EA-721: PRINCIPIOSDECONTROLEESERVOMECANISMOSegundaListadeExercciosJoseC.GeromeleRubens H.KoroguiExerccio1ConsidereosistemadecontrolerepresentadonaFigura1. Estudesuaestabil-idadeemfuncaodoganhoR, utilizandoocriteriodeRoutheemseguidaocriteriodeNyquistconsiderandoasseguintesfuncoesdetransferencia:+ G(s)H(s) y rFigura1: Sistemaemmalhafechada.a) G(s) =(s + 5)(s + 7)(s + 1)(s + 3);H(s) = 1b) G(s) =s2+ 6s + 25s(s2+ 2s + 5);H(s) = 1c) G(s) =s + 3s(s2+ 4s + 5);H(s) =1s + 1d) G(s) =1s(s2+ 2s + 10);H(s) =s + 2s + 8Exerccio2ConsidereosistemadecontrolecomrealimentacaounitariarepresentadonaFigura2. Estudesuaestabilidadeemfuncaodoganho RatravesdoscriteriosdeRouthedeNyquistconsiderandoasseguintesfuncoesdetransferencia:+G(s) y rFigura2: Realimentacaounitaria.1EA-721: SegundaListadeExercciosa) G(s) =s + 2s + 10b) G(s) =1(s + 10)(s + 2)2c) G(s) =(s + 1)(s + 10)(s + 100)(s + 2)3d) G(s) =s + 1s2(s + 10)e) G(s) =s + 1s(s + 2)f ) G(s) =1(s + 2)(s2+ 9)g) G(s) =(1 + 10s)(1 + 20s)2(1 + 5s)(1 +s)h) G(s) =s 1s2(s + 1)i) G(s) =s(s + 2)(s + 10)j) G(s) =s(s 1)(s + 2)(s + 10)Exerccio3Considereasequacoescaractersticasdesistemasdinamicosatempocontnuodadasaseguir. Determinenoplanoreal seusrespectivosdomniosdeestabilidade.a) s2(s + 1)(s + 0, 5) +(s +) = 0b) s4+ 2s3+s2+ s + = 0Exerccio4ConsidereodiagramadeblocosdaFigura3,ondeesaoparametrosreais.+1s2+ 2s + 2s + y rFigura3: Realimentacaounitariacomdoisgrausdeliberdade.a) Determinenoplano aregiaodeestabilidadeparaosistemaemmalhafechada.b) Para = 0apliqueocriteriodeNyquistedeterminetodososvaloresde Rparaosquaisosistemaemmalhafechadasejaestavel.Exerccio5Determineon umeroderazesdaequacaos4+ 6s3+ 10s2 2s 15=0queestaolocalizadasnosemiplanocomplexodenidoporRe{s} < 1.Exerccio6Supondoqueaequacaoalgebricas(s + 1)(s + 2) +

+1

= 0represente a equacao caracterstica de um sistema a tempo contnuo, determine todos os valoresde > 0taisqueassuasrazessejamassintoticamenteestaveis.2EA-721: SegundaListadeExercciosExerccio7ConsidereosistemadecontroleatempodiscretorepresentadonaFigura4.Determineosvaloresdetaisqueosistemaemmalhafechadasejaestavel,paraasseguintesfuncoesdetransferenciaerespectivosperodosdeamostragemTdadosaseguir.+G(s) SOZ r yTFigura4: Realimentacaounitariaemsistemasatempodiscreto.a) G(s) =1s(s + 1),T= 0,1[s]eT= 0,5[s]b) G(s) =10s2+ 2s + 5,T= 0,01[s]eT= 0,1[s]Exerccio8Paracadaumadasfuncoesdetransferencia,nocontextodesistemasatempocontnuo,dadasaseguir,obtenhasuarepresentacaodeestadoe,aplicandoocriteriodeLya-punov,concluasobresuaestabilidade.a) G(s) =10s2+ 7s + 10b) G(s) =10(s + 1)s3+ 2s2+ 3s + 7Exerccio9Paracadaumadasfuncoesdetransferencia,nocontextodesistemasatempodiscreto,dadasaseguir,obtenha sua representacaode estadoe apliqueo criteriodeLyapunovparaconcluirsobresuaestabilidade.a) G(z) =z 0,5z2z + 0,26b) G(z) =z + 1z2z + 1,06Exerccio10Considerandoaequacaocaracterstica1 + G(s)=0, esbocenoplanocom-plexoolugardas suasrazes, emfuncaodoganho[0, +), paraas funcoes detrans-ferenciadenidasaseguir. Utilizetodasasregraspossveis.a) G(s) =1(s + 1)(s + 5)b) G(s) =s2+ 8s + 20(s + 2)(s2+ 4s + 7)c) G(s) =10(s 1)s(s2+ 4s + 4)d) G(s) =1(s + 5)(s2+ 2s + 2)e) G(s) =s + 2(s + 1)(s2+ 6s + 10)f ) G(s) =5s(s + 4)(s2+ 12s + 45)g) G(s) =(s 1)(s 3)s(s + 5)h) G(s) =s2+ 16s + 73(s + 1)(s2+ 8s + 41)3EA-721: SegundaListadeExercciosi) G(s) =2(s2+ 6s + 90)s(s2+ 4s + 13)j) G(s) =s + 10(s 2)(s + 4)k) G(s) =s2(s + 2)(s + 5)(s + 10)2l) G(s) =s(s 2)(s + 3)(s + 5)Exerccio11Considere um sistema de controle a tempo contnuo com realimentacao unitaria,deacordocomaFigura2. Esboceolugardasrazesemfuncaodoganho > 0paracadaumdosseguintesvaloresde{1/2; 3/2; 5}. Considereasfuncoesdetransferenciaemmalhaaberta,dadasaseguir,everiqueainuenciadovalordoparametroemcadacaso.a) G(s) =s + 2(s + 1)2(s +)b) G(s) =s + 2(s2+ 2s + 5)(s +)c) G(s) =s +(s + 4)(s + 2)2d) G(s) =s +(s + 4)(s2+ 4s + 13)Exerccio12ConsidereafuncaodetransferenciadeumsistemaatempocontnuoG(s) =1(s + 2)(s2+ 8s + 16 +)Paraos valores doparametro{1; 4}, esbocenoplanocomplexoolugar das razes daequacaocaracterstica1 +G(s) = 0,emfuncaodoganho [0, +).Exerccio13AFigura5representaodiagramade Bode de moduloassintoticode umafuncaodetransferenciaestavel deumsistemaatempocontnuodefasemnima, cujospoloscomplexostemfatordeamortecimento= 1/4.1rad/s 8rad/s 16rad/s20dB/dec40dB/dec60dB/dec20 log10 2Figura5: DiagramadeBodeemmalhaaberta.a) Apartirdeseudiagramaassintoticodemodulo, determineafuncaodetransferenciaG(s).b) Escreva a expressao para a sada em regime permanente deste sistema para uma entradarampaunitaria.c) EsboceodiagramadeBodedefasedeG(s).4EA-721: SegundaListadeExercciosd) Calculeaproximadamente, viadiagramaassintoticodemodulo, omodulodasadadosistemaparaaentradau(t) = cos(12t).e) Considerando o sistema com realimentacao unitaria da Figura 2 e a funcao determinadanoitema), estude suaestabilidade emfuncaodoganho, utilizandoocriteriodeNyquist.f ) ParaosistemadaFigura2eG(s)determinadanoitema), esboceolugardasrazesparametrizadopeloganho > 0.Exerccio14Considere um sistema de controle a tempo contnuo com realimentacao unitariadeacordocomaFigura6naqual aplantaerepresentadapelafuncaodetransferenciaG(s) =(s + 5)(s + 10)s2(s + 2)+G(s) C(s) y rFigura6: Realimentacaounitaria.a) ConsiderandoumcontroladorC(s)= > 0,atravesdocriteriodeNyquist,determineosvaloresdeparaosquaisosistemaemmalhafechadasejaestavel.b) Paraocontroladordoitemanterior,esboceolugardasrazesemrelacaoaoparametro>0edetermine-odemodoqueosistemaemmalhafechadapossuadoispoloscom-plexos conjugados comfator deamortecimentoigual a0,707. Utilizandoumarotinacomputacional,obtenha aresposta