LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO … · 2020. 11. 14. · LISTA...
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LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO ALGÉBRICA
1 - A soma de uma sequência de números ímpares, começando do
1, é sempre igual a um número quadrado perfeito. Com base nessa
informação, responda:
a) Qual será a soma dos dez primeiros números ímpares?
102 = 100
É possível demonstrar esse truque por meio de um desenho.
Observe:
Para formar um novo quadrado, sempre é acrescentada uma
“camada” com quantidades ímpares de bolinhas, o que mostra
visualmente que a soma dos n primeiros números ímpares é sempre
um quadrado perfeito.
b) Como você explica o resultado da soma dos números ímpares com
base no desenho.
A soma da sequência de números ímpares começando do 1 é
sempre um quadrado perfeito.
Qual é a soma da sequencia 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 33 + 35?
Do 1 ao 35 temos 18 números ímpares, portanto a soma será
182 = 324
2 - Para cada figura, escreva uma expressão reduzida
(simplificada) que represente a medida da área colorida:
a) (x + 3)(x – 3) = x2 – 9
b) x2 - 25
3 - Algumas potências e multiplicações de números podem ser
resolvidas com os produtos notáveis. Veja:
Usando esses padrões, determine o resultado das operações a
seguir.
a) 232 = (20 + 3)2 = 202 + 2 . 20 . 3 + 32 = 400 + 120 + 9 =
529
b) 312 = (30 + 1)2 = 302 + 2 . 30 . 1 + 12 = 900 + 60 + 1 =
961
c) 382 = (40 – 2)2 = 402 – 2 . 40 . 2 + 22 = 1600 – 160 + 4 =
1444
d) 29 . 31 = (30 – 1)(30 + 1) = 302 – 11 = 900 – 1 = 899
e) 102 . 98 = (100 + 2)(100 – 2) = 1002 – 22 = 10000 – 4 =
9996
4 - Nos retângulos abaixo, as medidas estão indicadas numa
mesma unidade de comprimento. Determine a expressão algébrica
que representa a área de cada um desses retângulos.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2
1052 = (100 + 5)2 = 1002 + 2 . 5 . 100 + 55 = 10000 + 1000 + 25 = 11025
472 = (50 – 3)2 = 502 – 2 . 3 . 50 + 32 = 2500 – 300 + 9 = 2209
35 . 25 = (30 + 5)(30 – 5) = 302 - 52 = 900 – 25 = 875
FORMA FATORADA
a) (x + 2)(2x + 3)
b) (x + 5)(x + 5) = (x + 5)2
c) (x + 10)(x + 10) = (x + 10)2
d) (2x + y)(2x + 6)
FORMA SIMPLIFICADA
a) 2x2 + 7x + 6
b) x2 + 10x + 25
c) x2 + 20x + 100
d) 4x2 + 12x + 2xy + 6y
5 - Observe que, na figura, a área de um quadrado é x2 e a área
do outro quadrado é 49:
a) Qual a área do retângulo hachurado (riscado)?
7x
b) Qual a área do retângulo colorido (preto)?
7x
c) Qual a área total da figura?
(x + 7)(x + 7) = (x + 7)2 = x2 + 14x + 49
6 - Em um loteamento, cada quadra de terreno é um quadrado
com 61 metros de lado. O autor do projeto resolveu então aumentar
a largura da calçada e, com isso, cada quadra passou a ser um
quadrado de 59 metros de lado. Que área os terrenos perderam?
612 – 592 = (61 + 59)(61 – 59) = 120 . 2 = 240
7 - Ao redor do jardim da casa de Carlos, vai ser construída uma
calçada revestida de pedra. As medidas estão em metros.
a) Qual a área ocupada pelo jardim?
40
b) Escreva, na forma reduzida, um polinômio que expresse a área
ocupada pela calçada.
4x2 + 28x
c) Se a largura da calçada for de 2m e o preço do metro quadrado de
revestimento de pedras for R$ 25,00, quanto Carlos irá gastar?
