de 36% ao ano. SOLUÇÃO Fórmula: d = N i n N = R$ 100.000,00 i = 36% a.a. = 0,36 a.a. n= 5 anos d = 100.000 . 0,36 . 5 = 180.000

ANUIDADES (SÉRIE DE PAGA-MENTOS IGUAIS)

Postecipadas, antecipadas e diferidas; cálculo do valor atual, da prestação e da taxa de juros; utilização de tabelas para cálculos. Anuidades ou rendas certas é o nome que se dá aos pagamentos sucessivos tanto a nível de financiamentos quan-to de investimentos. Se a renda possui um número finito de termos será chamada de temporária caso contrário é chamada de permanente. Ape-sar da opinião de alguns mutuários da Caixa Econômica , o financiamento da ca-sa própria é temporária, apesar de ter um termo de conclusão bem longo.


28

Se os termos da renda certa forem iguais é chamada de renda certa de termo cons-tante ou renda certa uniforme; senão é uma renda certa de termo variável. Quan-do o período entre as datas corresponden-tes aos termos tiverem o mesmo intervalo de tempo , diz-se que a renda certa é pe-riódica ; caso contrário é não periódica. Exemplo: Um financiamento de casa própria é um caso de renda certa temporária, de termo variável (sujeito à variação da TR) e peri-ódica. Um financiamento de eletrodoméstico é um caso de renda certa temporária, de termo constante (você sabe quanto paga-rá de juros) e periódica. Já a caderneta de poupança pode se con-siderar como um caso de renda certa per-pétua (pelo menos enquanto o dinheiro estiver à disposição para aplicação ), de termo variável e periódica. Bico, como pode ver. E já que é bico, mais algumas definições: As rendas periódicas podem ser divi-didas em :

Postecipadas Antecipadas

Diferidas

As Postecipadas São aquelas na qual o pagamento no fim de cada período e não na origem. Exem-plo: pagamento de fatura de cartão de crédito As Antecipadas São aquelas na qual os pagamentos são feitos no início de cada período respectivo. Exemplo: financiamentos com pagamento à vista As Diferidas

São aquelas na qual o primeiro pagamen-to é feito após um determinado período. Exemplo: promoções do tipo, compre hoje e pague daqui a x dias A diferença entre esses e os casos de Renda Certa , é que nesse útimo você cal-cula quanto teve de juros , sobre uma ba-se de cálculo fixa, podendo a mesma ser dividida em n parcelas; no caso dos Juros Compostos e Descontos Compostos, a ba-se de cáculo varia por período. Calculando Valor Atual em casos de Rendas Certas Para se calcular o Valor Atual num caso de Rendas Certas, a fórmula a ser utilizada depende de ser postecipada , antecipada ou diferida. Assim , se for: Postecipada a fórmula é : V=T.an¬i Antecipada a fórmula é : V=T+T.an-1¬i Diferida a fórmula é : V=T.an¬i/(1+i)m

m é sempre uma unidade menor do que a se deseja calcular, ou seja, se a venda é diferida de 3 meses, m será 2 . Para saber o valor de an¬i , você pode: -usar as tabelas -calcular usando a fórmula (1+i)n-1/i(1 + i)n. Tabelas de Fatores As tabelas abaixo relacionadas estão dis-poníveis para valores de i de 1 a 10% e de n de 1 a 10.


29

Fator de Acumulação de Capital an= (1+i)n

Fator de Valor Atual de uma série de Pagamentos an¬i=(1+i)n-1 / i*(1+i)n

Fator de Acumulação de Capital de uma série de Pagamentos

Sni = (1+i)n-1 / i

n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 1,01000 1,02000 1,03000 1,04000 1,05000 1,06000 1,07000 1,08000 1,09000 1,10000

2 1,02010 1,04040 1,06090 1,08160 1,10250 1,12360 1,14490 1,16640 1,18810 1,21000

3 1,03030 1,06121 1,09273 1,12486 1,15763 1,19102 1,22504 1,25971 1,29503 1,33100

4 1,04060 1,08243 1,12551 1,16986 1,21551 1,26248 1,31080 1,36049 1,41158 1,46410

5 1,05101 1,10408 1,15927 1,21665 1,27628 1,33823 1,40255 1,46933 1,53862 1,61051

6 1,06152 1,12616 1,19405 1,26532 1,34010 1,41852 1,50073 1,58687 1,67710 1,77156

7 1,07214 1,14869 1,22987 1,31593 1,40710 1,50363 1,60578 1,71382 1,82804 1,94872

8 1,08286 1,17166 1,26677 1,36857 1,47746 1,59385 1,71819 1,85093 1,99256 2,14359

9 1,09369 1,19509 1,30477 1,42331 1,55133 1,68948 1,83846 1,99900 2,17189 2,35795

10 1,10462 1,21899 1,34392 1,48024 1,62889 1,79085 1,96715 2,15892 2,36736 2,59374

11 1,11567 1,24337 1,38423 1,53945 1,71034 1,89830 2,10485 2,33164 2,58043 2,85312

n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,9090912 1,970395 1,941561 1,913470 1,886095 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,7355373 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,4868524 3,901966 3,807729 3,717098 3,629895 3,545951 3,465106 3,387211 3,312127 3,239720 3,1698655 4,853431 4,713460 4,579707 4,451822 4,329477 4,212364 4,100197 3,992710 3,889651 3,7907876 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766540 4,622880 4,485919 4,3552617 6,728195 6,471991 6,230283 6,002055 5,786373 5,582381 5,389289 5,206370 5,032953 4,8684198 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971299 5,746639 5,534819 5,3349269 8,566018 8,162237 7,786109 7,435332 7,107822 6,801692 6,515232 6,246888 5,995247 5,759024

10 9,471305 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023582 6,710081 6,417658 6,144567

n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000

2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 2,050000 2,060000 2,070000 2,080000 2,090000 2,100000

3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 3,152500 3,183600 3,214900 3,246400 3,278100 3,310000

4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,310125 4,374616 4,439943 4,506112 4,573129 4,641000

5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416323 5,525631 5,637093 5,750739 5,866601 5,984711 6,105100

6 6,152015 6,308121 6,468410 6,632975 6,801913 6,975319 7,153291 7,335929 7,523335 7,715610

7 7,213535 7,434283 7,662462 7,898294 8,142008 8,393838 8,654021 8,922803 9,200435 9,487171

8 8,285671 8,582969 8,892336 9,214226 9,549109 9,897468 10,259803 10,636628 11,028474 11,435888

9 9,368527 9,754628 10,159106 10,582795 11,026564 11,491316 11,977989 12,487558 13,021036 13,579477

10 10,462213 10,949721 11,463879 12,006107 12,577893 13,180795 13,816448 14,486562 15,192930 15,937425


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EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

Valor atual de um fluxo de caixa; flu-xos de caixa equivalentes entre si; utilização de tabelas para cálculos.

