Universidad de ConcepciónDpto. de Gestión EmpresarialIngeniería Comercial 13 de octubre de 2015

M. Sc. Sergio Rifo Rivera

Listado 3: Aplicaciones Integral DefinidaCálculo II (451831)

Área

1. Calcule el área encerrada por las curvas siguientes.

a) y = x3, y = −x e y = 1.b) y = x2 e y = x3.c) y = 4x2 e 6x− y − 2 = 0.d) y = x2 − x− 6 e y = −4.e) y = x2 e y = −x2 + 6x.f ) y = x2 − x e y = x− x2.g) y = x2 e y = x4.

2. Si R consiste de todos los puntos del plano sobre el eje x y bajo la curva de ecuacióny = −x2 + 2x + 8. Encuentre el área de R.

3. Encuentre el área de la región entre la curva y = 3x2 − 2x e y = 1− 4x.

4. Encuentre el área de la región entre el eje x y la curva y = (x − 1)3 desde x = 0 hastax = 2.

5. Encuentre el área de la región encerrada por el eje x y la gráfica de y = x3 − 6x2 + 8x.

6. Dado p > 1, ¿Qué ocurre con el área sobre el eje x acotada por la curva y = x−p y lasrectas x = 1 y x = b, cuando b −→ +∞?

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Aplicaciones económicas

Indicación: Para realizar los siguientes ejercicios, debe realizar la siguiente lectura obligato-ria: Capítulo 5 del libro

“Hoffmann L., Bradley G. & Rosen K. (2006). Cálculo Aplicado para administración, economíay ciencias sociales. México: McGraw-Hill Interamericana.”

Este libro se encuentra disponible en la carpeta de Dropbox compartida con el curso.

1. Considere que dentro t años, dos planes de inversión generarán rentabilidades P1(t) yP2(t), respectivamente, y que sus respectivas tasas de rentabilidad, P ′1(t) y P ′2(t), sontales que P ′2(t) ≥ P ′1(t) por los próximos N años, es decir, sobre el intervalo de tiempo0 ≤ t ≤ N . Se define el exceso neto de rentabilidad del plan P2 sobre el plan P1, sobreel intervalo de tiempo 0 ≤ t ≤ N , denotado NE, como la integral definida siguiente:

NE =N∫

0

[P ′2(t)− P ′1(t)

]dt

Suponga que dentro de t años, un plan de inversión generará rentabilidades a una tasaP ′1(t) = 60e0,12t miles de dólares por año, y que un segundo plan de inversión lo hará auna tasa de P ′2(t) = 160e0,08t miles de dólares por año.

a) ¿Por cuántos años, la tasa de rentabilidad del segundo plan de inversión excede a ladel primero?

b) Calcule el exceso neto de rentabilidad del segundo plan sobre el primero usando eltiempo encontrado en la parte a).

c) Interprete el resultado obtenido en la parte b) como un área entre curvas.

2. Las curvas de Lorentz, L(x), son tipos de funciones muy utilizadas por los econo-mistas y sociólogos para estudiar la distribución de los ingresos en un cierto país o enciertas profesiones (entre otros). Una curva de Lorentz L(x) satisface las tres siguientespropiedades:

i) 0 ≤ L(x) ≤ 1ii) L(0) = 0 y L(1) = 1

iii) L(x) ≤ x

De esta forma, si y = L(x) es una curva de Lorentz, entonces de inequidad en la respectivadistribución de la riqueza (o ingresos) se mide mediante el uso del Índice de Gini,denotado GI, el cual viene dado por la expresión:

GI = 21∫

0

[x− L(x)

]dx

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E Índice de Gini siempre fluctúa entre 0 y 1 (inclusive) siendo un índice de Gini iguala cero un indicador de equidad total en la distribución de la riqueza, mientras que uníndice de Gini igual a 1 corresponde a una inequidad total.Suponga que en cierta región del país, la distribución de los ingresos de los abogadosviene dada por LA(x) = 4

5x2 + ax, a ∈ R, mientras que la distribución de los ingresos delos economistas viene dada por LE(x) = bx2 + 3

8x, b ∈ R.

a) Determine el valor de las constantes a, b ∈ R para que LA(x) y LE(x) sean efecti-vamente dos curvas de Lorentz.

b) Use a) para calcular el Índice de Gini para cada profesión. ¿Cuál de ellas tiene unamejor distribución de los ingresos?

c) Investigue el origen de la fórmula que define el índice de Gini.