4 . 22 + 28 . 2 = 16 + 56 = 72
72 . 25 = 1800
8 - Bruno realizou a multiplicação: (2x + 3)(2x + 3) = 4x2 + 9
Observando o que Bruno fez em seu caderno, responda:
a) Ele acertou a multiplicação de polinômios? Tente entender e
escreva o que ele fez.
Não, fez quadrado do primeiro termo mais quadrado do
segundo termo.
b) Represente os polinômios como medidas de um quadrado e calcule
a área desse quadrado.
(2x+ 3)(2x + 3) = (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9
9 - O desenho representa a planta de uma pequena casa
construída sobre um terreno. Indique o que representam as
expressões:
a) x2 – área do quarto
b) 2xy – área da cozinha mais área do banheiro
c) y2 – área da sala
d) (x + y)2 – área da casa
10 - Utilize as regras práticas para desenvolver os produtos notáveis
a seguir:
a) (x3 + y)2 = x6 + 2x3y + y2
b) (2a – 3)2 = 4a2 – 12a + 9
c) (2x + 3y)(2x – 3y) = 4x2 – 3y2
d) (4 – 3e)2 = 16 – 24e + 9e2
e) (5 + z2)2 = 25 + 10z2 + z4
f) (x3 – 3y2)(x3 – 3y2) = (x3 – 3y2)2 = x6 – 6x3y2 + 9y4
g) (2f – 3g)2 = 4f2 – 12fg + 9g2
11 - Desenvolva os produtos notáveis e reduza os termos
semelhantes:
a) (x + y)2 – 2xy = x2 + y2
b) (5 – 2z)2 – (25 +10z) = 4z² - 30z
c) (3x+1)2 + (3x-1)2 – 2 = 18x²
d) (2 – 2x)2 + (3 – 2x)2 – 2(x – 3) = 8x² - 22x + 19
e) (x – 3)(x + 3) – x(x – 3y) = 3xy - 9
f) (5a + 3)2 + (5a - 3)2 – 2(a + 5) = 50a² - 2a + 8
g) (2x – 3)2 + (x – 5)(x + 5) – (x + 4)2 = 4x2 – 20x - 32
12 - Fatore cada uma das expressões algébricas:
a) x2 – 121 = (x + 11) (x – 11)
b) 81 – q2 = (9 + q) (9 – q)
c) 4z2 – 25 = (2z + 5) (2z – 5)
d) 5x + 5z = 5(x + z)
e) a(x – 2) + b(x – 2) = (x – 2) (a + b)
f) ax2 + bx + cx = x(ax + b + c)
g) x + bx + cz +dz = x(1 + b) + z(c + d)
h) 5z2t + 10t – 3ab +5b = 5t(z² + 2) – b(3a – 5)
i) bd + cd +d + cx + bx +x = d(b + c + 1) + x(c + b +1) = (b +
c + 1)(d+x)
j) z2 – 26z + 169 = (z – 13)²
k) 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)²
l) 49x2 – 56xy + 16y2 = (7x – 4y)²
m) 25 – 20x + 4x2 = (5 – 2x)²
13 - Represente graficamente, pintando a área pretendida.
a) (x + 3)(x + 2)
b) (a – b)(a - b)
c) (y + 2)(y – 2)
14 - Sabendo que x + y = 5 e que x – y = 1, determine o valor de:
a) 3x + 3y = 3(x + y) = 3 . 5 = 15
b) 7x – 7y = 7(x – y) = 7 . 1 = 7
c) x2 – y2 = (x + y)(x – y) = 5 . 1 = 5
d) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 = 52 = 25
e) x2 - 2xy + y2 = (x – y)2 = 12 = 1 .