No juro simples ser equivalente é ser proporcional, ou seja 12% a.a. é equiva-lente e é proporcional a 1% a.m., considerando as demais variáveis constantes (Ceteris Paribus para a turma de Economia). Neste caso o valor nominal é também o valor efetivo.

$ 166,32 aplicado durante 2 anos a uma taxa de 12% a.a. -> j = cit => j = 166,32 x (12÷ 100) x 2 = 39,9168. $166,32 aplicado durante 2 anos a uma taxa de 1% a.m. -> j = cit => j = 166,32 x (1÷ 100) x (2x12) = 39,9168. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS – usar qualquer data focal para se efetuar a equivalência - dois esquemas financeiros são ditos equivalente, a uma determinada taxa de juros simples ou composta, quan-do apresentam o mesmo valor atual, a mesma taxa de juros, na data focal escolhida. - não esquecer que para se analisar fluxos diferentes, o A= N / ( 1 + i ) n , ou seja, quanto maior for o expoente, maior será o divisor e menor será o valor atual. Portan-to , em mesmos casos de prazo, quanto menor for o valor de N menos isto influen-ciará. O fluxo com as maiores parcelas iniciais terá o maior valor presente inicial. - quando se quer pôr um número x de parcelas e quer que fique um outro número, basta multiplicar pelo fator de acumulação quando quer ir para uma data focal maior e dividir pelo fator quando quer uma data focal menor, sendo que na ida usa a taxa

do juros e na volta o juros do descon-to -quando quero transformar várias parce-las em 1 só, o macete é quando vai para frente ( data focal posterior) usar sn¬i , quando vai para trás ( data focal anterior) usar an¬i -rentabilidade é igual a taxas médias -montar sempre fluxos, e na hora, não esquecer de colocar ÍNICIO, FINAL. A data focal zero tem que ser analisada, não é sempre 0. VALOR ATUAL DE UM FLUXO DE CAI-XA No regime de capitalização composta, dois (ou mais) capitais são equivalentes com uma taxa dada, se seus valores, cal-culados em qualquer data (data focal), com essa taxa, forem iguais. Também nesse regime de capitalização podem-se ter capitais equivalentes com desconto comercial composto ou capitais equivalentes com juros compostos (ou desconto racional composto), conforme sistemática de cálculo usada na equiva-lência. Na prática apenas é utilizada a equivalên-cia com juros compostos. Suponham-se os capitais N1 e N2 dis-poníveis em datas que sucedem à data focal 0 de n1 e n2 períodos, respectiva-mente, e sejam A1 e A2 seus valores atu-ais calculados na data focal com taxa i. Se N1 e N2 são equivalentes, tem-se: A1 = A2 O diagrama representativo e as equações de equivalência serão os seguintes:


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para a equivalência feita com desconto comercial composto e:

para a equivalência feita com juros com-postos. Exemplo Um título no valor de R$ 50.000,00 para 30 dias foi trocado por outro, de R$

60.000 para 90 dias. Qual a taxa de des-conto comercial composto que foi utilizada para que esses títulos fossem considera-dos equivalentes?

N1 (1- i)n1 = N2 (1- i)n2 => 50.000 (1- i)1 = 60.000

(1-i)3 => => (1 – i)2 = 0,833 ... => i = 1 -

0,833 = 0,0871

Reposta: Foi utilizada a taxa de 8,71%

a.m. Estime o valor de x de modo a tornar os fluxos de caixa apresentados na tabela seguinte equivalentes na data focal seis. Considere uma taxa de juros compostos, igual a 18% ao período. Resposta. R$ 1.224,43.

João contraiu um empréstimo de $ 100,00 no Banco X, e pagará $ 108,00 daqui a dois meses. Então o fluxo de caixa será:

De acordo com o ponto de vista do João:

Recebeu $100,00 do banco

Terá que pagar, passados dois meses, $108,00 ao banco

Entrada de dinheiro

Desembolso

Seta para ci-ma

Seta para baixo

Ponto de vista do Banco X:

Entregou $100,00 ao João

Será ressarcido do emprés-timo, dentro de dois meses, de $108,00 pelo João.

Saída de di-nheiro

Entrada de dinheiro

Seta para baixo

Seta para cima

Observe que nesta situação temos: C = $ 100,00 M = $ 108,00 J = $ 8,00 i = 8% a.b. (ao bimestre ou bimestral) Exemplo Prático: Um carro que custa $ 50.000,00 é vendido a prazo, por cinco prestações mensais de $12.000,00, com a pri-meira prestação vencendo um mês após a compra. Então do ponto de vista do vendedor te-mos:

Período Fluxo 1

Período Fluxo 2

0 420,00 3 960,00

1 318,00 7 320,00

4 526,00 9 x


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Conforme se observa pelo fluxo de caixa, o vendedor percebe, na data "zero", a sa-ída do veículo e em contrapartida a entra-da, nos cinco períodos restantes, das prestações. Do ponto de vista do comprador:

O comprador recebe o carro na data "ze-ro" e posteriormente tem que quitar a sua dívida através de cinco prestações men-sais (saídas). Para realizarmos um demonstrativo de fluxo de caixa equivalentes entre si tere-mos que possur parâmetros para a proba-bilidade neutra ao risco e que podem ser inseridas na equação. Assim: p = (1.1 – 0.8) / (1.5 – 0.8) = 0.428 Quando se incluem os investimentos na árvore binomial estes devem ser seus e-quivalentes certos. Isto desde que todos os fluxos na árvore sejam descontados à taxa ajustada ao risco. É importante ob-servar que o investimento de $80 no ano2 é igual a um investimento de um equiva-lente certo de $73.2 quando são descon-tados usando suas taxas de desconto cor-respondentes, por 15% e 10% [80x(1.15) -2 = $60.5 o que é igual ao equivalente certo 60.5x(1.1) 2 =73.2, quando descontado à data zero]. Fluxo de caixa es-perado

Equivalente certo do fluxo de caixa

$30 $28.7 $80 $73.2

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES

Pagamento único, pagamento perió-dico de juros, amortizações iguais (SAC) e prestações iguais (PRICE).

Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reem-bolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que Sistema de Pagamento único Um único pagamento no final. Sistema Americano Pagamento no final com juros calculados período a período. Sistema de Amortização Constante (SAC): A amortização da dívida é constante e igual em cada período. Sistema Price ou Francês (PRICE): Os pagamentos (prestações) são iguais. Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amor-tizado com os juros do saldo devedor, isto é:

Pagamento = Amortização + Juros

Sistema de Pagamento Único O devedor paga o Montante=Capital + Juros compostos da dívida em um único pagamento ao final de n=5 períodos. O Montante pode ser calculado pela fórmula: M = C (1+i)n Uso comum: Letras de câmbio, Títulos descontados em bancos, Certificados a prazo fixo com renda final.

Sistema de Pagamento Único

Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor!


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n Juros

Amortizaçãodo

Saldo deve-dor

PagamentoSaldo de-

vedor

0 0 0 0 300.000,001 12.000,00 312.000,002 12.480,00 324.480,003 12.979,20 337.459,204 13.498,37 350.957,575 14.038,30 300.000,00 364.995,87 0

Totais64.995,87 300.000,00 364.995,87 Sistema Americano O devedor paga o Principal em um único pagamento no final e no final de cada pe-ríodo, realiza o pagamento dos juros do Saldo devedor do período. No final dos 5 períodos, o devedor paga também os ju-ros do 5º. período.

Sistema Americano

n Juros

Amortizaçãodo

Saldo deve-dor

PagamentoSaldo de-

vedor

0 0 0 0 300.000,001 12.000,00 12.000,00 300.000,002 12.000,00 12.000,00 300.000,003 12.000,00 12.000,00 300.000,004 12.000,00 12.000,00 300.000,005 12.000,00 300.000,00 312.000,00 0

Totais60.000,00 300.000,00 360.000,00 Sistema de Amortização Constante (SAC) O devedor paga o Principal em n=5 pa-gamentos sendo que as amortizações são sempre constantes e iguais. Uso comum: Sistema Financeiro da Habi-tação Sistema de Amortização Constante (SAC)

n Juros

Amortizaçãodo

Saldo deve-dor

PagamentoSaldo de-

vedor

0 0 0 0 300.000,001 12.000,00 60.000,00 72.000,00 240.000,002 9.600,00 60.000,00 69.600,00 180.000,00

3 7.200,00 60.000,00 67.200,00 120.000,004 4.800,00 60.000,00 64.800,00 60.000,00 5 2.400,00 60.000,00 62.400,00 0

Totais36.000,00 300.000,00 336.000,00 Sistema Price (Sistema Francês) Todas as prestações (pagamentos) são iguais. Uso comum: Financiamentos em geral de bens de consumo. Cálculo: O cálculo da prestação P é o pro-duto do valor financiado Vf=300.000,00 pelo coeficiente K dado pela fórmula

(1 )(1 ) 1

n

n

i iKi+

=+ −

onde i é a taxa ao período e n é o número de períodos. Para esta tabela, o cálculo fornece: P = K × Vf = 67.388,13

Sistema Price (ou Sistema Francês)

N Juros

Amortizaçãodo

Saldo deve-dor

PagamentoSaldo de-

vedor

0 0 0 0 300.000,001 12.000,00 55.388,13 67.388,13 244.611,872 9.784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,213 7.480,32 59.907,81 67.388,13 127.100,404 5.084,01 62.304,12 67.388,13 64.796,28 5 2.591,85 64.796,28 67.388,13 0

Totais36.940,65 300.000,00 336.940,65 Nomenclaturas usadas i = do inglês Interest , é usado para re-presentar os juros envolvidos em quais-quer operações financeiras. C = do inglês Capital , é usado para re-presentar o Capital utilizado numa aplica-ção financeira. M = do inglês aMount , é usado para re-presentar o Montante que é o resultado da soma do Capital com os juros.


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n = nesse caso é uma incógnita (quem aprendeu equações do segundo grau usou muitas incógnitas. Todos aqueles x, y, z são incógnitas.) referente ao período de tempo (dias, semanas, meses, anos...) de uma aplicação financeira. Lembre-se da expressão : "levou n dias para devolver o dinheiro..." a.d. = abreviação usada para designar ao dia a.m. = abreviação usada para designar ao mês a.a. = abreviação usada para designar ao ano d = do inglês Discount , é usado para re-presentar o desconto conseguido numa aplicação financeira. N = do inglês Nominal , é usado para representar o valor Nominal ou de face de um documento financeiro. A = do inglês Actual , é usado para repre-sentar o valor real ou atual de um docu-mento financeiro em uma determinada data. V = incógnita usada para representar o Valor Atual em casos de renda certa ou anuidades T = incógnita usada para representar o Valor Nominal em casos de renda certa ou anuidades an¬i = expressão que representa o fator de valor atual de uma série de pagamen-tos. Sn¬i = expressão que representa o fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos. Exemplo: Um carro é vendido a prazo em 12 paga-mentos mensais e iguais de $2.800,00 (num total de $ 36.000,00), sendo a pri-meira prestação no ato da compra, ou seja, o famoso " com entrada", ou ainda, um caso de renda certa antecipada. Sen-do que a loja opera a uma taxa de juros

de 8% a.m., calcule o preço à vista desse carro. Aplicando a fórmula: n = 12 T = 2800 V = 2800+2800.a11¬8% = $ 22.789,10 Calculando o Montante em casos de Rendas Certas Como você deve se lembrar , Montante nada mais é do que a somatória dos juros com o capital principal. No caso de rendas certas , a fórmula é dada por: M=T.Sn¬i Para saber o valor de Sn¬i você pode: -usar as tabelas -calcular usando a fórmula (1+i)n-1/i. Exemplo: Calcule o Montante de uma aplicação de $ 100,00 , feita durante 5 meses, a uma taxa de 10% a.m. Aplicando a fórmula (esse é um caso de postecipada, porque o primeiro rendimento é um mês após a aplicação) : n = 5 T = 100 i = 10% a.m. M = 100.S5¬10% = $ 610,51 Quando for uma situação de: antecipada: subtraia 1 de n diferenciada: após determinar Sn¬i, divi-da o resultado por (1+i)m

INFLAÇÃO

Taxas aparente, de correção monetá-ria e real (fórmula de Fisher); taxas de juros com correção pré e pós fixa-das; valores correntes e valores cons-tantes; cálculo da correção e de sal-dos corrigidos; utilização de tabelas para cálculos.