3. Sea f una función continua sobre el intervalo [a, b]. Se define el valor promedio de lafunción f en [a, b], que se denota f , mediante la expresión siguiente:

f(x) = 1b− a

b∫a

f(x) dx

a) Deduzca la fórmula que define a f .b) Un fabricante ofrece S(p) = 0,5p2 +3p+3 cientos de unidades de un cierto producto

a un minimarket cuando el precio unitario es de p dólares. Calcule la oferta promediocuando el precio varia de p = 2 a p = 5.

c) La población de una cierta comunidad t años después del 2000 viene dada por

P (t) = e0,2t

4 + e0,2t

millones de personas. ¿Cuál fue la población promedio de esta comunidad durantela década 2000-2010?

4. Suponga que una cierta cantidad de dinero comienza a ser transferida continuamente auna cuenta durante un periodo de tiempo t, 0 ≤ t ≤ T , a una razón dada por la funciónf(t) y que la cuenta gana intereses a una tasa anual r compuesto continuamente. Sedefine el valor futuro, FV , del flujo de ingresos sobre el intervalo 0 ≤ t ≤ T , como laintegral definida siguiente:

FV = erT

T∫0

f(t)e−rt dt

Además, se define el valor presente, PV , de un flujo de ingresos que ha sido depositadocontinuamente a una razón f(t) en una cuenta que ha ganado intereses a una tasa anualr compuesto continuamente durante T años, como la integral definida:

PV =T∫

0

f(t)e−rt dt

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a) Deduzca las fórmulas que definen a FV y a PV .b) Si James transfiere continuamente 1200 dólares por año a una cuenta que gana un

8% de interés anual compuesto continuamente, ¿cuánto dinero tendrá en la cuentaal cabo de dos años? ¿cuánto tendría en la cuenta si transfiriera dinero a una razónde 1200e0,04t dólares por año?.

c) Joshua está tratando de decidir entre dos inversiones. La primera cuesta mil dólaresy se espera que genere un flujo continuo de ingresos a razón de f1(t) = 3000e0,03t

dólares por año. La segunda inversión cuesta cuatro mil dólares y se estima quegenere un flujo continuo de ingresos a razón de f2(t) = 4000 dólares por año. Sila tasa de interés anual prevaleciente se fija en un 5% compuesto continuamentedurante los próximos cinco años, ¿cuál inversión es la mejor durante los siguientescinco años?.

5. Bajo una economía competitiva, se sabe que el monto total que un consumidor realmentegasta en un cierto producto es por lo general menor que el monto total que estaríadispuesto a gastar por la adquisición de dicho producto. Suponga que el precio de mercadode un cierto producto ha sido fijado en p0 y que los consumidores comprarán q0 unidadesde éste a ese precio unitario. Las condiciones del mercado determinan que D(q0) = p0,donde D(q) = p es la función de demanda del producto. Entonces la diferencia entrelo que los consumidores están dispuestos a gastar por q0 unidades y lo que realmentegastan por las q0 unidades de este producto, representa una ventaja para el consumidordenominada excedente del consumidor, denotada por CS y definida por:

CS =q0∫

0

[D(q)− p0

]dq

Por otra parte, si q0 unidades son vendidas a un precio unitario p0 y si S(q) = p esla función de función de oferta del productor para un determinado producto. Entonces,el excedente del productor, PS, es la diferencia entre lo que los productores estándispuestos a aceptar por suplir q0 unidades y lo que realmente están recibiendo por suplirestas q0 unidades y se define mediante la expresión:

PS =q0∫

0

[p0 − S(q)

]dq

Un fabricante de neumáticos estima que q miles de neumáticos radiales serán demandadas(compradas) cuando el precio es D(q) = −0,1q2 + 90 dólares por neumático, y el mismonúmero de neumáticos radiales será ofertado cuando el precio es S(q) = 0,2q2 + q + 50dólares por neumático.

a) Encuentre el equilibrio del mercado.b) Calcule el excedente del consumidor y del productor en el precio de equilibrio.c) Grafique las funciones de oferta y demanda e identifique las áreas que corresponden

al excedente del consumidor y del productor.

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