01) Efetue (5x4y2) · (–2xy3) + (7x2y3) · (–2x3y2) + + (–20x5y5)
02) O polinômio 4x3y2 + 5xyz4 – 3x2my3z é do décimo grau. Determine o valor
de m. Determine o valor numérico das expressões:
03) 4
)(4
)–( 22 yxyx ++ , para x = – 3 e y = 1
04) Qual é o polinômio que somado a 7x2 – 8x – 4 dá como resultado x3 – 2x2 +
6? 05) Qual o polinômio que dividido por 2x2 – 3x dá quociente 3x – 1 e resto 2x +
3? a) 6x3 + 11x2 + 3 b) 6x3 – 11x2 + 5x +3 c) 6x3 + 11x2 – 3x d) 6x3 – 11x2 + 3x
06) A estatura de um adulto do sexo feminino pode ser estimada, através das
alturas de seus pais, pela expressão:
2)13–( xy +
Considere que x é a altura da mãe e y a do pai, em cm. Somando-se ou subtraindo-se 8,5 cm da altura estimada, obtém-se, respectivamente, as alturas máxima e mínima que a filha adulta pode atingir. Segundo essa fórmula, se João tem 1,72 m de altura e sua esposa tem 1,64, sua filha medirá, no máximo: a) 1,70 m. b) 1,71 m. c) 1,72 m. d) 1,73 m.
07) Determine as expressões algébricas que dão o perímetro e a área do retângulo abaixo:
Desenvolva os produtos notáveis
08) 2⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
ab
ba
09) (x3y2z4 + 2a)2 10) (5x – 4x)2
2x – 3y
x – 2y
11) (2x + 3y) • (2x – 3y) 12) (x – 5) • (x – 3) 13) (x + 5) • (x – 2) 14) (x + 2)3 15) (2x – y)3 16) Que termo devemos adicionar à expressão
4x8 – 6x4y + 9y2 para que ela represente o quadrado de uma soma? a) 6x4y c) 18x4y b) 12x4y d) 24x4y
17) Sendo a2 + b2 = x e ab = y, então (a + b)2 é igual a:
a) x2 b) x + y c) x – 2y d) x2 + 2y e) x + 2y
18) Se x + x1 = 3, então o valo de x3 +
31x
é:
a) 9 b) 18 c) 27 d) 54
19) Das alternativas abaixo, uma é FALSA. Identifique-a.
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 b) a2 – b2 = (a – b) • (a + b) c) a3 – b3 = (a – b) • (a2 + ab + b2) d) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab e) a3 + b3 = (a + b) • (a2 – 2ab + b2)
20) Sendo a + b = 4 e a – b = 2, calcule o valor de a2 – b2.
Exercícios resolvidos a) ( ) =+ 24yx x 22 168 yxy ++ b) ( ) =+ 213x 9x 162 ++ x
c) ( ) =+
2310 a 100+20a 63 a+ d) ( ) =+
226 r 36+12r 42 r+
e) =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +2
21x x
212 ++x
f) =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +2
641 y 2363
161 yy ++
g) =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +2
213a 9
4132 ++ aa
h) desafio ( ) =+
2528,0 y 0,64+ 105 42,3 yy + EXERCÍCIOS RESOLVIDOS a) ( ) =− 24 yx 22 816 yxyx +− b) ( ) =− 223 ba 22 4129 baba +− c) ( ) =−