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Juros e Inflação As taxas geralmente praticadas no Merca-do são TAXAS APARENTES, que incluem o juros propriamente dito ( juros reais ) e a compensação da inflação ( correção mo-netária ). Para estabelecermos o relacionamento entre estes parâmetros , consideramos: i - taxa aparente ir - taxa real I - inflação Caso não houvesse inflação na economia a taxa aparente seria igual a taxa real : i = ir conseqüentemente: FV = PV (1+ir) = PV + PV × ir Havendo a inflação I%, ela atua como uma taxa de juros e o valor do nosso principal quando do recebimento será: PV* = PV (1+I) Aplicando a taxa de juros real ir em cima do principal corrigido: FV = PV* (1+ir) Pela substituição de PV* teríamos: FV = PV(1+I)(1+ir) Caso considerássemos uma taxa aparente de i% no mesmo negócio teríamos : FV* = PV(1+i) Os negócios seriam equivalentes quando: FV* = FV e conseqüentemente a taxa i seria equiva-lente a taxa ir "+" I PV(1+i)= PV(1+I )(1+ir) ou

(1+i)= (1+I)(1+ir) FORMULA (QUA-DRO 1) Fórmula que nos permite calcular a equi-valência das três taxas conhecendo-se as outras duas: Quadro 1

TAXA DE-SEJADA

TAXAS CO-NHECIDAS

FÓRMULA

I ir e I (1+i ) = (1+I )(1+ir )

Ir i e I (1+ir ) = (1+i) / (1+I )

I i e ir (1+I ) = (1+I ) / (1+ir )

Exemplo Qual a taxa aparente equivalente a uma taxa real de 1% e uma correção monetá-ria de 30% ? (1+i ) = (1 +0,30)(1 +0,01) = 1,313 ou 31, 3% CORREÇÃO MONETÁRIA REAL Como se calculam os juros reais? É possí-vel calcular juros reais sem uso de índices de preços? Afinal, o que significa o adjeti-vo "real" aposto à palavra "juro"? É claro que juros reais são os juros na ausência da inflação, ou seja, quando se corrige para os preços do "setor real" da economia, pois "real" pode vir do setor real de mercadorias e serviços. Não tem como se "adjetivar" algo como "real" sem correlacionar com algo do setor real. O setor financeiro tem seus multiplicado-res próprios (multiplicador de depósitos e de crédito/títulos) que geram liquidez, sendo que, a curto prazo, é independente do setor real de mercadorias e serviços. Portanto, valor real de certa quantia mo-netária-financeira, hoje, a curto prazo, deve envolver algo como "poder de com-pra" de bens reais, numa tentativa de ve-rificar o quanto o bem financeiro já se a-


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fastou ou não da "realidade" (real) do consumo e da produção física. Cabe ao Judiciário pronunciar-se sobre questões relativas a: Estão sendo cobra-dos os juros fixados em lei? Se a TR está sendo aplicada sobre os juros legais de 1% do SFH, qual é o juro real que está sendo pago pelos mutuários? Será que a lei está sendo respeitada? Ora, juros reais se calculam pela equação de Fisher e inflação é sempre aumento de preços. Veja-se : Ao contrário da taxa de juros nominal, a taxa de juros real mede a taxa de retorno de uma aplicação, em termos de quanti-dade de bens. A taxa de juros real é calculada como: taxa de juros real = (1 + taxa de juros nominal)/(1 + taxa de inflação) –1 (CAR-DOSO, 1993. p.130) A taxa de juro real não depende da infla-ção, pois é justamente isso que ela visa eliminar, sendo por isso invariante, abso-luta. É dada pela fórmula de Fisher: (1 + taxa real ) = (1 + taxa nominal)/(1 + taxa de inflação) (1) Da fórmula da taxa de juros real fa-zem parte duas componentes: I - O numerador (1+ taxa nominal) vem do setor de "liquidez" (setor financeiro, bancário, das aplicações financeiras, títu-los) com suas taxas nominais de juros. II - O denominador (1 + taxa inflação) vem do setor "real" (do setor de mercado-rias e serviços, objetos vendidos e com-prados em certo período) sendo quantida-de "exata" e bem determinado ex-post: INPC, IPC etc. Portanto, no quociente estão dois setores totalmente distintos: o setor dos juros nominais, ou seja, o setor dos ativos fi-nanceiros e monetários, incluindo-se a moeda corrente, os depósitos à vista, os empréstimos, as carteiras de títulos etc. e

o setor dos preços de mercadorias e ser-viços. APLICAGÕES COM JUROS E ATUALI-ZAÇÃO MONETARIA

Em épocas de inflação, nas aplicações fi-nanceiras, o investidor, além dos juros, recebe uma atualização monetária que pode ser prefixada ou pós-fixada.

Nas aplicações sujeitas à atualização mo-netária prefixada, o investidor conhece antecipadamente o valor final do seu in-vestimento. A atualização monetária é fixada tendo em vista a inflação estimada para o período.

Nas aplicações sujeitas à atualização mo-netária pós-fixada, o investidor desconhe-ce o valor final do seu investimento. A atualização monetária varia de acordo com algum índice medidor da inflação previamente estabelecido, mas cujos valo-res dependem da inflação que ocorrerá durante o período em que o capital ficar aplicado.