ao degrauparao sistema em malhafechadae discutaseepossvel adotarumaaproximacaodesegundaordem.c) Considerando umcontrolador integral C(s) =/s com >0, refaca o itema) everiqueseepossvel atenderaespecicacaodoitemb).d) Seutilizarmos umcontrolador proporcional integral C(s) =(s + 20)/scom>0,refacaositensa)eb).e) Suponha que o controlador proporcionalintegral do item d) deva ter um zero em s = 2,aoinvesdeem20, amdecancelarocorrespondentepolodaplanta. Nestecaso,esbocenovamenteolugardasrazesemrelacaoaoparametro > 0.Exerccio15Umsistemadecontroleatempocontnuotemcomoequacaocaractersticaemmalhafechada1 +s + 3s(s2+ 2s + 2)= 0Esboceolugardasrazesdestaequacaocaractersticapara> 0.5EA-721: SegundaListadeExerccios+1 +s5s2(s12+ 1) r y1 +s12Figura7: Sistemadecontrolecomrealimentacaonaounitaria.Exerccio16ConsidereosistemadecontroleemmalhafechadadaFigura7.a) Esboce olugar das razes e determine >0de tal formaque os polos dominantestenhamconstantedetempo1/3[s].b) Para calculado no item anterior determine a resposta ao impulso do sistema em malhafechada.c) Suponhaqueopoloems=12daplantasofraalteracoes duranteofuncionamentodosistemaemmalhafechada, resultandoemseudeslocamentoparas=10. Paraovalordecalculadonoitemanterioreutilizandoumarotinacomputacional, compareas respostas ao degrau unitario para as duas condicoes de operacao do sistema em malhafechada.Exerccio17ConsidereosistemadecontrolecomrealimentacaounitariaapresentadonaFigura8, noqual seassume>0. Paracadaumadasfuncoesdetransferenciadenidasa+G(s) y rFigura8: Realimentacaounitaria.seguiri) G(s) =1s(s50+ 1)(s100+ 1)ii) G(s) =10(s + 5)(s + 1)(s + 2)(s2+ 8s + 25)iii) G(s) =150(s + 4)(s + 9)(s2+ 6s + 13)(s2+ 16s + 100)(s + 7)pede-se:6EA-721: SegundaListadeExercciosa) Esboceolugardasrazesemfuncaodoganho > 0.b) Determine>0demaneiraqueos polos dominantes dosistemaemmalhafechadaapresentemfatordeamortecimentoigual a0,5.c) Para determinado no item anterior encontre a sada para uma entrada degrau unitario.d) Determineumafuncaodetransferenciaaproximadadesegundaordemparaosistemaemmalhafechadaecompareseutempodeestabilizacaoesuamaximasobre-elevacaoparaumaentradadegrauunitariocomosrespectivosvaloresparaosistemaemmalhafechadaoriginal.e) EsboceosdiagramasdeBodeparaafuncaodetransferenciaemmalhafechadaaproxi-mada e para a funcao de transferencia em malha fechada original. Determine e compareambasasfaixasdepassagem.f ) Determineafuncaodetransferenciaaproximadadesegundaordemparaosistemaemmalha aberta. Em seguida,atraves do lugar dasrazes,determine o ganho aptal que ospolosemmalhafechadaapresentemfatordeamortecimentoiguala0,5edeterminesuarespostaaodegrauunitario. Emseguida, utilizeoganhoapcalculadoparacontrolaraplantaG(s)original impondoumaentradadotipodegrauunitario. Comentesobreavalidadedoresultadoobtido.7