227 x 421449 xx +− d) ( ) =−
232xy 632 44 xyxy +− e) ( ) =−
26 11p 12122 612 +− pp
f) =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −2
45x
1625
252 +− xx
g)desafio ( ) =−
23 6,0a 36,02,1 36 +− aa
h) =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −2
332 ab 2294
94 baab +−
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS a) ( )( )=−+ baba 22 ba − b) ( )( )=−+ yxyx 2525 22 425 yx − c) ( )( )=+− 1818 aa 164 2 −a d) ( )( )=+− ayay 44 22 24 16ay − e) ( )( )=−+ 3535 yxyx 610 yx − f) ( )( )=−+ axyaxy 222 ayx −
g) =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −21
21 22 xx
414 −x
Lista de exercícios
Produtos notáveis e fatoração
1) Aplicando as regras dos produtos notáveis, desenvolva: a) ( )28+x b) ( )232 a−
c) ( )223 yx + d) ( ) ( )mm 5151 −+ e) ( )2cab − f) ( )31−m g) ( ) ( )3333 baba +− h) ( )24 h+
i) ( ) ( )xaxa 22 1010 −+
j) 2
2⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−yx
k) ( )3ta + l) ( ) ( )2323 bcabca +− m) ( )22xyy +
n) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+ 22
33pkpk
2) Simplifique as expressões algébricas: a) ( ) ( )yxxyx 22 −−− b) ( ) ( )232 2 ++− aax c) ( ) ( ) ( ) mmmm 2111 2 −++−+ d) ( ) ( ) ( )12222 −+−+ aaaxax e) ( ) ( ) abbaba 422 −−−+
Fatoração
3) Aplicando os casos de fatoração estudados, fatore os polinômios: a) xx 52 + b) 9124 2 +− xx c) 842 23 −+− xxx d) 94 2 −x e) 356 65 aaa +− f) bbxaax −+− g) 258064 2 ++ yy h) 3223 baba + i) 16 −m j) 222 44 babxxa +− k) aba 1812 2 + l) 223 yxyyxx −+− m) ( ) 91 2 −+x n) 222 abccabbca ++ o) mama 23 2015 −
Lista de exercício de equações do 1º grau 01- Determine os valores de X: a) X + 1 = 10 b) 2X – 4 = 3 – 6X c) 2X + 10 = 20 d) 2(X + 1)= X + 10 02- Um avião percorre 2 700 km em quatro horas. Em uma hora e 20 minutos de vôo percorrerá:
03- O triplo da altura de Joana e mais 15cm dá 441cm. Qual a altura de Joana?
04- Somando-se 489 à metade de um número, obtemos o dobro dele. Qual é
esse número?
05- Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?
I) Desenvolva os produtos notáveis:
Quadrado da soma de dois termos ⇒ (a + b)2 = a2 + 2. a. b + b2
(3x + y2)2 = (3x)2 + 2. 3x. y2 + (y2)2 = 9x2 + 6xy2 + y4
EXERCICIOS a) (x + 1)2 = b) (2x + 3)2 =
c) (2x + 3y)2 = d) (5a + x)2 =
e) (2ab + 1)2 = f) (x2 + y2)2 =
g) (a2b + ab2)2 = h) (3a + 2bc)2 =
i) (3x5 + y6)2 = j)
Quadrado da diferença de dois termos ⇒ (a − b)2 = a2 − 2. a. b + b2