Os principais investimentos procurados em épocas de inflação são a caderneta de poupança, o certificado de depósito ban-cário - eDB -, o recibo de depósito bancá-rio - RDB -, os fundos de investimento financeiro - FIF - ou fundos de aplicação financeira - FAF -, as letras de câmbio - Le - e as aplicações em open market (over-night, se por um dia). As principais carac-terísticas desses investimentos são:

Caderneta de Poupança - De to-dos os investimentos existentes no mercado financeiro, a caderneta de poupança é o mais popular e co-nhecido. Foi criada exatamente com a finalidade de preservar da infla-ção a poupança popular. É o único dos investimentos sem limite míni-mo para o valor aplicado e também o único cujos rendimentos são isen-tos de imposto de renda. É um in-vestimento nominal. Seu rendimen-to é mensal e compõe-se de juros fixos de 0,5% a.m. e correção mo-netária pós-fixada variável de acor-do com um índice determinado. Os juros são calculados sobre o capital corrigido. Sua liquidez é imediata,


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embora não sejam calculados ren-dimentos sobre frações do mês, isto é, do valor depositado em certo dia do mês, chamado data de aniversá-rio da conta, só são capitalizados juros e correção monetária em igual dia dos meses subseqüentes, de-pois de deduzidos os saques reali-zados em cada período. Há também cadernetas de poupança multidatas, com vários aniversários.

CDB e RDB - São depósitos feitos

em bancos comerciais ou bancos de investimento, com prazo fixo não inferior a 30 dias. Os rendimentos podem ser pré ou pós-fixados. Exis-te um limite mínimo de aplicação que, em geral, é maior para o eDB do que para o RDB. O imposto de renda incide sobre os rendimentos e e retido na data do resgate. O eDB pode ser transferido por en-dosso e negociado antes do venci-mento. O RDB é intransferívelc que significa maior garantia) e não pode ser negociado antes de vencimento.

FAF /FIF - São aplicações feitas

em bancos comerciais ou bancos de investimento. Existe uma variedade muito grande de fundos Seus ren-dimentos podem ser prefixados ou pós-fixados. Alguns fundos têm rendimentos de curto prazo, sem carência, com liquidez imediata e até opção de resgate automático por meio da conta corrente. O im-posto de renda incide sobre os ren-dimentos na data do resgate ou no último dia do mês. Outros fundos têm rendimentos mensais ou bi-mestrais, com renovação automáti-ca; nesse caso, o imposto de renda incide sobre os rendimentos na data do aniversário. Alguns desses fun-dos podem ser resgatados antes do prazo, mas não há rendimento so-bre o valor resgatado. Conforme a composição da carteira, existem fundos de renda fixa, de renda va-riável ou de renda mista. Os rendi-mentos dos fundos de renda fixa acompanham a taxa de juros prati-cada no país, como nos Certificados

de Depósito Bancário, Letras de Câmbio, Letras Hipotecárias, Títulos de Emissão do Tesouro Nacional ou do Banco Central, Títulos de Dívidas Públicas e Debêntures. Os rendi-mentos dos fundos de renda variá-vel dependem de fatores políticos e econômicos internos e externos, como variação do valor de ações, operações da Bolsa de Valores e da Bolsa Mercantil e de Futuros.

LC - Já foram descritas no Capítulo 4 como títulos de crédito. Aqui são considerados títulos de renda, pois, embora sejam comprovantes de dí-vida de quem as emite, constituem investimentos para quem as adqui-re. São emitidas por uma empresa e garantidas pelas sociedades de crédito, financiamento e investi-mento (financeiras), podendo ser adquiridas em agências bancárias ou sociedades corretores e distribu-idoras de títulos e valores mobiliá-rios. Os rendimentos são prefixa-dos. O imposto de renda é retido no ato da aplicação e calculado sobre os rendimentos. Podem ser negoci-adas antes do vencimento.

Open Market - São investimentos

de curto prazo. As aplicações são feitas nas agências bancárias ou so-ciedades corretores e distribuidoras de títulos e valores mobiliários. A rentabilidade varia com as taxas de mercado, mas é fixa no momento em que se investe e pelo período determinado. O imposto de renda é retido na fonte e calculado sobre os rendimentos. Oferecem liquidez i-mediata.

Exemplos com CDB, RDB e LC: 1. Calcular o valor de resgate líquido (já

descontado o Imposto de Renda) de uma aplicação em CDB com renda pós-fixada no valor de $ 5.000,00, pelo prazo de 120 dias, sabendo-se que o Banco paga juros de 16% ao ano. A aplicacao foi feita no dia 5 de janeiro para resgate no dia 5 de maio do mesmo ano. Admitir que as TR refe-rentes aos dias 5 dos meses de janei-


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ro, fevereiro, março e abril tenham si-do de 2,21%, 1,96%, 2,13% e 2,37% respectivamente.

Solução: a) Cálculo do valor de resgate VR=Pc(1+ia)n/360 Pc=5.000,00 x 1,0221 x 1,0196 x 1,0213 x 1,0237 = 5.447,78 b) Cálculo do Imposto de Renda IR = 15% x RB = 0,15 x RB RB = VR – P = 5.724,08-5.000,00 = 724,08 IR = 0,15 x 724,08 = 108,61 c) Cálculo do valor de resgate líquido VRL = VR – IR = 5.724,08 – 108,61 = 5.615,47 2. No dia 2 de março de 1995, o Sr. Oswaldo aplicou $ 14.000,00 em RDB pa-ra resgate no dia 2 de julho (prazo de 122 dias), a uma taxa de juros de 15% ao a-no. Supondo-se que os valores da TR re-ferentes aos dias 2 dos meses de março a junho fossem respectivamente de 1,87%, 2,19%, 1,91% e 1,78%, calcular o valor de resgate líquido. Solução: Pc=14.000,00 x 1,0187 x 1,0219 x1,0191 x 1,0178 = 15.116,87 VR= 15.116,87 x (1,15)132/360=15.850,09 RB = 15.850,09-14.000,00=1.850,09 IR=0,15 x 1.850,09=277,51 VRL = 15.850,09-277,51=15.572,58 CÁLCULO DA CORREÇÃO E DE SALDOS CORRIGIDOS Suponha-se que a atualização monetária deva ser fixada segundo determinado ín-dice indicador da inflação, cujos valores, para n períodos consecutivos, são I0, I1, I2, ..., In, sendo I0 o valor correspondente ao início do primeiro período e os demais

correspondentes ao fim dos n períodos considerados. As taxas de atualização monetária, i1, i2, ..., in, para cada um desses períodos, se-rão:

11

0

1IiI

= −

11

nn

n

IiI

= −−

(1)

A taxa de atualização monetária para os n períodos, taxa total de atulização monetá-ria ou, ainda, taxa acumulada de atualiza-ção monetária, iac, será:

0

1nac

IiI

= − (2)

Observe-se que as igualdades (1) podem ser escritas da seguinte forma:

11

nn

n

I iI

= +−

E, multiplicando membro a membro estas últimas igualdades, tem-se:

1 2... 1 2

0 1

. . . (1 )(1 )...(1 )1

nn

n

II I i i iI I I

= + + +−

ou

1 20

(1 )(1 )...(1 )nn

I i i iI

= + + +

em que:

1 20

1 (1 )(1 )...(1 ) 1nn

I i i iI

− = + + + −

Então, a taxa acumulada de atualização monetária para os n períodos também pode ser calculada da seguinte forma:


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1 2(1 )(1 )...(1 ) 1ac ni i i i= + + + −

Exemplo 1: Os valores do BTN, para os seis primeiros meses do ano de 1990, eram:

a) Se a atualização monetária de um in-vestimento foi fixada pela variação do BTN, qual a taxa de atualização monetária de janeiro, fevereiro, março, abril e maio? b) Qual a taxa acumulada de atualização monetária para esse período de cinco me-ses?

a) .

. 17,09681 1 0,5611

. 10,9518jan

fevBTNijanBTN

= − = = − =

.

. 29,53991 1 0,7278. 17,0968fev

marBTNifevBTN

= − = = − =

.

. 41,73401 1 0,4128. 29,5399mar

abrBTNimarBTN

= − = = − =

.41,73401 1 0

. 41,7340abr

maioBTNiabrBTN

= − = = − =

. 43,97931 1 0,0538. 41,7340maio

junBTNimaioBTN

= − = = − =

b) . 43,97931 1 3,0157. 10,9518ac

junBTNijanBTN

= − = = − =

outra solução:

. . .(1 )(1 )(1 )(1 )(1 )ac jan fev mar abr maioi i i i i i= + + + + + =

1,5611.1,7278.1,4128.1.1,0538-1=3,0157 Resposta: a)56,11%, 72,78%, 41,28%, 0% e 5,38% b) 301,57%

janeiro 10,9518fevereiro 17,0968março 29,5399abril 41,7340maio 41,7340junho 43,9793


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Quadro de tabelas Juros

Demonstralção dos efeitos dos critérios de cálculo (juros legais ou capitalizados) sobre o efeito das próprias taxas de ju-ros. Observe-se no quadro comparativo os resultados obtidos com o uso dos ju-ros legais e com o uso dos juros capita-lizados, variando-se a taxa de juros mensais entre 1% e 12%:

Fluxo de caixa é um objeto matemático que pode ser representado graficamente com o objetivo de facilitar o estudo e os efeitos da análise de uma certa aplicação, que pode ser um investimento, emprésti-mo, financiamento, etc. Normalmente, um fluxo de caixa contém Entradas e Saídas de capital, marcadas na linha de tempo com início no instante t=0. Um típico exemplo é o gráfico:

Fluxo de Caixa da pessoa Eo

0 1 2 3 ... n-1 n

S1 S2 S3 ... Sn-1 Sn

que representa um empréstimo bancário realizado por uma pessoa de forma que ela restituirá este empréstimo em n par-celas iguais nos meses seguintes. Obser-vamos que Eo é o valor que entrou no caixa da pessoa (o caixa ficou positivo) e S1, S2, ..., Sn serão os valores das parce-las que sairão do caixa da pessoa (negati-vas).

No Fluxo de Caixa do banco, as setas têm os sentidos mudados em relação ao senti-dos das setas do Fluxo de Caixa da Pesso-a. Assim:

Fluxo de Caixa do banco E1 E2 E3 ... En-1 En

0 1 2 3 ... n-1 n

So

O fato de cada seta indicar para cima (po-sitivo) ou para baixo (negativo), é assu-mido por convenção, e o Fluxo de Caixa dependerá de quem recebe ou paga o Ca-pital num certo instante, sendo que: t=0 indica o dia atual; Ek é a Entrada de capital num momento k; Sk é a Saída de capital num momento k.

Juros após 1 ano (doze meses)

Juros após 5 anos (60 me-ses)

Juros Mensais

Juros Legais

Juros Capitaliz.

Juros Legais

Juros Capitaliz.

1% 12% 12,7% 76,2% 81,8%

5% 60% 79,6% 948,6% 1.767,9%

8% 96% 151,8% 2.792,5% 10.025,7%

10% 120% 213,8% 5.053,6% 30.348,2%

12% 144% 289,6% 8.548,7% 89.659,7%


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Observação: Neste trabalho, o ponto prin-cipal é a construção de Fluxos de Caixa na forma gráfica e pouca atenção é dada à resolução dos problemas. Caso você tenha algum Fluxo de Caixa interessante que valha a pena ser tratado, envie a sua sugestão. TABELA PRICE E CADERNETA DE POU-PANÇA Informação Price PES Taxa Mensal de Referência (TR)

0,50% 0,50%

Taxa Efetiva Anual de Juros

11,020000%11,020000%

Taxa Efetiva Mensal de Ju-ros

0,8750% 0,8750%

Percentual do Seguro sobre o Valor do Imóvel

0,0164% 0,0164%

Percentual do Seguro sobre o Valor do Empréstimo

0,0648% 0,0648%

Número de Pagamentos mensais

36 36

Valor Total do Empréstimo

10.000,00 10.000,00

Valor da Pres-tação - 1o. ano

325,02 365,28

Valor da Prestação - 2o. ano

325,02 355,70

Valor da Prestação - 3o. ano

325,02 341,46

Valor Médio das 36 Presta-ções

325,02 354,15

Taxa Real mensal de juros: 1o. ano

1,378886% 1,5622%

Taxa Real a-nual de juros: 1o. ano

17,86102% 20,4442%


1,378886% 1,5848%


17,86102% 20,7663%


1,378886% 1,5705%


17,86102% 20,5620%

Valor do Se-guro sobre o Imóvel (R$15.000,00)

2,46 2,46

Valor do Se-guro sobre o Empréstimo (R$10.000,00)