(m – 3)2 = m2 – 2. m. 3 + 32 = m2 – 6m + 9
EXERCICIOS a) (3a – 1)2 = b) (3m – 5n)2 =
c) (2x – 3y)2 = d) (a2 – b3)2 =
e) (3x3 – y2)2 = f) (5ab – 1)2 =
g) (ab2 – a2b)2 = h) (x2y – xy2)2 =
i) (3x2 – y)2 = j) =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −2
y3x
Produto da soma pela diferença entre dois termos ⇒ (a + b).(a − b) = a2 –
b2
(2x + 3y).(2x – 3y) = 4x2 – 9y2
EXERCICIOS a) (7 – x2y).(7 + x2y) = b) (x3 + 1).(x3 – 1) =
c) (mn + 1).(mn – 1) = d) (2ab + c2).(2ab – c2) =
e) (2t + 1).(2t – 1) = f) (x2 + 2y).(x2 – 2y) =
g) (x + 7).(x – 7) = h) (3x – 5).(3x + 5) =
i) (4x + 7y).(4x – 7y) = j) (9a + c4).(9a – c4) =
Produto da forma (x + a).(x + b) ⇒ x2 + (a + b)x + a. b ⇒ x2 + Sx + P
(x – 2).(x – 3) = x2 + (−2 – 3)x + (−2).(−3) = x2 – 5x + 6
EXERCICIOS
a) (x + 6).(x + 5) = b) (x – 4).(x + 7) =
c) (x + 3).(x − 8) = d) (x + 6).(x – 4) =
e) (x – 2).(x + 9) = f) (x + 9).(x + 8) =
g) (x – 5).(x + 9) = h) (x – 8).(x – 2) =
i) (x + 7).(x − 6) = j) (x – 6).(x + 3) =
II) Fatore:
Fator comum ⇒ ab + ac = a(b + c)
EXERCICIOS
a) mx + my = b) 2a + ab =
c) 2ax + 3bx = d) 10a2 – 20a =
e) 24a2 – 8ax = f) 7a2b + 8ab2 =
g) (a + b)x + (a + b)y = h) a2x2y + a2x2 =
i) 6x3 – 12x2 + 36 = j) 7ab2 + 2ax + a2 =
k) 120ax3 – 100ax2 + 60ax = l) 35x3y2 – 14x2y3 =
Agrupamento ⇒ ac + bc + ad + bd = c (a + b) + d(a + b) = (a + b)(c + d)
EXERCICIOS a) ax – ay + bx – by = b) 5ax – 5ay + bx – by =
c) x2 + 5x + ax + 5a = d) 6a2 + 2ab – 3ac – bc =
e) t3 + t2 – 7t – 7 = f) x4 – x3 – 9x + 9 =
g) 2b2 + 2 – b2k – k = h) bx2 – 2by + 5x2 – 10y =
i) a5 + a3 + 2a2 + 2 = j) cx + x + c + 1 =
Diferença entre dois quadrados ⇒ a2 – b2 = (a + b)(a – b)
EXERCICIOS a) 81a4 – b6 = b) 4x2 – 1 =
c) x4 – y4 = d) x2y2 – 16a2b2 =
e) 4a
251 2
− = f) b2 − 16c2 =
g) 16x2 – 9y2 = h) 1 – m2n2 =
i) x10 – 100 = j) 49h2 – 81p2 =
Trinômio do quadrado perfeito ⇒ a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ou a2 – 2ab + b2 =
(a – b)2
EXERCICIOS a) a2 + 2a + 1 = b) 1 – 4x + 4x2 =
c) 9m2 + 6m + 1 = d) 1 – 2y + y2 =
e) x2 – 14x + 49 = f) 25x2 – 10x + 1 =
g) 4x2 – 12xy + 9y2 = h) a6 + 12a3 + 36 =
i) 121x2y2 + 44xy + 4 = j) =+−91m
31m
41 2
Trinômio do 2º grau ⇒ x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
EXERCICIOS a) x2 – 2x – 35 = b) y2 + 8y +12 =
c) x2 – x – 72 = d) b2 + 8b + 15 =
e) y2 + 5y − 6 = f) t2 + t − 2 =
g) x2 – x – 20 = h) k2 + 15k + 56 =
i) y2 + 9y + 8 = j) x2 – 13x + 42 =
III) Calcule os produtos notáveis:
1) (a + 5)2 = 2) (y + 10)2 =
3) (3a + 4)2 = 4) (x2 + a2)2 =
5) (x + 3)2 = 6) (2x + y)2 =
7) (5 + 3x)2 = 8) =
9) (2x + 3xy)2 = 10) =
11) (a – 1)2 = 12) (3 – 2x)2 =
13) (a – 3)2 = 14) (5 – y)2 =
15) (9 – x)2 = 16) (2a – b)2 =
17) (a2 – x2)2 = 18) (x – 2)2 =
19) 2
3b35ax
81
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛− = 20) (3a2 – 2b3)2 =
21) (t – 6)2 = 22) (3x – 5)(3x + 5) =
23) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
21x
21x = 24) (y – 4)(y + 4) =
25) (2a + b)(2a – b) = 26) (x + 7)(x – 7) =
27) (2x + 2y)(2x – 2y) = 28) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛− y
23xy
23x =
29) (x – 5)(x + 5) = 30) (2x3 – 1)(2x3 + 1) =
31) (m + 4)(m – 4) = 32) (ab2 + c2)(ab2 – c2) =
33) (x + 3)(x + 4) = 34) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
52y
34y =
35) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛− 2x
312x
21 36) (y + 8)(y + 9) =
37) (x – 9)(x – 2) = 38) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛− y
23x
52y
23x
52 =
39) (a + 1)(a + 2) = 40) (r + 5)(r – 3) =
41) (x + 6)(x + 6) = 42) (3m – 5)(2m – 1) =
43) (p + 10)(p + 10) = 44) (b – 5)(b – 3) =
IV) Identifique os casos de fatoração e fatore as expressões algébricas:
1) 4a + 4b = 2) 10ax – 25ay =
3) 15x3y – 11x2z = 4) 6xy2 – 3x2y + 12x3yz =
5) 6xy + 10ab = 6) 12xy – 18y =
7) mn + my = 8) 28ab – 21ac – 14ad =
9) 3x2 + 2y2x + 4y2 + 6x = 10) ax4 + ax3b + cx + cb =
11) ax + x – 2a – 2 = 12) 6ax – 8abx + 6bx – 8b2x =
13) 2ax2 – bx2 – 50a + 25b = 14) a2 + 5a – b2 + 5b =
15) 3ax + 2ay + 3bx + 2by = 16) 8xz – 8yz – 3x + 3y =
17) ax + bx + ay + by + az + bz = 18) x2 – 3x + 2xy – 6y =
19) 5x + 10y – bx – 2yb = 20) (a + b)2 + 2(a + b) =
21) x10 – 49y6 = 22) 9 – 36a2b2 =
23) 4a2 – 25x2y4 = 24) 100x2y4 – 1 =
25) y2 – 6xy + 9x2 = 26) 9a2 – 6a + 1 =
27) x2 – 12x + 36 = 28) 9a2 – 6ab + b2 =
29) x4 + 12x2 + 36 = 30) 14
2
++ xx =
31) 439
22 yxyx++ = 32) y2 – 8x + 15 =
33) x2 – 9x + 18 = 34) x2 + 4x – 12 =
35) x2 + 12x + 20 = 36) m2 – 4m + 3 =
37) t2 + 7t – 8 = 38) x2 + 4x – 77 =
39) x2 – 13x + 30 = 40) x2 – 10x + 21 =
V) Desenvolva os produtos notáveis e reduza os termos semelhantes.
a) (x + 7)(x – 7) – x2 + 50 b) (3x + 1)(3x – 1) – 8x2 + 1
c) (2a – 3b)(2a + 3b) + 9b2 + 1 d) (5x – 2)2 + (x – 3)(x – 2)
e) (x – 5)2 – (x – 3)2 – 16 f) (2x + 1)2 – 3x2 + 8
g) (x + 2)2 – (x + 4)2 + 4x + 12 h) (x + 1)(x – 3) + 2(x + 1)
i) (m + n)2 – (2m + n)2 j) (x + y)2 + (x + y)(x – y)