6,48 6,48

Valor da Somados Seguros (1a. parcela)

8,94 8,94

Saldo Final após 36 pa-gamentos

1.353,45 -52,32

Valor mensal necessário para zerar o Saldo Final

354,28 354,15

Quadro Comparativo: Juros Compostos (Tabe-la Price) X Juros Simples

equivalência básica

Seja uma taxa i para um período T. A taxa equivalente it , para um período t, é tal que: 1 + it = (1 + i)t/T ou it = (1 + i)t/T - 1. Pelas multiplicações sucessivas que resultam na exponenci-al, o método é algumas vezes chamado de "juro sobre juro". Exemplo: uma taxa de 12% ao ano (i = 0,12) é e-quivalente a Mensal (t = T/12): (1 + 0,12)1/12 - 1 ≅ 0,009489 ou 0,9489%. Trimestral (t = T/4): (1 + 0,12)1/4 - 1 ≅ 0,02874 ou 2,874%. Semestral (t = T/2): (1 + 0,12)1/2 - 1 ≅ 0,0583 ou 5,83%. E uma taxa de 1% ao mês (i = 0,01) é equivalente a


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Trimestral (t = 3T): (1 + 0,01)3 - 1 ≅ 0,03030 ou 3,03%. Semestral (t = 6T): (1 + 0,01)6 - 1 ≅ 0,06152 ou 6,152%. Anual (t = 12T): (1 + 0,01)12 - 1 ≅ 0,1268 ou 12,68%.

Dá os valores de (1 + i)n para diversos valores de i e n. É evidente que calculado-ras financeiras e planilhas dispensam isso, mas em provas são bastante usadas.

Relação capital-montante Para fluxos com pagamento e recebimento únicos (Fig 1 e 2), a fórmula do juro simples continua váli-da:M = C (1 + it). Se n = t/T, temos M = C (1 + (1 + i)n - 1).Assim, M = C (1 + i)n. Onde i é a taxa do período e n o número de períodos. Pagamentos ou recebimentos múltiplos (valor atual) Seja, conforme Fig 3, um empréstimo C para ser pago em n períodos iguais, com prestações tam-bém iguais P e taxa por período i. Deseja-se saber a relação entre C e P.

Para resolver, considera-se que C é a so-ma dos valores atuais de cada pagamento individual.Para um pagamento genérico j (1 £ j £ n), conforme equação anterior, o valor atual é P/(1+ij).Considerando T o período a que se refere a taxa i, um pa-gamento de ordem j terá o período t = jT e t/T = j.Conforme fórmula da equivalên-cia, ij = (1 + i)j - 1. E o valor atual do pagamento j será P/(1+i)j.Assim, o valor C será dado pela soma C = Sj=1,n P/(1 + i)j = P Σj=1,n 1/(1 + i)j.As parcelas 1/(1+i)j equivalem a (1/(1+i))j e, fazendo

q = 1/(1+i), temos:C = P Sj=1,n qj. O somatório é de uma progressão geométrica e pode ser usada a fórmula da sua soma. Portanto, C = P q (1 - qn) / (1 - q).Na equação dada, substituin-do q e simplificando, te-mos:C = P [(1 + i)n - 1] / [i (1 + i)n]. A função f(i,n) = [(1 + i)n - 1] / [i (1 + i)n] é chamada de fator de valor atual.Exemplo: você deseja comprar uma mer-cadoria e o vendedor pro-põe 3 pagamentos consecutivos mensais de R$ 100,00 cada, com taxa de 2% ao mês, sendo o 2% ao mês, sendo o primeiro pagamento

daqui a 1 mês. Qual deverá ser o valor a vista da mercadoria?Então, i = 0,02 e (1 + i) = 1,02. E, calculando separadamente, temos:Valor presente da 1ª prestação = 100/1,02 = 98,04.Valor presente da 2ª prestação = 100/1,022 = 96,12.Valor presente da 2ª prestação = 100/1,023 = 94,23.E o valor a vista será 98,04 + 96,12 + 94,23 = 288,39.Pela fórmula te-mos: q = 1/1.02 = 0,9804; P = 100; n = 3.C = 100 0,9804 (1 - 0,98043) / (1 - 0,9804) = 98,04 (1 - 0,9423) / 0,0196 = 288,61 (a diferença nos centavos se deve à aproximação de casas decimais nos cálculos).Pela tabela, f(2%,3) = 2,884 e, portanto, C = 100 x 2,884 = 288,40.O procedimento seria praticamente o mes-mo se você tivesse que dar uma entrada (exemplo: uma entrada e mais três pres-tações). Basta somar a entrada ao valor

n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18% 1 1,010 1,020 1,030 1,040 1,050 1,060 1,070 1,080 1,090 1,100 1,120 1,150 1,180 2 1,020 1,040 1,061 1,082 1,103 1,124 1,145 1,166 1,188 1,210 1,254 1,323 1,392 3 1,030 1,061 1,093 1,125 1,158 1,191 1,225 1,260 1,295 1,331 1,405 1,521 1,643 4 1,041 1,082 1,126 1,170 1,216 1,262 1,311 1,360 1,412 1,464 1,574 1,749 1,939 5 1,051 1,104 1,159 1,217 1,276 1,338 1,403 1,469 1,539 1,611 1,762 2,011 2,288 6 1,062 1,126 1,194 1,265 1,340 1,419 1,501 1,587 1,677 1,772 1,974 2,313 2,700 7 1,072 1,149 1,230 1,316 1,407 1,504 1,606 1,714 1,828 1,949 2,211 2,660 3,185 8 1,083 1,172 1,267 1,369 1,477 1,594 1,718 1,851 1,993 2,144 2,476 3,059 3,759 9 1,094 1,195 1,305 1,423 1,551 1,689 1,838 1,999 2,172 2,358 2,773 3,518 4,435 10 1,105 1,219 1,344 1,480 1,629 1,791 1,967 2,159 2,367 2,594 3,106 4,046 5,234 11 1,116 1,243 1,384 1,539 1,710 1,898 2,105 2,332 2,580 2,853 3,479 4,652 6,176 12 1,127 1,268 1,426 1,601 1,796 2,012 2,252 2,518 2,813 3,138 3,896 5,350 7,288 13 1,138 1,294 1,469 1,665 1,886 2,133 2,410 2,720 3,066 3,452 4,363 6,153 8,599 14 1,149 1,319 1,513 1,732 1,980 2,261 2,579 2,937 3,342 3,797 4,887 7,076 10,14715 1,161 1,346 1,558 1,801 2,079 2,397 2,759 3,172 3,642 4,177 5,474 8,137 11,97416 1,173 1,373 1,605 1,873 2,183 2,540 2,952 3,426 3,970 4,595 6,130 9,358 14,12917 1,184 1,400 1,653 1,948 2,292 2,693 3,159 3,700 4,328 5,054 6,866 10,761 16,67218 1,196 1,428 1,702 2,026 2,407 2,854 3,380 3,996 4,717 5,560 7,690 12,375 19,673


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calculado conforme procedimento anteri-or. Tabela II Resultados do fator de valor atual para diver-sos i e n.

Amortização: a polêmica do saldo devedor Quando alguém contrata um empréstimo, po-de-se dizer que esta pessoa assumiu um saldo devedor com o credor. A cada parcela ou pres-tação paga, o empréstimo é amortizado, isto é, o saldo devedor diminui e o financiamento estará quitado quando o saldo se tornar nu-lo.No conceito técnico de matemática financei-ra, a amortização se refere somente à redução do valor inicial (o principal da dívida) e, por-tanto, é separada dos juros.Um exemplo: você toma R$ 500,00 emprestado, com juro de 2% (i=0,02) ao mês, para pagar em 4 meses, com primeiro pagamento um mês depois. Conforme a fórmula do valor atual, isso dá uma prestação de R$ 131,31. Seu credor poderá dizer: "Agora, estou lhe emprestando R$ 500,00. Daqui a um mês, você estará devendo não apenas R$ 500,00 mas sim este valor acrescido do juro de 1 mês (2%) e o seu saldo devedor será a diferença entre o valor corrigido e a prestação paga. Este saldo devedor será corrigido no mês sub-seqüente e assim sucessivamente". Pergunta-se: o procedimento está correto? Não é uma vantagem indevida para o credor? Aqui, o propósito não é criticar ou defender bancos mas é apenas verificar se o método tem fundamento aritmético. Na tabela abaixo, na coluna B (fluxo), azul significa recebimento e vermelho, pagamento.

A coluna C indica o saldo devedor do período anterior que, para o primeiro pagamento, é o valor emprestado. Na coluna D, o saldo devedor é corrigido pelo juro de um mês (2%) e a coluna E dá este valor corrigido menos a prestação paga, que

será o saldo devedor ante-rior para o período seguin-te. Portanto, o saldo devedor se anula com o pagamento da última prestação e o método parece estar corre-to. Se o saldo devedor não fosse corrigido, a parte devedora teria um saldo credor no final do financi-amento! No Brasil, em financiamen-tos de longo prazo como aqueles para compra de imóveis, é comum um con-siderável número de pes-soas se deparar com sal-dos impagáveis após al-gum tempo. Mas por que isto ocorre? Pode-se citar

várias causas: altas taxas de juro, redução de rendas devido à retração econômica, atualiza-ção por índices de inflação favoráveis aos cre-dores e muitas outras. Pelo menos, a aritméti-ca não pode ser responsabilizada.

n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18%

1 0,990 0,980 0,971 0,962 0,952 0,943 0,935 0,926 0,917 0,909 0,893 0,870 0,847

2 1,970 1,942 1,913 1,886 1,859 1,833 1,808 1,783 1,759 1,736 1,690 1,626 1,566

3 2,941 2,884 2,829 2,775 2,723 2,673 2,624 2,577 2,531 2,487 2,402 2,283 2,174

4 3,092 3,808 3,717 3,630 3,546 3,465 3,387 3,312 3,240 3,170 3,037 2,855 2,690

5 4,853 4,713 4,580 4,452 4,329 4,212 4,100 3,993 3,890 3,791 3,605 3,352 3,127

6 5,795 5,601 5,417 5,242 5,076 4,917 4,767 4,623 4,486 4,355 4,111 3,784 3,498

7 6,728 6,472 6,230 6,002 5,786 5,582 5,389 5,206 5,033 4,868 4,564 4,160 3,812

8 7,652 7,325 7,020 6,733 6,463 6,210 5,971 5,747 5,535 5,335 4,968 4,487 4,078

9 8,566 8,162 7,786 7,435 7,108 6,802 6,515 6,247 5,995 5,759 5,328 4,772 4,303

10 9,471 8,983 8,530 8,111 7,722 7,360 7,024 6,710 6,418 6,145 5,650 5,019 4,494

11 10,368 9,787 9,253 8,760 8,306 7,887 7,499 7,139 6,805 6,495 5,938 5,234 4,656

12 11,255 10,575 9,954 9,385 8,863 8,384 7,943 7,536 7,161 6,814 6,194 5,421 4,793

13 12,134 11,348 10,635 9,986 9,394 8,853 8,358 7,904 7,487 7,103 6,424 5,583 4,910

14 13,004 12,106 11,296 10,563 9,899 9,295 8,745 8,244 7,786 7,367 6,628 5,724 5,008

15 13,865 12,849 11,938 11,118 10,380 9,712 9,108 8,559 8,061 7,606 6,811 5,847 5,092

16 14,718 13,578 12,561 11,652 10,838 10,106 9,447 8,851 8,313 7,824 6,974 5,954 5,162

17 15,562 14,292 13,166 12,166 11,274 10,477 9,763 9,122 8,544 8,022 7,120 6,047 5,222

18 16,398 14,992 13,754 12,659 11,690 10,828 10,059 9,372 8,756 8,201 7,250 6,128 5,273

A B C D E F G H

Perío- do

Fluxo SD na- terior

SD corrigido

SD amortizado

Juro pago

Amortiz paga

Soma

C x 1,02

D - B D - C C - E F + G

0 500,00

1 131,31 500,00 510,00 378,69 10,00 121,31 131,31

2 131,31 378,69 386,26 254,95 7,57 123,74 131,31

3 131,31 254,95 260,05 128,74 5,10 126,21 131,31

4 131,31 128,74 131,31 0,00 2,57 128,74 131,31

Soma >> 25,24 500,00 525,24

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