k) 6(a + 2)2 + 2(a – 3)2 + (a – 4)(a + 4)l) (2m2 – 3) – 2(m2 + 1)(m2 – 1)
m) (a2b – 5)(a2b + 5) + 2a(ab – 1) n) (x – 1)2 – (2x – 1)2 + (3x – 1)2
1. A expressão mais simples de é:
a) -1 b) 2ab c) ( )( )a ba b+
− d) -2ab
e) 1a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
- b
2. Sendo (a + b)2 = 900 e ab = 200. O valor de a2 + b2 corresponde a: a) 500 b) 700 c) 1100 d) 1300 e) 1500 3. Fatorando a expressão x2y - y, obtemos: a) x (y - 1) b) y (x - 1) c) y2 (1 - x) d) y (x + 1) (x - 1) e) y (x + 1)2 4. O valor da expressão x2y + xy2, onde xy = 12 e x + y = 8, é: a) 40 b) 96 c) 44 d) 88 e) 22 5. Se a e b são números reais inteiros positivos tais que a - b = 7 e a2b - ab2 = 210, o valor de ab é: a) 7 b) 10 c) 30 d) 37
e) 40
6. Sabendo que ( ) ( )2 2y 2010 2000 2000 1990= ⋅ − ⋅ , o valor de 7y10
é igual a
a) 8 b) 16 c) 20 d) 32 e) 36
7 .Se 22 1
xx 14,+ = com x 0,> então
51xx
⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠ é igual a
a) 2 22 7⋅ b) 37 c) 3 22 7⋅ d) 102 e) 107
8. Sendo x um número positivo tal que 2
21x 14x
+ = , o valor de 331xx
+
é a) 52. b) 54. c) 56. d) 58. e) 60. Gabarito: 1.c 2.a 3.d 4.b 5. c 6.b 7. d 8. a Solução: Seja: 2
2
22
2
2
2
1x 14x1 1 1x x 2.xx x x
1x 14 2x
1x 16x1x 4x
+ =
⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ =
observe que x2 + 1/x2 = 14
3
33 2
2 3
33
3
3 33
33
1Fazendo x+ ,temos :x
1 1 1 1x+ x 3.x . 3.x.x x x x
1 1 1x+ x 3 xx x x
1 4 x 3.4x
1x 52x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= + +
+ =
Exercícios resolvidos de fatoração de polinômios
1) Expressões algébricas fatoradas (fatoração simples). a) ax + ay + az = a(x + y + z) b) 4m2 + 6am =2m(2m 3a) c) 7xy2 - 21x2y = 7xy(y - 3x)
2) Expressões algébricas fatoradas (por agrupamento)
a) ax + bx + am + bm = x(a + b) + m(a + b) = (a + b).(x + m) b) 2x + 4y + mx + 2my = 2(x + 2y) + m(x + 2y) = (x + 2y).(2 + m) 3) Expressões algébricas fatoradas (diferença de dois quadrados) a) 9x2 - 16 = (3x - 4).(3x + 4) b) 25 - 4a2m6 = (5 - 2am3.(5 + 2m3) c) 0, 81b4 - 36 = (0,9b2 - 6).(0,9b2 + 6) d) (a + 3)2 - 9 = (a + 3 - 3).(a + 3 +3) = a(a + 6) e) (m + 1)2 - (k - 2)2 = [(m + 1 - (k - 2].[m + 1 + (k -2)] = (m +1 - k + 2).(m + 1 + k - 2) = (m - k +3).(m + k - 1) 4) Fatoração de trinômios quadrados perfeitos a) x2 - 4x + 4 = (x - 2)2 = (x - 2).(x - 2) b) x2 - 6x + 9 = (x - 3)2 = (x - ).(x - 3) c) x2 - 10x + 25 = (x - 5)2 = (x - 5).(x - 5) d) m2 + 8m + 16 = (m + 4)2 = (m + 4).(m + 4) e) p2 - 2p + 1 = (p - 1)2 = (p - 1).(p - 1) f) k4 + 14k2 + 49 = (k2 + 7)2 = (k2 + 7).(k2 + 7) g) (m + 1)2 - 6(m + 1) + 9 = (m + 1 - 3)2 = (m - 2)2 = (m - 2).(m - 2) 6) Fatoração da soma e da diferença de dois cubos a) a3 + b3 = (a + b).(a2 - ab + b2) b) m3 - 8n3 = m3 - (2n)3 = (m - 2n)(m2 + 2mn + 4n2) c) x6 + 64 = (x2)3 + 43 = (x2 + 4).(x4 - 4x2 + 16) d) y3 - 125 = y3 - 53 = (y - 5).(y2 + 5y + 25) 7) Fatore até as expressões tornarem-se irredutíveis: a) m8 - 1 = (m4)2 - 12 = (m4 - 1).(m4 + 1) = (m2 - 1)(m2 + 1).(m4 + 1)= (m - 1).(m + 1).(m2 + 1).(m4 + 1) b) ax3 - 10ax2 + 25ax = ax(x2 - 10x + 25) = ax(x - 5)2 = ax(x - 5).(x - 5) c) 2m3 - 18m = 2m(m2 - 9) = 2m(m - 3).(m + 3) d) [(x -3)2 - 4(x - 3) + 4] - [(x - 3)2 + 4(x - 3) + 4] = [(x - 3 - 2)2] - [(x - 3 + 2)2 = (x - 5)2 - (x - 1)2 [(x - 5 - (x - 1)].[x - 5 + (x - 1)] = - 4(2x - 6) = - 4. 2(x - 3) = -8.(x - 3)
1) . a) ax + ay + az = a(x + y + z) b) 4m2 + 6am =2m(2m 3a) c) 7xy2 - 21x2y = 7xy(y - 3x) 2) Expressões algébricas fatoradas (por agrupamento) a) ax + bx + am + bm = x(a + b) + m(a + b) = (a + b).(x + m) b) 2x + 4y + mx + 2my = 2(x + 2y) + m(x + 2y) = (x + 2y).(2 + m) 3 a) 9x2 - 16 = (3x - 4).(3x + 4)
b) 25 - 4a2m6 = (5 - 2am3.(5 + 2m3) c) 0, 81b4 - 36 = (0,9b2 - 6).(0,9b2 + 6) d) (a + 3)2 - 9 = (a + 3 - 3).(a + 3 +3) = a(a + 6) e) (m + 1)2 - (k - 2)2 = [(m + 1 - (k - 2].[m + 1 + (k -2)] = (m +1 - k + 2).(m + 1 + k - 2) = (m - k +3).(m + k - 1) 4) Fatoração de trinômios quadrados perfeitos a) x2 - 4x + 4 = (x - 2)2 = (x - 2).(x - 2) b) x2 - 6x + 9 = (x - 3)2 = (x - ).(x - 3) c) x2 - 10x + 25 = (x - 5)2 = (x - 5).(x - 5) d) m2 + 8m + 16 = (m + 4)2 = (m + 4).(m + 4) e) p2 - 2p + 1 = (p - 1)2 = (p - 1).(p - 1) f) k4 + 14k2 + 49 = (k2 + 7)2 = (k2 + 7).(k2 + 7) g) (m + 1)2 - 6(m + 1) + 9 = (m + 1 - 3)2 = (m - 2)2 = (m - 2).(m - 2) 6) a) a3 + b3 = (a + b).(a2 - ab + b2) b) m3 - 8n3 = m3 - (2n)3 = (m - 2n)(m2 + 2mn + 4n2) c) x6 + 64 = (x2)3 + 43 = (x2 + 4).(x4 - 4x2 + 16) d) y3 - 125 = y3 - 53 = (y - 5).(y2 + 5y + 25) 7) a) m8 - 1 = (m4)2 - 12 = (m4 - 1).(m4 + 1) = (m2 - 1)(m2 + 1).(m4 + 1)= (m - 1).(m + 1).(m2 + 1).(m4 + 1) b) ax3 - 10ax2 + 25ax = ax(x2 - 10x + 25) = ax(x - 5)2 = ax(x - 5).(x - 5) c) 2m3 - 18m = 2m(m2 - 9) = 2m(m - 3).(m + 3) d) [(x -3)2 - 4(x - 3) + 4] - [(x - 3)2 + 4(x - 3) + 4] = [(x - 3 - 2)2] - [(x - 3 + 2)2 = (x - 5)2 - (x - 1)2 [(x - 5 - (x - 1)].[x - 5 + (x - 1)] = - 4(2x - 6) = - 4. 2(x - 3) = -8.(x - 3)